URSI-TÜRKĐYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ Sadece Faz ile Dizi Anteni Örüntü Sentezi Probleminin Newton-Raphson Metodu ile Çözümü Erdinç ERÇĐL1,2, Lale Alatan1, Özlem Aydın Çivi1 1 Orta Doğu Teknik Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, Ankara 2 ASELSAN A.Ş. Radar Elektronik Harp ve Đstihbarat Sistemleri Grubu, Anten Teknolojileri Mdl, Ankara [email protected], [email protected], [email protected] Özet: Faz dizili antenlerde sadece faz ile örüntü sentezi probleminin çözümü için literatürde bir çok yöntem mevcuttur. Söz konusu problem konveks bir problem olmaması nedeni ile bir çok lokal minimuma sahiptir. Bu problemler neredeyse geliştirilen tüm algoritmalarda iteratif olarak çözülmektedir. Örüntü sentezinde problemli bir diğer konu da istenen örüntünün genliği bilinirken fazının bilinmemesidir. Bu soruna getirilen çözümler de genellikle iterasyona dayalı olmakta ve halihazırda iteratif olan süreci daha da uzatmaktadır. Bildiride önerilen formülasyonda, dizi faktörünün mutlak değerinin karesine bağlı bir ifadenin kullanımı sayesinde örüntü fazının bilinmesine ihtiyaç duyulmamakta ve hızlı bir şekilde çözüm bulmak olanaklı olmaktadır.. Đstenen örüntü ile gerçeklenen örüntü arasındaki fark ve bu farkın türevi eleman fazlarının analitik bir fonksiyonu olarak ifade edilmektedir. Bu sayede Newton-Raphson veya Levenberg-Marquardt gibi algoritmaların ihtiyaç duyduğu Jacobian matrisi analitik olarak hesaplanabilmekte ve Jacobian matrisin nümerik olarak hesaplandığı durum ile iterasyon ve yakınsama hızını karşılaştırma olanağı ortaya çıkmaktadır. Metod bir boyutlu ve iki boyutlu dikdörtgen dizilimli dizi antenlerde kullanıma uygundur. Abstract: As the phase only synthesis problem is not a convex one, it has many local minima and therefore attempted to be solved by iterations usually. Another reason for requiring iterations is that the phase of the desired pattern is unknown. The solutions to this problem are usually of iterative nature and further elongate the already iterative process. In the proposed formulation, it is not necessary to know the phase of the desired field, owing to utilisation of an expression that relates the element phases to the absolute value of the square of the pattern and it is possible to find solutions in small durations. The difference between the desired pattern and the realized pattern can be expressed as an explicit and differentiable function of element phases. Thus, Jacobian matrix demanded by the Newton-Raphson algorithm, or algorithms like Levenberg-Marquardt can be computed analytically and it becomes possible to compare this case with the case where Jacobian matrix is computed numerically. The method is suitable for use in one dimensional arrays and two dimensional arrays with rectangular lattice. 1. Giriş ve Formülasyon Anten dizilerinde, ayarlanabilinir zayıflatıcıların sistem maliyetini arttırması ya da zayıflatıcı kullanımının dizinin toplam çıkış gücünü azaltması gibi nedenlerle bir çok uygulamada yalnızca faz kaydırılar kullanarak huzme şekillendirmesi yapılması tercih edilmektedir. Bu çalışmada, sadece faz ile sentezleme yaklaşımında Newton Raphson yönteminin kullanılmasının uygunluğu incelenmektedir. Aşağıda, bir boyutlu ve periyodik bir dizi için dizi faktörünün karesi türetilmektedir. [1]’deki formülasyon sayfa sayısındaki kısıtlardan dolayı özetlenerek aktarılmıştır. Bir boyutlu çizgisel bir dizi için dizi faktörü (1)’deki gibi yazılabilir: DF (θ , φ ) = DF (θ ) = N ∑ wn e jα n e − jnk o d sin θ = n =1 N ∑ wne jα n e − jnψ , ψ = k o d sin θ (1) n =1 (1)’de, wn eleman uyarım katsayılarının genliğini, αn eleman uyarım katsayılarının fazını, ko dalga sayısını, d elemanlar arası mesafeyi, θ ise dizi ana ekseni ile yapılan açıyı göstermektedir. [1]’de detayları verilen işlemlerin ardından dizi faktörünün mutlak karesi için (2)’deki ifade elde edilmektedir. N −1 N N  2 DF (ψ ) = ∑ wn2 + 2∑ ∑ wn wm cos[α n − α m + ( n − m)ψ ] n =1 m = n +1  n=1  (2) Hem faz hem de genlikler ile yapılan sentez çalışmalarında istenen örüntünün genliği keyfi olarak seçilebilmektedir, çünkü çözümde bilinmeyen genlikler de bulunabilmektedir. Sadece faz ile sentezde eleman genlikleri, hesaplanacak bilinmeyenler olmadığı için istenen örüntünün ölçeklendirilmesi gereklidir. URSI-TÜRKĐYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ Ölçeklendirme katsayısı, β, (3)’te verilmiştir. (3)’te Fistenen ile gösterilen değişken, istenen örüntüye karşılık gelmektedir. N 2π ∑ wn2 β= (3) n =1 π ∫π 2 Fistenen (ψ ) dψ − Sentez problemi (4)’teki gibi ifade edilebilir: C (ψ ) = β Fistenen (ψ ) − DF (ψ ) = 0 2 2 (4) Bu çalışmada görülmüştür ki, Newton-Raphson algoritması uygulandığında hızlı bir şekilde örüntüye yakınsamak mümkün olmakta ve literatürde yer alan diğer sentez teknikleri ile denk düzeyde istenen örüntüye uyum sağlanabilmektedir. Newton-Raphson iterasyonunda, bir başlangıç noktası ( α 0 ) seçilir ve (5) ile iterasyon yapılır: α k +1 = α k − J −1C (5) (5)’te J ile gösterilen değişken, Jacobian matrisidir ve bir matris elemanı aşağıda gösterilen formdadır. (6)’da M açısal örnek sayısını temsil etmektedir. Açısal örnek sayısı, dizi boyutlarına bağlı olarak seçilmeli ve dizi faktöründeki değişim hızına uygun olmalıdır. Açısal örnek sayısının yetersiz olması, dizi faktöründe ardışık iki örnekleme açısı arasında beklenmeyen dalgalanmalara neden olmaktadır. J ij = ∂ DF (ψ i ) 2 for i = 1,..., M ∂α j (6) (2)’deki ifadenin herhangi bir αn’e göre türevi alınarak Jacobian matrisi (7)’deki gibi hesaplanabilir. ∂ DF (ψ i ) 2 ∂α n Bunun yanısıra Jacobian matrisi N =− ∑ 2w w n m sin [α n − α m + (n − m)ψ i ] (7) m =1 m≠n α = α 0 noktasında ∂ DF (ψ ) DF (ψ ) 2 ≈ ∂α n nümerik olarak da şu şekilde hesaplanabilir: 2 α n0 + h − DF (ψ ) 2 α n0 − h (8) 2h Jacobian matrisinin oluşturulmasındaki nümerik işlem sayısını azaltmak amacıyla α n 0 m h ’deki dizi faktörünün hesaplanmasında (9)’da görüleceği gibi α n 0 ’da bir kere hesaplanmış ve sonraki kullanımlar için hafızaya kaydedilmiş dizi faktörü kullanılmıştır. ∂ DF (ψ ) ∂α n 2 ≈ DF (ψ ) α n0 ( − wn e jnψ e jα n 0 − e j (α n 0 + h ) ) 2 − DF (ψ ) α n0 ( − wn e jnψ e jα n 0 − e j (α n 0 − h ) ) 2 (9) 2h 2. Uygulama Yöntemi denemek amacıyla teorik bir sentez problemi üzerinde çalışmalar yapılmıştır. Varsayılan dizi 50 elemanlı doğrusal ve periyodik bir dizidir ve elemanlar arasında 0.6λ mesafe bulunmaktadır. M sayısı 361 olarak alınmış ve 180 derecelik gözlem sektörü 0.5 derece adımlar ile örneklenmiştir. Đstenen örüntü, Şekil 2’de gösterilen cosekant kare örüntüdür. Sadece faz ile sentezleme yöntemiyle, hedeflenen düşük yan huzme seviyelerinin eşit genlik dağılımı varlığında elde edilmesinde problem yaşanabileceği öngörülmüştür. Bu nedenle, genlik dağılımı Taylor sönümlemeli (݊෤=4, 25 dB) seçilmiş ve faz dağılımı istenen örüntüyü elde edebilmek için optimize edilmiştir. Nümerik türevdeki h parametresinin seçimi Jacobian matrisinin doğruluğunu etkilemektedir. Bilindiği gibi h değerinin büyük seçilmesi sonlu fark yaklaşımının hata miktarını arttırmaktadır. Diğer yandan, h’nin çok küçük seçilmesi ise sayısal duyarlılığının sonlu olması nedeniyle hataya yol açmaktadır. Bu çalışmada bir dizi simulasyon sonunda h=0.001 radyan seçilmiştir. Rastgele fazlar ile başlanarak NewtonRaphson iterasyonu uygulandığında (7) ve (9)’daki ifadeler birbirine yakın Jacobian matrisleri vermektedir. Şekil 1’de aynı başlangıç fazı ile başlanarak 60 iterasyon yapıldığında elde edilen faz dağılımları URSI-TÜRKĐYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ karşılaştırılmaktadır. Görüldüğü gibi her iki yöntemle elde edilen faz dağılımları birbirine yakındır. Şekil 2’de ise bu faz dağılımları kullanılarak elde edilen örüntüler sunulmaktadır. Đstenen örüntüye uyum açısından iki yöntem benzer sonuç vermiştir. Şekil 1: Analitik ve nümerik olarak hesaplanan Jacobian matrislerinin kullanılmasına bağlı olarak ortaya çıkan nihai faz değerlerinin karşılaştırılması. Şekil 2: 60 iterasyon sonucunda elde edilen örüntülerin karşılaştırılması. Đki yaklaşımın hesaplama süresi açısından karşılaştırılabilmesi için her iki yaklaşım için eleman sayısı 10 ile 140 arasında değiştirilerek her bir eleman sayısı için 100 iterasyon yapılmış ve hesaplama süresi gözlenmiştir. Şekil 3’te verilen grafikte bu karşılaştırma yapılabilmektedir. Görüldüğü üzere, Jacobian matrisin analitik olarak hesaplanması durumunda çözüm süresi eleman sayısının karesi ile, numerik olarak hesaplanması durumunda ise eleman sayısı ile orantılı olarak artmaktadır. Bu durum (7) ve (9) numaralı denklemlerin kıyaslanması ile de görülebilir. (7)’deki ifadede; toplama işlemi (Σ) nedeni ile (9)’daki işlem yükünün eleman sayısı (N) katı kadar işlem yükü olacağı anlaşılmaktadır. Buna bağlı olarak Şekil 3’teki karakteristik ortaya çıkmaktadır. Ancak işlem yüklerinin farklı çarpanlara sahip olmasından dolayı, 80 elemana kadar analitik yaklaşımın daha hızlı olması sonucu ortaya çıkmıştır. Şekil 3: 100 iterasyon için hesaplama süresinin eleman sayısına bağlı değişimi. Sonuç olarak, sadece faz ile sentezleme probleminde, Jacobian matrisi analitik ya da nümerik olarak hesaplanarak Newton Raphson metoduyla hedeflenen örüntünün elde edilebildiği gösterilmiştir. Farklı örüntüler için elde edilen sonuçlar konferansta sunulacaktır. Kaynaklar [1] Ercil, E., "An alternative method for phase only array pattern synthesis," 2012 IEEE Antennas and Propagation Society Uluslararası Sempozyumu (APSURSI), , sf.1,2, 8-14 Temmuz 2012.