1.3. Dizisel Topolojik Uzayların Metrik Uzay Terimiyle Betimlenmesi 1.3 9 Dizisel Topolojik Uzayların Metrik Uzay Terimiyle Betimlenmesi Bir metrik uzayın topolojisi dizisel topolojidir. Hatda bir metrik uzayın böl¨ um ¨ topolojisisdir. Ustelik her dizisel topoloji bir metrik uzayın böl¨ um topolojisine e¸sittir. Bunlar bu kısımda kanıtlanacaktır. Her i, j ∈ I ve i 6= j i¸cin Xi ∩ Xj = ∅ olamak u ¨zere ((Xi , τi ))i∈I topolojik uzayların bir ailesi verilsin. X = ∪i∈I Xi olmak u ¨zere, τX = {U ⊂ X : ∀i ∈ I, U ∩ Xi ∈ τi }, Xu ¨zerinde bir topoloji oldu˘ gu barizdir. (X, τX ) topolojik uzayına ((Xi , τi ))i∈I topolojik uzayların toplamı denir ⊕i∈I Xi ile gösterilir. Teorem 1.7. (Franklin, 1965) (X, τ ) be a topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler dentir. (i) τ dizisel topolojidir. (ii) τ bir metrik uzayın b¨ ol¨ um uzayıdır. (iii) τ birinci dereceden sayılabilir bir topolojik uzayın b¨ ol¨ um topolojisidir. (iv) τ bir dizisel topolojik uzayın b¨ ol¨ um topolojisidir. Kanıt: (i) =⇒ (ii): Y = {0} ∪ { n1 : 2 ≤ n ∈ N} k¨ umesini Euclidean topolojik uzay R’nin altuzayı olarak ele alalım. Y ’nin topolojisinin τY = {A ⊂ Y : 0 6∈ A yada Y \ A sonlu} oldu˘gunu not edelim. C = {f ∈ X N : f → f (1)} olarak tanımlıyalım. Her f ∈ C i¸cin Zf = {f } × Y olarak tanımlıyalım. Her f , g ∈ C ve f 6= g i¸cin Zf ∩ Zg = ∅ dır. Her f ∈ Zf i¸cin Zf u ¨zerine df ((f, y1 ), (f, y2 )) = |y1 − y2 | metri˘gini koyalım ve Zf ’yi bu metrik topolojik uzay olarak görelim. (Zf uzayı ile Y uzayının izometrik oldu˘ gu a¸sikar!) Z, (Zf )f ∈C topolojik uzayların toplamı, yani 10 1. Dizisel Topolojik Uzaylar Z = ⊕f ∈C Zf olsun. Z’nin topolojisini τZ ile g¨ osterelim. τZ bir metrik topolojidir. (Ger¸cekten |y1 − y2 | if f = g d((f, y1 ), (g, y2 )) = 1 if f 6= g olarak tanımlanan d : Z × Z → R fonksiyonu Z’de bir metriktir ve u ¨reti˘gi topoloji τZ ’e e¸sittir.) A ∈ τZ ⇐⇒ her f ∈ C i¸cin {y ∈ Y : (f, y) ∈ A} ∈ τY oldu˘gunu not edelim. π : Z → X fonksiyonu f (1) if y = 0 π(f, y) = f (i) if y = 1i , i ≥ 2 olarak tanımlansın. π’nin ¨ orten oldu˘ gu a¸cık. (Ger¸ceten x ∈ X verilsin. f : N → X dizisi f (n) = x olarak tanımlansın. π(f, 0) = x dir.) τ = {A ⊂ X : π −1 (A) ∈ τZ } oldu˘gunu gösterece˘ giz ki- e¸sitli˘ gin ikinci yanın Z’nin π’ye göre böl¨ um topolojisidirbu τ ’nın π’ye g¨ ore Z uzayının b¨ ol¨ um uzayı demektir ve kanıtı tamamlayacaktır. A ∈ τ verilsin. Her f ∈ C i¸cin Af = {y ∈ Y : (f, y) ∈ π −1 (A)} diyelim. Iki durum s¨ ozkonusu: birinci durum. 0 ∈ Af : Bu durumda π(f, 0) = f (1) ∈ A dır. f (n) → f (1) oldu˘gundan her n ≥ n0 i¸cin f (n) ∈ A olacak bi¸cimde n0 vardır. Dolayısıyla Y \ Af sonludur. Dolayıyla bu durumda Af , Y ’de a¸cıktır. birinci durum. 0 6∈ Af : Bu durumda, her n ∈ N i¸cin { n1 }, Y ’de a¸cık oldu˘gundan, Af a¸cıktır. Böylece her f ∈ C i¸cin Zf ∩ π −1 (A), Zf ’de a¸cıktir. Dolayısıyla π −1 (A), Z’de a¸cıktır. τ ⊂ {A ⊂ X : π −1 (A) ∈ τZ } gösterilmi¸s olur. S ¸ imdi A ⊂ X ve A 6∈ τ olsun. X dizisel topolojik uzay oldu˘gundan, A, dizisel a¸cık de˘ gildir. Dolayısı ile f →a∈A olacak bi¸cimde f (1) = a ve n ≥ 2 i¸cin f (n) 6∈ A olacak bi¸cimde f dizisi vardır. Bu durumda {y ∈ Y : (f, y) ∈ π −1 (A)} = {0} 1.3. Dizisel Topolojik Uzayların Metrik Uzay Terimiyle Betimlenmesi 11 k¨ umesi Y ’de a¸cık de˘ gildir. Buradan π −1 (A) 6∈ τZ elde edilir. Istenilen gösterilmi¸s olur. (ii) =⇒ (iii): Metrik uzaylar topolojisi birinci dereceden sayılabilir oldu˘gundan istenilen bariz. (iii) =⇒ (iv): Birinci derecen topolojinin dizisel topoloji olmasındandır. (iv) =⇒ (i): τ , dizisel topolojik uzay (Y, τY )’nın böl¨ um toplojisi olsun. Yani f : Y → X örten bir fonksiyon olmak u ¨zere τ = {A ⊂ X : f −1 (A) ∈ τY } olsun. A ⊂ X dizisel kapalı olsun. A’nın kapalı oldu˘gunu gösterece˘gz-bunun i¸cin f −1 (A)’nın dizisel Y ’de dizsiel kapalı oldu˘gunu göstermek yeterlidir. (xn ), f −1 (A) da bir dizi ve xn → x olsun. f s¨ urekli oldu˘gundan f (xn ) → f (x) dir. A’nın dizisel kapalı olmasından f (x) ∈ A, yani x ∈ f −1 (A) dır. f −1 (A)’nın dizisel kapalılı oldu˘ gu g¨ osterilmi¸s olur ve kanıt biter. Alı¸stırmalar 1.10. (Xi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve i 6= j i¸cin Xi ∩ Xj = ∅ olsun. X = ⊕i∈I Xi uzayının metrikle¸sebilir uzay olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun her i ∈ I i¸cin Xi uzayının metrikle¸sebilir olması gerekti˘ gini g¨ osteriniz. 1.11. Bir X topolojik uzayında bir dizinin en fazla bir limiti var ise X, T1 -uzayıdır. G¨ osteriniz. 1.12. Birinci dereceden sayılabilir topolojik uzayın Hausdorff olması icin gerekli ve yeterli ko¸sulun her dizinin en fazla bir tane limit noktasının olması gerekti˘ gini g¨ osteriniz. 1.13. Frechet-Urysohn uzayın altuzayının Frechet-Urysohn oldu˘ gunu g¨ osteriniz.