Τυπολόγιο Εξετάσεων

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013
(kx + λ y ) o z = k ( x o z ) + λ ( y o z ) ,
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ
Ο ανάστροφος πίνακας ενός m × n πίνακα
A = [aij ] σηµειώνεται µε AT = [a ji ] , (δηλαδή, οι
Ι.
γραµµές γίνονται στήλες και αντίστροφα).
T
T
T
Ιδιότητες: ● ( AT )T = A
● ( A + B) = A + B
ΙΙ.
●
(λ A)T = λ AT , ∀ λ ∈ R
Ένας
m×n
πίνακας
●
A = [aij ]
ονοµάζεται
x o x ≥ 0 και x o x = 0 ⇔ x = 0
To µέτρο του διανύσµατος x ορίζεται από τον
x = xox .
τύπο
Η γωνία ω∈ [0, π] των x , y ∈ R n \ {0} ορίζεται
συµµετρικός όταν ισχύει aij = a ji δηλ. AT = A
●
Ο αντίστροφος ενός n × n τετραγωνικού πίνακα
A = [aij ] (όταν υπάρχει) συµβολίζεται µε A−1 και
από τον τύπο: cos ω =
ισχύει AA−1 = AA−1 = I n .
Ιδιότητες: Αν Α, Β αντιστρέψιµοι n×n πίνακες
−1 −1
T −1
−1 T
● (A ) = A
● (A ) = (A )
−1
−1 −1
k −1
−1 k
● ( AB ) = B A
● (A ) = (A ) ∀ k ∈Z
Ανάπτυγµα Laplace της ορίζουσας τετραγωνικού
πίνακα A = [aij ] ως προς την i γραµµή ή την j
στήλη: det( A) = A =
a11
a21
=
M
an1
xo y =0 ⇔ x+ y
Ι.
ΙΙ.
IV.
•
όπου
2
= x
2
2
+ y
λx = λ x , ∀ λ ∈R
Προβολή p διανύσµατος x στη διεύθυνση
xo y
2
y
•
Το
y.
ορθογώνιο συµπλήρωµα
ενός
E ⊆ Rn
είναι
ο
υπόχωρος
υπόχωρου
E ⊥ = { y ∈ R n : x y = 0, ∀ x ∈ E } .
Επιπλέον,
●
det( A ) = det( A)
E ⊕ E = R , (E ) = E .
●
det(λA) = λ n det( A) , ∀ λ ∈ R
•
●
det( AB) = det( A) det( B)
●
det( A ) = [ det( A)] , ∀ k ∈ Z \{0}
●
A αντιστρέψιµος ‹ det( A) ≠ 0
ορθοκανονική αν και µόνο αν τα διανύσµατα είναι
ανά δύο κάθετα και µοναδιαία (δηλ.
ui o u j = 0 για i ≠ j , και ui = 1 ) .
T
k
k
τότε A−1 =
⊥
όπου adj ( A) ο ανάστροφος του πίνακα µε
στοιχεία τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των
στοιχείων του A .
* * * * * * * * * * * *
● Ένα µη κενό υποσύνολο U του πραγµατικού
διανυσµατικού χώρου V είναι υπόχωρος του δ.χ.
V αν και µόνο αν ∀ k , λ ∈ R και ∀ u1 , u2 ∈ U
ισχύει k u1 + λ u2 ∈ U .
●
Τα διανύσµατα
v1 , v 2 ,K , vk είναι γραµµικά
ανεξάρτητα όταν
λ1v1 + λ 2 v 2 + L + λ k vk = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = L = λ k = 0.
● Ένα
σύνολο {v1 , v 2 ,K , vk } του δ.χ. V είναι µία
βάση του V αν και µόνο αν
I. τα διανύσµατα v1 , v 2 ,K , v k είναι γραµµικά
ανεξάρτητα
IΙ. Ο δ.χ. V παράγεται από τα v1 , v 2 ,K , v k
και τότε η διάσταση του V είναι dim V = k .
● Αν Β={ u1 , u2 , K , uk } (διατεταγµένη) βάση του
V και x ∈ V , τότε x = ∑ i=1 ai ui , µε µοναδικά
k
ai ∈ R . Η στήλη [a1 a2… ak ]T λέγεται στήλη
συντεταγµένων του x ως προς
συµβολίζεται µε [ x ]B .
την B και
Έστω V ένας πεπερασµένης διάστασης δ.χ. και
U , W υπόχωροι του V . Τότε ισχύει:
dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W )
● Για το ευθύ άθροισµα των υποχώρων
U ,W ⊆ V του δ.χ. V ισχύει V = U ⊕ W ⇔
( V = U + W και U ∩ W = {0} ) ⇔
( V = U + W και dim V = dim U + dim W ).
* * * * * * * * * * * *
Εσωτερικό γινόµενο Ένα εσωτερικό γινόµενο
στον R n είναι µία συνάρτηση που σε κάθε ζεύγος
( x , y ) ∈ R n × R n , αντιστοιχεί ένα πραγµατικό
αριθµό x o y µε τις ιδιότητες:
●
Μία βάση
•
1
adj ( A)
det( A)
⊥ ⊥
n
u1 , u2 ,K , uk ∈ R n
ονοµάζεται
Αν ξ1 , ξ 2 ,K , ξ n είναι βάση του R n , τα
διανύσµατα
η1 = ξ1 και
ηj = ξ j −
V , από τις ισότητες
f (u1 ) = a11v1 + a21v2 + L + am1vm
f (u2 ) = a12 v1 + a22v 2 + L + am 2 vm
M
f (un ) = a1n v1 + a2 n v 2 + L + amn v m
ορίζεται ο m × n πίνακας αναπαράστασης της f
 a11 a12 L a1n 
a
a22 L a2 n 
A =  21
,
 M
M
M 


 am1 am 2 L amn 
1
x o y ≤ x ⋅ y (Cauchy-Schwarz)
του y είναι p =
U και Β2={ v1 , v 2 ,K , v m } διατεταγµένη βάση του
και A [ x ]B = [ f ( x ) ]B , για κάθε x ∈ U .
x+ y ≤ x + y
an 2 L ann
Aij = (−1)i+ j M ij και M ij η ελάσσων ορίζουσα του
ij-στοιχείου.
Ιδιότητες ορίζουσας ενός n × n πίνακα A :
xo y
.
x ⋅ y
Τα διανύσµατα x, y ∈ R n λέγονται κάθετα (ή
ορθογώνια) αν και µόνο αν x o y = 0 .
Για το εσωτερικό γινόµενο και το µέτρο των
διανυσµάτων x, y ∈ R n ισχύουν οι ιδιότητες:
ΙIΙ.
a12 L a1n
n
n
a22 L a2 n
= ∑ ai k Aik = ∑ ak j Ak j
M
M
k =1
k =1
ΙΙΙ. Αν Β1={ u1 , u2 ,K , un } διατεταγµένη βάση του
x o y = y o x , ∀ x, y ∈ R n
ΙΙΙ.
●
( AB )T = BT AT
Ι.
dim U = dim ker f + dim Im f
ΙΙ. Η f είναι 1-1 αν και µόνο αν ker f = {0} .
∀ k,λ ∈ R
∀ x, y, z ∈ R ,
n
πίνακα είναι οι n ρίζες του χαρακτηριστικού
πολυωνύµου
 λ − a11 − a12 L − a1n 
 −a
λ − a22 L −a2 n 
21
p(λ ) = det 
 M
M
M 


−
a
−
a
−
ann 
L
λ
n1
n2

= λ n + an−1λ n−1 + L + a1λ + a0
ξ j o η1
η1 o η1
η1 −
ξ j o η2
η2 o η2
η2 − L −
ξ j o η j −1
η j−1 o η j −1
η j −1
για j = 2, 3, K , n
είναι κάθετα µεταξύ τους, τα δε διανύσµατα
η
η
η
u1 = 1 , u2 = 2 , K , un = n
η1
η2
ηn
Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος, τότε οι
ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του.
Για κάθε ιδιοτιµή λi , i = 1, 2,K , n , τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη-µηδενικές
λύσεις
A AT = AT A = I ,
ή
II.
III.
του
οµογενούς
M
an1 x1 + an 2 x2 + L + (ann − λi ) xn = 0
•
και
Για τις ιδιοτιµές του A ισχύουν:
det A = λ1 ⋅ λ2 ⋅ L ⋅ λn = ( −1) n a0
trA = λ1 + λ2 + L + λn = −an−1 ,
όπου a0 , an−1 οι αντίστοιχοι συντελεστές του
χαρακτηριστικού πολυωνύµου p (λ ) .
det A = 1,
Αν λi ιδιοτιµή και
Ax = x ,
Ax o Ay = x o y
V.
Αντίστροφος ορθογωνίου και γινόµενο
ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας.
IV.
* * * * * * * * * * * *
Γραµµικές απεικονίσεις (µετασχηµατισµοί)
Μία απεικόνιση f : U → V ( U , V πραγµατικοί
διανυσµατικοί χώροι) ονοµάζεται γραµµική όταν
f (k x + λ y ) = k f ( x ) + λ f ( y ) , ∀ x, y ∈ U
και
∀ k , λ ∈ R . (Αν U = V λέγεται και γραµ.
µετασχηµατισµός του
U ). Το σύνολο
ker f = { x ∈ U : f ( x ) = 0 } ⊆ U ονοµάζεται
πυρήνας της f και είναι υπόχωρος του U .
Το σύνολο Im f = { y ∈V : f ( x ) = y, x ∈ U } ⊆ V
λέγεται εικόνα της f και είναι υπόχωρος του V .
Η f : U → V λέγεται ένα-προς-ένα (1-1) αν
∀ x, y ∈ U
f ( x) = f ( y) ⇒ x = y .
Η f : U → V λέγεται επί αν f (U ) = V .
• Για τη γραµµική απεικόνιση
ισχύουν:
T
a21 x1 + (a22 − λi ) x2 + L + a2 n xn = 0
ισοδύναµα
A−1 = AT , ονοµάζεται ορθογώνιος.
Αν Α ορθογώνιος, τότε ως προς το σύνηθες
εσωτερικό γινόµενο ισχύουν:
I. Οι στήλες του (και οι γραµµές του) αποτελούν
ορθοκανονική βάση του R n ,
x = [ x1 x2 K xn ]
συστήµατος
(a11 − λi ) x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n .
•
Ο πραγµατικός n × n πίνακας A µε την
ιδιότητα
2
•
Αν για τους διανυσµατικούς χώρους ισχύει
dim U = dim V = n , τότε για τη γραµµική
απεικόνιση f : U → V οι ακόλουθες προτάσεις
είναι ισοδύναµες.
−1
Ι. f αντιστρέψιµη (υπάρχει η f )
II.
f είναι 1-1
III. ker f = {0}
IV. f είναι επί
* * * * * * * * * * * *
Ιδιοτιµές – Ιδιοδιανύσµατα πίνακα
Για έναν n × n πίνακα A οι ιδιοτιµές λi του
f :U →V
xi αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα
του A , τότε λ , xi είναι ιδιοποσά του Ak .
k
i
Οι ιδιοτιµές πραγµατικού συµµετρικού πίνακα
είναι αριθµοί πραγµατικοί, τα δε ιδιοδιανύσµατα
που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι
κάθετα.
● Ο n × n πίνακας A λέγεται διαγωνοποιήσιµος,
όταν είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα D , δηλ.
όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος,
ώστε
A = PDP −1 . Ο διαγώνιος πίνακας D έχει
διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του A και ο P
είναι πίνακας µε στήλες αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα που αποτελούν βάση του R n .
● Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν:
● Για κάθε ιδιοτιµή αλγεβρικής πολλαπλότητας k
υπάρχουν ακριβώς k γραµµικά ανεξάρτητα
ιδιοδιανύσµατα, ή, αλλιώς, η γεωµετρική
πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την
αλγεβρική της πολλαπλότητα (και αντιστρόφως)
● Εχει n διακεκριµένες ιδιοτιµές .
● Είναι συµµετρικός πραγµατικός. Tότε υπάρχει
ορθογώνιος πίνακας Q , τέτοιος ώστε
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013
A = Q diag (λ1 , λ2 , K , λn ) Q .
●
x0 ∈ A αν lim f ( x) = f ( x0 ) .
x→ x0
Αν f (λ ) είναι πολυώνυµο, τότε
f ( A) = P f (D) P = Pdiag ( f (λ1), f (λ2 ),K, f (λn )) P
−1
●
−1
σηµείο x0 ∈ A αν υπάρχει το όριο
Αν υ (λ ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του
πολυωνύµου f (λ ) δια του χαρακτηριστικού
πολυωνύµου p (λ ) , τότε f ( A) = υ ( A) .
* * * * * * * * * * * *
Τετραγωνικές µορφές
Το πολυώνυµο των πραγµατικών µεταβλητών
x1 , x2 ,K , xn της µορφής F ( x ) = x T Ax , όπου
T
και
A
n×n
* * * * * * * * * * * *
Παράγωγος συνάρτησης ( A = (a, b) ⊆ R)
Η συνάρτηση f : A → R είναι παραγωγίσιµη στο
Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A ισχύει
p ( A) = An + an −1 An −1 + L + a1 A + a0 I = O .
x = [ x1 x2 K xn ]
συµµετρικός
πίνακας, ονοµάζεται τετραγωνική µορφή. Αν
A = Qdiag (λ1 , λ2 , K, λn )QT , τότε η
F ( x)
µετασχηµατίζεται στη διαγώνια µορφή
F ( y ) = λ1 y12 + λ2 y22 + L + λn yn2 ,
lim
x→ x 0
(αρνητικά) ορισµένη, αν λ1 , λ2 ,K , λn ≥ 0 ( ≤ 0 )
λέγεται θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη, ενώ, σε
κάθε άλλο συνδυασµό προσήµων των λi
* * * * * *
* * * *
*
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A ⊆ R
f :A→R
ή y = f ( x), x ∈ A ,
xa y
Γραφική παράσταση συνάρτησης f
C f = {σηµε ίο M ( x, y ) του επ / δου xy : y = f ( x )}
f δεν είναι συνεχής τότε f δεν είναι
παραγωγίσιµη.
Ιδιότητες παραγώγων: Αν f, g παραγωγίσιµες
● ( cf ( x) )′ = c ( f ( x ) )′ , c ∈ R
( f ( x) ± g ( x) )′ = ( f ( x) )′ ± ( g ( x) )′
●
( f ( x) ⋅ g ( x) )′ =
●
●
1
,
f′
● Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης
f ( g ( x)) είναι
Άνω φραγµένη συνάρτηση f : A → R
Υπάρχει αριθµός s (άνω φράγµα της f ) µε την
ιδιότητα: f ( x ) ≤ s , ∀ x ∈ A .
(Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγµένη).
Φραγµένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω και
κάτω φραγµένη.
● 1-1 συνάρτηση f : A → R
●
f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ,
ισοδύναµα: αν f ( x1 ) = f ( x2 ) , τότε x1 = x2 .
Σύνθεση της f : A → R µε την g : B → R ,
( g o f )( x) = g ( f ( x )) , ∀x ∈ A για τα οποία
f ( x) ∈ B .
Αντίστροφη συνάρτηση µιας 1-1 συνάρτησης f
: f ( A) → A , που αντιστοιχίζει κάθε
στοιχείο y ∈ f ( A) στο µοναδικό x , για το οποίο
ισχύει y = f ( x ) , δηλ. f −1 ( y ) = x ⇔ f ( x) = y .
Όρια και συνέχεια συναρτήσεων
Όριο συνάρτησης στο x0 - Πλευρικά όρια
lim f ( x ) = l ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = l
x→ x0+
Κριτήριο παρεµβολής:
Αν g ( x ) ≤ f ( x) ≤ h( x)
κοντά στο
x0
και
lim h( x) = lim g ( x ) = l , τότε lim f ( x) = l .
x→ x0
x→ x0
Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση που
x → +∞ , x → −∞ .
sin x
cos x − 1
lim
= 1 , lim
=0
x→0
x→0
x
x
Συνέχεια
x0 είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου.
β) Αν f ′( x0 ) = 0 και f ′′( x0 ) < 0 , τότε το
x0 είναι σηµείο τοπικού µεγίστου.
Ασύµπτωτες
● Κάθετη ασύµπτωτη η ευθεία x = a ∈ R , αν
lim f ( x) = ±∞ ή lim f ( x ) = ±∞
x→a−
●Οριζόντια
x→a+
ασύµπτωτη η ευθεία y = b , b ∈ R ,
αν lim
f ( x) = b ή
x →∞
●
lim f ( x ) = b
x →−∞
Πλάγια ασύµπτωτη της C f στο ±∞ η ευθεία
( sin x ) ' = cos( x )
( cos x ) ' = − sin( x )
f ( x)
= a ∈ R και xlim(
f ( x) − ax) = b ∈ R
→±∞
x
* * * * * * * * * * * *
Σηµαντικά θεωρήµατα
Έστω συνάρτηση f : [a, b] → R .
1
( tan x ) ' = 2
cos x
( e x )' = e x
Bolzano: Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] και
f (a ) ⋅ f (b) < 0 , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
( ln x ) ' =
( x )' = k x
k
c∈R
k −1
,
( a ) ' = ln(a ) ⋅ a
x
x
,
a ≠1> 0
1
( arctan x ) ' =
1 − x2
1
1 + x2
Κανόνας l’ Hospital
Πρώτη διατύπωση: Αν f (a ) = g (a ) = 0
f ′(a ), g ′(a) υπάρχουν και g ′(a) ≠ 0 , τότε
lim
⇔ xlim
→±∞
k ∈R
1
x
( arcsin x ) ' =
f ( x)
x → a g ( x)
= lim
f ′( x )
x → a g ′( x)
=
µε
f ( x), g ( x) διαφορίσιµες στο
και
Ενδιάµεσης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο
[a, b] και f (a ) ≠ f (b) , τότε, για κάθε αριθµό ρ
µεταξύ των f (a ) και f (b) υπάρχει ένα
τουλάχιστον x0 ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = ρ .
[a, b] . Επιπλέον υπάρχουν
x1 , x2 ∈ [a, b] έτσι
ώστε f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) , ∀ x ∈ [a, b] .
f ′(a )
g ′(a)
( a, b ) ,
x0 ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = 0 .
Μέγιστης - ελάχιστης τιµής: Αν η f είναι
συνεχής στο [a, b] , τότε η f είναι φραγµένη στο
Θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ): Αν η συνάρτηση
f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο
(a, b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (a, b)
∆εύτερη διατύπωση : Αν f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 ,
και
f (b) − f (a )
= f ′(ξ).
b−a
Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] ,
g ′( x) ≠ 0 , εκτός πιθανώς του x0 ∈ (a, b) ,
τέτοιο ώστε :
f ( x)
f ′( x)
= lim
g ( x) x→ x0 g ′( x )
Ο κανόνας ξαναχρησιµοποιείται αν ισχύουν οι
ίδιες συνθήκες και για τις παραγώγους των
f ( x), g ( x) .
Rolle:
παραγωγίσιµη στο (a, b) , και f (a ) = f (b) , τότε
υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (a, b) τέτοιο ώστε :
f ′(ξ) = 0 .
Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο (a, b) , και
f ′( x ) = 0, ∀ x ∈ (a, b) , τότε f ( x ) = c.
Cauchy: Αν οι f ( x), g ( x) είναι ορισµένες και
συνεχείς στο [a, b] , διαφορίσιµες στο (a, b) και
g ′( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ (a, b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον
τότε
lim
x→ x 0
±∞
, ∞ − ∞, ∞ ⋅ 0
m∞
µπορούν να µετατραπούν ως εξής
f 1/ g
f
∞/∞:
=
0 × ( ±∞ ) : fg =
g 1/ f
1/ g
● Οι
x→ x0−
α) Αν f ′( x0 ) = 0 και f ′′( x0 ) > 0 , τότε το
y = ax + b , αν xlim
( f ( x) − ax − b ) = 0
→±∞
(c)' = 0 ,
x1 , x2 ∈ A αν x1 ≠ x2 , τότε
df ( g ( x)) df ( g ) dg ( x )
=
⋅
dx
dg
dx
Παράγωγοι συνήθων συναρτήσεων
Συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο A
f ( x1 ) > f ( x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ A µε x1 < x2 .
x→ x0
●
( f )′ =
●
x→ x0
τότε το x0 είναι σηµείο καµπής.
αντίστροφη f −1 είναι παραγωγίσιµη και
Συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο A
f ( x1 ) < f ( x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ A µε x1 < x2 .
είναι η f
και f ′′( x ) < 0 για x0 < x < x0 + ε (ή αντίστροφα),
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
( f ( g ( x)) )′ =
f ′( x) < 0 ,
x0 < x < x0 + ε , τότε το x0 είναι σηµείο τοπικού
 f ( x ) ′ f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x)
, g ( x) ≠ 0

 =
g 2 ( x)
 g ( x) 
Aν επιπλέον f ′ ≠ 0 και f αντιστρέψιµη τότε η
●
−1
f είναι παραγωγίσιµη τότε f συνεχής
● Αν
●
Από πρώτη παράγωγο
● Αν f ′( x ) > 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f γνησίως
αύξουσα.
● Αν f ′( x ) < 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f γνησίως
φθίνουσα.
● Αν f ′( x0 ) = 0 , για κάποιο x0 ∈ A και υπάρχει
µεγίστου. Ανάλογα για σηµείο τοπ. ελαχίστου.
Από δεύτερη παράγωγο
● Αν f ′′( x) > 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f στρέφει
τα κοίλα προς τα πάνω στο διάστηµα Ι.
● Αν f ′′( x) < 0, ∀x ∈ I ⊆ A , τότε η f στρέφει
τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα Ι.
●Αν υπάρχει ε>0 µε f ′′( x ) > 0 για x0 − ε < x < x0
−1
ονοµάζεται αόριστη.
Για οποιαδήποτε
στο σηµείο
Cf
Εφαρµογές των παραγώγων στην σχεδίαση της
γραφικής παράστασης C f της f : A → R .
ε>0 : f ′( x) > 0 , x0 − ε < x < x0 και
( x0 , f ( x0 )) είναι y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 )
● Αν
T
Αν λ1 , λ2 ,K, λn > 0 ( < 0 ) η F λέγεται θετικά
f ( x) − f ( x0 )
= f ′( x0 ) ∈ R
x − x0
Η εφαπτοµένη ευθεία της
όπου y = [ y1 y2 K yn ] = QT x .
*
f : A → R είναι συνεχής στο
Η συνάρτηση
T
απροσδιόριστες µορφές
ένα c ∈ (a, b) :
1 / g −1 / f
∞−∞: f − g =
1 / fg
Οι απροσδιόριστες µορφές
µετατρέπονται µε βάση τη σχέση
●
lim ( g ( x ) ln f ( x ))
lim f ( x ) g ( x ) = e x −>a
x→a
, f ( x)
00 , + ∞ 0 , 1∞
g (x)
= e g ( x )ln f ( x )
f (b) − f (a ) f ′(c)
=
g (b) − g (a) g ′(c )
Darboux: Αν f παραγωγίσιµη στο [a, b]
µε f ′(a ) > f ′(b) και c ∈ R µε f ′(b) < c < f ′(a ) ,
τότε υπάρχει ξ ∈ (a, b) τέτοιο ώστε f ′(ξ) = c.
(παρόµοια, αν f ′(a ) < f ′(b) ).
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013
Εφαρµογή του ΘΜΤ για την προσέγγιση ρίζας
Αν η εξίσωση x = f ( x ) έχει ρίζα a , µε f
παραγωγίσιµη στο [ a − h, a + h] , και
xn = f ( xn−1 ), n = 1, 2,..., συγκλίνει στη ρίζα a .
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
∫
∫
●
b
∫
f ( x )dx =
∫ f ( x)dx + ∫
a
●
a
∫
●
b
a
a
●
a
b
b
a
b
a
a
b
f ( x )dx = f (ξ )(b − a)
a
ή
αντιπαράγωγος
F ( x ) + c = ∫ f ( x )dx ⇔ ( F ( x ) + c )′ = f ( x )
Ιδιότητες
∫ ( c f ( x) + c h( x) ) dx = c ∫ f ( x)dx + c ∫ h( x)dx
2
1
x
∫ x dx = a + 1 + c,
1
∫ x dx = ln x + c
a
είναι L{ f (t )}( x) =
a ∈ R −{−1}
∫ e dx = e + c
* * * * * *
* * * *
a
b
S = ∫ 1 +  f ′ ( x )  dx
2
+∞
b
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
b →+∞
b
a
b
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
(β’ είδους) ∫
a
a→ −∞
f ( x ) dx = lim+ ∫
( b ιδιόµορφο σηµείο)
n→∞
n→∞
* * * * * * * * * * *
Ειδικές Κατηγορίες Σειρών
∞
∑r
n
r < 1 : συγκλίνει.
Άθροισµα:
ε →0
a
b−ε
a
f ( x ) dx
*
n→∞
∞
δ) Εναλλάσσουσες Σειρές:
∑ ( −1)
*
n
an , an > 0 ή
n =0
an < 0 για όλα τα n = 0,1, 2 ,...
*
*
*
*
*
*
* *
ε) Αναπτύγµατα Taylor: Αν η συνάρτηση f και
*
Άθροισµα n όρων α.π.: Sn =
n ⋅ [2a1 + ( n − 1) ⋅ ω]
2
Άθροισµα n πρώτων όρων γ.π.:
n−1
λn −1
,
λ −1
όροι γ.π. τότε b = a ⋅ c .
Σηµαντικά όρια ακολουθιών
Το x ∈ R παραµένει σταθερό καθώς
n → ∞ (στους τύπους που υπάρχει x )
2
1
lim = 0
n→∞ n
ln n
=0
n
το
lim n =1
lim x = 0, x < 1
lim n n! =∞
lim n x = 1, x > 0
n
n→∞
n→∞
συνεχείς στο
n
και αν η
f (n)
είναι
διαφορίσιµη στο (a, b) , τότε για ξ ∈ ( a, x ) ισχύει
2
f (1) (a )
f (2) ( a)
x − a) +
(
( x − a) +L
1!
2!
n
f ( n ) (a)
L+
( x − a ) + Rn ( x)
n!
n +1
f ( n+1) (ξ )
( x − a ) είναι το υπόλοιπο
(n + 1)!
της πολυωνυµικής προσέγγισης n-βαθµού.
Όταν a = 0 , τότε το ανάπτυγµα ονοµάζεται και
ανάπτυγµα Maclaurin.
Συνήθεις σειρές Taylor ( a = 0 )
για x ∈ R
ex = 1 + x +
x2
xn
+L + +L
2!
n!
sin x = x −
x3 x5
x 2 n+1
+ − L + (−1) n
+L
3! 5!
(2n + 1)!
cos x = 1 −
x 2 x4
x2n
+ − L + (−1) n
+L
2! 4!
(2n)!
n→∞
n→∞
[ a , b]
όπου Rn ( x ) =
⋅ a1
Sn = a 1
οι πρώτες τις παράγωγοι f (1) , f ( 2) ,..., f ( n ) είναι
f ( x) = f ( a ) +
Πρόοδοι
Αριθµητική: an+1 = an + ω , α n = a1 + (n − 1) ⋅ ω
n→∞
,
n→∞
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ
● Ακολουθία είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού
το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθµών.
Συµβολισµός: an = a(n) .
lim
1
1− r
Άθροισµα: b1 − lim bn .
a
*
.
n =1
Vox = π ∫  f 22 ( x ) − f12 ( x )  dx
*
*
Συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lim bn .
λ ≠1 .
Γεωµετρικός µέσος: Αν a, b, c είναι 3 διαδοχικοί
x
dF
d
=
f (t )dt = f ( x)
dx dx a
* * * * * * * * * * *
Γενικευµένα Ολοκληρώµατα
b−
n→∞
Αν lim an+1 / an = λ <1, τότε lim an = 0 .
γ) Τηλεσκοπικές : ∑ an , an = bn − bn+1
2
Γεωµετρική: an+1 = λ an ή an = λ
Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b] ,
−∞
lim an = 0 .
b
f ( x)dx = F (b) − F (a)
ή
n→∞
∞
2
a
a
Μονότονες
και
φραγµένες
ακολουθίεςΣύγκλιση
Μία µονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ’
ανάγκη.
Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι
συγκλίνουσα στο R .
Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη.
Αν lim βn = 0 και an ≤ β n , ∀ n ∈ N τότε
r ≥ 1 : απειρίζεται θετικά
r ≤ −1 : κυµαίνεται, το όριό της δεν υπάρχει.
∞
1
β) p-Σειρές: ς ( p ) = ∑ p ,
n =0 n
● αν p > 1 : συγκλίνει ● αν p ≤ 1 : αποκλίνει
a
b
(α’ είδους)
µονότονη, αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα.
● αν
b
Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα
[a, b] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της
∫
φθίνουσα, αν ισχύει an ≥ an+1 , ∀ n ∈ N .
●
● αν
E = ∫ f ( x ) dx, f ( x) ≥ 0
E = ∫  f 2 ( x ) − f1 ( x )  dx
Ι.
τότε
●
● αν
a
Θεµελιώδη θεωρήµατα Ολοκληρωτικού Λογισµού
ΙΙ.
αύξουσα, αν ισχύει an ≤ an+1 , ∀ n ∈ N .
*
Vox = π ∫  f ( x )  dx
x
∫
●
n =0
a
f ′( x)dx
= ln | f ( x) | + c
f ( x)
f , τότε
φραγµένη : υπάρχει m∈R: m ≤ an , ∀ n ∈ N .
α) Γεωµετρικές Σειρές:
b
adx
x
x
= tan −1 ( ) + c = arc tan( ) + c
+ a2
a
a
dx
x
x
= sin −1 ( ) + c = arc sin( ) + c
a
a
a2 − x2
●
−xt
∫ e f (t )dt , για κάθε τιµή
του x για την οποία το παραπάνω γενικευµένο
ολοκλήρωµα συγκλίνει.
2
x
c+ e
+∞
b
∫ cos x dx = sin x + c
● ∫ sin xdx = − cos x + c
∫
a
Eox = 2π ∫ f ( x ) 1 +  f ′ ( x )  dx
●
∫
a
η πρωτεύουσα τιµή του Cauchy
b
b
 c−e

 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 
∫a f ( x ) dx = elim
→0 +  ∫
c+ e
 a

(c ιδιόµορφο σηµείο)
Ο
µετασχηµατισµός
Laplace
µίας
ολοκληρώσιµης συνάρτησης
f : [0, +∞) → R
a
a +1
●
b
e→0+
b
Πίνακας Ολοκληρωµάτων
● ∫ kdx = kx + c
●
e →0 +
Εφαρµογές Ολοκληρωµάτων
Παραγoντική Ολοκλήρωση
∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx
∫x
c −e
b
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx
*
x = g (t ) , ∫ f ( g (t )) g '(t )dt = ∫ f ( x)dx
●
c
2
Μεθοδολογίες Ολοκλήρωσης
Αντικατάσταση
●
a+e
0
∫ df ( x ) = f ( x ) + c
●
b
b→+∞
( a ιδιόµορφο σηµείο)
Εσωτερικό ιδιόµορφο σηµείο c ∈ ( a, b )
a
ΘΜΤ: f συνεχής, τότε για κάποιο ξ ∈ [a, b]
1
c
c
e →0 +
a+
Αόριστο ολοκλήρωµα
(παράγουσα)
b
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx
cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx
∫
e→0+
xn
=0.
n!
Μια ακολουθία απολύτως φραγµένη είναι
φραγµένη και αντιστρόφως.
Μία φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ’
ανάγκη.
Μονότονες ακολουθίες
Μία ακολουθία an , n ∈ N ονοµάζεται
c
a −e
c
b→−∞
n→∞
Φραγµένη: συγχρόνως άνω και κάτω φραγµένη,
δηλ. υπάρχουν m, M ∈ R : m ≤ an ≤ M , ∀n ∈ N .
b
b→+∞
a
+∞
∫ ( f (x) + g(x)) dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx
f ( x) ≤ g ( x) ⇒
∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx
●
c
lim
●
( a ιδιόµορφο σηµείο)
f ( x)dx
b
●
● κάτω
c
( a, b ιδιόµορφα σηµεία)
a→−∞
−∞
b
b
a
µε a < c < b
e→0
a +e
+
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx
c
b
e →0
a+
a−
f ( x)dx
c
b −e
c
+
,
Φραγµένες ακολουθίες
● άνω φραγµένη: υπάρχει M∈R : an ≤ M , ∀ n ∈ N .
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx
−∞
b
b
a +e
( a ιδιόµορφο σηµείο)
(γ’ είδους) = συνδυασµός α’, β’ είδους
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx
a
f ( x )dx = −
e→0
+
+∞
Ορισµένο ολοκλήρωµα
● Κάθε συνεχής f είναι ολοκληρώσιµη
n
 x
lim 1 +  = e x
n →∞
 n
+
b−
αυθαίρετο x0 ∈ [ a − h, a + h] η ακολουθία
*
b
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
a
f '( x) < m < 1 , ∀ x ∈ [ a − h, a + h] , τότε για
*
b
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ12 2012-2013
και για -1< x < 1
x 2 x3
x n+1
ln(1 + x) = x − + − L + (−1) n
+L
2
3
n +1
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
n
n!
Συνδυασµοί : Crn =   =
r
r
!
n
− r )!
(
 
x3 x5
x 2 n+1
arctan x = 1 − + − L + (−1) n
+L
3 5
2n + 1
ε) Σειρές Fourier: Έστω f :[− L, L] → R που
επεκτείνεται 2L –περιοδικά. Η σειρά Fourier της f
δίνεται από
∞
nπ x
nπ x
f ( x) ~ ∑ (an cos
+ bn sin
)
L
L
n=0
1 L
f ( x)dx
2 L −∫L
όπου a0 =
1 L
nπ x
f ( x) sin
dx , n = 1, 2,K
L −∫L
L
Κριτήρια σύγκλισης σειρών
lim an ≠ 0 , τότε η σειρά
n →∞
∞
n
n =0
συγκλίνουν, τότε
n
n=0
για κάθε k , λ ∈ R
∞
∞
∞
n =0
n=0
n =0
∑ (kan + λbn ) = k ∑ an + λ ∑ bn συγκλίνει.
∞
∑a
β) Αν
∞
συγκλίνει και
n
n =0
∞
∑ (a
τότε
∑b
δεν συγκλίνει,
n
n=0
∞
Αν η σειρά
∑| a
∞
n
| συγκλίνει, τότε η
∑a
n
n=0
n =0
συγκλίνει. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
ΙV. (Απλό κριτήριο σύγκρισης) Έστω 0 ≤ an ≤ bn .
∞
∑b
αν
●
∞
συγκλίνει, τότε
n
n=0
∑a
συγκλίνει
n
n=0
∞
● αν
∑a
∞
n
δεν συγκλίνει, τότε
n =0
∑b
n
δεν συγκλίνει.
n =0
(Γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης) Έστω
a
0 ≤ an , 0 < bn , lim n = c > 0 . Τότε οι σειρές
n→∞ b
n
V.
∞
∑a
n =0
∞
n
και
∑b
n
είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν
αν λ < 1 , τότε η
αν λ > 1 , τότε η
∑a
n
συγκλίνει
∑a
n
δεν συγκλίνει
λ = 1 , τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε.
(Κριτήριο ρίζας - Cauchy). Έστω an > 0 και
● αν
lim n an = λ
n→∞
●
αν λ < 1 , τότε η
τις διακριτές τ.µ., και από: E ( X ) =
2
var( X ) = E ( X − µ x )  =


αν λ > 1 , τότε η
n
συγκλίνει
∑a
n
δεν συγκλίνει
(Κριτήριο Leibnitz) Έστω
∞
∫ (x − µ )
2
x
−∞
f ( x ) dx
διασποράς της Χ, δηλαδή: σ X =
var( X ) .
Έστω X τ.µ. (διακριτή ή συνεχής). Εάν ορίσω
άλλη τυχαία µεταβλητή Y = aX + b τότε ισχύει:
E (Y ) = E ( aX + b) = aE ( X ) + b
∑ ( −1)
n
an .
Αν η ακολουθία ( an ) είναι θετική, φθίνουσα και
lim
a = 0, τότε η σειρά συγκλίνει.
n→∞ n
(Κριτήριο ολοκληρώµατος) Αν η ολοκληρώσιµη συνάρτηση f :[1, +∞) → R είναι θετική και
IX.
+∞
∫ f ( x ) dx
1
∞
και S = ∑ f ( n )
n =1
συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν και αν
συγκλίνουν ισχύει: I < S < I + f (1) .
−a x
 a e
E (a ) : f ( x ) = 
 0
Εκθετική
x≥0
αλλού
Var ( X ) = 1/ a 2
E ( X ) = 1/ a ,
Var(Y ) = Var (aX + b) = a Var ( X )
Κατανοµές τυχαίων µεταβλητών
n
∆ιωνυµική: B (n, p ) : f (k ) =   p k (1 − p) n−k
k 
E ( X ) = np ,
Var ( X ) = np (1 − p ).
λk
, k = 0,1,...
k!
Var ( X ) = λ
E ( X ) = 1 / p,
Var ( X ) = (1 − p ) / p 2
Αρνητική διωνυµική:
 k − 1 ν
k −ν
f (k ) = 
 p (1 − p) , k = ν ,ν + 1,...
ν − 1
Var ( X ) = ν (1 − p ) / p 2
 N1   N 2 
 

k n−k
f (k ) =   
N
 
n
k = 0,..., min(n, N1 ) ,
N1 + N 2 = N
N1
N N N −n
, Var ( X ) = n 1 2
N
N N N −1
Οµοιόµορφη: U ( a, b)
E( X ) = n
 1

f ( x) =  b − a
 0
E ( X ) = (a + b) / 2 ,
a≤ x≤b
αλλού
n( X − µ)
Var ( X i ) = σ 2 , τότε
n
∑X
i
σ
~ Ν (0,1)
ή
~ N (nµ , nσ 2 ) n ≥ 30 .
i =1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
Χρήσιµες ταυτότητες και σχέσεις:
n
n
n
( a + b ) = a n +   a n−1b + ... +   a n−r b r + ... + b n
1
 
r
(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2
( a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 m ab + b 2 )
a n − b n = ( a − b )( a n −1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + ...
+ a 2 b n − 3 + ab n − 2 + b n −1 ), n = 1, 2, 3, ...
(1 + a) n ≥ 1 + na, a > 0, n = 1, 2,3,...
* * * * * * * * * * *
Βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι ( x ∈ R )
sin( x) = − sin(− x ),
cos( x) = cos(− x)
*
sin x
cos x
sin( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x
cos( x ± y ) = cos x cos y m sin x sin y
sin 2 x + cos 2 x = 1 ,
tan ( x ± y ) =
2
Υπεργεωµετρική:
n =0
φθίνουσα τότε I =
xf ( x ) dx .
Η τυπική απόκλιση µιας τ.µ. Χ συµβολίζεται µε
σ X και είναι η (θετική) τετραγωνική ρίζα της
λ = 1 , τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε.
∞
VIIΙ.
∞
−∞
2
∞
n =0
● αν
∫
Ισχύει: var( X ) = E  X 2  − ( E [ X ]) .
E( X ) = ν / p ,
∞
∑a
για
για τις συνεχείς τ.µ., όπου f ( x ) η συνάρτηση
πιθανότητας (σ.π.) (περίπτωση διακριτής τ.µ.) ή η
συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.)
(περίπτωση συνεχούς τ.µ.).
H διασπορά για τις διακριτές τ.µ. δίνεται από:
2
2
var( X ) = E ( X − µ x )  = ∑ ( x − µ x ) f ( x )

 x
n =0
●
∑ xf ( x )
k −1
k = 1, 2,...
 p (1 − p )
G ( p) : f (k ) = 
0
αλλιώς

∞
n =0
VIΙ.
και δίνεται από: E ( X ) =
E( X ) = λ ,
Γεωµετρική:
∞
n =0
●
µX
Poisson P ( λ ) : f (k ) = e − λ
a
για n ≥ n0 και lim n+1 = λ . Τότε:
n →∞ a
n
●
µε
k = 0,1,..., n
n =0
ταυτόχρονα.
VI. (Κριτήριο λόγου - d’ Alembert) Έστω an ≠ 0
E ( X ) = µ , Var ( X ) = σ 2
Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα
Αν X 1 , X 2 ,..., X n ανεξάρτητες µε E ( X i ) = µ .
P( Ak )P( B / Ak )
P( B )
και για τις συνεχείς τ.µ. από:
+ bn ) δεν συγκλίνει.
n
n =0
ΙIΙ.
Τύπος Bayes: P( Ak / B ) =
x
∞
∑ a , ∑b
−∞ < x < ∞
Ολική Πιθανότητα:
P ( B ) = P( A1 )P( B / A1 ) + L + P( An )P( B / An )
του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο
των πραγµατικών αριθµών.
Η µέση τιµή µίας τ.µ. συµβολίζεται µε E ( X ) ή
δεν συγκλίνει.
n
2
− 
1
e 2
σ 2π
n =0
α) Αν οι σειρές
ΙΙ.
Αν Ai ∩ Aj = ∅ , i≠ j και A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω,
∞
∑a
ενδεχόµενα: P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) .
Τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) είναι µια συνάρτηση
X (⋅) µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω
bn =
Ι. Αν
Ανεξάρτητα
1 L
nπ x
f ( x) cos
dx , n = 1, 2,K
L −∫L
L
an =
P ( A ∩ B)
∆εσµευµένη Πιθανότητα P ( A / B ) =
P(B)
1  x−µ 

σ 
N ( µ , σ 2 ) : f ( x) =
Κανονική
tan x =
tan x ± tan y
1 m tan x ⋅ tan y
sin 2 x = 2sin x cos x =
2 tan x
1 + tan 2 x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 =
1 − tan 2 x
1 + tan 2 x
2 tan x
1
, 1 + tan 2 θ =
1 − tan 2 x
cos 2 θ
x± y
xm y
sin x ± sin y = 2sin
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2cos
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2sin
sin
2
2
sin(0) = cos(π / 2) = 0, cos(0) = sin(π / 2) = 1
sin(π / 6) = cos(π / 3) = 1/ 2
tan 2 x =
π
π
2
π
π
3
sin( ) = cos( ) =
, sin( ) = cos( ) =
4
4
2
3
6
2
* * * * * * * * * * * *
Σύνολο µιγαδικών C ={ z = x + i y | x, y∈R}
Συζυγής: z = x − iy
1
z
Αντίστροφος: z −1 = = 2
z z
Μέτρο µιγαδικού αριθµού:
r = z = x2 +y2 και r 2 =| z |2 = z ⋅ z
Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού
z = r (cos θ + i sin θ ) , όπου θ πρωτεύον όρισµα.
Θεώρηµα De Moivre
z n = r n einθ = r n ( cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) ) , n ακέραιος
Οι n διακεκριµένες ρίζες της εξίσωσης
x = z , n ∈ N , (που λέγονται και n -οστές
ρίζες του z ), δίνονται από τον τύπο
n
Var ( X ) = (b − a ) 2 /12
θ + 2k π
θ + 2k π 

zk = n r  cos
+ i sin
 , k = 0,1,K n −1 .
n
n 
