padovan sayı dizisi

Abdilkadir ALTINTAŞ
Apollonius03
16 Şubat 2014
PADOVAN SAYI DİZİSİ
Padovan tamsayı dizisi, P (0)  1, P(1)  1, P (2)  1 başlangıç koşullarıyla,
P (n )  P( n  1)  P( n  2)
biçiminde tanımlıdır. Bu dizinin terimleri,
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ...
şeklindedir. Fibonacci sayı dizisine benzer şekilde eşkenar
padovansayıdizisinin elemanları Şekil 2.1.1 deki gibi elde edilebilir.
Şekil 2.1.1
üçgenler
yardımıyla
n sayısının; sadece 2 ve 3 sayılarının sıralı toplamı biçimde yazılma sayısı P(n-2) dir.
Örneğin 8 sayısı; 2 ve 3 sayılarının sıralı toplamı biçiminde;
2+2+2+2
3+3+2
3+2+3
2+3+3
şeklinde 4 farklı biçimde yazılabilir. Bu sayı Padovan dizisinde,
P(n-2)=P(8-2)=P(6)
ya karşılık gelir. P(6) = 4 tür.
n sayısının; 2 rakamı kullanılmadan, sayılarının sıralı toplamı biçimde yazılma sayısı
P(2n-2) dir.
Örneğin 4 sayısı; 2 rakamı kullanılmadan,
1+1+1+1
1+3
3+1
4
şeklinde 4 farklı biçimde yazılabilir. Bu sayı Padovan dizisinde;
P(2n-2)=P(2.4-2)=P(6)
ya karşılık gelir. P(6) = 4 tür.
n sayısının; 2 rakamı kullanılmadan, palindromik biçimde sayılarının sıralı toplamı
biçimde yazılma sayısı P(n) dir.
Örneğin 7 sayısı; 2 rakamı kullanılmadanpalindromik biçimde,
1+1+1+1+1+1+1+1
1+1+3+1+1
1+5+1
3+1+37
şeklinde5 farklı biçimde yazılabilir. Bu sayı Padovan dizisinde;
P(n)=P(7)=5
sayısına karşılık gelir.
n sayısının; 1 rakamı kullanılmadan, tek sayılarının sıralı toplamı biçimde yazılma
sayısı P(n-5) tir.
Örneğin 11 sayısı; 1 rakamı kullanılmadan tek sayıların sıralı toplamı biçiminde,
11
5+3+3
3+5+33+3+5
şeklinde4 farklı biçimde yazılabilir. Bu sayı Padovan dizisinde;
P(n-5)=P(6)=4
sayısına karşılık gelir.
2.1.2.5: n sayısının; mod 3 te 2 ye denk olan sayılarının sıralı toplamı biçimde yazılma sayısı
P(n-4) tür.
Örneğin 10 sayısı; mod 3 te 2 ye denk olansayıların sıralı toplamı biçiminde,
8+2
2+8
5+5
2+2+2+2+2
şeklinde4 farklı biçimde yazılabilir. Bu sayı Padovan dizisinde;
P(n-4)=P(6)=4
sayısına karşılık gelir
Padovan sayı dizisinde bazı toplam Formülleri aşağıdaki gibidir:
1. P(0)+ P (2)+ P (4)+….+ P (2n)= P (2n+3)-1
Örneğin n=5 için;
P(0)+ P (2)+ P (4)+P(6)+ P (8)+ P (10)=P(13)-1
1 +
1
+2
+ 4
+
7 +
12 =28-1=27
dir.
2. P(1)+ P (3)+ P (5)+….+ P (2n+1)= P (2n+4)-1
Örneğin n=3 için;
P(1)+ P(3)+ P(5)+P(7)=P(10)-1
1 +
dir.
2
+ 3 +
5 =12-1=11
3. P(0)+ P (3)+ P (6)+….+ P (3n)= P (3n+2)
Örneğin n=2 için;
P(0)+ P(3)+ P (6)=P(8)
1 +
2 + 4
=7
dir.
4. P(1)+ P (4)+ P (7)+….+ P (3n+1)= P (3n+3)-1
5. P(0)+P(2)+ P (5)+ P (8)+….+ P (3n+2)= P (3n+4)-1
6. P(0)2  P(1)2  P(2)2  ...  P( n)2  P(n  2)2  P( n  1)2  P( n  3)2
1 5

Fibonacci sayı dizisinde ardışık terimlerin oranı altın orana 
 1, 618...  yaklaştığı gibi
 2



Padovan sayı dizisinde ardışık terimlerin oranı 1,324… sayısına yakınsar. Bu sayıya plastik
sayı denir. Bu sayı x 3  x  1  0 denkleminin tek reel çözümüdür. 3,5 ve 21 sayıları hem
Fibonacci sayı dizisinin hem de Padovan sayı dizisinin ortak elemanlarıdır. Bu sayılar
dizilerinin ortak elemanlarınının sonlu mu yoksa sonsuz sayıda mı olduğu bilinmiyor. 4,9, 16
ve 49 tam kare sayıları padovan sayı dizisinin elemanlarıdır. Aynı zamanda bu sayıların
karekökleri olan 2,3,4,7 sayıları da padovan sayı dizisinin elemanlarıdır. Bununla ilgili genel
bir kural bilinmemektedir.
Padovan sayı dizisinde ardışık 7 terim alındığında, 1.,3. ve 7. Terimlerin kareleri toplamı, 2.,
4, 5. ve 6. Terimlerin kareleri toplamına eşittir.
Padovan sayı dizisinin binom katsayıları ile ilgili bir özelliği aşağıdaki gibidir;
m
   P  k  2
2 m n k  n 

n=12 için 2m+n=12 denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki çözümleri (6,0), (5,2) ve
(4,4) olduğundan;
6  5   4
         1  10  1  12  P 10 
0 2   4
olur.

Download Report