2.5- Vektör Uzayının Boyutu
69
25− VEKTÖR UZAYININ BOYUTU
1. {(−3 1) (2 −7)} kümesinin R2 uzayının bir tabanı oldu˘gunu gösteriniz.
Çözüm: {(−3 1) (2 −7)} kümesinin elemanlarını sırasıyla 1 2 ile gösterelim. {1 2 }
kümesi, R2 uzayının 2 elemanlı bir alt kümesidir.
∙
¸
−3
2
det (1 2 ) = det
= 19
1 −7
dur. det (1 2 ) 6= 0 oldu˘
gundan {1 2 } kümesi lineer ba˘
gımsızdır.
R2 uzayının boyutunun 2 oldu˘
gunu biliyoruz. boyutlu bir vektör uzayında elemanlı
gımsız bir küme ise bu kümenin vektör uzayı için bir
{1 2 } alt kümesi lineer ba˘
taban oldu˘
gunu ispatlamı¸stık. Buna göre {1 2 } kümesi, R2 uzayının bir tabanıdır. ¤
2. {(−4 3) (8 −6)} kümesi R2 uzayı için bir taban mıdır?
Çözüm: {(−4 3) (8 −6)} kümesinin elemanlarını sırasıyla 1 2 ile gösterelim. {1 2 }
kümesi, R2 uzayının 2 elemanlı bir alt kümesidir.
∙
¸
−4
8
det (1 2 ) = det
=0
3 −6
dur. det (1 2 ) = 0 oldu˘
gımlıdır. Buna göre {1 2 } kügundan {1 2 } kümesi lineer ba˘
mesi, R2 uzayının bir tabanı de˘
gildir. ¤
3. {(2 5) (0 1) (−3 2)} kümesi R2 uzayı için bir taban olur mu? Neden?
Çözüm: {(2 5) (0 1) (−3 2)} = diyelim. kümesinin 3 tane elemanı var. R2 uzayının
boyutunun 2 oldu˘
gunu biliyoruz. Ayrıca, boyutlu bir vektör uzayında, den daha çok vektörü bulunan her alt kümenin lineer ba˘
gımlı oldu˘
gunu da biliyoruz. Buna göre kümesi lineer
ba˘
gımlıdır. ( kümesinin lineer ba˘
gımlı oldu˘
gunu tanımdan yararlanarak da gösterebilirsiniz.)
kümesi lineer ba˘
gımsız olmadı˘
gından, bu küme R2 uzayının bir tabanı de˘
gildir. ¤
4. {(2 1 3) (−1 0 1) (0 1 2)} kümesi R3 uzayı için bir taban mıdır?
Çözüm: {(2 1 3) (−1 0 1) (0 1 2)} kümesinin elemanlarını sırasıyla 1 2 3 ile gösterelim. {1 2 3 } kümesi, R3 uzayının 3 elemanlı bir alt kümesidir.
⎡
⎤
2 −1 0
0 1 ⎦ = −3
det (1 2 3 ) = det ⎣ 1
3
1 2
70
Mat 201 Lineer Cebir Çalı¸sma Soruları
tür. det (1 2 3 ) 6= 0 oldu˘
gundan {1 2 3 } kümesi lineer ba˘
gımsızdır.
R3 uzayının boyutunun 3 oldu˘
gunu biliyoruz. boyutlu bir vektör uzayında elemanlı
gımsız bir küme ise bu kümenin vektör uzayı için bir
{1 2 } alt kümesi lineer ba˘
taban oldu˘
gunu ispatlamı¸stık. Buna göre {1 2 3 } kümesi, R3 uzayının bir tabanıdır. ¤
5. {(−3 5)} = olsun. alt uzayının farklı iki tabanını bulunuz.
Çözüm: {(−3 5)} kümesi alt uzayının bir üretecidir. Ayrıca lineer ba˘
gımsız bir kümedir. Buna göre bu küme, alt uzayının bir tabanıdır. {(6 −10)} kümesinin de alt uzayını
üretti˘
gi kolayca görülebilir. Ayrıca bu küme de lineer ba˘
gımsızdır. Bundan dolayı {(6 −10)}
kümesi de alt uzayının bir tabanıdır. ¤
6. (a) {(−1 0 0) (0 0 1) (1 −1 0)} kümesinin R3 uzayı için bir taban oldu˘gunu gösteriniz.
(b) = (2 −5 −2) oldu˘guna göre vektörünü bu tabanın lineer bile¸simi olarak yazınız.
Çözüm: (a) Verilen kümeyi {1 2 3 } biçiminde gösterelim.
⎡
⎤
−1 0
1
det [1 2 3 ] = det ⎣ 0 0 −1 ⎦ = −1
0 1
0
dir. det [1 2 3 ] 6= 0 oldu˘
gundan {1 2 3 } kümesi lineer ba˘
gımsızdır.
gımsız oldu˘
gundan {1 2 3 }
R3 uzayının boyutu 3 tür. {1 2 3 } kümesi lineer ba˘
alt uzayı da 3 boyutludur. Buna göre {1 2 3 } = R3 olur. Kısaca {1 2 3 } kümesi,
R3 uzayını gerer.
gi, R3 uzayında alınan her vektörünün
{1 2 3 } kümesinin R3 uzayını gerdi˘
= 1 1 + 2 2 + 3 3
biçiminde yazılabildi˘
gi gösterilerek de ispatlanabilir.
(b) = 1 1 + 2 2 + 3 3 olacak biçimdeki 1 2 3 sayıları bulunmalıdır.
1 + 02 + 3 = 2
01 + 02 − 3 = −5
01 + 2 + 03 = −2
denklem sistemi çözülerek 1 = 3 2 = −2 3 = 5 ulunur. Öyleyse = 31 − 22 + 53
tür. ¤
7. {(1 −3) (−3 9)} = olsun. alt uzayının farklı iki tabanını bulunuz.
Çözüm: {(1 −3) (−3 9)} kümesi alt uzayının bir üretecidir. Ama lineer ba˘
gımlı bir
71
2.5- Vektör Uzayının Boyutu
kümedir. Bundan dolayı alt uzayının bir tabanı de˘
gildir. {(1 −3)} kümesi uzayının lineer ba˘
gımsız bir üreteci oldu˘
gundan bu küme, alt uzayının bir tabanıdır. {(−3 9)} kümesinin de alt uzayını üretti˘
gi kolayca görülebilir. Ayrıca bu küme de lineer ba˘
gımsızdır. Bundan
dolayı {(−3 9)} kümesi de alt uzayının bir tabanıdır. ¤
8. {( 0 ) : ∈ R} kümesinin alt vektör uzayı oldu˘gunu gösteriniz. Bu uzayın bir tabanını bulunuz. Bu alt uzayın boyutu nedir?
Çözüm: {( 0 ) : ∈ R} = diyelim. kümesinin herhangi iki ve elemanını göz
önüne alalım. = (1 0 1 ) ve = (2 0 2 ) biçimindedir. ∈ R için
+ = (1 + 2 0 1 + 2 )
olur. + ∈ oldu˘
gu apaçıktır. Buna göre kümesi, R3 uzayının bir alt vektör uzayıdır.
∈ = (1 0 1 ) olsun.
= (1 0 1 ) = (1 0 0) + (0 0 1 ) = 1 (1 0 0) + 1 (0 0 1)
olur. (1 0 0) = 1 ve (0 0 1) = 3 diyelim. {1 3 } ⊂ oldu˘
gu apaçıktır. Yukarıdaki e¸sitlik, = 1 1 + 1 3 biçiminde yazılabilir. Buna göre kümesinin her elemanı {1 2 } kümesinin lineer bile¸simidir. Böyle olması, {1 3 } = oldu˘
gunu gösterir. Ayrıca {1 2 } kümesinin lineer ba˘
gımsız oldu˘
gu kolayca görülebilir. Böylece {1 3 } kümesinin, alt vektör
uzayının bir tabanı oldu˘
gu gösterilmi¸s oldu. alt vektör uzayının bir tabanında 2 tane vektör
bulundu˘
gundan alt uzayının boyutu 2 dir.
alt vektör uzayının ba¸ska tabanlarını da bulabilirsiniz. Örne˘
gin, {(2 0 3) (−1 0 2)}
kü-mesinin de alt uzayı için bir taban oldu˘
gu gösterilebilir.
1 = (2 0 3) 2 = (−1 0 2) ve {(2 0 3) (−1 0 2)} =
diyelim. 1 6= 0 dır ve 2 vektörü 1 vektörünün lineer bile¸simi de˘
gildir. Buna göre kümesi
lineer ba˘
gımsızdır.
⊂ oldu˘
gundan ve alt vektör uzayı toplama ve skalarla çarpma i¸slemlerine göre kapalı
oldu˘
gundan kümesinin lineer bile¸simleri de uzayının elemanıdır. Buna göre ⊆ dir.
∈ olsun. vektörü, = (1 0 1 ) biçimindedir.
= 1 (2 0 3) + 2 (−1 0 2)
(1)
olacak biçimde 1 2 sayılarının varlı˘
gı gösterilirse ∈ oldu˘
gu gösterilmi¸s olur. (1) e¸sitlig˘i,
21 − 2 = 1
(2)
31 + 22 = 1
denklem sistemine denktir. (2) denklem sisteminin katsayılar determinantı sıfırdan farklı oldu˘
gundan bu denklem sisteminin bir ve yalnız bir çözümü vardır. 1 ve 2 sayılarının her ve-
72
Mat 201 Lineer Cebir Çalı¸sma Soruları
rili¸sinde 1 2 sayıları bulunabilir. Bu durum, ∈ oldu˘
gunu gösterir. Her ∈ için
∈ oldu˘
gundan, ⊆ dir. Yukarıda, ⊆ oldu˘
gunu da görmü¸stük. Buna göre
= dir.
Böylece kümesinin, uzayının bir tabanı oldu˘
gu gösterilmi¸s oldu. ¤
9. {(3 2 −1)} alt uzayının bir tabanını bulunuz. Bu alt uzayın boyutu nedir?
{(3 2 −1)} alt uzayı geometrik olarak ne gösterir?
Çözüm: {(3 2 −1)} = diyelim. kümesi, {(3 2 −1)} kümesinin üretti˘
gi alt vektör uzayıdır. (3 2 −1) vektörü sıfırdan farklı bir vektör oldu˘
gundan {(3 2 −1)} kümesi lineer ba˘
gımsızdır. Buna göre {(3 2 −1)} kümesi, alt vektör uzayının bir tabanıdır. Bir
tabanında 1 tane vektör bulundu˘
gundan, alt uzayının boyutu 1 dir.
Geometrik olarak {(3 2 −1)} alt uzayı, R3 uzayında (0 0 0) ve (3 2 −1) noktalarından geçen do˘
gruyu gösterir. ¤
10. {(−3 4) (6 −8)} kümesinin gerdi˘gi {(−3 4) (6 −8)} alt vektör uzayının boyutunu
bulunuz. {(−3 4) (6 −8)} alt uzayı geometrik olarak ne gösterir?
Çözüm: {(−3 4) (6 −8)} = diyelim. kümesi, {(−3 4) (6 −8)} kümesinin ürettig˘i alt vektör uzayıdır. (6 −8) vektörü (−3 4) vektörünün lineer bile¸simi oldu˘
gundan
{(−3 4) (6 −8)} = {(−3 4)}
olur. Kısaca {(−3 4)} = dır. (−3 1) sıfırdan farklı bir vektör oldu˘
gundan {(−3 4)}
kümesi lineer ba˘
gımsızdır. Buna göre {(−3 4)} kümesi, alt vektör uzayının bir tabanıdır.
Bir tabanında 1 tane vektör bulundu˘
gundan alt uzayının boyutu 1 dir.
Geometrik olarak alt uzayı, R2 uzayında (0 0) ve (−3 4) noktalarından geçen do˘
gruyu
gösterir. ¤
11. {(−1 2 1) (−1 0 2) (3 1 2)} kümesinin gerdi˘gi alt vektör uzayı ile gösteriliyor.
alt vektör uzayının boyutunu bulunuz. alt uzayı geometrik olarak ne gösterir?
Çözüm: {(−1 2 1) (−1 0 2) (3 1 2)} kümesinin elemanlarını sırasıyla 1 2 3 ile gösterelim. {1 2 3 } kümesi, R3 uzayının 3 elemanlı bir alt kümesidir.
⎡
⎤
−1 −1 3
0 1 ⎦ = 17
det (1 2 3 ) = det ⎣ 2
1
2 2
tür. det (1 2 3 ) 6= 0 oldu˘
gımsızdır. Bu küme, alt
gundan {1 2 3 } kümesi lineer ba˘
vektör uzayını gerdi˘
ginden, alt vektör uzayının bir tabanı olur. alt vektör uzayının bir
tabanında 3 tane eleman bulundu˘
gundan = 3 tür. R3 uzayının bir alt vektör uza-
2.5- Vektör Uzayının Boyutu
73
yıdır. R3 uzayının boyutu 3 tür. Bir alt uzayın boyutu, asıl uzayın boyutuna e¸sit ise bu alt
uzay, asıl uzaya e¸sittir. Buna göre = R3 tür.
Geometrik olarak, alt uzayı R3 uzayını gösterir. ¤
12. {(−2 1 0) (3 0 1) (5 −1 1)} alt vektör uzayının bir tabanını bulunuz. Bu uzayın
boyutu nedir?
Çözüm: {(−2 1 0) (3 0 1) (5 −1 1)} kümesinin elemanlarını sırasıyla 1 2 3 ile gösterelim. {1 2 3 } kümesi, R3 uzayının 3 elemanlı bir alt kümesidir.
⎡
⎤
−2 3
5
det (1 2 3 ) = det ⎣ 1 0 −1 ⎦ = 0
0 1
1
tür. det (1 2 3 ) = 0 oldu˘
gımlıdır. Bu kümenin,
gundan {1 2 3 } kümesi lineer ba˘
{(−2 1 0) (3 0 1)}
alt kümesinin lineer ba˘
gımsız oldu˘
gu hemen görülebilir (Birinci vektör sıfırdan farklıdır ve ikinci vektör, birinci vektörün lineer bile¸simi de˘
gildir.). 3 vektörü, 1 ve 2 vektörlerinin lineer
bile¸simi olmak zorundadır. {1 2 3 } = {1 2 } olur.
{1 2 3 } =
diyelim. {1 2 } kümesi, alt vektör uzayının bir tabanı olur. alt vektör uzayının bir tabanında 2 tane eleman bulundu˘
gundan = 2 tür. ¤
13. R4 uzayında = {(2 6 −6 −7) (2 0 6 3) (0 1 −2 0) (−1 0 −3 −1)} e¸sitli˘giyle
verilen alt uzayının bir tabanını bulunuz.
Çözüm: (2 6 −6 −7) (2 0 6 3) (0 1 −2 0) (−1 0 −3 −1) vektörleri, satır vektörleri
olarak yazılarak bulunan matris olsun. alt uzayı, matrisinin satır uzayı ile özde¸slenebilir. Elementer satır i¸slemlerinin bir matrisin satır uzayını de˘
gi¸stirmedi˘
gini biliyoruz. Bu gerçekten yararlanmak için matrisini satırca indirgeyelim.
⎡
⎤ ⎡
⎤
2 6 −6 −7
1 0
3 0
⎢ 2 0
⎢
⎥
6
3 ⎥
⎥ ∼ ⎢ 0 1 −2 0 ⎥ =
=⎢
⎣ 0 1 −2
0 ⎦ ⎣ 0 0
0 1 ⎦
−1 0 −3 −1
0 0
0 0
dir. matrisinin dördüncü satırı sıfır vektörüne e¸sit oldu˘
gundan matrisinin satır uzayı, ilk
üç satır vektörünün gerdi˘
gi uzaydır. Kısaca
= {(1 0 3 0) (0 1 −2 0) (0 0 0 1)}
elde edilir. Ayrıca {(1 0 3 0) (0 1 −2 0) (0 0 0 1)} kümesi lineer ba˘
gımsızdır. Sonuç olarak
74
Mat 201 Lineer Cebir Çalı¸sma Soruları
bu küme, alt uzayının bir tabanıdır. alt vektör uzayının bir tabanında 3 tane eleman
bulundu˘
gundan = 3 tür. ¤
14. 3 × 1 biçimindeki matrislerin kümesi R31 ile gösteriliyor.
⎧⎡
⎫
⎤
⎨ + + 2
⎬
2 − 2 ⎦ : ∈ R
= ⎣
⎩
⎭
2 + 6
oldu˘guna göre alt uzayının bir bazını bulunuz. alt uzayının boyutunu belirtiniz.
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
1
1
2
+ + 2
2
2 − 2 ⎦ = ⎣ 2 ⎦ + ⎣ 2 ⎦ + ⎣ −2 ⎦ = ⎣ 2 ⎦ + ⎣ 0 ⎦ + ⎣ −2 ⎦
Çözüm: ⎣
0
2
6
2 + 6
0
2
6
⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤⎫
⎤⎫
1
2 ⎬
1
2 ⎬
⎨ 1
⎨ 1
oldu˘
gundan = ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ −2 ⎦ dir. ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ −2 ⎦ kümesi⎩
⎭
⎩
⎭
0
2
6
0
2
6
⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫
1 ⎬
⎨ 1
gımsız oldu˘
gu kolayca görülenin lineer ba˘
gımlı oldu˘
gu ve ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ kümesinin lineer ba˘
⎩
⎭
0
2
⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫
1 ⎬
⎨ 1
bilir. Buna göre ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ kümesi alt uzayı için bir taban olur. dim = 2 dir.
⎩
⎭
0
2
¤
15. R3 uzayının alt uzayı,
= {(2 −3 −2) (4 −6 −4) (−6 9 6) (2 1 1) (−2 −5 −4)}
e¸sitli˘giyle veriliyor. {(2 −3 −2) (4 −6 −4) (−6 9 6) (2 1 1) (−2 −5 −4)} kümesinin içinden alt uzayının bir tabanını bulunuz.
Çözüm: (2 −3 −2) (4 −6 −4) (−6 9 6) (2 1 1) (−2 −5 −4) vektörleri sütun vektörleri olarak yazılarak bulunan matris olsun. Bir matriste yapılan elementer satır i¸slemlerinin
matristeki lineer ba˘
gımsız sütunların yerlerini de˘
gi¸stirmedi˘
gini biliyoruz. Bu gerçekten yararlanmak için matrisini satırca indirgeyelim.
⎡
⎤ ⎡
⎤
2
4 −6 2 −2
1 2 −3 0
1
9 1 −5 ⎦ ∼ ⎣ 0 0
0 1 −2 ⎦ =
= ⎣ −3 −6
−2 −4
6 1 −4
0 0
0 0
0
dir. En sa˘
gda bulunan satırca indirgenmi¸s matrisinin birinci ve dördüncü sütun vektörleri lineer ba˘
gımsızdır. nin geriye kalan sütun vektörleri bu vektörlerin yanına konuldu˘
gunda lineer
2.5- Vektör Uzayının Boyutu
75
ba˘
gımlı kümeler elde edilir. Buna göre matrisinin de birinci ve dördüncü sütun vektörleri
lineer ba˘
gımsızdır. nın geriye kalan sütun vektörleri bu vektörlerin yanına konuldu˘
gunda
lineer ba˘
gımlı kümeler elde edilir. Buradan matrisinin birinci ve dördüncü sütun vektörlerine kar¸sılık gelen (2 −3 −2) (2 1 1) vektörlerinden olu¸san {(2 −3 −2) (2 1 1)} kümesinin,
alt uzayının bir tabanı oldu˘
gu anla¸sılır. ¤
16. R31 uzayının alt uzayı,
⎧⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤⎫
6
12
−6
5
−4 ⎬
⎨
= ⎣ −2 ⎦ ⎣ −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
⎩
⎭
−7
−14
7
−6
5
⎧⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤⎫
6
12
−6
5
−4 ⎬
⎨
e¸sitli˘giyle veriliyor. ⎣ −2 ⎦ ⎣ −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ kümesinin içinden
⎩
⎭
−7
−14
7
−6
5
alt uzayının bir tabanını (bazını) bulunuz. alt uzayının boyutu nedir?
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
6
12
−6
5
−4
Çözüm: ⎣ −2 ⎦ ⎣ −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ vektörleri sütun vektörleri
−7
−14
7
−6
5
olarak yazılarak bulunan matris olsun. Bir matriste yapılan elementer satır i¸slemlerinin
gi¸stirmedi˘
gini biliyoruz. Bu gerçekten yararmatristeki lineer ba˘
gımsız sütunların yerlerini de˘
lanmak için matrisini satırca indirgeyelim.
⎡
⎤ ⎡
⎤
6
12 −6
5 −4
1 2 −1 0
1
2 −2
2 ⎦∼⎣ 0 0
0 1 −2 ⎦ =
= ⎣ −2 −4
−7 −14
7 −6
5
0 0
0 0
0
dir. Sa˘
gda bulunan indirgenmi¸s satırca basamak matrisinin birinci ve dördüncü sütun vektörleri lineer ba˘
gımsızdır. nin geriye kalan sütun vektörleri bu vektörlerin yanına konuldu˘
gunda
lineer ba˘
gımlı kümeler elde edilir. Buna göre matrisinin de birinci ve dördüncü sütun vektörleri lineer ba˘
gımsızdır. nın geriye kalan sütun vektörleri bu vektörlerin yanına konuldu˘
gunda
lineer ba˘
gımlı kümeler elde edilir. Buradan matrisinin birinci ve dördüncü sütun vektörler⎧⎡
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎤ ⎡
⎤⎫
6
5
6
5 ⎬
⎨
ine kar¸sılık gelen ⎣ −2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ vektörlerinden olu¸san ⎣ −2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ kümesinin
⎩
⎭
−7
−6
−7
−6
lineer ba˘
gımsız oldu˘
gu anla¸sılır.
⎧⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤⎫ ⎧⎡
⎤ ⎡
⎤⎫
12
6
−6
5
−4 ⎬ ⎨
6
5 ⎬
⎨
⎣ −2 ⎦ ⎣ −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ − ⎣ −2 ⎦ ⎣ −2 ⎦
⎩
⎭ ⎩
⎭
−14
−7
7
−6
5
−7
−6
76
Mat 201 Lineer Cebir Çalı¸sma Soruları
⎧⎡
⎤ ⎡
⎤⎫
6
5 ⎬
⎨
kümesindeki vektörlerin her biri, ⎣ −2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ kümesinin lineer bile¸simi oldu˘
gundan
⎩
⎭
−7
−6
⎧⎡
⎧⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤⎫
⎤ ⎡
⎤⎫
6
12
−6
5
−4 ⎬
6
5 ⎬
⎨
⎨
⎣ −2 ⎦ ⎣ −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ = ⎣ −2 ⎦ ⎣ −2 ⎦
⎩
⎭
⎩
⎭
−7
−14
7
−6
5
−7
−6
⎧⎡
⎤ ⎡
⎤⎫
6
5 ⎬
⎨
olur. Sonuç olarak ⎣ −2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ kümesi, alt uzayının bir tabanıdır. Bir tabanında
⎩
⎭
−7
−6
2 tane vektör bulundu˘
gundan alt uzayının boyutu 2 dir. ¤
17. {(−1 2 3) (0 5) (2 0 1)} alt vektör uzayının R3 uzayına e¸sit olmadı˘gı bilindi˘gine
göre kaçtır?
Çözüm: {(−1 2 3) (0 5) (2 0 1)} = ve = diyelim. kümesi lineer ba˘
gımsız
olsaydı bu küme uzayının bir tabanı olurdu. Bu durumda alt uzayının bir tabanında 3
gu
vektör bulundu˘
gundan dim = 3 olurdu. Buradan da = R3 elde edilirdi. 6= R3 oldu˘
verildi˘
ginden kümesi lineer ba˘
gımlı olmak zorundadır. Öyleyse det = 0 dır.
⎡
⎤
−1 0 2
det = 0 ⇒ det ⎣ 2 0 ⎦ = 0
3 5 1
olur. ¤
⇒
(−1) () + 2 (10 − 3) = 0
⇒
= − 20
7
18. 3 × 1 biçimindeki matrislerin kümesi R31 ile gösteriliyor.
⎧⎡
⎫
⎤
⎨ 2 − +
⎬
= ⎣ + + 2 ⎦ : ∈ R
⎩
⎭
+
oldu˘
guna göre alt uzayının bir bazını bulunuz. alt uzayının boyutunu belirtiniz.
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡ ⎤
2
−1
1
2 − +
2
−
⎦
⎣
⎦
⎣
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
1
1
2 ⎦
+
+
2
2
+
+
Çözüm:
=
+
+
=
1
0
1
+
0
2.5- Vektör Uzayının Boyutu
77
⎧⎡ ⎤ ⎡
⎧⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤⎫
⎤ ⎡ ⎤⎫
−1
1 ⎬
−1
1 ⎬
⎨ 2
⎨ 2
oldu˘
gundan = ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ dir. ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ küme⎩
⎭
⎩
⎭
1
0
1
1
0
1
⎧⎡ ⎤ ⎡
⎤⎫
−1 ⎬
⎨ 2
sinin lineer ba˘
gımlı oldu˘
gu ve ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ kümesinin lineer ba˘
gımsız oldu˘
gu kolayca
⎩
⎭
1
0
⎧⎡ ⎤ ⎡
⎤⎫
−1 ⎬
⎨ 2
görülebilir. Buna göre ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ kümesi alt uzayı için bir taban olur. dim = 2
⎩
⎭
1
0
dir. ¤
© Copyright 2024 Paperzz
![[oJ [ıJ lzl lal ı9ı YY 12] ı,3] t9]](http://s3.paperzz.com/store/data/005055059_1-4a2585cd1e6516d6161852a03960dd7b-250x500.png)
