Vježba 1 Vježba 2

Vježba 1
Vježba 2
Oblici misli:
Pojam je misao o biti (općem obilježju) onoga o čemu mislimo (odnosno nekoga predmeta
misli).
Sud (ili iskaz, ili tvrdnja, ili rečenica) je misao o nekom stanju stvari. S obzirom na
strukturu, sud je spoj pojmova kojim se nešto tvrdi ili poriče. (svaki je sud istinit ili neistinit,
i samo je sud istinit ili neistinit)
Zaključak je misao o slijedu jednog suda iz jednog ili više drugih.
Vježba 1 – koji od navedenih primjera pripada kojemu obliku misli? Zaokružite točan odgovor!
veliki sisavac
veliki plavi sisavac planktonojedac
Nijedan prost broj nije broj koji se može podijeliti s dva, jer nijedan broj koji se može
podijeliti s dva nije prost broj.
I u Australiji vide Maloga medvjeda.
Mali medvjed
mali medvjed
1-1=1
Ako ću na kraju godine imati više od tri nedovoljne ocjene iz tri različita predmeta, onda
ću pasti razred, no neću pasti razred, pa tako neću imati više od tri negativne ocjene iz
tri različita predmeta.
I mali medvjed je velik.
Svi snovi sanjani noću različiti su od onih sanjanih danju, no teško je reći kada počinje
dan a završava noć, jednako kao što je teško reći kada završava dan a počinje noć.
Od psa je veći mali medvjed.
Svi Vertebrata su Bilateria. Svi Mammalia su Vertebrata. Stoga su svi Mammalia
Bilateria.
Neki su medvjedi mrki.
Svi ljudi su sisavci. Dakle, ako je Zvonko čovjek, on je sisavac.
čovjek
P S Z
P S Z
P S Z
P
P
P
P
P
S
S
S
S
S
Z
Z
Z
Z
Z
P S Z
P S Z
P S Z
P S Z
P S Z
P S Z
P S Z
1
Kako logika proučava samo forme misli, kako bi nam analiza bila lakša, uvodimo poseban simbolički
jezik. Mi ćemo odmah učiti dva jezika, jednostavniji: jezik logike sudova (propozicijske, ili iskazne
logike, i ); i složeniji: jezik logike pojmova (predikata, ili priroka, p )
Jezik logike sudova (iskazne logike,
i)
sastoji se od:
1. Iskaznih simbola: P, Q, R, A, B, C... (mogu biti obilježeni i malim slovima: p, q, r , a, b, c... ) –
zamjenjuju jednostavne sudove; npr. P može stajati za 'Petra je brza'; Q za 'Marko je brži
od Petre'
2. Istinitinosnofunkcionalnih veznika:
 (' i '),  (' ili '),  (' ne '),  (' ako..., onda...'),  ('...akoi samo ako...') (ima ih još mogućih,
no mi ćemo koristiti samo ove)
3. Zagrada: (,)
Jezik logike predikata (pojmova, priroka,
p)
sastoji se od:
1. Predikata (pojmova) koje obilježavamo: P, Q, R, A, B, C... , a ponekad i punom riječju:
Brz (_), Brži(_, _), Između(_, _, _)...
Koji mogu biti:
a) jednomjesni (pojmovi – svojstva); npr. P _ za '_ je pametan'; D _ za '_ je dobar';
C _ za ' _ je čovjek'
b) višemjesni (pojmovi – relacije): npr. P _ _ za '_ je pametniji od _ ',
B _ _ za ' _ je bolji od _ ', I _ _ _ za ' _ je između _ i _ ', itd.
2. Konstanti, odnosno imena za pojedinačne predmete, koje obilježavamo:
a, b, c, d , e... ; npr. b za Beč; a za Anu; m za Maroko; h za Homera; i za Ilijadu, itd.
3. Varijabli: x, y, z, w...
4. Kvantifikatora:
 - univerzalni kvantifikator (obrnuto A od njemačke riječi za sve (Alle); čita se: 'Za sve..';
'Svi…'); označava da nešto vrijedi za sve članove nekog skupa;
 - egzistencijalni kvantifikator (obrnuto E od latinske riječi za postojanje: existere): čita se:
'Postoji barem jedan…' (član nekog skupa); 'Neki…' (članovi nekog skupa)
2
5. Istinitinosnofunkcionalnih veznika:
 (' i '),  (' ili '),  (' ne '),  (' ako..., onda...'),  ('...akoi samo ako...') (ima ih još mogućih,
no mi ćemo koristiti samo ove)
6. Zagrada: (,)
(Uočite da je jezik logike pojmova (predikata,
p ) proširenje jezika logike sudova (iskazne logike,
i ))
Primjer 1 – 'Marko trči.'
Na jeziku iskazne logike (
i )mogli
bismo označiti s npr.
Na jeziku logike pojmova ( p ) mogli bismo ga označiti s
predikati koji stoji za ' _ trči', a
M
Tm (gdje je T jednomjesni
m konstanta koja označava Marka), a što je skraćena
varijanta zapisa Trči(marko)
Primjer 2 – 'Marko je brži od Ivane.'
Na jeziku iskazne logike (logike sudova,
i ) možemo označiti s npr.
Na jeziku logike pojmova ( p ) možemo označiti s
' x jebrži od y ' ,
m za Marko; i
Bmi
(gdje
M
Bxy stoji za
za Ivana; što je skraćeno od: Brži(marko, ivana)
Primjer 3 – 'Ako je Marko brži od Ivane, onda ona nije brža od njega.'
i : U iskaznoj logici svaki od različitih jednostavnih sudova (iskaza) moramo označiti
različitim slovom:
M za 'Marko je brži od Ivane'
I za 'Ivana je brža od Marka'
Prijevod našeg primjera glasit će:
M  I
(Ako M, onda ne- I)
p :U logici pojmova, služeći se ključem iz prethodnog primjera, prijevod glasi:
Bmi  Bim , odnosno, Brži(marko, ivana)  Brži(ivana, marko)
3
Primjer 4 – 'Zvonko voli Ljubicu, Ljubica Branka, Branko Ivu, a Iva Zvonka .'
i : ključ prevođenja može biti:
Z za 'Zvonko voli Ljubicu'; L za 'Ljubica voli Branka'; B
I za 'Iva voli Zvonka.'
Prijevod:
za 'Branko voli Ivu.'
Z LBI
p : ključ prevođenja može biti:
Vxy za ' x voli y ' ; z za Zvonko; l za Ljubica; b za Branko; i za Iva
Prijevod: Vzl Vlb Vbi Viz , što je skraćeno za:
Voli( zlatko, ljubica)  Voli(ljubica, branko)  Voli(branko, iva)  Voli(iva, zvonko)
Primjer 5 – 'Zlatko i Branka se vole .'
i : prijevod može biti:
p :prijevod glasi:
V (za 'Zlatko i Branka se vole)
Vzb Vbz , odnosno: Voli( zlatko, branka)  Voli(branka, zlatko)
Primjer 6 – 'Netko voli radosnu Hilariju.'
i : prijevod može biti:
V (za 'Netko voli radosnu Hilariju'), ili ako rastavimo na:
V za 'Netko voli Hilariju'; i R za 'Hilarija je radosna', onda je prijevod: V  R
p : (domena: svi ljudi)
xVxh  Rh , što je kraći zapis za:
xVoli( x, hilarija)  Radosna(hilarija) (doslovno čitanje: postoji barem jedan x koji
voli Hilariju, i Hilarija je radosna.)
4
Primjer 7 – 'Svatko voli sretnog Fausta ili svakoga voli dobra Agata .'
i:
F  A (gdje je F za 'Svatko voli sretnog Fausta', a A za 'Svakoga voli dobra Agata');
ili ako rastavimo na: F za 'Svatko voli Fausta'; S za 'Faust je sretan'; A za 'Agata voli
svakoga'; D za 'Agata je dobra', onda prijevod glasi: ( F  S )  ( A  D)
p : (domena: svi ljudi)
1
(xVxf  Sf )  (xVax  Da) , odnosno:
(xVoli( x, faust )  Sretan( faust ))  (xVoli(agata, x)  Dobra( agata))
Primjer 8 – 'Ako svatko voli sretnog Fausta i ako svakoga voli dobra Agata, onda
svatko voli nekoga i netko voli svakoga .'
(( F  S )  ( A  D))  ( B  C ) (gdje je uz oznake iz prethodnog primjera, B za
'Svatko voli nekoga', a C za 'Netko voli svakoga')
i:
p : (domena: svi ljudi), prijevod:
((xVxf  Sf )  (xVax  Da))  (xyVxy xyVxy)
Napomena uz ovaj primjer:
U ovom je primjeru uočljiva bitna razlika u ova dva jezika (
iskazanoj u
i iz skupa pretpostavki
rečenici iskazanoj na
ii
p ), u rečenici
( F , S , A, D) ne slijede iskazi B i C , dok u
p iz skupa pretpostavki
((xVxf  Sf )  (xVax  Da)) slijede iskazi xyVxy (naime, taj netko je
Faust) i xyVxy (naime, taj netko je Agata), pa tako ovaj oblik misli možemo
nazvati zaključkom (što u jeziku
i nije vidljivo), iako je zapisan u obliku suda.
1
Domena ili područje primjene jesu svi predmeti na koje se može odnositi varijabla, tako se x u ovim primjerima može
odnositi samo na ljude. U slučaju da nismo odredili domenu (odnosno da u domenu ulazi sve mislivo) ako bismo htjeli reći
isto što i primjer tvrdi, morali bismo reći: Svi ljudi vole sretnog Fausta ili svakog čovjeka voli dobra Agata. Prijevod bi,
dakako, bio drugačiji.
5
Vježba 2
Sljedeće rečenice prevedite i na jezik iskazne logike(
i ) i na jezik logike
pojmova (
p ) prema
zadanim ključevima prevođenja!
Ključ prevođenja za
i:
A za 'Slavko je slavan'
B za 'Slavko je živahan'
C za 'Živko je slavan'
D za 'Živko je živahan'
E za 'Slavko je bolestan'
F za 'Slavni Živko brži je od živahnoga Slavka'
G za 'Živko brži je od Slavka'
H za 'Slavko je radostan'
I za 'Živko je radostan'
Ključ prevođenja za
p:
Sx za 'x je slavan'
Zx za 'x je živahan'
Lx za 'x je bolestan'
Rx za 'x je radostan'
Bxy za 'x je brži od y'
z za Živko
s za Slavko
domena (predmetno područje): svi ljudi
1. Slavni Živko brži je od živahnoga Slavka samo ako je Slavko bolestan.
2. Slavko nije bolestan, niti je slučaj da je Živko brži od živahnoga Slavka i da je
slavan.
3. Živko nije slavan ili nije brži od živahnoga Slavka, a Slavko nije bolestan.
4. Nije slučaj i da je Slavko slavan i da je Živko živahan, no jest slučaj da barem
jedan od njih dvojice jest slavan.
5. Ako su Slavko i Živko oba slavni, onda nisu oba živahni.
6. Ako su Slavko i Živko oba slavni, onda nijedan od njih nije živahan.
7. Ako je barem jedan od njih slavan, i Slavko i Živko su radosni.
6
8. Bilo da je Slavko slavan, bilo da je Živko slavan, nije slučaj da ijedan od njih
nije radostan.
9. Nije radostan ni Slavko ni Živko ako i samo ako nije slučaj da je radostan
barem jedan od njih.
10. Netko je brži od Živka.
11. Slavko je brži od svakoga.
12. Nitko nije brži od živahnoga Slavka. (Q za 'Netko je brži od Slavka')
13. Netko brži od Živka nije slavan. (R za 'Svatko brži od Slavka je slavan')
14. Svatko slavan je i živahan.
15. Tkogod je živahan, brži je od Živka.
16. Nije slučaj da je svatko brži od Živka i da nije svatko brži od Živka.
17. Ako je Slavko slavan i živahan, onda je netko slavan i živahan. (P za rečenicu koja nije
određena u ključu)
18. Ako je Slavko brži od nekoga slavnoga, i ako je Slavko živahan, onda je bar
jedan živahan brži od nekoga slavnoga. (P i R za rečenice koje nisu određene u ključu)
19. Nije slučaj da nitko tko nije slavan, nije živahan. (P za 'Netko tko nije slavan je živahan')
7
Rješenja:
1.
2.
i :F
E
i:
p : ( Sz  Bzs  Zs)  Ls
4.
i:
E  (G  B  C )
5.
 ( A  D)  ( A  C )
7.
p : ( Ss  Sz )  ( Rs  Rz )
(C  (G  B))  E
p : (Sz  (Bzs  Zs))  Ls
6.
( A  C )   ( B  D)
i:
p : ( Ss  Sz )  ( Zs  Zz )
p:
i:
8.
( A  C)  (H  I )
i:
p : Ls  ( Bzs  Zs  Sz )
p :  ( Ss  Zz )  ( Ss  Zs)
i:
3.
( A  C )  (B  D)
( Ss  Sz )  (Zs  Zz )
9.
i:
( A  D)   (H  I )
p : ( Ss  Sz )   (Rs  Rz )
i:
(H  I )   ( H  I )
p : (Rs  Rz )  ( Rs  Rz )
10.
i : npr. P
( jednostavan sud )
p : xBxz
11.
i : npr. P
( jednostavan sud )
p : xBsx
12.
i : QD
13.
i : R
14.
i : npr. P
15.
i : npr. P
p : x( Zx  Bxz )
p : x( Bxz  Sx)
16.
i : (Q  Q)
p :(xBxz  xBxz )
p : x( Sx  Zx)
p : xBxs  Zs
17.
i : ( A  B)  P
p :( Ss  Zs)  x( Sx  Zx)
18.
i : ( P  B)  R
p : (x( Bsx  Sx)  Zs)  xy( Bxy  Zx  Sy)
19.
i : P
p : x(Sx  Zx)
8

Download Report