˘
1.2. Noktasal Limit Fonksiyonun Sureklili
gi
¨
1.2
7
Noktasal Limit Fonksiyonun S¨
ureklili˘
gi
X ⊂ R i¸cin C(X) uzayının ¸ce¸sitli ¨
ozelliklerinin ¸calı¸sılması matematik b¨ol¨
umerinin ”olmazsa olmaz” ko¸sullarından biridir. Temel sorulardan biri ¸s¨oyledir:
fn ∈ C([a, b]) olmak u
¨zere, her x ∈ [a, b] i¸cin limn fn (x) limiti olsun.
f : X → R, f (x) = limn fn (x)
olarak tanımlanan fonksiyon s¨
urekli midir? Bu sorunun yanıtı a¸sa˘gıdaki teoremdir.
Teorem 1.2. (Iseki[1958] ve Onuchic[1957]) T¨
um¨
uyle d¨
uzg¨
un bir X uzayı
i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir.
(i) X, P -uzaydır.
(ii) S¨
urekli fonksiyonlar dizisinin noktasal limiti s¨
ureklidir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): f ∈ RX , C(X) deki (fn ) dizisinin noktasal limiti olsun.
a ∈ X ve > 0 verilsin. Her n i¸cin fn s¨
urekli oldu˘gundan,
x ∈ Un =⇒ |fn (a) − fn (x)| < ¨onermesini sa˘glayan a ∈ Un a¸cık k¨
umesi vardır.
U = ∩n Un
olsun. X, P -uzayı oldu˘
gundan U a¸cıktır. x ∈ U verilsin. Her n i¸cin
|fn (a) − fn (x)| < e¸sitsizli˘gi sa˘glandı˘
gından, n u
¨zeinden limit alınarak
|f (a) − f (x)| < e¸sitsizli˘gi elde edilir. B¨
oylece f ’nin a ∈ X noktasında s¨
urekli oldu˘gu g¨osterilmi¸s
olur. a noktasının keyfi olmasından da, f ’nin s¨
urekli olsu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
(ii) =⇒ (i): f ∈ C(X) verisin. Her n ∈ N i¸cin,
Un = {x ∈ X : |fn (x)| < n1 }
olarak tanımlıyalım.
Z(f ) = ∩n Un
oldu˘gunu aklimızda tutalım. Varsayalım ki Z(f ) a¸cık k¨
ume de˘gil.
a ∈ Z(f ) \ Z(f )0
8
1. P -Uzayları
se¸cebiliriz. Her n i¸cin X \Un kapalı ve a ∈ X \Un oldu˘gundan, X’nin tamamıyle
d¨
uzg¨
un olmasından
fn (a) = 1, fn (X \ Un ) ⊂ {0} ve 0 ≤ fn ≤ 1
¨ozelliklerine sahip bir fn ∈ C(X) vardır. Her n i¸cin
gn : X → R, gn (x) = min{f1 (x), ..., fn (x)}
olarak tanımlansın. gn fonksiyonları s¨
urekli ve azalandır, yani her x ∈ X ve
her n i¸cin
gn+1 (x) ≤ gn (x)
olur. Ayrıca 0 ≤ gn ≤ 1 oldu˘
gundan (gn ) dizisinin noktosal limit fonksiyonu g : X → R vardır. Varsayım gere˘gi g s¨
ureklidir. g, a noktasında s¨
urekli
oldu˘gundan a ∈ V ve
x ∈ V =⇒ |g(x) − g(a)| <
1
2
o¨zelli˘ginde a¸cık bir V k¨
umesi vardır. a ∈ V ve a 6∈ Z(f )o oldu˘gundan V 6⊂ Z(f )
olur ve bir
x ∈ V \ Z(f )
elemanı mevcuttur. Dolayısıyla bazı n0 ’lar i¸cin x 6∈ Un0 ve Un ’ler azalan
oldu˘gundan her n ≥ n0 i¸cin
gn (x) = 0
olur. g’nin tanımından g(x) = 0 elde edilir.
g(a) = limn fn (a) = 1
olması g¨oz¨on¨
une alarak
1 = |g(a) − g(x)| <
1
2
¸celi¸skisi elde edlir. B¨
oylece Z(f )o ⊂ Z(f ) olmasından Z(f ) = Z(f )o olur.
Z(f )’nin a¸cık oldu˘
gu g¨
osterilmi¸s olur. f ’nin keyfi olmasından dolayı, X’nin
P -uzayı oldu˘
gu g¨
osterilmi¸s olur.
Alı¸stırmalar
1.1. C([0, 1]) uzayında noktosal limit fonksiyonun s¨
urekli olmayabilece˘
gini g¨
osteriniz.
© Copyright 2024 Paperzz
