Matematika Osnovna razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2014. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Osnovna razina Izdanje: 2. izdanje Urednik: Ivan Jurišić Voditelj projekta: Domagoj Mak Stručni recenzent: doc. dr. sc. Petar Javor Nakladnik: Algebra d.o.o., 2014. Za nakladnika: mr.sc. Mislav Balković Mjesto i godina izdanja: Zagreb, 2014. www.drzavnamatura.hr [email protected] U ovom izdanju korišteni su zadaci prošlih rokova državne mature, Nacionalnog centra za vanjsko vrednovanje obrazovanja koji su javno objavljeni i dostupni na www.ncvvo.hr, uz odobrenje NCVVO-a. Sva prava pridržana. Niti jedan dio ove knjige ne smije se reproducirati ili prenositi u bilo kojem obliku, niti na koji način. Zabranjeno je svako kopiranje, citiranje te upotreba knjige u javnim i privatnim edukacijskim organizacijama u svrhu organiziranih školovanja, a bez pisanog odobrenja nositelja autorskih prava. Copyright © Algebra d.o.o. Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Str. 1 SADRŽAJ 1. POGLAVLJE: BROJEVI I ALGEBRA ............................................................................................................................................................ 3 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q i R.................................................................................................................................................. 4 1.2 Elementarno računanje ..................................................................................................................................................... 20 1.3 Postotci i omjeri ................................................................................................................................................................... 41 1.4 Algebarski izrazi i algebarski razlomci ......................................................................................................................... 55 1.5 Mjerne jedinice ..................................................................................................................................................................... 69 2. POGLAVLJE: 2.1 FUNKCIJE ........................................................................................................................................................................ 83 Definicija funkcije ................................................................................................................................................................ 84 2.2 Linearna funkcija ................................................................................................................................................................. 90 2.3 Kvadratna funkcija .............................................................................................................................................................. 99 2.4 Eksponencijalna funkcija s bazom 10 ......................................................................................................................... 117 3. POGLAVLJE: JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE......................................................................................................................................... 121 3.1 Linearne jednadžbe ........................................................................................................................................................... 122 3.2 Linearne nejednadžbe ...................................................................................................................................................... 128 3.3 Kvadratne jednadžbe........................................................................................................................................................ 134 3.4 Jednostavnije eksponencijalne jednadžbe ................................................................................................................. 142 3.5 Jednostavniji sustavi linearnih i/ili kvadratnih jednadžbi .................................................................................... 146 4. POGLAVLJE: 4.1 GEOMETRIJA ................................................................................................................................................................. 157 Elementarna geometrija likova u ravnini .................................................................................................................. 158 4.2 Prizma, piramida, valjak, stožac, kugla ...................................................................................................................... 183 4.3 Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini................................................................................................................... 195 4.4 Jednadžba pravca .............................................................................................................................................................. 215 5. POGLAVLJE: MODELIRANJE .............................................................................................................................................................. 231 1. poglavlje: Brojevi i algebra U ovom poglavlju naučit ćete: o skupovima N, Z, Q, R uspoređivanje brojeva intervale postotke i omjere računati s algebarskim izrazima i razlomcima pretvarati mjerne jedinice računati te kako koristiti kalkulator Str. 4 1. poglavlje: Brojevi i algebra 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q i R 1.1.1 Ponavljanje 1.1.1.1 Pojam skupa i osnovne skupovne operacije Skup je osnovni matematički pojam koji se ne definira, ali je intuitivno jasan (objedinjuje objekte koji imaju neka zajednička svojstva). Primjer 1. Skup svih polaznika ovog tečaja. Skup svih državljana Hrvatske. Skup svih višekratnika broja 3. Skupove označavamo velikim slovima abecede: , , , , . . .. te oznakom . Unutar vitičastih zagrada ispisujemo članove koji pripadaju skupu ili svojstvo koje zadovoljavaju članovi (elementi) skupa. Činjenicu da broj 1 pripada skupu A zapisujemo 1 ∈ i čitamo: „1 je element skupa A“. Činjenicu da broj 2 ne pripada skupu B zapisujemo 2 ∉ i čitamo: „2 nije element skupa B“. Za dva skupa ako je svaki element skupa i kažemo da su jednaka i pišemo skupa , odnosno ako je svaki element skupa ujedno i element ujedno i element skupa , tj. ako ti skupovi sadrže sve iste elemente. Ako skupovi nisu jednaki, kažemo da su različiti i pišemo Primjer 2. 1,3,5,7,9 ∈ : : 4 3 U primjeru 2. skup , 0 10 š . ž 4 3 10 0 zadan je ispisivanjem svih njegovih elemenata, dok su skupovi i zadani navođenjem svojstava njihovih elemenata. Lako možemo ispisati elemente zadanih skupova: Primjer 3. Jesu li skupovi i 1,3,5,7,9 , 1,3 . iz primjera 2 jednaki? Odgovor: Jesu, jer sadrže iste elemente. Dakle . Prazan skup je skup koji ne sadržava niti jedan element. Označavamo ga simbolom ∅. Primjer 4. je skup svih ljudi koji su viši od 3 m. Očito je ∅. Ako je svaki element skupa Ako je ⊆ i pravi podskup od ujedno i element skupa , kažemo da je ( tj. skup i pišemo podskup od i pišemo ⊆ . sadrži još barem jedan element koji ne pripada skupu ), kažemo da je ⊂ . Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Str. 5 Primjer 5. Promotri skupove u primjeru 2. Jesu li istinite tvrdnje: a) b) ⊂ ⊂ , ? Odgovor: tvrdnja pod a) je istinita; tvrdnja pod b) nije istinita. Odnos skupova možemo prikazati Euler Vennovim dijagramom: ⊂ 1.1.1.2 Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Prethodnik broja ∈ 1,2,3,4, … je broj 1. Svaki prirodni broj, osim broja 1, ima svog prethodnika. Sljedbenik broja ∈ je broj 1. Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika. Najmanji prirodni broj je 1, ne postoji najveći prirodni broj. Prirodni broj Tada je broj djeljiv je prirodnim brojem ako postoji prirodni broj višekratnik broja , odnosno broj takav da je ∙ . je djelitelj (faktor) broja . Najveći zajednički djelitelj ili najveća zajednička mjera brojeva , , ... je najveći prirodni broj koji ima svojstvo da dijeli brojeve ... Označavamo ga sa , , , … ili , , ,… . Prirodni broj veći od 1 je prost ako je djeljiv samo sa jedan i sa samim sobom. Prirodni broj veći od 1 je složen ako nije prost. Broj 1 nije ni prost ni složen. Prostih prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo. Str. 6 1. poglavlje: Brojevi i algebra Svaki složeni prirodni broj možemo prikazati u obliku produkta prostih faktora. Kažemo da ga možemo rastaviti na proste faktore. Relativno prosti brojevi su oni brojevi čiji najveći zajednički djelitelj je broj 1. Zbroj i umnožak prirodnih brojeva ponovno je prirodni broj, dok razlika i količnik prirodnih brojeva ne moraju biti prirodni brojevi. Zbroj (sumu) brojeva označavamo sa Razliku (diferenciju) brojeva . Zbroj je rezultat računske operacije zbrajanja. označavamo sa . Razlika je rezultat računske operacije oduzimanja. Umnožak (produkt) brojeva označavamo s ∙ ili . Umnožak je rezultat računske operacije ili ili množenja. Količnik (kvocijent) brojeva označavamo s ∶ / . Količnik je rezultat računske operacije dijeljenja. Skup cijelih brojeva … , 3, 2, 1,0,1,2,3, … Zbroj, razlika i umnožak cijelih brojeva ponovno je cijeli broj. Količnik cijelih brojeva ne mora biti cijeli broj. Svaki cijeli broj ima svog prethodnika i sljedbenika. Ne postoji ni najmanji ni najveći cijeli broj. Skup racionalnih brojeva Broj oblika : naziva se razlomak. ∈ , ∈ , je brojnik, 0 je nazivnik. Nazivnik razlomka uvijek mora biti različit od nule, jer se nulom ne smije dijeliti. Razlomačka crta ima ulogu dijeljenja, : . Svaki racionalni broj možemo prikazati i u decimalnom obliku tako da brojnik podijelimo nazivnikom, : , ∙ , ∈ ,0 . Decimalni zapis racionalnog broja može biti konačan (ima konačno mnogo decimala) Npr. 0,2; 0,625; 0,37 ili beskonačan periodički decimalan broj (ima beskonačno mnogo decimala, koje se periodički ponavljaju odmah iza decimalne točke ili se periodički ponavljaju nakon konačnog broja decimalnih mjesta). Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Npr. 0, 3; 0,33333 … Str. 7 0, 428571; 0,42857142857142 … 1,083 Skupina znamenaka koja se ponavlja naziva se period. U zapisu ga označavamo tako da iznad prve i zadnje znamenke perioda napišemo točku. Vrijedi i obratno, tj. svaki konačni decimalni broj i svaki beskonačni periodički decimalni broj možemo napisati u obliku razlomka. Dakle to su racionalni brojevi. Jednakost racionalnih brojeva akoje ∙ Uspoređivanje racionalnih brojeva ∙ Skraćivanje razlomaka ∙ ∙ Proširivanje razlomaka ∙ akoje ∙ , 0 , 0 ∙ ∙ Zbroj, razlika, umnožak i količnik racionalnih brojeva ponovno je racionalan broj. Računanje s razlomcima Razlomak koji je rezultat provedenih računskih operacija, obavezno treba do kraja skratiti (ako je moguće). Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnikom Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima Neka su , ∈ ∖ 0 , tada vrijedi: ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Napomena: Ukoliko nazivnici razlomaka koje zbrajamo (odnosno oduzimamo) nisu relativno prosti brojevi svodimo ih na najmanji zajednički nazivnik. Najmanji zajednički nazivnik je najmanji zajednički višekratnik svih Str. 8 1. poglavlje: Brojevi i algebra nazivnika, tj. najmanji broj koji ima svojstvo da je djeljiv sa svakim od nazivnika. Nakon toga razlomke zbrojimo (odnosno oduzmemo). Množenje razlomaka ∙ ∙ ∙ ; ⋅ 0 Dijeljenje razlomaka : ∙ ∙ ∙ ; ⋅ ⋅ 0 Dvojni razlomak ∙ ∙ ; ⋅ ⋅ Kažemo da skup 0 ima svojstvo gustoće: između svaka dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva. Skup iracionalnih brojeva Iracionalni brojevi su svi decimalni beskonačni neperiodički brojevi. Npr. √2, √7, √5, …. Kažemo da su kupovi i su disjunktni, tj. ∩ ∅. Iracionalne brojeve možemo aproksimirati (zaokružiti na određen broj decimala) pomoću racionalnih brojeva. Kažemo da skup ima svojstvo gustoće: između svaka dva iracionalna broja postoji beskonačno mnogo iracionalnih brojeva. Skup realnih brojeva ∪ - algebarski pristup - realni brojevi su svi decimalni brojevi (konačni, beskonačni, periodički, neperiodički). (Pri tome, prirodne, odnosno cijele brojeve možemo tumačiti kao decimalne sa svim decimalama jednakim nula koje se ne pišu.) - geometrijski pristup - skup realnih brojeva identificiramo s brojevnim pravcem.
© Copyright 2024 Paperzz
