ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Κεφάλαιο 1ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB Κεφάλαιο 2ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 3ο :Πίνακες Κεφάλαιο 4ο :∆ιαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο 5ο :Ολοκληρώµατα Κεφάλαιο 6ο :Σειρές Κεφάλαιο 7ο :Μιγαδικοί αριθµοί Κεφάλαιο 8ο :Πολυώνυµα Κεφάλαιο 9ο :∆ιανύσµατα Κεφάλαιο 10ο :Μέθοδοι Αριθµητικής Ολοκλήρωσης Κεφάλαιο 11ο :Όρια 1 Εισαγωγή Το MATLAB (Math Works.) παρέχει ένα δυναµικό, εύχρηστο και ανοικτό υπολογιστικό περιβάλλον για υλοποίηση επιστηµονικών εφαρµογών σε ένα µεγάλο φάσµα πεδίων, όπως στη Γραµµική Άλγεβρα, Στατιστική, Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, Αριθµητική Ανάλυση και Επιστηµονικό Υπολογισµό, Επεξεργασία Σηµάτων και Εικόνας, Θεωρία Ελέγχου, Θεωρία Βελτιστοποίησης και Γραφικά. Έχει υλοποιηθεί σε πολλές λειτουργικές πλατφόρµες (όπως Windows Macinntosh OS και Unix) και δύο βασικές εκδόσεις, την επαγγελµατική και την εκπαιδευτική (student edition). Το περιβάλλον του Matlab υποστηρίζει ένα µεγάλο αριθµό ενδογενών λειτουργών και συναρτήσεων καθώς και εξωτερικές βιβλιοθήκες (Toolbox) για εξειδικευµένες περιοχές εφαρµογών. Υποστηρίζει επίσης µια ευέλικτη, απλή και δοµηµένη γλώσσα προγραµµατισµού (script language) µε πολλές οµοιότητες µε την Pascalκαι παρέχει δυνατότητες εύκολης δηµιουργίας, διασύνδεσης και χρήσης βιβλιοθηκών σε κώδικα γραµµένο στη γλώσσα αυτή (Μ files), Το Matlab εκτελεί από απλούς µαθηµατικούς υπολογισµούς µέχρι και προγράµµατα µε εντολές παρόµοιες µε αυτές που υποστηρίζει µια γλώσσα υψηλού επιπέδου. Συγκεκριµένα εκτελεί απλές µαθηµατικές πράξεις, αλλά εξίσου εύκολα χειρίζεται µιγαδικούς αριθµούς, δυνάµεις, ειδικές µαθηµατικές συναρτήσεις, πίνακες, διανύσµατα και πολυώνυµα. Μπορεί επίσης να αποθηκεύει και να ανακαλεί δεδοµένα, να δηµιουργεί και να εκτελεί ακολουθίες εντολών που αυτοµατοποιούν διάφορους υπολογισµούς και να σχεδιάζει γραφικά. Οι λειτουργίες του Matlab διακρίνονται στις τυποποιηµένες, δηλαδή σε αυτές που χειρίζονται αριθµητικά δεδοµένα και εξάγουν αριθµητικά αποτελέσµατα, και στις συναρτήσεις του Symbolic Toolbox, οι οποίες χειρίζονται και υπολογίζουν συµβολικές εκφράσεις, δηλαδή επεξεργάζονται µαθηµατικά σύµβολα. Η ενότητα αυτή είναι µια σύνοψη των βασικότερων χαρακτηριστικών του Matlab και αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος παρουσιάζονται οι βασικές εντολές, λειτουργίες και χαρακτηριστικά του Matlab, Συγκεκριµένα περιγράφονται οι υποστηριζόµενοι τελεστές και πράξεις, οι στοιχειώδεις µαθηµατικές συναρτήσεις και οι εντολές που περιλαµβάνει η ενσωµατωµένη γλώσσα προγραµµατισµού. Ιδιαίτερη έµφαση δίνεται στο λογισµό και στις πράξεις πινάκων. Τέλος δίνονται οι τρόποι σχεδίασης γραφικών παραστάσεων και κατασκευής συναρτήσεων .Στο δεύτερο µέρος παρουσιάζονται ενδεικτικά µερικές αντιπροσωπευτικές και απλές εφαρµογές του Matlab στη Γραµµική Άλγεβρα και στις Αριθµητικές Μεθόδους. Επίσης δίνονται µερικές αριθµητικές µέθοδοι, υλοποιηµένες στη γλώσσα script. Τα προγράµµατα αυτά έχουν ληφθεί κατά ένα µέρος από τη βασική βιβλιοθήκη του Matlab ή από το διεθνές δίκτυο και έχουν υποστεί µερικές προσθήκες και βελτιώσεις. 2 Κεφάλαιο 1ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ονοµασίες βασικών συναρτήσεων , όπως εισάγονται στο MATLAB , καθώς και ο τρόπος εισαγωγής µαθηµατικών σταθερών στο ίδιο πρόγραµµα . Στοιχειώδης µαθηµατικές συναρτήσεις Συνάρτηση sin sinh asin asinh cos cosh acos acosh tan tanh atan atanh sec sech asec asech csc csch acsc acsch cot coth acot acoth exp logm log10 sqrt abs angle conj image real fix floor ceil round rem sign Λειτουργία Ηµίτονο Υπερβολικό ηµίτονο Αντίστροφο ηµίτονο Αντίστροφο υπερβολικό ηµίτονο Συνηµίτονο Υπερβολικό συνηµίτονο Αντίστροφο συνηµίτονο Αντίστροφο υπερβολικό συνηµίτονο Εφαπτοµένη Υπερβολική εφαπτοµένη Αντίστροφη εφαπτοµένη Αντίστροφη Υπερβολική εφαπτοµένη Τέµνουσα Υπερβολική τέµνουσα Αντίστροφη τέµνουσα Αντίστροφη υπερβολική τέµνουσα Συντέµνουσα Υπερβολική συντέµνουσα Αντίστροφη συντέµνουσα Αντίστροφη υπερβολική συντέµνουσα Συνεφαπτοµένη Υπερβολική συνεφαπτοµένη Αντίστροφη συνεφαπτοµένη Αντίστροφη υπερβολική συνεφαπτοµένη Εκθετική συνάρτηση e-x Νεπέριος (φυσικός) λογάριθµος ∆εκαδικός λογάριθµος Τετραγωνική ρίζα Απόλυτη τιµή Γωνίες φάσης στοιχείων µιγαδικού πίνακα Συζυγής µιγαδικού Φανταστικό µέρος µιγαδικού Πραγµατικό µέρος µιγαδικού Ακέραιο µέρος Κάτω ακέραιο µέρος Πάνω ακέραιο µέρος Στρογγυλοποίηση Υπόλοιπο διαίρεσης Πρόσηµο Οι βασικές συναρτήσεις καλούνται µε το όνοµα τους, π.χ, η κλήση sin(pi) θα δώσει ans = 0.0000, 3 Μαθηµατικές Σταθερές Μεταβλητή ans pi eps inf NaN i &j realmean realmax abs Τιµή Tο αποτέλεσµα κάθε αριθµητικής πράξης Ο αριθµός π Ο κοντινότερος στο µηδέν Άπειρο Όχι αριθµός (π.χ. 0/0) i=j= −1 O µικρότερος θετικός πραγµατικός αριθµός Ο µεγαλύτερος θετικός πραγµατικός αριθµός Απόλυτη τιµή Παρακάτω δείχνεται ο τρόπος µε τον οποίο µπορούµε να κάνουµε αριθµητικές πράξεις στο MATLAB . • Πρόσθεση : Για την πράξη της πρόσθεσης χρησιµοποιείται το σύµβολο «+». Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα 15+12.Γράφουµε στο MATLAB απλά 15+12. • Αφαίρεση : όµοια γράφουµε στο MATLAB 15-12 • ∆ιαίρεση : γράφουµε 15/12 • Πολλαπλασιασµός: όµοια 15*12 Στην περίπτωση που θέλουµε να υπολογίσουµε πιο πολύπλοκες µαθηµατικές πράξεις , η σειρά µε την οποία εκτελούνται έχει πρωτεύουσα σηµασία .Π.χ. έχουµε να υπολογίσουµε το 4 αποτέλεσµα της 15 + 12* 4 − 4* 3 .Για να επιτύχουµε την κατάλληλη σειρά των πράξεων 12 − 1 χρησιµοποιούµε τις παρενθέσεις όπως φαίνεται παρακάτω : επίσης το σύµβολο της δύναµης είναι το «^» που ενεργοποιείται µε το shift+6 : 48 το e+048 σηµαίνει 10 . Ακόµη το MATLAB µας επιτρέπει να εισάγουµε και σταθερές , για δικιά µας ευκολία όταν έχουµε να εισάγουµε πολλές φορές την ίδια τιµή . Έτσι , αν έχουµε ένα πρόβληµα φυσικής όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας υπεισέρχεται πολλές φορές στους υπολογισµούς µας τότε την δίνουµε µε τον ακόλουθο τρόπο , όπως φαίνεται παρακάτω : 5 Προσοχή!!! : η υποδιαστολή δηλώνεται ΠΑΝΤΑ µε την τελεία. Εισάγοντας το σύµβολο % πριν ή µετά από κάθε τι που γράφουµε , µπορούµε να γράψουµε ότι θέλουµε χωρίς να υπεισέρχεται στους υπολογισµούς , κάτι που είναι απαραίτητο όταν έχουµε να ορίσουµε πολλές σταθερές ή συναρτήσεις . Επίσης προσέξτε την διαφορά όταν χρησιµοποιούµε το σύµβολο ; .Χάρις σε αυτό , το πρόγραµµα δεν υπολογίζει και τυπώνει αυτό που γράψαµε και περιµένει την επόµενη εντολή χωρίς το ; για να κάνει υπολογισµούς και να µας δώσει αποτέλεσµα , κάτι που είναι πολύ σηµαντικό όταν θέλουµε να λύσουµε ποιο σύνθετα προβλήµατα . Ας βρούµε τώρα την ταχύτητα µε την οποία προσκρούει ένα σώµα στο έδαφος από ύψος h=25m .Γράφουµε στο MATLAB : Ο Νεπέριος λογάριθµος Για τον υπολογισµό του νεπέριου λογάριθµου γράφουµε ως παρακάτω : 6 ∆εκαδικός λογάριθµος Για τον υπολογισµό του δεκαδικού λογάριθµου γράφουµε ως παρακάτω : Η τετραγωνική ρίζα Για τον υπολογισµό της υπόρριζης ποσότητας γράφουµε sqrt(την ποσότητα που βρίσκεται στο ριζικό ) και πιέζουµε ENTER όπως φαίνεται παρακάτω : Θα παρατηρήσατε τα πράσινα γράµµατα µετά το σύµβολο % . Εισάγοντας το σύµβολο % µετά την αριθµητική πράξη , µπορούµε να γράψουµε ότι σχόλιο θέλουµε χωρίς αυτό να επηρεάζει τους υπολογισµούς . 7 Κεφάλαιο 2ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις , όπως ορίστηκαν παραπάνω , υπολογίζονται εισάγοντας πρώτα την συνάρτηση και εντός παρενθέσεως την γωνία που θέλουµε . Θα υπολογίσουµε παρακάτω το ηµίτονο , το συνηµίτονο την εφαπτοµένη και την συνεφαπτοµένη των γωνιών 30ο ,60ο και 120ο .Για την ευκολία µας στους υπολογισµούς θέτουµε w=30ο ,  π π 2π , , 6 3 3 f=60ο , k=120ο   :  όµοια και για τις υπόλοιπες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις . Αν αντί να χρησιµοποιούµε τα ακτίνια για την εισαγωγή των γωνιών θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τις γωνίες σε µοίρες , τότε εισάγουµε τον µετατροπέα R των γωνιών σε ακτίνια και δουλεύουµε όπως παρακάτω : 8 Παρατηρούµε ότι το MATLAB βλέπει διαφορετική µεταβλητή ακόµη και ανάλογα µε το αν κάποιο σύµβολο γράφεται µε µικρά ή κεφαλαία . Για να καθαρίσουµε την οθόνη του MATLAB χρησιµοποιούµε την εντολή clc . Μερικά παραδείγµατα αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων φαίνονται παρακάτω : 9 Το αποτέλεσµα που παίρνουµε είναι ποσοστό του π .Για να λάβουµε το αποτέλεσµα σε µοίρες είτε πολλαπλασιάζουµε µε 180/π είτε εισάγουµε την σταθερά Q=180/pi και γράφουµε : 10 Κεφάλαιο 3ο :Πίνακες Ορισµός Πινάκων  0 2 1 −1    1 −2 4 0   A=  4 −1 2 1     3 5 −1 6  Ο ορισµός του πίνακα Α στο MATLAB γίνεται: Α=[0 2 1 –1 ; 1 –2 4 0 ; 4 -1 2 1 ; 3 5 -1 6 ]; Η ίδια διαδικασία µπορεί να γίνει και χωρίς να αφήσουµε κενά , αλλά να βάλουµε κόµµατα ανάµεσα στους αριθµούς , όπως φαίνεται παρακάτω : 11 Όπως γίνεται αντιληπτό , ο τελεστής ; χρησιµοποιείται εδώ για να δηλώσει αλλαγή γραµµής του πίνακα . Παρακάτω δείχνονται οι διαδικασίες για την προβολή ορισµένων στοιχείων από τον πίνακα που έχουµε εισάγει . Το σύµβολο : σηµαίνει στο MATLAB «‘όλα τα …» . Στη 1η περίπτωση σηµαίνει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Α , ενώ στη 2η όλα τα στοιχεία της πρώτης γραµµής. Προσοχή!!! : Αν κατά την πληκτρολόγηση οποιασδήποτε εντολής , οι χαρακτήρες της παρουσιάζονται µε κόκκινα γράµµατα , τότε έχετε επιλεγµένη την ελληνική γλώσσα . Στην περίπτωση αυτή το MATLAB δεν αναγνωρίζει τίποτα . 12 Βασικές συναρτησιακές σχέσεις πινάκων στο MATLAB Παρακάτω φαίνονται ορισµένες λειτουργίες του MATLAB για τους πίνακες καθώς και η εύρεση του ανάστροφου πίνακα Α , δηλαδή του πίνακα που προκύπτει αν µεταθέσουµε τις γραµµές µε τις στήλες . 13 Πράξεις µεταξύ πινάκων Παρακάτω φαίνονται οι πράξεις µεταξύ πινάκων στο MATLAB , όπως η δεύτερη δύναµη του πίνακα Α , τα τετράγωνα των στοιχείων του Α ,η εισαγωγή νέου πίνακα. Ας υπολογίσουµε τώρα το γινόµενο του πίνακα Β µε τον Α , καθώς και το γινόµενο του Α µε τον Β 14 όπως παρατηρούµε το γινόµενο Β*Α είναι διάφορο του Α*Β . 15 Κεφάλαιο 4ο :∆ιαφορικές εξισώσεις Έστω ότι θέλουµε να βρούµε την παράγωγο της συνάρτησης f ( x ) = 12 x 2 + 24 x 3 + 2 .Αρχικά ορίζουµε µε την εντολή syms τις µεταβλητές που έχουµε , x εδώ µόνο την χ , και στη συνέχεια εισάγουµε την συνάρτηση κατά τα γνωστά . Με την εντολή diff(f) παίρνουµε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης ως προς χ Έστω τώρα η συνάρτηση δυό µεταβλητών f ( x, y ) = 12 x + 2 x y + 4 y + 3 2 2 2 2 y +2 x Ορίζουµε πρώτα τις µεταβλητές x,y µε την εντολή syms x y και µετά παραγωγίζουµε πρώτα ως προς y και έπειτα ως προς χ : Όµοια και για τις συναρτήσεις 3 µεταβλητών . 16 Ας δούµε µερικά παραδείγµατα υπολογισµού παραγώγων . Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος των συναρτήσεων :βιβλίο Ι • 2 f ( x) = ηµ 4 ( 5χ 2 + 4 χ + 1)    • f (x ) = xx x 17 • f ( x) = x x Παράγωγοι ανωτέρας τάξης Για να βρούµε την n-οστή παράγωγο µιας συνάρτησης f εργαζόµαστε όπως προηγουµένως , αλλά όταν ζητάµε την παράγωγο της f γράφουµε diff(f,n).παρακάτω δίνονται παραδείγµατα υπολογισµού παραγώγων ανωτέρας τάξης . • f ( x) = x x 18 • f ( x) = τοξεφχ *ηµχ • f ( x) = ηµχ *συνχ * εφχ • f ( x) = α χ 19 • f ( x) = ( χ 2 + 2 χ + 1) • f ( x) = x 2τοξηµ (ln x ) • f ( x) = x 2 eαχ εφχ 20 Ιακωβιανή Ορίζουσα Θεώρηµα (ΙΙ) : Ας θεωρήσουµε n παραγωγίσιµες συναρτήσεις n µεταβλητών f1 : D → R, f 2 : D → R,... f n : D → R, όπου fi ( P ) = fi ( x1 , x2 ,...., xn ), i ∈ {1, 2,..., n} Αν οι µερικές παράγωγοι ∂f i , i ∈ {1, 2,..., n} , j ∈ {1, 2,...., n} υπάρχουν στο σηµείο ∂x j Po ∈ D ,τότε η ορίζουσα ∂f1 ( Po)   ∂f1 ( Po) K  ∂x ∂xn  1    D= M O M    ∂f n ( Po) L ∂f n ( Po)   ∂x ∂xn  1  Λέγεται Ιακωβιανή ορίζουσα (Jacobian) των f1 , f 2 ,...., f n , ως προς τις µεταβλητές x1 , x2 ,..., xn στο σηµείο Po και συµβολίζεται µε :  D( f1 , f 2 ,...., f n )     D( x1 , x2 ,..., xn )  Po Παράδειγµα(ΙΙ):Να βρεθεί η Ιακωβιανή ορίζουσα D( f1 , f 2 ) για τις συναρτήσεις : D ( x, y ) f1 ( x, y ) = x + συν y f 2 ( x, y ) = y + συνχ Η εντολή det δίνει την ορίζουσα του πίνακα της Ιακωβιανής 21 Παράδειγµα(ΙΙ):Αν u ,y ,w είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + ax + bx + c = 0 να βρεθεί η 3 Ιακωβιανή ορίζουσα 2 D(a, b, c) D(u, y, w) Λύση: a = − (u + y + w ) Από την Άλγεβρα είναι γνωστό ότι : b = u y + yw + w u c = − uyw Άρα D(a, b, c) = D(u, y, w) ∆ύο χρήσιµες Ιακωβιανές 22 Η χρήση αυτών των Ιακωβιανών θα εξηγηθεί στο κεφάλαιο των ολοκληρωµάτων. Προσέξτε την εντολή simple .Η εντολή αυτή απλοποιεί την παράσταση k.Εφαρµόστε την και σε προηγούµενα παραδείγµατα . 23 Κεφάλαιο 5ο :Ολοκληρώµατα Το απλό αόριστο ολοκλήρωµα Το απλό ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής δίνεται µε την εντολή int.Γράφουµε στο MATLAB int(“η συνάρτησή µας”) και πιέζουµε Enter , όπως φαίνεται παρακάτω ,αφού πρώτα ορίσουµε την µεταβλητή µας µε την εντολή syms: Μερικά παραδείγµατα υπολογισµού απλών αόριστων ολοκληρωµάτων φαίνονται παρακάτω : • ∫ cos ( x)dx • ∫ sin • ∫ tan 2 2 2 ( x)dx ( x)dx 24 • ∫ ln( x)dx Στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος του ∫ cos ( x)dx γράψαµε για το ολοκλήρωµα 2 int(f^2,x) . To “,x” χρησιµοποιείτε όταν έχουµε συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών για να δηλώσουµε ως προς ποια µεταβλητή θα γίνει η ολοκλήρωση . Στην προκειµένη περίπτωση είναι πλεονασµός . Ακόµη , όπως φαίνεται και από τα σχήµατα , ο καθορισµός της µεταβλητής χ έγινε στην αρχή και το MATLAB την κρατά στη µνήµη του . Στο αριστερό παράθυρο της επιφάνειας εργασίας του MATLAB φαίνονται οι σταθερές και οι συναρτήσεις που έχει αποθηκευµένες . Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα : 1. 2. 3. 4. 5. 6. ∫ xe dx ∫ e cos(bx)dx ∫ x ln xdx x ∫ 1 + cos 2 x dx ∫ x cos xdx x ∫ cos x dx x ax 2 2 2 Λύση: Επειδή η συνάρτηση cos υπάρχει σε πολλές ασκήσεις την ορίζουµε ως g(x)=cos(x) 25 26 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Η διαδικασία για τον υπολογισµό του ορισµένου απλού ολοκληρώµατος είναι ίδια µε αυτή του αόριστου µε τη διαφορά ότι στην εντολή int µετά την συνάρτηση ορίζουµε τα όρια ολοκλήρωσης µε το “,” ανάµεσά τους . Παραδείγµατα : π 2 • ∫ cos ( x)dx 2 0 π 2 • ∫ sin 2 ( x)dx 0 27 π 6 • ∫ tan 2 ( x)dx 0 e • ∫ ln( x)dx 0 π 3 • x ∫ cos 0 2 x dx Έστω , έχουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz όπου R R : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 x, y , z ≥ 0 .Ο τόπος R είναι σφαίρα στο 1ο ογδοηµόριο .Κάνουµε αλλαγή µεταβλητών 28 x = ρσυνθηµφ y = ρηµθηµφ z = ρσυνφ ∫∫ f ( x, y)dxdy D  π θ ∈  0,   2  π φ ∈  0,   2 D ( x, y , z ) = ρ 2ηµφ και D ( ρ ,θ , φ ) D ( x, y , z )  π  π ρ ∈ [ 0,1] ,θ ∈ 0,  , φ ∈ 0,  .Η Ιακωβιανή = ρ 2ηµφ υπολογίστηκε στο D ( ρ ,θ , φ )  2  2 Αν f ( x, y , z ) = x + y + z τότε έχουµε : 2 2 2 κεφάλαιο των παραγώγων . Όµοια για το ολοκλήρωµα σε τόπο ο οποίος είναι κύκλος ∫∫ f ( x, y)dxdy καθώς επίσης και για κάθε αλλαγή µεταβλητής D Ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισµό ολοκληρωµάτων δίνεται παρακάτω : Το απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = 1 από 0 έως 2 x − 2x − 5 3 π π 1  1   * tan  2  * x , ≤ χ ≤ 5 4 x x  Το απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = cos  29 To απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = sin( 1 ) x2 , π ≤ χ ≤ π 5 4 x Το διπλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = y *sin ( x ) + x *cos ( y ) , µε 0 ≤ χ ≤ 2π και 0≤ y ≤π . 30 Κεφάλαιο 6ο :Σειρές Η σειρά της συνάρτησης x + 3 xy + y από 1εως 350 για το x και από 1:450 για το y 2 δηλαδή 350 450 x =1 y =1 ∑ ∑x 2 3 + 3 xy + y 3 .Παρατηρήστε το αποτέλεσµα f = 3,6292e+012. To e+012 12 σηµαίνει 10 .  x  H σειρά της συνάρτησης f =    3x − 1  2 x −1  x  από 1 έως 1500 δηλαδή ∑   x =1  3 x − 1  1500 2 x −1 Γράφουµε στο MATLAB : 31 Κεφάλαιο 7ο :Μιγαδικοί αριθµοί Η µιγαδική µονάδα , −1 , αποθηκεύεται στο MATLAB στις σταθερά i . Ορίζουµε τον µιγαδικό αριθµό z1=3+4i µε τον ίδιο τρόπο , δηλαδή : Παρακάτω φαίνονται οι πράξεις της εύρεσης του πραγµατικού και του φανταστικού µέρους ενός µιγαδικού , το µέτρο του , ο συζυγής του καθώς και ο πολλαπλασιασµός , η διαίρεση και η γωνία του . 32 33 Με την εντολή plot , απεικονίζεται ο µιγαδικός στο επίπεδο : το ‘ο’ στην εντολή plot µπαίνει για να φανεί το σηµείο κατά αυτόν τον τρόπο 34 Κεφάλαιο 8ο :Πολυώνυµα Τα πολυώνυµα παριστάνονται στο MATLAB µε την εντολή coeff και εισαγωγή τους εντός [ ] όπου το τελευταίο νούµερο είναι ο συντελεστής του χ0 , ο επόµενος ο χ1 κ.ο.κ.Έστω για παράδειγµα το πολυώνυµο 2 x2 + 4 x + 5 γράφεται στο MATLAB ως : Οι ρίζες του παραπάνω πολυωνύµου δηλαδή της εξίσωσης : 2 x2 + 4 x + 5 λαµβάνονται ως εξής : 35 που σηµαίνει ότι το παραπάνω πολυώνυµο δεν έχει πραγµατικές ρίζες .Ας δούµε ένα άλλο παράδειγµα , έστω η εξίσωση x2 + x − 1 = 0 Εισάγουµε το πολυώνυµο στο MATLAB και βρίσκουµε τις ρίζες του Ανάκτηση των συντελεστών ενός πολυωνύµου από τις ρίζες του Οι συντελεστές ενός πολυωνύµου µπορούν να ανακτηθούν από τις ρίζες του : Έστω θέλουµε να βρούµε το πολυώνυµο που έχει για ρίζες τα 1 , 2 ,-1 .Γράφουµε : 36 που είναι και σωστό x − 2 x − x + 2 = 0 .προσοχή στο τελεστή ; διότι σηµαίνει συνέχεια στον προγραµµατισµό . 3 2 Προσδιορισµός των τιµών πολυωνύµων Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να σχεδιάσουµε τη συνάρτηση : y = x3 − 3x 2 − 6 x + 8 στο εύρος που περιλαµβάνει τις µηδενικές τιµές του y .Ξεκινούµε εισάγοντας τη σειρά των συντελεστών του πολυωνύµου : >>p=[ 1 –3 –6 8 ] ; Οι ρίζες βρίσκονται ως εξής : τώρα µπορούµε να ορίσουµε ένα εύρος τιµών χ που να περιλαµβάνει τις µηδενικές τιµές του y : 37 Οι τιµές του y σε κάθε σηµείο που περιέχεται στη σειρά χ υπολογίζονται µε την εντολή polyval του MATLAB .Αυτή η εντολή καλείται µε δύο ορίσµατα : τη σειρά των συντελεστών και τη σειρά των σηµείων όπου το πολυώνυµο θα υπολογιστεί . Στο παράδειγµα αυτό θα γράψουµε : και θα πάρουµε ως αποτέλεσµα το παρακάτω γράφηµα : 38 Προσοχή στους τελεστές ; (ελληνικό ερωτηµατικό) και στους ‘ ( οξεία ) Πολλαπλασιασµός και διαίρεση πολυωνύµων Ο πολλαπλασιασµός δύο πολυωνύµων µπορεί να γίνει εύκολα στο MATLAB ενεργώντας στις σειρές των συντελεστών τους . Ας θεωρήσουµε , για παράδειγµα , τον πολλαπλασιασµό : (2x 2 + 3 x + 1) ( 5 x − 2 ) = 10 x 3 + 11x 2 − x − 2 Στο MATLAB λαµβάνουµε το ίδιο αποτέλεσµα µε την πράξη της δίπλωσης ή συνέλιξης (convolution): Η αντίστροφη διαδικασία , δηλαδή η διαίρεση πολυωνύµων , πραγµατοποιείται στο MATLAB µε αποδίπλωση (deconvolution): Η σειρά Q περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύµου που είναι πηλίκο της διαίρεσης και η σειρά R περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύµου που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης . Στο παραπάνω παράδειγµα το p1 διαιρεί ακριβώς το p3, το Q περιέχει τους συντελεστές του p2 και τα στοιχεία του R είναι όλα µηδέν . Ας αντικαταστήσουµε το p3 µε το p4 , το οποίο ορίζεται ως : 39 10 x 3 + 11x 2 + 2 x ∆ιαιρώντας µε το p1 εξάγεται ότι : Το υπόλοιπο της διαίρεσης του p4 µε το p1 είναι πράγµατι 3 x + 2 40 Κεφάλαιο 9ο :∆ιανύσµατα Γνωρίζουµε ότι τα διανύσµατα ορίζονται ως προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα. Εδώ θα αναφερθούµε στα διανύσµατα στο επίπεδο . Για να εισάγουµε ένα διάνυσµα στο r r MATLAB ,έστω το διάνυσµα F = 3î + 4 j το γράφουµε όπως φαίνεται στο σχήµα : r r θεωρήστε τώρα και το διάνυσµα Q = 5î + 8 j Το µέτρο του διανύσµατος R δίνεται από το Πυθαγόρειο θεώρηµα : Η γωνία ανάµεσα στην οριζόντια διεύθυνση και το διάνυσµα R λαµβάνεται ως: 41 H οριζόντια συνιστώσα R1=8 και η κατακόρυφη R2=12 λαµβάνονται πληκτρολογώντας R(1) και R(2) αντίστοιχα . Ο πολλαπλασιασµός διανύσµατος µε αριθµό λ θα δώσει ένα διάνυσµα W , οι συνιστώσες του οποίου θα είναι οι R1 , R2 πολλαπλασιασµένες επί λ . Εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων F ,Q είναι ίσο µε F * Q = F * Q *cos θ , όπου F , Q τα µέτρα των διανυσµάτων και cos θ η γωνία ανάµεσα στα δύο διανύσµατα .Στο MATLAB γράφουµε : Προσοχή!!!! : Πολλαπλασιάζονται το διάνυσµα F µε τον αντίστροφο του Q , αφού το MATLAB τα βλέπει ως πίνακες . Το ίδιο αποτέλεσµα θα βρούµε αν πολλαπλασιάσουµε το Q µε τον αντίστροφο του F 42 Κεφάλαιο 10ο :Μέθοδοι Αριθµητικής Ολοκλήρωσης xn Ο κανόνας του τραπεζίου h ∫ f ( x ) dx = 2 ( f 0 + 2 f1 + 2 f f ...... + 2 f n −1 + f n ) x0 όπου x = x0 + ih i = 0(1) n π 3 ∫ Έστω ότι έχουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα tan x * dx . Ο υπολογισµός παρουσιάζεται 0 µε τη µορφή του παρακάτω πίνακα : Γωνία (µοίρες) 0 10 20 30 40 50 60 Άθροισµα tanx 0 0,1763 0,3639 0,5773 0,8390 1,1917 1,7321 Παράγοντας πολ/σµου 1/2 1 1 1 1 1 1/2 Γινόµενο 0 0,1763 0,3639 0,5773 0,8390 1,1917 0,86605 4,01425 Για να βρούµε προσεγγιστικά το ολοκλήρωµα , πολλαπλασιάζουµε το άθροισµα µε το σταθερό βήµα h : 43 (π * 10 ) * 4, 01425 = 0,7007 180 H διαδικασία αυτή στο MATLAB γίνεται όπως φαίνεται παρακάτω : π 3 ενώ η πραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος ∫ tan x * dx είναι 0,6931 0 Το σφάλµα ισούται µε 1,1% της πραγµατικής τιµής . Τούτο οφείλεται στο µεγάλο βήµα h που χρησιµοποιήσαµε . Θέτοντας h=1 τότε : 44 που είναι πάρα πολύ κοντά στην πραγµατική τιµή .Γενικά το σφάλµα ολοκλήρωσης µε τον κανόνα του τραπεζίου αντιµετωπίζεται θεωρώντας το h όσο το δυνατό µικρότερο . 45 Κεφάλαιο 11ο :Όρια Για τον υπολογισµό των ορίων µιας συνάρτησης θα πρέπει καταρχήν να δηλώσουµε τις χρησιµοποιούµενες µεταβλητές , εισάγοντας τες µε την γνωστή εντολή syms. Έπειτα είτε µπορούµε να δώσουµε απευθείας την συνάρτηση εντός παρενθέσεως µετά την εντολή limit γράφοντας µετά από κόµµα “,” την µεταβλητή η οποία τείνει σε κάποιο αριθµό και µετά τον αριθµό αυτόν ή να δηλώσουµε την συνάρτηση µε κάποιο γράµµα . Παρακάτω φαίνονται οι υπολογισµοί κάποιων ορίων : • lim sin ( x ) x →0 • x2 + 2x + 1 0 (κανόνας του L’Hospital , περίπτωση ) lim x →−1 x +1 0 46 2x +1 ∞ (κανόνας του L’Hospital , περίπτωση ) x →∞ x + 1 ∞ • lim • lim x →0 1 x2 Άρα υπάρχει το όριο της f ( x) = 1 όταν το χ τείνει στο µηδέν και είναι 0 x2 47 • lim x →0 1 x3 Άρα δεν υπάρχει το όριο της f ( x) = 1 όταν το χ τείνει στο µηδέν . x3 • ∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R ,όπου  1x  *  x e − 1 ,΄οταν χ ∈R  ∀x ∈ R f ( x) =  1x   e +1  χ =0 0,΄οταν  Να εξεταστεί αν υπάρχουν οι παράγωγοι της f ( x) ,από δεξιά και από αριστερά στο σηµείο ξ=0 και αν η f ( x) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 Λύση: 48 Άρα η f ( x ) δεν είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 • ∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R ,όπου 1  3  χ ηµ ( ),΄οταν χ ∀x ∈ R f ( x) =  0,΄οταν χ =0   χ ∈ R*     Να εξεταστεί αν η f ( x) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 Λύση : Άρα η f ( x ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 49 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ , ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥ ∆ρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ , ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥΑΝ∆ΡΕΑ ΑΘΑΝΑΣΙΑ∆Η ∆ρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΜΟΣ Ι ,Γ.ΑΒ∆ΕΛΑ & Θ.ΣΙΜΟΥ,καθ ∆.Π.Θ. 4. MATLAB 6 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ , καθ. Τµ. Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας 5. MATLAB για Μηχανικούς Adrian Biran & Moshe Breiner 6. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΜΕ ΤΟ MATLAB ,Γ.Στεφανίδης & Ν.Σαµαράς Τµ. Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας 50