tkinlik sin BC β = cos OC β = cos .cos OC β α ′ = cos .sin CC DB β α

32
 tkinlik
ELEMENTLER
6.CİLT
A.Yazıcı
4 45
Aşağıda verilen birim çemberde A noktası ile
B noktasının koordinatları arasında bir bağıntı bulalım.
BC  sin 
OC  cos 
OC   cos  .cos 
CC   DB  cos  .sin 
AA  sin 
OA  cos 
DC  BC   sin  .sin 
BD  sin  .cos 
cos      OB  OC   BC  olduğundan
cos      cos  .cos   sin  .sin 
sin      BD  BD  DB olduğundan
sin      sin  cos   cos  sin 
tan     
sin     sin  cos   cos  sin 

ifadesini cos  .cos  ile sadeleştirirsek
cos     cos  .cos   sin  .sin 
tan   tan 
bulunur
1  tan  .tan 
sin      sin  cos   cos  sin  ifadesinde  yerine   konursa
tan     
sin      sin  cos      cos  sin     olur. cos      cos  ve sin       sin  olduğundan
sin      sin  cos   cos  sin  bulunur
Benzer biçimde
cos      cos  .cos   sin  .sin  ifadesinde  yerine   konursa
cos      cos     .cos   sin     .sin  olur. cos      cos  ve sin       sin  olduğundan
cos      cos  .cos   sin  .sin  bulunur
Benzer biçimde
tan   tan 
ifadesinde  yerine   konursa
1  tan  .tan 
tan   tan   
tan     
olur. tan       tan  olduğundan
1  tan  .tan    
tan     
tan     
tan   tan 
bulunur
1  tan  .tan 
βilgi 4 11
İki açının toplamının ve farkının trigonometrik oranları bulmak için kullanılan
sin      sin  cos   cos  sin 
cos      cos  cos   sin  sin 
tan     
tan   tan 
1  tan  tan 
özdeşliklerine toplam ve fark formülleri denir
33
Toplam ve Fark Formülleri
 tkinlik
4 46
Işık, bir ortamdan başka bir ortama, örneğin; sudan havaya, geçerken kırılır. Bunu göstermek için iki bardak içine
aynı pozisyonda birer metal para yerleştiriniz.
Bardakları yan yana koyunuz ve birini su ile
doldurunuz.
Doğru bir bakış açısıyla baktığınızda, içi su
dolu bardaktaki parayı görebildiğiniz hâlde
diğer parayı göremezsiniz.
Saydam bir maddenin kırılma indisi n ,ışığın
boşluktaki hızının maddedeki hızına oranına
eşittir. Bazı çok kullanılan kırılma indisleri;
havanın 1, 0 ,suyun 1,33 , camın 1,5 ve
elmasın 2 , 4 tür.
Kırılma indisleri genellikle üçgen prizmalar kullanılarak bulunur. İki düzlem arasındaki açıya tepe açısı veya kıran
açı denir. Gelen ışının doğrultusu ile kırılan ışının arasındaki açıya sapma açısı denir. Gelme açısının sinüsünün,
kırılma açısının sinüsüne oranına ikinci ortamın birinci ortama göre kırılma indisi veya sadece ortamın kırılma indisi
denir.
Yandaki şekilde tepe açısı  ve sapma açısı 
olan ikizkenar üçgen prizmada Snell bağıntısı

uygulanırsa
sin 2  2

n
bağıntısı bulunur.
sin 2



Sapma açısının 60 olması durumunda bu
bağıntıyı yazalım.
sin 2  30 sin 2 . cos 30  cos 2 sin 30
n

sin 2
sin 2
sin 2 . 23  cos 2 . 12
3 1


 cot 2

sin 2
2 2

n
3 1
 cot 2 bulunur.
2 2

 rnek
sin

 
2

A
 2
 2
 2
Hava
 2
B

 
2
180  
Işık
Prizma
4 25

ifadesinin değerini bulalım.
12
Çözüm :
sin

3 2 1 2
2
  
 sin     sin  cos   cos  sin  

 

3
4
3
4
12
2 2 2 2
4
3 4

 rnek


3 1
4 26
sin  x  y  sin  x  y  ifadesini sinx ve siny türünden ifade edelim.
Çözüm :
sin  x  y  sin  x  y    sin x cos y  cos x sin y  sin x cos y  cos x sin y 
 sin 2 x cos 2 y  sin x cos y cos x sin y  sin x cos y cos x sin y  cos 2 x sin 2 y
 sin 2 x cos 2 y  cos 2 x sin 2 y  sin 2 x 1  sin 2 y   1  sin 2 x  sin 2 y
 sin 2 x  sin 2 x sin 2 y  sin 2 y  sin 2 x sin 2 y  sin 2 x  sin 2 y
34
ELEMENTLER

 rnek
6.CİLT
A.Yazıcı
4 27

 

sin x  4 cos x  4 ifadesini sin x ve cos x türünden ifade edelim.
Çözüm :

  







sin  x   cos  x     sin  cos x  cos  sin x  cos  cos x  sin  sin x 
4
4 
4
4
4
4










 sin cos cos 2 x  sin 2 sin x cos x  cos2 sin x cos x  sin 2 x sin cos
4
4
4
4
4
4
2 2


cos 2 x 
2 2


 rnek
2
2
 2
 2
2 2 2

sin x

 sin x cos x  
 sin x cos x 
2
2
2
2




1
 cos2 x  sin 2 x 
2
4 28
cos 7 ifadesinin değerini bulalım.
12
Çözüm :


7
7




2 1
2 3
2
 cos     cos
 cos cos  sin sin 
 


1 3
4
3
12
12
4
3
4
3
2 2 2 2
4

 rnek 4 29
cos


cos  x  y  cos y  sin  x  y  sin y ifadesini sin x ve cos x türünden ifade edelim.
Çözüm :
cos  x  y  cos y  sin  x  y  sin y   cos x cos y  sin x sin y  cos y   sin x cos y  cos x sin y  sin y
 cos x cos 2 y  sin x sin y cos y  sin x sin y cos y  cos x sin 2 y
 cos x  sin 2 y  cos 2 y   cos x

 rnek
4 30

4
0     ve sin   ise cos   
4
2
5
 değerini bulalım
A

Çözüm :
4
3
 cos   dıri
5
5

 3 2 4 2
2
cos     cos  cos  sin  sin  
 

4
4
4 5 2
5 2
10
sin  


 rnek

B
C
4
4 31

sin x  
6

ifadesini sin x ve
cos x türünden ifade edelim.
A
Çözüm :

5
3

3
1
sin x    sin x cos   cos x sin   sin x 
 cos x 
6
6
6
2
2
3
1
1

sin x  cos x 
3sin x  cos x
2
2
2



6
2
3
B
1
C

Download Report