GÖRSEL İSPATLAR (Proof Without Words) Abdilkadir ALTINTAŞ Emirdağ MZS Anadolu Lisesi [email protected] 1 İÇİNDEKİLER 2. Yöntem…………………………………………………………………..……….….…4 2.1 Temel Kavramlar….……………………………………………………...…………4 2.1.1 Alan Eşitliği Kullanarak Görsel İspat………………………………………4-8 2.1.2 Simetri Kullanarak Görsel İspat………..………….………….………..…9-11 2.1.3 Birkaç Kopya Kullanarak Görsel İspat………….……………………….11-14 2.1.4 Diğer Teoremlerin Sonucunu Kullanarak Görsel İspat….……….……...15-16 2.1.5 Sonsuz için Limit Alarak Görsel İspat……………….…….….……........17-19 2.1.6 Dönme Kullanarak Görsel İspat…...………………….………….……….....20 2.1.7. Birim Çember Yardımıyla Trigonometrik Eşitlikler için Görsel İspat….......21 2.2. Kullandığımız Materyallerden Örnekler……………………………………........22 2.2.1. Dairenin Alanı………………………….………………………………........22 2.2.2. Üçgenin Alanı…….…………………….………………………………........25 2 2. Yöntem: 2.1 Temel Kavramlar Matematikte ispat yöntemleri temel olarak Tümevarım ve Tümdengelim olmak üzere ikiye ayrılır. Tümdengelim yöntemi dolaylı ve doğrudan ispat olmak üzere ikiye ayrılır. Ters Durum ispatı, Olmayana Ergi ( Çelişki), Aksine örnek vermek ve Deneme Yöntemi dolaylı ispat yöntemleridir. (Şekil 2.1.1) Şekil 2.1.1 Bu çalışmamızda cebirsel ispatlar yerine, Alan eşitliği, simetri, kopyalama ve sonsuz için limit alma ve önceki teoremlerin sonuçlarını kullanma tekniklerini kullanarak elde ettiğimiz görsel ispatları sunacağız. 2.1.1 Alan Eşitliği Kullanarak Görsel İspat Burada kullanacağımız teknik verilen bir geometrik şekli, alanı iyi bilinen bir geometrik şekle dönüştürmektir. Bu dönüşümü yaparken düzlemdeki katı hareketlerden yararlanacağız. (Yansıma, Öteleme ve Dönme). Elde ettiğimiz ikinci şekille, birinci şeklin alanı aynı olacaktır. 3 Teorem 2.1.1.1: İç teğet çemberinin yarıçapı r, yarı çevresi u olan üçgenin alanı u.r dir. (Şekil 2.1.1.1) Görsel İspat: Şekil 2.1.1.1 Teorem 2.1.1.2: sin sin .cos sin .cos dır. (Şekil 2.1.1.2) Görsel İspat 1: Bir kenarı 1 br. olan eşkenar dörtgen kullanalım. Şekil 2.1.1.2 Eşkenar dörtgenin alanı ile sağdaki şeklin alanı eşittir. 1.1.sin sin .cos sin .cos 4 Görsel İspat 2: Üçgenin trigonometrik alan formülünü kullanalım. (Şekil 2.1.2.3) Şekil 2.1.2.3 1 1 1 ab sin( ) ay sin by cos 2 2 2 1 1 1 ab sin( ) ab cos sin ba sin cos 2 2 2 sin( ) cos sin sin cos Teorem 2.1.1.3: Bir ABC dik üçgeninde AB b' , AE b, DE a, DE a ' , DE / / CB olmak üzere, b a b a dür. (Şekil 2.1.1.4) 5 Görsel İspat: Şekil 2.1.1.4 Taralı alanların eşitliğinden, ba ba a b a b dür. Teorem 2.1.1.4: (Pisagor Teoremi) Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. (Şekil 2.1.1.4) Görsel İspat: 4. ab 2 2 c a b c2 a 2 b2 2 Şekil 2.1.1.4 6 Biz de deltoidi dikdörtgene dönüştürüp, alan eşitliğini kullanarak deltoid in alanı için görsel ispat oluşturduk. Teorem 2.1.1.5: Köşegen uzunlukları e ve f br. olan deltodin alanı e. f 2 br dir. (Şekil 2.1.1.5) 2 Görsel İspat: Şekil 2.1.1.5 2.1.2 Simetri Kullanarak Görsel İspat Teorem 2.1.2.1: Bir ABC dik üçgeninde iç teğet çemberin hipotenüs üzerinde ayırmış olduğu uzunluklar x,y olmak üzere, A(ABC)=xy br2 dir. (Şekil 2.1.2.1) 7 Görsel İspat: Verilen şeklin hipotenüse göre simetriğini alıp alan eşitliği uygulayalım. Şekil 2.1.2.1 Biz de simetri kullanarak aşağıdaki teoremlere görsel ispat oluşturduk. Teorem 2.1.2.2: A açısı dik açı olan bir ABC dik üçgeninde A köşesinden hipotenüs üzerine çizilen dikme, hipotenüsü H noktasında kessin. AH h, BH p, CH k olmak üzere, h2 pk dır. (Şekil 2.1.2.2) Şekil 2.1.2.2 8 Görsel İspat: BC kenarına göre simetri alıp, H noktasına göre iç kuvvet yazalım. (Şekil 2.1.2.3) h.h pk Şekil 2.1.2.3 Teorem 2.1.2.3: Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB AC dir. BC kenarı üzerinde alınan bir G noktasından AB ve AC kenarlarına çizilen yüksekliklerin toplamı, ikizkenarlara ait olan yüksekliğe eşittir. (Şekil 2.1.2.4) h1 h2 h Şekil 2.1.2.4 9 Görsel İspat: DBG üçgeninin BG kenarına göre simetriğini alalım. (Şekil 2.1.2.5) h1 h2 h Şekil 2.1.2.5 2.1.3 Birkaç Kopya Kullanarak Görsel İspat Bir geometrik şeklin bir veya daha fazla kopyası kullanılarak görsel ispat oluşturulabilir. Teorem 2.1.3.1: 1 den n ye kadar olan pozitif tamsayıların toplamı n n 1 dir. 2 Görsel İspat: 1 den n ye kadar olan pozitif tamsayıları temsilen aşağıdaki şekli oluşturalım. (Şekil 2.1.3.1) Şekil 2.1.3.1 10 Şimdi bu şeklin bir kopyasını şekildeki yerleştirelim. (Şekil 2.1.3.2) Şekil 2.1.3.2 İstediğimiz toplam Şekil 2.1.3.2 deki nokta sayısının yarısıdır. 1 2 3 ... n n n 1 2 dir. Teorem 2.1.3.2: 1 den 2n-1 e kadar olan pozitif tamsayıların toplamı n 2 dir. Görsel İspat: 1 den 2n-1 e kadar olan pozitif tamsayıları temsilen aşağıdaki şekli oluşturalım. (Şekil 2.1.3.3) Şekil 2.1.3.3 Bu şeklin 4 kopyasını kullanarak Şekil 2.1.3.4 ü elde edelim. 11 Şekil 2.1.3.4 İstediğimiz toplam bir kenarı 2n br. olan karedeki nokta sayısının 2n 1 3 5 ... 2n 1 4 1 üdür. O halde, 4 2 n2 dir. 1 den 3n-2 ye kadar olan pozitif tamsayıların toplamı için aşağıdaki görsel ispatı oluşturduk. Teorem 2.1.3.3: 1 den 3n-2 ye kadar olan pozitif tamsayıların toplamı n 3n 1 dir. 2 (Şekil 2.1.3.5) Görsel İspat: Şekil 2.1.3.5 12 1 4 7 ... 3n 2 n 3n 1 2 Teorem 2.1.3.4: Taban uzunlukları a ve c, yüksekliği h br. olan yamuğun alanı, ac .h 2 br2 dir. (Şekil 2.1.3.6) Şekil 2.1.3.6 Görsel İspat: ABCD yamuğunun bir kopyasını kullanarak paralelkenar elde edelim. Yamuğun alanı paralelkenarın alanının yarısıdır. (Şekil 2.1.3.7) S a c h 2 Şekil 2.1.3.7 13 2.1.4 Diğer Teoremlerin Soncunu Kullanarak Görsel İspat Bu bölümde sonucu bazı teoremlerin sonuçlarını kullanarak görsel ispatlar oluşturacağız. Teorem 2.1.4.1: (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği) Pozitif x,y reel sayıları için, x y 2 xy dir. Görsel İspat: “Bir dik üçgende en uzun kenar hipotenüstür.” bilgisini kullanalım. (Şekil 2.1.4.1) x y x y 2 xy Şekil 2.1.4.1 Eşitlik durumunun x y , yani x=y için sağlandığı açıktır. Teorem 2.1.4.2: (Sinüs Teoremi) Köşeleri A,B, ve C olan bir üçgenin açıları sırası ile , , olsun. AC sin AB sin dır. (Şekil 2.1.4.2) Şekil 2.1.4.2 14 Görsel İspat: Bir kenarı 1 br. ve yükseklikleri eşit olan şekildeki paralelkenarların alan eşitliğini kullanalım. (Şekil 2.1.4.3) 1 1 1. AB sin 1. AC sin 2 2 AB sin AC sin Şekil 2.1.4.3 Elde ettiğimiz sonuç ABC üçgeni için sinüs teoremidir 15 2.1.5. Sonsuz İçin Limit alarak Görsel İspat Teorem 2.1.5.1: Yarıçapı r br. olan dairenin alanı r 2 dir. (Şekil 2.1.5.1) Görsel İspat: A 1 2 r.r r 2 2 16 1 1 1 4 Teorem 2.1.5.2: 1 2 3 ... tür. 4 4 4 3 Görsel İspat: Bir kenarı 1 br. olan kare kullanalım. Kareyi 4 e bölüp, bu parçalardan 3 ünü boyayalım. Bu işlemi sonsuza kadar devam ettirirsek karenin tamamını boyamış oluruz. ( Şekil 2.1.5.2) 1 64 1 16 1 4 1 64 1 16 1 16 1 4 1 64 1 4 3 3 3 ... 1 4 16 64 3 1 1 1 2 ... 1 4 4 4 1 1 4 1 2 ... 4 4 3 Şekil 2.1.5.2 17 1 1 1 1 Teorem 2.1.5.2: 1 2 3 4 5 ... 4 tür. 2 4 8 16 Görsel İspat: Bir kenarı 2 br. olan kare kullanalım. ( Şekil 2.1.5.3) 2 Şekil 2.1.5.3 18 2.1.6. Dönme kullanarak Görsel İspat Teorem 2.1.4.1: Bir eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan bir P noktasından kenarlara çizilen yüksekliklerin toplamı eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir. (Şekil 2.1.6.1) h1 h2 h3 h Şekil 2.1.6.1 Görsel İspat: Şekil 2.1.6.2 19 2.1.7. Birim Çember Yardımıyla Trigonometrik Eşitlikler için Görsel İspat Teorem 2.1.7.1: 0, olmak üzere, 2 tan sin 2 1 cos 2 dır. Görsel İspat: Birim çember kullanalım.(Şekil 2.1.7.1) tan sin 2 1 cos 2 Şekil 2.1.7.1 Bizde birim çember yardımıyla sinüs için yarım açı formülünü şekildeki gibi elde ettik. Teorem 2.1.7.2: sin 2 2sin cos dır. Görsel İspat: ABC üçgeninin alanını iki farklı yoldan hesaplayalım (Şekil 2.1.7.2) A( ABC ) 2.sin 2 2sin .2 cos 2 2 sin 2 2sin .cos Şekil 2.1.7.1 20
© Copyright 2024 Paperzz