6. Limes i neprekidnost funkcije

Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
6. Limes i neprekidnost funkcije
Nakon što smo definirali pojam i osnovna svojstva realne funkcije realne varijable te upoznali
neke elementarne funkcije (s naglaskom na njihovo prirodno područje definicije i osnovna
svojstva), u sljedećim ćemo poglavljima upoznati nekoliko „alata“ kojima ćemo razmatrati
„ponašanje“ zadane funkcije.
Nakon što upoznamo limes, neprekidnost i derivaciju funkcije, njihova će nam primjena
omogućiti da za funkciju koja je zadana svojom eksplicitnom formulom skiciramo takozvani
kvalitativni graf, na kojem će biti naznačeni svi bitni elementi „ponašanja“ funkcije.
Prvi od „alata“ koje ćemo upoznati je limes funkcije.
6.0 Priprema
Nekoliko laganih napomena kao priprema za definiranje limesa i neprekidnosti funkcije.
Prije svega, prisjetimo se pojma okoline realnog broja – ranije smo definirali okolinu realnog
broja x0 kao otvoreni interval (odnosno dio brojevnog pravca) oblika ( x0 − ε , x0 + ε ) – ovaj
interval zovemo i „ε -okolina točke x0“ (Uočite: širina ε -okoline je 2ε). Pritom oznaka ε sugerira
da će nam biti zanimljive „male“ okoline, tj. „mali“ pomak oko točke x0. Nadalje, za okolinu je
važna njena simetričnost oko točke x0, tj. „obveza“ da se od x0 udaljimo jednako i ulijevo i
udesno. U nekim ćemo situacijama govoriti o lijevoj okolini ( x0 − ε , x0 ) i o desnoj okolini
( x0 , x0 + ε )
točke x0.
Razmotrimo pojam približavanja točki x0. Intuitivno, pojam „približavanja“ nam je jasan; na
primjer, student se svakoga radnog dana približava fakultetu. Razumije se da „približavanje
točki x0“ itekako ima sličnosti s približavanjem nekoj točki u prostoru, ali uz jednu posebnost: u
razmatranju funkcije mi se točki x0 možemo približavati i na neke „neobične“ načine; na primjer,
možemo „skakutati“ oko točke x0 tako da smo joj pri svakom „skoku“ sve bliže i bliže.
Ovo objašnjenje zvuči komplicirano, ali u osnovi se radi o tome da se, npr., broju 1 možemo
približavati i na sljedeće načine:
tako da redom „stanemo“ na brojeve 0,9; 0,99; 0,9999; 0,9999; itd.
tako da naizmjenice stajemo na brojeve 0,9; 1,09; 0,99; 1,009; 0,999; 1,0009, itd., pri
čemu se svaka dva susjedna broja nalaze s različitih strana broja 1.
U oba slučaja smo sa svakim sljedećim brojem sve bliže jedinici – dakle, u oba se slučaja
približavamo broju 1. Naravno, ovo nisu jedini načini približavanja.
Uočite također da ćemo se svakim od ovih približavanja približiti jedinici proizvoljno blizu
(slikovito, prije ili kasnije probit ćemo svaku granicu koju netko pokuša postaviti oko broja 1), ali
nikad nećemo doći točno u jedinicu.
66
Limes i neprekidnost funkcije
6.1 Limes funkcije
Uvod i motiv
Da bismo intuitivno „osjetili“ pojam limesa, razmotrimo ponašanje sljedećih funkcija (pritom
ćemo promatrati samo grafove i zanemariti formule funkcija koje su naznačene na grafovima).
Kako biste nekome bez crtanja (recimo, u telefonskom razgovoru) opisali ove grafove? Dakako,
najprije trebate opisati područje definicije, potom neke druge karakteristike koje smo već
upoznali (monotonost, ograničenost, nul-točke, ekstreme, ...). No, to nam nije dovoljno za
potpuno opisivanje grafa – vjerojatno biste upotrijebili i izraze poput ovih:
„kada se x približava točki toj-i-toj, funkcijske vrijednosti se približavaju vrijednosti toj-itoj“;
„kada se x približava točki toj-i-toj, funkcijske vrijednosti neograničeno rastu“;
„funkcijske vrijednosti na lijevoj strani koordinatnog sustava teže prema...“;
„funkcijske vrijednosti na desnoj strani koordinatnog sustava neograničeno padaju...“;
„kada se x približava s lijeve strane točki toj-i-toj, funkcijske vrijednosti se približavaju
vrijednosti toj-i-toj“.
Napomena:
Ovi izrazi služe kao motiv i ilustracija značenja limesa, i njima nisu obuhvaćena sva ponašanja
funkcije (odnosno sve vrste limesa) koja ćemo razmatrati.
67
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Uočimo da u ovim opisima s obzirom na razmatranje područja definicije razlikujemo:
razmatranje funkcijskih vrijednosti kada se vrijednosti argumenta približavaju nekom
realnom („konačnom“) broju x0 iz područja definicije funkcije;
razmatranje funkcijskih vrijednosti kada vrijednosti argumenta neograničeno padaju („teže
prema −∞ „), odnosno neograničeno rastu („teže prema ∞ “) – jasno, ako je područje
definicije neograničeno odozdo, odnosno neograničeno odozgo.
Ni u jednom od ova dva slučaja funkcija se ne mora ponašati „lijepo“ – moguće su razne
situacije (odnosno, različita „ponašanja“). Razlikujemo dvije vrste mogućeg „lijepog ponašanja
funkcije“:
funkcijske vrijednosti se približavaju nekome („konačnom“) realnom broju;
funkcijske vrijednosti neograničeno padaju („teže prema −∞ “), odnosno neograničeno
rastu („teže prema ∞ “).
Gdje nam je (na kojim dijelovima područja definicije funkcije) uopće zanimljivo ovako opisivati
ponašanje funkcije?
Ako je područje definicije neograničeno, moramo razmotriti „ponašanje u beskonačnosti“.
Nadalje, iako nam nitko ne brani razmatrati ponašanje funkcijskih vrijednosti u okolini svake
točke unutar područja definicije (pod uvjetom da je i okolina u području definicije), zapravo nas
zanima ponašanje u okolini „zanimljivih“ točaka, tj. točaka u kojima se s funkcijom događa nešto
„zanimljivo“. To su najčešće rubovi područja definicije, a posebno naglašavamo pretposljednji
od šest ponuđenih primjera (grafova), u kojem funkcija jest definirana u nuli, ali se očito u nuli
ne ponaša jednako kao i u okolini nule – stoga nam je i nula (odnosno okolina nule) „zanimljiva“
za razmatranje.
Pri ovakvim opisivanjima ponašanja funkcije u okolini nekih točaka ili na nekim dijelovima
područja definicije, zapravo smo intuitivno upotrijebili limes. Preostaje nam samo formaliziranje
svih nepreciznih formulacija koje smo iskazali.
Definicije limesâ
Kao što smo naznačili u uvodu, razmatramo „ponašanje“ funkcije kombiniranjem dvaju
elemenata:
Gdje promatramo „ponašanje“ funkcije – u konačnoj točki ili u beskonačnosti?
Kakvoj se vrijednosti približavaju funkcijske vrijednosti – konačnoj ili beskonačnoj?
Kombinacijom ovih mogućnosti (dva puta po dvije mogućnosti), dolazimo do četiri različite
situacije – četiri različita moguća „lijepa ponašanja“ funkcije, odnosno, četiri različite vrste
limesa.
Najprije ćemo zapisati „službene“ definicije limesa koje su (iako u osnovi jednostavne za
razumijevanje) poprilično „tvrde“ za čitatelja nenavikloga na matematički tekst. Nakon toga
ćemo definicije „prepričati“, tj. iskazati bez korištenja simbola, i to tako da u tabličnom prikazu
naglasimo tri bitne odrednice za svaki limes:
„naziv“ limesa;
„ponašanje“ x-a (tj. varijable);
„ponašanje“ y-a (tj. funkcijskih vrijednosti).
68
Limes i neprekidnost funkcije
Napomena:
Za razumijevanje sljedećih definicija bitno je uočiti:
x − x0 < δ znači isto što i x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) , tj. da je x element „δ-okoline“ od x0;
f ( x ) − L < ε znači isto što i f ( x ) ∈ ( L − ε , L + ε ) , tj. da je f ( x ) element „ε-okoline“ od L.
Definicija („konačan limes u konačnosti“):
Neka je x0 ∈ R , f : Ω → R, Ω ⊆ R i L ∈ R .
Kažemo da je limes funkcije f u točki x0 jednak L (pišemo lim f ( x ) = L ) ako:
x → x0
(
)
∀ε > 0, ∃δ > 0, ( x ∈ Ω i 0 < x − x0 < δ ) ⇒ f ( x ) − L < ε .
Definicija („beskonačan limes u konačnosti“):
Neka je x0 ∈ R i f : Ω → R, Ω ⊆ R .
Kažemo da je limes funkcije f u točki x0 beskonačan (pišemo lim f ( x ) = ∞ ) ako:
x → x0
∀M ∈ R, ∃δ > 0, ( x ∈ Ω i 0 < x − x0 < δ ) ⇒ ( f ( x ) > M ) .
Definicija („konačan limes u beskonačnosti“):
Neka je f : R → R ili f : ( x0 , ∞ ) → R .
Kažemo da je limes funkcije f u beskonačnosti jednak L (pišemo lim f ( x ) = L ) ako:
x →∞
(
)
∀ε > 0, ∃M ∈ R, ( x > M ) ⇒ f ( x ) − L < ε .
Definicija („beskonačan limes u beskonačnosti“):
Neka je f : R → R ili f : ( x0 , ∞ ) → R .
Kažemo da je limes funkcije f u beskonačnosti beskonačan (pišemo lim f ( x ) = ∞ ) ako:
x →∞
∀K ∈ R, ∃M ∈ R, ( x > M ) ⇒ ( f ( x ) > K ) .
Ovo je zacijelo najneugodnija stranica za čitanje u cjelokupnim nastavnim materijalima :). Ipak,
pojam koji je na ovoj stranici „službeno“ definiran, nije nimalo težak za razumijevanje, u što bi
čitatelja trebala uvjeriti tablica na sljedećoj stranici.
69
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Definicija: (neformalni zapis definicije četiriju limesa)
Naziv limesa
„Ponašanje“ x („Gdje?“)
„Ponašanje“ f (x) („Koliki?“)
Konačan
x se beskonačno približava
f (x) se beskonačno približava
u konačnosti
realnom broju x0.
realnom broju L.
Beskonačan
x se beskonačno približava
f (x) neograničeno raste prema ∞
u konačnosti
realnom broju x0.
(ili neograničeno pada prema –∞).
Konačan
x neograničeno raste prema ∞
f (x) se beskonačno približava
u beskonačnosti
(ili neograničeno pada prema –∞).
realnom broju L.
Beskonačan u
x neograničeno raste prema ∞
f (x) neograničeno raste prema ∞
beskonačnosti
(ili neograničeno pada prema –∞).
(ili neograničeno pada prema –∞).
Na sljedećim slikama prikazani su primjeri konačnog limesa u konačnosti ( lim f ( x ) = L ).
x → x0
Napomena:
Za razumijevanje limesa važan je detalj koji je sam po sebi očit iz definicije, ali kojega studenti
često previđaju: iako govorimo o „limesu funkcije u točki x0“, mi razmatramo ponašanje
funkcije u proizvoljnoj blizini točke x0, ali ne i u samoj točki x0!
Prema tome, kad razmatramo postojanje i vrijednost limesa u nekoj točki x0, sasvim nam je
svejedno je li funkcija:
nedefinirana u x0 (kao na lijevoj slici);
definirana u x0 i f ( x 0 ) = L (kao na srednjoj slici);
definirana u x0 i f ( x 0 ) ≠ L (kao na desnoj slici).
Na sljedećim slikama prikazani su primjeri beskonačnog limesa u konačnosti.
lim f ( x ) = ∞
x → x0
70
lim f ( x ) = −∞
x → x0
Limes i neprekidnost funkcije
Napomena:
Iz definicije je očito da se funkcija mora jednako ponašati s obje strane točke x0.
1
nema limes u nuli (jer se ne ponaša jednako u okolini nule –
x
funkcijske vrijednosti neograničeno padaju slijeva, a neograničeno rastu zdesna)!
Zapamtite: funkcija f ( x ) =
!
Na sljedećim slikama prikazani su primjeri konačnog limesa u beskonačnosti.
lim f ( x ) = L
x →−∞
lim f ( x ) = L
lim f ( x ) = L
x →∞
lim f ( x ) = L1
x →−∞
lim f ( x ) = L2
x →∞
x →∞
Vidimo da „ponašanje“ funkcije u jednoj beskonačnosti može, ali ne mora biti jednako kao
„ponašanje“ u drugoj beskonačnosti (štoviše, funkcija srednjoj slici uopće nije definirana u –∞).
Na sljedećim slikama prikazani su primjeri beskonačnog limesa u beskonačnosti.
lim f ( x ) = ∞
x →−∞
lim f ( x ) = ∞
x →∞
lim f ( x ) = ∞
x →∞
lim f ( x ) = ∞
x →−∞
lim f ( x ) = −∞
x →∞
I ovdje vrijedi napomena o neovisnome ponašanju funkcije u jednoj i drugoj beskonačnosti.
Svojstva limesa
Navedimo (bez dokaza) nekoliko teorema o svojstvima limesa. Prvi je teorem o jedinstvenosti
limesa (intuitivno jasan: funkcija se ne može u okolini točke ponašati na dva različita načina), U
a drugome je objedinjeno je nekoliko važnih svojstava limesa. Uočite da iskaz drugog teorema
vrijedi i za limes u beskonačnosti, ali ne vrijedi za slučaj beskonačnih limesa!
Teorem:
Ako limes postoji, jedinstven je.
71
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Teorem:
Neka je lim f ( x ) = L1 , lim g ( x ) = L2 , gdje su L1 i L2 realni brojevi, a x0 ∈ R ∪ {−∞, ∞} . Tada je:
x → x0
x → x0
lim ( f + g ) ( x ) = L1 + L2 ;
x → x0
lim ( f ⋅ g ) ( x ) = L1 ⋅ L2 ;
x → x0
f 
L
lim   ( x ) = 1 , ako je L2 ≠ 0.
x → x0 g
L2
 
Jednostrani limesi
Pogledamo li primjere grafova na početku poglavlja, vidimo da nam limes nije dovoljan za
opisivanje svih slučajeva „lijepog“ ponašanja funkcije. Naime, ako neka funkcija nema limes u x0
(ili možda uopće nije definirana s jedne strane x0), ona se ipak može „lijepo ponašati“ s jedne
strane x0. Funkcija se može „lijepo ponašati“ i s obje strane x0, ali na različite načine (ni u tom
slučaju ne postoji limes u x0) . Kao primjer možemo razmotriti već spomenuto ponašanje
1
funkcije f ( x ) = s lijeve i desne strane nule.
x
Ovo je motiv za uvođenje jednostranog limesa:
Kažemo da funkcija ima lijevi limes u točki x0 ∈ R ako se funkcijske vrijednosti
beskonačno približavaju realnome broju L ili neograničeno rsatu/padaju kada se
približavamo prema x0 slijeva. Pišemo lim f ( x ) = L , lim f ( x ) = ∞ , lim f ( x ) = −∞ ;
x → x0 −
x → x0 −
x → x0 −
Kažemo da funkcija ima desni limes u točki x0 ∈ R ako se funkcijske vrijednosti
beskonačno približavaju realnome broju L ili neograničeno rsatu/padaju kada se
približavamo prema x0 zdesna. Pišemo lim f ( x ) = L , lim f ( x ) = ∞ , lim f ( x ) = −∞ ;
x → x0 +
x → x0 +
Na sljedećim slikama prikazani su primjeri jednostranog limesa.
lim f ( x ) = ∞
x →0 −
lim f ( x ) = −∞
x →0 +
lim f ( x ) = 0
x →0 +
x → x0 +
lim f ( x ) = L1
x → x0 −
lim f ( x ) = L2
x → x0 +
U kakvoj su vezi limes funkcije u točki i jednostrani limesi u toj točki? Očito:
ako funkcija ima limes u nekoj točki, ima i oba jednostrana limesa (čija je vrijednost
jednaka vrijednosti limesa);
ako funkcija ima lijevi i desni limes u nekoj točki, onda ima limes u toj točki samo ako
su ta dva jednostrana limesa međusobno jednaka!
72
Limes i neprekidnost funkcije
Neodređeni izrazi. „Računanje“ s beskonačnošću
Teorem o limesu zbroja, razlike, umnoška i kvocijenta opisao nam je ponašanje „lijepih“
(konačnih) limesa pri izvođenju ovih računskih operacija. Što u slučaju beskonačnih limesa, tj.
kako „računati“ s beskonačnošću?
Napomena:
Upitnik kao rezultat „računanja“ s beskonačnošću znači da se radi o tzv. neodređenom obliku
koji zahtijeva daljnje razmatranje.
 ∞, c > 0
c ⋅∞ = 
 −∞, c < 0
c  ∞, c > 0
=
0+ −∞, c < 0
c
c
=
=0
∞ −∞
c −∞, c > 0
=
0−  ∞, c < 0
0, 0 < a < 1

∞
a = ?, a → 1
∞, a > 1

?, a → 0

a = 1, a ∈ R

?, a → ∞
∞+∞=∞
−∞ − ∞ = −∞
∞⋅∞ = ∞
∞ ⋅ ( −∞ ) = −∞
0
0⋅∞ = ?
0
=?
0
∞
=?
∞
∞−∞=?
Napomena:
Ova „pravila“ treba čitati na pravilan način!
Na primjer, oznaka ∞ + ∞ = ∞ ne označava zbrajanje u smislu zbrajanja realnih brojeva (što je
logično, jer bismo onda oduzimanjem ∞ s lijeve i desne strane jednakosti došli do „jednakosti“
∞ = 0 ), nego skraćeni zapis izjave:
Neka su funkcije f i g takve da je lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = ∞ (pri čemu je x0 realni broj
x → x0
x → x0
ili jedna od beskonačnosti). Tada je i lim (f + g )( x ) = ∞
x → x0
Isto tako, oznaka a∞ = ?, a → 1 ne znači da ćemo ustrajnim množenjem jedinicâ u jednom
trenutku kao rezultat početi dobivati broj različit od 1, nego skraćeni zapis izjave:
Neka su funkcije f i g takve da je lim f ( x ) = 1 , lim g ( x ) = ∞ (pri čemu je x0 realni broj ili
x → x0
x → x0
jedna od beskonačnosti). Tada je lim ( f ( x ))
g( x )
x → x0
neodređen izraz.
Neki „poznati“ limesi
U izračunavanju limesa često se koristimo sljedećim limesima kao „poznatima“ (primjenjujemo
ih ne dokazujući svaki put iznova njihovu valjanost). Kao što smo već raspravili u priči o definiciji
apsolutne vrijednosti, i ovdje x označava neki realni izraz.
sin x
lim
=1
x →0
x
x
 k
lim 1 +  = ek
x →∞ 
 x
1
lim (1 + x ) x = e
x →0
73
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
6.2 Neprekidnost funkcije
Kao što smo već napomenuli, limes funkcije najčešće razmatramo na rubovima područja
definicije funkcije (bilo da je to neka od beskonačnosti ili neki realan broj) ili, za funkcije koje su
po dijelovima definirane različitim formulama, na rubnim točkama takvih dijelova. Međutim,
limes funkcije možemo tražiti i drugdje; nema nikakvih zapreka za razmatranje limesa poput
lim sin x , lim x 2 , lim e x , itd.
x →0
x →2
x →1
U svim ovim slučajevima limesi postoje i jednaki su upravo funkcijskoj vrijednosti u samoj točki:
lim sin x = sin 0 = 0 , lim x 2 = 22 = 4 , lim e x = e1 = e . Navedene funkcije možemo razmotriti i na
x →0
x →2
x →1
sljedeći način: vidimo da su funkcijske vrijednosti u točkama bliskima x0 bliske funkcijskoj
vrijednosti u samoj točki x0.
Za takvu funkciju kažemo da je neprekidna u x0, gdje je x0 točka iz područja definicije funkcije.
Definicija:
Funkcija f : Ω → R, Ω ⊆ R je neprekidna u točki x0 ∈ Ω ako je: lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Definicija:
Funkcija f : Ω → R, Ω ⊆ R je neprekidna u točki x0 ∈ Ω ako točke bliske točki x0 preslikava u
točke bliske točki f ( x0 ) .
Definicija:
Funkcija f : Ω → R, Ω ⊆ R je neprekidna u točki x0 ∈Ω ako:
(
)
∀ε > 0, ∃δ > 0, ( x ∈ Ω i 0 < x − x0 < δ ) ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) < ε .
Neprekidnost funkcije na nekom intervalu unutar područja definicije definiramo kao
neprekidnost u svakoj točki toga intervala.
Definicija:
Funkcija f : Ω → R, Ω ⊆ R je neprekidna na intervalu ( a, b ) ⊆ Ω ako je neprekidna u svakoj
točki toga intervala. Funkcija je neprekidna ako je neprekidna u svakoj točki područja definicije.
Napomena:
Neprekidnost funkcije nema veze s time možemo li graf funkcije nacrtati u jednom potezu!
Napomena:
Sve elementarne funkcije su neprekidne na cijelome prirodnom području definicije!
74
Limes i neprekidnost funkcije
Napomena:
Neprekidnost funkcije je svojstvo koje se razmatra u točki iz područja definicije.
1
„ima prekid u nuli“ (jer se ne može nacrtati
x
u jednom potezu). Nula uopće nije u području definicije ove funkcije – funkcija ne može biti
neprekidna niti imati prekid tamo gdje ne postoji!
Uobičajena je pogrešna izjava da funkcija f ( x ) =
U kakvoj su uzročno-posljedičnoj vezi limes funkcije u točki i neprekidnost funkcije u točki?
Ako je funkcija neprekidna u nekoj točki x0, znamo da funkcija u toj točki ima limes i da je taj
limes jednak f ( x 0 ) .
Ako postoji konačan limes funkcije u nekoj točki x0, funkcija ne mora biti neprekidna u toj
točki – štoviše, funkcija ne mora ni postojati u toj točki! Neprekidnost funkcije nam jamči tek
limes koji je jednak funkcijskoj vrijednosti: lim f ( x ) = f ( x 0 ) .
x → x0
Vrste prekida
U nekoj točki svoga područja definicije, funkcija može imati prekid prve vrste na jedan od
sljedeća dva načina:
Uklonjivi prekid: ovo je slučaj kada funkcija u točki x0 ima lijevi i desni limes koji su
međusobno jednaki, ali nisu jednaki funkcijskoj vrijednosti u x0. Kažemo da je prekid
uklonjiv zato što neznatnim redefiniranjem funkcije, tj. uzimanjem f ( x0 ) = lim f ( x )
x → x0
(„premještanjem“ crne točke s grafa na trenutni položaj bijele točke) dobivamo funkciju koja
jest neprekidna.
„Skok“: ovo je slučaj kada funkcija u točki x0 ima lijevi i desni limes koji su međusobno
različiti. Pritom je svejedno je li funkcija uopće definirana u x0 i, ako jest, kolika je funkcijska
vrijednost u x0. Uočimo da ovaj prekid nije uklonjiv – ne možemo neznatnim redefiniranjem
funkcije dobiti neprekidnu funkciju.


 3 sin x
, x ≠ 0

Uklonjivi prekid  f ( x ) =  x


 1,
x = 0 



 π

 − 2 , x ≤ 0 

„Skok“ funkcije  f ( x ) = 

 π , x > 0


 2


75
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
U nekoj točki svoga područja definicije, funkcija može imati prekid druge vrste na jedan od
sljedeća dva načina:
ako su jedan ili oba jednostrana limesa u x0 beskonačni (lijeva slika);
ako jedan ili oba jednostrana limesa u x0 ne postoje (desna slika).


1
 2 , x ≠ 0

Prekid druge vrste  f ( x ) =  x


 2, x = 0 




1

sin , x ≠ 0 

Prekid druge vrste  f ( x ) = 
x


 −1.5, x = 0 


Svojstva neprekidnih funkcija
Iskažimo bez dokaza nekoliko svojstava neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu koja je
lako usvojiti intuitivno ako se razumije pojam neprekidnosti.
Teorem:
Neka je f : Ω → R, Ω ⊆ R neprekidna funkcija na intervalu [a, b ] ⊆ Ω . Tada vrijedi:
f je ograničena na intervalu [a, b ] i na tom intervalu postiže najveću i najmanju vrijednost;
f na intervalu [a, b ] postiže sve vrijednosti između najveće i najmanje vrijednosti;
ako su f (a) i f (b) suprotnog predznaka, f postiže vrijednost nula u barem jednoj točki tog
intervala.
Teorem:
Limes i neprekidna funkcija komutiraju: ako je funkcija f : Ω1 → R, Ω1 ⊆ R neprekidna u točki x0,
(
)
a funkcija g : Ω2 → R, Ω2 ⊆ R neprekidna u točki f (x0), tada je lim g ( f ( x ) ) = g lim f ( x ) .
x → x0
x → x0
Teorem:
Neka su funkcije f i g : Ω → R, Ω ⊆ R neprekidne u točki x0 ∈ Ω . Tada su u x0 neprekidne i
funkcije f + g, f – g, f ⋅ g. Funkcija f /g je također neprekidna, uz uvjet da je g(x0) ≠ 0.
76
Limes i neprekidnost funkcije
6.3 Zadaci
Budući da je pojam limesa i neprekidnosti funkcije većini čitatelja nepoznat iz ranijeg
školovanja, na kraju poglavlja dajemo niz zadataka koji su korisni ne samo u rješavanju sličnih
zadataka nego i za razumijevanje sâmih pojmova
U sljedećim zadacima odredite limese koristeći se poznavanjem elementarnih funkcija:
2
1. lim x
2. lim sin x
x
3. lim e
4. lim ( 2x − 3 )
5. lim ( − x 2 + 2 x + 3 )
−x
6. lim e
8. lim x
9. lim ln x
x →2
x →−∞
7. lim
x →0
1
x
10. lim
x →0
1
x2
x →π
x →∞
x →0
11. lim
x →−∞
1
x2
x →e
x →∞
x →0
1
x2
12. lim
x →∞
0 
Riješite sljedeće zadatke neodređenog oblika   tako da „uklonite“ član koji je „krivac“ za
0 
neodređenost izraza. Protumačite dobivene rezultate geometrijski:
x2 − 4
x →2 x − 2
13. lim
x2 − 1
x→−1 x 2 + 3 x + 2
14. lim
x− 3
x −3
15. lim
x →3
∞ 
Riješite sljedeće zadatke neodređenog oblika   tako da prepoznate vodeću potenciju u
∞ 
izrazu i tom potencijom podijelite brojnik i nazivnik. Protumačite dobivene rezultate
geometrijski:
x 4 + 2x + 3
x →−∞
2x 4 + 6
18. lim
x 2 + 2x + 3
x → −∞
x
21. lim
x 4 + 2x + 3
x→∞
2x 4 + 6
17. lim
x 2 + 2x + 3
x →∞
x
20. lim
16. lim
19. lim
x 3 + 2x + 3
x →−∞
2x 4 + 6
x 3 + 2x + 3
x →∞
3
x5
Najprije riješite sljedeće jednostrane limese funkcije, potom na temelju dobivenih rezultata
zaključite postoji li i koliki je limes funkcije. Protumačite dobivene rezultate geometrijski:
3
x →0 + x
23. lim
−2
x →0 + x 2
26. lim
28. lim
x+2
x →2 + x 2 − 4
31. lim ln x
22. lim
25. lim
x →0 +
3
x →0 − x
24. lim
−2
x →0 − x 2
27. lim
29. lim
x+2
x →2 − x 2 − 4
30. lim
32. lim ln x
33. lim ln x
x →0 −
3
x →0 x
−2
x →0 x 2
x →2
x+2
x2 − 4
x →0
77
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Riješite sljedeće zadatke tako da izraz neodređenog oblika ( ∞ − ∞ ) dopunite do razlike
∞ 
kvadrata i tako ga svedete na neodređeni oblik   . Protumačite dobivene rezultate
∞ 
geometrijski:
34. lim  x 2 + 1 − x 2 − 4 x 
x →∞ 

35. lim
x →∞
(
2x 2 + 1 − x 2 − 4 x
)
Riješite sljedeće zadatke tako da iskoristite „poznati“ limes lim
x →0
sin 2 x
x →0 2 x
38. lim
x2
x →0 1 − cos x
41. lim
37. lim
40. lim
x sin x
x →0 1 − cos 2 x
42. limπ
 2x − 1 

44. lim 
x →∞ 2x + 3 
(
x + 1 − x 2 − 4x
)
sin x
= 1:
x
39. lim
sin 2 x
x →0 sin 5 x
x →0
x
x →∞
sin 2 x
x →0 3 x
Riješite sljedeće zadatke tako da iskoristite lim (1 + x )
 x + 1

43. lim
x →∞ x − 1
36. lim
sin x − cos x
x→
1 − tgx
4
1
x
x
 k
k
= e , lim 1 +  = e :
x →∞
x
x
45. lim
x →0
ln(1 + x )
x
Raspravite neprekidnost funkcija:
 x,
46. f ( x ) =  2
x
 x2 − 9
, x≠3

47. f ( x ) =  x − 3

x =3
 A
x<0
x≥0
2x + 3e x , x < 0
48. f ( x ) = 
x ≥0
 A+x
6.4 Rješenja zadataka
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na izračunavanje funkcijske vrijednosti.
Naime, tražimo limes u konačnosti funkcija koje su neprekidne na cijelom području definicije, pa
je onda limes jednak funkcijskoj vrijednosti:
1.
lim x 2 = 22 = 4
2.
lim sin x = sin π = 0
3.
lim e x = ee
x →2
x →π
x →e
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na poznavanje grafa elementarnih funkcija i
ponašanja funkcija u beskonačnosti:
78
lim ( 2x − 3) = −∞
4.
x →−∞
5.
x →∞
6.
x →∞
(
)
lim − x 2 + 2 x + 3 = −∞
lim e− x = 0
Limes i neprekidnost funkcije
U sljedećim zadacima limes ne postoji:
1
ne postoji jer se funkcija različito ponaša lijevo i desno od nule.
x →0 x
7.
lim
8.
lim x ne postoji jer funkcija nije definirana lijevo od nule.
9.
lim ln x ne postoji jer funkcija nije definirana lijevo od nule.
x →0
x →0
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na poznavanje grafa elementarnih funkcija i
ponašanja funkcija u nuli:
10.
11.
12.
lim
1
1
= ∞ . Rezultat možemo dobiti i kao oblik + .
2
x
0
lim
1
1
= 0 . Rezultat možemo dobiti i kao oblik .
2
x
∞
lim
1
1
= 0 . Rezultat možemo dobiti i kao oblik .
2
x
∞
x →0
x →−∞
x →∞
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na faktoriziranje brojnika i/ili nazivnika i
kraćenje razlomka faktorom koji je „krivac“ za neodređeni oblik:
( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) = lim x + 2 = 4
x2 − 4 0 
=   = lim
(
)
x →2 x − 2
x
→
2
x →2
x−2
0
13.
lim
14.
x2 − 1
x −1
0 
=   = lim
= −2
x → −1 x 2 + 3 x + 2
x
→
−
1
x+2
0 
15.
lim
lim
x →3
x − 3 0
=   = lim
x −3
 0  x →3
(
x− 3
)(
x− 3 ⋅
x+ 3
)
= lim
x →3
1
x+ 3
=
1
2 3
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na prepoznavanje najveće potencije u izrazu
i dijeljenje brojnika i nazivnika tom potencijom – pritom je postupak isti neovisno o tome radi li
se o cjelobrojnoj ili racionalnoj potenciji (odnosno, korijenu):
16.
2
3
1+ 3 + 4
x 4 + 2x + 3  ∞   x 4 
x
x =1
lim
=   = : 4  = lim
4
x →∞
x
→∞
6
2
2x + 6
∞   x 
2+ 4
x
17.
2
3
1+ 3 + 4
x 4 + 2x + 3  ∞   x 4 
x
x =1
lim
=   = : 4  = lim
4
x →−∞
2
2x + 6
 ∞   x  x →−∞ 2 + 6
4
x
18.
1 2
3
+ 3 + 4
x 3 + 2 x + 3  −∞   x 4 
x = 0  = 0
lim
=
= : 4  lim x x
4

2
x →−∞
x
→−∞
6
2x + 6
∞   x 
 
2+ 4
x
79
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
19.
2 3
1+ + 2
x 2 + 2x + 3  ∞   x 2 
x x = 1 =∞
lim
=   = : 2  = lim
 0+ 
x →∞
1
x
 ∞   x  x →∞
 
x
20.
2 3
1+ + 2
x 2 + 2x + 3  ∞   x 2 
x x =  1  = −∞
lim
=
= : 2  = lim

 0− 
x →−∞
x
→−∞
1
x
 −∞   x 
 
x
21.
x 3 + 2x + 3
lim
x →∞
3
3
= lim
x 2 + 2 x1 + 3
5
x →∞
x5
x3
1
2
5
−
−
−
 5
x 6 + 2x 3 + 3 x 3  0 
∞   x3 
=   = : 5 = lim
= =0
1
 ∞   3  x →∞
 1
 x 
U sljedećim zadacima određivajnje limesa se svodi na poznavanje elementarnih funkcija. Ako
oba jednostrana limesa postoje i jednaki su, postoji i limes.
Uočite razliku: u zadacima 24. i 30., limes ne postoji iako oba jednostrana limesa postoje (ali
nisu jednaki); u zadatku 33., lijevi limes ne postoji (pa onda ne postoji ni limes) zato što funkcija
f ( x ) = ln x nije definirana lijevo od nule (pa ne može imati lijevi limes u nuli):
3 3
= +=∞
x →0 + x
0 
23. lim
−2  −2 
=  +  = −∞
x →0+ x 2
0 
26. lim
22. lim
25. lim
28. lim
x →2 +
x+2  4 
=
=∞
x 2 − 4  0+ 
3 3
=  −  = −∞
x →0 − x
0 
24. lim
3
ne postoji
x
−2  −2 
=  +  = −∞
x →0− x 2
0 
27. lim
−2
= −∞
x2
30. lim
x+2
ne postoji
x2 − 4
29. lim
x →2−
31. lim ln x = −∞
x →0
x+2  4 
=
= −∞
x 2 − 4  0− 
32. lim ln x ne postoji
x →0 +
x →0
x →0 −
x →2
33. lim ln x ne postoji
x →0
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na svođenje neodređenog oblika ( ∞ − ∞ ) na
∞ 
neodređeni oblik   dopunjavanjem do razlike kvadrata. Posebno, uočite da izraz ( ∞ − ∞ )
∞ 
jest neodređen izraz – funkcija ovog oblika može kao limes u beskonačnosti imati bilo koji
realan broj (u zadatku 34., rezultat izravno ovisi o koeficijentu uz x u drugom članu), ili neka od
beskonačnosti:
34.
lim
x →∞
(
= lim
x →∞
)
x 2 + 1 − x 2 − 4 x = lim
(x
2
) (
+ 1 − x 2 − 4x
x →∞
(
) = lim
x →∞
)
x 2 + 1 − x 2 − 4x ⋅
4x + 1
80
2
x 2 + 1 + x 2 − 4x
∞   x 
=   = : 
x + 1 + x − 4x  ∞   x 
x + 1 + x − 4x
1
4+
 4 
x
= lim
=
=2
x →∞
1
4  1 + 1
1+ 2 + 1−
x
x
2
x 2 + 1 + x 2 − 4x
2
2
=
Limes i neprekidnost funkcije
35.
lim
x →∞
(
)
2 x 2 + 1 − x 2 − 4 x = lim
( 2x
= lim
2
) (
+ 1 − x 2 − 4x
x →∞
x →∞
)
(
2x 2 + 1 − x 2 − 4x ⋅
) = lim
2x 2 + 1 + x 2 − 4 x
2x 2 + 1 + x 2 − 4 x
=
x 2 + 4x + 1
2
∞  x 
=   = : 2 
2x 2 + 1 + x 2 − 4 x  ∞   x 
2 x 2 + 1 + x 2 − 4 x x →∞
4 1
1+ + 2
 1 
x x
= lim
= +
=∞
+ 
x →∞
2
1
1
4
0 + 0 
+
+
−
x2 x4
x2 x3
36.
lim
x →∞
(
= lim
x →∞
= lim
x →∞
)
x + 1 − x 2 − 4 x = lim
( x + 1) − ( x 2 − 4 x )
x →∞
(
= lim
)
x + 1 − x 2 − 4x ⋅
x + 1 + x 2 − 4x
x + 1 + x 2 − 4x
=
−x 2 + 5x + 1
2
 −∞   x 
=
=
:
  2
x + 1 + x 2 − 4x  ∞   x 
x + 1 + x 2 − 4 x x →∞
5 1
−1 + + 2
 −1 
x x
= +
= −∞
+ 
1
1
1
4
0 + 0 
+
+
−
x3 x 4
x2 x3
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na prilagođavanje izraza (ili njegova dijela)
sin ( ⊗ )
= 1 , gdje je ⊗ neki izraz:
obliku lim
⊗→ 0
⊗
37. lim
x →0
38.
lim
x →0
sin 2x
=1
2x
sin 2 x  0 
sin 2x 2
=   = lim
=
x
→
0
3
3x
3
0
⋅ 2x
2
sin 2x
2⋅
sin 2x  0 
2x = 2
=   = lim
39. xlim
→0 sin 5 x
 0  x→0 5 ⋅ sin 5 x 5
5x
40. xlim
→0
x2
x2
1 + cos x
x 2 ⋅ (1 + cos x )
0
=   = lim
⋅
= lim
=2
1 − cos x  0  x →0 1 − cos x 1 + cos x x →0
sin 2 x
41. xlim
→0
x sin x
x sin x
x sin x
0 
 1 x sin x  1
=   = lim
= lim
= lim ⋅
⋅
=
2
2
2
1 − cos 2x  0  x →0 1 − cos x − sin x x→0 2 sin x x→0 2 sin x sin x  2
(
)
sin x − cos x  0   cos x 
tgx − 1
2
=   = :
= limπ
= limπ ( − cos x ) = −

42. x → 4 1 − tgx
2
 0   cos x  x → 4 1 − tgx x → 4
cos x
limπ
81
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
U sljedećim zadacima određivanje limesa se svodi na prilagođavanje izraza (ili njegova dijela)
⊗
1
k

⊗
lim
1
+
= ek , gdje je ⊗ neki izraz:
jednom od oblika lim (1 + ⊗ ) = e ,


⊗→∞
⊗→ 0
⊗

[ ]
x
2 
 x + 1

∞

 = 1 = lim  1 +

43. xlim
x →∞
→∞ x − 1 
x − 1
x
[ ]
(x −1)+1
(x −1)

2 
2  

2
2
lim   1 +
⋅ 1 +

 = e ⋅1 = e

x →∞ 
x
−
1
x
−
1




1
⋅(2 x + 3 )−
3
2
− 4 2
 2x − 1 

∞
=

 = 1 = lim  1 +

44. xlim
→∞  2 x + 3 
x →∞
2x + 3 
1

3 
(2 x + 3 )  2
−

−
4
−4  2


−4


= lim   1 +
⋅ 1 +

 = e

x →∞   
2
x
+
3
2
x
+
3

 
 



( )
45. xlim
→0
1
2
= e −2
[ ]
1
1


ln(1 + x )
1
= lim ⋅ ln(1 + x ) = lim (ln(1 + x )) x = 1∞ = ln lim(1 + x ) x  = ln e = 1
 x →0

x →0 x
x →0
x


U sljedećim zadacima utvrđivanje neprekidnosti funkcije se svodi na korištenje ćinjenice da su
elementarne funkcije neprekidne na cijelome području definicije, i određivanje vrijednosti
koeficijenta A tako da u točkama u kojima se definicija funkcije mijenja (zadaci 47. i 48.) vrijedi
lim f ( x ) = f ( x 0 ) .
x → x0
 x,
46. f ( x ) =  2
x
82
x<0
x≥0
Funkcija je neprekidna na cijelom R (jedini mogući problem
je u nuli, gdje su lijevi i desni limes jednaki).
x2 − 9

, x≠3
47. f ( x ) =  x − 3
 A
x =3
Funkcija je neprekidna za svaki x ≠ 3, a za x = 3 je
neprekidna ako je A = 6 (tada je limes u 3 jednak funkcijskoj
vrijednosti).
2x + 3e x , x < 0
48. f ( x ) = 
x≥0
 A+ x
Funkcija je neprekidna za svaki x ≠ 0, a za x = 0 je
neprekidna ako je A = 3 (tada je limes u 0 jednak funkcijskoj
vrijednosti).

Download Report