1.1 Definicija i osnovni pojmovi
Nizove smo ve´c vidjeli u dosadašnjem školovanju i to mnogo puta, cˇ ak i kada toga
možda nismo bili svjesni.
Npr.
2, 3,
a1 , a2 ,
8, 15, −9, −12, . . .
a3 , a4 , a5
, a6 ,
Ukratko i jednostavno, niz je uredena
lista objekata ili dogadaja.
¯
¯
Kao i skup, niz ima cˇ lanove, ali za razliku od skupa, redoslijed je bitan i identiˇcni
elementi se mogu pojavljivati više puta na razliˇcitim pozicijama unutar niza!
Definicija i osnovni pojmovi
Definicija 1.1. Svako preslikavanje a : N → R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih
brojeva, nazivamo realnim nizom.
Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju n oznaˇcavamo sa
a(n), ili cˇ eš´ce sa an (xn , fn ) i nazivamo ga n-ti cˇ lan niza.
Pri tome broj n u oznaci an nazivamo indeksom cˇ lana niza. Ako je specificirana
zavisnost an od n, onda se an naziva opštim cˇ lanom niza.
Za niz cˇ iji su cˇ lanovi a1 , a2 , ..., an , ... koristit c´ emo kra´cu oznaku (an )n∈N , ili kratko´ce radi samo (an ).
Na isti naˇcin možemo definisati nizove kompleksnih brojeva, nizove funkcija ili
uopšteno nizove elemenata proizvoljnog skupa.
Mi c´ emo se ograniˇciti na posmatranje samo realnih numeriˇckih nizova.
Primjer. Niz
1, 2, 3, ..., n, n + 1, ...
je niz prirodnih brojeva. Niz
1, 3, 5, ..., 2n + 1, ...
je niz neparnih prirodnih brojeva, a
1, 4, 9, 16, 25, ...
je niz kvadrata prirodnih brojeva.
Niz je potpuno odredjen svojim opštim cˇ lanom. Na primjer, ako je opšti cˇ lan niza
n
dat sa xn = n+1
, niz je u potpunosti odredjen i njegovi cˇ lanovi su 12 , 32 , 34 , ..., ili ako
želimo odrediti stoti cˇ lan ovog niza, x100 = 100
101 .
1
Za odredjivanje niza nije neophodno da postoji formula kojom se eksplicitno odredjuje opšti cˇ lan xn u zavisnosti od n. Npr., ako je xn n-ti po redu prost broj, niz (xn )
je korektno definisan, iako ne znamo formulu za odredjivanje n-tog cˇ lana tog niza.
Isto tako možemo
√ govoriti da je niz (an ) zadat tako da je an n-ta cifra u decimalnom razvoju broja 2, mada formulu za n-tu cifru tog razvoja ne znamo eksplicitno.
Znati konaˇcno mnogo prvih cˇ lanova niza nije dovoljno za jednoznaˇcno odredjivanje
niza. Npr., ako je dato prvih pet cˇ lanova niza
0, 7, 26, 63, 124,
pravilo po kome su konstruisani ovi cˇ lanovi može ali i ne mora da važi za šesti, sedmi
i dalje cˇ lanove ovog niza.
Predstavljanje nizova
Predstavljati nizove možemo na dva naˇcina. Iz samog opisa niza kao liste brojeva dobijamo prvi naˇcin, predstavljaju´ci cˇ lanove niza na realnoj pravoj. Tako bi niz
(2, 4, 6, ..., 14), naznaˇcavaju´ci taˇckama cˇ lanove niza, bio predstavljen
−1
0
1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
b
b
b
b
b
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x7
b
13
14
Predstavljati beskonaˇcne nizove na ovaj naˇcin bio bi problem jer bi se cˇ esto gubila
predstava o nizu. Naprimjer za niz (−1, 1, −1, 1, ...) slika bi predstavljala samo dvije
taˇcke
−3
a2n−1
a2n
b
b
−2
−1
0
1
2
a oznakama a2n i a2n−1 bi sugerisali
parne i neparne pozicije cˇ lanova našeg niza.
∞
Još teže bi bilo predstaviti niz n1 n=1 .
a4 a3
b b
b
b
b
b
a2
a1
b
b
0
1
Oznaˇcili bi prvih nekoliko cˇ lanova niza, a dalje cˇ lanove bi smo samo naznaˇcili taˇckama. Bolja, preglednija varijanta predstavljanja niza proizilazi iz cˇ injenice da niz
možemo shvatiti i kao preslikavanje. Pod preslikavanjem shvatamo cˇ injenicu da cˇ lanove niza numerišemo po njihovim pozicijama. Tako niz (xn )∞
n=1 možemo predstaviti
tabelom
n
xn
1
x1
2
x2
3
x3
2
...
...
k
xk
...
...
Ovo znaˇci da niz možemo posmatrati kao preslikavanje x : N −→ R.
Domen ovog preslikavanja je skup prirodnih brojeva i kad god je domen preslikavanja skup N, takvo preslikavanje nazivamo niz.
Sve ovo znaˇci da sada možemo koristiti sve osobine funkcija, ali takodje i pojmove
uvedene sa njima. Ovo prije svega znaˇci da niz možemo predstaviti u obliku grafa.
Tako bi niz (2, 4, 6, ..., 14), predstavljen grafom izgledao kao na sljede´coj slici
b
15
b
b
10
b
b
5
b
b
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Ovo je sada puno pogodniji naˇcin za predstavljanje beskonaˇcnih nizova. Sada grafiˇcki možemo predstaviti malopredašnje
“problematiˇcne” nizove:
¯
1
b
b
b
b
0
−1
1
b
2
3
b
4
5
6
b
7
8
9
b
−2
Slika 1: Niz xn = (−1)n .
1.1.1 Aritmetiˇcki niz
Aritmetiˇcki niz
Aritmetiˇcki niz je posebna podklasa nizova koji izgledaju kao
2, 4, 6, 8, 10, . . .
3
1
b
b
b
b
b
b
b
b
7
8
0
0
1
2
3
4
5
6
9
Slika 2: Niz xn =
1
n.
1, 5, 9, 13, . . .
8, 5, 2, −1, −4, . . .
tj. nizovi kod kojih je razlika izmedu
¯ susjednih cˇ lanova konstantna. Formalno,
Definicija 1.2. Niz (an )∞
1 gdje za svako n ∈ N vrijedi an+1 −an = an+2 −an+1 = d,
(d ∈ R), naziva se aritmetiˇcki niz.
Iz posljednje dvostruke jednakosti slijedi da je an+1 = 12 (an + an+2 ), dakle, svaki
cˇ lan niza je aritmetiˇcka sredina svoga prethodnika i svoga sljedbenika u nizu.
a2
=
a1 + d
a3
a4
=
=
a2 + d = a1 + 2d
a3 + d = a1 + 3d
Stoga dobivamo da je op´ci cˇ lan aritmetiˇckog niza dat sa
an = an−1 + d = a1 + (n − 1) · d.
Sada nas interesuje zbir prvih n cˇ lanova aritmetiˇckog niza, tj.
Sn = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n .
Posmatrajmo za primjer aritmetiˇcki niz
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zbir njegovih prvih 100 cˇ lanova je
S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Grupišimo prvi sa zadnjim, drugi sa predzadnjim itd, tj.
1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, . . .
4
Na ovaj naˇcin dobijemo koliko parova? naravno, dobijemo 50 parova brojeva cˇ iji je
zbir 101! Dakle odgovor je
S100 = 50 · 101 = 5050.
u op´cem sluˇcaju, za Sn = a1 + a2 + . . . + an−1 + an
a1 + an = a1 + (a1 + (n − 1) · d) = 2a1 + (n − 1) · d
a2 + an−1 = a1 + d + (a1 + (n − 2) · d) = 2a1 + (n − 1) · . . .
A ovih parova ima koliko? Pa n/2! Stoga dobijemo da je suma prvih n cˇ lanova
aritmetiˇckog niza
n
Sn = (2a1 + (n − 1) · d),
2
ili drugaˇcije
n
Sn = (a1 + an ).
2
Dakle zbir prvih n brojeva je
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
n(n + 1)
n
(1 + n) =
.
2
2
Primjer. Ako na poˇcetku godine uložimo 1000KM i svaki slijede´ci mjesec ulažemo
po 50KM više nego u prethodnom mjesecu, izraˇcunati iznos uštedevine
za 7 godina.
¯
Dakle, ulažemo
1000, 1050, 1100, 1150, . . ..
Broj uloženih iznosa je 7·12 = 84, dakle interesuje nas ukupni zbir 84 uvakva ulaganja,
tj. S84 . Koriste´ci formulu, imamo
S84 =
84
· (2 · 1000 + (84 − 1) · 50) = 42 · (2000 + 4150) = 258300.
2
1.1.2 Geometrijski niz
Geometrijski niz
Ve´c smo vidjeli i dosta geometrijskih nizova, kao što su
1, 2, 4, 8, 16, . . .
1 1 1
1, , , , . . . ,
2 4 8
tj. nizova kod kojih je medusobni
odnos susjednih cˇ lanova konstantan! Formalnije,
¯
Definicija 1.3. Ako je
an+1
an+2
=
= q,
an
an+1
gdje je q realan broj, onda se (an )∞
1 naziva geometrijski niz.
5
√
Naziv niza dolazi iz osobine da je an+1 = an an+2 , dakle svaki cˇ lan niza an+1
je geometrijska sredina cˇ lana an , koji mu neposredno prethodi i cˇ lana an+2 , koji ga
slijedi u nizu. Dakle
a2
a3
a4
an
=
=
= ... =
= . . . = q.
a1
a2
a3
an−1
Odatle imamo da je
a2
a3
a4
= a1 · q
= a2 · q = a1 · q 2
= a3 · q = a1 · q 3 ,
pa odatle dobijamo formulu za op´ci cˇ lan geometrijskog niza
an = a1 · q n−1 .
No ako posmatramo obratno, tj.
a2 = a1 · q,
a3 = a2 · q ⇒ q =
a3
,
a2
dobijamo
√
a3
⇒ a22 = a1 · a3 ⇒ a2 = a1 · a3 ,
a2
tj. a2 je geometrijska sredina svojih susjednih cˇ lanova! U op´cem sluˇcaju
√
an = an−1 · an+1 .
a2 = a1 ·
Sada nas, kao i kod aritmetiˇckog niza zanima zbor prvih n cˇ lanova, tj. Sn .
Sn = a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q n−3 + a1 q n−2 + a1 q n−1 \ ·(1 − q)
(1 − q)Sn = a1 − a1 q + a1 q − a1 q 2 + a1 q 2 − a1 q 3 + . . .
+a1 q n−3 − a1 q n−2 + a1 q n−2 − a1 q n−1 + a1 q n−1 − a1 q n .
(1 − q)Sn = a1 − a1 q n = a1 (1 − q n )
odakle dobijamo da je suma prvih n cˇ lanova
Sn = a 1
1 − qn
!
1−q
Primjer. Posmatrajno geometrijski red
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 16
dakle a1 = 1, q = 12 . Posmatrajmo zbir prvih 10 cˇ lanova
S10 =
1 1 1
1
+ + + ...+ 1
2 4 8
2 0
6
Ova suma je jednaka
S10
10
1 − q 10
1 1 − 12
1
= a1 ·
=
==
1
1−q
2 1− 2
2
S10 =
210 −1
210
1
2
210 − 1
1024 − 1
=
= 0, 9990234375
10
2
1024
Primjer (Kamata na kamatu).
• Na poˇcetku godine uložimo iznos novca I0 u banku.
• Nakon odredenog
perioda obraˇcunava se kamata od p% na iznos po principu
¯
kamata na kamatu.
• Na kraju prvog obraˇcunskog perioda imamo
I0 + I0 · p% = I0 + I0 ·
p
p
= I0 (1 +
) = I0 · k.
100
100
• Na kraju drugog obraˇcunskog perioda osnovica je I0 · k, tj.
I0 · k + (I0 · k) ·
p
p
= I0 · k(1 +
) = I0 · k 2 .
100
100
• Ako stanja nakon svakog obraˇcunskog perioda posmatramo kao niz, dobijamo
geometrijski niz!
Primjer. Ako u banku uložimo 1000KM i obraˇcunava nam se kamata na kamatu po
stopi od 5%, koje c´ e biti stanje na kraju dvadesetog obraˇcunskog perioda?
Dakle I0 iznosi 1000KM . Šta u stvari mi trebamo izraˇcunati? Pa samo n-ti cˇ lan
geometrijskog niza! Dakle,
In = k n · I0 = (1 +
p n
5 20
) · I0 = (1 +
) · 1000KM
100
100
Dakle poslije 20-tog obraˇcunskog perioda, u banci c´ e biti
I20 = 1, 0520 · 1000KM = 2653, 30KM
1.2 Konvergencija nizova
Konvergencija nizova
U matematiˇckoj analizi prouˇcava se ponašanje cˇ lanova niza kada njihov indeks
neograniˇceno raste, tj. kada indeks “teži u beskonaˇcnost”.
Ideja je da se prouˇcava "gomilanje"
cˇ lanova
niza oko neke konkretne vrijednosti.
n
Tako na primjer, cˇ lanovi nizova ( n1 ) i (−1)
"gomilaju se" oko nule, tj. sve su bliže
n2
7
nuli kako indeks n postaje ve´ci, što vidimo ako izraˇcunamo po nekoliko cˇ lanova ovih
nizova,
1 1 1 1
1 1 1
1, , , , , ... − 1, , − , , ... .
2 3 4 5
4 9 16
n
ne bismo mogli tvrditi da su sve
Za cˇ lanove niza cˇ iji je opšti cˇ lan dat sa xn = 2+(−1)
n
bliže nuli kada se n pove´cava jer je na primjer
0 < x2n−1 =
1
3
<
= x2n ,
2n − 1
2n
iz cˇ ega vidimo da je x2n na ve´coj udaljenosti od nule nego njemu prethode´ci cˇ lan.
Medjutim, i ovde se može uoˇciti neko gomilanje oko nule, što se vidi ako se izracˇ una nekoliko prvih cˇ lanova niza, 1, 23 , 31 , 34 , 15 , .... Naime, ako izaberemo proizvoljno
malen broj ε > 0, svi cˇ lanovi niza c´ e biti manji od ε, samo ako posmatramo dovoljno
"daleke" cˇ lanove u datom nizu. Zaista, nije teško vidjeti da za proizvoljno n ∈ N
vrijedi
2 + (−1)n
3
xn =
≤ ,
n
n
pa je dovoljno posmatrati cˇ lanove niza cˇ iji je indeks n > 3ε , da bude zadovoljeno
xn < ε.
Primjetimo da smo u gornjem primjeru pokazali da za proizvoljno ε > 0 svi cˇ lanovi
niza, poˇcevši od nekog indeksa n0 , zadovoljavaju nejednakost xn < ε, tj. oni se
gomilaju oko taˇcke 0. Ovo je globalna ideja kojom se uvodi pojam konvergencije.
Definicija 1.4. Kažemo da je realan broj a graniˇcna vrijednost ili limes niza (xn ) ako
za svako ε > 0, postoji prirodan broj n0 , takav da za svaki prirodan broj n ≥ n0 vrijedi
|xn − a| < ε, što jednostavnije zapisujemo matematiˇckom simbolikom sa
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ |xn − a| < ε) .
(1)
Gornju cˇ injenicu zapisujemo sa
lim xn = a ili xn → a (n → +∞) .
n→+∞
Ako je lim xn = a, kažemo da niz (xn ) konvergira ka a ili da teži ka a, kada n
n→+∞
teži u beskonaˇcnost. Ako postoji a ∈ R, takav da lim xn = a, kažemo da je niz
n→+∞
konvergentan.
2 + (−1)n
= 0.
n→+∞
n
1
n
Na sliˇcan naˇcin se pokazuje da je lim
= 0 ili lim
= 1. Pokažimo prvu
n→+∞ n
n→+∞ n + 1
relaciju.
Primjer. U primjeru ispred Definicije 1.4 smo pokazali da je lim
lim
n→∞
1
=0
n
8
1
Primjer. Neka je xn = 2 n . Posmatramo li nekoliko prvih cˇ lanova ovog niza
1
1
x1 = 21 = 2 , x2 = 2 2 = 1, 41... , x3 = 2 3 = 1, 26... ,
1
1
x4 = 2 4 = 1, 19... , ... , x10 = 2 10 = 1, 07... ,
vidimo da se vrijednosti umanjuju i da se "kre´cu" ka 1, tj. "osje´camo" da je lim xn =
n→+∞
1. Ali ovakvo razmišljanje ni u kom sluˇcaju ne predstavlja dokaz ove tvrdnje.
Na isti naˇcin se pokazuje sljede´ci važan limes
lim
n→+∞
√
n
a = 1 , (a > 0)
Okolina taˇcke
Definicija 1.5. Okolina taˇcke a ∈ R je proizvoljan otvoren interval koji sadrži taˇcku a.
Otvoreni interval (a − ε, a + ε) dužine 2ε sa centrom u taˇcki a ∈ R, naziva se ε-okolina
taˇcke a.
Definicija 1.6. Kažemo da skoro svi cˇ lanovi niza imaju neku osobinu P ako postoji
n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 , xn ima osobinu P .
Drugaˇcije reˇceno, skoro svi cˇ lanovi niza imaju osobinu P ako je imaju svi cˇ lanovi
niza poˇcev od nekog indeksa ili što je isto kao da kažemo da tu osobinu imaju svi
cˇ lanovi niza osim njih konaˇcno mnogo. Nejednakost |xn − a| < ε, koriste´ci poznati
stav za apsolutnu vrijednost, možemo zapisati i kao a − ε < xn < a + ε, što je opet
ekvivalentno sa tim da xn ∈ (a−ε, a+ε). Koriste´ci sve reˇceno, Definiciju 1.4 možemo
iskazati ekvivalentno u sljede´cem obliku.
Definicija 1.7. Kažemo da niz (xn ) konvergira ka taˇcki a ∈ R ako se u svakoj ε-okolini
taˇcke a nalaze skoro svi cˇ lanovi niza.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Slika 3: Skoro svi cˇ lanovi niza u raznim ε-okolinama
Ako se skoro svi cˇ lanovi niza nalaze u nekoj ε0 -okolini taˇcke a, onda to isto važi i
za svaku ε-okolinu, gdje je ε > ε0 .
Iz ovoga je jasno da je konvergenciju dovoljno pokazati za malo ε, odnosno za
0 < ε < ε0 , gdje je ε0 proizvoljan pozitivan broj.
9
Primjer. Niz cˇ iji je opšti cˇ lan xn = (−1)n nije konvergentan. Zaista, pretpostavimo
suprotno, tj. da je za neko a ∈ R, lim xn = a.
n→+∞
Kako su svi cˇ lanovi datog niza jednaki ili 1 ili −1, to znaˇci da se oba ta broja
moraju nalaziti u proizvoljnoj ε-okolini taˇcke a. Medjutim, to oˇcigledno nije mogu´ce,
npr. izaberemo li ε < 12 tada nije mogu´ce da oba broja i 1 i −1 budu u intervalu
(a − ε, a + ε) cˇ ija je dužina manja od 1.
1.2.1 Osobine konvergentnih nizova
Teorem 1.1. Ako niz ima graniˇcnu vrijednost onda je ona jedinstvena.
Dokaz
Pretpostavimo da vrijedi
lim xn = a i
n→+∞
lim xn = b .
n→+∞
Ako je a 6= b, onda postoji ε > 0 takvo da ε-okoline oko taˇcaka a i b budu disjunktne
( dovoljno je uzeti da je ε = b−a
2 ).
Na osnovu Definicije 1.7 zakluˇcujemo onda da su svi cˇ lanovi niza (xn ), poˇcev od
nekog indeksa n1 , u ε-okolini broja a, ali isto tako bi morali svi cˇ lanovi niza poˇcev od
nekog indeksa n2 biti u ε-okolini taˇcke b.
Ako posmatramo cˇ lanove niza cˇ iji su indeksi ve´ci i od n1 i od n2 , zakljuˇcili bi smo
da se oni nalaze i u jednoj i u drugoj ε-okolini, što nije u saglasnosti sa disjunktnoš´cu
tih okolina.
Definicija 1.8. Za niz (xn ) kažemo da je ograniˇcen odozgo ako vrijedi:
(∃M ∈ R)(∀n ∈ N) xn ≤ M .
Niz je ograniˇcen odozdo ako vrijedi:
(∃m ∈ R)(∀n ∈ N) xn ≥ m .
Definicija 1.9. Za niz (xn ) kažemo da je ograniˇcen ako je skup svih elemenata tog
niza ograniˇcen, tj. ako postoji realan broj M ≥ 0 takav da je |xn | ≤ M za svako
n ∈ N. Ovo zapisujemo sa
(∃M ≥ 0)(∀n ∈ N) |xn | ≤ M .
Teorem 1.2. Svaki konvergentan niz je ograniˇcen.
Dokaz
Neka je niz (xn ) konvergentan, tj. neka je lim xn = a ∈ R. Neka je ε > 0 proizvoljno,
na primjer neka je ε = 1. Na osnovu definicije konvergencije, svi cˇ lanovi niza, poˇcev
10
od nekog indeksa n0 , pripadaju okolini (a − 1, a + 1), odnosno van ove okoline se
nalazi konaˇcno mnogo cˇ lanova niza.
Neka je m1 najmanja vrijednost i M1 najve´ca vrijednost od tih konaˇcno mnogo
cˇ lanova koji su van okoline. Oznaˇcimo sa
m = min{a − 1, m1 } , M = max{a + 1, M1 } .
Tada oˇcigledno vrijedi
(∀n ∈ N) m ≤ xn ≤ M ,
što predstavlja ograniˇcenost niza.
Ograniˇcenost niza je prema Teoremi 1.2, potreban uslov konvergencije. Da to nije i
dovoljan uslov, pokazuje primjer niza ((−1)n ) koji jeste ograniˇcen, ali kao što je ranije
pokazano nije konvergentan.
Teorem 1.3. Neka su dati nizovi (xn ) i (yn ).
1. Ako je xn = c ∈ R za skoro svako n ∈ N, tada je lim xn = c.
n→+∞
2. Neka je lim xn = x i lim yn = y (x, y ∈ R) i neka su a, b i c proizvoljni
n→+∞
n→+∞
realni brojevi. Tada važi:
(a)
(b)
(c)
lim (axn + byn ) = ax + by.
n→+∞
lim (xn + c) = x + c.
n→+∞
lim (xn · yn ) = x · y.
n→+∞
x
xn
= , ako je y 6= 0 i yn 6= 0 za n ∈ N.
n→+∞ yn
y
1
1
Primjer. Izraˇcunati: lim 3 · 2 n + 2 · 3 n .
(d)
lim
n→+∞
√
Koriste´ci pravilo 2.(a) i ranije pokazani limes niza ( n a) imamo da je
1
1
lim 3 · 2 n + 2 · 3 n = 3 · 1 + 2 · 1 = 5 .
n→+∞
Primjer. Izraˇcunati: lim
n→+∞
1
+6 .
n
Koriste´ci pravilo 2.(b) imamo
lim
n→+∞
1
+6
n
=0+6=6.
Definicija 1.10. Niz (xn ) za koga važi lim xn = 0, nazivamo nula-niz.
n→+∞
11
Zapravo, ispitivanje proizvoljnog konvergentnog niza se može svesti na ispitivanje
nula-niza, naime važi
Teorem 1.4. Niz (xn ) konvergira ka a ∈ R ako i samo ako niz (xn − a) konvergira ka
0.
Dokaz
Neka je lim xn = a. Na osnovu Teorema 1.3 2.(b) je lim (xn −a) = lim xn −
n→+∞
n→+∞
n→+∞
a = 0.
Obratno, ako je lim (xn − a) = 0, tada je
n→+∞
lim xn = lim (xn − a + a) = lim (xn − a) + a = a .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Teorem 1.5. Zbir, razlika i proizvod dva nula-niza je ponovo nula-niz.
Teorem 1.6. Neka je (xn ) proizvoljan nula-niz i neka je (yn ) proizvoljan ograniˇcen
niz ( ne obavezno konvergentan ). Tada je niz (zn ), gdje je zn = xn · yn (n ∈ N),
nula-niz.
Dokaz
Kako je niz (yn ) ograniˇcen, to postoji realan broj M > 0 takav da je za svako n ∈ N,
|yn | ≤ M . Iz konvergencije niza (xn ) ka nuli slijedi da za svako ε > 0 postoji n0 ∈ N,
tako da je za sve n ≥ n0 zadovoljeno |xn | < ε. Na osnovu svega ovoga zakljuˇcujemo
da c´ e za n ≥ n0 vrijediti
|zn | = |xn · yn | = |xn ||yn | < M ε ,
a što znaˇci da niz (zn ) konvergira ka nuli.
cos n
.
n→+∞ n
cos n
1
Oznaˇcimo sa zn =
= cos n. Kako je niz xn = n1 nula-niz, a niz yn =
n
n
cos n je ograniˇcen ( cos x ≤ 1 ), to je na osnovu gornje teoreme niz (zn ) nula-niz, tj.
Primjer. Izraˇcunati: lim
lim
n→+∞
cos n
=0.
n
Veza limesa i relacija poretka
Teorem 1.7. Neka je (xn ) proizvoljan niz.
1. Ako je lim xn = x > p (< p), tada je xn > p (< p) za skoro svako n ∈ N.
n→+∞
12
2. Ako je niz (xn ) konveregentan i ako je xn > p (< p), za skoro svako n ∈ N,
onda je lim xn ≥ p (≤ p).
n→+∞
Dokaz
1. Neka je lim xn = a i neka je a > p. Stavimo li da je ε =
n→+∞
a−p
2 ,
svi brojevi
koji pripadaju intervalu (a − ε, a + ε) su ve´ci od p ali skoro svi cˇ lanovi niza (xn )
su u toj ε-okolini i time je tvrdjenje dokazano. Sluˇcaj kada je a < p dokazuje se
analogno.
2. Neka je lim xn = a i neka je xn > p za skoro svako n. Ako bi bilo a < p,
n→+∞
to bi na osnovu dokazanog pod 1) znaˇcilo da je xn < p za skoro svako n, što je
oˇcigledna kontradikcija. Dakle mora biti a ≥ p.
Prethodni teorem najˇceš´ce c´ emo koristiti za sluˇcaj p = 0. Naime, ako je lim xn
n→+∞
pozitivan ( negativan ) broj, tada su skoro svi cˇ lanovi niza pozitivni ( negativni ). Ako
su skoro svi cˇ lanovi niza pozitivni ( negativni ), tada je graniˇcna vrijednost niza nenegativna ( nepozitivna ).
1
=
n→+∞ n
0. Ovim se potvrdjuje slijede´ce, ako je xn > p za skoro svako n onda je lim xn ≥ p
Primjer. Posmatrajmo niz ( n1 ). Svi cˇ lanovi niza su pozitivni, tj.
1
n
> 0, ali lim
n→+∞
Posljedica 1.1. Ako svi cˇ lanovi niza (xn ) pripadaju segmentu [a, b], tada i lim xn ∈
n→+∞
[a, b].
1.2.2 Beskonaˇcne graniˇcne vrijednosti
Definicija 1.11. Kažemo da niz (xn ) divergira ka plus beskonaˇcnosti, što oznaˇcavamo
sa lim xn = +∞, ako vrijedi
n→+∞
(∀K > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 )xn > K .
Kažemo da niz (xn ) divergira ka minus beskonaˇcnosti, što oznaˇcavamo sa lim xn =
n→+∞
−∞, ako vrijedi
(∀K > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 )xn < −K .
U oba sluˇcaja kažemo da niz odredeno
divergira.
¯
Sada možemo izvršiti selekciju svih nizova u odnosu na konvergenciju. Svaki realni
niz spada u jednu od klasa:
13
b
b
b
K
b
b
b
b
b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b
b
b
Slika 4: Odredeno
divergentni nizovi.
¯
• Niz je konvergentan ( graniˇcna vrijednost mu je neki realan broj ).
• Niz je odredjeno divergentan ( graniˇcna vrijednost mu je ili +∞ ili −∞ ).
• Niz je neodredjeno divergentan ( nema ni konaˇcnu ni beskonaˇcnu graniˇcnu vrijednost ).
Primjer. Posmatrajmo geometrijski niz xn = q n (n ∈ N). Za koje q ∈ R je dati niz
konvergentan?
Teorem 1.8. Neka je lim xn = x ∈ R i neka je lim yn = +∞. Tada vrijedi:
n→+∞
1.
2.
3.
n→+∞
lim (xn + yn ) = +∞.
n→+∞
lim (xn · yn ) = sgnx · ∞ (x 6= 0).
n→+∞
lim
n→+∞
4. Ako je
lim
n→+∞
xn
= 0.
yn
lim xn = 0 i ako su skoro svi cˇ lanovi niza (xn ) pozitivni, tada je
n→+∞
1
= +∞.
xn
Postoje kombinacije dva niza kada se rezultat ne može direktno odrediti kao u slucˇ ajevima opisanim u ovim teoremama. Tada kažemo da je graniˇcna vrijednost neodredjena ili da je neodredjenog tipa. To medjutim ne znaˇci da graniˇcna vrijednost ne
postoji, ve´c samo da se ne može unaprijed odrediti primjenom pravila datih u ovim
teoremama.
Primjer. Za niz sa opštim cˇ lanom xn =
n2 + 3n − 2
imamo neodredjenost tipa
2n2 + 5n + 4
Postoji sedam tipova neodredjenosti i oni su:
∞ 0
, , 0 · ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ , ∞0 , 00 .
∞ 0
14
∞
∞
1.2.3 Monotoni nizovi
Definicija 1.12. Za niz (xn ) kažemo da je
• strogo monotono rastu´ci ako vrijedi (∀n ∈ N) xn+1 > xn .
• monotono rastu´ci (neopadaju´ci) ako vrijedi (∀n ∈ N) xn+1 ≥ xn .
• strogo monotono opadaju´ci ako vrijedi (∀n ∈ N) xn+1 < xn .
• monotono opadaju´ci (nerastu´ci) ako vrijedi (∀n ∈ N) xn+1 ≤ xn .
Za niz koji posjeduje bilo koju od navedenih osobina kažemo da je monoton niz.
Kriteriji konvergencije mon. nizova
Teorem 1.9. Svaki monoton niz je ili konvergentan ili odredjeno divergentan ( ima
konaˇcnu ili beskonaˇcnu graniˇcnu vrijednost ).
Teorem 1.10. Svaki monoton i ograniˇcen niz je konvergentan.
U ovoj teoremi treba razlikovati dva sluˇcaja:
1. Ako je niz monotono rastu´ci, zahtijevamo ograniˇcenost odozgo.
2. Ako je niz monotono opadaju´ci, zahtijevamo da je niz ograniˇcen odozdo.
n
Primjer. Pokažimo da je niz xn = 1 + n1 rastu´ci i ograniˇcen odozgo.
Jednostavnim raˇcunom se ima
xn+1
n+2
=
xn
n+1
1−
1
(n + 1)2
n
.
Na osnovu Bernoullijeve nejednakosti je
n
1
n
1−
>1−
, n≥2,
2
(n + 1)
(n + 1)2
pa imamo
xn+1
n+2
>
xn
n+1
1−
n
(n + 1)2
=
n3 + 3n2 + 3n + 2
>1.
n3 + 3n2 + 3n + 1
Dakle niz je strogo monotono rastu´ci.
Ako sada posmatramo i niz yn = 1 +
za proizvoljno n ∈ N.
1 n+1
,
n
15
oˇcigledna je nejednakost xn ≤ yn
Pokazati da je niz (yn ) strogo monotono opadaju´ci, ostavljeno je za vježbu. Iz
ovoga onda zakljuˇcujemo da je bilo koji cˇ lan niza (yn ) gornje ograniˇcenje niza (xn ),
pa možemo re´ci da je xn ≤ y1 = 4 za proizvoljno n ∈ N.
Iz monotonosti i ograniˇcenosti niza (xn ) zakljuˇcujemo njegovu konvergenciju.
Graniˇcnoj vrijednosti ovog niza dajemo posebno ime ( prema Euleru ), a istiˇcemo i
njegovu važnost za raˇcunanje mnogih drugih limesa.
Definicija 1.13.
n
1
e = lim
1+
.
n→+∞
n
Broj e nazivamo Eulerovim brojem i on je jedna od najvažnijih matematiˇckih konstanti. Prvih nekoliko decimala tog broja su
e = 2, 718281828...
Koriste´ci se algebrom limesa, lako se vidi da takoder
¯ imamo
an
1
lim 1 +
(ako lim an = ∞)
n→∞
n→∞
an
te direktno slijedi da
1
lim (1 + an ) an
n→∞
(ako lim an = 0)
n→∞
Primjer. Izraˇcunati
2n−1
3
1. lim 1 +
;
n→∞
n
2n+1
n+1
2. lim
; lim n(ln(n + 1) − ln n);
n→∞ n − 1
n→∞
Alati za izraˇcunavanje limesa
Teorem 1.11 (Teorem o lopovu i dva policajca). Neka su (xn ) i (yn ) nizovi za koje
vrijedi
1.
lim xn = lim yn = A.
n→+∞
n→+∞
2. Za skoro svako n ∈ N je xn ≤ zn ≤ yn .
Tada i niz (zn ) ima graniˇcnu vrijednost i važi lim zn = A.
n→+∞
16
Primjer. Izraˇcunati: lim
n→+∞
√
n
2n + 3n .
Kako važi
3n ≤ 2n + 3n ≤ 2 · 3n ,
tada je
√
√
n
n
2n + 3n ≤ 3 2 .
√
Ako oznaˇcimo sa xn = 3 i sa yn = 3 n 2, tada oˇcigledno važi
3≤
lim xn = lim yn = 3 ,
n→+∞
n→+∞
pa na osnovu teoreme o lopovu i dva policajca vrijedi
√
lim zn = lim n 2n + 3n = 3 .
n→+∞
n→+∞
17
© Copyright 2024 Paperzz
