ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ “ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ” ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: “ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ” ΓΙΑΝΝΗΣ ΨΥΧΑΡΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ 2013 ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Όλοι οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί δέχονται ότι, για το σεισμό σχεδιασμού, η κατασκευή θα περάσει το όριο διαρροής και θα παραμορφωθεί στην πλαστική περιοχή. Η ακριβής ανάλυση της ανελαστικής συμπεριφοράς είναι αρκετά πολύπλοκη και απαιτεί μηγραμμική ολοκλήρωση στο χρόνο. Μία τέτοια λεπτομερής ανάλυση υπερβαίνει τα όρια ενός κανονισμού, ο οποίος πρέπει να προβλέπει απλές και εύκολες στην εφαρμογή τους μεθόδους υπολογισμού. Γι’ αυτό, για την αντισεισμική μελέτη, η ανελαστική συμπεριφορά της κατασκευής λαμβάνεται υπόψη αρκετά προσεγγιστικά θεωρώντας μόνο την ελαστική ανάλυση έως το όριο διαρροής και κάνοντας απλοποιητικές παραδοχές για την απόκριση στην πλαστική περιοχή. Το αποτέλεσμα αυτής της προσέγγισης είναι ότι η απόκριση της κατασκευής, που λαμβάνεται υπόψη, λίγη μόνο σχέση έχει με την πραγματική συμπεριφορά της κατασκευής. Συγκεκριμένα, σε όλους τους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς, ο αντισεισμικός σχεδιασμός γίνεται με βάση τα σεισμικά φορτία που αναμένονται να αναπτυχθούν στην κατασκευή κατά τη διάρκεια του σεισμού (μέθοδος των δυνάμεων). Τα φορτία αυτά υπολογίζονται από το ελαστικό φάσμα επιταχύνσεων για δυσκαμψία του δομήματος που αντιστοιχεί σε αρηγμάτωτες ή ελάχιστα ρηγματωμένες διατομές (τέμνουσα δυσκαμψία στο όριο διαρροής) και η ικανότητα της κατασκευής να παραμορφωθεί στην πλαστική περιοχή χωρίς ουσιαστική μείωση της αντοχής της λαμβάνεται υπόψη με τη διαστασιολόγησή της για μειωμένα σεισμικά φορτία, έναντι αυτών που θα απαιτούντο για τελείως ελαστική συμπεριφορά. Η μείωση των φορτίων γίνεται με διαίρεση των ελαστικών τιμών με το συντελεστή συμπεριφοράς q, ο οποίος λαμβάνεται σταθερός για το σύνολο του δομήματος. Η τιμή του συντελεστή συμπεριφοράς αντιστοιχεί στο επίπεδο των ανελαστικών παραμορφώσεων, που θεωρείται ότι αντέχουν τα μέλη της κατασκευής, σύμφωνα και με τις κατασκευαστικές διατάξεις όπλισης. Η διαστασιολόγηση ολοκληρώνεται με την εφαρμογή διατάξεων ικανοτικού σχεδιασμού, οι οποίες σκοπεύουν στην αποφυγή ψαθυρών μορφών αστοχίας και ανεπιθύμητων μορφών παραμόρφωσης. Με την προσθήκη της ασφαλιστικής δικλίδας του ικανοτικού σχεδιασμού, η αντισεισμική μελέτη με τη μέθοδο των δυνάμεων οδηγεί σε ασφαλή και μάλλον συντηρητικά αποτελέσματα στις περισσότερες περιπτώσεις. Όσον αφορά όμως τις πραγματικές μετακινήσεις και παραμορφώσεις της κατασκευής, τα αποτελέσματα είναι μάλλον ανασφαλή. Η μέθοδος των δυνάμεων παρουσιάζει αρκετά μειονεκτήματα και περιορισμούς, τα κυριότερα των οποίων συνοψίζονται παρακάτω. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 2  Ο σχεδιασμός βασίζεται σε ενιαία πλαστιμότητα μετακινήσεων σε όλα τα μέλη της κατασκευής, η οποία όμως οδηγεί σε διαφορετικές βλάβες, αφού η κρίσιμη παράμετρος είναι η πλαστιμότητα καμπυλοτήτων, η οποία εξαρτάται από τις διαστάσεις της διατομής και το μήκος κάθε μέλους. Πρόβλημα εμφανίζεται και όταν στην κατασκευή υπάρχουν μέλη με διαφορετικές αντοχές (π.χ. βάθρα γεφυρών, που διαρρέουν σε ένα ισχυρό σεισμό, σε συνδυασμό με ελαστομεταλλικά εφέδρανα που παραμένουν συνεχώς ελαστικά) ή με διαφορετική στατική λειτουργία (π.χ. γέφυρες που στηρίζονται εν μέρει σε μονολιθικά συνδεδεμένα με το φορέα βάθρα και εν μέρει σε βάθρα με εφέδρανα).  Η όλη διαδικασία της μελέτης είναι αρκετά πολύπλοκη και περιλαμβάνει ελαστική δυναμική ανάλυση στο χώρο, μεγάλο αριθμό συνδυασμών δράσεων και ένα πλήθος κανόνων λεπτομερειών και όπλισης, χωρίς όμως να επιτυγχάνεται και η αντίστοιχη ακρίβεια στην πρόβλεψη της συμπεριφοράς ή η ανάλογη ασφάλεια. Η εφαρμογή κανόνων ικανοτικού σχεδιασμού, στη συνέχεια, εξουδετερώνει τελείως την όποια ακρίβεια υπολογισμών, όπως π.χ. τη συμμετοχή των ανώτερων ιδιομορφών.  Ο σχεδιασμός γίνεται με τη μέγιστη τιμή των σεισμικών φορτίων κατά τη διάρκεια του σεισμού, σε ένα θεωρητικά ισοδύναμο ελαστικό σύστημα. Έτσι, δεν λαμβάνεται υπόψη η επιρροή της διάρκειας της σεισμικής καταπόνησης και των κύκλων της φόρτισης. Για παράδειγμα, για κατασκευές από Ω.Σ. η δυσκαμψία του ελαστικού κλάδου μειώνεται με τους κύκλους της φόρτισης.  Η σχέση μεταξύ συντελεστή συμπεριφοράς και παράγοντα πλαστιμότητας (σχέση qd μ), στην οποία βασίζεται όλη η φιλοσοφία του σχεδιασμού (π.χ. qd=μ σύμφωνα με την παραδοχή των ίσων μετακινήσεων ή q d  2μ1 σύμφωνα με την παραδοχή των ίσων ενεργειών, δηλαδή ίση μέγιστη μετακίνηση ή ίση ενέργεια μεταξύ του ελαστικού και του ανελαστικού συστήματος, αντίστοιχα), είναι μεταβλητή και δεν ακολουθεί πάντοτε τους νόμους που δέχονται οι κανονισμοί, αφού εξαρτάται από την ιδιοπερίοδο της κατασκευής και τη μορφή του φάσματος απόκρισης. Έτσι, στο φάσμα επιταχύνσεων υπάρχουν τέσσερις ζώνες, σε κάθε μία από τις οποίες η συμπεριφορά είναι διαφορετική (βλ. σχήμα 1.1): ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 3 Sa B Γ Δ A T 0 Σχ. 1.1. Χαρακτηριστικές περιοχές του φάσματος επιταχύνσεων.  Κοντά στο σημείο Α (για Τ0) η επιτάχυνση της κατασκευής είναι ίση με την επιτάχυνση του εδάφους, ανεξάρτητα από τη διαθέσιμη πλαστιμότητα. Σε αυτή την περίπτωση, η κατασκευή θα αστοχήσει εάν η αντοχή της είναι μικρότερη από αυτή που αντιστοιχεί στην επιτάχυνση του εδάφους.  Στην περιοχή Β (ανιόντας κλάδος του φάσματος), ισχύει προσεγγιστικά η αρχή της ίσης ενέργειας και η μετακίνηση του ανελαστικού συστήματος είναι γενικώς μεγαλύτερη από αυτή του ελαστικού.  Στην περιοχή Γ (κατιόντας κλάδος του φάσματος κοντά στην κορυφή), ισχύει προσεγγιστικά η αρχή των ίσων μετακινήσεων, η οποία, όμως, οδηγεί σε συντηρητικά αποτελέσματα όσο μεγαλώνει η ιδιοπερίοδος.  Τέλος, σε πολύ εύκαμπτα συστήματα (περιοχή Δ), η μετακίνηση είναι περίπου σταθερή και τείνει στη μετακίνηση του εδάφους. Η διάκριση αυτή μεταξύ των τεσσάρων περιοχών πολλές φορές δεν είναι σαφής στους κανονισμούς.  Ο υπολογισμός βασίζεται στην αρχική δυσκαμψία για αρηγμάτωτες ή ελαφρώς ρηγματωμένες διατομές των φερόντων στοιχείων, χωρίς να δίνεται αρκετή προσοχή στον ακριβή υπολογισμό της. Η διαστασιολόγηση των μελών γίνεται με κατανομή του σεισμικού φορτίου στα μέλη ανάλογα με τη δυσκαμψία τους στην ελαστική περιοχή και έτσι αμελείται η ανακατανομή του φορτίου κάθε φορά που διαρρέει κάποιο στοιχείο. Με αυτό τον τρόπο, όμως, η πραγματική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων, όταν συμβαίνει η μέγιστη μετακίνηση, διαφέρει σημαντικά από αυτή που ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 4 λαμβάνεται υπόψη στον υπολογισμό. Δεδομένης και της διαφοράς στην αντοχή, που συνήθως έχουν τα μέλη, και επομένως της διαφορετικής πλαστιμότητας που θα αναπτύξουν, η μέθοδος των δυνάμεων παρέχει ελλιπείς πληροφορίες σχετικά με την πραγματική καταπόνηση της κατασκευής. Για όλους τους παραπάνω λόγους, είναι σαφές ότι η μέθοδος των δυνάμεων δεν αντιμετωπίζει σωστά τον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών. Τα τελευταία χρόνια, η διεθνής επιστημονική κοινότητα έχει αρχίσει να εργάζεται προς μία εντελώς διαφορετική κατεύθυνση, η οποία βασίζεται στο σχεδιασμό με βάση τις μετακινήσεις (displacementbased design), η οποία (κακώς) πολλές φορές αναφέρεται και ως μέθοδος των μετακινήσεων. Η μέθοδος βασίζεται στην πραγματική καταπόνηση κάθε μέλους, σύμφωνα με την αναμενόμενη παραμόρφωση του δομήματος, και η διαστασιολόγηση γίνεται έτσι ώστε η στροφή που θα προκληθεί στις κρίσιμες διατομές να είναι μικρότερη από την αντίστοιχη αντοχή. Η μέθοδος δεν έχει φθάσει ακόμη σε ένα ικανοποιητικό επίπεδο εφαρμογής και υπάρχουν αρκετά προβλήματα που πρέπει να λυθούν, όπως π.χ. στον καθορισμό κατάλληλων φασμάτων μετακινήσεων σχεδιασμού, που είναι απαραίτητα για την εκτίμηση της αναμενόμενης παραμόρφωσης. Διάφοροι ερευνητές έχουν προτείνει διαφορετικές διαδικασίες, οι οποίες μπορούν να χωριστούν σε δύο τελείως διαφορετικές μεταξύ τους προσεγγίσεις του προβλήματος: A. Στην πρώτη μέθοδο, ο σχεδιασμός με βάση τις μετακινήσεις αφορά τον έλεγχο μιας κατασκευής, η οποία έχει ήδη προ-διαστασιολογηθεί (π.χ. με τη μέθοδο των δυνάμεων). Ο έλεγχος επικεντρώνεται στην ικανότητα παραλαβής των στροφών και των καμπυλοτήτων που θα προκληθούν στα μέλη της κατασκευής για τις αναμενόμενες μετακινήσεις και την αλλαγή των διαστάσεων στα μέλη που οι διατομές δεν επαρκούν. B. Στη δεύτερη μέθοδο γίνεται απ’ ευθείας διαστασιολόγηση της κατασκευής για μία «επιθυμητή» μετακίνηση σχεδιασμού (direct-displacement-based design). Παρακάτω γίνεται μία παρουσίαση των βασικών αρχών κάθε μεθόδου. Επισημαίνεται ότι η παρουσίαση αποσκοπεί στη γενική μεθοδολογία των δύο τρόπων υπολογισμού, γι’ αυτό και δεν περιλαμβάνει όλες τις παραλλαγές που κατά καιρούς έχουν προτείνει διάφοροι ερευνητές. Οι παραλλαγές αυτές, αλλά και οι σημαντικές διαφορές μεταξύ των δύο μεθόδων υπολογισμού, αποδεικνύουν ότι η μεθοδολογία σχεδιασμού είναι ακόμη υπό εξέλιξη και αρκετά θέματα πρέπει να ξεκαθαρίσουν στο μέλλον. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 2. 5 ΜΕΘΟΔΟΣ Α: ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΡΟΔΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΜΕΝΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ 2.1. Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η μέθοδος βασίζεται στον έλεγχο και την επαναδιαστασιολόγηση των κρίσιμων διατομών των μελών μιας κατασκευής, με βάση τις αναμενόμενες μετακινήσεις. Ο έλεγχος γίνεται στις προκαλούμενες (απαιτούμενες) καμπυλότητες των διατομών, οι οποίες συγκρίνονται με τις διαθέσιμες, που υπολογίζονται από τις διαστάσεις και τον οπλισμό κάθε διατομής. Για την εφαρμογή της μεθόδου θεωρείται γνωστή η μέγιστη αναμενόμενη μετακίνηση για το σεισμό σχεδιασμού. Όπως σε όλες τις μεθόδους αντισεισμικού σχεδιασμού με βάση τις μετακινήσεις, απαιτείται ένας αξιόπιστος τρόπος υπολογισμού της μέγιστης μετακίνησης. Αυτό προϋποθέτει ότι είναι γνωστή η πραγματική δυσκαμψία της κατασκευής. Συνήθως, η μέγιστη μετακίνηση υπολογίζεται με τη θεώρηση των «ίσων μετακινήσεων» μεταξύ του ελαστικού και του ανελαστικού συστήματος. Η ελαστική μετακίνηση υπολογίζεται από το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού για την ενεργό ιδιοπερίοδο μέχρι το σημείο διαρροής, που αντιστοιχεί στην τέμνουσα δυσκαμψία μέχρι αυτό το όριο. Για κατασκευές από Ω.Σ. αυτή η δυσκαμψία υπολογίζεται προσεγγιστικά ως ένα ποσοστό (συνήθως 25% έως 50%) της δυσκαμψίας που αντιστοιχεί στην αρηγμάτωτη διατομή. Η σωστή εκτίμηση της δυσκαμψίας είναι σημαντική, επειδή η επιρροή της ιδιοπεριόδου στη μετακίνηση είναι σημαντική για σχετικά μεγάλες περιόδους. Σε πολυβάθμια συστήματα, υπολογίζεται αρχικά η μετακίνηση ενός ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος και οι μετακινήσεις των ορόφων υπολογίζονται από αυτή τη μετακίνηση. Ο υπολογισμός αυτός απαιτεί την υιοθέτηση κάποιας παραδοχής όσον αφορά τη μορφή της παραμόρφωσης όταν συμβαίνει η μέγιστη μετακίνηση. Πολλές φορές για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται η πρώτη ιδιομορφή. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 6 2.2. Μονοβάθμια συστήματα (Moehle, 1992) Η εφαρμογή της μεθόδου σε μονοβάθμια συστήματα παρουσιάστηκε από τον Moehle για την απλή περίπτωση ενός βάθρου μιας γέφυρας, το οποίο συμπεριφέρεται ως πρόβολος (Σχ. 2.1). Για ελαστική - τελείως πλαστική συμπεριφορά, η σχέση μεταξύ της μέγιστης μετακίνησης δu και της αντίστοιχης καμπυλότητας cu στη βάση του βάθρου είναι (βλ. Σημειώσεις Αντισεισμικού Σχεδιασμού Γεφυρών): L   δ u  δ y  (c u  c y )  L h   L  h  2   όπου: δ y  c y  L2 3 (2.1) = μετακίνηση διαρροής cy = καμπυλότητα διαρροής και Lh = μήκος πλαστικής άρθρωσης. Από τη σχέση αυτή προκύπτει: cu  c y  δu  δ y (2.2) L   Lh   L  h  2   δu δy Κ.Β. θp L Lh Cp Cy Cu Ροπές Καμπυλότητες Μετακινήσεις Σχ. 2.1. Ελαστοπλαστική παραμόρφωση βάθρου γέφυρας. δp ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 7 Σε πολλές περιπτώσεις, μπορεί να γίνει απλοποίηση της μορφής του διαγράμματος καμπυλοτήτων, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2. Η θεώρηση αυτή ισχύει εάν η καμπυλότητα διαρροής cy είναι μικρή, σε σύγκριση με την πλαστική καμπυλότητα cp, και μπορεί να αμεληθεί. Θεωρώντας επιπρόσθετα ότι L-Lh/2  L (για μικρό μήκος πλαστικής άρθρωσης σε σύγκριση με το ύψος του βάθρου), η σχέση (2.1) γίνεται: δu  cu  Lh  L (2.3) Η σχέση (2.1), ή η απλοποιημένη σχέση (2.3), συνδέει τη μέγιστη μετακίνηση δu με την οριακή καμπυλότητα cu. Η οριακή καμπυλότητα μπορεί να συσχετισθεί με την παραμόρφωση της διατομής εu σε κάποια θέση ελέγχου. Όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3, εάν βh είναι η απόσταση του ουδέτερου άξονα από τη θέση ελέγχου (π.χ. θέση εφελκυόμενου οπλισμού ή ακραία ίνα θλιβόμενης ζώνης), τότε: cu  εu βh (2.4) Αντικατάσταση της cu στην (2.2) ή στην απλοποιημένη (2.3) οδηγεί σε μία σχέση μεταξύ μέγιστης μετακίνησης της κατασκευής, δu, και της παραμόρφωσης της διατομής στη θέση ελέγχου, εu. Στην περίπτωση που μπορεί να εφαρμοσθεί η προσεγγιστική σχέση (2.3) και θεωρώντας Lh  h/2, η οριακή μετακίνηση συνδέεται με την εu με τη σχέση: δu εu  L 2β (2.5) L Lh Cp Cy Lh Cu Cu Ιδεατό διάγραμμα καμπυλοτήτων Προσεγγιστικό διάγραμμα καμπυλοτήτων Σχ. 2.2. Προσεγγιστικό διάγραμμα καμπυλοτήτων. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 8 εu βh cu ουδέτερος άξονας h b Σχ. 2.3. Ιδεατό διάγραμμα παραμορφώσεων καμπτόμενου μέλους. Ανάλογες σχέσεις με την (2.5) μπορούν να εξαχθούν και για άλλα δομικά μέλη μιας κατασκευής, όπως δοκούς, υποστυλώματα και τοιχώματα, με την εισαγωγή βέβαια κάποιων κατάλληλων παραδοχών. Γενικώς, με την προτεινόμενη μέθοδο, η ανηγμένη οριζόντια μετακίνηση της κατασκευής, η οποία εκφράζεται με το λόγο δu/L της οριακής μετακίνησης προς το ύψος του βάθρου (drift), σχετίζεται απ’ ευθείας με την παραμόρφωση ελέγχου εu στη θέση της πλαστικής άρθρωσης και, επομένως, με το μέγεθος των βλαβών και τις απαιτούμενες κατασκευαστικές λεπτομέρειες για την παραλαβή τους. Παρότι η παραπάνω ανάλυση βασίζεται σε αρκετές απλοποιητικές παραδοχές, οδηγεί, σύμφωνα με τον εισηγητή της, σε αρκετά καλά αποτελέσματα, επειδή ο αντισεισμικός σχεδιασμός βασίζεται σε πολλές άλλες μεγαλύτερες αβεβαιότητες, όπως ο καθορισμός των σεισμικών παραμέτρων σχεδιασμού, ο προσδιορισμός των πραγματικών αντοχών μιας διατομής υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση, ο υπολογισμός της πραγματικής απόκρισης κ.α., οι οποίες εμπεριέχουν μεγαλύτερα σφάλματα. Περιγραφή της μεθόδου σε βήματα Βήμα 1ο: Υπολογισμός της ενεργού ιδιοπεριόδου Τeff με βάση την πραγματική δυσκαμψία στο όριο διαρροής. Βήμα 2ο: Υπολογισμός της μετακίνησης δu από ελαστικό φάσμα σχεδιασμού, ανάλογα με την ιδιοπερίοδο Τeff. Συνήθως γίνεται η παραδοχή ότι η ανελαστική μετακίνηση είναι ίση με την ελαστική. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 9 Βήμα 3ο: Υπολογισμός της μέγιστης απαιτούμενης καμπυλότητας από την εξίσωση (2.2). Βήμα 4ο: Έλεγχος της ικανότητας παραλαβής αυτής της καμπυλότητας, ανάλογα με τις κατασκευαστικές λεπτομέρειες (π.χ. περίσφιγξη) και τον οπλισμό της διατομής. Εναλλακτικά, τα βήματα 3 και 4 μπορούν να αντικατασταθούν από την εξίσωση (2.5) και απ’ ευθείας έλεγχο της δυνατότητας παραλαβής της παραμόρφωσης εu στις κρίσιμες θέσεις ελέγχου. Παράδειγμα Θεωρούμε ότι ένα βάθρο γέφυρας έχει διαστασιολογηθεί με τη μέθοδο των δυνάμεων και έχει προκύψει διατομή ύψους h=1.80 m. Έστω ότι η επικάλυψη του οπλισμού είναι 9 cm και ότι από την ανάλυση σε οριακή κατάσταση προέκυψε ότι η θέση του ουδέτερου άξονα απέχει 0.36 m από τη θλιβόμενη ίνα (Σχ. 2.4). Ο έλεγχος θα εφαρμοστεί: (α) θεωρώντας ως κρίσιμη παραμόρφωση την παραμόρφωση του σκυροδέματος και (β) θεωρώντας ως κρίσιμη παραμόρφωση την παραμόρφωση του χάλυβα. (α) Ας θεωρήσουμε ότι η μέγιστη επιτρεπόμενη παραμόρφωση του σκυροδέματος σε θλίψη είναι 4‰. Για την ακραία θλιβόμενη ίνα: βh = 0.36 m, οπότε β = 0.36/1.80 = 0.2 και επομένως η μέγιστη επιτρεπόμενη μετακίνηση που μπορεί να συμβεί στην κατασκευή, σύμφωνα με τη (2.5), δίνεται από τη σχέση: δu 0.004   0.01 L 0.2  2 βh=0.36 m εu =0.004 βh=1.35 m h=1.80 m εu =0.06 0.09 (α) (β) Σχ. 2.4. Διάγραμμα παραμορφώσεων διατομής στη θέση της πλαστικής άρθρωσης. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 10 (β) Ας θεωρήσουμε ότι η μέγιστη επιτρεπόμενη ελαστική παραμόρφωση του χάλυβα είναι εu=0.06. Για τη θέση του εφελκυομένου χάλυβα: βh = 1.35 m  β = 1.35/1.8 = 0.75. Άρα, η μέγιστη επιτρεπόμενη μετακίνηση που αντιστοιχεί σε αυτόν τον έλεγχο, σύμφωνα με τη σχέση (2.5), είναι: δu 0.06   0.04 L 0.75  2 Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, η περίπτωση (β) οδηγεί σε μεγαλύτερη μέγιστη επιτρεπόμενη μετακίνηση από την περίπτωση (α) και επομένως ο σχεδιασμός θα πρέπει να βασιστεί στην περίπτωση (α), δηλαδή στην οριακή ικανότητα θλιπτικής παραμόρφωσης του σκυροδέματος στη θέση της πλαστικής άρθρωσης. Σε άλλες περιπτώσεις, μπορεί κρίσιμη να είναι η παραμόρφωση του χάλυβα. Η εφαρμογή της μεθόδου απαιτεί τον υπολογισμό της αναμενόμενης μέγιστης μετακίνησης δu. Ο υπολογισμός μπορεί να γίνει από το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού για την ενεργό περίοδο Τeff και απόσβεση ζ=5%. Στη συγκεκριμένη μέθοδο, η ενεργός περίοδος προτείνεται να υπολογίζεται για δυσκαμψία ίση με το 50% της γεωμετρικής δυσκαμψίας, δηλαδή αυτής που αντιστοιχεί στην αρηγμάτωτη διατομή. Εάν η μετακίνηση δu, που θα προκύψει από το ελαστικό φάσμα, είναι μικρότερη από αυτή που αντιστοιχεί σε δu/L=0.01, τότε η διαστασιολόγηση του βάθρου είναι επαρκής. Σε αντίθετη περίπτωση χρειάζεται επαναδιαστασιολόγηση του βάθρου και επανάληψη του παραπάνω ελέγχου. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 11 2.3. Πολυόροφα κτίρια (Παναγιωτάκος & Φαρδής, 1996) H μέθοδος που παρουσιάζεται παρακάτω προτάθηκε από τους Παναγιωτάκο και Φαρδή για οικοδομικά έργα από Ω.Σ. και είναι μία από αυτές που έχουν προταθεί (με παρόμοιο σκεπτικό) γι’ αυτό το σκοπό. Η μέθοδος αποσκοπεί στον έλεγχο μιας ήδη προδιαστασιολογημένης κατασκευής, ώστε να εξασφαλιστεί ότι όλες οι κρίσιμες διατομές μπορούν να παραλάβουν τις αναμενόμενες μετακινήσεις. Στη συγκεκριμένη μέθοδο, η αρχική διαστασιολόγηση της κατασκευής προτείνεται να γίνει με εφαρμογή του Αντισεισμικού Κανονισμού (δηλαδή με τη μέθοδο των δυνάμεων), αλλά για ένα μικρότερο σεισμό, ο οποίος ονομάζεται σεισμός λειτουργικότητας. Σε αυτό το σεισμό οι αναμενόμενες βλάβες είναι πολύ περιορισμένες [π.χ. τριχοειδείς ρωγμές λόγω εφελκυστικής παραμόρφωσης του χάλυβα (μέχρι την τιμή 2%), ή μερική αποφλοίωση της επικάλυψης στη θλιβόμενη ζώνη της διατομής λόγω βράχυνσης του σκυροδέματος (για παραμόρφωση της θλιβόμενης ίνας έως την τιμή 0.35%)]. Ο σεισμός λειτουργικότητας έχει σημαντική πιθανότητα να συμβεί στη διάρκεια ζωής του έργου, αλλά οι βλάβες που θα προκληθούν δεν επηρεάζουν τη στατική λειτουργία και την ασφάλεια. Για λόγους ανθεκτικότητας μακροπρόθεσμα, όμως, χρειάζονται επισκευή σε εύθετο χρόνο αλλά όχι άμεσα. Ο σεισμός λειτουργικότητας μπορεί να ληφθεί ίσος με το 40% (50% για σπουδαιότητα Σ3 και Σ4) του σεισμού σχεδιασμού του ΕΑΚ. Η διαστασιολόγηση της κατασκευής για το σεισμό λειτουργικότητας γίνεται με ελαστική ανάλυση (q=1.0), με βάση το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού και απόσβεση ζ=5%. Για τον καθορισμό των σεισμικών φορτίων μπορεί να εφαρμοστεί η ισοδύναμη στατική μέθοδος του ΕΑΚ, με θεώρηση τριγωνικής πρώτης ιδιομορφής. Για την επίλυση, όμως, καθώς και για τον υπολογισμό της ιδιοπεριόδου, πρέπει να ληφθεί υπόψη η δυσκαμψία των ρηγματωμένων διατομών, δηλαδή η τέμνουσα δυσκαμψία στο σημείο διαρροής. Σύμφωνα με τους εισηγητές της μεθόδου, η δυσκαμψία της κατασκευής που αντιστοιχεί σε ρηγματωμένες διατομές, Κcr, μπορεί να υπολογιστεί από την αντίστοιχη δυσκαμψία για αρηγμάτωτες διατομές, Κg, από τη σχέση: Κcr = 0.25Κg. Η ιδιοπερίοδος της κατασκευής μπορεί να υπολογισθεί με εφαρμογή του πηλίκου Rayleigh, για τις μετακινήσεις που προκύπτουν από τυχαία τέμνουσα βάσης Vo (π.χ. Vo=1) και κατανομή των σεισμικών φορτίων σύμφωνα με την τριγωνική κατανομή. Έτσι, ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 12 n T  2π  m i δ i2 i 1 n (2.6)  Pi δ i i 1 όπου, Pi  Vo mi  zi n mj zj j1 είναι το σεισμικό φορτίο του i ορόφου, και mi , mj = μάζα i και j ορόφου, αντίστοιχα z i, z j = στάθμη i και j ορόφου, αντίστοιχα, από το επίπεδο θεμελίωσης δi = μετακίνηση του i ορόφου, από στατική επίλυση με τα φορτία Pi. Περιγραφή της μεθόδου σε βήματα Βήμα 1ο: Υπολογίζεται ο οπλισμός των δοκών (ανοίγματα και στηρίξεις) και ο οπλισμός στη βάση (θέση σύνδεσης με τη θεμελίωσης) των κατακόρυφων στοιχείων (υποστυλωμάτων και τοιχωμάτων), με θεώρηση οριακής κατάστασης αστοχίας για το δυσμενέστερο από τους συνδυασμούς: (i) 1.35 G + 1.5 Q (λειτουργία, χωρίς σεισμό), ή (ii) G + ψ2 Q + Es (με σεισμό Εs = σεισμό λειτουργικότητας). Σε αυτό το βήμα, ο υπολογισμός γίνεται με τη μέθοδο των δυνάμεων. Εάν κρίσιμος συνδυασμός είναι ο δεύτερος (με το σεισμό λειτουργικότητας), η διαστασιολόγηση αναμένεται να είναι περίπου ίδια με αυτή που θα προέκυπτε για διαστασιολόγηση σύμφωνα με τον ΕΑΚ. Αυτό συμβαίνει γιατί ο σεισμός λειτουργικότητας οδηγεί μεν σε λίγο μεγαλύτερα φορτία από το σεισμό σχεδιασμού του ΕΑΚ (40% των ελαστικών έναντι 1:3.5 = 28.5% των ελαστικών φορτίων του ΕΑΚ για q=3.5), αλλά η διαφορά αυτή εξουδετερώνεται από τη μικρότερη δυσκαμψία που θεωρούμε σε αυτό το βήμα έναντι του ΕΑΚ. Βήμα 2ο: Υπολογίζεται ο οπλισμός των υποστυλωμάτων και των τοιχωμάτων σύμφωνα με τον ικανοτικό σχεδιασμό του ΕΑΚ. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 13 Βήμα 3ο: Υπολογίζεται ο εγκάρσιος οπλισμός με βάση τον κανόνα του ικανοτικού σχεδιασμού σε διάτμηση. Βήμα 4ο: Γίνεται ακριβέστερος υπολογισμός της ενεργού ιδιοπεριόδου Τeff, με βάση τους οπλισμούς που προέκυψαν στα προηγούμενα στάδια και για την τέμνουσα δυσκαμψία των μελών στο θεωρητικό σημείο διαρροής. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν προσεγγιστικοί τύποι από τη διεθνή βιβλιογραφία, όπως αυτοί που δίνονται στην εργασία των Park & Ang (1985). Βήμα 5ο: Για την ιδιοπερίοδο Τeff, που υπολογίστηκε στο προηγούμενο βήμα, και για απόσβεση ζ=5% υπολογίζεται από το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού η μετακίνηση δ e του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Η μετακίνηση αυτή χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των μετακινήσεων των ορόφων, όπως περιγράφεται στο επόμενο βήμα. Στις σχέσεις που αναφέρονται παρακάτω, ο δείκτης “e” χρησιμοποιείται για να δηλώσει ότι το αντίστοιχο μέγεθος αφορά το ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα. Βήμα 6ο: Γίνεται υπολογισμός των στροφών στα άκρα των υποστυλωμάτων και των δοκών, που συμβαίνουν τη στιγμή της μέγιστης μετακίνησης. Για το σκοπό αυτό υπολογίζονται αρχικά οι μετακινήσεις των ορόφων, με βάση τη μετακίνηση δe του ισοδύναμου μονοβαθμίου. Αρχικά θεωρούμε ότι η μετακίνηση δi του i ορόφου μπορεί να γραφτεί ως συνάρτηση της μετακίνησης δe μέσω κατάλληλου συντελεστή λi, δηλαδή: δi = λi  δe (2.7) Οι συντελεστές λi είναι άγνωστοι, αλλά, όπως φαίνεται παρακάτω, τελικά απαλείφονται. Θεωρούμε ότι η ίδια κατανομή ισχύει και για τις επιταχύνσεις, δηλαδή: ai = λi  ae (2.8) Ο υπολογισμός βασίζεται στις παρακάτω παραδοχές: (i) η συνολική σεισμική δύναμη στο πολυβάθμιο σύστημα ισούται με αυτήν του ισοδύναμου μονοβαθμίου (δηλαδή η τέμνουσα βάσης Vo είναι ίδια στα δύο συστήματα), ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 14 (ii) το συνολικό έργο των σεισμικών φορτίων είναι ίδιο στα δύο συστήματα. Από την παραδοχή (i) προκύπτει: n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 Pe   Pi   m i a i   m i λ i a e  a e  m i λ i Aλλά Pe = meae και επομένως: n me   mi λ i (2.9) i 1 Επίσης, Pi  m i a i  m i λ i a e  m i λ i Pe mλ  Pe n i i me  m jλ j j1 Αλλά, από τη σχέση (2.7) ισχύει: δi δe λi  (2.10) οπότε: mi δi Pi  Pe (2.11) n  m jδ j j1 Από την παραδοχή (ii) προκύπτει: n n Pe δ e   Pi δ i  δe  i 1  Pi δ i i 1 Pe και αντικαθιστώντας τα Pi από την (2.11) προκύπτει ότι η μετακίνηση του ισοδύναμου μονοβαθμίου σχετίζεται με τις μετακινήσεις των ορόφων με τη σχέση: n δe   m i δ i2 i 1 n  mi δi (2.12) i 1 Ορίζουμε τους συντελεστές φi ίσους με το λόγο των μετακινήσεων κάθε ορόφου δi προς τη μετακίνηση της οροφής δtop, δηλαδή: φi  οπότε η παραπάνω σχέση δίνει: δi δ top (2.13) ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 15 n δ top   miφi i 1 n  i 1 δe (2.14) m i φ i2 Οι συντελεστές φi δηλώνουν τη σχέση των μετακινήσεων των ορόφων ως προς τη μετακίνηση της οροφής και μπορούν να υπολογιστούν από τον τρόπο που περιμένουμε να παραμορφωθεί το κτίριο όταν συμβεί η μέγιστη μετακίνηση. Στις συνήθεις περιπτώσεις κτιρίων και επειδή η διαστασιολόγηση των υποστυλωμάτων έχει γίνει με ικανοτικό σχεδιασμό, πλαστικές αρθρώσεις αναμένεται να σχηματιστούν στη βάση των υποστυλωμάτων και των τοιχίων και στις δοκούς, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.5(α). Σε αυτή την περίπτωση, θεωρώντας ότι η πλαστική παραμόρφωση είναι σημαντικά μεγαλύτερη από την ελαστική, η γραμμή κάμψης των κατακόρυφων στοιχείων είναι περίπου ευθεία και επομένως: φi  zi H tot (2.15) Αντικαθιστώντας στη (2.14) προκύπτει: n δ top H tot   mi zi i 1 n  i 1 δe (2.16) m i z i2 δ top δ top i θ θ j H tot θ j-1 zj zi z j-1 (α) (β) Σχ. 2.5. Απλοποιημένες μορφές παραμόρφωσης κτιρίων: (α) κτίριο διαστασιολογημένο με ικανοτικό σχεδιασμό, (β) κτίριο με μαλακό όροφο. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 16 Όπως προκύπτει από το Σχ. 2.5(α) και θεωρώντας ότι η γωνία στροφής θ είναι αρκετά μικρή ώστε να ισχύει: tanθθ, θ δ top H tot (2.17) Δηλαδή, ο λόγος δtop/Htot ισούται προσεγγιστικά με τη γωνία στροφής θ στη βάση των κατακόρυφων στοιχείων και με τη γωνία στροφής χορδής των άκρων των δοκών, από την οποία εξαρτάται το μέγεθος των ζημιών. Εάν πάλι η μορφολογία του κτιρίου είναι τέτοια, ώστε οι πλαστικές αρθρώσεις να εμφανίζονται σε όλα τα υποστυλώματα του j ορόφου (μαλακός όροφος), όπως φαίνεται στο σχήμα 2.5(β), τότε: 0 για i  1... ( j  1)  φi     1 για i  j... n (2.18) Σε αυτή την περίπτωση, η (2.14) δίνει: δtop = δe (2.19) και θ δ top z j  z j1 (2.20) Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι δύο παραπάνω θεωρήσεις πλαστικής παραμόρφωσης είναι ακραίες και δίνουν παραμορφώσεις μόνο στα στοιχεία που παρουσιάζουν πλαστική άρθρωση. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του Σχ. 2.5(α) η παραμόρφωση των στύλων περιορίζεται στη βάση του ισογείου, ενώ στους ενδιάμεσους ορόφους η παραμόρφωση είναι μηδενική. Οι παραδοχές αυτές βρίσκονται κοντά στην πραγματικότητα όταν αφενός η μορφολογία του δομήματος επιτρέπει το σχηματισμό σαφούς μηχανισμού δοκών ή μαλακού ορόφου και αφετέρου η συνολική απόκριση είναι έντονα ανελαστική, δηλαδή η σεισμική δράση είναι σημαντικά μεγαλύτερη από το σεισμό σχεδιασμού. Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η θεώρηση ότι η αναλογία των μετακινήσεων των ορόφων στο ανελαστικό σύστημα (και επομένως και όταν συμβαίνει η μέγιστη μετακίνηση) είναι περίπου ίδια με αυτή του ελαστικού (ίδια μορφή παραμόρφωσης). Σε αυτή την περίπτωση οι συντελεστές φi μπορούν να υπολογιστούν με εφαρμογή της (2.13) για την ελαστική περιοχή: ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ φi  17 δ iελ (2.21) δ ελ top Στην παραπάνω σχέση οι μετακινήσεις δ iελ και δ ελ top υπολογίζονται σύμφωνα με την «ισοδύναμη στατική» ανάλυση του ελαστικού συστήματος και επομένως οι συντελεστές φi αντιστοιχούν στις τεταγμένες της πρώτης ιδιομορφής. Στο σχήμα 2.7 παρουσιάζεται ενδεικτικά η πρώτη ιδιομορφή σε τρεις συνήθεις περιπτώσεις κτιρίων. Οι ανελαστικές μετακινήσεις των ορόφων μπορούν να υπολογιστούν από τις ισοδύναμες ελαστικές ως εξής: φi  δi δ top  δ iελ δ ελ top  δi  δ top δ ελ top  δ iελ και αντικαθιστώντας τη δtop σύμφωνα με τη (2.14) τελικά προκύπτει ότι η μέγιστη μετακίνηση δi του i ορόφου μπορεί να υπολογιστεί από τη μετακίνηση δe του ισοδύναμου μονοβαθμίου από τη σχέση: n  m jφ j δi  δe  φi  j1 n  j1 (2.22) m jφ 2j Στη συνέχεια, η γωνία στροφής των μελών του i ορόφου μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: διατμητικό κτίριο (ισχυρές δοκοί, αδύναμα υποστυλώματα) καμπτικό κτίριο (ισχυρά υποστυλώματα και τοιχώματα, ασθενείς δοκοί) κτίριο με μαλακό πρώτο όροφο (pilotis) Σχ. 2.6. Πρώτη ιδιομορφή συνήθων πολυωρόφων κτιρίων. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 18 θi  δ i1  δ i z i1  z i (2.23) Στα πλαίσια ενός συντηρητικού σχεδιασμού, η ανελαστική παραμόρφωση μπορεί να προκύψει από τη μέγιστη τιμή από τις παραπάνω δύο θεωρήσεις, δηλαδή: [1] από τη θεώρηση ακραίας πλαστικής παραμόρφωσης, όπως στο σχήμα 2.5, και εφαρμογή των σχέσεων (2.16) και (2.17) ή (2.19) και (2.20), ανάλογα με το ποιος μηχανισμός είναι πιθανόν να σχηματιστεί, και [2] από τη θεώρηση της ισοδυναμίας ελαστικών και ανελαστικών παραμορφώσεων της κατασκευής και εφαρμογή των εξισώσεων (2.22) και (2.23), χρησιμοποιώντας τις τεταγμένες της πρώτης ιδιομορφής. Σε μία τέτοια προσέγγιση, η περίπτωση [1] θα έδινε δυσμενέστερα αποτελέσματα στα μέλη, στα οποία αναμένεται σχηματισμός πλαστικής άρθρωσης [π.χ. υποστυλώματα ισογείου, Σχ. 2.5(α)], ενώ στα λοιπά μέλη θα ήταν δυσμενέστερη η περίπτωση [2], στα οποία η θεώρηση [1] οδηγεί σε μηδενικές παραμορφώσεις [π.χ. υποστυλώματα ορόφων, Σχ. 2.5(α)]. Βήμα 7ο: Στο τελικό στάδιο γίνεται η διαστασιολόγηση των μελών, έτσι ώστε η διαθέσιμη τιμή της γωνίας στροφής, που ορίζεται από τη χορδή των άκρων κάθε μέλους, να είναι μεγαλύτερη από την απαιτούμενη, που υπολογίστηκε στο προηγούμενο βήμα. Η διαστασιολόγηση περιλαμβάνει και τον υπολογισμό του εγκάρσιου οπλισμού περίσφιγξης. Για την υλοποίηση αυτού του σταδίου απαιτείται η ανάπτυξη ποσοτικών σχέσεων μεταξύ της γωνίας στροφής και των μηχανικών και γεωμετρικών χαρακτηριστικών του μέλους. Η προτεινόμενη διαδικασία δεν απαιτεί επαναλήψεις, εκτός εάν στο τελευταίο βήμα προκύψει ότι απαιτούνται σημαντικές αλλαγές των διατομών, οι οποίες αλλάζουν τη δυσκαμψία του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να επαναληφθεί η διαδικασία με τις διορθωμένες διατομές. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 3. 19 ΜΕΘΟΔΟΣ Β: ΑΠ’ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΜΕΓΙΣΤΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ 3.1. Εισαγωγή Η δεύτερη μεθοδολογία διαφέρει από την προηγούμενη μέθοδο στο ότι ο σχεδιασμός γίνεται ορίζοντας εξ αρχής μία «επιθυμητή μετακίνηση» δu (target displacement) και η κατασκευή διαστασιολογείται έτσι ώστε η μετακίνηση της κατασκευής για το σεισμό σχεδιασμού να ισούται με δu. Για τη συσχέτιση της μετακίνησης δu με το φάσμα σχεδιασμού χρησιμοποιείται η ιδιοπερίοδος που αντιστοιχεί στην τέμνουσα δυσκαμψία της κατασκευής όταν συμβαίνει η μέγιστη μετακίνηση και η συνολική απόσβεση, λαμβανομένης υπόψη και της υστερητικής. Το σημείο διαρροής στην καμπύλη συμπεριφοράς δεν παίζει σημαντικό ρόλο στο σχεδιασμό και χρησιμοποιείται μόνο ως ενδιάμεσο βήμα για τον ορισμό των φορτίων διαρροής, με τα οποία υπολογίζεται ο οπλισμός, και της πλαστιμότητας για τον υπολογισμό της απόσβεσης. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο δεν ορίζεται επιτρεπόμενη πλαστιμότητα (όπως στη μέθοδο των δυνάμεων), αλλά επιτρεπόμενη μετακίνηση. Η πλαστιμότητα καμπυλοτήτων όμως, που αντιστοιχεί στις θέσεις των πλαστικών αρθρώσεων, χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του οπλισμού περίσφιγξης. Η επιθυμητή μετακίνηση ορίζεται με κριτήρια λειτουργικότητας ή με κριτήρια οριακής αντοχής. Συνήθως, η μετακίνηση αυτή σχετίζεται με τον καθορισμό οριακών παραμορφώσεων στις διατομές των πλαστικών αρθρώσεων. Έτσι, για Ω.Σ. η οριακή παραμόρφωση λειτουργικότητας μπορεί να ορισθεί από τη μέγιστη θλιπτική παραμόρφωση που προκαλεί θραύση στο σκυρόδεμα επικάλυψης ή τη μέγιστη εφελκυστική παραμόρφωση που προκαλεί ρωγμές μεγαλύτερες από κάποιο μέγεθος (π.χ. τέτοιες που να απαιτείται επισκευή μετά από το σεισμό). Τα κριτήρια της οριακής αντοχής μπορεί να αναφέρονται στην οριακή κατάσταση για την οποία η δομική βλάβη είναι μη επισκευάσιμη ή την πραγματική αστοχία της διατομής. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 20 3.2. Μονοβάθμια συστήματα (Kowalsky, Priestley & Macrae, 1995) Η μεθοδολογία της απ’ευθείας διαστασιολόγησης με βάση τις μετακινήσεις διατυπώθηκε αρχικά για μεμονωμένα βάθρα γεφυρών που συμπεριφέρονται ως μονοβάθμια συστήματα. Η μέθοδος βασίζεται στην απόκριση της «υποκατάστατης κατασκευής» (substitute structure), η οποία είναι το ισοδύναμο ελαστικό σύστημα που προσομοιάζει την ανελαστική συμπεριφορά στην οριακή μετακίνηση δu. Η υποκατάστατη κατασκευή έχει τις εξής ιδιότητες (βλ. σχήμα 3.1):  Ενεργός δυσκαμψία: Keff  Ενεργός απόσβεση: ζeff  Ενεργός ιδιοπερίοδος: Τeff Στο σχήμα 3.1, η ενεργός δυσκαμψία ορίζεται ως η τέμνουσα δυσκαμψία που αντιστοιχεί στη μέγιστη μετακίνηση δu, ενώ στο διγραμμικό μοντέλο της ανελαστικής συμπεριφοράς Κcr είναι η τέμνουσα δυσκαμψία της ρηγματωμένης διατομής όταν ο εφελκυόμενος οπλισμός εισέρχεται στη διαρροή και Κeo είναι η δυσκαμψία μετά τη διαρροή, που υπολογίζεται από τη σχέση ροπών-καμπυλοτήτων. Από την οριακή παραμόρφωση της διατομής υπολογίζεται η πλαστική καμπυλότητα και στη συνέχεια η πλαστική μετακίνηση, ανάλογα με τη γεωμετρία. Η μετακίνηση σχεδιασμού ορίζεται ως το άθροισμα της ελαστικής και της πλαστικής μετακίνησης. Η επιθυμητή μετακίνηση συνήθως εκφράζεται ανηγμένη ως προς το ύψος με το λόγο δu/H (drift). P Pu Κ eo Py Κ cr δy Κeff δu δ Σχ. 3.1. Ορισμός δυσκαμψιών υποκατάστατης κατασκευής. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 21 Για την εφαρμογή της μεθόδου απαιτείται κάποιο φάσμα μετακινήσεων σχεδιασμού. Από αυτό το φάσμα, για τη μετακίνηση σχεδιασμού δu και την ενεργό απόσβεση που αντιστοιχεί σε αυτή τη μετακίνηση, υπολογίζεται η ενεργός περίοδος Τeff της υποκατάστατης κατασκευής. Από την ενεργό περίοδο υπολογίζεται στη συνέχεια η ενεργός δυσκαμψία Κ eff και γίνεται η διαστασιολόγηση της κατασκευής. Περιγραφή της μεθόδου σε βήματα Βήμα 1ο: Επιλογή αρχικών παραμέτρων και συγκεκριμένα: m = μάζα L = ύψος βάθρου fc = αντοχή σκυροδέματος fy = όριο διαρροής οπλισμού Ε = μέτρο ελαστικότητας δu = επιθυμητή μετακίνηση σχεδιασμού. Επίσης, πρέπει να είναι δεδομένο ένα ελαστικό φάσμα μετακινήσεων σχεδιασμού για διάφορες τιμές απόσβεσης, όπως αυτό που φαίνεται στο Σχ. 3.2. Βήμα 2ο: Σε αυτό το βήμα υπολογίζεται η ενεργός δυσκαμψία της υποκατάστατης κατασκευής. Ακολουθούνται τα παρακάτω επί μέρους βήματα:  Επιλέγεται μία αρχική τιμή της μετακίνησης διαρροής δy. Η αρχική αυτή εκτίμηση είναι κατά κάποιονξ τρόπο αυθαίρετη. Από τους συγγραφείς της μεθόδου προτείνεται η σχέση: δy = 0.005L.  Υπολογίζεται η αντίστοιχη αρχική πλαστιμότητα: μ = δu / δy.  Υπολογίζεται η ενεργός απόσβεση ζeff, Για τον υπολογισμό της ενεργούς απόσβεσης χρησιμοποιείται μία από τις εμπειρικές σχέσεις που δίνονται στη διεθνή βιβλιογραφία και συνδέουν την ενεργό απόσβεση ζeff με την πλαστιμότητα. Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι η ενεργός απόσβεση της υποκατάστατης κατασκευής αποτελείται από δύο όρους: την ιξώδη απόσβεση, που συνήθως λαμβάνεται ίση με αυτή που αντιστοιχεί στην ελαστική συμπεριφορά (συνήθως ίση με 5%), και την υστερητική απόσβεση, η οποία οφείλεται στην ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 22 απορρόφηση ενέργειας κατά τη διάρκεια της ανελαστικής συμπεριφοράς. Η υστερητική απόσβεση μπορεί να υπολογιστεί από τη μορφή των βρόγχων υστέρησης και είναι συνάρτηση της πλαστιμότητας που αντιστοιχεί στη μέγιστη μετακίνηση. Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετές εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό της υστερητικής απόσβεσης. Στη συγκεκριμένη μέθοδο προτείνεται η χρήση της σχέσης που βασίζεται στο υστερητικό μοντέλο Takeda, σύμφωνα με την οποία η συνολική ενεργός απόσβεση είναι: 1 0.95 μ ζ eff  0.05   0.05 μ (3.1) π όπου μ είναι η πλαστιμότητα μετακινήσεων για τη μετακίνηση δu. Μία άλλη σχέση δίνεται στο Κεφ. 5 [σχέση (5.4) κατά Chopra].  Από το φάσμα μετακινήσεων, για Sd = δu και για την ενεργό απόσβεση ζeff, υπολογίζεται η περίοδος Τeff της υποκατάστατης κατασκευής, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.2.  Υπολογίζεται η ενεργός δυσκαμψία Κeff από την Τeff από τη σχέση: K eff  4π 2 m 2 Τeff (3.2) Βήμα 3ο: Σε αυτό το βήμα υπολογίζονται τα εντατικά μεγέθη, με τα οποία θα γίνει η διαστασιολόγηση του βάθρου. Ακολουθούνται τα παρακάτω επί μέρους βήματα: Sd ζ=0% 2% 5% ζ 10% eff 20% 50% δu T eff Σχ. 3.2. Ελαστικό φάσμα μετακινήσεων σχεδιασμού. T ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 23  Αρχικά υπολογίζεται η σεισμική δύναμη, που αντιστοιχεί στην επιθυμητή μετακίνηση, από τη σχέση (Σχ. 3.1): Pu = Keff δu.  Από το οριακό σεισμικό φορτίο Pu υπολογίζεται το φορτίο σχεδιασμού Pd (δηλαδή το φορτίο που θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του οπλισμού) με βάση το διγραμμικό μοντέλο συμπεριφοράς του σχήματος 3.1. Θέτοντας Keo=rKcr και Pd=Py, προκύπτει: Pu = Pd + rKcr(δu – δy) Αλλά, Kcr = Pd / δy και δu / δy = μ, επομένως: Pu = Pd + rPd(μ – 1) απ’ όπου προκύπτει το φορτίο σχεδιασμού: Pd  Pu rμ  r  1 (3.3) Στη συνέχεια υπολογίζεται η ροπή σχεδιασμού στη θέση της αναμενόμενης πλαστικής άρθρωσης, ανάλογα με τη στατική λειτουργία του βάθρου. Για βάθρο που συμπεριφέρεται ως πρόβολος, Md = Pd L. Βήμα 4ο: Σε αυτό το βήμα γίνεται η διαστασιολόγηση του βάθρου (καθορισμός διαστάσεων και οπλισμού), με βάση τη ροπή σχεδιασμού Md και την αξονική δύναμη Ν. Στο σημείο αυτό τελειώνει ο πρώτος επαναληπτικός κύκλος. Με βάση τις διαστάσεις και τον οπλισμό της διατομής, υπολογίζεται η νέα τιμή της δυσκαμψίας Κcr. Για το σκοπό αυτό υπολογίζεται αρχικά η ροπή αδράνειας της ρηγματωμένης διατομής, από εμπειρικές σχέσεις που ισχύουν για το Ω.Σ. Για παράδειγμα, για κυκλική διατομή με ποσοστό οπλισμού ρ, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση:   I cr Ν  0.21  12  ρ  0.1  205  (0.05  ρ) 2 Ig fc  Ag όπου, Ιcr = ροπή αδράνειας της ρηγματωμένης διατομής στο στάδιο της πρώτης διαρροής Ιg = ροπή αδράνειας της πλήρους διατομής Αg = εμβαδόν της πλήρους διατομής Ν = αξονική δύναμη. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 24 Στη συνέχεια υπολογίζεται η δυσκαμψία Κcr του ρηγματωμένου στύλου. Για βάθρο που συμπεριφέρεται ως πρόβολος: K cr  3EI cr L3 Βήμα 5ο (προαιρετικό): Το βήμα αυτό μπορεί να παραληφθεί, αφού συνίσταται σε ένα πρώτο έλεγχο της διατομής που επελέγη στο προηγούμενο βήμα. Ο έλεγχος αυτός βοηθάει στη διόρθωση των διαστάσεων του βάθρου, ώστε ούτε να προκύψει υπερβολικός οπλισμός, αλλά ούτε και πολύ λίγος οπλισμός. Τα επί μέρους βήματα που ακολουθούνται είναι:  Υπολογισμός της ιδιοπεριόδου που αντιστοιχεί στη δυσκαμψία Kcr του ελαστικού κλάδου: Tcr  2π m K cr  Υπολογισμός της δυσκαμψίας μετά τη διαρροή και της αντίστοιχης ιδιοπεριόδου: Keo = rKcr Teo  2π m K eo  Έλεγχος απαίτησης διορθώσεων στο σχεδιασμό. Ο έλεγχος γίνεται με βάση τη σύγκριση της τιμής της Τeff με τις τιμές των Τcr και Τeo. Γενικώς ισχύει: Τcr < Τeff < Τeo P P Pu P Κ eo Pu y Κcr Κ eo Py Κ eff δy δu δ Κ eff Κ cr δy δu δ (β) (α) Σχ. 3.3. Επιρροή της τιμής της Κeff στην ελαστοπλαστική συμπεριφορά: (α) Κeff κοντά στην Κcr, (β) Κeff κοντά στην Κeo. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 25 1. Εάν η Τeff δεν είναι κοντά στα όρια, ο σχεδιασμός είναι ορθός και προχωράμε στο επόμενο βήμα. 2. Εάν η Τeff είναι κοντά στην Τcr, η συμπεριφορά της κατασκευής είναι κοντά στην ελαστική. Σε αυτή την περίπτωση θα προκύψει μεγάλο ποσοστό οπλισμού και μικρή απαιτούμενη πλαστιμότητα (Σχ. 3.3.α). Συνιστάται η αύξηση των διαστάσεων του βάθρου ώστε να αυξηθεί η Κcr και η επανάληψη του 4ου βήματος. 3. Εάν η Τeff είναι κοντά στην Τeo, θα προκύψει μικρό ποσοστό οπλισμού και μεγάλη απαιτούμενη πλαστιμότητα (σχήμα 3.3.β). Συνιστάται η μείωση των διαστάσεων του βάθρου και η επανάληψη του 4ου βήματος. Βήμα 6ο: Σε αυτό το βήμα γίνεται ο έλεγχος σύγκλισης με βάση τη νέα τιμή της μετακίνησης διαρροής, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: δy  Pd K cr (3.4) Εάν δy  δ y  ε  δy , όπου ε είναι η ακρίβεια που επιδιώκουμε (π.χ. ε=5%), θεωρούμε ότι επετεύχθη σύγκλιση. Αλλιώς, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία από το 2ο βήμα με τη νέα μετακίνηση διαρροής. Βήμα 7ο: Μετά τη διαστασιολόγηση του βάθρου σε κάμψη με την παραπάνω διαδικασία, υπολογίζεται ο εγκάρσιος οπλισμός περίσφιγξης για την εξασφάλιση της απαιτούμενης πλαστιμότητας στη θέση της πλαστικής άρθρωσης. Ο υπολογισμός του απαιτούμενου οπλισμού περίσφιγξης γίνεται με βάση την παραμόρφωση της ακραίας θλιβόμενης ίνας της διατομής, η οποία προκύπτει από την πλαστιμότητα καμπυλοτήτων. Συγκεκριμένα:  Από την πλαστιμότητα μετακινήσεων μΔ, που υπολογίστηκε στο 2ο βήμα, υπολογίζεται η πλαστιμότητα καμπυλοτήτων μC από τη σχέση (βλ. Σημειώσεις Αντισεισμικού Σχεδιασμού Γεφυρών): μC  1 μ Δ 1 3  (L h / L)  (1  0.5L h / L) όπου Lh είναι το μήκος της πλαστικής άρθρωσης. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 26  Από τη μετακίνηση διαρροής δy υπολογίζεται η αντίστοιχη καμπυλότητα διαρροής cy και στη συνέχεια η μέγιστη απαιτούμενη καμπυλότητα cu. Για βάθρο που συμπεριφέρεται ως πρόβολος: cy  3δ y L2 cu = μCcy  Yπολογίζεται η παραμόρφωση της θλιβόμενης ακραίας ίνας από τη σχέση: εu = cuβh όπου βh είναι η θέση του ουδέτερου άξονα, η οποία προκύπτει από τον οπλισμό της διατομής και την αξονική δύναμη. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εάν τοποθετηθεί οπλισμός κάμψης μεγαλύτερος από αυτόν που προκύπτει από την παραπάνω ανάλυση, η αντοχή της διατομής θα αυξηθεί, και επομένως ο υπολογισμός του εγκάρσιου οπλισμού θα πρέπει να γίνει με βάση τον ικανοτικό σχεδιασμό. Παράδειγμα Βήμα 1ο: Έστω βάθρο γέφυρας με τις παρακάτω ιδιότητες: m = 500 Mgr L = 5.0 m fc = 40 MPa fy = 400 MPa E = 31.62 GPa H μετακίνηση σχεδιασμού υπολογίζεται έτσι ώστε: δu/L = 3%  δu = 0.03  5.0 = 0.15 m. Βήμα 2ο: δy = 0.005  L = 0.025 m μ = δu / δy = 0.150 / 0.025 = 6.0 1 ζ  0.05  0.95 6.0  0.05  6.0 π  0.206 Έστω ότι από το φάσμα σχεδιασμού, με το οποίο γίνεται ο σχεδιασμός, προκύπτει Teff = 1.627 sec, για SD = δu = 0.15 m και ζ = 0.206. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ K eff  Βήμα 3ο: 27 4π 2 m 4π 2  500   7457 ΚΝ / m 2 Τeff 1.627 2 Pu = Keff  δu = 1118 KN Mu = 1118  5.0 = 5589 KNm Pd  Pu 1118   894.4 KN (για r = 5%) rμ  r  1 0.05  6.0  0.05  1 Md = 894.4  5.0 = 4472 KNm Βήμα 4ο: Eπιλέγεται διάμετρος στύλου D = 1.1 m. Για αυτή τη διάμετρο και για εντατικά μεγέθη: N = mg = 5000 KN, M = 4472 KNm προκύπτει ποσοστό οπλισμού ρ=1.76%.  I cr  0.21  12  0.0176  0.1  205  (0.05  0.0176) 2 Ig  500  10  0.463 1.12 3 40  10  π  4 Ιg = πD4/64  Icr = 0.033 m4 K cr  Βήμα 5ο: 3  E  I cr L3  3  31.62  10 6  0.033  25233 KN / m 5.03 (Προαιρετικό) Tcr  2π 500  0.884 sec 25233 Κeo = 0.05  25233 = 1262 KN/m Teo  2π 500  3.954 sec 1262 Ισχύει: 0.884 < 1.627 < 3.954, προχωράμε στο επόμενο βήμα. Βήμα 6ο: δy  Pd 894.4   0.035 m K cr 25233 Η αρχική εκτίμηση ήταν δy = 0.025 m, άρα δεν ικανοποιείται το κριτήριο σύγκλισης. Επαναλαμβάνεται η διαδικασία για τη νέα μετακίνηση διαρροής: 2η επανάληψη: μ 0.150  4.29 0.035 ζ = 0.189 ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 28 Τeff = 1.55 sec (από φάσμα σχεδιασμού) Keff = 8.24103 KN/m Pu = 1235.25 KN Pd = 1061 KN Md = 5304 KNm ρ = 2.41% Ιcr = 0.038 m4 Kcr = 28.9103 KN/m δy  0.037 m Έλεγχος: 0.037  0.035  5.4% 0.037 Η σύγκλιση θεωρείται ικανοποιητική. Εάν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, μπορεί να γίνει μία ακόμη επανάληψη. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 29 3.3. Πολυβάθμια συστήματα (Kalvi & Kingsley, 1995) Η φιλοσοφία της μεθόδου είναι παρόμοια με αυτή που αναπτύχθηκε παραπάνω για μονοβάθμιες κατασκευές, αλλά εφαρμόζεται για γέφυρες πολλών βαθμών ελευθερίας (Σχ. 3.4). Η μέθοδος βασίζεται σε μία αρχική υπόθεση της κατανομής των μετακινήσεων στους βαθμούς ελευθερίας, η οποία βελτιώνεται στη συνέχεια, με τις επαναλήψεις. Για τη δεδομένη σχέση μετακινήσεων, η απόκριση της κατασκευής μπορεί να εκφρασθεί με βάση την απόκριση ενός ισοδύναμου μοναβαθμίου συστήματος με τις εξής ιδιότητες:  Ke = δυσκαμψία ισοδύναμου μονοβαθμίου  ζe = απόσβεση ισοδύναμου μονοβαθμίου  δe = μετακίνηση ισοδύναμου μονοβαθμίου  Ρe = σεισμική δύναμη ισοδύναμου μονοβαθμίου Η μετακίνηση δi του i βαθμού ελευθερίας προκύπτει από τη μετακίνηση δe του ισοδύναμου μονοβαθμίου, μέσω κατάλληλου συντελεστή φi. Δηλαδή: δi = φi  δe (3.5) Οι συντελεστές φi ορίζουν τις σχέσεις των μετακινήσεων μεταξύ των βαθμών ελευθερίας. Εάν θεωρήσουμε ότι οι σχέσεις αυτές είναι ίδιες με αυτές που ισχύουν στην ελαστική περιοχή, οι συντελεστές φi μπορούν να θεωρηθούν ως οι τεταγμένες της δεσπόζουσας ιδιομορφής. P i δi m i Σχ. 3.4. Παραμόρφωση γέφυρας πολλών βαθμών ελευθερίας. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 30 Θεωρούμε ότι για τις επιταχύνσεις ισχύει αντίστοιχη κατανομή με την (3.5), δηλαδή: ai = φi  ae (3.6) Το μονοβάθμιο σύστημα πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω δύο προϋποθέσεις: (i) Η σεισμική δύναμη στο ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα πρέπει να είναι ίση με τη συνολική δύναμη στο πολυβάθμιο, άρα: n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 Pe   Pi   m i a i   m i φ i a e  a e  m i φ i Aλλά, Pe = meae και επομένως: n me   mi φi (3.7) i 1 Επίσης, Pi  m i a i  m i φ i a e  m i φ i Pe mφ  Pe n i i me  m jφ j j1 Αλλά, δi δe φi  (3.8) οπότε: Pi  Pe mi δi (3.9) n  m jδ j j1 (ii) Η ισοδύναμη μετακίνηση δe θα πρέπει να είναι τέτοια, ώστε το έργο των σεισμικών δυνάμεων να είναι ίδιο στο μονοβάθμιο και το πολυβάθμιο σύστημα, δηλαδή: n n Pe δ e   Pi δ i i 1  δe   Pi δ i i 1 Pe n  Pe  m i δ i2 i 1 n  Pe  m i δ i i 1 n δe   m i δ i2 i 1 n (3.10)  mi δi i 1 Η δυσκαμψία του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ Ke  31 Pe δe (3.11) Η ισοδύναμη απόσβεση ζe ορίζεται από τις αποσβέσεις κάθε βάθρου ζi, με προσεγγιστικούς τύπους που έχουν προταθεί από διάφορους ερευνητές (π.χ. Shibata & Sozen, 1976). Όπως και στην προηγούμενη μέθοδο, η απόσβεση κάθε βάθρου εξαρτάται από την πλαστιμότητα μi που αναπτύσσεται στο βάθρο και μπορεί να υπολογιστεί από εμπειρικούς τύπους, όπως η σχέση (3.1). Περιγραφή της μεθόδου σε βήματα Βήμα 1ο: Ορίζουμε την «επιθυμητή» μετακίνηση κάθε βάθρου, με την οποία θα γίνει ο σχεδιασμός. Για να έχουμε ομοιόμορφες βλάβες σε όλα τα βάθρα, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι οι μέγιστες μετακινήσεις είναι τέτοιες, ώστε η ανηγμένη οριζόντια μετακίνηση δi/Ηi (drift) είναι ίδια σε όλα τα βάθρα. Συνήθως ορίζουμε μία επιθυμητή τιμή της ανηγμένης μετακίνησης (drift), οπότε η επιθυμητή μετακίνηση δi,u κάθε βάθρου προκύπτει: δi,u = drift  Ηi Για την εφαρμογή της μεθόδου απαιτείται μία αρχική εκτίμηση της μετακίνησης διαρροής δi,y των βάθρων. Επομένως, για κάθε βάθρο μπορεί να υπολογιστεί η απαιτούμενη πλαστιμότητα: μi  δ i ,u δ i, y Στη συνέχεια υπολογίζεται η απόσβεση ζi κάθε βάθρου με βάση την πλαστιμότητα. Βήμα 2ο: Σε αυτό το βήμα ορίζονται οι παράμετροι του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Κατ’ αρχήν, από τις επιμέρους αποσβέσεις των βάθρων υπολογίζεται η συνολική ισοδύναμη απόσβεση ζe. Επίσης, από τις μετακινήσεις των βάθρων υπολογίζεται η ισοδύναμη μετακίνηση δe από τη σχέση (3.10). Με αυτές τις τιμές υπολογίζεται από το φάσμα μετακινήσεων η ιδιοπερίοδος Τe του ισοδύναμου συστήματος, όπως αναπτύχθηκε παραπάνω για τα μονοβάθμια συστήματα. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι συντελεστές φi από τη σχέση (3.8) και η ισοδύναμη μάζα me από τη (3.7) και επομένως: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 32 Ke  4π 2  m e Te2 Pe = Keδe Από τη δύναμη Pe υπολογίζονται οι δυνάμεις Pi στις κορυφές των βάθρων από τη σχέση (3.9). Βήμα 3ο: Σε αυτό το βήμα γίνεται στατική ανάλυση του συστήματος με τα φορτία Pi, για τον προσδιορισμό των μετακινήσεων και των εντατικών μεγεθών των βάθρων. Σε αυτή την ανάλυση πρέπει να ληφθεί υπόψη η έντονη μη-γραμμική συμπεριφορά του Ω.Σ. Ο σωστός τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος είναι η σταδιακή εφαρμογή του φορτίου (pushover analysis) με υπολογισμό των πραγματικών δυσκαμψιών σε κάθε βήμα. Προσεγγιστικά, μπορεί να γίνει γραμμική ανάλυση με τα φορτία Pi, αλλά με μειωμένες δυσκαμψίες των βάθρων. Οι μετακινήσεις δi που υπολογίζονται σε αυτό το βήμα συγκρίνονται με τις επιθυμητές δi,u και συγκεκριμένα ελέγχεται εάν η διαφορά είναι μέσα στα όρια κάποιας αποδεκτής ανοχής ε. Βήμα 4ο: Επαναλήψεις. (i) Εάν ο έλεγχος των μετακινήσεων δεν ικανοποιείται, πρέπει να αλλάξουν οι ακαμψίες των βάθρων, είτε με αλλαγή διαστάσεων, είτε με αλλαγή του οπλισμού. (ii) Εάν ο έλεγχος των μετακινήσεων ικανοποιείται, πρέπει να ελεγχθούν τα εντατικά μεγέθη των βάθρων σε σύγκριση με την αντοχή τους. 2η ιδιομορφή 1η ιδιομορφή Σχ. 3.5. Δύο πρώτες ιδιομορφές ασύμμετρης γέφυρας. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 33 Η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου το παραμορφωμένο σχήμα ταιριάζει με το επιθυμητό και τα βάθρα διαθέτουν ικανοποιητική αντοχή για να δεχθούν τις αντίστοιχες μετακινήσεις. Η μέθοδος συγκλίνει γρήγορα για κανονικές, συμμετρικές γέφυρες, στις οποίες η απόκριση του συστήματος εξαρτάται κυρίως από την απόκριση της πρώτης ιδιομορφής (δεσπόζουσα ιδιομορφή). Αντίθετα, προβλήματα εμφανίζονται σε ασύμμετρες γέφυρες, όπως αυτή του σχήματος 3.5, όπου δεν υπάρχει μόνο μία δεσπόζουσα ιδιομορφή, αλλά και οι δύο πρώτες ιδιομορφές συμμετέχουν σχεδόν εξίσου στην απόκριση. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν ικανοποιείται ο έλεγχος των μετακινήσεων για σταθερή ανηγμένη μετακίνηση (drift) σε όλα τα βάθρα, και η μέθοδος δεν συγκλίνει. Για τη γέφυρα του σχήματος, η επαναληπτική διαδικασία οδηγεί τελικά σε λύση, όπου το μεσαίο βάθρο παραλαμβάνει σχεδόν όλο το σεισμικό φορτίο. Στην εργασία των Kalvi & Kingsley προτείνονται κάποιες τροποποιήσεις στη μέθοδο, για να καλύπτονται τέτοιες περιπτώσεις. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 34 4. ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ 4.1. Σύγκριση των δύο μεθοδολογιών Όπως φάνηκε από την αναλυτική παρουσίαση των βασικών μεθόδων, υπάρχουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις του προβλήματος: A. Στην πρώτη προσέγγιση, η μέθοδος των μετακινήσεων βασίζεται στον έλεγχο της ικανότητας των διατομών μιας κατασκευής να παραλάβουν τις στροφές που προκαλούνται στις θέσεις που δημιουργούνται πλαστικές αρθρώσεις, όταν συμβαίνει η μέγιστη μετακίνηση. Η κατασκευή έχει ήδη διαστασιολογηθεί με τη μέθοδο των δυνάμεων, Συνήθως, η μέγιστη μετακίνηση υπολογίζεται με βάση τη θεώρηση των ίσων μετακινήσεων, από την ελαστική μετακίνηση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος, που έχει ιδιοπερίοδο ίση με την ενεργό ιδιοπερίοδο της κατασκευής στον ελαστικό κλάδο (υπολογίζεται για τη δυσκαμψία που αντιστοιχεί στη διαρροή) και απόσβεση 5%. Για τον υπολογισμό της μέγιστης μετακίνησης θα μπορούσαν να εφαρμοστούν και άλλες μέθοδοι, όπως η μη-γραμμική στατική ανάλυση pushover (βλ. Κεφάλαιο 5 παρακάτω). B. Στη δεύτερη προσέγγιση γίνεται απ’ ευθείας διαστασιολόγηση της κατασκευής με τη μέθοδο των μετακινήσεων (direct-displacement-based design) και όχι έλεγχος αντοχής. Σε αυτές τις μεθόδους ορίζεται μία «επιθυμητή» μετακίνηση σχεδιασμού, με βάση την οποία γίνεται η διαστασιολόγηση. Η δυσκαμψία της κατασκευής λαμβάνεται υπόψη με την τέμνουσα δυσκαμψία στη μέγιστη μετακίνηση, και όχι στη διαρροή. Επίσης, λαμβάνεται υπόψη η αύξηση της απόσβεσης, λόγω υστερητικής συμπεριφοράς. Και οι δύο μέθοδοι βασίζονται στην απόκριση ενός ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος, γι’ αυτό και η εφαρμογή τους είναι αρκετά πολύπλοκη όταν γίνεται σε πολυβάθμια συστήματα, όπου απαιτείται η εκτίμηση του τρόπου παραμόρφωσης (σχέσεις μετακινήσεων στις διάφορες θέσεις). Γενικώς, πάντως, είναι μέθοδοι αρκετά επίπονες στην εφαρμογή τους, ακόμη και για μονοβάθμια συστήματα. Αυτές που ανήκουν στη Β διαδικασία υπολογισμού, απαιτούν επαναληπτική διαδικασία, μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Αλλά και αυτές που ανήκουν στην Α διαδικασία, απαιτούν μία πρώτη διαστασιολόγηση με τη μέθοδο των δυνάμεων και είναι πιθανόν να οδηγήσουν σε ανεπάρκεια αρκετών διατομών, αλλαγή διαστάσεων και οπλισμού και επανάληψη της διαδικασίας. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 35 4.2. Προβλήματα και δυσκολίες στην εφαρμογή Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι μέθοδοι που έχουν προταθεί είναι αρκετά πολύπλοκες στην εφαρμογή τους. Παρακάτω γίνεται μία παρουσίαση των κυριότερων δυσκολιών και αβεβαιοτήτων που εμφανίζονται σε όλες ή σε μερικές από αυτές.  Απαιτείται αρκετά ακριβής υπολογισμός της δυσκαμψίας των ρηγματωμένων διατομών, γιατί η δυσκαμψία επηρεάζει σημαντικά τις μετακινήσεις. Μερικές φορές προτείνονται σχετικά δύσχρηστοι προσεγγιστικοί τύποι, που λαμβάνουν υπόψη τις διαστάσεις και τον οπλισμό της διατομής. Επειδή όμως οι μετακινήσεις επηρεάζονται σημαντικά από τη δυσκαμψία, είναι αμφίβολο εάν επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια.  Σε ορισμένες μεθόδους απαιτείται αρκετά ακριβής υπολογισμός της απόσβεσης, λαμβάνοντας υπόψη και την υστερητική συμπεριφορά. Και σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούνται προσεγγιστικοί τύποι, χωρίς όμως να είναι βέβαιο ότι επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια, αφού τα αποτελέσματα αλλάζουν σημαντικά με την τιμή της απόσβεσης.  Υπάρχει μεγάλη αβεβαιότητα όσον αφορά τα φάσματα μετακινήσεων που χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό. Το θέμα αυτό αναπτύσσεται διεξοδικά παρακάτω. Εκτός αυτού, όμως, η Β’ μεθοδολογία, στην οποία υπολογίζεται η ιδιοπερίοδος από τη μετακίνηση, παρουσιάζει πρόβλημα στις μεγάλες περιόδους, όπου το φάσμα μετακινήσεων είναι περίπου οριζόντιο. Για παράδειγμα, ο EC8 ορίζει οριζόντιο φάσμα μετακινήσεων για Τ>3.0 sec. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν μπορεί να οριστεί μονοσήμαντα η τιμή της περιόδου από τη μετακίνηση.  Ο έλεγχος της ικανότητας των διατομών να παραλάβουν τις απαιτούμενες στροφές είναι αρκετά πολύπλοκος εάν ληφθούν υπόψη όλοι οι παράγοντες που επηρεάζουν τη συμπεριφορά (π.χ. εγκάρσιος οπλισμός, δυνατότητα εξόλκευσης οπλισμού κλπ). Και εδώ συνήθως εφαρμόζονται προσεγγιστικοί τύποι.  Στη Β μέθοδο της απ’ ευθείας διαστασιολόγησης με βάση την επιθυμητή μετακίνηση, η επαναληπτική διαδικασία μπορεί να οδηγήσει σε υπερβολικά οπλισμένες ή σχεδόν άοπλες διατομές. Σε πολλές περιπτώσεις η μέθοδος μπορεί να μην οδηγεί σε σύγκλιση.  Η εφαρμογή των μεθόδων σε πολυβάθμια συστήματα είναι πολύπλοκη και απαιτεί να γίνουν παραδοχές για τον τρόπο παραμόρφωσης της κατασκευής τη στιγμή που συμβαίνει η μέγιστη μετακίνηση, η ορθότητα των οποίων εξαρτάται από την ανελαστική ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 36 συμπεριφορά του συστήματος. Η επιλογή των κατάλληλων παραδοχών δεν είναι πάντοτε προφανής. Είναι προφανές, ότι ο αντισεισμικός σχεδιασμός των κατασκευών με βάση τις μετακινήσεις, παρότι ως φιλοσοφία σχεδιασμού είναι πολύ πιο σωστός από τη μέθοδο των δυνάμεων, απέχει αρκετά ακόμη από το στάδιο που θα είναι αρκετά απλός στην εφαρμογή του, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί ως κανονισμός. 4.3. Φάσματα μετακινήσεων σχεδιασμού Ένα από τα βασικά μειονεκτήματα της μεθόδου των μετακινήσεων είναι ότι απαιτούνται φάσματα μετακινήσεων σχεδιασμού, ο καθορισμός των οποίων δεν είναι καθόλου εύκολη υπόθεση. Το πρόβλημα ξεκινάει από το γεγονός ότι τα φάσματα μετακινήσεων πραγματικών σεισμών δείχνουν πολύ μεγάλη διασπορά αποτελεσμάτων, ιδιαίτερα στις μεγάλες περιόδους, οι οποίες και μας ενδιαφέρουν. Παρότι έχουν χρησιμοποιηθεί διάφοροι τρόποι κανονικοποίησης, η διασπορά στις καταγραφές είναι πολύ μεγάλη, σε αντίθεση με τα φάσματα επιταχύνσεων, τα οποία, εάν κανονικοποιηθούν ως προς την ενεργό επιτάχυνση του εδάφους, δείχνουν μία σαφή συμπεριφορά για παρόμοιες εδαφικές συνθήκες. Εκτός αυτού, και η κατασκευή του φάσματος μετακινήσεων ενός σεισμού περιέχει μεγάλες αβεβαιότητες στις μεγάλες περιόδους, λόγω της διόρθωσης της γραμμής βάσης του επιταχυνσιογραφήματος (base line correction) και των φίλτρων που χρησιμοποιούνται στην επεξεργασία. Μέχρι σήμερα, δεν έχει προταθεί κάποιος αξιόπιστος τρόπος καθορισμού φασμάτων σχεδιασμού για τις μετακινήσεις και συνήθως χρησιμοποιούνται τα φάσματα μετακινήσεων που προκύπτουν από τα φάσματα επιταχύνσεων του κανονισμού, μέσω της σχέσης: Sd = Sa / ω2 (4.1) Εάν γίνει κανονικοποίηση των φασμάτων ως προς την ανηγμένη ενεργό επιτάχυνση του εδάφους α=Α/g, η σχέση αυτή οδηγεί στις παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες περιοχές του φάσματος (για ζ=5%):  T2 0 . 25  S   c TC Sd (m)   0.25  Sc  T α  0.75  S c   για TB  T  TC για TC  T  TD (4.2) για T  TD όπου, η τιμή της παραμέτρου Sc και των χαρακτηριστικών περιόδων ΤB, TC και ΤD δίνονται στον παρακάτω πίνακα, ανάλογα με την κατηγορία του εδάφους: ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 37 Έδαφος Α Έδαφος Β Έδαφος Γ Sc 1.0 1.5 2.0 TB 0.1 sec 0.15 sec 0.2 sec TC 0.4 sec 0.6 sec 0.8 sec 2.5 sec για ΕΑΚ (Ο.Σ.Μ.) / 3.0 sec για EC8 TD Σημειώνεται ότι στις σχέσεις (4.2), για τον ΕΑΚ έχει χρησιμοποιηθεί το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού του Παραρτήματος Α1 με την τροποποίηση των Οδηγιών για τη μελέτη γεφυρών με Σεισμική Μόνωση (Ο.Σ.Μ.), ώστε να οδηγεί σε σταθερή μετακίνηση για Τ>ΤD=2.5 sec (το ελαστικό φάσμα του ΕΑΚ δείχνει μία συνεχή αύξηση της φασματικής μετακίνησης με την ιδιοπερίοδο). Στην πραγματικότητα, η φασματική μετακίνηση τείνει σε σταθερή τιμή, ανεξάρτητα από την απόσβεση, για μεγάλες τιμές της ιδιοπεριόδου, ίση με τη μετακίνηση του εδάφους. Ο Ευρωκώδικας 8 και οι Ο.Σ.Μ. προσπαθούν να λάβουν υπόψη τους αυτή την ιδιότητα, ορίζοντας μέγιστη τιμή για την Sd, η οποία ισχύει για όλες τις περιόδους μεγαλύτερες από TD, όπως προκύπτει από τις σχέσεις (4.2) και φαίνεται στα Σχ. 4.1 και 4.2. 2 1.8 1.6 EΔΑΦΟΣ Α 1.4 Sd (m) / α EΔΑΦΟΣ B 1.2 EΔΑΦΟΣ Γ 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 ΙΔΙΟΠΕΡΙΟΔΟΣ, Τ (sec) Σχ. 4.1. Φάσματα μετακινήσεων σύμφωνα με τον ΕC8 για απόσβεση ζ=5%. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 38 0.8 μετακίνηση εδάφους, dg S d (m) / α 0.6 ζ=5% ζ=10% ζ=20% ζ=50% 0.4 dg 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 ΙΔΙΟΠΕΡΙΟΔΟΣ, Τ (sec) Σχ. 4.2. Φάσματα μετακινήσεων σύμφωνα με τον EC8, για διάφορες τιμές απόσβεσης και έδαφος κατηγορίας Α. Σύμφωνα με τον EC8, η μετακίνηση του εδάφους, dg, μπορεί να υπολογιστεί προσεγγιστικά από τη σχέση: dg α  0.6  Sc (4.3) Για απόσβεση διαφορετική από 5%, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο διορθωτικός συντελεστής απόσβεσης του Ευρωκώδικα, δηλαδή πολλαπλασιασμός των τιμών των σχέσεων (4.2) με το συντελεστή η 10 ζ5 (4.4) Η σχέση αυτή οδηγεί στα διαγράμματα του σχήματος 4.2, για έδαφος κατηγορίας Α. Στο σχήμα αυτό έχει σχεδιαστεί με διακεκομμένη γραμμή και η ευθεία που αντιστοιχεί στη μετακίνηση του εδάφους, σύμφωνα με την εξίσωση (4.3), για σύγκριση. Είναι προφανές ότι τα φάσματα μετακινήσεων, που προκύπτουν από τα φάσματα επιταχύνσεων των κανονισμών, παρουσιάζουν προβλήματα σε μεγάλες περιόδους. Η θεώρηση σταθερής Sd για Τ>TD, που προβλέπουν οι Ο.Σ.Μ. και ο EC8, δημιουργεί πρόσθετα προβλήματα στη διαστασιολόγηση με τη μέθοδο Β, αφού η ενεργός ιδιοπερίοδος δεν μπορεί να υπολογιστεί μονοσήμαντα. Το πρόβλημα αυτό θα μπορούσε να λυθεί θεωρώντας ότι η φασματική μετακίνηση τείνει στη μετακίνηση του εδάφους για κάποια μεγάλη τιμή της ιδιοπεριόδου, αντί να έχει σταθερή τιμή. Και πάλι, όμως, θα προέκυπτε σημαντική μεταβολή της ιδιοπεριόδου για μικρή μεταβολή της μετακίνησης σχεδιασμού (αφού η καμπύλη του φάσματος θα ήταν περίπου οριζόντια) με αποτέλεσμα την αμφίβολη αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 5. 39 H ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ PUSHOVER 5.1. Εισαγωγή Παρακάτω δίνεται μία σύντομη παρουσίαση της μεθοδολογίας pushover (υπερωθητική καμπύλη), όπως αυτή παρουσιάζεται στο ATC-40, για τον υπολογισμό της μέγιστης μετακίνησης μιας κατασκευής για ένα δεδομένο φάσμα σχεδιασμού, λαμβάνοντας υπόψη την πραγματική μη-γραμμική συμπεριφορά της για μεγάλες παραμορφώσεις. Παρότι η μεθοδολογία προτείνεται για τον έλεγχο υφισταμένων κατασκευών, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της μετακίνησης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος στην Α’ μέθοδο υπολογισμού, σε αντικατάσταση της μεθόδου που αναφέρθηκε παραπάνω και που βασίζεται στην ισότητα των μετακινήσεων του ελαστικού και του ανελαστικού συστήματος. Με την προτεινόμενη μεθοδολογία παρακάμπτεται το πρόβλημα του με ακρίβεια υπολογισμού της ενεργού περιόδου, που αντιστοιχεί στη δυσκαμψία διαρροής, αφού η μετακίνηση υπολογίζεται κατ’ευθείαν από την καμπύλη που περιγράφει την ανελαστική συμπεριφορά της κατασκευής (καμπύλη ικανότητας ή καμπύλη αντίστασης). Συγκεκριμένα, η ζητούμενη μετακίνηση (σημείο επιτελεστικότητας, στοχευόμενη μετακίνηση) προκύπτει από το σημείο τομής της καμπύλης ικανότητας (push-over), η οποία εκφράζει την αντοχή (capacity) της κατασκευής, με το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού για την ενεργό απόσβεση (ελαστική απόσβεση κατασκευής + υστερητική) ή το ανελαστικό φάσμα για την αναπτυσσόμενη πλαστιμότητα, που εκφράζουν την απαίτηση (demand). Sa Καμπύλη ικανότητας Σημείο επιτελεστικότητας Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού για ενεργό απόσβεση ή ανελαστικό φάσμα σχεδιασμού Στοχευόμενη μετακίνηση Sd Σχ. 5.1. Σχηματικό διάγραμμα του τρόπου υπολογισμού της ανελαστικής μετακίνησης. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 40 5.2. Μεθοδολογία υπολογισμού της μέγιστης μετακίνησης, δu Το ATC-40 προτείνει τρεις μεθοδολογίες υπολογισμού με παραπλήσια αποτελέσματα. Παρακάτω περιγράφεται με βήματα η διαδικασία υπολογισμού της πρώτης μεθοδολογίας, η οποία είναι και η περισσότερο αναλυτική, σε αντίθεση με την τρίτη, η οποία είναι γραφική. Βήμα 1ο: Μετατροπή του ελαστικού φάσματος σχεδιασμού για ζ=5% στο πεδίο επιτάχυνσημετακίνηση (μορφή ADRS: Acceleration-Displacement Response Spectrum). Η διαδικασία μετατροπής είναι απλή και φαίνεται στο Σχ. 5.2. Sa Sa T1 T2 T3 T4 0 T1 T2 T3 T4 Κλασική μορφή φάσματος Sa  4π 2  Sd T2 Sd  T2  Sa 4π 2 T Sd 0 ADRS μορφή φάσματος T  2π Sd Sa Ακτινικές γραμμές από το (0,0) έχουν σταθερή περίοδο Σχ. 5.2. Μετατροπή ελαστικού φάσματος επιταχύνσεων σε ADRS μορφή. Βήμα 2ο: Κατασκευή της καμπύλης ικανότητας (capacity curve). Η καμπύλη ικανότητας είναι το διάγραμμα της τέμνουσας βάσης ως προς τη μετακίνησης της οροφής για μονοτονική φόρτιση (υπερωθητική καμπύλη, push-over) λαμβάνοντας υπόψη την πραγματική ανελαστική συμπεριφορά των μελών για κάθε μέγεθος φορτίου. Η κατασκευή της καμπύλης ικανότητας γίνεται με υπολογισμό της μετακίνησης της οροφής για διάφορες τιμές της τέμνουσας βάσης. Απαιτούνται επομένως πολλές στατικές επιλύσεις με σταδιακή αύξηση της τέμνουσας βάσης και υπολογισμό της μετακίνησης της κορυφής σε κάθε βήμα, λαμβάνοντας υπόψη τη μειωμένη δυσκαμψία των στοιχείων που έχουν διαρρεύσει. Για την κατανομή των φορτίων καθ’ ύψος μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κατανομή ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 41 της οριζόντιας στατικής φόρτισης του ΕΚ8 ή η πρώτη ιδιομορφή ή ακόμη και περισσότερο πολύπλοκοι συνδυασμοί με συμμετοχή ανώτερων ιδιομορφών. Fi  Vo mi φi  m jφ j (κατανομή φορτίων στους ορόφους) j Vo =  Fi (τέμνουσα βάσης) δ F3 Vo F2 F1 δ 0 Σχ. 5.3. Κατασκευή της υπερωθητικής καμπύλης. Βήμα 3ο: Μετατροπή της καμπύλης ικανότητας σε φάσμα ικανότητας (capacity spectrum) και σχεδίασή του στο πεδίο ADRS. Χρησιμοποιούνται οι παρακάτω σχέσεις: όπου: Sa  Vo α1  m ολ (5.1) Sd  δ Γ1  φ top (5.2) Vo = τέμνουσα βάσης mολ = συνολική μάζα α1 = λόγος της 1ης ιδιομορφικής μάζας προς τη συνολική μάζα: Sa 0 Sd Σχ. 5.4. Κατασκευή του φάσματος ικανότητας. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 42 δ δ δ Sd Sd Kαμπτική συμπεριφορά Γ1φtop  1.6 α1  0.7 Μικτή συμπεριφορά Γ1φtop  1.4 δ α1  0.8 δ Sd Sd Διατμητική συμπεριφορά Γ1φtop  1.2 α1  0.9 Pilotis Γ1φtop  1.0 α1  1.0 Σχ. 5.5. Τιμές συντελεστή α1 για χαρακτηριστικές περιπτώσεις 1ης ιδιομορφής. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 43  m i φ i   Γ1   m i φ i M1  m ολ m ολ   m i φ i2 m ολ 2 α1  Γ1 = συντελεστής συμμετοχής 1ης ιδιομορφής: Γ1  miφi  m i φ i2 δ = μετακίνηση οροφής φi = τιμή 1ης ιδιομορφής στον i όροφο φtop = τιμή 1ης ιδιομορφής στην οροφή Στο βήμα αυτό, η κατασκευή προσομοιάζεται με ένα μονοβάθμιο σύστημα, που εξαρτάται από τη μορφή της 1ης ιδιομορφής (συντελεστής α1). Βήμα 4ο: Εύρεση 1ου σημείου δοκιμών. Για την εύρεση του πρώτου σημείου δοκιμών ακολουθείται η εξής διαδικασία (Σχ. 5.6): Από το ελαστικό φάσμα για απόσβεση ζ=5% υπολογίζεται η μετακίνηση δ1 για τη δυσκαμψία που αντιστοιχεί σε ρηγματωμένες διατομές (τέμνουσα δυσκαμψία στο θεωρητικό σημείο διαρροής). Για τη μετακίνηση δ1 υπολογίζεται η πρώτη εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης στο φάσμα αντίστασης και η αντίστοιχη επιτάχυνση a1. Η μετακίνηση δ1 είναι η τιμή που θα προέκυπτε από τη θεώρηση ίσης μετακίνησης μεταξύ του ελαστικού και ανελαστικού συστήματος. Sa Ελαστικό φάσμα για ζ=5% Φάσμα αντίστασης ικανότητας a1 1η δοκιμή σημείου επιτελεστικότητας Ko=Kcr 0 δ1 Sd Σχ. 5.6. Εύρεση πρώτου σημείου δοκιμών. Βήμα 5ο: Κατασκευή διγραμμικού φάσματος ικανότητας (Σχ. 5.7) Από το 1ο σημείο δοκιμής φέρνουμε ευθεία, τέτοια ώστε τα εμβαδά Α1 και Α2 να είναι περίπου ίσα και ορίζουμε το σημείο τομής με την ευθεία που αντιστοιχεί στην αρχική ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 44 δυσκαμψία. Το σημείο αυτό αντιστοιχεί στη διαρροή σύμφωνα με τη διγραμμική καμπύλη συμπεριφοράς και η προβολή του στους άξονες Sa και Sd ορίζει την επιτάχυνση διαρροής, ay και τη μετακίνηση διαρροής, δy αντίστοιχα. Ελαστικό φάσμα για ζ=5% Sa Φάσμα ικανότητας Φάσμα αντίστασης a1 A1 A2 ay Ko 0 δy δ1 Sd Σχ. 5.7. Κατασκευή διγραμμικού φάσματος ικανότητας. Βήμα 6ο: Υπολογισμός ενεργούς απόσβεσης Η ενεργός απόσβεση μπορεί να γραφτεί ως: ζeff = ζελ + ζυστ (5.3) όπου: ζελ = 0.05 = απόσβεση κατασκευής για ελαστική συμπεριφορά ζυστ = υστερητική απόσβεση λόγω ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς Για τον υπολογισμό της υστερητικής απόσβεσης προτείνεται η σχέση του Chopra (1995), η οποία βασίζεται στη σχέση των ενεργειών του ελαστοπλαστικού και του ισοδύναμου ελαστικού συστήματος (Σχ. 5.8): Sa au ay ES0 Ko Keff ED δy δu Sd Σχ. 5.8. Υπολογισμός υστερητικής απόσβεσης κατά Chopra. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ζ υστ  45 0.637  (a y  δ u  δ y  a u ) 1 ED  ζ υστ   a u  δu 4 π E S0 (5.4) Η σχέση του Chopra υπερεκτιμά την υστερητική απόσβεση για σεισμούς μεγάλης διάρκειας και κατασκευές χωρίς καλή πλάστιμη συμπεριφορά. Γι’ αυτό στο ATC-40 προτείνεται η χρήση ενός διορθωτικού συντελεστή κ, ανάλογα με τον τύπο συμπεριφοράς της κατασκευής. Οι συντελεστές κ δίνονται στον παρακάτω πίνακα: ΤΥΠΟΙ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Διάρκεια σεισμού Νέες, καλές αντισεισμικές κατασκευές Μέτριες αντισεισμικά κατασκευές Φτωχές αντισεισμικά κατασκευές A B C Β C C Μικρή (κοντά στο επίκεντρο) Μεγάλη (μακριά από επίκεντρο, γενικώς για ζώνες III & IV) TIMEΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ κ Τύπος συμπεριφοράς ζυστ (%) κ  16.25 1.00 Α > 16.25 1.13  < 25 B > 25 C 0.51 (a y  δ u  δ y  a u ) a u  δu 0.67 0.845  Όλες οι τιμές 0.446 (a y  δ u  δ y  a u ) a u  δu 0.33 Θέτοντας au=a1 και δu=δ1 προκύπτει: ζ eff (%)  5  63.7  κ  (a y  δ1  δ y  a 1 ) a 1  δ1 (5.5) Στη συνέχεια υπολογίζεται το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού που αντιστοιχεί σε απόσβεση ζ=ζeff με πολλαπλασιασμό των τιμών του φάσματος για ζ=5% με τους συντελεστές (Σχ. 5.9): ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 46 σταθ. Τ Sa Ελαστικό φάσμα για ζ=5% 1:BS Φάσμααντίστασης ικανότητας Φάσμα Νέο σημείο επιτελεστικότητας σταθ. Τ a2 a1 1:BL ay Ελαστικό φάσμα για ζ=ζeff Ko 0 δy δ1 δ2 Sd Σχ. 5.9. Κατασκευή ελαστικού φάσματος απόκρισης για ζ=ζeff και εύρεση νέου σημείου επιτελεστικότητας. SR A  3.21  0.68  ln(ζ eff ) 1  BS 2.12  SR A,min (5.6) SR V  2.31  0.41  ln(ζ eff ) 1  BL 1.65  SR V,min (5.7) στα τμήματα που αντιστοιχούν σε σταθερή επιτάχυνση και σταθερή ταχύτητα, αντίστοιχα. Οι ελάχιστες τιμές των συντελεστών δίνονται στον παρακάτω πίνακα: EΛΑΧΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΜΕΙΩΤΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Τύπος συμπεριφοράς SRA,min SRV,min A 0.33 0.50 B 0.44 0.56 C 0.56 0.67 Το σημείο τομής του φάσματος σχεδιασμού για ζ=ζeff με το φάσμα αντίστασης ορίζει το νέο σημείο επιτελεστικότητας. Η προβολή αυτού του σημείου στους άξονες Sa και Sd ορίζει την νέα επιτάχυνση, a2 και τη νέα μετακίνηση, δ2 αντίστοιχα. Βήμα 7ο: Έλεγχος σύγκλισης Η μέθοδος βασίζεται σε μία επαναληπτική διαδικασία μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Θεωρούμε ότι η σύγκλιση έχει επιτευχθεί εάν: ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 0.95  δ1 < δ2 < 1.05  δ1 47 (5.8)  Εάν το κριτήριο δεν ικανοποιείται, θέτουμε a1=a2 και δ1=δ2 και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία από το 5ο βήμα.  Εάν το κριτήριο ικανοποιείται, η μετακίνηση δ2 αντιστοιχεί στη μέγιστη αναμενόμενη μετακίνηση δu,e του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος (σημείο επιτελεστικότητας). Η μετακίνηση της οροφής, που αντιστοιχεί στη μετακίνηση δu,e μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση (5.2), με αντικατάσταση της μετακίνησης Sd με τη δu,e. Η μετακίνηση δu,e θα μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί απ’ ευθείας ως η μετακίνηση δe στη μέθοδο της παραγρ. 2.3. Μετά τον υπολογισμό της μετακίνησης οροφής, δ, μπορεί να υπολογιστεί η φόρτιση που προκαλεί αυτή τη μετακίνηση από την καμπύλη ικανότητας (Σχ. 5.3). Από την ανελαστική, στατική επίλυση του συστήματος γι’ αυτά τα φορτία προκύπτουν οι στροφές και καμπυλότητες στους κόμβους, που θα δημιουργηθούν όταν συμβεί αυτή η μετακίνηση. Με βάση τις καμπυλότητες που θα προκύψουν, μπορούν να γίνουν οι έλεγχοι ικανότητας παραλαβής τους από τα μέλη της κατασκευής, σύμφωνα με τη διαδικασία της μεθόδου Α. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στο ATC-40 περιγράφονται δύο ακόμη μέθοδοι: μία παρόμοια με την παραπάνω αλλά απλοποιητική (γίνεται η παραδοχή ότι το διγραμμικό φάσμα αντίστασης δεν αλλάζει σε κάθε κύκλο) και μία γραφική. Η παραπάνω μέθοδος είναι η πιο αναλυτική και η πιο κατάλληλη για προγραμματισμό. Υπάρχει όμως ο κίνδυνος να μη συγκλίνει σε ορισμένες περιπτώσεις. Επίσης, εκτός από τη μέθοδο ATC-40, που βασίζεται στη μεθοδολογία του "ισοδύναμου ελαστικού συστήματος"΄και χρησιμοποιεί ελαστικά φάσματα σχεδιασμού για την ενεργό απόσβεση, υπάρχουν και άλλες μέθοδοι για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης, με γνωστότερη τη μέθοδο Ν2, η οποία βασίζεται στη χρήση ανελαστικών φασμάτων που υπολογίζονται από εμπειρικές σχέσεις qy–μ–Τ. Σε κάθε περίπτωση, πρέπει να τονιστεί ότι η μέθοδος Pushover είναι προσεγγιστική, αφού βασίζεται στην προσομοίωση της κατασκευής με ένα ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα και θεωρεί δεδομένη κατανομή φορτίων. Γι’ αυτό τα αποτελέσματα, σε αρκετές περιπτώσεις, διαφέρουν αρκετά από αυτά που θα προέκυπταν από μία μη-γραμμική, εν χρόνω ολοκλήρωση ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ 48 των εξισώσεων κίνησης. Τελευταία έχουν προταθεί διάφορες εναλλακτικές μέθοδοι υπολογισμού, όπως η Modal Pushover Analysis, στην οποία λαμβάνονται υπόψη και ανώτερες ιδιομορφές. Η μέθοδος εφαρμόζεται χωριστά για κάθε ιδιομορφή και μετά γίνεται συνδυασμός των αποτελεσμάτων με SRSS. Με αυτό τον τρόπο βελτιώνονται σημαντικά τα αποτελέσματα, αλλά και πάλι, σε πολλές περιπτώσεις, παρατηρούνται σημαντικές αποκλίσεις από τις μη-γραμμικές αναλύσεις χρονοϊστορίας. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Applied Technology Council, ΑΤC-40: “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings”, 1996 Calvi, G. M. and Kingsley, G. R. (1995), “Displacement-Based Seismic Design of Multidegree-of-freedom Bridge Structures”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 24, pp. 1247-1266. Moehle, J. P. (1992), “Displacement-Based Design of RC Structures Subjected to Earthquakes”, Earthquake Spectra, Vol. 8, No. 3, pp. 403-428. Moehle, J. P. (1996), “Displacement-Based Seismic Design Criteria”, 11th World Conference in Earthquake Engineering, Paper No. 2125, Acapulco, Mexico. Kowalsky, M. J., Priestley, M. J. N. and Macrae, G. A. (1995), “Displacement-Based Design of RC Bridge Columns in Seismic Regions”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 24, pp. 1623-1643. Παναγιωτάκος Τ. Β. και Φαρδής Μ. Ν. (1996), “Σεισμικός Σχεδιασμός Κτιρίων Οπλισμένου Σκυροδέματος με Βάση Μετακινήσεις και Παραμορφώσεις”, 12ο Ελληνικό Συνέδριο Σκυροδέματος, 29-31 Οκτ., Λεμεσός, Κύπρος, Τομ. ΙΙΙ, σελ. 123-134. Panagiotakos, T. B. and Fardis, M. N. (1999), “Deformation-Controlled Earthquake-Resistant Design of RC Buildings”, Journal of Earthquake Engineering, Vol. 3, No. 4, pp. 495-518. Park, Y. J. and Ang, A. M. S. (1985), “Mechanistic Seismic Damage Model of Reinforced Concrete”, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 111, No. 4, pp. 722-739. Priestley, M. J. N. (1993), “Myths and Fallacies in Earthquake Engineering – Conflicts Between Design and Reality”, Bulletin of the New Zealand National Society for Earthquake Engineering, Vol. 26, No. 3, pp. 329-341. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 49 Priestley, M. J. N. (1996), “Displacement-Based Approaches to Rational Limit States Design of New Structures”, 11th World Conference in Earthquake Engineering, Acapulco, Mexico. Shibata, A. and Sozen, M. A. (1976), “Substitute-Structure Method for Seismic Design in R/C”, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 102, pp. 1-18.