16
1. Kompaktlık
1.7
Dizisel Kompakt Uzaylar
Bir topolojik uzayın sayılabilir kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun
uzayda alınan her dizinin yakınsak bir altnetinin olmasına denk oldu˘gu kanıtlanmı¸stı.
Bu g¨ozlemde ge¸cen ”altnet” teriminin ”altdizi” terimiyle de˘gi¸stirilip ya da
de˘gi¸stiriemeyece˘
gini sorgulamak anlamlıdır. A¸sa˘gıdaki ¨ornek de˘gi¸stirilemeye˘gini
g¨osterir.
¨
Ornekler
1.24. {0, 1} ayrık topolojik uzay olamk u
¨zere X = {0, 1}[0,1) c¸arpım uzayı kompakt (ve dolayısıyla sayılabilir kompakt) fakat dizisel kompakt de˘
gildir: Her x ∈ [0, 1) i¸cin
x = 0.r1 r2 ...
ve kuyruk kımı sadece 1 lerden olu¸smayan tek birtane (rn ) dizisi vardır. x’e ba˘
glı bu
diziyi (rn (x)) ile g¨
osterelim. X uzayında (fn ) dizisi
fn (x) = rn (x)
olarak tanımlansın. Varsayalık ki, (fn ) dizisinin yakınsak bir (fnk ) altdizisi vardır. (rn )
dizisi rn2k = 1 ve ve digir durumlar i¸cin 0 olmak u
¨zere
x = 0.r1 r2 ...
gildir ki, bu c¸eli¸skidir.
olamk u
¨zere, (fnk (x)) dizisi yakınsak de˘
Yukarıdaki ¨orne˘
gin a¸sa˘
gıdaki tanımı anlamlı yaptı˘gı barizdir.
Tanım 1.5. Bir topolojik uzayda her dizinin yakınsak bir altdizisi varsa, o
uzaya dizisel kompakt denir.
Ikinci dereceden sayilabilir topolojik uzaylarda sayılabilir kompaktlık ve
dizisel kompaktlık c¸akı¸sır.
Teorem 1.13. X birinci dereceden sayılabilir topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler
denktir.
(i) X sayılabilir kompakt.
(ii) X dizisel kompakt.
Kanıt: Dizisel kompakt uzayların sayılabilir kompakt oldu˘gu zaten ifade
edilmi¸sti. X’nin sayılabilir kompakt oldu˘gunu varsayalım. (xn ), X’de bir dizi
olsun. X sayılabilir compact oldu˘
gundan, (xn )’nin bir x ∈ X yı˘gılma noktası
vardır. X birinci dereceden sayılabilir oldu˘gundan, x noktasının {Un : n ∈ N}
a¸cık a¸cık tanabı vardır. Yani U a¸cık ve x ∈ X ise en az bir n i¸cin Un ⊂ U
dır. Her n i¸cin Un+1 ⊂ Un oldu˘
gunu varsayabiliriz. xnk ∈ Ui olacak bi¸cimde
(xn )’nin (xnk ) altdizisinin oldu˘
gu barizdir. Ayrıca xkn → x oldu˘gu da barizdir.
A¸sa˘gıdaki ¨ornek dizisel kompaktlı˘
gın kompaktlıklı˘gı gerektirmeyece˘gini s¨oyler.
Alı¸stırmalar
1.7. Dizisel Kompakt Uzaylar
17
1.25. w1 ordinal uzayı dizisel kompakt olup, kompakt olmayan bir uzaydır.
A¸sa˘gıdaki Theorem kompaktlık ve dizisel kompactlık kavramlarının ne zaman
¸cakı¸stı˘gı ile ilgilidir.
Teorem 1.14. X ikinci dereceden sayılabilir uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
(i) X kompact.
(ii) X dizisel compact tır.
Kanıt: (ii) =⇒ (i): V = {Vn : n ∈ N}, X’nin sayılabilir tabanı olsun. (ii)’nin
ger¸ceklensin fakat X kompakt olmasın. Bu durumda X’nin alt¨ort¨
us¨
u olmayan
U = {Ui : i ∈ I} a¸cık ¨
ort¨
us¨
u olsun. Her i ∈ I i¸cin,
Ui = ∪Ui
¨ozelli˘ginde Ui ⊂ U oldu˘
gundan, U ⊂ V oldu˘gunu varsayabiliriz. Dolayısı ile
U = {Uk : k ∈ N}
olarak ele alabiliriz. Her n ∈ N i¸cin
Tn = ∪nk=1 Uk
diyelim. Ama¸c a¸cısından her n i¸cin Tn =
6 Tn+1 oldu˘gunu varsayabiliriz. {Tn :
n ∈ N}, X’nin bir a¸cık ¨
ort¨
us¨
u ve her n i¸cin Tn 6= X dir. X uzayında (xn )
dizisini
xn ∈ Tn+1 \ Tn
¨ozelli˘ginde se¸celim. X dizisel compact oldu˘gunan, (xn )’nin yakınsak bir altdizisi (xkn ) vardır. xnk → x diyelim. x ∈ Ui ¨ozelli˘ginde i ∈ N alalım. Ayrıca,
her k ≥ k0 i¸cin xnk ∈ Ui ¨
ozelli˘
ginde k0 vardır. i < nk0 +j ¨ozelli˘ginde j se¸celim.
Buradan,
xnk0 +j ∈ Unk0 +j +1 \ Unk0 +j
oldu˘gundan,
xkn0 +j 6∈ Ui
elde edilir ki, bu bir ¸celi¸skidir.
(i) =⇒ (ii): Ikinci dercede sayılabilir uzaylarda kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık aynıdır. Ayrıca X dizisel kompaktsa sayılabilir kompact oldu˘gundan
kompakttır.
Teorem 1.15. (Xn ) topolojik uzayların bir dizisi ve X, bu uzayların ¸carpım
uzayı olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
18
1. Kompaktlık
(i) X dizisel kompakt.
(ii) her n i¸cin Xn dizisel kompakt dir.
Kanıt: (ii) =⇒ (i): (zn ), X’de bir dizi olsun. Her n i¸cin
zn = (xi,n )i
olarak yazabiliriz. (x1,n ), X1 ’de bir dizi ve X1 dizisel compact oldu˘gundan, (n)
dizisinin
x1,σ1 (n) → x1
o¨zelli˘ginde bir (σ1 (n)) bir altdizisi vardır. (x2,σ1 (n) ), X2 de bir dizi ve X2 ,
dizisel compact oldu˘
gundan, (σ1 (n)) dizisinin
x2,σ2 (n) → x2
¨ozelli˘ginde, (σ2 (n)) alt dizisi vardır. Bu g¨ozlem kullanılarak, t¨
umevarımla her
i i¸cin
- (σi+1 (n)), (σi (n))’nin altdizisi,
- xi,σi (n) → xi
o¨zelli˘ginde N’de (σi (n)) dizisi ve xi ∈ Xi vardır. Her n ∈ N i¸cin kn = σn (n)
olarak tanımlıyalım. n < m i¸cin kn < km oldu˘gu a¸cıktır. x = (xi ) ∈ X. Her i
i¸cin, (σn (n))n≥i , dizisi (σi (n))n≥i ’nin bir altdisisi ve xi,σi (n) → xi oldu˘gundan,
xi,σn (n) → xi
dir. C
¸ arpım topolojisindeki yakınsama noktosal yakınsama oldu˘gundan,
zσn (n) = (xi,σn (n) )i∈N → (xi )i∈N = x
elde edilir. Bu kanıtı tamamlar.
Alı¸stırmalar
1.26. (Levine [1976]) X kompakt topolojik uzay ve |X| ≤ ℵ1 ise, X’nin dizisel kompakt
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
¨
1.27. (Ronald [1974]) X dizisel kompakt uzay olmasın. Oyle
bir topolojik uzay Y vardır ki,
X ⊂ Y , |Y \ X| = 1 ve X, Y ’de a¸cıktır. G¨
osteriniz.
1.28. X dizisel uzay olsun. X’nin dizisel kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun sayılabilir
kompakt olması gerekt˘
gini g¨
osteriniz.
© Copyright 2024 Paperzz
