1. Topolojik Uzaylar
Bo¸s k¨
umeden farklı bir X k¨
umesi u
¨zerindeki topoloji1 τ , topoloji aksiyomları
olarak adlandırılacak aksiyomları sa˘
glayan P(X)’nin bir alt k¨
umesidir. Bu
durumda (X, τ ) ikilisine topolojik uzay denilir.
Topolojik uzay kavramının en temel motivasyonlarından biri metrik uzaylar kavramıdır ki-metrik uzay kavramının motivasyonu da ger¸cel sayılar k¨
umesi
u
¨zerindeki iki nokta arasındaki farkın mutlak de˘gerini, bu iki nokta arasındaki
uzaklık olarak tarifleyen kavramının genellenmesidir.
Bu b¨ol¨
umde topolojik uzay kavramı tanım sayılabilecek d¨
uzeyde verilerek, verilen bir k¨
ume u
¨zerinde temel topoloji u
¨retme y¨ontemi verilecektir.
Sonrasında (X, τ ) topolojik uzayında X’nin elemanları ve τ ’nın elemanları
arasındaki bazı ili¸skilerden yola ¸cıkarak temel bazı ”ayrı¸sım” t¨
urleri verilecektir.
1.1
Topolojik Uzay
Topolojik uzayın tanımı a¸sa˘
gıdaki gibidir.
Tanım 1.1. (Kuratowski, 19222 ) X bo¸s k¨
umeden farklı bir k¨
ume olmak u
¨zere,
∅ ve X’i i¸ceren, sonlu arakesit i¸slem kapalı ve keyfi birle¸sim i¸slem kapalı
τ ⊂ P(X) k¨
umesine, X u
¨zerinde topoloji ve (X, τ ) ikilisine topolojik uzay
denir.
Yaygın olarak topolojik uzay kavramı a¸sa˘gıdaki yazılım bi¸ciminde verilir: X bo¸s k¨
umeden farklı bir k¨
ume olmak u
¨zere, bir τ ⊂ P(X) k¨
umesi
i¸cin a¸sa˘gıda verilen topoloji aksiyomları olarak adlandırılan T 1, T 2 ve T 3
¨ozelliler sa˘glınıyor ise (X, τ ) ikilisine topolojik uzay denir.
1
Akademik anlamda topoloji c¸lı¸smaların ba¸slangı¸c noktası Leonhard Euler’in Konigsberg’in Yedi K¨
opr¨
us¨
uu
¨zerine 1736 yılında yazmı¸s oldu˘
gu makale olarak bilinir. ”Topology”
kelimesi almanca olarak ilk kez Johann Benedict Listing tarafından Vorstudien zur Topologie
tarafından kullanılmı¸stır.
2
Bu tanım Hausdorff tarafından 1914 yılında verilen ve g¨
un¨
um¨
uzde Hausdorff Uzayı
olarak bilinen tanımdan, Hausdorff aksiyomu olarak adlandırılan aksiyomun c¸ıkartılmasıyla
elde edilmi¸s olan bir tanımdır.
2
1. Topolojik Uzaylar
(T1) ∅,X ∈ τ .
(T2) U , V ∈ τ ise U ∪ V ∈ τ .
(T3) I 6= ∅ ve her i ∈ I i¸cin Ui ∈ τ ise ∪i∈I Ui ∈ τ .
Pratiksel a¸cıdan, s¨
oylenmek istenen anla¸sılıyor ise (X, τ ) topolojik uzayı yerine, X topolojik uzayı diyebilece˘
giz.
Bo¸s k¨
umeden farklı bir X k¨
umesi u
¨zerindeki topolojilerin k¨
umesi T op(X)
ile g¨osterelim. T op(X) 6= ∅ oldu˘
gu barizdir. Ger¸cekten
τ0 = {∅, X}
ve
τ1 = P(X)
olmak u
¨zere τ0 ve τ1 ∈ T op(X) dir. Burada τ0 ’a en kalın topoloji ve τ1 ’ye ise
en ince topoloji denir. T op(X) kapsama sıralamasına g¨ore, en k¨
uc¸u
¨k elemanı
en kaba topoloji ve en b¨
uy¨
uk elemanı en ince topoloji olan sıralı bir k¨
umedir.
τ0 , τ1 ∈ T op(X) olan u
¨zere, τ0 ≤ τ1 ise, yani τ0 ⊂ τ1 ise, τ0 , τ1 ’den daha
kalındır ya da τ1 , τ0 ’dan daha incedir denir.
T op(X)’nin kardinalitesinin ne oldu˘gu sorusu anlamlıdır. Ilk elden,
|P(X)| ≤ |T op(X)| ≤ |P(P(X))|
oldu˘gunu s¨oyleyebiliriz. Ger¸cekten e¸sitsizli˘gin sa˘g tarafı T op(X) ⊂ P(P(X))
olmasındandır. Sol taraf e¸sitsizlik ise
P(X) \ {∅, X} → T op(X),
A → {∅, A, X}
olarak tanımlanan fonksiyonun bir sonucudur. Dolayısı ile genelle¸stirimi¸s continuum hipotezi altında 3 X sonsuz ise,
|P(X)| = |T op(X)|
ya da
|T op(X)| = |P(P(X))|
dir. Yukarıdaki yakla¸sım yerine |T op(X)| daha kesin olarak hesaplanabilir.
Teorem 1.1. (G???) X sonsuz bir k¨
ume olmak u
¨zere,
|T op(X)| = |P(P(X))|
dir.
3
bu hipotezin s¨
oyledi˘
gi: X ve Y sonsuz k¨
umeler ve |X| ≤ |Y | ≤ |P(X)| ise |X| = |Y | ya
da |Y | = |P(X)|¸c Bu ifadenin sayılabilir X k¨
umesi i¸cin ge¸cerli olma durumuna continuum
hipotezi denir.
1.1. Topolojik Uzay
3
Bu teoremin kanıtını vermek i¸cin Stone-Cech kompactlama kavramına kadar
bekleyece˘giz.
Alı¸stırmalar
1.1. X bo¸sk¨
umeden farklı bir k¨
ume ve A ⊂ P(X) verilsin.
τ0 = {∩B : B ⊂ A
sonlu}
ve
τ = {∪U : U ⊂ τ0 } ∪ {∅, X}
olarak tanımlıyalım.
(i) τ ∈ T op(X).
(i) T ∈ T op(X) ve A ⊂ T ise τ ⊂ T .
olduklarını g¨
osteriniz. τ topolojisine, A tarafından u
¨ retilen topoloji denir.
1.2. X bo¸sk¨
umeden farklı bir k¨
ume olmak u
¨zere T op(X)’nin Dedekind complete lattice4
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.3. X bo¸sk¨
umeden farklı bir k¨
ume olamak u
¨zere, verilen A ⊂ P(X) k¨
ume tarafından
u
¨retilen topolojiyi τA ile g¨
osterelim.
ϕ : P(P(X)) → T op(X),
ϕ(A) = τA
olarak tanımlanan fonksiyonun ¨
orten oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.4. Bir elemanlı bir X k¨
umesi i¸cin T op(X)’nin eleman sayı nedir. Aynı soruyu X’nin n
elemanlı olma durumu i¸cin yanıtlamaya c¸alı¸sın.
1.5. τ ∈ T op(X) ve ∅ 6= Y ⊂ X verilsin.
τY = {Y ∩ U : U ∈ τ },
Y u
¨zerinde topoloji, yani, τY ∈ T op(Y ) oldu˘
gunu g¨
osteriniz. (Y, τY ) uzayına uygun bir
isim bulunuz.
1.6. τX ∈ T op(X) ve τY ∈ T op(Y ) olamak u
¨zere,
τX×Y = {U × V : U ∈ τX , V ∈ τY }
olarak tanımlansın. τX×Y ∈ T op(X × Y ) oldu˘
gunu g¨
osteriniz. (X × Y, τX×Y ) topolojik
uzayına uygun bir isim ne olabilir?
1.7. ∅ 6= Y ⊂ X olarak verilsin. τ ∈ T op(Y ) ise, τ ∪ {∅, X} ∈ T op(X) oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
4
Bir kısmı sıralı k¨
umenin u
¨stten ve alttan sınırlı ve bo¸sk¨
umeden farklı her alt k¨
umenin
supremumu ve infimumu var ise, kısmı sıralı k¨
umeye Dedekind complete denir.
© Copyright 2024 Paperzz
