ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 (kx + λ y ) o z = k ( x o z ) + λ ( y o z ) , ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ο ανάστροφος πίνακας ενός m × n πίνακα A = [aij ] σηµειώνεται µε AT = [a ji ] , (δηλαδή, οι Ι. γραµµές γίνονται στήλες και αντίστροφα). T T T Ιδιότητες: ● ( AT )T = A ● ( A + B) = A + B ΙΙ. ● (λ A)T = λ AT , ∀ λ ∈ R Ένας m×n πίνακας ● A = [aij ] ονοµάζεται x o x ≥ 0 και x o x = 0 ⇔ x = 0 To µέτρο του διανύσµατος x ορίζεται από τον x = xox . τύπο Η γωνία ω∈ [0, π] των x , y ∈ R n \ {0} ορίζεται συµµετρικός όταν ισχύει aij = a ji δηλ. AT = A ● Ο αντίστροφος ενός n × n τετραγωνικού πίνακα A = [aij ] (όταν υπάρχει) συµβολίζεται µε A−1 και από τον τύπο: cos ω = ισχύει AA−1 = AA−1 = I n . Ιδιότητες: Αν Α, Β αντιστρέψιµοι n×n πίνακες −1 −1 T −1 −1 T ● (A ) = A ● (A ) = (A ) −1 −1 −1 k −1 −1 k ● ( AB ) = B A ● (A ) = (A ) ∀ k ∈Z Ανάπτυγµα Laplace της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα A = [aij ] ως προς την i γραµµή ή την j στήλη: det( A) = A = a11 a21 = M an1 xo y =0 ⇔ x+ y Ι. ΙΙ. IV. • όπου 2 = x 2 2 + y λx = λ x , ∀ λ ∈R Προβολή p διανύσµατος x στη διεύθυνση xo y 2 y • Το y. ορθογώνιο συµπλήρωµα ενός E ⊆ Rn είναι ο υπόχωρος υπόχωρου E ⊥ = { y ∈ R n : x y = 0, ∀ x ∈ E } . Επιπλέον, ● det( A ) = det( A) E ⊕ E = R , (E ) = E . ● det(λA) = λ n det( A) , ∀ λ ∈ R • ● det( AB) = det( A) det( B) ● det( A ) = [ det( A)] , ∀ k ∈ Z \{0} ● A αντιστρέψιµος ‹ det( A) ≠ 0 ορθοκανονική αν και µόνο αν τα διανύσµατα είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία (δηλ. ui o u j = 0 για i ≠ j , και ui = 1 ) . T k k τότε A−1 = ⊥ όπου adj ( A) ο ανάστροφος του πίνακα µε στοιχεία τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του A . * * * * * * * * * * * * ● Ένα µη κενό υποσύνολο U του πραγµατικού διανυσµατικού χώρου V είναι υπόχωρος του δ.χ. V αν και µόνο αν ∀ k , λ ∈ R και ∀ u1 , u2 ∈ U ισχύει k u1 + λ u2 ∈ U . ● Τα διανύσµατα v1 , v 2 ,K , vk είναι γραµµικά ανεξάρτητα όταν λ1v1 + λ 2 v 2 + L + λ k vk = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = L = λ k = 0. ● Ένα σύνολο {v1 , v 2 ,K , vk } του δ.χ. V είναι µία βάση του V αν και µόνο αν I. τα διανύσµατα v1 , v 2 ,K , v k είναι γραµµικά ανεξάρτητα IΙ. Ο δ.χ. V παράγεται από τα v1 , v 2 ,K , v k και τότε η διάσταση του V είναι dim V = k . ● Αν Β={ u1 , u2 , K , uk } (διατεταγµένη) βάση του V και x ∈ V , τότε x = ∑ i=1 ai ui , µε µοναδικά k ai ∈ R . Η στήλη [a1 a2… ak ]T λέγεται στήλη συντεταγµένων του x ως προς συµβολίζεται µε [ x ]B . την B και Έστω V ένας πεπερασµένης διάστασης δ.χ. και U , W υπόχωροι του V . Τότε ισχύει: dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ) ● Για το ευθύ άθροισµα των υποχώρων U ,W ⊆ V του δ.χ. V ισχύει V = U ⊕ W ⇔ ( V = U + W και U ∩ W = {0} ) ⇔ ( V = U + W και dim V = dim U + dim W ). * * * * * * * * * * * * Εσωτερικό γινόµενο Ένα εσωτερικό γινόµενο στον R n είναι µία συνάρτηση που σε κάθε ζεύγος ( x , y ) ∈ R n × R n , αντιστοιχεί ένα πραγµατικό αριθµό x o y µε τις ιδιότητες: ● Μία βάση • 1 adj ( A) det( A) ⊥ ⊥ n u1 , u2 ,K , uk ∈ R n ονοµάζεται Αν ξ1 , ξ 2 ,K , ξ n είναι βάση του R n , τα διανύσµατα η1 = ξ1 και ηj = ξ j − V , από τις ισότητες f (u1 ) = a11v1 + a21v2 + L + am1vm f (u2 ) = a12 v1 + a22v 2 + L + am 2 vm M f (un ) = a1n v1 + a2 n v 2 + L + amn v m ορίζεται ο m × n πίνακας αναπαράστασης της f  a11 a12 L a1n  a a22 L a2 n  A =  21 ,  M M M     am1 am 2 L amn  1 x o y ≤ x ⋅ y (Cauchy-Schwarz) του y είναι p = U και Β2={ v1 , v 2 ,K , v m } διατεταγµένη βάση του και A [ x ]B = [ f ( x ) ]B , για κάθε x ∈ U . x+ y ≤ x + y an 2 L ann Aij = (−1)i+ j M ij και M ij η ελάσσων ορίζουσα του ij-στοιχείου. Ιδιότητες ορίζουσας ενός n × n πίνακα A : xo y . x ⋅ y Τα διανύσµατα x, y ∈ R n λέγονται κάθετα (ή ορθογώνια) αν και µόνο αν x o y = 0 . Για το εσωτερικό γινόµενο και το µέτρο των διανυσµάτων x, y ∈ R n ισχύουν οι ιδιότητες: ΙIΙ. a12 L a1n n n a22 L a2 n = ∑ ai k Aik = ∑ ak j Ak j M M k =1 k =1 ΙΙΙ. Αν Β1={ u1 , u2 ,K , un } διατεταγµένη βάση του x o y = y o x , ∀ x, y ∈ R n ΙΙΙ. ● ( AB )T = BT AT Ι. dim U = dim ker f + dim Im f ΙΙ. Η f είναι 1-1 αν και µόνο αν ker f = {0} . ∀ k,λ ∈ R ∀ x, y, z ∈ R , n πίνακα είναι οι n ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου  λ − a11 − a12 L − a1n   −a λ − a22 L −a2 n  21 p(λ ) = det   M M M    − a − a − ann  L λ n1 n2  = λ n + an−1λ n−1 + L + a1λ + a0 ξ j o η1 η1 o η1 η1 − ξ j o η2 η2 o η2 η2 − L − ξ j o η j −1 η j−1 o η j −1 η j −1 για j = 2, 3, K , n είναι κάθετα µεταξύ τους, τα δε διανύσµατα η η η u1 = 1 , u2 = 2 , K , un = n η1 η2 ηn Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος, τότε οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του. Για κάθε ιδιοτιµή λi , i = 1, 2,K , n , τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη-µηδενικές λύσεις A AT = AT A = I , ή II. III. του οµογενούς M an1 x1 + an 2 x2 + L + (ann − λi ) xn = 0 • και Για τις ιδιοτιµές του A ισχύουν: det A = λ1 ⋅ λ2 ⋅ L ⋅ λn = ( −1) n a0 trA = λ1 + λ2 + L + λn = −an−1 , όπου a0 , an−1 οι αντίστοιχοι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p (λ ) . det A = 1, Αν λi ιδιοτιµή και Ax = x , Ax o Ay = x o y V. Αντίστροφος ορθογωνίου και γινόµενο ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας. IV. * * * * * * * * * * * * Γραµµικές απεικονίσεις (µετασχηµατισµοί) Μία απεικόνιση f : U → V ( U , V πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι) ονοµάζεται γραµµική όταν f (k x + λ y ) = k f ( x ) + λ f ( y ) , ∀ x, y ∈ U και ∀ k , λ ∈ R . (Αν U = V λέγεται και γραµ. µετασχηµατισµός του U ). Το σύνολο ker f = { x ∈ U : f ( x ) = 0 } ⊆ U ονοµάζεται πυρήνας της f και είναι υπόχωρος του U . Το σύνολο Im f = { y ∈V : f ( x ) = y, x ∈ U } ⊆ V λέγεται εικόνα της f και είναι υπόχωρος του V . Η f : U → V λέγεται ένα-προς-ένα (1-1) αν ∀ x, y ∈ U f ( x) = f ( y) ⇒ x = y . Η f : U → V λέγεται επί αν f (U ) = V . • Για τη γραµµική απεικόνιση ισχύουν: T a21 x1 + (a22 − λi ) x2 + L + a2 n xn = 0 ισοδύναµα A−1 = AT , ονοµάζεται ορθογώνιος. Αν Α ορθογώνιος, τότε ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο ισχύουν: I. Οι στήλες του (και οι γραµµές του) αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n , x = [ x1 x2 K xn ] συστήµατος (a11 − λi ) x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n . • Ο πραγµατικός n × n πίνακας A µε την ιδιότητα 2 • Αν για τους διανυσµατικούς χώρους ισχύει dim U = dim V = n , τότε για τη γραµµική απεικόνιση f : U → V οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες. −1 Ι. f αντιστρέψιµη (υπάρχει η f ) II. f είναι 1-1 III. ker f = {0} IV. f είναι επί * * * * * * * * * * * * Ιδιοτιµές – Ιδιοδιανύσµατα πίνακα Για έναν n × n πίνακα A οι ιδιοτιµές λi του f :U →V xi αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα του A , τότε λ , xi είναι ιδιοποσά του Ak . k i Οι ιδιοτιµές πραγµατικού συµµετρικού πίνακα είναι αριθµοί πραγµατικοί, τα δε ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα. ● Ο n × n πίνακας A λέγεται διαγωνοποιήσιµος, όταν είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα D , δηλ. όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος, ώστε A = PDP −1 . Ο διαγώνιος πίνακας D έχει διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του A και ο P είναι πίνακας µε στήλες αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα που αποτελούν βάση του R n . ● Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν: ● Για κάθε ιδιοτιµή αλγεβρικής πολλαπλότητας k υπάρχουν ακριβώς k γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα, ή, αλλιώς, η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την αλγεβρική της πολλαπλότητα (και αντιστρόφως) ● Εχει n διακεκριµένες ιδιοτιµές . ● Είναι συµµετρικός πραγµατικός. Tότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q , τέτοιος ώστε ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 A = Q diag (λ1 , λ2 , K , λn ) Q . ● x0 ∈ A αν lim f ( x) = f ( x0 ) . x→ x0 Αν f (λ ) είναι πολυώνυµο, τότε f ( A) = P f (D) P = Pdiag ( f (λ1), f (λ2 ),K, f (λn )) P −1 ● −1 σηµείο x0 ∈ A αν υπάρχει το όριο Αν υ (λ ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου f (λ ) δια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p (λ ) , τότε f ( A) = υ ( A) . * * * * * * * * * * * * Τετραγωνικές µορφές Το πολυώνυµο των πραγµατικών µεταβλητών x1 , x2 ,K , xn της µορφής F ( x ) = x T Ax , όπου T και A n×n * * * * * * * * * * * * Παράγωγος συνάρτησης ( A = (a, b) ⊆ R) Η συνάρτηση f : A → R είναι παραγωγίσιµη στο Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A ισχύει p ( A) = An + an −1 An −1 + L + a1 A + a0 I = O . x = [ x1 x2 K xn ] συµµετρικός πίνακας, ονοµάζεται τετραγωνική µορφή. Αν A = Qdiag (λ1 , λ2 , K, λn )QT , τότε η F ( x) µετασχηµατίζεται στη διαγώνια µορφή F ( y ) = λ1 y12 + λ2 y22 + L + λn yn2 , lim x→ x 0 (αρνητικά) ορισµένη, αν λ1 , λ2 ,K , λn ≥ 0 ( ≤ 0 ) λέγεται θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη, ενώ, σε κάθε άλλο συνδυασµό προσήµων των λi * * * * * * * * * * * ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A ⊆ R f :A→R ή y = f ( x), x ∈ A , xa y Γραφική παράσταση συνάρτησης f C f = {σηµε ίο M ( x, y ) του επ / δου xy : y = f ( x )} f δεν είναι συνεχής τότε f δεν είναι παραγωγίσιµη. Ιδιότητες παραγώγων: Αν f, g παραγωγίσιµες ● ( cf ( x) )′ = c ( f ( x ) )′ , c ∈ R ( f ( x) ± g ( x) )′ = ( f ( x) )′ ± ( g ( x) )′ ● ( f ( x) ⋅ g ( x) )′ = ● ● 1 , f′ ● Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης f ( g ( x)) είναι Άνω φραγµένη συνάρτηση f : A → R Υπάρχει αριθµός s (άνω φράγµα της f ) µε την ιδιότητα: f ( x ) ≤ s , ∀ x ∈ A . (Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγµένη). Φραγµένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω και κάτω φραγµένη. ● 1-1 συνάρτηση f : A → R ● f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , ισοδύναµα: αν f ( x1 ) = f ( x2 ) , τότε x1 = x2 . Σύνθεση της f : A → R µε την g : B → R , ( g o f )( x) = g ( f ( x )) , ∀x ∈ A για τα οποία f ( x) ∈ B . Αντίστροφη συνάρτηση µιας 1-1 συνάρτησης f : f ( A) → A , που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο y ∈ f ( A) στο µοναδικό x , για το οποίο ισχύει y = f ( x ) , δηλ. f −1 ( y ) = x ⇔ f ( x) = y . Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Όριο συνάρτησης στο x0 - Πλευρικά όρια lim f ( x ) = l ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = l x→ x0+ Κριτήριο παρεµβολής: Αν g ( x ) ≤ f ( x) ≤ h( x) κοντά στο x0 και lim h( x) = lim g ( x ) = l , τότε lim f ( x) = l . x→ x0 x→ x0 Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση που x → +∞ , x → −∞ . sin x cos x − 1 lim = 1 , lim =0 x→0 x→0 x x Συνέχεια x0 είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου. β) Αν f ′( x0 ) = 0 και f ′′( x0 ) < 0 , τότε το x0 είναι σηµείο τοπικού µεγίστου. Ασύµπτωτες ● Κάθετη ασύµπτωτη η ευθεία x = a ∈ R , αν lim f ( x) = ±∞ ή lim f ( x ) = ±∞ x→a− ●Οριζόντια x→a+ ασύµπτωτη η ευθεία y = b , b ∈ R , αν lim f ( x) = b ή x →∞ ● lim f ( x ) = b x →−∞ Πλάγια ασύµπτωτη της C f στο ±∞ η ευθεία ( sin x ) ' = cos( x ) ( cos x ) ' = − sin( x ) f ( x) = a ∈ R και xlim( f ( x) − ax) = b ∈ R →±∞ x * * * * * * * * * * * * Σηµαντικά θεωρήµατα Έστω συνάρτηση f : [a, b] → R . 1 ( tan x ) ' = 2 cos x ( e x )' = e x Bolzano: Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] και f (a ) ⋅ f (b) < 0 , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ln x ) ' = ( x )' = k x k c∈R k −1 , ( a ) ' = ln(a ) ⋅ a x x , a ≠1> 0 1 ( arctan x ) ' = 1 − x2 1 1 + x2 Κανόνας l’ Hospital Πρώτη διατύπωση: Αν f (a ) = g (a ) = 0 f ′(a ), g ′(a) υπάρχουν και g ′(a) ≠ 0 , τότε lim ⇔ xlim →±∞ k ∈R 1 x ( arcsin x ) ' = f ( x) x → a g ( x) = lim f ′( x ) x → a g ′( x) = µε f ( x), g ( x) διαφορίσιµες στο και Ενδιάµεσης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] και f (a ) ≠ f (b) , τότε, για κάθε αριθµό ρ µεταξύ των f (a ) και f (b) υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = ρ . [a, b] . Επιπλέον υπάρχουν x1 , x2 ∈ [a, b] έτσι ώστε f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) , ∀ x ∈ [a, b] . f ′(a ) g ′(a) ( a, b ) , x0 ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = 0 . Μέγιστης - ελάχιστης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] , τότε η f είναι φραγµένη στο Θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ): Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο (a, b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (a, b) ∆εύτερη διατύπωση : Αν f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 , και f (b) − f (a ) = f ′(ξ). b−a Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] , g ′( x) ≠ 0 , εκτός πιθανώς του x0 ∈ (a, b) , τέτοιο ώστε : f ( x) f ′( x) = lim g ( x) x→ x0 g ′( x ) Ο κανόνας ξαναχρησιµοποιείται αν ισχύουν οι ίδιες συνθήκες και για τις παραγώγους των f ( x), g ( x) . Rolle: παραγωγίσιµη στο (a, b) , και f (a ) = f (b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (a, b) τέτοιο ώστε : f ′(ξ) = 0 . Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο (a, b) , και f ′( x ) = 0, ∀ x ∈ (a, b) , τότε f ( x ) = c. Cauchy: Αν οι f ( x), g ( x) είναι ορισµένες και συνεχείς στο [a, b] , διαφορίσιµες στο (a, b) και g ′( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ (a, b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον τότε lim x→ x 0 ±∞ , ∞ − ∞, ∞ ⋅ 0 m∞ µπορούν να µετατραπούν ως εξής f 1/ g f ∞/∞: = 0 × ( ±∞ ) : fg = g 1/ f 1/ g ● Οι x→ x0− α) Αν f ′( x0 ) = 0 και f ′′( x0 ) > 0 , τότε το y = ax + b , αν xlim ( f ( x) − ax − b ) = 0 →±∞ (c)' = 0 , x1 , x2 ∈ A αν x1 ≠ x2 , τότε df ( g ( x)) df ( g ) dg ( x ) = ⋅ dx dg dx Παράγωγοι συνήθων συναρτήσεων Συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο A f ( x1 ) > f ( x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ A µε x1 < x2 . x→ x0 ● ( f )′ = ● x→ x0 τότε το x0 είναι σηµείο καµπής. αντίστροφη f −1 είναι παραγωγίσιµη και Συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο A f ( x1 ) < f ( x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ A µε x1 < x2 . είναι η f και f ′′( x ) < 0 για x0 < x < x0 + ε (ή αντίστροφα), f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) ( f ( g ( x)) )′ = f ′( x) < 0 , x0 < x < x0 + ε , τότε το x0 είναι σηµείο τοπικού  f ( x ) ′ f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) , g ( x) ≠ 0   = g 2 ( x)  g ( x)  Aν επιπλέον f ′ ≠ 0 και f αντιστρέψιµη τότε η ● −1 f είναι παραγωγίσιµη τότε f συνεχής ● Αν ● Από πρώτη παράγωγο ● Αν f ′( x ) > 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f γνησίως αύξουσα. ● Αν f ′( x ) < 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f γνησίως φθίνουσα. ● Αν f ′( x0 ) = 0 , για κάποιο x0 ∈ A και υπάρχει µεγίστου. Ανάλογα για σηµείο τοπ. ελαχίστου. Από δεύτερη παράγωγο ● Αν f ′′( x) > 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο διάστηµα Ι. ● Αν f ′′( x) < 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα Ι. ●Αν υπάρχει ε>0 µε f ′′( x ) > 0 για x0 − ε < x < x0 −1 ονοµάζεται αόριστη. Για οποιαδήποτε στο σηµείο Cf Εφαρµογές των παραγώγων στην σχεδίαση της γραφικής παράστασης C f της f : A → R . ε>0 : f ′( x) > 0 , x0 − ε < x < x0 και ( x0 , f ( x0 )) είναι y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 ) ● Αν T Αν λ1 , λ2 ,K, λn > 0 ( < 0 ) η F λέγεται θετικά f ( x) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∈ R x − x0 Η εφαπτοµένη ευθεία της όπου y = [ y1 y2 K yn ] = QT x . * f : A → R είναι συνεχής στο Η συνάρτηση T απροσδιόριστες µορφές ένα c ∈ (a, b) : 1 / g −1 / f ∞−∞: f − g = 1 / fg Οι απροσδιόριστες µορφές µετατρέπονται µε βάση τη σχέση ● lim ( g ( x ) ln f ( x )) lim f ( x ) g ( x ) = e x −>a x→a , f ( x) 00 , + ∞ 0 , 1∞ g (x) = e g ( x )ln f ( x ) f (b) − f (a ) f ′(c) = g (b) − g (a) g ′(c ) Darboux: Αν f παραγωγίσιµη στο [a, b] µε f ′(a ) > f ′(b) και c ∈ R µε f ′(b) < c < f ′(a ) , τότε υπάρχει ξ ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ′(ξ) = c. (παρόµοια, αν f ′(a ) < f ′(b) ). ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 Εφαρµογή του ΘΜΤ για την προσέγγιση ρίζας Αν η εξίσωση x = f ( x ) έχει ρίζα a , µε f παραγωγίσιµη στο [ a − h, a + h] , και xn = f ( xn−1 ), n = 1, 2,..., συγκλίνει στη ρίζα a . * * * * * * * * * * ∫ ∫ ● b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ a ● a ∫ ● b a a ● a b b a b a a b f ( x )dx = f (ξ )(b − a) a ή αντιπαράγωγος F ( x ) + c = ∫ f ( x )dx ⇔ ( F ( x ) + c )′ = f ( x ) Ιδιότητες ∫ ( c f ( x) + c h( x) ) dx = c ∫ f ( x)dx + c ∫ h( x)dx 2 1 x ∫ x dx = a + 1 + c, 1 ∫ x dx = ln x + c a είναι L{ f (t )}( x) = a ∈ R −{−1} ∫ e dx = e + c * * * * * * * * * * a b S = ∫ 1 +  f ′ ( x )  dx 2 +∞ b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx b →+∞ b a b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx (β’ είδους) ∫ a a→ −∞ f ( x ) dx = lim+ ∫ ( b ιδιόµορφο σηµείο) n→∞ n→∞ * * * * * * * * * * * Ειδικές Κατηγορίες Σειρών ∞ ∑r n r < 1 : συγκλίνει. Άθροισµα: ε →0 a b−ε a f ( x ) dx * n→∞ ∞ δ) Εναλλάσσουσες Σειρές: ∑ ( −1) * n an , an > 0 ή n =0 an < 0 για όλα τα n = 0,1, 2 ,... * * * * * * * * ε) Αναπτύγµατα Taylor: Αν η συνάρτηση f και * Άθροισµα n όρων α.π.: Sn = n ⋅ [2a1 + ( n − 1) ⋅ ω] 2 Άθροισµα n πρώτων όρων γ.π.: n−1 λn −1 , λ −1 όροι γ.π. τότε b = a ⋅ c . Σηµαντικά όρια ακολουθιών Το x ∈ R παραµένει σταθερό καθώς n → ∞ (στους τύπους που υπάρχει x ) 2 1 lim = 0 n→∞ n ln n =0 n το lim n =1 lim x = 0, x < 1 lim n n! =∞ lim n x = 1, x > 0 n n→∞ n→∞ συνεχείς στο n και αν η f (n) είναι διαφορίσιµη στο (a, b) , τότε για ξ ∈ ( a, x ) ισχύει 2 f (1) (a ) f (2) ( a) x − a) + ( ( x − a) +L 1! 2! n f ( n ) (a) L+ ( x − a ) + Rn ( x) n! n +1 f ( n+1) (ξ ) ( x − a ) είναι το υπόλοιπο (n + 1)! της πολυωνυµικής προσέγγισης n-βαθµού. Όταν a = 0 , τότε το ανάπτυγµα ονοµάζεται και ανάπτυγµα Maclaurin. Συνήθεις σειρές Taylor ( a = 0 ) για x ∈ R ex = 1 + x + x2 xn +L + +L 2! n! sin x = x − x3 x5 x 2 n+1 + − L + (−1) n +L 3! 5! (2n + 1)! cos x = 1 − x 2 x4 x2n + − L + (−1) n +L 2! 4! (2n)! n→∞ n→∞ [ a , b] όπου Rn ( x ) = ⋅ a1 Sn = a 1 οι πρώτες τις παράγωγοι f (1) , f ( 2) ,..., f ( n ) είναι f ( x) = f ( a ) + Πρόοδοι Αριθµητική: an+1 = an + ω , α n = a1 + (n − 1) ⋅ ω n→∞ , n→∞ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ ● Ακολουθία είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθµών. Συµβολισµός: an = a(n) . lim 1 1− r Άθροισµα: b1 − lim bn . a * . n =1 Vox = π ∫  f 22 ( x ) − f12 ( x )  dx * * Συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lim bn . λ ≠1 . Γεωµετρικός µέσος: Αν a, b, c είναι 3 διαδοχικοί x dF d = f (t )dt = f ( x) dx dx a * * * * * * * * * * * Γενικευµένα Ολοκληρώµατα b− n→∞ Αν lim an+1 / an = λ <1, τότε lim an = 0 . γ) Τηλεσκοπικές : ∑ an , an = bn − bn+1 2 Γεωµετρική: an+1 = λ an ή an = λ Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b] , −∞ lim an = 0 . b f ( x)dx = F (b) − F (a) ή n→∞ ∞ 2 a a Μονότονες και φραγµένες ακολουθίεςΣύγκλιση Μία µονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ’ ανάγκη. Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R . Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη. Αν lim βn = 0 και an ≤ β n , ∀ n ∈ N τότε r ≥ 1 : απειρίζεται θετικά r ≤ −1 : κυµαίνεται, το όριό της δεν υπάρχει. ∞ 1 β) p-Σειρές: ς ( p ) = ∑ p , n =0 n ● αν p > 1 : συγκλίνει ● αν p ≤ 1 : αποκλίνει a b (α’ είδους) µονότονη, αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα. ● αν b Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [a, b] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της ∫ φθίνουσα, αν ισχύει an ≥ an+1 , ∀ n ∈ N . ● ● αν E = ∫ f ( x ) dx, f ( x) ≥ 0 E = ∫  f 2 ( x ) − f1 ( x )  dx Ι. τότε ● ● αν a Θεµελιώδη θεωρήµατα Ολοκληρωτικού Λογισµού ΙΙ. αύξουσα, αν ισχύει an ≤ an+1 , ∀ n ∈ N . * Vox = π ∫  f ( x )  dx x ∫ ● n =0 a f ′( x)dx = ln | f ( x) | + c f ( x) f , τότε φραγµένη : υπάρχει m∈R: m ≤ an , ∀ n ∈ N . α) Γεωµετρικές Σειρές: b adx x x = tan −1 ( ) + c = arc tan( ) + c + a2 a a dx x x = sin −1 ( ) + c = arc sin( ) + c a a a2 − x2 ● −xt ∫ e f (t )dt , για κάθε τιµή του x για την οποία το παραπάνω γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει. 2 x c+ e +∞ b ∫ cos x dx = sin x + c ● ∫ sin xdx = − cos x + c ∫ a Eox = 2π ∫ f ( x ) 1 +  f ′ ( x )  dx ● ∫ a η πρωτεύουσα τιµή του Cauchy b b  c−e   f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  ∫a f ( x ) dx = elim →0 +  ∫ c+ e  a  (c ιδιόµορφο σηµείο) Ο µετασχηµατισµός Laplace µίας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f : [0, +∞) → R a a +1 ● b e→0+ b Πίνακας Ολοκληρωµάτων ● ∫ kdx = kx + c ● e →0 + Εφαρµογές Ολοκληρωµάτων Παραγoντική Ολοκλήρωση ∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx ∫x c −e b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx * x = g (t ) , ∫ f ( g (t )) g '(t )dt = ∫ f ( x)dx ● c 2 Μεθοδολογίες Ολοκλήρωσης Αντικατάσταση ● a+e 0 ∫ df ( x ) = f ( x ) + c ● b b→+∞ ( a ιδιόµορφο σηµείο) Εσωτερικό ιδιόµορφο σηµείο c ∈ ( a, b ) a ΘΜΤ: f συνεχής, τότε για κάποιο ξ ∈ [a, b] 1 c c e →0 + a+ Αόριστο ολοκλήρωµα (παράγουσα) b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx ∫ e→0+ xn =0. n! Μια ακολουθία απολύτως φραγµένη είναι φραγµένη και αντιστρόφως. Μία φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ’ ανάγκη. Μονότονες ακολουθίες Μία ακολουθία an , n ∈ N ονοµάζεται c a −e c b→−∞ n→∞ Φραγµένη: συγχρόνως άνω και κάτω φραγµένη, δηλ. υπάρχουν m, M ∈ R : m ≤ an ≤ M , ∀n ∈ N . b b→+∞ a +∞ ∫ ( f (x) + g(x)) dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx f ( x) ≤ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx ● c lim ● ( a ιδιόµορφο σηµείο) f ( x)dx b ● ● κάτω c ( a, b ιδιόµορφα σηµεία) a→−∞ −∞ b b a µε a < c < b e→0 a +e + ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx c b e →0 a+ a− f ( x)dx c b −e c + , Φραγµένες ακολουθίες ● άνω φραγµένη: υπάρχει M∈R : an ≤ M , ∀ n ∈ N . ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx −∞ b b a +e ( a ιδιόµορφο σηµείο) (γ’ είδους) = συνδυασµός α’, β’ είδους ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx a f ( x )dx = − e→0 + +∞ Ορισµένο ολοκλήρωµα ● Κάθε συνεχής f είναι ολοκληρώσιµη n  x lim 1 +  = e x n →∞  n + b− αυθαίρετο x0 ∈ [ a − h, a + h] η ακολουθία * b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx a f '( x) < m < 1 , ∀ x ∈ [ a − h, a + h] , τότε για * b ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 και για -1< x < 1 x 2 x3 x n+1 ln(1 + x) = x − + − L + (−1) n +L 2 3 n +1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ n n! Συνδυασµοί : Crn =   = r r ! n − r )! (   x3 x5 x 2 n+1 arctan x = 1 − + − L + (−1) n +L 3 5 2n + 1 ε) Σειρές Fourier: Έστω f :[− L, L] → R που επεκτείνεται 2L –περιοδικά. Η σειρά Fourier της f δίνεται από ∞ nπ x nπ x f ( x) ~ ∑ (an cos + bn sin ) L L n=0 1 L f ( x)dx 2 L −∫L όπου a0 = 1 L nπ x f ( x) sin dx , n = 1, 2,K L −∫L L Κριτήρια σύγκλισης σειρών lim an ≠ 0 , τότε η σειρά n →∞ ∞ n n =0 συγκλίνουν, τότε n n=0 για κάθε k , λ ∈ R ∞ ∞ ∞ n =0 n=0 n =0 ∑ (kan + λbn ) = k ∑ an + λ ∑ bn συγκλίνει. ∞ ∑a β) Αν ∞ συγκλίνει και n n =0 ∞ ∑ (a τότε ∑b δεν συγκλίνει, n n=0 ∞ Αν η σειρά ∑| a ∞ n | συγκλίνει, τότε η ∑a n n=0 n =0 συγκλίνει. Το αντίστροφο δεν ισχύει. ΙV. (Απλό κριτήριο σύγκρισης) Έστω 0 ≤ an ≤ bn . ∞ ∑b αν ● ∞ συγκλίνει, τότε n n=0 ∑a συγκλίνει n n=0 ∞ ● αν ∑a ∞ n δεν συγκλίνει, τότε n =0 ∑b n δεν συγκλίνει. n =0 (Γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης) Έστω a 0 ≤ an , 0 < bn , lim n = c > 0 . Τότε οι σειρές n→∞ b n V. ∞ ∑a n =0 ∞ n και ∑b n είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν αν λ < 1 , τότε η αν λ > 1 , τότε η ∑a n συγκλίνει ∑a n δεν συγκλίνει λ = 1 , τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε. (Κριτήριο ρίζας - Cauchy). Έστω an > 0 και ● αν lim n an = λ n→∞ ● αν λ < 1 , τότε η τις διακριτές τ.µ., και από: E ( X ) = 2 var( X ) = E ( X − µ x )  =   αν λ > 1 , τότε η n συγκλίνει ∑a n δεν συγκλίνει (Κριτήριο Leibnitz) Έστω ∞ ∫ (x − µ ) 2 x −∞ f ( x ) dx διασποράς της Χ, δηλαδή: σ X = var( X ) . Έστω X τ.µ. (διακριτή ή συνεχής). Εάν ορίσω άλλη τυχαία µεταβλητή Y = aX + b τότε ισχύει: E (Y ) = E ( aX + b) = aE ( X ) + b ∑ ( −1) n an . Αν η ακολουθία ( an ) είναι θετική, φθίνουσα και lim a = 0, τότε η σειρά συγκλίνει. n→∞ n (Κριτήριο ολοκληρώµατος) Αν η ολοκληρώσιµη συνάρτηση f :[1, +∞) → R είναι θετική και IX. +∞ ∫ f ( x ) dx 1 ∞ και S = ∑ f ( n ) n =1 συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν και αν συγκλίνουν ισχύει: I < S < I + f (1) . −a x  a e E (a ) : f ( x ) =   0 Εκθετική x≥0 αλλού Var ( X ) = 1/ a 2 E ( X ) = 1/ a , Var(Y ) = Var (aX + b) = a Var ( X ) Κατανοµές τυχαίων µεταβλητών n ∆ιωνυµική: B (n, p ) : f (k ) =   p k (1 − p) n−k k  E ( X ) = np , Var ( X ) = np (1 − p ). λk , k = 0,1,... k! Var ( X ) = λ E ( X ) = 1 / p, Var ( X ) = (1 − p ) / p 2 Αρνητική διωνυµική:  k − 1 ν k −ν f (k ) =   p (1 − p) , k = ν ,ν + 1,... ν − 1 Var ( X ) = ν (1 − p ) / p 2  N1   N 2     k n−k f (k ) =    N   n k = 0,..., min(n, N1 ) , N1 + N 2 = N N1 N N N −n , Var ( X ) = n 1 2 N N N N −1 Οµοιόµορφη: U ( a, b) E( X ) = n  1  f ( x) =  b − a  0 E ( X ) = (a + b) / 2 , a≤ x≤b αλλού n( X − µ) Var ( X i ) = σ 2 , τότε n ∑X i σ ~ Ν (0,1) ή ~ N (nµ , nσ 2 ) n ≥ 30 . i =1 * * * * * * * * * * * * Χρήσιµες ταυτότητες και σχέσεις: n n n ( a + b ) = a n +   a n−1b + ... +   a n−r b r + ... + b n 1   r (a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2 ( a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3 a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) a n − b n = ( a − b )( a n −1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + ... + a 2 b n − 3 + ab n − 2 + b n −1 ), n = 1, 2, 3, ... (1 + a) n ≥ 1 + na, a > 0, n = 1, 2,3,... * * * * * * * * * * * Βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι ( x ∈ R ) sin( x) = − sin(− x ), cos( x) = cos(− x) * sin x cos x sin( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x cos( x ± y ) = cos x cos y m sin x sin y sin 2 x + cos 2 x = 1 , tan ( x ± y ) = 2 Υπεργεωµετρική: n =0 φθίνουσα τότε I = xf ( x ) dx . Η τυπική απόκλιση µιας τ.µ. Χ συµβολίζεται µε σ X και είναι η (θετική) τετραγωνική ρίζα της λ = 1 , τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε. ∞ VIIΙ. ∞ −∞ 2 ∞ n =0 ● αν ∫ Ισχύει: var( X ) = E  X 2  − ( E [ X ]) . E( X ) = ν / p , ∞ ∑a για για τις συνεχείς τ.µ., όπου f ( x ) η συνάρτηση πιθανότητας (σ.π.) (περίπτωση διακριτής τ.µ.) ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) (περίπτωση συνεχούς τ.µ.). H διασπορά για τις διακριτές τ.µ. δίνεται από: 2 2 var( X ) = E ( X − µ x )  = ∑ ( x − µ x ) f ( x )   x n =0 ● ∑ xf ( x ) k −1 k = 1, 2,...  p (1 − p ) G ( p) : f (k ) =  0 αλλιώς  ∞ n =0 VIΙ. και δίνεται από: E ( X ) = E( X ) = λ , Γεωµετρική: ∞ n =0 ● µX Poisson P ( λ ) : f (k ) = e − λ a για n ≥ n0 και lim n+1 = λ . Τότε: n →∞ a n ● µε k = 0,1,..., n n =0 ταυτόχρονα. VI. (Κριτήριο λόγου - d’ Alembert) Έστω an ≠ 0 E ( X ) = µ , Var ( X ) = σ 2 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Αν X 1 , X 2 ,..., X n ανεξάρτητες µε E ( X i ) = µ . P( Ak )P( B / Ak ) P( B ) και για τις συνεχείς τ.µ. από: + bn ) δεν συγκλίνει. n n =0 ΙIΙ. Τύπος Bayes: P( Ak / B ) = x ∞ ∑ a , ∑b −∞ < x < ∞ Ολική Πιθανότητα: P ( B ) = P( A1 )P( B / A1 ) + L + P( An )P( B / An ) του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Η µέση τιµή µίας τ.µ. συµβολίζεται µε E ( X ) ή δεν συγκλίνει. n 2 −  1 e 2 σ 2π n =0 α) Αν οι σειρές ΙΙ. Αν Ai ∩ Aj = ∅ , i≠ j και A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω, ∞ ∑a ενδεχόµενα: P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) . Τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) είναι µια συνάρτηση X (⋅) µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω bn = Ι. Αν Ανεξάρτητα 1 L nπ x f ( x) cos dx , n = 1, 2,K L −∫L L an = P ( A ∩ B) ∆εσµευµένη Πιθανότητα P ( A / B ) = P(B) 1  x−µ   σ  N ( µ , σ 2 ) : f ( x) = Κανονική tan x = tan x ± tan y 1 m tan x ⋅ tan y sin 2 x = 2sin x cos x = 2 tan x 1 + tan 2 x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − tan 2 x 1 + tan 2 x 2 tan x 1 , 1 + tan 2 θ = 1 − tan 2 x cos 2 θ x± y xm y sin x ± sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 sin(0) = cos(π / 2) = 0, cos(0) = sin(π / 2) = 1 sin(π / 6) = cos(π / 3) = 1/ 2 tan 2 x = π π 2 π π 3 sin( ) = cos( ) = , sin( ) = cos( ) = 4 4 2 3 6 2 * * * * * * * * * * * * Σύνολο µιγαδικών C ={ z = x + i y | x, y∈R} Συζυγής: z = x − iy 1 z Αντίστροφος: z −1 = = 2 z z Μέτρο µιγαδικού αριθµού: r = z = x2 +y2 και r 2 =| z |2 = z ⋅ z Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού z = r (cos θ + i sin θ ) , όπου θ πρωτεύον όρισµα. Θεώρηµα De Moivre z n = r n einθ = r n ( cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) ) , n ακέραιος Οι n διακεκριµένες ρίζες της εξίσωσης x = z , n ∈ N , (που λέγονται και n -οστές ρίζες του z ), δίνονται από τον τύπο n Var ( X ) = (b − a ) 2 /12 θ + 2k π θ + 2k π   zk = n r  cos + i sin  , k = 0,1,K n −1 . n n  