1.3 Alt ve¨Ust Yarısürekli Fonksiyonlar

¨ Yarısurekli
1.3. Alt ve Ust
Fonksiyonlar
¨
1.3
9
¨ Yarıs¨
Alt ve Ust
urekli Fonksiyonlar
f : R → R fonksiyonunun x0 ∈ R noktasında sa˘gdan s¨
urekli olması, f (x0 )
noktasını i¸ceren her a¸cık U ⊂ R i¸cin
x0 ≤ x + δ =⇒ f (x) ∈ U
o¨zelli˘ginde bir δ > 0 ger¸cel sayısının olması anlamında oldu˘gu standart ve
bilinen bir kavramdır. soldan s¨
ureklilik kavramımı da benzer bi¸cimdedir. Bu
kavramlar topolojik uzaylar i¸cin u
¨st ve alt yarıs¨
ureklilik kavramları ile genellenir. Bunlar kullanılarak topolojik uzayların farklı karakterizosyonu verilebilmektedir.
Tanım 1.2. X bir topolojik uzay ve f : X → R bir fonksiyon olsun. x0 ∈ X
verilsin.
(i) Her > 0 i¸cin
y ∈ U =⇒ f (y) ≤ f (x0 ) + o¨zelli˘ginde x0 ’i i¸ceren a¸cık U k¨
umesi var ise f ’ye x0 noktasında u
¨ st
yarıs¨
urekli denir.
(ii) Her > 0 i¸cin
y ∈ U =⇒ f (y) ≥ f (x0 ) − o¨zelli˘ginde x0 ’i i¸ceren a¸cık U k¨
umesi var ise f ’ye x0 noktasında alt
yarıs¨
urekli denir.
Tanım 1.3. X bir topolojik uzay ve f : X → R bir fonksiyon olsun. f , X’nin
her noktasında u
¨st yarıs¨
urekli ise f ’ye u
¨ st yarıs¨
urekli denir. Benzer bi¸cimde,
f , X’nin her alt yarıs¨
urekli ise f ’ye alt yarıs¨
urekli denir.
Bir f : X → R fonksiyonunun u
¨st yarıs¨
urekli olmasını i¸cin gerekli ve yeterli
ko¸sulun −f ’nin alt yarıs¨
urekli olması gerekti˘g barizdir. Dolayısıyla bu t¨
ur
fonksiyonların temel ¨
ozelliklerini anlamak u
¨¸c a¸sa˘gı be¸s yukarı u
¨st yarıs¨
urekli
fonksiyonları anlamak yeterlidir. Dolayısı ile u
¨st yarıs¨
urekli fonksiyon i¸cin bir
teoremin kanıtı, genel olarak, alt yarıs¨
ureklilik i¸cin verilen teoremin kanıtı ile
hemen hemen aynıdır.
Bir X topolojik uzayından R’ye tanımlı bir fonksiyonun alt yarıs¨
urekli
olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul her r ∈ R i¸cin
{x ∈ X : f (x) ≤ r}.
10
1. Tum
Duznli
Hausdorff Uzaylar
¨ uyle
¨
¨
Benzer bi¸cimde u
¨st yarıs¨
ureklilik karakterize edilebilir.
¨
Ornekler
1.11. X bir topolojik uzay ve K ⊂ X verilsin. χK u
¨st yarıs¨
urekli olması i¸cin gerekli ve yeterli
ko¸sul K’nın kapalı olmasıdır. Benzer bi¸cimde χK alt yarıs¨
urekli olması i¸cin gerekli ve
yeterli ko¸sul K’nın a¸cık olmasıdır, g¨
osteriniz.
1.12. χQ : R → R fonksiyonu her x ∈ Q noktasında u
¨st yarıs¨
ureklidir. Her x ∈ R\Q noktasında
alt yarıs¨
ureklidir.
1.13. X bir topolojik uzay olsun. R, u
¨zerinde o
¨yle bir topoloji τ vardır ki, a¸sa˘
gıdakiler verilen
her f : X → R fonksiyonu i¸cin a¸sa˘
gıdakiler denktir.
(i) f alt yarıs¨
ureklidir.
(ii) f , τ topolojisine g¨
ore s¨
ureklidir.
A¸sa˘gıdaki teoremin kanıtı okuyucuya bırakılmı¸stır.
Teorem 1.7. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. x ∈ X i¸cin
U(x) = {U : U
a¸cık ve
x ∈ U}
olarak tanımlansın. x ∈ X i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir.
(i) f , x noktasında u
¨st yarıs¨
ureklidir.
(ii) f (x) = inf U ∈U (x) supy∈U f (y).
Teorem 1.8. X bir topolojik uzay, f ,g : X → R u
¨st yarıs¨
urekli fonksiyonlar
ve 0 ≤ r ∈ R verilsin.
(i) f + g, f ∨ g, f ∧ g, rf fonksiyonları u
¨st yarıs¨
ureklidir.
(ii) 0 ≤ f, g ise f g u
¨st yarıs¨
ureklidir.
Kanıt:
(i) r ∈ R verilsin.
{x : f (x) + g(x) ≥ r} = ∩q∈Q ({x : f (x) ≥ q} ∪ {x : g(x) ≥ r − q}
e¸sitli˘ginden f + g’nin u
¨st yarıs¨
urekli oldu˘gu g¨or¨
ul¨
ur.
{x : (f ∨ g)(x) ≤ r} = {x : f (x) ≥ r} ∪ {x : g(x) ≥ r}
e¸sitli˘ginde f ∨g u
¨st yarıs¨
ureklidir. Benzer bi¸cimde f ∧g u
¨st yarıs¨
ureklidir.
rf ’nin u
¨st yarıs¨
urekli oldu˘
gu barizdir.
(ii) 0 ≤ r verilsin.
{x : (f g)(x) ≤ r} = {x : f (x) ≤
√
r} ∩ {x : g(x) ≤
√
r}
¨ Yarısurekli
1.3. Alt ve Ust
Fonksiyonlar
¨
11
e¸sitli˘ginden istenilen elde edilir.
Alı¸stırmalar
1.14. X bir topolojik uzay ve f : X → R bir fonksiyon olsun. A¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini
g¨
osteriniz.
(i) f ’ u
¨st yarıs¨
ureklidir.
(ii) Her r ∈ R i¸cin f −1 ([r, ∞)) kapalı.
Benzer bi¸cimde a¸sa˘
gıdakiler denktir.
(i) f alt yarıs¨
ureklidir.
(ii) Her r ∈ R i¸cin f −1 (−∞, r]) kapalı.
1.15. X bir topolojik uzay, F ⊂ X kapalı, g : F → R u
¨st yarıs¨
urekli ve h : X \ F → R s¨
urekli
fonksiyon olsun.
g(x)
;x∈F
f (x) =
h(x)
;x ∈
6 F
olarak tanımlanan f : X → R fonksiyonun u
¨st yarıs¨
urekli oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.16. X bir topolojik uzay, K ⊂ X kapalı bir k¨
ume f : X → R ve g : Y → R fonksiyonları alt
yarıs¨
urekli fonksiyonlar olsunlar. Her x ∈ K i¸cin g(x) ≤ f (x) sa˘
glansın.
g(x)
;x∈K
h(x) =
f (x)
;x 6∈ X \ K
e¸sitli˘
gi ile tanımlanan h : X → R fonksiyonunun alt yarıs¨
urekli oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.17. (fi )i∈I , X’den R’ye tanımlı alt yarıs¨
urekli fonksiyonların aillesi ve her x ∈ X i¸cin {fi (x) :
i ∈ I} u
¨stten sırlı olsun. f (x) = supi∈I fi (x) olarak tanımlanan f : X → R u
¨st yarı
s¨
ureklidir.
1.18. X bir topolojik uzay ve f : X → R u
¨st yarıs¨
urekli bir fonksiyon olsun. Her r ∈ Q i¸cin
Ar = {x : f (x) < r},
Gr = Ar ∪ (X \ (Ar )
ve
G ∩r∈Q Gr
olarak tanımlansın. A¸sa˘
gıdakileri g¨
osteriniz.
i.) Her r i¸cin Gr a¸cık ve yo˘
gun.
ii.) f , her x ∈ G i¸cin s¨
ureklidir. (C
¸o
¨z¨
um i¸cin: Fort 1955, Engelking, p. 61)

Download Report