Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1ης εργασίας 2009 - 10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν 4 βιβλία μαθηματικών, 3 βιβλία φυσικής, 2 βιβλία χημείας και 2 βιβλία βιολογίας. (α-2) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν τα 11 βιβλία στο ράφι; (β-3) Ποια είναι η πιθανότητα να τοποθετηθούν πρώτα στο ράφι τα 4 βιβλία των μαθηματικών και τελευταία τα 3 βιβλία της φυσικής; (γ-4) Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα βιβλία της ίδιας θεματικής ενότητας να τοποθετηθούν μαζί; (δ-4) Τρία βιβλία επιλέγονται τυχαία από το ράφι χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγεί τουλάχιστον ένα βιβλίο μαθηματικών ή τουλάχιστον ένα βιβλίο βιολογίας; Λύση α) Οι τρόποι που μπορούν να μπουν τα 11 βιβλία σε σειρά είναι 11! (πρόκειται για διάταξη 11 αντικειμένων). β) Οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να πρώτα τα 4 βιβλία των μαθηματικών και τελευταία 3 βιβλία φυσικής είναι 4!4!3! (οι τρόποι να διατάξουμε τα 4 βιβλία μαθηματικών επί τους τρόπους να διατάξουμε τα 4 βιβλία χημείας και βιολογίας επί τους τρόπους να διατάξουμε τα 3 βιβλία φυσικής). Συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι: γ) Η τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε τη σειρά των θεματικών ενοτήτων είναι 4! Τα βιβλία των μαθηματικών μπορούν να διαταχθούν με 4! τρόπους, της φυσικής 3! της χημείας 2! και της βιολογίας 2! Συνεπώς οι δυνατοί τρόποι είναι 4!4!3!2!2! Τελικά η ζητούμενη πιθανότητα είναι: δ) Η πιθανότητα μη επιλογής βιβλίου μαθηματικών ή βιολογίας στην πρώτη προσπάθεια είναι , στη δεύτερη και στην τρίτη . Τελικά η πιθανότητα μη επιλογής βιβλίου μαθηματικών ή βιολογίας στις τρεις προσπάθειες είναι . Συνεπώς η πιθανότητα να επιλεγεί τουλάχιστον ένα βιβλίο μαθηματικών ή βιολογίας είναι . Άσκηση 2 (άσκηση 2 1ης εργασίας 2009 - 10) Δύο σκοπευτές, ο Σ1 και ο Σ2, ρίχνουν από μια βολή κατά ενός κυκλικού στόχου ακτίνας r . Ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε τις αποστάσεις των δύο βολών από το κέντρο του στόχου. Γνωρίζουμε ότι (α) οι δύο βολές βρίσκουν το στόχο, και (β) η (απόλυτη) διαφορά των δύο αποστάσεων είναι μικρότερη ή ίση του r / 2 . (α-4) Να παρασταθεί γραφικά ο δειγματικός χώρος και τα ενδεχόμενα: Α = {η βολή του Σ2 βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο του στόχου από τη βολή του Σ1}, Β = {η βολή του Σ1 απέχει από το κέντρο του στόχου απόσταση μεγαλύτερη του r / 2 }, Γ = {μόνο μια βολή απέχει από το κέντρο του στόχου απόσταση μικρότερη του r / 2 }. (β-1) Εξετάστε αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ εξαντλούν από κοινού το δειγματικό χώρο. (γ-4) Δείξτε σε ξεχωριστές γραφικές παραστάσεις τα ενδεχόμενα Α ∩Β∩Γ , Α′∩Β′∩Γ′, (Β ∪ Γ) − Α , Α′∪Β′∩Γ′. (δ-3) Βρείτε τρία ενδεχόμενα που να είναι ασυμβίβαστα ανά δύο και να εξαντλούν από κοινού το δειγματικό χώρο. Λύση α) β) Τα ενδεχόμενα δεν εξαντλούν το δειγματικό χώρο Ω. Αυτό γιατί το ενδεχόμενο που είναι το ενδεχόμενο το Σ2 να μην βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο, το Σ1 να απέχει απόσταση από το κέντρο μικρότερη ή ίση του r/2 και τα Σ1, Σ2 να απέχουν και τα δύο απόσταση μικρότερη ή ίση του r/2 από το κέντρο ή και τα δύο απόσταση μεγαλύτερη ή ίση του r/2 είναι μη κενό. Περιέχει π.χ. το ενδεχόμενο ο Σ1 να απέχει απόσταση r/4 από το στόχο και ο Σ2 να βρίσκεται στην ίδια ευθεία με το κέντρο και το Σ1 σε απόσταση r/4 από το Σ1 και r/2 από το κέντρο. γ) Το Το Το Το δ) Τα ενδεχόμενα είναι Γ, το ενδεχόμενο και ο Σ1 και ο Σ2 να είναι σε απόσταση μικρότερη του r/2 και το ενδεχόμενο και ο Σ1 και ο Σ2 να είναι σε απόσταση μεγαλύτερη του r/2. Άσκηση 3 (άσκηση 3 1ης εργασίας 2009 - 10) Επιλέξτε τη σωστή συμπλήρωση (i), (ii), (iii) ή (iv) στην τελευταία πρόταση των παραγράφων (α)-(ε). Αιτιολογήστε την απάντησή σας εξηγώντας γιατί οι 3 από τις 4 επιλογές κάθε ερωτήματος είναι λάθος. (α-3) Για τη μελέτη των εμπορικών καταστημάτων της Πάτρας που φοροδιέφυγαν το έτος 2007 επιλέχθηκαν στην τύχη 100 εμπορικά καταστήματα τα οποία ελέγχθηκαν από ειδικό κλιμάκιο της εφορίας. Για κάθε ένα από τα καταστήματα καταγράφηκε ο αριθμός 1 και 0 ανάλογα με το αν φοροδιέφυγε ή όχι. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι (i) η μελέτη είναι αναλυτική. (ii) το υπό μελέτη χαρακτηριστικό των καταστημάτων είναι ποσοτικό. (iii) ο πληθυσμός αποτελείται από τα 100 καταστήματα που ελέγχθηκαν. (iv) το δείγμα αποτελείται από τα 100 συνολικά 0 και 1 που καταγράφηκαν. (β-3) Ένα καρδιοχειρουργικό κέντρο πραγματοποιεί μια έρευνα για δύο από τους σημαντικότερους παράγοντες κινδύνου που μπορούν να αυξήσουν σε σημαντικό βαθμό τον κίνδυνο εμφάνισης εμφράγματος του μυοκαρδίου, το κάπνισμα και την υψηλή χοληστερόλη. Θεωρώντας τα ενδεχόμενα, καπνιστής με υψηλή χοληστερόλη (Α), καπνιστής με μη υψηλή χοληστερόλη (Β), μη καπνιστής με υψηλή χοληστερόλη (Γ), και μη καπνιστής με μη υψηλή χοληστερόλη (Δ), το ενδεχόμενο: (i) (Α∪Β)∩(Β∪Δ) δηλώνει καπνιστή με μη υψηλή χοληστερόλη. (ii) (Β∪Δ)′∩Α δηλώνει μη καπνιστή με υψηλή χοληστερόλη. (iii) (Γ∪Δ)′ δηλώνει μη καπνιστή. (iv) Β′− Δ δηλώνει άτομο με μη υψηλή χοληστερόλη. (γ-3) Από ένα δοχείο που περιέχει 10 σφαίρες αριθμημένες από το 1 έως το 10, επιλέγονται με τυχαίο τρόπο 2 σφαίρες χωρίς επανατοποθέτηση. Τα ενδεχόμενα: Α={στην επιλογή της πρώτης σφαίρας εμφανίζεται περιττός αριθμός}, και Β={στην επιλογή και των δύο σφαιρών εμφανίζονται άρτιοι αριθμοί} (i) αποτελούν το ένα συμπλήρωμα του άλλου. (ii) είναι ασυμβίβαστα. (iii) είναι ανεξάρτητα. (iv) εξαντλούν από κοινού το δειγματικό χώρο. (δ-3) Έστω δύο από κοινού κατανεμημένες τ.μ. Χ και Υ. Τότε (i) var(3X + 2Y ) = 9 var(X ) + 4 var(Y ) . (ii) E(2X − 3Y + 4) = 2E(X ) − 3E(Y ) + 4. (iii) f (x, y) ≤ 1 για κάθε (x, y)∈ R2 . (iv) ρ = 0 αν X = 2Y . (ε-3) Έστω μια τ.μ. Χ. Τότε (i) var(E(X )) = E(var(X )) . (ii) f (x) = P(X = x) για κάθε x∈ R . (iii) P(−1≤ X ≤ 3) ≥ 3/ 4 αν E(X ) = var(X ) = 1. (iv) P(−a ≤ −X < −b) = F(−b) − F(−a) για κάθε a,b∈ R . Λύση Άσκηση 4 (άσκηση 7 1ης εργασίας 2009 - 10) Η κ.σ.π. των τ.μ. Χ και Υ δίνεται από τον τύπο (α-3) Επαληθεύστε ότι η παραπάνω κ.σ.π. των τ.μ. Χ και Υ είναι νόμιμη. (β-4) Βρείτε τις περιθώριες σ.π.π. των τ.μ. Χ, Υ. (γ-4) Βρείτε τη δεσμευμένη σ.π.π. της Υ όταν X = x (0 < x <1) . Λύση α) Είναι για κάθε . Επίσης . Συνεπώς η κ.σ.π. των τ.χ. Χ και Υ είναι νόμιμη. β) Είναι και , για αλλού και , για και αλλού. γ) Η δεσμευμένη σ.π. της Y όταν X=x σχέση: δίνεται από τη αν και μηδέν αλλού. Άσκηση 5 (άσκηση 1 2ης εργασίας 2009 – 10) Η διοίκηση των Γερμανικών σιδηροδρόμων εξετάζει σε τακτικά χρονικά διαστήματα την κερδοφορία των δρομολογίων τους. Ο πίνακας που ακολουθεί δείχνει το πλήθος επιβατών που επιβιβάστηκαν στο Αμβούργο για το δρομολόγιο Αμβούργο – Φρανκφούρτη των 15:24, το οποίο εκτελείται καθημερινά. Τα δεδομένα αναφέρονται σε 80 τυχαία επιλεγμένες καθημερινές μέρες (Δευτέρα – Παρασκευή) του 2008. Τα δεδομένα έχουν ταξινομηθεί κατ’ αύξουσα σειρά. 98 106 111 126 127 129 131 133 134 135 136 137 138 138 139 141 142 142 142 142 143 143 143 144 144 145 145 145 146 146 146 146 146 147 147 148 148 148 148 148 149 149 150 150 150 150 150 150 152 152 153 153 154 154 154 154 154 155 156 156 157 157 157 158 158 158 159 159 159 160 160 161 162 162 164 165 166 167 168 169 (α-4) Υπολογίστε τα ακόλουθα μέτρα: δειγματική μέση τιμή, δειγματική διάμεσο, δειγματική κορυφή, δειγματική τυπική απόκλιση, δειγματικό συντελεστή διακύμανσης, πρώτο τεταρτημόριο, τρίτο τεταρτημόριο και κάτω παρακείμενη τιμή. (β-4.5) Κατασκευάστε το ιστόγραμμα συχνοτήτων, το διάγραμμα στελέχους-φύλλου και το θηκόγραμμα των δεδομένων και σχολιάστε τη μορφή τους. (γ-1) Εξετάζοντας το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται σε απόσταση μίας, δύο και τριών δειγματικών τυπικών αποκλίσεων από τη δειγματική μέση τιμή αξιολογείστε αν η κατανομή των δεδομένων προσεγγίζεται από την κανονική κατανομή. (δ-1.5) Κατασκευάστε το διάγραμμα ποσοστιαίας των δεδομένων και χρησιμοποιείστε το για να υπολογίσετε προσεγγιστικά το τρίτο τεταρτημόριο. Λύση α) Έχουμε . Χωρίζοντας τις παρατηρήσεις σε 8 κλάσεις έχουμε τον ακόλουθο πίνακα: κλάσεις κεντρική συχνότητα σχετική αθροιστική [-) τιμή συχνότητα συχνότητα 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 150-160 160-170 95 105 115 125 135 145 155 165 σύνολο 1 1 1 3 9 27 27 11 80 Η μέση τιμή είναι 0,0125 0,0125 0,0125 0,0375 0,1125 0,3375 0,3375 0,1375 1,0000 0,0125 0,0250 0,0375 0,0750 0,1875 0,5250 0,8625 1,0000 - 1,1875 1,3125 1,4375 4,6875 15,1875 48,9375 52,3125 22,6875 147,75 επιβάτες. Η διάμεσος είναι ίση με ενώ η δειγματική κορυφή είναι ίση με Μ . Έχουμε τυπική απόκλιση είναι , . Επίσης Το πρώτο τεταρτημόριο είναι ίσο με ενώ το τρίτο είναι β) Το ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι το ακόλουθο: Ενώ το θηκόγραμμα είναι το: 2782,563 1827,563 1072,563 1552,688 1463,063 204,1875 1419,188 3273,188 13595 . συνεπώς η . Το διάγραμμα στελέχους φύλου είναι: Στέλεχος Φύλλο 9 8 10 6 11 1 12 6 7 9 13 1 3 4 5 6 7 8 8 9 14 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9 9 15 0 0 0 0 0 0 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 16 0 0 1 2 2 4 5 6 7 8 9 Παρατηρούμε ότι οι περισσότερες παρατηρήσεις εμφανίζονται στις μεγαλύτερες τιμές. Άρα εμφανίζεται αρνητική συμμετρία. γ) Είναι και επομένως οι παρατηρήσεις που απέχουν μια τυπική απόκλιση από τη μέση τιμή είναι 61. Επίσης και επομένως οι παρατηρήσεις που απέχουν δυο τυπικές αποκλίσεις από τη μέση τιμή είναι 77. Τέλος και επομένως οι παρατηρήσεις που απέχουν τρεις τυπικές αποκλίσεις από τη μέση τιμή είναι 79. Συνεπώς το 76,25% των παρατηρήσεων απέχουν από τη μέση τιμή μια τυπική απόκλιση, το 96,25% δύο τυπικές αποκλίσεις και το 98,75% τρεις τυπικές αποκλίσεις. Συνεπώς η κατανομή δεν προσεγγίζει την κανονική κατανομή γιατί θα έπρεπε τότε τα αντίστοιχα νούμερα να ήταν 68%, 95% και 99,7%. δ) Έχουμε: Συνεπώς το τρίτο τεταρτημόριο είναι . Άσκηση 6 (άσκηση 1 3ης εργασίας 2011-12) Επιλέξτε τη σωστή συμπλήρωση (i), (ii), (iii) ή (iv) των προτάσεων (α), (γ) της τελευταίας πρότασης των παραγράφων (β), (δ) και τη σωστή απάντηση (i), (ii), (iii) ή (iv) της ερώτησης (ε). Αιτιολογήστε την απάντησή σας εξηγώντας γιατί οι 3 από τις 4 επιλογές είναι λάθος. (α-3) Στους ελέγχους υποθέσεων της διαφοράς των μέσων τιμών δύο πληθυσμών με χρήση μεγάλων και ανεξάρτητων δειγμάτων, χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν πειραματικά δεδομένα προκειμένου να προσδιοριστεί (i) το επίπεδο σημαντικότητας, (ii) η μορφή της εναλλακτικής υπόθεσης, (iii) η κρίσιμη περιοχή, (iv) η τιμή P. (β-3) Γίνεται ο έλεγχος υπόθεσης έναντι της για τη μέση τιμή Κανονικού πληθυσμού, με χρήση της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (σ.σ.ε.) με δείγμα μεγέθους n. Ο έλεγχος αυτός οδήγησε σε απόρριψη της σε επίπεδο σημαντικότητας 0.02. Τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι (i) το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή του πληθυσμού περιέχει την τιμή . (ii) η πιθανότητα η μηδενική υπόθεση να είναι αληθής είναι ίση με 0.02. (iii) αν z η παρατηρούμενη τιμή της σ.σ.ε. τότε . (iv) αν χρησιμοποιήσουμε επίπεδο σημαντικότητας ίσο με 0.05 τότε μπορεί να οδηγηθούμε σε αποδοχή της μηδενικής υπόθεσης με βάση το ίδιο δείγμα. (γ-3) Η μείωση του μεγέθους δείγματος σε ένα έλεγχο υπόθεσης με καθορισμένο επίπεδο σημαντικότητας α, έχει σαν αποτέλεσμα τη(ν) (i) μείωση της ισχύος του ελέγχου. (ii) αύξηση της πιθανότητας να απορριφθεί η ενώ είναι αληθής. (iii) μείωση της πιθανότητας να απορριφθεί η ενώ είναι αληθής. (iv) μείωση της πιθανότητας να είναι αληθής η . (δ-3) Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε το παρακάτω ζεύγος υποθέσεων για τη διαφορά των ποσοστών και : έναντι της {δεν ισχύει η }. Για τον έλεγχο αυτό (i) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σ.σ. ε. και εάν ισχύει . (ii) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σ.σ.ε. και εάν ισχύει . (iii) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σ.σ.ε. εάν τα εάν είναι μεγαλύτερα από 50 και εάν (iv) εάν τα και χρησιμοποιηθεί η , . τότε είναι προτιμότερο να , όπου . (ε-3) Τα παρακάτω ελλιπή αποτελέσματα προέρχονται από την προσαρμογή του προτύπου απλής γραμμικής παλινδρόμησης . Σύμφωνα με τα αποτελέσματα αυτά, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Λύση (α) Στους ελέγχους υποθέσεων της διαφοράς των μέσων τιμών δύο πληθυσμών με χρήση μεγάλων και ανεξάρτητων δειγμάτων, χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν πειραματικά δεδομένα προκειμένου να προσδιοριστεί (iv) η τιμή P. Οι απαντήσεις: (i), (ii) και (iii) είναι λάθος καθώς ορίζονται από τον ενδιαφερόμενο. (β) Γίνεται ο έλεγχος υπόθεσης H0 : μ=5 έναντι της HΑ : μ5 για τη μέση τιμή Κανονικού πληθυσμού, με χρήση της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (σ.σ.ε.) Z  X  0 με δείγμα μεγέθους n. Ο έλεγχος  n αυτός οδήγησε σε απόρριψη της H0 σε επίπεδο σημαντικότητας 0.02. Τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: (i) το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή του πληθυσμού περιέχει την τιμή μ=5. Η απάντηση (ii) είναι λάθος καθώς το επίπεδο σημαντικότητας δεν κρίνει την αλήθεια ή όχι της υπόθεσης, αλλά την πιθανότητα αυτή να απορριφθεί ενώ είναι σωστή. Η απάντηση (iii) είναι λάθος καθώς το σωστό θα ήταν z  z0,01 . Η απάντηση (iv) είναι λάθος γιατί αυξάνοντας το επίπεδο σημαντικότητας αυξάνουμε την πιθανότητα να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση ενώ είναι σωστή. (γ) Η μείωση του μεγέθους δείγματος σε ένα έλεγχο υπόθεσης με καθορισμένο επίπεδο σημαντικότητας α, έχει σαν αποτέλεσμα τη (i) μείωση της ισχύος του ελέγχου. Οι απαντήσεις (ii) και (iii) είναι λάθος καθώς το επίπεδο σημαντικότητας παραμένει σταθερό. Η απάντηση (iv) είναι λάθος καθώς ο έλεγχος δεν εξετάζει την αλήθεια ή όχι μιας υπόθεσης, αλλά την πιθανότητα απόρριψής της ενώ είναι σωστή (και αντίστροφα). (δ) Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε το παρακάτω ζεύγος υποθέσεων για τη διαφορά των ποσοστών p1 και p2: H0 : p1 - p2 = δ0 έναντι της ΗΑ {δεν ισχύει η Η0}. Για τον έλεγχο αυτό (iv) εάν τα n1 = n2 = 100 και δ0 = 0 τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί η Z  Pˆ1  Pˆ 2  0 ˆˆ 1  1  PQ    n1 n 2  , X  X2 όπου Pˆ  1 . n1  n 2 Η σ.σ.ε. των (i) και (ii) είναι λάθος γιατί στην τυπική απόκλιση που εμφανίζεται στον παρονομαστή δεν μπαίνουν οι εκτιμήτριες αλλά οι p1 , p2 . To (iii) είναι λάθος γιατί χρήση της σταθμισμένης εκτιμήτριας κάνουμε μόνο κάτω από την υπόθεση: δ0 = 0 (ε) Σωστή είναι η πρόταση: (iii) Το ποσοστό της μεταβλητότητας που παραμένει ανερμήνευτο μετά την προσαρμογή του προτύπου είναι 18.2% , καθώς είναι το πηλίκο: SS Residual Error/SS Total. (όπου SS=Sum of Squares). Η απάντηση (i) είναι λάθος καθώς η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης των σφαλμάτων είναι η τετραγωνική ρίζα του: Mean of Squares Residual Error = 0.921, δηλαδή 0.96. Η απάντηση (ii) είναι λάθος καθώς F  SSR  66.335 SSE (n  2) Η απάντηση (iv) είναι λάθος γιατί, αφού η p-τιμή της σταθεράς είναι 0.082 (παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας), δεν γίνεται να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση σε μικρότερο επίπεδο σημαντικότητας.