ELK 307
İletişim Kuramı-I
Kuramı I
Nihat KABAOĞLU
Ders 3
Dersin İçeriği

Sinyaller ve Sistemlerin Temelleri

Enerji ve Güç Spektral Yoğunluğu
Öz ve Çapraz İlinti Fonksiyonları
Hilbert Transformu ve Özellikleri
Ö Zarf
Ön
Z f ve Kompleks
K
l k Zarf
Z f Kavramları
K
l
Bant Geçiren Sinyal ve Sistemler
Faz ve Grup Gecikmesi
Kısım-2
Sinyaller ve Sistemlerin
Temelleri
Enerji ve Güç Spektrumları

Hem deterministik hem de periyodik olmayan sinyaller
enerji sinyalleridir.
sinyalleridir
Periyodik sinyaller ve rasgele sinyaller güç sinyalleridir.
E
Enerji
ji Spektral
S kt l Yoğunluğu
Y ğ l ğ
∞
E=∫
−∞
∞
∞
2
1
f (t ) dt =
F (ω ) d ω = ∫ F ( f ) df
∫
2π −∞
−∞
2
2
Bu ilişki
ş Parseval teoremi olarak bilinir ve şşunu ifade
eder: Bir f(t) sinyalinin toplam enerjisi f(t)’ nin tüm frekans
bileşenlerinin toplam enerjisine eşittir.
Enerji ve Güç Spektrumları
F (ω ) , f (t ) ' nin genlik spektrumu
2
Ψ f (ω ) = F (ω ) enerji spektral yoğunluğu olarak tanımlanır.
Enerji Spektral Yoğunluğunun birimi [Joule / Hz]’ dir.
Doğrusal
Sistem
g (t )
f (t )
H (ω )
G (ω )
F (ω )
F (ω ) = H (ω ) G (ω )
2
2
2
Ψ f ( ω ) = F ( ω ) = H ( ω ) G ( ω ) = H (ω ) G (ω )
2
Ψ f (ω ) = H ( ω ) Ψ g (ω )
2
Enerji ve Güç Spektrumları
Güç Spektral Yoğunluğu
f(t)
( ) bir güç
g ç sinyali
y ise ((-∞,∞)) aralığında
ğ
sonsuz bir enerjiye
jy
sahiptir. Fourier dönüşümünü bulmak için f(t)’ nin kesilmiş
hali olan fT(t) sinyali kullanılmalı.
⎧⎪
⎪⎪ f (t ) ,
⎪
fT (t ) = ⎨
⎪⎪
,
⎪⎪ 0
⎪⎩
T
t≤
2
T
t>
2
T /2
⎛1 ∞
⎞⎟
2
1
1
⎜
2
Pf = lim ∫ fT (t ) dt = lim ⎜⎜ ∫ FT (ω ) d ω ⎟⎟
⎟
T →∞ T
T →∞ T ⎜ 2π
⎝
⎠
−T / 2
−∞
2
∞
FT (ω )
1
1
Pf =
dω =
S f (ω )d ω
lim
∫
∫
T
→∞
T
2π −∞
2π −∞
∞
Enerji ve Güç Spektrumları
Bu durumda f(t)’ nin güç spektral yoğunluğu
S f (ω ) = lim
T →∞
FT (ω )
T
2
⇒ S f (ω ) = lim
Ψ f (ω )
T →∞
Güç Spektral Yoğunluğunun birimi [Watt / Hz]’ dir.
g (t )
S g (ω )
Doğrusal
Sistem
f (t )
H (ω )
S f (ω )
2
S f (ω ) = H (ω ) S g (ω )
T
Özilinti Fonksiyonu

Özilinti fonksiyonu, bir sinyalin belli bir miktar
geciktirilmiş
ikti il i h
halili ilile kkendisi
di i arasındaki
d ki b
benzerlik
lik
veya uyumun bir ölçüsüdür.
Enerji
Sinyalleri İçin:
İ
Rg (τ ) =
∞
∫
g ( t )g * ( t − τ ) dt =
−∞
∞
∫
g ( t + τ )g * ( t ) dt
−∞
Özellikleri
Rg (τ ) ≤ Rg ( 0 ) , ∀τ
Rg (τ ) = Rg* ( −τ )
Rg ( 0 ) =
∞
∫
−∞
g ( t ) dt
2
Y
Rg (τ ) ←⎯→
Ψ( f )
Özilinti Fonksiyonu
Güç
Sinyalleri (Periyodik) için:
1
Rgp (τ ) =
T0
Özellikleri:
T0 2
∫
g p ( t )g *p ( t − τ ) dt
−T0 2
Rgp (τ ) ≤ Rgp ( 0 ) , ∀τ
*
Rgp (τ ) = Rgp
( −τ )
1
Rgp ( 0 ) =
T0
T0 2
∫
g p ( t ) dt
2
Rgp (τ ) = Rgp (τ + nT0 ) , n = 1, 2,…
−T0 2
Rgp (τ ) ←⎯→
←Y → Sgp ( f )
Karşılıklı İlinti Fonksiyonu

Bir sinyal ile, başka bir sinyalin belli bir miktar
geciktirilmiş hali arasındaki benzerlik veya
uyumun bir ölçüsüdür.
R12 (τ ) =
∞
∫
−∞
g1 ( t )g 2* ( t − τ ) dt =
∞
∫
g 2 ( t )g1* ( t − τ ) dt
−∞
Özellikleri
∞
∫
g1 ( t ) g 2* ( t ) dt = 0 ⇒ R12 (τ ) = 0
−∞
*
R12 (τ ) = R21
( −τ ) ⇒ R12 (τ ) ≠ R21 (τ )
Y
R12 (τ ) ←⎯→
G1 ( f ) G 2* ( f )
Karşılıklı İlinti Fonksiyonu
Güç
Sinyalleri (Periyodik) için:
1
R12 (τ ) = lim
T →∞ 2T
T
∫
g1 ( t )g 2* ( t − τ ) dt
−T
Sinyallerin periyodu aynı ve T0 ise,
R12 (τ ) =
1
T0
T0 2
∫
g p1 ( t ) g *p 2 ( t ) dt
−T0 2
⎛ n ⎞ *⎛ n ⎞ ⎛
1 ∞
n⎞
R12 (τ ) ←⎯→ 2 ∑ G1 ⎜ ⎟G2 ⎜ ⎟ δ ⎜ f − ⎟
T0 n=−∞ ⎝ T0 ⎠ ⎝ T0 ⎠ ⎝
T0 ⎠
Y
Doğrusal Sistemlerden İletim
x (t )
Birim Dürtü Cevabı
h(t)
y (t )
Zaman Bölgesi
Frekans Bölgesi
h (t )
H(f)
h (t ) =
∞
∫
H ( f )e − j 2π f t df
H(f )=
−∞
y (t ) =
∫
h ( t )e − j 2π f t dt
−∞
∞
Y( f )=H( f )X( f )
∫ x (τ )h ( t − τ ) dτ
−∞
∞
H(f )= H(f )e
Genlik Cevabı
jβ ( f )
Faz Cevabı
2
Ψ y ( ω ) = H ( ω ) Ψ x (ω )
Giriş ve Çıkış Arasındaki
Enerji Spektral Yoğunluğu İlişkisi
Doğrusal Sistemlerden İletim
Alçak geçiren sistem
Bantgenişliği = B Hz
Bantgeçiren sistem
Bantgenişliği = 2B Hz
Genlik cevabının sıfır frekanstaki değerinin 1 2 ‘ sine
düştüğü frekans aralığına 3dB bant genişliği denir.
Bozulmasız İletim
Y
y ( t ) = Kx ( t − t0 ) ←⎯→
Y ( f ) = K X ( f ) e − j 2 π f t0
Y(f)
H(f )=
= Ke − j 2π f t0
X(f)
Daha genel bir ifadeyle,
H ( f ) = Ke
Öyleyse, H ( f ) = K
j ( −2π f t0 ± nπ )
ve β ( f ) = −2π f t0 ± nπ olmalıdır.
DİKKAT!
İletimde iki tür bozulma olabilir: 1. Genlik bozulması
2. Faz bozulması
Hilbert Dönüşümü
Hilbert Dönüşümü
Ters Hilbert Dönüşümü
g (τ )
1
ˆg (t ) = ∫
dτ
π −∞ (t − τ )
∞
gˆ (τ )
1
g (t ) = − ∫
dτ
π −∞ (t − τ )
∞
g (t )
G( f )
h (t ) = 1 π t
H ( f ) = − j sgn ( f )
∠H ( f )
1
πt
gˆ ( t )
gˆ (t ) = g (t ) *
Gˆ ( f )
Gˆ ( f ) = − j sgn ( f ) G ( f )
Örnek
g ( t ) = cos ( 2π f c t )
−j
ˆ
G ( f ) = − j sgn ( f ) G ( f ) =
⎡⎣δ ( f − f c ) + δ ( f + f c ) ⎤⎦ sgn ( f )
2
1
=
⎡⎣δ ( f − f c ) + δ ( f + f c ) ⎤⎦
2j
Y
−1
{Gˆ ( f )} = gˆ (t ) = sin ( 2π f t )
c
Aynı şekilde,
şekilde g ( t ) = sin ( 2π f c t ) için
gˆ ( t ) = − cos ( 2π f c t )
Hilbert Dönüşümünün Özellikleri
g (t ) ve

gˆ (t ) ‘
nin spektral yoğunlukları aynıdır.
g (t ) ve gˆ (t ) ‘ nin özilinti fonksiyonları
y
aynıdır.
y
g (t ) ve gˆ (t ) birbirine diktir.
gˆ (t ) ‘ nin Hilbert Dönüşümü −g (t ) ‘ dir.
dir
Hilbert
be t Dönüşümü’
ö üşü ü nün
ü Fiziksel
se Anlamı
a
Bu filtre güçlendirme ya da zayıflatma yapmaz, frekans
bileşenlerinin genlikleri değişmez. Ancak, bu filtre her frekans
bileşeninin fazını 900 kaydırır. Her frekans bileşenine 900 ’lik
faz kayması vermek sinyale sabit bir gecikme vermek
anlamına gelmez.
gelmez Çünkü,
Çünkü 900 ’lik
lik faz farkı her frekans
bileşeni için farklı sürelerde gecikmelere karşı gelir.
Ön Zarf
g + ( t ) = g ( t ) + jgˆ ( t )
G+ ( f ) = G ( f ) + j ⎡⎣ − j sgn ( f ) ⎤⎦ G ( f )
⎧2G ( f ) ,
⎪
G+ ( f ) = ⎨ G ( 0 ) ,
⎪ 0
,
⎩
∞
f >0
f =0
f <0
g + ( t ) = 2∫ G ( f ) e j 2π f t df
0
Kompleks Zarf

Dar bantlı bir g(t) sinyalinin ön zarfının temel bant şekli
p
Zarf olarak adlandırılır ve g t ile g
gösterilir.
Kompleks
Yani,
j 2π f t
− j 2π f t
()
g+ (t ) = g (t ) e
c
ya da
g ( t ) = Re ⎡⎣ g + ( t ) ⎤⎦ olduğundan
g ( t ) = g c ( t ) + jg s ( t )
g (t ) = a (t ) e
jφ ( t )
g ( t ) = g+ ( t ) e
c
g ( t ) = Re ⎣⎡ g ( t ) e j 2π fc t ⎦⎤
g c ( t ) : Eş Fazlı Bileşen
ş
g s ( t ) : Dik Fazlı Bileşen
g ( t ) = a ( t ) cos ( 2π f c t ) a ( t ) :
g ( t ) = g c ( t ) cos ( 2π f c t ) − g s ( t ) sin ( 2π f c t )
Gerçel değerli
alçak geçiren
Zarf
Doğal Zarf
Kanonik Yapı
Eş ve Dik Fazlı Bileşenler
Zarf Örnekleri
Örnek
Zarflara Genel Bakış

Ön Zarf
g + ( t ) = g ( t ) + jgˆ ( t )
- Alçak veya bant geçiren olabilir.
- Kompleks değerlidir.

Kompleks Zarf
g ( t ) = g + ( t ) e − j 2π f c t
- Genellikle kompleks değerlidir.
- Alçak geçiren bir sinyaldir.
- Ön zarfın ötelenmiş halidir
halidir.

Doğal Zarf a ( t ) = g ( t ) = g + ( t )
- Kompleks veya ön zarfın genliğidir.
- Her zaman gerçel değerli ve alçak geçirendir.
Bantgeçiren Sistemler

Bantgeçiren sistemler de, bantgeçiren sinyaller gibi kanonik
formda veya kompleks zarf cinsinden temsil edilirler. Birim
dürtü cevabı h(t)
( ) olan bantgeçiren bir sistem için:
h (t ) = hc (t ) cos (2π f c t ) − hs (t ) sin (2π f c t )
h(t ) = hc (t ) + jhs (t )
h (t ) = Re ⎡⎢⎣ h(t ) exp (2π f c t )⎤⎥⎦

Bantgeçiren bir sistemin bantgeçiren bir sinyale cevabı:
x (t )
Bantgeçiren
Si t
Sistem
h (t )
∞
y (t ) = ∫ h (τ )x (t − τ ) d τ
−∞
Bantgeçiren Sistemler

Kompleks zarflar yardımıyla daha basit olarak
x (t )
Bantgeçiren
Sistem
h (t )
∞
y (t ) = h(τ ) * x(τ ) = ∫ h(τ )x(t − τ ) d τ
−∞
y (t ) = Re ⎡⎢⎣ y (t ) e j 2 π fc t ⎥⎦⎤
çıkış ifadesine ulaşmak mümkündür.
Örnek
Grup ve Faz Gecikmesi

Fazı β ( f ) olan aşağıdaki doğrusal olmayan
sistemi ele alalım.
β ( fc )
τp =−
2π f c
Faz Gecikmesi
1 ∂β ( f )
τg = −
2π ∂f
x (t ) = xc (t ) cos ( 2π f c t )
f = fc
H(f)
Grup Gecikmesi
y (t ) = Kxc (t − τ g ) cos ⎡⎢ 2π f c (t − τ p )⎤⎥
⎣
⎦

Download Report