Γιώργος Τσιτσιλιάνος 14 / 12 / 2014 ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ΘΕΜΑ Α Α ) Αν µία συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆ , Είναι συνεχής στο ∆ και f’’(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο χ του ∆ , τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο ∆. Β ) Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και f”(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο χ του ∆ , τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . Γ) Να απαντήσετε µε Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω µαθηµατικές προτάσεις : æ Aν η συνάρηση φ είναι γνησίως αύξουσα στο ∆ τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά θετική. æ lim sinx = 1,όταν xö+¶ και lim xsin 1 = 1 , όταν xØ+¶ x x æ Aν f(x) > 1 " xœ και υπάρχει το lim f(x) , όταν xØ0 , τότε υποχρεωτικά lim f(x) >1 όταν xØ 0 æ Aν η f παραγωγίζεται στο [α,β] µε f(α) < f(β) , τότε υπάρχει ξœ(α ,β ) τέτοιο ώστε f” (ξ) < 0. æ Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f”(x) r0 "xœ[α,β] και η f δεν είναι παντού µηδέν στο [α,β] β , τότε Ÿα f HxL „ x r 0. ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς z οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση : § z - 2 §2 + z (2+3 Â ) + z (2- 3Â ) +1 = 0 α) Να βρείτε τον γ.τ των εικόνων του z και να αποδείξετε ότι 1b §z» b 5 . β) Θεωρούµε τον µιγαδικό w = 8 - z z-3 Â † Να βρείτε τον γ.τ των εικόνων του w †Nα δείξετε ότι Hz - w L2 b 0 † Nα δείξετε ότι αν z = w ó Im ( z ) = 3. † Aν Α(z) και Β(z) είναι οι εικόνες των z και w αντίστοιχα , µε Ιm(z) ∫ 3 , Να αποδείξετε ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι κάθετο στον άξονα x”x . † ‘Eστω P ένα σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ , όπου Α(z) και Β(z) οι εικόνες των z και w αντίστοιχα , µε Ιm(z) ∫ 3 . Aν το P είναι η εικόνα του µιγαδικού u , Να αποδείξετε ότι : »u - z §.»u - w »+ u - 3 Â 2 = 4 ΘΕΜΑ Γ ∆ίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη , για την οποία ισχύει : f΄΄(x) +f(x) > 2 f΄(x) , "xœ.Eπίσης η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της Μ(0 , f(0) ) είναι η ευθεία y = 2x+1 . Επί πλεον δίνεται η συνάρτηση g(x) = ‰-x f(x) , x œ. æ Nα αποδείξετε ότι το lim f HxL -4 x +‰x -2 >6 1 - cosx æΝα αποδείξετε ότι η g΄΄ (x) >0 , όταν xØ0 2 ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ.nb æ Nα την βρείτε την εφαπτοµένη της Cg στο σηµείο της Ν (0 ,g(0)) , καθώς και το lim f (x) όταν xØ+¶. æΝα αποδείξετε ότι : 2 ‰χ < f HxL - ‰x x < f΄(x) -f ( x) , όταν x>0 . ΘΕΜΑ ∆ ∆ίνεται η συνάρτηση f : [ 0, π ]Ø , δύο φορές παραγωγίσιµη , για την οποία ισχύει f΄( και f΄΄(x) + f(x) = 0 , x œ[ 0 , π ] 2 π ) 2 =0 . à Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g (x) = f HxL sinx , x œ(0,π), είναι σταθερή . à Αν h : [ 0, π]Ø- {0} , είναι παραγωγίσιµη , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον h΄HξL f΄HξL ξ œ(0,π ) τέτοιο ώστε = . hHξL f HξL à Αν επί πλέον γνωρίζετε ότι : lim f HxL +ax x 3 =- 1 6 , όταν xØ0 , όπου a œ τότε να βρείτε τον τύπο της f , και να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x ) = διάστηµα (0,π) Καλή Επιτυχία ! Γιώργος Τσιτσιλιάνος . 1 x έχει µία ακριβώς δύο λύσεις στο