ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 17 Ιουλίου 2013 (διάρκεια: 3 ώρες και 30 λ.) ∆ιαβάστε προσεκτικά και απαντήστε αιτιολογηµένα στα παρακάτω 5 Θέµατα Θέµα 1 3 3 1α) (10µ.) Θεωρούµε V = {( x, y, z ) ∈ R x + y − z = 0} και W = {( x, y, z ) ∈ R x + 2 y + 2 z = 0} . υποχώρους του R3. i) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του V. ii) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του W. iii) Βρείτε µία βάση και την διάσταση για την τοµή W ∩ V. Ισχύουν οι σχέσεις W+V = R3, W∆V = R3 ; 1β) (10µ.) Θεωρούµε το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στον R4 και U = span{(1, −1, 1, −1), (1, 0,1, 0)} υπόχωρο του R4. i) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του U. ii) Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του U. iii) Να βρεθεί η ορθή προβολή του τυχόντος διανύσµατος w = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) του R4 στον U. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1α) i) Η εξίσωση x + y − z = 0 ισοδυναµεί µε x = − y + z οπότε το τυχόν διάνυσµα του V γράφεται (− y + z , y, z ) = (− y, y, 0) + ( z , 0, z ) = y (−1,1, 0) + z (1, 0,1) . Συνεπώς µία βάση του V είναι το Β1={( −1, 1, 0), (1, 0, 1)} καθώς από την τελευταία σχέση έχουµε άµεσα την γραµµική ανεξαρτησία του Β1. Η διάσταση είναι 2. ii) Παρόµοια µία βάση του W είναι το σύνολο {( -2,1,0), (-2,0,1)} και η διάσταση του W είναι 2. 3 iii) Για την τοµή: W ∩ V= {( x, y, z ) ∈ R x + y − z = 0 και x + 2 y + 2 z = 0} . Μία βάση βρίσκεται από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα συντελεστών του γραµµικού οµογενούς συστήµατος που ορίζει τα 1 1 −1  1 1 −1  1 0 −4  → →      και είναι {( 4, - 3, 1) } . Η διάσταση 1 2 2  0 1 3  0 1 3  στοιχεία της τοµής:  είναι 1. Επειδή dim (W +V)=dim W +dimV- dim (W ∩ V)=2+2-1=3, W +V= R3 επειδή όµως W ∩ V≠ {0} δεν είναι ευθύ το άθροισµα. 1β) i) Tα διανύσµατα που παράγουν τον U , u1 = (1, −1, 1, −1), u2 = (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα καθώς x(1, −1,1, −1) + y (1, 0,1, 0) = (0, 0, 0, 0) ( x + y, − x, x + y, − x) = (0, 0, 0, 0) x = y = 0 . Συνεπώς µια βάση του U είναι το σύνολο {u1 , u2 } . ii) Στην βάση {u1 , u2 } εφαρµόζουµε τη µέθοδο Gram-Schmidt (τυπολόγιο) και βρίσκουµε µία ορθογώνια βάση ως εξής (χρησιµοποιούµε ότι v1 = u1 = (1, −1,1, −1), v2 = u2 − u2 , u1 = 2 και ) u1 , u1 = 4 : u2 , v1 v1 2 2 1 v1 = (1, 0,1, 0) − (1, −1,1, −1) = (1,1,1,1) και διαιρώντας µε τα µέτρα 4 2 v1 1 v 1 = (1, −1,1, −1), b2 = 2 = (1,1,1,1) , έχουµε µία ορθοκανονική βάση του U : Β={b1, b2}. v1 2 v2 2 1 iii) Για την ορθή προβολή u , του w = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) στον U, έχουµε: < w, b1 >= ( x1 − x2 + x3 − x4 ) ≡ s1 , 2 1 s1 s2 < w, b2 >= ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ≡ s2 , οπότε u = s1b1 + s2b2 = (1, −1,1, −1) + (1,1,1,1) 2 2 2 1  s + s −s + s s + s −s + s  = ( x1 + x3 , x2 + x4 , x1 + x3 , x2 + x4 ) . = 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2  2 2 2 2   2 b1 = ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 Θέµα 2 2α) (10µ.) Θεωρούµε τον γραµµικό µετασχηµατισµό f ( x, y, z ) = ( x − y + z , 2 x + y + z , x + 2 y ) του R3. i) Γράψτε τον πίνακα αναπαράστασης Α του f , ως προς την συνήθη βάση του R3. ii) Βρείτε βάση και διάσταση για τον πυρήνα Kerf και την εικόνα Imf. iii) Βρείτε την τιµή της ορίζουσας του πίνακα Α. iv) Ισχύει ότι R3 = Kerf ∆ Imf ; 1/ 2 1  . 1/ 2 0  2β) (10µ.) ∆ίνεται ο πίνακας Α =  i) Βρείτε διαγώνιο πίνακα ∆ και αντιστρέψιµο πίνακα Ρ ώστε Α= Ρ ∆ Ρ −1. ii) Βρείτε τον Αn για κάθε φυσικό αριθµό n. iii) Ποιά είναι τα όρια των ακολουθιών των στοιχείων του πίνακα Αn καθώς n → ∞ ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2α) 1   1 −1 1   1 −1 1   1 −1 1 0 2 / 3    . Βρίσκουµε την ΑΚΜ:       A =  2 1 1 A  →  0 3 −1  →  0 1 −1/ 3   →  0 1 −1/ 3  1 2 0  0 3 −1 0 0 0 0 0  0        Από την ΑΚΜ του Α έχουµε: Aφού για τις λύσεις του συστήµατος ΑΧ=0 έχουµε Χ = ( -2 z/3 z /3 z)T = z ( -2 1 3)T/3, µία βάση για τον πυρήνα Kerf είναι το µονοσύνολο { (-2 , 1, 3)} και dim Kerf =1, Aφού τα οδηγά στοιχεία στην ΑΚΜ του Α βρίσκονται στην 1η και 2η στήλη, µία βάση για την εικόνα Imf : είναι { (1 , 2, 1), (-1 , 1, 2) } και dim Imf =2. Καθώς ο πυρήνας είναι µη µηδενικός, η ορίζουσα του Α είναι µηδέν. Γνωρίζουµε (και άµεσα επαληθεύουµε) ότι dimR3 = dim Kerf + dim Imf. Καθώς ο πυρήνας είναι µονοδιάστατος για να ισχύει ότι R3 = Kerf ∆ Imf πρέπει και αρκεί το στοιχείο της παραπάνω βάσης του πυρήνα, (-2 , 1, 3), να µην ανήκει στην Imf. Από την ΑΚΜ του πίνακα µε δύο πρώτες στήλες τις συντεταγµένες των στοιχείων της βάσης της εικόνας και τρίτη στήλη τις συντεταγµένες του στοιχείου της βάσης του πυρήνα  1 −1 −2   1 −1 −2   1 −1 −2        →  0 3 5   →  0 3 5  συµπεραίνουµε ότι η παραπάνω βάση του πυρήνα  2 1 1   1 2 3  0 3 5  0 0 0        περιέχεται στην εικόνα. Συνεπώς ο πυρήνας είναι υπόχωρος της εικόνας και ο R3 δεν γράφεται ως ευθύ άθροισµα του πυρήνα και της εικόνας της f. 2β) 1/ 2 1   το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: 1/ 2 0  i) Για τον πίνακα A =  1/ 2 − λ 1  2 det   = (1/ 2 − λ)(−λ) − 1/ 2 = λ − λ / 2 − 1/ 2 = (λ − 1)(λ + 1/ 2) , µε ρίζες (ιδιοτιµές του Α): 1, -1/2 . 1/ 2 −λ    2   1 / 2 − 1 1   −1/ 2 1  1 −2   1 −2  Για λ= 1: A− Ι =  → → →        , βάση ιδιοχώρου    . −1   1/ 2  1/ 2 −1 1 −2  0 0   1   −1  1  1 1  1 Για την ιδιοτιµή λ= -1/2: A+Ι/2=  =  (ήδη σε ΑΚΜ), βάση ιδιοχώρου    . 1 / 2 1/ 2   0 0   1  0   2 −1  1 1  1 1 −1 Για τις δυνάµεις Αn καθώς A = P∆P −1 µε P =  , P =  , ∆ =  , 3  −1 2  1 1   0 −1 / 2  n n A = P∆ P −1  1  1 1  1  2 − ( −1 / 2 )n   1 1    = =  n  n   −1 2  − 1 2 3 3  − 1/ 2     ( )   1 ( −1/ 2 )  n 2 − 2 ( −1/ 2 )   που, όταν θεωρήσουµε τα όρια των στοιχείων, καθώς n τείνει στο άπειρο, n  1 + 2 ( −1/ 2 )  n  2 −1   1 =   1 1   0 1  2 + ( −1/ 2 ) =  3  1 − ( −1/ 2 )n  n τείνει στον πίνακα 0 1  2 2  . 31 1 ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 Θέµα 3 3α) (8µ.) Υπολογίστε τα όρια των επόµενων ακολουθιών (ενδεχοµένως µε χρήση κανόνα L’Hôpital για το όριο της αντίστοιχης πραγµατικής συνάρτησης): n  n+3  ,  n +1  (i) an =  n , 2n (ii) bn = (iii) cn = 1+ n n , 20 + n 2 (iv) d n = n + ln n . 1 + n2 3β) (12µ.) Εξετάστε τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών (για κάθε τιµή του πραγµατικού x, σε περίπτωση δυναµοσειράς): +∞ (i) nx n , ∑ n n =1 5 ∞ ∑ (−1)n+1 (ii) n =1 ∞ 1 , n (iii) ∑n n =1 2 n , n + n +1 +∞ (iv)  1 ∑  2 n =0 n 1 + . n ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3α) n n  3  1 + 3  n 1+   e3  n+3  n   n  = =  → = e2 , (i)    1 n e  n +1   1+   1  1+  n   n  n +1 bn +1 2n +1 n + 1 1 (ii) Ακολουθία θετικών όρων. = =  → < 1 , άρα η bn είναι µηδενική. n →∞ n bn 2n 2 n 2 1+ n n = (iii) cn = 20 + n 2 n n (1 + (i) ) 1 1 1 1+ 1 x= x → 0 , από τον κανόνα L’ Hôpital έχουµε: = x →+∞ 2x x 2 1 + x2 ′ ( x + ln x )′ ( 1+ ) x + ln x = 0 , άρα και lim d n = 0 . 1 + x2 +∞ 3β) (1 + ) n n = 1 n n  →0 ,   20  n 2  20 n  2 + 1  2 + 1 n  n  n + ln n (iv) d n = , Επειδή 1 + n2 lim x→+∞ 1 ( n + 1) xn+1 nx ∑5 n =1 συγκλίνει για n n , Με κριτήριο λόγου 5n +1 nx n 5n  1 1+ x n + 1) x  n  x ( = =  → , έχουµε ότι η σειρά 5n 5 5 x < 1 δηλαδή x < 5 και αποκλίνει για x >5. Αρα συγκλίνει για όλα τα x στο ανοικτό διάστηµα 5 ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 (-5,5) και αποκλίνει για όλα τα x στα διαστήµατα (- ∞, 5) και (5, + ∞). Εξετάζουµε στα άκρα του διαστήµατος +∞ [-5 5,]: αν x=5 τότε η σειρά γίνεται ∑n και αποκλίνει (απειρίζεται θετικά) και αν x =5 τότε η σειρά γίνεται n =1 +∞ ∑ (−1) n n και αποκλίνει (ταλαντώνεται ). Τελικό συµπέρασµα: συγκλίνει για x στο διάστηµα (-5,5) και αποκλίνει n =1 παντού αλλού. ∞ (ii) ∑ (−1) n +1 n =1 Η ακολουθία 1 , εναλλάσσουσα σειρά. n 1 n είναι φθίνουσα αφού 1 1 < . Επιπλέον n +1 n 0 < n < n +1 ⇒ 0 < n < n +1 ⇒ 1  → 0 . Αρα εφαρµόζοντας το κριτήριο Leibnitz, η σειρά συγκλίνει. n →∞ n ∞ (iii) ∑n n =1 έχουµε ∑ ∞ 1 2 n 2 n n 1 n είναι σειρά θετικών όρων. Ο γενικός όρος 2 συγκρίνεται µε τον 2 = 3/ 2 : n + n +1 n n + n +1 n n n n n5/2 1 n + n +1 = =  →1 ≠ 0 . Αρα από κριτήριο σύγκρισης, αφού η σειρά 5/ 2 1 n + n +1 1+ 1 + 1 n3/2 n3/ 2 n5/ 2 1 συγκλίνει ως p-σειρά µε p>1, η αρχική σειρά συγκλίνει. n3/ 2 +∞ (iv)  1 1 ∑  n +  : η σειρά n n =0  2 +∞ 1 συγκλίνει ως γεωµετρική µε λόγο ½. . Η σειρά ∑ n n =0 2 p-σειρά µε p=1). Άρα η αρχική αποκλίνει. ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 +∞ 1 ∑n n =0 αποκλίνει (αρµονική , ή Θέµα 4 4α) (12µ.) ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x) = 6 x 5 − 5 x 6 . i)Υπολογίστε τις παραγώγους 1ης, και 2ης τάξης της f και βρείτε τα διαστήµατα όπου διατηρούν πρόσηµο. ii) Βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η f : είναι αύξουσα, είναι φθίνουσα, στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. iii) Βρείτε όλα τα σηµεία: µηδενισµού, ακροτάτων τιµών (τοπικών, ολικών), καµπής της f . iv) Βρείτε τα όρια lim x → − ∞ f ( x), lim x→ + ∞ f ( x) και το σύνολο τιµών της f. 1 έχει ακριβώς µία (πραγµατική) λύση στο διάστηµα [0, 1]. 3 (Σηµείωση: δεν ζητείται εύρεση της λύσης αυτής). v) ∆είξτε ότι η εξίσωση f ( x) = 4β) (8µ.) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα ∫ ii) ∫ i) π 0 x sin(n x) dx , για κάθε φυσικό n≥1. +∞ 0 2 x e− x dx . ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4α) i) Υπολογίζουµε τις παραγώγους της f ( x) = 6 x5 − 5 x 6 : f ′( x) = 30 x 4 − 30 x5 , f ′′( x) = 120 x3 − 150 x 4 και παραγοντοποιούµε για να προσδιορίσουµε σηµεία µηδενισµού και πρόσηµα: f ( x) = x5 (6 − 5 x), f ′( x) = 30 x 4 (1 − x), Σχηµατίζουµε τον παρακάτω πίνακα προσήµων: x 1− x x5 x4 x3 6−5 x 4−5 x f′ f ′′ f −∞ −∞ 0 + − + − + + + − − 0 0 0 0 0 0 σ.κ. 4/5 + + + + + + + + + + + + + + 0 σ.κ. + − + f ′′( x) = 30 x3 (4 − 5 x) . 1 0 − 0 0 f(1)=1 τ.µ. − + + + + − − − + 6/5 − + + + 0 − − 0 +∞ − + + + − − − − − −∞ από τον οποίο συµπεραίνουµε ότι: ii) η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (- ∞, 1], είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [1, +∞), στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστηµα [0, 4/5] και στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήµατα (- ∞, 0] και [4/5, +∞), iii) η f µηδενίζεται στα σηµεία 0 και 6/5, παίρνει ολικό (και τοπικό). µέγιστο την τιµή 1 στο 1 και παρουσιάζει σηµεία καµπής για x = 0 και x = 4/5, 6 6 x x = (+∞)(−5) = −∞ . Από τα όρια αυτά την συνέχεια της f της παραπάνω µονοτονίας και του ολικού µεγίστου, συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα (- ∞, 1]. iv) lim x → − ∞ f ( x) = lim x→ − ∞ x6 ( − 5) = ( +∞ )( −5) = −∞ .Παρόµοια lim x → + ∞ f ( x) = lim x→ −+∞ x 6 ( − 5) = . v) Στο διάστηµα [0,1] η f , ως γνησίως αύξουσα, είναι 1-1. Αρα αν υπάρχει λύση της εξίσωσης, αυτή θα είναι µοναδική. Επιπλέον f(0)=0 και f(0)=1 οπότε λόγω συνεχείας και καθώς 0 < 1/3 <1, υπάρχει x στο ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 1.0 διάστηµα (0,1) όπου η f παίρνει την τιµή 1/3. Ετσι f ( x) = συµπεραίνουµε ότι η εξίσωση 1 3 0.5 έχει µοναδική λύση µεταξύ 0 και 1. -0.5 0.5 1.0 1.5 -0.5 -1.0 4β) i) x cos(nx) x cos(nx) 1  cos(nx) ′  cos(nx)  = x sin( nx ) dx x ∫ ∫  − n  dx = − n − ∫ x′  − n  dx = − n + n ∫ cos(nx) dx x cos(nx) sin(nx) =− + . Αρα για το ζητούµενο ορισµένο ολοκλήρωµα ΄χουµε n n2 ∫ π 0 π π cos(nπ ) sin(nπ ) π (−1)  x cos(nx) sin(nx)  x sin(nx) dx =  − + + − (0) = − .  =− 2 2 n n n n n  0 ∫ ii) Το αόριστο ολοκλήρωµα υπολογίζεται ως εξής: ∫ 2 x e − x dx x e − x dx = ∫ e − u 2 n αντικατάσταση για x ∈ [0, +∞ ) , u = x 2 , du = 2 xdx , µε την du 1 1 1 2 = ∫ e− u du = − e − u + C = − e− x + C . 2 2 2 2 Οπότε ∫ +∞ 0 = 2 −1 lim a →+∞ e − x 0 2 −1 1 − 1 = ( 0 − 1) = . 2 2 a x e− x dx = lim a →+∞ ∫ x e − x dx = 2 2 −1 lim a →+∞ e − a 2 ( 2 ( ) a = 0 ) ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 2 −1 lim a →+∞ e − a − e −0 2 ( ) Θέµα 5 5α) (6µ.) ∆ύο µηχανές Α, Β παράγουν τα ίδια προϊόντα. Οι παραγόµενες ποσότητες προϊόντων είναι ίσες για τις δύο µηχανές. Είναι όµως γνωστό από προηγούµενη πείρα, ότι το 2% της παράγωγής της Α είναι ελαττωµατικά προϊόντα ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για την Β είναι 5%. Αν πάρουµε ένα προϊόν µε τυχαίο τρόπο, να βρεθεί η πιθανότητα: i) να είναι ελαττωµατικό, ii) να προέρχεται από την Α, αν γνωρίζουµε ότι είναι ελαττωµατικό. 5β) (14 µονάδες) Ο χρόνος ζωής σε έτη µιας µηχανής ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 20 έτη και τυπική απόκλιση 2 έτη. i) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι µεταξύ 18 ετών και 22 ετών ; ii) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι τουλάχιστον 15 έτη ; iii) Ποιά είναι η τιµή q ώστε το γεγονός «η διάρκεια ζωής µιας µηχανής υπερβαίνει την τιµή q » έχει πιθανότητα ίση προς 0.9 ; iv) Ποιά είναι η πιθανότητα από 4 µηχανές οι 2 το πολύ να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 15 έτη; (Σηµείωση: δεν απαιτείται να υπολογίσετε το τελικό αριθµητικό αποτέλεσµα). ∆ίνονται: Φ(1) = 0.8413, Φ(2.5) = 0.9938, Φ(1.28) = 0.9. 5α) Συµβολισµός: E , το ενδεχόµενο ένα προϊόν να είναι ελαττωµατικό, A , το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Α, B , το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Β. Έχουµε P ( A) = 0.5 , P ( B ) = 0.5 και υπολογίζουµε: 1) Εχουµε την διαµέριση E = ( E ∩ A) ∪ ( E ∩ B ) οπότε 2 5 5 5 35 + = . 100 10 100 10 1000 2) Για να βρούµε την πιθανότητα P( A E ) εφαρµόζουµε τον τύπο του Bayes και έχουµε: P( E A) ⋅ P( A) (0.02) ⋅ (0.5) 10 = = . P( A E ) = P( E ) 0.035 35 P ( E ) = P ( E ∩ A) + P ( E ∩ B ) = P( E A) ⋅ P( A) + P( E B) ⋅ P( B) = 5β) Σύµφωνα µε την εκφώνηση, ο χρόνος ζωής σε έτη της µηχανής είναι µια τυχαία µεταβλητή X η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ = 20 και σ = 2. Συνεπώς, η τυποποιηµένη X − 20 τυχαία µεταβλητή Z = ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή N (0,1) : 2 i) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι µεταξύ 18 έτη και 22 έτη είναι  18 − 20 X − 20 22 − 20  P (18 ≤ X ≤ 22) = P  ≤ ≤  = P (−1 ≤ Z ≤ 1) = 2 2   2 = Φ(1) − Φ (−1) = Φ (1) − [1 − Φ (1)] = 2 ⋅ Φ (1) − 1 = 2 ⋅ 0.8413 − 1 = 1.6826 − 1 = 0.6826. ii) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι τουλάχιστον 15 έτη είναι  X − 20 15 − 20  P ( X ≥ 15) = P  ≥  = P ( Z ≥ −2.5) = 1 − P ( Z < −2.5) = 2   2 = 1 − [1 − P ( Z < 2.5)] = P ( Z < 2.5) = Φ(2.5) = 0.9938. iii) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να υπερβεί τα q έτη είναι q − 20  q − 20   X − 20 q − 20     q − 20  P( X > q) = P  >  = PZ >  = 1− P  Z ≤  = 1− Φ  . 2  2  2   2    2   q − 20   q − 20  Θέλουµε P ( X > q ) = 0.9 , δηλαδή 1 − Φ   = 0.9 ⇔ Φ   = 0.1 , το οποίο ισοδύναµα δίνει  2   2  q − 20  q − 20   q − 20  Φ− = 1.28 ⇔ − q + 20 = 2.56 ⇔ q = 17.44  = 0.9 ⇔ Φ  −  = Φ(1.28) ⇔ − 2  2  2   ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 iv) Εστω Y ο αριθµός των µηχανών (από τις 4) οι οποίες θα έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 15 έτη. Τότε, η τυχαία µεταβλητή Y ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε n = 4 δοκιµές (συσκευές), πιθανότητα επιτυχίας (να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 15 έτη) p = P ( X ≥ 15) = 0.9938 (ερώτηµα ii) και πιθανότητα αποτυχίας q = 1 − p. ∆ηλαδή Y ~ B (n, p ) = B (4, 0.9938) . Έτσι, για k = 0,1, 2, 3, 4  4 4 P(Y = k ) =   p k q 4−k =   p k (1 − p ) 4− k . Η πιθανότητα να έχουµε το πολύ 2 επιτυχίες σε 4 δοκιµές k  k  ισούται προς  4  4  4 P(Y ≤ 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) =   p 0 ⋅ (1 − p )4−0 +   p1 ⋅ (1 − p )4−1 +   p 2 ⋅ (1 − p )4−2 . 0 1  2 ---------ΤΕΛΟΣ--------- ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ12 - 2012-2013 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 (kx + λ y ) o z = k ( x o z ) + λ ( y o z ) , ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ο ανάστροφος πίνακας ενός m × n πίνακα A = [aij ] σηµειώνεται µε AT = [a ji ] , (δηλαδή, οι Ι. γραµµές γίνονται στήλες και αντίστροφα). T T T Ιδιότητες: ● ( AT )T = A ● ( A + B) = A + B ΙΙ. ● (λ A)T = λ AT , ∀ λ ∈ R Ένας m×n πίνακας ● A = [aij ] ονοµάζεται x o x ≥ 0 και x o x = 0 ⇔ x = 0 To µέτρο του διανύσµατος x ορίζεται από τον x = xox . τύπο Η γωνία ω∈ [0, π] των x , y ∈ R n \ {0} ορίζεται συµµετρικός όταν ισχύει aij = a ji δηλ. AT = A ● Ο αντίστροφος ενός n × n τετραγωνικού πίνακα A = [aij ] (όταν υπάρχει) συµβολίζεται µε A−1 και από τον τύπο: cos ω = ισχύει AA−1 = AA−1 = I n . Ιδιότητες: Αν Α, Β αντιστρέψιµοι n×n πίνακες −1 −1 T −1 −1 T ● (A ) = A ● (A ) = (A ) −1 −1 −1 k −1 −1 k ● ( AB ) = B A ● (A ) = (A ) ∀ k ∈Z Ανάπτυγµα Laplace της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα A = [aij ] ως προς την i γραµµή ή την j στήλη: det( A) = A = a11 a21 = M an1 xo y =0 ⇔ x+ y Ι. ΙΙ. IV. • όπου 2 = x 2 2 + y λx = λ x , ∀ λ ∈R Προβολή p διανύσµατος x στη διεύθυνση xo y 2 y • Το y. ορθογώνιο συµπλήρωµα ενός E ⊆ Rn είναι ο υπόχωρος υπόχωρου E ⊥ = { y ∈ R n : x y = 0, ∀ x ∈ E } . Επιπλέον, ● det( A ) = det( A) E ⊕ E = R , (E ) = E . ● det(λA) = λ n det( A) , ∀ λ ∈ R • ● det( AB) = det( A) det( B) ● det( A ) = [ det( A)] , ∀ k ∈ Z \{0} ● A αντιστρέψιµος ‹ det( A) ≠ 0 ορθοκανονική αν και µόνο αν τα διανύσµατα είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία (δηλ. ui o u j = 0 για i ≠ j , και ui = 1 ) . T k k τότε A−1 = ⊥ όπου adj ( A) ο ανάστροφος του πίνακα µε στοιχεία τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του A . * * * * * * * * * * * * ● Ένα µη κενό υποσύνολο U του πραγµατικού διανυσµατικού χώρου V είναι υπόχωρος του δ.χ. V αν και µόνο αν ∀ k , λ ∈ R και ∀ u1 , u2 ∈ U ισχύει k u1 + λ u2 ∈ U . ● Τα διανύσµατα v1 , v 2 ,K , vk είναι γραµµικά ανεξάρτητα όταν λ1v1 + λ 2 v 2 + L + λ k vk = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = L = λ k = 0. ● Ένα σύνολο {v1 , v 2 ,K , vk } του δ.χ. V είναι µία βάση του V αν και µόνο αν I. τα διανύσµατα v1 , v 2 ,K , v k είναι γραµµικά ανεξάρτητα IΙ. Ο δ.χ. V παράγεται από τα v1 , v 2 ,K , v k και τότε η διάσταση του V είναι dim V = k . ● Αν Β={ u1 , u2 , K , uk } (διατεταγµένη) βάση του V και x ∈ V , τότε x = ∑ i=1 ai ui , µε µοναδικά k ai ∈ R . Η στήλη [a1 a2… ak ]T λέγεται στήλη συντεταγµένων του x ως προς συµβολίζεται µε [ x ]B . την B και Έστω V ένας πεπερασµένης διάστασης δ.χ. και U , W υπόχωροι του V . Τότε ισχύει: dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ) ● Για το ευθύ άθροισµα των υποχώρων U ,W ⊆ V του δ.χ. V ισχύει V = U ⊕ W ⇔ ( V = U + W και U ∩ W = {0} ) ⇔ ( V = U + W και dim V = dim U + dim W ). * * * * * * * * * * * * Εσωτερικό γινόµενο Ένα εσωτερικό γινόµενο στον R n είναι µία συνάρτηση που σε κάθε ζεύγος ( x , y ) ∈ R n × R n , αντιστοιχεί ένα πραγµατικό αριθµό x o y µε τις ιδιότητες: ● Μία βάση • 1 adj ( A) det( A) ⊥ ⊥ n u1 , u2 ,K , uk ∈ R n ονοµάζεται Αν ξ1 , ξ 2 ,K , ξ n είναι βάση του R n , τα διανύσµατα η1 = ξ1 και ηj = ξ j − V , από τις ισότητες f (u1 ) = a11v1 + a21v2 + L + am1vm f (u2 ) = a12 v1 + a22v 2 + L + am 2 vm M f (un ) = a1n v1 + a2 n v 2 + L + amn v m ορίζεται ο m × n πίνακας αναπαράστασης της f  a11 a12 L a1n  a a22 L a2 n  A =  21 ,  M M M     am1 am 2 L amn  1 x o y ≤ x ⋅ y (Cauchy-Schwarz) του y είναι p = U και Β2={ v1 , v 2 ,K , v m } διατεταγµένη βάση του και A [ x ]B = [ f ( x ) ]B , για κάθε x ∈ U . x+ y ≤ x + y an 2 L ann Aij = (−1)i+ j M ij και M ij η ελάσσων ορίζουσα του ij-στοιχείου. Ιδιότητες ορίζουσας ενός n × n πίνακα A : xo y . x ⋅ y Τα διανύσµατα x, y ∈ R n λέγονται κάθετα (ή ορθογώνια) αν και µόνο αν x o y = 0 . Για το εσωτερικό γινόµενο και το µέτρο των διανυσµάτων x, y ∈ R n ισχύουν οι ιδιότητες: ΙIΙ. a12 L a1n n n a22 L a2 n = ∑ ai k Aik = ∑ ak j Ak j M M k =1 k =1 ΙΙΙ. Αν Β1={ u1 , u2 ,K , un } διατεταγµένη βάση του x o y = y o x , ∀ x, y ∈ R n ΙΙΙ. ● ( AB )T = BT AT Ι. dim U = dim ker f + dim Im f ΙΙ. Η f είναι 1-1 αν και µόνο αν ker f = {0} . ∀ k,λ ∈ R ∀ x, y, z ∈ R , n πίνακα είναι οι n ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου  λ − a11 − a12 L − a1n   −a λ − a22 L −a2 n  21 p(λ ) = det   M M M    − a − a − ann  L λ n1 n2  = λ n + an−1λ n−1 + L + a1λ + a0 ξ j o η1 η1 o η1 η1 − ξ j o η2 η2 o η2 η2 − L − ξ j o η j −1 η j−1 o η j −1 η j −1 για j = 2, 3, K , n είναι κάθετα µεταξύ τους, τα δε διανύσµατα η η η u1 = 1 , u2 = 2 , K , un = n η1 η2 ηn Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος, τότε οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του. Για κάθε ιδιοτιµή λi , i = 1, 2,K , n , τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη-µηδενικές λύσεις A AT = AT A = I , ή II. III. του οµογενούς M an1 x1 + an 2 x2 + L + (ann − λi ) xn = 0 • και Για τις ιδιοτιµές του A ισχύουν: det A = λ1 ⋅ λ2 ⋅ L ⋅ λn = ( −1) n a0 trA = λ1 + λ2 + L + λn = −an−1 , όπου a0 , an−1 οι αντίστοιχοι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p (λ ) . det A = 1, Αν λi ιδιοτιµή και Ax = x , Ax o Ay = x o y V. Αντίστροφος ορθογωνίου και γινόµενο ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας. IV. * * * * * * * * * * * * Γραµµικές απεικονίσεις (µετασχηµατισµοί) Μία απεικόνιση f : U → V ( U , V πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι) ονοµάζεται γραµµική όταν f (k x + λ y ) = k f ( x ) + λ f ( y ) , ∀ x, y ∈ U και ∀ k , λ ∈ R . (Αν U = V λέγεται και γραµ. µετασχηµατισµός του U ). Το σύνολο ker f = { x ∈ U : f ( x ) = 0 } ⊆ U ονοµάζεται πυρήνας της f και είναι υπόχωρος του U . Το σύνολο Im f = { y ∈V : f ( x ) = y, x ∈ U } ⊆ V λέγεται εικόνα της f και είναι υπόχωρος του V . Η f : U → V λέγεται ένα-προς-ένα (1-1) αν ∀ x, y ∈ U f ( x) = f ( y) ⇒ x = y . Η f : U → V λέγεται επί αν f (U ) = V . • Για τη γραµµική απεικόνιση ισχύουν: T a21 x1 + (a22 − λi ) x2 + L + a2 n xn = 0 ισοδύναµα A−1 = AT , ονοµάζεται ορθογώνιος. Αν Α ορθογώνιος, τότε ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο ισχύουν: I. Οι στήλες του (και οι γραµµές του) αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n , x = [ x1 x2 K xn ] συστήµατος (a11 − λi ) x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n . • Ο πραγµατικός n × n πίνακας A µε την ιδιότητα 2 • Αν για τους διανυσµατικούς χώρους ισχύει dim U = dim V = n , τότε για τη γραµµική απεικόνιση f : U → V οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες. −1 Ι. f αντιστρέψιµη (υπάρχει η f ) II. f είναι 1-1 III. ker f = {0} IV. f είναι επί * * * * * * * * * * * * Ιδιοτιµές – Ιδιοδιανύσµατα πίνακα Για έναν n × n πίνακα A οι ιδιοτιµές λi του f :U →V xi αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα του A , τότε λ , xi είναι ιδιοποσά του Ak . k i Οι ιδιοτιµές πραγµατικού συµµετρικού πίνακα είναι αριθµοί πραγµατικοί, τα δε ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα. ● Ο n × n πίνακας A λέγεται διαγωνοποιήσιµος, όταν είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα D , δηλ. όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος, ώστε A = PDP −1 . Ο διαγώνιος πίνακας D έχει διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του A και ο P είναι πίνακας µε στήλες αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα που αποτελούν βάση του R n . ● Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν: ● Για κάθε ιδιοτιµή αλγεβρικής πολλαπλότητας k υπάρχουν ακριβώς k γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα, ή, αλλιώς, η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την αλγεβρική της πολλαπλότητα (και αντιστρόφως) ● Εχει n διακεκριµένες ιδιοτιµές . ● Είναι συµµετρικός πραγµατικός. Tότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q , τέτοιος ώστε ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 A = Q diag (λ1 , λ2 , K , λn ) Q . ● x0 ∈ A αν lim f ( x) = f ( x0 ) . x→ x0 Αν f (λ ) είναι πολυώνυµο, τότε f ( A) = P f (D) P = Pdiag ( f (λ1), f (λ2 ),K, f (λn )) P −1 ● −1 σηµείο x0 ∈ A αν υπάρχει το όριο Αν υ (λ ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου f (λ ) δια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p (λ ) , τότε f ( A) = υ ( A) . * * * * * * * * * * * * Τετραγωνικές µορφές Το πολυώνυµο των πραγµατικών µεταβλητών x1 , x2 ,K , xn της µορφής F ( x ) = x T Ax , όπου T και A n×n * * * * * * * * * * * * Παράγωγος συνάρτησης ( A = (a, b) ⊆ R) Η συνάρτηση f : A → R είναι παραγωγίσιµη στο Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A ισχύει p ( A) = An + an −1 An −1 + L + a1 A + a0 I = O . x = [ x1 x2 K xn ] συµµετρικός πίνακας, ονοµάζεται τετραγωνική µορφή. Αν A = Qdiag (λ1 , λ2 , K, λn )QT , τότε η F ( x) µετασχηµατίζεται στη διαγώνια µορφή F ( y ) = λ1 y12 + λ2 y22 + L + λn yn2 , lim x→ x 0 (αρνητικά) ορισµένη, αν λ1 , λ2 ,K , λn ≥ 0 ( ≤ 0 ) λέγεται θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη, ενώ, σε κάθε άλλο συνδυασµό προσήµων των λi * * * * * * * * * * * ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A ⊆ R f :A→R ή y = f ( x), x ∈ A , xa y Γραφική παράσταση συνάρτησης f C f = {σηµε ίο M ( x, y ) του επ / δου xy : y = f ( x )} f δεν είναι συνεχής τότε f δεν είναι παραγωγίσιµη. Ιδιότητες παραγώγων: Αν f, g παραγωγίσιµες ● ( cf ( x) )′ = c ( f ( x ) )′ , c ∈ R ( f ( x) ± g ( x) )′ = ( f ( x) )′ ± ( g ( x) )′ ● ( f ( x) ⋅ g ( x) )′ = ● ● 1 , f′ ● Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης f ( g ( x)) είναι Άνω φραγµένη συνάρτηση f : A → R Υπάρχει αριθµός s (άνω φράγµα της f ) µε την ιδιότητα: f ( x ) ≤ s , ∀ x ∈ A . (Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγµένη). Φραγµένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω και κάτω φραγµένη. ● 1-1 συνάρτηση f : A → R ● f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , ισοδύναµα: αν f ( x1 ) = f ( x2 ) , τότε x1 = x2 . Σύνθεση της f : A → R µε την g : B → R , ( g o f )( x) = g ( f ( x )) , ∀x ∈ A για τα οποία f ( x) ∈ B . Αντίστροφη συνάρτηση µιας 1-1 συνάρτησης f : f ( A) → A , που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο y ∈ f ( A) στο µοναδικό x , για το οποίο ισχύει y = f ( x ) , δηλ. f −1 ( y ) = x ⇔ f ( x) = y . Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Όριο συνάρτησης στο x0 - Πλευρικά όρια lim f ( x ) = l ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = l x→ x0+ Κριτήριο παρεµβολής: Αν g ( x ) ≤ f ( x) ≤ h( x) κοντά στο x0 και lim h( x) = lim g ( x ) = l , τότε lim f ( x) = l . x→ x0 x→ x0 Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση που x → +∞ , x → −∞ . sin x cos x − 1 lim = 1 , lim =0 x→0 x→0 x x Συνέχεια x0 είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου. β) Αν f ′( x0 ) = 0 και f ′′( x0 ) < 0 , τότε το x0 είναι σηµείο τοπικού µεγίστου. Ασύµπτωτες ● Κάθετη ασύµπτωτη η ευθεία x = a ∈ R , αν lim f ( x) = ±∞ ή lim f ( x ) = ±∞ x→a− ●Οριζόντια x→a+ ασύµπτωτη η ευθεία y = b , b ∈ R , αν lim f ( x) = b ή x →∞ ● lim f ( x ) = b x →−∞ Πλάγια ασύµπτωτη της C f στο ±∞ η ευθεία ( sin x ) ' = cos( x ) ( cos x ) ' = − sin( x ) f ( x) = a ∈ R και xlim( f ( x) − ax) = b ∈ R →±∞ x * * * * * * * * * * * * Σηµαντικά θεωρήµατα Έστω συνάρτηση f : [a, b] → R . 1 ( tan x ) ' = 2 cos x ( e x )' = e x Bolzano: Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] και f (a ) ⋅ f (b) < 0 , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ln x ) ' = ( x )' = k x k c∈R k −1 , ( a ) ' = ln(a ) ⋅ a x x , a ≠1> 0 1 ( arctan x ) ' = 1 − x2 1 1 + x2 Κανόνας l’ Hospital Πρώτη διατύπωση: Αν f (a ) = g (a ) = 0 f ′(a ), g ′(a) υπάρχουν και g ′(a) ≠ 0 , τότε lim ⇔ xlim →±∞ k ∈R 1 x ( arcsin x ) ' = f ( x) x → a g ( x) = lim f ′( x ) x → a g ′( x) = µε f ( x), g ( x) διαφορίσιµες στο και Ενδιάµεσης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] και f (a ) ≠ f (b) , τότε, για κάθε αριθµό ρ µεταξύ των f (a ) και f (b) υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = ρ . [a, b] . Επιπλέον υπάρχουν x1 , x2 ∈ [a, b] έτσι ώστε f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) , ∀ x ∈ [a, b] . f ′(a ) g ′(a) ( a, b ) , x0 ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = 0 . Μέγιστης - ελάχιστης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] , τότε η f είναι φραγµένη στο Θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ): Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο (a, b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (a, b) ∆εύτερη διατύπωση : Αν f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 , και f (b) − f (a ) = f ′(ξ). b−a Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] , g ′( x) ≠ 0 , εκτός πιθανώς του x0 ∈ (a, b) , τέτοιο ώστε : f ( x) f ′( x) = lim g ( x) x→ x0 g ′( x ) Ο κανόνας ξαναχρησιµοποιείται αν ισχύουν οι ίδιες συνθήκες και για τις παραγώγους των f ( x), g ( x) . Rolle: παραγωγίσιµη στο (a, b) , και f (a ) = f (b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (a, b) τέτοιο ώστε : f ′(ξ) = 0 . Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο (a, b) , και f ′( x ) = 0, ∀ x ∈ (a, b) , τότε f ( x ) = c. Cauchy: Αν οι f ( x), g ( x) είναι ορισµένες και συνεχείς στο [a, b] , διαφορίσιµες στο (a, b) και g ′( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ (a, b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον τότε lim x→ x 0 ±∞ , ∞ − ∞, ∞ ⋅ 0 m∞ µπορούν να µετατραπούν ως εξής f 1/ g f ∞/∞: = 0 × ( ±∞ ) : fg = g 1/ f 1/ g ● Οι x→ x0− α) Αν f ′( x0 ) = 0 και f ′′( x0 ) > 0 , τότε το y = ax + b , αν xlim ( f ( x) − ax − b ) = 0 →±∞ (c)' = 0 , x1 , x2 ∈ A αν x1 ≠ x2 , τότε df ( g ( x)) df ( g ) dg ( x ) = ⋅ dx dg dx Παράγωγοι συνήθων συναρτήσεων Συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο A f ( x1 ) > f ( x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ A µε x1 < x2 . x→ x0 ● ( f )′ = ● x→ x0 τότε το x0 είναι σηµείο καµπής. αντίστροφη f −1 είναι παραγωγίσιµη και Συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο A f ( x1 ) < f ( x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ A µε x1 < x2 . είναι η f και f ′′( x ) < 0 για x0 < x < x0 + ε (ή αντίστροφα), f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) ( f ( g ( x)) )′ = f ′( x) < 0 , x0 < x < x0 + ε , τότε το x0 είναι σηµείο τοπικού  f ( x ) ′ f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) , g ( x) ≠ 0   = g 2 ( x)  g ( x)  Aν επιπλέον f ′ ≠ 0 και f αντιστρέψιµη τότε η ● −1 f είναι παραγωγίσιµη τότε f συνεχής ● Αν ● Από πρώτη παράγωγο ● Αν f ′( x ) > 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f γνησίως αύξουσα. ● Αν f ′( x ) < 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f γνησίως φθίνουσα. ● Αν f ′( x0 ) = 0 , για κάποιο x0 ∈ A και υπάρχει µεγίστου. Ανάλογα για σηµείο τοπ. ελαχίστου. Από δεύτερη παράγωγο ● Αν f ′′( x) > 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο διάστηµα Ι. ● Αν f ′′( x) < 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα Ι. ●Αν υπάρχει ε>0 µε f ′′( x ) > 0 για x0 − ε < x < x0 −1 ονοµάζεται αόριστη. Για οποιαδήποτε στο σηµείο Cf Εφαρµογές των παραγώγων στην σχεδίαση της γραφικής παράστασης C f της f : A → R . ε>0 : f ′( x) > 0 , x0 − ε < x < x0 και ( x0 , f ( x0 )) είναι y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 ) ● Αν T Αν λ1 , λ2 ,K, λn > 0 ( < 0 ) η F λέγεται θετικά f ( x) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∈ R x − x0 Η εφαπτοµένη ευθεία της όπου y = [ y1 y2 K yn ] = QT x . * f : A → R είναι συνεχής στο Η συνάρτηση T απροσδιόριστες µορφές ένα c ∈ (a, b) : 1 / g −1 / f ∞−∞: f − g = 1 / fg Οι απροσδιόριστες µορφές µετατρέπονται µε βάση τη σχέση ● lim ( g ( x ) ln f ( x )) lim f ( x ) g ( x ) = e x −>a x→a , f ( x) 00 , + ∞ 0 , 1∞ g (x) = e g ( x )ln f ( x ) f (b) − f (a ) f ′(c) = g (b) − g (a) g ′(c ) Darboux: Αν f παραγωγίσιµη στο [a, b] µε f ′(a ) > f ′(b) και c ∈ R µε f ′(b) < c < f ′(a ) , τότε υπάρχει ξ ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ′(ξ) = c. (παρόµοια, αν f ′(a ) < f ′(b) ). ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 Εφαρµογή του ΘΜΤ για την προσέγγιση ρίζας Αν η εξίσωση x = f ( x ) έχει ρίζα a , µε f παραγωγίσιµη στο [ a − h, a + h] , και xn = f ( xn−1 ), n = 1, 2,..., συγκλίνει στη ρίζα a . * * * * * * * * * * ∫ ∫ ● b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ a ● a ∫ ● b a a ● a b b a b a a b f ( x )dx = f (ξ )(b − a) a ή αντιπαράγωγος F ( x ) + c = ∫ f ( x )dx ⇔ ( F ( x ) + c )′ = f ( x ) Ιδιότητες ∫ ( c f ( x) + c h( x) ) dx = c ∫ f ( x)dx + c ∫ h( x)dx 2 1 x ∫ x dx = a + 1 + c, 1 ∫ x dx = ln x + c a είναι L{ f (t )}( x) = a ∈ R −{−1} ∫ e dx = e + c * * * * * * * * * * a b S = ∫ 1 +  f ′ ( x )  dx 2 +∞ b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx b →+∞ b a b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx (β’ είδους) ∫ a a→ −∞ f ( x ) dx = lim+ ∫ ( b ιδιόµορφο σηµείο) n→∞ n→∞ * * * * * * * * * * * Ειδικές Κατηγορίες Σειρών ∞ ∑r n r < 1 : συγκλίνει. Άθροισµα: ε →0 a b−ε a f ( x ) dx * n→∞ ∞ δ) Εναλλάσσουσες Σειρές: ∑ ( −1) * n an , an > 0 ή n =0 an < 0 για όλα τα n = 0,1, 2 ,... * * * * * * * * ε) Αναπτύγµατα Taylor: Αν η συνάρτηση f και * Άθροισµα n όρων α.π.: Sn = n ⋅ [2a1 + ( n − 1) ⋅ ω] 2 Άθροισµα n πρώτων όρων γ.π.: n−1 λn −1 , λ −1 όροι γ.π. τότε b = a ⋅ c . Σηµαντικά όρια ακολουθιών Το x ∈ R παραµένει σταθερό καθώς n → ∞ (στους τύπους που υπάρχει x ) 2 1 lim = 0 n→∞ n ln n =0 n το lim n =1 lim x = 0, x < 1 lim n n! =∞ lim n x = 1, x > 0 n n→∞ n→∞ συνεχείς στο n και αν η f (n) είναι διαφορίσιµη στο (a, b) , τότε για ξ ∈ ( a, x ) ισχύει 2 f (1) (a ) f (2) ( a) x − a) + ( ( x − a) +L 1! 2! n f ( n ) (a) L+ ( x − a ) + Rn ( x) n! n +1 f ( n+1) (ξ ) ( x − a ) είναι το υπόλοιπο (n + 1)! της πολυωνυµικής προσέγγισης n-βαθµού. Όταν a = 0 , τότε το ανάπτυγµα ονοµάζεται και ανάπτυγµα Maclaurin. Συνήθεις σειρές Taylor ( a = 0 ) για x ∈ R ex = 1 + x + x2 xn +L + +L 2! n! sin x = x − x3 x5 x 2 n+1 + − L + (−1) n +L 3! 5! (2n + 1)! cos x = 1 − x 2 x4 x2n + − L + (−1) n +L 2! 4! (2n)! n→∞ n→∞ [ a , b] όπου Rn ( x ) = ⋅ a1 Sn = a 1 οι πρώτες τις παράγωγοι f (1) , f ( 2) ,..., f ( n ) είναι f ( x) = f ( a ) + Πρόοδοι Αριθµητική: an+1 = an + ω , α n = a1 + (n − 1) ⋅ ω n→∞ , n→∞ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ ● Ακολουθία είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθµών. Συµβολισµός: an = a(n) . lim 1 1− r Άθροισµα: b1 − lim bn . a * . n =1 Vox = π ∫  f 22 ( x ) − f12 ( x )  dx * * Συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lim bn . λ ≠1 . Γεωµετρικός µέσος: Αν a, b, c είναι 3 διαδοχικοί x dF d = f (t )dt = f ( x) dx dx a * * * * * * * * * * * Γενικευµένα Ολοκληρώµατα b− n→∞ Αν lim an+1 / an = λ <1, τότε lim an = 0 . γ) Τηλεσκοπικές : ∑ an , an = bn − bn+1 2 Γεωµετρική: an+1 = λ an ή an = λ Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b] , −∞ lim an = 0 . b f ( x)dx = F (b) − F (a) ή n→∞ ∞ 2 a a Μονότονες και φραγµένες ακολουθίεςΣύγκλιση Μία µονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ’ ανάγκη. Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R . Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη. Αν lim βn = 0 και an ≤ β n , ∀ n ∈ N τότε r ≥ 1 : απειρίζεται θετικά r ≤ −1 : κυµαίνεται, το όριό της δεν υπάρχει. ∞ 1 β) p-Σειρές: ς ( p ) = ∑ p , n =0 n ● αν p > 1 : συγκλίνει ● αν p ≤ 1 : αποκλίνει a b (α’ είδους) µονότονη, αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα. ● αν b Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [a, b] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της ∫ φθίνουσα, αν ισχύει an ≥ an+1 , ∀ n ∈ N . ● ● αν E = ∫ f ( x ) dx, f ( x) ≥ 0 E = ∫  f 2 ( x ) − f1 ( x )  dx Ι. τότε ● ● αν a Θεµελιώδη θεωρήµατα Ολοκληρωτικού Λογισµού ΙΙ. αύξουσα, αν ισχύει an ≤ an+1 , ∀ n ∈ N . * Vox = π ∫  f ( x )  dx x ∫ ● n =0 a f ′( x)dx = ln | f ( x) | + c f ( x) f , τότε φραγµένη : υπάρχει m∈R: m ≤ an , ∀ n ∈ N . α) Γεωµετρικές Σειρές: b adx x x = tan −1 ( ) + c = arc tan( ) + c + a2 a a dx x x = sin −1 ( ) + c = arc sin( ) + c a a a2 − x2 ● −xt ∫ e f (t )dt , για κάθε τιµή του x για την οποία το παραπάνω γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει. 2 x c+ e +∞ b ∫ cos x dx = sin x + c ● ∫ sin xdx = − cos x + c ∫ a Eox = 2π ∫ f ( x ) 1 +  f ′ ( x )  dx ● ∫ a η πρωτεύουσα τιµή του Cauchy b b  c−e   f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  ∫a f ( x ) dx = elim →0 +  ∫ c+ e  a  (c ιδιόµορφο σηµείο) Ο µετασχηµατισµός Laplace µίας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f : [0, +∞) → R a a +1 ● b e→0+ b Πίνακας Ολοκληρωµάτων ● ∫ kdx = kx + c ● e →0 + Εφαρµογές Ολοκληρωµάτων Παραγoντική Ολοκλήρωση ∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx ∫x c −e b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx * x = g (t ) , ∫ f ( g (t )) g '(t )dt = ∫ f ( x)dx ● c 2 Μεθοδολογίες Ολοκλήρωσης Αντικατάσταση ● a+e 0 ∫ df ( x ) = f ( x ) + c ● b b→+∞ ( a ιδιόµορφο σηµείο) Εσωτερικό ιδιόµορφο σηµείο c ∈ ( a, b ) a ΘΜΤ: f συνεχής, τότε για κάποιο ξ ∈ [a, b] 1 c c e →0 + a+ Αόριστο ολοκλήρωµα (παράγουσα) b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx ∫ e→0+ xn =0. n! Μια ακολουθία απολύτως φραγµένη είναι φραγµένη και αντιστρόφως. Μία φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ’ ανάγκη. Μονότονες ακολουθίες Μία ακολουθία an , n ∈ N ονοµάζεται c a −e c b→−∞ n→∞ Φραγµένη: συγχρόνως άνω και κάτω φραγµένη, δηλ. υπάρχουν m, M ∈ R : m ≤ an ≤ M , ∀n ∈ N . b b→+∞ a +∞ ∫ ( f (x) + g(x)) dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx f ( x) ≤ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx ● c lim ● ( a ιδιόµορφο σηµείο) f ( x)dx b ● ● κάτω c ( a, b ιδιόµορφα σηµεία) a→−∞ −∞ b b a µε a < c < b e→0 a +e + ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx c b e →0 a+ a− f ( x)dx c b −e c + , Φραγµένες ακολουθίες ● άνω φραγµένη: υπάρχει M∈R : an ≤ M , ∀ n ∈ N . ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx −∞ b b a +e ( a ιδιόµορφο σηµείο) (γ’ είδους) = συνδυασµός α’, β’ είδους ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx a f ( x )dx = − e→0 + +∞ Ορισµένο ολοκλήρωµα ● Κάθε συνεχής f είναι ολοκληρώσιµη n  x lim 1 +  = e x n →∞  n + b− αυθαίρετο x0 ∈ [ a − h, a + h] η ακολουθία * b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx a f '( x) < m < 1 , ∀ x ∈ [ a − h, a + h] , τότε για * b ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013 και για -1< x < 1 x 2 x3 x n+1 ln(1 + x) = x − + − L + (−1) n +L 2 3 n +1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ n n! Συνδυασµοί : Crn =   = r r ! n − r )! (   x3 x5 x 2 n+1 arctan x = 1 − + − L + (−1) n +L 3 5 2n + 1 ε) Σειρές Fourier: Έστω f :[− L, L] → R που επεκτείνεται 2L –περιοδικά. Η σειρά Fourier της f δίνεται από ∞ nπ x nπ x f ( x) ~ ∑ (an cos + bn sin ) L L n=0 1 L f ( x)dx 2 L −∫L όπου a0 = 1 L nπ x f ( x) sin dx , n = 1, 2,K L −∫L L Κριτήρια σύγκλισης σειρών lim an ≠ 0 , τότε η σειρά n →∞ ∞ n n =0 συγκλίνουν, τότε n n=0 για κάθε k , λ ∈ R ∞ ∞ ∞ n =0 n=0 n =0 ∑ (kan + λbn ) = k ∑ an + λ ∑ bn συγκλίνει. ∞ ∑a β) Αν ∞ συγκλίνει και n n =0 ∞ ∑ (a τότε ∑b δεν συγκλίνει, n n=0 ∞ Αν η σειρά ∑| a ∞ n | συγκλίνει, τότε η ∑a n n=0 n =0 συγκλίνει. Το αντίστροφο δεν ισχύει. ΙV. (Απλό κριτήριο σύγκρισης) Έστω 0 ≤ an ≤ bn . ∞ ∑b αν ● ∞ συγκλίνει, τότε n n=0 ∑a συγκλίνει n n=0 ∞ ● αν ∑a ∞ n δεν συγκλίνει, τότε n =0 ∑b n δεν συγκλίνει. n =0 (Γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης) Έστω a 0 ≤ an , 0 < bn , lim n = c > 0 . Τότε οι σειρές n→∞ b n V. ∞ ∑a n =0 ∞ n και ∑b n είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν αν λ < 1 , τότε η αν λ > 1 , τότε η ∑a n συγκλίνει ∑a n δεν συγκλίνει λ = 1 , τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε. (Κριτήριο ρίζας - Cauchy). Έστω an > 0 και ● αν lim n an = λ n→∞ ● αν λ < 1 , τότε η τις διακριτές τ.µ., και από: E ( X ) = 2 var( X ) = E ( X − µ x )  =   αν λ > 1 , τότε η n συγκλίνει ∑a n δεν συγκλίνει (Κριτήριο Leibnitz) Έστω ∞ ∫ (x − µ ) 2 x −∞ f ( x ) dx διασποράς της Χ, δηλαδή: σ X = var( X ) . Έστω X τ.µ. (διακριτή ή συνεχής). Εάν ορίσω άλλη τυχαία µεταβλητή Y = aX + b τότε ισχύει: E (Y ) = E ( aX + b) = aE ( X ) + b ∑ ( −1) n an . Αν η ακολουθία ( an ) είναι θετική, φθίνουσα και lim a = 0, τότε η σειρά συγκλίνει. n→∞ n (Κριτήριο ολοκληρώµατος) Αν η ολοκληρώσιµη συνάρτηση f :[1, +∞) → R είναι θετική και IX. +∞ ∫ f ( x ) dx 1 ∞ και S = ∑ f ( n ) n =1 συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν και αν συγκλίνουν ισχύει: I < S < I + f (1) . −a x  a e E (a ) : f ( x ) =   0 Εκθετική x≥0 αλλού Var ( X ) = 1/ a 2 E ( X ) = 1/ a , Var(Y ) = Var (aX + b) = a Var ( X ) Κατανοµές τυχαίων µεταβλητών n ∆ιωνυµική: B (n, p ) : f (k ) =   p k (1 − p) n−k k  E ( X ) = np , Var ( X ) = np (1 − p ). λk , k = 0,1,... k! Var ( X ) = λ E ( X ) = 1 / p, Var ( X ) = (1 − p ) / p 2 Αρνητική διωνυµική:  k − 1 ν k −ν f (k ) =   p (1 − p) , k = ν ,ν + 1,... ν − 1 Var ( X ) = ν (1 − p ) / p 2  N1   N 2     k n−k f (k ) =    N   n k = 0,..., min(n, N1 ) , N1 + N 2 = N N1 N N N −n , Var ( X ) = n 1 2 N N N N −1 Οµοιόµορφη: U ( a, b) E( X ) = n  1  f ( x) =  b − a  0 E ( X ) = (a + b) / 2 , a≤ x≤b αλλού n( X − µ) Var ( X i ) = σ 2 , τότε n ∑X i σ ~ Ν (0,1) ή ~ N (nµ , nσ 2 ) n ≥ 30 . i =1 * * * * * * * * * * * * Χρήσιµες ταυτότητες και σχέσεις: n n n ( a + b ) = a n +   a n−1b + ... +   a n−r b r + ... + b n 1   r (a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2 ( a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3 a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) a n − b n = ( a − b )( a n −1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + ... + a 2 b n − 3 + ab n − 2 + b n −1 ), n = 1, 2, 3, ... (1 + a) n ≥ 1 + na, a > 0, n = 1, 2,3,... * * * * * * * * * * * Βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι ( x ∈ R ) sin( x) = − sin(− x ), cos( x) = cos(− x) * sin x cos x sin( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x cos( x ± y ) = cos x cos y m sin x sin y sin 2 x + cos 2 x = 1 , tan ( x ± y ) = 2 Υπεργεωµετρική: n =0 φθίνουσα τότε I = xf ( x ) dx . Η τυπική απόκλιση µιας τ.µ. Χ συµβολίζεται µε σ X και είναι η (θετική) τετραγωνική ρίζα της λ = 1 , τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε. ∞ VIIΙ. ∞ −∞ 2 ∞ n =0 ● αν ∫ Ισχύει: var( X ) = E  X 2  − ( E [ X ]) . E( X ) = ν / p , ∞ ∑a για για τις συνεχείς τ.µ., όπου f ( x ) η συνάρτηση πιθανότητας (σ.π.) (περίπτωση διακριτής τ.µ.) ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) (περίπτωση συνεχούς τ.µ.). H διασπορά για τις διακριτές τ.µ. δίνεται από: 2 2 var( X ) = E ( X − µ x )  = ∑ ( x − µ x ) f ( x )   x n =0 ● ∑ xf ( x ) k −1 k = 1, 2,...  p (1 − p ) G ( p) : f (k ) =  0 αλλιώς  ∞ n =0 VIΙ. και δίνεται από: E ( X ) = E( X ) = λ , Γεωµετρική: ∞ n =0 ● µX Poisson P ( λ ) : f (k ) = e − λ a για n ≥ n0 και lim n+1 = λ . Τότε: n →∞ a n ● µε k = 0,1,..., n n =0 ταυτόχρονα. VI. (Κριτήριο λόγου - d’ Alembert) Έστω an ≠ 0 E ( X ) = µ , Var ( X ) = σ 2 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Αν X 1 , X 2 ,..., X n ανεξάρτητες µε E ( X i ) = µ . P( Ak )P( B / Ak ) P( B ) και για τις συνεχείς τ.µ. από: + bn ) δεν συγκλίνει. n n =0 ΙIΙ. Τύπος Bayes: P( Ak / B ) = x ∞ ∑ a , ∑b −∞ < x < ∞ Ολική Πιθανότητα: P ( B ) = P( A1 )P( B / A1 ) + L + P( An )P( B / An ) του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Η µέση τιµή µίας τ.µ. συµβολίζεται µε E ( X ) ή δεν συγκλίνει. n 2 −  1 e 2 σ 2π n =0 α) Αν οι σειρές ΙΙ. Αν Ai ∩ Aj = ∅ , i≠ j και A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω, ∞ ∑a ενδεχόµενα: P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) . Τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) είναι µια συνάρτηση X (⋅) µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω bn = Ι. Αν Ανεξάρτητα 1 L nπ x f ( x) cos dx , n = 1, 2,K L −∫L L an = P ( A ∩ B) ∆εσµευµένη Πιθανότητα P ( A / B ) = P(B) 1  x−µ   σ  N ( µ , σ 2 ) : f ( x) = Κανονική tan x = tan x ± tan y 1 m tan x ⋅ tan y sin 2 x = 2sin x cos x = 2 tan x 1 + tan 2 x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − tan 2 x 1 + tan 2 x 2 tan x 1 , 1 + tan 2 θ = 1 − tan 2 x cos 2 θ x± y xm y sin x ± sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 sin(0) = cos(π / 2) = 0, cos(0) = sin(π / 2) = 1 sin(π / 6) = cos(π / 3) = 1/ 2 tan 2 x = π π 2 π π 3 sin( ) = cos( ) = , sin( ) = cos( ) = 4 4 2 3 6 2 * * * * * * * * * * * * Σύνολο µιγαδικών C ={ z = x + i y | x, y∈R} Συζυγής: z = x − iy 1 z Αντίστροφος: z −1 = = 2 z z Μέτρο µιγαδικού αριθµού: r = z = x2 +y2 και r 2 =| z |2 = z ⋅ z Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού z = r (cos θ + i sin θ ) , όπου θ πρωτεύον όρισµα. Θεώρηµα De Moivre z n = r n einθ = r n ( cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) ) , n ακέραιος Οι n διακεκριµένες ρίζες της εξίσωσης x = z , n ∈ N , (που λέγονται και n -οστές ρίζες του z ), δίνονται από τον τύπο n Var ( X ) = (b − a ) 2 /12 θ + 2k π θ + 2k π   zk = n r  cos + i sin  , k = 0,1,K n −1 . n n  