HALKA ALT HALKA - Ege Üniversitesi

Yrd. Doç. Dr. Tahsin ONER
Ege Üniversitesi
2009-2010 Yaz Okulu
HALKA
1. ( R, ,.) birimli ve de i meli bir halka olsun. Her a, b R için
a
b
a b 1 ve a
b
ab a b
olarak tan mlans n. ( R, , ) nin bir halka oldu unu gösteriniz.
2. S bir küme ve P( S ) , S nin tüm alt kümelerinin kümesi olsun. A, B
A B
( B A) ve A.B
( A B)
A
P( S ) için
B
olarak tan mlans n. ( P( S ), ,.) nin bir de i meli halka oldu unu gösteriniz.
3. R birimli bir halka, a, b R ve ab ba 1 , a 2b ba 2
a olsun. a n n tersinin a
1
2b
oldu unu gösteriniz.
4. R birimli bir halka olsun.
(a)
Gösteriniz: 1 x in tersi 1 y dir ancak ve ancak y x
y
(b)
xy
yx olacak ekilde bir
R vard r.
Gösteriniz: 1 xy in tersi vard r ancak ve ancak 1 yx in tersi vard r.
5. Tan m R bir halka olsun. Her a
R için a 2
a ise R ye bir Boole halkas denir.
Buna göre, R bir Boole halkas olmak üzere a a daki önermelerin do ruluklar n
gösteriniz.
(a) Her a
R için a
a d r.
(b) R de i melidir.
(c) a, b, c
R için (a b)(b c)(c a ) 0 R d r.
ALT HALKA
6. (a) A {3k : k
} olsun. A kümesinin
( , ,.) üzerinde bir alt halkas oldu unu
gösteriniz.
(b) A {3k 1: k
olmad
} olsun. A kümesinin
( , ,.) üzerinde bir alt halkas olup
n ara t r n z.
7. R bir halka ve H1 ve H 2 , R nin iki alt halkas olsun. O zaman H1
H 2 , R nin bir alt
halkas m d r? Ara t r n z.
8. R bir halka ve a
R
olsun. I a
{x
R : ax
0} , R nin bir alt halkas oldu unu
gösteriniz.
9. R bir halka, a
R ve Z ( R) {a : ax
xa, x
gösteriniz. ( Z ( R) , R nin merkezi denir.)
1
R} olsun. Z ( R) , R nin bir alt halkas d r,
Yrd. Doç. Dr. Tahsin ONER
Ege Üniversitesi
2009-2010 Yaz Okulu
10. R bir birimli halka, a
R ve a 2
1R olsun. A {axa : x
R} , R nin bir alt halkas d r,
gösteriniz.
DEALLER
11. R de i meli bir halka, a
R ve aR {ar : r
R} olsun. aR nin R nin bir ideali
oldu unu gösteriniz.
12. R bir halka, I ve J, R nin idealleri ve I
J
{i
j :i
I, j
J } olsun. I
J nin de R
nin ideali oldu unu gösteriniz.
13. R { f :
: f türevlenebilir fonksiyon} bir halka olsun. a
(a) S { f
R : f (0) 0} , R nin bir idealidir, gösteriniz.
(b) T
R : f (0) 0} , R nin bir alt halkas d r fakat R nin bir ideali de ildir.
{f
Gösteriniz.
R , R nin bir ideali midir? Ara t n z.
(c) S
HOMOMORF ZMALAR
14. f : R
S bir halka homomorfizmas olsun.
(a) Kan tlay n: Kerf , R nin bir idealidir.
(b) Kan tlay n: f ( R) , S nin bir alt halkas d r.
S bir halka homomorfizmas olsun. Kan tlay n: I , S de bir ideal ise o zaman
15. f : R
f 1 ( I ) , R de bir idealidir.
16. R bir halka ve I ve J, R nin idealleri olmak üzere R1
:R
Ker
R1
R2 , (r ) (r I , r
R / I ve R2
R / J verilsin.
J ) dönü ümü bir halka homomorfizmas d r. Gösteriniz.
yi belirleyiniz.
17. R birimli bir halka ve her x
için f ( x)
x.1R ile tan ml f :
R dönü ümü bir
halka homomorfizmas d r. Gösteriniz.
18.
: [ x]
M 2 2 ( ), ( f )
Gösteriniz. Ker
ve Im
f (0)
0
f (0)
f (0)
dönü ümü bir halka homomorfizmas d r.
leri belirleyiniz.
C S M TAMLI K BÖLGES
19. I
4 ,
olu turunuz.
tamsay lar halkas nda bir ideal olsun.
/ I bir taml k bölgesi midir?
belirleyiniz.
2
/ I kalan s n flar halkas n
/ I bir cisim midir?
/ I nin karakteristi i

Download Report