KOORDINATNI SISTEMI U GEODEZIJI
(Skripta sa Univerziteta New Brunswick – Kanada)
E.J. KRAKIWSKY
D.E. WELLS
Sarajevo, oktobar 2011
Stranica |2
Predgovor
Skripta „Koordinatni sistemi u geodeziji“ je namijenjena prvenstveno studentima treće godine
prvog ciklusa studija geodezije koji slušaju predmet Geodetski referentni okviri. Skripta je
sastavljena iz pet poglavlja, u kojima su opisani terestrički, nebeski i orbitalni sistemi, kao i
njihove međusobne veze.
U skripti su korištene originalne oznake i skraćenice, kao i numeracija formula, slika i tabela.
Slike su preuzete u izvornom obliku, ali u budućnosti će biti urađene kvalitetnije i oznake na
njima će biti prevedene na bosanski jezik.
Za sve eventualne greške u tekstu se izvinjavam, i molim studente, kao i druge koji budu koristili
ovu skriptu, da mi ukažu na greške, kako bi bile ispravljene na vrijeme.
Dževad Krdžalić
Sarajevo, 06.10.2011
Stranica |3
Sadržaj
1
2
Uvod ......................................................................................................................................... 7
1.1
Polovi, ravni i ose .............................................................................................................. 8
1.2
Univerzalno i zvjezdano vrijeme ....................................................................................... 9
1.3
Koordinatni sistemi u geodeziji ....................................................................................... 10
Terestrički koordinatni sistemi ............................................................................................... 11
2.1
2.1.1
Kretanje polova i nepravilna rotacija Zemlje ........................................................... 11
2.1.2
Srednji i trenutni terestrički sistem........................................................................... 13
2.1.3
Geodetski sistemi ..................................................................................................... 14
2.2
Veza između kartezijevih i krivolinijskih koordinata...................................................... 15
2.2.1
Kartezijeve i krivolinijske koordinate tačke na referentnom elipsoidu .................... 15
2.2.2
Vektor položaja izražen preko geodetske širine ....................................................... 17
2.2.3
Vektor položaja tačke izražen preko geocentričke i redukovane širine ................... 19
2.2.4
Veza između geodetske, geocentričke i redukovane širine ...................................... 20
2.2.5
Vektor položaja tačke koja se nalazi iznad referentnog elipsoida............................ 20
2.2.6
Transformacija iz srednjih terestričkih kartezijevih u geodetske koordinate ........... 21
2.3
Geodetski datumi ............................................................................................................. 23
2.3.1
Datum position parameters (Parametri položajnog datuma) .................................... 24
2.3.2
Uspostava datuma .................................................................................................... 26
2.3.3
Sjevernoamerički datum ........................................................................................... 27
2.3.4
Transformacije datuma ............................................................................................. 27
2.4
Terestrički topocentrički sistemi ..................................................................................... 29
2.4.1
Lokalni astronomski sistem ...................................................................................... 30
2.4.2
Lokalni geodetski sistem .......................................................................................... 32
2.5
3
Terestrički geocentrički sistemi ....................................................................................... 11
Sumarni pregled terestričkih sistema ............................................................................... 33
Nebeski koordinatni sistemu .................................................................................................. 36
3.1
Ekliptički sistem .............................................................................................................. 37
3.2
Sistem rektascenzije (Nebeski ekvatorski sistem) ........................................................... 39
3.3
Sistem satnog ugla (Mjesni ekvatorski sistem) ............................................................... 40
3.4
Horizontski sistem ........................................................................................................... 41
3.5
Promjene u sistemu rektascenzije .................................................................................... 43
3.5.1
Precesija i nutacija .................................................................................................... 43
3.5.2
Srednji nebeski sistemi ............................................................................................. 45
Stranica |4
4
5
3.5.3
Pravi nebeski sistem ................................................................................................. 47
3.5.4
Prividni mjesni sistem .............................................................................................. 48
3.5.5
Mjesni sistem opažača .............................................................................................. 48
3.6
Transformacija između prividnog nebeskog i srednjeg terestričkog koordinatnog sistema
49
3.7
Sumarni pregled nebeskih sistema .................................................................................. 50
Orbitalni koordinatni sistem ................................................................................................... 52
4.1
Orbitalna elipsa i anomalije orbite................................................................................... 52
4.2
Orbitalni koordinatni sistem ............................................................................................ 54
4.3
Transformacija iz orbitalnog u srednji terestrički sistem ................................................ 55
4.4
Promjene elemenata orbite .............................................................................................. 55
4.5
The satellite subpoint ....................................................................................................... 56
4.6
Topocentričke koordinate satelita .................................................................................... 56
Sumarni pregled koordinatnih sistema ................................................................................... 58
5.1
Terestrički sistemi............................................................................................................ 58
5.2
Nebeski sistemi ................................................................................................................ 59
5.3
DUALITY PARADOX u prividnom nebeskom sistemu i sistemu opažača ................... 59
5.4
Veze između terestričkih, nebeskih i orbitalnih sistema ................................................. 60
6
Reference ................................................................................................................................ 61
7
DODATAK A ........................................................................................................................ 63
Stranica |5
Popis slika:
Slika 1-1: Terestrički, nebeski i orbitalni koordinatni sistemi ......................................................... 7
Slika 1-2: Tipovi koordinatnih sistema ............................................................................................ 8
Slika 2-1: Kretanje pola.................................................................................................................. 12
Slika 2-2: Položaj tačke koja se kreće uniformno duž ekvatora minus položaj tačke na trenutnom
ekvatoru .......................................................................................................................................... 12
Slika 2-3: Terestrički i geodetski koordinatni sistemi .................................................................... 13
Slika 2-4: Transformacija iz trenutnog u srednji terestrički sistem................................................ 14
Slika 2-5: Referentni elipsoid ......................................................................................................... 16
Slika 2-6: Različite širine ............................................................................................................... 17
Slika 2-7: Tangenta na meridijansku elipsu ................................................................................... 18
Slika 2-8: Tačka iznad referentnog elipsoida ................................................................................. 20
Slika 2-9: Meridijanski presjek Zemlje .......................................................................................... 24
Slika 2-10: Orijentacija elipsoida prema geoidu ............................................................................ 25
Slika 2-11: Geodetski i lokalni geodetski koordinatni sistem ........................................................ 31
Slika 2-12: Jednačine koje povezuju terestričke sisteme ............................................................... 35
Slika 3-1: Ekliptički sistem ............................................................................................................ 38
Slika 3-2: Sistem rektascenzije (Nebeski ekvatorski sistem) ......................................................... 39
Slika 3-3: Sistem satnog ugla ......................................................................................................... 40
Slika 3-4: Vrijeme, dužina i rektascenzija ..................................................................................... 41
Slika 3-5: Horizontski sistem ......................................................................................................... 42
Slika 3-6: Varijacije nebeskog sistema rektascenzije (nebeski ekvatorski sistem) ........................ 44
Slika 3-7: Kretanje nebeskog pola ................................................................................................. 45
Slika 3-8: Efekti precesije i nutacije .............................................................................................. 45
Slika 3-9: Srednji nebeski koordinatni sistem ................................................................................ 46
Slika 3-10: Pravi i srednji nebeski koordinatni sistem ................................................................... 47
Slika 3-11: Nebeski koordinatni sistemi ........................................................................................ 51
Slika 4-1: Orbita satelita (orbitalna elipsa)..................................................................................... 52
Slika 4-2: Keplerovi elementi orbite .............................................................................................. 54
Slika 4-3: Satellite subpoint ........................................................................................................... 55
Slika 4-4: Topocentričke koordinate satelita .................................................................................. 56
Slika 5-1: Koordinatni sistemi........................................................................................................ 58
Stranica |6
Popis tabela:
Tabela 2-1: Primjer transformacije datuma .................................................................................... 29
Tabela 2-2: Referentni polovi, ravni i ose koje definišu terestričke koordinatne sisteme ............. 34
Tabela 2-3: Transformacije između terestričkih koordinatnih sistema .......................................... 35
Tabela 3-1: Referentni polovi, ravni i ose kojima su definisani nebeski koordinatni sistemi ....... 50
Tabela 3-2: Transformacije između nebeskih koordinatnih sistema .............................................. 51
Stranica |7
1 Uvod
Ove bilješke sadrže precizne definicije koordinatnih sistema, opis transformacija između
koordinatnih sistema na koje se odnose koordinate stajališta na površini Zemlje. Da bi definisali
koordinatni sistem moramo odrediti:
1. položaj ishodišta,
2. orijentaciju osi (orijentaciju 3 kordinatne ose),
3. parametre (Kartezijeve, krivolinijske) koji definišu položaj tačke u koordinatnom sistemu.
Zemlja ima dva različita periodična kretanja u svemiru. Zemlja rotira oko svoje osi, i revoluira
(obilazi) oko Sunca (pogledaj sliku 1-1). Tu je i prirodni satelit – Mjesec, i mnogo drugih
vještačkih satelita koji imaju treće periodično kretanje u svemiru: orbitalno kretanje oko Zemlje.
Ova periodična kretanja su osnova za definisanje koordinatnih sistema i skala vremena
(vremenskih sistema).
Terestrički koordinatni sistemi su vezani (fiksirani) za Zemlju i rotiraju zajedno sa Zemljom. Oni
služe za definisanje koordinata tačaka na površini Zemlje. Dvije su osnovne vrste ovih sistema:
geocentrički i topocentrički sistemi (vidi Sliku 1-2).
Nebeski koordinatni sistemi ne revoluiraju ali mogu rotirati sa Zemljom.Koriste se za definisanje
koordinata nebeskih tijela kao što su zvijezde. Postoje 4 vrste nebeskih sistema, i to horizontski
sistem, mjesni ekvatorski (sistem satnog ugla), nebeski ekvatorski (tzv. sistem rektascenzije), i
ekliptički sistem.
Orbitalni sistemi ne rotiraju sa Zemljom, ali obilaze oko Sunca zajedno sa Zemljom. Koriste se za
definisanje koordinata satelita koji obilaze oko Zemlje.
Slika 1-1: Terestrički, nebeski i orbitalni koordinatni sistemi
Stranica |8
Slika 1-2: Tipovi koordinatnih sistema
1.1 Ose i ravni koordinatnog sistema
Orijentacija koordinatnih sistema se zadaje definicijom slijedećih pojmova:
1. prva osnovna smjer odn. prva koordinatna os,
2. prva osnovna ravan, koja je uvijek okomita na prvu osnovnu smjer.
koordinatnih osa se može opisati primarnim i sekundarnim polovima, primarnim i sekundarnim
ravnima, i primarnim, sekundarnim i tercijarnim osama.
Primarni pol je zapravo osa simetrije koordinatnog sistema, npr. rotacijska osa Zemlje. Primarna
ravan je ravan okomita na primarni pol, npr. Zemljina ekvatorijalna ravan. Sekundarna ravan je
okomita na primarnu ravan i sadrži primarni pol. Ponekad se ova ravan bira dogovorom, npr.
ravan Griničkog meridijana, ponekad se pak postiže prirodno, npr. ravan ekvinocija. Sekundarni
pol je presjek primarne i sekundarne ravni. Primarna osa je sekundarni pol. Tercijarna osa je
primarni pol. Sekundarna osa je upravna na druge dvije ose, i bira se tako da s njima čini ili desno
ili lijevo orijentisani sistem.
Mi ćemo koristiti ili primarnu ravan ili primarni pol, i primarnu osu da bi specificirali orijentaciju
svih gore pomenutih koordinatnih sistema.
Za terestričke geocentričke sisteme:
a) ishodište je blizu centra Zemlje,
b) primarni pol koincidira sa rotacijskom osom Zemlje, a primarna ravan okomita na
primarni pol se zove ekvatorijalna ravan,
c) primarna osa je presjek ekvatorijalne ravni i ravni koja sadrži Grinički meridijan,
d) sistem je desno orijentisan.
Za terestričke topocentričke sisteme:
a) ishodište je u tački blizu površine Zemlje,
Stranica |9
b) primarna ravan je tangentna ravan na površinu Zemlje u posmatranoj tački,
c) primarna osa je sjeverna tačka (presjek tangencijalne ravni i ravni koja sadrži Zemljin
sjeverni rotacijski pol),
d) sistem je lijevo orijentisan.
Za nebeski ekliptički sistem:
a) ishodište je blizu centra Sunca,
b) primarna ravan je ravan orbite Zemlje, koja se naziva ekliptička ravan,
c) primarna osa je presjek ekliptičke i ekvatorijalne ravni, i zove se proljetni ekvinocij
(proljetna – gama – tačka),
d) sistem je lijevo orijentisan.
Za sistem rektascenzije:
a) ishodište je blizu centra Sunca,
b) primarna ravan je ekvatorijalna ravan,
c) primarna osa je proljetni ekvinocij,
d) sistem je lijevo orijentisan.
Za sistem satnog ugla:
a) ishodište je blizu centra Sunca,
b) primarna ravan je ekvatorijalna ravan,
c) sekundarna ravan je nebeski meridijan (ravan koja je definisana položajem opažača i
Zemljinom rotacijskom osom),
d) sistem je lijevo orijentisan.
Za nebeski horizontski sistem:
a) ishodište je blizu centra Sunca,
b) primarna ravan je paralelna tangencijalnoj ravni opažača (horizontska ravan – horizont),
c) primarna osa je paralelna opažačevoj sjevernoj tački,
d) sistem je lijevo orijentisan.
Za orbitalni sistem:
a) ishodište je centar gravitacije Zemlje,
b) primarna ravan je ravan orbite satelita koji se kreće oko Zemlje,
c) primarna osa je u orbitalnoj ravni i orijentisana je prema tački perigeja (tačka u kojoj je
satelit najbliže Zemlji) i zove se apsidna linija,
d) sistem je desno orijentisan.
1.2 Svjetsko (opće) i zvjezdano vrijeme
Usko povezani sa Zemljinom periodičnom rotacijom i revolucijom su dva vremenska sistema
(skale vremena) i to svjetsko (opće,sunčevo) vrijeme (Universal Time, UT) i zvjezdano vrijeme
(Siderial Time, ST). Skale vremena su definisane specificiranjem intervala i epohe. Solarni –
sunčev dan je interval između dva uzastopna prolaza Sunca preko istog terestričkog meridijana.
Zvjezdani dan je interval između dva uzastopna prolaza proljetnog ekvinocija preko istog
terestričkog meridijana. Zvjezdano vrijeme je ugao između tačke proljetnog ekvinocija i nekog
terestričkog meridijana: ako je taj meridijan Grinički meridijan onda je to Griničko zvjezdano
vrijeme (GST). Solarno vrijeme je čvrsto povezano sa zvjezdanim vremenom preciznom
matematičkom formulom. Zvjezdano vrijeme povezuje terestričke i nebeske koordinatne sisteme.
S t r a n i c a | 10
1.3 Koordinatni sistemi u geodeziji
Geodezija je nauka koja se bavi određivanjem veličine i oblika Zemlje i određivanjem koordinata
tačaka na ili iznad površine Zemlje.
Koordinate stajališta su određene u odnosu na koordinate drugih stajališta mjerenjem jedne ili
više od sljedeće 4 kategorije mjernih veličina: pravci, dužine, razlike dužina, i visine.
Horizontalna i vertikalna uglovna mjerenja između dvije stanice na Zemlji (npr. Mjereni
teodolitom) su terestrički pravci. Uglovna mjerenja između stanice na Zemlji i satelita (npr.
Mjerenja na osnovu fotografija satelita) su satelitski pravci. Uglovna mjerenja između stanice na
Zemlji i zvijezde (npr. direktno opažanje zvijezda teodelitom) su astronomski pravci. Dužine
između dvaju stanica na Zemlji (mjerene npr. elektrooptičkim daljinomjerom) su terestričke
dužine. Dužine između stanica na Zemlji i satelita (mjerene LSR) su satelitske dužine. Mjerene
razlika u dužini između jedne stanice na Zemlji i druge dvije stanice (npr. mjerene hiperboličkim
sistemom) su terestričke razlike dužina. Mjerene razlike dužina između stanice na Zemlji i dva
satelita (Dopplerova tehnika mjerenja) su satelitske razlike dužina. Sva ova mjerenja određuju
geometrijske odnose između stanica, i kao takva predmet su geometrijske geodezije [vidi npr.
Bomford 1962].
Nivelane visinske razlike i mjerene vrijednosti ubrzanja sile teže na putu nivelanja su vrijednosti
koje su povezane sa razlikama potencijala u Zemljinom polju sile teže, i predmet su fizikalne
geodezije [vidi npr. Heiskainen i Moritz 1967.].
Funkcionalni odnosi između ovih mjerenja i koordinata stanica sa kojih su mjerenja napravljena
(poznate i nepoznate tačke) su sadržani u matematičkom modelu. Jedinstveno rješenje za
nepoznate koordinate se može dobiti primjenom izravnanja metodom najmanjih kvadrata [Wells i
Krakiwsky 1971.].
Detaljnije o koordinatnim sistemima koji se odnose na terestričku i satelitsku geodeziju može se
vidjeti u Veis [1960.] i Kaula [1966.], a za geodetsku astronomiju kod Mueller [1969.].
S t r a n i c a | 11
2 Terestrički koordinatni sistemi
U ovom poglavlju ćemo prodiskutovati o terestričkim geocentričkim i terestričkim
topocentričkim koordinatnim sistemima.
Prvo ćemo razmotriti terestričke geocentričke sisteme koristeći samo kartezijeve koordinate, te
ćemo razmotriti detaljnije značenje „rotacijske ose Zemlje“ i „Griničkog meridijana“. Nakon toga
ćemo opisati vezu između kartezijevih i krivolinijskih koordinata. Potom ćemo diskutovati o
geodetskom datumu. Na kraju ćemo razmotriti terestričke topocentričke sisteme, sa naglaskom na
značenje izraza „površina Zemlje“.
2.1 Terestrički geocentrički sistemi
U uvodu je za terestričke geocentričke sisteme navedeno sljedeće:
a) ishodište je blizu centra Zemlje,
b) primarni pol koincidira sa rotacijskom osom Zemlje,
c) primarna osa je presjek primarne ravni i ravni koja sadrži Grinički meridijan,
d) sistem je desno orijentisan.
Posljednja konstatacija je jednoznačna – nedvosmislena. Kao što ćemo vidjeti ostale tri nisu. Prvo
ćemo diskutovati o problemu definisanja Zemljinih osa rotacije i Griničkog meridijana. Potom
ćemo raspraviti translacije ishodišta iz centra Zemlje.
2.1.1 Kretanje polova i nepravilna rotacija Zemlje
Mi razmišljamo o Zemlji kao tijelu koje rotira oko fiksne ose jednolikom brzinom. Zapravo, osa
nije fiksna i brzina nije jednolika.
Prije 70 godina je otkriveno da se smjer rotacijske osi Zemlje mijenja u odnosu na površinu
Zemlje. Kretanje pola je uglavnom uzrokovano činjenicom da rotacijska osa Zemlje i
maksimalna inercija ne koincidiraju, tj. ne poklapaju se. Rezultujuće kretanje je nepravilno ali
manje-više kružno i u smjeru kretanja kazaljke na satu (gledano sa sjevera), sa amplitudom oko 5
metarai glavnim periodom od 430 dana (tzv. Chandler-ov period).
Internacionalne organizacije, International Polar Motion Service (IPMS) i Bureau International
de l'Heure (BIH) rutinski mjere kretanje pola astronomskim opažanjima; IPMS to radi sa pet
stanica koje se nalaze na istoj širini, a BIH to radi sa oko 40 stanica rasprostranjenih širom
svijeta. Rezultati se publikuju kao koordinate pravog položaja rotacijske osi u odnosu na
referentnu tačku koja se zove Conventional International Origin (CIO), a koja predstavlja
prosječan položaj rotacijske ose za period od 1900. do 1905. (IUGG (1967.) Bull Geod 86, 379
(1967.) Resolution 19). Slika 2-1 prikazuje kretanje pola tokom 1969. godine određeno od strane
IPMS-a i BIH-a.
S t r a n i c a | 12
Slika 2-1: Kretanje pola
Prije 30 godina su otkrivene nepravilnosti u rotaciji Zemlje (drugačije od kretanja pola). Postoje
tri tipa nepravilnosti: sezonske varijacije vjrovatno uzrokovane meteorološkim promjenama ili
Zemljinom plimom i osekom; stogodišnje (sekularno) smanjenje uzrokovanom plimnim trenjem;
i nepravilne fluktuacije [Mueller 1969.]. Sezonske varijacije se danas jedino uzimaju u obzir, i
manje-više se ponavljaju iz godine u godinu, i uzrokuju pomake uz ekvator do 15 m u odnosu na
tačku koja uniformno rotira tokom godine (vidi sliku 2-2).
Zbog sezonskih varijacija Grinički meridijan (ravan koja sadrži rotacijsku os Zemlje i centar
prolaza instrumenta na Griničkom opservatoriju) ne rotira uniformno. Fiktivni nulti meridijan
koji rotira jednoliko (do sada su efekti kretanja polova i sezonskih varijacija uključeni) se zove
Srednji opservatorij (Mean Observatory) ili srednji Grinički astronomski meridijan. Njegov
položaj je određen od strane BIH.
Slika 2-2: Položaj tačke koja se kreće uniformno duž ekvatora minus položaj tačke na trenutnom ekvatoru
S t r a n i c a | 13
2.1.2 Srednji i trenutni terestrički sistem
Srednji terestrički sistem (A.T.) je idealni svjetski geodetski koordinatni sistem (vidi sliku 2-3),
(Op. po novoj terminilogoji se takav sistem naziva CT odn. Conventional Terrestrial sistem):
a) Ishodište je smješteno u težište Zemlje.
b) Primarni pol je prema CIO (srednja vrijednost položaja pola za period 1900.-1905.), a
primarna ravan je ravan okomita na primarni pol i sadrži težište Zemlje (srednja
ekvatorijalna ravan).
c) Sekundarna ravan je ravan koja sadrži primarni pol i Grinvički srednji meridijan. Presjek
ove dvije ravni je sekundarni pol, ili primarna osa.
d) Ovaj sistem je desno orijentisan.
Slika 2-3: Terestrički i geodetski koordinatni sistemi
Možemo definisati vector položaja tačke na terenu preko kartezijevih koordinata x, y, z
= ..
(2.1)
Trenutni terestrički system (I.T.) je definisan na sljedeći način:
a) Ishodište sistema je u težištu Zemlje.
b) Primarni pol je usmjeren prema pravoj (trenutnoj) rotacijskoj osi Zemlje.
c) Primarna osa je presjek primarne ravni i ravni koja sadrži stvarnu rotacijsku osu i srednji
astr. Grinvički meridijan.
d) Sistem je desno orijentisan.
S t r a n i c a | 14
Glavna karakteristika ova dva sistema je da su to geocentrički sistemi čije je ishodište u centru
gravitacije (težištu) Zemlje i rotacijska osa Zemlje je primarni pol (poklapa se sa primranom
osom).
Na osnovu rotacijskih matrica [Thompson 1969.; Goldstein 1950.; Wells 1971.] možemo
transformisati koordinate tačke koje su u trenutnom terestričkom sistemu u srednji terestrički
system pomoću sljedeće jednačine (vidi sliku 2-4):
= − − ..
..
(2.2)
Slika 2-4: Transformacija iz trenutnog u srednji terestrički sistem
gdje su , izraženi u lučnim sekundama, a rotacijske matrice su
1
0
0
$
− = 0 cos − sin − #,
1
#
0 −sin − cos − "
koja predstavlja rotaciju u smjeru kazaljke na satu (negativnu) oko x ose, i
cos− 0 −sin− 2− = &
',
0
1
0
sin− 0 cos− koja predstavlja rotaciju u smjeru kazaljke na satu (negativnu) oko y ose. Inverzna formula od
(2.2) je
−1 = *2 − 1 − + ,
(.).
,.).
i zbog ortogonalnosti rotacijskih matrica imamo
−1 -./ = ) -./ = -−./,
tj.
= ..
..
(2.3)
2.1.3 Geodetski sistemi
Geodetski koordinatni sistem (G) je sistem koji je definsan tako da su mu sve tri ose paralelne sa
odgovarajućim osama srednjeg terestričkog sistema (vidi sliku 2-3). Prva situacija prikazuje
geocentrički geodetski sistem dok druga prikazuje negeocentrički sistem koji se obično naziva
S t r a n i c a | 15
relativni geodetski sistem, koji je povezan sa srednjim terestričkim sistemom pomoću
komponenti translacije datuma
0
00 = 10 2,
0
= 03 + 0 ,
gdje je 0 vektor položaja u geodetskom sistemu, i dat je sa
05 = ,
6
i jednačina u vektorskom obliku glasi:
i
3
= 13 2 + 3
..
7
(2.4)
Više detalja o tome kako je relativni geodetski sistem uspostavljen na Zemlji će se dati (poglavlje
2.3), ali prije toga korisno je da se upoznamo vezu između kartezijevih i krivolinijskih
koordinata.
2.2 Veza između kartezijevih i krivolinijskih koordinata
U ovom poglavlju ćemo opisati Kartezijeve (x, y, z) i krivolinijske (širina, dužina, visina)
koordinate tačke na referentnom elipsoidu. Poslije toga ćemo razviti izraz za vektor položaja u
zavisnosti od širine. Na kraju dolazi transformacija geodetskih -8, λ, ℎ/ u (x, y, z) i obrnuto
(ovdje se misli na konverziju koordinata op.prev.).
2.2.1 Kartezijeve i krivolinijske koordinate tačke na referentnom elipsoidu
Elipsoid koji se u geodeziji koristi kao referentna površ je rotacijski elipsoid koji nastaje
rotacijom elipse oko svoje male poluosi b (slika 2-5). Velika poluosa a i spljoštenost f su
parametri koji definišu referentni elipsoid:
;=
<−=
<
< − =
<
(2.5)
Druga dva korisna parametra su prvi numerički ekscentricitet e
i drugi numerički ekscentricitet e'
> =
>′ =
< − =
.
=
(2.6)
(2.7)
Kartezijev koordinatni sistem je superponiran na referentni elipsoid (slika 2-5) tako da:
a) Ishodište Kartezijevog sistema je centar elipsoida.
b) Primarni pol (z-osa) Kartezijevog sistema je mala poluosa elipsoida. Primarna ravan je
okomita na primarnu osu i zove se ekvatorijalna ravan.
c) Bilo koja ravan koja sadrži malu poluosu i siječe površ elipsoida se zove meridijanska
ravan. Specifična meridijanska ravan izabrana kao sekundarna ravan je Grinvička
meridijanska ravan. Sekundarni pol (x-osa) je presjek ekvatorijalne i Grinvičke
meridijanske ravni.
S t r a n i c a | 16
d) y-osa je izabrana tako da tvori desni koordinatni sistem, a leži u ekvatorijalnoj ravni,
zarotirana za 90° u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu u odnosu na x-osu.
Slika 2-5: Referentni elipsoid
@ AB @ = 1,
Jednačina ovog elipsoida izražena preko Kartezijevih koordinata je
gdje su:
ili
1
E<
AB = 0
0
@ = C
0
1E
<
0
0 $
0 ##,
1E #
="
+ + = 1.
<
=
D,
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Širina tačke je ugao između ekvatorijalne ravni i normale na elipsoid u datoj tački mjeren u ravni
meridijana date tačke. Linija koja je u datoj tački okomita na elipsoid se zove normala na
elipsoid. Normale na elipsoid prolaze kroz geometrijski centar elipsoida samo u ekvatorijalnoj
ravni ili ako se poklapaju sa malom poluosom. Zbog toga imamo dvije vrste širine. Ugao između
normale na elipsoid u tački i ekvatorijalne ravni je geodetska širina 8. Ugao između linije koja
spaja tačku sa centrom elipse, i ekvatorijalne ravni je geocentrička širina F. Imamo i treću širinu,
koja se uglavnom koristi za matematičke dokaze, a koja se zove redukovana širina G (vidi sliku
2-6).
Dužina H meridijanske ravni je ugao između ravni Grinvičkog meridijana i ravni meridijane
posmatrane tačke, mjeren u ekvatorijalnoj ravni u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu
(vidi sliku 2-5).
Elipsoidna visina h tačke je linearno odstojanje tačke od elipsoida, mjereno duž normale na
elipsoid koja prolazi kroz posmatranu tačku (vidi sliku 2-8).
S t r a n i c a | 17
2.2.2 Vektor položaja izražen preko geodetske širine
Posmatrajmo tačku P na površini elipsoida. Koordinate tačke P u sistemu čija je primarna osa
(označimo je sa x*) u meridijanskoj ravni tačke P su
∗
0 = 1 0 2.
(2.11)
Ravan okomita na normalu u tački P, koja prolazi kroz tačku P se zove tangentna ravan tačke P.
Sa slike 2-7 imamo da je nagib ove ravni
J
cos 8
= tan-90° + 8/ = −
.
∗
J
sin 8
Slika 2-6: Različite širine
(2.12)
S t r a n i c a | 18
Slika 2-7: Tangenta na meridijansku elipsu
- ∗ / + =1
<
=
(2.13)
2= ∗ J ∗ + 2< J = 0
(2.15)
Nagib se može računati i pomoću jednačine meridijanske elipse
= - ∗ / + < = < = ili
J
=∗
=
−
.
J ∗
< (2.14)
(2.16)
= ∗ cos 8
=
< sin 8
Iz prethodne dvije jednačine slijedi da je nagib jednak
= - ∗ / sin 8 = < cos 8
ili
što nakon kvadriranja daje
(2.17)
= O - ∗ / sin 8 = <O cos 8
= O sin 8
=
−<O cos 8 - ∗ /
0
Q P Q = * +.
< =
<
(2.18)
(2.19)
Kada se jednačine 2.14 i 2.19 izraze u matričnom obliku, dobije se
P
(2.20)
<2 <4 cos2 8
2
4
2 ,
<2 =2 <2 cos2 8 + =2 sin2 8 −= = sin 8
1
Inverzna matrica matrice koeficijenata je
pa je
P
-∗ /2
2
Q=
<4 cos2 8
4
2 <2 cos2 8 + =2 sin2 8 = sin 8
1
i kada se nađe kvadratni korijen
1
< cos 8
∗
P
Q.
* +=
-< cos 8 + = sin 8/ E = sin 8
Sa slike 2-6 imamo
a iz jednačine 2-21 je
cos 8 =
∗
,
S
(2.21)
S t r a n i c a | 19
∗ =
pa je
S=
<2 cos 8
<2 cos2 8 + = sin 8
2
<
2
1E
2
,
E
-< cos 8 + = sin 8/
(2.22)
S cos 8
∗
0
0 = 102 = 1
2.
S = ⁄< sin 8
(2.23)
cos 8 cos H
0 = = S & cos 8 sin H ' .
= ⁄< sin 8
(2.24)
N je radijus zakrivljenosti elipsoida u ravni okomitoj na meridijansku ravan (tzv. ravan prvog
vertikala).
Sada ćemo napisati vektor položaja tačke P koji se odnosi na sistem čija je primarna osa u ravni
Grinvičkog meridijan, tako što ćemo rotirati koordinatni sistem oko z-ose u smjeru kazaljke na
satu (negativna rotacija) za dužinu H.
S cos 8
cos-−H/ sin-−H/ 0
∗
0
0 = = U -−H/ 1 0 2 = 1−sin-−H/ cos-−H/ 02 1
2
⁄ S
=
<
sin
8
0
0
1
ili
2.2.3 Vektor položaja tačke izražen preko geocentričke i redukovane širine
Iz slike 2-6 slijedi da je vektor položaja tačke P izražen geocentričke širine F
cos F
∗
0 = 1 0 2 = |0| 1 0 2
sin F
|0|
gdje je
modul vektora položaja 0.
Rotiranjem koordinatnog sistema radi uvođenja dužine (kao što smo uradili u prethodnom
slučaju) daje izraz za računanje vektora položaja tačke preko geocentričke širine
cos F cos H
∗
0 = = U -−H/ 1 0 2 = |0| 1 cos F sin H 2 .
sin F
(2.25)
Iz slike 2-6 vidimo da je redukovana širina tačke G tačke P je jednaka geocentričkoj širini tačaka
Q i R, gdje je tačka Q projekcija tačke P, paralelna sa malom polusom, do presjeka sa kružnicom
radijusa jednakog velikoj poluosi, a tačka R je projekcija tačke P, paralelna velikoj poluosi, do
presjeka sa kružnicom radijusa jednakog veličini male poluose.
Vektor položaja tačke P izražen preko redukovane širine G je
< cos G
∗
0 = 1 0 2 = 1 0 2.
= sin G
Rotiranjem koordinatnog sistema radi uvođenja dužine, dobivamo
S t r a n i c a | 20
< cos G cos H
∗
0 = = U-−H/ 1 0 2 = 1 < cos G sin H 2 .
= sin G
(2.26)
2.2.4 Veza između geodetske, geocentričke i redukovane širine
Iz jednačina 2-24, 2-25 i 2-26 imamo
2
=
=
= 2 tan 8 cos H = tan F cos H = tan G cos H.
<
<
Kada pokratimo cos H dobivamo:
=
tan 8 ,
<
<
tan G = tan F ,
=
=
tan F = tan 8 .
<
tan G =
(2.27)
(2.28)
(2.29)
2.2.5 Vektor položaja tačke koja se nalazi iznad referentnog elipsoida
Posmatrajmo tačku i koja se nalazi na fizičkoj površini Zemlje, kao na slici 2-8, čije su
koordinate geodetska širina 8 i dužina H, i elipsoidna visina h. Projekcija tačke i na površ
elipsoida duž normale je definisana jediničnim vektorom WX .
Slika 2-8: Tačka iznad referentnog elipsoida
0 = 0 + ℎWX ,
Vektor položaja je suma dva vektora:
Gdje je vektor 0 definisan jednačinom 2-24, a vector W je jedinični vektor definisan jednačinom 2-
68c, tj.
Tada je
(2.30)
cos 8 cos H
W = 1 cos 8 sin H 2.
sin 8
S t r a n i c a | 21
cos 8 cos H
cos 8 cos H
cos
8
sin
H
05 = = S &
' + ℎ 1 cos 8 sin H 2
sin 8
= ⁄< sin 8
-S + ℎ/ cos 8 cos H
0 = = & -S + ℎ/ cos 8 sin H ' .
-S = ⁄< + ℎ/ sin 8
ili
(2.31)
Vektor položaja u jednačini 2-31 se odnosi na koordinatni sistem čije je ishodište u
geometrijskom centru elipsoida. Ako je ovim elipsoidom definisan relativni geodetski sistem,
onda njegov centar općenito ne koincidira sa centrom gravitacije Zemlje. Izraz za vektor položaja
u srednjem terestričkom sistemu je (na osnovu jednačine 2-4)
3
-05 /.. = 13 2 + -05 /7.
3
ili
-0 /..
-S + ℎ/ cos 8 cos H
3
= = 13 2 + & -S + ℎ/ cos 8 sin H ' .
3
..
-S = ⁄< + ℎ/ sin 8
(2.32)
Posljednji izraz daje općenitu formulu za transformaciju relativnih geodetskih koordinata -8, H, ℎ/ u
srednje terestričke koordinate (x, y, z), sa datim veličinama elipsoida (a, b) i komponentama translacije
-3 , 3 , 3 /.
2.2.6 Transformacija iz srednjih terestričkih kartezijevih u geodetske koordinate
Veoma korisna je transformacija inverzna transformacija predstavljena jednačinom 2.32. Date su
srednje terestričke koordinate (x, y, z), komponente translacije (x0, y0, z0), i veličina elipsoida (a,
b), a treba sračunati relativne geodetske koordinate -8, H, ℎ/.
Prvi korak je da prebacimo ishodište sistema iz centra gravitacije u centar elipsoida. Na osnovu jednačine
2-32 imamo
3
− 13 2.
= (2.33)
3
7.
..
Geodetska dužina H se računa direktno po formuli
H = tanY .
(2.34)
Geodetska širina 8 i elipsoidna visina h se malo teže računaju, s obzirom da je vličina radijusa N u
funkciji 8, koji se računa po formuli 2-22
<
S=
(2.35)
,
-cos 8 + = ⁄< sin 8/ E
dok je h nepoznato. Počinjemo sa računanjem
> = 1 − = ⁄<
Iz jednačine 2-31
= - + /⁄
2 = -S + ℎ/2 cos2 8 cos2 H + -S + ℎ/2 cos2 8 sin2 H
= -S + ℎ/ cos 8
(2.36)
(2.37)
S t r a n i c a | 22
ili
ℎ=
= S =
Odavdje je
⁄<2
(2.38)
<2 − =2
+ ℎ sin 8 = ZS −
S + ℎ[ sin 8 = S + ℎ − >2 S sin 8
<2
Također, iz jednačine 2-31 imamo
2
− S.
cos 8
-S + ℎ − > S/ sin 8
>S
=
= tan 8 \1 −
]
-S + ℎ/ cos 8
S+ℎ
(2.39)
Ova jednačina može biti riješena na dva načina. Prvi način podrazumijeva direktno rješenje za 8.
Drugi način je iterativni postupak koji je jednostavniji. Razmotrićemo prvo iterativni postupak. Iz
2.39 imamo
8 = tan
Y
>S
] 2
1^ _ \1 −
S+ℎ
Y
Iterativni postupak počinjemo sa sljedećim nultim-početnim vrijednostima
S3 = <
ℎ3 = - + + // − -<=//
83 = tan
Y
Nakon toga se računa iterativno
S =
> S3
] 2
1^ _ \1 −
S3 + ℎ3
Y
<
-cos 8Y + = ⁄< sin 8Y /
ℎ =
− S
cos 8Y
E
> S
] 2.
8 = tanY 1^ _ \1 −
S + ℎ
Y
Iterativni postupak se ponavlja do ispunjenja uslova
-ℎ − ℎY / < <b
i
-8 − 8Y / < b
za neku prikladno izabranu vrijednost b (npr. b = 10Y3 za program napravljen u Fortran-u).
U jednačini 2.39 eliminišemo h koristeći jednačinu 2.38
> S cos 8
]
= tan 8 \1 −
ili
tan 8 − = > S sin 8.
U posljednjoj jednačini jedina nepoznata je 8. Sada ćemo preoblikovati ovu jednačinu da bismo
dobili rješenje. Uvrštavanjem izraza za N iz jednačine 2.35 dobivamo
<> sin 8
tan 8 − =
.
-cos 8 + = ⁄< sin 8/ E
Kada podijelimo nazivnik i brojnik na desnoj strain sa cos 8
S t r a n i c a | 23
tan 8 − =
<> tan 8
-1 + = ⁄< tan 8/
E
- tan 8 − /-1 + -1 − > / tan 8// = <> tan 8
Kvadriramo ovu jednačinu da bi se riješili korijena
- tan 8 − 2 tan 8 + /-1 + -1 − > / tan 8// = < > O tan 8
ili
2 tan 8
tanO 8 − 2 tanU 8 + -G + / tan 8 −
+
=0
-1 − > / -1 − > /
gdje je
− < > O
.
G=
-1 − > /
Ovo je bikvadratna jednačina po tan 8, u kojoj su vrijednosti svih koeficijenata poznate.
Standardni postupak rješavanja bikvadratnih jednačina postoji (vidi npr. Korn and Korn, 1968.), i
primijenjen je na ovu jednačinu od strane Paul-a (1973.), koji je napravio računarski program koji
je za oko 25% brže rješavao ovu jednačinu od iterativnih programa. Kada se nađe rješenje za 8,
onda se N i h računaju po jednačinama 2.35 i 2.38.
ili
2.3 Geodetski datumi
Postoje dva prirodna oblika Zemlje (vidi sliku 2-9); topografska ili fizička površ Zemlje
uključujući i površ okeana (teren), i ekvipotencijalna površ Zemljinog gravitacijskog polja koja
se podudara sa idealizovanom površi okeana (geoid).
Kontrolna mjerenja (npr. dužine, uglovi, visinske razlike) su napravljena između tačaka na terenu
koje zovemo kontrolne tačke. Ova mjerenja se koriste za određivanje geometrijskih relacija
između kontrolnih tačaka u postupku koji se zove izravnanje mreže. Druge tačke se poslije
povezuju sa mrežom kontrolnih tačaka naknadnim mjerenjima i računanjima u postupku koji se
naziva progušćavanje. Klasičan pristup podrazumijeva da se vertikalna mjerenja, mreže i
računanja obavljaju odvojeno od horizontalnih mjerenja, mreža i računanja. Međutim,
trodimenzionalni pristup sve više dobiva na značaju [Hotine 1969.].
U klasičnom pristupu vertikalna mjerenja i mreže se odnose na vertikalni datum koji je ustvari
geoid. Umjesto geoida, kao datumska površ kod horizontalnih mreža, uvedena je treća površ –
neprirodna površ – rotacijski ellipsoid. Razlog zbog kojeg je matematička figura poput elipsoida
upotrijebljena za horizontalni datum je značajno pojednostavljenje kod izravnanja mreže i njenog
progušćavanja.
Zbog činjenice da datum nije geoid potrebne su izvjesne korekcije. Ellipsoid se može odabrati da
približno aproksimira geoid tako da se korekcijski članovi mogu uzeti kao linearne veličine, a za
neke druge svrhe se mogu i zanemariti. Za dobro odabran ellipsoid (vidi sliku 2-9), rastojanje
između geoida i elipsoida (geoidna visina) je uvijek manja od 100m, i razlika između normale i
vertikale bilo kojoj tački (otklon vertikale) je obično manja od 5 sekondi, i veoma rijetko prelazi
1 minutu.
Čak i jednostavnija površ od elipsoida (kao što su sfera i ravan) može biti dobra aproksimacija
geoida ako je područje koje se posmatra dovoljno malo, i/ili ako se traži manja tačnost.
Uvođenje nove površi (elipsoida) ima cijenu. Horizontalna kontrolna mreža (skup koordinata
tačaka mreže) se odnosi na ellipsoid. Prije nego što započne računanje, kontrolna mjerenja se
moraju redukovati tako da se i ona odnose na ellipsoid.
S t r a n i c a | 24
Veoma važno je napraviti razliku između datuma (koordinatna površ ili površ elipsoida) i
koordinata tačaka mreže koje se odnose na datum. Često se u praksi (pogotovo u Sjevernoj
Americi) koristi termin datum za skup tačaka.
Slika 2-9: Meridijanski presjek Zemlje
2.3.1 Datum position parameters (Parametri položajnog datuma)
Da bi uspostavili ellipsoid kao referentnu površ za koordinatni system moramo definisati njegovu
veličinu i oblik (obično se to postiže definisanjem veličine velike poluosi i spljoštenosti
elipsoida) i moramo odrediti njegov položaj u odnosu na Zemlju. Dobro pozicioniran ellipsoid će
dobro aproksimirati geoid na području pokrivenom mrežom koja je u tom datumu. Parametri
kojima definišemo vrijednosti kako bi odredili položaj elipsoida se zovu parametri položajnog
datuma.
U 3D prostoru, bilo koje tijelo (a tako i naš ellipsoid) ima šest stepeni slobode, tj. šest načina na
koje njegov položaj u odnosu na fiksno tijelo (u našem slučaju Zemlju) može biti promijenjen.
Dakle, imamo šest parametara položajnog datuma.
Drugi način da se sagleda ova problematika jested a se razmotre dva trodimenzionalna
Kartezijeva koordinatna sistema, od kojih je jedan fiksiran za elipsoid a drugi fiksiran za Zemlju.
Općenito ishodišta ovih sistema se neće poklapati, i ose neće biti paralelne. Stoga, da bi definisali
transformaciju iz jednog u drugi system moramo specificirati položaj ishodišta jednog sistema u
odnosu na drugi system, a to su tri coordinate, i tri rotacijska ugla. Ovih šest parametara
predstavljaju šest stepeni slobode i dodjeljivanjem vrijednosti ovim parametrima definiše se
položaj elipsoida u odnosu na Zemlju. To je naših šest parametara položajnog datuma. Datum je
u potpunosti određen specificiranjem vrijednosti osam parametara – veličine i oblika elipsoida, i
šest parametara položajnog datuma. U principu postoje dvije vrste parametara položajnog datuma
koje se koriste. Jedna vrsta su oni kod kojih su fiksni elipsoid i koordinatni sistem fiksiran za
Zemlju definisani tako da im je ishodište u blizini geocentra. Druga vrsta su oni kod kojih je
fiksni elipsoid i koordinatni sistem fiksiran za Zemlju definisani tako da im se ishodište nalazi
blizu površine Zemlje u tačku koju zovemo početna (inicijalna) tačka datuma.
S t r a n i c a | 25
U prvom slučaju (geocentar) sistem fiksiran za Zemlju je srednji terestrički sistem opisan u
poglavlju 2.1.2, a fiksni elipsoid je geodetski sistem predstavljen jednačinom 2.31 (ali ovdje se
pretpostavlja da ose geodetskog i srednjeg terestričkog sistema općenito nisu paralelne). U ovom
slučaju parametri položajnog datuma su koordinate ishodišta srednjeg terestričkog sistema (x0, y0,
z0 iz jednačine 2.32) i tri rotacijska ugla (označimo ih sa w1, w2, w3) koji su potrebni da bi se
definisalo odstupanje osa. Naravno, preporučljivo je da se elipsoid pozicionira tako da ovi uglovi
budu manji što je to više moguće, a posebno da dvije ose simetrije (mala poluosa elipsoida i
srednja rotacijska osa Zemlje ili srednja terestrička z-osa) budu paralelne.
U drugom slučaju (topocentar) sistem fiksiran za Zemlju je lokalni astronomski sistem (LA) u
početnoj tački. Koordinatni sistenm vezan za elipsoid sistem je lokalni geodetski sistem (LG) u
istoj tački (lokalni astronomski i lokalni geodetski sistem su opisani u poglavlju 2.4).
Slika 2-10: Orijentacija elipsoida prema geoidu
Prije nego što nastavimo dalje sa ovom problematikom razmotrimo geometriju u blizini tačke
koja je na površini Zemlje. Slika 2-10 je uvećan prikaz ravni geodetskog meridijana u takvoj
tački, koji prikazuje elipsoid, geoid, nekoliko ekvipotencijalnih površi povezanih sa geoidom, i
teren (fizičku površinu Zemlje). Normala na elipsoid siječe elipsoid, geoid, i teren u tačkama Q, P
i T respektivno. Imamo tri „prirodne“ normale koje odgovaraju ovoj normali na elipsoid;
vertikala na površini (okomita na ekvipotencijalnu plohu u tački T), vertikala na geoidu (okomita
na geoid u tački P) i vertikala (okomita na sve ekvipotencijalne plohe između terena i geoida).
Općenito vertikala je kriva linija dok su druge dvije linije pravci, i nijedna od ove tri linije ne leže
ustvari u ravni geodetskog meridijana – one su na slici prikazane kao projekcija na ovu ravan.
Ako zanemarimo zakrivljenost vertikale onda je ona paralelna sa vertikalom na geoidu.
Ravan astronomskog meridijana sadrži jednu od vertikala i paralelna je srednjoj terestričkoj z-osi.
Ugao između vertikale i paralele srednjoj ter. osi z je astronomska ko-latituda − 8. Ugao
između ravni astronomskog meridijana i referentne meridijanske ravni (Grinič) je astronomska
dužina Λ. Ugao između normale na elipsoid i vertikale je otklon vertikale, koji se može razložiti
na dvije komponente, e komponentu koja je u ravni geodetskog meridijana i f komponentu koja
je u ravni prvog vertikala (ravan koja sadrži normalu i okomita je ravan geodetskog meridijana).
S obzirom na dvije vertikale, imamo i dva skupa vrijednosti za astronomsku širinu i dužinu i
c
S t r a n i c a | 26
komponente otklona vertikale, a ako se zakrivljenost vertikale zanemari onda su ove vrijednosti
jednake.
Ako je elipsoid smješten tako da su njegove geocentrične ose paralelne sa osama srednjeg
terestričkog sistema (tj. w1=w2=w3=0) onda je
(2.40)
e =Φ−8
(2.41)
f = -Λ − λ/ cos 8
gdje su -8, H/ su geodetske koordinata tačaka Q, P i T.
Udaljenost između elipsoida i geoida, mjerena duž normale (QP) je geoidna visina N*.
Udaljenost između elipsoida i terena, mjerena duž normale (QT) je elipsoidna visina h.
Udaljenost između geoida i terena, mjerena duž vertikale (P'T) je ortometrijska visina H. Ako
zanemarimo zakrivljenost vertikale imamo
ℎ = S∗ + h
(2.42)
Ako imamo neku tačku koja se nalazi na nekoj udaljenost od tačke T, ugao između ravni
geodetskog meridijana i ravni koja sadrži tu tačku i normalu na elipsoid QPT je geodetski azimut
i te tačku u odnosu na Q, P ili T. (Ustvari to je azimut normalnog presjeka, i razlikuje se od
geodetskog azimuta za veoma male iznose (Bomford, 1971.). Ugao između ravni astronomskog
meridijana i ravni koja sadrži posmatranu tačku i pripadajuću vertikalu je astronomski azimut A
te tačke u odnosu na tačke P ili T zavisno od toga koja se vertikala koristi. Iz razloga što je otklon
vertikale mali, imamo da je za sve tačke iznos
ji = , − i
(2.43)
skoro konstantan, i to je ugao između ravni geodetskog i astronomskog meridijana.
Vratimo se na položajne parametre topocentričkog datuma. Prirodno je da lokalni geodetski
sistem ima ishodište na datumskoj površi, tj. elipsoidu. Kod klasičnog pristupa (ne
trodimenzionalnog) ortometrijske visine H se kod horizontalnih mreža koriste samo za redukciju
mjerenih veličina na geoid, stoga je prirodno da za ishodište lokalnog astronomskog sistema
uzmemo tačku koja je na geoidu. Šest parametara položajnog datuma, u ovom slučaju geodetske
koordinate ishodišta lokalnog astronomskog sistema -83 , H3 , S3∗ / i rotacijski uglovi -e3 , f3 , ji3 /
je potrebno da se definiše transformacija između lokalnog geodetskog i lokalnog astronomskog
sistema.
2.3.2 Uspostava datuma
Vidjeli smo da je datum definisan određivanjem vrijednosti osam parametara
-<, =, 3 , 3 , 3 , k , k , kU / ili osam parametara -<, =, 83 , H3 , S3∗ , e3 , f3 , ji3 /. Međutim,
proizvolja skup vrijednosti neće uvijek rezultirati odgovarajućim datumom. Podsjećamo da je
važno da datum dobro aproksimira geoid na području na kojem se nalazi mreža za koju
definišemo datum, i da geocentričke ose geodetskog koordinatnog sistema budu približno
paralelne osama srednjeg terestričkog sistema, a posebno je važno da ose simetrije budu
paralelne. Proces dodjeljivanja vrijednosti za osam parametara datuma na način da se zadovolje
gore navedeni uslovi se naziva uspostava datuma.
Prilikom uspostave datuma uvijek se dodjeljuju vrijednosti za set topocentričkih parametara
-<, =, 83 , H3 , S3∗ , e3 , f3 , ji3 / zbog toga što on povezuje geodetska i astronomska mjerenja koja
moramo koristiti u uspostavi datuma. Vidimo da nekako moramo izabrati vrijednosti
-<, =, 83 , H3 , S3∗ , e3 , f3 , ji3 / tako da vrijednosti -S ∗ , e, f/ bilo gdje u mreži nisu prevelike (datum
dobro aproksimira geoid), i tako da je k = k = kU = 0 (ose su paralelne). Dodatni uslov za
S t r a n i c a | 27
globalne mreže je 3 = 3 = 3 = 0, i u tom slučaju je datum geocentrički. U suprotnom je
datum lokalni.
Problem aproksimacije geoida se može zanemariti, i u tom slučaju je
S3∗ = e3 = f3 = 0
tj. elipsoid tangira geoid u početnoj tački.
Geoid se može aproksimirati na dva načina, biranjem vrijednosti -<, =, S3∗ , e3 , f3 / takvih da su
vrijednosti -e, f / ili vrijednost S ∗ u mreži minimizirane (Vanicek, 1972.). Napomenimo da su
vrijednosti -S ∗ , e, f / dostupne za mrežu samo ako već postoji neka izravnata mreža, što ukazuje
na iterativnu prirodu uspostave datuma – najbolje prilagođeni datum se može uspostaviti jedino
pobiljšanjem već postojećeg datuma.
Klasičan način osiguranja uslova da ose simetrije budu paralelne je primjena Laplasovog uslova u
početnoj tački, tj. određivanje vrijednosti i3 prema
ji3 = ,3 − i3 = f3 tan 83
(2.44)
gdje je ,0 opažani astronomski azimut. Ovaj uslov obezbjeđuje da geodetski i astronomski
meridijan budu paralelni u početnoj tački, i prema tome da obje ose simetrije leže u zajedničkoj
ravni. Međutim, ose simetrije opet mogu ležati izvan meridijanske ravni. Rješenje ove dileme je u
primjeni Laplasovog uslova na nekoliko geodetskih meridijana paralelnih sa njihovim
odgovarajućim astronomskim meridijanima. U biti ovo prisiljava izravnatu mrežu da kompenzira
neslaganje datuma, umjesto da osigura da mala osa datuma bude paralelna sa rotacijskom osom
Zemlje. Napomenimo da forsiranje Laplaceovog uslova u mreži podrazumijeva da već postoji
izravnata mreža, što opet ukazije na iterativnu prirodu datuma.
Op: Sve gore navedeno se odnosi na tkz. "astrogeodetske" datume, koji se uspostavljaju uz
pomoć terestričkih (i astronomskih) mjerenja. Datumi uspostavljeni us pomoć podataka
satelitske geodezije su tkz. "globalni" datumi.
2.3.3 Sjevernoamerički datum
2.3.4 Transformacije datuma
Ako su date krivolinijske koordinate stanice koje se odnose na određeni datum, onda se često
javlja problem kako dobiti krivolinijske koordinate stanice koje se odnose na drugi datum.
Ako transformišemo koordinate iz jednog u drugi datum potrebno je uzeti u obzir dvije stvari:
a) položaj geometrijskog centra svakog od referentnih elipsoida u odnosu na centar
gravitacije, ili položaj jednog u odnosu na drugi,
b) razlike u veličini iobliku između elipsoida.
Za pretpostaviti je da su ose oba datuma paralelne osama srednjeg terestričkog sistema.
Razmotrimo elipsoide čiji su veličina i oblik definisani sa -< , = / i -< , = / (ili alternativno
-< , ; / i -< , ; /, gdje je ; = -< − =/⁄< ) i sa položajem geometrisjkih centara u odnosu na
centar mase Zemlje definisanih sa
3
-03 / = 13 2
3 i
3
-03 / = 1 3 2 .
3 S t r a n i c a | 28
Označimo koordinate tačke koje se odnose na prvi elipsoid sa -8 , H , ℎ /. Želimo naći
koordinate ove tačke koje se odnose na drugi elipsoid -8 , H , ℎ /.
Koordinate tačke u srednjem terestričkom sistemu su date jednačinom 2.32:
-S + ℎ / cos 8 cos H
3
= 1 3 2 + & -S + ℎ / cos 8 sin H ' .
3 ..
-S = ⁄< + ℎ / sin 8
(2.45)
-S + ℎ / cos 8 cos H
3
= 13 2 + & -S + ℎ / cos 8 sin H ' .
3 ..
-S = ⁄< + ℎ / sin 8
(2.46)
j3
j8
j<
j
1 3 2 + l 1 jH 2 + m P Q = 0
j;
j3
jℎ
(2.47)
Ali na koordinate u srednjem terestričkom sistemu ne utiče transforamcija, pa je
Dvije su metode za dobivanje -8 , H , ℎ /. Prva metoda, iterativna metoda, je da se nađu
koordinate u srednjem terestričkom sistemu direktno pomoću formule 2.45, i onda inverznom
jednačinom 2.46 naći -8 , H , ℎ /, koristeći iterativnu metodu opisanu u poglavlju 2.2.6.
Druga metoda, diferencijalna metoda, se može upotrijebiti kad su razlike parametara
-j<, j;, j3 , j3 , j3 / između dva datuma dovoljno male da možemo koristiti razvoj u Tejlorov
red. Nađimo totalni diferencijal jednačine 2.32, i zadržimo koordinate u sr. ter. sistemu
invarijantnim, te stavimo razlike između dva datuma kao diferencijalne veličine i dobićemo
gdje je
−-n + ℎ/ sin 8 cos H
l = & −-n + ℎ/ sin 8 sin H
-n + ℎ/ cos 8
−-S + ℎ/ cos 8 sin H
-S + ℎ/ cos 8 cos H
0
S cos 8 cos H
<
S cos 8 sin H
m=
<
S-1 − ;/ sin 8
<
n=
cos 8 cos H
cos 8 sin H '
sin 8
n sin 8 cos 8 cos H
$
1−;
#
n sin 8 cos 8 sin H #
#
1−;
#
-n sin 8 − 2S/ sin 8#
1−;
"
<-1 − ;/
-cos 8 + -1 − ;/ sin 8/U/
j3
j8
j<
Y j
1 jH 2 = −l o1 3 2 + m P Qp
j;
j3
jℎ
(2.48)
(2.49)
(2.50)
Rješavanjem jednačine 2.47 po koordinatnim razlikama dobićemo
gdje je
lY
sin 8 cos H
−
-n + ℎ/
sin H
=
−
-S + ℎ/ cos 8
cos 8 cos H
sin 8 sin H
-n + ℎ/
cos H
-S + ℎ/ cos 8
cos 8 sin H
−
(2.51)
cos 8
$
-n + ℎ/#
#
0 #
#
sin 8 "
(2.52)
S t r a n i c a | 29
Napomenimo da se matrice mogu izračunati u oba koordinatna sistema, budući da je pretpostavka
da su razlike u veličinama male. Nadalje, razumljivo je pojednostavljenje matrica koristeći sferne
aproksimacije -; = 0, S = n = S + ℎ = n + ℎ = </ i u tom slučaju dobivamo Heiskanen i
Moritz-ovu jednačinu transformacije (1967., jednačina 5.55).
Tabela 2-1 pokazuje primjer računanja transformacije datuma. Ovaj primjer prikazuj
transformaciju koordinata stanice u Dartmouth-u, Nova Scotia iz Sjevernoameričkog datuma
epoha 1927 („stari“ datum) u Evropski datum epoha 1950 („novi“ datum). Komponentne
translacije datuma su date od strane Lambeck-a (1971.). Jednačine 2.45 i 2.46 su računate
iterativno, a jednačina 2.51 je riješena diferencijalnom metodom. Neslaganja rezultata su oko 0,4
m u širini, 0,3 m u dužini i 0,2 m u visini.
Tabela 2-1: Primjer transformacije datuma
2.4 Terestrički topocentrički sistemi
U uvodu je navedeno da se terestrički topocentrički sistemi definišu kao:
a) ishodište je u tački blizu površine Zemlje,
b) primarna ravan je tangentna ravan na površ Zemlje u posmatranoj tački,
S t r a n i c a | 30
c) primarna osa je sjeverna tačka,
d) sistem je lijevo orijentisan.
Posljednje dvije odrednicu ne predstavljaju problem. Međutim, „površ Zemlje“ se može
interpretirati na tri načina, kao fizička površina Zemlje, kao ekvipotencijalna površ Zemlje ili kao
površ referentnog elipsoida. Nije praktično da se koordinatni sistem definiše preko tangentne
ravni na Zemljinu fizičku površ. Mogu se, dakle, definisati dvije vrste terestričkih topocentričkih
sistema: prvi je sistem u kojem je primarni pol normala na ekvipotencijalnu površ koja prolazi
kroz stajališnu tačku i zove se lokalni astronomski sistem, drugi je sistem u kojem je primarni pol
normala na elipsoid koja prolazi kroz stajališnu tačku i zove se lokalni geodetski sistem
[Krakiwsky 1968.].
2.4.1 Lokalni astronomski sistem
Lokalni astronomski sistema (L.A.) je definisan sa:
a) Ishodište je u stanici sa koje se opaža.
b) Primarni pol (z-osa) je normala na ekvipotencijalnu površ (vertikala) u stajališnoj tački.
Primarna ravan je ravan koja sadrži ishoište i okomita je na vertikalu.
c) Primarna osa (x-osa) je presjek primarne ravni i ravni koja sadrži srednji terestrički pol i
stajališnu tačku, i zove se astronomski sjever.
d) Y-osa je usmjerena prema istoku i čini lijevo orijentisani sistem.
Vektor položaja opažane tačke l, izražen u lokalnom astronomskom sistemu stajališne tačke k je
dat sa
cos uqr cos ,qr
-0qr /s.. = = tqr 1 cos uqr sin ,qr 2 ,
s..
sin uqr
gdje je tqr prostorna udaljenost, uqr je vertikalni ugao, i ,qr je astronomski azimut.
(2.54)
S t r a n i c a | 31
Slika 2-11: Geodetski i lokalni geodetski koordinatni sistem
Napomenimo da je veza lokalnog astronomskog sistema sa srednjim terestričkim sistemom data
astronosmkom širinom Φq i astronomskom dužinom Λ q ali tek nakon što se opažane veličine
Φq , Λ q , Aq koriguju za kretanje pola. Vektor položaja iz jednačine 2.54 izražen u srednjem
terestričkom sistemu glasi
-0qr /.. = = U -180° − Λ q / -90° − Φq /x ..
s..
gdje je x2 matrica zrcaljenja
1 0 0
x = 10 −1 02
0 0 1
(2.55)
(2.56)
kojom se postiže transformacija iz lijevo orijentisanog u desno orijentisani sistem, dok su
rotacijske matrice date sa
i
cos-90° − Φq / 0 − sin-90° − Φq /
= 1
0
1
0
2
sin-90° − Φq / 0 cos-90° − Φq /
cos-180° − Λ q / sin-180° − Λ q / 0
U = 1− sin-180° − Λ q / cos-180° − Λ q / 02
0
0
1
(2.57)
(2.58)
i one dovode tri ose astronomskog sistema u paralelan položaj odgovarajućim osama srednjeg
terestričkog sistema.
Inverzna transformacija je
S t r a n i c a | 32
-0qr /s.. = CU -180° − Λ q / -90° − Φq /x DY -0qr /..
(2.59)
− sin Φ cos Λ
Wy = 1 − sin Φ sin Λ 2 ,
cos Φ
(2.62)
− sin Λ
Wz = 1 cos Λ 2 ,
0
(2.63)
cos Φ cos Λ
WX = 1 cos Φ sin Λ 2 ,
sin Φ
(2.64)
-0qr /s.. = x -Φq − 90°/U -Λq − 180°/-0qr /..
(2.60)
Još uvijek nismo uzeli u obzir translaciju. Jedino smo rotirali vektor položaja -0qr / stanice l u
odnosu na stanicu k u srednji terestrički sistem. Ako je vektor položaja stanice k u odnosu na
centar gravitacije u srednjem terestričkom sistemu -q /.., onda je ukupni vektor položaja r
opažane stanice l u odnosu na centar gravitacije u srednjem terestričkom sistemu dat sa
-r /.. = -q /.. + -0qr /.. .
(2.61)
Jedinični vektori Wy , Wz , WX usmjereni duž osa lokalnog astronomskog sistema imaju sljedeće
komponentne u srednjem terestričkom sistemu
1
Wy = U -180° − Λ q / -90° − Φq /x 102
0
0
Wz = U -180° − Λ q / -90° − Φq /x 112
0
0
WX = U -180° − Λ q / -90° − Φq /x 102
1
Lokalni astronomski sistem je jedinstven za svaku stajališnu tačku. Zbog ove činjenice, ovaj
sistem je osnova za obradu terestričkih 3D mjerenja, izvedenih na više stanica, zajedno u jedno
rješenje.
2.4.2 Lokalni geodetski sistem
Lokalni geodetski sistem (L.G.) je definisan na sljedeći način (vidi sliku 2-11):
a) Ishodište sistema leži u normali na elipsoid koja prolazi kroz stajališnu tačku. Napomena:
u principu ishodište može biti bilo gdje duž normale na elipsoid. U praksi se za ishodište
bira stajališna tačka, na elipsoidu, ili na presjeku normale sa geoidom.
b) Primarni pol (z-osa) je normala na elipsoid. Primarna ravan je ravan koja sadrži ishodište i
okomita je na primarni pol.
c) Primarna osa (x-osa) je presjek primarne ravni i ravni koja sadrži malu poluosu elipsoida i
ishodište, i zove se geodetski sjever.
d) Y-osa je usmjerena na istok i sa druge dvije ose zatvara lijevo orijentisani koordinatni
sistem.
Transformacija između lokalnog geodetskog i lokalnog astronomskog sistema koji imaju
zajedničko ishodište se može izraziti preko ugla koji zaklapaju normala i vertikala u ishodištu
(otklon vertikale) i ugla između geodetskog sjevera i astronomskog sjevera. Neka su date
komponente otklona u smjeru meridijana i prvog vertikala e, f respektivno, i geodetski i
S t r a n i c a | 33
astronomski azimut i, , određene tačke, onda možemo vektor dat u lokalnom astronomskom
sistemu transformisati u vektor u lokalnom geodetskom sistemu pomoću formule
-0qr /s.7. = U -, − i/ -−e/ -f/-0qr /s..
(2.65)
Napomenimo da redoslijed po kojem se izvode rotacije u ovom slučaju nije bitan, zato što su
uglovi e, f, , − i dovoljno mali da se njihove rotacijske matrice mogu uzeti kao komutativne.
Napomenimo, također ako se Laplaceov uslov primijeni na ishodište ovih lokalnih sistema,
imaćemo
, − i = -Λ − λ/ sin 8 = f tan 8
Ako ishodište nije u stajališnoj tački, vektor položaja q u jednačini 2.61 će se odnositi na
ishodište, a ne na stajališnu tačku. To je, za tačku na geoidu - -q , q , q / se računa iz
-8q , Hq , Sq / (geoidna undulacija), dok se na elipsoidu računa iz -8q , Hq , 0/. Kada je malo
područje Zemlje uzeto kao ravan to implicira lokalni geodetski sistem.
Slično jednačini 2.54 i 2.55 vektor položaja sa stajališne tačke k prema opažanoj tački l je dat sa
-0qr /s.7.
cos <qr cos iqr
= = tqr 1 cos <qr sin iqr 2 ,
sin <qr
s.7.
(2.66)
-0qr /7. = = U -180° − λq /-90° − ϕq /x 7.
s.7.
(2.67)
− sin 8 cos H
Wy = 1 − sin 8 sin H 2 ,
cos 8
(2.68a)
Gdje su -<, i, t/ geodetska visina, azimut i udaljenost, i -8, H/ su geodetska širina i dužina.
Geodetski sistem (G) i srednji terstrički sistem (A.T.) su povezani relacijom 2.4
3
= 13 2 + ,
3
..
7
gdje su -3 , 3 , 3 / komponente translacije ishodišta geodetskog sistema u srednji terestrički
sistem.
Jedinični vektori koji odgovaraju trima Kartezijevim osama u lokalnom geodetskom sistemu su
− sin H
Wz = 1 cos H 2 ,
0
cos 8 cos H
Wy = 1 cos 8 sin H 2 .
sin 8
(2.68b)
(2.68)
2.5 Sumarni pregled terestričkih sistema
U ovom poglavlju ćemo precizno definisati 5 specifičnih terestričkih koordinatnih sistema:
a) Srednji terestrički (A.T.),
b) Trenutni terestrički (I.T.),
c) Geodetski (G),
d) Lokalni astronomski (L.A.),
S t r a n i c a | 34
e) Lokalni geodetski (L.G.),
od kojih su prva tri geocentrička a zadnja dva topocentrička.
Tabela 2-2 predstavlja sumarni pregled ravni, polova i osa koje definišu ove sisteme.
Također ćemo precizno definisati četiri vrste koordinata:
a) Kartezijeve -, , / - koje se koriste u svim sistemima,
b) Krivolinijske -8, H, ℎ/ - koje se koriste u geodetskom sistemu,
c) Krivolinijske -u, ,, t/ - koje se koriste u lokalnom astronomskom sistemu,
d) Krivolinijske -<, i, t/ - koje se koriste u lokalnom geodetskom sistemu.
Na kraju ćemo definisati najvažnije transformacije između ovih koordinata i koordinatnih
sistema. Slika 2-12 prikazuje kojim jednačinama su definisane ove transformacije, a koje su
(misli se na jednačine) prikazane u tabeli 2-3.
Tabela 2-2: Referentni polovi, ravni i ose koje definišu terestričke koordinatne sisteme
S t r a n i c a | 35
Slika 2-12: Jednačine koje povezuju terestričke sisteme
Tabela 2-3: Transformacije između terestričkih koordinatnih sistema
S t r a n i c a | 36
3 Nebeski koordinatni sistemu
Nebeski koordinatni sistemi se koriste za definisanje koordinata nebeskih tijela poput zvijezda.
Udaljenost između Zemlje i najbliže zvijezde iznosi više od 109 radijusa Zemlje, i zbog toga su
dimezije Zemlje (i Sunčev sistem) su gotovo zanemarljive u odnosu na udaljenosti zvijezda.
S t r a n i c a | 37
Druga posljedica ove velike udaljenosti je, da premda se vjeruje da se zvijezde kreću brzinom
približno jednakom brzini svjetlosti, da je to kretanje opažaču na Zemlju veoma malo, rijetko
prelazi jednu lučnu sekundu na godinu. Veza između Zemlje i zvijezda može predstaviti
smatrajući sve zvijezde podjednako udaljenim od Zemlje, i to da se sve zvijezde nalaze na površi
koja se zove nebeskla sfera, čije su dimezije toliko velike da se Zemlja (a i Sunčev sistem) može
smatrati beskonačno malom tačkom u centru nebeske sfere. Iako ova tačka može biti
bezdimenzionalna, veze između pravaca na Zemlji i u Sunčevom sistemu se mogu predstaviti na
nebeskoj sferi.
Zemljina rotacijska osa se može produžiti prema vani do presjeka sa nebeskom sferi do sjevernog
nebeskog pola (NCP) i južnog nebeskog pola (SCP). Zemljina ekvatorijalna ravan se produži do
presjeka sa nebeskom sferom i dobije se nebeski ekvator. Vertikala u stajališnoj tački na Zemlji
se produži prema gore do presjeka sa nebeskom sferom do zenita (Z), i prema dole do nadira (N).
Ravan Zemljine orbite oko Sunca (ekliptička ravan) se produži prema van do presjeka sa
nebeskom sferom i dobije se ekliptika. Linija presjeka između Zemljine ekvatorijalne ravni i
ekliptičke ravni se produži do presjeka sa nebeskom sferom i dobije se proljetni ekvinocij ili prva
tačka Ovana, i jesenji ekvinocij. Proljetni ekvinocij se označava simbolom |, i to je tačka u kojoj
Sunce prolazi nebeski ekvator od juga prema sjeveru.
Dvije su osnovne razlike između nebeskih sistema i terestričkih ili orbitalnih sistema. Prvo, samo
pravci, ne i dužine, se razmatraju u nebeskim koordinatnim sistemima. To znači da nebesku sferu
možemo smatrati jediničnom sferom, i sve vektore kao jedinične vektore. Druga razlika je
povezana sa prvom, u tome što je nebeska geometrija sferna za razliku od elipsoidalne u
terestričkom ili orbitalnom sistemu, što pojednostavljuje matematičke formule koje se koriste.
Kao što smo prodiskutovali u uvodu, imamo četiri glavna nebeska koordinatna sistema, koji se
zovu ekliptički, sistem rektascenzije, sistem satnog ugla i horizontski sistem. Ponekad se sistem
rektascenzije i satnog ugla svrstavaju u grupu sistema koji se zovu ekvatorijalni sistemi.
Počećemo ovo poglavlje razmatrajući redom svaki od navedenih sistema.
Naveli smo prethodno da je nebeska sfera samo aproksimacija prave veze između zvijezda i
posmtrača na Zemlji. Zbog toga, kao i kod svih aproksimacija, postoje brojne korekcije koje se
moraju napraviti da se precizno predstave prave veze. Ove korekcije predstavljaju činjenicu da
zvijezde nisu stacionarne tačke na nebeskoj sferi već se zaista kreću (pravilno kretanje);
rotacijska os Zemlje nije stacionarna u odnosu na zvijezde (precesija i nutacija); Zemlja je
pomjerena iz centra nebeske sfere, koji je u Suncu (paralaksa); Zemlja se kreće oko centra
nebeske sfere (aberacija); i pravci mjereni kroz Zemljinu atmosferu su savijeni refrakcijom. Svi
ovi efekti će biti razmotreni u poglavlju 3.5 kao i njihove varijacije u sistemu rektascenzije.
3.1 Ekliptički sistem
Ekliptički sistem (E) je definisan kako slijedi (vidi sliku 3-1):
a) Ishodište je heliocentar (centar Sunca).
b) Primarna ravan je ekliptička ravan (ravan Zemljine orbite) i primarni pol (z-osa) je
sjeverni ekliptički pol (NEP).
c) Primarna osa (x-osa) je proljetni ekvinocij.
d) Y-osa je izabrana tako da sa druge dvije zatvara desno orijentisani sistem.
Ekliptički sistem je nebeski sistem koji je najbliži inercijalnom, koji je stacionaran u odnosu na
zvijezde. Međutim, zbog uticaja planeta na sistem Sunce-Zemlja, ravan ekliptike veoma sporo
rotira (oko 0,5'' na godinu) oko ose rotacije koje se također sporo kreće.
S t r a n i c a | 38
Ekliptički meridijan je veliki krug koji sadrži ekliptičke polove i nebesko tijelo koje se posmatra
dok ekliptički meridijan gama tačke sadrži proljetni ekvinocij. Ekliptička širina G je ugao ugao
između ekliptike i linije koja pvezuje posmatrano tijelo sa ishodištem sistema, u ravni ekliptičkog
meridijana. Ekliptička dužina H je ugao koji zaklapa ekliptički meridijan posmatranog tijela sa
meridijanom proljetnog ekvinocija mjeren u ravni ekliptike od ravni proljetnog ekvinocija prema
istoku. Jedinični vektor nebeskog tijela u nebeskom sistemu je
cos G cos H
= 1 cos G sin H 2 ,
B.
sin G
(3.1)
a uglovi izraženi preko Kartezijevih koordinata su:
G = sinY H = tanY .
Slika 3-1: Ekliptički sistem
(3.2)
(3.3)
S t r a n i c a | 39
3.2 Sistem rektascenzije (Nebeski ekvatorski sistem)
Sistem rektascenzije (RA) je definisan kako slijedi (vidi sliku 3-2):
a) Ishodište sistema je heliocentar.
b) Primarna ravan je ekvatorijalna ravan, a primarni pol (z-osa) sjeverni nebeski pol (NCP).
c) Primarna osa (x-osa) je proljetni ekvinocij.
d) Y-osa je izabrana tako da sa druge dvije zatvara desno orijentisani sistem.
Ovaj koordinatni sistem je najvažniji nebeski sistem. U ovom sistemu su publikovane koordinate
zvijezda i satelita, i on služi kao veza između terestričkih, nebeskih i orbitalnih sistema.
Sekundarna ravan sadrži sjeverni nebeski pol i proljetni ekvinocij i zove se equinoctial colure
plane. Satna kružnica (deklinacijska kružnica) je veliki krug koji sadrži nebeske polove i tijelo
koje se posmatra. Deklinacija j tijela je ugao između nebeskog ekvatora i linije koja spaja
ishodište sistema sa posmatranim tijelom, a mjeri se u ravni deklinacijskog kruga, od ekvatora na
sjever i jug. Uzima vrijednosti od -90°do +90°. Rektascenzija i je ugao koji se mjeri u
ekvatorijalnoj ravni prema istoku počev od proljetnog ekvinocija do deklinacijskog kruga koji
prolazi kroz posmatrano tijelo. Jedinični vektor koji opisuje pravac tijela u ovom sistemu je
cos j cos i
= 1 cos j sin i 2 .
}..
sin j
(3.4)
Sistem rektascenzije je povezan sa ekliptičkim sistemom preko oštrog ugla između ekliptike i
nebeskog ekvatora, koji se zove nagnutost ekliptike, i označava se sa b. Stoga imamo:
= -−b/ .
}..
B
Slika 3-2: Sistem rektascenzije (Nebeski ekvatorski sistem)
(3.5)
S t r a n i c a | 40
Slika 3-3: Sistem satnog ugla
3.3 Sistem satnog ugla (Mjesni ekvatorski sistem)
Sistem satnog ugla (HA) je definisan kako slijedi (vidi sliku 3-3):
a) Ishodište je heliocentar.
b) Primarna ravan je ekvatorijalna ravan.
c) Sekundarna ravan je ravan nebeskog meridijana opažača. Primarna osa (x-osa) je presjek
između ekvatorijalne i ravni nebeskog meridijana opažača.
d) Y-osa je izabrana tako da sa ostale dvije zatvara lijevo orijentisani koordinatni sistem.
Ovaj koordinatni sistem rotira sa opažačem.
Satni ugao ℎ je ugao mjeren prema zapadu u ekvatorijalnoj ravni od nebeskog meridijana
opažača do deklinacijskog kruga tijela koje se posmatra. Ugao mjeren od ekvatorijalne ravni do
linije koja spaja ishodište sa tijelom koje se opaža je deklinacija j.
Jedinični vektor koji opisuje pravac nebeskog tijela u HA sistemu je
cos j cos ℎ
= 1 cos j sin ℎ 2 .
~..
sin j
(3.6)
Do sada imamo definisana četiri meridijana na nebeskoj sferi: prvi sadrži proljetni ekvinocij (the
equinoctial colure); Grinički meridijan; onaj koji sadrži opažača (nebeski meridijan); i onaj koji
sadrži zvijezdu (deklinacijski krug). Slika 3-4 prikazuje veze između ovih meridijana.
S t r a n i c a | 41
Slika 3-4: Vrijeme, dužina i rektascenzija
Od proljetnog ekvinocija u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu do
a) Griničkog meridijana imamo Griničko zvjezdano vrijeme (GST),
b) nebeskog meridijana imamo lokalno zvjezdano vrijeme (LST),
c) deklinacijskog kruga imamo rektascenziju -i /.
Od Griničkog meridijana mjereno u smjeru suprotnom kazaljci sata do nebeskog meridijana
imamo astronomsku dužinu -Λ/. Od nebeskog meridijana u smjeru kazaljke na satu do
deklinacijskog kruga je satni ugao -ℎ/. Prema tome, imamo
€) = 6€) + Λ
(3.7)
€) = ℎ + i
(3.8)
ℎ = 6€) + Λ − i.
i
(3.9)
Sistem satnog ugla je povezan sa sistemom rektascenzije preko lokalnog zvjezdanog vremena
(LST). Vrijedi relacija
= x U -€)/ ~
}
3.4 Horizontski sistem
Horizontski sistem (H) je definisan kako slijedi (vidi sliku 3-5):
a) Ishodište je heliocentar.
(3.10)
S t r a n i c a | 42
b) Primarni pol (z-osa) je opažačev zenit (vertikala). Primarna ravan je opažačev horizont.
c) Primarna osa (x-osa) je sjeverna tačka.
d) Y-osa je izabrana tako da sa druge dvije čini tzv. Lijevo orijentisani sistem.
Slika 3-5: Horizontski sistem
Horizontski sistem se koristi da se opiše položaj nebeskog tijela u sistemu svojstvenom opažaču
koji se nalazi u topocentru, slično kao lokalni astronomski sistem opisan u poglavlju o
terestričkim sistemima. Glavna razlika između ova dva sistema je da je ishodište horizontskog
sistema u heliocentru umjesto u topocentru.
Veliki krug koji sadrži primarni pol i opažano nebesko tijelo se naziva vertikalni krug. Položaj
ovog velikog kruga je dat preko astronomskog azimuta A, ugla mjerenog u smjeru kazaljke na
satu u ravni horizointa od sjevera do vertikalnog kruga. Visina tijela a je ugao između ravni
horizonta i linije koja povezuje nebesko tijelo sa ishodištem. Jedinični vektor nebeskog tijela u
horizontskom sistemu glasi
cos < cos ,
= 1 cos < sin , 2
~
sin <
(3.11)
Horizontski sistem je povezan sa sistemom satnog ugla preko astronomske širine Φ. Imamo da je
= U -180°/ -90° − Φ/ ~
~
(3.12)
S t r a n i c a | 43
3.5 Promjene u sistemu rektascenzije
Kao što smo pomenuli na početku ovog poglavlja, aproksimacija nebeskom sferom zahtijeva
korekcije pri preciznom radu. To su korekcije zbog pravilnog kretanja, precesije, nutacije,
aberacije, paralakse i refrakcije, i primjenjuju se u četiri faze između sistema u kojem su opažanja
napravljena (kojeg ćemo zvati „mjesni sistem opažača u epohi T“) i ............. sistema
rektascenzije ( kojeg ćemo zvati „srednji nebeski sistem u standardnoj epohi T0“). Razmotrićemo
ove sisteme obrnutim redoslijedom, tj.
a) srednji nebeski sistem u standardnoj epohi T0,
b) srednji nebeski sistem u epohi T,
c) pravi nebeski sistem u epohi T,
d) prividni mjesni sistem u epohi T,
e) mjesni sistem opažača u epohi T.
Veze između ovih pet sistema su prikazane na slici 3-6. Prva tri sistema su povezana preko
kretanja koordinatnog sistema, dok su posljednja dva povezana fizičkim efektima koji uzrokuju
da se položaj nebeskih tijela mijenja.
3.5.1 Precesija i nutacija
Zemlja nije savršeno sfernog oblika, nego ima ispupčenje na ekvatoru nastalo zbog privlačenja
Sunca, Mjeseca, i planeta na nesimetričan način. Ovo uzrokuje da se rotacijska osa Zemlje
(sjeverni nebeski pol) kreće oko sjevernog ekliptičkog pola sa periodom oko 25 800 godina i
amplitudom jednakom nagnutosti ekliptike (23,5°). Ovo kretanje se zove precesija i slično je
precesiji običnog žiroskopa oko vektora gravitacije [Mueller 1969., str. 59-62].
Precesija sama po sebi nije pravilno kretanje budući da orbita Zemlje nije kružna i da orbita
Mjeseca ne leži u ravni ekliptike, i također nije kružna. Zbog toga, efekti uzrokovani Suncem i
Mjesecom se konstantno mijenjaju kako se mijenja njihova konfiguracija. Nepravilnosti u
precesiji se zovu nutacija, i za nebeski pol nutacija ima period od oko 18,6 godina i maksimalnu
amplitudu oko 9''. Dodatne nepravilnosti uzrokovane promjenom konfiguracije planeta se zovu
planetarna precesija, i uzrokuju veoma sporo kretanje ravni ekliptike spomenuto u poglavlju 3.1.
U principu, precesija postoji samo zato što je Zemlja ispupčena na ekvatoru, a nutacija i planetska
precesija postoje samo zato što postoji precesija.
Precesija i nutacija su šematski prikazane na slici 3-7.
Nebeski ekvator je definisan tako da bude okomit na nebeski pol, tako da slijedi precesiju i
nutaciju pola. Proljetni ekvinocij je definisan tako da bude presjek između nebeskog ekvatora i
ekliptike, tako da će slijediti i precesiju i nutaciju nebeskog ekvatora, i kretanje ekliptike
uzrokovano planetskom precesijom. Ovi efekti su prikazani na slici 3-8.
S t r a n i c a | 44
Slika 3-6: Varijacije nebeskog sistema rektascenzije (nebeski ekvatorski sistem)
S t r a n i c a | 45
Slika 3-7: Kretanje nebeskog pola
Slika 3-8: Efekti precesije i nutacije
3.5.2 Srednji nebeski sistemi
Srednji nebeski sistem (M.C.) je definisan kao
a) Ishodište je u centru Sunca.
b) Primarni pol (z-osa) je precesijski pol (ne nutacijski) što znači da slijedi precesiju
sjevernog nebeskog pola, i zove se srednji nebeski pol.
c) Primarna osa (x-osa) je precesijska osa (ali ne i nutacijska) i slijedi kretanje proljetnog
ekvinocija uzrokovano nutacijom i precesijom nebeskog ekvatora i rotacijom ekliptike, i
zove se srednji proljetni ekvinocij.
S t r a n i c a | 46
d) Y-osa je izabrana da sistem bude desno orijentisan.
Iz razloga što se srednji nebeski sistem kreće, koordinate (rektascenzija i, i deklinacija j)
nebeskih tijela se mijenjaju s vremenom. Za svaku vremensku epohu T definisan je različit
srednji nebeski sistem. Izabrana je određena epoha T0 kao standardna (nulta, početna) na koju će
se odnositi koordinate nebeskih tijela. Odnosi između srednjeg nebeskog sistema za epohu T0 i
epohu T su pobično definisani preko precesijskih elemenata -3 , ., /, kako je prikazano na slici
3-9. Izrazi za ove elemente kao funkcije vremena su izvedeni prije 70 godina, a izveo ih je Simon
Newcomb [Mueller 1969., str. 63]. Uglovi -90° − 3 / i -90° + / su rektascenzije uzlazećeg
čvorišta ekvatora u trenutku T mjereni respektivno u sistemima koji se odnose na trenutke T0 i T.
Ugao . je inklinacija ekvatora u trenutku T u odnosu na ekvator u trenutku T0. Transformacija iz
srednjeg nebeskog sistema trenutak T0 u sistem koji se odnosi na trenutak T je data sa
= U-−/ -./U -−3 / ‚.ƒ..
‚.ƒ.„
(3.13)
Nezavisno od kretanja srednjeg nebeskog sistema zbog precesije, svaka zvijezda mijenja položaj
zbog vlastitog kretanja-proper motion. Ovo kretanje je uniformno, i najprikladnije ga je računati
u najuniformnijem nebeskom ekvatorskom sistemu (sistem rektascenzije), tj. srednji nebeski
sistem. Komponente kretanja svake zvijezde (obično su publikovane kao brzine promjene
rektascenzije i deklinacije) moraju biti uključene u konverziju srednjeg mjesta u trenutku T0 u
srednje mjesto u trenutku T.
Slika 3-9: Srednji nebeski koordinatni sistem
S t r a n i c a | 47
3.5.3 Pravi nebeski sistem
Pravi nebeski sistem (T.C.) je definisan kao
a) Ishodište sistema je centar Sunca.
b) Primarni pol (z-osa) je precesijski i nutacijski pol koji slijedi precesiju i nutaciju
sjevernog nebeskog pola, i zove se pravi nebeski pol.
c) Primarna osa (x-osa) je precesijska i nutacijska osa koja slijedi kretanje proljetnog
ekvinocija koji se kreće zbog precesije i nutacije nebeskog ekvatora i rotacije ekliptike, i
zove se pravi proljetni ekvinocij.
d) Y-osa je izabrana da se dobije desno orijentisani sistem.
Kao i u slučaju srednjeg nebeskog sistema, različit pravi nebeski sistem je definiran za svaku
pojedinu epohu T. Pravi nebeski sistem u epohi T se razlikuje od srednjeg nebeskog sistema u
epohi T samo za efekat nutacije, a obično se povezuju preko nutacije u dužini ΔF i nutacije u
nagnutosti Δb kako je prikazano na slici 3-10. Izrazi za ova dva elementa u funkciji vremena, kai
i drugi parametri su izvedeni od strane Woolard-a [Mueller 1969., str. 69]. Transformacija iz
srednjeg nebeskog sistema u pravi nebeski sistem u epohi T je data sa
= -−b − Δb/U -−ΔF/-b/ .ƒ..
‚.ƒ..
Slika 3-10: Pravi i srednji nebeski koordinatni sistem
(3.14)
S t r a n i c a | 48
3.5.4 Prividni mjesni sistem
Prividni mjesni sistem (A.P.) je definisan kako slijedi.
a) Ishodište je u centru Zemlje.
b) Primarni pol je paralelan pravom nebeskom polu.
c) Primarna osa je paralelna pravom proljetnom ekvinociju.
d) Sistem je desno orijentisan.
Prividni mjesni sistem je pravi nebeski sistem sa ishodištem pomjerenim iz centra Sunca u centar
Zemlje. To znači da ishodište više nije centar prave nebeske sfere što uzrokuje godišnju
paralaksu, i ishodište obilazi oko centra prave nebeske sfere što uzrokuje godišnju aberaciju.
Ako se Zemljina orbita posmatra kao kružnica, onda Zemlja ima konstantu aberacije.
†=
u
csc 1′′ = 20,4958′′
‡
(3.15)
gdje je u brzina Zemlje a ‡ brzina svjetlosti; i radijus Zemlje će zauzimati različit ugao Π sa
svakom zvijezdom, koji se zove zvjezdana paralaksa za tu zvijezdu. Najbliža zvijezda ima
zvjezdanu paralaksu od 0,76''.
Rektascenzija i i deklinacija j zvijezde izražene u prividnom mjesnom sistemu su [Mueller
1969., stranice 93 i 61]
gdje su
P
Δi
Δi
i
i
+P
Q + P Q
* + =* +
j Š
j }‹B
Δj
Δj
Δi
cos i cos b sec j − sin i cos H sec j
Q = ΠP
Q
Δj
cos j sin b sin H − cos i sin j cos H − sin i sin j cos b sin H
(3.16)
(3.17)
cos i cos H cos b sec j + sin i sin H sec j
Δi
P Q = Π P
Q
(3.18)
Δj
cos H cos b -tan b cos j − sin i sin j/ + cos i sin j sin H
i HŽ je dužina Sunca, b je nagnutost ekliptike, i -i, j / u 3.17 i 3.18 su izraženi u pravom
i
nebeskom sistemu.
Činjenica da Zemljina orbita nije kružna uzrokuje grešku u jednačini 3.17 oko 1% i u jednačini
3.18 do 0,343''.
3.5.5 Mjesni sistem opažača
Mjesni sistem opažača (O.P.) je definisan kako slijedi.
a) Ishodište je u stajališnoj tački.
b) Primarni pol je paralelan pravom nebeskom polu.
c) Primarna osa je paralelna pravom proljetnom ekvinociju.
d) Sistem je desno orijentisan.
Ovaj sistem je prividni mjesni sistem sa ishodištem pomaknutim iz centra Zemlje u stajališnu
tačku. Pošto ishodište više nije u centru Zemlje to uzrokuje geocentričku paralaksu, i pošto
ishodište rotira oko centra Zemlje to uzrokuje dnevnu aberaciju. U suštini, efekat geocentričke
paralakse je zanemarljiv ukoliko se opažaju zvijezde. Dnevna konstanta aberacije je
†=
u
csc 1′′ = 0,320 ‘ cos 8
‡
(3.19)
u je brzina rotacije Zemlje na površini, ‡ je brzina svjetlosti, ‘ je radijalna udaljenost stajališta od
geocentra u jednicima radijusa Zemlje, i 8 je geodetska širina stajališta.
Imamo i treći efekat koji uzrokuje činjenica da je Zemlja okružena atmosferom različite optičke
gustoće. Ovo uzrokuje složene promjene u pravcu svjetlosne zrake koja dolazi od zvijezde što
S t r a n i c a | 49
zavisi od upadnog ugla zrake. Mueller [1969., str. 103-109] se bavio detaljno atmosferskom
refrakcijom.
Rektascenzija i deklinacija zvijezde u mjesnom sistemu opažača su
Δi
Δi
i
i
=* +
+ P “Q − P }Q
* +
j ’.Š.
j .Š.
Δj“
Δj}
Δi“
cos ℎ sec j
Q = ”*
+
Δj“
sin ℎ sin j
gdje je ℎ satni ugao zvijezde, a -Δi} , Δj} / su korekcije zbog refrakcije.
gdje je
P
(3.20)
(3.21)
3.6 Transformacija između prividnog nebeskog i srednjeg terestričkog
koordinatnog sistema
Prividni nebeski i srednji terestrički sistem imaju sljedeće zajedničke osobine:
a) ishodište u centru mase Zemlje (centar gravitacije),
b) primarni pol im je CIO pol, tj. srednji terestrički pol je paralelan pravom nebeskom polu,
c) oba sistema su desno orijentisana.
Jedina razlika između ova dva sistema je što je primarna osa prvidnog nebeskog sistema
paralelna pravom ekvinociju, a primarna osa srednjeg terestričkog sistema leči u srednjem
astronomskom Griničkom meridijanu. Ugao između ove dvije ose se mijenja sa rotacijom
Zemlje, i zove se Griničko prividno zvjezdano vrijeme (GAST). Stoga, transformacija iz
prividnog nebeskog u srednji terestrički je data sa (vidi sliku 3-4):
= U -6,€)/ ..
.Š.
(3.22)
Da bi koristili ovu jednačinu moramo izračunati GAST iz univerzalnog (Sunčevog) vremena koje
se koristi kao standardno vrijeme. Opisaćemo dvije metode.
Prva, ako je GAST poznato za neku epohu T0 univerzalnog vremena, onda se može izračunati
GAST za neku epohu T na osnovu formule
6,€)-)/ = 6,€)-)3 / + •– -) − )3 /
(3.23)
pod pretpostavkom da su zvjezdano i univerzalno vrijeme povezani uniformnom brzinom rotacije
Zemlje
•– = 360,98565
°
t<J
= 4,3752695 ∗ 10YU
˜)J<™
›5™
(3.24)
Ovo nije skroz tačno, ali razlika u odnosu na tačniju metodu predstavljenu ispod manja od 10-7
radijana (što je ekvivalentno oko 0,02 lučnih sekundi, 1 milisekundi, ili ½ metra duže Zemljinog
ekvatora) se uvodi ako je -) − )3 / manje od jednog dana.
Tačnije formule je dao Veis [1966., str.19]:
6,€) = 100,075542° + 360,985647348°) + 0,2900° ∗ 10Y ) −
−4,392° ∗ 10YU sin-12,1128° − 0,052954°)/ +
+0,053° ∗ 10YU sin 2-12,1128° − 0,052954°)/ −
−0,325° ∗ 10YU sin 2-280,0812° + 0,9856473°)/ −
−0,050° ∗ 10YU sin 2-64,3824° + 13,176398°)/
(3.25)
gdje je T broj Julijanskih dana od epohe 0,5 januar 1950. (to je u ponoć 31. decembra 1949.
godine). Za 1971. to je
) = 7669 + œ + ^n +
€
_ /1440,
60
(3.26)
S t r a n i c a | 50
gdje je
D – broj dana u 1971. Godini,
M – minuta UT vremena,
S – sekunda UT vremena,
i 7669 je broj dana od 1. januara 1950. do 31. decembra 1970. godine.
Ovaj izraz je tačan do na 0,2 lučnih sekundi, 10 milisekundi, ili 5 metara duž ekvatora za bilo
koju vrijednost -) − )3 /. Veća tačnost se može postići dodavanjem drugih uslova [Nautical
Almanac Office 1961.].
3.7 Sumarni pregled nebeskih sistema
U prethodnim poglavljima smo definisali 4 nebeska koordinatna sistema:
a) Ekliptički (E),
b) Sistem rektascenzije (R.A.),
c) Sistem satnog ugla (H.A.),
d) Horizontski sistem (H).
Tabela 3-1 sadrži referentne polove, ravni i ose kojima su definisani ovi sistemi. Tabela 3-2
sadrži transformacije između ovih sistema.
Također smo precizno definisali četiri vrste sistema rektascenzije (nebeski ekvatorski sistem):
a) Srednji nebeski (M.C.),
b) Pravi nebeski (T.C.),
c) Prvidni mjesni (A.P.),
d) Sistem opžača (O.P.),
Koji se mijenjaju s vremenom, tako da epoha T na koju se oni odnose mora biti specificirana.
Slika 3-11 prikazuje parametre koji povezuju ove nebeske koordinatne sisteme.
Tabela 3-1: Referentni polovi, ravni i ose kojima su definisani nebeski koordinatni sistemi
S t r a n i c a | 51
Tabela 3-2: Transformacije između nebeskih koordinatnih sistema
Slika 3-11: Nebeski koordinatni sistemi
S t r a n i c a | 52
4 Orbitalni koordinatni sistem
U ovom poglavlju ćemo razmatrati orbitalni sistem, koji se koristi da opiše položaj satelita koji
kruže oko Zemlje. Prvo ćemo razmotriti orbitalnu elipsu, i koordinatni sistem u ravni orbite.
Nakon toga ćemo transformisati ovaj sistem u prividni nebeski i srednji terestrički sistem, te
ćemo razmotriti promjene elemenata orbite. Na kraju ćemo izvesti izraze za koordinate satellite
subpoint, i za topocentričke koordinate satelita.
4.1 Orbitalna elipsa i anomalije
Trajektorija tijela koje se kreću u centralnom polju sile teže je elipsa, sa silom privlačenja
usmjerenom prema jednoj od fokalnih tačaka elipse.
U slučaju obilaska satelita oko Zemlje, ovu elipsu nazivamo orbitalna elipsa, i centar gravitacije
Zemlje je jedna od fokalni tačaka (vidi sliku 4-1). Tačka u kojoj je satelit najbliži Zemlji se zove
perigej, a najdalja tačka je apogej. I perigej i apogej leže na velikoj poluosi elipse, i to na apsidnoj
liniji. Veličina i oblik orbitalne elipse su obično definisani preko velike poluose i ekscentriciteta
e, koji je jednak
gdje je b mala poluosa elipse.
> =
< − =
<
(4.1)
Slika 4-1: Orbita satelita (orbitalna elipsa)
Posmatrajmo satelit koji se nalazi u tački m na orbitalnoj elipsi. Uglovna udaljenost između
perigeja i tačke m se zove anomalija satelita. Stvarna (prava) anomalija f je ugao između apsidne
linije i linije koja spaja fokus i satelit.
Posmatrajmo projekciju položaja satelita m duž linije paralelne maloj poluosi do presjeka sa
krugom radijusa jednakog velikoj poluosi u tački m'. Ekscentrična anomalija E je ugao između
apsidne linije i linije koja spaja geometrijski centar elipse sa tačkom m'.
S t r a n i c a | 53
Srednja anomalija M je stvarna anomalija koja odgovara kretanju zamišljenog satelita jednolikom
uglovnom brzinom, tj. M=0 u tački perigeja i zatim se povećava uniformno do 360° po revoluciji.
Kada se to izrazi kao brzina po jedinici vremena, onda se to zove srednje anomalijsko kretanje n.
Veza između stvarne anomalije f i ekscentrične anomalije E se može izvesti sa slike 4-1
ili
<-cos ž − >/
< cos ž − <>
cos f
Q,
* + = t *
+=*
+=P
= sin ž
sin f
<-1 − > // sin ž
tan f =
<-1 − > // sin ž
.
cos ž − >
(4.2)
(4.3)
Veza između ekscentrične anomalije E i srednje anomalije M je data Keplerovom jednačinom
[Kaula 1966., str. 23]
(4.4)
n = ž − > sin ž
gdje su M i E u radijanima.
Obično je data srednja anomalija M, a traži se ekscentrična anomalija E iz jednačine 4.4. Predočit
ćemo tri načina rješenja problema.
Ako je ekscentricitet veoma mali (recimo e≅0,002), onda je > sin ž veoma mala veličina, i M=E.
Na osnovu toga možemo pisati
(4.5)
ž = n + > sin ž ≅ n + > sin n
Za ekscentricitet e=0,002 ova aproksimacija rezultira greškom od oko 10-6 radijana.
Ako se traži veća tačnost ili ako ekscentricitet nije tako mali, onda se jednačina 4.4 rješava
iterativno. Totalni diferencijal 4.4 je
jn = -1 − > cos ž /jž
ili
jž =
jn
.
-1 − > cos ž/
(4.6)
Za dato M, iterativni postupak počinjemo tako što ćemo izračunati početnu aproksimaciju
pomoću jednačine 4.5, tj.
ž0 = n + > sin n
Sljedeće jednačine se iterativno rješavaju redom kako slijedi
n5 = ž5 − > sin ž5
Δn = n5 − n
Δn
Ğ =
1 − > cos ž5
ž5+1 = ž5 + Ğ
dok razlika Δn ne bude manja od neke izabrane vrijednosti b.
Treća metoda računanja ž se koristi tako što se > razvije u redove [Brouwer and Clemence 1961.,
str 76]
S t r a n i c a | 54
1
1 1
ž = n + ^> − > U +
> −
> ¡ _ sin n +
8
192
9216
1
1
1
+ ^ > − > O + > ¢ _ sin 2n +
2
6
98
3 U 27 243 ¡
+^ > −
> +
> _ sin 3n +
8
128
5120
1
4
125 3125 ¡
+ ^ > O − > ¢ _ sin 4n + ^
> −
> _ sin 5n +
3
15
9216
384
27
16807 ¡
+ > ¢ sin 6n +
> sin 7n .
80
46080
(4.7)
4.2 Orbitalni koordinatni sistem
Orbitalni koordinatni sistem (ORB) je definisan kako slijedi (vidi sliku 4-2):
a) Ishodište je u težištu Zemlje.
b) Primarna ravan je ravan orbitalne elipse, i primarni pol (z-osa) je okomita na ovu ravan
(vidi sliku 4-1).
c) Primarna osa (x-osa) je apsidna linija.
d) Y-osa je izabrana tako da sistem bude desno orijentisan.
Vektor položaja satelita u njegovoj orbiti je dat sa
<-cos ž − >/
cosf
0 = = 0 1 sinf 2 = 1<-1 − > // sin ž 2
’}£
0
0
Ovdje je z=0 zbog pretpostavke da je satelit u ravni orbite.
Slika 4-2: Keplerovi elementi orbite
(4.8)
S t r a n i c a | 55
4.3 Transformacija iz orbitalnog u srednji terestrički sistem
Ravan orbite ne rotira zajedno sa Zemljom, ali ostaje fiksna u nebeskom sistemu. Orbitalni sistem
i prividni nebeski sistem imaju ishodište u težištu Zemlje.
Na slici 4-2 vidimo da je ravan orbite produžena tako da siječe nebesku sferu, i siječe nebeski
ekvator u uzlazećem čvorištu (gdje satelit prolazi ekvator od juga prema sjeveru), i silazećem
čvorištu. Ugao između nebeskog ekvatora i ravni orbite je inklincija i. Ugao između uzlazećeg
čvorišta i apsidne linije, mjeren u ravni orbite je argument perigeja •. Ugao između proljetnog
ekvinocija i uzlazećeg čvorišta, mjeren u ravni nebeskog ekvatora je rektascenzija uzlazećeg
čvorišta Ω.
Transformacija iz orbitalnog sistema u prividni nebeski sistem je data sa
= U -−Ω/ -−5/U-−•/ .Š.
’}£
(4.9)
= U -6,€)/U -−Ω/ -−5/U -−•/ ..
’}£
(4.10)
Transformacija iz prividnog nebeskog u srednji terestrički sistem je data jednačinom 3.22, tako
da je
4.4 Promjene elemenata orbite
Do sada smo pretpostavljali da se orbita satelita ne mijenja s vremenom, i ona je u potpunosti
određena sa šest Keplerovih elemenata orbite <, >,f, •, 5, Ω. Zemljino gravitacijsko polje nije
sferno simetrično, a kao dokaz imamo geoidne undulacije i ispupčenost ekvatora. Također,
atmosfera utiče na vučnu silu satelita. Zbog ovih i drugih manjih efekata putanja satelita se ne
može uzeti kao eliptična. Ipak, za svaku epohu T imaćemo različitu orbitalnu elipsu koja je
tangenta na putanju satelita u toj epohi. Svaka od ovih elipsa će imati set Keplerovih elemenata, i
ako je promjena ovih elemenata sa vremenom poznata, onda kažemo da oni opisuju oskultirajuću
orbitalnu elipsu, koja opisuje putanju satelita preciznije.
Promjena inklinacije s vremenom je ekvivalentna uvođenju vremeneski promjenljive komponente
izvan ravni, što se često i čini. Za približno kružne orbite ekscentricitet je mali tako da se
varijacije obično zanemaruju.
Slika 4-3: Satellite subpoint
S t r a n i c a | 56
4.5 The satellite subpoint
Podnožna tačka satelita (satellite subpoint) je trag puta satelita na elipsoidu (vidi sliku 4-3).
Koordinate ove tačke su date kao geodetska širina 8 i dužina H normale koja prolazi kroz satelit.
Koordinate satelita u srednjem terestričkom sistemu su poznate iz jednačine 4.10. Iz jednačine
2.32
-S + ℎ/ cos 8 cos H
3
= 13 2 + & -S + ℎ/ cos 8 sin H '
3
..
-S = ⁄< + ℎ/ sin 8
I ako su poznati parametri referentnog elipsoida -<, =, 3 , 3 , 3 / ova jednačina se može iterativno
riješiti za -8, H, ℎ/ koristeći metodu opisanu u poglavlju 2.2.6.
4.6 Topocentričke koordinate satelita
Ako opažamo satelit j sa stanice i na Zemlji (vidi sliku 4-4), onda ćemo trebati izraz za
koordinate satelita u lokalnom geodetskom sistemu stanice i.
Slika 4-4: Topocentričke koordinate satelita
S t r a n i c a | 57
Ako su koordinate -8 , H , ℎ / stanice i poznate u odnosu na referentni elipsoid -<, =, 3 , 3 , 3 /,
onda se geodetske Kartezijeve koordinate stanice i
0 = 1 2
7
(4.11)
¥
3
0¥ = 1 ¥ 2
− 1 32
¥ ..
3
(4.12)
mogu izračunati pomoću jednačine 2.31.
Ako su srednje terestričke koordinate satelita j izračunate metodom opisanom u ovom poglavlju,
onda su geodetske koordinate satelita j
Udaljenost od i do j je
¥ − Δ
0¥ = 0¥ − 0 = 1¥ − 2 = 1Δ2
¥ − Δ 7
7.
Δ
Δ
1Δ2
= x -8 − 90°/U -H − 180°/ 1Δ2
Δ s.7.
Δ 7
(4.13)
Koordinatne razlike mogu biti izražene u lokalnom geodetskom sistemu koristeći jednačinu 2.67
Ali iz jednačine 2.66
gdje je udaljenost
cos a cos α
Δ
1Δ2
= Δt cos a sin α sin a
Δ s.7.
Δt = -Δ + Δ + Δ //
i visina a i azimut i su dati sa
Δ
a = sinY ^ _
Δt
Δ
i = tanY ^ _
Δ
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
S t r a n i c a | 58
5 Sumarni pregled koordinatnih sistema
U ovom poglavlju ćemo dati sumarni pregled relacija između koordinatnih sistema razmatranih u
ovoj skripti. Objasnit ćemo, također, paradoks spomenut ranije. Ovo poglavlje ustvari sadrži
objašnjenje simbola i skraćenica prikazano na slici 5-1.
5.1 Terestrički sistemi
Opisali smo pet terestričkih sistema:
a) I.T.=trenutni terestrički koordinatni sistem,
b) A.T.=srednji terestrički koordinatni sistem,
c) G.=geodetski koordinatni sistem,
d) L.G.=lokalni geodetski koordinatni sistem,
e) L.A.=lokalni astronomski koordinatni sistem,
Koji su međusobno povezani preko četiri skupa parametara:
a) Kretanje pola , - povezuje I.T. i A.T.
b) Translacija ishodišta -3 , 3 , 3 / - povezuje A.T. i G.,
c) Geodetska širina i geodetska dužina -8, H/ - povezuje G. i L.G.,
d) Astronomska širina i dužina -Φ, Λ/ - povezuje A.T. i L.A.
Slika 5-1: Koordinatni sistemi
S t r a n i c a | 59
5.2 Nebeski sistemi
Opisali smo četiri glavna nebeska (inercijalna) sistema:
a) E.=nebski ekliptički koordinatni sistem,
b) R.A.=sistem rektascenzije (nebeski ekvatorski sistem),
c) H.A.=sistem satnog ugla,
d) H.=horizontski sistem,
koji su povezani međusobno preko tri parametra
a) Nagnutost ekliptike -b/ - povezuje E. i R.A.,
b) Lokalno zvjezdano vrijeme (LST) – povezuje R.A. i H.A.,
c) Astronomska širina -Φ/ - povezuje H.A. i H.
R.A. sistem ima četiri vrste
a) M.C.=srednji nebeski sistem,
b) T.C.=pravi nebeski sistem,
c) A.P.=prividni nebeski sistem,
d) O.P.=sistem opažača,
koji se svi mijenjaju sa vremenom i definisani su samo kada je epoha T na koju se odnose
specificirana.
Parametri koji povezuju ove sisteme su
a) Precesija i PROPER MOTION – povezuju M.C. u epohi T0 i M.C. u epohi T,
b) Nutacija – povezuje M.C. i T.C., oba u epohi T,
c) Godišnja aberacija i paralaksa – povezuju T.C. i A.P., oba u epohi T,
d) Dnevna aberacija, geocentrička paralaksa i refrakcija – povezuju A.P. i O.P. u epohi T.
5.3 DUALITY PARADOX u prividnom nebeskom sistemu i sistemu opažača
Razlog zbog čega imamo prividni i sistem opažača je zbog toga što opažač nije u centru nebeske
sfere (centar Sunca) a ova razlika se mora nekako uzeti u obzir. Dva su načina da se izvrši ova
korekcija, i ova razlika nije napravljeno eksplicitno u prethodnim poglavljima.
Prvi način je da usvojimo pravi nebeski sistem (sa ishodištem u heliocentru) kao naš sistem
(referentni), i da korigujemo položaje zvijezda. Ovaj pristup je opisan u poglavljima 3.5.4 i 3.5.5
gdje su primijenjene korekcije zbog aberacije i paralakse na rektascenziju i deklinaciju, i ne
mijenja se koordinatni sistem. Iz tog razloga kažemo da zvijezde imaju „prividne položaje“ ili
„opažane položaje“ u pravom nebeskom sistemu.
Drugi pristup podrazumijeva da se ishodište pravog nebeskog sistema pomakne iz centra Sunca u
centar Zemlje (za prividni sistem) i u položaj opažača (za sistem opažača). Ovo smo radili da bi
povezali srednji terestrički i nebeski sistem u poglavlju 3.6 i orbitalni sistem u nebeki sistem u
poglavlju 4.3. U ovom slučaju pomaknuti pravi nebeski sistem zovemo „prividni nebeski sistem“.
Drugim riječima imamo usvojenu konvenciju da
a) „pravi“ znači helicentrični,
b) „prividni“ znači ili geocentrički ili korigovan za pomak iz heliocentra u geocentra,
c) „opažački“ znači ili topocentrički ili korigovan za pomak iz heliocentra u topocentar.
Dva povezujuća parametra, vlastita gibanaj zvijezda (proper motion) i refrakcija, se ne uklapaju u
drugu šemu. Vlastita gibanja su promjene položaja zvijezda, i različita su za svaku zvijezdu.
Zbog toga bi za svaku zvijezdu trebalo definisati poseban sistem, što je besmisleno. Veličina
korekcije zbog refrakcije zavisi od upadnog ugla i uslova okoline. Definisanje koordinatnog
S t r a n i c a | 60
sistema koji slijedi refrakciju bi značilo različit sistem za svaki upadni ugao, koji se mijenja
promjenom temperature i vjetra.
5.4 Veze između terestričkih, nebeskih i orbitalnih sistema
Srednji terestrički sistem i prividni nebeski sistem su povezani preko GAST (Griničko prividno
zvjezdano vrijeme). Napomenimo da je upotreba riječi „prividno“ u GAST u skladu sa prethodno
usvojenom konvencijom. Odnosno, „prividno“ znači „geocentrično“.
Orbitalni i prividni nebeski sistem su povezani Euler-ovim uglovima
a) • = argument širine,
b) 5= inklinacija orbite,
c) Ω = rektascenzija uzlazećeg čvorišta.
Razlike između terestričkih, nebeskih i orbitalni sistema su:
a) Terestrički sistemu rotiraju i revoluiraju sa Zemljom,
b) Nebeski sistemi ne revoluiraju sa Zemljom,
c) Orbitalni sistemi ne rotiraju sa Zemljom
S t r a n i c a | 61
6 Reference
S t r a n i c a | 62
S t r a n i c a | 63
7 DODATAK A
S t r a n i c a | 64
S t r a n i c a | 65
S t r a n i c a | 66
S t r a n i c a | 67

rješenja zadataka sa prijemnog ispita

Određivanje potrebne snage uređaja za kompenzaciju

SEMINAR IZ KVANTNE FIZIKE

Osnovni podaci Ime: Vedad Pašic Kabinet: PMF 313 Email: vedad

1.1 Neodre ¯deni integral

Trigonometrija 4

null

MATEMATIˇCKE METODE FIZIKE 1 i 2

1 Uvod 2 Ciklometrijske funkcije

x - menso88.com

Geodetski referentni okviri

Tjedni listić br. 119 - samostan sv. ivana krstitelja zemun

Poboznosti sv.Nikoli

6. Limes i neprekidnost funkcije

MOJA TEORIJA