ÖNGÖRÜ TEKNĐKLERĐ ÖDEV 5 (KEY) Aşağıda verilen Y zaman sersisi bir ürünle ilgili satışları,aylar itibariyle, gösteren bir seridir. a) Bu serinin garfiğini çizip serinin taşıdığı desenleri (Trend, mevsimsellik vb.) belirtiniz. b) Mevsimlik değişimleri ve genel terndi yansıtacak bir regresyon modeli önerip bu modelin parametrelerini tahmin ediniz.(Gerekli olduğunu düşündüğünüz kukla (Dummy) değişkenleri ekleyiniz.) c) Önerdiğiniz model için yapılan analizleri irdeleyerek bu modelin: anlamlı olup olmadığını; modele dahil edilen bağımsız değişkenler arasında çoklu korelasyon olup olmadığını; hata terimleri arasında seri korelasyon olup olmadığını; hata terimlerinin dağılımının sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı olup olmadığını test ediniz. d) Yukarıda önerdiğiniz modeli iyileştirmek amacıyla bağımsız değişkenler grubuna yeni bir değişken olarak z = t 2 yi dahil edip b) ve c) deki analizleri bir kez daha yapınız. Bu Model b) de önerilen modelden daha iyi bir model midir? Neden? e) b) ve d) de önerilen modellerden hangisi daha iyi ise onu kullanarak 5.ci yılın M1 ile M12 arasındaki aylarının her biri için öngörü değerlerini hesaplayınız. Eğer 5.ci yılın aylar itibariyle gerçekleşen satışları aşağıda verildiği gibi ise öngörü değerlerinzi kullanarak bu son 12 ay için modelinizin verdiği RMSE değerini hesaplayınız. aylar M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 t Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 857 921 1071 1133 1209 1234 1262 1258 1175 1174 1123 1159 1250 1289 1448 1497 1560 1586 1597 1615 1535 1543 1493 1510 Aylar M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 t Y 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 1604 1643 1795 1868 1920 1953 1980 1989 1897 1910 1854 1957 1955 2008 2171 2202 2288 2314 2343 2339 2339 2267 2206 2226 1 Cevaplar a) Y serisi hem pozitif trend, hem de ayları mevsim kabul eden bir desen içermektedir. Time Series Plot of Y 2500 2250 2000 Y 1750 1500 1250 1000 1 5 10 15 20 25 Index 30 35 40 45 b) Y serisi zaman, t, ve ayların etkisini yansıtan bir doğrusal regresyonla modellenebilir. Bu amaçla 12 ayın etkilerini yansıtmak amacıyla m1’i baz alan m2-m12 arasında sembollerle gösterilen 11 dummy değişken yaratılıp modele dahil edildi. Analiz sonuçları ve model parametrelerinin tahmin değerleri aşağıdaki tablolarda verilmiştir. Regression Analysis: Y versus t; m2; ... The regression equation is Y = 840 + 30,3 t + 18,4 m2 + 144 m3 + 167 m4 + 206 m5 + 204 m6 + 197 m7 + 171 m8 + 77,3 m9 + 33,9 m10 - 50,9 m11 - 37,3 m12 Predictor Constant t m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 Coef 839,995 30,3424 18,41 144,07 167,47 206,38 203,54 196,95 171,35 77,26 33,92 -50,92 -37,27 S = 18,4894 SE Coef 9,987 0,1989 13,08 13,08 13,09 13,10 13,11 13,13 13,15 13,17 13,20 13,22 13,26 R-Sq = 99,9% T 84,11 152,54 1,41 11,01 12,80 15,76 15,52 15,00 13,03 5,87 2,57 -3,85 -2,81 P 0,000 0,000 0,168 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,015 0,000 0,008 VIF 1,1 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9 R-Sq(adj) = 99,8% Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total DF 12 35 47 SS 8616896 11965 8628861 MS 718075 342 F 2100,50 P 0,000 2 Unusual Observations Obs 36 45 48 t 36,0 45,0 48,0 Y 1957,00 2339,00 2226,00 Fit 1895,05 2282,66 2259,16 SE Fit 9,32 9,91 9,91 Residual 61,95 56,34 -33,16 St Resid 3,88R 3,61R -2,12R R denotes an observation with a large standardized residual. Durbin-Watson statistic = 2,01031 Burada m2 dummy değişkeninin Y deki değişkenliği açıklamaya katkısı ihmal edilecek kadar küçük görülmektedir. Bu modeli biraz daha iyileştirmek gerekirse, m2 modelden çıkarılabilir. Yeni haliyle modelimizin analiz sonuçları aşağıda verilmiştir. Model 2: The regression equation is Y = 849 + 30,3 t + 135 m3 + 158 m4 + 197 m5 + 194 m6 + 188 m7 + 162 m8 + 68,0 m9 + 24,7 m10 - 60,2 m11 - 46,5 m12 Predictor Constant t m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 Coef 849,116 30,3466 134,86 158,26 197,16 194,32 187,72 162,12 68,03 24,68 -60,17 -46,51 S = 18,7399 SE Coef 7,704 0,2016 11,48 11,49 11,50 11,51 11,53 11,55 11,57 11,60 11,63 11,67 R-Sq = 99,9% T 110,22 150,54 11,75 13,78 17,15 16,88 16,28 14,04 5,88 2,13 -5,17 -3,99 P 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000 VIF 1,1 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 R-Sq(adj) = 99,8% Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total DF 11 36 47 SS 8616218 12643 8628861 MS 783293 351 F 2230,44 Fit 1895,08 2282,74 2259,24 SE Fit 9,45 10,05 10,05 Residual 61,92 56,26 -33,24 P 0,000 Unusual Observations Obs 36 45 48 t 36,0 45,0 48,0 Y 1957,00 2339,00 2226,00 St Resid 3,83R 3,56R -2,10R R denotes an observation with a large standardized residual. Durbin-Watson statistic = 2,08586 Bu modelin bir önceki modelden daha iyi olduğunu görüyoruz. Multi-colinearity ve serial correlation sorunları olmayan bir model (D-W istatistiği ve VIF değerelerine bakarak) olduğu görülmektedir. Residual (Hata terimleri analizi aşağıda verimiştir.) 3 Descriptive Statistics: RESI1 Variable Maximum RESI1 61,92 N 48 Mean 5,24025E-14 SE Mean StDev Minimum 2,37 16,40 -33,24 Q1 Median -7,69 -0,295 Q3 5,99 Hataların Ortalaması yaklaşık olarak sıfır olup rassallık özellikleri taşımaktadır. Ancak hataların dağılımının normal olduğu hipotezi ret edilmektedir. (Kolmogorov-Smirnov testinde p-value<0.01 olduğu görülmektedir.) ACF ve PACF grafiklerinde herhangi bir güçlü korelasyon görülmemektedir. DW=2,08586 olup bu da serial korelasyon olmadığının işaretidir. Modelin verdiği öngörü değerleri ile gerçekte gözlemlenen Y değerleri serisinin aynı eksenler sistemindeki grafiği de modelin ne kadar iyi uyum sağladığını göstermektedir. grafiğin görsel olarak yansıttığını sayısal olarak R2(adj)= %99,8 olup buda doğrulamaktadır.. P r o b a b ilit y P lo t o f R E S I1 N o rm a l 99 M ean S tD e v N KS P -V a l u e 95 90 5 , 2 1 0 6 4 7 E -1 4 1 6 ,4 0 48 0 ,1 6 4 < 0 ,0 1 0 Percent 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 -5 0 -2 5 0 25 50 75 R ES I1 P a r tia l Au to c o r r e la tio n F u n c tio n fo r R E S I1 (w it h 5 % s ig n ific a n c e lim it s fo r t h e p a rt ia l a u t o c o rre la t io n s ) 1,0 Partial Autocorrelation 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0 , 2 -0 , 4 -0 , 6 -0 , 8 -1 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 La g 4 Au to c o r r e la tio n F u n c tio n fo r R E S I1 (w ith 5 % s ig n ific a n c e lim its fo r th e a u to c o rre la tio n s ) 1 ,0 0 ,8 Autocorrelation 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0 -0 ,2 -0 ,4 -0 ,6 -0 ,8 -1 ,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 La g T im e S e r ie s P lo t o f Y ; F IT S 1 2500 V a ri a b l e Y F IT S 1 2250 Data 2000 1750 1500 1250 1000 1 5 10 15 20 25 In d e x 30 35 40 45 5 d) t-sq modele dahil edilirse ne olur sorusunu yanıtlamak amacıyla gerekli regresyon analizleri yapıldı ve aşağıdaki sonuçlar elde edildi. Regression Analysis: Y versus t; t-sq; ... The regression equation is Y = 840 + 30,3 t - 0,0000 t-sq + 18,4 m2 + 144 m3 + 167 m4 + 206 m5 + 204 m6 + 197 m7 + 171 m8 + 77,3 m9 + 33,9 m10 - 50,9 m11 - 37,3 m12 Predictor Constant t t-sq m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 Coef 839,98 30,3442 -0,00004 18,41 144,06 167,47 206,38 203,54 196,94 171,35 77,26 33,92 -50,92 -37,27 S = 18,7593 SE Coef 11,86 0,8007 0,01581 13,27 13,27 13,28 13,30 13,31 13,33 13,35 13,37 13,39 13,42 13,45 R-Sq = 99,9% T 70,81 37,90 -0,00 1,39 10,85 12,61 15,52 15,29 14,78 12,84 5,78 2,53 -3,80 -2,77 P 0,000 0,000 0,998 0,174 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,016 0,001 0,009 VIF 16,8 16,7 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9 R-Sq(adj) = 99,8% Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total DF 13 34 47 SS 8616896 11965 8628861 MS 662838 352 F 1883,53 Fit 1895,06 2282,65 2259,15 SE Fit 9,54 10,72 11,42 Residual 61,94 56,35 -33,15 P 0,000 Unusual Observations Obs 36 45 48 t 36,0 45,0 48,0 Y 1957,00 2339,00 2226,00 St Resid 3,83R 3,66R -2,23R R denotes an observation with a large standardized residual. Durbin-Watson statistic = 2,01030 6 Burada multi-colinearity sorunu(VIF değerleri t ve t-sq için çok yüksek çıktı) var. t-sq ve m2 nin katsayıları (model parametre değerleri) sıfır olabilir şeklinde yorumlanacağı için önce m2 değişkenini modele dahil etmesek ne olur sorusunu yanıtlayalım. Regression Analysis: Y versus t; t-sq; ... The regression equation is Y = 849 + 30,4 t - 0,0003 t-sq + 135 m3 + 158 m4 + 197 m5 + 194 m6 + 188 m7 + 162 m8 + 68,0 m9 + 24,7 m10 - 60,2 m11 - 46,5 m12 Predictor Constant t t-sq m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 Coef 849,00 30,3613 -0,00030 134,85 158,25 197,15 194,31 187,71 162,12 68,02 24,67 -60,17 -46,51 S = 19,0056 SE Coef 10,05 0,8112 0,01602 11,64 11,65 11,67 11,68 11,70 11,72 11,74 11,77 11,80 11,84 R-Sq = 99,9% T 84,44 37,43 -0,02 11,58 13,58 16,90 16,63 16,04 13,83 5,79 2,10 -5,10 -3,93 P 0,000 0,000 0,985 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,043 0,000 0,000 VIF 16,8 16,7 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 R-Sq(adj) = 99,8% Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total DF 12 35 47 SS 8616219 12642 8628861 MS 718018 361 F 1987,80 Fit 1895,10 2282,67 2259,14 SE Fit 9,66 10,86 11,57 Residual 61,90 56,33 -33,14 P 0,000 Unusual Observations Obs 36 45 48 t 36,0 45,0 48,0 Y 1957,00 2339,00 2226,00 St Resid 3,78R 3,61R -2,20R R denotes an observation with a large standardized residual. Durbin-Watson statistic = 2,08572 Multi colinearity hala bir önemli kusur olarak kaldı. t ve t-sq arasında var olan yüksek korelasyon her iki değişkenin de modelde aynı zamanda yer almamasını gerektirir. Ayrıca bu modelin verdiği R-sq(adj) değeri ile denen ikinci modelinki aynıdır (%99,8). Sonuç: t-sq değişkenimi içeren model bir önceki modelden daha iyi değildir. . 7 e) Beşinci yıl için öngörü değerleri hesaplanırken ikinci modelin verdiği regresyon debkleminde t=49-60 arası değerler ile m3-m12 için dummy değişken değerleri konulup aşağıdaki Y-hat değerleri elde edildi. Böylece elde edilen öngörü değerlerini de içeren Y ve Y-hat zaman serilerinin grafikleri aşağıda verildiği gibi olup son 12 dönem için elde edilen değerlerin grafiği hem trendi hem de mevsimlik etki desenlerini yansıtmaktadır. Bu haliyle bakıldığında önerilen ikinci modelin vereceği öngörü değerlerine güvenebileceğimiz kanısına varabiliriz. Sonuç olarak: ikinci model tercih edilmelidir. t 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Aylar M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 m3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 m5 m6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 m8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 m9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 m10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 m11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 m12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Y-hat 2336,001 2366,346 2531,551 2585,295 2654,54 2682,044 2705,789 2710,534 2646,788 2633,783 2579,277 2623,282 Time Series Plot of Y; FITS1 Variable Y FITS1 2500 Data 2000 1500 1000 1 6 12 18 24 30 36 Index 42 48 54 60 8