1.6. Tumden
Metrikles¸ebilir Topolojik Uzaylar
¨
1.6
23
T¨
umden Metrikle¸sebilir Topolojik Uzaylar
X = (−1, 1) u
¨zerindeki Euclidean metrik d olmak u
¨zere, d tarafından u
¨retilen
topoloji τd olsun. ”τd topolojisi bir tam metrik tarafından u
¨retilen topoloji
midir?” sorusunun yanıtı evettir. Ger¸cekten, X u
¨zerinde,
p(x, y) = |arctanx − arctany|
e¸sitli˘gi ile tanımlanan metrik tamdır ve τd topolojisini u
¨retir. Bu g¨ozlem sonucu
a¸sa˘gıdaki tanım anlamlıdır.
Tanım 1.11. Topolojisi tam metrik tarafından u
¨retilebilen topolojik uzaya
t¨
umden metrikle¸sebilir uzay denir.
A¸sa˘gıdaki teoremin bir sonucu olarak tam metrik uzayın altuzayların tam
metrikle¸sebilir olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulu belirleyebiliriz.
Teorem 1.17. (Lavrentieff Teorem) X ve Y tam metrik uzaylar, A ⊂ X ve
B ⊂ Y olmak u
¨zere f : A → B bir homeomorfizma olsun. u∗ : A∗ → B ∗
homeomorfizma, A ⊂ A∗ ⊂ X, B ⊂ B ∗ ⊂ Y ¨
ozelli˘ginde Gδ -k¨
umeler A∗ ve B ∗
vardır.
¨
Kanıt: Oncelikle
not edelim:K bir topolojik uzay, T , K’de bir Gδ -k¨
ume ve
M , T ’de bir Gδ -k¨
ume ise, M , T ’de bir Gδ -k¨
umedir. Ayrıca bir metrik uzayın
kapalı alt k¨
umesi Gδ k¨
umedir.
Yukarıdaki g¨
ozlem nedeniyle A = X ve B = Y oldu˘gunu varsayabiliriz.
Teorem ??? gere˘
gi,
A ⊂ A1 ⊂ X ve B ⊂ B1 ⊂ Y
k¨
umeleri sırasıyla X ve Y ’de Gδ -k¨
umeler olmak u
¨zere, f ’nin s¨
urekli geni¸slemesi
∗
−1
∗
f : A1 → X ve g = f ’nin s¨
urekli geni¸slemesi g : B1 → X vardır.
A∗ = {x ∈ A1 : f ∗ (x) ∈ B1 }
ve
B ∗ = {y ∈ B1 : g ∗ (y) ∈ A1 }
k¨
umeleri, sırasıyla X ve Y ’de Gδ -k¨
umelerdir. Ayrıca A ⊂ A∗ ve B ⊂ B ∗
oldu˘gu a¸cıktır. x ∈ A ve y ∈ B i¸cin,
g ∗ (f ∗ (x)) = g ∗ (h(x)) = g(h(x)) = x
ve
f ∗ (g ∗ (y)) = f ∗ (g(y)) = f (g(y)) = y
24
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
dir. x ∈ A∗ verilsin. A’nın kapanı¸sı X oldu˘gundan, A’nın A∗ daki kapanı¸sı A∗
dır. x ∈ A∗ verilsin. xn → x ¨
ozelli˘
ginde A’da (xn ) dizisi vardır. f ∗ ve g ∗ ’nın
s¨
ureklili˘ginden,
x = lim xn = lim g ∗ (f ∗ (xn )) = g ∗ (f ∗ (x))
dir. Benzer bi¸cimde her y ∈ B ∗ i¸cin
y = f ∗ (g ∗ (y))
dir. S¸imdi u = f ∗ |A∗ ’nın istenilen ¨
ozellikte homeomorfizma oldu˘gunu s¨oyleyebiliriz.
Yukarıdaki teoremin bir sonucu a¸sa˘
gıdadır.
Sonu¸
c 1.18. (Mazurkiewicz, 1916) Bir metrik uzayın tam metrikle¸sebilir alt
uzayı Gδ -k¨
umedir.
Kanıt: (X, d) bir metrik uzay ve A ⊂ X tam metrikle¸sebilir uzay olsun.
Yani, A u
¨zerinde tanımlı bir tam metrik p tarafından u
¨retilen topoloji ile, A
alt uzayının metrik topolojisi aynı olsun. K, X uzayının metrik tamlaması
olsun. i : (A, p) → (A, d) bir homeomorfizmadır. Yukarıdaki teorem gere˘gi,
i’nin tanım k¨
umesi A’da olan A∗ , Gδ -k¨
ume ve de˘ger k¨
umesi K’da Gδ -k¨
ume
∗
∗
∗
B olan bir homeomorfizma geni¸slemesi i vardır. Ancak i = i olaca˘gından,
A = i(A) = i(A∗ ) = B ∗ ,
K’da bir Gδ k¨
umedir. A ⊂ X oldu˘
gundan da, A k¨
umesi X’nin bir Gδ -k¨
umesidir.
Teorem 1.19. (Alexandroff, 1924) X metrikle¸sebilir uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler
denktir.
(i) X t¨
umden metrikle¸sebilir uzaydır.
(ii) X bir tam metrik uzay (M, p)’nın Gδ -uzayına homeomorfiktir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii) oldu˘
gu bariz.
¨
(ii) =⇒ (i): X’i (M, p) metrik uzayının altuzayı olarak g¨orebiliriz. Once
X’i
K uzayında a¸cık oldu˘
gunu varsayalım.
f : X → R, f (x) =
1
p(x,M \X)
olarak tanımlıyalım. f ’nin s¨
urekli oldu˘
gu bariz.
P ∗ : X × X → R, p∗ (x, y) = p(x, y) + |f (x) − f (y)|
1.6. Tumden
Metrikles¸ebilir Topolojik Uzaylar
¨
25
olarak tanımlansın. (X, p∗ )’nin bir metrik uzay oldu˘gu barizdir. Ayrıca, (xn ),
X’de bir dizi ve x ∈ X i¸cin
p∗ (xn , x) → 0 ⇐⇒ p(xn , x) → 0
oldu˘gunu not edelim.
(i) (X, p∗ ) uzayı tamdır: (xn ), (X, p∗ ) uzayında Cauchy dizisi olsun. > 0
verilsin.
n ≥ N =⇒ |f (xn ) − f (xN )| < ¨ozelli˘ginde N ∈ N vardır.
p(xN ,M \G)
, p(x1 , M \ X), ..., p(xN , M \ X)}
0 < δ = min{ p(x
N ,G\X)+1
olmak u
¨zere, her n i¸cin
xn ∈ Mδ = {x ∈ M : p(x, M \ X)}
dir.Mδ , M ’nin kapalı bir k¨
umesi oldu˘gundan, (Mδ , p) tam metrik altuzaydır. (xn ), (Mδ , p)’de Cauchy oldu˘
gundan, bir x ∈ Mδ i¸cin xn → x dir.
p(x, M \ X) ≥ δ > 0 olmasında da, x 6∈ M \ X, yani x ∈ X dir. Buradan
(X, p) uzayında xn → x dir. f ’nin s¨
urekli olması da kullanılarak,
p∗ (xn , x) = p(xn , x) + |f (xn ) − f (x)| → 0
dır. B¨oylece, (X, p∗ ) uzayın tam oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
(ii) A¸sa˘gıda tanımlanan fonksiyon
i : (X, p∗ ) → (X, p), i(x) = x
fonsiyon homeomorfizmadır: Bariz.
B¨oyece istenilen, X’nin, M ’nin bir a¸cık k¨
umesi olma durumunda istenilen
kanıtlanmı¸s olur. S
¸ imdi, X, M uzayında Gδ -k¨
ume oldun. (Un ), X’de a¸cık
k¨
umelerin bir dizisi olmak u
¨zere, X = ∩n Un olsun. Un ’lerin her biri t¨
umden
metrikle¸sebilir oldu˘
gundan, ve sayılabilir tane t¨
umden metrikle¸sebilir uzayların
Q
¸carpım uzayı t¨
umden metrikle¸sebilir olmasından (Theorem ??? ), Y = n Un
¸carpım uzayı t¨
umden metrikle¸sebilir uzaydır. Y ’nin altuzayı,
∆ = {(xn ) ∈ Y : x1 = x2 = ...}
kapalı oldu˘gundan, t¨
umden metrikle¸sebilir altuzaydır.
g : X → ∆, g(x) = (x)
olarak tanımlanan fonksiyon homeomorfizmadır ve kanıtı tamamlar.
© Copyright 2024 Paperzz
