Cozumler - İstanbul Kültür Üniversitesi

İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ
Matematik-Bilgisayar Bölümü
MB2001 Analiz II
Bahar 2013-2014
Arasınav I
18 Mart 2014
Sınav Süresi: 105 Dakika
İsim Soyisim:
Numara:
İmza:
Bu sınav evrakı kapak ile birlikte toplam 5 sayfa ve 7 soru içermektedir. Herhangi bir sayfanın eksik olup
olmadığını kontrol ediniz. Kapak sayfasının üzerinde istenilen bilgileri eksiksiz tamamlayınız ve sayfaların
kopma ihtimaline karşın bu bilgileri her bir sayfaya yazınız.
Sınav süresi 105 Dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav süresince ders konularını içeren herhangi bir kitap ya da not ve hesaplayıcı cihaz kullanılması, cep telefonlarının açık tutulması yasaktır.
Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar Bölümü panosuna asılacaktır.
Cevaplarda aşağıda belirtilen hususlara dikkat ediniz:
• Cevapları cümle kurarak yazınız. Sorulara sadece
matematik sembolleri kullanarak çözüm yazmayınız.
Soru
Puan
• Cevaplarda herhangi bir “temel teorem” kullanılması durumunda teoremin ifadesini belirtip uygulanabilirliğini açıklayınız.
1
30
2
10
• İşlemlerinizi düzenli ve açık olarak ifade ediniz.
İşlem ve/veya açıklamalar ile desteklenmeyen bir cevaba doğru olsa dahi puan verilmeyecektir. Esas itibariyle doğru hesaplamalar ve açıklamalar ile desteklenen
yanlış bir cevap kısmi puan alabilir.
3
10
4
10
5
15
6
10
7
15
Toplam:
100
• Çözümlerinizi eğer sorunun altındaki alan yetmez ise
sorunun bulunduğu sayfanın arkasına yazabilirsiniz. Bu
durumda çözümün sayfanın arkasında olduğunu sorunun altına not ediniz.
Sağdaki tabloya yazı yazmayınız.
Başarılar.
Yrd. Doç. Dr. Emel Yavuz Duman
Alınan Puan
MB2001 Analiz II
Arasınav I - Sayfa 2 / 5
18 Mart 2014
1. [1, 3] aralığında f (x) = −x2 + 4x − 3 fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında kalan R bölgesi
göz önüne alınsın.
(a) (15 puan) Üst Riemann toplamının tanımını veriniz. [1, 3] aralığını 4 eşit parçaya ayırınız ve bu
parçalanışa karşılık gelen üst Riemann toplamı yardımı ile R bölgesinin alanını yaklaşık olarak
hesaplayınız (Not: Fonksiyonun grafiğini çiziniz. Üst Riemann toplamını teşkil eden dikdörtgenleri
gösteriniz).
Çözüm. a, b ∈ R, a < b, [a, b] aralığının bir parçalanışı P = {x0 , x1 , · · · , xn }, j =
1, · · · , n için ∆xj = xj − xj−1 ve f : [a, b] → R fonksiyonu sınırlı olsun. Mj (f ) =
sup f ([xj−1 , xj ]) olmak üzere f fonksiyonunun P üzerindeki üst Riemann toplamı U (f, P ) =
Pn
j=1 Mj (f )∆xj olarak tanımlanır.
[1, 3] aralığı 4 eşit parçaya ayrıldığında oluşan parçalanış ∆x =
b−a
n
=
3−1
4
= 0.5 olmak
üzere P = {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0} şeklindedir. Fonksiyon [1, 2) aralığında monoton artan
ve (2, 3] aralığında monoton azalan olduğundan P parçalanışına karşılık gelen üst Riemann
toplamı
U (f, P ) = 0.5f (1.5) + 0.5f (2.0) + 0.5f (2.0) + 0.5f (2.5)
= 0.5[f (1.5) + 2f (2.0) + f (2.5)]
= 0.5[(−(1.5)2 + 4(1.5) − 3) + 2(−(2)2 + 4(2) − 3) + (−(2.5)2 + 4(2.5) − 3)]
= 1.75
olduğundan Alan(R) ≈ 1.75’dir.
(b) (15 puan) Belirli integralin tanımını kullanarak R bölgesinin alanını hesaplayınız (Not: [1, 3]
aralığını n eşit parçaya ayırınız ve xj (j = 0, · · · , n) referans noktaları olarak alt aralıkların sağ
uç noktalarını alınız.)
Çözüm. Eşit uzunluklu alt aralıklar ve xj referans noktaları olarak sağ uç noktaları kullanılacağından ∆x =
b−a
n
=
3−1
n
=
2
n
ve xj = a + j∆x = 1 + 2j
n , j = 1, · · · , n dir. Dolayısıyla
belirli integralin tanımı kullanılarak alan aşağıdaki şekilde elde edilir.
Z
1
3
n
X
n
X
!
2j 2
2j
2
f (x)dx = lim
f (xj )∆x = lim
− 1+
+4 1+
−3
n→∞
n→∞
n
n
n
j=1
j=1
n n X
X
4j 2 4j 2
8j 2
8j
= lim
− 2 +
= lim
− 3 + 2
n→∞
n
n n n→∞
n
n
j=1
j=1


n
n
8 X 2
8 X 
= lim − 3
j + 2
j
n→∞
n
n
j=1
j=1
8 n(n + 1)(2n + 1)
8 n(n + 1)
8
8
4
= lim − 3
+ 2
= − · 2 + = = 1.¯
3.
n→∞
n
6
n
2
6
2
3
MB2001 Analiz II
Arasınav I - Sayfa 3 / 5
Z
ln(x+1)
2. (10 puan) f (x) =
x−π
18 Mart 2014
dt
olduğuna göre f 0 (0) değerini bulunuz.
cos t + 2
Çözüm. Leibniz Formülü kullanılarak (−1, ∞) aralığında diferansiyellenebilir v(x) = ln(x + 1),
u(x) = x − π ve integrallenebilir f (t) =
1
cos t+2
fonksiyonları için
Z ln(x+1)
dt
d
= v 0 (x)f (v(x)) − u0 (x)f (u(x))
f (x) =
dx x−π
cos t + 2
1
1
1
=
−
x + 1 cos(ln(x + 1)) + 2 cos(x − π) + 2
0
türevi elde edilir. Buna göre f 0 (0) değeri
f 0 (0) =
1
1
1
1
−
=
−
=0
cos(ln 1) + 2 cos(−π) + 2
1+2 1+2
olarak elde edilir.
Z
3. (10 puan)
(x2
dx
integralini hesaplayınız.
+ 9)(x2 + 3)
Çözüm. İntegrali alınacak fonksiyon basit kesirlerine ayrılır ve paydalar eşitlenirse
1
Ax + B Cx + D
(Ax + B)(x2 + 3) + (Cx + D)(x2 + 9)
=
+
=
(x2 + 9)(x2 + 3)
x2 + 9
x2 + 3
(x2 + 9)(x2 + 3)
1 = (A + C)x3 + (B + D)x2 + (3A + 9C)x + (3B + 9D)
elde edilir. Buna göre A + C = 0, B + D = 0, 3A + 9C = 0, 3B + 9D = 1 olduğundan
A = C = 0, B = −1/6 ve D = 1/6 bulunur. Dolayısıyla integral değeri
Z
Z
Z
Z
−1/6
1/6
1
dx
1
dx
√
dx +
dx = −
+
2
2
2
2
2
x +9
x +3
6
x +3
6
x + ( 3)2
x 1 1
x
11
=−
arctan + √ arctan √ + c
63
3 6 3
3
1
x
1
x
= − arctan + √ arctan √ + c
18
3 6 3
3
dx
=
2
(x + 9)(x2 + 3)
şeklinde elde edilir.
Z
MB2001 Analiz II
Z
Arasınav I - Sayfa 4 / 5
18 Mart 2014
tan3 5xdx integralini hesaplayınız.
4. (10 puan)
d
dx (tan 5x)
Çözüm. Burada tan2 5x = sec2 5x − 1 ve
Z
tan3 5xdx =
= 5 sec2 5x olduğu kullanılırsa
Z
tan 5x tan2 5xdx =
Z
Z
tan 5x sec2 5xdx −
Z
=
tan 5x(sec2 5x − 1)dx
tan 5xdx
bulunur. Buna göre sağ yandaki ilk integral tan 5x = u için sec2 5xdx = du/5 olduğundan
Z
tan 5x sec2 5xdx =
1
5
Z
udu =
1 2
1
u + c1 =
tan2 5x + c1
10
10
ve sağ yandaki ikinci integral cos 5x = v için sin 5xdx = −dv/5
Z
Z
tan 5xdx =
sin 5x
dx =
cos 5x
Z
dv
1
1
= − ln |v| + c2 = − ln | cos 5x| + c2
5v
5
5
şeklinde elde edilir. Dolayısıyla integral değeri
Z
tan3 5xdx =
1
1
tan2 5x + ln | cos 5x| + c
10
5
olarak bulunur.
∞
Z
5. (15 puan)
(1 − x)e−x dx integralini hesaplayınız.
0
R
Çözüm. Verilen integral birinci tür genelleştirilmiş integraldir. Diğer taraftan (1 − x)e−x dx bir
kısmi integraldir. Burada 1 − x = u için du = −dx ve e−x dx = dv için −e−x = v olduğundan
Z
(1 − x)e−x dx = (1 − x)(−e−x ) −
Z
(−e−x )(−dx) = (x − 1)e−x −
Z
−e−x dx
= (x − 1)e−x + e−x + c = xe−x + c
elde edilir. Ayrıca limt→∞ te−t = limt→∞
Z
0
bulunur.
∞
(1 − x)e−x dx = lim
Z
t→∞ 0
t
t
et
= limt→∞
1
et
= 0 limit değeri kullanıldığında
t
(1 − x)e−x dx = lim xe−x 0 = lim te−t − 0 = 0
t→∞
t→∞
MB2001 Analiz II
Z
6. (10 puan)
1
Arasınav I - Sayfa 5 / 5
∞
18 Mart 2014
sin x + 3
√
dx integralinin yakınsaklığını araştırınız.
x
Çözüm. Her x için −1 ≤ sin x ≤ 1 olduğundan 2 ≤ sin x + 3 ≤ 4 sağlanır. Buna göre x ≥ 1
sin x + 3
4
2
sin x + 3
2
√
√
için √ ≤
≤ √ eşitsizliği gerçeklenir. g(x) = √ ve f (x) =
olsun.
x Z
x
x
x
x
Z
∞
∞
2
√ dx = 2
Dolayısıyla
x−1/2 dx integrali p = 1/2 < 1 olduğundan ıraksaktır. Bu sonuç
x
1
1
aşağıdaki şekilde de elde edilebilir:
Z
∞
Z
∞
x
g(x)dx = 2
−1/2
dx = 2 lim
t→∞ 1
1
1
Z
t
−1/2
x
dx = 4 lim x
t→∞
t
= 4 lim (t1/2 − 1) = ∞.
1/2 1
t→∞
R∞
R∞
R∞
Buradan 1 g(x)dx ≤ 1 f (x)dx koşulunu sağlayan 1 g(x)dx integrali ıraksak olduğundan
R∞
1 f (x)dx integralinin de ıraksak olduğu Karşılaştırma Teoremi gereği elde edilir.
Z
7. (15 puan)
√
x2
dx integralini hesaplayınız.
16 − x2
Çözüm. −π/2 ≤ θ ≤ π/2 olmak üzere x = 4 sin θ dönüşümü yapılsın. Buna göre dx =
p
√
4 cos θdθ, x2 = 16 sin2 θ ve 16 − x2 = 16 − 16 sin2 θ = |4 cos θ| = 4 cos θ olduğundan
Z
Z
16 sin2 θ
1
2
4 cos θdθ = 16 sin θdθ = 16
(1 − cos 2θ)dθ
4 cos θ
2
Z
1
= 8 (1 − cos 2θ)dθ = 8 θ − sin 2θ + c = 8θ − 4 sin 2θ + c
2
x2
√
dx =
16 − x2
Z
elde edilir. Burada sin θ =
x
4
olduğundan θ = arcsin x4 ve sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2
√
x2
x 1 p
dx = 8 arcsin − x 16 − x2 + c
4 2
16 − x2
Z
eşitlikleri kullanılırsa
Z
sonucuna ulaşılır.
x
4
q
1−
x 2
4

Download Report