ΘΕΜΑ Α) Εξηγήστε την έννοια των αποδόσεων κλίμακας και περιγράψτε τις τρεις περιπτώσεις αποδόσεων κλίμακας. Τι δείχνει η ελαστικότητα κλίμακας και τι τιμές παίρνει; Β) Έστω ένας παραγωγός που παράγει ένα αγαθό Χ σε μια πλήρως ανταγωνιστική οικονομία. Πότε ο παραγωγός μεγιστοποιεί τη παράγωγη του; Αν Χe η παραγόμενη ποσότητα, τι συμβαίνει όταν ο παραγωγός παράγει περισσότερη ή λιγότερη ποσότητα του αγαθού από τη Χe; Αν Pe η τιμή της παραγόμενης ποσότητας Χe, τι σημαίνει για τον παραγωγό αν η τιμή του προϊόντος είναι πάνω ή κάτω από την Pe; Τι συμπέρασμα βγάζετε για την βραχυχρόνια και μακροχρόνια καμπύλη προσφοράς; Λύσεις Α) Η έννοια των Αποδόσεων Κλίμακας παραγωγής (return to scale) χρησιμοποιείται όταν αναφερόμαστε σε ισόποσες μεταβολές των ποσοτήτων όλων των παραγωγικών συντελεστών υποθέτοντας ότι οι αναλογίες τους παραμένουν σταθερές. Όταν η παραγόμενη ποσότητα ενός αγαθού μεταβάλλεται κατά μια αναλογία που μεταβάλλονται και οι χρησιμοποιούμενοι παραγωγικοί συντελεστές, λέμε ότι έχουμε Σταθερές Αποδόσεις Κλίμακας, Αύξουσες ή Φθίνουσες Αποδόσεις Κλίμακας. Οι σταθερές αποδόσεις κλίμακας αναφέρονται στη περίπτωση όπου αν όλοι οι συντελεστές παραγωγής αυξηθούν κατά ένα ποσοστό αλλά το ίδιο για όλους, η παραγωγή αυξάνεται επίσης ακριβώς το ίδιο ποσοστό. Οι αύξουσες αποδόσεις κλίμακας αναφέρονται στη περίπτωση όπου αν όλοι οι συντελεστές αυξηθούν κατά ένα ποσοστό το προϊόν που παράγεται αυξάνεται με ένα μεγαλύτερο ποσοστό από αυτό. Μια επιχείρηση αύξουσας κλίμακας μπορεί να επιτρέψει τη χρησιμοποίηση περισσότερων παραγωγικών συντελεστών και ειδικευμένων μηχανημάτων. Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας έχουμε όταν το προϊόν αυξάνεται κατά μικρότερο ποσοστό από ότι αυξάνονται όλοι οι παραγωγικοί συντελεστές και αυτό εξηγείται με το ότι, καθώς αυξάνεται η κλίμακα μιας επιχείρησης παρουσιάζονται δυσκολίες επικοινωνίας μεταξύ τμημάτων, χειρότερη διοίκηση κ.τ.λ. Η Ελαστικότητα Κλίμακας εκφράζει τη ποσοστιαία μεταβολή του παραγόμενου προϊόντος που προέρχεται από μια ενιαία ποσοστιαία μεταβολή όλων των παραγωγικών συντελεστών. Στη περίπτωση των σταθερών αποδόσεων κλίμακας, η ελαστικότητα κλίμακας είναι ίση με τη μονάδα ενώ στη περίπτωση των αυξουσών αποδόσεων κλίμακας είναι μεγαλύτερη της μονάδος και στη περίπτωση των φθίνουσων είναι μικρότερη της μονάδος. Β) Ο παραγωγός μεγιστοποιεί τα κέρδη του εκεί όπου το οριακό κόστος = οριακό έσοδο = τιμή. Αν υποθέσουμε ότι η επιχείρηση παράγει μεγαλύτερη ποσότητα από τη Χe τότε υπάρχει ζημία αντί κέρδους κατά μονάδα παραγόμενου αγαθού η οποία αυξάνεται όσο αυξάνει η παραγωγή. Άρα τον παραγωγό τον ενδιαφέρει να μειώσει τη παραγωγή ποσότητας αγαθού στο επίπεδο της Χe. Το αντίθετο συμβαίνει αν ο παραγωγός παράγει μικρότερη ποσότητα της Χe όπου το οριακό κόστος είναι μικρότερο της τιμής του αγαθού. Τότε ο παραγωγός προσπαθεί να αυξήσει τη παραγωγή του στο επίπεδο της Χe. Αν ήταν η τιμή P βρίσκεται κάτω από τη καμπύλη του AVC (P<Pe) σημαίνει ότι ο παραγωγός ελαχιστοποιεί τη συνολική ζημία του αν σταματήσει τη παραγωγή του προϊόντος. Δηλαδή σε οποιαδήποτε τιμή κάτω από τη τιμή Pe ο παραγωγός δε προσφέρει καμία ποσότητα εφόσον η συνολική ζημία του ελαχιστοποιείται μόνο με τη παύση της παραγωγής. Σε οποιαδήποτε άλλη τιμή μεγαλύτερη της Pe ο παραγωγός μπορεί να προσφέρει μια ορισμένη ποσότητα. Η καμπύλη βραχυχρόνιας προσφοράς είναι εκείνη όπου το οριακό κόστος είναι μεγαλύτερο από το μέσο μεταβλητό κόστος και, σε αντιστοιχία, η μακροχρόνια καμπύλη προσφοράς είναι εκείνη όπου το οριακό κόστος είναι μεγαλύτερο από το συνολικό κόστος. Η επιχείρηση παράγει βραχυχρόνια εφόσον καλύπτει το μεταβλητό της κόστος. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η καμπύλη προσφοράς του παραγωγού καθορίζεται από το τμήμα εκείνο της καμπύλης του οριακού κόστους που βρίσκεται πάνω από τη καμπύλη του AVC γιατί το τμήμα αυτό δείχνει τη ποσότητα που ο παραγωγός προσφέρει σε οποιαδήποτε τιμή καλύπτοντας το μέσο μεταβλητό κόστος παραγωγής. Η Μακροχρόνια καμπύλη προσφοράς του παραγωγού συμπίπτει με το τμήμα της καμπύλης του οριακού κόστους που βρίσκεται πάνω από το ελάχιστο σημείο της καμπύλης του μέσου κόστους γιατί μακροχρόνια δεν υπάρχουν σταθερά έξοδα και επομένως οι καμπύλες μέσου κόστους και AVC συμπίπτουν. ΘΕΜΑ Υποθέστε πως η επιχείρηση σας δραστηριοποιείται σε πλήρως ανταγωνιστικές αγορές και, λόγω της εξειδίκευσης της παραγωγικής διαδικασίας που εφαρμόζει η επιχείρηση σας, έχετε τη δυνατότητα να διαφοροποιείτε τις τιμές σε δυο αγορές. Α) Να ορίσετε το πρόβλημα πολιτικής που πρέπει να ακολουθήσει η επιχείρηση για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της. Β) Αν έχετε ως δεδομένα ότι: το συνολικό κόστος της επιχείρησης είναι TC=10+15Q, και οι συναρτήσεις ζήτησης είναι Q1=10-0.5P1, Q2=15-0.3P2. Ποια πολιτική πρέπει να εφαρμοστεί; Λύση Β) Ορίζουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης. Αν η επιχείρηση αποφασίσει να μη διαφοροποιήσει τις τιμές τότε P=P1=P2. Επειδή, Q=Q1+Q2 τότε ορίζεται το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών ως ακολούθως: max (Q)  max TR(Q)  TC (Q) Αν η επιχείρηση αποφασίσει να διαφοροποιήσει τις τιμές τότε P1≠P2. Επειδή, Q=Q1+Q2 τότε ορίζεται το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών ως ακολούθως: max (Q1 , Q2 )  max TR(Q1 , Q2 )  TC (Q1, Q2 ) Το πρόβλημα μεγιστοποίησης στη περίπτωση αυτή είναι διμεταβλητό. Β) Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι: Για τη περίπτωση ίδιας τιμής: Q  Q1  Q2  25  0.8P  P  31.25  1.25Q  TR  PQ  31, 25Q  1.25Q 2 TC  10  15Q max  (Q)  max TR(Q)  TC (Q)   max 31.25Q  1.25Q 2  10  15Q   max  (Q)  max 16.25Q  1.25Q 2  10  d  0  16.25  2.5Q*  0  Q*  6.5  P*  23.185 dQ Άρα τα συνολικά μέγιστα κέρδη είναι: (Q*)  16.25Q * 1.25Q *2 10  42.4375 Αν διαφοροποιήσει τις τιμές είναι: 2 2 TR  PQ 1 1  P2Q2  20Q1  2Q1  50Q2  3.3Q2 TC  10  15  Q1  Q2  max  (Q1 , Q2 )  max TR(Q1 , Q2 )  TC (Q1 , Q2 )   max  (Q1 , Q2 )  max  20Q1  2Q12  50Q2  3.3Q22  10  15  Q1  Q2    max  (Q1 , Q2 )  max 5Q1  2Q12  35Q2  3.3Q22  10  d  0  5  4Q1  0  Q1*  5 / 4 dQ1 d  0  35  6.6Q2  0  Q2 *  5.3 dQ2 Άρα τα συνολικά μέγιστα κέρδη είναι: (Q1,2 *)  5Q1  2Q12  35Q2  3.3Q22  10  85.928 Προτιμάται η πολιτική διαφοροποίησης τιμών. ΘΕΜΑ 2ο Α) Ποιες συνθήκες είναι αναγκαίες για τη μεγιστοποίηση των κερδών κάθε επιχείρησης ανεξάρτητα από τη μορφή αγοράς που λειτουργεί; Β) Τι είναι ασφάλιστρο κινδύνου για μια επένδυση; Ποιος είναι ο σημαντικός παράγοντας του ασφάλιστρου κινδύνου; Δώστε ένα παράδειγμα για δυο επενδύσεις. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Οι συνθήκες που είναι αναγκαίες για τη μεγιστοποίηση των κερδών κάθε επιχείρησης ανεξάρτητα από τη μορφή αγοράς που λειτουργεί είναι: 1. Για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος σε ορισμένο επίπεδο παραγωγής είναι αναγκαίο το MC να ισούται με το MR και επιπλέον η καμπύλη του MC να τέμνει τη καμπύλη του MR από κάτω προς τα πάνω. 2. Σε επίπεδο παραγωγής κατώτερο από το μέγιστο είναι πάντοτε το MR > MC και σε ανώτερο του από αυτό το MC > MR 3. Στο επίπεδο ισορροπίας τα συνολικά έσοδα ισούνται ή υπερβαίνουν το συνολικό μεταβλητό κόστος. Με άλλα λόγια είναι απαραίτητο τα μέσα έσοδα, τιμή, να ισούνται ή να υπερβαίνουν το μέσο μεταβλητό κόστος. Β) Ασφάλιστρο κίνδυνου είναι η ελάχιστη διαφορά ανάμεσα στην αναμενόμενη τιμή της επένδυσης και την απόδοση μιας σίγουρης κατάστασης που θα έκανε αυτόν που λαμβάνει τις αποφάσεις αδιάφορο απέναντι στη σίγουρη κατάσταση και την επένδυση. Ο σημαντικός παράγοντας είναι η διακύμανση της επένδυσης. Για δυο επενδύσεις με ίδια αναμενόμενη τιμή και διαφορετικές διακυμάνσεις, η υψηλότερη διακύμανση είναι μεγαλύτερο ασφάλιστρο κινδύνου. Αρά η απόδοση γίνεται μεγαλύτερη όσο ο κίνδυνος αυξάνεται. ) ΘΕΜΑ 3ο Α) Δώστε τον ορισμό του οριακού λόγου τεχνικής υποκατάστασης για τους παραγωγικούς συντελεστές του κεφαλαίου και της εργασίας. Αποδείξτε ότι έχει αρνητική κλίση και δώστε την ερμηνεία του αρνητικού προσήμου. B) Δίνεται η συνάρτηση παράγωγης με εισροές το κεφάλαιο Κ και την εργασία L (Cobb-Douglas) με α σταθερά: Q( K , L)  aK 1/2 L1/2 1.Να γράψετε τη συνάρτηση Lagrange για τη μεγιστοποίηση της Q( K , L) , αν w και r είναι οι παραγωγικοί συντελεστές εργασίας και κεφαλαίου αντίστοιχα. 2. Να γράψετε τις συνθήκες πρώτης τάξης και να βρείτε τη σχέση μεταξύ κεφαλαίου και εργασίας ως συνάρτηση των παραγωγικών συντελεστών w και r. 3. Βρείτε την ελαστικότητα κλίμακας παραγωγής και υποκατάστασης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: A) Ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης είναι η ποσότητα που δείχνει πόσες μονάδες κεφαλαίου πρέπει να θυσιάσουμε για να αποκτήσουμε μια επιπλέον μονάδα εργασίας στην ίδια (χωρίς να μετακινούμαστε) καμπύλη ίσης παραγωγής. Έστω δυο παραγωγικοί συντελεστές Κ, L με συνάρτηση παραγωγής F(K,L). Το ολικό διαφορικό dF  0  είναι μηδέν MPL F F dK w dK  dL  0  RTS    K L dL MPK r άρα έχουμε: B) 1. L  aK 1/2 L1/2   (wL  rK  TC ) 2. L a 1/2 1/2  L K  r  0 K 2 L a 1/2 1/2  L K  w  0 L 2 L  wL  rK  TC  0  Διαιρώντας τις δυο πρώτες σχέσεις είναι: RTS  MPL w K w    MPK r L r 3. Ελαστικότητα κλίμακας παραγωγής: Είναι: eQ , K  MPK K L  1/ 2 και eQ , L  MPL  1/ 2 Q Q Άρα η ελαστικότητα κλίμακας είναι: eQ, K , L  eQ, K  eQ, L  1 Ελαστικότητα υποκατάστασης:  d  RTS  ( K / L) ( K / L)  1 d ( K / L) RTS ( K / L) ΘΕΜΑ 3 Η συνάρτηση κόστους μιας επιχείρησης είναι TC = 8 + 4Q + Q2 και FC=8 Να βρεθούν οι συναρτήσεις σταθερού, μεταβλητού, οριακού, μέσου μεταβλητού και μέσου (συνολικού) κόστους. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Σταθερό κόστος: FC=8 Μεταβλητό κόστος: VC = 4Q + Q2 Οριακό κόστος: MC = 4 +2Q Μέσο Μεταβλητό κόστος : AVC=VC/Q = 4+Q Μέσο Συνολικό κόστος: ATC=TC/Q= 8/Q + 4+Q ΘΕΜΑ 5 Η συνάρτηση Cobb-Douglas δίδεται από τη σχέση Q=La K1-α όπου L η εργασία και Κ το κεφάλαιο, α σταθεροί όρος και 0<α<1 ι) Να δείξετε ότι παρουσιάζει σταθερες αποδόσεις κλίμακας. ιι) Να βρείτε και να αναλύσετε τον τεχνικό λόγο οριακής υποκατάστασης. ιιι) Να δείξετε ότι η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι ίση με 1. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ι) επειδή Q=La K1-α το άθροισμα των έκθετων είναι α+1-α=1 άρα σταθερές αποδόσεις κλίμακας ιι) RTS=MP(L)/MP(K) = (a/1-a)*(K/L) iii) d(RTS)/d(K/L)= (a/1-a) Άρα: σ = (a/1-a)/(K/L) * (a/1-a)*(K/L) = 1 ΘΕΜΑ 4 Α) Αν η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν Α της επιχείρησης ΦΙΡΜ(Α) είναι p  101  Q  και TC=Q, ποια είναι τα μέγιστα κέρδη της επιχείρησης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: (α)   pQ  TC  pQ  Q  101  Q  Q  Q  100Q  Q 2  max   Q   0  100  2Q*  0  Q Q*  50  p*  101  Q*  101  50  51 Β) Ποιο είναι το πλεόνασμα του καταναλωτή και ποιο του παραγωγού; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: (β) Πλεόνασμα καταναλωτή Η τομή του MR και του MC γίνεται στο Ε, όπου Q=50. Η τιμή προκύπτει από την καμπύλη ζήτησης στο σημείο Γ και είναι p=0Β=51. Το πλεόνασμα του καταναλωτή είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Αλλά (ΒΓ)=Q=50. (ΑΒ)=(Α0)-(Β0)=10151=50. Άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι (50*50)/2=1250. Πλεόνασμα παραγωγού Εν προκειμένω AC=MC=1. Άρα το πλεόνασμα του παραγωγού είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΔΒΓΕ. Αλγεβρικά είναι: PS  ( p*  AC )Q*  (51  Q* * )Q  (51  1)50  50  50  2500 Q* ΘΕΜΑ 5 Έστω ότι σε μια αγορά δραστηριοποιούνται Ν επιχειρήσεις με qi προϊόντα (κάθε μια διαφορετικό). Η συνάρτηση ζήτησης για κάθε επιχείρηση είναι: pi  10020  qi  Ποια είναι η συνολική συνάρτηση ζήτησης της αγοράς;  Ποιες είναι οι συναρτήσεις κόστους;  Ποια είναι η τιμή ισορροπίας για κάθε επιχείρηση;  Να βρεθεί ο αριθμός των επιχειρήσεων της αγοράς και το συνολικό παραγόμενο προϊόν της ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: N Η συνάρτηση ζήτησης είναι p  10020   qi  10020  Nqi i 1 Οι συναρτήσεις κόστους είναι: TCi  100  qi 2 2  100  100  qi ACi     qi  qi  qi  MCi   TCi  100  qi  qi qi 2   2q i Κάθε εταιρία παράγει στο σημείο όπου το οριακό κόστος είναι ίσο με το μέσο κόστος (εναλλακτικά στο ελάχιστο μέσο κόστος) δηλαδή όταν ACi  MCi  100 100  qi  2qi   qi  qi  100  10 qi qi (1) ή όταν  100    qi  q AC i   0   100  1  0  q 2  100  q  100  10 min AC i  0  i i i 2 qi qi qi qi Εφόσον η τιμή ισούται με το οριακό κόστος p  MCi  2qi  2 10  20 (2) Από τις εξισώσεις (1) & (2) έπεται: p  20  10000  1000   20  10020  N 10  N  p  10020  Nqi  10020  N 10 10 Δεδομένου ότι Ν=1000 βρίσκουμε το Q: N Q   qi  Nqi  1000 10  10000 i 1 Ελέγχουμε ότι, πράγματι, τα κέρδη κάθε επιχείρησης είναι μηδενικά:  100   qi   qi   i  pqi  qi ACi  MCi qi  qi ACi  2qi 2  qi   2qi 2  100  qi 2  qi 2  100  102  100  0 Μπορούμε επίσης να δούμε ότι:  i  pqi  qi ACi  MCi qi  qi ACi  MCi qi  qi MCi  0 αφού MC=AC.