11/28/2014 IENG 202 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI PAU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2014-2015 Güz Yarıyılı DUYARLILIK ANALIZI Dr. Leyla DEMİR Bu sunum PAU Endüstri Mühendisliği Öğretim Üyesi Dr. Özcan Mutlu’nun Yöneylem Araştırması Ders Notlarından derlenerek hazırlanmıştır. 28.11.2014 Duyarlılık Analizi IENG 202-Dr. Leyla Demir 2 Duyarlılık Analizi • Duyarlılık analizi bir doğrusal programlama modelinin optimum çözümü değişmeyecek şekilde problemdeki parametrelerin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin belirlenmesidir. 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir • DP modellerinde duyarlılık analizi parametrelerdeki değişimlere bağlı olarak genel olarak iki şekilde gerçekleştirilir: 1. Amaç fonksiyonunun katsayılarındaki değişime göre duyarlılık analizi 2. Sağ taraf sabitlerindeki değişime göre duyarlılık analizi 3 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 4 1 11/28/2014 Amaç fonksiyonunun katsayılarındaki değişime göre duyarlılık analizi Giapetto örneği • Amaç fonksiyonunun katsayılarındaki değişimlere göre duyarlılık analizi yapılırken en iyi çözümün korunabilmesi için amaç fonksiyonundaki katsayıların hangi aralıkta değişmesi gerektiği belirlenir. Giapetto tahtadan oyuncak asker ve tren yapmaktadır. Satış fiyatları, bir oyuncak asker için $27, bir oyuncak tren için $21'dır. Bir asker için $10'lık hammadde ve $14'lık işçilik kullanılmaktadır. Bir tren için ise söz konusu rakamlar sırasıyla $9 ve $10'dır. Her bir asker için 2 saat cilalama ve 1 saat marangozluk gerekirken, her bir tren için 1 saat cilalama ve 1 saat marangozluk gerekmektedir. Eldeki hammadde miktarı sınırsızdır, fakat haftada en çok 100 saat cilalama ve 80 saat marangozluk kullanabilen Giapetto'nun haftada en fazla 40 oyuncak asker satabileceğini göz önünde bulundurarak karını enbüyüklemek için hangi oyuncaktan haftada kaç adet üretmesi gerektiğini bulunuz. 28.11.2014 25.09.14 IENG 202-Dr. Leyla Demir 5 IENG 202- Dr. Leyla Demir 6 Sağ taraf sabitlerindeki değişime göre duyarlılık analizi • Sağ taraf sabitlerine göre duyarlılık analizinde eldeki kaynakların değişmesi durumunda eldeki en iyi çözümün bundan etkilenip etkilenmeyeceği araştırılır. • Bir başka ifade ile sağ taraf sabitinin hangi değerleri için eldeki en iyi çözümün değişmeyeceği belirlenir. Giapetto Örneği 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 7 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 8 2 11/28/2014 Giapetto Örneği DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 9 28.11.2014 Giriş IENG 202-Dr. Leyla Demir 10 Kanonik Modelin Duali • Her doğrusal programlama modeli dual olarak isimlendirilen bir başka matematiksel modele sahiptir. • Dual modeller problem hakkında karar vericilere bir takım ek bilgiler sağlamaktadır. • Aynı zamanda bazı durumlarda asıl modeli çözmek yerine dual model çözülerek daha kolay bir şekilde çözüme ulaşılmaktadır. • Asıl ve dual modeller arasındaki ilişkilerden faydalanılarak dual simpleks algoritması geliştirilmiştir. 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir • Bir doğrusal programlama probleminde: – Amaç fonksiyonu maksimizasyon iken tüm kısıtlar (≤) şeklinde – Amaç fonksiyonu minimizasyon iken tüm kısıtlar (≥) şeklinde ise bu modele kanonik biçim denir. 11 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 12 3 11/28/2014 Asıl ve Dual Model Arasındaki İlişkiler Asıl ve Dual Model Arasındaki İlişkiler • Asıl modelde n tane değişken bulunurken dual modelde n tane kısıt bulunur. Başka bir ifade ile asıl modeldeki her bir değişkene dual modelde bir kısıt karşı gelmektedir. • Asıl modelde m tane kısıt bulunurken dual modelde m tane değişken bulunur. Başka bir deyişle asıl modeldeki her kısıta dual modelde bir değişken karşılık gelmektedir. • Asıl modelin amaç fonksiyonu maksimizasyon ise, dual modelin amaç fonksiyonu minimizasyondur. Aynı şekilde asıl modelin amaç fonksiyonu minimizasyon ise, dual modelin amaç fonksiyonu maksimizasyondur. • Asıl modeldeki sağ taraf sabitleri dual modelin amaç fonksiyonunun katsayılarıdır. • Asıl modelin amaç fonksiyonunda yer alan katsayılar, dual modelin kısıtlarındaki sağ taraf sabitleridir. • Dual modelde kısıtların yönü asıl modeldeki kısıtların yönünün tersidir. • Asıl modelde i. kısıttaki j. karar değişkeninin katsayısı aij iken, dual modelin j. kısıtındaki i. dual değişkenin katsayısı aji’dir. • Her iki modelde de karar değişkenleri negatif değer alamazlar. Dual model asıl modelin transpozudur. 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 13 28.11.2014 Dakota Mobilya Örneği IENG 202-Dr. Leyla Demir 15 14 Genel Modelin Duali • Dakota mobilya sıra, masa ve sandalye üretimi yapan bir şirkettir. Her ürün için tabloda görüldüğü gibi, sınırlı miktarda kullanılabilen tahta, marangozluk ve cilalama işçiliği gerekmektedir. Aynı tabloda ürünlerin satış fiyatları da verilmiştir. Şirketin haftalık gelirini maksimize edecek üretim planını oluşturunuz. 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 16 4 11/28/2014 Özellikler 1. Asıl modelde bir kısıt kanonik biçime göre ters yönde ise bu kısıta karşı gelen dual değişken pozitif değer alamaz. 2. Asıl modelde bir kısıt eşitlik şeklinde ise dual modelde bu kısıta karşı gelen dual değişken işaretçe serbesttir. 3. Asıl modelde herhangi bir xj ≤ 0 ise dual modelde bu değişkene karşılık gelen kısıtın yönü kanonik biçime göre terstir. 4. Asıl modelde bir karar değişkeni serbest ise dual modelde bu değişkene karşı gelen kısıt eşitlik şeklinde ifade edilir. 28.11.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 17 5