2η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ : ΕΠΑΦΗ HERTZ Εργαστήριο Τριβολογίας Οκτώβριος 2010 Αθανάσιος Μουρλάς Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ Η ΕΠΑΦΗ HERTZ Στην Τριβολογία πολλά προβλήματα επαφής αφορούν κυρτά σώματα όπως κυλίνδρους, σφαίρες, στοιχεία κύλισης κυλισιεδράνων, οδόντες οδοντοτροχών κ.τ.λ. Η ΕΠΑΦΗ HERTZ Η κλασική βάση για την ανάλυση όλων αυτών των προβλημάτων επαφής, δόθηκε με τη θεωρία του Hertz, όπου η επαφή ελαστικών σωμάτων αντιμετωπίζεται σαν ένα ελαστοστατικό πρόβλημα με τους παρακάτω περιορισμούς: 1. 2. 3. 4. Τα σώματα είναι απολύτως λεία Έχουν τις ίδιες ελαστικές σταθερές Έχουν απολύτως λείες επιφάνειες Οι δύο επιφάνειες σε επαφή δεν είναι πολύ σύμμορφες 5. Δεν υπάρχει σχετική γωνιακή ταχύτητα περί τη νοητή κάθετη επί των επιφανειών στο σημείο επαφής 6. Δεν υπάρχει στο σημείο επαφής εφαπτομενική δύναμη Για την απλούστατη περίπτωση της επαφής δύο σφαιρών με ακτίνες r1 και r2, με μέτρα ελαστικότητας Ε1, Ε2 και λόγους Poisson μ1, μ2, η ισοδύναμη ακτίνα καμπυλότητας στην επαφή είναι r και δίνεται από τη σχέση: 1 1 1 = + r r1 r2 ενώ το σύνθετο μέτρο ελαστικότητας είναι Ε και δίνεται επίσης από τη σχέση 2 2 ⎛ 1 1 1 − μ1 1 − μ 2 ⎞ ⎟ = ⎜⎜ + E 2 ⎝ Ε1 Ε 2 ⎟⎠ Λόγω του φορτίου Ν οι δύο σφαίρες θα πλησιάσουν κατά z ενώ θα δημιουργηθεί μια κυκλική επιφάνεια επαφής ακτίνας : ⎛3 r ⎞ aH = ⎜ N⎟ ⎝2 E ⎠ 1 3 Προφανώς, η επιφάνεια επαφής είναι : AH = π ⋅ aH 2 ⎛3 r ⎞ =π⎜ N⎟ ⎝2 E ⎠ 2 3 H τιμή της αναπτυσσόμενης πίεσης μεταξύ των δύο σφαιρών μέσα στην κυκλική επιφάνεια επαφής και σε απόσταση x από το κέντρο της δίνεται από την σχέση : 3 N ⎡ ⎛ x ⎢1 − ⎜⎜ px = 2 2 πα Η ⎢ ⎝ a H ⎣ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ 1 2 Σύμφωνα με τη θεωρία του Hertz, η προσέγγιση των σφαιρών (λόγω της ελαστικής παραμόρφωσης στην επαφή) είναι : 1 2 ⎛9 1 ⎞ z =⎜ ⋅N 2 ⎟ ⎝4 E r⎠ 2 3 Κατά συνέπεια η δυναμική (ελαστική) ενέργεια που έχει αποταμιευτεί στην επαφή είναι : 1 3 2⎛9 1 ⎞ ΔW = ⎜ ⋅N 2 ⎟ 5⎝4 E r ⎠ 5 3 Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Β1. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Η συσκευή αναπαριστά σε μεγάλη μεγέθυνση την επαφή της σφαίρας και της αύλακας του δακτυλίου σφαιροτριβέα βαθείας αύλακας Για λόγους καλύτερης παρατήρησης της επαφής χρησιμοποιείται αντίμορφη γεωμετρία (επαφή κυρτού σώματος επί κυρτού) αντί της πραγματικής σύμμορφης επαφής (κυρτό σώμα επί κοίλου). Η συσκευή αποτελείται από δυο κυρτές επιφάνειες : 1. Plexiglas (A) 2. Λευκό σιλικονούχο ελαστικό (Β) οι οποίες πιέζονται με υδραυλικό πιεστήριο μεταξύ τους. Β2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ • Η πίεση εφαρμόζεται στον κύλινδρο όταν, με τη βοήθεια ενός χειροκίνητου υδραυλικού πιεστηρίου, οι δυο επιφάνειες έρχονται σε επαφή. Η υδραυλική πίεση και επομένως το εφαρμοζόμενο φορτίο μετράται με μανόμετρο. • Τα δυο σώματα λοιπόν παραμορφώνονται και μάλιστα, πολύ περισσότερο το ελαστικό σώμα (Β). • Η μορφή της επιφάνειας επαφής εξαρτάται από τη σχετική γωνιακή θέση των δύο σωμάτων, μπορεί να είναι είτε κύκλος είτε έλλειψη και αποτυπώνεται σε χαρτί ώστε να μετρηθούν οι διαστάσεις της. ΚΥΚΛΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ Β3. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Σε αντίμορφη επαφή η ισοδύναμη ακτίνα καμπυλότητας RE είναι: 1 1 1 = + RE R A RB Το σώμα A με ακτίνες καμπυλότητας R1 και R2 κατά τους άξονες χχ και ψψ θα έχει ακτίνα καμπυλότητας RAA κατά τον άξονα ΑΑ, που δίνεται από τη σχέση : 1 sin 2 θ cos 2 θ = + R AA R xx Rψψ Το σώμα (Β) περιστρέφεται περί τον κατακόρυφο άξονα, σχηματίζοντας γωνία (φ) που καθορίζει τη σχετική θέση των αξόνων χχ και ψψ. Από τη στερεομετρία του συστήματος, ο κύριος άξονας ΑΑ μεγίστης σχετικής καμπυλότητας σχηματίζει γωνία θ με τον χχ, όπου: 1 π θ = ϕ+ 2 4 Ενώ, ο άλλος κύριος άξονας ΒΒ είναι κάθετος στον ΑΑ. Η μορφή της επιφάνειας επαφής είναι, γενικά, έλλειψη, με το μεγάλο άξονα σε σύμπτωση με τον ΑΑ. Οι σχετικές ακτίνες καμπυλότητας κατά τους άξονες ΑΑ και ΒΒ είναι: ϕ π ϕ π 400 π π ⎧ ⎫ 2 ϕ 2 ϕ = 3 cos ( − ) + sin ( − ) + 2⎨(sin ( − ) cosϕ − cos( − ) sinϕ ) 2 ⎬ RBB 2 4 2 4 2 4 2 4 ⎩ ⎭ ϕ π ϕ π π 400 ⎧ 2 ϕ 2 ϕ π 2⎫ = 3cos ( + ) + sin ( + ) + 2⎨(sin ( + ) cosϕ − cos( + ) sinϕ) ⎬ 2 4 2 4 2 4 2 4 RΑΑ ⎩ ⎭ Ταυτόχρονα, το άθροισμα των σχετικών ακτινών καμπυλότητας είναι σταθερό 1 1 60 + = R AA RBB 4 φ 0ο 30ο 60ο 90ο θ 45ο 60ο 75ο 90ο 1 R AA 3 400 2 400 1.27 400 1 400 1 R BB 3 400 4 400 4.73 400 5 400 Πίνακας I : Ακτίνες καμπυλότητας συναρτήσει των γωνιών φ και θ Η ελλειπτική επιφάνεια επαφής έχει ημιάξονες a, b που δίνονται από τις σχέσεις : α = μ *q και b =ν * q όπου : μ, ν συντελεστές συναρτήσει της βοηθητικής γωνίας τ, όπου : ⎛ 1 1 ⎜⎜ − R AA R BB ⎝ cos τ = ⎛ 1 1 ⎜⎜ + ⎝ R AA R BB ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠ τ 10ο 20ο 30ο 40ο 50ο μ 0,612 3,778 2,731 2,136 1,754 ν 0,319 0,408 0,493 0,567 0,641 τ 60ο 70ο 80ο 85ο 90ο μ 1,486 1,284 1,128 1,061 1 ν 0,717 0,802 0,893 0,944 1 Πίνακας ΙI : Συντελεστές μ και ν συναρτήσει της βοηθητικής γωνίας τ 1 − μ12 1 − μ 22 3W ( ) + Ε1 Ε2 q=3 1 1 + 2( ) R AA R BB kN E1 = 3.000 2 m 3 Δεδομένου του ότι για το σώμα Α και σ 1 = 0,5 ενώ για το σώμα Β E2 = 10 E1 η επίδραση της στην παραπάνω σχέση μπορεί να παραληφθεί, οπότε γίνεται : 3W (1 − μ12 ) q= 1 1 3 2E1 ( ) + RAA RBB Ο υδραυλικός κύλινδρος φόρτισης έχει διάμετρο d=20mm και για πίεση p (bar), το φορτίο (σε Ν) δίνεται από τη σχέση: W = 31 . 4 p Οπότε και : q = 9 .22 3 p Β4. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ 1. Ρυθμίζουμε τη γωνία φ=0 οπότε η έλλειψη επαφής γίνεται κύκλος. Τότε : μ=ν=1 και a = b = 9.223 p Αυξάνοντας την πίεση (p) μετράμε τις διαστάσεις της επαφής και συμπληρώνουμε τον ακόλουθο πίνακα: P (bar) a=b=r (mm) Μετρούμενο Υπολογιζόμενο 1 9 9 2 12 11,5 4 15,5 14,5 6 17 17 8 18,5 18,5 Σφάλμα % 2. Για σταθερή πίεση p=5.5 bar και μεταβαλλόμενη γωνία φ b =ν * q a = μ *q και q = 9.223 p βρίσκουμε τις διαστάσεις της επαφής. a (mm) b (mm) Σφάλμα % Μετρούμ. Υπολογιζ. Μετρούμ. Υπολογιζ. φ 0 16 16 16 16 30 21 21 13 13 60 25,5 26,5 11 11 90 29 30 10 10 (a) (b)