ˇ
MATEMATICKE
METODE FIZIKE 1 i 2
bilješke za pripremu ispita
Denis Žoljom
Fiziˇcki odsjek Prirodoslovno - matematiˇckog fakulteta Sveuˇcilišta u Zagrebu,
Bijeniˇcka 32, 10 000 Zagreb, Hrvatska
PREDGOVOR
Ovo su bilješke za pripremu ispita, kolegija mmf1 i mmf2 koje drži profesor Sunko. Odluˇcio
sam digitalizirati svoje pripreme, iz meni nepoznatog razloga - vrlo vjerojatno jer nisam imao
ništa pametnoga za raditi, ali sam imao vremena.
Ovo nikako nije skripta!! Ovo je samo podsjetnik i služi kao pomo´c pri pripremi ispita.
Kada sam ja pripremao ispit iz mmf-a (1 i 2) ispunio sam par bilježnica riješenih zadataka (stari
rokovi etc.), te sam ispunio jednu veliku bilježnicu, pokušavaju´ci si objasniti teoriju. Nisam
išao bezumno štrebati, jer profesor Sunko vrlo lako shvati da li je nešto nauˇceno ili naštrebano.
Uostalom, smatram da nema smisla nešto štrebati, pogotovo ako c´ e vam kasnije koristiti u
studiju (a definivno bude). Takoder,
¯ ukoliko štrebate uskratiti c´ ete se ’Aha efekataT M ’ (a to
stvarno ne želite XD). Isto tako, imajte na umu da mi se tu i tamo mogla potkrasti greška (nitko
nije savršen, kako bi rekao profesor Babi´c :D) pa bi štrebanjem nauˇcili grešku, a to ne bi bilo
dobro.
Nemojte distribuirati bez mog pitanja i nikako si nemojte printati i nositi na predavanje! Ne
bih htio imati problema s profesorom. Ovo nije skripta, samo pomo´c, ako negdje zapnete. Koristio sam, osim knjiga, moje bilješke s predavanja. Takoder
¯ nije sve objašnjeno u super detalje,
za to koriste knjige koje c´ u navesti u bibliografiji, a koje su meni uvelike pomogle u shva´canju
kolegija. Nadam se da c´ e ipak biti neke koristi od ovoga :D
U Zagrebu 2010.
Denis Žoljom
Napomena: Sve komentare, uoˇcene greške i prijedloge s namjerom poboljšanja ovog teksta
šaljite na mail.
Ovaj tekst nije recenziran.
Literatura
[1] G. B. Arfken, H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicist, sixth ed., Elsevier Academic Press
[2] T. Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press
[3] R. Courant, J. Fritz, Introduction to Calculus and Anylysis, Volume One, Interscience Publishers
[4] W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc.
Sadržaj
1
Matematiˇcke Metode Fizike 1
1.1 Kompleksna analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Kompleksna ravnina i kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Funkcije kompleksne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Limes, kontinuiranost, analitiˇcnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Kompleksna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Operativna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Ocjena integrala - ML inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Cauchy-Goursat teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Osnovni teorem integralnog raˇcuna za analitiˇcke funkcije . . . . . . .
1.1.9 Cauchy integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.10 Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.11 Nizovi i redovi u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.12 Iskaz Bolzano-Weierstrasovog teorema . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.13 Heine-Borel teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.14 Redovi u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.15 Testovi apsolutne konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.16 Nizovi i redovi potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.17 Abelov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.18 Taylorov teorem (razvoj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.19 Laurentov teorem (razvoj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.20 Teorem o jedinstvenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.21 Teorem o nultoˇckama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Singulariteti analitiˇcke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Klasifikacija izoliranih singulariteta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Reziduumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Obiˇcne diferencijalne jednadžbe (ODJ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Teorem o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema
1.3.2 Princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Op´ce rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda . . . . . . . . . .
1.3.4 Linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima . . .
1.3.5 Metoda neodredenih
koeficijenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¯
1.3.6 Metoda varijacije konstanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Frobenius metoda rješavanja diferencijalne jednadžbe drugog reda . .
1.3.8 Op´ci postupak dobivanja drugog rješenja u Frobenius metodi . . . . .
1.3.9 Formalno dobivanje drugog rješenja u Frobenius metodi . . . . . . .
1.4 Gama funkcija i asimptotski redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Gama funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Svojstva Gama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Asimptotske metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Laplaceova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Izvod Stirlingove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
3
4
5
6
7
8
11
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
19
21
21
23
23
24
26
29
30
30
31
34
35
36
40
41
46
46
48
51
52
53
2
Matematiˇcke Metode Fizike 2
2.1 Fourierova analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Fourierovi redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Skup mjere nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Spuštanje okomice ili metoda najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . .
2.1.5 Klasiˇcan Fourierov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Riemann-Lebesgueova lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Inverziona formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Princip lokalizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Jordanov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Prostor kvadratno sumabilnih nizova (redova) - ℓ2 . . . . . . . . . . .
2.1.11 Besselova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.12 Riesz-Fischerov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.13 Integracija Fourierovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.14 Diferencijacija Fourierovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.15 Fourierovi transformati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.16 Moderan zapis Fourierovog transformata . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.17 Konvolucija i Dirac delta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.18 Alternativni iskaz slabe konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDJ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Valna jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Jednadžba difuzije i jednadžba kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Laplaceova i Poissonova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Fourierova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Kvalitativna analiza valne jednadžbe i d’Alambertova formula . . . .
2.3 Specijalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Uvod i Helmholtzova amplitudna jednadžba . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Legendreova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Eksplicitno rješavanje Legendreove diferencijalne jednadžbe . . . . .
2.3.4 Operativno dobivanje Legendreovih polinoma - Rodriguesova formula
2.3.5 Integralne reprezentacije i funkcija izvodnica Legendreovih polinoma
2.3.6 Relacije ortogonalnosti za Legendreov polinom . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Pridružene Legendreove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.8 Rodriguesova formula za pridružene Legendreovu funkciju . . . . . .
2.3.9 Integralna reprezentacija i relacije ortogonalnosti pridružene Legendreove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.10 Kugline funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.11 Weierstrassov teorem o kompletnosti polinoma . . . . . . . . . . . .
2.3.12 Sturm-Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.13 Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.14 Besselova jednadžba indeksa µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.15 Svojstva, funkcija izvodnica i integralna reprezentacija Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.16 Svojstva Neumannove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.17 Sferne Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
55
58
59
60
61
62
63
66
68
70
70
70
71
73
74
76
77
80
81
81
83
84
84
85
87
87
87
92
93
95
96
98
99
.
.
.
.
.
.
99
99
100
101
103
104
. 107
. 108
. 109
2.3.18 Modificirane Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.3.19 Asimptotsko ponašanje modificiranih Besselovih funkcija . . . . . . . 115
Popis slika
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Kompleksna ravnina [2] . . . . . . . . . . . . . . .
Zapis kompleksnog broja z [2] . . . . . . . . . . .
Linijski (kompleksan) integral . . . . . . . . . . .
Iterirani trokuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Udaljenost toˇcke na n-tom trokutu . . . . . . . . .
Slika uz osnovni tm integralnog raˇcuna . . . . . . .
Konveksan put u S . . . . . . . . . . . . . . . . .
Slika uz Cauchy integralnu formulu . . . . . . . .
Slika uz Abelov teorem . . . . . . . . . . . . . . .
Slika uz Taylorov teorem . . . . . . . . . . . . . .
Slika uz Laurentov teorem . . . . . . . . . . . . .
Graf gama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . .
Krivulja kompleksne integracije . . . . . . . . . .
Usporedba asimptotskog i Taylorovog razvoja . . .
Asimptotsko proširenje e−x . . . . . . . . . . . . .
Karakteristiˇcna funkcija χI (x) . . . . . . . . . . . .
Spuštanje okomice . . . . . . . . . . . . . . . . .
Slika uz Riemann-Lebesgueovu lemu . . . . . . .
Graf Dirichletove jezgre za n=19 . . . . . . . . . .
Slika uz princip lokalizacije . . . . . . . . . . . . .
Step funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funkcija sinc(2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourierov transformat sinc(2x) . . . . . . . . . . .
Model napete žice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prikaz prvih 4 Legendreovih polinoma . . . . . . .
Slika Besselove funkcije prve vrste i njene envelope
Slika Neumannove funkcije prve vrste . . . . . . .
Prve tri Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . .
Prve tri Neumannove funkcije . . . . . . . . . . .
Sferna Besselova funkcija . . . . . . . . . . . . . .
Sferna Neumannova funkcija . . . . . . . . . . . .
Prve tri sferne Besselove funkcije . . . . . . . . .
Prve tri sferne Neumannove funkcije . . . . . . . .
Modificirana Besselova funkcija . . . . . . . . . .
Modificirana Neumannova funkcija . . . . . . . .
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
5
8
9
10
12
12
16
18
19
46
50
52
54
59
60
63
64
67
74
77
77
81
93
106
107
109
109
111
111
111
111
115
115
1 Matematiˇcke Metode Fizike 1
1.1
1.1.1
Kompleksna analiza
Kompleksna ravnina i kompleksni brojevi
Brojeve proširujemo, tako da proširimo naˇcin na koji se oni raˇcunaju. Znamo da postoje više
skupova brojeva - prirodni N, cijeli Z, racionalni Q, realni R i na kraju, oni koji su nama od
najve´ce važnosti, kompleksni C.
Za nas je dosta bitno da je skup algebarski kompletan i topološki kompletan (sadrži limese
svih svojih konvergentnih nizova). O tome ne´cu u detalje. Da bi mogli vršiti operacije nad kompleksnim brojevima moramo ih znati prikazati. Za to nam služi kompleksna ravnina. Gauss je
rekao: zamislimo si dvodimenzionalnu ravninu i možemo pravila za raˇcunanje s kompleksnim
brojevima primjeniti na raˇcunanje pomicanja pravca u ravnini.
Time smo na lak naˇcin uveli pojam udaljenosti (nešto što znamo iz svakodnevnog života).
Pojam udaljenosti nam daje i pojam okoline (koja nam treba da bi mogli baratati limesima).
d : (x, y) 7→ d(x, y) ∈ R
(1.1)
Gauss je kompleksne brojeve modelirao parom realnih brojeva. Ako je z = a + ib → (a, b).
Takoder
¯ znamo da svaka norma na vektorsku funkciju prirodno inducira funkciju udaljenosti.
Slika 1: Kompleksna ravnina [2]
Operacije nad kompleksnim brojevima:
Zbrajanje:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
(1.2)
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 )
(1.3)
Množenje:
1
Naravno, oˇcekujemo da nam vrijede pravila za zbrajanje i množenje u R. Postojanje inverza
i neutralnih elemenata se podrazumijeva (ne´cu i´ci u detalje s aksiomatikom).
Da bi lakše predoˇcili množenje i dijeljenje u kompleksnoj ravnini, koristimo polarni zapis
kompleksnog broja.
x = r cos θ, y = r sin θ, z = x + iy
z = r(cos θ + i sin θ)
(1.4)
Pri cˇ emu je r apsolutna vrijednost ili modul od z dan formulom:
|z| =
√
x 2 + y2
(1.5)
Slika 2: Zapis kompleksnog broja z [2]
Kut θ = arctan(y/x) je kut u smjeru od pozitivne x-osi od ishodišta O do z na slici 2 u
smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
S polarnim zapisom nam je lakše potencirati, ali i korjenovati:
z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )]
z1 /z2 = r1 /r2 [cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )]
zn = rn [cos(nθ) + i sin(nθ)]
[
]
√n
√n
θ + 2kπ
θ + 2kπ
z = r cos
+ i sin
; k = 0, 1, · · · , n − 1
n
n
(1.6)
Kod vadenja
korjena pojavljuje nam se višeznaˇcnost n - Riemmanove plohe, etc.
¯
Takoder
¯ se cˇ esto koristi eksponencijalna notacija:
ez = e x+iy = e x (cos θ + i sin θ) = e x eiθ
2
(1.7)
Svojstva funkcije udajljenosti:
1. 0 ≤ d(z1 , z2 ) < ∞ ∀z1 , z2 ∈ C - norma mora dati nešto (< ∞)
2. d(z1 , z2 ) = 0 ⇒ z1 = z2 - nema razliˇcitih brojeva cˇ ija je medusobna
udaljenost 0
¯
3. d(z1 , z2 ) = d(z2 , z1 ) - simetriˇcna funkcija
4. d(z1 , z2 ) ≤ d(z1 , z3 ) + d(z2 , z3 ) odnosno |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | - apsolutna vrijednost sume ne
može biti ve´ca od sume apsolutne vrijednosti.
Napomena: Ja sam preskoˇcio dio o rezovima, zato se mora i´ci na predavanja :D.
1.1.2
Funkcije kompleksne varijable
Prvo c´ emo definirati neke bitnije geometrijske likove koji pomažu kod razumijevanja.
Jediniˇcna kružnica: |z| = 1.
Kružnica radijusa r s ishodištem u toˇcki a: |z − a| = r, katkad i |z − z0 | = ε. To je skup svih
z cˇ ija udaljenost |z − a| od centra a iznosi r.
Unutrašnjost je dana nejednadžbom: |z−a| < r - otvoren disk (kugla), dok unutrašnjost plus
rub (kružnica) su dane nejednadžbom: |z − a| ≤ r - zatvoren disk. Sve što je > r je van te kugle.
Otvorenu kružnicu još zovemo okolinom od a (ε okolina od z0 ). a ima beskonaˇcno mnogo
okolina, po jednu za svaku vrijednost r(ε) > 0. Po definiciji, a je toˇcka svake od tih okolina.
Otvoreni kružni vjenac: r1 < |z − a| < r2 , zatvoren - r1 ≤ |z − a| ≤ r2 .
Skup toˇcaka je bilo koja kolekcija konaˇcno mnogo ili beskonaˇcno mnogo toˇcaka.
Skup S je otvoren, ako svaka toˇcka u S ima okolinu koja se u potpunosti sastoji od toˇcaka
koje se nalaze u S.
Skup je povezan, ako bilo koje dvije toˇcke tog skupa možemo povezati isprekidanom linijom koja se sastoji od konaˇcno mnogo segmenata ravnih linija, cˇ ije toˇcke pripadaju S.
Skup S je zatvoren, ako mu je komplement otvoren. Otvoreni i povezani skup se nazivaju
domenom.
Podsjetimo se: Realna funkcija f definirana u skupu S ∈ R (interval) je pravilo koje svakom x ∈ S pridruži realni broj f (x), nazvan vrijednost f u x.
U kompleksnoj ravnini S je skup kompleksnih brojeva S ∈ C.
Funkcija f definirana u S je pravilo koje pridruži svakom z ∈ S kompleksni broj w, koji se
naziva vrijednost od f u z. Pišemo:
w = f (z)
3
(1.8)
U ovom sluˇcaju z varira u S i naziva se kompleksna varijabla. Skup S je domena definicije
f ili jednostavno, domena od f .
Skup svih vrijednosti funkcije f se naziva raspon (prostor) f . w je kompleksan pa možemo
pisati:
w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
1.1.3
(1.9)
Limes, kontinuiranost, analitiˇcnost
Funkcija f (z) ima limes L kako se z približava toˇcki z0 :
lim f (z) = L
(1.10)
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀z , z0 , |z − z0 | < δ ⇒ | f (z) − L| < ε
(1.11)
z→z0
Odnosno:
Geometrijski bi to znaˇcilo da za svaki z , z0 u δ disku vrijednost funkcije f leži u ε disku.
Ova definicija limesa je veoma sliˇcna onoj u R, samo se ovdje z može približavati z0 iz bilo
kojeg smjera.
Ako limes postoji, jedinstven je.
Funkcija f (z) je neprekinuta (kontinuirana) u z = z0 , ako je f (z) definirana i
lim f (z) = f (z0 )
(1.12)
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |z − z0 | < δ ⇒ | f (z) − f (z0 )| < ε
(1.13)
z→z0
odnosno:
Derivacija kompleksne f-je f u toˇcki z0 je f ′ (z0 ) i definirana je:
f ′ (z0 ) = lim
∆z→0
f (z0 + ∆z) − f (z0 )
∆z
(1.14)
f (z) − f (z0 )
z − z0
(1.15)
ukoliko limes postoji, ili:
f ′ (z0 ) = lim
∆z→z0
Analitiˇcnost:
Funkcija f (z) je analitiˇcka u toˇcki z = z0 , ako je f (z) analitiˇcka u okolini toˇcke z0 , tj.:
∃ε > 0 : f je diferencijabilna u z cˇ im|z − z0 | < ε
(1.16)
Analitiˇcnost f (z) u z0 znaˇci da f (z) ima derivaciju u svakoj toˇcki u nekoj okolini z0 (nju
ukljuˇcuju´ci). Nju takoder
¯ karakteriziraju Cauchy-Riemannovi uvijeti.
Teorem 1. Ako je f (z) analitiˇcka, parcijalne derivacije u i v postoje i zadovoljavaju CauchyRiemannove uvjete.
4
Dokaz.
f ′ (z0 ) = lim
∆z→0
f (z0 + ∆z) − f (z0 )
∆z
(1.17)
∆z možemo pustiti u 0 po bilo kojem putu. Proizvoljno možemo izabrati da ide po horizontali
(∆x → 0) ili vertikali (∆y → 0).
∆z = ∆x + i∆y ⇒ z + ∆z = x + ∆x + i(y + ∆y)
[u(x + δx, y + ∆y) + iv(x + ∆x, y + ∆y)] − [u(x, y) + iv(x, y)]
f ′ (z) = lim
∆z→0
∆x + i∆y
(1.18)
Ako pustimo zasebno ∆x → 0 i ∆y → 0 imamo:
f ′ (z) =
∂u
∂v
+i
∂x
∂x
i f ′ (z) =
∂v
∂u
−i
∂y
∂y
(1.19)
Postojanje f ′ (z) implicira postojanje ove cˇ etiri parcijalne derivacije. Izjednaˇcavanjem realnih i imaginarnih dijelova imamo:
∂u ∂v
= ,
∂x ∂y
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
(1.20)
C-R uvjeti su fundamentalni, jer nisu samo nužan nego i dovoljan uvijet da bi funkcija bila
analitiˇcka:
Neka je f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Ako su u i v diferencijabilne u (x, y) kao funkcije dvije
varijable i ako vrijede C-R uvjeti, onda je f diferencijabilna u toˇcki z = x + iy.
1.1.4
Kompleksna integracija
zi
zi-1
∆ zi
...
z0
z1
z2
...
z
Slika 3: Linijski (kompleksan) integral
Definirajmo bitnije pojmove:
5
C.
Put integracije, γ ∈ C, je neprekidna funkcija: γ : [a, b] ⊂ R → C; γ : t ∈ [a, b] 7→ γ(t) ∈
Integral kompleksne funkcije po putu γ se definira kao:
∫
γ
f (z)dz = lim
∆z→0
n−1
∑
f (zi )∆zi
(1.21)
i=0
Pri cˇ emu je ∆zi = γ(ti+1 ) − γ(ti ) razlika puta po tetivi.
|∆zi | = |zi − zi−1 | → 0, kako i → 0. |∆zi | ne može prije´ci duljinu luka krivulje γ od zi−1 do
zi , a |zi − zi−1 | → 0 jer je duljina luka glatke krivulje neprekidna funkcija od t(z), a znamo da je
nužan kriterij konvergencije da op´ci cˇ lan teži u 0 kako i → 0 (vidi sliku 3).
1.1.5
Operativna formula
Neka je γ po dijelovima gladak put, z=z(t), pri cˇ emu je a ≤ t ≤ b. Neka je f (z) neprekidna f-ja
na γ, tada je:
∫
∫ b
f (z)dz =
f (γ(t)) γ˙ (t)dt
(1.22)
γ
Dokaz.
∫
γ
∫
f (z)dz =
a
∫
[udx + iudy + ivdx − vdy] =
∫
∫
∫
= [udx − vdy] + i[vdx + udy] = (udx − vdy) + i (vdx + udy) =
γ
γ
γ
)
)
∫ b(
∫ b(
dx
dy
dx
dy
=
u −v
dt + i
v +u
dt =
dt
dt
dt
dt
a
a
)
)
∫ b (
∫ b (
dx
dx
dy
dy
=
u
+i
dt + i
v
+i
dt =
dt
dt
dt
dt
a
a
∫ b
∫ b
∫ b
∫ b
=
u˙γ(t)dt + i
v˙γ(t)dt =
(u + iv)˙γ(t)dt =
f (γ(t))˙γ(t)dt
γ
(u + iv)(dx + idy) =
a
a
γ
a
(1.23)
a
Primjeri:
1.
I
γ
∫
0
2π
dz
= 2πi, z = reiθ , po jediniˇcnoj kružnici (r=1)
z
dz = izdθ, θ ∈ [0, 2π]
∫ 2π
1
izdθ = i
dθ = 2πi
z
0
6
(1.24)
2.
I
γ
(z − z0 )m dz =
z = z0 + reiθ → (z − z0 )m = (z0 + reiθ − z0 )m = rm emiθ
dz = ireiθ dθ
I
∫ 2π
m
(z − z0 ) dz =
rm eimθ ireiθ dθ =
γ
0
[∫ 2π
]
∫ 2π
(m+1)
= ir
cos(m + 1)θdθ + i
sin(m + 1)θdθ
0
0
{
I
2πi, m = −1
m
(z − z0 ) dz =
0,
m ∈ Z \ {−1}
γ
1.1.6
(1.25)
Ocjena integrala - ML inequality
Neka je γ po dijelovima gladak put u S ⊂ C; f : S → C neprekidna funkcija. Tada je:
∫
| f (z)|
f (z)dz ≤ ℓ(γ) · max
z∈γ
γ
∫ b√
x′ (t)2 + y′ (t)2 dt
ℓ(γ) =
(1.26)
a
Dokaz.
∫
∫ b(
A )
f (z)dz →
f (x) −
dz = 0
b−a
a
a
∫
−iθ
|A| = Ae → |
f (z)dz| ≤ |A| − A je iznos puta
b
A=
∫
|
γ
γ
∫
f (z)dz| =
e
γ
∫
≤
−iθ
∫
f (z)dz =
a
b
|e
−iθ
b
e−iθ f (γ(t)) · γ˙ (t)dt ≤
∫
(1.27)
b
f (γ(t)) · γ˙ (t)|dt ≤
| f (γ(t))| · |˙γ(t)|dt ≤
a
a
∫ b
≤ max | f (γ(t))| ·
|˙γ(t)|dt ≤ ℓ(γ(t)) · max | f (γ(t))|
a
Neprekinutost f-je nam daje i ogrtaniˇcenje - maksimum.
7
1.1.7
Cauchy-Goursat teorem
Teorem 2. Neka je S otvoren, konveksan skup i f : S → C analitiˇcka na C ( f ∈ H(C )). Neka
je γ zatvoren, po dijelovima gladak put u S. Tada je
∫
γ
I
f (z)dz = 0 →
f (z)dz = 0
Dokaz. Dokaz radimo na tri djela. Prvo pokazujemo da je f ′ neprekidna, odnosno da je integral potpunog diferencijala 0. Zatim dokazujemo da prva tvrdnja vrijedi i za rub trokuta. Te na
kraju, preko konveksnosti pokazujemo da postoji F t.d je F ′ (z) = f (z) - primitivna funkcija.
1. dio
Neka je f ′ (z) neprekidna funkcija. Rastavljamo po glatkim djelovima:
∫
∑∫
′
f (z)dz =
f ′ (z)dz = |koristimo operacionu formulu|
γ
=
∑∫
i
i
γi
f ′ (γ(t))γ′ (t) dt = |Leibnitzovo pravilo za raˇcunanje odredenih
integrala|
¯
|
{z }
ti−1
(1.28)
d
dt ( f (γ(t)))
= f (γ(b)) − f (γ(tn−1 )) − . . . − f (γ(t2 )) − f (γ(a)) = f (γ(b)) − f (γ(a)) = 0
jer je poˇcetak jednak kraju
2. dio
Uzmimo pozitivno orijentirani trokut (slika 4). Ukupna duljina puta C je L.
C
C1
C2
C3
C4
Slika 4: Iterirani trokuti
Podijelimo veliki trokut na simetrale stranica i napravimo novi trokut (stranicu smo smanjili
na pola) i tako sa daljnjim trokutima kao na slici. Svaki trokut (C1 , C2 , C3 , C4 ) je pozitivno
orijentiran (smjer suprotno od kazaljke na satu). Ako sumiramo integrale po 4 puta, integrali
po segmentima puta unutrašnjosti C se poništavaju u parovima:
∫
4 ∫
∑
f (z)dz =
f (z)dz
(1.29)
C
k=1
Ck
Izabiremo trokute kao da imamo silazni red (koji konvergira u toˇcku). Radimo ocjenu integrala
uz jednu nejednakost:
∫
∫
∑
4 ∫
f (z)dz ≤
f (z)dz ≤ 4 f (z)dz
(1.30)
C1
C
Ck
k=1
8
Koja se lako pokaže geometrijski. Radimo iterativno → dijelimo na manje i manje trokute
po istom principu. Pri tom nam relacija (1.30) mora vrijediti (što je priliˇcno logiˇcno). Takoder
¯
Cn su putevi maksimalne duljine, te je gornja relacija oˇcita.
∫
∫
f (z)dz , {n=1,2,. . .}
f (z)dz ≤ 4 Cn+1
Cn
∫
∫
f (z)dz ≤ 4n n
f
(z)dz
≤, {n < 4 , ∀n ∈ Z}
(1.31)
Cn
C
≤ 4 l(Cn ) max | f (z)|
n
z∈C
Pri cˇ emu je l(Cn ) duljina ruba n-tog trokuta. Pošto svaki put prepolovimo stranicu tokuta
ona iznosi: 2Ln .
Treba nam pomo´cni teorem koji ne´cemo dokazivati:
Teorem 3. Imamo silazni niz zatvorenih skupova cˇ iji radijus teži nuli. Presjek takvih skupova
(trokuta) je neprazan i sastoji se od 1 toˇcke
∩
In =: {z0 }
(1.32)
n∈N
Takoder
¯ se može to pokazati iz Heine-Borel teorema.
max | f (z)| je udaljenost toˇcke z na n-tom trokutu do z0 nije ve´ca od pola okolice tog trokuta
z∈C
kao što vidimo na slici 5:
|z − z0 | < δ
z0
(1.33)
z
Slika 5: Udaljenost toˇcke na n-tom trokutu
Pošto je toˇcno z0 toˇcaka u kojoj je funkcija analitiˇcka imamo, iz uvjeta derivabilnosti u z0 :
f (z) − f (z0 ) − f ′ (z ) < ε {uz uvjet (1.33)}
0 z − z0
| f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 )| < ε|z − z0 |
∫
∫ [
f (z)dz =
f (z) −
Cn
Cn
f (z ) − f ′ (z − z0 )
| 0 {z
}
pravac - nema utjecaja na podint. funkciju
max | f (z)| = ε(z − z0 ) = ε
z∈C
9
L
za n-ti trokut
2n
]
(1.34)
slijedi:
∫
L
L
. . . f (z)dz ≤ 4n · n · ε n ≤ εL2
2
2
C
(1.35)
Po ocjeni integrala, poˇcetni integral je manji od εL2 , gdje je ε proizvoljno mali broj. Integral
po svim trokutima je 0 pa se suma ne mijenja. Vrijedi:
n ∫
∑
∫
f (z)dz =
f (z)dz
(1.36)
i=1 C
i
C
Proširenje je mogu´ce zbog (1.28).
3. dio
Koristimo cˇ injenicu iz 2. djela da je integral po rubu trokuta jednak 0 (rub trokuta ∂△ ili C).
Vidimo sa slike 6:
z
z0
a
Slika 6: Slika uz osnovni tm integralnog raˇcuna
∫
∫
∫
f (z)dz +
f ( f )dz +
[z0 ,z]
∫
∫
F(z0 ) =
f (z)dz; F(z) =
[a,z0 ]
∫
F(z0 ) +
[a,z0 ]
[z0 ,z]
∫
f (z)dz = 0 =
[z,a]
f (z)dz
∂△(a,z0 ,z)
f (z)dz
[z,a]
∫
f (z)dz − F(z) = 0 ⇒ F(z) − F(z0 ) =
∫
f (z)dz
[z,z0 ]
z
dz = z − z0
minus jer smo okrenuli granice integr. Ideja je:
z0
10
(1.37)
Raˇcunamo derivaciju:
F(z) − F(z0 )
F ′ (z0 ) = lim
= f (z0 ), iz def. derivacije:
z→z0
z − z0
F(z) − F(z0 ) − F ′ (z ) ≤ ε
0 z − z0
∫
∫
[z,z0 ] f (z)dz
[z,z0 ] [ f (z) − f (z0 )]dz = {ocjena int.} =
− f (z0 ) = z − z0
z − z0
∫z
1
1 [ f (z) − f (z0 )]dz ≤
=
· l(γ) max | f (z) − f (z0 )| ≤
γ
|z − z0 | |z − z0 |
z0
1
≤ {l(γ) → |z − z0 |} ≤
· |z − z0 | max | f (z) − f (z0 )| < ε
γ
|z − z0 |
(1.38)
jer je f (z) neprekidna funkcija naša F ′ (z0 ) je sigurno < ε pa po definiciji je
F ′ (z0 ) = f (z0 )
(1.39)
Takoder
¯ koristimo cˇ injenicu da je skup S konveksan (možemo ga povezati ravnom linijom)
Konaˇcno:
∫
∫
∫
γ
f (z)dz =
γ
F ′ (z)dz =
γ
dF = 0
(1.40)
Komentar:
Pokazali smo da je F ′ (z) = f (z), koristili cˇ injenicu da integral po rubu velikog trokuta možemo razdjeliti na sumu integrala po rubu konaˇcnog broja malih trokuta unutar velikog trokuta.
I na kraju smo iz 1. dijela vidjeli da je integral totalnog diferencijala jednak nuli.
Zakljuˇcak: Linijski integral po zatvorenoj krivulji je jednak 0.
1.1.8
Osnovni teorem integralnog raˇcuna za analitiˇcke funkcije
Teorem 4. Neka je S ∈ C podruˇcje i f ∈ H(S ); f : S → C. Tada postoji funkcija
∫
F(z) =
f (ζ)dζ, γ : [a, b] → S , po dijelovima gladak put u S, γ(b) = z
(1.41)
γ
i vrijedi
F ′ (z0 ) = f (z0 ), ∀z0 ∈ S
(1.42)
Dokaz. Dokaz je u biti 3. dio CG-teorema (uz koji je bitna slika 7), no to je bilo za konveksan
skup. Ukoliko nemamo konveksan skup, nego recimo skup u obliku "kifle", tada put možemo
prekriti kuglama koje se preklapaju (one imaju konaˇcan radijus). Ostatak slijedi.
11
γ(b)=z
γ(a)
Slika 7: Konveksan put u S
1.1.9
Cauchy integralna formula
Teorem 5. Neka je S ∈ C podruˇcje i neka je f ∈ H(S ). Tada ∀z ∈ S vrijedi:
I
1
f (ζ)
f (z) =
dζ
2πi γ ζ − z
(1.43)
γ - zatvoren Jordanov put oko z (nepresjecaju´c)
Dokaz. Dokaz radimo po principu desna - lijeva strana=0.
C
γ
z
R
Slika 8: Deformiramo put u kružnicu - smijemo zbog analitiˇcnosti
Ocjenimo integral i pokažimo da je on 0.
I
I
1
1
f (ζ)
f (ζ)
2πi
dζ − f (z) = dζ −
f (z) =
2πi γ ζ − z
2πi γ ζ − z
2πi
{
}
∫
2πi
dz
= proširili smo s
, jer je2πi =
2πi
z
I γ
I
1
f (ζ) − f (z) 1 f (ζ) − f (z) dζ =
dζ ≤
=
2πi γ
2π γ
ζ−z
ζ−z
1
1
≤
· ℓ(γ) ·
· max | f (ζ) − f (z)| ≤
2π
|ζ| − z
1
1
· 2πR ·
≤
· max | f (ζ) − f (z)| < ε
2π
|ζ − z|
|{z}
(1.44)
R
Pošto je f analitiˇcka pa i neprekidna, gornja tvrdnja vrijedi. Ocjena integrala nam je pokazala da je sam integral manji od proizvoljno malog broja ε.
12
Napomena: Izvod dokaza o klasi C ∞ ne´cu ovdje pokazati. Ima u scanu od kuda sam prepisival. Dokaz je poduži, i zgodan je za provježbat. Još jedan razlog da idete na predavanje i da
sami izvodite stvari : ).
1.1.10 Liouvilleov teorem
Teorem 6. Ako je f ∈ H(C) te ako je | f (z)| omedena
∀z ∈ C, onda je i f konstantna.
¯
Dokaz. Ako je funkcija omedena
znaˇci da vrijedi:
¯
∃M : | f (z)| ≤ M
(1.45)
Koriste´ci Cauchy integralnu formulu i ocjenu integrala možemo pokazati sljede´ce:
∫
1
f (ζ)
′
f (z) =
dζ
2πi γ (ζ − z)2
∫
1
f (ζ)
1
1
dζ
≤
·
ℓ(γ)
·
max
|
f
(ζ)|
·
(1.46)
2πi γ (ζ − z)2 2π |{z} | {z } |ζ − z|2
2π|ζ−z|
M
M
≤ ; R = |ζ − z|
R
M je fiksan, a pošto je f cijela funkcija nejednakost vrijedi za svaki R pa možemo R uzeti
po volji velikim, što znaˇci da je:
f ′ (z) = 0 ⇒ f (z) = const.
(1.47)
Napomena: Izostavljen osnovni teorem algebre. Njega možete sami izvest, veoma je lagan
i koristi gornji teorem.
1.1.11 Nizovi i redovi u C
Definicija 1. Niz je preslikavanje n ∈ N 7→ zn ∈ C, pri cˇ emu je {zn } kodomena (niz).
Gomilište niza imamo ako:
∀ε > 0, ∀N > 0 : ∃n > N ⇒ |zn − z| < ε
(1.48)
∀ε > 0, ∃N > 0 : ∀n > N ⇒ |zn − z| < ε
(1.49)
Limes niza imamo ako:
Geometrijska interpretacija bi bila da su svi cˇ lanovi zn sa n > N unutar otvorenog diska
radijusa ε, dok samo njih konaˇcno mnogo leži van diska.
Konvergentan niz je i ograniˇcen - nužan uvjet konvergencije:
lim an = 0
n→∞
13
(1.50)
Ako je niz konvergentan, konvergentan je i njegov podniz i to u istom limesu.
Ako niz ima gomilište, postoji podniz kojem je to gomilište limes.
Ako niz ima konvergentni podniz, limes tog podniza je barem gomilište tog niza.
Skup S je kompaktan, ako svaki niz {zn } ⊂ S ima konvergentan podniz {znk } ⊂ S t.d je:
lim znk ∈ S
(1.51)
∪
∪
Skup S je ograniˇcen, ako ∃R > 0 t.d. je (O, R) nadskup od S → (O, R) ⊃ S (otvorena
kugla).
k→∞
1.1.12 Iskaz Bolzano-Weierstrasovog teorema
Svaki {zn } podskup ograniˇcenog skupa S ima bar jedno gomilište.
Dokaz možete napraviti sami.
1.1.13 Heine-Borel teorem
Teorem 7. Skup S ⊂ C je kompaktan ako i samo ako je ograniˇcen i zatvoren.
Podteorem 1. Neka je S ⊂ C zatvoren i neka je {zn } ⊂ S , {zn } ima gomilište u z. Tada je z ∈ S
Dokaz. Dokazujemo podteorem tako da predpostavimo suprotno. z < S → z ∈ C \ S otvoren
skup → ∃(z, R) ⊂ C \ S ⇒ (z, R) ∩ S = ∅. Ako je z gomilište, u svakoj okolini z mora biti ∞
gomilišta, no z ∈ S pa imamo kontradikciju.
Dokaz. Sada idemo dokazati Heine-Borelov teorem. Dokazati c´ emo ga u dva koraka.
AKO:
Neka je {zn } niz u S . Neka je S ograniˇcen i zatvoren. Po B-W teoremu, ako imamo ograniˇcen niz on mora imati bar jedno gomilište. Dakle, može se konstruirati konvergentan podniz
cˇ iji je limes u S po uvjetu kompaktnosti.
SAMO AKO:
ˇ
NIJE OGRANICEN:
možemo konstruirati nizove bez gomilišta → ne´cemo mo´ci na´ci konvergentan podniz cˇ iji c´ e limes biti iz skupa u kojem je konstruiran prvobitni niz. Propada nam
kompaktnost.
NIJE ZATVOREN: S¯ \ S = ∂S , ∅, odnosno C \ S je zatvoren i presjek ruba i skupa nije
prazan. Znaˇci da je z ∈ ∂S koji nisu u skupu. Konstruiramo li niz koncentriˇcnih kružnica oko z
(radimo nizove), z c´ e biti limes tog niza → ali konvergentni niz teži u toˇcku koja nije u skupu propada kompaktnost.
Ovime smo kontradikcijom pokazali da vrijedi Heine-Borelov teorem.
Napomena: Ovdje sam ispustio dokaze o nužnosti konvergencije nizova, to se može na´ci u
scaniranoj verziji ili možete samo dokazati.
14
1.1.14 Redovi u C
Definicija 2. Neka je {zn } niz u C. Neka je
sn =
n
∑
zk
(1.52)
k=1
Niz {sn } zove se red.
Definicija 3. Ako postoji lim sn = S , kažemo da je red konvergentan i S se zove suma reda:
n→∞
S =
n
∑
zk = z1 + z2 + . . . zn
(1.53)
k=1
Geometrijski red
zn = qn ,
Sn =
n
∑
qk =
k=0
1 − qn+1
1−q
(1.54)
Konvergira za |q| < 1 i tada vrijedi:
n
∑
qk =
k=0
1
1−q
(1.55)
Divergira za |q| > 1.
Red je apsolutno konvergentan ako je red
∑
|zn | konvergentan.
1.1.15 Testovi apsolutne konvergencije
1.USPOREDBA:
∑
ak < ∞ i|zk | < ak , ∀k > N, onda red |zk | konvergira.
∑
∑
Dokaz. Iz kontrukcije reda: S n = nk=1 ak , S n′ = nk=1 |zn |. S n′ ≤ S n < ∞, ak > 0
Ako red
∑
2.CAUCHY-KORJENSKI:
√n
|zn | ≤ a < 1, ∀n > N, onda je
∑
|zn | < ∞, u obrnutom sluˇcaju divergira.
√
/n
Dokaz. Koristimo test usporedbe. Neka je n |zn | ≤ a → |zn | ≤ an < 1n = 1. Sumiramo:
∑
∑ n
|zn | ≤
a - imamo geometrijski red koji konvergira za |a| < 1. Jedino moramo paziti
ukoliko imamo harmonijski red (koji je divergentan).
Ako je
3.OMJEROM:
Ako red
∑
zk , zk , 0 ima svojstvo da ∀k > N
zk+1 ≤ a < 1
zk onda on konvergira apsolutno, inaˇce divergira za ≥ a > 1
15
(1.56)
Dokaz.
zk+1 ≤ a < 1 ⇒ |z | ≤ |z |a, za k > N posebno
k+1
k
zk |zN+2 | ≤ |zN+1 |a, |zN+3 | ≤ |zN+2 |a ≤ |zN+1 |a2 . . .
op´cenito : |zN+p | ≤ |zN+1 |a p−1 , pošto je a < 1
(1.57)
|zN+1 | + |zN+2 | + |zN+3 | + . . . ≤ |zN+1 |(1 + a + a + . . .) ≤
1
≤ |zN+1 |
, a < 1 pa konvergira po testu usporedbom
1−a
2
1.1.16 Nizovi i redovi potencija
Definicija 4. Red potencija pišemo kao
fk (z) = ak (z − z0 )k , ak ∈ C
(1.58)
Definicija 5. Red funkcija fn (z) konvergira uniformno nekoj funkciji f, ako brzina konvergencije
fn (z) do f (z) ne ovisi o z.
Kažemo da red funkcija fn (z) konvergira uniformno ka f (z) ako
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀z ∈ S ⊂ C, ∀n > N ⇒ | fn (z) − f (z)| < ε
(1.59)
N može ovisiti samo o ε, dok kod konvergencije po toˇckama N može ovisiti i o ε i z Uniformna konvergencija implicira i konvergenciju po toˇckama. Obrat ne vrijedi.
1.1.17 Abelov teorem
uniformno
i apsolutno
apsolutno
|z0|
z0
ρ
z
|z|
Slika 9: Slika uz Abelov teorem
16
∑
Teorem 8. Red ak zk (red potencija oko 0, z0 = 0) konvergira za neki z0 , 0. Red konvergira:
aspolutno ∀z: |z| < |z0 | - otvorena kugla i uniformno ∀z: |z| ≤ ρ < |z0 | - zatvorena kugla.
red konvergira apsolutno na kružnici(kugli) radijusa z, uniformno i apsolutno na zatvorenoj
kugli unutar otvorene kugle.
Dokaz. Pretpostavka: red
∞
∑
ak zk je konvergentan. To znaˇci da mu op´ci cˇ lan, po nužnom krite-
k=1
riju konvergencije, mora i´ci u 0.
lim ak zk = 0
k→∞
(1.60)
To pak znaˇci da je red ograniˇcen. Odnosno:
∀A > 0, ∃N > 0 : k > N ⇒ |ak zk0 | < A
(1.61)
Znamo da je red konvergentan ako niz parcijalnih suma ima konaˇcnu granicu. Nadalje:
( )k ∑
k
∞ ∞
∞
∞ k
∑
∑
∑
z z < ∞
k
k
k z |ak z | ≤
|ak z0 | · < A
akz0 · z0 ≤
z0 z0
(1.62)
k=1
k=1
k=1
k=1
|z|k < |z0 |k → |z| < |z0 | − ∞ geom. red koji konvergira apsolutno u tom podruˇcju
Usporedbom s geometrijskim redom to doista konvergira apsolutno.
Za dokaz uniformne konvergencije nam je potreban Weierstrassov M-test:
∑
Teorem 9. Red fn (z) konvergira uniformno i apsolutno u podruˇcju S ∈ C, ako postoji niz
∑
{Mn } ⊂ R, Mn > 0, ∀n takav da: Mn konvergira i fn (z) < Mn , ∀z ∈ S .
Uzimamo proizvoljni z1 iz kružnog vjenca:
Mn =
|z1 |n
|z0 |n
(1.63)
∑
Red Mn konvergira jer je |z1 | < |z0 |, a kako je |z| ≤ |z1 | vrijedi i |an zn | < Mn pa je po
Weierstrasovom M-testu i unuformno konvergentan.
1.1.18 Taylorov teorem (razvoj)
∪
∪
Teorem 10. Neka je f ∈ H( (a, R)). Tada ∀z ∈ (u, R) vrijedi prikaz
∞
∑
f (n) (a)
(z − a)n
f (z) =
n!
n=0
(1.64)
pri cˇ emu je f (n) (a) n-ta derivacija funkcije f u toˇcki a. Razvoj je jedinstven i uniformno konver∪
gentan na svim kompaktima unutar .
17
ξ
R
z
r
Cr
Slika 10: Slika uz Taylorov teorem
Dokaz. f (z) je analitiˇcka po izriˇcaju teorema unutar kružnice CR (vidi sliku 10). Uvijek možemo konstruirati novu kružnicu Cr unutar CR i tada možemo primjeniti Cauchyjevu integralnu
formulu:
1
f (z) =
2πi
=
=
1
2πi
∞
∑
n=0
∫
Cr
∫
Cr
1
f (ζ)
dζ =
ζ−z
2πi
∫
f (ζ)
dζ =
Cr (ζ − a) − (z − a)
)n
∫
∞ (
f (ζ)
1
1
f (ζ) ∑ z − a
·
dζ =
·
dζ =
ζ−a 1− z−a
2πi Cr ζ − a n=0 ζ − a
ζ−a
| {z }
(z − a)n
1
2πi
∫
(1.65)
geom. red
Cr
f (ζ)
dζ =
(ζ − a)n+1
Usporeduju´
¯ ci s formulom za n-tu derivaciju:
n!
f (z) =
2πi
I
(n)
f (ζ)
dζ
(ζ − z)n+1
(1.66)
Dobili smo upravo formulu iz iskaza Taylorovog teorema.
Jedinstvenost dokazujemo tako da pišemo razvoj derivacija. Možemo tako raditi jer je funkcija analitiˇcna, pa se može derivirati cˇ lan po cˇ lan.
18
f (z) =
∞
∑
n=0
f ′ (z) =
f ′′ (z) =
n=1
∞
∑
z=a
cn · n(z − a)n−1 = c1 · 1 + c2 · 2(z − a) + · · · z=a
f (z) =
∞
∑
= c0
= c1 · 1
cn · n(n − 1)(z − a)n−2 = c2 · 2 · 1 + c3 · 3 · 2 · (z − a) + · · · z=a
n=0
..
.
(n)
∞
∑
cn (z − a)n = c0 · 1 + c1 (z − a) + c2 (z − a)2 + · · · = c2 · 2 · 1 (1.67)
1 · k(k − 1)(k − 2) · · · (k − (n − 1))ck (z − a)k−n z=a =
k=n
= n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1cn = n! · cn
1.1.19 Laurentov teorem (razvoj)
Teorem 11. Neka je f ∈ S, S = {z|R1 < |z − a| < R2 } prsten (slika 11). Tada f možemo pisati
kao
∞
∑
f (z) =
cn (z − a)n
(1.68)
n=−∞
Pri cˇ emu je
1
cn =
2πi
∫
Cr
f (ζ)
dζ
(ζ − a)n+1
(1.69)
Cr bilo koja kružnica oko a radijusa R1 < r < R2 . Razvoj je uniformno konvergentan na svakom
kompaktu u S i jedinstven za dani prsten.
C2
Cr
R2
C1
a
ζ
R
1
r
z
Slika 11: Slika uz Laurentov teorem
Dokaz. Pošto ne znamo kako se funkcija ponaša unutar kružnice (|ζ − a| < R1 ), možemo tu
kružnicu obuhvatiti dvjema kružnicama koje idu u suprotnom smjeru, ili izrežemo a okolinu.
19
Malo smanjimo R2 , a pove´camo R1 i uklonili smo "sumnjivi dio". Sada možemo koristiti Cauchyjevu integralnu formulu, uz poznavanje krivulja C1 i C2 :
C1 : |z − a| > |ζ − a|,
C2 : |z − a| < |ζ − a|
Bitno je uoˇciti orijentaciju krivulja C1 i C2
1
f (ζ)
1
f (ζ)
f (z) =
dζ +
dζ
2πi C2 ζ − z
2πi C1 ζ − z
I
I
1
f (ζ)
f (ζ)
1
=
dζ −
dζ
2πi C2 ζ − z
2πi C1 ζ − z
I
I
f (ζ)
f (ζ)
1
1
=
dζ −
dζ
2πi C2 (ζ − a) − (z − a)
2πi C1 (ζ − a) − (z − a)
I
I
1
f (ζ)
dζ
−1
f (ζ)
−dζ
=
·
·
z−a +
2πi C2 ζ − a 1 − ζ−a 2πi C1 z − a 1 − ζ−a
z−a
∞
∞
∑
f
(ζ)
1
1
1 ∑
n
(z − a)
dζ +
f (ζ)(ζ − a)m dζ
=
n+1
m+1
2πi n=0
2πi m=0 (z − a)
C2 (ζ − a)
C1
(1.70)
(1.71)
Pomaknemo indeks zadnje sume:
Pa imamo
1 ∑
(z − a)n
f (z) =
2πi n=0
∞
C2
m + 1 = −n ⇒ m = −(n + 1)
(1.72)
−∞
f (ζ)
1
f (ζ)
1 ∑
dζ
+
dζ
(ζ − a)n+1
2πi n=−1 (z − a)n C1 (ζ − a)n+1
(1.73)
Oba integrala imaju isti oblik, no ne idu po istoj kružnici. Naša podintegralna funkcija je
analitiˇcka na podruˇcju integracije pa je svejedno idemo li po C1 ili C2 . Zato možemo te krivulje
zamijeniti s Cr , r ∈ ⟨R1 , R2 ⟩
∞
∑
1
f (z) =
(z − a) ·
2πi
n=−∞
|
n
Cr
∞
∑
f (ζ)
dζ
=
cn (z − a)n
(ζ − a)n+1
{z
} n=−∞
(1.74)
cn
Jedinstvenost pokazujemo izravnim raˇcunom (traženje koeficijenta cn ):
/
∞
∑
1
n
f (z) =
cn (z − a) ·
(z − a)m+1
n=−∞
/∫
∞
∑
cn
f (z)
=
(z − a)m+1 n=−∞ (z − a)m−n+1 Cr
∫
∫
∞
∑
f (z)
dz
dz
=
c
n
m+1
m−n+1
Cr (z − a)
Cr (z − a)
n=−∞
(1.75)
Integral na desnoj strani je jednak 2πi ukoliko je m=n, a 0 inaˇce (nešto poput Kronecker delte).
∫
∫
1
f (z)
f (z)
dz = 2πicm ⇒ cm =
dz
(1.76)
m+1
2πi Cr (z − a)m+1
Cr (z − a)
I upravo smo dobili koeficijente koje smo tražili.
20
Analitiˇcke funkcije imaju cˇ vrstu unutarnju strukturu i daje nam lijepa svojstva koja možemo
koristiti.
1.1.20 Teorem o jedinstvenosti
Teorem 12. Neka je S podruˇcje i f, g ∈ H(S ). Neka je A skup
{
}
A = z ∈ S | f (z) = g(z)
(1.77)
Ako skup ima gomilište u S, tada je f (z) = g(z).
1.1.21 Teorem o nultoˇckama
Teorem 13. Neka je S podruˇcje, f ∈ H(S ) i
{
}
N f = z ∈ S | f (z) = 0
(1.78)
skup nultoˇcaka od f. Ako N f ima gomilište u S, tada je f (z) = 0, ∀z ∈ S .
Dokaz. Prvo treba pokazati da, ako je a ∈ S gomilište N f (f(a)=0), onda je i samo nultoˇcka.
Funkcija f je analitiˇcka i neprekidna pa vrijedi:
lim f (zk ) = f (lim zk )
k→∞
(1.79)
k→∞
Postoji niz u skupu kojem je to gomilište limes:
∃{zk } ⊂ N f , t.d. lim zk = a ⇒ lim f (zk ) = f (a) = 0
k→∞
k→∞
(1.80)
a je gomilište, a f (zk ) niz samih nula za svaki k. Dakle f (a) = 0.
Toˇcka a se nalati u podruˇcju analitiˇcnosti pa oko a možemo razviti Taylorov red:
f (z) =
∞
∑
cn (z − a)n , f (a) = 0
n=0
f (z) = c0 + c1 (z − a) + c2 (z − a)2 + . . .
f (a) = c0 = 0
(1.81)
Možda su svi cn = 0, ali to je trivijalno i nebi imali što dokazati. Zato izaberemo da red
poˇcne od nekog m ≥ 1 umjesto od 0, t.d.
cm > 0, ci = 0, i < m
(1.82)
Znaˇci tada nam je prikaz f(z):
f (z) =
∞
∑
cn (z − a)n , izluˇcimo (z − a)m
n=m
= (z − a)
m
∞
∑
(1.83)
cn (z − a)
n−m
n=m+1
21
= (z − a) g(z)
m
Dobili smo prikaz nove funkcije g(z) preko Taylorovog reda koja nije 0 u a. Vrijedi g(a) =
cm , 0. g(z) je isto analitiˇcka funkcija jer je prikazana preko Taylorovog reda (a znamo da
bismo to mogli napraviti f-ja mora biti analitiˇcka).
f (z) = (z − a)m g(z)
(1.84)
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |z − a| < δ ⇒ |g(z) − g(a)| < ε
(1.85)
Po definiciji neprekidnosti
Vrijedi za svaki ε pa izaberemo takav da ne´ce zahvatiti nulu. a je gomilište nultoˇcaka, znaˇci
da možemo na´ci neki b unutar δ okoline takav da je f (b) = 0 (b , a)
f (b) = 0 = (b − a)m g(b),
g(b) − g(a) , 0
(1.86)
Imamo izravnu kontradikciju. Ne postoji niti jedan cm , 0, svi su 0 za n ≥ 0, te je tada
f (z) = 0 svugdje
Korolar 1. Neka je S podruˇcje, f ∈ H(S ), f (a) = 0 za neki a ∈ S . Tada se f može pisati kao
f (z) = (z − a)m g(z),
(1.87)
gdje je m ≥ 1 prirodni broj i g(a) , 0, na jedinstven naˇcin. m se naziva kratnost nultoˇcke a.
Dokaz.
(z − a)m g(z) = (z − a)k h(z), g(0) , h(0) , 0 → m = k
(1.88)
Pretpostavimo suprotno: ∃m, k sa istim svojstvom
(z − a)m g(z) = (z − a)k h(z), g(0) , h(0) , 0
(1.89)
Ako je m , k jedan je sigurno ve´ci. Izaberemo m>k (suprotna pretpostavka)
(z − a)m−k g(z) = h(z), z = a ⇒ 0 · g(z) = h(z)
|{z} |{z}
,0
I imamo kontradikciju, što znaˇci da je m jedinstven.
22
(1.90)
,0
1.2
Singulariteti analitiˇcke funkcije
Definicija 6. Singularitetom funkcije f (z), f ∈ H(S ), S ∈ C zove se toˇcka a ∈ ∂S t.d. ne
∪
∪
postoji okolina (a, ε) i sunkcija g(z) analitiˇcka na S ⊂ (a, ε) sa svojstvom g(z) = f (z),
∪
∀z ∈ (a, ε) (ne možemo raditi analitiˇcko produljenje).
Definicija 7. Izolirani singularitet funkcije f, je toˇcka a t.d. je funkcija analitiˇcka na otvorenoj
kugli s ishodištem u a i radijusom ε, osim u a.
f ∈ H (∪(a, ε) \ {a}) , ε > 0
1.2.1
(1.91)
Klasifikacija izoliranih singulariteta
1.UKLONJIVI:
∃M > 0 : | f (z)| ≤ M, ∀z ∈ ∪(a, ε)
(1.92)
z → a u proizvoljno malnom okruženju, no funkcija ostaje omedena
na kugli. Postoji
¯
lim f (z) i funkcija g(z) sa svojstvom
z→a



z ∈ ∪(a, ε) \ {a}
 f (z),
g(z) = 
(1.93)

lim
f
(z),
z=a
 z→a
koja je analitiˇcka na ∪(a, ε). Oko uklonjivog singulariteta možemo konstruirati prsten 0 <
|z − a| < R i razviti funkciju f (z) u Laurentov red.
I
I
f (ζ)
f (ζ)
1
1
f (z) =
dζ +
dζ
(1.94)
2πi C2 ζ − z
2πi C1 ζ − z
Po ocjeni integrala:
I
f (ζ) 1
1 f (ζ) dζ ≤ ℓ(C1 ) max < M · r1
2π C1 ζ − z |{z}
ζ − z 2π
{z }
2πr1 |
(1.95)
M
Kako r1 smanjujemo integral je manji od proizvoljno malog broja (0). Ostaje nam samo
regularan dio Laurentovog razvoja (pozitivne potencije), dok je glavni dio jednak nuli.
2.POLOVI:
∀M > 0, ∃δ > 0 : |z − a| < δ ⇒ | f (z)| > M
Funkcija je neomedena
i ide u beskonaˇcnost kako se približava singularitetu.
¯
a je pol funkcije f (z) u sluˇcaju kada je a nultoˇcka funkcije g(z) sa svojstvom
1 1 1
<
g(z) =
, =ε
f (z) f (z)
M
ako f (z) ima pol u a, g(z) ima uklonjivi singularitet u a i g(a) = 0.
23
(1.96)
(1.97)
g(z) = (z − a)m h(z), h(a) , 0
f (z) =
∞
∞
∑
∑
1
1
1
1
n
=
=
c
(z
−
a)
=
dk (z − a)k
n
g(z) (z − a)m h(z) (z − a)m n=0
k=−m
(1.98)
Što je upravo Laurentov razvoj s konaˇcno mnogo negativnih potencija, najnegativnija potencija je red pola.
3.BITNI:
Bitni singularitet nije ni pol ni uklonjiv, ali je izoliran. Kako se funkcija približava bitnom
singularitetu poˇcinje oscilirati ("divljati"). Funkcija ima beskonaˇcno mnogo negativnih potencija.
Primjeri:
1 − z2
− uklonjiv pol u z=-1
1+z
1
f (z) = − pol 1. reda u z=0
z
f (z) = ez − za z → ∞ "divlja" : ez = |{z}
e x · |{z}
eiy
f (z) =
divergira
1.2.2
(1.99)
oscilira
Reziduumi
Definicija 8. Neka je f ∈ H (∪(a, ε) \ {a}), S ∈ C podruˇcje. Reziduum funkcije f u toˇcki a je
integral
I
1
Res( f (z), a) =
f (z)dz
(1.100)
2πi C
gdje je C rub kugle oko a.
Definicija 9. neka je f (z) analitiˇcka na zatvorenom Jordanovom putu γ te unutar podruˇcja Pγ
omedenog
tim putem ima konaˇcan broj izoliranih singulariteta.
¯
f (z) ∈ H(Pγ \ {a1 , . . . , ak }).
(1.101)
Tada je
∫
γ
f (z)dz = 2πi
k
∑
i=1
24
Res( f (z), ai )
(1.102)
Definicija 10. Operativna formula.
Ako je
f (z) =
∞
∑
ck (z − a)k
(1.103)
k=−∞
Laurentov razvoj oko izoliranog singulariteta a, tada je
Res( f (z), a) = c−1
∫
f (z)dz =
C
∫ ∑
∞
∞
∑
ck (z − a) dz =
k
C k=−∞
k=−∞
(1.104)
∫
(z − a)k dz =
ck
C
∞
∑
ck 2πiδk,−1 = 2πic−1
(1.105)
k=−∞
Dokaz. Stiš´cemo put integracije oko singulariteta. Uzimamo bilo koji ai i napravimo razvoj
oko njega:
f (z) =
∞
∑
k=−∞
ck (z − a)k = φi (z) + ψi (z)
|{z} |{z}
(1.106)
regularni
glavni
Konstruiramo:
F(z) = f (z) −
n
∑
φi (z)
(1.107)
i=1
Sve glavne dijelove oduzima od f(z). F(z) ∈ H(Pγ ) jer nema glavnog dijela Laurentovog
razvoja i nema singulariteta pa po Cauchy-Goursat teoremu:
∫
γ
∫
F(z)dz = 0 =
γ
f (z)dz −
i=1
∫
γ
n ∫
∑
f (z)dz = 2πi
∫
γ
f (z)dz = 2πi
γ
φi (z)dz = 0
n
∑
i=1
n
∑
c−1 (i)
(1.108)
Res( f (z), ai )
i=1
25
1.3
Obiˇcne diferencijalne jednadžbe (ODJ)
Definicija 11. Neka je F : I → R funkcija n + 2 varijavle. Neka je y = x 7→ y(x) n puta
derivabilna, y : I → R. Diferencijalan jednadžba n-tog reda je izraz
F(x, y(x), y′ (x), . . . , y(n) (x)) = 0
(1.109)
za koji se zahtjeva da vrijedi ∀x ∈ I.
Rješenje diferencijalne jednadžbe je n puta diferencijabilna funkcija y t.d. je
F(x, y(x), y′ (x), . . . , y(n) (x)) = 0, ∀x ∈ I
(1.110)
Definicija 12. Linearna diferencijalna jednadžba je jednadžba oblika
n
∑
ai (x)y(i) (x) = f (x)
(1.111)
i=0
homogena u sluˇcaju da je f (x) = 0.
Definicija 13. Cauchyjev problem ili problem poˇcetnih vrijednosti, je na´ci rješenje DJ
n
∑
ai (x)y(i) (x) = f (x)
(1.112)
i=0
koje zadovoljava poˇcetne uvjete
y(x0 ) = α0 , y′ (x0 ) = α1 , . . . , y(n−1) (x0 ) = αn−1 , x0 ∈ I; α0 , . . . , αn−1 ∈ R
(1.113)
Definicija 14. Standardni oblik DJ je
y(n) (x) +
n−1
∑
ai (x)y(i) (x) = f (x)
(1.114)
i=0
ai (x) su neprekidne na I.
Diferencijalne jednadžbe se cˇ esto zapisuju pomo´cu matrica:

  
y2 (x) · · ·
yn (x)  C1 
 y1 (x)
  
 y′ (x)
y′2 (x) · · ·
y′n (x)  C2 
 1
..
..  ·  ..  = 0
...
 ..
.
.
.   . 

  
(n−1)
(n−1)
(n−1)
y1 (x) y2 (x) · · · yn (x) Cn
(1.115)
U tu svrhu dobro je definirati neke nove pojmove koji c´ e nam biti od velike koristi.
Definicija 15. Neka su y1 , . . . , yn : I → R (n-1)
(determinanta Wronskog) se zove determinanta
y1 (x)
W(y1 , . . . , yn ; x) = · · ·
(n−1)
y1 (x)
puta derivabilne funkcije. Wronskijan
···
yn (x) .. ..
.
. (n−1)
· · · yn (x)
Ako su y1 , . . . , yn linearno zavisne na I onda je W ≡ 0, ∀x ∈ I.
26
(1.116)
Definicija 16. Singularne toˇcke diferencijalne jednadžbe su one u kojima poˇcetni koeficijent u
DJ (uz najstariju potenciju) išˇcezava.
Singularne toˇcke narušavaju jedinstvenost rješenja.
Napomena: Kod y1 , . . . se podrazumijeva ovisnost o varijabli x, ali zbog jednostavnosti se
taj dio izostavlja (ne zaboravlja).
Teorem 14. Neka su y1 , . . . , yn rješenja jednadžbe
y(n) (x) + an−1 (x)y(n−1) (x) + · · · + a0 (x)y(x) = 0
(1.117)
gdje su ai (x) neprekidne funkcije na I. Tada za bilo koji x0 ∈ I vrijedi
−
W(y1 , . . . , yn ; x) = W(y1 , . . . , yn ; x0 )e
∫
x
x0
an−1 (s)ds
(1.118)
ako je koeficijent uz drugu najstariju derivaciju jednak 0, tada je e0 = 1 i Wronskijan je konstanta.
Napomena: DJ nema poˇcetni koeficijent uz sebe (an (x)) da bi bili sigurni da nam ne´ce
išˇceznuti.
Dokaz. Deriviramo Wronskijan. Determinante se deriviramo tako da deriviramo svaki redak
y1
y′
1
W(y1 , . . . , yn ; x) = · · ·
(n−1)
y1
′
y1
y′
1
′
W (y1 , . . . , yn ; x) = · · ·
(n−1)
y
|1
y1
y′
1
+ · · ·
(n−2)
y1
y(n)
1
···
···
..
.
···
(n−1) yn
yn
y′n
..
.
y1 · · ·
yn ···
y′′ · · ·
y′′n 1
···
′′ · · ·
y′′n + · · · +
.. + y1
..
.
.. |{z}
. ..
0
.
. (n−1) · · ·
(n−1)
· · · yn
(n−1) · · · yn
{z
} y1
|
{z
}
0
0
···
yn ···
y′n .. ..
′
(n−2)
(n)
.
. = yn + an−2 yn + · · · + a1 yn + a0 yi =
· · · y(n−2)
n
· · · y(n)
n
y′n
y′n
(1.119)
= −an−1 y(n−1)
, ∀x ∈ {1, . . . , n}
i
Ukoliko imamo dva linearno zavisna retka u determinanti, ona je nula. Zato nam sve derivacije propadaju osim zadnje.
Dodavaju´ci zadnjem retku gornje determinante a0 puta prvi redak, do an−2 puta zadnji.
vrijednost determinante za derivaciju je nepromijenjena i imamo
27
W ′ (x) = −an−1 W(x)
(1.120)
Tu diferencijalnu jednadžbu lako riješimo separacijom varijabli (znak ’ je prostorna derivacija d/dx)
W ′ (x) = −an−1 W(x)
W ′ (x)
= −an−1
W(x)
d(ln W(x)) = −an−1 dx
∫ x
x
ln W = −
an−1 (s)ds
x0
x0
)
(
∫ x
W(x)
=−
an−1 (s)ds
ln
W(x0 )
x0
W(x) = W(x0 )e
−
∫
x
x0
(1.121)
an−1 (s)ds
Linearni diferencijalni operator
( )n

( )n−1
 d

d
L(y) = 
+ an−1 (x)
+ · · · + a0 (x) y
dx
dx
(1.122)
Rješenja homogene diferencijalne jednadžbe cˇ ine linearan prostor.
Primjer:
e =
ax
∞
∑
an
n=0
L shvatimo kao polinom ⇒ x ↔
n!
xn
(1.123)
d
.
dx
e
d
a dx
( )n
∞
∑
an d
=
n! dx
n=0
(1.124)
Razvijemo u Taylorov red
e
d
a dx
f (x) =
=
∞
∑
an dn f (x)
i=0
∞
∑
n! dxn
∞
∑
f n (x) n
=
a =
n!
n=0
f n (x)
(a + x − x)n = f (a + x)
n!
n=0
(1.125)
Dobili smo operator translacije.
d
ea dx f (x) = f (x + a)
28
(1.126)
1.3.1
Teorem o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema
Teorem 15. Rješenje diferencijalne jednadžbe
Ln (y) = y(n) (x) + an−1 (x)y(n−1) (x) + · · · + a0 y(x) = 0, x ∈ I ⊂ R
(1.127)
gdje si ai neprekidne na I, koje zadovoljavaju poˇcetne uvjete
y(x0 ) = α0 , . . . ; y(n−1) (x0 ) = αn−1 , x0 ∈ I, αi ∈ R
(1.128)
postoji i jedinstveno je
Konstruiramo niz funkcija koji ima limes - taj limes je ujedno i rješenje.
lim yn (x) = y(x)
n→∞
(1.129)
Korolar 2. Prostor jednadžbe Ln (y) = 0 je n-dimenzionalni vektorski prostor
Dokazujemo tako da pokažemo da postoji izomorfizam izmedu
¯ vektorskog prostora i rješenja DJ.
Dokaz imate u scanu ili na predavanjima.
Dokaz. Dokaz o jedinstvenosti i postojanju pokazujemo tako da jednu DJ n-tog reda svedemo
na n-vezanih DJ nižeg reda.
y1 ≡ y, y2 ≡y′1 = y′ , . . . , yn = y(n−1)
y′n = −an−1 yn − an−2 yn−1 − . . . − a0 y1
(1.130)
To možemo zapisati u matriˇcnoj notaciji
  
 
1 ···
0  y1 
y1   0
  . 
d  .   .
.. ..
  .. 
 ..  =  ..
.
.
0
  
dx   
yn
−a0 · · · · · · −an−1 yn
(1.131)
Što se isto može pisati u skra´cenoj notaciji kao
d
Y = AY
dx
(1.132)
d
W = AW
dx
(1.133)
Nastavimo:
Gdje su A i W m × n matrice. Ako prijedemo
s varijable x na t imamo:
¯
x = t ⇒ dx = dt ⇒
dt
d
d dt
=1⇒
=
·
dx
dx dt dx
29
(1.134)
/∫
d
W(t) = A(t)W(t) + B(t)
dt
∫ t
t
W =
[AW + B]dt′
t0
t0
∫
t
W(t) = W(t0 ) +
(1.135)
[AW + B]dt′
t0
U ovu diferencijalnu jednadžbu smo eksplicitno ugradili poˇcetne uvjete. Gledamo n-ti stupac. Ako n konvergira brzo, rješenje je W∞ .
∫ t
[A(t′ )Wn−1 (t′ ) + B(t′ )]dt′
(1.136)
Wn (t) = W(t0 ) +
t0
Da bismo mogli govoriti o konvergenciji treba nam udaljenost - norma. To se rješava iterativno.
∃ lim Wn (t′ ) = W∞ (t′ )
(1.137)
n→∞
kako n → ∞ Wn i Wn−1 su sve bliže, znaˇci postoji limes pa postoji i rješenje - riješili smo
egzistenciju.
Jedinstvenost dokazujemo da pretpostavimo postojanje drugog rješenje, no automatski imamo
kontradikciju jer bi nam rebala još jedna norma, a ako smo u jednom v.p. imamo samo jednu
normu.
1.3.2
Princip superpozicije
Princip superpozicije je veoma bitan u fizici. Ukoliko imamo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednadžbu, op´ce rješenje c´ e biti suma homogenog i partikularnog rješenja.
Takoder,
¯ za homogenu jednadžbu vrijedi da je bilo koja linearna kombinacija rješenja ponovo rješenje.
1.3.3
Op´ce rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda
y′ (x) + p(x)y(x) = 0, ∀x ∈ I ⊂ R
(1.138)
p(x) i f(x) su neprekidne na I. Ovu jednadžbu rješavamo separacijom varijabli.
y(x) = y(x0 )e
−
∫
x
x0
p(s)ds
(1.139)
Za nehomogenu jednadžbu imamo
y′ (x) + p(x)y(x) = f (x), ∀x ∈ I ⊂ R
(1.140)
uz
u(x) = e
−q(x)
∫
∫
x
, q(x) =
x
p(s)ds, v(x) = u(x)
x0
x0
30
f (t)
dt
u(t)
(1.141)
y(x) = v(x) + y(x0 )u(x)
(1.142)
Partikularno rješenje je svako rješenje DJ koje se dobiva iz op´ceg za svaku konstantu.
1.3.4
Linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima
y′′ (x) + α1 y′ (x) + α0 y(x) = 0
(1.143)
Pretpostavljamo rješenje oblika
y(x) = eax
(1.144)
pretpostavili smo takvo rješenje, jer c´ e nam ono, ukoliko se derivira, dati originalnu funkciju
(do na konstantu, ali nam vrijedi princip superpozicije 1.3.2 pa je i to rješenje).
Ono što je nama bitno je da imamo jednadžbu, koju možemo provjeriti. Pogotovo ako su
nam zadani poˇcetni uvjeti. Tada znamo (po teoremu 15) da nam, ukoliko bi uvrstili rješenja u
homogenu DJ, rješenje mora dati nulu.
y′ (x) = aeax , y′′ (x) = a2 eax
(1.145)
To uvrstimo u originalnu diferencijalnu jednadžbu
(a2 + α1 a + α0 ) eax = 0
(1.146)
Pošto nam je eksponencijalni cˇ lan uvijek razliˇcit od nule, da bi nam jednadžba 1.146 bila
ispunjena mora vrijediti
a2 + α1 a + α0 = 0 ⇒ (a − a1 )(a − a2 ) = 0
(1.147)
To je karakteristiˇcna jednadžba. Prodiskutirajmo mogu´ca rješenja (a1 , a2 ) te jednadžbe.
Ukoliko je a1 , a2 - jednostruke nultoˇcke imamo:
y1 (x) = ea1 x , y2 (x) = ea2 x
(1.148)
Ukoliko je a1 = a2 - jedno rješenje se name´ce samo od sebe, dok je drugo u malo drugaˇcijoj
formi.
Uvjet koji mora biti ispunjen je da imamo dva linearno nezavisna rješenja y1 (x) i y2 (x) koja
c´ e zadovoljavati uvjet da je L(y) = 0.
L=
d2
d
+
α
+ α0
1
dx2
dx
(1.149)
y(x, a) = eax
(1.150)
u našem sluˇcaju.
Pretpostavimo sljede´ce
31
L(y(x, a)) = (a2 + α1 a + α0 ) eax = (a − a1 )(a − a2 ) eax
= (a − a1 )2 eax
(1.151)
Da bi nam vrijedilo L(y(x, a)) = 0 mora vrijediti a = a1 . To je bilo priliˇcno razumljivo i
trivijalno. Pošto nam je a = a1 nultoˇcka kratnosti 2 možemo pokušati na´ci drugo rješenje tako
da deriviramo y(x, a) po a i vidimo da li c´ e nam vrijediti uvjet L(y(x, a)) = 0.
(
)
d
L
y(x, a) = 2(a − a1 )eax + (a − a1 )2 xeax
(1.152)
da
što je isto nula za a = a1 pa zadovoljava naš uvjet.
Time smo utvrdili da je i derivacija po nultoˇcki rješenje:
∂y(x, a) y1 (x) = y(x, a1 ), y2 (x) =
= xea1 x
∂a a=a1
(1.153)
Formalno:
Teorem 16. Jednadžba
y(n) (x) + an−1 (x)y(n−1) (x) + · · · + a0 (x)y(x) = 0
ima n-linearno nezavisnih rješenja
 λx

e 1 , xeλ1 x ,




λ2 x
λ2 x


 e , xe ,

..
..


.,

.,



 eλk x , xeλk x ,
· · · , xn1 −1 eλ1 x
· · · , xn2 −1 eλ2 x
..
..
.,
.
(1.154)
(1.155)
· · · , xnk −1 eλk x
gdje su λ1 , . . . , λk svi razliˇciti korjeni karakteristiˇcnog polinoma:
F(λ) = λn + αn−1 λn−1 + · · · + α1 λ + α0 = (λ − λ1 )n1 (λ − λ2 )n2 · . . . · (λ − λk )nk
(1.156)
a n su njihove kratnosti.
Dokaz. Pokazati c´ emo da su forme zbilja rješenja i da su linearno nezavisna.
y(x) = xm ea j x , 0 ≤ m ≤ n j − 1, j = 1, . . . , k
(1.157)
y su rješenja jednadžbe.
(
d
L=
dx
)n
(
+ αn−1
d
dx
)n−1
+ · · · + α1
d
+ α0
dx
(1.158)
Pitamo se (tj. trebamo dokazati)
?
L(xm ea j x ) = 0
32
(1.159)
Možemo fakorizirati:
(
d
− a1
dx
)n1 (
d
− a2
dx
)n 2
(
d
· ... ·
− ak
dx
)n k
(1.160)
Znaˇci imamo:
(
)n j [
]
d
L(x e ) =
− aj
x m ea j x + a j x m ea j x − a j x m ea j x
dx
(
)n j
d
=
− a j xm ea j x
dx
m ajx
(1.161)
Zanima nas djelovanje te forme
(
d
− aj
dx
)n j
xm ea j x = mxm−1 ea j x + a j xm ea j x − a j xm ea j x =
= mx
(1.162)
m−1 a j x
e
ˇ
Forma 1.161 u biti skida potencije. Pošto je n j − 1 ≥ m 1.161 se može derivirati do 0. Cime
m ajx
smo pokazali da vrijedi 1.159 i y(x) = x e su zbilja rješenja.
Sada idemo pokazati da su linearno nezavisna.
Tvrdimo:
jm −1
k ∑
∑
lin. nez
c jm xm ea j x = 0 ====⇒ c jm = 0
(1.163)
j=1 m=0
| {z }
P j (x)
odnosno
k
∑
P j (x)ea j x = 0 → P j (x) = 0 − polinomi
(1.164)
j=1
To c´ emo dokazati matematiˇckom indukcijom.
Baza:
k=1
P1 (x)ea1 x = 0 ⇒ P1 (x) = 0 X
Korak:
33
(1.165)
k=n
/
k+1
k
∑
∑
ajx
ajx
ak+1 x
P j (x)e = 0 →
P j (x)e + Pk+1 (x)e
= 0 : eak+1 , 0
j=1
k
∑
j=1
′
P j (x)ea j x + Pk+1 (x) = 0
(1.166)
j=1
a′j = a j − ak−1 , 0
k
∑
′
Q j (x)ea j x = 0
j=1
Q j (x) je derivirani polinom koji se ne mijenja (deg Q j (x) = deg P j (x)). To vrijedi samo ako
je Q j (x) = 0.
Pretpostavka koraka:
Q j (x) ≡ 0, j = 1, . . . , k
(1.167)
no to znaˇci, pošto su Q j iP j istog stupnja, da je i P j (x) ≡ 0 pa iz koraka imamo:
Pk+1 (x)eak+1 x = 0 ⇒ Pk+1 = 0, ∀k
(1.168)
1.3.5
Metoda neodredenih
koeficijenata
¯
L1 (y) = y(n) (x) + αn−1 y(n−1) (x) + · · · + α1 y(x) + α0 = f (x)
(1.169)
f (x) je i samo rješenje pripadne homogene jednadžbe (Ln (y) = 0) sa konstantnim koeficijentima.
L2 (y) = y(m) (x) + βm−1 y(m−1) (x) + · · · + β1 y(x) + β0 = 0
(1.170)
L2 (L1 (y)) = L2 ( f ) = 0
(1.171)
αi , β i ∈ R
Homogena DJ reda m + n. L21 (y) = 0 - baza u prostoru rješenja. Rješenja od L21 :
y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 , . . . , ym+n
(1.172)
L1 (yn+i ) = qi (x) , 0, i = 1, . . . , m
(1.173)
qi su rastav ym+n koji su rješenje za q
L2 (qi ) = 0, i = 1, . . . , m → f =
m
∑
k=1
34
ck qk (x); f =
m
∑
k=1
ck L1 (yn+k )
(1.174)
 m

∑

f = L1  ck yn+k  → rješenje nehomogene jednadžbe
y p (x) =
m
∑
k=1
(1.175)
ck yn+k (x) → namještamo rješenje da ogovara poˇcetnoj jednadžbi
k=1
Metoda neodredenih
koeficijenata zahtjeva da napravimo poˇcetnu pretpostavku oko forme
¯
partikularnog rješenja, ali s koeficijentima koji nisu odredeni.
¯
Zatim zamjenimo izraz koji smo pretpostavili u poˇcetnu jednadžbu i pokušavamo odrediti
koeficijente, na naˇcin da zadovolje jednadžbu. Ako smo uspjeli u tome, tada smo našli rješenje
DJ i možemo ga koristiti za partikularno rješenje. Ukoliko ne možemo odrediti koeficijente, to
upu´cuje da ne postoji rješenje u pretpostavljenoj formi. U tom sluˇcaju možemo podesiti poˇcetnu
pretpostavku i pokušati ponovo.
Glavna prednost metode neodredenih
koeficijenata je ta da je vrlo lako izravno raˇcunati, jed¯
nom kad imamo pretpostavku o partikularnom rješenju. Glavni nedostatak je taj da je korisna
ve´cinom za DJ za koje na jednostavan naˇcin možemo zapisati formu partikularnog rješenja unaprijed. Zbog tog razloga, ova se metoda obiˇcno koristi samo za probleme u kojima homogena
jednadžba ima konstantne koeficijente i kojima je nehomogeni dio ograniˇcen na relativno male
klase funkcija. Na primjer, izabiremo samo nehomogene cˇ lanove koji se sastoje od polinoma,
eksponencijalnih funkcija, sinusa i kosinusa.
Unatoˇc ovom ograniˇcenju, metoda neodredenih
koeficijenata je korisna za rješavanje pro¯
blema koji imaju veliku važnost (npr. jednadžbe koje vode na pojave kao što je rezonancija)[4].
1.3.6
Metoda varijacije konstanti
L(y) = y(n) (x) + αn−1 y(n−1) (x) + · · · + α1 y(x) + α0 = f (x)
(1.176)
x ∈ I f (x) je neprekidna na I ⊂ R
Iz konstrukcije karakteristiˇcnog polinoma znamo rješenja homogene jednadžbe
y1 (x), . . . , yn (x)
(1.177)
koja su linearno nezavisna rješenja → L(y) = 0.
Partikularna rješenja c´ e biti u obliku
y p (x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) + · · · + Cn (x)yn (x)
gdje su Ci n puta derivabilne funkcije na I.
Sve nam je proizvoljno. Kako to ograniˇciti?
Neka nam je zbroj prvih derivacija Ci = 0
35
(1.178)
y′p (x) = C1′ y1 +C1 y′1 + C2′ y2 +C2 y′2 + · · · + Cn′ yn +Cn y′n
y′′p (x)
=
=0
C1′ y′1
+C1 y′′1
=0
=0
+ C2′ y′2
+C2 y′′2
+ ···
=0
+ Cn′ y′n
+Cn y′′n
=0
=0
(1.179)
deriviramo koliki nam je stupanj diferencijalne jednadžbe
y(n)
p (x) = C 1 (x)L(y1 ) + C 2 (x)L(y2 ) + · · · + C n (x)L(yn )+
(x)) = f (x)
(x)) + · · · + Cn′ (x)L(y(n−1)
(x)) + C2′ (x)L(y(n−1)
+ C1′ (x)L(y(n−1)
n
2
1
∑
→
C (n) (x) = 0
n-ta derivacija je zadana nehomogenoš´cu. Možemo to napisati u obliku matriˇcne jednadžbe:


 

y2 (x) · · ·
yn (x)  C1′ (x)  0 
 y1 (x)

 

 y′ (x)
y′2 (x) · · ·
y′n (x)  C2′ (x)  0 
 1
(1.180)
 ..
..
..   ..  =  .. 
..
.
 .
.
.   .   . 
 (n−1)

 

f (x)
y1 (x) y(n−1)
(x) · · · y(n−1)
(x) Cn′ (x)
n
2
|
{z
}
W
Rješenje je jedinstveno jer je W , 0. Imamo n linearno nezavisnih jednadžbi. C ′ odredimo
iz sustava, a daljnjom se integracijom dobije
∫ x
Ci (x) =
Ci′ (s)ds
(1.181)
C ne možemo dobiti iz algebarske jednadžbe jer su namješteni tako da Ci′ išˇceznu. Oni
zavise o poˇcetnim uvjetima, odnosno rješavaju specifiˇcan Cauchyjev problem.
Sustav 1.180 je Cramerov, što znaˇci da ima jedno rješenje. Postavljenjem homogene jednadžbe možemo namjestiti koeficijente da izraˇcunamo integral 1.181. A znamo da postoje integrali elementarnih funkcija koji ne´ce dati elementarne funkcije.
Tada je
∫
x
y p (x) = y1 (x)
C1′ (s)ds
∫
x
+ y2 (x)
x0
C2′ (s)ds
∫
x
+ · · · + yn (x)
x0
Cn′ (s)ds
x0
(1.182)
y(x) = yH (x) + yP (x)
1.3.7
Frobenius metoda rješavanja diferencijalne jednadžbe drugog reda
Teorem 17. Imamo diferencijalnu jednadžbu drugog reda oblika
y′′ (z) + p(z)y′ (z) + q(z)y(z) = 0
(1.183)
Neka je
y(z) =
∞
∑
cn (z − z0 )n
n=0
36
(1.184)
analitiˇcka funkcija. Ukoliko bi tražili rješenje u tom obliku imali bi pre restriktivnu formu
(samo pozitivni cˇ lanovi), no ukoliko bi proširili do −∞ imali bi preširoku formu. Želimo što
kompaktnije rješenje problema. Zato zapišemo rješenja kao
y(z) =
∞
∑
cn (z − z0 )n+λ , λ ∈ R
(1.185)
n=0
Ako je λ ∈ Q imamo algebarski rez.
Ako je λ ∈ R imamo logaritamski rez.
Kada se možemo nadati da c´ e nam uvrštavanje takve forme dati korisno rješenje? Za to nam
služi Fuchsov teorem. On garantira postojanje rješenja.
Teorem 18. Rješenje jednadžbe 1.183 nema bitni singularitet u z0 onda i samo onda kad p(z)
ima u z0 najviše pol 1. reda, a u q(z) najviše pol 2. reda.
Takav singularitet se zove regularni singularitet.
Primjer 1. :
4
2
y′′ + y′ + 2 y = 0
z
z
(1.186)
Pretpostavimo rješenje oblika:
y(z) =
∞
∑
cn zn+λ
(1.187)
n=0
Tada su derivacije:
′
y (z) =
∞
∑
cn (n + λ)z
n+λ−1
′′
, y (z) =
n=0
∞
∑
cn (n + λ)(n + λ − 1)zn+λ−2
(1.188)
n=0
Imamo
∞
∑
n=0
cn (n + λ)(n + λ − 1)z
n+λ−2
∞
∑
+4
∞
∑
cn (n + λ)z
n+λ−2
+2
n=0
∞
∑
n=0
cn [(n + λ)(n + λ − 1) + 4(n + λ) + 2]z
n+λ−2
cn zn+λ−2 = 0
(1.189)
=0
n=0
Uvjet da je suma jednaka nuli je da svi koeficijenti išˇcezavaju. Za n=0 imamo indicijalni
polinom (jednadžbu):
/
c0 [λ(λ − 1) + 4λ + 2] = 0 : c0 , 0
λ2 + 3λ + 2 = 0
λ1 = −1 λ2 = −2
37
(1.190)
Za λ1 ≥ λ2 → λ1 − λ2 = −1 + 2 = 1
cn [(n + λ)(n + λ − 1) + 4(n + λ) + 2] = 0, n > 0, c0 , 0, cn = 0
(1.191)
Fuchsov teorem nam garantira postojanje rješenja, no sam izgled ovisi o korjenima indicijalne jednažbe.
• Ako su dva korjena jednaka, možemo na´ci samo jedno rješenje Frobenius metodom tako
da uvrstimo pretpostavljeno rj. u jednadžbu. Drugo nalazimo derivacijom.
• Ako se dva korjena razlikuju za ne cijeli broj (< Z), možemo na´ci dva lin. nezavisna
rješenja direktnim uvrštavanjem.
• Ako se dva korjena razlikuju za cijeli broj, ve´ci od ta dva c´ e dati rješenje. Drugo može, ali
i ne mora, dati rješenje, ovisno o ponašanju koeficijenata. Npr. za jednadžbe harmoniˇckog
oscilatora na´ci c´ emo dva rješenja, dok za Besselovu dobijemo samo jedno rješenje [1].
Ukoliko nam sume nisu istog indeksa ne´cemo imati samo koeficijent cn nego i druge koeficijentte poput cn+2 . U tom sluˇcaju moramo riješiti rekurziju.
Rješenja naše jednadžbe su:
y1 (z) =
∞
∑
c0 z−1 = c0 z−1
n=0
y2 (z) =
∞
∑
c0 z−2 = c0 z−2
(1.192)
n=0
y(z) = A1 y1 (z) + A2 y2 (z)
Primjer 2. :
y′ y
+ =0
z z2
Pretopstavimo rješenje, deriviramo ga i zapišemo sumu
y′′ −
∞
∑
cn [(n + λ)(n + λ − 1) − (n + λ) + 1]zn+λ−2 = 0
(1.193)
(1.194)
n=0
Indicijalna jednadžba (polinom):
/
c0 [λ(λ − 1) − λ + 1] = 0 : c0 , 0
λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇒ (λ − 1)2 = 0
λ1,2 = 1
Prvo rješenje dobijemo uvrštavanjem u sumu:
38
(1.195)
y1 (z) =
∞
∑
cn zn+1
(1.196)
n=0
Drugo rješenje možemo probati dobiti ppreko metode varijacije konstanti
y′′ + a1 (z)y′ + a0 (z)y = 0 = L(y); L(y1 ) = 0
(1.197)
y2 (z) = C(z)y1 (z)
y′2 (z) = C ′ (z)y1 (z) + C(x)y′1 (z)
y′′2 (z) = C ′′ (z)y1 (z) + C ′ (z)y′1 (z) + C ′ (z)y′1 (z) + C(z)y′′1 (z)
L(y1 ) = Cy′′1 + Cy′1 + Cy
(1.198)
L(y2 ) =C ′′ y1 + 2C ′ y1 + Cy′′1 + a1C ′ y1 + a1Cy′1 + a0Cy1 = 0
⇔ C L(y1 ) +C ′′ y1 + 2C ′ y′1 + a1C ′ y1 = 0
=0
′′
⇔ C y1 + 2C ′ y′1 + a1C ′ y1 = 0 → zamjenimo C ′ = g
⇔ g′ y1 + 2gy′1 + a1 gy1 = 0 ⇒ y1 g′ + (2y1 + a1 y1 )g = 0
1
y1 = z, y′1 = 1, a1 = −
(
( ) ) z
1
⇔ zg′ + 2 + − · z g = 0
z
/
⇔ zg′ + g = 0 separacija varijabli
⇔g=
(1.199)
const.
1
⇒ C ′ = ⇒ C = ln z
z
z
y2 (z) = C(z) · y1 (z) = y1 (z) ln z = z ln z
(1.200)
Logaritam se ne može razviti oko nule jer divergira u nuli.
Operativno:
y(z, λ) → uvrstimo u L
)n
( )n−1
d
d
L=
+ λn−1
+ · · · + λ0
dz
dz
[ (n)
]
d
d(n−1)
L(y(z, λ)) =
(y(z, λ)) + λn−1 (n−1) (y(z, λ)) + · · · + λ0 y(z, λ)
dz(n)
dz
∞
∑
L(y(z, λ)) =
zn+λ [cn , λ] +c0 [λ(λ − 1) + p0 λ + q0 ] zλ
(1.201)
(
n
rekurzija
I(λ) indicijalni polinom
39
(1.202)
Nakon rješavanja rekurzije svi komadi uz zn+λ propadaju
y(z) =
∑
cn (λ1,2 )zn+λ1,2
(1.203)
Da bi indicijalni polinom nestao, u njega uvrstimo korjene tog polinoma.
L(cn (λ) zn+λ ) = c0 I(λ) zλ
|{z}
(1.204)
(λ−λ1 )2
Derivacijom po λ dobijemo nešto što nam daje nula.
∞
∑
∂ y2 =
cn (λ)zn+λ
∂λ λ=λ1 n=0
1.3.8
(1.205)
Op´ci postupak dobivanja drugog rješenja u Frobenius metodi
Drugo rješenje nam ovisi o indicijalnom polinom, odnosno o korjenima indicijalne jednadžbe..
1. λ1 − λ2 < Z - rješiva rekurzija za λ1 i λ2
y1 (z) = y(z, λ1 ), y2 (z) = y(z, λ2 )
(1.206)
Imamo linearno nezavisna rješenja.
2. λ1 − λ2 ∈ Z
a) λ1 = λ2 - prvo rješenje direktno u sumu.
y1 (z) = y1 (z, λ1 ) =
∞
∑
cn (λ1 )zn+λ1
(1.207)
n=0
Drugo rješenje nademo
deriviranjem - jer imamo dvostruku kratnost nultoˇcke.
¯
∞

)

∂y(z, λ) ∂ ∑
y2 (z) = L
=
 cn (λ) zn+λ  =
∂λ
∂λ n=0
λ=λ1
∞

∞
∑
∑

∂cn (λ1 ) n+λ1
n+λ 


z
=  cn (λ) z  ln z +
∂λ
(
n=0
(1.208)
n=1
Druga suma ne poˇcinje od nule jer deriviranje konstante daje nulu koja ne pridonosi sumi.
Znaˇci imamo:
y1 (z) = y(z, λ1 ),
y2 (z) = y1 (z) ln z +
∞
∑
n=1
b) λ1 − λ2 = m ∈ N, m , 0
40
c′n (λ1 ) zn+λ1
(1.209)
Prvo rješenje ponovo dobijemo direktnim uvrštavanjem u sumu. Možemo imati dva podsluˇcaja:
1. n=m → sluˇcajno nam išˇcezne desna strana (0 · cm = 0)
y = c0 zλ (polinom m-1 supnja) + cm zλ (Taylor), n ≥ m + 1
(1.210)
2. 0 · cm , 0 - desna strana ne išˇcezne. Odaberemo c0 = λ − λ2 , c0 = c0 (λ) - koji se pokrati
sa nultoˇckom u nazivniku (uklonjivi singularitet).
y1 (z) = y1 (z, λ)
λ=λ1
=
∞
∑
cn zn+λ1
n=0
∞
∞
∑
∑
∂y(z, λ) ∂cn (λ) λ2
n
λ2
y2 (z) =
=z
cn (λ2 )z ln z + z
zn
∂λ λ=λ2
∂λ
λ=λ
2
n=0
n=0
(1.211)
Pri cˇ emu nam je
c0 = λ − λ2 , c0 = 0 za λ = λ2 , no c′0 , 0 → c′0 = 1
1.3.9
(1.212)
Formalno dobivanje drugog rješenja u Frobenius metodi
y′′ (z) + p(z)y′ (z) + q(z)y(z) = 0
y(z) =
y′′ (z) =
p(z) =
∞
∑
n=0
∞
∑
n=0
∞
∑
n+λ
cn z
′
, y (z) =
∞
∑
(1.213)
cn (n + λ) zn+λ−1 ,
n=0
cn (n + λ)(n + λ − 1) zn+λ−2 ,
m−1
am z
, q(z) =
∞
∑
(1.214)
bm zm−2
m=0
m=0
p(z) i q(z) su u ovakvoj formi, da bi zadovoljili uvjete Fuchsovog teorema (18).
′
p(z)y (z) =
∞ ∑
∞
∑
cn am (n + λ)zm−1+n+λ−1 =
n=0 m=0
=
∞ ∑
∞
∑
cn am (n + λ)zm+n+λ−2 , m = k − n; k = n + m =
(1.215)
n=0 m=0


∞ ∑
k

∑



λ−2
=z
(n + λ)cn ak−n  zk

k=0
n=0 jedan koeficijent
Množenje dva reda potencija i skupljanje cˇ lanova c´ e napraviti novi red. Ta operacija se zove
konvolucija:
41
k
∑
dk ak−n → (d ∗ a)k
(1.216)
n=0
Izvuˇcemo najstariji cˇ lan u sumi (n=k)
′
λ−2
p(z)y (z) = z
∞
∑
[(k + λ)ck a0 + Ak ] zk ;
k=0
Ak =
k−1
∑
(1.217)
(n + λ)cn ak−n
n=0
q(z)y(z) =
∞ ∑
∞
∑
cn bm zm+n+λ−2 =
n=0 m=0
 k
∞ ∑
∑

λ−2

=z

λ−2
=z


cn bk−n  zk =
k=0 n=0
∞
∑
(1.218)
[ck b0 + Bk ] z
k
k=0
Bk =
k−1
∑
cn bk−n
n=0
Najstariji cˇ lanovi ostaju u rekurziji. Pišemo DJ, uz gornje relacije, samo sa istim indeksom
sumacije:
L(y(z, λ)) =
+
∞
∑
n=0
∞
∑
cn (n + λ)(n + λ − 1) z
n+λ−2
∞
∑
[(n + λ)cn a0 + Ak ] zn+λ−2 +
+
n=0
(1.219)
(cn b0 + Bn ) z
n+λ−2
n=0
Raspišemo prvi cˇ lan u sumi: n=0 (kada je 0 najstariji koeficijent, mladih
¯ nema)
L(y(z, λ)) = [c0 λ(λ − 1) zλ−2 + λc0 a0 zλ−2 + c0 b0 zλ−2 ]+
∞
∑
{
}
+
[(n + λ)(n + λ − 1) + (n + λ)a0 + b0 ]cn + An + Bn zn+λ−2 =
n=1
Cn
λ−2
= [(λ − 1)λ + λa0 + b0 ]c0 z +
∞
∑
}
{
+
[(n + λ)(n + λ − 1) + (n + λ)a0 + b0 ] cn + An + Bn zn+λ−2
n=1
I(n+λ)
Gdje je k ≤ n − 1. Pišemo rekurziju:
42
(1.220)
I(n + λ)cn + An + Bn = 0; An (λ), Bn (λ)
(1.221)
cn = f (cn−1 , . . . , co , λ); cn → cn (λ)
(1.222)
L(y(z, λ)) = [λ(λ − 1) + a0 λ + b0 ] c0 zλ−2
(1.223)
I(λ)
Rekurzija ’uništi’ sumu pa nam ostaje
I(λ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 )
(1.224)
Mogu´ce komplikacije:
1. λ1 − λ2 < Z
(n + λ − λ1 )(n + λ − λ2 ) cn = −
,0
λ = λ1
n−1
∑
[(k + λ1 )an−k + bn−k ]ck
k=0
(n + 0)(n + λ1 − λ2 )cn = −
n−1
∑
(1.225)
[(k + λ1 )an−k + bn−k ]ck
k=0
Imamo rješivu rekurziju za λ = λ1 i λ = λ2
y1 (z) = y(z, λ1 ),
y2 (z) = y(z, λ2 )
(1.226)
dva linearno nezavisna rješenja.
Ako je cn (λ1 ) = cn+m (λ1 ) ponovo imamo lin. nezavisno rješenje jer se razlikuju u eksponentu: zn+λ1 = zn+m+λ2 .
2. λ1 − λ2 = m ∈ N, m = 0
a) λ1 = λ2
(n + λ1 − λ1 )(n + λ1 − λ2 )cn = n cn = −
2
n−1
∑
[(k + λ1 )an−k + bn−k ]ck , n ≥ 1
(1.227)
k=0
Drugo rješenje:
L(y(z, λ)) = (λ − λ1 )2 c0 zλ−2
(1.228)
Trebamo homogenu dif. jednadžbu, zato drugo rj. tražimo derivacijom i izvrjednjavanjem
u korjenu indicijalne jednadžbe.
43
(
∂y(z, λ)
L
∂λ
)
2
λ−2
λ=λ + ((λ − λ1 )) c0 z ln zλ=λ =
λ−2 = 2(λ − λ1 )c0 z
λ=λ1
1
(1.229)
1
=0+0=0 X
y1 (z) =
∞
∑
cn (λ1 ) zn+λ1
n=0
∞
 ∞

∞
∑
∑



∂ ∑


y2 (z) =
c′n (λ1 ) zn+λ1 =
 cn (λ1 ) zn+λ1  =  cn (λ1 ) zn+λ1  ln z +
∂λ n=0
n=0
n=1
∞
∑
= y1 (z) ln z +
c′n (λ1 ) zn+λ1
(1.230)
n=1
b) λ1 − λ2 = m ∈ Nm m , 0
(n + λ − λ1 )(n + λ − λ2 )cn = −
n−1
∑
[(k + λ)an−k + bn−k ]ck
(1.231)
k=0
λ = λ1 ⇒n(n + λ1 − λ2 )cn = −
n−1
∑
[(k + λ1 )an−k + bn−k ]ck ; n ≥ 1
k=0
m
λ = λ2 ⇒n(n + λ2 − λ1 )cn = −
−m
n−1
∑
(1.232)
[(k + λ2 )an−k + bn−k ]ck ; n ≥ 1
k=0
Pogledajmo podsluˇcajeve:
ı) n=m - desna strana propada konspiracijom (pomak u indeksu); 0·cm = 0 (cm proizvoljan).
y = c0 zλ (polinom m-1 stupnja) + cm zλ (Taylor)
(n − m)ncn = −
n−1
∑
[(k + λ2 )an−k + bb−k ]ck ; n ≥ m + 1
(1.233)
k=0
Što je rješiva rekurzija za proizvoljan cn .
ıı) 0 · cm , 0 - desna strana ne išˇcezava, što znaˇci da c0 može biti proizvoljan:
c0 = λ − λ2 ; c0 = c0 (λ)
n−1
∑
(n + λ − λ1 )(n + λ − λ2 )cn = − [(k + λ)an−k + bb−k ]ck ; i < n; ci = di (λ − λ2 )
k=0
c0
44
(1.234)
Što dobijemo rekurzijom za n=m?
 n−1

 ∑

(m + λ − λ1 )(m + λ − λ2 )cm = − [(k + λ)an−k + bn−k ]dk  (λ − λ2 )
(1.235)
k=0
m = λ1 − λ2


n−1
∑


. . . = 0 ⇒ 0 = 0 X
(λ − λ2 ) λ1 − λ2 + λ − λ2 +
(1.236)
k=0
λ − λ2 → svi ci = di (λ − λ2 ) = 0, i = 0, . . . , m − 1
L(y(z, λ)) = c0 I(λ)zλ−2 = c0 (λ − λ1 )(λ − λ2 )zλ−2 = (λ − λ1 )(λ − λ2 )2 zλ−2
Zbog kvadratne nultoˇcke možemo derivirati i imamo rješenje s logaritmom.
(
)
∂y(z, λ) L
=0
∂λ λ=λ
(1.237)
(1.238)
1
y(z, λ) =
∞
∑
cn (λ)zn+λ
n=0
y1 (z) = y(z, λ1 )
y2 (z) = y1 (z) ln z +
(1.239)
∞
∑
n=0
45
c′n (λ)zn+λ2
1.4
1.4.1
Gama funkcija i asimptotski redovi
Gama funkcija
Teorem 19. Funkcija
∫
∞
Γ(z) =
tz−1 e−t dt
(1.240)
0
postoji za ℜ(z) > 0 (desna plouravnina)
Kako je uop´ce došlo do gama funkcije? Pokušalo se na neki naˇcin generalizirati, odnosno
zapisati faktorijele u zatvorenoj formi.
∫
∞
∫
n −t
∞
t e dt = n
0
tn−1 e−t dt = n(n − 1)! = n!
(1.241)
0
GHzL
10
5
-4
2
-2
4
-5
-10
Slika 12: Graf gama funkcije
Dokaz. Γ(z) napišemo kao sumu dva integrala:
∫
1
Γ(z) =
t
z−1 −t
∫
e dt +
0
∞
tz−1 e−t dt
(1.242)
1
G(z)
F(z)
F(z) je analitiˇcka na poluravnini Re(z) > 0, ima rez na realnoj osi. Da bi izbjegli taj rez
razvijemo tu funkciju u Taylorov red.
∫
1
F(z) =
t
z−1
0
= lim
ε→0
∞
∑
n=0
∞
∑
(−1)n
n=0
(−1)
n!
n!
n ∫
t dt =
n
∫
∞
∑
(−1)n
n=0
n!
1
tz+n−1 dt =
0
1
tz+n−1 dt
ε
Integral divergira za n=-z pa smo donju granicu zamijenili s ε.
46
(1.243)
∫
1
t
n+z−1
ε
[
]
tn+z 1
εn+z
1
= lim
dt =
−
=
n + z ε ε→0 n + z n + z
0
∞
∑
(−1)n
n=0
·
n!
(1.244)
1
, ℜz > 0
n+z
testom usporedbe vidimo da
1 < 1
n + z
(1.245)
Ako usporedimo s
∞
∑
(−1)n
n!
n=0
= e−1
(1.246)
što konvergira.
G(z) je cijela funkcija - analitiˇcka na cijelom C.
Teorem 20. Neka je △ trokut u C i G N (z) =
∫N
1
tz−1 e−t dt.
∫
G N (z)dz
∂△
(1.247)
integral po rubu trokuta:
∫
∫
N
(∫
∂△G N (z)dz =
)
t
1
z−1dz
∂△
e−t dt = 0
(1.248)
po C-G teoremu. t ∈ [1, N].
Postoji primitivna funkcija G(z) t.d. je G′ (z) = G N (z), ∀z ∈ C, po osnovnom teoremu o
analitiˇckim funkcijama.
Teorem 21. Funkcija
∫ ∞
∞
∑
(−1)n 1
Γ(z) =
+
tz−1 e−t dt
n! n + z
1
n=0
(1.249)
je analitiˇcka za z ∈ C \ {0, −1, −2, . . .}, a u toˇckama z = −k, k ∈ N ∪ {0} ima polove 1. reda
sa reziduumima
Res(Γ(z), −k) =
47
(−1)k
k!
(1.250)
Dokaz.
∑
∞ ∞ n
n
∑
(−1) · 1 <
(−1) < e
n!
n + z n=m n! n=m
(1.251)
Kada je |m + z| > 1, n > m pove´cavamo m dok se to ne dogodi. Za razvoj oko z=-n
c−1
(−1)n
=
n!
(1.252)
Formalno:
lim (z + k)
z→−k
∞
∑
(−1)n
∞
∑
1
(−1)k
(−1)n
·
=
+ lim (z + k)
z→−k
n!
n+z
k
n!
n=0
n=0
(1.253)
n,k
1.4.2
Svojstva Gama funkcije
Γ(z + 1) = zΓ(z)
πz
Γ(z)Γ(1 − z) =
sin(πz)
Γ(k + 1) = k!
( )
√
1
Γ
= π
2
(
)
1
(2n − 1)!! √
Γ n+
=
π, n ∈ N
2
2n
Γ(z) , 0, ∀z ∈ C
(1.254)
Idemo dokazati neka svojstva:
Dokaz. Γ(z + 1) = zΓ(z)
∫
∞
∫
z−1 −t
∞
e dt, Γ(z + 1) =
tz e−t dt
0
0
/′
/∫
∫ ∞
z
−t
t
=
u
,
e
dt
=
dv
Γ(z + 1) =
tz e−t dt = z−1
zt dt = du,
−e−t = v
0
∫
∞
−tz ∞
tz−1 e−t dt
= − t +z
e 0
Γ(z) =
t
0
Γ(z)
Koliko iznosi prvi dio?
48
=
(1.255)
−tz
(−ztz−1 )
=
L’Hospital
=
lim
= L’H =
t→∞
t→∞ et
et
(−z(z − 1)tz−2 )
= lim
= i tako z puta =
t→∞
et
(−z!tz−z )
1
1
= lim
= −z! lim t = −z! ·
=0
t
t→∞
t→∞ e
e
∞
lim
(1.256)
Odnosno:
lim
t→0
−tz 0
= =0
et
1
(1.257)
Vidimo da prvi dio nestaje pa je Γ(z + 1) = zΓ(z)
Dokaz. Γ(z)Γ(1 − z) =
πz
sin(πz)
t = x2 Γ(z) =
t e dt = =
dt = 2xdx 0
∫ ∞
∫ ∞
2
2z−2 −x2
=
x e 2xdx = 2
x2z−1 e−x dx
0
∫0 ∞
2
t=y
−z −t
=
Γ(1 − z) =
t e =
dt = 2ydy 0
∫ ∞
∫ ∞
2
−2z −y2
=
y e 2ydy = 2
y1−2z e−y dy
∫
∞
z−1 −t
0
(1.258)
0
Tada nam je
∫
Γ(z)Γ(1 − z) = 4
∫
∞
∞
dx
0
x2z−1 y1−2z e−(x +y ) dy
2
2
(1.259)
0
Vrijedi kad je istovremeno ℜ(z) > 0 i ℜ(1 − z) > 0 ⇒ ℜ(z) < 1.To znaˇci da nam z mora
biti na vertikalnoj traci izmedu
¯ 0 i 1: 0 < ℜ(z) < 1, ∀z ∈ ⟨0, 1⟩.
Radi jednostavnosti prebacimo se u polarni koordinatni sustav:
x = r cos θ, y = r sin θ, x2 + y2 = r2 , θ ∈ ⟨0, π/2⟩, r ∈ ⟨0, ∞⟩
(1.260)
Element površine u polarnom koordinatnom sustavu je 1/2rdθ odnosno:
∫
∞
0
∫
∞
∫
dxdy →
0
∫
∞
rdrdθ
0
49
π/2
0
(1.261)
∫
∫
π/2
Γ(z)Γ(1 − z) = 4
∞
dθ
0
∫
r2z−1 (cos θ)2z−1 r1−2z (sin θ)1−2z e−r rdr =
2
0
∫
π/2
∞
=4
dθ
(cos θ)2z−1 (sin θ)1−2z e−r rdr =
0
0
( )
∫ ∞
1+1
∫ ∞
Γ
Γ(1) 1 2
−r2
n −ax2
= =
=
r e dr =
x e dx =
=
0
2 · 1(1+1)/2
2
2 0
∫ π/2
=2
(cos θ)2z−1 (sin θ)1−2z dθ =
0
/′
√
√
t = sin2 θ
sin θ = t
cos θ = 1 − t
= √ √
√
dt = 2 sin θ cos θdθ dt = 2 t 1 − tdθ dt = 2 t(1 − t)dθ
∫ 1
dt
1
1
=
=2
(1 − t) 2 (2z−1) t 2 (1−2z) · √
2 t(1 − t)
0
∫ 1
u
u
1
−
t
=
t
=
1
−
1+u
1+u
/′
=
=
(1 − t)z−1 t−z dt = 1
1
dt = − (1+u)2 du t = 1+u
0
(
)−z (
)
∫ 0(
u )z−1
1
du
=
·
−
=
1+u
(1 + u)2
∞ 1+u
∫ ∞ z−1
I
u
wz−1
=
du →
ln(w)dw
1+w
0 1+u
2
=
(1.262)
Γ
γ
-1
Slika 13: Krivulja kompleksne integracije
Imamo pol 1. reda u -1.
I
f (z)dz = 2πi
∑
k
∫
Res( f, ak ) =
0
∞
uz−1
du +
1+u
∫
∫
Γ
+
=0
I
= I(1 − e2πi(z−1) )
50
∫
γ
∞
−
0
uz−1 e2πi(z−1)
du
1+u
(1.263)
Reziduum:
[
]
wz−1
Res( f, −1) = lim (w + 1) ·
= (−1)z−1
w→−1
1+w
I=
2πi(−1)z−1
π
=
2πi(z−1)
1−e
sin(πz)
(1.264)
(1.265)
U zadnjem smo koraku pomnožili s e−πi(z−1) dolje smo dobili sinus, a gore možemo raspisati
sin/cos i dobijemo konaˇcni rezultat nakon malo raspisivanja.
1.4.3
Asimptotske metode
Konvergentni red nije uvijek korisan, jer je konvergencija u biti koncept koji se odnosi na
ponašanje cˇ lanova reda na kraju tog reda, to jest kako j → ∞.
To što red konvergira nam ništa ne govori o tome kako´ce se brzo cˇ lanovi smnanjiti u veliˇcini. Kada se cˇ lanovi smanjuju brzo, ako uzmemo samo prvih nekoliko cˇ lanova, a znamo da
ako uzmemo još cˇ lanova, da c´ e nam se razvoj pogoršati (postoji nopt ), možemo dobiti dobru
aproksimaciju sume ukoliko se zanemare cˇ lanovi poslije nopt .
Jedini problem kod asimptotskih redova je da ne možemo biti apsolutno sigurni koliko
nam je odgovor toˇcan. Zato nam treba usporedba s nekom drugom reprezentacijom oˇcekivanog
odgovora.
No asimptotski razvoj može biti jedini naˇcin dobivanja analitiˇckog rješenja teškog problema.
Teorem 22. Niz funkcija φ j (z) je asimptotski u odnosu na toˇcku z0 ako vrijedi
lim
z→z0
φ j+1(z)
= 0, ∀ j
φ j (z)
(1.266)
Teorem 23. Funkcija ima asimptotski prikaz oko toˇcke z0
f (z) ≈ a1 φ1 (z) + a2 φ2 (z) + · · ·
ako je niz φ j (z) asimptotski oko z0 i ako vrijedi:
f (z) − sn (z) = 0, ∀n ∈ N
lim z→z0 φn (z) (1.267)
(1.268)
gdje je
sn (z) =
n
∑
ak φk (z)
(1.269)
k=1
parcijalna suma
Kod asimptotskog razvoja razvoj vrijedi samo u nekom rasponu z oko z0 (što smo bliže z0
treba nam manje cˇ lanova). Nemamo kontrolu nad apsolutnom toˇcnoš´cu (slika 14).
51
ASIMPTOTSKI
TAYLOR
n
nopt
Slika 14: Usporedba asimptotskog i Taylorovog razvoja
1.4.4
Laplaceova metoda
Teorem 24. Neka funkcija f (x) ima jedinstveni globalni maksimum u x0 . Tada c´ e vrijednost
f (x0 ) biti ve´ca od ostalih vrijednosti f (x). Ako tu funkciju pomnožimo sa velikim brojem M,
razlika izmedu
¯ M f (x0 ) i M f (x) c´ e rasti eksponencijalno za funkciju e M f (x) .
Stoga samo u okolini x0 c´ e do´ci bitni doprinosi integralu koji se mogu aproksimirati. Jedini
dodatni uvjet koji imamo za funkciju f (x) je da mora biti najmanje dva puta diferencijabilna.
Primjer:
∫
∞
e−x cosh(u) du = razvijemo kosinus hiperbolni =
−∞
√
∫ ∞
∫ ∞
2π −x
1 2
1 2
=
e−x(1+ 2 u ) du = e−x
e− 2 u du =
e
x
−∞
−∞
ψ(x) =
(1.270)
Ovaj primjer možemo i toˇcnije riješiti. Razvijemo kosinus hiperbolni i proglasimo taj razvoj
promjenom varijable.
/
cosh(u) − 1 = t2 ′ du = 2tdt
−x
−x(cosh(u)−1)
sinh(u)
ψ(x) = e
e
du = sinh(u)du = 2tdt
−∞
∫ ∞
∫ ∞
2tdt
2tdt
2
−x
−x
−xt2
=e
e−xt · √
=
=e
e
·
sinh(u)
−∞
−∞
t2 (t2 + 2)
∫ ∞
∫ ∞
dt
dt
2
−x
−xt2
−x
= 2e
e
· √
= 2e
e−xt · √ √
=
t2
−∞
−∞
t2 + 2
2 1+ 2
∫
∫
∞
∞
√
√
dt
dt
2
2
= 2e−x
e−xt · √
= 2e−x 2
e−xt · √
2
2
−∞
0
1 + t2
1 + t2
∫
∞
52
=
(1.271)
=
Sada
(
t2
1+
2
)1/2
(1.272)
razvijemo kao (1 + x)1/2 :
(
)1/2 ∑
) ( )k
∞ (
t2
−1/2 t2
1+
=
2
k
2
k=0
(1.273)
) ∫ ∞ ( 2 )k
∞ (
√ −x ∑
−1/2
t
2
ψ(x) = 2e
e−xt dt ≃
k
−∞ 2
k=0
√
(
)
2π −x
1
9 2
e
1− x+
x − ···
≃
x visina
8
128
(1.274)
širina
Pri cˇ emu smo se koristili cˇ injenicom da je integral gausijana
∫ ∞
√
2
e−x dx = π
(1.275)
−∞
Izraz u zagradi je korekcija (što više cˇ lanova uzmemo to nam je preciznija procjena).
1.4.5
Izvod Stirlingove formule
Stirlingova aproksimacija se cˇ esto koristi za raˇcunanje velikih faktorijela
( z )z √
z! ≃
2πz
e
Odnosno za prirodni logaritam
ln N! ≃ N(ln N − 1) + ln
(1.276)
√
2πN
(1.277)
Stirlingova formula se izvodi preko Laplaceove metode
∫
t x e−t dt = t x = e x ln t =
0
)
(
t
∫ ∞
=τ
x − xt + ln t
x
x ln t−t
=
e
dt = τx = t
dt = xdτ
0
x(−τ + ln τ + ln x) t ∈ ⟨0, ∞⟩, τ ∈ ⟨0, ∞⟩
∫ ∞
∫ ∞
x(−τ+ln τ+ln x)
=
e
xdτ =
xe x(−τ+ln τ) x x dτ =
x! = Γ(x + 1) =
0
∫
=x
+ ln τ)
| {z }
=
(1.278)
0
x (−τ
∞
x+1
∞
e
f (τ)
dτ
0
f (τ) je fukcija s lijepim maksimumom, pa možemo koristiti Laplaceovu metodu i razviti ju:
53
1
f (τ) = −1 − (τ − 1)2 + · · ·
2
∫
∞
ec(−1− 2 (τ−1) +··· ) dτ ≃
0
∫ ∞
1
2
x+1 −x
≃x e
e− 2 x(τ−1) dτ ≃
( x ) x √ −∞
2πx
≃
e
x! ≃ x
1
x+1
2
Funkciju e−x možemo proširiti do −∞ jer nema asimptotski razvoj u −∞.
Slika 15: Asimptotsko proširenje e−x
54
(1.279)
(1.280)
2 Matematiˇcke Metode Fizike 2
2.1
Fourierova analiza
2.1.1
Uvod
Fourierovi redovi i Fourierova analiza su nastali radi objašnjavanja problema raspodjele temperature u materijalima (tako je Joseph Fourier došao do svog otkri´ca). Do danas Fourierova
analiza igra važnu ulogu u analizi signala, statistici, teoriji vjerojatnosti,kriptografiji, numeriˇckoj analizi i drugim podruˇcjima.
Da bi shvatili neke koncepte bitne u Fourierovoj analizi moramo se prebaciti u apstraktne
vektorske prostore, u kojima su funkcije toˇcke u vektorskom prostoru.
Skalarni produkt
∫
1
( f, g) =
f (x) · g(x)dx
(2.1)
|I| I
Ako smo u kompleksnom vektorskom prostoru (Hilbrtov prostor) skalarni produkt je definiran kao:
∫
1
( f, g) =
f ∗ (z) · g(z)dz
(2.2)
|I| I
Svojstva:
( f, g) = (g, f )
(α f + βg, h) = α( f, h) + β(g, h)
( f, f ) ≥ 0
( f, f ) = 0 ⇔ f = 0
(2.3)
Norma
√
|| f || = ( f, f ) =
√∫
| f |2 , ∀ f ∈ L2
(2.4)
I
Jaka norma
√
f, g ∈ L2 ⇒ d( f, g) = || f − g|| = ( f, g)( f, g) =
√∫
( f − g)2
I
Norma nam daje metriku prostora (udaljenost).
55
(2.5)
Schwarzova nejednakost
Teorem 25.
|( f, g)| ≤ || f || · ||g|| → |( f, g)| ≤
√
( f, f )(g, g)
(2.6)
Dokaz. Uzimamo proizvoljan t:
||t f − g|| ≤ 0, t ∈ R ⇒ ||t f − g||2 ≥ 0
(2.7)
Raspišemo:
(t f − g, t f − g) ≥ 0
t( f, t f − g) − (g, t f − g) ≥ 0
t(t f − g, f ) − (t f − g, g) ≥ 0
t[t( f, f ) − (g, f )] − t( f, g) + (g, g) ≥ 0
(2.8)
t2 ( f, f ) − t( f, g) − t( f, g) + (g, g) ≥ 0
Pošto je t proizvoljan, izaberemo
t=
( f, g)
,0
( f, f )
/
( f, g)2
( f, g)
−2
+ (g, g) ≥ 0 · ( f, f )
( f, f )
( f, f )
2
−( f, g) + (g, g)( f, f ) ≥ 0
/√
( f, g)2 ≤ (g, g)( f, f )
√
|( f, g)| ≤ ( f, f )(g, g) = || f || · ||g||
(2.9)
(2.10)
Nejednakost trokuta
Teorem 26.
|| f + g|| ≤ || f || + ||g||
(2.11)
Dokaz. Svedemo na Schwarzovu nejednakost:
|| f + g||2 = ( f + g, f + g) = ( f, f + g) + (g, f + g) =
= ( f + g, f ) + ( f + g, g) = ( f, f ) + 2( f, g) + (g, g) ≤
√
≤ ( f, f ) + 2 ( f, f )(g, g) + (g, g) ≤ || f ||2 + 2|| f || · ||g|| + ||g||2 = (|| f || + ||g||)2
|| f + g|| ≤ || f || + ||g||
(2.12)
56
Pitagorin pouˇcak
Teorem 27.
|| f + g||2 = || f ||2 + ||g||2
(2.13)
Dokaz. Treba nam uvjet okomitosti:
( f, g) = 0
(2.14)
|| f + g||2 = ( f + g, f + g) = ( f, f ) + 2( f, g) +(g, g) = || f ||2 + ||g||2
(2.15)
ako su f i g okomiti tada vrijedi
=0
Udaljenost f i g (d( f, g)) je ukupno kvadratno odstupanje - varijanca u statistici
√
d( f, g) = || f − g|| = ( f, g)( f, g) =
√∫
[ f − g]2
(2.16)
I
U svakim toˇckama napravimo razliku, kvadriramo je i sumiramo pa na kraju korjenujemo.
Mjera svih odstupanja u jednom broju (kvadrat osigurava pozitivnost podkorjenskog izraza).
Kompletnost baze u vektorskom prostoru
Svaki vektor u vektorskom prostoru možemo zapisati kao sumu umnoška komponenta i
baza:
⃗x =
n
∑
xi eˆ i =
i=1
n
∑
eˆ i (⃗x, eˆ i )
(2.17)
i=1
Kompletnost znaˇci da baza razapinje vektorski prostor.
1· =
n
∑
eˆ i (ˆei , ·)
(2.18)
i=1
Diracova (bra-ket) notacija
Bra-ket notacija je standardna notacija za opis kvantnih stanja u teoriji kvantne mehanike
koja se sastoji od uglastih zagrada i vertikalnih crta. Takoder
¯ se koristi za oznaˇcavanje apstraktnih vektora i linearnih funkcionala u matematici.
Zove se tako jer je unutarnji (skalarni) produkt dva stanja dan bracketom ⟨ϕ|ψ⟩, koji se sastoji od lijevog dijela, ⟨ϕ|, koji se naziva bra, i desnog |ψ⟩, koji se naziva ket. Notaciju je uveo
1939. Paul Dirac po kome je i dobila naziv.
Svaki vektor ("ket")
57
 
a1 
 
a
⃗ =  .2  = |ψ⟩
ψ
 .. 
 
an
prati dualni linearni operator ("bra")
(
⃗ = b∗1 b∗2 · · ·
ϕ
(2.19)
)
b∗n = ⟨ϕ|
(2.20)
Koji je u biti konjugirani i transponirani ket.
Tada skalarni produkt možemo pisati kao
⃗ ·ϕ
⃗=
ψ
n
∑
⃗ i = ⟨ϕ|ψ⟩
⃗ iϕ
ψ
(2.21)
i=1
Dok je
n
∑
|ei ⟩⟨ei | = 1
(2.22)
i=1
jediniˇcna matrica.
2.1.2
Fourierovi redovi
Fourierov razvoj je u biti razvoj "nekakvih" funkcija po bazi sin/cos - sinusi i kosinusi su nam
vektori u bazi koji razapinju tu bazu u vektorskom prostoru. Tada svaku funkciju možemo
prikazati preko sume sinusa i kosinusa, npr:


∞

a0 ∑ 

+B
sin(nx)
f (x) =
+
A
cos(nx)
(2.23)
 n
n


2 n=1
∼xi
∼ˆei
Definicija 17. Neka je f : I → R, tada je
{
}
∫
1
L (I) = f : I → R | | f | < ∞
(2.24)
I
prostor integrabilnih funkcija.
{
L (I) = f : I → R |
}
∫
|f| < ∞
2
2
(2.25)
I
prostor kvadratno integrabilnih funkcija (Hilbertov prostor).
Funkcija je toˇcka u apstraktnom v.p., sinusi i kosinusi su baze tog v.p. pa promatramo konvergenciju u tom vektorskom prostoru.
Kada kažemo da je funkcija integrabilna mislimo u smislu Lebesguea, ne Riemanna. Kod
Riemannovih integrala su nam bitne Darbouxove sume, dok su Lebesgueovi integrali integrali
u obliku skupa.
58
Definicija 18. Ortogonalna funkcija je ona cˇ iji je skalarni produkt jednak nuli
( f, g) = 0 ⇒ f ⊥ g
(2.26)
Na simetriˇcnom intervalu sve parne funkcije su okomite na neparne, zato je njihov integral
jednak nuli.
Definicija 19. Karakteristiˇcna funkcija (slika 16):
{
1, x ∈ I
χI (x) =
0, x < I
(2.27)
1
0
a
b
Slika 16: Karakteristiˇcna funkcija χI (x)
Definicija 20. Mjera, na skupu, je naˇcin na koji pridružujemo svakom prikladnom podskupu
broj. Intuitivno tumaˇceno kao veliˇcina podskupa (generalizacija duljine, površine, volumena
. . .).
∫
χI (x) = |a − b|
(2.28)
R
2.1.3
Skup mjere nula
Definicija 21. Skup mjere nula je takav dio R pravca koji se da pokriti intervalima proizvoljno
male duljine (ε).
[
ε
ε]
A = {1} ⊂ 1 − , 1 +
= Iε , ∀ε > 0
2
2
∫
∫
χI <
χ Iε = ε
R
R
d( f, g) = || f − g|| → d( f, g) = 0 → f = g, osim na skupu mjere nula
(2.29)
(2.30)
(2.31)
Napomena: na predavanju je profesor išao u detalje sa ovim konceptom. Davao je primjere
kao što su Cantorov skup itd. Ja ne´cu i´ci toliko u detalje.
59
2.1.4
Spuštanje okomice ili metoda najmanjih kvadrata
Kada imamo vektor (recimo da smo u (R3 ), možemo ga rastaviti na komponente - okomite ⃗x⊥
i paralelne ⃗x∥ .
Pitamo se: po cˇ emu je ⃗x⊥ jedinstven od svih ostalih?
Slika 17: Spuštanje okomice
⃗x⊥ je minimalna udaljenost od ⃗x i njegove projekcije na ravninu:
|⃗x⊥ | = min |⃗x − ⃗x∥ |
x
(2.32)
Mi želimo da naša udaljenost aproksimiranih funkcija (originalne i razvijene u red) bude
minimalna, tj. da nam konstruira minimalnu udaljenost (jaka norma).
fN =
N
∑
ck eˆ k ; f, eˆ k ∈ L2 (I)
(2.33)
k=1
d( fN , f ) je minimalna kad je projekcija f na eˆ k , ck = (ˆek , f ) optimalan izbor.
Dokaz.
d( fN , f )2 = || fN − f ||2 = ( fN − f, fN − f ) = ( fN , fN ) − 2( fN , f ) + ( f, f ) =
N ∑
N
N
∑
∑
=
ck cl (ˆek , eˆ l ) −2
ck (ˆek , f ) + ( f, f ) =
|{z}
k=1 l=1
=
N
∑
k=1
c2k
−2
δkl
N
∑
k=1
(2.34)
ck (ˆek , f ) + ( f, f )
k=1
Uvjet da imamo minimum je da nam je derivacija jednaka nuli:
∂
d( fN , f )2 = 0 ⇒ 2ck − 2(ˆek , f ) = 0 → ck = (ˆek , f )
∂ck
60
(2.35)
Teorem 28. L2 (I) je beskonaˇcno dimenzionalan vektorski prostor.
Ono što nama treba, pogotovo u kvantnoj mehanici, je da su nam integrali konaˇcni. U kvantnoj mehanici vjerojatnost nalaženja cˇ estice izražavamo preko kvadratno integrabilnih funkcija.
Da bi mogli uop´ce imati vjerojatnost integral nam ne smije divergirati.
Kako dobiti konaˇcno ako znamo da je skup realnih brojeva beskonaˇcan. Znamo da je skup
realnih brojeva neprebrojiv, ali skup racionalnih brojeva jest, a znamo da se svaki realni broj
može prikazati preko racionalnog.
Dokaz. ∃n linearno nezavisnih funkcija na L2 (I), ∀n ∈ N. Podjelimo I na n podintervala
I = I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ In
(2.36)
koji se ne presjecaju: Ii ∩ I j = ∅, ∀i , j.
Mi tvrdimo da su karakteristiˇcne funkcije tih podintervala linearno nezavisne.
n
∑
ci χi = 0 ⇒ ci = 0, ∀i = 1, . . . , n
(2.37)
i=1
Pretpostavimo suprotno. ci , 0 tada je:
n
1 ∑
ci χi (x)
χ j (x) = −
c j i, j
(2.38)
Što ako je x ∈ I j ? Izvrjednimo ga (znamo svojstva karakteristiˇcne funkcije):
n
1 ∑
1=−
ci · 0 = 0 ⇒ 1 = 0
c j i, j
(2.39)
Imamo kontradikciju.
Znaˇci karakteristiˇcne funkcije su linearno nezavisne pa postoji n linearno nezavisnih funkcija na L2 (I) i pošto je n proizvoljan, n → ∞ i L2 (I) je beskonaˇcno dimenzionalan.
Lebesgueova mjera je standardan naˇcin da pridružimo duljinu, površinu ili volumen podskupovima Euklidskog prostora. Lebesgueova mjera ∞ je mogu´ca no nisu svi podskupi Rn
Lebesgue mjerljivi (Cantor). Skup Q je skup mjere 0 iako je gust u R.
2.1.5
Klasiˇcan Fourierov red
Neka je f ∈ L1 (−π, π), konstruiramo:
∫
∫
1 π
1 π
an =
f (x) cos(nx)dx, bn =
f (x) sin(nx)dx,
π −π
π −π
an = (cos(nx), f (x)), bn = (sin(nx), f (x))
Konstruiramo red
61
1
a0 =
π
∫
π
f (x)dx
−π
(2.40)
∞ (
∑
)
˜f (x) = a0 +
an cos(nx) + bn sin(nx)
2 n=1
(2.41)
f˜(x) je Fourierov red funkcije f.
Teorem 29. Jaka norma:
|| f˜N − f || −−−−→ 0
N→∞
(2.42)
za f˜N parcijalne sume
Smanjuje se udaljenost f˜N i f .
Kompletna baza - kovergencija u srednjem.
∫
1 π
( f, g) =
f (x)g(x)dx; (cos(nx), cos(mx)) = δmn ; n, m ≥ 1
π −π
(2.43)
Kao što sam ve´c naglasio, funkcije promatramo kao toˇcke (ili vektore) u apstraktnom vektorskom prostoru, cˇ ija su baza sinusi i kosinusi.
Što je u biti znaˇcenje jake norme?
Imamo funkciju f. Želimo tu funkciju razviti u Fourierov red. Red parcijalnih suma je f˜N
(gdje je u biti f˜ F. red), kada je || f˜N − f || −−−−→ 0, kažemo da f˜N konvergira u f (tj. da je f˜ = f ).
N→∞
Odnosno naša udaljenost d( f˜, f ) je minimalna i to je najoptimalniji izbor (spuštanje okomice). Postigli smo da je udaljenost aproksimiranih funkcija od originalne funkcije minimalna.
Primjer koji smo radili na predavanju je bio razvoj kosinusa u bazi polinoma. Dobili smo
d( f, f˜N ) = 0, 003 što je veoma dobra aproksimacija.
Razlika izmedu
¯ f˜N i f smije postojati samo na skupu mjere nula.
Trigonometrijske funkcije cos(mx), m ≥ 0 i sin(mx), m ≥ 1 tvore potpun ortogonalni skup
u L2 (−π, π).
Za naše izbore ak i bk je || f˜ − f || minimalna. Funkcija mora biti periodiˇcna s periodom 2π.
Integrali ak i bk postoje samo ako je f ∈ L1 .
Nužan, ali ne i dovoljan, uvjet da Fourierova suma konvergira je da op´ci cˇ lan teži u nulu.
2.1.6
Riemann-Lebesgueova lema
Lema 1. Ako je f ∈ L1 (a, b) onda je

∫ b


f
(x)
sin(mx)dx
=
0


m→∞ ∫a
lim
f (x)eimx dx = 0

b


lim a f (x) cos(mx)dx = 0  m→∞ a
lim
∫b
m→∞
uvjet konvergencije je da op´ci cˇ lan teži u nulu.
62
(2.44)
1
+
a
b
-
1/m
-1
Slika 18: Slika uz Riemann-Lebesgueovu lemu
1/m - mjera širine jedne oscilacije - trne za sve ve´ci broj oscilacija. 1 - maksimalna visina.
Možemo pretpostaviti da je f (x) = const. Pa je lako pokazati npr. da, ako je
f (x) = χI
(2.45)
integral je kao neka linearna kombinacija integrala karakteristiˇcne funkcije. Na konaˇcnom
intervalu sve kvadratno integrabilne funkcije su i integrabilne (obrat ne vrijedi).
Prostor L2 je topološki kompletan s obzirom na normu induciranu skalarnim produktom
(jaku normu). Operativno: Cauchyjevi nizovi u L2 imaju limes u L2 .
2.1.7
Inverziona formula
Zanima nas vrijedi li:
{
}
f = F −1 F ( f )
(2.46)
Uzmemo parcijalnu sumu F. reda:
a0 ∑
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
+
2 k=1
n
S n (x) =
(2.47)
uvrstimo
1
ak =
π
∫
π
f (t) cos(kt)dt,
−π
1
bk =
π
∫
π
f (t) sin(kt)dt,
−π
1
a0 =
π
∫
π
f (t)dt
(2.48)
−π
Imamo:


∫ π (

n
∑

)
a0
1 


+
S n (x) =
cos(kx) cos(kt) + sin(kx) sin(kt) f (t)dt
{z
}

2 k=1 π  −π |
=
a0
+
2
n
∑
k=1
1
π
∫
cos(k(x−t))
π
−π
(2.49)
cos(k(x − t)) f (t)dt
f (t) je periodiˇcna funkcija, što znaˇci da možemo "besplatno" pomicati interval po periodu
unutar integrala - ne´ce utjecati na konaˇcni rezultat.
Radimo zamjenu
63
t − x = t′ → t = t′ + x, dt′ = dt
(2.50)
∫ π
∫
n
∑
1
1 π
f (t)dt +
f (t) cos(k(x − t))dt =
S n (x) =
2π −π
π −π
k=1


∫
n
 1 ∑

1 π
f (t)  +
cos(k(x − t)) dt = zamjena varijable =
=
π −π
2 k=1
[
]
∫ π
n
1
1 ∑
′
′
=
f (t + x) +
cos(kt ) dt′
π −π
2 k=1
|
{z
}
(2.51)
Dn (t′ )
Imamo Dirichletovu jezgru
1 ∑
Dn (t) = +
cos kt
2 k=1
n
(2.52)
Dn HtL
20
15
10
5
0
0.5
1.0
1.5
2.0
t
Slika 19: Graf Dirichletove jezgre za n=19
Mathematica kod (za one koji se žele "igrati" s grafovima):
Manipulate[ Plot[1/2 + Sum[Cos[k t], {k, 1, n}], {t, 0, 10},
PlotRange -> {{0, 2}, {-4.5, 20}},PlotLabel -> "D_n(t)",
AxesLabel -> {"t", ""} ], {n, 0, 20, 1}]
Vratimo se našoj parcijalnoj sumi:
∫
1 π
S n (x) =
Dn (t) f (x + t)dt
(2.53)
π −π
Ono što smo mi ustvari napravili je pomak ishodišta (što je legitimno zbog periodiˇcnosti
f (t)).
Zanima nas da li c´ e Fourierov red u ∞ dati originalnu funkciju.
64
∫
1
S n (x) =
π
π
Dn (t)[ f (x + t) + f (x − t)]dt
(2.54)
0
Jer je Dn (t) parna funkcija (što se možete uvjeriti tako da u Mathematici stavite t da vam
ide i u -x smjeru i pomaknete PlotRange).
Za n → ∞ S n (x) → f (x) (isto možete pokazati za funkcije u Mathematici).
Primjer:
f (t) = 1, S n (x) = 1
(2.55)
∫
1 π
1
Dn (t)[1 + 1]dt = Dn (t)2dt =
1=
π
π
∫ π0
π
=
Dn (t)dt
2
0
(2.56)
Dobili smo normu Dirichletove jezgre.
Teorem 30. Neka je f ∈ L1 (−π, π). Tada S n (x) → S (x) kad n → ∞, ∀x ∈ (−π, π) ako i samo
niz
∫
ako
π
bro j
g(x, t)Dn (t)dt −−−→ 0
n→∞
0
(2.57)
gdje je
g(x, t) = f (x + t) + f (x − t) − 2S (x)
Dokaz.
1
S n (x) − S (x) =
π
∫
π
Dn (t)[ f (x + t) + f (x − t) − 2S (x)]st
(2.58)
(2.59)
0
2s(x) smo ubacili u integral jer znamo normu Dirichletove jezgre.
1 ∑
eikt + e−ikt
Dn (t) = +
cos(kt) → cos(kt) =
2 k=1
2
n
(2.60)
Suma je u biti suma geometrijskog reda.
Koristimo pojam neodredene
sume: Ako ∃Bk t.d. Ak = Bk − Bk−1 tada možemo re´ci da je Bk
¯
neodredena
suma za Ak (možemo izraˇcunati sumu izmedu
¯
¯ bilo koje dvije granice).
b
∑
Ak = Aa + Aa+1 + · + Ab−1 + Ab =
k=a
= Ba − Ba−1 + Ba+1 − Ba + · · · + Bb + Bb−1 =
= Bb − Bb−1
65
(2.61)
Iskoristimo tu cˇ injenicu gore pa imamo:
(
)
(
)
1
1
1
2 sin x cos(kx) = sin k +
x − sin k −
x
2
2
2
(
)
n
x∑
1
x/
x
2 sin
cos(kx) = sin n +
x − sin + sin
2 k=1
2
2
2
[
)
]
(
n
x 1 ∑
1
2 sin
+
cos(kx) = sin n +
x
2 2 k=1
2
|
{z
}
(2.62)
Dn (x)
pa je
Dn (t) =
(
)
sin n + 12 t
(2.63)
2 sin 2t
t , 2mπ, m ∈ Z
Tada naš kriterij za S n (x) = S (x) za n → ∞ postaje
1
π
∫
π
(
)
sin n + 12 t
2 sin 2t
0
g(x, t)dt −−−→ 0
n→∞
(2.64)
po Riemann-Lebesgueovoj lemi (2.1.6).
Stoga je
S n (x) − S (x) = 0 ⇒ S n (x) = S (x) za n → ∞
(2.65)
x je fiksan pa to konvergira po toˇckama.
Ono što nas sljede´ce zanima je da li je
g(x, t)
2 sin(t/2)
(2.66)
integrabilna funkcija?
2.1.8
Princip lokalizacije
Teorem 31. Neka je f ∈ L1 (−π, π) s periodom 2π i x ∈ (−π, π). Tada S n (x) → S (x) kada
n → ∞ ako i samo ako za neki r ∈ (0, π] vrijedi
∫ r
g(x, t)Dn (t) −−−→ 0
(2.67)
n→∞
0
r je proizvoljno malen (, 0) i konaˇcan. Dovoljna nam je samo mala r okolina toˇcke x. Da
bi nam S n (x) konvergirao po toˇckama S (x) treba konvergirati u (x − r, x + r) → |x − x0 | < r
66
0
π
r
t
Slika 20: Slika uz princip lokalizacije
Dokaz.
∫
π
g(x, t)Dn (t)dt −−−→ 0 uvjek, po pretpostavci
(2.68)
(
)
f (x + t) + f (x − t) − 2s(x)
1
· sin n + tdt
2
2 sin 2t
(2.69)
n→∞
r
∫
r
π
Što ide u nulu po Riemann-Lebesgueu (f su integrabilne po pretpostavci, s je konstantna a
umnožak integrabilne i oscilatorne funkcije ide u 0).
Za neprekidne funkcije c´ e vrijediti, no što je npr. sa Heaviside theta (step) funkcijom? Ona
ima prekid.
Zato izabiremo funkcije ograniˇcene varijacije.
Definicija 22. Funkcija ograniˇcene varijacije na intervalu I ⊂ R je takva funkcija koja sse
na intervalu I može pisati kao:
f (x) = φ(x) − ψ(x), x ∈ I
(2.70)
gdje su φ(x) i ψ(x) ograniˇcene i rastu´ce na tom intervalu (ne nužno strogo).
Alternativno:
Podijelimo I = (a, b) toˇckama a = x0 < x1 <≤< xn = b. Ako postoji K takav da je
n
∑
| f (xi ) − f (xi−1 )| < K
(2.71)
i=1
bez obzira na vrijednost n i izbor xi , f (x) je ograniˇcene varijacije na I.
Lema 2. Postoji konstanta A takva da je
∫ x
Dn (t)dt < A, ∀n ∈ N, ∀x ∈ (0, π)
0
Integral Dirichletove jezgre je omeden
¯
67
(2.72)
(
)
sin n + 12 t
( )
Dn (t) =
2 sin 2t
(2.73)
)
(
)
1
1
2π
sin n + t = 0 ⇒ n + t0 = kπ ⇒ t0 =
2
2
2n + 1
(2.74)
Dokaz.
Nultoˇcke su u
(
za k=1 (prva nultoˇcka). Envelopa grafa Dirichletove jezgre ide kao 1/(2 sin(t/2)).
Površina pravokutnika P koji je ve´ci od prvog brijega do prve nultoˇcke je
(
)
1
π
P= n+
=π
2 n + 1/2
Integral ide do x. Imamo alterniraju´cu sumu opadaju´cih integrala (doprinosa).
∫ x0
∫ x
Dn <
Dn < π ⇒ ∃A : A < π (ne ovisi o n)
0
(2.75)
(2.76)
0
2.1.9
Jordanov teorem
Teorem 32. Neka je f ∈ L1 (−π, π), periodiˇcna funkcija s periodom 2π. Neka je r ∈ (0, π). Ako
je f oraniˇcene varijacije na [x − r, x + r] tada Fourierov red funkcije f konvergira u toˇcki x ka
]
1[
f (x + 0) + f (x − 0)
2
Prosjek lijevog i desnog limesa u x.
(2.77)
Dokaz. Uvrstimo u princip lokalizacije 31
s(x) =
]
1[
f (x + 0) + f (x − 0)
2
(2.78)
imamo
g(x, t) = f (x + t) + f (x − t) − f (x + 0) − f (x − 0) = h(t)
(2.79)
Ako je f ograniˇcene varijacije onda je i h(t) ograniˇcene varijacije (x je fiksan). Znaˇci dijelimo ju na dva dijela:
h(t) = h1 (t) − h2 (t)
(2.80)
obje ograniˇcene i rastu´ce.
Po konstrukciji je lim+ h(t) = 0 pa je lim+ h1 (t) = lim+ h2 (t) = |{z}
α = 0 (ako nije 0 onda od
t→0
t→0
t→0
const.
h1 i h2 samo oduzmemo α).
68
Po definiciji limesa:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : t ∈ (0, δ) ⇒ |h1,2 (t)| < ε; δ ∈ (0, r)
(2.81)
štoviše 0 < h1,2 < ε jer h-ovi teže nuli odozgo.
Gledamo ocjenu integrala
∫ δ
∫ δ
h1,2 (t)Dn (t)dt ≤ max |h1,2 (t)| · Dn (t)dt < εA
t∈(0,δ)
0
0
<ε
(2.82)
<A
pošto je h(t) = h1 (t) − h2 (t) vrijedi
∫ δ
h(t)Dn (t)dt < 2εA
0
i vrijedi princip lokalizacije, znaˇci formula vriedi.
(2.83)
Sama Dirichletova jezgra je osciliraju´ca. ona je uvjetno konvergentna (ima log. konvergenciju).
L1 norma Dn divergira kako n → ∞. Zato uzimamo, kada želimo sigurnu konvergenciju,
Cesaro sumaciju F. reda i tada dobijemo Fejerovu jezgru (pozitivna).
(
n−1
nx )2
1 sin( 2 )
1∑
Dk (t) =
Fn (t) =
n k=0
n sin( 2x )
(2.84)
Znaˇci, ako želimo da nam F. red konvergira po toˇckama gledamo princip lokalizacije, a u
cjelini gledamo konvergenciju u srednjem i tada smo sigurni (u pogledu konvergencije F. reda).
Nas zanimaju L2 funkcije jer su to u fizici izrazi poput snage (koja je konaˇcna).
Teorem 33. Neka je f ∈ L2 , a {ˆe1 , . . . , eˆ n } kompletna ortonormirana baza u L2 .
cn = (ˆen , f )
(2.85)
Tada niz funkcija
gn (x) =
n
∑
ck eˆ k (x)
(2.86)
k=1
konvergira jako funkciji f, tj. postoji g takav da:
lim ||gn − g|| = 0
n→∞
(2.87)
Tada je || f − g|| = d( f, g) = 0 → lim || f − gn || = 0
n→∞
Prostor integrabilnih funkcija konvergira po toˇckama, dok prostor kvadratno integrabilnih
funkcija konvergira u srednjem.
69
2.1.10 Prostor kvadratno sumabilnih nizova (redova) - ℓ2
Definicija 23.
{ck } ⊂ R :
∞
∑
c2k < ∞ := ℓ2
(2.88)
k=1
Koeficijenti razvoja u bazi cˇ ine prostor.
2.1.11 Besselova nejednakost
0 ≤ || f − gn ||2 = ( f − gn , f − gn ) = ( f, f ) − 2( f, gn ) + (gn , gn )
n
n ∑
n
∑
∑
ck cl (ˆek , eˆ l )
ck (ˆen , f ) +
0 ≤ ( f, f ) − 2
|{z}
|{z}
k=1
0 ≤ ( f, f ) − 2
n
∑
n
∑
k=1
c2k +
ck
n
∑
k=1 l=1
δkl
(2.89)
c2k
k=1
c2k ≤ ( f, f )
k=1
Besselovu nejednakost možemo si ovako protumaˇciti: ukupna snagana nekim valnim duljinama je manja ili jednaka od ukupne snage na svim valnim duljinama (ck su amplitude pojedinih harmonika).
Kada pustimo n → ∞ dobijemo Besselovu jednakost
∞
∑
c2k = ( f, f )
(2.90)
k=1
Takoder
¯ to nam govori da su baze (ck ) prebrojivo beskonaˇcno dimenzionalne. Besselova
jednakost dokazuje da je suma kvadrata koeficijenata razvoja u red uvjek konvergentna (omedena
odozgo). takoder
¯
¯ veže se na kompletnost L2 .
Teorem 34. Prostor ℓ2 je vektorski prostor sa skalarnim produktom
{xn } · {yn } =
∞
∑
xn yn
(2.91)
n=1
ℓ2 je izomorfan L2 i to nam dokazuje Riesz-Fischerov teorem.
2.1.12 Riesz-Fischerov teorem
Teorem 35. Prostori L2 i ℓ2 su izomorfni (ℓ2 je jedini Hilbertov prostor od svih ℓ p prostora
nizova)
Znamo da je u kvantnoj mehanici, valna funkcija ψ ∈ L2 jer je
∫
|ψ|2 = 1
V
70
(2.92)
Dirac je valnu funkciju napisao kao
ψ=
∞
∑
ck ψk (⃗r)
(2.93)
k=0
Gdje su ck tzv. Heisenbergovi brojevi a ψk valne funkcije stanja sustava.
Izomorfizam: postoji funkcija ϕ : L2 → ℓ2 t.d je ϕ bijekcija i šalje linearnu kombinaciju L2
u linearnu kombinaciju ℓ2 (homomorfizam).
Dokaz.
f, g ∈ L , f =
2
∑
ck eˆ k , g =
∑
dk eˆ k
(2.94)
Homomorfizam:
α f + βg =
∑
(αck + βdk )ˆek
(2.95)
Kompletnost nam garantira Besselova jednakost.
( f, f ) = || f || = ||{ck }|| ≡ |{ck } · {ck }|
|| f || = || f + g||2 − || f − g||2 = 4( f, g)
(2.96)
Znaˇci:
∞
∑
∞
∞
∑
∑
2
(ck + dk ) −
(ck − dk ) = 4
ck dk
2
k=1
k=1
(2.97)
k=1
I dobili smo Parsevalovu jednakost koja nam kaže da se i skalarni produkti preslikavaju
jedni u druge:
∞
∑
ck dk = ( f, g)
(2.98)
k=1
Riesz-Fischer nam kaže da imamo 1-1 korespondenciju izmedu
¯ valne i matriˇcne mehanike,
odnosno izmedu
¯ prostora Lebesgue integrabilnih funkcija i njihovih Fourierovih koeficijenata.
Sve jedno je baratamo li s integralima ili sumama (po Besselovoj jednakosti).
2.1.13 Integracija Fourierovih redova
Tvrdnja: Fourierove redove možemo integrirati cˇ lan po cˇ lan.
Dokaz. a) Antiderivacija zadane funkcije je funkcija ograniˇcene varijacije (fov) f ∈ L2 ⊂
L1 , x ∈ (0, π).
Jordanov teorem nam kaže da ako imamo integrabilnu funkciju na (−π, π) i ako je ona fov
da F. red funkcije f konvergira u toˇcki k prosjeku, tj.
f =
]
1[
f (x + 0) + f (x − 0)
2
71
(2.99)
Uzimamo skalarni produkt s karakter. f-jom koja c´ e odrediti granice.
∫
∫
x
F(x) =
f (t)dt = (χ[0,x] , f ) =
0
=
∞
∑
ck (χ[0,x] , eˆ k ) =
k=1
∞
∑
∫
π
−π


∞
∑


χ[0,x] f (t)dt = χ[0,x] ,
ck eˆ k  =
k=1
x
ck
(2.100)
eˆ k (t)dt
0
k=1
jer je
{
χ[0,x] =
1, t ∈ [0, x]
0, t < [0, x]
(2.101)
b) f ∈ L1 razvijemo funkciju u Fourierov red
a0 ∑
+
(an cos(kx) + bn sin(kx))
2 k=1
∞
f (x) =
(2.102)
Promatramo funkciju
F(x) =
∫ x(
f (t) −
0
a0 )
dt
2
(2.103)
F(x) je primitivna funkcija od f (x) i znamo da je fov - unutar integrala smo pomaknuli
vertikalno os apscisu (da izbjegnemo komplikacije). Znamo da ima prikaz u Fourierov red (po
Jordanovom teoremu).
A0 ∑
(An cos(nx) + Bn sin(nx))
F(x) =
+
2
n=1
∞
(2.104)
ˇ
Cinjenica
da se f (x) može prikazati preko Fourierovog reda implicira da je integrabilna.
Štoviše, ako je f (x) integrabilna F(x) je neprekidna, ako je f (x) ograniˇcena F(x) je funkcija
ograniˇcene varijacije.
1
An =
π
∫
π
−π
F(x) cos(nx)dx = parcijalna integracija =
u
∫ π(
1
sin(nx) π
1
a0 )
−
sin(nx)dx =
f (x) +
= F(x)
π
n −π nπ −π
2
∫ π
∫ π
1
a0
=−
f (x) sin(nx)dx −
sin(nx)dx =
nπ −π
2nπ −π
[
]
∫ π
1
a0 cos(nπ) cos(nπ)
−
=
=−
f (x) sin(nx)dx +
nπ −π
2nπ
n
n
bn
An = −
n
dv
(2.105)
Napomena: Izvod nije 100% detaljan, preporuˇcam da si sami izvedete ovo, zgodna je vježba
i vidite toˇcno koji dijelovi propadaju itd.
72
1
Bn =
π
∫
π
F(x) sin(nx)dx =
π
∫ π(
1
1
a0 )
f (x) +
cos(nx)dx =
= − F(x) cos(nx) +
−π nπ −π
nπ
2
∫ π
∫ π
1
a0
=
f (x) cos(nx)dx +
cos(nx)dx =
nπ −π
2nπ −π
[
]
an
a0 sin(nπ) sin(nπ)
=
+
−
=
n 2nπ
n
n
an
Bn =
n
−π
(2.106)
Oboje za n ≥ 1.
Znaˇci imamo:
]
∞ [
A0 ∑ −bn cos(nx) + an sin(nx)
F(x) =
2 n=1
x
(2.107)
F(x) je fov i u x=0 ima 2 jednaka limesa: F(0+ ) = F(0− ) = 0
]
)
∞ [
∞ (
A0 ∑ −bn cos 0 + an sin 0
A0 ∑ bn
F(0) = 0 =
+
⇒
=
2
n
2
n
n=1
n=1
(2.108)
Znaˇci:
F(x) =
]
∞ [
∑
an sin(nx) + bn (1 − cos(nx))
n
n=1
(2.109)
Što je upravo ono što bi se dobili da smo integrilali cˇ lan po cˇ lan
Fourierov red se može uvjek integrirati cˇ lan po cˇ lan, cˇ ak ne mora biti konvergentan.
2.1.14 Diferencijacija Fourierovih redova
Za razliku od integracije, derivacija Fourierovog reda je nešto složenija. Deriviranjem cˇ lanova
sin(kx)/ cos(kx) k nam "skaˇce" van i kvari konvergenciju.
Kao primjer uzmimo step funkciju definiranu na sljede´ci naˇcin
{
1/2 , x > 0
θ(x) =
−1/2 , x < 0
(2.110)
Pošto je neparna u F. razvoju "prežive" samo sinusni cˇ lanovi
∞
∑
1
θ(x) =
bn sin(nx) ⇒ bn =
2π
n≥1
∫
π
1
sin(nx)dx =
0 2
π
1
1 1 − (−1)n
bn = − cos(nx) =
0 π
nπ
n
73
(2.111)
ΘHxL
1.0
0.5
-10
5
-5
10
-0.5
-1.0
Slika 21: Step funkcija
cos(nx)
θ(x) =
=
∞
1 ∑ 1 − (−1)n
π
n
n=1
sin(nx) = {n = 2k − 1}
∞
2 ∑ sin(2k − 1)x
π
k=0
(2.112)
2k − 1
Tada je
θ′ (x) =
∞
N
∑
2
2∑
cos(2k − 1)x = lim
cos(2k − 1)x
π k=0
π N→∞ k=0
(2.113)
Ova suma je sliˇcna Dirichletovoj jezgri - oscilira i divergentna je.
θn′ (x) =
1 sin 2(n + 1)x
π
sin x
(2.114)
f (x)θn′ (x)dx = 0
(2.115)
lim θ′ (x) ne postoji (po toˇckama), ali:
n→∞
∫
lim
n→∞
b
a
po Riemann-Lebesgueovoj lemi.
Slaba konvergencija - limes koji je bio unutra integrala je slobodno ’otišao’ van i oslabio
konvergenciju (o tome c´ e biti rijeˇci kasnije).
2.1.15 Fourierovi transformati
Fourierovi redovi, po svojoj konstrukciji generiraju periodiˇcke funkcije. Kako to proširiti na
neperiodiˇcke funkcije?
Uzmimo funkciju f (x) na proizvoljnom intervalu [−L, L]. Tada imamo
74
sin(nx) → sin
1
S n (x) =
2L
∫
L
−L
nπx
,
L
cos(nx) → cos
nπx
L
∫
n
∑
1 L
mπ(x − t)
f (t)dt +
f (t) cos
dt
L −L
L
m=1
(2.116)
(2.117)
Možemo uvesti pokratu i supstitucije
mπ
,
L
km =
1
S n (x) =
π
π
(x − t), (−, π, π) → (−L, L)
L

n
∑

++
cos(m(x − t)) f (t)dt
x−t =

 1

−π 2
∫
π
(2.118)
(2.119)
m=1
Umjesto koefijicenata cm možemo pisati c(k) - prijelaz s diskretne na kontinuiranu varijablu
(reskaliranje).
1 1
= (km − km+1 ),
L π | {z }
L → ∞ : ∆k → dk
∆k
∫
∞
∑
1
(km+1 − km )φ(km ), φ(k) =
S n (x) =
π
m=1
(2.120)
L
−L
f (t) cos(k(x − t))dt
(2.121)
Pitamo se
?
∫
f (x) =
∞
φ(k)dk = lim S n (x)
n→∞
0
(2.122)
Trebamo dokazati inverzionu formulu. f ∈ L1 (R)
1
S n (x) =
2L
∫
L
f (t)dt +
−L
n
∑
φ(k)∆k
(2.123)
f (t) cos(k(x − t))dtdk
(2.124)
m=1
Za L → ∞ integral propada, a ostatak je:
∫
0
∞
∫
φ(k)dk = lim
K→∞
∫
K
K
φ(k)dk = lim
K→∞
0
0
1
π
∫
L
−L
Pošto je funkcija f integrabilna f (t) cos(k(x − t)) konvergira uniformno u K - možemo mijenjati poredak integracije.
1
lim
K→∞ π
= lim
K→∞
∫
∫
L
K
cos(k(x − t))dk =
f (t)dt
−L
1
π
∫
0
Dk (x−t)
L
f (t)
−L
sin(K(x − t))
dt
x−t
Pogledajmo sljede´ce:
75
(2.125)
∫
∀ε > 0, ∃T > 0 :
∞
−∞
∫
| f (t)|dt <
T
−T
| f (t)|dt + ε
(2.126)
Daleko od ishodišta integral nema nikakvog doprinosa - svaka funkcija f ∈ L1 (Lebesgue
integrabilna) trne na beskonaˇcnom intervalu (integral postoji). Možemo integral na intervalu
[−T, T ] rastaviti i iskoristiti princip lokalizacije:
∫ T ∫ x−δ ∫ x+δ ∫ T
=
+
+
(2.127)
−T
−T
x−δ
x+δ
prvi i zadnji trnu po R-L lemi. Ostaje nam:
1
lim
π K→∞
∫
0
K
∫
∫ x+δ
1
sin(K(x − t))
dk
cos(k(x − t)) f (t)dt = lim
f (t)dt + ε =
π K→∞ x−δ
x−t
−∞
∫ δ
1
sin(Kt)
= lim
[ f (x + t) + f (x − t)]dt
π K→∞ 0
t
∞
(2.128)
Samo nam je bitna δ okolina (PL). po Jordanovom teoremu gornji izraz je
1
[ f (x + 0) + f (x − 0)]
(2.129)
2
Kada je funkcija fov na (x−δ, x+δ) iskoristimo PL i dokažemo kao kod Jordanovog teorema.
2.1.16 Moderan zapis Fourierovog transformata
Teorem 36. Neka je f ∈ L1 tada pišemo
∫ ∞
1
F(k) = √
f (x)eikx dx
2π ∫−∞
∞
1
f (x) = √
F(k)e−ikx dk
2π −∞
(2.130)
Možemo još pisati i
F = F ( f ) - Fourierov transformat od f
f = F −1 (F) - inverz
Napomena: u scaniranoj verziji možete na´ci izvod inverzione formule za FT. Nije težak,
malo se raspisuje, to možete samo napraviti za vježbu.
Zašiljene funkcije u jednom prostoru (recimo prostoru duljina (x) ili vremena (t)) daju "razmazane" funkcije u drugom (prostoru valnih brojeva (k) ili frekvencija (ω)).
Fourierov transformat direktno ukazuje na Heisenbergove relacije neodredenosti
u kvantnoj
¯
mehanici kod dinamike valnog paketa.
76
1
Π
4
2
HSignH2-kL+SignH2+kLL
SincH2xL
1.0
1.0
0.5
0.5
x
-10
5
-5
k
10
-10
5
-5
10
-0.5
-0.5
Slika 22: Funkcija sinc(2x)
Slika 23: Fourierov transformat sinc(2x)
Napomena: Izostavio sam operativno baratanje s Fourierovim transformatima, taj dio imate
u scaniranoj verziji.
2.1.17 Konvolucija i Dirac delta funkcija
∫ ∞
1
f (t′ )g(t − t′ )dt′
(2.131)
( f ∗ g)(t) = √
2π −∞
Konvolucija opisuje najop´ceniti linearni odgovor. Realna važnost disperzijskih relacija u fizici je ta da su one direktna posljedica pretpostavke da razni fizikalni sustavi poštuju kauzalnost
(Kramers-Kronigove relacije).
Fourierov transformat konvolucije
1
F ( f ∗ g) =
2π
∫
∫
∞
dte
∞
iωt
−∞
−∞
f (t′ )g(t − t′ )dt′
(2.132)
Pomak u ishodištu je F (g), dok je pomak u t′ F ( f )
F ( f ∗ g) = F(ω)G(ω)
(2.133)
Naše realne valove (eiωt ) ne možemo, matematiˇcki, gledati kao baze. Uvodimo novu notaciju:
∫ ∞ ∫ ∞
1
′
f (x) =
dk
dx′ eik(x −x) f (x′ )
(2.134)
2π −∞
−∞
Definicija nepravog integrala:
∫ K
lim
dk
(2.135)
K→∞
−K
′
Želimo da nam f (x) postane f (x ) pa mijenjamo poredak integracije. Tada dobivamo
∫ ∞
1
′
eik(x −x) dk ≡ δ(x′ − x)
(2.136)
2π −∞
77
Dobili smo nešto veoma sliˇcno Kronecker delti. Pridjelimo δ svojstva:
∫
∞
∫−∞
∞
−∞
δ(x′ − x) f (x′ )dx′ = f (x) − "prosijavanje"
δ(x′ )dx′ = 1
δ(−x) = δ(x)
n
∑
δ(x − xi )
δ( f (x)) =
; xi − nultoˇcke f (x)
| f ′ (xi )|
i=1
∫ ∞
δ(n) (x′ − x) f (x′ )dx′ = (−1)n f (n) (x)
−∞
∫ ∞
lim
δk (x′ − x) f (x′ )dx′ = f (x)
{z
}
k→∞ −∞ |
(2.137)
fk (x)
fk (x) je notacija za niz funkcija koji teži f (x).
δ nije funkcija, jer ne postoji funkcija koja c´ e samo na jednom mjestu dati nešto, dok c´ e
drugdje biti nula. Ne postoji takva funkcija koja c´ e mijenjati vrijednost integrala ako smo promijenili vrijednost funkcije u jednoj toˇcki (integral je globalno svojstvo).
Ovime opisujemo proces mjerejna - niz funkcija je, u biti, niz mjerenja. Znaˇci naša δ je
poop´cenje funkcija - distribucija.
Za f, g ∈ L2 (R)
(
)
∫ ∞
∫ ∞
1
1
−ikx
−ipx
( f, g) = √
F(k)e dk, √
G(p)e d p =
−∞
2π −∞
2π
(
)
∫ ∞ ∫ ∞
1
1 −ipx
=
=
dk
F(k)G(p)d p √
, √ e
−∞
−∞
2πe−ikx
2π
|
{z
}
δ(k−p)
∫ ∞
=
F(k)G(k)dk = (F, G)
(2.138)
−∞
vidimo da vrijedi Parsevalova jednakost. Posebno vrijedi
∫ ∞
∫ ∞
2
| f (x)| dx =
|F(k)|2 dk
−∞
(2.139)
−∞
Besselova jednakost.
δ nije operator nego funkcional. Funkcionali sele k iz funkcionalnog prostora (dualni prostor) u brojeve x (izomorfizam postoji).
Funkcional je mapiranje iz vektorskog prostora na polje, obiˇcno, realnih brojeva (npr. skalarni produkt - uzima vektore i daje broj).
78
Imamo
∫
∞
−∞
δa (t − x)dx = 1
neovisna o a (širina). Ako je Ig : f ∈ X → f (x) ∈ R
∫ ∞
δa (t − x)dx = 1
lim
a→0
(2.140)
(2.141)
−∞
Limes lim δa (x) ne mora postojati, ali lim δa (x) f (x) = f (0) može postojati. Proširujemo
a→0
a→0
pojam funkcije:
∫ ∞
Ig ( f ) =
f (x)g(x)dx ∈ R
(2.142)
−∞
f su probne funkcije, a g su integralne jezgre ili dozvoljene funkcije.
g ∈ C ∞ (R) - analitiˇcke
f ∈ C0 (R) - funkcije kompaktnog nosaˇca (nula su u beskonaˇcnosti).
Uzimamo nizove integralnih jezgri:
Može postojati lim Ign ( f )∀ f , s tim da lim gn može i ne mora postojati na skupu dozvoljenih
n→∞
n→∞
funkcija.
Definicija 24. Ako postoji lim Ign ( f ) za neki niz gn dozvoljenih funkcija te ako postoji g, don→∞
zvoljena funkcija, takva da je
lim Ign ( f ) = Ig ( f )
(2.143)
n→∞
kažemo da niz gn konvergira slabo funkciji g.
Zato Dirac delta nije funkcija - niz integrala ima limes, odnosno konvergira slabo.
Fizikalna veliˇcina je uvijek bliža integralu nego funkcijskoj vrijednosti u nekoj toˇcki (dobiva
se iz mjerenja).
Teorem 37. Ako φ(x) = lim φm (x) u smislu distribucija (slabo), onda
m→∞
φ′ (x) = lim φ′m (x)
(2.144)
φ′ (x) f (x)dx = |parcijalna integracija| =
−∞
∫ ∞
∫ ∞
′
= φ(x) f (x) −
φ(x) f (x)dx = − lim
f ′ (x)φm (x)dx =
m→∞ −∞
| {z }
−∞
=0
∫ ∞
= lim
f (x)φ′m (x)dx
(2.145)
→∞
slabo (opet u smislu distribucije).
Dokaz.
∫
∞
m→∞
−∞
79
2.1.18 Alternativni iskaz slabe konvergencije
Možemo re´ci i ovako:
fn (x) - niz funkcija (npr. Dirac delta).
g(x) - test (probne) funkcije ili funkcije kompaktnog nosaˇca.
f (x) - funkcije integralne jezgre (dozovljene funkcije). One su analitiˇcke i od tuda uzimamo
nizove funkcija.
Teorem 38. Neka je fn (x) niz funkcija integralne jezgre. Ako
∫ ∞
lim
fn (x)g(x)dx, ∀g(x)
n→∞
(2.146)
−∞
on konvergira slabo - podintegralna funkcija može, ali i ne mora konvergirati.
Definicija 25. Distribucija ϕ(x) je matematiˇcki koncept povezan sa slabo konvegentnim nizom
funkcija integrabilne jezgre za koje vrijedi:
∫ ∞
∫ ∞
ϕ(x)dx = lim
f( x)g(x)dx = I fn (g)
(2.147)
−∞
n→∞
−∞
On je ekvivalentan ako
lim I fn (g) = I f (g)
n→∞
(2.148)
Distribucije su prirodnije (bliže stvarnosti) nego funkcije. Jer mi u fizici mjerimo razne
vrijednosti i na temelju njih izvodimo zakljuˇcke.
80
2.2
Parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDJ)
Parcijalne diferencijalne jednadžbe se pojavljuju kod problema gdje Newtonove jednadžbe
treba primjeniti na kontinuirani mediji.
2.2.1
Valna jednadžba
Za primjer možemo uzmeti napetu žicu (slika 24). Svaki cˇ lan tjera susjeda da titra - rješenje je
odgovor u x i t. Putuju´ci val ne´ce biti dobar za opis priˇcvrš´cene žice. za to su nam bolji stojni
valovi.
Rješenje mora zadovoljavati rubne i poˇcetne uvjete.
u(x,t)
T2
u2
β
ds
α
u1
∆x
T1
x
x - ∆x
2
x + ∆x
2
x
Slika 24: Model napete žice
Uvodimo restrikciju: nama pomaka u horizontalnom smjeru.
(
)
(
)
∆x
∆x
u1 = u x −
, u2 = u x +
2
2
(2.149)
Po Pitagori
[ (
)
(
)]2
∆x
∆x
ds = dx + u x +
−u x−
≈ dx2
2
2
2
2
(2.150)
Tada nam je
√
ds
=
dx
(
∂u
1−
∂x
)2
≈1
(2.151)
male ekskurzije.
Integral te veliˇcine je duljina strune.
Napetost je uniformna:
T 1 cos α = T 2 cos β,
81
T = T2 = T2
(2.152)
Pišemo jednadžbu gibanja (2. Newtonov zakon)
/
∂2 u(x, t)
T (sin β − sin α) + Fdx − ρgdx = ρdx ·
· (dx)−1
2
∂t
vanjska sila
napetost
gravitacija
masa
(2.153)
akceleracija
Za mele pomake (ekskurzije) je sin x ≈ tan x pa je
[
(
)
(
)]
sin β − sin α tan β − tan α
1 ∂
∆x
∂
∆x
∂2 u(x, t)
≈
=
u x+
− u x−
≈
dx
dx
dx ∂x
2
∂x
2
∂x2
(2.154)
Mjenjamo u tangens jer je tangens priklonog kuta u odnosu na x-os derivacija.
Zanemarujemo utjecaje vanjske sile i utjecaj težine žice (zanemarica je), jer kada ne bi
zanemarili težinu imali bi gredu, a ne žicu. Naša jednadžba postaje:
∂2 u ρ ∂2 u
=
∂x2 T ∂t2
Dimenzionalno nam je cˇ lan ρ/T isto što i brzina na kvadrat (fazna brzina).
Time smo dobili valnu jednadžbu:
∂2 u(x, t)
1 ∂2 u(x, t)
=
∂x2
c2 ∂t2
(2.155)
(2.156)
Rješenje ove PDJ je sljede´ce.
Ako je f po dijelovima glatka funkcija (ima bar f ′ i f ′′ ), f : x 7→ f (x) ∈ R, tada je f (x ± ct)
op´ce rješenje valne jednadžbe. To se može pokazati deriviranjem po x i t dva puta. Rubni uvijeti
daju fizikalno znaˇcenje.
Metoda rješavanja PDJ (najˇceš´ca) je metoda separacije varijabli:
u(x, t) = X(x) · T (t)
(2.157)
dopušteno zbog linearnosti PDJ.
Uzmimo za primjer rješenje sljede´ceg pblika:
(
nπ )
, n∈N
u(x, t) = sin (x ± ct)
L
Tada je rješenje:
u(x, t) =
∞
∑
An cos
n=1
u(x, t) =
∞
∑
nπ
nπc
t sin x
L
L
an (t)
an (t)ˆen (x)
n=1
82
(2.158)
eˆ n (x)
(2.159)
Vratimo se pretpostavljenom rj. oblika 2.157:
1 ¨/
X ′′
1 T¨
−1
X
T
·
(XT
)
⇒
=
= −λ2
(2.160)
c2
X
c2 T
Separacijska konstanta λ je posebna, ovisno o kojem fizikalnom problemu se radi, i ima ih
(konstanti) uvijek za 1 manje od varijabli.
X ′′ T =
Uz rubne uvjete: u(0, t) = 0 i u(L, t) = 0 - žica uˇcvrš´cena na krajevima, imamo:
X(x) = A cos(λx) + B sin(λx)
T (t) = C cos(λct) + D sin(λct)
(2.161)
Odnosno:
nπ
, n∈Z
(2.162)
L
Dobili smo diskretizaciju! Rješenje nije kao klasiˇcan Fourierov red, ali podsje´ca na njega.
λ=
u(x, t) =
∞ [
∑
n=1
An cos
( nπc )
L
t + Bn sin
( nπc ) ]
( nπ )
t sin
x
L
L
(2.163)
Ako znamo poˇcetne uvjete, lako našemo An i Bn - oni su koeficijenti razvoja funkcije pocˇ etnih uvjeta u Fourierov red.
Vrijednosti R koje dozvoljavaju rubni uvjeti zove se spektar.
Diskretizacija rješenja je veoma bitna u kvantnoj fizici, jer ono što je u klasiˇcnoj fizici
Newtonova jednadžba gibanja, to je u kvantnoj Schrödingerova valna jednadžba.
2.2.2
Jednadžba difuzije i jednadžba kontinuiteta
Druga bitna jednadžba u fizici (jedna od nama bitnijih) je jednadžba difuzije:
⃗
⃗ȷ = −D∇ρ
(2.164)
Tok difuznog materijala (⃗ȷ) je proporcionalana gradijentu koncentracije. Jednadžba 2.164
je Fickov prvi zakon.
Osim te jednadžbe korisna nam je i jednadžba kontinuiteta:
∂ρ ⃗
+ ∇ · ⃗ȷ = 0
(2.165)
∂t
Promjena gusto´ce bilo kojeg dijela sustava nasaje zbog protoka materijala u i iz dijelaova
sustava.
Kombiniraju´ci 2.164 i 2.165 dobijemo toplinsku jednadžbu (difuzije):
∇2 ρ =
1 ∂ρ
D ∂t
83
(2.166)
Razlika toplinske i valne jednadžbe je ta što u toplinskoj imamo samo jednu parcijalnu
derivaciju po vremenu.
2.2.3
Laplaceova i Poissonova jednadžba
Dvije veoma bitne jednadžbe, koje se cˇ esto pojavljuju u elektrodinamici, dinamici fluida i astronomiji su Laplaceova
∇2 φ = 0
(2.167)
i Poissonova jednadžba
∇2 φ = −
ρ
ε0
(2.168)
Op´ca rješenja Laplaceove jednadžbe poznata su kao potencijalna teorija (ili teorija potencijala).
2.2.4
Fourierova jednadžba
Veoma bitna u teoriji vodenja
topline. Poˇcnemo s Fourierovim zakonom:
¯
⃗
⃗q = −k∇u
(2.169)
gdje je k koeficijent toplinske vodljivosti. Ukupna koliˇcina topline je
[ ∫
]
∫
∫
⃗
∆Q = − ⃗q · dS +
sdV dt, ∆Q =
cρ∆udV
V
(2.170)
V
Po Gaussovom teoremu - skalarni tok polja kroz zatvorenu plohu jednak je integralu divergencije polja protegnutom po prostoru V koji je obuhva´cen unutar plohe.
∫
⃗q · dS⃗ =
∫
⃗ · ⃗q) · dV
(∇
(2.171)
uz
⃗ q = −k∇2 u i − ∇⃗
⃗ q = cv ρ ∂u
∇⃗
∂t
(2.172)
imamo
∇2 u =
cv ρ ∂u
k ∂t
(2.173)
I imamo Fourierovu toplinsku jednadžbu.
Napomena: Nisam išao u detalje u koje je profesor išao na predavanju, do sad nije pitao te
stvari (jer je podrazumijevao da se znaju), pa ih ja ne´cu toliko u detalje objašnjavati.
84
2.2.5
Kvalitativna analiza valne jednadžbe i d’Alambertova formula
Kako bez rubnih uvjeta, samo s poˇcetnim, riješiti problem valne jednadžbe?
Znamo da je uvjet da valna jednadžba bude zadovoljena je da, zakrivljenost u vremenu mora
biti jednaka zakrivljenosti u prostoru. Naravno to nam ne govori ništa o fizici (ona je sadržana
u rubnim uvjetima).
∂2 u
1 ∂2 u
=
∂x2 c2 ∂t2
Pošto je u = u(x, t) uvodimo nove varijable
v = x + ct;
w = x − ct
(2.174)
(2.175)
∂u ∂v ∂u ∂w ∂u ∂u ∂u
=
+
=
+
∂x ∂x ∂v ∂x ∂w ∂v ∂w
(2.176)
( ) (
)(
)
∂2 u
∂ ∂u
∂v ∂
∂w ∂ ∂u ∂u
=
=
+
+
=
∂x2 ∂x ∂x
∂x ∂v ∂x ∂w ∂v ∂w
(
)
(
)
∂ ∂u ∂u
∂ ∂u ∂u
+
+
+
=
=
∂v ∂v ∂w
∂w ∂v ∂w
∂2 u
∂2 u
∂2 u
= 2 +2
+
∂v
∂v∂w ∂w2
(2.177)
Analogno se za derivaciju po vremenu (što sami možete izvesti za vježbu) pokaže:
(
)
∂u ∂u
∂u
=c
−
(2.178)
∂t
∂v ∂w
( 2
)
∂2 u
∂2 u
∂2 u
2 ∂ u
=c
−2
+
(2.179)
∂t2
∂v2
∂v∂w ∂w2
Ukoliko to vratimo u valnu jednadžbu dobijemo:
∂vw u = 0 ↔
∂2 u
=0
∂v∂w
(2.180)
To možemo riješiti:
∫
∂u
= h(v) ⇒ u(v, w) =
h(v)dv + ψ(w)
∂v
Pošto je podintegralna funkcija funkcija od v, npr ϕ(v), rješenje je oblika:
(2.181)
u(v, w) = ϕ(v) + ψ(w)
(2.182)
u(x, t)ϕ(x + ct) + ψ(x − ct)
(2.183)
Ako vratimo x i t to postaje
Imamo op´ce ili d’Alambertovo rješenje valne jednažbe. Ako ukljuˇcimo poˇcetne uvjete
imamo:
85
u(x, 0) = f (x); ut (x, 0) = g(x)
(2.184)
∂u
= cϕ′ (x + ct) − cψ′ (x − ct)
∂t
(2.185)
u(x, o) = ϕ(x) + ψ(x) = f (x) (⋆)
ut (x, 0) = c(ϕ′ (x) − ψ′ (x)) = g(x)
(2.186)
Tada je
Odnosno
Iz druge jednadžbe možemo na´ci ϕ(x):
/∫ x
1
ϕ (x) − ψ (x) = g(x)
ds
c
x0
∫
∫ x
∫ x
dϕ(s)
dψ(s)
1 x
g(s)ds
ds −
ds =
ds
ds
c x0
x0
x0
∫
1 x
ϕ(x) − ϕ(x0 ) − ψ(x) + ψ(x0 ) =
g(s)ds
c x0
∫
1 x
ϕ(x) − ψ(x) − (ϕ(x0 ) − ψ(x0 )) =
g(s)ds
| {z }
c x0
k(x0 )
∫
1 x
ϕ(x) − ψ(x) = k(x0 ) +
g(s)ds
c x0
gornji red zbrojimo s (⋆)
∫
/
1 x
2ϕ(x) = f (x) + k(x0 ) +
g(s)ds : 2
c
∫ x x0
1
1
1
ϕ(x) = f (x) +
g(s)ds + k(x0 )
2
2c x0
2
′
′
(2.187)
Istim postupkom dobijemo ψ(x):
1
1
ψ(x) = f (x) −
2
2c
∫
x
x0
1
g(s)ds − k(x0 )
2
(2.188)
Ako sada napravimo zamjenu x 7→ x ± ct, granice integrala nam se mijenjaju pa imamo
konaˇcno:
1
1
u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct) = [ f (x + ct) + f (x − ct)] +
2
2c
∫
x+ct
g(s)ds
(2.189)
x−ct
Ako je poˇcetna brzina 0 integral nam nestaje.
Dobili smo konaˇcno op´ce rješenje, s ukljuˇcenim poˇcetnim uvjetima, valne jednadžbe.
86
2.3
2.3.1
Specijalne funkcije
Uvod i Helmholtzova amplitudna jednadžba
Specijalne jednadžbe imaju veliku važnost u fizici. To su funkcije koje su ljudi prilikom promatranja fizike cˇ esto sretali pa su im, da bi izbjegli komplikacije, dali ime.
Sturm - Liouvilleove jednadžbe su matematiˇcki problemi cˇ ija rješenja daju potpuno ortogonalne funkcije na L2 .
Mi c´ emo obraditi one specijalne funkcije koje proizlaze iz raznih simetrija Helmholtzove
amplitudne jednadžbe.
Pogledajmo valnu jednadžbu u prostoru:
1 ∂2 ψ
; ψ(⃗r, t) = u(⃗r)T (t)
c2 ∂t2
1 /
u′′ T = 2 uT¨ · (uT )−1
c
′′
u
1 T¨
= 2 = −k2
u
c T
∇2 ψ =
(2.190)
Vremenski dio je osciliraju´c, i nije nam od velike važnosti trenutno, nas zanima prostorni
dio koji postaje Helmholtzova amplitudna jednadžba
(∇2 + k2 )u(⃗r) = 0
2.3.2
(2.191)
Legendreova jednadžba
Idemo riješiti Helmholtzovu amplitudnu jednadžbu u sfernom koordinatnom sustavu.
u(⃗r) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ), r ∈ (0, R), θ ∈ (0, π), ϕ ∈ (0, 2π)
Laplaceov operator (laplasijan) u SKS:
(
)
(
)
1 ∂ 2∂
1
∂
∂
1
∂2
2
∇ = 2
r
+ 2
sin θ
+
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
Jednadžba nam postaje:
(
)
(
)
1
∂u
1
1 ∂ 2 ∂u
∂
∂2 u
r
+
sin
θ
+
+
+ k2 u = 0
r2 ∂r
∂r
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
Raspišemo i separiramo varijable:
(
)
Θ′
1
Φ′′
R′′ 2 R′ 1 Θ′′
+
+ 2
+ cot θ
+
+ k2 = 0
2
2
R
r R r Θ
Θ
Φ
r sin θ
Uvedemo separacijsku konstantu
87
(2.192)
(2.193)
(2.194)
(2.195)
Φ′′
= λ1 = −m2 , m ∈ Z
Φ
Ostatak jednadžbe taj dio vidi kao konstantu. Zatim imamo:
[(
)
]
Θ′
λ1
R′′ 2 R′ 1 Θ′′
+
+ 2
+ cot θ
+
+ k2 = 0
2
2
R
r R r
Θ
Θ
r sin θ
(2.196)
(2.197)
Uvodimo novu separacijsku konstantu
Θ′′
Θ′
λ1
= λ2
+ cot θ +
2
Θ
Θ r sin2 θ
Jer, ponovo, ostatak jednadžbe vidi taj dio kao konstantu. Nastavljamo:
R′′ 2 R′ λ2
+
+ 2 + k2 = 0
R
r R r
Ovdje nam se pojavljuju dvije mogu´cnosti:
k=0ik,0
(2.198)
(2.199)
(2.200)
Ukoliko stavimo da nam je k , 0 dobijemo novu klasu specijalnih funkcija - sferne Besselove, koje c´ e biti objašnjenje kasnije. Izabiremo k = 0 i imamo:
2
λ2
R′′ + R′ + 2 R = 0
(2.201)
r
r
Pošto nam ova, sada ODJ, prolazi uvjete Fuchsovog teorema, oˇcekujemo rješenje u obliku
ˇciste potencije.
Za te potrebe izabiremo rješenje oblika
R(r) = rα
(2.202)
i separacijsku konstantu λ2 = −l(l + 1), l ∈ N0 , jer je θ kutna varijabla. λ1 = −m2 proizlazi
iz toga što je ϕ azimutalna varijabla i Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).
R(r) = rα ,
R′ (r) = αrα−1 ,
R′′ (r) = α(α − 1)rα−2
(2.203)
Uvrstimo u 2.201
α(α − 1)rα−2 + 2αrα−2 − l(l + 1)rα−2 = 0
(2.204)
Indicijalna jednadžba nam daje:
α(α − 1) + 2α − l(l + 1) = 0 ⇒ α1 = l, α2 = −l − 1
(2.205)
Pošto se rješenja razlikuju: α1 ≥ α2
α1 − α2 = 2l + 1
88
(2.206)
R(r) = rl ;
R(r) =
1
rl+1
(2.207)
Imamo dva mogu´ca skupa rješenja.
l = 0 R(r) = 1 R(r) = r−1 jediniˇcni naboj
l = 1 R(r) = r R(r) = r−2
dipol
2
−3
l = 2 R(r) = r R(r) = r
kvadrupol
(2.208)
Ono što smo dobili je u biti multipolni razvoj (to c´ emo kasnije pokazati).
Azimutalno rješenje nam je
Φ(ϕ) = e±imϕ
(2.209)
Kutno:
(
)
m2
Θ + cot θΘ − λ2 + 2 Θ = 0
sin θ
′′
′
(2.210)
Radimo supstituciju: Θ(θ) = y(x), x = cos θ, sin2 θ = 1 − x2 , θ ∈ (0, π) → x ∈ (−1, 1). Tada
nam kutni dio postaje:
(
)
m2
2 ′′
′
(1 − x )y (x) − 2xy (x) − λ2 +
y(x) = 0
(2.211)
1 − x2
Time smo dobili pridruženu Legendrovu jednadžbu. Nju c´ emo detaljnije nešto kasnije
prouˇciti. Ukoliko uzmemo u obzir osnu simetriju m = 0 → ϕ = 0:
(1 − x2 )y′′ (x) − 2xy′ (x) − λ2 y(x) = 0
(2.212)
Dobili smo Legendreovu jednadžbu.
Probamo ju rješiti pomo´cu Frobeniusa.
y(x) =
∞
∑
an xn+λ , uz x = 1 + z
(2.213)
n=0
∞
∑
[
]
xλ an (n + λ − 1)(n + λ)(xn−2 − xn ) − an (2(n + λ) + λ2 )xn = 0
(2.214)
n≥2
x−2 :
x−1 :
a0 λ(λ − 1) = 0
a1 λ(λ + 1) = 0
(2.215)
n(n + 1) + λ2
an
(n + 1)(n + 2)
(2.216)
Pišemo rekurziju:
an+2 =
Možemo se pitati, kakvog je oblika konstanta separacije λ2 ? Vidjeti c´ emo da smo izborom
posebne vrijednosti definirali spektar rješenja. Pogledajmo asimptotski sluˇcaj:
89
n→∞
an+2 ≈
λ2 je zanemariv.
n
an
n+2
(2.217)
1
(2.218)
n
Ako se pomaknemo za 2 on ostane isti - ne ovis o n. Vidimo da an divergira logaritamski
na +z-osi. Znaˇci da nam divergencija ovisi o koordinatizaciji problema. A to nije dobro. Pošto
nam je x = cos θ baš ide od -1 do +1! Znaˇci to su singularne toˇcke Legendreove jednadžbe.
Moramo nekako ograniˇciti podruˇcje rješenja za n = l naša rekurzija mora stati.
⇔ (n + 2)an+2 ≈ nan ⇔ nan = const. ⇔ an ∼
al+2 = 0 i λ2 = l(l + 1)
(2.219)
Fizikalno, imamo dva rubna uvjeta:
• Cikliˇcki rubni uvjet koji daje jednoznaˇcnost za separacijsku konstantu λ1 = −m2
• Funkcija ne smije divergirati nigdje u podruˇcju fizikalnog režima
Znaˇci l može biti:
• PARAN - zaustavlja red koji poˇcne s a0 , a rješenje koje poˇcinje sa a1 ima logaritamsku
divergenciju.
• NEPARAN - zaustavlja red koji poˇcne s a1 , a rješenje koje poˇcinje sa a0 ima logaritamsku
divergenciju.
Budu´ci da rekurzija skaˇce za 2, λ = 0 je pokupio oba rješenja. Ako je λ2 proizvoljan rekurzija nikad ne bi stala.
Sva rješenja ove jednadžbe nazivaju se Legendreovi polinomi Pl (x).
Spektar dolazi jer u toˇcki sjevernog pola imamo išˇcezavanje koeficijenata uz najvišu potenciju.
Imamo elektrostatski problem: potencijal jediniˇcnog naboja.
Kod Legendreovih polinoma imamo logaritamsku divergenciju na + i - z-osi. Ako stavimo
jediniˇcni naboj u sjeverni pol želimo da nam rješenje trne sa n, a za x=1 nam ne´ce trnuti.
Potencijal:
1
1
=
|⃗x| |⃗r − ⃗k|
Ako pogledamo kosinusov pouˇcak to nam je:
x2 = k2 + r2 − 2kr cos θ
uz k = 1 imamo x2 = 1 + r2 − 2r cos θ
90
(2.220)
(2.221)
potencijal je oblika
1
(2.222)
φ∝ √
1 + r2 − 2r cos θ
Znamo da su rješenja za elektrostatske probleme u biti rješenja Laplaceove jednadžbe. Pošto
mi imamo osnu simetriju gubimo ϕ ovisnost.
∇2 u = 0
(2.223)
unutar sfere - regularno u 0 R(r) = rl
1
izvan sfere - regularno u ∞ R(r) = l+1
r
(2.224)
Što smo ve´c riješili. Rješenja su nam:
Ukoliko uz to pridružimo i kutno rješenje Laplaceove jednadžbe dva mogu´ca, separirana
rješenja za ovaj elektrostatski problem su:
∞
∑
cl Pl (cos θ)
l=0
∞
∑
1
rl+1
, r>1
(2.225)
dl Pl (cos θ)rl , r < 1
l=0
Zbog kovergencije je cl = dl sigurno.
φ(⃗r) = √
1
1 + r2 − 2r cos θ
=
1
√
r
1+
1
1
r2
(2.226)
− 2 2r cos θ
Razvijemo u red potencija
∞
∑
f (n) (0) n
φ(⃗r) =
r
n!
n=0
(2.227)
konvergentno za r < 1. Kad idemo derivirati potenciju po r dobijemo upravo Legendreove
polinome.
∑
1
φ(⃗r) = 1 + xr + (3x2 − 1)r2 + · · · =
Pl (cos θ)rl
2
l≥0
 ∞
∑


1

, r>1
Pl (cos θ) rl+1





 l≥0
φ(⃗r) = 


∞

∑


l


 l≥0 Pl (cos θ)r , r < 1
91
(2.228)
(2.229)
2.3.3
Eksplicitno rješavanje Legendreove diferencijalne jednadžbe
(1 − x2 )y′′ (x) − 2xy′ (x) + λy(x) = 0
(2.230)
Pri cˇ emu je λ realna konstanta (uoˇcite da smo minus stavili u lambdu).
Pretpostavimo rješenje oblika
y(x) =
∞
∑
cn xn+α
(2.231)
n=0
∞
∑
cn [(n + α − 1)(n + α)]x
n+α−2
n=0
−
∞
∑
cn [(n + α − 1)(n + α) − 2(n + α) + λ]xn+α = 0 (2.232)
n=0
Za n = 0 imamo indicijalnu jednadžbu, a uz najvišu potenciju zα−2 :
c0 α(α − 1) = 0 → α1 = 0, α2 = 1
(2.233)
c1 α(α + 1) = 0 → α1 = 0, α2 = −1
(2.234)
Za n = 1: uz xα−1 :
Vidimo da je c1 = 0 za α = 1 i proizvoljan za α = 0 (isto za c0 )
Nakon namještanja suma, da bi imali iste potencije radimo rekurzivnu formulu:
cn [(n + α − 1)(n + α)] − cn−2 [(n + α − 2)(n + α − 1) + λ] = 0
(2.235)
Za α = 0 imamo:
(n − 2)(n − 1) + λ
cn−2 ,
n(n − 1)
Korjen α = 0 c´ e nas dovesti do op´ceg rješenja oblika:
cn =
y(x) = c0
∞
∑
c′n xn
n=paran
+ c1
n≥2
(2.236)
c′n xn
(2.237)
∞
∑
n=neparan
korjen α = 1 daje, oˇcito, neparan dio rješenja. Provjerimo konvergenciju (test omjerom):
′ n cn x (n − 2)(n − 1) − λ c′n−2 xn =
Rn = ′ n−2 = ·
cn−2 x n(n − 1)
c′n−2 xn x−2 (n − 2)(n − 1) − λ · |x|2
= n(n − 1)
(2.238)
Za Rn < 1 niz konvergira, tj. za |x| < 1, za bilo koju vrijenost λ. Za |x| = 1 ne možemo ništa
re´ci. Integralni test nam daje:
∫ M
∫ M
∫ M
t−2
dt
(t − 2)(t − 1) − λ
dt =
dt − λ
(2.239)
t(t − 1)
t
t(t − 1)
92
kako M → ∞
∫
M
t−2
dt → ∞
t
(2.240)
Oba niza, op´cenito, divergiraju za |x| = 1 (±1), no postoji iznimka: ako je λ = −l(l + 1), pri
cˇ emu l ∈ N0 , tada c´ e se jedan od dva niza prekinuti i time c´ e dati polinomno rješenje, dok c´ e
ostali biti divergentni.
Znaˇci imamo samo rješenje za |x| < 1, tj. −1 ≤ x ≤ 1, op´cenito, ali za λ = −l(l + 1) imamo
partikularno rješenje Frobenius oblika (Legendreov polinom). Fizikalni uvjeti traže da rješenje
bude analitiˇcko u |x| = 1.
P{ HxL
8
{=4
6
{=3
{=2
4
{=1
2
{=0
-2
1
-1
2
-2
-4
Slika 25: Prikaz prvih 4 Legendreovih polinoma
2.3.4
Operativno dobivanje Legendreovih polinoma - Rodriguesova formula
Kako bi odmah dobili Pl (x) bez da svaki put rješavamo diferencijalnu jednadžbu? Probajmo
derivirati Legendreovu DJ:
(1 − x2 )y′′ (x) − 2xy′ (x) + λy(x) = 0
−2xy′′ + (1 − x2 )y(1)′′ − 2xy′′ − xy′ + l(l + 1)y′ = 0
(1 − x2 )y(1)′′ − 4xy(1)′ + [l(l + 1) − 2]y(1) = 0
−2xy(1)′′ + (1 − x2 )y(2)′′ − 4y(1)′ − 4xy(2)′ + [l(l + 1) − 2]y(2) = 0
(1 − x2 )y(2)′′ − 6xy(2)′ + [l(l + 1) − 2 − 4]y(2) = 0
/′
/′
/′
(2.241)
−2xy(2)′′ + (1 − x2 )y(3)′′ − 6xy(3)′ − 6y(2)′ + [l(l + 1) − 2 − 4]y(3) = 0
(1 − x2 )y(3)′′ − 8xy(3)′ + [l(l + 1) − 2 − 4 − 6]y(3) = 0
I tako n puta deriviramo
(1 − x2 )y(n)′′ − 2(n + 1)xy(n)′ + [l(l + 1) − n(n + 1)]y(n) = 0
93
(2.242)
Definiramo:
Fn (x) := (1 − x2 )n y(n) (x)
(2.243)
Pa je
Fn′ (x) := n(1 − x2 )n−1 (−2x)y(n) (x) + (1 − x2 )n y(n)′ (x) =
= (1 − x2 )n−1 [(1 − x2 )y(n−1)′′ (x) − 2nxy(n−1)′ (x)] =
= (−1)(1 − x2 )n−1 y(n−1) (x)[l(l + 1) − n(n − 1)] =
= −[l(l + 1) − n(n − 1)]Fn−1 (x)
(2.244)
Što je analogon n-toj derivaciji. Definiramo pomo´cnu funkciju:
(
Gn (x) =
Fn(n) (x)
d
=
dx
)n−1
Fn′ (x) =
(n−1)
= −[l(l + 1) − n(n − 1)] Fn−1
(x) =
Gn−1
= −(l + n)(l − n + 1)Gn−1 =
(2.245)
= (−1)2 (l + n)(l + n − 1)(l − n + 1)(l − n + 2)Gn−2 =
= (−1)n [(l − n + 1) · . . . · l][(l + n) · . . . · (l + 1)]G0 (x) =
(l + n)!
l!
(l + n)!
= (−1)n
·
G0 (x) = (−1)n
y(x)
l!
(l − n)!
(l − n)!
Znaˇci G0 = F0(0) = y(x), tada je:
(
G(n)
n (x)
n=L
)l
]
d [
=
(1 − x2 )l y(l) (x)
dx
(2.246)
Gdje je y polinom koji je l puta deriviran: y(x) = Pl (x), upravo Legendreov polinom.
Time smo dobili Rodriguesovu formulu:
( )l
]
1 d [
Pl (x) = (−1) l
(1 − x2 )l
2 l! dx
l
(2.247)
Uzima se konkretna vrijednost od c0 takva da bude Pl (1) = 1 - norma.
Legendreovi polinomi imaju dobar paritet:
Pl (−x) = (−1)l Pl (x)
(2.248)
Takoder
¯ Legendreov polinom možemo zapisati u zatvorenoj formi:
Pl (x) =
1 ∑
l!
(2l − 2k)! l−2k
(−1)k
x
l
2 l! 0≤2k≤l
k!(l − k)! (l − 2k)!
Zatvorena forma nam daje prirodne granice: cˇ im imamo (−n)! suma prestaje!
94
(2.249)
2.3.5
Integralne reprezentacije i funkcija izvodnica Legendreovih polinoma
Sve specijalne funkcije imaju integralne reprezentacije.
1 (l)
f (x), f (x) = (x2 − 1)l
2l l!
I
f (ζ)
l!
(l)
f (x) =
dζ; ζ ∈ C
2πi γ (ζ − x)l+1
Pl (x) =
(2.250)
(2.251)
gdje je γ jediniˇcna kružnica. Uz ζ = x + Reiφ imamo
l!
f (x) =
2πi
∫
2π
(l)
0
[(x + Reiφ )2 − 1]l iφ
Re idφ
(Reiφ )l+1
(2.252)
Namjestimo podintegralnu funkciju tako da bi dobili sinus:
(x + Reiφ )2 − 1 = x2 + 2xR3iφ + R2 e2iφ − 1 =
[
]
[
]
1 − x2
1 − x2 −iφ
iφ
iφ
iφ
iφ
= Re Re −
+ 2x = Re Re −
e + 2x
Reiφ
R
(2.253)
Izabiremo R takav da je:
R=
√
1 − x2
(2.254)
Imamo:
∫ 2π [ ( √
)]l
1
l!
2i 1 − x2 sin φ − ix dφ =
Pl (x) = l ·
2 l! 2π 0
∫ 2π [ √
]l
il
1 − x2 sin φ − ix dφ
=
2π 0
(2.255)
Integralne reprezentacije su izrazi s kojim baratamo, rijetko se raˇcunaju. Znamo da je |x| < 1
pa je i |Pl (x)| < 1. Ocjenimo taj integral:
∫ 2π √
1
|Pl (x)| <
| 1 − x2 sin φ − ix|dφ
2π 0
√
√
2
| 1 − x sin φ − ix| = (1 − x2 ) sin2 φ + x2 ≤ 1
(2.256)
Ukoliko je sin2 φ = 1 korjen je jednak 1 što znaˇci da je naš izraz uvijek manji od 1. To
∑
ukazuje na cˇ injenicu da je red Pl rl sigurno konvergentan za x ∈ [−1, 1], |r| < 1.
Funkcija f (x) je bila oblika
∑
f (x) =
cl x 2
(2.257)
l≥0
Pri cˇ emu je cl funkcija izvodnica. Pišemo:
95
∞
∑
l=0
1
Pl (x)r =
2π
∫
2π
l
dφ
0
∫
∞
∑
(ir)l
]l
[√
1 − x2 sin φ − ix =
l=0
2π
dφ
1
=
√
2π 0 1 − ir[ 1 − x2 sin φ − ix]
I
1
dz
1
[√
] =
=
2π |z|=1 1 − ir 1−x2 (z2 − 1) − ix iz
=
(2.258)
2iz
I
dz
=
√
(z2 −1)
|z|=1 z − r 1 − x2
−
zrx
2
I
1
−2
dz
=
√
2πi r 1 − x2 |z|=1 z2 − 1 − 2 √1−xr 2 z
1
=
2πi
r 1−x
Imamo dva pola prvog reda:
√
1 + r2 − 2rx
z1 =
√
r 1 − x2
√
1 − rx + 1 + r2 − 2rx
z2 =
√
r 1 − x2
1 − rx −
(2.259)
No z2 nije unutar jediniˇcne kružnice. Rješimo integral pomo´cu reziduuma i imamo:
∞
∑
l=0
−2
Pl (x)r =
√
2πir 1 − x2
l
√


 uπr 1 − x2 
1
 = √
− √
1 + r2 − 2rx
1 + r2 − 2rx
(2.260)
Funkcija izvodnica nam je baza multipolnog razvoja.
Napomena: U scaniranoj verziji sam izveo rekurziju za Legendreov polinom, malo je podulji pa ga ne´cu ovdje izvoditi. Slobodno si pogledajte i pokušajte sami izvesti sljede´cu formulu:
xPl (x) =
l+1
l
Pl+1 (x) +
Pl−1 (x)
2l + 1
2l + 1
(2.261)
P-ovi su polinomijalna baza u [−1, 1], "operator x" ga rastavi.
2.3.6
Relacije ortogonalnosti za Legendreov polinom
∫
1
−1
Pn (x)Pm (x)dx =
2
δnm
2n + 1
Legendreovi polinomi su ortogonalni, ali nisu normirani.
Dokaz. Prvo c´ emo pokazati da za n , m integral ide u nulu.
96
(2.262)
[ n
][ m
]
1
1
d
d
2 n
2 m
Pn (x)Pm (x)dx =
(1 − x )
(1 − x ) dx =
n
m
n
dxm
−1
−1 2 n! 2 m! dx
][ m
]
∫ 1[ n
1
d
d
2 n
2 m
= n+m
(1 − x )
(1 − x ) dx =
2 n!m! −1 dxn
dxm
= parcijalna integracija =
[ n
]1
m−1
1
d
2 n d
2 m−1
= n+m
(1 − x ) m−1 (1 − x )
−
2 n!m! dxn
dx
−1
∫ 1 m−1
n+1
1
d
2 m−1 d
− n+m
(1
−
x
)
(1 − x2 )n+1 dx
2 n!m! −1 dxm−1
dxn+1
∫
∫
1
1
(2.263)
Prvi dio ide u nulu jer nemamo dovoljno dijelova da "ubije" derivaciju. Nakon što k puta
parcijalno integriramo drugi integral dobijemo nešto oblika:
∫ 1(
∼
−1
d
dx
)m−k
(
(1 − x )
2 m
d
dx
)n+k
(1 − x2 )n dx = 0
(2.264)
za k > n.
Za m > n kada deriviramo m puta u m − k se pojavi nula, ali n + k → n + m što je ve´ce od
pola n-tog stupnja.
Drugi dio pokazujemo za n = m što bi trebalo dati nešto. Pogledajmo što:
∫
1
−1
P2n (x)dx
(−1)n
= 2n
2 (n!)2
∫
(
1
(x − 1)
2
−1
∫
n
(−1)
= 2n
2 (n!)2 (2n)!
n
d
dx
|
)2n
(x2 − 1)n
{z
}
dx
sve što ostaje u nižim pot. =0 (2n)!
(2.265)
1
−1
(x2 − 1)n dx
In
Integral In raˇcunamo preko parcijalne integracije.
/′
/∫
u = (x2 − 1)n ,
dx = dv
2
n
In =
(x − 1) dx = du = n(x2 − 1)n−1 2xdx,
x=v
−1
∫ 1
1
= x(x2 − 1)n −2n
x2 (x2 − 1)n−1 dx =
∫
1
−1
=0
[∫
= −2n
−1
∫
1
−1
(x2 − 1)n dx +
]
1
−1
(x2 − 1)n−1 dx =
In
In−1
= −2nIn − 2nIn−1
97
=
(2.266)
Odnosno:
In =
∫
1
−1
P2n (x)dx
(−1)n
= 2n
2 (n!)2 (2n)!
(−1)n
= 2n
2 (n!)2 (2n)!
−2n
In−1
2n + 1
(2.267)
(2n)(2n − 2) · . . . · (2)
(−1)n I0 =
(2n + 1)(2n − 1) · . . . · 3 · 1
22n (n!)2 · 2 · (−1)n
2
·
=
(2n + 1)!
2n + 1
·
(2.268)
2.3.7
Pridružene Legendreove funkcije
Sada možemo pobliže promotriti sluˇcaj ukoliko nemamo osnu simetriju problema kod kutnog
djela Helmholtzove amplitudne jednadžbe, odnosno:
(
)
m2
2 ′′
′
(1 − x )y (x) − 2xy (x) − l(l + 1) +
y(x) = 0
(2.269)
1 − x2
Singulariteti su u x = ±1.
Pokušamo rješiti oko singularne toˇcke x = 1. Prvo napravimo supstituciju:
z = 1 − x, x = 1 − z ⇒ dx = −dz
(2.270)
Nakon supstitucije imamo:
(
)
m2
(2z − z )y (z) + 2(1 − z)y (z) − l(l + 1) +
y(z) = 0
2z − z2
2
′′
′
(2.271)
To c´ emo pokušati rješiti Frobeniusom. Pretpostavimo rješenje oblika:
y(z) =
∞
∑
ck zk+α
(2.272)
k=0
I uvrstimo u 2.271. Iz indicijalne jednadžbe dobijemo:
α2 =
m2
m
⇒α=± ,
4
2
α1 − α 2 ∈ N
(2.273)
Rješenja su:
y1 (z) =
∞
∑
m
ck (α1 )zk+ 2
k=0
y2 (z) = y1 (z) ln z +
∞
∑
k=0
Imamo dvije klase rješenja: za x = 1 i x = −1:
98
(2.274)
k− m2
dk (α2 )z
y(x) = (1 − x)m/2 f (x), za x = 1
y(x) = (1 + x)m/2 g(x), za x = −1
}
y(x) = (1 − x2 )m/2 u(x)
(2.275)
Pri cˇ emu je u(x) neka jednostavnija funkcija. Razvijamo oko ishodišta.
(1 − x2 )u′′ (x) − 2(m + 1)xu′ (x) + [−l(l + 1) − m(m + 1)]u(x) = 0
(2.276)
Rješenje pridružene Legendreove jednadžbe su naravno pridružene Legendreove funkcije
(polinomi) Pml (x).
2.3.8
Rodriguesova formula za pridružene Legendreovu funkciju
Ne´cu raditi izvod Rodriguesove formule, samo c´ u je navesti:
Pml (x) = (−1)m (1 − x2 )m/2
dm
Pl (x)
dxm
m+l
(−1)m+l
2 m/2 d
(1
−
x
)
(1 − x2 )l
2l l!
dxm+l
Prirodni raspon funkcije je |m| ≤ l.
Pml (x) =
m
P−m
l (x) = (−1)
2.3.9
(l − m)! m
P (x)
(l + m)! l
(2.277)
(2.278)
(2.279)
Integralna reprezentacija i relacije ortogonalnosti pridružene Legendreove funkcije
Integralna reprezentacija:
Pml (x)
Γ(l + m + 1)
=
πΓ(l + 1)
∫
π
(x +
√
x2 − 1 cos φ)l cos(mφ)dφ
(2.280)
0
ℜ(x) > 0, m = 0, 1, 2, . . .
Relacije ortogonalnosti:
∫
1
−1
′
Pml (x)Pml′ (x)dx =
2 (l + m)!
δll′
2l + 1 (l − m)!
(2.281)
2.3.10 Kugline funkcije
Kod rješavanja Helmholtzove amplitudne jednadžbe, ako spojimo kutni i azimutalni dio dobijemo kompaktniji zapis poznat kao kuglina funkcija:
√
2l + 1 (l − m)! m
(±)
Ylm
(θ, ϕ) =
Pl (cos θ)eimϕ
(2.282)
4π (l + m)!
99
Norma:
∫
∫
2π
π
dϕ
0
∗
dθ sin θYlm
(θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) = δll′ δmm′
(2.283)
0
Eksplicitno normiranje se katkad piše:
I
|Ylm (θ, ϕ)|2 dΩ = 1
(2.284)
Pri cˇ emu je dΩ prostorni kut.
Kugline funkcije se pojavljuju prilikom rješavanja Schrödingerove jednadžbe u sfernom
koordinatnom sustavu, ili kod valnih funkcija atomskih orbita vodikovog atoma.
Kugline funkcije možemo smatrati kao bazu kvadratno integrabilnih funkcija na jediniˇcnoj
sferi - svaka se kvadratno integrabilna funkcija da razviti po sferi.
Za bazu je bitnije da je kompletna nego da je ortonormirana. Za to nam treba sljede´ci
teorem.
2.3.11 Weierstrassov teorem o kompletnosti polinoma
Teorem 39. Neka je f (x) neprekidna funkcija na [a, b]. Tada postoji niz polinoma pn (x) takav
da je
f (x) = lim pn (x)
n→∞
(2.285)
i to uniformno na [a, b].
Pitamo se:
?
pn (x) = pn−1 (x) + cn pn (x)
(2.286)
Pogledajmo sljede´ci korolar.
Korolar 3. Neka je f neprekidna na [a, b]. Tada je f okomita na svaki polinom p ⇒ f ≡ 0 na
[a, b]. Odnosno
( f, p) = 0, ∀p
(2.287)
Teorem 40. Ako je f neprekidna na [−1, 1] onda je
∫
1
−1
Pml (x) f (x)dx = 0, ∀l ≥ m ⇒ f = 0 na [−1, 1]
(2.288)
Vidimo da su pridružene Legendreove funkcije kompletne pa su i kugline funkcije kompletne.
Napomena: dokazi su u mom scanu, možete cˇ ak na´c negdje na internetu ili u nekim matematiˇckim knjigama.
100
2.3.12 Sturm-Liouvilleov teorem
Separirane varijable u PDJ su Sturm-Liouvilleovog tipa
[
]
d
dy
p(x)
− s(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0
(2.289)
dx
dx
y je funkcija slobodne varijable x koja mora zadovoljiti neke rubne uvjete. r(x) se katkad
naziva težinska funkcija. p(x), s(x) i r(x) su neprekidne.
Vrijednost λ nije specificirana. Nalaze´ci vrijednosti λ, za koje postoji netrivijalno rješenje
koje zadovoljava rubne uvjete, je dio problema koji se naziva Sturm-Liouvilleov problem (S-L).
Vrijednosti λ, kada postoje, nazivaju se svojstvenim vrijednostima (eigenvalues ili eigenvectors) problema rubnih uvjeta. Odgovaraju´ca rješenja zovemo svojstvene funkcije (eigenfunctions).
Definiramo Sturm-Liouvillov operator:
[
]
d
d
L=
p(x)
− s(x)
dx
dx
Tada nam S-L problem postaje:
L(y) = −λr(x)y(x)
(2.290)
(2.291)
Sada vidimo od kuda dolazi naziv za λ.
Nas zanima pod kojim c´ e op´cenitim uvjetima, rješenja za razne λ, dati medusobno
ortogo¯
nalne funkcije?
Tvrdimo:
Ako je
L(yn (x)) = −λn r(x)yn (x)
L(ym (x)) = −λm r(x)ym (x), λn , λm
(2.292)
Tada slijedi
∫
b
yn (x)ym (x)r(x)dx = 0
(2.293)
a
i
p(x)[ym y′n − y′m yn ] = 0
gdje je r(x) težinska funkcija i ima smisla samo za r(x) > 0.
Detaljan dokaz imate u scaniranom obliku.
Ortogonalnost imamo ako postavimo posbne rubne uvjete.
101
(2.294)
• Dirichletov rubni uvjet: y(a) = y(b) = 0
• Neumannov rubni uvjet: y′ (a) = y′ (b) = 0
• Interpolacija ta dva: a1 y(a) + b1 y′ (a) = 0 i a2 y(b) + b2 y′ (b) = 0
• Cikliˇcki rubni uvjet: specijalni sluˇcaj mješanih rubnih uvjeta
• Sama DJ nam garantira ortogonalnost
Ovi uvjeti c´ e nam dati diskretni spektar, no ne´ce garantirati kompletnost.
Teorem 41. Svojstvene funkcije S-L problema na [a, b] cˇ ine potpun skup u L2 ([a, b]).
Tražimo spektar:
∫
∫
b
b
ym (L(ym ))dx =
a
yn (L(yn ))dx
(2.295)
a
Imamo skalarni produkt (pozitivan po definiciji). Takoder
¯ svojstvene vrijednosti su realne.
(ym , Lym ) = (yn , Lyn )
(2.296)
Kompleksni operator koji je sam sebi adjunktan se naziva Hermitskim operatorom
ai j = a∗i j
(2.297)
Teorem 42. Svojstvene vrijednosti Hermitskih operatora su realne:
Lφ = −λrφ
(2.298)
(φ, Lφ) = (Lφ, φ) ⇒ (φ, −λrφ) = (−λrφ, φ)
(2.299)
Želimo pokazati da je λ ∈ R.
Dokaz. Eksplicitno:
∫
b
∗
∗
λ
φ rφdx = λ
a
∫ b
∗
(λ − λ )
r(x)|φ|2 dx = 0
|a {z
}
∫
b
rφ∗ φdx
a
(2.300)
>0
Što za sobom povlaˇci:
λ = λ∗
(2.301)
Operator ima realne svojstvene vrijednosti (jer ako je kompleksni broj jednak svom kompleksnokonjugiranom paru, onda je on realan broj).
102
2.3.13 Besselove funkcije
Ukoliko promatramo valnu jednadžbu, odnosno Helmholtzovu amlpitudnu jednadžbu u cilindriˇcnom koordinatnom sustavu imali bi:
(∇2 + k2 )u(t, ϕ, z) = 0
(2.302)
(
)
1 ∂
∂
1 ∂2
∂2
∇ =
r
+ 2 2+ 2
r ∂r ∂r
r ∂ϕ
∂z
(2.303)
Laplaceov operator u CKS:
2
Tada nam jednadžba 2.302 postaje:
(
)
1 ∂ ∂u
1 ∂2 u ∂2 u
r
+ 2 2 + 2 + k2 u = 0
r ∂r ∂r
r ∂ϕ
∂z
(2.304)
Separacijom varijabli u(r, ϕ, z) = R(r)Φ(ϕ)Z(z) dobijemo:
R′′ 1 R′ 1 Φ′′ Z ′′
+
+ 2
+
+ k2 = 0
R
r R r Φ
Z
Prva konstanta separacije je za Z dio, a druga za Φ dio:
Z ′′
= λ1 ,
Z
Φ′′
= −m2
Φ
(2.305)
(2.306)
Ostaje nam:
(
)
1 ′
m2
2
R + R + λ1 + k − 2 R = 0
r
r
′′
(2.307)
Uvodimo prirodnu bezdimenzionalnu supstituciju:
x = kr ⇒ dx = k · dr
(2.308)
Ova supstituciju možemo povezati sa valnim brojem k(dimenzije [m−1 ]).
Nakon supstitucije imamo:
(
)
2
k2 ′
2
2k
k R (x) + R (x) + λ1 + k − m 2 R(x) = 0
x
x
2 ′′
(2.309)
Ako nam je λ1 = 0 imamo dvodimenzionalni sluˇcaj (jer smo time maknuli Z ovisnost).
Tada nam druga separacijska konstanta postaje m → µ ∈ R. Podijelimo s k2 cijelu DJ i imamo:
(
)
µ2
1 ′
R (x) + R (x) + 1 − 2 R = 0
x
x
′′
(2.310)
I dobili smo Besselovu diferencijalnu jednadžbu.
Da smo radili u sfernom koordinatnom sustavu (do cˇ ega c´ emo do´ci kasnije) dobili bi sfernu
Besselovu jednadžbu. Ako ne zanemarimo separacijsku konstantu λ1 dobijemo modificiranu
Besselovu jednadžbu (isto c´ u do´ci do toga).
103
2.3.14 Besselova jednadžba indeksa µ
(
)
1 ′
µ2
y (x) + y (x) + 1 − 2 y(x) = 0,
x
x
′′
µ∈R
(2.311)
Pretpostavimo rješenje Frobenius oblika:
y(x) =
∞
∑
an xn+α
(2.312)
n=0
Tada nam jednadžba 2.311 postaje:
∞
∑
∞
∑
[
]
an (n + α − 1)(n + α) + (n + α) − µ2 xn+α−2 +
an xn+α = 0
n=0
(2.313)
n=0
Pišemo indicijalnu jednadžbu (za n=0, uz najnižu potenciju):
/
a0 [(α − 1)α + α − µ2 ] = 0 : a0 , 0
α2 + α − α − µ2 = 0
α2 = µ2 ⇒ α1 = µ,
(2.314)
α2 = −µ
α1 − α2 = 2µ
(2.315)
Oˇcekujemo problem kada je 2µ ∈ Z, no u biti imamo problem za µ ∈ Z. Pomiˇcemo indeks
zadnje sume i pišemo rekurzivnu formulu:
[
]
an (n + α − 1)(n + α) + (n + α) − µ2 + an−2 = 0
]
[
an (n + α)2 − µ2 + an−2 = 0
−1
an =
an−2 ,
(n + α)2 − µ2
(2.316)
n≥2
Pogledajmo samo indeks pomaknut za 1 (xα−1 ):
[
]
a1 α(α + 1) + (α + 1) − µ2 = 0
[
]
a1 (α + 1)2 − µ2 = 0
(2.317)
U ovom sluˇcaju a1 , 0 a a0 = 0, no problem je što je za α = ±µ a1 = 0 sigurno. Za 2µ < Z.
Znaˇci imamo samo parne potencije (neparne propadaju). Op´ca rekurzija je:
an =
−1
an−2 ,
(n + α − µ)(n + α + µ)
n≥2
(2.318)
Za α = µ je:
an =
−1
an−2
n(n + 2µ)
104
(2.319)
Može se i pisati (kao što je profesor napravio na predavanjima):
an+2 =
−1
an
(n + 2)(n + 2 + 2µ)
(2.320)
Znaˇci n nam je paran pa pišemo: n = 2k
a2k =
−1
a2k−2
2k(2k + 2µ)
(2.321)
Da bi mogli napisati rekurziju preko a0 cˇ lana raspišimo prvih par cˇ lanova rekurzije (da
dobijemo "osje´caj" što bi trebalo ispasti).
−1
−1
a0 =
a0
2(2 + 2µ)
2 · 2(1 + µ)
1
−1
k = 2 a4 =
a2 =
a0
4(4 + 2µ)
2 · 4(2 + 2µ)(4 + 2µ)
···
k = 1 a2 =
a2k =
(2.322)
(−1)k
a0
22k k!(1 + µ)(2 + µ) · · · (k + µ)
2k k! su parni faktorijeli (2 · 4 · . . . · 2k).
2k je ponavljanje dvojke kod svakog cˇ lana.
Γ(µ + k + 1) = (µ + k)Γ(µ + k) = (µ + k) · . . . · Γ(µ + 1).
Uz cˇ lan a0 :
a0 =
1
2µ Γ(µ
(2.323)
+ 1)
koji smo posebno izabrali tako da bi normirali Besselovu funkciju, op´ci cˇ lan postaje:
a2k =
(−1)k
22k+µ k!Γ(µ + k + 1)
(2.324)
Prvo rješenje Besselove diferencijalne jednadžbe je Besselova funkcija prve vrste (slika
26):
Jµ (x) =
∞
∑
k=0
( x )2k+µ
(−1)k
k!Γ(µ + k + 1) 2
Envelopa Besselove funkcije prve vrste trne kao
√1
x
(asimptotski)
1
1
1
R(r) ∼ √ Jl+1/2 (kr) ∼ √ = √
x
kr
kr
Svi multipoli trnu s 1r . Graf ove funkcije nas podsje´ca na gušeno titranje.
Za 2µ < Z imamo dva linearno nezavisna rješenja J±µ (x).
105
(2.325)
(2.326)
1.0
1
0.5
x
5
10
15
20
25
x
J0 HxL
-0.5
Slika 26: Slika Besselove funkcije prve vrste i njene envelope
No što ako je µ polucijeli broj? Tada je 2µ neparan cijeli broj. Rekurzivna formula definira
sve parne koeficijente preko a0 kao i za 2µ < Z, no za neparne se koeficijente raspadne.
Za npr. µ = 12 nam neparni koeficijenti ne´ce nužno biti 0. Ipak tu možemo proizvoljno staviti a2µ = 0 i J−µ (x) se može definirati.
Što ako je µ ∈ Z - pokušavamo saˇcuvati neprekidnost u J−µ (x)s obzirom na µ. Problem
nastaje kod a0 . Za µ < Z smo imali:
J−µ (x) =
∞
∑
k=0
( x )2k−µ
(−1)k
k!Γ(k − µ + 1) 2
1
a0 = −µ
2 Γ(1 − µ)
(2.327)
Γ(−µ + 1) = ∞ kad god je µ ∈ Z > 0 (zbog definicije gama funkcije i njena podruˇcja
analitiˇcnosti), dok je za µ = 0 Jµ (x) = J−µ (x) i moramo drugdje tražiti rješenje.
Ako se držimo formule:
a2k =
(−1)k
k!Γ(k − µ + 1)22k−µ
(2.328)
uz logiˇcnu konvenciju da je a2k = 0 za k < µ (jer Γ(k − µ + 1) ima pol). Ovo c´ e oˇcuvati
formulu za J−µ (x) kao i neprekidnost u odnosu na µ, ali c´ e sumacija poˇceti od k = m (pomak
ishodišta).
∞
∑
J−m (x) =
(−1)k
k=m
x2k−m
k!Γ(k − m + 1)22k−m
(2.329)
Promijenimo "dummy" indeks s k = k′ + m
J−m (x) =
∞
∑
k′ =0
(−1)
k′ +m
′
x2k +m
k′ !Γ(k′ + m + 1)22k′ +m
106
(2.330)
No to nije ništa drugo do (−1)m Jm (x).
Oˇcuvali smo neprekidnost J−µ (x) no izgubili smo linearnu zavisnost!
Ta znaˇcajka dolazi od cˇ injenice da, kada se rješenja indicijalne jednadžbe razlikuju za cijeli
broj, jedno rješenje Besselove diferencijalne jednadžbe može imati logaritamski singularitet pa
drugo rješenje može biti oblika:
y2 (x) = log x
∞
∑
an x
n+α
n=0
+
∞
∑
am xm+β
(2.331)
m=0
Drugo rješenje se zove Besselova funkcija druge vrste ili Neumannova funkcija.
Nµ (x) = Aµ Jmu (x) + Bµ J−µ (x)
(2.332)
U knjigama se može još na´ci i oznaka Yµ (x) za Neumannovu funkciju. Graf je sljede´ci:
N0 HxL
0.4
0.2
5
10
15
20
25
x
-0.2
-0.4
-0.6
Slika 27: Slika Neumannove funkcije prve vrste
2.3.15 Svojstva, funkcija izvodnica i integralna reprezentacija Besselove funkcije
Svojstva Besselove funkcije:
2µ
Jµ (x)
x
Jµ−1 (x) − Jµ+1 (x) = 2Jµ′ (x)
µ
Jµ+1 (x) = Jµ (x) + Jµ′ (x)
x
µ
Jµ−1 (x) = Jµ (x) − Jµ′ (x)
(
)m ( x
)
Jµ (x)
Jµ+m (x)
1 d
= (−1)m µ+m
µ
x dx
x
x
(
)m
1 d
(xµ Jµ (x)) = xµ−m Jµ−m (x)
x dx
Jµ−1 (x) + Jµ+1 (x) =
107
(2.333)
Funkcija izvodnica:
e
1
2 x(t−1/t)
∞
∑
=
Jn (x)tn ,
∀t ∈ C
(2.334)
n=−∞
To možete dokazati tako da raspišete eksponencijalnu funkciju u red.
Funkcija izvodnica:
1
Jn (z) =
π
∫
π
cos(z sin ϕ − nϕ)dϕ,
z∈C
(2.335)
0
Asimptotsko ponašanje:
Za velike |x| i fiksni µ:
(
2
Jµ (x) ≈
πx
)1/2 [
( )] (
)
1
1
µπ π )
cos x −
−
+O
∼ √
2
4
x
x
(
(2.336)
2.3.16 Svojstva Neumannove funkcije
Nmu (x) je linearno nezavisna o Jµ (x) (Bµ , 0)
Za x ≫ (r ≫ λ) Nmu (x) je 90◦ izvan faze sa Jµ (x).
Zahtjevamo:
(
2
N±µ (x) ≈
πx
)1/2
(
)
1
µπ π )
sin x −
−
+ o 3/2
2
4
x
(
(2.337)
Želimo specijalnu linearnu kombinaciju koja c´ e trajno ostati izvan faze za 90◦ (ovo gore je
asimptotski prikaz u malo o notaciji).
Kako dobiti Aµ i Bµ ? Rastavimo to kao trigonometrijski problem:
(
(
(
µπ π )
µπ π )
µπ π )
Aµ cos x −
−
+ Bµ cos x +
−
= sin x −
−
(2.338)
2
4
2
4
2
4
Rastavimo na sin(x − π/4) i sin(µπ/2) i gledamo vektorsku jednadžbu koja je razapeta
sin(x − π/4) i cos(x − π/4) - vektori baze.
Aµ = cot(µπ)
Bµ = −
1
sin(µπ)
(2.339)
Tada Neumannovu funkciju možemo pisati kao:
Nµ =
cos(µπ)Jµ (x) − J−µ (x)
sin(µπ)
108
(2.340)
Što ako je µ = m ∈ Z? Tada nam je sinus jednak nuli, što nikako nije dobro.
}
0
J−m (x) = (−1)m Jm (x)
Nµ (x) ∼
m
cos(mπ) = (−1)
0
(2.341)
Raˇcunamo limes (lim ) i koristimo L’Hospitalovo pravilo:
µ→m
′
−π sin(µπ)Jµ (x) + cos(µπ)Jµ′ (x) − J−µ
(x)
Nm (x) = lim Nµ (x) =
=
µ→m
π cos(µπ)


∂J
(x)

1  ∂Jµ (x) −µ
= lim 
− (−1)m

µ→m π
∂µ µ=m
∂µ µ=m 
(2.342)
Kao što je sinus linearno nezavisan o kosinusu tako i Nµ (x) mora biti linearno nezavisna o
Jµ (x). Kad µ → m Jµ i J−µ se poˇcnu poklapati, a mi smo namjestili da je Jµ 90◦ izvan faze jedino što se može desiti je logaritamski singularitet u ishodištu.
Za x ≫ možemo oˇcekivati pomak u fazi - asimptotski dobijemo Neumannovu funkciju.
Asimptotsko ponašanje:
Za velike |x| i fiksni µ:
(
2
Nµ (x) ≈
πx
)1/2 [
( )] (
)
1
1
µπ π )
sin x −
−
+O
∼ √
2
4
x
x
(
(2.343)
1.0
0.8
0.6
N0 HxL
J0 HxL
0.5
N1 HxL
N2 HxL
J1 HxL
0.0
0.4
x
2
4
6
8
10
12
J2 HxL
0.2
2
4
6
8
10
12
x
-0.5
-0.2
-1.0
-0.4
Slika 28: Prve tri Besselove funkcije
Slika 29: Prve tri Neumannove funkcije
2.3.17 Sferne Besselove funkcije
Vratimo se na Helmholtzovu amplitudnu jednadžbu i njeno rješavanje u sfernom koordinatnom
sustavu (prije nas je to vodilo na Legendreove polinome).
[
]
2 ′
l(l + 1)
′′
2
R (r) + R (r) + k −
R(r) = 0
(2.344)
r
r2
109
Koristimo bezdimenzionalnu supstituciju koju smo koristili kod Besselove dif. jednadžbe:
x = kr ⇒ dx = kdr
(2.345)
Tada imamo:
[
]
2 ′
l(l + 1)
y (x) + y (x) + 1 −
y(x) = 0
x
x2
′′
(2.346)
Da nema 2 kod prve derivacije imali bi Besselovu DJ.
Napravimo novu supstituciju:
u
y(x) = √
x
1
y′ = u′ x−1/2 − ux−3/2
2
(2.347)
3
y′′ = u′′ x−1/2 − u′ x−3/2 + ux−5/2
4
Nakon podužeg raspisivanja (koje vi slobodno napravite da se uvjerite u toˇcnost moje jednadžbe ;) ) imamo:
[
]
1 ′
(l + 1/2)2
′′
u + u + 1−
u=0
(2.348)
x
x2
Ono što smo dobili je u biti Besselova diferencijalna jednadžba reda l + 12 .
Najop´cenitije rješenje je:
al
bl
u(x) = √ Jl+1/2 (x) + √ Jl−1/2 (x)
x
x
Dok su specifiˇcna rješenja:
√
π
jl (x) =
Jl+1/2 (x) Sferna Besselova funkcija
2x
√
π
nl (x) =
Nl+1/2 (x) Sferna Neumannova funkcija
2x
(2.349)
(2.350)
(2.351)
I sferna i obiˇcna Neumannova funkcija divergiraju u ishodištu, što implicira da nije povoljna
za npr. promatranje unutrašnjeg rješenja problema em-zraˇcenja, no za vanjsko je prihvatljivo
rješenje.
Za l=0 imamo:
y′′ +
2′
+y=0
y
Ako to rješavamo Frobeniusom dobijemo rješenja:
110
(2.352)
j0 (x) =
sin x
,
x
n0 (x) = −
cos x
x
(2.353)
j0 HxL
1.0
n0 HxL
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
5
-5
5
-5
10
15
15
20
x
-0.2
x
20
10
-0.4
-0.2
Slika 30: Sferna Besselova funkcija
Slika 31: Sferna Neumannova funkcija
Pomo´cu tih rješenja možemo napisati operativne formule za sferne Besselove funkcije:
(
1 d
jl (x) = (−1) x
x dx
l l
)l
j0 (x)
(2.354)
(
)l
1 d
nl (x) = (−1) x
n0 (x)
x dx
l l
(2.355)
Nas zanima što se dešava s višim multipolima, odnosno kako se ponašaju asimptotski sferne
funkcije? Dominantno asimptotsko ponašanje je ono koje najsporije pada.
(
1
nπ )
jl (x) ∼ sin x −
x
2
(
1
nπ )
nl (x) ∼ − cos x −
x
2
(2.356)
(2.357)
i za sfernu Besselovu i za sfernu Neumannovu pada kao x−1 .
0.6
1.0
0.8
0.4
j0 HxL
0.6
n0 HxL
n1 HxL
0.2
n2 HxL
j1 HxL
0.4
0.0
2
4
6
8
10
12
x
j2 HxL
0.2
-0.2
0.0
2
4
6
8
10
12
x
-0.4
-0.2
-0.6
Slika 32: Prve tri sferne Besselove funkcije
Slika 33: Prve tri sferne Neumannove funkcije
111
Uvjet za sferne Besselove funkcije (prve i druge vrste) mora biti da je x ≫ n(n + 1)/2. Iz
asimptotskih vrijednosti vidimo da su jl (x) i nl (x) pogodne za opis stojnih sfernih valova (za
putuju´ce sferne valove koristimo sferne hankelove funkcije)[1].
2.3.18 Modificirane Besselove funkcije
Pogledajmo sljede´ci problem:
Imamo konaˇcni cilindar radijusa a i duljine L. Postaljamo uvjet da funkcija išˇcezava na bazama cilindra, dok je na plaštu konstantna.
Tražimo stacionarno stanje, odnosno rješenje Laplaceove diferencijalne jednadžbe:
∇2 ψ = 0
Pošto se radi o cilindru, prirodno je gledati problem u CKS:
(
)
1 ∂ ∂ψ
1 ∂2 ψ ∂2 ψ
r
+ 2 2 + 2 =0
r ∂r ∂r
r ∂ϕ
∂z
(2.358)
(2.359)
uz vjete:
ψ(r, ϕ, 0) = ψ(r, ϕ, L) = 0
(2.360)
ψ(r, ϕ, z) = R(r)Φ(ϕ)Z(z)
(2.361)
/
1
1
R′′ ΦZ + R′ ΦZ + 2 RΦ′′ Z + RΦZ ′′ = 0 · (RΦZ)−1
r
r
R′′ 1 R′ 1 Φ′′ Z ′′
+
+
+
=0
R
r R r2 Φ
Z
(2.362)
Spearacija konstanti:
Uvodimo separacijske konstante:
Z ′′ = λ1 Z
Φ′′ = λ2 Φ
1
1
R′′ + R′ + 2 (λ2 + r2 λ1 )R = 0
r
r
(2.363)
(2.364)
Da bi Z bio 0 u 0 i L, mora vrijediti:
λ1 = −
n2 π2
L2
(2.365)
i
λ2 = −m2
112
(2.366)
Odnosno rješenje za Z dio je:
Z(z) = sin
nπ
z
L
(2.367)
Tada nam radijalni dio postaje:
(
)
2 2
1 ′ 1
2
2n π
R + R + 2 −m − r 2 R = 0
r
r
L
Uvodimo prvu supstituciju:
′′
(2.368)
nπ
nπ
r ⇒ dx =
dx, y(x) = R(r)
(2.369)
L
L
Pa nam jednadžba za radijalni dio prelazi u
(
)
1 ′
m2
′′
y (x) + y (x) + −1 − 2 y(x) = 0
(2.370)
x
x
Ponovo nas vodi na Besselovu jednadžbu, no ovaj put nam smeta −1. Supstituiramo:
x=
z = ix ⇒ dz = idx,
u(z) = y(x)
(2.371)
I konaˇcno dobivamo modificiranu Besselovu jednadžbu:
(
)
1 ′
m2
′′
u (z) + u (z) + 1 − 2 u(z) = 0
z
z
Ova jednadžba je oblikom ista kao i Besselova, samo je z = ix ∈ C.
(2.372)
Rješenje c´ e biti modificirana Besselova i Neumannova funkcija:
Iµ (x) =
1
Jµ (ix)
iµ
Modificirana Besselova funkcija
(2.373)
U obliku sume:
Iµ (x) =
∞
∑
k=0
( x )2k+µ
1
k!Γ(k + µ + 1) 2
(2.374)
π I−µ (x) − Iµ (x)
Modificirana Neumannova funkcija
2 sin(µπ)
Katkad se za njih kaže da su hiperbolne Besselove funkcije.
Kµ (x) =
(2.375)
Vratimo se na poˇcetni problem cilindra:
∑
nm
Rnm (r)Φm (ϕ)Zn (z) =
∑∑[
Anm Im
( nπr )
+ Bnm Km
L
(
[
]
nπz )
· am cos(mϕ) + bm sin(mϕ) · sin
L
n≥1 m≥1
L
( nπr )]
·
(2.376)
Ukoliko imamo osnu simetriju → m = 0. Ako gledamo rješenje unutra cilindra imamo:
Ψ(r, ϕ, z) = Ψ0 .
113
Ψ=
∞
∑
An0 I0
( nπr )
L
n≥1
+ Bn0 K0
( nπr )
L
· sin
( nπz )
L
(2.377)
=0
koeficijenti
Drugi cˇ lan propada jer modificirana Neumannova funkcija (kao sve Neumannove) divergira
u 0.
Ψ0 =
∞
∑
An0 I0
( nπa )
L
n≥1
(
)
( nπz ) / ∫ L
kπz
sin
·
sin sin
dz
L
L
0
(2.378)
Tražimo koeficijente razvojau red (obiˇcan Fourier) pomo´cu relacija ortogonalnosti:
∫
L
0
An0 I0
( nπa )
L
(
)
∞
( nπa ) L
∑
kπz
Ψ sin
dz =
An0 I0
δnk
L
L
2
n≥1
∫
( nπz )
2 L
=
Ψ0 sin
dz =
L 0
L
{
0,
n = 2l, l ∈ Z
Ψ0 [2 − 2 cos(nπ)]
=
=
4Ψ0
, n = 2l + 1
nπ
(2l+1)π
(2.379)
(2.380)
Pa nam je koeficijent:
4Ψ0
Al0 =
I0
2l+1
)
( (2l+1)πa
(2.381)
L
Odnosno rješenje problema:
(
( (2l+1)πr )
)
∞ sin (2l+1)πz
∑
I
0
4Ψ0
L
L
Ψ=
· ( (2l+1)πa )
π l≥1
2l + 1
I0
L
(2.382)
Na plaštu za r = a se dobije red koji jako sporo trne, što i nije cˇ udno jer je rubni uvjet
idealiziran. Za r < a imamo gušenje tipa exp(−k(a − r)).
114
2.3.19 Asimptotsko ponašanje modificiranih Besselovih funkcija
Iµ (x) ∼ √
(
1
1
)
e + o 3/2
x
2πx
Dominantno eksponencijalno ponašanje (slika 34).
√
( −x )
π −x
e
Kµ (x) ∼
e + o 3/2
2x
x
x
(2.383)
(2.384)
Ponovo eksponencijalno, no ovaj put trnu´ce ponašanje (slika 35).
2.0 ´ 108
1.5 ´ 108
0.015
I0 HxL
1.0 ´ 108
0.010
5.0 ´ 107
0.005
5
10
15
20
25
Slika 34: Modificirana Besselova funkcija
K0 HxL
5
10
15
20
25
Slika 35: Modificirana Neumannova funkcija
115
x

(a+5) 2

null

1.1 Neodre ¯deni integral

Lopitalova pravila

Mapa procesa 2

Osnovni podaci Ime: Vedad Pašic Kabinet: PMF 313 Email: vedad

NAPOMENA: Kada je rok određen po danima, dan u koji

Granične vrijednosti i neprekidnost funkcija jedna

Nizovi - Front Slobode

Banach–Tarskijev paradoks

Sedam it – Sigurnosna rješenja

Državna matura

Uvođenja kontrolinga u tvrtku – IT perspektiva

Записник са заједничке сједнице Синдикалног одбора и Управе

Uvod u funkcije više promjenljivih i parcijalne izvode

Dzevad-Koordinatni sistemi u geodeziji

Ortogonalni latinski kvadrati i konačne projektivne - Math.e

1 Uvod 2 Ciklometrijske funkcije

Уџбеник

Uvodno predavanje Robert Manger, ožujak 2011

Topološka svojstva prostora distribucija

Predavanja iz Lineara algebra 2, 2014