Langley Tipi Üçgenler için Bir Genelleme

Langley Tipi Üçgenlerde Aç¬Sorular¬na Bir Genelleme
Abdilkadir ALTINTA¸
S
Emirda¼
g MZS Anadolu Lisesi
[email protected]
02 Eylül 2014
Özet. Tepe aç¬s¬20 olan ikizkenar üçgenler Langley tipi üçgenlerdir. Bu yaz¬da
tepe aç¬s¬20 ¸sart¬olmadan herhangi bir ikizkenar üçgen için bir genelleme yapaca¼
g¬z.
Bir ABC üçgeninde AB = AC, m(]BAC) = a; m(]DBC) = c; m(]ECB) = b
ve m(]EDB) = olsun. (¸
Sekil 1)
A
a
D
E
θ
c
b
B
C
S
¸ekil 1
Üçgenlere ard¬¸s¬k sinüs teoremi uygulan¬rsa,
tan =
sin(b + c): sin c:(cos a + cos 2b)
sin b:(cos a + cos 2c) + cos(b + c): sin c:(cos a + cos 2b)
e¸sitli¼
gi elde edilir.
1
Problem (apollonius03). ABC üçgeninde AB = AC, m(]BAC) = 20 ; m(]DBC) =
65 ; m(]ECB) = 25 ise, m(]EDB) = kaçt¬r? (¸
Sekil 2)
A
20°
D
θ
E
65°
25°
B
C
S
¸ekil 2
Çözüm.
tan
=
sin(65 + 25 ): sin 25 :(cos 20 + cos 130 )
sin 65 :(cos 20 + cos 50 ) + cos(65 + 25 ): sin sin 25 :(cos 20 + cos 130 )
tan
=
sin 90 : sin 25 :(cos 20
cos 50 )
sin 65 :(cos 20 + cos 50 ) + cos 90 sin 25 :(cos 20 + cos 130 )
tan
=
sin 25 :(cos 20
cos 50 )
sin 65 :(cos 20 + cos 50 )
sin 25 :( 2) sin
tan
=
sin 65 :2: cos
20 + 50
20
50
sin
2
2
20 + 50
20
50
cos
2
2
tan
=
sin 25 :( 2) sin 35 sin( 15 )
sin 65 :2: cos 35 cos( 15 )
tan
=
sin 25 : sin 35 sin 15
cos 25 : cos 35 cos 15
tan
=
tan 25 : tan 35 : tan 15
2
S
¸imdi,
tan 3x = tan x: tan(60 + x): tan(60
x)
e¸sitli¼
ginde x = 5 alal¬m.
tan 15
tan 5
tan 5
tan 5
O halde
=
tan 5 : tan 65 : tan 55
1
1
:
= tan 15 :
tan 65 tan 55
= tan 15 : cot 65 : cot 55
= tan 15 tan 25 : tan 35
= 5 dir.
Te¸
sekkür. Genel durumun payla¸s¬m¬için Mathematical Gazette editörlerinden
say¬n Nick Lord’a te¸sekkür ederim.
3

Download Report