21.10.2013.
SPIE09 Obrada zvučnih signala
Što je transformacija?
01_03. DSP transformacije
Ozren Bilan, viši predavaf
Da bi odgovorili na ovo pitanje moramo znati što je funkcija.
Funkcija je algoritam ili postupak koji mijenja jednu vrijednost u drugu.
DSP
TRANSFORMACIJE
Funkcija je izraz y=2x+1. Izaberemo vrijednost za x, uvrstimo je u jednadžbu i dobijemo
vrijednost y. Funkcija može mijenjati nekoliko vrijednosti istovremeno u jednu
vrijednost, kao y =2a+3b+4c, gdje se a, b, i c mijenjaju u y.
To je transformacija koji omogudava da ulaz i izlaz imaju višestruke vrijednosti.
Pretpostavimo signal sastavljen od 100 uzoraka. Ako netko postavi jednadžba,
algoritam ili postupak za promjenu tih 100 uzoraka u drugih 100 uzoraka, postavio je
transformaciju. Transformacije se ne ogranifavaju na ogranifeni specififan tip ili broj
podataka. Npr., može biti 100 uzoraka diskretnih podataka za ulaz i 200 uzoraka
diskretnih podataka za izlaz. Slifno tome, može biti ustaljen (kontinuiran) signal za ulaz
i ustaljen (kontinuiran) signal za izlaz. Dozvoljeni su i miješani signali; npr., diskretan
ulaz, a ustaljen (kontinuiran) izlaz ili obrnuto.
Matematifki izraz transformacija, intenzivno se koristi u
DSP.
Fazorska
transformacija,
Fourierova
transformacija,
Laplaceova
transformacija,
Z
transformacija, Hilbertova transformacija, Wavelet
transformacija,…itd.
Što je transformacija?
UVOD
Konti nuirani i diskretni signali i DSP
Ana liza u vremenskom i frekvencijskom podrufju
DSP transformacije
Projektiranje digitalnih filtera
Zvufni signali visoke razlufivosti HD Audio
Di gitalna obrada govora
Sa žimanje zvufnih datoteka
Uvod u obradu zvufnih signala umjetnim neuralnim mrežama
Uvod u obradu i analizu zvufnih signala va lidem Wavelet
Ra zlike DSP i procesora
30 s a ti predavanja + 30 sati laboratorijskih vježbi
Svi MATLAB kodovi nalaze se u skripti LAB VJEŽBE DOZS
Transformacija je bilo koja procedura koja skup jednih podataka
mijenja (transformira) u skup drugih podataka
PRI TOME JE BITNO DA DRUGI SKUP OLAKŠAVA RAD.
2
Ozren Bilan
Zašto pri dekompoziciji signala koristimo baš sinusoide, a ne
kvadratni ili trokutasti val?
Postoji beskonafni broj nafina na koji se neki signal može
rastaviti. Cilj nam je uvijek dobivanje nečeg što je
jednostavnije od izvornog signala. Tako impulsna
dekompozicija omogudava provjeru signala tofku po tofku, što
dovodi do vrlo snažne tehnike konvolucije.
Sinusne i kosinusne komponente su jednostavnije od
izvornog signala jer posjeduju svojstvo koje nema izvorni
signal: sinusoidalnu vjernost.
Pokazali smo da sinusoidalni ulaz u sustav jamči sinusoidalni
izlaz.
Mogu se promijeniti samo amplituda i faza signala;
frekvencija i valni oblik MORAJU ostati isti.
Sinusoidalni valovi su jedini valni oblici koji imaju ovo
korisno svojstvo. Iako su kvadratna i trokutna dekompozicija
mogude, ne postoji ni jedan razlog zbog kojeg bi to bilo
korisno.
Ozren Bilan
Uvod u kompleksne transformacije
Kompleksni brojevi imaju svojstvo predstavljanja i obrade dvije
varijable kao jedne veličine. To je korisno za Fourierovu analizu kod
koje je frekvencijsko podrufje sastavljeno od dva signala – realnog i
imaginarnog dijela. Kompleksni brojevi smanjuju broj jednadžbi koji se
koriste u DSP i omogudavaju tehnike koje bi bile vrlo teške ili
neizvedive s realnim brojevima.
Brza Furierova transformacija temeljena je na kompleksnim
brojevima. Međutim kompleksne tehnike su vrlo složene i zahtijevaju
veliku praksu i znanje kako bi se ufinkovito koristile. Slijededa
poglavlja analizirat de važne postupke temeljene na kompleksnim
brojevima: kompleksnu Furierovu transformaciju, Laplaceovu
transformaciju i z-transformaciju.
Navedene kompleksne tehnike su sama bit teoretske DSP.
3
Kompleksni brojevi u eksponencijalnom obliku su okosnica DSP
matematike. Prednost eksponencijalnog prikaza u polarnom obliku je
taj što je pojednostavljeno množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva:
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva.
Kompleksni brojevi u polarnom obliku množe se tako da im se
pomnože magnitude i sumiraju fazni kutovi. Najlakši nafin zbrajanja i
oduzimanja u polarnom obliku je pretvorba u ortogonalni oblik,
izvođenje operacije i ponovna pretvorba u polarni oblik.
Kompleksni brojevi obifno se izražavaju pri rafunalskim rutinama u
ortogonalnom obliku, a u polarnom obliku pri pisanju i rješavanju
jednadžbi.
Kao što se Re( ) i Im( ) koriste pri dobivanju ortogonalnih komponenti
kompleksnog broja, operatori Mag( ) i Faza( ) koriste se za ekstrakciju
polarnih; ako je A =5ej /7 , tada je Mag(A)=5 i Faza(A)= /7 .
Supstitucija dva realna fizifka parametra smješta u realan dio i imaginarni dio
kompleksnog broja. To omogudava da sa dvije vrijednosti istovremeno
manipuliramo kao s jednom vrijednosti, tj., kompleksnim brojem. Nakon potrebnih
matematifkih operacija, kompleksni broj se dijeli u svoj realan i imaginarni dio, koji
odgovaraju fizifkim parametrima koje obrađujemo.
2, 6
Evo najjednostavnijeg primjera. Vektori mogu
predstavljati silu, brzinu, ubrzanje, itd. Zamislimo
jedrilicu koju u jednom smjeru gura vjetar, a u
drugom smjeru morske struje. Rezultanta je
suma dva vektora, što pokazuje slika :
dva vektora, A i B, sumirana su paralelogramom u C.
Imaginarna os
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
6, 3
4, -3
Realna os
Problem možemo predstaviti kompleksni brojevim tako da koordinatu istok/zapad
smjestimo u realni dio, a koordinatu sjever/jug u imaginarni dio. To nam dopušta
da svaki vektor promatramo kao jedan kompleksni broj, iako je sastavljen od dva
dijela. Npr. silu vjetra, vektor A, možemo prikazati kao smjer 2 dijela na istok i 6
dijelova na sjever, što prikazujemo kao kompleksni broj: 2+6j. Slifno tome, sila
morskih struja, vektor B, može biti u smjeru 4 dijela na istok i 3 dijela na jug, što
prikazujemo kompleksnim brojem: 4-3j. Ta dva vektora sumiramo jednadžbom što
daje kompleksni broj koji predstavlja vektor C: 6+3j. Fizikalno znafenje je:
kombinirana sila na brod je u smjeru 3 dijela sjeverno i 6 dijelova istočno.
Bit je što SJEVER i JUG nisu KOMPLEKSNE VRIJEDNOSTI.
1
21.10.2013.
Problem se može riješiti i bez
kompleksnih brojeva fija primjena
predstavlja
formalizirani
nafin
prikaza dvije komponente u jednom
vektoru. Treba samo zapamtiti da se
fizikalni problem može pretvoriti u
kompleksni oblik dodavanjem j
jednoj od komponenti. Pretvorba na
stvarni fizikalni problem sastoji se
samo u ispuštanju j. To je bit
postupka supstitucije.
Sumiranje
vektora
kompleksnim
brojevima. Vektori A i B predstavljaju
izmjerene sile u odnosu na sjever/jug i
istok/zapad. Silu u smjeru istok/zapad
supstituiramo
realnim
dijelom
kompleksnog
broja,
a
smjeru
sjever/jug
imaginarnim
dijelom.
Supstitucija
dopušta
primjenu
kompleksne matematike na cjeloviti
realni problem.
Pitanje je kako znamo da se takav
postupak
može
primijeniti?
Jednostavno, držat demo se primjera
koji su matematifari ved primijenili i
za koje je dokazano da funkcioniraju i
primjenjiva su na kompleksnu analizu
jer pokazana pravila nisu uvijek
primjenjiva.
Korištenje kompleksnih brojeva pri prikazu sinusoida je uobifajena tehnika u analizi
sklopova i DSP. Tome je razlog što su zakoni i pravila kojima se pokorava sinusoida isti kao i
oni kojima se pokoravaju kompleksni brojevi. Drugim rijefima, sinusoidu možemo
predstavit kompleksnim brojevima, izvršiti brojne matematičke manipulacije i konačno
dobiti iste rezultate kao da smo radili sa sinusnim funkcijama ali na mnogo lakši način.
Međutim, potrebno je obratiti pozornost da je mogude korištenje samo onih matematifkih
operacija koje pravilno zamjenjuju fizikalni problem. Tako ako kompleksne varijable A i B,
predstavljaju dvije sinusoide iste frekvencija razlifitih amplituda i faznih pomaka, sumom
dva kompleksna broja dobit demo tredi. On de predstavljati tredu sinusoidu. Dakle,
kompleksno zbrajanje usklađeno je s ponašanjem fizifkog sustava.
Ako pomnožimo kompleksne brojeve A i B, dobivamo tredi kompleksni broj; međutim,
kompleksno množenje nije usklađeno s fizifkim sustavom jer množenje dvije sinusoide ne
daje tredu sinusoidu. To je razlog zbog kojeg ga ne smijemo koristiti. Sve ispravne operacije
vrlo su jasno definirane. Moraju biti zadovoljena dva uvjeta. Prvo, sve sinusoide moraju biti
iste frekvencije. Npr., ako kompleksni brojevi: 1+1j i 2+2j predstavljaju sinusoide iste
frekvencije, onda de suma dvije sinusoide biti prikazana kompleksnim brojem: 3+3j.
Međutim, ako 1+1j i 2+2j predstavljaju sinusoide razlifitih frekvencija, nije mogude ništa
razumno dobiti kompleksnim prikazom. U tom slufaju suma kompleksnih brojeva, 3+3j je
besmislena jer ne predstavlja rješenje fizikalnog problema.
Usprkos ovome, frekvenciju možemo ostaviti kao varijablu pri korištenju kompleksnih
brojeva, ali mora uvijek biti iste frekvencije. Drugi zahtjev je da prikazane operacije moraju
biti linearne. Tako sinusoide možemo kombinirati zbrajanjem i oduzimanjem, a ne
možemo množenjem ili dijeljenjem. Slifno tome, sustavi mogu biti pojafala, atenuatori,
visokopropusni i niskopropusni filtri, a ne mogu biti sklopovi za kvadriranje, odrezivanje i
detekciju praga.
Treba zapamtiti da konvolucija i Fourierova analiza vrijede samo za linearne sustave.
ulazni signal
Kompleksni prikaz sinusne funkcije
Kompleksni brojevi vrlo su korisni u elektronici i obradi signala jer na kompaktan nafin
predstavljaju i manipuliranju svim: sinusnim i cosinusnim valnim oblicima. Uobifajeni nafin
prikaza sinusoide je: Mcos(ωt+φ) ili Acos(ωt)+Bsin(ωt), u polarnom i ortogonalnom obliku.
Potrebno je uofiti kako smo prikazali frekvenciju pomodu ω, prirodne frekvencije u rad/s.
Zamijenimo li ω s 2Πf dobili bi izraze u Hz. Međutim, DSP matematika piše se korištenjem
skradenog prikaza pa se na to potrebno naviknuti. Bududi da su potrebna dva parametra
kako bi prikazali sinusoidu (tj., A i B ili M i φ) bit de prirodno korištenje kompleksnih brojeva.
Koristedi supstituciju, promjena prikaza sinusnog valnog oblika korištenjem kompleksnih
brojeva je vrlo jednostavna. U ortogonalnom obliku vrijedi:
gdje se A a, i B -b. Amplituda cosinus vala postaje realan dio kompleksnog broja, a
negativna amplituda sinusnog vala imaginarni dio. Važno je uofiti da taj oblik ne predstavlja
jednažbu nego nafin kojim kompleksnim brojem možemo predstaviti sinusoidu. Supstitucija
se može primijeniti i u polarnom obliku:
gdje MM i θ-φ. Pri polarnom prikazu supstitucija ne mijenja amplitudu, a mijenja
predznak faznog kuta. Možemo se upitati zašto mijenjamo predznak imaginarnog dijela i
faznog kuta? Razlog je u tome što supstitucija onda poprima isti oblik kao i kompleksna
Fourierova transformacija koju demo opisati. Tehnike supstitucije prikazane u ovom
poglavlju ne dobivaju ništa od promjene predznaka, međutim tako se postupa kako bi
zadržali konzistentnost s naprednim postupcima.
Kompleksni prikaz sustava
Pokazat demo primjer korištenja kompleksnih brojeva pri predstavljanju propusta
sinusne funkcije kroz linearni sustav. U primjeru koristimo ustaljen (kontinuiran) signal
iako se diskretni signali obrađuju na isti nafin. Bududi da je ulazni signal sinusna
funkcija, a sustav je linearan na izlazu de također biti sinusna funkcija iste frekvencije.
U našem primjeru ulazni signal možemo konvencionalno predstaviti izrazom
3cos(ωt+Π/4) ili ekvivalentnim izrazom: 2.1213cos(ωt)-2.1213sin(ωt). Ako -jΠ/4
prikažemo kompleksnim brojem: 3e-jΠ/4
ili 2.1213+j2.1213. Slifno tome,
konvencionalno prikazan izlaz je: 1.5cos(ωt-Π/8) ili alternativno: 1.3858cos(ωt)+
0.5740sin(ωt). Prikažemo li jΠ/8 kompleksnim brojem: 1.5ejΠ/8 ili 1.3858 - j 0.5740 .
Karakteristike sustava mogu se prikazati kao kompleksni broj. Magnituda kompleksnog
broja je magnituda ulaza i izlaza (tj., Mout /Min). Slifno tome, kut kompleksnog broja je
negativna razlika ulaznog i izlaznog kuta (tj., -*Φout-Φin]). U ovom primjeru, sustav
opisuje kompleksni broj 0.5ej3Π/8. Drugim rijefima, amplituda sinusoide smanjena je
0.5, a fazni kut je promijenjen za -3Π/8 .
Kompleksni broj koji predstavlja sustav mogude je pretvoriti u ortogonalni oblik:
0.1913 - j0.4619, ali potrebna je pomnjivo interpretirati znafenje. To ne znafi da se
sinusoida propuštena kroz sustav promijenila amplitudno 0.1913 niti da je kosinusoida
promijenjena -0.4619.
Opdenito vrijedi da se fisti sinusna ili kosinusna funkcija koja uđe u linearni sustav
pretvara u mješavinu sinusnih i kosinusnih funkcija.
izlazni signal
Kompleksna matematika automatski zadržava sve tragove ovih križnih izraza.
Pri propustu sinusne funkcije kroz linearni sustav, kompleksni brojevi koji
predstavljaju ulazni signal i sustav se množe što rezultira kompleksnim brojem
koji predstavlja izlaz. Ako poznajemo bilo koja dva kompleksna broja mogude
je odrediti tredi. Pri tome prorafun možemo izvršiti u polarnom ili
ortogonalnom obliku, što pokazuje prethodna slika.
LINEARNI
SUSTAV
vrijeme
vrijeme
ili
ili
Opisali smo nafin kojim Fourierova transformacija vrši dekompoziciju signala
u kosinusne i sinusne funkcije.
Amplitude kosinusa nazivamo realan dio, a amplitude sinusoida imaginarni
dio.
ili
ili
ili
Sinusoide predstavljene kompleksnim brojevima. Kompleksni brojevi se koriste u DSP i
elektronici jer su prikladni nafin predstavljanja i manipulacije sinusoidama. Primjer
pokazuje kako se sinusoidalni ulazni i izlazni signal mogu predstaviti kao kompleksni
brojevi, izraženi u polarnom ili ortogonalnom obliku. Uz to, promjena koja linearni
sustav pretvara u sinusoidalan također se predstavlja kao kompleksni broj.
Te amplitude prikazuju se ordinarnim brojevi, a izrazi realno i imaginarno
koriste se kako bi ih odvojili. Međutim, sada je ofito odakle ime dolazi. Imamo
li signal od 1024 tofke rastavljen u 513 kosinusoida i 513 sinusoida,
korištenjem supstitucije mogude je predstaviti spektar pomodu 513
kompleksnih brojeva. Međutim, to nije kompleksna Fourierova
transformacija. To je još uvijek realna Fourierova transformacija kojoj je
spektar prikazan u kompleksnom formatu korištenjem supstitucije.
2
21.10.2013.
Analiza električnih sklopova
Postupak supstitucije kosinusnih i sinusnih signala kompleksnim brojevima naziva se fazorska
transformacija i predstavlja glavni alat pri analizi sklopova sastavljenih od otpora,
kondenzatora i induktiviteta.
Prvi korak je razumijevanje odnos struje i napon za svaku komponentu. U slufaju otpora
ponašanje opisuje Ohmov zakon: v=iR , gdje je i trenutna struja kroz komponentu, v trenutni
napon na komponenti, a R otpor. Kondenzator i induktivitet opisuju diferencijalne
jednadžbe: i =C dv/dt, i v =L di/dt, gdje je C kapacitet, a L induktivitet.
U najopdenitijem postupak analize sklopova postavljaju se diferencijalne jednadžbe koje
uvjetuje konfiguracija sklopa te se rješavaju po parametru koji nas interesira. Iako ovaj
jednostavni postupak pruža sve odgovore o sklopu, sam postupak matematifkog rješavanja
može postati vrlo složen i dugotrajan.
To se može znatno pojednostavniti ogranifenjem signala na sinusnu funkciju. Predstavimo li
sinusoide s kompleksnim brojevima složene diferencijalne jednadžbe zamjenjujemo s mnogo
jednostavnijim algebarskim jednadžbama. Slikom demo ilustrirati opisani postupak.
Obrađujemo svaku od tri komponente (otpor, kondenzator i induktivitet) kao sustav. Ulaz
sustava je sinusna funkcija struje kroz komponentu, a izlaz je sinusna funkcija napona na
prikljufnicama. Dakle, predstavljamo ulaz i izlaz sustava pomodu dvije kompleksne varijable:
I (za struju) i V (za napon). Relaciju između ulaza i izlaza također možemo prestaviti
kompleksnim brojem. Taj kompleksni broj nazivamo impedancija i oznafavamo simbolom Z:
I × Z =V
To znafi da je kompleksni broj koji predstavlja sinusni napon jednak kompleksnom broju
koji predstavlja sinusnu struju pomnožen impedancijom predstavljenom kao kompleksni
broj. Ako su bilo koja dva poznata možemo izrafunati tredi. U polarnom obliku, magnituda
impedancije je odnos amplituda V i I. Slifno tome, faza impedancije je fazna razlika između
V i I.
otpornik
kondenzator
induktivitet
Definicija impedancije; Ako sinusne napone i struje prikazujemo kompleksnim brojevima, njihov odnos
nazivamo impedancija i označavamo kompleksnom varijablom Z. Otpori, kondenzatori i induktiviteti
imaju impedancije R, -j/ C i j L.
Relaciju možemo shvatiti kao Ohmov zakon za sinusoide. Ohmov zakon (v=iR) opisuje kako
otpor dovodi u vezu trenutne struje i napon u otpor. Ako su signali sinusne funkcije
prikazane kompleksnim brojevima, relacije postaje: V=IZ. Dakle, impedancija povezuje
struju i napon. Otpor je ordinarni broj, bududi da dovodi u vezu dva ordinarna broja.
Impedancija je kompleksni broj, bududi da dovodi u vezu dva kompleksna broja.
Impedancije sadržavaju mnogo više informacije od otpora jer određuju ne samo amplitudu
nego i fazni kut.
Primjer: shema pokazuje RLC sklop notch filter, kojeg koristimo za
izdvajanje uskog frekvencijskog pojasa. Tako filter može eliminirati
smetnju npr. 50 Hz nekog zvufnog ili instrumentacijskog signala. Kada bi
ovaj sklop napravili od tri otpora (umjesto otpora, kondenzatora i
induktiviteta), odnos ulaznog i izlaznog signala bio bi određen formulom
naponskog djelitelja: vizlazno/vulazno=(R2+R3)/(R1+R2+R3). Bududi da se
sklop sastoji od kondenzatora i induktiviteta u jednadžbu naponskog
djelitelja možemo supstituirati impedancije:
Analiza analognog uskopojasnog nepropusnog filtra
Iz diferencijalnih jednadžbi koji opisuju rad elemenata,
možemo pokazati da su otpor, kondenzator i induktivitet:
R, -j/C , i jL.
Kao primjer zamislimo da je struja kroz svaku komponentu
kosinusni val jedinifne amplitude, kao što pokazuje slika.
Koristedi supstituciju kompleksni broj: 1+0 j napon na
otporu bit de V =IZ=(1+0 j)R=R+0j.
gdje su: Vout, Vin, Z1, Z2, i Z3 kompleksne varijable. Uvrstimo li
impedancije svake komponente:
Drugim rijefima, kosinusni val amplitude R. Napon na
kondenzator bit de: V=IZ =(1+0j)(-j/C)
Nakon sređivanja: 0-j/C , sinusni val amplitude 1/C.
Slifno tome, napon induktiviteta je: V=IZ=(1+0j )(jL).
Nakon sređivanja dobiva se: 0+jL, negativni sinusni val
amplitude, L.
Prednost postupka je u tome što ne moramo koristiti
diferencijalne jednadžbe kako bi analizirali RLC sklop.
Impedancije otpora, kondenzatora i induktiviteta
obrađujemo isto kao i otpore u istosmjernom sklopu,
ukljufujudi sve kombinacije: serije, paralele, djelitelje, itd.
RLC notch filter.
Ovaj sklop izdvaja usko
frekvencijsko područje iz
signala. Korištenjem
kompleksne supstitucije
pojednostavljujemo analizu
ovog i sličnih sklopova
Jednadžbu odvojimo na realni i imaginarni dio tako da odijelimo sve što
sadržava j od onoga što ga ne sadržava. Taj postupak može biti
dugotrajan i težak, a alternativa mu je rješavanje diferencijalnih
jednadžbi, što je još teže. Kad odijelimo realan i imaginarni dio, dobiva
se prijenosna funkcija notch filtra:
gdje je
Konačno relaciju pretvorimo u polarni oblik i nacrtamo sliku :
RLC notch filter.
Ovaj sklop izdvaja usko
frekvencijsko područje iz
signala.
Korištenjem
kompleksne
supstitucije
pojednostavljujemo analizu
ovog i sličnih sklopova
Obitelj Furierovih transformacija
Frekvencijski odziv filtra. Krivulje dobivene s komponentama:
R =50 Ohm, C =470 pF, i L =54 µH.
Iz ovih primjera najvažnije je zapamtiti kako supstitucija omogudava
kompleksnim brojevima predstavljanje problema iz stvarnog svijeta.
Opdenito se Fourierova transformacija dijeli u fetiri kategorije, što je posljedica
fetiri tipa signala koje susredemo u radu. Signal može biti ustaljen (kontinuiran) ili
diskretan, može biti periodifan ili aperiodifan. Kombinacije ova dva svojstva
rezultiraju s fetiri kategorije koje demo opisati i prikazati.
• Aperiodičan-ustaljen (kontinuiran) signal FT
Ukljufuju gušede eksponencijalne funkcije i Gaussove krivulje. Ti signali protežu se u
plus i minus beskonafnost bez ponavljanja periodifnog oblika. Fourierova
transformacija ovakvih signal jednostavno se naziva Fourierova transformacija.
• Periodički-ustaljen (kontinuiran) signal FS
Primjeri ukljufuju: sinusne valove, kvadratne valove i sve valne oblike koji se
pravilno ponavljaju od minus do plus beskonafnosti. Ovakav oblik Fourierove
transformacije naziva se Fourierovi redovi.
• Aperiodički-diskretni signali DTFT
To su signali koji su definirani samo u diskretnim tofkama između plus i minus
beskonafnost, a ne ponavljaju se periodifki. Fourierova transformacija onda se
naziva Diskretna vremenska Fourierova transformacija.
• Periodički-diskretni signali DFT
To su diskretni signali koji se ponavljaju periodifki od negativne do pozitivne
beskonafnosti. Ova klasa Fourierove transformacije ponekad se naziva Diskretni
Fourierovi redovi, a fešde se naziva Diskretna Fourierova transformacija.
Ozren Bilan
18
3
21.10.2013.
Sva fetiri tipa signala protežu se na negativnu i pozitivnu beskonafnost.
Što napraviti ako imamo konafan broj uzoraka u rafunalu, npr. signal
formiran od 1024 tofke? Postoji li oblik neke Fourierove transformacije
koja koristi konačne uzorke signala?
Odgovor je: ne, ne postoji!
Sinusni i kosinusni valovi definirani su dok se protežu od minus do plus
beskonafnosti. Nije mogude koristiti grupu beskonafno dugafkih signala
da bi se sintetiziralo nešto konafne dužine. Nafin rješenja je ufiniti
podatke konafne dužine da slife na signale beskonafne dužine. To se radi
na način da zamislimo kako signal ima beskonačni broj uzoraka na lijevo
i desno od stvarnog broja uzoraka.
Ako svi zamišljeni uzorci imaju vrijednost jednaku nuli, signal de
izgledati diskretan i aperiodičan, pa demo modi primijeniti Diskretnu
vremensku Fourierovu transformaciju. Kao alternativu, svi zamišljeni
uzorci mogu biti kopija stvarnih 1024 tofke. Sada signal izgleda diskretan
periodifki pa se može primijeniti Diskretna Fourierova transformacija.
Sistemom eliminacije, jedini tip Fourierove transformacije koju možemo koristiti
u DSP je DFT. Digitalna rafunala rade samo s diskretnim informacijama konafne
dužine. Dok se analitifki rješavaju teoretski problemi, korisna su prva tri tipa
obitelji Fourierove transformacije. Dok smo za računalom, možemo koristiti
samo DFT. U nastavku demo kratko analizirati ova tri tipa Fourierove
transformacije, a za sada demo se koncentrirati na razumijevanje Diskretne
Fourierove transformacije. Svaka od fetiri Fourierove transformacije može se
podijeliti u realnu i kompleksnu verziju. Realni oblik je najjednostavniji,
korištenjem kardinalnih brojeva i algebre pri sintezi i dekompoziciji. Slika je
primjer realne DFT. Kompleksni oblici fetiri Fourierove transformacije su mnogo
složeniji i koriste kompleksne brojeve.
Ofito je da je potreban beskonačni broj sinusoida kako bi smo
sintetizirali aperiodičan signal. To onemogudava proračun Diskretne
vremenske Fourierove Transformacije DTFT računalskim algoritmom.
19
Ozren Bilan
x(t) --- vremenski kontinuirani (analogni) signal
X(f) --- Fourierova transformacija, frekvencijska karakteristika
Možemo li odrediti
X( f )
x(t )e
j 2ft
vrijeme
frekvencija
CTFT
kontinuirano
kontinuirana
DTFT
diskretno
kontinuirana
DFT
diskretno
diskretna
Ozren Bilan
20
Razvoj u Fourierov red
Furierova transformacija i Furierov red
Algoritam
f (t )
1
a0 a n cos(nt ) bn sin(nt )
2
n 1
dt
an
2 T
f (t ) cos(nt )dt
T 0
a0
2
f (t )dt
T 0
bn
2 T
f (t ) sin(nt )dt
T 0
2
T
ako nemamo matematifku jednadžbu za x(t) ? Ne!
T
Što možemo napraviti?
Sampliramo x(t) => kako bi dobili uzorke
x0, x1, … , xN-1 u vremenu T (npr. 100 sekundi)
Period (interval) sampliranja je Δt
N (uzoraka) za vrijeme T => Δt=T/N
Mogu li T i N biti beskonačni? Nemogude!
Ozren Bilan
21
Frekvencijsko podrufje sadržava potpuno iste informacije kao i
vremensko podrufje, samo u razlifitom obliku. Ako se poznaje signal u
jednom podrufju, mogude je izrafunati drugo. Ako je zadan signal
vremenskog podrufja, postupak prorafuna frekvencijskog podrufja
naziva se dekompozicija, analiza ili DFT. Ako je poznat signal u
frekvencijskom podrufju, prorafun vremenskog podrufja naziva se
sinteza ili inverzna DFT. Sinteza i analiza mogu se predstaviti u obliku
jednadžbi i rafunarskim algoritmima.
Broj uzoraka u vremenskom podrufju obifno je predstavljen varijablom
N. Dok N može biti bilo koja pozitivna cjelobrojna vrijednost, obifno se
izabire potencija dva, tj., 128, 256, 512, 1024, itd. Za to su dva razloga.
Prvo, digitalni podaci pri pohrani koriste binarno adresiranje, pa su
potencije dva prirodna dužina signala. Drugo, najučinkovitiji algoritmi
proračuna DFT, Brze Fourierove transformacije (FFT), najčešde
operiraju s N koji je potencija broja dva. Tipifno, N se bira između 32 i
4096. U najvedem broju slufajeva, uzorci se protežu od 0 do N-1,
umjesto od 1 do N.
Ozren Bilan
23
Ozren Bilan
22
DFT osnovne funkcije
Sinusni i kosinusni valovi koji se koriste u DFT uobičajeno se nazivaju
DFT osnovne funkcije. Drugim rijefima, izlaz DFT je skup brojeva koji
predstavljaju amplitude. Temeljne funkcije su set sinusnih i kosinusnih
valova jedinifne amplitude. Ako se svakoj amplitudi (frekvencijskog
podrufja) pridruži tofni sinusni ili kosinus val (temeljne funkcije),
rezultat je skup skaliranih sinusnih i kosinusnih valova koji sumiranjem
tvore signal u vremenskom podrufju. DFT temeljne funkcije generiraju
se jednadžbama:
Problem: ako u DFT ulazi N uzoraka, a izlazi N+2 uzoraka, odakle dolaze
dodatne informacije? Odgovor: dva izlazna uzorka ne sadrže
informacije što omogudava da preostalih N uzoraka bude potpuno
neovisno. Tofke koje ne sadržavaju informacije su Im X[0] i Im X[N/2],
uzorci koji uvijek imaju nultu vrijednost.
Ozren Bilan
24
4
21.10.2013.
Sinteza, proračun Inverzne DFT
Sumiramo li sve što je dosada refeno, možemo napisati jednadžbu
sinteze:
Iskazano rijefima, bilo koji signal u N tofaka, x[i], može se kreirati
sumiranjem N/2+1 kosinus valova i N/2+1 sinusnih valova. Amplitude
kosinus i sinus valova su u postavi Re [k] i Im [k]. Jednadžba sinteze
množi amplitude temeljnim funkcijama kako bi nastao skup skaliranih
sinusnih i kosinusnih valova. Sumiranjem skaliranih sinusnih i
kosinusnih valovi nastaje signal u vremenskom podrufju, x[i]. U
jednadžbi, postave su nazvane Re [k] i Im [k], a ne ImX[k] i ReX[k]. Zbog
toga što su amplitude potrebne za sintezu (koje nazivamo: Re [k] i Im
[k].), razlifite od frekvencijskog podrufje signala (oznafen s: Im X[k] i
Re X[k]). Iako se postupak pretvorbe svodi na normalizaciju, može
nastati bug u programu. U obliku jednadžbe, pretvorba je određena:
Ozren Bilan
Pretpostavimo signal zadan u frekvencijskom području, a potrebno je
sintetizirati odgovarujudi signal u vremenskom području. Za pofetak, prvo se
određuju amplitude sinusnih i kosinusnih valova. Drugim rijefima, za zadane
Im X[k] i Re X[k], potrebno je odrediti Re [k] i Im [k]. Jednadžba to pokazuje u
matematifkom obliku. Prikažemo li postupak programom, moramo poduzeti
tri radnje.
1. podijeliti sve vrijednosti u frekvencijskom podrufje s N/2.
2. promijeniti predznak svih imaginarnih vrijednosti.
3. podijeliti prvi i posljednji uzorak realnog dijela, ReX[0] i ReX[N/2], s dva.
To de nam dati amplitude potrebne za sintezu, koje su opisane jednadžbama.
Dva su nafina kojim se sinteza može programirati.
U prvom postupku, svaka skalirana sinusoida generira se jedna po jedna i
sumira u akumulatoru, koji završava prijelazom u signal u vremenskom
područje.
U drugom postupku, svaki uzorak u vremenskom području signala računa se
jedna po jedan, kao suma svih odgovarajudih uzoraka u kosinusne i sinusne
valove.
Oba postupka daju isti rezultat. Razlika između programa je minimalna.
25
Ozren Bilan
26
Analiza, proračun DFT
Primjena DFT
DFT se može riješiti na tri razlifita nafina:
Prvo, problemu možemo pristupiti nizom jednadžbi. Postupak je
koristan za razumijevanje ali nepraktifan za primjenu rafunalom.
Drugi postupak koristi ideju korelacije. Temeljen je na detektiranju
poznatog valnog oblika u drugom signalu.
Tredi postupak, Brza Fourierova transformacija (FFT) predstavlja
alogoritam koji rastavlja DFT s N točaka, u N DFT svaki s jednom
točkom.
Diskretna Fourierova transformacija (DFT) je jedan od najvažnijih alata
digitalne obrade signala. Tri glavne primjene su:
FFT je više stotina puta brža od bilo kojeg drugog postupka. Kratko
demo objasniti prva dva postupka, a FFT u posebnom poglavlju. Važno
je zapamtiti kako svi postupci daju potpuno isti rezultat.
Koji onda koristiti u radu? Odgovor:
korelaciju ako DFT ima manje od 32 točke, inače treba koristiti FFT.
Ozren Bilan
• DFT može proračunati frekvencijski spektar signala. Omogudava
neposredan uvid u informaciju kodiranu u frekvenciji, fazi i
amplitudi sinusnih komponenti. Primjeri su ljudski govor i sluh jer
koriste takav nafin kodiranja.
• DFT ne može odrediti frekvencijski odziv sustava iz impulsnog
odziva sustava i obrnuto. Omogudava analizu sustava u
frekvencijskom podrufju kao što konvolucija omogudava analizu
sustava u vremenskom podrufju.
• DFT se može koristiti kao međukorak pri elaboriranim DSP
metodama. Klasifni primjer je FFT konvolucija, algoritam za
konvoluiranje signala koji je sto puta brži od konvencionalnih
postupaka.
27
Fourierovi redovi, Furierova
transformacija i DFT
Ozren Bilan
28
Pokazali smo da je razvoj u Fourierov red
Fourierovi redovi
f (t )
Ponovit demo da je Fourier pokazao kako linearnom
superpozicijom sinusoida možemo tvoriti složene valne
oblike (i obrnuto).
1
a0 a n cos(nt ) bn sin(nt )
2
n 1
an
2 T
f (t ) cos(nt )dt
T 0
a0
2
f (t )dt
T 0
bn
2 T
f (t ) sin(nt )dt
T 0
2
T
T
x(t ) A0 An cos( n t n )
n 1
Periodifkim signalima (onima koji se ponavljaju)
n n1
Ozren Bilan
29
Ozren Bilan
30
5
21.10.2013.
Kako bi odredili red rafunamo koeficijente a0, an i bn
Primjer: kvadratni valni oblik
2
T
Period je T=2 pa je ω=π (slijedi iz ->
Integriramo od t= 0 do 1 i t=1 do 2
Kako bi odredili red moramo poznavati
koeficijente a0, an i bn
2
a 0 f (t )dt
0
)
1
2
0
1
dt dt 1 1 a 0 0
2
a n f (t ) cos(nt )dt
0
1
2
0
1
cos(nt )dt cos(nt )dt
f ( t )= 1
=-1
0 <t <1
31
Ozren Bilan
2
1
2
0
0
1
32
Ozren Bilan
Odredili smo koeficijente
bn f (t ) sin( nt )dt sin( nt )dt sin( nt )dt
a0=0,
an=0,
1
1
2
cos(nt ) 0 cos(nt ) 1
n
1
(cos(n ) 1) (cos(n 2) cos(n ))
n
1
(2 cos(n ) 1 cos(n 2 ))
n
Pri procjeni tona sinus funkcija jednaka je 0 za svaki kut koji je
višekratnik π
1< t < 2
T=2
1
1
2
sin( nt ) 0 sin(nt ) 1 a n 0
n
bn
4
kada je n 1,3,5...
n
1
Ako znamo bn (2 cos(n ) 1 cos(n2 ))
n
Trebamo analizirati funkciju kosinus kako bi odredili vrijednosti
koeficijenata bn za n=1,2,3,…. itd
1
4
(2(1) 1 1)
n
n
1
b2
(2(1) 1 1) 0
n
1
4
b3
(2(1) 1 1)
n
n
1
b4
(2(1) 1 1) 0
n
1
4
b2
(2(1) 1 1)
n
Ozren Bilan n
pa je Fourierov red kvadratnog vala
f (t )
n 1, b1
n 2,
n 3,
n 4,
n 5,
1
a0 a n cos(nt ) bn sin(nt )
2
n 1
f ( t ) = bn sin n t =
n=1
33
Uvrstimo Furierov red (prva 3 flana) kvadratnog valnog oblika u Matlab
f=500;
w=2*pi*f;
t=linspace(0,1/f*5,100);
y1=4/pi*(sin(w*t)+1/3*sin(3*w*t)+1/5*sin(5*w*t));
plot(t,y1)
4
[ sin t + 31 sin 3 t + 51 sin 5 t + ... ]
Ozren Bilan
34
Za konafni broj flanova reda zbog Gibbsovog ufinka vidimo da kvadrati nisu
idealni. Dodat demo 10 harmonika, t.j. n=10, a zatim n=1000. 3D površinom
predstavljamo postupnu transformaciju sinusnog vala u kvadratni valni oblik
Nastanak kvadratnog vala: Gibbsov učinak
1
0.5
0
zbog Gibbsovog ufinka
-0.5
-1
Ozren Bilan
35
Ozren Bilan
36
6
21.10.2013.
Pilasti valni oblik
Trokutni valni oblik
Istim postupkom Fourierov red za pilasti valni oblik daje:
Istim postupkom Fourierov red trokutnog valnog oblika je:
2
1
1
1
f (t ) (sin(t ) sin(2t ) sin(3t ) sin(4t ) ....
2
3
4
f (t )
1
1
1
(cos(t ) cos(3t ) cos(5t ) cos(7t ) ...)
9
25
49
37
Ozren Bilan
Fourierova transformacija
x(t )e
38
Ozren Bilan
Diskretna Fourierova transformacija
Diskretna Fourierova transformacija
Fourierova transformacija glasi
x(t ) X ( )
8
2
jt
Xm
dt
j
1 n 1
xk e
n k 0
2mk
n
eksponencijale !
Inverzna Fourierova transformacija
1
2
X ( )e
jt
Inverzna diskretna Fourierova transformacija
d
xk
Ozren Bilan
39
Promatramo signal u diskretnom vremenu
signal u diskretnom vremenu
U biti sumiramo produkte svakog elementa signal pomnoženog
s eksponencijalom za zadanu vrijednost m
signal u frekvencijskom podrufju
gdje je
Ozren Bilan
2mk
n
Ozren Bilan
40
Svaki element novog spektra je kompleksni
broj pa moramo odrediti njegovu magnitudu
kako bi smo ga mogli nacrtati.
Primjenimo DFT u Matlabu na Furierov red
kvadratnog, pilastog i trokutastog valnog
oblika koji smo prethodno izrafunali:
Primjena DFT
Dakle, pomodu ove sume gradimo frekvencijski spektar
j
1 n 1
X me
n m 0
41
close all; clear all;
f=100; w=2*pi*f;
duration=0.1;
sampleRate=2000;
t=linspace(0,duration,duration*sampleRate);
% Sinus
y1=sin(w*t);
% Kvadrat
%y1=4/pi*(sin(w*t)+1/3*sin(3*w*t)+1/5*sin
(5*w*t));
% Pila
%y1=2/pi*(sin(w*t)1/2*sin(2*w*t)+1/3*sin(3*w*t)1/4*sin(4*w*t));
% Trokut
%y1=8/(pi*pi)*(cos(w*t)+1/9*sin(3*w*t)+1/
25*sin(5*w*t)+1/49*sin(7*w*t));
x=y1;
n=length(y1);
fRange=sampleRate;
fNyquist=fRange/2;
for m=0:n-1
sum=0;
for k=0:n-1
sum=sum+x(k+1)*exp(-j*2*pi*m*k/n);
end
X(m+1)=1/n*sum;
end
fAxis=linspace(0,fRange,n-1);
plot(fAxis(1:n/2),abs(X(1:n/2)));
Ozren Bilan
Petlja opterećuje resurse
x(t )
42
7
21.10.2013.
Pilasti valni oblik
Trokutasti valni oblik
Komponente spektra
prva 3 flana reda
DFT i FFT mogu otkriti neharmonifke sadržaje signala koji nisu
periodifni – harmonifke i neharmonifko komponente signala
zajednifki nazivamo parcijale.
43
Ozren Bilan
duzina sekvence=3
duzina DFT=3
ulazna sekvenca u (n) =[1 2 3]
U=
6.0000
-1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i
A=
3
abs (U) =
6.0000 1.7321 1.7321
angle (U) =
0 2.6180 -2.6180
IZVORNA SEKVENCA
-->Amplituda
-->Amplituda
1
0
0
0.5
1
---->n
1.5
4
2
0
2
0
0.5
1
---->k
1.5
2
FAZA DFT UZORAKA
4
-->faza
2
0
-2
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
---->k
1.2
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
---->k
FAZA DFT UZORAKA
0.5
1
1.5
3
3.5
4
3
3.5
4
2
1
0
-1
-2
0
2
---->k
2.5
Ozren Bilan
N=10; % ukupni broj uzoraka – izbriši
znak komentara po potrebi
% N=100; % ukupni broj uzoraka
% N=1000; % ukupni broj uzoraka
% N=10000; % ukupni broj uzoraka
%
fs=8000; % frekvencija sampliranja
f=1000; % frekvencija signala
n=0:N-1;
% generiramo sinusoidalni signal
f1=600; % upiši harmonički sadržaj po
volji
f2=1200;
f3=1800;
f4=2400;
f5=3000;
f6=3600;
x=
2*sin(2*pi*(f1/fs)*n)+0.05*sin(2*pi*(f
2/fs)*n)+ 0.03*sin(2*pi*(f3/fs)*n)
+0.02*sin(2*pi*(f4/fs)*n)+0.07*sin(2*
6
2
MAGNITUDA DFT UZORAKA
2
1.5
44
Odredi spektar složenog signala:
x= 2*sin(2*pi*(f1/fs)*n) +0.05*sin(2*pi*(f2/fs)*n)+
0.03*sin(2*pi*(f3/fs)*n) +0.02*sin(2*pi*(f4/fs)*n)+
0.07*sin(2*pi*(f5/fs)*n) + 0.001*sin(2*pi*(f6/fs)*n);
koristedi 10, 100, 1000 i 10000 uzoraka.
MAGNITUDA DFT UZORAKA
3
upiši vrijednost N = 5
upiši ulaznu sekvencu = *1 1 0+
L=
3
x1 =
1 1 0 0 0
abs (Xk) =
2.0000 1.6180 0.6180 0.6180 1.6180
angle=
0 0.6283 1.2566 -1.2566 -0.6283
FFT spektar složenog sinusoidalnog signal dobiven s
10, 100, 1000, 10000 uzoraka
FFT transformacija 2
% Odredi FFT zadanog 1-D signala i
nacrtaj
N=input ('duzina sekvence=');
M=input ('duzina DFT=');
u=input ('ulazna sekvenca u (n) =');
U=fft (u, M)
A=length (U)
t=0:1: N-1;
subplot (2, 2, 1);
stem (t, u);
title ('IZVORNA SEKVENCA');
xlabel ('---->n');
ylabel ('-->Amplituda');
subplot (2, 2, 2);
k=0:1:A-1;
stem (k, abs (U));
disp ('abs (U) =');
disp (abs (U))
title ('MAGNITUDA DFT UZORAKA');
xlabel ('---->k');
ylabel ('-->Amplituda');
subplot (2, 1, 2);
stem (k, angle (U));
disp ('angle (U) =')
disp (angle (U))
title ('FAZA DFT UZORAKA');
xlabel ('---->k');
ylabel ('-->faza');
FFT transformacija 1
-->Amplituda
Kvadratni valni oblik
% FFT algoritam u N točaka
N=input ('upiši vrijednost N = ');
xn=input ('upiši ulaznu sekvencu = ');
k=0:1: N-1;
L=length(xn)
if (N<L)
error ('N MORA BITI>=L');
end;
x1= [xn zeros(1, N-L)]
for c=0:1:N-1;
for n=0:1:N-1;
p=exp (-i*2*pi*n*c/N);
x2(c+1, n+1)=p;
end;
Xk=x1*x2';
end;
magXk=abs(Xk);
angXk=angle(Xk);
subplot (2, 1, 1);
stem (k, magXk);
title ('MAGNITUDA DFT UZORAKA');
xlabel ('---->k');
ylabel ('-->Amplituda');
subplot (2, 1, 2);
stem (k, angXk);
title ('FAZA DFT UZORAKA');
xlabel ('---->k');
ylabel ('-->Faza');
disp ('abs (Xk) =');
disp (magXk)
disp ('angle=');
disp (angXk)
-->Faza
Ovakva primjena programa optereduje resurse računala pa se
primjenjuje optimizirani algoritam poznat kao Brza Furierova
transformacija (FFT)
1.4
1.6
1.8
2
Ozren Bilan
45
pi*(f5/fs)*n)
+0.001*sin(2*pi*(f6/fs)*n);
% procjenjujemo spektar fft naredbom
X=fft(x);
magX=abs(X);
% gradimo pripadajudu frekvencijsku
os
fx=0:(N/2)-1; % određujemo vektor
f=0,1,2,...(N/2)-1
fx=(fx*fs)/N;
% skaliramo kako bi predstavljao
frekvencije u Hz
figure(1);
subplot(1,1,1);
plot(fx,20*log10(magX(1:N/2)));
grid;
title('Spektar složenog sinusoidalnog
signal dobiven s 10, 100, 1000, 10000
uzoraka');
xlabel('Frekvencija (Hz)');
ylabel('Magnituda (dB)');
Ozren Bilan
46
Laplaceova transformacija
Laplaceova transformacija
Konvolucija i Fourierova analiza (dvije glavne tehnike digitalne obrade
signala) govore da se ponašanje linearnog sustava može u potpunosti
razumjeti iz njegovog impulsnog ili frekvencijskog odziva. To je vrlo uopdeni
pristup jer impulsni i frekvencijski odziv mogu poprimiti bilo koji oblik. U
stvari, takav pristup je preopdenit za mnoge naufne primjene.
U stvarnom svijetu mnogi parametri sustava međusobno djeluju putem
diferencijalnih jednadžbi. Npr. napon na induktivitetu proporcionalan je
derivaciji struje koja teee kroz induktivitet. Slifno tome, sila koja djeluje na
masu proporcionalna je derivaciji brzine kojom se masa giba. Prirodne
znanosti obiluju ovakvim tipovima relacija.
Impulsni i frekvencijski odziv takvih sustava ne može biti arbitraran, nego
mora biti usklađen s rješenjima diferencijalnih jednadžbi. To znafi da se njihov
impulsni odziv mora sastojati samo od eksponencijalne i sinusne funkcije.
Laplaceova transformacija je tehnika koja analizira ove posebne sustave kada
su signali kontinuirani.
U stvarnom svijetu mnogi parametri sustava
međusobno djeluju putem diferencijalnih
jednadžbi. Impulsni i frekvencijski odziv takvih
sustava ne može biti arbitraran, nego mora biti
usklađen s rješenjima diferencijalnih jednadžbi.
To znafi da se njihov impulsni odziv mora
sastojati samo od eksponencijalne i sinusne
funkcije. Laplaceova transformacija je tehnika
koja analizira ove posebne sustave kada su
signali kontinuirani.
z-transformacija je slifna tehnika koja se koristi u diskretnim slučajevima.
Ozren Bilan
47
Ozren Bilan
48
8
21.10.2013.
Kako bi smo dublje sagledali prirodu jednadžbe, pogledajmo nekoliko tofaka u
s-podrufju pa ispitajmo kako su vrijednosti na tim lokacijama povezane sa
signalom u vremenskom podrufju.
Kako smo pokazali, kompleksna Fourierova transformacija određena je
izrazom:
Možemo je razviti u Laplaceovu transformaciju tako da prvo pomnožimo
signal u vremenskom podrufju eksponencijalnim flanom:
Za pofetak, prisjetimo se kako su individualne tofke u frekvencijskom području
povezane sa signalom u vremenskom podrufju. Svaka tofka u frekvencijskom
podrufju, identificira specififnu vrijednost ω, odgovara to dvjema funkcijama
cos(ωt) i sin(ωt). Realni dio određuje se množenjem signala u vremenskom
podrufju kosinus valom i integriranjem od -∞ do ∞. Imaginarni dio se odredi
istim postupkom, samo se koristi sinusni val.
Konafno, lokacija u kompleksnoj ravnini može se prikazati kompleksnom
varijablom, s, gdje je s=σ+jω. To omogudava reduciranje jednadžbe u još
kompaktniji izraz:
Prikazan je konačni oblik izraza Laplaceove transformacije, što predstavlja
jednu od najvažnijih jednadžbi u obradi signala i elektronici. Posebnu
pozornost posvetite izrazu e-st, kojeg nazivamo kompleksna eksponencijala.
Izvod pokazuje da su kompleksne eksponencije kompaktan nafin prikaza
sinusoide i eksponencijalne funkcije u jedinstvenom izrazu.
Ozren Bilan
49
Analiziramo li kompleksnu Fourierovu transformacija, vrijednosti za negativne
frekvencija, -ω, bit de konjugirano kompleksne (isti realni dio, a negativni
imaginarni dio) od vrijednosti ω. Laplace transformacija je proširenje istog
koncepta.
Slijededa slika pokazuje tri para točaka u s-ravnini: A i A’, B i B’, C i C’. Kao i u
kompleksnom frekvencijskom spektru, tofke A, B i C (pozitivne frekvencije) su
kompleksni konjugati tofaka A’, B’ i C’ (negativne frekvencije). Gornja polovina
s-ravnine je zrcalna slika donje polovine, a obje su potrebne za uspostavljanje
relacije s realnim signalom u vremenskom podrufju. Drugim rijefima, obrada
ovih točaka u paru zaobilazi kompleksnu matematiku tako što nam dozvoljava
obradu u vremenskom podrufju korištenjem realnih brojeva.
Ozren Bilan
50
Analiza električnih sklopova - filtera
Valni oblici u s-području. Svaku lokaciju u s-području određuju dva parametra:
σ i ω. Ti parametri definiraju dva valna oblika pridružena svakoj lokaciji.
Promatramo li samo parove točaka (kao što su: A i A’, B i B’, C i C’), dva valna
oblika pridružena svakoj lokaciji su sinusni i kosinusni val frekvencija ω, s
eksponencijalno promjenjivom amplitudom koju određuje σ.
Ozren Bilan
51
Korak 2: Određujemo prijenosnu funkciju H(s); izlaz podijeljen s
ulazom. Obrađujemo svaku komponentu tako da slijedi Ohmov zakon,
s impedancijama : R, sL i 1/sC . Koristimo standardne jednadžbe za
otpore u seriji, otpore u paraleli, naponske djelitelje, itd. Analiziramo li
RLC sklop iz primjera kao naponski djelitelj, prijenosna funkcija H(s) je:
Prisjetimo li se Fourierove analize, frekvencijski spektar izlaznog signal
podijeljen frekvencijskim spektrom ulaznog signala jednak je
frekvencijskom odzivu sustava, što oznafavamo H(T). Gornja
jednadžba predstavlja proširenje u s-podrufje. Signal H(s), nazivamo
prijenosna funkcije sustava i jednaka je izlaz signalu u s-podrufju
podijeljenim s ulaznim signalom u s-podrufju.
H(s) jednaka je Laplaceovoj transformaciji impulsnog odziva, isto tako
kako je H(T) jednaka Fourierovoj transformaciji impulsnog odziva.
Sve do sada, postupak je identifan, s razlikom što koristimo s umjesto
jω. Određivanje H(s) kljufno je za Laplaceovu analizu; međutim,
potrebno je napisati u posebnom obliku kako bi bila korisna. Napravit
demo dva koraka algebarske manipulacije.
Ozren Bilan
53
Laplaceova transformacija je inherentno Vin
matematifki postupak; koristi se pri pisanju
R
i manipuliranju jednadžbama. Problem je
što se lako izgubiti u apstraktnoj prirodi
kompleksne algebre i izgubiti povezanost sa
Vout
stvarnim svijetom. Zadada nam je povezati
1/sC
ta dva pristupa. Laplace transformacija je
primarni postupak analize elektronifkih
sklopova. Treba imati na umu da razne
sustave
koje
opisujemo
različitim
sL
jednadžbama možemo obrađivati na isti
način; koristimo primjer elektrifnih
sklopova. Slika pokazuje primjer sklopa
kojeg demo analizirati Laplaceovom
transformacijom. To je RLC notch filter. Vidjeli smo, notch je vrlo uski
pojasno nepropusni filter
Bududi da je analiza ista za sve elektrifne
sklopove, izvest demo je u koracima.
Korak 1. Transformiramo svaku komponentu u s-područje. Drugim rijefima, zamjenjujemo
vrijednost svakog otpora s R, svakog induktiviteta s sL, a svakog kondenzatora s 1/sC. To je
napravljeno na slici.
Ozren Bilan
52
Korak 3: Napišemo prijenosnu funkciju H(s) u obliku
kvocijenta polinoma:
Prijenosnu funkciju uvijek je mogude napisati u ovakvom
obliku ako sustavom upravljaju diferencijalne jednadžbe. Npr.
pravokutni impuls ne predstavlja rješenje diferencijalne
jednadžbe pa se njegova Laplaceova transformacija ne može
se napisati u gornjem obliku. Za usporedbu, prijenosnu
funkciju bilo kojeg elektronifkog sklopa sastavljenog od
otpora, kondenzatora i induktiviteta, može se napisati u
gornjem obliku. Za RLC notch filter kojeg analiziramo, korak 2
pokazuje da ved ima prijenosnu funkciju u tofnom obliku:
gdje su: (u brojniku) a=L, b=0, c =1/C;
i (u nazivniku) a=L, b=R, c=1/C
Ozren Bilan
54
9
21.10.2013.
Korak 4: Faktorizacija polinoma brojnika i nazivnika. Rastavimo
polinome brojnika i nazivnika u komponente koji svaki sadržavaju jedno
s. Ako komponente pomnožimo moraju vratiti izvorni brojnik i nazivnik.
Drugim rijefima, jednadžba de bit faktorizirana u obliku:
Faktorizirano s-područje. U ovom obliku s-područje se može izraziti u
obliku polova i nula.
Korijeni brojnika, z1, z2, z3..., su nule jednadžbe, a korijeni nazivnika
p1, p2, p3... su polovi. To su isti polovi i nule koje smo prethodno
upoznali pa demo opisati kako se koriste.
Izraz u s-području možemo faktorizirati ako su brojnik i nazivnik
polinomi drugog reda. Korijene polinoma drugog reda ax2 + bx + c
možemo odrediti koristedi kvadratnu jednadžbu: x=[-b± (b2 - 4ac)½]/2a.
Prijenosna funkcija onda se faktorizira:
Gdje je:
Ozren Bilan
U ovom primjeru sustav drugog reda ima maksimum dvije
nule i dva pola. Broj polova u sustavu jednak je broju
komponenti koji pohranjuju energiju. Induktiviteti i
kondenzatori pohranjuju, a otpori disipiraju energiju. Broj nula
bit de jednak ili manji od broja polova.
Polinomi višeg od drugog reda opdenito se teško faktoriziraju
algebarskim postupcima, pa potrebni složeniji numerički
postupci. Međutim, kao alternativu mogude je sklopove
sastaviti kao kaskadu stupnjeva drugog reda.
Tako osam polni filter projektiramo kao kaskadu fetiri stupnja
dvopolnih filtra. Pri tome je važno uofiti kako ovaj pristup s
kaskadom više stupnjeva koristimo samo kako bi smo doskofili
matematifkim, a ne elektronifkim ogranifenjima.
55
Kako bi sve bilo manje apstraktno, koristit demo stvarne vrijednosti komponenata notch
filter kojeg smo analizirali: R =220Ω, L =54 μH, C =470 μF. Uvrstimo li te vrijednosti u
gornje jednadžbe, polovi i nule bit de na lokacijama:
z1 =0 + j 6.277×106
p1 =-2.037×106 + j 5.937×106
z2 =0 - j 6.277×106
p2 =-2.037×106 - j 5.937×106
Te lokacije polova i nula pokazuje slika. Svaka nula prikazana je kružifem, a svaki pol
prikazan je x. Graf se naziva dijagram polova i nula i uobifajen je nafin kojim prikazujemo
podatke u s-podrueju.
Ozren Bilan
56
Slika pokazuje topografski prikaz s-ravnine. Zbog jednostavnosti prikazana je samo
magnituda, a ne smijemo zaboraviti da ga prati i dijagram faze. Isto tako kako
planine i doline određuju površinu zemlje, tako polovi i nule određuju oblik sravnine. Za razliku od planina i udolina svi polovi i nule su istog oblika i velifine, a
pri tome je jedina razlika njihova lokacija. Važnost polova i nula je u tome što
koncizno predstavljaju vrijednost svake tofke s-ravnine.
Dakle, karakteristike sustava možemo potpuno opisati koristedi vrlo mali broj
parametara. U slufaju RLC notch filtra sustav specificiramo pomodu samo četiri
kompleksna parametra: z1, z2, p1, p2 (svaki se sastoji od realnog i imaginarnog
dijela).
Kako bi bolje shvatili pojam polova i nula, zamislimo da se gibamo po s-ravnini. Za
bilo koju tofku ravnine (tj., za neku vrijednost s), postoji odgovarajuda vrijednost
prijenosne funkcije H(s). Ta vrijednost je kompleksni broj koji se može izraziti kao
magnituda i faza ili kao realni i imaginarni dio. Pretpostavimo da smo došli do
nule u s-ravnini. Vrijednosti koje izmjerimo za realni i imaginarni dio na ovom
mjestu bit de jednaki nuli. To se može lako shvatiti ispitivanjem matematifke
jednadžbe prijenosne funkcije H(s). Ako je lokacija s, jednaka nuli, jedan od izraza u
brojniku bit de jednak nuli pa de cijeli izraz biti jednak nuli.
Dijagram polova i nula u s-području pokazuje odnos između s-područja i
frekvencijskog odziva. Vrijednosti komponenti notch filtra korištenog u grafu su: R=220
Ω, C=470 μF, i L = 54 μH. Izabrane vrijednosti postavljaju centar klanca na:
ω = 6.277·106, tj., frekvenciju oko 1 MHz.
Ozren Bilan
Konafno, dolazimo do polova, gdje mjerimo vrijednosti realnog i imaginarnog
dijela H(s). Izmjerena vrijednost postaje sve veda kako se približavamo tofnoj
lokaciji pola. To se lako shvada iz jednadžbe. Ako je lokacija s, jednaka bilo kojem p,
nazivnik de biti jednak nuli, a dijeljenje nulom ufinit de izraz beskonafnim.
57
Ako se slufajno gibamo po s-ravnini, a ne samo po lokacijama nula i polova,
vrijednost prijenosne funkcije H(s) na bilo kojoj lokaciji u potpunosti ovisi o
položaju polova i nula. Razlog tome je što u s-ravnini nisu dozvoljeni bilo koji
drugi oblici osim polova i nula. Nalazimo li se u blizini pola, vrijednosti de biti
velike; ako smo u blizini nule, vrijednosti de biti vrlo male. Jednadžba opisuje i
interakciju višestrukih polova i nula pri oblikovanju signala u s podrufju.
Oduzimemo li dva kompleksna broja dobit demo njihovu međusobnu
udaljenost u kompleksnoj ravnini. Tako je (s– z0) udaljenost arbitrarne lokacije
s i nule locirane u z0. Jednadžba specificira tu vrijednost za svaku lokaciju s,
koja je jednaka udaljenosti svih pomnoženih nula, podijeljenih s udaljenostima
svih pomnoženih polova.
Ozren Bilan
58
Izračunaj frekvencijski odziv
(uvrsti pa izračunaj prijenosnu funkciju)
Izrafunaj frekvencijski odziv (uvrsti pa izrafunaj prijenosnu funkciju)
R =220Ω, L =54 μH, C =470 μF. Uvrstimo li te vrijednosti u gornje jednadžbe, polovi i nule bit de na lokacijama:
z1 =0 + j 6.277×106
p1 =-2.037×106 + j 5.937×106
z2 =0 - j 6.277×106
p2 =-2.037×106 - j 5.937×106
H=tf([54e-6 0 2.1277e3],[54e-6 220 2.1277e3]);
bode(H), grid
rlocus(H)
Možemo se upitati kako lokacije polova i nula omogudavaju dublje
razumijevanje frekvencijskog odziva sustava. Frekvencijski odziv jednak je
vrijednosti prijenosne funkcije H(s) duž imaginarne osi, oznafenom tamnom
linijom na topografskom dijagramu na slici. Zamislimo da se kredemo od
ishodišta uzduž ove putanje. U okolišu ishodišta udaljenost do nula približno
je jednaka udaljenosti do polova. Zbog toga se brojnik i nazivnik jednadžbe
poništavaju dajudi jedinifni frekvencijski odziv na niskim frekvencijama.
Situacija se bitno ne mijenja dok ne dođemo u okoliš lokacija pola i nule. U
blizini nule, vrijednost H(s) naglo pada i postaje jednaka nuli tofno u nuli.
Pomaknemo li se nakon para pola i nule, vrijednost H(s) pojafanja ponovno
poprima jedinifnu vrijednost. Koristedi ovakvu vizualizaciju može se uofiti
kako je širina klanca funkcija udaljenosti između pola i nule.
Ozren Bilan
59
Ozren Bilan
60
10
21.10.2013.
Slika pokazuje uobifajen biquad sklop, koji smo koristili u projektu filtra naziva se Sallen-Key sklop po Sallenu i Keyu, autorima flanka koji opisuje ovu
tehniku.
Projektiranje filtra u s-području
Najsnažnija primjena Laplace transformacija je projektiranje sustava
neposredno u s-podrufju. Sastoji se od dva koraka:
1. s-područje se projektira specificiranjem broja i lokacija polova i nula. To je
čisto matematički problem s ciljem dobivanja najboljeg frekvencijskog
odziva
2. Izvodi se elektronički sklop koji omogudava predstavljanje specificiranog
s-područja. To je dijelom umjetnost, bududi da postoje mnoge konfiguracije
koje imaju zadani dijagram polova i nula.
Kako smo ved naglasili, 4. korak postupka Laplaceove transformacije je težak
ako sustav sadržava više od dva pola ili dvije nule. Uobifajeno rješenje je
primjena višestrukih polova i nula u sukcesivnim stupnjevima. Tako 6 polni
filter implementiramo u obliku tri sukcesivna stupnja, gdje svaki stupanj
sadržava po dva pola i nula. Bududi da se svaki stupanja može prikazati u spodrufju podijelom kvadratne jednadžbe brojnika s nazivnikom, neki taj
postupak nazivaju projektiranje s biquadima.
Ozren Bilan
61
Jednadžbe pokazuju da polovi uvijek leže
na obodu kružnice polumjera: 1/RC.
Tofan položaj duž kružnice zavisi o
faktoru pojafanju. Slika (a) pokazuje da
jedinično pojačanje postavlja oba pola
na realnoj osi.
Sallen-Key lokacije polova. Jednadžbe povezuju položaj polova, σ i ω, s
pojačanjem A, otporom R i kapacitetom C
Ozren Bilan
62
Slika (b) pokazuje se uz pojafanje 1.586
polovi smještaju pod kutem od 45
stupnjeva, što daje oštriji frekvencijski
prijelaz. Daljnje pojafanje pomife polove
sve bliže imaginarnoj osi uz frekvencijski
odziv koji pokazuje vrhove krivulje.
To ilustrira slika (c), gdje pojafanje iznosi
2.5. Amplitude vrhova nastavljaju rasti
daljnim porastom pojafanja, sve dok ne
dođe do 3.
-3dB (0.707) odrezna frekvencija sklopa,
oznafena s ω0, nalazi se na presjecištu
kružnice s imaginarnom osi ω0 =1/RC.
Slika (d) pokazuje poseban slufaj kada su
polovi na imaginarnoj osi. Pripadajudi
frekvencijski odziv pokazuje beskonačno
veliku vrijednost vrhova. U praksi to znafi:
filter se pretvorio u oscilator. Daljnjim
porastom pojafanja polovi sve dublje ulaze
u desnu s-poluravninu. Kako smo
prethodno naglasili, to znafi sustav je
postao nestabilan (spontane oscilacije).
63
Ozren Bilan
64
Slika pokazuje idudu razinu sofistikacije pri strategiji projekta filtra: eliptifni filter. On
postiže najoštriji mogudi prijelaz pri dozvoljenom valovanju u propusnom i
nepropusnom podrufje. U s-podrufje, to se postiže nulama na imaginarnoj osi, a prva je
u okolišu odrezne frekvencije. Eliptifni filteri mogu imati nekoliko varijacija i znatno se
teže projektiraju od Butterworth i Čebiševljeve konfiguracije. To je zbog toga što polovi i
nule eliptifnog filtra ne leže na jednostavnim geometrijskim oblicima nego u
matematifkim postovama kao što su eliptifne funkcije i integrali pa odatle i njihov naziv.
Koristedi Sallen-Key sklop kao gradivni blok,
mogude je konstruirati veliki broj raznih tipova
filtara. Npr., niskopropusni Butterworth filtar
dobije se jednolikim smještanjem izabranog
broja polova oko lijeve polukružnice, što
prikazuje slika. Svaki od polova u ovoj
konfiguraciji zahtijevaju jedan Sallen-Key
stupanj.
Butterworth filter je maksimalno linearan,
dakle, ima najoštriji prijelaz između
propusnog i nepropusnog podrufje bez vrha u
frekvencijskom odzivu. Prijelaz je brži što je
primijenjeno više polova. Bududi da svi polovi
Butterworth filtra leže na istoj kružnici, svi
stupnjevi kaskade koriste iste R i C vrijednosti.
Među stupnjevima razlifito je samo
pojafanje. Zašto ovaj kružni položaj polova
omogudava optimalno linearan odziv?
Bududi da svaki biquad daje dva pola, filtri parnog reda (2 polni, 4 polni, 6 polni, itd.)
konstruiraju se kaskadom biquad stupnjeva. Međutim, filtri neparnog reda (1 polni, 3
polni, 5 polni, itd.) zahtijevaju nešto što biquad nikako ne može omoguditi: jedan pol na
realnoj osi. Taj zahtjev pri projektiranju pretvara se u jednostavni RC sklop dodan
kaskadi. Tako 9 polni filter možemo konstruirati iz 5 stupnjeva: 4 Sallen-Key biquada plus
jedan stupanj koji se sastoji od kondenzatora i otpora.
Nabrojeni klasifni oblici polova i nula koriste se za nisko propusne filtre. Međutim,
mogude ih je modificirati u druge frekvencijske odzive. Prvo se projektira nisko propusni
filter, a zatim se izvede potrebna transformacija u s-podrufju. Prvo se prorafunaju
položaji polova nisko propusnog filtra pa napiše prijenosna funkcija H(s) u obliku
jednadžbe 32-3. Prijenosna funkcije pripadajudeg visoko propusnog filtra odredi se
zamjenom svakog "s" sa "1/s" i sređivanjem izraza kako bi dobili izraz za pojafanje u
obliku polova i nula kao u jednadžbi 32-3. Tako dobivamo nove lokacije polova i nula
koje implementiraju visoko propusni filtar. Mnogo složenijim transformacijama spodrufja možemo projektirati pojasno propusne i pojasno nepropusne filtre iz
pofetnog niskopropusnog. Prikazana matematifka manipulacija u s-podrufje je
centralna tema projektiranja filtra i tome su posvedene cjele knjige.
Projektiranje analognih filtera je 90% matematike, a samo 10% elektronike.
Za to ne postoji ni očit ni intuitivan odgovor;
to je izvan matematike.
Ozren Bilan
Izvršimo li analizu sklopa u fetiri koraka, lokacije polova sklopa mogu se
odrediti vrijednostima komponenata:
Porastom pojafanja, polovi se kredu duž
kružnice uz odgovarajudu promjenu
frekvencijskog odziva.
Frekvencijski odziv konfiguracije je nisko
propusni filter s relativno glatkim
prijelazom
između
propusnog
i
nepropusnog podrufja.
Ozren Bilan
Iako postoji nekoliko varijacija, uobifajen je sklop koji koristi dva otpora
jednake vrijednosti, dva kondenzatora jednakih vrijednost i pojačalo s
faktorom pojačanja između 1 i 3. Pojafala se mogu konstruirati jednostavnim
operacionalnim pojafalima s odgovarajudim otporima povratne veze.
65
Ozren Bilan
66
11
21.10.2013.
Klasični oblik polova i nula. Tri
klasična oblika polova i nula pri
projektiranju filtra.
Međutim, projekti visoko propusnih
filtra koristedi Sallen-Key stupanj ne
zahtijevaju
ovu
matematifku
manipulaciju.
Jednostavnom zamjenom "1/s" s "s"
u s-podrufje odgovara zamjena
otpora i kondenzatora u sklopu. U sravnini, ovaj postupak postavlja
polove na nove pozicije i dodaje
dvije nule upravo na ishodište. Tako
dobivamo frekvencijski odziv s
vrijednošdu nula u ishodištu
(istosmjerni napon), kao što i
ofekujemo od visoko propusnog
filtra.
Tako Sallen-Key sklop dobiva puni
potencijal: primjena dva pola i dvije
nule.
Butterworth filtri imaju polove
jednoliko
raspodijeljene
po
kružnici, što daje maksimalno
ravan odziv.
Čebiševljevi filtri imaju polove
locirane na elipsi, što daje oštriji
prijelaz
uz
valovanje
u
propusnom području.
Butterworth s-ravnina. Niskopropusni
Butterworth filter dobiva se
smještanjem polova na istoj udaljenosti
oko lijeve polukružnice. Što je broj
polova vedi brže je gušenje odziva.
Ozren Bilan
Eliptični filtri dodaju nule u
nepropusno područje. Tako se
dobiva brži prijelaz s valovanjem
u propusnom i nepropusnom
području.
67
Ozren Bilan
68
z – TRANSFORMACIJA
z – TRANSFORMACIJA
Isto tako kako se analogni filtri projektiraju primjenom Laplaceove
transformacije, rekurzivni digitalni filtri (IIR) projektiraju se primjenom ztransformacije. Postupci su vrlo slifni: ispitamo impulsni odziv sinusnim i
eksponencijalnim valnim oblicima kako bi smo odredili nule i polove sustava.
Pri tome Laplaceova transformacija koristi diferencijalne jednadžbe, sdomenom i s-ravninom. z-transformacija koristi jednadžbe diferencija, zpodrufje i z-ravninu. Pri tome s-ravninu prikazujemo u Kartezijevom
ortogonalnom koordinatnom sustavu, a z ravninu u polarnom sustavu.
Isto tako kako se analogni filtri projektiraju primjenom
Laplaceove transformacije, rekurzivni digitalni filtri
(IIR) projektiraju se primjenom z-transformacije.
Postupci su vrlo slifni.
z ravninu prikazujemo u polarnom sustavu.
Rekurzivni digitalni filtri najfešde se pofinju projektirati s klasifnim analognim
filtrom kao što je Butterworth, Čebiševljev ili eliptifki, a zatim se primjenjuje
serija matematifkih pretvorbi kako bi se dobio željeni digitalni filter.
Matematički alat koji to omogudava zove se z-transformacija.
Ozren Bilan
69
z – TRANSFORMACIJA
Ozren Bilan
70
Zašto transforimiramo u z-podrufje?
z-transformacija se primjenjuje pri analizi i projektiranju DSP sustava isto tako
kako se Laplaceova transformacija koristi za analogne ili vremenski ustaljene
sustava . Fourierova analiza razvijena je za kontinuirane signale u vremenskom
podrufju ali je korisna i za diskretne signale i sustave. z-transformacija i
Fourierova transformacija su povezane.
Glavna tema bit de definicija transformacije, transformacijski parovi i svojstva,
dijagram polova i nula, podrufje konvergencije, stabilnost sustava, inverzna
transformacija, filteri, tranzijentni odziv i sustavi s pofetnim uvjetima.
z-transformacija primjenjuje se na diskretne signale i sustave.
Za sada znamo da se sustav može opisati
• ulazno-izlaznom jednadžbom diferencija,
• impulsnim odzivom ili
• frekvencijskim odzivom.
z-transformacija pretvara sekvencu {x[n]}, u funkciju neke
arbitrarne kompleksne variable z, X(z).
Zašto to radimo?
• Kompleksne funkcije mnogo se lakše obrađuju nego sekvence
• Korisne operacije koje se izvode sa sekvencama odgovaraju
vrlo jednostavnim operacijama sa z-transformiranim izrazima:
zbrajanje, množenje, skaliranje, vremenski pomak, konvolucija
Dvostrana
definicija:
Pogledajmo četvrtu karakterizaciju sustava.
Ozren Bilan
71
Ozren Bilan
72
12
21.10.2013.
X(z), z-transformacija kauzalnog diskretnog vremenski
promjenjivog signala x(n) definirana je:
z je kompleksna varijabla transformacijskog podrufja i
poimamo je kao kompleksnu frekvenciju. Prisjetimo
se da indeks n može biti vrijeme, prostor ili nešto
trede, ali je najfešde rijef o vremenu. Prema
navedenoj definiciji, X(z) je cjelobrojni red potencija
koji odgovaraju x(n) kao koeficijentima. Razvijamo X(z)
u red potencija:
Definicija z-transformacije iz DTFT
Definicija
Prisjetimo se da je DTFT definirana
z-ravnina
X(e j )
x[n]e j
n
jn
Bududi da zamjenjujemo gradivne blokove kompleksne eksponencijale e
pomodu z n , razumno proširenje X(e j )
Jednadžba sumira od n= 0 do ∞. Dakle, X(z) nije ni na
koji način u odnosu sa prethodnim (prošlim)
vrijednostima x(n). To je jednostrana ili unilateralna ztransformacija. Ona može uzeti u obzir pofetne uvjete Jedinifna
kružnica
x(n).
Opdenito, signal postoji u prošlosti i bududnosti (tj.
cijelo vrijeme trajanja) pa dvostranu ili bilateralnu z–
transformaciju definiramo:
bilo bi
X(z)
x[n]z n
n
To moramo shvatiti kao građenje vremenske funkcije ponderiranom sumom
n
jn
funkcija z umjesto e
.
Zato jer X(z) predstavlja beskonafni red potencija z-1 , transformacija postoji
samo za vrijednosti pri kojima red konvergira (tj. teži nuli kad n-> ∞ ili -∞ ). Dakle
kada je z-transformacija konafna pridruženo joj je područje konvergencije.
73
Ozren Bilan
Ozren Bilan
74
Ozren Bilan
76
Inverzna z-transformacija
Signal x(n) i njegova transformacija X(z) tvore transformacijski par:
Jedan od nafina određenja inverzne transformacije, kad je to mogude,
je korištenje definicije z-transformacije. Opdenite metode inverzne ztransformacije analizirat demo naknadno.
z–transformacijski parovi
Tablica pokazuje z-transformacijske parove gdje je jedinifna kružnica s
centrom u ishodištu koordinatnog sustava. Svi signali su kauzalni (na
desnoj strani), osim dva koji su antikauzalni (s lijeve strane).
Transformacija se može ekvivalento izraziti ili kao funkcija z , npr.:
Opdi parovi z-transformacije
ili
Ozren Bilan
75
(b) Signal je izmjenifno pozitivan i negativan s
porastom vrijednosti, dakle signal je divergentan.
Nakon nekoliko pokušaja, određujemo mu
matematifki izraz:
Primjer: Odredi matematifki izraz signala na slici pa odredi z-transformaciju
(a) Signal je kauzalan i jednoliko slabi, a vrijednost mu
je 0,8n za n≥ 0. Pišemo x(n) = 0.8n u(n) i koristimo
transformaciju:
X(z) = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +…
= 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + …
Primjenom sume beskonafnog geometrijskog reda:
x(n) = (-1.2)n–1 u(n-1)
gdje (-1.2)n u(n) kasni za jedan indeks
(uzorak). Transformacijom dobivamo:
1
1 + x + x2 + x3 + … = x = 1 x , x< 1
1
z
Uz x 0.8z 1 dobivamo X(z) = 1 0.8 z 1 = z 0.8
Rješenje možemo napisati u bilo kojem od dva oblika.
1
Uvjet | 0.8 z | 1 znafi | z | 0.8 .
n
Pogodniji oblik ovisi o tome što
želimo postidi s transformacijom
n 0
x( n )z
X(z) =
n 0
n
=
1.0(z–1)
=0+
– 1.2(z–1)2 + 1.44(z–1)3 – 1.718(z–1)4 + … =
= z–1 [1 + (-1.2z–1) + (-1.2z–1)2 + (-1.2z–1)3 + …] =
1
z 1
= z–1 1 1.2z 1 = 1 1.2 z 1 =
Ozren Bilan
77
1
z 1.2
Ozren Bilan
78
13
21.10.2013.
Prorafun z-transformacije
x[n]z n
n
1
1 z
1
n0
n0
X(z)
n z n (z 1 )n
x[n]z n
n
Neka je
z
z
79
1
n z n
n
1
(z 1 )n
n
l n;n l ;n 1 l 1
1
Onda je
Ozren Bilan
x[n] nu[n 1]
Zadane je diskretna funkcija
x[n] nu[n]
Zadane je diskretna funkcija
X(z)
Prorafun z-transformacije
n
l1
l0
(z 1 )n (z 1 )l 1 (z 1 )l 1
1
1 z 1
Ozren Bilan
1
1 z 1
80
Z-transformacija u Matlabu
Znafaj podrufja konvergencije
U primjerima 1. i 2. iako su vremenske funkcije razlifite,
imaju istu z-transformaciju. Dakle, nešto nedostaje!?
Područje konvergencije.
U primjeru 1., suma
X(z)
U primjeru 2, suma
X(z)
n z n konvergira samo za
z
n0
1
n z n konvergira samo za z
n
Dakle, opdenito moramo specificirati ne samo ztransformaciju vremenske funkcije, nego i njeno područje
konvergencije.
Ozren Bilan
81
Ozren Bilan
82
Za određivanje polova i nula z-transformacije funkcije X(z)
u Matlabu koristimo funkciju residuez.
Funkciju X(z):
Matlab naredba je [r, p, k] = residuez (b, a)
Gdje je r vektor nula, p vektor polova, a vektor koeficijenata brojnika, b vektor
koeficijenata nazivnika.
Ozren Bilan
Detaljnije na LABORATORIJSKIM VJEŽBAMA:
83
Ozren Bilan
84
14
21.10.2013.
Primjer 2
Razvoj u parcijalne razlomke
Odredi Laplaceovu transformaciju izraza I L ( s )
U Matlabu razvoj u parcijalne razlomke izvodi se funkcijom residue( ).
Primjer 1
s 2 12
Želimo odrediti inverznu Laplaceovu transformaciju F ( s) 3
2
num = [38400000];
den = [1 64000 1600000000 0];
[r, p, k] = residue(num, den)
s 5s 6 s
Potrebno je F(s) rastaviti u jednostavniji oblik razvojem u parcijalne razlomke:
Matlab
b =[1 0 12];
% Generiramo polinom brojnika
n = [1 5 6 0]; % Generiramo polinom nazivnika
[r,p,k] = residue(b, n)
% Rezultat:
Primjena: [r, p, k] = residue(b, n)
r = 7.0000 -8.0000
2.0000
r su koeficijenti parcijalnih razlomaka
p su polovi
p = -3.0000 -2.0000
0
k je direktni izraz
k = []
Rješenje
r = -0.0120 + 0.0160i
-0.0120 - 0.0160i
0.0240
p = 1.0e+004 *
-3.2000 + 2.4000i
-3.2000 - 2.4000i
0
k= []
Rezultat možemo napisati u obliku: I L ( s )
Nakon sređivanja:
24 10 3
20 10 3 126,87
20 10 3 126,87
s
s 32,000 j 24000 s 32000 j 24000
iL (t ) 24 10 3 40 10 3 e 32000t cos(24000t 126,87 ) [A]
85
Ozren Bilan
384 105
s ( s 2 64000 s 16 108 )
Potrebni je izvršiti razvoj u parcijalne razlomke.
Matlab omogudava prorafun koeficijenata parcijalnih razlomaka:
86
Ozren Bilan
Primjer: impulsni odziv sustava h(n)=[1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6] Odredi prijenosnu funkciju
z–transformacija sustava
z-transformacija može se primijeniti na signale i sustave zbog toga što
sustave možemo predstaviti impulsnim odzivom koji su kao i signali u
funkciji indeksa n. Zbog ovog svojstva z-transformacija je korisna pri
analizi i sintezi sustava jer signali i sustavi međusobno djeluju.
U specififnom slufaju, z–transformacija impulsnog odziva h(n) je:
Rijef je o nekauzalnom FIR sustavu. Prijenosna funkcija
određena mu je jednadžbom:
H(z) =
=
jednostrana
h(n) z = h(n) z
n
n
3
n
=
n 2
z 2 2 z 1 3 4 z 1 5z 2 6 z 3
ILI
dvostrana
transformacija
Ozren Bilan
U suprotnom zadatku, ako poznajemo (prijenosnu
funkciju) H(z) lako možemo odrediti (impulsni odziv
sustava) h(n).
87
Ozren Bilan
88
Iz prethodnog izraza izvodimo izraz H(z) za rekurzivne filtere:
Prijenosna funkcija izražena koeficijentima
filtera
(rekurzivni filteri)
Prisjetimo se opde jednadžbe diferencija filtera
Nerekurzivnim filterima je izraz
(nerekurzivni filteri)
Gdje su ak i bk konstante koeficijenata filtera.
Izvršimo li supstituciju
x(n) = zn
y(n) = znH(z)
dobivamo:
Navedene prijenosne funkcije proizlaze iz jednadžbe filtera
U literaturi se može nafi ovaj izraz napisan sa svim vrijednostima y s lijeve strane
jednadžbe, pa je izraz za H(z) razlifit.
Ovdje prikazana ideja sugerira da ako je poznata jednadžba filtera, koeficijente
možemo diretnno uvrstiti u jednadžbu H(z) bez izvođenja z-transformacije.
U suprotnom, ako znamo H(z) poznajemo i koeficijente
Ozren Bilan
89
Ozren Bilan
90
15
21.10.2013.
Primjer: zadana je H(z) odredi jednadžbu diferencija filtera
H(z) =
SVOJSTVA z –TRANSFORMACIJE
2 z 2 3z
z 2 0.5 z 0.8
Svojstva dvostrane (bilateralne) z–transformacije možemo shvatiti kao
teoreme. Osnovna svojstva, koja demo kratko obraditi, su:
Napišemo H(z) kao funkciju z-1 tako da pomnožimo brojnik i nazivnik s z-2 :
2-3z 1
2 3z 1
H(z) =
1 0.5 z 1 0.8 z 2 1 (0.5 z 1 0.8 z 2 )
Koeficijenti su onda
b0 = 2
b1 = -3
a1 = -0.5
•
•
•
•
Linearnost
Vremenski pomak
Vremenska konvolucija
Odnos sa Fourierovom Transformacijom u diskretnom
vremenu (DTFT)
• Druga svojstva
a2 = 0.8
Pa je jednadžba diferencija filtra:
y(n) = -0.5y(n-1) – 0.8y(n-2) + 2x(n) - 3x(n-1)
Pri tome podrazumijevamo z-transformacijski par
x(n) X(z).
91
Ozren Bilan
Vremenski pomak
Linearnost
Prvo analizirajmo z-transformaciju jedinifnog uzorka (ili jedinifnog
impulsa)
(n) i jedinifnog uzorka pomaknutog unazad (n-n0):
X(z) = δ(n)z n = z n z 0 = 1
Linearnost možemo izraziti kao:
n 0
a1x1(n) + a2x2(n) a1X1(z) + a2X2(z)
n
X(z) = δ(n n0 ) z = z
n
n 0
Gdje su a1 a2 konstante. Isti oblik izraza primjenjiv je i na više
ulaznih signala. Dakle, linearnost znafi da de linearna
kombinacija izlaza dati istu linearnu kombinaciju izlaza.
Za z–transformaciju (i mnoge ostale transformacije) linearnost je
temeljno i vrlo važno svojstvo. Omogudava nam određivanje
transformacije i inverzne transformacije u slufajevima
kombinacija velikog broja izraza.
n
x(n – n0) X(z) z 0
x(n + n0) X(z) z +n0
(pomak unazad, kašnjenje)
(pomak unaprijed, prethođenje)
To je razlog zbog kojeg u blok dijagramima sustava, pišemo
za jedinično kašnjenje z-1, a z za jedinično prethođenje.
94
Ozren Bilan
Vremenski obrat
Kao i za Fourierovu transformaciju, najvažnije i najsnažnije svojstvo ili
teorem z–transformacije je vremenska konvolucija koja kaže:
Konvolucija dvije vremenske funkcije odgovara normalnom umnošku
njihovih z-transformacija
x1(n) x2(n) X1(z) X2(z)
Najfešda je konvolucija ulaznog signala x(n) i impulsnog odziva h(n)
sustava:
x(n) h(n) X(z) H(z)
Gdje je H(z) prijenosna funkcija. Izlazni signal u vremenskom podrufju
određen je izrazom:
y(n) = x(n) h(n),
a u z–podrufju:
Y(z) = X(z) H(z)
Y ( z)
X ( z)
x(-n) X(z–1)
dokaz:
95
Z[x(-n)] = x(n) z = x(k )( z ) = X(z–1)
Npr.
1
1
u(n) 1 z u(-n) 1 z
n
n
Dakle, prijenosna funkcija ili funkcija sustava je odnos z–
transformacije izlaza prema z-transformaciji ulaza. Ovo stajalište
omogudava određivanje prijenosne funkcije sustava, a preko inverzne
transformacije, određivanje impulsnog odziva.
Ozren Bilan
= z n0
Dakle, kašnjenje za n0 (podrazumijevamo n 0 0 ) uzoraka odgovara
faktoru transformacijskog izraza. Izrazimo li signal x(n) u obliku
jedinifnih uzoraka pa primijenimo linearnost dobivamo opde rješenje:
Konvolucija u vremenu
H(z) =
z n0
93
Ozren Bilan
Proizlazi:
92
Ozren Bilan
1 k
k
1
Ozren Bilan
96
16
21.10.2013.
Množenje u vremenu
Skaliranje diskretnom eksponencialom
anx(n)
X(a–1z)
Svojstvo je poznato iz Fourierove transformacije ali izraz u z–
podrufju je integral umjesto obifne konvolucije:
Dokaz:
Tako npr. poznajemo li transformaciju izraza:
lako možemo odrediti transformaciju
Gdje je C krivulja oko ishodišta koja leži unutar podrufja
konvergencije X1 i X2
(vidi tablicu).
97
Ozren Bilan
98
Ozren Bilan
Kompleksna konjugacija
Deriviranje u z-području
x*(n) ↔
( X ( z * ))*
Početna i konačna vrijednost
Dokaz:
Deriviramo obje strane definicije pa dobivamo
Početna vrijednost
x(0) = lim X(z)
z
Znafaj svojstva: ako poznajemo X(z), a želimo odrediti x(0) tada ne treba izvršiti
inverznu transformaciju.
((z 1)X(z))
Konačna vrijednost
lim x(n) = zlim
1
Što je drugi oblik izraženog svojstva.
Npr. odredimo z-transformaciju signala
z
Znafaj svojstva je slifno prethodnom ali u odnosu na konafnu vrijednost x(n).
Primjena svojstva je određivanje ustaljenog odziva sustava u odnosu na jedinifni
step ulaz. z-transformacija jedinifnog stepa je:
𝑧
Uvrstimo
𝑋 𝑧 =
𝑧−1
z-transformacija x(n) prema tablici je
Ustaljeni odziv sustava H(z) s jedinifnim step ulazom određen je :
Onda je:
Zamjenom z sa 𝑒 𝑗𝜔 u H(z) dobivamo frekvencijski odziv H(ω). Dakle, z=1
odgovara ω=0, a odziv H(ω) je odziv na nultoj frekvenciji.
𝑧
lim 𝑠 𝑛 = lim 𝑧 − 1
𝐻 𝑧 = lim 𝐻(𝑧)
𝑛→∞
𝑧→1
𝑧→1
𝑧−1
99
Ozren Bilan
Odnos s Fourierovom transformacijom u
diskretnom vremenu (DTFT)
Primjer svojstva konačne vrijednosti
Z-transformacija dovodi u vezu diskretne signale i
sustave s Fourierovom transformacijom na isti
nafin kojim Laplaceova transformacija dovodi
kontinuirane signale i sustave s Fourierovom
transformacijom. Napravimo li suspstituciju:
z = ejω u definiciju z-transformacije dobivamo:
Ako je jednadžba diferencija sustava y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n)
Možemo odrediti odziv na step 𝑠 𝑛 = [𝟏, 1.8, 2.44, … , 𝟓. 𝟎]
Vrijednost 5.0 je konafna ustaljena vrijednost. Iz zadane jednadžbe
𝑧
diferencija možemo odrediti prijenosnu funkciju: 𝐻 𝑧 = 𝑧−0.8
Konafna vrijednost odziva na step primjenom svojstva bit de
1
lim 𝑠 𝑛 = lim 𝐻 𝑧 =
= 𝟓. 𝟎
𝑛→∞
𝑧→1
1 − 0.8
Ogranifenje
lim 𝑠 𝑛 = lim 𝑧 − 1
𝑛→∞
𝑧→1
𝑧
𝑧−1
X(ω) =
H(ω) =
x(n)e
jn
n
h(n)e jn
(signal)
Jedinifna
kružnica
n -
𝐻 𝑧 = lim 𝐻(𝑧)
𝑧→1
101
z-ravnina
(sustav)
To su upravo Fourierove transformacije koje
poznajemo. Pri tome su X(ω) i H(ω) periodični s
periodom 2 . Zakljufujemo da je preslikavanje:
postoji samo u slufaju ako podrufje konvergencije (z- 1)H(z) ukljufuje
jedinifnu kružnicu.
Ozren Bilan
100
Ozren Bilan
H(ω) = H z z = e jω
Odnos X(ω) i X(z) je slifan. Magnituda i faza z u
odnosu na ω su:
Ozren Bilan
z = ejω = 1
z = ejω = ω
Fourierova
transformacija
je
z–
transformacija kada je z ograničen na
jediničnu kružnicu. Kako se z krede uzduž
kružnice mijenja se frekvencija. X(ω) i
H(ω) su 2 periodifne pa ih analiziramo
samo u periodu 2 , u intervalu [- , ]
ili [0 , 2 ].
102
17
21.10.2013.
Raspored polova i nula X(z) u z-ravnini nazivamo dijagram polova i
nula. Slika prikazuje dijagram polova i nula za nekoliko jednostavnih
signala. Jedinični uzorak δ(n) je jedina funkcija koja nema ni pol ni
nulu.
Dijagram polova i nula vrlo je koristan pri analizi i projektiranju
digitalnih filtera i sustava. U stvarnosti samo položaj polova
djeluje na signale.
Kada je signal x(n) ili impulsni odziv h(n) realan, polovi i nule su
realni ili se javljaju ka kompleksno konjugirani parovi.
DIJAGRAM POLOVA I NULA
z-transformacija realnih signals i linearnih vremenski npromjenjivih
sustava su racionalne funkcije dva polinoma od z, pa pišemo
N ( z)
X(z) ili H(z) = D( z)
Gdje je N(z) polinom brojnika, a D(z) polinom nazivnika.
Ako su z1, z2, z3 … korjeni N(z), a p1, p2, p3 … korijeni D(z), tada ztransformaciju možemo napisati u obliku
L
N(z)
H(z) =
=
D(z)
G ( z z1 )( z z 2 )( z z 3 )... z-z L
G k M1
( z p1 )( z p 2 )( z p3 )... z-pM
Jedinifna kružnica
z z k
Dvostruki pol
z-p
k
k 1
Gdje je G pojafanje ; z1, z2, z3 … su nule u kojima je H(z)=0; a p1, p2, p3
… su polovi u kojima H(z)→∞, L je red brojnika , M nazivnika.
H(z) je racionalni polinom samo onda kada je L≤ M (red brojnika je
manji od reda nazivnika).
103
Ozren Bilan
Ozren Bilan
Polovi i nule u ishodištu
Magnitudni dijagram X(z), H(z)
Prijenosna funkcija – površina u z-području
Prijenosna funkcija H(z) je kompleksna
funkcija (kompleksni polinom s realnim
koeficijentima) kompleksne varijable z.
Sve vrijednosti z smještene su u kompleksnoj
ravnini pa se H(z) može prikazati kao površina
u z-podrufju.
Magnituda površine određena je konturama
koje određuju nule i polovi prijenosne
funkcije.
Frekvencijski
odziv
predstavljen
je
vrijednostima oko jedinifne kružnice u
ishodištu.
Nacrtat demo magnitudu prijenosne funkcije
za vrijednosti varijable z, za visokopropusni
filter kvantizera oblikovanja šuma 1. reda.
1
H ( z)
1 0.5 z 1
MATLAB
funkcije
omogudavaju
nam
trodimenzionalni prikaz promjene magnitude |H(z)|
u odnosu na koordinate Re(z) i Im (z).
104
Polovi i nule u ishodištu ne djeluju na magnitudni i fazni odziv nego na vrijeme
pojave odziva. Odziv se javlja ranije ili kasnije s obzirom na vrijeme pojave
pobude. Nula u ishodištu kasni odziv za jedan indeks. Pol u ishodištu prethodit
de odziv za jedan indeks. Pri projektiranju možemo dodavati polove i nule
sustavu kako bi dobili trenutni odziv ili ga ufinili kauzalnim.
Analizirajmo prijenosnu funkciju s 3 pola u z = 0, 1 i 2
Jednadžba diferencija de biti: y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n-3), pa de izlazni signal
ovisiti o 3 prethodna indeksa ulaznog signala. Kako bi se sustav trenutno odazvao
na pobudu prethodimo izlaz za 3 indeksa dodavanjem 3 nule u ishodište.
Prijenosna funkcija postaje
Magnitudni dijagram prijenosne funkcije H(z)
jedinifna kružnica
Ozren Bilan
S odgovarajudom jednadžbom diferencija: y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n)
Kako bi se sustav trenutno odazvao na ulazni signal, njegova prijenosna funkcija
treba imati jednak broj polova i nula.
Drugim riječima polinomi brojnika i nazivnika trebaju biti jednaki.
105
Ozren Bilan
106
Primjer: poništavanje polova i nula
Poništavanje polova i nula
Ako se u racionalnom polinomu z–transformacije podudara nula s
polom, ovaj para nule i pola se poništava. Tako se reducira red
polinoma, a kao poslijedicu imamo da se pojednostavljuje jednadžba
diferencija.
Ova tehnika poništavanja pola s nulom ponekad se koristi u digitalnoj
obradi signala i pri projektiranju sustava upravljanja. Bududi da je izlaz
predstavljen interakcijom ulaznog signala i sustava mogude je izabrati
takav sustav koji de poništiti pol ili nulu ulaznog signala. Poništenje pola
nulom može seizvršiti unutar sustava.
U nekim situacijama dva nestabilna sustava
mogu postati stabilna postupkom poništavanja
polova i nula. Međutim, može dodi i do
promjene odziva.
Nestabilan
pomnožimo s
Međutim, može nastati problem ako poništavanje pola i nule nije
idealno zbog ufinka konačne dužine riječi i drugih razloga, pa
projektirani sustav može postati nestabilan.
Ozren Bilan
107
Ozren Bilan
108
18
21.10.2013.
PODRUČJE KONVERGENCIJE, STABILNOST
Red kojim definiramo z–transformaciju:
PODRUČJE KONVERGENCIJE
KAUZALNIH I NEKAUZALNIH SUSTAVA
Kauzalni signal
Zadan je x(n) = 0.8nu(n) = 1 , 0.8 , 0.82 , 0.83 , …
može pofeti divergirati pa definicija više ne vrijedi. Područje konvergencije je
područje u kojem z-transformacija X(z) ili H(z) konvergira.
Podrufje konvergencije omogudava jedinstveno određivanje inverzne z–
transformacije.
Pogledajmo primjere:
• Jedinifni uzorak ima z-transformaciju jednaku 1, zbog toga je podrufje
konvergencije cijela z ravnina .
• Signal (n+k) s k>0 ima z–transformaciju zk ,
podrufje konvergencije je cijela z–ravnina, osim u z = .
• Signal x(n) = [1 , 2 , 3 , 4 , 5] ima z-transformaciju
X(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 4z-3 + 5z-5
podrufje konvergencije je cijela z–ravnina, osim u z = 0 (ishodište).
• Sgnal h(n) = [1 , 2 , 3 , 4 , 5] ima z-transformaciju
H(z) = z2 + 2z + 3 + 4z-1 + 5z-2
podrufje konvergencije je cijela
z-ravnina osim z = 0 i z =
Ozren Bilan
n
n 0
X(z) = 0.8n u(n) z n = (0.8z
1 n
)
=
1
1 0.8 z 1
0.8 z 1 1
Korišten je razvoj u beskonafni geometrijski red.
Uvjet0.8z-1< 1 znafi z> 0.8 .
Podrufje konvergencije je sva površina izvan kružnice
polumjera 0.8.
Transformacija ima nulu u ishodištu i pol u z = 0.8.
109
110
Ozren Bilan
Nekauzalni signal
Zadan
Sumiranje daje:
jedinifna
kružnica
Uvjet0.8-1z< 1 znafiz< 0.8. Podrufje konvergencije je površina unutar
kružnice polumjera 0.8
Opdenito
Kauzalan:
(desnostrani)
jedinifna
kružnica
Postoje situacije kada ne postoji podrufje konvergencije dakle,
z-transformacija ne postoji.
Tako npr. signal
x(n) 1.2 n u(n) 0.8 n u(n 1)
Nekauzalan
(lijevostrani)
Konstanta a može biti realna ili kompleksna. Kada signal posjeduje mnogo
kauzalnih izraza, podrufje konvergencije je izvan kružnice s najvedim polumjerom.
Kada signal ima mnogo nekauzalnih izraza, podrufje konvergencije je unutar
kružnice s najmanjim polumjerom.
Problem: što napraviti ako signal ima kauzalne i nekauzalne flanove?
111
Ozren Bilan
Stabilnost i kauzalnost
Za pouzdani rad sustava nužna je stabilnost – ona osigurava da u vremenskom
podrufju impulsni odziv ne divergira. U z podrufju nužan i dovoljan uvjet
stabilnosti LTI sustava je područje konvergencije unutar jednične kružnice.
Stabilnost ne ukljufuje kauzalnost. Kauzalni sustav je stabilan kada su mu svi
polovi unutar jedinifne kružnice, a nule su nevažne. Uvjet je:
pmax 1
gdje je p magnituda najvedeg pola sustava. Antikauzalni sustav je stabilan kada
su mu svi polovi izvan jedinifne kružnice, a nulu se nevažne:
max
pmin 1
Gdje je p magnituda najmanjeg pola. Slika ilustrira podrufje konvergencije.
Također postoje i sustavi fije je impulsdi odziv nije niti konvergentan niti
divergentan nego ostaje nepromijenjiv. Takvim sustavima polovi su upravo na
jediničnoj kružnici. Nazivamo ih marginalno stabilni (oscilatorni).
U DSP stabilnost je mnogo važnija od kauzalnosti.
min
jedinifna
kružnica
Ozren Bilan
jedinifna
kružnica
113
ima podrufje konvergencije z> 1.2 za prvi izraz, az< 0.8 za
drugi izraz pa je ukupno podrufje konvergencije jednako nuli, za
razliku od jedinifnog impulsa kojem je podrufje konvergencije
cijela z-ravnina.
Ozren Bilan
112
INVERZNA z-TRANSFORMACIJA
Signali sustavi karakterizirani vlastitim impulsnim odzivom su u funkciji
indeksa vremena n. Transformacija u kompleksno vremensko podrufje
z potrebna je zbog razloga ispitivanja dodatnih karakteristika.
Međutim, najčešde izvodi se inverzna z-transformacija kako bi mogli
analizirati rezultat u vremenskom području.
Kao i pri svim ostalim transformacijama, inverzna transformacija daleko
je složenija. Standardni postupak inverzije je
• Razvoj u parcijalne razlomke.
Osim toga poznati su i postupci:
• Teoretska inverzna z-transformacije
• Metoda redova potencija
• Transformiranje jednadžbi u z-podrufju u jednadžbe u vremenskom
podrufju
Ozren Bilan
114
19
21.10.2013.
Racionalni polinom i jednostavni polovi
METODA PARCIJALNIH RAZLOMAKA
Primjenom metode parcijalnih razlomaka, nakon razvoja
zadanog izraza z-transformacije u parcijalne razlomke
koristimo transformacijske parove koje smo prikazali
tablifno uz svojstva z transformacije kako bi odredili
pripadajude izraze u vremenskom podrufju.
Nule izraza X(z) ili H(z) (ovdje uzimamo X(z) kao primjer) su nevažni jer
metoda razmatra samo polove. Racionalni polinom pišemo u obliku:
N (z)
N (z)
X(z) =
D(z) (z p )(z p )(z p )...
1
2
3
Podrazumijevamo jednostruke polove. Kada je red brojnika niži od reda
nazivnika racionalni polinom je ispravan. Razvoj u parcijalne razlomke glasi
A
A
A
X(z) = z p z p z p ...
Međutim, poznavajudi transformacijske parove, razvijamo X(z)/z umjesto X(z)
1
3
2
1
2
3
X ( z) N ( z)
N ( z)
z
zD( z ) z ( z p1 )( z p 2 )( z p3 )
Prikazat demo kratki uvod u koncept metode parcijalnih
razlomaka.
A0
115
Racionalni polinom i jednostavni kompleksni polovi
Razlika je u tome što su polovi kompleksni. Pamtimo da se
kompleksni polovi uvijek pojavljuju kao kompleksno
konjugirani par. Opdi postupak je isti, ali je prorafun duži zbog
kompleksnih brojeva. Inverzna z-transformacija su sinusoidalne
funkcije.
Višestruki polovi
Racionalnom polinomu s višestrukim polovima razvoj je bitnmo
razlifit.
X ( z)
N ( z)
z
Am1
Am
A
A2
X ( z)
1
...
z
z p ( z p) 2
( z p) m1 ( z p) m
Potrebno je dodati i izraz koji uzima u obzir eventualne
jednostavne polove, ako postoje. Postupak možemo ilustrirati
slufajem dvostrukog pola (pol drugog reda):
117
X(z)
z
2
A3
...
z Pi
3
i = 0,1,2...
Ozren Bilan
116
Red brojnika vedi od reda nazivnika
U ovakvoj situaciji može se podijeliti brojnik s nazivnikom kako bi
dobili ostatak:
N ( z)
X(z) = D( z ) N(z) = Q(z)D(z) + R(z)
Razvijamo racionalni polinomni izraz kako je uobifajeno.
Drugim nafinom: pofetno zanemarimo N(z), pa rješavamo izraz
1/D(z), nakon toga množimo s N(z-1) za rješenje X(z).
Ozren Bilan
118
Analiza polova i nula u Matlabu
Razvoj u parcijalne razlomke u Matlabu
Razvoj u parcijalne razlomke javlja se u DSP kao jedna od Kako bi odredili inverznu z-transformaciju H(z),
metoda određivanja inverzne z-transformacije prijenosne određujemo sumu inverzne z-transformacije dva dodatna
funkcije. Tako razvoj u parcijalne razlomke izraza flana H(z), što daje kauzalni impulsni odziv.
dobivamo naredbom residuez
zplane funkcija crta polove i nule linearnog
sustava. Tako filter s nulom u -1/2 i
kompleksnim parom polova u 0.9e j2π(0.3) i 0.9e j2π(0.3) je:
zer = –0.5;
pol = .9*exp(j*2*pi*[–0.3 .3]');
Dijagram polova i nula filtera je
zplane(zer,pol)
Sustavu prikazanom u obliku nula i polova upiši
stupfaste argumente vektora z i p u zplane.
zplane(z,p)
Ako je sustav u obliku prijenosne funkcije, upiši
u retku vektore b i a kao argumente zplane.
zplane(b,a)
Sada de zplane odrediti korjene b i a primjenom
funkcije koja izrafunava korijene i prikazati
rezultirajude nule i polove.
Provjera u MATLAB-u
is
odgovara
Ozren Bilan
A2
Red ostatka R(z) mora biti manji od brojnika D(z). Nakon toga:
N ( z)
Q( z ) D( z ) R ( z )
R( z )
Q( z )
X(z) = D( z ) =
D( z )
D( z )
( z p) m
Višestruki pol p može biti realna ili kompleksan. Razvoj je
Ozren Bilan
1
Ai = (z - pi )
Ozren Bilan
A1
z z p z p
z p
=
Pomnožit demo obe strane jednadžbe sa izrazom (z - pi ) , i = 1,2,…, pa
procijeniti izraze polova p1, p2 … To nas dovodi do izraza za konstante:
119
Ozren Bilan
120
20
21.10.2013.
Jednostrana z-transformacija
Dvostrana ili bilateralna z-transformacija definirana je u cijelom
vremenskom intervalu ∞-<n<∞, pa je nije mogude primijeniti na
nerelaksirane sustave koji su opisani jednadžbom diferencija s početnim
ili rubnim uvjetima. Tada se koristi jednostrana ili unilateralna ztransformacija. Oznafavamo s X +(z).
Donja granica sumiranja uvijek je 0 bez obzira da li je signal x(n) kauzalan ili
nije. To znafi da X +(z) ne sadržava prošlost informacije (n < 0) signala.
Kauzalni signalima onda je bilateralna i unilateralna transformacija jednaka.
Podrufje konvergencije kauzalnih signala je uvijek izvan kružnice koja
prolazi najširim polom. Unilateralna transformacija antikauzalnog signala
uvijek je jednaka nuli .
Svi navedeni signali
x1(n) = [2 , 3 , 4 , 5]
x2(n) = [1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 4 , 5]
x3(n) = [3 , 2 , 1, 2 , 3 , 4 , 5]
Imaju istu transformaciju koja glasi:
X+(z) = 2z–0 + 3z–1 + 4z–2 + 5z–3 = 2 + 3z–1 + 4z–2 + 5z–3
Kada signal translatiramo za n uzoraka bit de manji broj uzoraka u odnosu na
novo izvorište. Pogledajmo signal x(n) kojemu je transformacija X+(z)
translatiran n uzoraka, koji postaje x(n + n0 ), nova transformacija je
Z+[ x(n+n0)] =
Izvornu
X+(z)
x(n n
0
n 0
)z n
z n0
=
x(k)z
x(k)z
n 0 1
k
=
k 0
x(n) X+(z)
x(n–n0)
x(k)z
x(k)z
+
k 0
k
k 0
x(n) X+(z)
n0 -1
x(n+n0) , z n0 X + z - z n0 x k z -k
k =0
n0
z n0 x(-k)z k X (z)
k 1
n0
z -n0 X + z + z -n0 x k z k
k =1
,
n0 > 0
Kauzalnim signalima drugi flan nestaje pa dobivamo poznatu
transformaciju.
Npr., kada x1(n), x2(n), x3(n) kasnimo 2 uzorka transformacija postaje:
X1(z) = (2 + 3z–1 – 4z–2 + 5z–3) z–2
X (z) = (2 + 3z–1 + 4z–2 + 5z–3) z–2 + (3z + 2z2) z–2
X3(z) = (2 + 3z–1 + 5z–2 + 5z–3) z–2 + (z + 2z2) z–2
Ozren Bilan
122
ZADATAK z transformacija
Diskretni sustav je zadan jednadžbom diferencija
y(n) = 0.6x(n) + 0.3x(n-1) - 0.2y(n-2) + 0.7x(n-3)
k
a) Z transformacijom odredi prijenosnu funkciju sustava H(z)
b) Ispitaj je li sustav rekurzivan ?
c) Ispitaj je li sustav stabilan ?
d) Ispitaj je li sustav kauzalan ?
e) Napiši Matlab program koji de nacrtati polove i nule u kompleksnoj z ravnini
Možemo zakljufiti
ako
onda
dakle
ako je
Onda je
1
z n0 x(k)z k x(k)z k =
k 0
k n0
k
k n0
signala možemo napisati u obliku
X+(z) =
Z+[x(n – n0)] =
121
Ozren Bilan
Svojstva bilateralne z-transformacije primjenjuju se i na unilateralnu
transformaciju s izuzetkom vremenske translacije. Ako signal kasnimo,
pojavljuje se njegova prošlost (n<0), koja mijenja X+(z). Iz transformacije
signala koji kasni razvojem dobivamo:
n0 > 0
Možemo provjeriti sa signalima x1(n), x2(n), x3(n). U stvarnosti je bolje izvršiti
z- transformaciju translatiranog signala nego koristiti navedene formule.
RJEŠENJE
a) Prvo se prebaci y na jednu, a x na drugu stranu jednakosti
y(n) + 0.2y(n-2) = 0.6x(n) + 0.3x(n-1) + 0.7x(n-3)
Više u projektiranje digitalnih filtera.
123
Ozren Bilan
Ozren Bilan
124
Primjenjujemo Z transformaciju tako da
Sredimo tako da je Y(z) sa jedne, a X(z) sa druge strane
y(n) suspstituiramo sa Y(z)Z0 ili Y(z)
y(n-1) suspstituiramo sa Y(z)Z -1
y(n-2) suspstituiramo sa Y(z)Z -2
y(n+1) suspstituiramo sa Y(z)Z 1
y(n+2) suspstituiramo sa Y(z)Z 2
itd…
Y(z) ( 1 + 0.2Z -2 ) = X(z) ( 0.6 + 0.3Z -1 + 0.7Z -3 )
x(n) suspstituiramo sa X(z)Z 0 ili X(z)
x(n-1) suspstituiramo sa X(z)Z -1
x(n-2) suspstituiramo sa X(z)Z -2
x(n+1) suspstituiramo sa X(z)Z 1
x(n+2) suspstituiramo sa X(z)Z 2
itd….
Množimo funkciju sa Z3/Z3 kako bi smo dobili samo Z-ove sa pozitivnim eksponentom.
Dobije se:
Prijenosna funkcija po definiciji je H(z) = Y(z)/X(z), dalje slijedi
H(z) = ( 0.6 + 0.3Z -1 + 0.7Z -3 ) / (1 + 0.2 Z -2 )
H(z) = ( 0.6Z3 + 0.3Z2 + 0.7 ) / ( Z3 + 0.2Z )
koef. brojnika su 0,6 0,3 0 0,7
koef. nazivnika 1 0 0,2 0
Koeficijenti se prepisuju. Dobije se jednadžba:
Y(z) + 0.2Y(z)Z
-2
= 0.6X(z) + 0.3X(z)Z
Ozren Bilan
Iz prijenosne funkcije zakljufujemo da je sustav IIR tipa jer u nazivniku funkcije ima
polinom od Z. Da funkcija H(z) ima samo konstante u nazivniku sistem bi bio FIR tipa.
-1 +
0.7X(z)Z
-3
125
Ozren Bilan
126
21
21.10.2013.
d) Je li sustav kauzalan ?
b) Je li sustav rekurzivan ?
Ukoliko je sustav IIR tipa (kao ovaj slufaj), uvijek je rekurzivan, za razliku od FIR tipa koji je uvijek
nerekurzivan. Sustav je rekurzivan.
Sistem je kauzalan ako ne postoji izlaz prije pobude. Dakle ukoliko na ulazu (x je ulaz) ne
postoji neki x koje prednjafi (x+konst) sistem je kauzalan. U zadanom izrazu na ulazu ne
postoji signal koji prednjafi, dakle ne postoji ni jedan x+konst, pa je sustav je kauzalan.
c) Je li sustav stabilan ?
e) Napiši matlab kod koji crta polove i nule u z-kompleksnoj ravnini.
FIR sistem je uvijek stabilan, za razliku od IIR pa se mora dodatno ispitati stabilnost. Brojnik
prijenosne funkcije predstavlja nule sustava, a nule nazivnika predstavljaju polove sustava.
Stabilnom sustavu svi polovi moraju biti unutar jediničnog kruga. Tražimo polove tako što nazivnik
izjednafimo s 0.
U matlabu postoji funkcija sa sintaksom zplane(z,p) gdje su z nule, a p polovi sustava. Pri
pisanju se unose koeficijenti tako što se pofinje od najviše potencije. Ukoliko ne postoji
konstanta za određenu potenciju upiše se 0.
H(z) = ( 0.6Z3 + 0.3Z2 + 0.7 ) / ( Z3 + 0.2Z )
koef. brojnika su 0,6 0,3 0 0,7
koef. nazivnika 1 0 0,2 0
Z 3 + 0.2Z = 0
Z(Z 2 + 0.2) = 0
Z = 0 ili Z 2 + 0.2 = 0
Z = 0 ili Z 2 = -0.2 - nerealno
Z=0
Imamo jedno rešenje Z = 0. Ukoliko je |Zn| < = 1 sustav je stabilan u suprotnom sustav nije stabilan.
Pišemo matlab kod:
z = [0.6 0.3 0 0.7];
p = [1 0 0.2 0];
zplane(z,p)
Da imamo Z1, Z2 i Z3 morali bi promatrati da li je svako Z po apsolutnoj vrijednosti manje ili jednako
od 1. Dovoljno je da samo jedan Z bude vedi od 1 i da sistem bude nestabilan. Sustav je stabilan
Ozren Bilan
127
Ozren Bilan
128
Vrlo kratka rekapitulacija
Furierov red: Linearnom superpozicijom sinusoida možemo tvoriti složene valne oblike (i obrnuto).
Periodifkim složenim signalima možemo odrediti koeficijente sinusnih i kosinusnih komponenti.
DTFT predstavlja frekvencijski sadržaj diskretnog neperiodičkog signala, a DFT je frekvencijski
sadržaj periodičkog vremenski diskretnog signala. DFT pokazuje periodifnost u vremenskom i
frekvencijskom podrufju. Međutim, uvijek se rafuna i prikazuje samo jedan period DFT. DFT je
transformacija konafnog i ogranifenog broja uzoraka periodifkog signala bez obzira je li promatrani
signal stvarno periodifan. DTFT je transformacija cjelovitog sempliranog signala od -∞ do +∞, koji
nužno ne mora biti periodifan. DTFT je matematifki precizna, a DFT je fizifki realizabilna. DTFT je
reverzna transformacija DFS.
DFT je vrlo važno podrufje analize spektra (frekvencijskih komponenti koje su sadržane u signalu).
DFT to postiže tako što diskretni signal u vremenskom podrufju transformira u diskretno
frekvencijsko podrufje. Transformacija iz diskretnog vremena u diskretnu frekvenciju omogudava
prorafun Furierove transformacije na DSP ili rafunalu.
FFT je Brza Furierova transformacija, mnogo brža verzija DFT. Omogudavaju je posebni algoritmi.
Laplaceova transformacija koristi se za određivanje polova i nula koji predstavljaju signal ili sistem
u s ravnini.
z transformacija određuje polove i nule diskretnog signala ili sustava x[n] u z-ravnini.
Fourierovu transformaciju u ustaljenom vremenu CTFT određujemo iz Laplaceove transformacije
u s=jω.
Fourierovu transformaciju u diskretnom vremenu DTFT određujemo iz z-transformacije u z = ejΩ.
Ozren Bilan
129
22
© Copyright 2024 Paperzz
