Radni materijali
Karmen Rivier
RADNI MATERIJALI
MATEMATIKA
I. dio
SPLIT 2007.
1
Radni materijali
I. KOMPLEKSNI BROJEVI
1.0.
POTREBNO PREDZNANJE
3
1.1.
ALGEBARSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
Definicija
Jednakost kompleksnih brojeva
Konjugirano kompleksni brojevi
Modul kompleksnog broja
Računske operacije
3
1.2.
KOMPLEKSNA RAVNINA
14
1.3.
TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
Računske operacije
22
1.4.
EKSPONENCIJALNI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
Računske operacije
39
1.0. POTREBNO PREDZNANJE
Potencije
Koordinatni sustav
2
Radni materijali
Trigonometrija
1.1. ALGEBARSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
Motivacija za uvođenje kopleksnih brojeva je sljedeća: Jednadžba x 2 − 1 = 0 ima dva rješenja u skupu
realnih brojeva x1 = 1 i x2 = −1 , dok slična jednadžba x 2 + 1 = 0 nema niti jedno tješenje. Stoga se
definira imaginarna jedinica i =
− 1 tako da su x = i i x = − i rješenja jednadžbe x 2 + 1 = 0 .
( i 2 + 1 = 0 , i 2 = −1 )
Napomena: u nekim područjima tehnike imaginarna jedinica se označava s j .
Broj oblika x + yi , gdje su x, y ∈ R , a broj i je imaginarna jedinica, zove se kompleksni broj. Skup
kompleksnih brojeva označavamo C .
Uobičajeno je da se kompleksni broj označava jednim slovom, najčešće sa z , tj. z = x + yi (ili
z = a + bi ). Za prikaz kompleksnog broja u obliku x + yi kažemo da je algebarski oblik ili standardni
oblik tog broja.
Pod realnim dijelom kompleksnog broja z = x + yi podrazumijevamo realni broj x . Simbolički to
označavamo s Re( z ) = x . Imaginarni dio broja z je realni broj y , u oznaci Im( z ) = y .
( z = Re( z ) + i Im( z ) )
Kompleksni brojevi, čiji je imaginarni dio 0 mogu se identificirati s realnim brojevima.
Kompleksni brojevi čiji je imaginarni dio 0 zovu se imaginarni brojevi.
Primjer: Odredite realni i imaginarni dio kompleksnih brojeva z1 = 3 + 2i ,
z 2 = 1 − π + 2 xi ( x ∈ R ).
R:
z1 = 3 + 2i
z 2 = 1 − π + 2 xi
Re( z1 ) = 3
Re( z 2 ) = 1 − π
Im(z1 ) = 2
Im(z 2 ) = 2 x
Primjer: Odredite realni i imaginarni dio kompleksnih brojeva z1 = 4 , z 2 = − 2i ,
z3 = − 5 .
R:
z1 = 4 + 0 ⋅ i
z1 = 4 je realni broj.
z 2 = 0 − 2i
z 3 = − 5 = (−1) ⋅ 5 = − 1 ⋅ 5 = i 5
Re( z1 ) = 4 , Im(z1 ) = 0
Re( z 2 ) = 0 , Im(z 2 ) = −2
Re( z 3 ) = 0 , Im(z 3 ) = 5
3
Radni materijali
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. Vrijedi i obratno.
z1 = z 2
⇔
Re( z1 ) = Re( z 2 ) i
Im(z1 ) = Im(z 2 )
Primjer: Jesu li su kompleksni brojevi z1 = 2 + 1i i z 2 = 2 + sin
π
i jednaki?
2
R:
Re( z1 ) = 2 , Re( z 2 ) = 2
π
=1
2
Re( z1 ) = Re( z 2 ) i Im(z1 ) = Im(z 2 ) slijedi z1 = z 2
Im(z1 ) = 1 , Im( z 2 ) = sin
Konjugirano kompleksni broj broja z = x + yi je broj z = x − y i .
Primjer:
1. z = 4 + 5i
z = 4 − 5i
2. z = 5
z = 5+ 0⋅i
z = 5− 0⋅i = 5
3. z = 2i
z = 0 + 2i
z = 0 − 2i = −2i
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z je nenegativni realan broj
z =
x2 + y2 .
Primjer:
z = 2 − 3i
z = 2 2 + ( −3) 2 = 13
z = 2i
z = 0 + 2i
z = 0 + 22 = 2
Računske operacije
Neka su z1 = x1 + y 1 i i z 2 = x 2 + y 2 i dva kompleksna broja. Računske operacije su definirane na
sljedeći način:
4
Radni materijali
z1 + z 2 = x1 + x 2 + ( y1 + y 2 ) i
z1 − z 2 = x1 − x 2 + ( y1 − y 2 ) i
α ⋅ z = α ( x + iy ) = αx + iαy
z1 ⋅ z 2 = ( x1 + iy1 )( x 2 + iy 2 ) = x1 x 2 + iy1 x 2 + ix1 y 2 + i 2 y1 y 2 =
= x1 x2 − y1 y 2 + i ( x1 y 2 + x 2 y1 )
z1
z z
x + iy1 x 2 − iy 2
= 1⋅ 2 = 1
⋅
=
z 2 z 2 z 2 x 2 + iy 2 x 2 − iy 2
x1 x 2 + y1 y 2
y x − x1 y 2
+ i 1 22
, za z 2 ≠ 0
2
2
x2 + y 2
x 2 + y 22
Primjer: Za kompleksne brojeve z1 = 3 + 2i i z 2 = 1 − 4 i izvršite naznačene računske
operacije.
z1 + z 2 = (3 + 2i ) + (1 − 4i ) = (3 + 1) + i (2 + ( − 4)) = 4 − 2i
z1 ⋅ z 2 = (3 + 2i )(1 − 4i ) = 3 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4i + 2 ⋅ 1i − 2 ⋅ 4i 2 = 2 + 8 + i ( −12 + 2) = 10 − 10i
z1 3 + 2i 1 + 4i 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4i + 2 ⋅ 1 i + 2 ⋅ 4i 2 − 5 + 14i
5 14
=
=− + i
=
⋅
=
2
z 2 1 − 4i 1 + 4i
17
17
17
1+ 4
Potenciranje imaginarne jedinice
i 2 = −1 , i 3 = − i , i 4 = 1
Primjer:
i 6 = i 4+ 2 = i 4 ⋅ i 2 = 1 ⋅ (−1) = −1
( )
i 21 = i 4⋅5+1 = i 4 5⋅ i = 15 ⋅ i = i
Primjer: Za proizvoljan kompleksan broj z = x + iy izračunajte z ⋅ z .
R:
z = x + iy
z = x − iy
z ⋅ z = ( x + iy ) ⋅ ( x − iy ) = x − ixy + iyx − i 2 y 2 = x 2 + y 2
2
Imamo z ⋅ z = x 2 + y 2
Kako je z
2
=
(
x2 + y2
)
2
= x 2 + y 2 slijedi z ⋅ z = z
z ⋅ z = x2 + y2
5
2
Radni materijali
Za module kompleksnih brojeva vrijedi:
z1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2
zn = z
n
z1
z1
=
z2
z2
Primjer: Izvršite naznačene operacije primjenom svojstava modula kompleksnih brojeva
( 2 − 3i ) ⋅ (1 + i ) = 2 − 3i ⋅ 1 + i = 4 + 9 ⋅ 1 + 1 = 26 (2 − 2i ) 5 = 2 − 2i
4+i
4+i
16 + 1
17
=
=
=
− 3i
− 3i
3
0+9
(1 + i )
=
2i4
7
1+ i
2i 4
7
(
=
1+1
2i
4
)
7
7
2
7
5
−1
2
=
= 22 = 22 = 4 2
2 ⋅1
6
5
=
(
4+4
)
5
= 27 2
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(kompleksni brojevi u algebarskom obliku)
Za uspješno rješavanje zadataka potrebno je naučiti definicije i svojstva novih pojmova. Sljedeća pitanja
će vam omogućiti da testirate u kojoj ste mjeri savladali prethodno gradivo. Svaki odgovor morate
obrazložiti.
Savjet: dok ispravno ne odgovorite na sva pitanja nemojte početi rješavati zadatke.
1.
Re( 1 − 2i ) = 2
DA
NE
Re ( 2 + i ) = 2
DA
NE
DA
NE
4.
Im (7 − i ) = − i
Re( z ) = 0 , Im( z ) = 1
5.
Re( z ) = 3 , Im( z ) = 0
z=
6.
8 + 2i = 8 − 2i
7.
z = 2i
2.
3.
z=
DA
NE
z=
8.
9.
10.
3+ i = 3 +1
2
z = z
5
(3 + 4i ) = 3 + 4i
5
DA
NE
DA
DA
NE
NE
DA
NE
11.
( a + 3i ) − 2 = a − 2 + 3i
12.
Iztr
Izr ( 2 − i ) ⋅ (1 + 3i ) =
13.
1+ i 1+ i i
=
⋅
−i
−i i
DA
NE
14.
i2 =1
DA
NE
15.
z = 2 + i , z ⋅ z = 2 2 + 12
DA
NE
7
Radni materijali
ODGOVORI
(kompleksni brojevi u algebarskom obliku)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
NE
DA
NE
z =i
z =3
DA
z = −2i
NE
DA
DA
DA
= 5 + 5i
DA
NE
DA
8
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(kompleksni brojevi u algebarskom obliku)
Pogledajte kako se rješava nekoliko prvih zadataka, zatim pokušajte samostalno riješiti ostale primjere.
Ukoliko 'zapnete' pogledajte kako se zadatak rješava. Osnovni zadaci su na početku. Nakon što ste ih
savladali dolaze složeniji zadaci koji predstavljaju kombinaciju prethodnih. Na kraju dolaze zadaci koji
uključuju svu materiju koju ste do sada upoznali. Neki od zadataka su riješeni vrlo detaljno, tako da
možete ponoviti ako ste nešto zaboravili iz elementarne matematike.
Zadatak: Napišite u algebarskom obliku
R:
− 43 .
− 43 = (−1)(43) = − 1 43 = i 43
Zadatak: Ako je z = x + iy odredite Re( z + 1 + 2i ) .
R:
z = x + iy
z + 1 + 2i = x + iy + 1 + 2i = x + 1 + i ( 2 + y )
Re( z + 1 + 2i ) = Re( x + 1 + i ( 2 + y )) = x + 1
Zadatak: ( 2 + 3i ) ⋅ ( 2 − i ) = 4 − 2i + 6i + 3i 2 = 1 + 4i
( 2 + 3i ) ⋅ (2 − 3i ) = 2 2 − (3i ) 2 = 4 − 9i 2 = 13
Zadatak: Izvršite naznačene računske operacije:
− 6i
2
− 2i
− 6i
2
2
0 − 3i
=
=
=− i
=
=
⋅
2
3i 0 + 3i 0 − 3i − 9i
− 9(−1)
3
3
1
1 1− i 1− i 1 1
2.
=
⋅
=
= − i
1+ i 1+ i 1− i
2
2 2
i
i 1+ i i −1
1 1
3.
=
⋅
=
=− + i
1− i 1− i 1+ i
2
2 2
1.
Zadatak: Za kompleksni broj z = 2 + i + i 2 + i 3 + 5i 5 napišite pripadni konjugirano
kompleksni broj.
R:
Da bismo napisali pripadni kompleksno konjugirani broj, moramo broj z napisati u
algebarskom obliku z = x + iy .
Kako je i 2 = −1 ,
i 3 = i 2 ⋅ i = −i
, i 5 = i 4 ⋅ i = i , tako je
z = 2 + i + i 2 + + i 3 + 5i 5 = 2 + i − 1 − i + 5i = 1 + 5i .
Prema tome z = 1 − 5i .
9
Radni materijali
Zadatak: Izračunajte (1 + i ) , (1 + i )
R:
2
4
(1 + i ) 2 = 1 + 2i + i 2 = 1 + 2i − 1 = 2i
(1 + i ) 4 = ( (1 + i) 2 )2 = (2i) 2 = 2 2 ⋅ i 2
= 4(−1) = −4
⎛ i ⎞
⎟
⎝ 1− i ⎠
Zadatak: Izračunajte Re( − 1 + 2i ) + Im⎜
Re( − 1 + 2i ) = Re( −1 − 2i ) = −1
U jednom od prethodnih zadataka smo izračunali
1
1 1
= − + i , pa je
1− i
2 2
⎛ i ⎞ 1
Im ⎜
⎟=
⎝ 1− i ⎠ 2
1
1
⎛ i ⎞
Re( − 1 + 2i ) + Im⎜
⎟ = −1 + = −
2
2
⎝ 1− i ⎠
Zadatak: Izračunajte
3 + 4i
.
(1 − i ) 2
R:
1. način
1. korak
(1 − i) 2 = 1 − 2i − 1 = −2i
2. korak
3 + 4i 2i 6i + 8i 2 − 8 + 6i
3
⋅ =
=
= −2 + i
2
− 2i 2i
4
2
− 4i
3. korak
3 + 4i
3
= −2+ i =
2
2
(1 − i )
4+
9
25 5
=
=
4
4 2
2. način
3 + 4i
3 + 4i
9 + 16
=
=
=
2
2
2
(1 − i )
(1 − i )
1− i
(
25
1+1
)
2
=
5
2
10
Radni materijali
Zadatak: Zadani su kompleksni brojevi z1 = 5 + 4i i z 2 = a + bi .
Odredite a, b ∈ R tako da je z1 + z 2 =
1− i
2+i
R:
1. način
1− i
1− i
⇒ z2 =
− z1
2+i
2+i
1− i
z2 = =
− (5 + 4i )
2+i
z1 + z 2 =
1 − i 2 − i 2 − i − 2i − 1 1 − 3i 1 3
⋅
=
= − i
=
2+i 2−i
5
5 5
22 + 1
1 3
1
3
24 23
z 2 = − i − 5 − 4i = − 5 + i ( − − 4) = −
− i
5
5
5 5
5
5
24
a = Re( z 2 ) = −
5
23
b = Im( z 2 ) = −
5
Pomoćni račun
2. način
z1 + z 2 =
1− i
2+i
1− i
2+i
1 3
5 + a + i ( 4 + b) = − i
5 5
5 + 4i + ( a + bi ) =
Iz jednakosti kompleksnih brojeva slijedi
5+ a =
1
5
4+b = −
⇒
3
5
⇒
24
5
23
b=−
5
a=−
11
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(kompleksni brojevi u algebarskom obliku)
Nakon što je provjerio svoje znanje i «prošao» rješene zadatke, student je osposobljen za potpuno
samostalno rješavanje sljedećih zadataka:
1. − 1 + 2i
2. 1 + 2i − (2 + i )
3. Re( 2i ) + Re( 2 − i )
4. ( 2 − i ) ⋅ (3 + i )
5.
i
5−i
6. Re (2 − i ) ⋅ Im (1 − i )
7. Re ( ( 2 − i ) ⋅ (1 − i ) )
⎛ 1 − 5i
⎞
+ 3 − i⎟
⎝ 2i
⎠
8. Im⎜
9. 3i −
10.
z
z
2
3 + 3i
=?
11. z1 =
2i 4 + i 6
, z 2 = 2 + ia . Odredite a ∈ R tako da je z1 = z 2 .
i3 + 1
12
Radni materijali
RJEŠENJA
(kompleksni brojevi u algebarskom obliku)
1.
5,
2. − 1 + 3i ,
3. 2 ,
4. 7 − i ,
5. −
1
5
+
i,
26 26
6. − 2 ,
7. 1
8. −
3
2
3
+ 3i
2
9. −
10.
z2
z
2
1
7
11. α = − , β =
3
6
13
Radni materijali
1. 2. KOMPLEKSNA (GAUSSOVA) RAVNINA
Kompleksnom broju z = x + iy jednoznačno je pridružen uređeni par ( x, y ) , x, y ∈ R . To nam
omogučava da kompleksne brojeve crtamo u ravnini kao točke T ( x, y ) .
U ravnini nacrtamo dva međusobno okomita brojevna pravca, vodoravni i vertikalni. Sjecište tih pravaca
se zove ishodište. Vodoravni pravac zove se realna os i označava se s x . Vertikalni pravac zove se
imaginarna os i označava se s y . Neka je z = x + iy . Realni dio x broja z nanosi se na realnu os, a
iy se nanosi na imaginarnu os za y od ishodišta. Ravnina u kojoj se crtaju kompleksni brojevi zove se
Gaussova ili kompleksna ravnina.
IMAGINARNA OS
Im(z)
y
(x,y)
z = x+iy
1
ϕ
0
x
1
Re(z)
REALNA OS
Na slici se vidi da spojnica ishodišta i točke koja predstavlja kompleksni broj različit od nule, zatvara kut
φ s pozitivnim dijelom realne osi. Taj kut se zove argument kompleksnog broja z . Broju z je
pridruženo beskonačno mnogo vrijednosti argumenta,
φ , φ + 2π , φ − 2π , φ + 4π , φ − 4π , ...... Vrijednost koja se nalazi u [ 0,2π ) zove se glavna vrijednost
argumenta. Neki autori glavnu vrijednost argumenta uzimaju iz intervala (− π, π ] .
Pravokutan trokut u kojem se nalazi kut φ ima katete x i y , pa je duljina spojnice od ishodišta do točke
x 2 + y 2 tj. modulu broja z .
koja predstavlja broj z (Pitagorin poučak) jednaka je
Im z
Z=x+iy
y
1
0
1
x
Možemo zaključiti da je modul kompleksnog broja z =
ishodišta. Također se iz slike vidi da je tgφ =
Re z
x 2 + y 2 udaljenost točke T ( x, y ) od
y
x
Ta formula ne daje jednoznačan odgovor na pitanje koliki je argument zbog toga što isti tanges ima i
argument kompleksnog broja koji je simetričan zadanom s obzirom na ishodište. Zato uvijek treba
utvrditi u kojem se kvadrantu nalazi kompleksan broj.
14
Radni materijali
Kvadrant
1.
2.
3.
4.
Realni dio
+
+
Imaginarni dio
+
+
-
Primjer: Prikažite u kompleksnoj ravnini brojeve z1 = 2 + 3i , z 2 = −2 + 3i ,
z 3 = −2 − 3i , z 4 = +2 − 3i , z 5 = 2 , z 6 = 3i , z 7 = −2 , z 8 = −3i .
z2
3
1
z7
-2 -1 0
Im z
z6
-1
1
z1
z5
2
Re z
-2
z3
-3
z8
z4
Primjer: Nađite modul i glavnu vrijednost argumenta sljedećih kompleksnih brojeva:
1. z = 1 + i , 2. z = 2 − 2i , 3. z = 5 , 4. z = 2i
1. z = 1 + i
z = 1 + 1 ⋅ i = 12 + 12 = 2
tgφ =
y 1
= =1
x 1
Broj z = 1 + i se nalazi u prvom kvadrantu, pa je glavna vrijednost argumenta φ =
2. z = 2 − 2i
z = 2 2 + (−2) 2 = 8 = 2 2
tgφ =
−2
= −1
2
Broj z = 2 − 2i se nalazi u četrvrtom kvadrantu, pa je argument φ =
3. z = 5 = 5 + 0 ⋅ i
z = 52 + 02 = 5
Broj z = 5 se nalazi na pozitivnom dijelu realne osi, pa je φ = 0
4. z = 2i = 0 + 2i
z = 02 + 22 = 2
Broj se nalazi na pozitivnom dijelu imaginarne osi pa je φ =
15
π
.
2
7π
.
4
π
.
4
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(kompleksna ravnina)
1.
Kompleksni broj 1 + i nalazi se u II kvadrantu
DA
NE
2.
Ako je Re( z ) > 0 i Im( z ) < 0 tada je z ∈ II kvadranta
DA
NE
3.
Ako je kompleksan broj z ∈ III kvadranta tada je
Re( z ) > 0 i Im( z ) < 0
DA
NE
4.
Glavna vrijednost argumenta kompleksnog broja z poprima
vrijednosti iz intervala [0 , ) .
DA
NE
5.
arg (2) = ?
DA
NE
6.
arg (−2) = 0
DA
NE
7.
arg (i ) = π
DA
NE
16
Radni materijali
ODGOVORI
(kompleksna ravnina)
1.
NE
2.
NE
3.
DA
4.
[0,2π )
5.
0
6.
NE
7.
NE
17
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(kompleksna ravnina)
Zadatak:
Zadan je kompleksan broj z = −3 + 2i . Nacrtajte i napišite u algebarskom obliku kompleksni broj koji se
u Gaussovoj ravnini nalazi:
1. simetrično u odnosu na realnu os
2. simetrično u odnosu na imaginarnu os
3. simetrično u odnosu na ishodište.
1. 3 + 2i
2. z = −3 − 2i
3. z = −3 − 2i
Im z
z = -3+2i
z1 = 3+2i
2
1
-3 -2 -1 0
z2 = -3-2i
-1
1
-2
2
3
Re z
z3 = 3-2i
−i
. Izračunajte z .
2+i
Zadatak: Prikažite u kompleksnoj ravnini broj z =
R:
Da bi prikazali broj z ∈ C u kompleksnoj ravnini moramo ga prikazati u algebarskom obliku.
z=
1 2
− i 2 − i − 2i + i 2 − 1 − 2i
⋅
=
=
=− − i
2+i 2−i
4 +1
5
5 5
z =
1
4
1
5
+
=
=
25 25
5
5
Zadatak: U kompleksnoj ravnini nacrtjaje sve kompleksne brojeve kojima je z = 2 .
R:
z = x + iy
Iz
z = x2 + y2 i
x2 + y2 = 2
z = 2 slijedi
x2 + y2 = 2 .
2
x 2 + y 2 = 22
Kompleksni brojevi koji zadovoljavaju traženi uvjet leže na kružnici radiju r = 2 sa središtem u
ishodištu.
18
Radni materijali
⎛
3 ⎞⎟
Zadatak: Odredite glavnu vrijednost argumenta kompleksnog broja z = (2 + 2i ) ⋅ ⎜ − i
⎜
2 ⎟⎠
⎝
R:
⎛
3 ⎞⎟
= −i 3 + 3 = 3 − i 3
z = (2 + 2i ) ⋅ ⎜⎜ − i
2 ⎟⎠
⎝
7π
− 3
ϕ=
⇒
arg ( z ) ∈ IV kvadranta
tgϕ =
= −1
4
3
19
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(kompleksna ravnina)
1. Odredite u kojem kvadrantu kompleksne ravnine leže brojevi:
z1 =
1+ i
, z 2 = ( 3 + i ) ⋅ i , z 3 = −i
− 1 + 2i
2. Odredite modul i argument kompleksnog broja z =
20
3
i
Radni materijali
RJEŠENJA
(kompleksna ravnina)
1. z1 u IV kvadrantu, z 2 u II kvadrantu, z 3 na negativnom dijelu imaginarne osi
3π
2. z = 3 , arg z =
2
21
Radni materijali
1.3. TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
Kompleksni broj z = x + iy je jednoznačno određen s modulom
z is
argumentom φ . Uobičajeno je
označiti r = z = x 2 + y 2 . Nacrtajmo broj z = x + iy u kompleksnoj ravnini.
Im z
z = x+iy
y
y = r sin ϕ
R
ϕ
0
x = r cos ϕ
x
Re z
Kao što se vidi na slici x = r cos φ , y = r sin φ .Tako je z = x + yi = r cos φ + r i sin φ
Zapis z = r (cos φ + i sin φ) se zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Konjugirano
kompleksni broj je z = r ( cos( 2π − φ) + i sin( 2π − φ) ) ili z = r ( cos( − φ ) + i sin( −φ ) ) ako je glavni
argument iz (− π, π ] .
Veze između algebarskog i trigonometrijskog oblika su:
Ako su zadani modul r i argument φ kompleksnog broja z tada je
x = Re z = r cos φ ,
y = Im z = r sin φ .
Primjer: Odredite realni i imaginarni dio kompleksnog broja z = 2 ⋅ (cos
π
π
+ i sin ) .
3
3
Prikažite ga u algebarskom obliku.
π
=1
3
π
Im( z ) = 2 sin = 3
3
z = 1+ i 3
Re( z ) = 2 cos
z = 2 ⋅ (cos
π
π
1
3
π
π
+ i sin ) = 2 cos + i 2 ⋅ sin = 2 ⋅ + i 2 ⋅
= 1+ i 3
3
3
2
2
3
3
Ako su zadani x = Re z i y = Im z tada je
r = z = x 2 + y 2 , φ = arctg
y
x
NAPOMENA: Kvadrant u kojem se nalazi kut φ treba odrediti iz slike odnosno iz
predznaka x i y .
22
Radni materijali
Primjer: Kompleksni broj z = 2 3 + 2i prikažite u trigonometrijskom obliku
z = r (cos φ + i sin φ) .
z = 2 3 + 2i
x = Re( z ) = 2 3
y = Im( z ) = 2
( )
r=
x2 + y2 = 2 3
y
φ = arctg
x
y
2
3
tgφ = =
=
x 2 3
3
x = Re( z ) = 2 3 >0 i
2
+ 2 2 = 16 = 4
φ=
π
7π
ili φ =
6
6
y = Im( z ) = 2 >0 slijedi
z ∈ I kvadranta.
To smo mogli zaključiti tako da broj z = 2 3 + 2i nacrtamo u kompleksnoj ravnini ili iz Re ( z ) > 0 i
Im ( z ) > 0 ⇒
φ=
π
6
z = 4 (cos
π
π
+ i sin ) z ∈ IV kvadranta.
6
6
Računske operacije
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje jednostavno izvođenje računskih operacija
množenja, dijeljena i potenciranja.
z1 ⋅ z 2 = r1 (cos φ1 + i sin φ1 ) ⋅ r2 (cos φ2 + i sin φ2 )
z1 r1
= (cos(φ1 − φ2 ) + i sin(φ1 − φ2 ) ) .
z 2 r2
Primjer: Zadani su kompleksni brojevi z1 = 3(cos 30 0 + i sin 30 0 ) i
z 2 = 2(cos 45 0 + i sin 45 0 ) . Izvršite naznačene računske operacije.
z1 ⋅ z 2 = 3 ⋅ 2(cos(30 0 + 45 0 ) + i sin(30 0 + 45 0 ) ) = 6(cos 75 0 + i sin 75 0 )
(
)
z1 3
3
= cos(30 0 − 45 0 ) + i sin(30 0 − 45 0 ) = (cos(−15 0 ) + i sin(−15 0 )) =
z2 2
2
=
3
(cos 345 0 + i sin 345 0 )
2
23
Radni materijali
Moivreova formula za potenciranje kompleksnih brojeva:
z n = r n (cos nφ + i sin nφ)
π
π
+ i sin )
20
20
π
π
π
π
= 210 (cos10 ⋅
+ i sin 10 ⋅ ) = 210 (cos + i sin )
20
20
2
2
Primjer: z = 2(cos
z 10
Primjer: Izračunajte
(2 + 2i )6 .
Kompleksni broj 2 + 2i moramo prikazati u trigonometrijskom obliku.
2 + 2i = 4 + 4 = 2 2
Broj 2 + 2i se nalazi u I kvadrantu.
2
π
⇒
tgφ = = 1
φ=
2
4
π
π
⎛
⎞
2 + 2i = 2 2 ⎜ cos + i sin ⎟
4
4
⎝
⎠
(2 + 2i )6 = (2
)
6
3π ⎞
3π
π
π⎞
⎛
⎛
+ i sin ⎟
2 ⎜ cos 6 ⋅ + i sin 6 ⋅ ⎟ = 2 9 ⎜ cos
2 ⎠
2
4
4⎠
⎝
⎝
Nadalje n − ti korijen kompleksnog broja z je svaki kompleksni broj koji podignut na n − tu
potenciju daje z .
Vrijedi:
1
n
φ + 2kπ
φ + 2kπ ⎞
⎛
+ i sin
z = z n = n r ⎜ cos
⎟,
n
n ⎠
⎝
k ∈ { 0,1,2,...n − 1}
Primjenom Moivreove formule z n = r n (cos nφ + i sin nφ) vidimo da svaki od brojeva (na desnoj strani
gornje relacije) podignut na n − tu potenciju daje broj z , pa je stoga jednak n − tom korijenu iz z .
Zaključujemo da svaki kompleksni broj, osim nule, ima n međusobno različitih korijena.
Primjer: Odredite druge korijene kompleksnog broja
z2 =
z1, 2 =
7π ⎞
7π
⎛
+ i sin ⎟
2 ⎜ cos
4 ⎠
4
⎝
7π
7π
⎛
⎞
+ 2kπ
+ 2kπ ⎟
⎜
⎟
+ i sin 4
2 ⎜ cos 4
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
24
7π ⎞
7π
⎛
+ i sin ⎟ .
2 ⎜ cos
4 ⎠
4
⎝
Radni materijali
Za k = 0
z1 =
Za k = 1
7π
7π
⎛
⎞
+ 2⋅0⋅π
+ 2⋅0⋅π ⎟
⎜
4
4
⎟ = 4 2 ⎛⎜ cos 7π + i sin 7π ⎞⎟
+ i sin
2 ⎜ cos
2
2
8 ⎠
8
⎜
⎟
⎝
⎜
⎟
⎝
⎠
7π
7π
⎛
⎞
+ 2 ⋅1⋅ π
+ 2 ⋅ 1⋅ π ⎟
⎜
⎟ = 4 2 ⎛⎜ cos 15π + i sin 15π ⎞⎟
+ i sin 4
2 ⎜ cos 4
2
2
8 ⎠
8
⎜
⎟
⎝
⎜
⎟
⎝
⎠
z2 =
Svi n − ti korijeni kompleksnog broja z = r (cos φ + i sin φ) leže na kružnici radijusa
u ishodištu. Prvi korijen (za k = 0 ) ima argument
argumenta prethodnog korijena za
Primjer: Izračunajte
φ=
3
2π
. Korijeni dijele kružnicu na n jednakih dijelova.
n
⎛
⎝
z ako je z = 8 ⎜ cos
π
4
+ i sin
π⎞
⎟ .
4⎠
π
π
Prvi korijen ima argument 4 = .
3
3 12
π ⎞
1
π
⎛
= 3 8 ⎜ cos + i sin ⎟
12
12 ⎠
⎝
Argumenti slijedećih korijena se dobiju uvečanjem za
( z)
2
( z)
3
3
3
r sa središtem
φ
, a slijedeći korijeni se dobiju uvećanjem
n
π
4
( z)
n
2π 8π
=
3 12
9π
9π ⎞
π 8π
π 8π ⎞ ⎛
⎛
= 3 8 ⎜ cos( + ) + i sin( + ) ⎟ = 2 ⎜ cos
+ i sin
⎟
12 12
12 12 ⎠
12
12 ⎠
⎝
⎝
9π 8π
9π 8π ⎞
17π
17π ⎞
⎛
⎛
+ i sin
= 3 8 ⎜ cos(
+
) + i sin(
+
) ⎟ = 2 ⎜ cos
⎟
12 12
12 12 ⎠
12
12 ⎠
⎝
⎝
25
Radni materijali
Nacrtajmo kružnicu radijusa r = 2 sa središtem u ishodištu
Im z
2
( √ z )2
3
-2
( √ z )3
3
1
-1
π
12
0 1
-1
-2
26
( √ z )1
3
2
Re z
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(trigonometrijski oblik kompleksnog broja)
1.
z2 =
2
2
(cos 45 0 + i sin 45 0 ) , z 2 =
2
2
2.
z2 =
2
(cos 45 0 + i sin 45 0 ) napišite u algebarskom obliku
2
3.
z1 =
π
π
π
π
2
(cos + i sin ) i z 2 = 2 (cos + i sin )
2
2
2
4
4
4.
⎛ ⎛
π
π ⎞⎞
z = ⎜⎜ 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎟⎟
3
3 ⎠⎠
⎝ ⎝
10
5.
⎛ ⎛
π
π ⎞⎞
z = ⎜⎜ 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎟⎟
3
3 ⎠⎠
⎝ ⎝
10
6.
z = −27 prikažite u trigonometrijskom obliku
7.
8.
z = 2 (cos
π
4
DA
z1 ⋅ z 2 =
z =
arg z =
z=
π
+ i sin )
4
z1 + z 2 =
π
π
π
π
2
z1 =
(cos + i sin ) i z 2 = 2 (cos + i sin )
2
2
2
4
4
3
9.
z =
z=
2
(cos 135 0 + i sin 135 0 )
2
arg z =
10.
⎛ ⎛
π
π ⎞⎞
z = ⎜⎜ 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎟⎟
3
3 ⎠⎠
⎝ ⎝
11.
z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) pokažite da je z ⋅ z = r 2
4
27
NE
Radni materijali
ODGOVORI
(trigonometrijski oblik kompleksnog broja)
1.
DA
2.
1
1
+i
2
2
3.
1
4.
210
5.
4π
3
6.
7.
8.
3π
3π
+ i sin )
4
4
5π
5π
z = 2(cos
+ i sin )
4
4
1 ⎛ 1
2⎞
⎟i
+ ⎜⎜ +
2 ⎝ 2
2 ⎟⎠
z = 27(cos
9.
10.
11.
3
3π
3π ⎞
2⎛
⎜ cos + i sin ⎟
2 ⎝
12
12 ⎠
3
2⎛
19π
19π ⎞
+ i sin
⎜ cos
⎟
2 ⎝
12
12 ⎠
3
11π
11π ⎞
2⎛
+ i sin
⎟
⎜ cos
2 ⎝
12
12 ⎠
4π
3
z ⋅ z = r (cos φ + i sin φ) ⋅ r (cos( 2π − φ) + i sin( 2π − φ)) = r 2 (cos 2π + i sin 2π ) = r 2
28
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(trigonometrijski oblik kompleksnog broja)
Zadatak: Sljedeće kompleksne brojeve napišite u trigonometrijskom obliku:
1. 4
2. 5i
3. z = −1 − i
R:
1. Broj 4 = 4 + 0i nalazi se na pozitivnom dijelu realne osi, pa je argument φ = 0 .
Modul je naravno 4 . Tako je 4 = 4 (cos 0 + i sin 0 )
2. Broj 5i = 0 + 5i nalazi se na pozitivnom dijelu imaginarne osi, pa je argument
⎛
⎝
Tako je 5i = 5 ⎜ cos
3.
z = −1 − i
z = 1+1 = 2
π
π⎞
+ i sin ⎟ .
2
2⎠
Re( z ) < 0 i Im( z ) < 0 ⇒
φ ∈ III kvadranta.
7π
−1
tg φ =
, φ=
=1
4
−1
7π
7π
z = −1 − i = 2 (cos
+ i sin )
4
4
Zadatak: Napišite u trigonometrijskom obliku z = − cos
π
π
+ i sin
7
7
R:
r =1
Re( z ) < 0 , Re( z ) < 0
π
sin
7 = −tg π = tg 6π
tgφ = −
π
7
7
cos
7
6π
6π
z = cos
+ i sin
7
7
φ=
6π
7
Zadatak: Zadani su kompleksni brojevi z1 = 1 + i i z 2 =
Vrijedi li z1 = z 2 ?
R:
2⎛ 2
2⎞ 1
1
π
π
2
⎜
⎟= +i
(cos + i sin ) =
+
i
2
4
4
2 ⎜⎝ 2
2 ⎟⎠ 2
2
z1 ≠ z 2
z2 =
29
2
π
π
(cos + i sin ) .
2
4
4
φ=
π
. Modul je 5 .
2
Radni materijali
Zadatak: Napišite kompleksni broj z u algebarskom obliku ako je z = 2 i arg z =
π
.
3
R:
z = r (cos φ + i sin φ) = 2(cos
π
π
+ i sin ) =
3
3
⎛ 1
3⎞
⎟ = 1+ i 3
2 ⎜⎜ + i
⎟
2
2
⎝
⎠
ili
π
=1
3
π
y = r sin φ = 2 sin = 3
3
z = 1+ i 3
x = r cos φ = 2 cos
⎛
⎝
Zadatak: Izračunajte 3(cos π + i sin π ) ⋅ 5⎜ cos
π
π⎞
+ i sin ⎟ .
3
3⎠
R:
⎡
π⎞
π ⎞⎤
π
π⎞
⎛
⎛
⎛
3(cos π + i sin π )⋅ 5⎜ cos + i sin ⎟ = 3 ⋅ 5⎢ cos⎜ π + ⎟ + i sin ⎜ π + ⎟ ⎥ =
3⎠
3 ⎠⎦
3
3⎠
⎝
⎝
⎝
⎣
4π
4π ⎤
⎡
= 15 ⎢ cos
+ i sin ⎥
3
3⎦
⎣
Zadatak: Izračunajte
R:
3 (cos
π
π
3π
3π
+ i sin ) ⋅ 2.1 (cos
+ i sin ) =
5
5
10
10
⎡
π
π⎞
⎛ π 3π ⎞
⎛ π 3π ⎞ ⎤
⎛
= 3 ⋅ 2.1 ⎢ cos ⎜ + ⎟ + i sin ⎜ + ⎟ ⎥ = 6.3 ⎜ cos + i sin ⎟
2
2⎠
⎝ 5 10 ⎠
⎝ 5 10 ⎠ ⎦
⎝
⎣
⎛
⎝
Zadatak: Izračunajte 6 ⎜ cos
π
π⎞ ⎛
π
π⎞
+ i sin ⎟ : 3⎜ cos + i sin ⎟ .
2
2⎠ ⎝
3
3⎠
R:
⎛π π⎞
⎛ π π ⎞⎤
π
π⎞ ⎛
π
π ⎞ 6⎡
⎛
6 ⎜ cos + i sin ⎟ : 3 ⎜ cos + i sin ⎟ = ⎢ cos⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥
2
2⎠ ⎝
3
3⎠ 3⎣
⎝ 2 3⎠
⎝ 2 3 ⎠⎦
⎝
Zadatak: Zadani su kompleksni brojevi z1 = 2 − 3i i z 2 = 2 (cos π + i sin π ) .
Izračunajte: 1. ( z1 + z 2 ) 2 , 2.
z1
z2
30
Radni materijali
R:
1. z1 = 2 − 3i
z 2 = 2 (cos π + i sin π ) = −2
( z1 + z 2 ) 2 = (2 − 3i + ( −2) ) = ( −3i ) 2 = (−3) 2 i 2 = 9 ⋅ ( −1) = −9
2
⇒
z1 2 − 3i
3
=
= −1 + i
−2
2
z2
2. z 2 = −2
z 2 = −2
Zadatak Ako su z1 = 2(cos φ + i sin φ) i z 2 = 3 +
1
5
+ i odredite φ ∈ (0,2π ) tako da je z1 + z 2
−1+ i 2
realan broj.
R:
( z1 + z 2 ) ∈ R
⇔
Im(z1 + z 2 ) = 0
1.korak
Kompleksne brojeve z1 i z 2 moramo prikazati u algebarskom obliku.
z1 = 2(cos φ + i sin φ)
1
5
z2 = 3 +
+ i
−1+ i 2
Izračunajmo
1
1
1 1
−1− i −1− i
=
⋅
=
=− − i
−1+ i
−1+ i −1− i
1+1
2 2
z2 = 3 +
1
5
1 1
5
5
+ i = 3 − − i + i = + 2i
−1+ i 2
2 2
2
2
2. korak
5
⎛5
⎞
z1 + z 2 = (2 cos φ + i 2 sin φ ) + ⎜ + 2i ⎟ = 2 cos φ + + i (2 sin φ + 2 )
2
⎝2
⎠
3.korak
Im(z1 + z 2 ) = 0
3π
φ=
2
z1 = −2i
⇒
2 sin φ + 2 = 0
⇒
31
sin φ = −1
Radni materijali
Zadatak: Odredite
3
− 2i .
R:
z = −2i = 0 − 2i
Broj z moramo prikazati u trigonometrijskom obliku.
r = z = 0 + ( − 2) 2 = 2
x = 0,
y < 0 pa je φ =
3π
2
3π
3π ⎞
⎛
z = 2⎜ cos
+ i sin ⎟
2
2 ⎠
⎝
k=0
3π
3π ⎞
⎛
⎟
⎜
3π
3π ⎞
⎛
z1 = 3 2 ⎜ cos 2 + i sin 2 ⎟ = 3 2 ⎜ cos + i sin ⎟
3
3 ⎟
6
6 ⎠
⎜
⎝
⎟
⎜
⎠
⎝
k =1
3π
3π
⎞
⎛
+ 2π
+ 2π ⎟
⎜
⎟=3
z 2 = 3 2 ⎜ cos 2
+ i sin 2
3
3
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
k=2
3π
3π
⎞
⎛
+ 2⋅ 2⋅π
+ 2⋅ 2⋅π ⎟
⎜
⎟ = 3 2 ⎛⎜ cos 11π + i sin 11π ⎞⎟
z 3 = 3 2 ⎜ cos 2
+ i sin 2
3
3
6
6 ⎠
⎟
⎜
⎝
⎟
⎜
⎠
⎝
Zadatak: Riješite jednadžbu
1 + 7i 7 − i 4
⋅z .
=
i
−4
R:
1 + 7i − i − i − 7i 2 7 − i
⋅
=
=
= 7−i
1
−i
i
− i2
32
7π
7π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sin ⎟
6
6 ⎠
⎝
Radni materijali
7−i =
7−i 4
⋅z
−4
− 4 = z4
z 4 = −4
Zadatak smo sveli na računanje četvrtih korijena iz w = −4
w =4
φ=π
z 4 = 4(cos π + i sin π )
π
π⎞
⎛
z 0 = 4 4 ⎜ cos + i sin ⎟ = 1 + i
4
4⎠
⎝
3π ⎞
3π
⎛
+ i sin ⎟ = −1 + i
z1 = 4 4 ⎜ cos
4
4 ⎠
⎝
5π
5π ⎞
⎛
z 2 = 4 4 ⎜ cos
+ i sin ⎟ = −1 − i
4
4 ⎠
⎝
Zadatak: Odredite sve kompleksne brojeve za koje je z 2 − 1 + i = 0
R:
z2 −1+ i = 0
z2 = 1− i
1− i = 1+ 1 = 2
tgφ = −1
φ=
φ=
φ ∈ II ili IV kvadranta
7π
4
7π
7π ⎞
⎛
1 − i = 2 ⎜ cos
+ i sin ⎟
4
4 ⎠
⎝
7π
7π ⎞
⎛
+ i sin ⎟
z 2 = 2 ⎜ cos
4
4 ⎠
⎝
33
5π
7π
ili φ =
4
4
Radni materijali
z 0,1 =
7π
7π
⎞
⎛
+ 2kπ
+ 2kπ ⎟
⎜
⎟
2 ⎜ cos 4
+ i sin 4
2
2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
7π
7π ⎞
⎛
k = 0 z 0 = 4 2 ⎜ cos
+ i sin ⎟
8 ⎠
8
⎝
15π
15π ⎞
⎛
k =1
+ i sin
z1 = 4 2 ⎜ cos
⎟
8
8 ⎠
⎝
34
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(trigonometrijski oblik kompleksnog broja)
1. Prikažite u trigonometrijskom obliku kompleksne brojeve:
z1 = − 3 − i , z 2 = Re( 2 − 2i ) + i Im(−2i ) ,
π
π
+ i sin )
2
2 , arg z = ?
2. z =
π
π
3(cos + i sin )
3
3
6(cos
3. Izračunajte (−1 + i ) 35 ⋅ (2 + 2i ) 5
⎛
⎝
4. ⎜ 1 +
5.
6.
7.
3
4
1− i ⎞
⎟
1+ i ⎠
22
3−i
− 3 − i + (1 − 3i ) ⋅ (3 + i )
( 2 + i 2 ) 33
8. Riješite jednadžbu z 3 − 1 − i 3 = 0
9. Riješite jednadžbu z 3 + 27 = 0
8
π
π⎞
⎛
⎜ 3(cos + i sin ⎟
3
3⎟ .
10. Izračunajte Im ⎜
⎜
⎟
3 + 3i
⎜
⎟
⎝
⎠
i6 ⎞
⎟,
⎟
⎝ 1 + 2i ⎠
⎛
11. z = Re ⎜⎜
3
z =?
35
Radni materijali
12. Riješite jednadžbu z 2 −
13. Riješite jednadžbu
⎡
⎢
2−i 2 3
14. ⎢
⎢ cos 2π + i sin 2π
⎢⎣
3
3
5 ⎛
π
π⎞
⎜ cos + i sin ⎟ = 0
2−i ⎝
2
2⎠
z4 −
i4
=0
−2+i
6
⎤
⎥
⎥ =?
⎥
⎥⎦
15. Napišite kompleksni broj z u trigonometrijskom obliku ako je arg z = arg(1 + i )10 i
1
.
z=
5 − 3i
36
Radni materijali
RJEŠENJA
(trigonometrijski oblik kompleksnog broja)
⎛
⎝
1. z1 = 2 ⎜ cos
π
6
2. arg z =
⎛
⎝
3. 2 25 ⎜ cos
⎛
⎝
4. 211 ⎜ cos
5.
6.
7π
7π
7π ⎞
7π ⎞
⎛
+ i sin
+ i sin
⎟ , z 2 = 2 − 2i = 2 2 ⎜ cos
⎟
6
4
6 ⎠
4 ⎠
⎝
3π
3π ⎞
+ i sin ⎟
2
2 ⎠
3π
3π ⎞
+ i sin ⎟
2
2 ⎠
11π
11π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sin
⎟,
8
8 ⎠
⎝
3
5π
5π ⎞
⎛
6 ⎜ cos
+ i sin ⎟
3
3 ⎠
⎝
5π ⎞
5π
⎛
4
6 ⎜ cos
+ i sin ⎟ ,
12
12 ⎠
⎝
3
22π
22π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sin
⎟,
8
8 ⎠
⎝
3
33π
33π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sin
⎟
8
8 ⎠
⎝
4
4
4
17π
17π ⎞
⎛
6 ⎜ cos
+ i sin
⎟,
12
12 ⎠
⎝
11π ⎞
11π
⎛
6 ⎜ cos
+ i sin
⎟,
12
12 ⎠
⎝
4
23π
23π ⎞
⎛
6 ⎜ cos
+ i sin
⎟
12
12 ⎠
⎝
π
π⎞
⎛
2 33 ⎜ cos + i sin ⎟
4
4⎠
⎝
7.
33
33
9π
9π ⎞
π
π⎞
⎛
⎛
2 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 2 2 ⎜ cos
+ i sin ⎟
8
8
8⎠
8 ⎠
⎝
⎝
8.
3
π
π⎞
⎛
2 ⎜ cos + i sin ⎟ ,
9
9⎠
⎝
9.
z1 =
10.
−
3
7π
7π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sin ⎟ ,
9
9 ⎠
⎝
3
3
(1 + i 3 ) , z 2 = −3 , z 3 = (1 − i 3 )
2
2
81
3
32
37
3
13π
13π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sin
⎟
9
9 ⎠
⎝
Radni materijali
11.
3
π
π⎞
1⎛
⎜ cos + i sin ⎟ ,
5⎝
3
3⎠
12. cos
13.
π
4
+ i sin
π
4
, cos
3
1
( cos π + i sin π ) ,
5
3
1⎛
5π
5π ⎞
+ i sin
⎜ cos
⎟
5⎝
3
3 ⎠
5π
5π
+ i sin
4
4
4
5 ⎛
π
π⎞
⎜ cos + i sin ⎟ ,
5 ⎝
2
2⎠
4
5 ⎛
3π
3π ⎞
+ i sin
⎜ cos
⎟,
5 ⎝
2
2 ⎠
5
5
4
4
( cos π + i sin π ) ,
5
5
( cos 0 + i sin 0)
14. 4 6
15. z =
34 ⎛
π
π⎞
⎜ cos + i sin ⎟
34 ⎝
2
2⎠
38
Radni materijali
1. 4. EKSPONENCIJALNI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
Eksponencijalni ili Eulerov oblik kompleksnog broja je
z = re iφ = r (cos φ + i sin φ) .
Napomena: φ u radijanima.
π
π⎞
⎛
Primjer: Kompleksni broj z = 2⎜ cos + i sin ⎟ prikažite u eksponencijalnom obliku.
2
2⎠
⎝
R:
π
r=2 i φ=
2
z = 2e
⇒
i
π
2
(
)
Primjer: Kompleksni broj z = 5 cos 45 0 + i sin 45 0 prikažite u eksponencijalnom obliku.
R:
π
φ = 45 =
4
r=5 i
0
z = 5e
⇒
Primjer: Kompleksni broj z = 2 e
i
i
π
4
π
3
prikažite u trigonometrijskom i algebarskom obliku.
R:
z = 2e
i
π
3
π
π
+ i sin )
3
3
π
π
3
1
z = 2 cos + i ⋅ 2 sin = 2 ⋅
+ 2⋅ i = 3 + i
3
3
2
2
z = 2(cos
Primjer: Kompleksni broj z = 3 + 3i prikažite u eksponencijalnom obliku.
R:
z = 3 + 3i
r = z = 9+9 =3 2
z ∈ I kvadranta
z=3 2e
i
tgφ =
y 3
= =1
x 3
φ=
π
4
π
4
Računske operacije množenja, dijeljenja, potenciranja i korijenovanja
r1e i φ1
r
= 1 e i ( φ1 − φ2 )
i φ2
r2
r2 e
(r e )
iφ
n
= r n ei nφ
39
Radni materijali
r ⋅ ei φ = n r e
n
i
φ + 2 kπ
n
, k = 0,1,...n − 1
Primjer: Izvršite naznačene računske operacije:
3e i π ⋅ 2e
i
π
3
= 3 ⋅ 2e
⎛
3e i π
2e
i
π⎞
⎛
i ⎜ π+ ⎟
3⎠
⎝
π⎞
3 i ⎜ π− ⎟ 3 i
= e ⎝ 3⎠ = e
2
2
π
3
= 6e
i
4π
3
2π
3
7
π⎞
π
⎛
π
7π
i
i ⎜ 2π + ⎟
i 7⋅
i
⎛ i π3 ⎞
⎜ 2e ⎟ = 2 7 e 3 = 2 7 e 3 = 2 7 e ⎝ 3 ⎠ = 2 7 e 3
⎜
⎟
⎝
⎠
3
8e
i
π
4
= 3 8e
π
+ 2 kπ
i 4
3
k = 0,1,2
π
k=0
⎛3 i π
⎜ 8e 4
⎜
⎝
π
4
⎞
⎟ = 3 8e i 3 = 2e i 12
⎟
⎠1
k =1
⎛3 i π
⎜ 8e 4
⎜
⎝
4
⎞
⎟ = 3 8e i 3
⎟
⎠2
k=2
⎛3 i π
⎜ 8e 4
⎜
⎝
4
⎞
⎟ = 3 8e i 3
⎟
⎠3
π
π
40
+ 2π
i
9π
12
i
17 π
12
= 2e
+ 4π
= 2e
Radni materijali
Algebarski oblik
Trigonometrijski oblik
z = x + yi
z = r (cos φ + i sin φ)
Eksponencijalni
oblik
z = re i φ
x = r cos φ
x = Re z
y = r sin φ
y = Im z
z =
x2 + y2
z = x − yi
r=
x2 + y2
tgφ =
y
x
r= z
r= z
φ = arg z
φ = arg z
z = r (cos( 2π − φ) + i sin( 2π − φ))
ili
z = r e i ( 2π −ϕ )
z = r (cos(− φ) + i sin( − φ))
z = re − i φ
41
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(eksponencijalni oblik kompleksnog broja)
1. Kompleksni broj z = 2i napišite u eksponencijalnom obliku.
2. Kompleksni broj z 2 =
2
(cos 45 0 + i sin 45 0 ) napišite u eksponencijalnom obliku.
2
3. Kompleksni broj z =
2 2i
e napišite u algebarskom obliku.
2
π
⎛
4. a) arg⎜ 3 e i π ⋅ 4e
⎜
⎝
i
π
10
π
⎞
i
⎟ = ? , b) 4e i 0 ⋅ 2 e 2 = ?
⎟
⎠
42
Radni materijali
ODGOVORI
(eksponencijalni oblik kompleksnog broja)
1. z = 2 e
i
π
2
2 i
2. z 2 =
e
2
3. z =
4. a)
π
4
2
i
2
11π
, b) 8
10
43
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(eksponencijalni oblik kompleksnog broja)
Zadatak: Izvršite naznačene računske operacije
3e
i
π
2
+ 2e
i
π
= 3 (cos
4
π
2
π
π
π
+ i sin ) + 2 (cos + i sin ) = 3i + 2 + i 2
2
4
4
= 2 + i (3 + 2 )
2e
i
π
5
⋅ 6e
i
π
3
= 2 ⋅ 3e
⎛ π π⎞
i⎜ + ⎟
⎝ 5 3⎠
= 6e
3π
i
⎛
⎜
Zadatak: Izračunajte ⎜ 2 e 4
⎝
i
8π
15
⎞ ⎛
8
⎟ + ⎜⎜
2
⎟
⎠ ⎝ ( −1 − i )
⎞
⎟⎟ .
⎠
R:
Da bi mogli izvršiti naznačenu računsku operaciju zbrajanja potrebno je oba sumanda prikazati u
algebarskom obliku. To radimo postepeno.
1. korak
z1 = 2 e
i
3π
4
=
⎛
3π
3π ⎞
2
2
⎛
= 2 ⎜ cos
+ i sin ⎟ = 2 ⎜⎜ −
+
2
4
4 ⎠
⎝
⎝ 2
z1 = −1 + i
⎞
2 2
i ⎟⎟ = − + i = −1 + i
2 2
⎠
2. korak
z2 =
8
( −1 − i ) 2
(−1 − i ) 2 = 1 + 2i − 1 = 2i
8 4
z2 =
=
2i i
4 − i − 4i
z2 = ⋅
=
= −4i
i −i
1
3. korak
3π
i
⎛
⎜ 2e 4
⎜
⎝
⎞ ⎛
8
⎟ + ⎜⎜
2
⎟
⎠ ⎝ ( −1 − i )
⎞
⎟⎟ = ( −1 + i ) + ( −4i ) = −1 + i − 4i = −1 − 3i
⎠
44
Radni materijali
⎛
Zadatak: Izračunajte ⎜⎜ 2 e
i
3π
4
⎝
⎞ ⎛
8
⎟ + ⎜⎜
6
⎟
⎠ ⎝ ( −1 − i )
⎞
⎟⎟ .
⎠
R:
Prvi sumand je isti kao u prethodnom zadatku, pa imamo: z1 = −1 + i .
Drugi sumand je
8
. Da bi izračunali (−1 − i ) 6 potrebno je kompleksni broj − 1 − i prikazati u
6
( −1 − i )
trigonometrijskom obliku.
−1− i
r = −1− i = 1+1 = 2
( −1 − i ) ∈ III
−1
tgφ =
=1
−1
− 1 − i = 2 (cos
⎛
= ⎜⎜
6
( −1 − i ) ⎝
kvadranta
⇒
φ=
5π
4
5π
5π
+ i sin )
4
4
6
5π
5π ⎞ ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sin ⎟ ⎟⎟
4
4 ⎠⎠ =
⎝
15π
15π
⎛
= 2 3 ⎜ cos
+ i sin
2
2
⎝
( 2)
6
5π
5π ⎞
⎛
+ i sin 6 ⎟
⎜ cos 6
4
4 ⎠
⎝
⎛
3π
⎞
⎛
⎟ = 8 ⎜⎜ cos ⎜ 6π +
2
⎠
⎝
⎝
⎛
⎝
= 8 ⎜ cos
3π
⎞
⎛
⎟ + i sin ⎜ 6π +
2
⎠
⎝
3π
3π ⎞
+ i sin ⎟ = 8 (− i ) = −8i
2 ⎠
2
8
i
i
8
1 i
=
=
⋅ =
= =i
2
( −1 − i ) 6
− 8i − i i − i
1
3π
i
⎛
⎜ 2e 4
⎜
⎝
⎞ ⎛
8
⎟ + ⎜⎜
6
⎟
⎠ ⎝ ( −1 − i )
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
⎞
⎟⎟
⎠ = −1 + i + i = −1 + 2i
45
Radni materijali
Zadatak: Napišite kompleksne brojeve z1 = −
3 3 3
+
i i
2
2
z 2 = 6i u eksponencijalnom obliku te
izračunajte:
1. z1 ⋅ z 2 ,
z1
, 3. z14 ,
z2
2.
z2
4.
R:
z1 = −
3 3 3
+
i
2
2
z1 =
36
=3
4
z1 se nalazi u II kvadrantu.
⇒
tgφ1 = − 3
z1 = 3e
i
2π
3
φ1 =
2π
3
z 2 = 6i
z2 = 6
z 2 se nalazi na pozitivnom dijelu imaginarne osi pa je φ2 =
z 2 = 6e
i
π
2
1. z1 ⋅ z 2 = 3e
i
2π
3
2π
i
3
⋅ 6e
i
π
2
= 18e
⎛ 2π π ⎞
− ⎟
3 2⎠
z
3e
1 i⎜
2. 1 =
= e⎝
π
i
2
z2
6e 2
⎛ i 2π
3. z = ⎜⎜ 3e 3
⎝
4
1
4.
z 2 = 6e
k=0
k =1
⎛ 2π π ⎞
+ ⎟
i⎜
⎝ 3 2⎠
= 18e
i
7π
6
π
=
1 i6
e
2
4
8π
2π
i
i
⎞
⎟ = 3 4 e 3 = 81 e 3
⎟
⎠
i
π
2
= 6e
π
+ 2 kπ
i 2
2
π
⎛
⎜ 6e i 2
⎜
⎝
π
⎛
⎜ 6e i 2
⎜
⎝
π
⎞
⎟ = 6 ei 4
⎟
⎠1
5π
⎞
⎟ = 6 ei 4
⎟
⎠2
46
π
.
2
Radni materijali
(
4
)
π
i ⎞
⎛
⎜
Zadatak: Izračunajte z = ⎜ − 3 − 3 3 i − 3 e 3 ⎟⎟ . U kojem se kvadrantu nalazi broj z ?
⎝
⎠
R:
Zadatke ovakvog tipa treba rješavati postepeno.
1. korak
− 3 − 3 3 treba napisati u eksponencijalnom obliku da bi mogli izvršiti naznačeno množenje
2. korak
−3−3 3 = 9 + 9⋅3 = 6
− 3 − 3 3 ∈ III
− 3 − 3 3 = 6e
i
kvadranta , tgφ =
−3 3
= 3 ,
−3
φ=
4π
3
4π
3
3. korak
(− 3 − 3 3 )⋅
3e
i
π
4
= 6e
i
4π
3
⋅ 3e
π
3
i
= 6 3e
i
5π
3
4. korak
(
4
)
π
5π
i ⎞
i
⎛
⎛
3 ⎟
⎜
⎜
z = ⎜ − 3 − 3 3 i ⋅ 3 e ⎟ = ⎜ 6 3e 3
⎝
⎝
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
4
= 6 ⋅ 9e
4
i
20 π
3
= 6 ⋅ 9e
4
i
2π
3
z ∈ II kvadranta
Zadatak: Broj 1 napišite u eksponencijalnom obliku i izračuajte treće korijene.
R:
1 = 1+ 0 ⋅ i
1 =1
arg(1) = 0
1 = e0i
k=0
k =1
k=2
( 1) =
( 1) =
( 1) =
3
1
3
3
3
2
3
3
3
1⋅e
1e
1e
i
0
3
=1
0+ 2π
i
3
0+ 4π
i
3
= 1⋅ e
= 1⋅ e
i
2π
3
i
4π
3
47
Radni materijali
Zadatak: Izračunajte
2e
3
i
3π
4
−
1+ i
.
1− i
R:
Kompleksne brojeve pod korijenom svedimo na algebarski oblik.
⎛
3π
3π ⎞
2
2⎞
⎛
⎟ = −1 + i
= 2 ⎜ cos
+ i sin ⎟ = 2 ⎜⎜ −
+i
⎟
4
4 ⎠
2
2
⎝
⎝
⎠
1 + i 1 + i 1 + i 2i
=
=i
z2 =
=
⋅
2
1− i 1− i 1+ i
z1 = 2 e
i
3π
4
z1 − z 2 = −1 + i − i = −1
−1
3
,
3
− 1 + 0 ⋅ i , − 1 + 0 ⋅ i = 1 , arg(−1) = π
− 1 = 1 ⋅ (cos π + i sin π )
(
3
−1
)
0
= cos
π
π
+ i sin
3
3
(
3
− 1 1 = cos π + i sin π
)
(
3
−1
)
2
= cos
5π
5π
+ i sin
3
3
⎛
Zadatak: Izračunajte arg ⎜⎜ e
⎝
i
π
2
−
4 − 4i ⎞
⎟.
4 + 4i ⎟⎠
R:
4 − 4i 4 (1 − i ) 1 − i 1 − i 1 − 2i − 1
=
=
⋅
=
= −i
4 + 4i 4(1 + i ) 1 + i 1 − i
2
π
i
2
π
π
+ i sin = i
2
2
π
arg ( i + i ) = arg 2i =
2
e
= cos
48
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(eksponencijalni oblik kompleksnog broja)
1. Izračunajte 4 e
i
π
2
3 eiπ
2. Izračunajte
6e
3. 2 e
π
2
i
⋅8 ei π
i
3π
2
+ 4 ei π
4. (1 + i )10 ⋅ 2e iπ
i
5.
π
3
e
π
π
2(cos + i sin )
2
2
⎛1− i ⎞
i ⋅π
⎟ + i Re (3e )
i
⎝
⎠
6. Re ⎜
⎛ i π 4 − 4i ⎞
⎟.
7. Izračunajte arg ⎜⎜ e 2 −
4 + 4i ⎟⎠
⎝
8.
4
e
i
π
3
⎛ iπ
9. arg ⎜ 4 e 6
⎜
⎝
10. 1 + e
11.
e
i
i
⎞
⎟
⎟
⎠
20
=?
π
2
=?
π
4
1+ i
12. Re (e
i
3π
4
+ (2 − 2i ) ) +
1
=?
2i
2
⎛
⎞
⎜ 3−i⎟
13. Riješite jednadžbu z 3 − ⎜
=0
π
⎜ i 12 ⎟⎟
⎝ e
⎠
49
Radni materijali
RJEŠENJA
(eksponencijalni oblik kompleksnog broja)
1. 32 e
i
3π
2
3π
1 i2
e
2
3. − 4 + 2i
2.
6
4. 2 e
5.
1 i
e
2
i
3π
2
11π
6
6. − 1 − 3i
7.
π
2
8. e
i
π
12
,e
i
7π
12
,e
i
13π
12
π
9.
2
10. 2
π
2 i2
e
11.
2
12. −
13.
3
2 5
+
2
2
4e
i
21 π
18
,
3
4e
i
33 π
18
,
3
4e
i
9π
18
50
Radni materijali
II. MATRICE , DETERMINANTE, SUSTAVI
2.0. POTREBNO PREDZNANJE
50
2.1. MATRICE
Definicija
Vrste matrica
Jednakost matrica
Računske operacije s matricama
Inverzne matrice
50
2.2. DETERMINANTE
Definicija
Svojstva determinanti
Računanje determinanti svođenjem na trokutasti oblik
69
2.3. SUSTAVI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI
Gaussova metoda
Inverzna matrica
79
51
Radni materijali
2.0. POTREBNO PREDZNANJE
Rješavanje sustava dvije jednadžbe s dvije nepoznanice
2.1. MATRICE
Pravokutna tablica brojeva a ij ∈ R koji su poredani u m redaka i n stupaca zove se matrica tipa
m×n.
⎡ a11
⎢a
21
A= ⎢
⎢ .
⎢
⎣ a m1
a12
a 22
.
am2
... a1n ⎤
... a 2 n ⎥⎥
,
.
. ⎥
⎥
... a mn ⎦
m, n ∈ N
[ ]
Matrice obično označavamo velikim slovima A, B, X ,.... Koriste se i oznake A = (aij ) , A = aij .
Promatrat ćemo samo matrice čiji su elementi realni brojevi.
Brojevi ai , j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n su elementi matrice.
Brojevi a i1 , ai 2 ....ain tvore i − ti redak matrice.
Brojevi a1 j , a 2 j ,..., a mj tvore j − ti stupac matrice.
Brojevi a11 , a 22 , a33 ,...a min( m ,n ) min( m ,n ) tvore glavnu dijagonalu matrice.
Primjer:
kod matrice
⎡ 1 3 5⎤
⎢ −2 3 0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 4 1 ⎥⎦
je a1, 2 = 3
− 2 , 3, 0
5 , 0 ,1
1, 3 ,1
su elementi drugog retka
su elementi trećeg stupca
su elementi glavne dijagonale
Vrste matrica
Ako je m = n kažemo da je A kvadratna matrica reda n .
Ako je m = 1 matrica je retčana (ima samo jedan redak).
Ako je n = 1 kažemo da je A stupčana matrica (ima samo jedan stupac)
Kvadratna matrica A je dijagonalna ako su svi nedijagonalni elementi jednaki 0 .
52
Radni materijali
⎡ a11
⎢0
A= ⎢
⎢ .
⎢
⎣0
0
a 22
.
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
... a nn ⎦
...
...
.
0
0
.
Dijagonalna matrica je jedinična ako je a ii = 1 , i = 1,..., n . Oznaka za jediničnu matricu je I .
⎡1
⎢0
I=⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
...
...
...
...
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
Ako su svi elementi matrice jednaki 0 , onda se ona zove nul-matrica.Oznaka za nul-matricu je O .
Primjer nul-matrice tipa 4 × 2
⎡0
⎢0
O=⎢
⎢0
⎢
⎣0
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
0⎦
Donja trokutasta matrica je kvadratna matrica koja ima sve elemente iznad glavne dijagonale jednake
⎡− 1 0 0 ⎤
⎢
⎥
nuli. T = 5 2 0
⎢
⎥
⎢⎣ 4 0 0.6⎥⎦
Gornja trokutasta matrica je kvadratna matrica koja ima sve elemente ispod glavne dijagonale jednake
nuli.
⎡ 2 6 − 9.7 ⎤
B = ⎢⎢ 0 3
4 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0
1 ⎥⎦
[ ]
Matrici A = a i j
[
tipA = m × n se može pridružiti transponirana matrica AT b i , j
] tipA
tako da je b i , j = a j , i . Transponiranu matricu dobijemo tako da retci i stupci zamijene mjesta.
53
T
= n× m
Radni materijali
Primjer:
⎡ a11
Ako je zadana matrica A = ⎢
⎣ a2 1
⎡ a1 1 a 2 1 ⎤
⎢
⎥
T
A = ⎢ a1, 2 a 2 2 ⎥
⎢ a1 3 a 2 3 ⎥
⎣
⎦
a1 2
a 22
a13 ⎤
njena transponirana matrica je
a 2 3 ⎥⎦
Kvadratna matrica je simetrična ako je A = AT .
Matrice A i B su jednake ako su
1. istog tipa i
2. ako je aij = bij za sve parove indeksa i , j .
Simbolički jednakost dviju matrica označavamo A = B .
Primjer:
Postoje li brojevi x i y za koje su matrice
⎡3 x
A= ⎢
⎣0
1 ⎤
⎡2 − y 1⎤
i B=⎢
jedanke?
⎥
x + y⎦
2⎥⎦
⎣ 0
tipA = 2 × 2 , tipB = 2 × 2
Vrijedi a12 = b12 = 1 , a 21 = b21 = 0 .
Da bi matrice bile jednake mora biti zadovoljeno
a11 = b11
⇒
3x = 2 − y
⇒
x+ y = 2
i
a 22 = b22
Problem se svodi na rješavanje sustava od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice
3x + y = 2
x+ y = 2
Sustav ima rješenje x = 0 , y = 2 .
54
Radni materijali
Zbrajanje i oduzimanje matrica
Mogu se zbrajati samo matrice istog tipa. Ako su A i B istog tipa, tada je matrica C = A + B istog tipa
kao i matrice A i B vrijedi cij = aij + bij .
Svojstva zbrajanja su:
A+ B = B+ A
( A + B) + C = A + ( B + C )
(komutativnost)
( asocijativnost)
Primjer:
1
⎡ 2 0 − 1⎤ ⎡ 3
⎢ 4 π 1 ⎥ + ⎢ 2 − 2π
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ − 1 0 3 ⎥⎦ ⎢⎣1
4
0 +1
1⎤ ⎡ 2 + 3
⎢
⎥
0 ⎥ = ⎢ 4 + 2 π − 2π
a ⎥⎦ ⎢⎣ − 1 + 1 0 + 4
− 1 + 1⎤ ⎡5 1
0 ⎤
⎢
⎥
1 + 0 ⎥ = ⎢6 − π
1 ⎥⎥
3 + a ⎥⎦ ⎢⎣0 4 3 + a ⎥⎦
Mogu se oduzimati samo matrice istog tipa. Ako su A i B istog tipa, tada matrica C = A − B istog tipa
kao i matrice A i B vrijedi cij = aij − bij .
Primjer:
0 − 1 ⎤ ⎡ − 7 − 1⎤
⎡ −5 0 ⎤ ⎡ 2 1 ⎤ ⎡ −5− 2
⎢ 4 1 ⎥ − ⎢ 0 − 2 ⎥ = ⎢ 4 − 0 1 − (−2) ⎥ = ⎢ 4
3 ⎥⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
Množenje matrice s brojem
Matrica se množi brojem tako da se svaki element matrice pomnoži tim brojem.
⎡ a11
⎢a
21
λ⎢
⎢ ...
⎢
⎣ a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n ⎤ ⎡ λa11
... a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ λa 21
=
... ... ⎥ ⎢ ...
⎥ ⎢
... a mn ⎦ ⎣ λa m1
λa12
λa 22
....
λa m 2
λa1n ⎤
... λa 2 n ⎥⎥
...
... ⎥
⎥
.... λa mn ⎦
...
Primjer:
4 1 ⎤ ⎡5 ⋅ 2
5 ⋅ 4 5 ⋅ 1 ⎤ ⎡10 20
5⎤
⎡2
=⎢
=⎢
5⋅ ⎢
⎥
⎥
⎥
⎣0 − 2 6⎦ ⎣5 ⋅ 0 5 ⋅ (−2) 5 ⋅ 6⎦ ⎣0 − 10 30 ⎦
55
Radni materijali
Lako se provjeri da vrijedi
⎡ λa11
⎢ λa
⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣ λa m1
λa12
λa 22
....
λa m 2
λa1n ⎤
⎡ a11
⎢a
⎥
... λa 2 n ⎥
21
=λ ⎢
⎢ ...
...
... ⎥
⎢
⎥
.... λa mn ⎦
⎣ a m1
...
a12
a 22
...
am2
... a1n ⎤
... a 2 n ⎥⎥
... ... ⎥
⎥
... a mn ⎦
Primjer:
⎡ 2 5⎤
⎡ 2000 5000⎤
⎢ 4000 8000⎥ = 1000 ⎢ 4 8⎥
⎦
⎦
⎣
⎣
Množenje matrica
Definicija množenja matrica je na prvi pogled neobična, ali upravo nam ona omogučava
jednostavni zapis sustava linearnih jednadžbi.
Matrice A i B možemo množiti samo ako su ulančane, odnosno ako matrica A ima onoliko stupaca
koliko matrica B ima redaka.
To možemo zapisati tipA = m × n i tipB = k × l matrice A i B su ulančane ako je n = k .
Neka je A tipa m × k i B tipa k × n . Tada je matrica C = A ⋅ B tipa m × n i vrijedi
k
cij = ∑ ail blj = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + aik bkj
l =1
Primjer:
⎡1 2⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⎤ ⎡ 5 5 ⎤
AB = ⎢
⎥
⎥=⎢
⎥=⎢
⎥⎢
⎣3 4⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎣3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2⎦ ⎣11 11⎦
⎡1 1⎤ ⎡1 2⎤ ⎡ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 ⎤
BA = ⎢
⎥=
⎥=⎢
⎥⎢
⎣ 2 2 ⎦ ⎣3 4 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 ⎦
Vrijedi AB ≠ BA .
Općenito množenje matrica nije komutativno.
Primjer:
Izračunajte AB ako je
⎡1 0⎤
A= ⎢
⎥ i
⎣3 2 ⎦
⎡ − 1 5 − 4⎤
B=⎢
1 ⎥⎦
⎣ 6 3
56
⎡4 6 ⎤
⎢8 12⎥
⎦
⎣
Radni materijali
Matrica A je tipa 2 × 2 , a matrica B je tipa 2 × 3 . Broj stupaca matrice A jednak je broju redaka
matrice B ( ulančane su ) pa produkt postoji i on je jednak matrici C tipa 2 × 3 .
⎡ 1 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 6
C = AB = ⎢
⎣ 3 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 6
1⋅ 5 + 0 ⋅ 3
3⋅ 5 + 2 ⋅ 3
1 ⋅ (−4) + 0 ⋅ 1 ⎤ ⎡ − 1 5
=
3 ⋅ (−4) + 2 ⋅ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 9 21
−4 ⎤
− 10 ⎥⎦
Primijetimo da u ovom primjeru ne postoji produkt BA , jer broj stupaca matrice B nije jednak broju
redaka matrice A .
Primjer:
⎡ 2 1⎤
Izračunajte AB i BA za matrice A = ⎢⎢ − 1 3⎥⎥ i
⎢⎣ − 2 2⎥⎦
0⎤
⎡1 2
B=⎢
⎥
⎣ 4 − 2 − 3⎦
tip A = 3× 2 , tip B = 2 × 3 . Matrice A i B su ulančane, pa se mogu množiti i vrijedi tip AB = 3× 3
6 2
⎡
⎢
AB = ⎢ − 811 − 8
⎢⎣
6
tip B = 2 × 3 , tip A = 3× 2 . Matrice B
− 3⎤
− 9⎥⎥
− 6⎥⎦
i A su ulančane, pa se mogu množiti i vrijedi tip BA = 2 × 2
⎡0 7 ⎤
BA = ⎢
⎥
⎣16 − 8⎦
Svojstva množenja matrica, ukoliko su sve navedene operacije definirane :
( AB)C = A( BC )
A( B + C ) = AB + AC
(asocijativnost)
( distributivnost)
( A + B)C = AC + BC
λ( AB) = ( λA) B = A( λB)
( distributivnost)
Zbog općenite nekomutativnosti množenja matrica, moramo posebno navesti distributativnost prema
množenju slijeva i zdesna.
Za dvije matrice A i B kažemo da su ekvivalentne ( oznaka A ~ B ), ako se jedna matrica može dobiti iz
druge konačnom primjenom sljedećih elementarnih transformacija:
1. Međusobna zamjena mjesta redaka (ili stupaca) matrice.
⎡3 2⎤ ⎡4 1⎤
⎢4 1⎥~⎢3 2⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
57
Radni materijali
2. Množenje svih elemenata nekog retka (ili stupca) proizvoljnim brojem različitim od nule.
⎡ 3 2 ⎤ ⎡ 30 20 ⎤
⎢4 1⎥~⎢ 4 1 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
3. Dodavanje elementima nekog retka (ili stupca) odgovarajućih elemenata nekog drugog retka (ili stupca)
istim proizvoljnim brojem
2 ⎤
⎡3 2⎤
⎡ 3
( − 2 R1 + R2 ) ~ ⎢
⎥
⎥
⎣4 1⎦
⎣−2 −3⎦
4. ⎢
Inverzna matrica
Dana je matrica A . Matrica B koja zadovoljava relaciju
AB = BA = I .
zove se inverzna matrica matrice A i označavamo je s A −1 , tj. B = A −1 , pa je
AA −1 = A −1 A = I .
Iz definicije inverzne matrice slijedi da matrice A i A −1 moraju biti kvadratne matrice istog reda.
Primjer:
⎡− 2
3
⎢
⎣ 2
Pokažite da je matrica B = ⎢
⎡− 2
AB = ⎢ 3
⎢
⎣ 2
1⎤
1⎥
− ⎥
2⎦
1⎤
⎡1 2⎤
1 ⎥ inverzna matrica matrice A = ⎢
.
− ⎥
3 4⎥⎦
⎣
2⎦
⎡1 2⎤ ⎡1 0⎤
⎢3 4 ⎥ = ⎢ 0 1 ⎥ = I
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎡1 2⎤ ⎡ − 2
BA = ⎢
⎥⎢ 3
⎣3 4⎦ ⎢⎣ 2
1 ⎤ ⎡1 0⎤
1⎥ =
=I
− ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦
2⎦
Primjer:
⎡1 0⎤
⎥ nema inverzne matrice.
⎣1 0⎦
Kada bi postojala inverzna matrica A −1 matrice A moralo bi vrijediti AA −1 = I .
Pokažite da matrica A = ⎢
⎡1 0⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ a b⎤
AA −1 = ⎢
⎥⎢
⎥=⎢
⎥
⎣1 0⎦ ⎣ c d ⎦ ⎣ a b⎦
58
Radni materijali
⎡ a b ⎤ ⎡1 0⎤
A −1 = ⎢
⎥
⎥=⎢
⎣ a b ⎦ ⎣0 1⎦
Odavde slijedi da bi broj a istovremeno morao biti jednak i 1 i 0 što je nemoguće.
Kvadratna matrica koja ima inverznu matricu zove se regularna. Ako za matricu A ne postoji inverzna
matrica zvat ćemo je singularnom matricom.
Kako se određuju inverzne matrice regularnih matrica biti će pokazano naknadno.
Matrične jednadžbe
Koristeći se do sada definiranim računskim operacijama s matricama možemo rješavati jednadžbe u
kojima se kao nepoznanica javlja matrica.Takve jednadžbe zvati ćemo matrične jednadžbe.
Promotrimo matričnu jednadžbu:
AX = B
Ako je matrica A kvadratna , reda n i regularna tada gornja jednadžba ima smisla jedino u slučaju kad je
matrica B tipa n × k .Gornju matričnu jednadžbu rješavamo množeći je s matricom A −1 s lijeva. To znači
da lijevu i desnu stranu jednadžde množimo s lijeva s A −1 .
A −1 ⋅ / AX = B
A −1 ⋅ ( AX ) = A −1 ⋅ B
(14
A⋅ A )X = A
24
3
−1
−1
⋅B
I
Analogno rješavamo matričnu jednadžbu
X = A −1 B
XA = B
Ako je matrica A kvadratna , reda n i regularna tada gornja jednadžba ima smisla jedino u slučaju kad je
matrica B tipa k × n .Gornju matričnu jednadžbu rješavamo množeći je s matricom A −1 s desna. To znači
da lijevu i desnu stranu jednadžbe množimo sa desna s A −1 .
XA = B /⋅ A −1
XA ⋅ A −1 = B ⋅ A −1
X = BA −1
59
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(matrice)
⎡ 1 5 0⎤
1. B = ⎢ 2 − 1 3⎥ izračunajte 3 ⋅ B =
⎢
⎥
⎢⎣ 0 4 1⎥⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2. Napišite primjer dijagonalne matrice trećeg reda..
3. Ako je tipA = 4 × 3 tada je tipA T =
4. Odredite transponiranu matricu matrice A.
⎡ 1 8 8⎤
A = ⎢⎢ 5 2 0⎥⎥
⎢⎣ 5 6 3⎥⎦
⎡1 ⎤
5. Zadane su matrice A = ⎢0⎥ i B =
⎢ ⎥
⎢⎣ 3⎥⎦
DA
⎡ 1 5 0⎤
⎢ 2 − 1 3⎥ . Može li se izračunati suma ovih matrica?
⎢
⎥
⎢⎣ 0 4 1⎥⎦
NE
⎡ 0 0 0⎤
⎡ 0 0 0⎤
⎥
⎢
6. Objasnite zašto su matrice A = ⎢ 3 3 3⎥ i B = ⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ ekvivalentne.
⎣⎢ 1 1 1⎥⎦
⎣⎢ 1 1 1⎦⎥
⎡1 ⎤
⎢ ⎥
7. Zadane su matrice A = 0 i B =
⎢ ⎥
⎢⎣ 3⎥⎦
DA
⎡ 1 5 0⎤
⎢ 2 − 1 3⎥ . Može li izračunati A ⋅ B ?
⎢
⎥
⎢⎣ 0 4 1⎥⎦
NE
⎡0 a 1 ⎤
8. Zadane su matrice A = ⎢0 1 2⎥ i B =
⎢
⎥
⎢⎣0 1 b ⎥⎦
DA
⎡ 1 5 0⎤
⎢ 2 − 1 3⎥ . Može li se izračunati razlika ovih matrica?
⎢
⎥
⎢⎣ 0 4 1⎥⎦
NE
60
Radni materijali
⎡1 2⎤
⎥ i B=
⎣0 6⎦
9. Ako su A = ⎢
......... redaka
⎡1 0 2⎤
⎢ 4 2 9 ⎥ , tada matrica A ⋅ B ima :
⎦
⎣
................stupaca
10. Ako je matrica A regularna tada je rješenje matrične jednadžbe XA = B jednako X = BA −1 .
DA
NE
11. Matrice se mogu dijeliti .
DA
NE
12. Zamjena retka i stupca u matrici je elementarna transformacij matrice.
DA
NE
61
Radni materijali
ODGOVORI
(matrice - provjera znanja)
1.
⎡ 3 15 0⎤
3B = ⎢⎢ 6 − 3 9⎥⎥
⎢⎣ 0 12 3⎥⎦
2.
⎡ 1 0 0⎤
A = ⎢⎢ 0 2 0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 3⎥⎦
3. tipA T = 3× 4
4.
⎡ 1 5 5⎤
A = ⎢⎢ 8 2 6⎥⎥
⎢⎣ 8 0 3⎥⎦
T
5.
NE
6. Ako elemente trećeg retka matrice A pomnožimo s –3, i dodamo elementima drugog retka matrice A (
elementarna transformacija) dobiti ćemo matricu B.
7.
tipA = 3× 1
tipB = 3× 3
NE
8.
DA
9.
2 retka i 3 stupca
10.
DA
11.
NE
12.
NE
62
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(matrice- riješeni zadaci)
Zadatak: Izvršite naznačene računske operacije
⎡ 2 − 1 ⎤ ⎡ − 3 1⎤ ⎡ 2 − 3 − 1 + 1 ⎤ ⎡ − 1 0 ⎤
⎢ 3 0 ⎥ + ⎢ 0 c⎥ = ⎢ 3 + 0 0 + c ⎥ = ⎢ 3 c⎥
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎣
⎦
⎦ ⎣
⎡ 2 ⎤ ⎡
⎢ 0. 5 ⎥ ⎢
⎢
⎥−⎢
⎢ 1 ⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎣ − 4. 2 ⎦ ⎣
7 ⎤ ⎡ 2−7
3 ⎥⎥ ⎢⎢ 0.5 − 3
=
0. 2 ⎥ ⎢ 1 − 0. 8
⎥ ⎢
5 ⎦ ⎣ − 4 .2 − 5
⎡ 2
⎢
5⋅ ⎢ −1
⎢ 3
⎣
0 ⎤ ⎡ 5⋅ 2
5 ⋅ 1 5 ⋅ 0 ⎤ ⎡ 10
⎥ ⎢
⎥ ⎢
1
0.1⎥ = ⎢ 5 ⋅ (−1) 5 ⋅
5 ⋅ 0.1⎥ = ⎢ − 5
2
⎢
4 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⋅ 3
5 ⋅ 0 5 ⋅ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 15
1
1
2
0
⎤ ⎡ −5 ⎤
⎥ ⎢ − 2.5⎥
⎥=⎢
⎥
⎥ ⎢ 0.2 ⎥
⎥ ⎢
⎥
⎦ ⎣ − 9.2⎦
5
5
2
0
0 ⎤
⎥
0. 5 ⎥
⎥
25 ⎥⎦
⎡ x−3
⎡ 1 0⎤
= −2 ⎢
⎥
⎣ 0
⎣ 0 1⎦
Zadatak: Postoje li brojevi x i y tako da je ⎢
0 ⎤
y + 2⎥⎦
R:
0
⎡ 1 0⎤ ⎡ − 2( x − 3)
⎤
⎢ 0 1⎥ = ⎢
0
− 2( y + 2)⎥⎦
⎣
⎦ ⎣
1 = −2 x + 6
1 = −2 y − 4
Rješenje sustava je x =
5
5
, y=−
2
2
⎡1⎤
⎡1⎤
⎢
⎥
Zadatak: Pokažite da je: [1 1 1] ⋅ 1 = [3] i ⎢1⎥ ⋅ [1 1 1] =
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
R:
⎡1⎤
[1 1 1] ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ = [1 ⋅ 1 + 1⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ] = [ 3 ]
⎢⎣1⎥⎦
63
⎡1 1 1⎤
⎢1 1 1⎥ .
⎢
⎥
⎢⎣1 1 1⎥⎦
Radni materijali
⎡1⎤
⎡1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1⎤
⎢1⎥ ⋅ [1 1 1] = ⎢1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1⎥⎦
⎡ 2 2⎤
⎥ i B=
⎣ 2 2⎦
Zadatak: Ako su zadane matrice A = ⎢
⎡1 2⎤
⎢ 2 1 ⎥ pokažite da je
⎦
⎣
⎡ 6 6⎤
AB = BA = ⎢
⎥.
⎣ 6 6⎦
R:
⎡ 2 2⎤ ⎡1 2⎤ ⎡ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1⎤ ⎡6 6⎤
AB = ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥ =⎢
⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 1 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1⎦ ⎣6 6⎦
⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2⎤ ⎡ 6 6⎤
BA = ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎥
⎣ 2 1 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2⎦ ⎣ 6 6⎦
Zadatak: Odredite matricu C za koju vrijedi − 2 A + B + C = O ako su :
⎡ 3⎤
A = ⎢⎢1 ⎥⎥ , B =
⎢⎣ 4⎥⎦
⎡ 0 ⎤
⎢ − 2⎥ i
⎢ ⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡ 0⎤
O = ⎢⎢0⎥⎥ (nul-matrica)
⎢⎣0⎥⎦
R:
Matrica C je tipa 3 × 1 .
Zadatak možemo riješiti na dva načina.
1. način
⎡ 3⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤
− 2 ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ + ⎢⎢ − 2⎥⎥ + ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣ 4⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎡ − 6 + 0 + x ⎤ ⎡ 0⎤
⎢ − 2 − 2 + y ⎥ = ⎢ 0⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢ − 8 + 3 + z ⎦⎥ ⎢⎣0⎦⎥
⇒
⇒
⎡ − 6 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0⎤
⎢ − 2⎥ + ⎢ − 2⎥ + ⎢ y ⎥ = ⎢ 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ − 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎡ − 6 + x ⎤ ⎡0⎤
⎢ − 4 + y ⎥ = ⎢0⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢ − 5 + z ⎦⎥ ⎢⎣0⎦⎥
64
Radni materijali
Iz jednakosti matrica slijedi:
−6+ x = 0
−4+ y = 0
−5+ z = 0
⎡ 6⎤
Rješenje sustava je x = 6 , y = 4 , z = 5 . Tražena matrica je C = ⎢ 4⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 5⎥⎦
2. način
Rješavamo matričnu jednadžbu po matrici C .
C = 2A − B + O = 2A − B
⎡ 3⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 6 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 6 − 0 ⎤ ⎡ 6 ⎤
C = 2 ⋅ ⎢⎢1 ⎥⎥ − ⎢⎢ − 2⎥⎥ = ⎢⎢ 2⎥⎥ − ⎢⎢ − 2⎥⎥ = ⎢⎢ 2 − (−2)⎥⎥ = ⎢⎢ 4⎥⎥
⎢⎣ 4⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣8 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 8 − 3 ⎥⎦ ⎢⎣5⎥⎦
Zadatak: Riješite matričnu jednadžbu AB + X = C , ako su
⎡ 5 2⎤
A= ⎢
⎥ , B=
⎣4 1⎦
⎡ 2⎤
⎡ 5⎤
⎢ 3⎥ , C = ⎢ 4⎥ .
⎣ ⎦
⎣ ⎦
R:
AB + X = C
X = C − AB
⎡ 5⎤ ⎡ 5 2⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ 5⎤ ⎡5 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3⎤ ⎡ 5⎤ ⎡16⎤ ⎡5 − 16⎤ ⎡ − 11⎤
X =⎢ ⎥−⎢
⎥
⎥=⎢
⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢
⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥− ⎢
⎣ 4⎦ ⎣ 4 1 ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 4⎦ ⎣ 4 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 ⎦ ⎣ 4⎦ ⎣11⎦ ⎣ 4 − 11⎦ ⎣ − 7 ⎦
65
Radni materijali
2 3⎤ ⎡5 8⎤
⎥
⎥=⎢
⎣ −1 4 ⎦ ⎣ 2 1 ⎦
⎡
Zadatak: Odredite matricu X tako da vrijedi X − ⎢
1. način
⎡a b ⎤
X =⎢
⎥
⎣c d ⎦
⎡a b ⎤ ⎡ 2 3⎤ ⎡5 8⎤
⎢ c d ⎥ − ⎢ −1 4 ⎥ = ⎢ 2 1 ⎥
⎦ ⎣
⎣
⎦
⎦ ⎣
a−2=5
b−3=8
c +1= 2
d −4 =1
⎡ 7 11 ⎤
X =⎢
⎥
⎣1 5 ⎦
2. način
⎡ 2 3 ⎤ ⎡ 5 8 ⎤ ⎡ 7 11 ⎤
X =⎢
⎥=⎢
⎥+⎢
⎥
⎣ −1 4 ⎦ ⎣ 2 1 ⎦ ⎣ 1 5 ⎦
⎡3 5 0⎤
Zadatak: Elementarnim transformacijama “svedite” matricu ⎢⎢ 2 1 4 ⎥⎥ na gornje trokutastu matricu.
⎢⎣ 1 3 0 ⎥⎦
R:
⎡3 5 0⎤
⎢2 1 4⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 1 3 0 ⎥⎦
(zamijeniti
R1
i R3 )
⎡1 3 0 ⎤ ⎛ − 3R + R ⎞
1
3
⎥
⎢
⎟
̃ 2 1 4 ⎜
⎟
⎥⎜
⎢
⎢⎣ 3 5 0 ⎥⎦ ⎝ − 2 R1 + R 2 ⎠
⎡
⎤
1 3
0 ⎥
⎡1 3 0 ⎤
⎢
⎢0 − 5 4 ⎥ ⎛ − 4 R + R ⎞ ˜ ⎢0 − 5
4 ⎥
3⎟
⎥ ⎜⎝ 5 2
⎢
⎠ ⎢
16 ⎥
⎣⎢0 − 4 0 ⎥⎦
⎢0 − 0 − ⎥
5 ⎦
⎣
66
̃
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(matrice)
1. Izvršite računske operacije ako su definirane:
⎡ 2 0 2⎤
a. 4 ⋅ ⎢⎢ 1 − 1 1 ⎥⎥
⎢⎣ 5 5 5⎥⎦
⎡ 4 2⎤ ⎡ 1 0⎤
b. ⎢
⎥+⎢
⎥
⎣ 0 6⎦ ⎣ 0 1⎦
⎡ 3 1
⎣ −1 4
c. ⎢
d.
[2
⎤ ⎡ 1 5⎤
⎥⋅⎢ 0 4⎥
⎦ ⎣
⎦
⎡ 3 2⎤
6 1] ⋅ ⎢
⎥
⎣ 9 0⎦
⎡ 0 0⎤
⎡ 2 5⎤
2. Riješite matričnu jednadžbu ⎢
− 2X = ⎢
⎥.
⎥
⎣ 0 0⎦
⎣ 3 1⎦
⎡ − 3 1 − 1⎤
⎡ 2 5 − 1⎤
⎢
⎥
−1
3. Zadana je matrica A = ⎢ 1 0 1 ⎥ . Odredite x , y ∈ R tako da vrijedi A = ⎢⎢ x 11 − 2⎥⎥ .
⎢⎣ − 2 2 3 ⎥⎦
⎢⎣ y − 4 1 ⎥⎦
Provjerite rezultat.
⎡ 1 3⎤
1 ⎡ 4 − 3⎤
inverzna matrica matrice ⎢
4. Ispitajte je li matrica A = ⎢
.
⎥
7 ⎣ 1 1 ⎥⎦
⎣ −1 4 ⎦
67
Radni materijali
RJEŠENJA
(matrice)
1.
0
8⎤
⎡ 8
⎢
⎥
a)
⎢ 4 − 4 4 ⎥ , b)
⎢⎣ 20 20 20⎥⎦
2.
⎡
⎢1
X =⎢
3
⎢
⎣2
3.
x = 5 , y = −2 . A ⋅ A −1 = I
4.
DA
⎡ 5 2⎤
⎡ 3 19⎤
⎢ 0 7 ⎥ , c) ⎢ − 1 11⎥ , d) nije moguće
⎣
⎦
⎣
⎦
5⎤
2⎥
1⎥
⎥
2⎦
68
Radni materijali
2.2. DETERMINANTE
Kvadratnoj matrici reda n možemo pridružiti broj kojeg zovemo determinanta kvadratne matrice.
Determinantu kvadratne matrice označavamo s det(A) ili A . Definicija determinante je dosta složena,
pa ćemo u ovom kolegiju pokazati kako se može računati determinanta ovisno o redu kvadratne matrice.
Za slučaj kvadratne matrice prvog reda A = [a11 ] vrijednost determinante je definirana s
det(A) = a11 = a11
⎡ a11
⎣ a 21
Za kvadratne matrice drugog reda A = ⎢
det( A) =
a12 ⎤
vrijednost determinante je
a 22 ⎥⎦
a11
a 21
a12
= a11 ⋅ a 22 − a 21 ⋅ a12
a 22
Primjer:
2
4
= 2 ⋅ (−3) − (−1) ⋅ 4 = −2
−1 − 3
Determinanta kvadratne matrice trećeg reda je
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23 = a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 − a31 a 22 a13 − a32 a 23 a11 − a33 a 21 a12
a 31
a32
a33
Determinanta matrice trečeg reda može se računati i primjenom Sarusovog pravila:
Uputa: prvi i drugi stupac dopišite desno od matrice kao njeno proširenje
a11
a 21
a12
a 22
a13 a11
a 23 a 21
a12
a 22
a31
a32
a33 a31
a32
= a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 − a31 a 22 a13 − a32 a 23 a11 − a33 a 21 a12
Sarussovo pravilo vrijedi isključivo za računanje determinanti trećeg reda.
Primjer:
6 2 4 6 2
0 5 − 1 0 5 = 6 ⋅ 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ (−1) ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 ⋅ 4 − 2 ⋅ (−1) ⋅ 6 − 5 ⋅ 0 ⋅ 2 = 96
3 2
5
3 2
69
Radni materijali
Laplaceov razvoj determinante po prvom retku
a11
a12
a 21
a 31
a 22
a32
a13
a
a 23 = a11 22
a 32
a 33
a 23
a 33
− a12
a 21
a 23
a31
a33
+ a13
a 21
a 22
a31
a32
Ovim smo problem računanja determinante trećeg reda sveli na problem računanja tri determinante
drugog reda.
Primjer:
7 −3 5
2 1
5 1
5 2
5 2 1 = 7⋅
− (−3)
+ 5⋅
= 43
−1 3
2 3
2 −1
2 −1 3
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23
a14
a 24
a31
a32
a33
a34
a 41
a 42
a 43
a 44
= a11
=
a 22
a32
a 23
a33
a 24
a 21
a34 − a12 a31
a 23
a33
a 24
a 21 a 22
a34 + a13 a31 a32
a 42
a 43
a 44
a 43
a 44
a 41
a 41
a 42
a 21
a 24
a 34 − a14 a31
a 44
a 41
a 22
a32
a 23
a33
a 42
a 43
Ovim smo problem računanja determinante četvrtog reda sveli na problem računanja četri determinante
trećeg reda.
Laplaceovim razvojem se može izračunati determinanta bilo kojeg reda i to ne samo po prvom retku, nego
po bilo kojem retku ili stupcu.
Računanje determinanti po ovoj formuli je nepraktično, jer povećanjem reda determinante jako
povećava broj determinanti nižeg reda koje treba računati. Zato ćemo navesti neka svojstva
determinanti, koja mogu bitno pojednostavniti njihovo računanje.
Svojstva determinante
Determinanta kao funkcija koja kvadratnoj matrici A pridružuje broj det A , ima određena svojstva.
Poznavanje tih svojstava olakšava rad s matricama i determinantama.
1. Ako u determinanti reci i stupci zamijene mjesta determinanta ne mijenja vrijednost.
2. Ako u determinanti dva stupca međusobno ili dva retka međusobno zamijene mjesta, determinanta
mijenja predznak.
70
Radni materijali
3. Ako su dva retka (odnosno stupca) jednaka vrijednost determinante jednaka je nuli.
4. Ako sve elemente jednog retka (odnosno stupca) pomnožimo brojem k , tada se determinanta pomnoži
brojem k .
5. Vrijednost determinante se ne mijenja ako elemente jednog retka (odnosno stupca) pomnožimo brojem i
dodamo odgovarajućim elementima drugog retka (odnosno stupca).
6. Vrijednost determinante čiji su svi elementi ' ispod ' ili ' iznad ' glavne dijagonale jednaki 0, jednaka je
produktu elemenata na glavnoj dijagonali.
Pokažimo da vrijedi:
a
b
ka kb
=0
a b
= kab − kab = 0
ka kb
Pokažimo da vrijedi:
a
b
c
d
a
b
c
d
c
d
a
b
=−
c
d
a
b
= ad − cb
= cb − ad = − ( ad − cb
)
Računanje determinante svođenjem na trokutasti oblik
Vrlo često determinante se računaju tako da se korištenjem svojstava determinante, determinanta svede na
trokutasti oblik jer je vrijednost takve determinante jednaka produktu elemenata na dijagonali.
Primjer:
1 3 2
Izračunajte vrijednost determinante 1
5 0 .
0 2 1
1 3 2
1 3 2
⎧ prvi redak pomnožimo s − 1⎫
⎧ drugi redak pomnožimo s − 1⎫
1 5 0 =⎨
⎬ = 0 2 −2 = ⎨
⎬
⎩i dodamo drugom retku
⎭
⎭
⎩i dodamo trećre retku
0 2 1
0 2 1
71
Radni materijali
1 3
= 0
2
2 − 2 = 1⋅ 2 ⋅ 3 = 6
0 0
3
Primjer:
⎧ zajedničaj faktor elemenata R1 je 1000⎫
⎪
⎪
58 7 58 4 58 = ⎨ zajedničaj faktor elemenata R2 je 58 ⎬ =
⎪
−3 ⎪
10 − 3 2 ⋅ 10 − 3 − 10 −3
⎩ zajedničaj faktor elemenata R3 je 10 ⎭
6 3 2
58
−3
= 1000
D
{ ⋅ 58 ⋅ 10 1 7 4 =
10
10 2
1 2 −1
Vrijednost determinante D možemo izračunati na više načina.
6000
3000
2000
Ako je determinanta kvadratne matrice det A ≠ 0 matrica je regularna. Vrijedi i obrat. Ako je kvadratna
matrica regularna tada je det A ≠ 0 .
Ponovimo: Kvadratna matrica je regularna ako ima inverznu matricu A −1
Zaključimo:
Za kvadratnu matricu A postoji jednoznačno određena inverzna matrica A −1 onda i samo onda ako je
det A ≠ 0 .
Ako je det A = 0 matrica je singularna. Vrijedi i obrat. Ako je kvadratna matrica singularna tada je
det A = 0 .
Primjer:
⎡1 1 − 2⎤
⎢
⎥
Ispitajte je li matrica 2 − 1 3 regularna.
⎢
⎥
⎢⎣ 4 1 − 1 ⎥⎦
Moramo izračunati vrijednost pripadne determinante
1
det( A) =
1
−2
2 −1 3
4 1 −1
1 1 −2
⎧ − 2 ⋅ R1 + R2 ⎫
⎨
⎬ = 0 −3 7
⎩ − 2 ⋅ R2 + R3 ⎭
0 3 −7
Matrica A nije regularna. Matrica A je singularna.
72
{R2 + R3 } =
1
1
0 −3
0 0
−2
7
0
=0
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(determinante)
⎡1 2⎤
⎥ ima inverznu matricu?
⎣ 0 3⎦
1. Da li matrica ⎢
DA
NE
2. Vrijednost determinante
1 3 5
1
0 0 7
2
0 0 1
3
=0 .
0 0 0 −1
DA
NE
⎡1 2⎤
⎥ inverznu matricu?
⎣1 2⎦
3. Ima limatrica ⎢
DA
NE
4. Kako se zove matrica kojoj je determinanta različita od nule?
⎡1 0 0 ⎤
⎢
⎥
5. Da li možete izračunati determinantu matrice 0 8 0 ?
⎢
⎥
⎢⎣0 0 2⎥⎦
DA
NE
⎡ 2 5 1 3⎤
⎥?
⎣ 0 0 0 0⎦
6. Zašto ne možemo izračunati determinantu matrice ⎢
7. Vrijednost determinante
1 3 5
1
0 4 7
0 0 1
2
3
= .
0 0 0 −1
8. Ako je matrica A regularna tada je rješenje matrične jednadžbe XA = B jednako X = BA −1 .
DA
NE
73
Radni materijali
ODGOVORI
(determinante)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
DA
DA
NE
regularna
DA
nije kvadratna
-4
DA
74
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(determinante)
Zadatak: Izračunajte vrijednost navedenih determinanti
⎡3 2
⎣ 5 −4
det ⎢
⎤
⎥ = 3 ⋅ (−4) − 5 ⋅ 2 = −22
⎦
1
⎡1 3 1⎤
⎢
⎥
det ⎢ 2 0 2 ⎥ = 2
⎢⎣ 3 3 5 ⎥⎦
3
3 1 1 3
0 2 2 0
(Sarusovo pravilo)
3 5 3 3
= 1 ⋅ 0 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 0 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = −12
det A
=
4
2
0
0
2
1
1
0
0
3
3
0
3
1
(Laplaceov razvoj po elementima prvog retka)
0
5
1 3 1
= 4⋅ 1
2 1 3
2 3 1
2 1 1
3 0 − 2 ⋅ 0 3 0 + 0⋅ 0 1 0 − 3⋅ 0 1 3
0 0 5
0 0 5
0 0 0
0 0 5
Sada moramo izračunati vrijednost četiri determinante trećeg reda.
1 3 1 1 3
1 3 0 1 3 = 1⋅ 3 ⋅ 5 + 0 + 0 − 0 − 0 − 5 ⋅1⋅ 3 = 0
0 0 5 0 0
2 3 1 2 3
0 3 0 0 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 30
0 0 5 0 0
ili determinanta je gornje trokutna pa je njena vrijednost jednaka produktu elemenata na dijagonali.
Treću determinantu nije potrebno računati jer njenu vrijednost množimo s nulom.
2 1 3
0 1 3 = ( svi elementi zadnjeg retak su 0) = 0
0 0 0
75
Radni materijali
det A = 4 ⋅ 0 − 2 ⋅ 30 − 3 ⋅ 0 = −60
15
20
30
(− 3R1 + R2 ) =
45 60 90
1 −5 0
15
20
30
0
1
0
−5
0 =0
0
Kod računanja vrijednosti determinanti korisno je pogledati da li su elementi nekog retka ( stupca)
determinante jednaki ili proporcionalni. Ako jesu tom slučaju koristimo svojstvo da je vrijednost takve
determinante jednaka 0 i nije potrebno ništa računati.
15
20
30
45
60
90
1
−5
0
( prvi i treći redak su proporcionalni) = 0
Zadatak: Svođenjem na trokutasti oblik izračunajte vrijednost determminante
1 5 0
1
3 1 2 −1
0 4 0 3
1 0 3
1
5
0
5
1
3 11 2 − 1
0
4
0
3
1
0
3
5
1
=
=
5
0
1
( − 3R1 + R2 )
4
0
3
0 −5 3
4
1
1
5
0
0
1
0 −4 2 −4
=
0
4
0
3
1
0
3
5
1
0 −4 2 −4
0
5
( R2 + R3 )
=
0 −4 2 −4
0
0
2
0 −5 3
−1
4
⎛ 5
⎞
⎜ − R 2 + R3 ⎟
4
⎝
⎠
76
( − R1 + R4 ) =
Radni materijali
1
5
0 −4
= 0 0
0
1
2
−4
−1
1
0
0
2
1
2
1
5
0
9
⎛ 1
⎞
⎜ − R3 + R 4 ⎟
⎝ 4
⎠
0 −4 2 −4
= 0 0 2 −1
37
37
0 0 0
= 1 ⋅ ( − 4) ⋅ 2 ⋅
= −74
4
4
77
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(determinante)
1.Svođenjem na trokutasti oblik izračunajte vrijednost determinanti
a)
2 4 0
0 1 0
1 3 3
, b)
1
2
2
3
0
−1
1
0
0
−1
2
4
−1
0
4
−1
2. Izračunajte vrijednost determinanti
1 2
a)
0
0 3 −1
0 0 200
0 0
0
1
0
4 ,
1
100
200 400 − 700
4π
8π
b) π
1
4
8
⎡ 3 1 10⎤
⎢
2 ⎥⎥ je regularna.
3. Matrica 1 0
⎢
⎢⎣ 3 − 1 10⎥⎦
DA
NE
⎡ 2 2 2 ⎤ ⎡ 0 2 2⎤
4. A = 3 ⋅ ⎢ 0 2 0 ⎥ − ⎢ 0 5 1 ⎥ , det A = ?
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 2 2⎥⎦
ODGOVORI
(determinante)
1.a) – 6, b) 24
2. a) 6 , b) 0
3. DA
78
4. 12
Radni materijali
2.3. SUSTAVI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI
U elementarnoj matematici učili smo rješavati sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije, odnosno tri
linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Prirodno se nameće ideja da se promatra sustav od n linearnih
jednadžbi s n nepoznanica ( n > 3 ).
a11 x1 + a12 x 2 + ..... + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + .... + a 2 n x n = b2
.......................................... = .
a n1 x1 + a n 2 x 2 + ..... + a nn x n = bn
Realni brojevi a ij ( i, j = 1,2,...n) zovu se koeficijenti sustava. Prvi indeks ' i ' označava redni broj
jednadžbe, a drugi indeks ' j ' kaže da se koeficijent a ij nalazi uz nepoznanicu x j . Realni
brojevi bi ( i = 1,2,...n) zovu se slobodni članovi. Nepoznanice sustava su xi ( i = 1,2,...n) . Ovakav
sustav se zove kvadratni, jer ima jednak broj jednadžbi i nepoznanica.
Različiti praktični problemi ukazali su na potrebu da se razmatra i sustav u kojem se pojavljuje
m jednadžbi i n nepoznanica. Općenito se piše:
a11 x1 + a12 x 2 + ..... + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + .... + a 2 n x n = b2
.......................................... = .
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ..... + a mn x n = bm
Ako se broj jednadžbi i nepoznanica razlikuje onda se sustav zove pravokutni.
Ako je bar jedan slobodan član bi ≠ 0 sustav je nehomogen, a ako su svi slobodni članovi bi = 0 sustav
zovemo homogen.
Linearni sustav ima rješenje ( kaže se da je sustav rješiv ili konzistentan) ako postoji uređena n −
torka (c1 , c 2 ,...c n ) brojeva takva da pri zamjeni
x1 = c1 , x 2 = c 2 ,...., x n = c n
sve jednadžbe postaju istinite jednakosti. Skup svih takvih n -torki (c1 , c 2 ,...c n ) zovemo skup rješenja
sustava. Ako takva n -torka brojeva ne postoji sustav je nerješiv ili kontradiktoran.
U nastavku ćemo nastojati odgovoriti na sljedeća pitanja:
1.
2.
Ima li linearni sustav rješenje(a)?
Kako odrediti skup svih rješenja sustava?
79
Radni materijali
Pogledajmo primjere nehomogenih linearnih sustava.
Za sustav
2 x1 + x 2 = 3
2 x1 + 3 x 2 = 5
skup rješenja čini samo jedan uređeni par ( x1 , x 2 ) = (1,1) . Kažemo da sustav ima jednoznačno rješenje i
pišemo x1 = 1 , x 2 = 1 .
Skup rješenja sustava
2 x1 + x 2 = 3
4 x1 + 2 x 2 = 6
sastoji se od beskonačno uređenih parova oblika ( x1 , x 2 ) = (t , 3 − 2t ) , t ∈ R . Na primjer za t = 0
dobijemo rješenje x1 = 0 , x 2 = 3 , dok za t = 10 dobivamo x1 = 10 , x 2 = −17 .
Nadalje sustav
2 x1 + x 2 = 0
4 x1 + 2 x 2 = 6
nema rješenje.
Ako je sustav homogen, onda on uvijek ima bar jedno rješenje, koje zovemo trivijalnim rješenjem. Pod
trivijalnim rješenjem smatramo rješenje x1 = x 2 = ,..., x n = 0 . Ostala rješenja ako postoje, nazivaju se
netrivijalna rješenja tog sustava.
Važno je napomenuti da različiti sustavi mogu imati jednake skupove rješenja.
Sustav
2 x1 + x 2 = 3
2 x1 + 3 x 2 = 5
ima jednoznačno rješenje x1 = 1 , x 2 = 1 .
Sustav
2 x1 + x 2 = 3
2 x1 + 3 x 2 = 5
4 x1 + 4 x 2 = 8
također ima jednoznačno rješenje x1 = 1 , x 2 = 1 .
Sustavi su ekvivalentni ako je rješenje jednog sustava ujedno rješenje drugog sustava.
80
Radni materijali
Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi
Neka je zadan sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica xi ( i = 1,2,...n) .
Koeficijente sustava zapisujemo u obliku pravokutne matrice
⎡ a11
⎢
a 21
A = ⎢⎢
M
⎢
⎣⎢ a m1
a1n ⎤
⎥
a 22 ... a 2 n ⎥
⎥
M
O
⎥
a m 2 ... a mn ⎦⎥
a12
K.
koju zovemo matrica koeficijenata sustava ili kraće matrica sustava. Slobodne članove sustava
zapisujemo u obliku stupčane matrice
⎡b1 ⎤
⎢b ⎥
⎢ 2⎥
b = ⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎢. ⎥
⎢⎣bm ⎥⎦
koju zovemo matrica slobodnih članova sustava. Nepoznanice sustava zapisujemo u obliku stupčane
matrice
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ 2⎥
X = ⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎢. ⎥
⎢⎣ x n ⎥⎦
koju zovemo matrica nepoznanica sustava. Zadani sustav možemo zapisati i u matričnom obliku
AX = b
Uvedimo pojam proširene matrice sustava
⎡ a11
⎢
a
[ A, b] = ⎢⎢ 21
M
⎢
⎣⎢ a m1
a12 ....a1n
a 22 ...a 2 n
O.
am2
81
..a mn
b1 ⎤
⎥
b2 ⎥
.
M. ⎥
⎥
bm ⎦⎥
Radni materijali
Sustav
2 x1 + x 2 = 1
− x1 + x 2 = −1
matrično možemo zapisati kao
⎡ 2 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎢ − 1 1⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ − 1⎥
⎣
⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
⎡ x1 ⎤
⎡ 2 1⎤
, matrica nepoznanica sustava X = ⎢ ⎥ i matrica slobodnih
⎥
⎣ − 1 1⎦
⎣ x2 ⎦
pri čemu su matrica sustava A = ⎢
⎡1⎤
⎥.
⎣ − 1⎦
članova sustava b = ⎢
Istoznačnost ova dva zapisa slijedi iz definicije jednakosti matrica.
Rješavanje gornje trokutastih sustava
Za sustav
c11 x1 + c12 x 2 + .... + c1n x n = d1
c 22 x 2 + .... + c 2 n x n = d 2
+ c nn x n = d n
kažemo da je trokutastog oblika.
Sustavi trokutastog oblika rješavaju se vrlo jednostavno idući odozdo prema gore.
(1)
( 2)
x1 + 2 x 2 − x3 +
x 4 = −1
x 2 + x3
= 0
(3)
8 x3 − 2 x 4 = 8
( 4)
2 x4 = 6
Iz jednadžbe (4) odredimo x 4 = 3 . Vrijednost x 4 = 3 uvrstimo u jednadžbu (3) pa dobijemo x3 =
7
. Vrijednost nepoznanice x1
4
5
5
dobijemo iz jednadžbe (1) x1 = −1 − 2 x 2 + x3 − x 4 = . Sustav ima jednoznačno rješenje x1 = ,
4
4
7
7
x 2 = − , x3 = , x 4 = 3 .
4
4
Iz jednadžbe (2) slijedi x 2 = −
82
7
.
4
Radni materijali
Gaussova metoda
(metoda eliminacije)
Metoda je vrlo korisna jer se njom odnosno njenom modifikacijom rješavaju sustavi na računalu. Metoda
se sastoji u tome da vršimo određene operacije nad jednadžbama početnog sustava u namjeri da dođemo
do sustava trokutastog oblika koji je ekvivalenta početnom sustavu.
Lako vidimo da se rješenje sustava ne mijenja ako izvršimo bilo koju od sljedećih radnji:
1. neku jednadžbu pomnožimo s brojem različitim od nule,
2. zamijenimo dvije jednadžbe
3. jednu jednadžbu pribrojimo drugoj
Radnje 1. i 3. često vršimo istovremeno: jednoj jednadžbi dodamo drugu jednadžbu pomnoženu s nekim
brojem.
Ilustrirajmo to na konkretnom primjeru.
Treba riješiti sustav jednadžbi
x − 2 y + 3z = 6
2 x + 3 y − 4 z = 20
3x − 2 y − 5 z = 6
Gaussova metoda eliminacije se sastoji u tome da se iz svih jednadžbi, osim prve, eliminira prva
nepoznanica, zatim se iz svih jednadžbi, osim prve i druge, eliminira druga nepoznanica, itd. sve dok se
postupak ne završi. Evo kako to možemo jednostavno napraviti.
U primjeru danog sustava naj prije pomnožimo prvu jednadžbu s − 2 i dodamo drugoj, a zatim prvu
jednadžbu pomnožimo s − 3 i dodamo trećoj. Dobivamo
x − 2 y + 3z = 6
7 y − 10 z = 8
4 y − 14 z = −12
Nakon toga drugu jednadžbu pomnožimo s −
4
i dodamo trećoj. Time dobivamo trokutasti sustav
7
x − 2 y + 3z =
6
7 y − 10 z =
8.
58
116
−
z=−
7
7
Iz zadnje jednadžbe slijedi z = 2 . Uvrstimo tu vrijednost za z u drugu jednadžbu, pa dobijemo
7 y − 20 = 8 , dakle y = 4 . Dobivene vrijednosti za z i y uvrstimo u
prvu jednadžbu, koja postaje jednadžba samo za x . Iz x − 8 + 6 = 6 slijedi x = 8 . Tako smo dobili
rješenje sustava x = 8 , y = 4 , z = 2 .
Primijetimo da ovaj postupak ovisi samo o koeficijentima i slobodnim članovima sustava.
83
Radni materijali
Radnje koje smo vršili nad jednadžbama sustav odgovaraju slijedećim radnjama na proširenoj matrici
sustav:
1'. neki redak pomnožimo s brojem različitim od nule;
2'. zamijenimo dva retka;
3'. jedan redak pribrojimo drugom;
Kombinirajući radnje 1'. i 3'. imamo: jednom retku dodamo drugi redak pomnožen s nekim brojem.
Gore navedene radnje poznajemo kao elementarne transformacije matrice.
PAZI! Kod Gaussove metode eliminacije vršimo SAMO transformacije nad retcima proširene matrice
sustava.
Ekvivalentni sustavi imaju ekvivalentne proširene matrice sustav.
Rješavajući neki sustav unaprijed ne znamo je li on rješiv ili nije rješiv. Prednost Gaussovog algoritma je
u tome što on daje odgovor na pitanje je li promatrani sustav ima rješenje ili ne, i ako ima omogućava
nalaženje svih rješenja.
Rješavanje sustava pomoću matričnog zapisa je kraće i preglednije, a time brže i jednostavnije.
Ilustrirajmo to na gornjem primjeru
(1) x − 2 y + 3z = 6
(S1) (2) 2 x + 3 y − 4 z = 20
(3) 3 x − 2 y − 5 z = 6
⎡1 − 2 3
[ A / b] = ⎢⎢2 3 − 4
⎢⎣ 3 − 2 − 5
⎧ − 2 ⋅ (1) + (2) ⎫
⎨
⎬
⎩(−3) ⋅ (1) + (3)⎭
⎧ − 2 ⋅ I R. + II R ⎫
⎨
⎬
⎩(−3) ⋅ I R + III R ⎭
↓
(1)
(S2) (2)
(3)
↓
x − 2 y + 3z = 6
7 y − 10 z = 8
− 4 y − 14 z = −12
[
⎡1 − 2
3
⎢
A / b = ⎢0 7 − 10
⎢⎣0 − 4 − 14
1
1
]
⎧ 4
⎫
⎨ − ⋅ (2) + (3)⎬
⎩ 7
⎭
↓
(S3)
(1)
x − 2 y + 3z =
6
(2)
7 y − 10 z =
8
(3)
6⎤
⎥
20⎥
6 ⎥⎦
−
[A
2
/ b2
58
116
z=−
7
7
84
]
6⎤
⎥
8⎥
− 12 ⎥⎦
⎧ 4
⎫
⎨ − ⋅ II R. + III R ⎬
⎩ 7
⎭
↓
⎡
3
⎢1 − 2
⎢
= 0 7 − 10
⎢
116
⎢0 0 − 58
−
7
7
⎣⎢
⎤
6⎥
8⎥
⎥
⎥
⎦⎥
Radni materijali
Primjer:
Nehomogeni sustav ima tri jednadžbe i tri nepoznanice, jednoznačno rješenje
x − 2y + z = 5
2 x + y − 2 z = −3
(S)
− x− y
= 0
⎡ 1 −2
1 5⎤
⎥ ⎧ R2 − 2 R1 ⎫
⎢
2
1
2
3
−
−
⎥ ⎨R + R ⎬ →
⎢
3
1 ⎭
⎢⎣ − 1 − 1
0 0 ⎥⎦ ⎩
⎡1
⎢
→ ⎢0
⎢⎣0
( S′ )
⎡1
⎢
⎢0
⎢⎣0
1
5⎤
⎥
5 − 4 − 13⎥
0 − 7 − 14⎥⎦
−2
1
(1)
x − 2y + z = 5
( 2)
5 y − 4 z = −13
− 7 z = −14
(3)
Iz (3) ⇒
5⎤
⎥
5 − 4 − 13⎥{ 5 R3 + 3R2 } →
1 5 ⎥⎦
−3
−2
z=2
z = 2 u (2) ⇒ y =
z=2 i y=−
6
u (1)
5
1
6
(4 z − 14) = −
5
5
⇒
x = 2y − z + 5 =
3
5
Sustav ( S ′ ) ima jednoznačno rješenje.
x=
3
5
y=−
z=2
6
5
Sustavi ( S ) i ( S ′ ) su ekvivalentni pa imaju ista rješenja.
85
Radni materijali
Primjer:
Nehomogeni sustav četri jednadžbe s četri nepoznanice, parametarsko rješenje.
x + 2y − z
=1
2x + 4 y
+u =1
− x − 2 y + 3 z + 4u = −5
x + 2 y − 5 z − 2u = 3
⎡1
1⎤
2 −1 0
⎢
⎥
1⎥
4
0
1
⎢2
⎢− 1 − 2 3
4 − 5⎥
⎢
⎥
2 − 5 − 2 3⎥⎦
⎢⎣ 1
⎡1
⎢
0
⎧ − R2 + R3 ⎫
→
→⎢
⎨
⎬
⎢0
⎩ 2 R3 + R4 ⎭
⎢
⎣⎢0
⎧ − 2 R1 + R2 ⎫
⎪
⎪
⎨ R1 + R3 ⎬ →
⎪− R + R ⎪
4 ⎭
⎩ 1
⎡1
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢⎣0
1⎤
⎥
0 2
1 −1⎥
0 2
4 − 4⎥
⎥
0 − 4 − 2 2⎥⎦
2
−1
0
1⎤
⎥
1 −1⎥
3 − 3⎥
⎥
0
0⎦⎥
2 −1 0
0
2
0
0
0
0
Sada sustav glasi
1⋅ x + 2 ⋅ y − 1⋅ z + 0 ⋅ u = 1
0 ⋅ x + 0 ⋅ y + 2 z + 1 ⋅ u = −1
0 ⋅ x + ⋅0 ⋅ y + 0 ⋅ z + 3u = −3
0⋅ x + 0⋅ y + 0⋅ z + 0⋅u = 0
Zadnja jednadžba je istinita za bilo koji izbor brojeva x, y, z , u . Ona ne predstavlja nikakav uvjet na
nepoznanice pa je možemo izbaciti iz sustava. Ostale su tri jednadžbe. Iz trće jednadžbe možemo
jednoznačno izračunati nepoznanicu u
u = −1
Vrijednost nepoznanice u = −1 uvrstimo u drugu jednadžbu sustava, pa imamo
z=
1
1
(− u − 1) = (1 − 1) = 0 .
2
2
Iz prve jednadžbe imamo
x = −2 y + z + 1 = −2 y + 1 .
Nepoznanica y ostaje neodređena, pa se zato zove parametar. Umjesto parametra možemo upisati bilo
koji broj. To znači da sustav ima beskonačno mnogo rješenja.
86
Radni materijali
Uobičajeno je pisati y = t , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku
x = − 2t + 1
y=t
z=0
u = −1
Određivanje inverzne matrice
Pokazati ćemo kako se Gaussova metoda može primijeniti i za ispitivanje regularnosti i određivanje
inverzne matrice.
Primjer:
⎡ − 2 1 3⎤
Ispitajte je li matrica A = ⎢⎢ 1
0 2⎥⎥ regularna. Ako jeste izračunajte njen inverz.
⎢⎣ 4 − 1 5⎥⎦
Postupamo na slijedeći nači: proširimo matricu A tako da joj s desne strane dopišemo jediničnu matricu.
Obavimo elementarne transformacije nad recima proširene matrice tako da lijevu matricu svedemo na
jediničnu matricu. Ako je to moguće matrica A je regularna i njena inverzna matrica A −1 se dobije na
desnoj strani. Ako to nije moguće znači da je matrica A singularna i nema inverznu matricu.
[ A I]→ L → [ I
A −1
]
⎡ 1
1 0 0⎤
⎥ ⎧ zamijenimo ⎫
⎢
0 1 0⎥ ⎨
⎬ → ⎢− 2
⎩ I i II redak ⎭
⎢⎣ 4
0 0 1⎥⎦
⎡1 0 2
0 1 0⎤
⎧ 2 ⋅ R1 + R2 ⎫
⎥
⎢
1 2 0⎥ {R2
⎨
⎬ → ⎢0 1 7
⎩ − 4 R1 + R3 ⎭
⎢⎣0 − 1 − 3 0 − 4 1⎥⎦
⎡− 2 1 3
⎢
0 2
⎢ 1
⎢⎣ 4 − 1 5
⎡1 0 2
⎢
→ ⎢0 1 7
⎢⎣0 0 4
⎡
0⎤
⎢1 0 2
⎥ ⎧1 ⎫
1 2 0⎥ ⎨ R3 ⎬ → ⎢0 1 7
⎢
⎩4 ⎭
⎢0 0 1
1 − 2 1⎥⎦
⎢⎣
0
1
87
0
2
1
3
0 1 0⎤
⎥
1 0 0⎥
0 0 1⎥⎦
−1 5
+ R3 }
0
1
1
1
4
2
1
−
2
⎤
0⎥
0⎥
⎥
1⎥
4 ⎥⎦
Radni materijali
→
⎡
⎢1 0 0
⎢
⎧ − 7 R3 + R2 ⎫
⎢0 1 0
→
⎬
⎨
⎢
⎩ − 2 R3 + R1 ⎭
⎢0 0 1
⎢⎣
1
2
3
−
4
1
4
−
2
11
2
1
−
2
Matrica A je regularna. Njena inverzna matrica je
⎡ 1
⎢− 2
⎢
3
−1
A = ⎢−
⎢ 4
⎢ 1
⎢
⎣ 4
2
11
2
1
−
2
1
2
7
−
4
1
4
−
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Provjera AA −1 = A −1 A = I
88
1⎤
− ⎥
2
7⎥
− ⎥
4⎥
1 ⎥
4 ⎥⎦
Radni materijali
REZIME
n×n
NEHOMOGENI KVADRATNI SUSTAV
AX = b
1. det A ≠ 0 postoji A −1 (matrica sustav je regularna)
A −1 ⋅ AX = b
A −1 ⋅ AX = A −1b
X = A −1b sustav ima jednoznačno rješenje
⎡ * * * *⎤
⎢
⎥
⎢ * * * *⎥
⎢ * * * *⎥
⎣
⎦
→ .......... →
⎡ * * * *⎤
⎢
⎥
⎢ 0 * * *⎥
⎢ 0 0 * *⎥
⎣
⎦
2. det A = 0 ne postoji A −1 ( matrica sustava je singularna), sustav nema rješenja
ili ima parametarsko rješenje.
⎡ * * * *⎤
⎢
⎥
⎢ * * * *⎥ → .......... →
⎢ * * * *⎥
⎣
⎦
⎡ * * * *⎤
⎢
⎥
⎢ 0 * * *⎥ sustav nema rješenje
⎢ 0 0 0 *⎥
⎣
⎦
⎡ * * * *⎤
⎢
⎥
⎢ * * * *⎥ → .......... →
⎢ * * * *⎥
⎣
⎦
⎡ * * * *⎤
⎢
⎥
⎢ 0 * * *⎥ sustav ima parametarsko rješenje
⎢ 0 0 0 0⎥
⎣
⎦
n×n
HOMOGENI KVADRATNI SUSTAV
AX = 0
1. det A ≠ 0 postoji A −1 (matrica sustav je regularna)
A −1 AX = A −1 ⋅ O
X = O sustav ima trivijalno rješenje.
⎡ * * * 0⎤
⎢
⎥
⎢ * * * 0⎥ → .......... →
⎢ * * * 0⎥
⎣
⎦
⎡ * * * 0⎤
⎢
⎥
⎢ 0 * * 0⎥
⎢ 0 0 * 0⎥
⎣
⎦
sustav ima trivijalno rješenje
89
Radni materijali
2. det A = 0 ne postoji A −1 ( matrica sustava je singularna) sustav ima
parametarsko rješenje.
⎡ * * * 0⎤
⎢
⎥
⎢ * * * 0⎥ → .......... →
⎢ * * * 0⎥
⎣
⎦
⎡ * * * 0⎤
⎢
⎥
⎢ 0 * * 0⎥ sustav ima parametarsko rješenje
⎢ 0 0 0 0⎥
⎣
⎦
PRAVOKUTNI NEHOMOGENI SUSTAV m × n , m > n
⎡*
⎢
⎢*
⎢*
⎢
⎢*
⎢*
⎣
* *
* *
⎡*
⎢
⎢*
⎢*
⎢
⎢*
⎢*
⎣
*
*
*
*
⎡*
⎢
⎢*
⎢*
⎢
⎢*
⎢*
⎣
*
*
*
*
* *
* *
* *
*
*
*
*
* *
*
*
*
*
* *
*⎤
⎥
*⎥
*⎥
⎥
*⎥
* ⎥⎦
*⎤
⎥
*⎥
*⎥
⎥
*⎥
* ⎥⎦
*⎤
⎥
*⎥
*⎥
⎥
*⎥
* ⎥⎦
→ .......... →
→ .......... →
→ .......... →
⎡*
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎣
* *
* *
⎡*
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎣
*
*
0
0
⎡*
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎣
*
*
0
0
0 *
0 0
0 0
*
*
*
0
0 0
*
*
0
0
0 0
.
*⎤
⎥
*⎥
* ⎥ sustav ima jednoznačno rješenje
⎥
0⎥
0 ⎥⎦
*⎤
⎥
*⎥
* ⎥ sustav nema rješenje
⎥
0⎥
* ⎥⎦
*⎤
⎥
*⎥
0 ⎥ sustav ima parametarsko rješenje
⎥
0⎥
0 ⎥⎦
.
PRAVOKUTNI NEHOMOGENI SUSTAV m × n ,
m<n
⎡ * * * * * *⎤
⎡ * * * * * *⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ * * * * * *⎥ → .......... → ⎢ * * * * * *⎥ sustav nema rješenje
⎢⎣ * * * * * *⎥⎦
⎢⎣ 0 0 0 0 0 *⎥⎦
⎡ * * * * * *⎤
⎡ * * * * * *⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ * * * * * *⎥ → .......... → ⎢ * * * * * *⎥ sustav ima parametarsko rješenje
⎢⎣ * * * * * *⎥⎦
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0⎥⎦
90
Radni materijali
PRAVOKUTNI HOMOGENI SUSTAV m × n
m<n
⎡ * * * * * 0⎤
⎡ * * * * * 0⎤
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ * * * * * 0⎥ → .......... → ⎢ * * * * * 0⎥ sustav ima parametarsko rješenje
⎢⎣ * * * * * 0⎥⎦
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0⎥⎦
91
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(sustavi)
1. Sustav
5x + 3 y = 0
x− y =1
DA
je homogen.
NE
⎡1
0
⎢
2. Proširena matrica sustava je ⎢ 2 − 1
⎢⎣ 3 2
Nepoznanice sustava su x, y .
⎧
3. Sustav ( S ) ⎨
⎩
1⎤
⎥
0⎥ . Napišite sustav u standardnom obliku.
4⎥⎦
x + 2y = 1
1
1
ima jednoznačno rješenje x = , y = .
x− y = 0
3
3
2
⎧
⎪ x+ y =
3
⎪⎩ 2 x − y = 0
Je li sustav (S ) ekvivalentan sustavu (S ′) ⎨
DA
NE
4. Je li homogeni sustav linearnih algebarskih jednadžbi uvijek ima rješenje?
DA
NE
5. Za sustav AX = b vrijedi
DA
[A b]
⎡ 2 4 1 3⎤
⎢
⎥
̃ ⎢ 0 2 1 1 ⎥ . Sustav ima rješenje.
⎢⎣ 0 0 0 4⎥⎦
NE
⎡ 2 7 2⎤
⎢
⎥
6. Sustav ⎢ 0 3 3⎥ ima jednoznačno rješenje .
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
DA
NE
7. Matrična jednadžba AX = 0 ( A kvadratna matrica) ima trivijalno rješenje
ako je det A = 0
det A ≠ 0
92
Radni materijali
ODGOVORI
1.
2.
NE
x =1
2x − y = 0
3x + 2 y = 4
3.
NE
4.
DA
5.
NE
6.
DA
7.
det A ≠ 0
93
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(sustavi)
Zadatak: Veza između uobičajenog zapisa sustava i matričnog zapisa sustava.
3 x1 = 1
2 x2 = 4
x3 = 0
x4 = 1
Nehomogeni sustav ima četri jednadžbe i četri nepoznanice. Možemo odmah odrediti rješenje sustava
x1 =
1
, x 2 = 2 , x3 = 0 , x 4 = 1 .
3
Sustav možemo zapisati i na slijedeći način:
3 x1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x3 + 0 ⋅ x 4 = 1
0 ⋅ x1 + 2 x 2 + 0 ⋅ x3 + 0 ⋅ x 4 = 4
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x3 + 0 ⋅ x 4 = 0
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x3 + 1 ⋅ x 4 = 1
Matrični zapis AX = b
⎡ 3 0 0 0⎤
⎢ 0 2 0 0⎥
⎢
⎥⋅
⎢ 0 0 1 0⎥
⎢
⎥
0 0 0 1⎦
⎣1
44244
3
matrica sustava
⎡ x1 ⎤
⎡1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥ = ⎢ 4⎥
⎢ x3 ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
x4 ⎦
1⎦
⎣{
⎣{
matrica
nepoznanica
matrica
slobodnih
članova
Zadatak: Ispitajte rješivost sustava. Sustav je nehomogen, ima tri jednadžbe s tri nepoznanice.
2 x1 + 2 x 2 − x3 = 1
x 2 + x3 = 2
2 x 2 + 2 x3 = 5
94
Radni materijali
⎡2 2 − 1
⎢
⎢0 1 1
⎢⎣0 2 2
1⎤
⎥
2⎥ { − 2 R2 + R3 } →
5⎥⎦
⎡2 2 − 1
⎢
⎢0 1 1
⎢⎣ 0 0 0
1⎤
⎥
2⎥
1 ⎥⎦
2 x1 + 2 x 2 − x3 = 1
x 2 + x3 = 2
0 =1
Zadnja jednadžba je kontradiktorna, pa sustav nema rješenje.
Zadatak: Riješite sustav
3 x1 + 5 x 2 − x3 = 1
x 2 − x3 = 3
Sustav je nehomogen. Ima dvije jednadžbe s tri nepoznanice.
Jednu nepoznanicu možemo birati proizvoljno ( parametar). Recimo da je to x3 . Označimo x3 = t .
x 2 = x3 + 3 = t + 3
1
1
1
x1 = (−5 x 2 + x3 + 1) = (−5t − 15 + t + 1) = (−4t − 14)
3
3
3
Sustav ima parametarsko rješenje
1
(−4t − 14)
3
x2 = t + 3
x3 = t
x1 =
Zadatak: Ispitajte rješivost sustava
x+ y =1
2y + z = 0
−x+ z =0
95
Radni materijali
⎡ 1 1 0
⎢
⎢ 0 2 1
⎢⎣ − 1 0 1
1⎤
⎥
0⎥
0 ⎥⎦
⎡1 1 0
⎢
⎢ 0 0 −1
⎢⎣ 0 1 1
1 ⎤
⎥
−2 ⎥
1 ⎥⎦
⎡1 0 0
⎢
⎢ 0 0 −1
⎢⎣ 0 1 0
0 ⎤
⎥
−2 ⎥
− 1 ⎥⎦
( R1 + R3 )
⎡1 1 0
⎢
→ ⎢0 2 1
⎢⎣ 0 1 1
( − R3 + R1 )
→
1⎤
⎥
0⎥
1 ⎥⎦
⎡1 0 1
⎢
⎢ 0 0 −1
⎢⎣ 0 1 1
( − 2 R3 + R2 )
0 ⎤
⎥
−2 ⎥
1 ⎥⎦
⎛ R2 + R1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ →
⎝ R2 + R3 ⎠
Nije uvijek potrebno doći do trokutnog oblika sustava da zaključimo kakva su rješenja sustava.
Sustav ima jednoznačno rješenje.
z=2
x=2
y = −1
Zadatak: Ispitajte rješivost sustava
2 x − y + 3z = 1
=0
x− y
3x − 2 y + 3z = 0
⎡ 2 −1 3 1 ⎤
⎢
⎥
⎢ 1 −1 0 0 ⎥ →
⎢⎣ 3 − 2 3 0 ⎥⎦
⎡0 1 3 1⎤
⎢
⎥
⎢ 1 −1 0 0 ⎥
⎢⎣ 0 1 3 0 ⎥⎦
→
⎡0 1 3 1 ⎤
⎢
⎥
⎢ 1 −1 0 0 ⎥
⎢⎣ 0 0 0 − 1 ⎥⎦
Sustav nema rješenje.
96
Radni materijali
Zadatak :
3 x1 − 4 x 2 − x3 = 1
2 x1 − 3x 2 + x3 = 1
x1 − x 2 + 3 x3 = 2
⎡ 3 − 4 −1
⎢
⎢ 2 −3 1
⎢⎣ 1 − 1 3
1⎤
⎥
1 ⎥
2 ⎥⎦
→
⎡ 0 0 −5
⎢
⎢ 0 −1 − 5
⎢⎣ 1 − 1 3
x3 =
2
5
⎛ − 2 R3 + R2
⎜
⎜ − 3R + R
3
1
⎝
⎡ 0 − 1 − 10
⎞
⎟ → ⎢ 0 −1 − 5
⎢
⎟
⎠
⎢⎣ 1 − 1 3
− 2⎤
⎥
−3 ⎥
2 ⎥⎦
x 2 = 3 − 5 x3 = 3 − 2 = 1
x1 = 2 + x 2 − 3 x3 = 2 + 1 −
6
5
Zadatak: Ispitajte rješivost sustava
x1 + 2 x2 = 4
2 x1 + 4 x 2 = −8
⎡1 2
⎢
⎣2 4
4⎤
⎥
−8 ⎦
( − 2R1 + R2 → R2 )
⎡1 2
⎢
⎣0 0
4 ⎤
⎥
− 16 ⎦
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x 2 = −16
Sustav nema rješenja.
97
− 5⎤
⎥
− 3⎥
2 ⎥⎦
( − R2 + R1 )
Radni materijali
Zadatak: Riješite sustav
2a + 2b = 2
a + 2b = 3
− 3b = −6
⎡2 2
⎢
⎢1 2
⎢⎣ 0 − 3
2
3
−6
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
( R1 ↔ R2 )
⎡1 2
⎢
→ ⎢2 2
⎢⎣ 0 − 3
3
2
−6
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
( − 2R1 + R2 → R2 ) →
⎡1 2
⎢
⎢ 0 −2
⎢⎣ 0 − 3
3
−4
−6
( 3R2 + R3 → R3 )
⎤
⎡1 2
⎞
⎥ ⎛ 1
⎢
⎥ ⎜⎝ − 2 R2 → R2 ⎟⎠ → ⎢ 0 1
⎥⎦
⎢⎣ 0 − 3
→
⎡1 2
⎢
⎢0 1
⎢⎣ 0 0
3
2
0
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
b=2
a = 3 − 2b = 3 − 4 = −1
98
3
2
−6
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(sustavi)
1.
2a + b − c = 1
b+c = 2
c=5
2.
3x + 5 y − z = 1
y−z=3
3.
2x + y − z = 0
x − y + 2z = 0
− x + 2y + z = 0
4.
x − 2 y + 3z = 6
2 x + 3 y − 4 z = 20
− x + 9 y − 13 z = 3
5.
x1 + x 2 + x3 = 0
3 x1 + x 2 − x3 = 0
2 x1 + x 2
=0
⎡ 1 3⎤
⎥ i
⎣ − 1 4⎦
6. Zadane su matrice A = ⎢
⎡1 2 ⎤
−1
. Izračunajte ( AB )
.
B=⎢
⎥
⎣ 1 − 1⎦
99
Radni materijali
RJEŠENJA
1.
9
2
b = −3
c =5
a=
2.
14 4
− t
3 3
y = 3+ t
z=t
x=−
3. Sustav ima trivijalno rješenje
4. Sustav nema rješenja
x1 = t
5.
x 2 = −2t
x3 = t
⎡ 4 − 1⎤
1 ⎡ − 6 1⎤
−1
, ( AB ) = −
⎥
21 ⎢⎣ − 3 4⎥⎦
⎣ 3 − 6⎦
6. AB = ⎢
100
Radni materijali
III. VEKTORI
3. 0
POTREBNO PREDZNANJE
102
3.1
VEKTORI KAO USMJERENE DUŽINE
102
3.2
KOORDINATIZACIJA VEKTORA
113
3.3
SKALARNI PRODUKT VEKTORA
128
3.4
VEKTORSKI PRODUKT VEKTORA
137
3.5
RAZLAGANJE VEKTORA NA PROIZVOLJNE VEKTORSKE
KOMPONENTE
145
101
Radni materijali
3.0. POTREBNO PREDZNANJE
Determinante
Rješavanje trokuta
3.1. VEKTORI KAO USMJERENE DUŽINE
U prirodi i tehničkim znanostima susreću se dvije vrste veličina. Veličine prve vrste potpuno su određene
samo jednim brojem. Takve su veličine npr. masa, vrijeme, temperatura, itd. Ovakve veličine zovemo
skalari (očitavaju se sa skala).
Drugu vrstu veličina čine one koje nisu potpuno određene samo jednim brojem već je za njihovo potpuno
određenje potrebno znati i smjer djelovanja tih veličina te ih nazivamoh vektorske veličine. U ovu vrstu
spadaju npr. brzina, sila, itd. Da bi neku vektorsku veličinu razlikovali od skalarne, iznad simbola (slova)
uzetog za oznaku veličine stavlja se strelica.
Iako po svom karakteru vektorske veličine mogu biti različite, računanje s njima vrši se po pravilima
matematičke discipline vektorske algebre.
Vektor je jednoznačno određen sa tri podatka:
1. modul (iznos, dužina, apsolutna vrijednost,intezitet)
2. pravac
3. smjer (orjentacija)
Vektor kao usmjerena dužina
Neka su A i B različite točke. Dužina AB kojoj je jedna rubna točka, npr A početna (hvatište), a druga
B završna (vrh) , zove se usmjerena dužina. Usmjerena dužina kojoj je točka A početak, a točka B
završna točka označava se s AB i prikazuje se strelicom. U ovoj knjizi će se pod vektorom uvijek
podrazumijevati usmjerena dužina.
B
AB = a
A
A početak točka ili hvatište vektora
B završna točka ili vrh vektora
Oznake za vektor : a = AB
Modul, duljina ili intezitet vektora jeste duljina (u izvjesnom mjerilu) dužine koja predočuje vektor.
Modul a = a
Jedinični vektor je vektor modula jednakog jedinici.
Kada se želi naglasiti da je to jedinični vektor istog pravca i smjera kao vektor a , označava se a 0 .
102
Radni materijali
Primjer:
Na slici je dan vektor a kojem je a = 4 . Nacrtajte jedinični vektor a 0 .
B
AB = a
A
Nul-vektor 0 je vektor modula 0, a smjer mu je proizvoljan.
Kolinearni vektori imaju iste ili paralelne pravce.
b
c
a
d
e
f
Nul - vektor je kolinearan sa svakim vektorom.
Paralelni vektori imaju iste ili paralelne pravce i isti smjer.
d
c
a
b
Suprotni vektori imaju isti modul, isti ili paralelan pravac i suprotan smjer. Za vektor a njemu suprotan
vektor označavamo − a .
b
-a
-b
a
Vektori su komplanarni ako leže u istoj ravnini.
Jednakost vektora:Vektori a i b su jednaki ako su paralelni i imaju iste module.
ili
Vektori a i b su jednaki ako se paralelnim pomicanjem (translacijom) mogu dovesti do poklapanja.
a
b
Dakle u matematici vektor smijemo paralelno pomicati, a da se on ne promijeni.To je takozvani slobodni
vektor.
Napomena: U fizici i tehnici to nije uvijek dozvoljeno. Ako su vektori isti jedino kad im je početna točka
na nekoj osi zovu se klizni vektori. Vektor kojem je početna točka fiksirana zovu se vezani vektori.
103
Radni materijali
Ako je O točka u prostoru, onda svakoj točki P tog prostora pripada jednoznačno određen vektor
r = OP kojeg zovemo radijus-vektor (vektor položaja) točke P u odnosu na točku O .
P
rp
0
Množenje vektora i skalara
Produkt skalara k i vektora a je vektor k a čiji je modul k a = k ⋅ a .
Ako je k > 0 ,vektor k a je istog pravca i smjera kao vektor a .
Ako je k < 0 , vektor k a je istog pravca i suprotnog smjera od smjera vektora a .
Ako je k = 0 , vektor k a = 0 ( po definiciji) .
Vektori a i k a su kolinearni.
a
2a
1 a
2
-2a
- 1 a
2
Za svaki vektor vrijedi
a = a ⋅ a0
Jedinični vektor a 0 vektora a
a0 =
a
a
( −1 ) ⋅ a = − a
− a je suprotni vektor vektora a .
Primjer:
Ako se težina utega mase m = 1 kg prikaže vertikalnim vektorom F , onda se težina utega mase
m = 2 kg prikazuje također vertikalnim vektorom čija je duljina dva puta veća od duljine vektora F tj.
vektorom 2 F .
F
2F
104
Radni materijali
Dijeljenje vektora sa skalarom
a 1
= ⋅a ,
k k
k≠0
( svodi se na množenje vektora sa skalarom )
Zbrajanje vektora
c = a+b
c je vektor sume dvaju vektora ili rezultantni vektor.
Za sumu vektora vrijedi:
a+b = b+a
( a + b )+ c = a + (b + c )
λ ( a + b) = λ a + λ b
λ1 a + λ2 a = ( λ1 + λ2 ) a
( )
λ1 λ2 a = (
λ1 ⋅ λ2 ) a
Zbrajanje kolinearnih vektora
b
b
a
= c
+
Modul zbroja paralelnih vektora
a ↑↑ b
c = a+b
c = a+b = a + b
Zbrajanje nekolinearnih vektora
1. Pravilo palalelograma
a = AB
b = AD
a + b = AC
b
c= a
+b
a
105
a
Radni materijali
2. Pravilo trokuta
a = AB
a +b
b
b = BC
a
a + b = AC
3. Pravilo poligona
c
d
a +b+ c= d
a
b
Modul zbroja okomitih vektora
a⊥b
c=
c = a+b
a+
b
b
a
Pravokutni trokut Pitagorin poučak
c = a+b =
a
2
+ b
2
Modul zbroja vektora koji nisu okomiti
b
a+
c=
b
π−α α
( )
< a, b = α
a
Primjenjuje se kosinusov poučak:
c
2
= a
2
+ b
2
− 2 a ⋅ b cos(π − α )
Primjer:
Za vektore a i b vrijedi a = 125 , b = 146 i α = ∠ ( a, b) = 47.2 0 . Izračunajte a + b
φ = ∠ (a + b, b) .
a +b
132.8 0
a
106
ϕ
b
ϕ = 47.2 0
i
Radni materijali
a+b =
a
2
+ b
2
− 2 a ⋅ b cos(π − α ) = 125 2 + 146 2 − 2 ⋅ 125 ⋅ 146 cos 132.8 0
= 248
φ=?
Sinusov poučak:
sin φ = a
sin ϕ
a
sin (π − α )
a+b
=
=
sin(π − α )
a+b
125 sin 132.8 0
= 0.3698
248
φ = 21.7 0
Oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora se definira kao zbrajanje sa suprotnim vektorom
b
a − b = a + (−b )
-b
a
a + (-b) = a - b
107
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(vektori kao usmjerene dužine)
1. Na slici je dan vektor a (
a = 2 ) nacrtajte a 0 , 3a , − a
a
2. b = −3 a vektori a i b su paralelni.
DA
NE
3. a = − a
DA
NE
4. Relacija c + b = c + b
5. a = 2 , b = 1
vrijedi ako su vektori ……………………..
α = ∠ (a, b) = 450 , a + b = …………………………………..
6. Ako su vektori a i b okomiti tada je a + b = ………………………….
108
Radni materijali
ODGOVORI (vektori kao usmjerene dužine)
3a
1.
a0
-a
2. NE
3. DA
4. PARALELNI
5.
5+4 2
6. c = a + b =
a
2
+ b
2
109
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(vektori kao usmjerene dužine)
Primjer vektorskog prikazivanja:
Iz fizike je poznato da se tijelo mase m1 i mase m2 međusobno privlače silom iznosa
F=γ
γ - univerzalna gravitacijska konstanta
r - udaljenost između tijela
m1 m2
r2
Tijelo mase m1 djeluje na tijelo mase m2 silom F1 koja je po iznosu jednaka ali suprotna sili F2 kojom
tijelo mase m2 djeluje na tijelo mase m1 .
F1 = − γ
m1 m2
2
r1
F2 = − γ
m2
F1
r1
r2
F2
m1 m 2
r2
m2
(r1 ) 0
2
(r2 ) 0
m1
m1
Primjer:
Rijeka teče brzinom 4.7km / sat . Veslač u čamcu može putovati brzinom 7.51km / sat (u mirnoj vodi).
Vidi sliku. Nađite iznos brzine i smjer gibanja čamca.
SLIKA 26
vč = v č = 7.51
vr
v r = v r = 4.7
vr
vč
vč
v = vč + v r
v = vč2 + v r2 = 7.512 + 4.7 2 = 8.86
tgα =
4.7
7.51
v
α
α = 32 0
110
Radni materijali
Zadatak: Nađite iznos rezultantne sile R dviju sila F1 i F2 za koje je F1 = 4 N , F2 = 6 N i koje
zatvaraju kut ϕ = 60 0 .Odredite kuteve što ih R zatvara sa silama F1 i F2 .
R:
Rezultantna sila R je zbroj sila F1 i F2 .
F2
R
60 0−α
120
0
60 0
F1
F
2
= F1
2
+ F2
2
− 2 ⋅ F1 F2 cos (180 0 − 60 0 ) .
Tako imamo:
R
2
= 4 2 + 6 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ cos 120 0 = 76
R = R = 2 19
Kuteve možemo naći po formuli za sinusov poučak:
α kut između F2 i R
F
sin α
= 2
0
R
sin 120
⇒ sin α =
F2
3
⇒ α = 23.410
sin 120 0 =
R
19
Budući da je kut između F1 i F2 60 0 , kut između F1 i R je 36 .59 0 .
111
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(vektori kao usmjerene dužine)
1. Zadani su vektori a i b tako da je a = 2 , b = 3 i kut među njima α =
π
. Nacrtajte vektor a + b .
6
2. Vektori a i b ,tvore kut od 47.2 0 . Ako su njihovi moduli a = 125 i b = 146 , odredite a + b .
RJEŠENJA ( vektori kao usmjerene dužine)
1.
b
a
2.
a+b
a+b
a + b = 248
112
Radni materijali
3.2. KOORDINATIZACIJA VEKTORA
Linearna kombinacija vektora
Za vektore a1 , a 2 ,..., a n i skalare λ1 , λ 2 ,..., λ n vektor a = λ1 a1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n
zovemo linearna kombinacija vektora a1 , a 2 ,..., a n .
1
3 a3
4 a4
1
a=2 a1 + (-a2) + a3 + 4 a4
3
-a2
a
2a1
Razlaganje vektora na komponente
Kažemo da smo vektor a razložili ( rastaviti) u smjeru vektora a1 , a 2 ,..., a n ako vektor a možemo
prikazati kao linearnu kombinaciju vektora a1 , a 2 ,..., a n .
2
a=
1
a 1+
2
a2
a
a2
a2
a
1 1
a1
Vektore a1 , a 2 ,..., a n zovemo vektorske komponente vektora a . Problem da se dani vektor a rastavi
(ako je to moguće) u linearnu kombinaciju danih vektora, jedan je od glavnih problema vektorske algebre.
Pravci komponenata na koje razlažemo vektor a uglavnom nisu proizvoljni, već zavise o problemu koji se
promatra. U fizici se vektori (sile,brzine, ubrzanja,momenti...) uglavnom razlažu na dva ili tri
komponentna vektora koja su u večini slučajeva međusobno okomita.
Razlaganje vektora na komponente vektore vrši se u svrhu lakšeg rješavanja problema.
Linearno zavisni vektori
1.Za vektore a1 , a 2 ,..., a n kažemo da su linearno zavisni ako se neki od njih
može prikazati kao linearna kombinacija ostalih.
ili
2. Za vektore a1 , a 2 ,..., a n kažemo da su linearno zavisni ako postoje skalari
λ1 , λ 2 ,..., λ n , tako da je λ1 a1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n = 0
i bar jedan od skalara ≠ 0
Linearno nezavisni vektori
1. Za vektore a1 , a 2 ,..., a n kažemo da su linearno nezavisni ako se ni jedan od njih ne može prikazati kao
linearna kombinacija ostalih.
ili
113
Radni materijali
2. Za vektore a1 , a 2 ,..., a n kažemo da su linearno nezavisni ako je
λ1 a1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n = 0 samo tako ako su svi koeficijentijednaki nuli tj.
λ1 = λ 2 = ... = λ n = 0
-----------------------------------------------------------------------------------------------Vektori na pravcu
Neka je a = OA bilo koji vektor na pravcu p ( a ≠ 0 ) . Za proizvoljnu točku P na pravcu p vektori
a = OA i b = OP su kolinearni tj. postoji λ ∈ R tako da je a = λ b , a to pokazuje da su vektori a i b
linearno zavisni. Bilo koja dva vektora na pravcu linearno su zavisna.
Vektori u ravnini
U ravnini je dana točka O . Neka su A ≠ O i B ≠ O dvije točke u ravnini takve da sve tri točke
O , A i B ne leže na istom pravcu. Tada su vektori a = OA i b = OB linearno nezavisni.Ako su a i b
bilo koja dva linearno nezavisna vektora u ravnini onda je svaki vektor d te ravnine moguće prikazati kao
linearnu kombinaciju ( rastaviti u spoj ) vektora a i b .Takav rastav je jedinstven. Bilo koja tri vektora u
ravnini linearno su zavisna.
Vektori u prostoru
Uzmimo točke O , A , B i C koje ne leže u istoj ravnini,tada vektori a = OA , b = OB
i c = OC nisu linearno zavisni ( linearno su nezavisni). Ako su a , b i c tri linearno nezavisna vektora
prostora onda je svaki vektor d u prostoru moguće prikazati kao linearnu kombinaciju vektora
a , b i c .Takav rastav je jedinstven. Bilo koja četri vektora u prostoru linearno su zavisna.
Iz praktičnih razloga najzgodnije je razlagati vektore na komponentne vektore koji su okomiti.
---------------------------------------------------------------------------------------------------Projekcija vektora na pravac
Neka je s brojevni pravac čiji je smjer određen vektorom s .
(Ortogonalna projekcija (u daljnjem tekstu jednostavno projekcija) točke T na pravac s jeste presječna
točka T ' ravnine kroz točku T okomite na os.)
Skalarna projekcija ( projekcija vektora na os s, skalarna komponenta, koordinata) vektora
a = AB na os s ( s ) je skalar
proj s a = a s = s B − s A ,
gdje su : s B projekcija kraja vektora na os s i s A projekcija početka vektora na os s.
114
Radni materijali
B
A
1 sA
0
sB
ili
B
B
A
α
A
a s = a cos α
sA
0
sB
α π
2
1
0
sB
α π
2
as 0
sA
α
as 0
Vektorska projekcija (vektorska komponenta, komponenta vektora u smjeru osi s) vektora a = AB
na os s ( s ) je vektor a s = A ' B ' kojem su početak A ' i kraj B ' projekcije početka A i kraja B vektora
a = AB na os s .
B
B
A
so
A
as
as
so
Veza vektorske i skalarne projekcije
s 0 jedinični vektor vektora s .
a s = a s s0
Komponente vektora u pravokutnom koordinatnom sustavu-Koordinatizacija
Uvođenje koordinatnog sustav omogučava predstavljanje vektora pomoću realnih brojeva. Na taj
način se pojednostavljuje rukovanje vektorima, jer se operacije s vektorima svode na odgovarajuće
operacije s brojevima.
Vektori na pravcu
Na brojevnom pravacu p uočimo točke O (0) I E (1) . Jedinični vektor i definiramo kao i = OE .
Svakoj točki P koja leži na brojevnom pravcu p jednoznačno je pridružena njena apscisa x i vektor OP .
Po pravilu množenja vektora skalarima vrijedi
i
OP = x ⋅ OE = x i
0
Broj x je skalarna komponenta vektora OP .
115
E
1
P(x)
Radni materijali
Vektori u ravnini
Kartezijev pravokutni koordinatni sustav u ravnini čine dva okomita brojevna pravca x i y sa zajedničkim
ishodištem O = (0,0) . Istaknimo jedinični vektor i na x-osi kojem je početna točka O = (0,0) , a vrh
točka E1 = (1,0) tj. i = OE1 . Na y- osi istaknimo jedinični vektor j kojem je početak točka O = (0,0) ,
a vrh točka E 2 = (0,1) tj. j = OE 2 .
Vektori i i j su linearno nezavisni, pa se svaki vektor u toj ravnini može prikazati kao linearna
kombinacija tih dvaju vektora.
y
E2
j
E1
1
i
x
Radij vektor u ravnini
T ( x, y )
T1
projekcija točke T na x os
T2
projekcija točke T na y os
r T = OT
Skalarne komponente radij-vektora
y
rx = x
T(x,y)
E2 (y)
ry = y
rr
j
0
i
T1 (x)
x
Skalarne komponente radij vektora točke T su koordinate točke T .
Vektorske komponente radij-vektora
rx = OT1 = rx i = xi
ry = OT2 = ry j = y j
r T = OT1 + OT2 = xi + y j
ili
r = ( x, y )
116
Radni materijali
T ( x, y )
↔
rT =
x2 + y2
r T = xi + y j
Primjer:
Odredite radij-vektor rT točke T (−2,3) . Izračunajte rT
y
T( -2,3)
3j
-2
-2 i
0
x
rT = OT
rx = x = −2
ry = y = 3
rT = rx i + ry j = −2i + 3 j
rT
=
x 2 + y 2 = 4 + 9 = 13
Vektori kojima početak nije u ishodištu mogu se na isti način rastaviti na komponente.Vektor
translatiramo tako da mu početak “padne” u ishodište koordinatnog sustava.
a = ax i + a y j = ax + a y
(
Uz oznaku a = a x , a y
) često se koristi i matrični zapis a = ⎡⎢ aa
⎤
⎥.
⎣ y⎦
a = ax 2 + a y 2
a x = a cos α ,
α = ∠ (i , a)
a y = a cos β ,
β =∠( j,a)
(
a = a x i + a y j = a ⋅ i cos α + j cos β
)
117
x
Radni materijali
a0 =
a
a
=
a
a
( i cos α + j cos β )
y
a
ay
a
j
ax
i
x
a 0 = = i cos α + j cos β
Koordinate jediničnog vektora su kosinusi smjera.
Ako su dane koordinate početka A( x A , y A ) i kraja B ( x B , y B ) vektora a = AB
a = AB = OB − OA
OB = rB = ( x B , y B )
OA = rA = ( x A , y A )
Skalarne komponente
a x = xB − x A
a y = yb − y A
y
yB
ay=y B- yA
yA
B=(xB , yB )
A(xA , y A)
ax =xB -xA
xA
xB
Vektorske komponente
a x = a x i = ( x B − x A )i
a y = a y j = ( yB − y A ) j
a = a x + a y = ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j
118
x
Radni materijali
(
)
(
)
Jednakost vektora: Vektori a = a x , a y i b = bx , b y su jednaki onda i samo onda ako je a x = b x ,
a y = by
(
)
(
)
(
)
)
Kolinearnost vektora : Vektori a = a x , a y i b = b x , b y su kolinearni ako postoji broj k takav da je
a = k b tj.
(
a ± b = (a
Suma (razlika) vektora a = a x , a y i b = bx , b y
x
± bx , a y ± b y
)
Množenje vektora sa skalarom λ a = ( λ a x , λ b x )
Vektori u prostoru
Kartezijev pravokutni koordinatni sustav u prostoru čine tri okomita brojevna pravca x , y i z sa
zajedničkim ishodištem O = (0 , 0 , 0 ) . Istaknimo jedinični vektor i na x-osi kojem je početna
točka O = (0 , 0 , 0 ) , a vrh točka E1 = (1, 0 , 0 ) tj. i = OE1 . Na y- osi istaknimo jedinični vektor j
kojem je početak točka O = (0 , 0 , 0 ) , a vrh točka E 2 = (0 ,1, 0 ) tj. j = OE 2 . Na z -osi istaknimo
vektor k kojem je početak točka O = (0 , 0 , 0 ) , a vrh točka E 3 = (0 , 0 ,1 )
Vektori i , j i k su linearno nezavisni, pa se svaki vektor u prostoru može prikazati kao linearna
kombinacija ta tri vektora.
Radij-vektor u prostoru
T = ( x, y , z )
z
T(x,y,z)
k
i
x
rr
j
0
x
r T = OT = OT1 + OT2 + OT3 = rx + ry + rz
Skalarne komponente radij-vektora
rx = x
ry = y
rz = z
119
y
y
Radni materijali
Vektorske komponente radij-vektora
rx = rx i = xi
r y = ry j = y j
rz = rz k = z k
rT = xi + y j + z k
rT =
x2 + y2 + z2
Vektori kojima početak nije u ishodištu mogu se na isti način rastaviti na komponente.
a = ax + a y + az = ax i + a y j + az k
(
a = ax , a y , az
2
⎡ ax ⎤
ili a = ⎢⎢ a y ⎥⎥
⎢⎣ a z ⎥⎦
)
2
a = ax + a y + az
2
Ako je: α = ∠ ( a , i ) , β = ∠ ( a , j ) i γ = ∠ ( a , k ) tada su:
a x = a cos α
a y = a cos β
a z = a cos γ
a0 =
a
a
a 0 = i cos α + j cos β + k cos γ
120
Radni materijali
Jednakost vektora
(
)
(
)
Vektori a = a x , a y , a z i b = bx , b y , bz su jednaki onda i samo onda ako je a x = bx ,
a y = b y , a z = bz
(
)
(
Suma (razlika) vektora a = a x , a y , a z i b = bx , b y , bz
(
a ± b = a x ± bx , a y ± b y , a z ± bz
)
)
Ako su zadane koordinate početka A( x A , y A , z A
) i kraja B( x B , y B , z B ) vektora
a = AB = OB − OA
OB = rB = ( x B , y B , z B )
OA = rA = ( x A , y A , z A )
a = rB − rA = ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A )k
a = (xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 + (z B − z A ) 2
121
a = AB imamo
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(koordinatizacija vektora)
1. Točka A ( − 2 , 4 ,1 ) leži u x − y ravnini.
DA
NE
2. Vektori a = (1 , 1 , 1 ) i b = ( 2 , 2 , 2 ) su jednaki .
DA NE
3. Da li su vekori a = 3i + j i b = 6i + 3 j kolinearni?
DA
NE
4. Točka A( x A , y A ) je vrh, a točka B ( x B , y B ) je kraj vektora AB . Napišite skalarne i vektorske
komponente tog vektora.
5. Vektor a ima početak u točki A ( x A , y A ) i vrh u točki B ( x B , y B ) .Izračunajte
a i a0 .
122
Radni materijali
ODGOVORI
(koordinatizacija vektora)
1. NE
2. NE
3. NE
4. Skalarne komponente a x = x B − x A , a y = y B − y A
Vektorske komponente a x i = ( x B − x A )i , a y j = ( y B − y A ) j
5.
a =
( x B − x A )2 + ( y B − y A )2 ,
a0 =
( xB − x A ) i + ( yB − y A ) j
a
123
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(koordinatizacija vektora)
Zadatak: T ( 2 , − 1, 3 ) ⇒ rT = 2i − j + 3k
Zadatak: a = ( 2 , − 4 , 8 ) , b = ( 0 , − 3 , 2 ) ⇒
a + b = (2 + 0 , − 4 − 3 , 8 + 2 ) = ( 2 , − 7 , 10 )
a + b = 4 + 49 + 100 = 153
Zadatak: Neka su zadane točke A ( − 2 , 4 ,1 ) , B ( 3 , − 6 , − 3 ) i C ( 4 , − 2 , 3 ) .
Izračunajte AB + AC i 2 AB − AC.
AB = (3 + 2) i + (−6 − 4) j + (−3 − 1)k = 5 i − 10 j − 4 k
AC = (4 + 2) i + (−2 − 4) j + (3 − 1)k = 6i − 6 j + 2 k
AB + AC = (5 + 6) i + (−10 − 6) j + (−4 + 2) k = 11i − 16 j − 2 k
2 AB − AC. = 2 (5 i − 10 j − 4 k ) − (6i − 6 j + 2 k ) = 4 i − 14 j − 10 k
Zadatak: Dane su točke A (3 , 2 ) , B ( bx , 4 ) , C ( − 1,−1 ) i D ( 1 , 5 ) . Odredite bx tako da su
vektori AB i CD kolinearni. Izračunajte AB + CD .
AB = (bx − 3) i + 2 j , CD = 2 i + 6 j
b −3 2
bx − 3 2
11
1
1
= ⇒ bx = , λ =
= =λ ⇒ x
AB = CD
2
6
2
6
3
3
3
4
8 10
AB + CD = AB + CD =
+ 4 + 4 + 36 =
9
3
0
Zadatak: U ravnini je zadan radij-vektor rT točke T , rT = 4 i ∠ (rT , i ) = 60 . Izračunajte koordinate
točke T .
y
T
y
j
0
600
x
i
124
x
Radni materijali
1
=2
2
3
y = ry = rT cos(90 0 − 60 0 ) = 4 ⋅
=2 3
2
x = rx = rT cos α = 4 cos 60 0 = 4 ⋅
T ( 2,2 3 )
Zadatak: Zadana je početna točka A vektora a . Koje koordinate ima vrh B ako je
A ( 2 ,1, − 1 ) , a = 2i + 3 j − k .
k
Β
i
0
j
a
Α
OB = OA + a
OA = 2i + j − k
OB = (2 + 2)i + (1 + 3) j + (−1 − 1)k = 4i + 4 j − 2k
B( 4 , 4 , − 2 )
Zadatak: Izračunajte modul vektora a =
2
a =
2
2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
1
1
1
i+ j+ k.
3
3
3
1
3
Zadatak: Odredite α ∈ R tako da vektori a = 2i + 3 j i b = αi − j budu kolinearni.
Vektori su kolinearni ako postoji broj λ tako da je a = λb .
2i + 3 j = λ(αi − j )
Iz jednakosti vektora 2 = λα i 3 = − λ , pa je 2 = −3α odnosno α = −
125
2
.
3
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
( koordinatizacija vektora)
1. T (5 , 0, 0) , rt = ?
2. Odredite jedinični vektor a
0
vektora a = (1, − 2 , 2 ) .
3. Dan je početak A( 5 , 2 , 0) i vrh B ( −1, 0 , 2) vektora. AB = ?
4. Dan je početak A( 2 ,1 , − 1) vektora AB = 2 i + 3 j − k . Koje koordinate ima vrh B ?
5. Da li su vektori a = 6 i + 6 j I b = −i − j paralelni?
DA
NE
6. Odredite ∠ (a , i ) ako je a = 3i − 3 j .
⎡ 6⎤
⎢ ⎥
7. b = 0 , b0 = ?
⎢ ⎥
⎢⎣ 1⎥⎦
8. Ako je a = 2 , ∠ ( a , i ) = 45 0 , ∠ ( a , j ) = 45 0 I ∠ ( a , k ) = 45 0 odredite skalarne komponente
vektora a .
126
Radni materijali
ODGOVORI
(koordinatizacija vektora)
1. rT = 5 i
2. a 0 =
1
2
2
i− j+ k
3
3
3
AB = 36 + 4 + 49
3. AB = −6i − 2 j − 7 k ,
( 4, 4, − 2 )
4. rB = rA + AB =
5. NE
6. cos α =
7. b0 =
b
b
ax
a
=
=
3
3 2
6
37
=
i+
2
2
1
37
k
8. a = 2(cos 45 0 i + cos 45 0 i + cos 45 0 k ) = 2 i + 2 j + 2 k
127
Radni materijali
3.3. SKALARNI PRODUKT VEKTORA
Rad
F
A=F.s
s
F
A=F.s.o=o
F
F2
α
F1
A=F1 .s
s
Aktivna sila koja vrši rad nije cjelokupna sila F , nego samo njena komponenta F1 u pravcu kretanja
tijela. Izvršeni rad je A = F1 ⋅ s . Kako je F1 = F cos ∠ ( s , F ) slijedi A = F ⋅ s ⋅ cos α .
Skalarni produkt vektora a i b je skalar (broj) koji označavamo a ⋅ b i definiramo ga
a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ
,
φ = ∠ ( a ,b )
ϕ je kut između vektora a i b i uzeto je 0 ≤ ϕ ≤ π .
Ako je 0 < φ <
π
( šiljati kut) slijedi a ⋅ b > 0
2
π
< φ < π ( tupi kut) slijedi a ⋅ b < 0 .
2
π
Ako je φ =
( pravi kut) slijedi a ⋅ b = 0
2
Ako je
Vrijedi : a ≠ 0 i b ≠ 0 i a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ = 0
128
⇒ ϕ=
π
2
Radni materijali
Skalarna projekcija vektora b na vektor a
b = b cos ϕ
a
b
ϕ
a
| b |cos ϕ
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ = a ⋅ b
a
1424
3
ba
b =
a
a⋅b
a
Vektorska projekcija vektora b na vektor a
b a = b ⋅ a0
a
b
ϕ
a
ba
a0
Iz formule za skalarni produkt slijedi
a ⋅ a = a a cos 0 = a
a =
2
a⋅a
Kut φ između vektora a i vektora b određuje se iz
cos ϕ =
a ⋅b
a ⋅ b
Specijalno: kutevi α , β , γ vektora a s koordinatnim osima dani su sa:
cos α =
i⋅a
i ⋅ a
=
ax
a
, cos β =
j⋅a
j ⋅ a
=
ay
a
, cos γ =
129
k⋅a
k ⋅ a
=
az
a
Radni materijali
Za jedinične vektore koordinatnih osi vrijedi
i ⋅i =1
i⋅ j = 0
i⋅k = 0
j ⋅i = 0
j⋅ j =1
j⋅k = 0
k ⋅i = 0
k⋅ j=0
k ⋅k =1
Ako su vektori a i b dani u odnosu na pravokutni koordinatni sustav a = ( a x , a y , a z ) ,
b = ( bx , b y , bz ) tada je
a ⋅ b = a x ⋅ bx + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz
Svojstva skalarnog produkta
1. ( a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
2.
( λ a ) ⋅ b = λ(a ⋅ b)
3.
a⋅b = b⋅a
4.
a⋅a = 0
( komutacija)
⇔
a=0
Napomena: Za skalarni produkt nije definirano a ⋅ b ⋅ c .
a ⋅ ( b ⋅ c) je definirano I vrijedi a ⋅ ( b ⋅ c) ≠ (a ⋅ b) ⋅ c ≠ (a ⋅ c) ⋅ b .
130
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(skalarni produkt )
1.
a⋅b =
2. Izvršite naznačene računske operacije ( 2a + b ) ⋅ ( 3a − b) .
3. a ⋅ b < 0
⇒
DA
NE
π
∠ ( a , b &) >
2
4. 4 a ⋅ b − 4 b ⋅ a = 0
DA
NE
5. a ⋅ b = b ⋅ a
DA
6.
NE
k⋅k =
7. ( c ⋅ a ) ⋅ b je vektor
DA
NE
8. Dani su vektori a = a x i + a y j + a z k i b = b x i + b y j + b z k ..
a⋅b=
9. Ako za vektore a i b ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) vrijedi a ⋅ b ≠ 0 tada su vektori okomiti.
DA
NE
131
Radni materijali
ODGOVORI
(skalarni produkt)
1. a ⋅ b = a ⋅ b cos ∠ ( a , b)
2. 6 a
2
+ ab − b
2
3. DA
4. DA
5. DA
6. k ⋅ k = =1
7. DA
8.
ab = a x bx + a y b y + a z bz
9. NE
132
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(skalarni produkt)
Zadatak: Zadani su vektori a i b za koje vrijedi a = 3 , b = 2 i ∠ ( a , b ) =
π
.
4
Izračunajte a ⋅ b .
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ∠ ( a, b) = 3 ⋅ 2 ⋅
2
2
Zadatak: Izvršite naznačene operacije 4 a ⋅ b − 8 b ⋅ a
4 a ⋅ b − 8b ⋅ a =
4 a ⋅ b − 8 a ⋅ b = − 4a ⋅ b
Zadatak: Izračunajte ( 2a + b ) ⋅ ( 2a − 3b) , ako je a = 6 , b = 3 i kut između njih je
( 2a + b ) ⋅ ( 2a − 3b) = 4a ⋅ a − 6a ⋅ b + 2b ⋅ a − 3b ⋅ b = 4a 2 − 4a ⋅ b − 3b 2 =
π
= 4 ⋅ 6 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 3 cos − 3 ⋅ 3 2 = 81
3
3
3
3
Zadatak: Zadan je vektor a : a = 6 , cos α =
, cos β =
, cos γ =
.
3
3
3
Odredite skalarne komponente vektora a I prikažite ga kao jednostupčanu matricu.
3
=2 3
3
3
a y = a cos β = 6
=2 3
3
3
a z = a cos γ = 6
=2 3
3
a x = a cos α = 6
⎡ 2 3⎤
⎢
⎥
a = ⎢ 2 3⎥
⎢ 2 3⎥
⎣
⎦
Zadatak: Odredite kut između vektora a = 2i + j − k i b = 3i + j − k .
cos φ =
a ⋅b
a ⋅ b
=
2 ⋅ 3 + 1⋅ 1 + 1⋅ 1
4 + 1+ 1 ⋅ 9 + 1+1
=
8
6 ⋅ 11
φ=
133
α=
π
.
3
Radni materijali
Zadatak: Ako je vektor a = (−2 , a y ,1 ) okomit na vektor b = ( 3 , 2 , 0 ) odredite komponentu a y vektora
a.
Uvjet okomitosti a ⋅ b = 0
⇒
− 2 ⋅ 3 + 2a y + 1 ⋅ 0 = 0
ay = 3
Zadatak: Postoji li vektor x tako da je x ⋅ a = −1 , x ⋅ b = 1 i x ⋅ c = 1 ako su
a = (1, 3, 3 ) , b = ( 0 , 2 , 3 ) i c = ( 2 , 0 , − 1) ?
x = ( x1 , x 2 , x3 )
x ⋅ a = x1 + 3 x 2 + 3x3 = −1
x ⋅ b = 2 x 2 + 3x3 = 1
x ⋅ c = 2 x1 − x3 = 1
Problem se svodi na rješavanje sustava
⎡ 1 3 3 − 1⎤
⎢
⎥
⎢0 2 3 1⎥ →
⎢⎣ 2 0 − 1 1 ⎥⎦
⎡1 3
3 − 1⎤
⎢
⎥
3 1⎥
⎢0 2
⎢⎣ 0 − 6 − 7 3 ⎥⎦
→
⎡ 1 3 3 − 1⎤
⎢
⎥
⎢0 2 3 1⎥
⎢⎣ 0 0 2 6 ⎥⎦
Sustav ima jednoznačno rjršenje x1 = 2 , x 2 = −4 , x3 = 3 .
Traženi vektor je x = ( 2 , − 4 , 3 )
Zadatak: Nađite vektorsku projekciju vektora d = −2i + 3 j + k na pravac određen
vektorom a = i − 2 j + 2k .
da =
d ⋅a
a
⋅ a0
d ⋅ a = −2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 2 = −6
a = 1+ 4 + 4 = 3
a0 =
da =
a
a
=
i − 2 j + 2k 1
2
2
= i− j+ k
3
3
3
3
−6⎛ 1
2
2 ⎞
2
4
4
⎜ i − j + k⎟ = − i + j − k
3 ⎝3
3
3 ⎠
3
3
3
134
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (skalarni produkt)
1. Izračunajte izvršeni rad sile F iznosa 3N po ravnom putu duljine 8m , ako sila i put
zatvaraju kut od 60 0 stupnjeva.
2. Odredite kut između vektora a = 2i − j + k I b = 3i − 4 j .
3. Vrhovi trokuta su A( −1 , 4 ,1 ) , B ( 3 , 4 , − 2 ) , C (5 , 2 , − 1) . Odredite kut uz vrh B .
4. Odredite nepoznate komponente vektora c = c x i + c y j + k tako da je c ⊥ a i c ⊥ b
ako su a = i + j , b = −i + 2 j + k .
5. Nađite skalarnu i vektorsku projekciju vektora a = (3 , − 12 , 4 ) na vektor
b = ( 1, 0 , − 2 ) .
135
Radni materijali
RJEŠENJA ( skalarni produkt)
1. W = 12 J
2. cos α =
3.
6
, α = 35 015′ 52′′
3
1
cos β = − , β = 109.4710
3
4. c x =
1
1
, cy = −
3
3
5. ab = − 5 , a
b
= − i + 2k
136
Radni materijali
3.4. VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt dvaju vektora definira se za vektore iz prostora. Ako su a i b dva vektora u prostoru,
tada je njihov vektorski produkt u oznaci a × b , novi vektor c sa slijedećim svojstvima:
1.
c = a × b = a ⋅ b ⋅ sin α , 0 ≤ α ≤ π , α je kut između vektora a i b
2.
Vektor c je okomit na vektore a i b , dakle na ravninu u kojoj leže vektori a i b
3.
Smjer vektora c je određena tako, da gledano s njegovog vrha zakretanje vektora a u
smjer vektora b ( za najmanji kut) ima pozitivan smisao.
Pozitivan smisao zakretanja je smjer suprotno od smjera gibanja kazaljki na satu.
b
c= axb
ϕ
a
Za ovako definiran produkt vrijedi:
Ako je jedan od vektora u vektorskom produktu nul-vektor tada je, po definiciji, njihov vektorski produkt
nul-vektor .
Ako ni jedan od vektora nije nul-vektor ( a ≠ 0 i b ≠ 0 ) vektorski produkt je nul-vektor ( a × b = 0 )
onda i samo onda ako su a i b kolinearni.
Za svaki vektor a vrijedi a × a = 0 .
Vrijedi:
i×i = 0
i× j = k
j×i = − k
j× j = 0
j×k = i
k × j = −i
k×k = 0
k ×i = j
i×k = − j
137
Radni materijali
Svojstva vektorskog produkta
1. a × b = − b × a
2.
( a + b) × c = a × c + b × c
3. ( λ a) × b = λ(a × b)
Neka su zadani vektori a = a x i + a y j + a z k
i
a × b = ax
bx
j
ay
by
k
ay
az =
by
bz
az
bz
i−
i vektor b = b x i + b y j + b z k tada je
ax
az
bx
bz
j+
ax
ay
bx
by
k
Gore nije prava determinanta, jer su u prvom retku vektori, a ne brojevi. Ipak vektorski produkt
tako zapisujemo radi kratkoće zapisa. Da bi dobili komponente vektorskog produkta moramo
razviti determinantu po elementima prvog retka.
Površina paralelograma razapetog vektorom a i vektorom b
P = a ⋅ v a = a ⋅ b sin ∠ ( a , b )
P = a×b .
b
ϕ
a
Površina trokuta razapetog vektorom a i vektorom b
a+b
1
P = a×b
2
b
a
Mješoviti produkt vektora
Pomnožimo li vektore a i b vektorski, pa dobiveni vektor a× b pomnožimo skalarno s vektorom c , tada
je produkt ( a × b) ⋅ c definiran kao mješoviti produkt vektora a , b i c .
Mješoviti produkt tri vektora je skalar.
138
Radni materijali
Neka su zadani vektori a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k I c = c x i + c y j + c z k tada je
ax
ay
az
( a × b) ⋅ c = bx
by
bz
cx
cy
cz
Mješoviti produkt vektora može biti jednak nuli ako su: jedan,dva ili sva tri vektora nul-vektori ili
ako sva tri vektora leže u istoj ravnini (ako su komplanarni) .
Uvjet komplanarnosti: ako za tri vektora vrijedi
a ≠ 0,b≠0ic≠ 0
( a × b) ⋅ c = 0
vektori su komplanarni.
Volumen paralelopipeda razapetog vektorima a , b i c .
c
b
a
V = površina baze ( paralelograma određenog vektorima a i b ) ⋅ v
površina baze = P = a × b
visina v = projekcija vektora c na pravac okomit na bazu. Ako je kut između vektora c i okomice na bazu
jednak ψ ( 0 < ψ ≤
π
), tada je volumen paralelopipeda
2
V = a × b ⋅ c cos ψ
Općenito volumen paralelopipeda razapetog vektorima a , b i c je:
V =
(a × b ) ⋅ c
Volumen je apsolutna vrijednost mješovitog produkta.
139
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(vektorski produkt)
1. a × b = a ⋅ b sin α
DA
NE
2. a × b =
3. a × b = b × a
DA
NE
4. a × b ≠ 0 vektori a i b su kolinearni
DA
NE
5. ( b × a ) ⋅ c je skalar
DA
NE
6. i × i = ?
7. i × j = 0
DA
NE
8. 5 ⋅ ( b × a ) je vektor
DA
NE
9. Ako je a × b = 2 i tada je b × a = …………..
140
Radni materijali
ODGOVORI
(vektorski produkt)
1. NE
2. a × b = a ⋅ b sin α
3. NE
4. NE
5. DA
6. 0
7. NE
8. DA
9. b × a = −2 i
141
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(vektorski produkt)
Zadatak: Odredite a × b za vektore a = ( 2 ,1,1) i b = (−1, 0 ,1)
i
j k
1 1
2 1
2 1
− j
+k
= i −3j + k
a×b = 2 1 1 = i
0 1
−1 1
−1 0
−1 0 1
Zadatak: Zadani su vektori a = (1, 2 ,1) , b = (2 ,1, − 1 ) i C = ( 0 , 2 , 0 ) . Izračunajte
( 3a − 2b ) × c .
1. način
3a − 2b = ( 3i + 6 j + k ) − 2 ( 2i + j − k ) = −i + 4 j + 5k
i
j k
( 3a − 2b ) × c = − 1 4 5 = i
0
2 0
4 5
−1 5
−1 4
− j
+k
= − 10i − 2k
2 0
0 0
0 2
2. način
( 3a − 2b ) × c = 3a × c − 2b × c
računamo dva vektorska produkta
3. način
(− i + 4 j + 5 k ) × ( 2 j ) = −2 i × j + 8 {
j × j + 10 k{
× j = −10i − 2k
123
−i
0
k
Zadatak: Izračunajte površinu trokuta ∆ ABC zadanog s A ( − 1, 4 ,1 ) , B ( 3 , 4 , − 2 ) i C (5 , 2 , − 1 ) .
AB = 4i − 3k
AC = 6i − 2 j − 2k
Površina ∆ ABC P =
i
j
AB × AC = 4
0
1
AB × AC
2
k
−3 =
6 −2 −2
= i
P=
0
−3
−2
−2
− j
4 −3
6 −2
+k
4
0
6 −2
1
36 + 100 + 64 = 5 2
2
142
= −6i − 10 j − 8k
Radni materijali
Zadatak: Izračunajte volumen paralelopipeda razapetog vektorima AB , AC i AD
ako je A( 1 , 0 , 0 ) , B ( 1 , 1 , 0 ) , C ( − 1 , 1 , 0 ) i D( − 1 , 0 , 0 ) .
AB = (0 ,1, 0)
AC = (−2 , 4 , 0)
AD = (−2 , 0 , 3)
V = AB ⋅ ( AC × AD )
(
)
0
Kako je AB ⋅ AC ⋅ AD = − 2
1 1
4 0 = 6 imamo da je V = 6 .
−2 0 3
Zadatak: Izračunajte površinu trokuta, kojem su dvije stranice vektori a = ( 3, 1, 2 ) I b = ( 2, − 2 , 4 ) .
P=
1
a×b
2
i
j
k
a×b = 3
1
2 = i
2 −2
4
1
2
−2
4
− j
3 2
2 4
+k
= 8i − 8 j − 8 k
a ×b =
64 + 64 + 64 = 8 3
143
3
1
2 −2
Radni materijali
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD
(vektorski produkt)
1. Ispitajte jesu li vektori a = ( 3 , − 1, 4 ) i b = (1, −
a) okomiti
b)
1 4
, )
3 3
kolinearni.
2. Nađite površinu paralelograma razapetog vektorima a = 2i + j + 2k i b = 3i + 2 j + 2k
3. Izračunajte volumen paralelopipeda razapetog vektrima a = (−1, 4 ,1) , b = ( 3 , 4 , − 2 )
i c = (5 , 2 , − 1) .
4. Odredite vrijednost parametra α ∈ R tako da je površina paralelograma što
ga određuju vektori a = ( α , 3 , 2 ) i b = (1, 0 ,1) jednaka P = 18 .
RJEŠENJA
(vektorski produkt)
1. a) a ⋅ b ≠ 0
nisu okomiti b) a × b = 0
kolinerani su
2.
3. 74
4. α = 2
144
Radni materijali
3.5. RAZLAGANJE VEKTORA NA PROIZVOLJNE VEKTORSKE KOMPONENTE
Zadatak: Razložiti vektor d na vektorske komponente u smjeru vektora a , b , c .
1. način
- grafički
2
3
d=
1
a+
2
b+
3
c
b
d
c
c
2
1
a
b
b
a
2. način
Vektor d = ( d x , d y , d z ) treba prikazati kao linearnu kombinaciju vektora
(
)
(
a = a x , a y , a z , b = bx , b y , bz
)
i c = (c x , c y , c z ) . Da bi to bilo moguće vektori a , b , c i d moraju
biti linearno zavisni.Time se problem svodi na rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.
(
)
(
Zadani su vektori a = a x , a y , a z , b = b x , b y , b z
)
i c = (c x , c y , c z ) . Tražimo brojeve λ1 , λ2 i λ3 tako
da je d = λ1 a + λ2 b + λ3 c .
(
)
(
) (
d x i + d y j + d z k = λ1 a x i + a y j + a z k + λ2 b x i + b y j + bz k + λ3 c x i + c y j + c z k
)
Odredbeni sustav
a x λ1 + bx λ2 + c x λ3 = d x
a y λ1 + b y λ2 + c y λ3 = d y
a z λ1 + bz λ2 + c z λ3 = d z
Problem ispitivanja linearne zavisnosti vektora svodi se na ispitivanje da li postoje brojevi λ1 , λ2 , λ3 ( od
kojih je barem jedan različit od nule )za koje je λ1 a + λ2 b + λ3 c = 0 .
Odredbeni sustav
a x λ1 + bx λ2 + c x λ3 = 0
a y λ1 + b y λ2 + c y λ3 = 0
a z λ1 + bz λ2 + c z λ3 = 0
145
Radni materijali
PROVJERA ZNANJA
(razlaganje vektora na proizvoljne vektorske komponente )
1. Prikažite vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i b .
c
b
a
2. Vektori j i k su linarno nezavisni.
DA
NE
ODGOVORI (razlaganje vektora na proizvoljne vektorske komponente )
1.
c
2
b
1
b
a
a
c=
1
a+
2
b
2. DA
146
Radni materijali
RIJEŠENI ZADACI
(razlaganje vektora na proizvoljne vektorske komponente )
Zadatak: Prikažite vektor b = 2i + j kao linearnu kombinaciju vektora a = i + j i vektora
c = −i + 3 j .
b = λ1 a + λ2 c
2i + j = λ1 (i + j ) + λ2 (−i + 3 j )
2i + j = ( λ1 − λ2 )i + ( λ1 + λ2 ) j
λ1 − λ2 = 2
λ1 + 3 λ2 = 1
λ1 =
b=
7
1
, λ2 = −
4
4
7
1
a− c
4
4
147
Radni materijali
ZADATAK ZA SAMOSTALNI RAD
(razlaganje vektora na proizvoljne vektorske komponente )
1. Može li se vektor b = (1, 3 , − 4 ) prikazati kao linearna kombinacija vektora
a = ( 6 , − 4 , − 2) i c = ( 2 , − 5 , 3 ) .
RJEŠENJE ( razlaganje vektora na proizvoljne vektorske komponente )
1. b =
1
a−c
2
148

1 Kompleksni brojevi

rješenja zadataka sa prijemnog ispita

Određivanje potrebne snage uređaja za kompenzaciju

MATEMATIKA Trgovina i računovodstvo (stari) Zadaci: 1. Derivirajte

obrazac za sponzore i izlagače - xv simpozij ortopedska pomagala

03. Statika

Magnetske karakteristike materijala

SEMINAR IZ KVANTNE FIZIKE

null

Osnovni podaci Ime: Vedad Pašic Kabinet: PMF 313 Email: vedad