ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
H ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ
B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σχολικό έτος 2013-2014
Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟ
1
2
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α
_______________________________________________________
Μαθήτριες και µαθητές των Β΄1, Β΄2, Β΄3 τµηµάτων της Β΄ Λυκείου.
Τα στοιχεία τους έχουν διαγραφεί στη ∆ιαδικτυακή έκδοση της εργασίας.
3
Ποίηµα:
Η χρυσή τοµή είναι µαγική
χρήσιµη και πρακτική
Μια θεωρία που έχει στηριχτεί
στη βάση και στη λογική
Αρκετά σηµαντική για την αρχιτεκτονική
αλλά και για τη φύση και τη µουσική
Έχει µια µορφή τόσο ελκυστική
και µια εµφάνιση πολύ γοητευτική
Την χρησιµοποίησαν αρκετοί
όπως καλλιτέχνες και µαθηµατικοί
µε στόχο την καλύτερη αισθητική
(τέχνηµα µαθήτριας Β΄3)
4
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
_______________________________________________________
Εισαγωγή - Οργάνωση ∆ουλειάς
Ιστορική Αναδροµή
Κεφάλαιο Μαθηµατικά:
1. Μαθηµατικά
2. Πληροφορική
3. Φυσική
Κεφάλαιο Τέχνες:
1. Μουσική και Μουσικά Όργανα
2. Ζωγραφική
3. Αρχιτεκτονική
4. Παρθενώνας
5. Πυραµίδες στην Αίγυπτο
6. Φωτογραφία
Κεφάλαιο Φύση:
1. Φυτά
2. Η χρυσή τοµή στη φύση
3. Η χτυσή τοµή στα φυτά
4. Ζώα
5. Άνθρωπος
Κεφάλαιο Άλλα:
1. Μόδα
2. Αθλητικές Εγκαταστάσεις
3. Λογότυπα
Συµπεράσµατα - Επίλογος
Τεχνήµατα
Βιβλιογραφικές Αναφορές
5
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΟΡΓΑΝΩΣΗ ∆ΟΥΛΕΙΑΣ
_______________________________________________________
Η εργασία αυτή αφορά την ερευνητική εργασία (project) µε θέµα την χρυσή τοµή, που έχει
ως επιβλέποντα καθηγητή τον κύριο Κεσσανίδη. Η χρυσή τοµή ήταν ένα θέµα όπου µας
κίνησε την περιέργεια στο να µάθουµε πως χρησιµοποιείτε και ποια είναι τα αποτελέσµατα
της. Στο ξεκίνηµα της εργασίας µας ο επιβλέπων καθηγητής, µας έδειξε σχετικές
παρουσιάσεις και βίντεο ώστε να καταλάβουµε τις λειτουργίες του χρυσού κανόνα. Στα
πλαίσια του µαθήµατος µας µοίρασε σε µια κόλλα χαρτί ένα λογότυπο για να κάνουµε µόνοι
µας τις µετρήσεις και να βρούµε αν υπάρχει χρυσή αναλογία. Στη συνέχεια µε την βοήθεια
του προγράµµατος mindmeister, όπου είχαµε όλοι πρόσβαση ταυτόχρονα από
υπολογιστές, κινητά και τάµπλετ, χωρίσαµε τα θέµατα σε τέσσερις βασικές κατηγορίες.
1. ΤΕΧΝΕΣ
2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
3. ΦΥΣΗ
4. ΑΛΛΑ (π.χ. λογότυπα)
O καθένας από εµάς ανέλαβε να ερευνήσει αυτά που τον ενδιέφεραν περισσότερο. Για να
διευκολυνθεί η έρευνα µας, µάθαµε πως γίνεται µια σωστή αναζήτηση πληροφοριών και πως
καταγράφονται οι πηγές από το ίντερνετ ή και από βιβλία. Για τον σκοπό αυτό
επισκεφθήκαµε και την βιβλιοθήκη του σχολείου µας, όπου κάναµε έρευνα χρησιµοποιώντας
τα βιβλία της.
Η καταγραφή των πληροφοριών που βρίσκαµε ξεκίνησε σε ένα κοινόχρηστο έγγραφο
κειµένου που ανοίξαµε για αυτό τον σκοπό στο Google Docs. Το έγγραφο αυτό
6
µπορούσαµε να το χρησιµοποιήσουµε όλοι οι µαθητές ταυτόχρονα από το σχολείο και από
το σπίτι µας µε τις ηλεκτρονικές συσκευές που ανέφερα και παραπάνω. Εκεί γράφτηκε και
ολοκληρώθηκε η διόρθωση της εργασίας µας.
ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ∆ΡΟΜΗ
________________________________________________________
Ανατρέξαµε στη βιβλιογραφία και βρήκαµε ιστορικά και άλλα στοιχεία από την
εφαρµογή της Χρυσής Τοµής σε διάφορα πεδία της ανθρώπινης ζωής και σε διάφορες
επιστήµες.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
_______________________________________________________
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ
http://bit.ly/1kfJfIv
Ορισµός
7
῎Ακρον καὶ µέσον λόγον εὐθεῖα τετµῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ µεῖζον τµῆµα,
οὕτως τὸ µεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττὸν.
Απόδειξη
Θεώρηµα
8
Κατασκευή
9
(Αργυρόπουλος, Βλάµος, Κατσούλης, Μαρκάτης, Σιδέρης, σ. 202)
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI
Ακολουθία Fibonacci είναι η ειδική αναδροµική* ακολουθία* µε την ιδιότητα u1=1 και u2=1
και un=un-1+un-2.
…
Ιδιότητα
Ο λόγος δύο διαδοχικών όρων (του µεγαλύτερου προς το µικρότερο) της ακολουθίας αυτής
(που τείνουν στο άπειρο) είναι ίσος µε τον αριθµό φ.
(Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, Τόµος 5, σ. 309)
Ακολουθία και αναδροµική ακολουθία
Ακολουθία από ένα υποσύνολο A του συνόλου N των φυσικών αριθµών σε ένα µη κενό
. Το σύνολο Β είναι το σύνολο των
σύνολο B είναι η µονοσήµαντη απεικόνειση
δεικτών της ακολουθίας. Το στοιχείο un είναι ο νιοστός όρος της ακολουθίας.
Αναδροµική ακολουθία είναι η ακολουθία µε την ιδιότητα αν+ρ=λ1αν+λ2αν+1+...+λρανρ-1. Ο
αριθµός ρ είναι η τάξη της αναδροµικής ακολουθίας.
(Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, Τόµος 5, σ. 306)
Leonardo Fibonacci
Μαθηµατικός. Γιος εµπόρου από την Pisa. ∆ιδάχθηκε την αριθµητική στη Βόρειο Αφρική,
όπου είχε ακολουθήσει τον πατέρα του. Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του, που τον
έφεραν στην Αίγυπτο, τη Συρία, την Ελλάδα και τη Σικελία, αφοµοίωσε τις µαθηµατικές
γνώσεις των Αράβων και πείσθηκε για την ανωτερότητα των ινδοαραβικών λογιστικών
10
µεθόδων. Κατά την επιστροφή του στην Pisa δηµοσίευσε το περίφηµο Liber Abbaci (1202),
όπου αναλαµβάνει να µεταδώσει στη ∆ύση τη µαθηµατική επιστήµη των Αράβων και των
Ελλήνων και χρηισµοποιεί σταθερά τους αραβικούς αριθµούς µε το µηδέν και εισάγει τη
λεγόµενη ακολουθία Fibonacci. Έγραψε επίσης το Practica geometriae (1220-1221) και το
Liber quadratorum (1225).
(Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, Τόµος 69, σ. 338)
ΤΡΙΓΩΝΟ PASCAL
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
Ιδιότητα
Το άθροισµα των όρων των διαγωνίων είναι ίσο µε τους όρους της ακολουθίας Fibonacci.
(Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, Τόµος 48, σ. 232)
Blaise Pascal
11
Μαθηµατικός, φυσικός, θρησκευτικός φιλόσοφος και δεξιοτέχνης του γαλλικού πεζού
λόγου. Γεννήθηκε το 1623 στο Clermont-Ferrand και πέθανε το 1662 στο Paris. Έθεσε τα
θεµέλια της σύγχρονης θεωρίας των πιθανοτήτων, διατύπωσε το νόµος της πίεσης και
διέδωσε µια θρησκεία που δίδασκε ότι ο άνθρωπος αποκτά την εµπειρία του θεού µε την
καρδιά παρά µε το νου. ∆ίδαξε την αρχή του ενορατισµού, η οποία άσκησε σηµαντική
επίδραση σε µεταγενέστερους φιλοσόφους (Jean-Jacques Rousseau και Henri-Louis
Bergson) και σε εκπροσώπους του υπαρξισµού.
(Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, Τόµος 48, σ. 230)
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
Τεχνική Αναζήτησης Fibonacci
Στην πληροφορική, η τεχνική αναζήτησης Fibonacci είναι µια µέθοδος µε την οποία γίνεται
εύρεση µιας µεταβλητής τύπου παράταξης (array), της οποίας το κάθε στοιχείο είναι
παραταγµένο κατά ένα συγκεκριµένο τρόπο και τα στοιχεία της είναι τοποθετηµένα σε ίσα
χωρισµένες διευθύνσεις µνήµης του υπολογιστή.
Αλγόριθµος:
Έστω k ένα στοιχείο σε array F (array αριθµών Fibonacci). Εάν το µέγεθος της array
δέν είναι ένας αριθµός Fibonacci ,έστω Fm ο µικρότερος αριθµός στην F ο οποίος είναι
µεγαλύτερος από n. Η array των αριθµών Fibonacci ορίζεται όπου Fk+2 = Fk+1 + Fk, όταν k ≥
0, F1 = 1, και F0 = 0. Για να παρατηρήσουµε εάν ένα αντικείµενο είναι στη λίστα των
διαταγµένων αριθµών, ακολουθούµε τα εξής βήµατα:
1. Θέτουµε k = n.
2. Εάν k = 0 τερµατισµός του προγράµµατος. ∆έν υπάρχει ταίρι, δηλαδή το
αντικείµενο δέν βρίσκεται στην array.
3. Σύγκριση αντικειµένου µε στοιχείο της Fk−1.
4. Εάν η τιµή του αντικειµένου ταιριάζει, τερµατισµός του προγράµµατος.
5. Εάν η τιµή του αντικειµένου είναι µικρότεροη από την τιµή της Fk−1, διαγραφή
των στοιχείων από θέση Fk−1+1 εώς n. Θέτουµε k = k - 1 και επιστρέφουµε στο
2ο βήµα.
12
6. Εάν η τιµή του αντικείµενου είναι µεγαλύτερη από την τιµή της Fk−1, διαγραφή
των στοιχείων από θέση 1 εώς Fk−1+1. Απαρίθµηση ξανά των υπολοίπων
στοιχείων από 1 εώς Fk−2 ,θέτουµε k = k - 2 και επιστρέφουµε στο 2ο βήµα.
Λουράκης.Εµµανουήλ.,(2005) Fibonaccian search in C (http://bit.ly/1hcs6jB προσπελάστηκε στις: 12/1/14)
FIBONACCI HEAP
Κατ’ αρχάς, heap στην πληροφορική είναι ένα ειδικό οικοδόµηµα πληροφοριών το
οποίο έχει την εξής ιδιότητα: Έστω ένας κόµβος Α συνδεδεµένος µε κόµβο Β, όπου Α
βρίσκεται υψηλοτερα στην ιεραρχία από το Β. Όπως το key του κόµβου Α οργανώνεται σε
σχέση µε του κόµβου Β, µε τον ίδιο τρόπο οργανώνεται όλο το οικοδόµηµα. Έτσι, Fibonacci
heap είναι ένα heap το οποίο αποτελείται από µια συλλογή οικοδοµών πληροφοριών.
Αναπαράσταση ενός fibonacci heap
http://bit.ly/1eypKZQ
Όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, τα fibonacci heaps είναι δοµηµένα έτσι ώστε
τα keys των κόµβων οι οποίοι είναι κατώτεροι στην ιεραρχία να είναι µεγαλύτερα απο των
ανωτέρων στην ιεραρχία. Η δοµή τους δεν έχει σχήµα, πράγµα που τα καθιστά ευλύγιστα και
συνεπώς, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να διευκολύνουν την λειτουργία του
προγράµµατος.
Wayne.Kevin.,(2007) COS 4023 Theory of algorithms, (http://bit.ly/1eN2eZr προσπελάστηκε στις: 12/1/14)
13
ΦΥΣΙΚΗ
Χρυσή Τοµή και Θεωρία Αρµονικότητος του Φωτός
Έστω ένα υλικό σηµείο το οποίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα, η οποία είναι ίση µε την
χρυσή τοµή της ταχύτητας του φωτός, πάνω σε ευθεία. Όταν το υλικό σηµείο απέχει όσο
δυνατόν ελάχιστα από ένα άτοµο που παρατηρεί, η σκιά του υλικού σηµείου κινείται µε την
ταχύτητα του φωτός.
Απόδειξη
Έστω υλικό σηµείο Α που κινείται προς σηµείο P µε ταχύτητα V και το συζυγές του Α’ µε
ταχύτητα V’.
Με
εφαρµογή του θεωρήµατος του ηµιτόνου στο τρίγωνο ΟΑΑ’ έχουµε:
Όπου b = v/c .
14
Επίσης, ισχύει λόγω των προηγουµένων σχέσεων ότι:
Και έτσι καταλήγουµε στο εξής:
Συνεπώς, συµπεραίνουµε ότι:
∆ηλαδή, όταν το υλικό σηµείο πλησιάζει στο P, παρατηρούµε ότι η σκιά του το πλησιάζει.
Ενδιαφέρουσα είναι η προσέγγιση του φαινοµένου όταν το υλικό σηµείο φτάνει στη θέση P.
15
Άρα έχουµε
Αν διερωτηθούµε ποια ταχύτητα θα πρέπει να έχει το σώµα στη θέση P για να
έχει η σκιά του ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα του φωτός καταλήγουµε στο ότι θα
πρέπει
Ραπτόπουλος ∆.Γ, Η Χρυσή Τοµή - Μια εφαρµογή της Θεωρίας της Αρµονικότητος του Πεδίου του
Φωτός (2009) ,(http://bit.ly/1dngpHy τελευταία πρόσβαση στις: 12/1/14)
16
ΤΕΧΝΕΣ
_______________________________________________________
ΜΟΥΣΙΚΗ
Ορισµός:
Τέχνη που εκφράζεται µέσω των ήχων, µε σκοπό τη σύνθεση, εκτέλεση και ακρόαση
ενός µουσικού έργου. Με τον όρο εννοείται επίσης και το σύνολο ήχων από το οποίο
απαρτίζεται ένα µουσικό κοµµάτι. Συνηθίζουµε να ορίζουµε τη µουσική σαν τέχνη των ήχων,
αλλά ο παραδοσιακός ορισµός είναι παραδεκτός µονάχα αν ο όρος τέχνη εννοείται σαν µια
δραστηριότητα που δηµιουργεί έργα τα οποία µπορούν να χρησιµοποιηθούν αισθητικά.
(Εγκυκλοπαίδεια παγκόσµιας µουσικής, 1993, σελ. 458)
Μουσική και Ιερός Αριθµός Φ
Τα µαθηµατικά και η µουσική είναι δυο επιστήµες που από την αρχαιότητα έχουν πολύ
µεγάλη σχέση µεταξύ τους. Η µεταξύ τους αλληλεπίδραση συνεχίζεται µέχρι σήµερα.
Πριν από 26 αιώνες στην αρχαία Ελλάδα, ο Πυθαγόρας, µαθηµατικός και ιδρυτής της
πυθαγόρειας σχολής σκέψης ήταν ο πρώτος που συνέδεσε τα µαθηµατικά µε τη µουσική. Ο
φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της µουσικής µε τους αριθµούς. Θεωρίες ειδικών
ερευνητών λένε πως είναι πιθανό ο Πυθαγόρας και οι µαθητές του να µελέτησαν τη σχέση
της µουσικής και των αριθµών µε βάση το αρχαίο όργανο µονόχορδο.
Μονόχορδο:
Όργανο µε µία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή
επιτρέποντας µόνο ένα τµήµα της να ταλαντώνεται Πολλοί µελετητές το κατατάσσουν
στην οικογένεια του λαούτου, δηλαδή µε βραχίονα, χέρι. Το µονόχορδο χρησιµοποιήθηκε
για τον καθορισµό των µαθηµατικών σχέσεων των µουσικών ήχων. Άλλη ονοµασία που
επιδέχεται το όργανο είναι << Πυθαγόρειος Κανών >> , που εξηγείται γιατί απέδιδαν την
εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα.
17
Πυθαγόρειος Κανών
http://bit.ly/KU7wcN
Η σηµαντικότητα των µαθηµατικών στη µουσική φαίνεται από το γεγονός ότι µόνο οι
ακριβείς µαθηµατικές σχέσεις έδιναν αρµονικούς ήχους στο µονόχορδο. Για παράδειγµα,
έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη µέση τη χορδή, και όχι περίπου στη µέση, ώστε να
έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθηµα που απορρέει από έναν αρµονικό ήχο.
Αν µειώσουµε λοιπόν το µήκος µιας χορδής ακριβώς στο µισό, τότε ο ήχος που
παράγεται είναι ακριβώς µία οκτάβα υψηλότερος (µία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, µι, φα,
σολ, λα, σι, ντο) Έτσι κατανοούµε τη συµβολή των µαθηµατικών στη µουσική. Το γεγονός
ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δηµιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθηµα στον
ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συµπέρασµα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσµατα
ελέγχουν όχι µόνο τον άψυχο αλλά και τον έµψυχο κόσµο µέσω της µουσικής.
Μαθηµατικά και Μουσική στη ∆υτική Ευρώπη
Κατά των 16 αιώνα, όταν η ναυσιπλοΐα άρχισε να αναπτύσσεται, δηµιουργήθηκαν νέες
απαιτήσεις για µεγαλύτερη ακρίβεια στις µετρήσεις και ιδιαίτερα στην κατασκευή αξιόπιστων
ορολογιών. Έτσι δηµιουργήθηκε η ανάγκη έρευνας των µουσικών φαινόµενων, η οποία
προσανατολίζεται πλέον προς τη µελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων. Τον 17ο αιώνα
επίσης, η µελέτη των παλµικών κινήσεων οδηγεί στη συγκρότηση της µαθηµατικής έννοιας
των περιοδικών φαινόµενων και η Τριγωνοµετρία αρχίζει µια βαθύτερα αναλυτική θεώρηση.
Τέλος, µε τη βοήθεια της ανάλυσης κατά Fourier είναι πλέον δυνατόν να λυθεί η διαφορική
18
εξίσωση της παλλόµενης νότας. Έτσι µια νότα σε ένα µουσικό όργανα, παράγει ήχους
διάφορων συχνοτήτων.
Η Χρυσή Τοµή στις σονάτες του Μοτσαρτ:
Η µουσική του Μότσαρτ ( Wolfgang Amadeus Mozart, Σάλτσµπουργκ, 27 Ιανουαρίου
1756 - Βιέννη, 5 ∆εκεµβρίου 1791) σίγουρα είναι εξαιρετική, ο τρόπος όµως µε τον οποίο
έφτιαξε αυτούς τους εκπληκτικούς ήχους αµφισβητείται. Σύµφωνα µε την αδελφή του, ο
Μότζαρτ στα µαθητικά του χρόνια ασχολιόταν µόνο µε αριθµούς. Επιπλέον, στα περιθώρια
µερικών από τις συνθέσεις του σηµείωνε µαθηµατικές εξισώσεις. Μάλιστα, στη Fantasia και
Fugue σε Ντο Ματζόρε, υπάρχουν στα περιθώρια οι υπολογισµοί της πιθανότητας µιας νίκης
του σε µια λαχειοφόρο αγορά. Αν και αυτές οι εξισώσεις δεν αφορούσαν τη µουσική του, εν
τούτοις προδίδουν µια έλξη και µια αγάπη που είχε στα µαθηµατικά.
Πολλοί Μαθηµατικοί ελκύστηκαν από την δοµή της µουσικής του Μότσαρτ και αρκετοί
από αυτούς αποφάσισαν να διερευνήσουν κατά πόσο ο περίφηµος αυτός συνθέτης
επηρεάστηκε από αυτά. Ένας από τους πολλούς ήταν και ο John F. Putz, Καθηγητής
Μαθηµατικών στο Κολλέγιο Alma του Μίσιγκαν. Λαµβάνοντας υπόψη ότι η µουσική του
Μότσαρτ ήταν περίφηµη για τον αρµονικό της ήχο και για τις κοµψές της αναλογίες, σκέφτηκε
ότι θα ήταν ενδιαφέρον να ελέγξει εάν τα τµήµατά του στις σονάτες για πιάνο που
χρησιµοποίησε ήταν κοντά στη διαίρεση της χρυσής τοµής. Ο Μότσαρτ διαίρεσε µεγάλο
αριθµό από τις σονάτες του σε δύο µέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη
χρυσή τοµή. Σύµφωνα µε τον Putz την περίοδο του Μότσαρτ η µουσική φόρµα της σονάτας
ήταν χωρισµένη σε δύο µέρη: στο πρώτο µέρος το µουσικό θέµα εισάγεται ( Έκθεση) και στο
δεύτερο όπου το θέµα αναπτύσσεται και επαναλαµβάνεται ( Ανάπτυξη και Επανέκθεση).
∆ηλαδή ο Μότσαρτ, διαίρεσε τις σονάτες του σύµφωνα µε τη χρυσή αναλογία µε την Έκθεση
ως πιο το σύντοµο τµήµα (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση ως το πιο µεγάλο (1-x). Για
παράδειγµα, Ο Putz αντιστοίχισε τα δύο τµήµατα - την Έκθεση (x) και την Ανάπτυξη και
Επανέκθεση (1-x) - από τον αριθµό των µέτρων στο κάθε ένα. Στο πρώτο µέρος της σονάτας
αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε, η Έκθεση αποτελείται από 38 µέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση
από 62 µέτρα. Η διαίρεση 62:38 δίνει πηλίκο περίπου 1,63, προσεγγίζοντας πολύ το χρυσό
αριθµό. Αυτό είναι πολύ σηµαντικό, γιατί δεν υπάρχουν άλλοι ακέραιοι αριθµοί από το 1 έως
το 100 (εκτός από τους 38 και 62) που διαιρούµενοι µεταξύ τους να προσεγγίζουν
πλησιέστερα τη χρυσή αναλογία. Μια εξίσου καλή προσέγγιση στο χρυσό τµήµα υπάρχει και
στο δεύτερο µέρος αυτής της σονάτας. Το τρίτο µέρος, εντούτοις, παρεκκλίνει από τη χρυσή
τοµή.
Άλλοι µουσικοί που εφάρµοσαν τον κανόνα της χρυσής τοµής στα έργα τους ήταν οι:
Μπέλα Μπάρτοκ (1881-1945), Κλώντ Ντεµπισύ (1862-1918), Ερίκ Σατί (1866-1925),
Σκούµπερτ (1797-1828) και Μπάχ (1685-1750), ο οποίος µάλιστα συνήθιζε να κωδικοποιεί
19
το όνοµά του και να το εµφανίζει στις συνθέσεις του.
Ο Γιάννης Ξενάκης (1922 - 2001) υπήρξε µεγάλος Έλληνας µουσικός, καθώς και ένας
από τους σηµαντικότερους Έλληνες συνθέτες και αρχιτέκτονες του 20ου αιώνα. Ανέπτυξε
πρωτοποριακές συνθετικές µεθόδους που συσχέτισαν τη µουσική και την αρχιτεκτονική µε τα
µαθηµατικά και τη φυσική, µέσω της χρήσης µοντέλων από τη θεωρία των συνόλων, των
πιθανοτήτων, τη θερµοδυναµική, τη χρυσή τοµή και την ακολουθία Φιµπονάτσι.
Αξιοσηµείωτο είναι ότι από νωρίς ενδιαφερόταν για τη σχέση των µαθηµατικών και της
µουσικής προσπαθώντας να βρει πώς θα µπορούσε να εφαρµοστούν µαθηµατικά µοντέλα
στη τέχνη της Φούγκας του Μπαχ, έτσι ώστε οι µουσικές δοµές να αποδοθούν µε
παραστάσεις και γραφήµατα ως οπτικές αντιστοιχίες της µουσικής. Ο Ξενάκης
χρησιµοποίησε ως βάση για τις περισσότερες συνθέσεις του τα µαθηµατικά µοντέλα µε
αποτέλεσµα να χαρακτηριστεί ΄΄νεοπυθαγόρειος΄΄.
(Μόσχος Αλέξανδρος, 2011)
Παράδειγµα από τη σύγχρονη µεταλ - ροκ µουσική µε εφαρµογή της χρυσής τοµής:
Το ροκ - µεταλ συγκρότηµα µε όνοµα Tool στο τραγούδι του Lateralus κάνει χρήση της
ακολουθίας Fibonacci. Ας δούµε πως:
● Αρχικά ο τραγουδιστής ξεκινά τα φωνητικά του στο 1 λεπτό και 37 δευτερόλεπτα µετά
την έναρξη του κοµµατιού, το οποίο αντιστοιχεί σε 1,617 λεπτά ( ο χρυσός αριθµός φ
είναι περίπου 1,618).
● Επίσης τα µέτρα είναι ασυνήθιστα και αλλάζουν από 9/8 σε 8/8 και 7/8. Όπως έχει πει
και ο ντράµερ του συγκροτήµατος, ο αυθεντικός τίτλος του τραγουδιού ήταν 9-8-7. Ο
αριθµός 987 είναι ο 16ος όρος της ακολουθίας Fibonacci.
● Ακόµα οι σπείρες στις οποίες γίνεται συχνή αναφορά στους στίχους του τραγουδιού
συνδέονται άµεσα µε τη χρυσή τοµή.
● Τέλος ο αριθµός των συλλαβών των λέξεων ανάµεσα στις παύσεις είναι οι έξι πρώτοι
αριθµοί Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13):
(1) Black, (1) then, (2) white are, (3) all I see, (5) in my in·fan·cy, (8) red
and yel·low then came to be, (5) rea·ching out to me, (3) lets me see.
(2) There is, (1) so, (1) much, (2) more and (3) beck·ons me, (5) to look
through to these, (8) in·fi·nite pos·si·bil·i·ties.
(13) As be·low so a·bove and be·yond I im·ag·ine, (8) drawn out·side the
lines of rea·son.
(5) Push the en·ve·lope.
(3) Watch it bend.
( http://bit.ly/1awJYQX και http://bit.ly/1cQ46lk )
20
ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ
Ορισµός:
Όρος που δείχνει οποιοδήποτε ηχητικό αντικείµενο, από το πιο απλό ( π.χ. ένα
µετταλικό δίσκο, µιά καρύδα) ως το πιο περίπλοκο (π.χ. όργανο), τόσο όταν κατασκευάζεται
ειδικά για την παραγωγή µουσικής, όσο και όταν - κατασκευασµένο για άλλες χρήσειςχρησιµοποιείται για µουσικούς σκοπούς.
( Εγκυκλοπαίδεια Παγκόσµιας Μουσικής, 1993 σελ.453 )
Πιάνο:
Λέγεται και κλειδοκύµβαλο και είναι έγχορδο µουσικό όργανο µε πλήκτρα και
πεντάλια. Κάθε πιάνο έχει µέσα στην κάσα, δηλαδή στο ξύλινο περίβληµά του, χορδές, που
µόλις χτυπηθούν από τα σφυράκια που βρίσκονται κοντά τους και που είναι συνδεδεµένα µε
τα πλήκτρα, τα οποία θέτουν σε κίνηση , παράγουν διάφορους ήχους. Επειδή µπορεί να
παράγει πολλές φωνές, θεωρείται ως ένα από τα τελειότερα όργανα.
(Ελλαδική Έγχρωµη Παγκόσµια Εγκυκλοπαίδεια, 1993 σελ.148 - 149 )
Ας δούµε πως εφαρµόζεται η χρυσή τοµή στο πιάνο έπειτα από την παρατήρηση της
παρακάτω εικόνας:
Μια οκτάβα του πληκτρολογίου στο πιάνο
http://bit.ly/1m0eYOw
Όπως διαπιστώνουµε από την παραπάνω εικόνα, στο πιάνο, η οκτάβα του
πληκτρολογίου (Ντο, Ρε, Μι, Φα, Σολ, Λα, Σι, Ντο) αποτελείται από δεκατρία πλήκτρα, οκτώ
21
λευκά και πέντε µαύρα. Όµως και τα πέντε µαύρα, αποτελούν µία οµάδα δύο πλήκτρων και
µία τριών. Οι αριθµοί 2,3,5,8,13 είναι διαδοχικοί αριθµοί Fibonacci. Με τον τρόπο αυτό
κατανοούµε πως στο πληκτρολόγιο του πιάνου εφαρµόζεται ο Χρυσός Κανόνας.
(Mario Livio, 2002, σελ.188)
ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ
Η τέχνη και τα µαθηµατικά ήταν πάντοτε δυο ξεχωριστές δραστηριότητες για τον άνθρωπο
αλλά όταν συνδυάστηκαν έφεραν εξαιρετικά αποτελέσµατα κυρίως αισθητικά όπως η
αρµονία και η ισορροπία. Αρκετοί καλλιτέχνες επέλεξαν να δοκιµάσουν την συγκεκριµένη
µέθοδο και όπως ήταν αναµενόµενο έµειναν αρκετά ευχαριστηµένοι.
Γνωστοί καλλιτέχνες όπως ο Leonardo Da Vinci,ο Σαλβαντόρ Νταλί και ο Sandro
Botticelli ήταν τέσσερις απο αυτους τους καλλιτέχνες που χρησιµοποίησαν στα έργα τους τη
µέθοδο της χρυσής τοµής.
Πιο συγκεκριµένα κάποια απο τα έργα του Leonardo Da Vinci είναι:
●
Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου
Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου σχεδιάστηκε το 1840 σε ένα απο τα ηµερολόγια του
Leonardo Da Vinci. Το συγκεκριµένο σχέδιο ονοµάστηκε και ως ο Κανόνας των
22
Αναλογιών και βασίστηκε στον ‘’χρυσό κανόνα’’ του Φιµπονάτσι. Στο σχέδιο αυτό βλέπουµε
µια ανθρωπινη, γυµνή αντρική µορφή εγγεγραµµένη ταυτόχρονα σε ένα και κύκλο και σε ένα
τετράγωνο. Εκτός απο το σχέδιο αυτό υπήρχαν και κάποιες σηµειώσεις σχετικά µε τις
αναλογίες του ανθρώπινου σώµατος όπως:
1. µια παλάµη έχει πλάτος τεσσάρων δαχτύλων
2. ένα πόδι έχει πλάτος τέσσερις παλάµες
3. το ύψος ενός ανθρώπου είναι τέσσερις πήχεις και άρα 24 παλάµες
4. το µήκος των χεριών ενός άντρα σε διάσταση είναι ίσο µε το ύψος του
5. το µέγιστο πλάτος των ώµων είναι το ¼ του ύψους του άντρα
6. η απόσταση απο τον αγκώνα ως την άκρη του χεριού είναι το ⅕ του ύψους του άντρα κ.α.
● Μόνα Λίζα
H Μονα Λίζα είναι ένα απο τα πιο διάσηµα εργα του Leonardo Da Vinci του δεκατου εκτου
αιώνα, ζωγραφισµένο κατα την διάρκεια της ιταλικής Αναγέννησης. Είναι σχεδιασµένο το
πρόσωπο της µε τέτοιο τρόπο ώστε να χωράει τάλεια σε ένα ορθογώνιο αλλά και η δοµή
του υπόλοιπου έργου είναι χωρισµένη πάλι σε ορθογώνια. Αρκετοί πιστεύουν πως η Μόνα
Λίζα είναι η ‘’θυληκή’’ εκδοχή του Leonardo Da Vinci καθώς υποστήριζε πως έπρεπε να
υπάρχει ισσοροπία ανάµεσα στα δυο φύλλα. Ορισµένες αναλογίες που βρίσκονται σε χρυσή
αναλογία είναι: (1) η απόσταση απο τη δεξιά πλευρά του προσώπου στη δεξιά πλευρά της
κορυφής της µύτης και το πλάτος του προσώπου σε εκείνο το σηµείο, (2) η απόσταση
ξεκινώντας απο τη βάση του λαιµού προς το κέντρο της κόρης, καθώς και η βάση του λαιµού
προς την κορυφή του µετώπου, (3) το κάτω µέρος τους πηγουνιού στον πυθµένα των
χειλιών και το κάτω µέρος του πηγουνιού στο κάτω µέρος της µύτης κ.α.
23
●
Μυστικός ∆είπνος
Ο Μυστικός ∆είπνος είναι ακόµα ενα έργο του Leonardo Da Vinci και πιο συγκεκριµένα µια
τοιχογραφία που έκανε τρία χρόνια για να τελειοποιηθεί απο το 1845-1848. Είναι ακόµα ένα
έργο όπου ακολουθεί τον ‘’χρυσό κανόνα’’ και περνά στον παρατηρητή ακόµα ενα κρυφό
µήνυµα και ένα µυστήριο ως προς την τελειότητα.
Έργο του Ισπανού Salvador Dali είναι:
● Θυσία του Μυστικού ∆είπνου
Στο έργο του Salvador Dali η Θυσία του Μυστικού ∆είπνου από ότι βλέπουµε οι
διαστάσεις είναι σύµφωνα µε τον ‘’χρυσό κανόνα’’.
Έργο του Sandro Botticelli είναι:
24
● The Birth of Venus
Το έργο αυτό του Sandro Botticelli το οποίο φιλοτεχνήθηκε το 1482-1485 ήταν ένα έργο µε
αρκετές αναφορές στην αρχαιότητα και που σηµάδεψε την ιταλική ζωγραφική του 15ου
αιώνα. Είναι εµπνευσµένο απο ενα πολύ σηµαντικό έργο της λατινικής λογοτεχνίας από
Οβίδιου Μεταµορφώσεις και ηµιουργήθηκε για την οικογένεια των Μεδίκων. Υπάρχει στην
Πινακοθήκη του Uffizi στην Φλωρεντία και είναι ένα ακόµα έργο βασισµένο στην χρυσή τοµή.
Πηγές: δικτυακός τόπος µουσείου Uffizi
(http://www.uffizi.org/artworks/the-birth-of-venus-by-sandro-botticelli/)
δικτυακός τόπος µε αναφορές µονο στην χρυσή τοµή
(http://www.goldennumber.net/botticelli-birth-venus-golden-ratio-art/)
δικτυακός τόπος µουσείου Stanford
(http://leonardodavinci.stanford.edu/submissions/clabaugh/history/leonardo.html)
δικτυακός τόπος µε αναφορές µόνο στη χρυσή τοµή
(http://www.goldennumber.net/art-composition-design/)
δικτυακή βιβλιοθήκη
(http://library.thinkquest.org/27890/applications6.html)
δικτυακός τόπος µε αναφορές σε έργα στη Μόνα Λίζα
(http://monalisa.org/2012/09/12/leonardo-and-mathematics-in-his-paintings/)
25
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ
Αναγέννηση
Γενικά
Ο αναγεννησιακός ρυθµός της αρχιτεκτονικής γεννήθηκε στην Φλωρεντία της Ιταλία
στις αρχές του 15 αι και από εκεί διαδόθηκε στο µεγαλύτερο µέρος της ιταλικής χερσονήσου.
Για την κλασσική αρχαιότητα, εποµένως και για την αναγέννηση, βασικό στοιχείο του
αρχιτεκτονικού σχεδίου ήταν ο ρυθµός (ordo), δηλαδή ένα σύστηµα από παραδοσιακές
αρχιτεκτονικές µονάδες. Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης χρησιµοποιήθηκαν πέντε ρυθµοί:
ο τοσκανικος, ο δωρικός, ο ιωνικός, ο κορινθιακός και ο σύνθετος, που εναλλάσσονται στις
διάφορες περιόδους (ανάλογα µε την περίοδο).
Ακολουθώντας την αρχαία ρωµαίικη συνήθεια (όπως πχ. στο Κολοσσαιο η στο θέατρο
του Μαρκέλλου), οι αρχιτέκτονες της αναγέννησης έβαζαν συχνά τον ένα ρυθµό επάνω στον
αλλο-δηλαδη χρησιµοποιούσαν διαφορετικό ρυθµό στον καθένα από τους επάλληλους
ορόφους του κτηριου-αρχιζοντας µε τον πιο βαρύ και δυνατό τοσκανικο ή δωρικό ρυθµό
κάτω, και από εκεί προχωρούσαν στους ελαφρότερους και πιο διακοσµητικούς ρυθµούς, τον
ιωνικό, τον κορινθιακό και τον σύνθετο.
Για την Αναγέννηση η συµµετριών ήταν ο σηµαντικότερος καθοριστικός παράγοντας
του ωραίου Ο µεγάλος Ιταλός ουµανιστής και αρχιτέκτονας Λεόν Μπατίστα Αλµπέρτι (leon
battista alberti, 1404-1472) καθόριζε το ωραίο στην αρχιτεκτονική ως: <<την αρµονία όλων
των µερών του έργου που συναρµόζονται µε τέτοιες συµµετρικές αναλογίες και σχέσεις ώστε
τίποτα να µην µπορεί να προστεθεί, να αφαιρεθεί ή να αλλοιωθεί, χώρια να καταστραφεί το
σύνολο>>(∆έκα Βιβλία Αρχιτεκτονικής, βιβλ. VI, κεφ 2, 1755)
Βασιζόµενοι στην αυθεντία του Βιτρούβιου, οι αρχιτέκτονες της Αναγέννησης βρήκαν
µια αρµονική σχέση ανάµεσα στις αναλογίες του ανθρωπίνου σώµατος και τις αναλογίες της
αρχιτεκτονικής τους.
Εν µέρει, λόγω του ενδιαφέροντος για τη συµµετρία, η αρχιτεκτονική κατά τη διάρκεια της
Αναγέννησης, υψώθηκε στο επίπεδο των Καλών Τεχνών. Την εποχή της Αναγέννησης τα
διάφορα συστήµατα αναλογιών στηρίζονταν σε γνώσεις γεωµετρίας: η αρχιτεκτονική έγινε η
υλοποίηση των άρχων της γεωµετρίας στον χώρο και έτσι εξισώθηκε µε τη γεωµετρία που
ήταν κατά τον µεσαίωνα µια από τις ελεύθερες τέχνες
Η αρχιτεκτονική κατά την εποχή της Αναγέννησης δεν ασκείται από µαστόρους άλλα από
ανθρώπους µορφωµένους
Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριταννικα, τόµος 8, σελ 171 ΟΙ ΕΙΚΑΣΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣ
ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟ∆Ο ΤΗΣ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗΣ, Αρχιτεκτονική)
26
Ντουοµο/ Basilica di Santa Maria del Fiore
Γενικά
Ο καθεδρικός ναός Σάντα Μαρία ντελ Φιόρε (πιο γνωστός ως Ντουόµο) είναι το πιο
χαρακτηριστικό µνηµείο της Φλωρεντίας. Μία από τις µεγαλύτερες εκκλησίες του κόσµου, µε
χωρητικότητα 30,000 ατόµων, που χρειάστηκε εξακόσια χρόνια µέχρι την αποπεράτωση της,
το 1887. Κατασκευάστηκε σε τρεις διαφορετικές περιόδους. Οι εντυπωσιακές του διαστάσεις
συµβολίζουν ακριβώς την απόφαση των Φλωρεντινών να κυριαρχήσουν.
http://en.wikipedia.org/wiki/Florence_Cathedral
Εύρεση του Φ
27
Basilica de Santa Maria Novella
Γενικά
H Βασιλική της Σάντα Μαρία Νοβέλλα στη Φλωρεντία της Ιταλίας, η οποία βρίσκεται
κοντά στον κύριο σιδηροδροµικό σταθµό ο οποίος µοιράζεται το όνοµα της. Χρονολογικά,
είναι η πρώτη µεγάλη Βασιλική στην Φλωρεντία και είναι ο κύριος ∆οµινικανός ναός της
πόλης.
Η εκκλησία, το διπλανό µοναστήρι και τα άλλα µέρη του ναού περιέχουν πολλά έργα τέχνης
και ταφικά µνηµεία. Ιδιαίτερα διάσηµες είναι οι τοιχογραφίες από τις γοτθικές και πρώιµης
αναγέννησης περιόδους, οι όποιες είχαν χρηµατοδοτηθεί από σηµαντικές οικογένειες της
εποχής
http://en.wikipedia.org/wiki/Basilica_of_Santa_Maria_Novella
Εύρεση του Φ
28
Παλάτσο Βέκιο/Palazzo Vecchio
Γενικά
Το Παλαιό Παλάτι ( Palazzo Vecchio) είναι το δηµαρχείο της Φλωρεντίας, στην Ιταλία.
Αυτό το ρωµαϊκού ρυθµού παλάτι- φρούριο συγκαταλέγεται ανάµεσα στα πιο εντυπωσιακά
της επαρχίας της Τοσκάνης. Έχει θέα της πλατείας της Σινιορίας, µε το αντίγραφο του
αγάλµατος "∆αβίδ" του Μικελάντζελο, και µίας σειράς άλλων αγαλµάτων στην παραπλήσια
Loggia dei Lanzi.
Παλαιότερα ονοµαζόταν Παλάτι της Σινιορίας, από την "Signoria" της Φλωρεντίας, (το
κυβερνητικό όργανο της δηµοκρατίας της Φλωρεντίας). Κατά καιρούς έχει αλλάξει διάφορα
ονόµατα, ανάλογα µε τις διαφορετικές χρήσεις του παλατιού. Το σηµερινό του όνοµα το πήρε
όταν η επίσηµη κατοικία του δούκα των Μεδίκων µετακινήθηκε στο Παλάτσο Πίττι.
http://en.wikipedia.org/wiki/Palazzo_Vecchio
Εύρεση του Φ
29
Βασιλικη του Αγιου Μαρκου/Basilica di San Marco
Γενικά
Η Πατριαρχική Καθεδρική Βασιλική του Αγίου Μάρκου (επίσηµα γνωστή στην ιταλική
γλώσσα ως τη Basilica Cattedrale patriarcale di San Marco και είναι κοινώς γνωστή ως η
Βασιλική του Αγίου Μάρκου) είναι η καθεδρική εκκλησία της Ρωµαίικης Καθολικής
Αρχιεπισκοπής της Βενετίας στην βόρεια Ιταλία Είναι η πιο γνωστή από τις εκκλησίες της
πόλης και είναι από τα πιο γνωστά παραδείγµατα Ιταλο-Βυζαντινής αρχιτεκτονικής Βρίσκεται
στο ανατολικό µέρος της πλατείας του Αγίου Μάρκου, παρακείµενη και ενωµένη µε το Παλάτι
των ∆όγηδων. Αρχικά ήταν το παρεκκλήσι του ∆όγη και έγινε ο καθεδρικός ναός της πόλης
το 1807, όταν έγινε η έδρα του Πατριάρχη της Βενετίας, αρχιεπίσκοπου της
Ρωµαιοκαθολικής Αρχιεπισκοπής της Βενετίας, που προηγουµένως βρίσκονταν στο Καστέλο
του Αγίου Πέτρου
Λόγω του πλουσίου σχεδίου της, των χρυσών µωσαϊκών της και της θέσης τη ως
σύµβολο του ενετικού πλούτου και δύναµης, από τον 11 αιώνα είναι γνωστή µε το
παρατσούκλι “Εκκλησία του Χρυσού”
http://en.wikipedia.org/wiki/St_Mark's_Basilica
Εύρεση του Φ
30
Παλάτι των ∆όγηδων/Palazzo Ducale di Venezia
Γενικά
Το παλάτι των ∆όγηδων (Palazzo Ducale) είναι ένα κτήριο χτισµένο σύµφωνα µε το
ενετικό γοτθικό πνεύµα και είναι ένα από τα κύρια ορόσηµα της πόλης της Βενετίας στη
βόρεια Ιταλία. Το παλάτι ήταν η κατοικία του ∆όγη της Βενετίας, της υπέρτατης αρχής της
∆ηµοκρατίας της Βενετίας. Άρχισε να λειτουργεί ως µουσείο το 1923. Σήµερα είναι ένα από
τα 11 µουσεία που λειτουργούν υπό τη διοίκηση του Ιδρύµατός ∆ηµοτικών Μουσείων της
Βενετίας
http://en.wikipedia.org/wiki/Doge's_Palace,_Venice
Εύρεση του Φ
31
ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ:
Ο ναός που αφιέρωσαν οι Αθηναίοι στην προστάτιδα της πόλης τους, Αθηνά
Παρθένο, ονοµάζεται Παρθενώνας και χτίστηκε στη περίοδο της µεγάλης ακµής της
αθηναϊκής δηµοκρατίας κατά τα έτη 447-438 π.Χ.. Σηµαντικό είναι, ότι αποτελεί το αρτιότερο
ως προς τη σύνθεση και την εκτέλεση από τα οικοδοµήµατα του Ιερού Βράχου. Ο
πρωταρχικός Παρθενώνας (Παρθενών Ι) κτίσθηκε γύρω στο 570 π.Χ, ενώ το 490 π.Χ. στη
θέση του άρχισε να κτίζεται ο µαρµάρινος Παρθενώνας (Παρθενών ΙΙ ), µετά τη νίκη στο
Μαραθώνα, αλλά δεν ολοκληρώθηκε ποτέ γιατί καταστράφηκε το 480 π.Χ. από τους Πέρσες.
Σήµερα µπορούµε να θαυµάσουµε το µαρµάρινο Παρθενώνα των χρόνων του Περικλή
(Παρθενών ΙΙΙ), σχεδιασµένο από τον Ικτίνο µε συνεργάτη τον Καλλικράτη. Στο εσωτερικό
του βρισκόταν το χρυσελεφάντινο άγαλµα της Αθηνάς του οποίου την ευθύνη όπως και του
γλυπτού διακόσµου και του οικοδοµικού προγράµµατος του ναού την είχε ο διάσηµος
γλύπτης Φειδίας.
Ο Παρθενώνας αποτελεί τον µεγαλύτερο δωρικό ναό
του οποίου η οικοδόµηση
ολοκληρώθηκε. Eίναι ο µοναδικός ναός που κατασκευάστηκε εξ ολοκλήρου από µάρµαρο και
του οποίου και οι 92 µετόπες έχουν ανάγλυφη παράσταση. Εκτός από τις διαστάσεις του
ωστόσο, οι οποίες είναι ένα ακόµα χαρακτηριστικό που τον κάνουν µοναδικό, είναι και η
32
συµµετρία του. Το γεγονός ότι έπρεπε να χτισθεί πάνω σε άλλον ναό, ο οποίος µάλιστα ήταν
και µικρότερος από αυτόν που θα χτιζόταν, καθώς θα έπρεπε να στεγάζει και το άγαλµα της
Αθήνας, έκανε εξαιρετικά δύσκολη την οικοδόµησή του. Οι τελικές διαστάσεις του
Παρθενώνα ήταν 30,88 µέτρα το πλάτος, 69,5 µέτρα το µήκος και 13,72 µέτρα το ύψος του.
Σήµερα γνωρίζουµε πως αυτές οι διαστάσεις του δεν είναι καθόλου τυχαίες καθώς
παρατηρήσαµε πως όλος ο ναός είναι χτισµένος µε την αναλογία 4:9, η οποία είναι
γνωστότερη ως χρυσή τοµή. Πράγµατι, αν πολλαπλασιάσουµε το ύψος του ναού µε το 9 και
το γινόµενο που θα προκύψει το διαιρέσουµε µε το 4 θα βρεθεί το πλάτος. Eπίσης, αν
πολλαπλασιάσουµε µε το 9 το πλάτος του ναού και το γινόµενο που θα προκύψει το
διαιρέσουµε µε το 4 τότε θα βρούµε το µήκος του.
● (Ύψος) 13,72 Χ 9 = 125,28 : 4 = 30,87 (Πλάτος)
● (Πλάτος) 30,87 Χ 9 = 277,92 : 4 = 69,48 (Μήκος)
Τέλος, είναι άξιο να αναφέρουµε ότι η χρυσή τοµή εφαρµόστηκε και στη διάµετρο του κάθε
κίονα, στη µεταξύ τους απόσταση, στη σχέση ανάµεσα στο ύψος του κίονα και στο ύψος του
θριγκού, στις αναλογίες των µεταξονίων, τη λέπτυνση του κίονα, το περίγραµµα του εχίνου
και τον τρόπο σύνδεσης µε τον κορµό, τη µορφή και τον αριθµό των τριγλύφων.
33
Εν κατακλείδι, οφείλουµε να γνωρίζουµε πως µετά την πολιορκία της Ακρόπολης από τον
Μοροζίνι και την ανατίναξή της µε µια βόµβα των Ενετών µεγάλο µέρος του κατέρρευσε, ενώ
υπέστη και καταστροφές από τις λεηλασίες και τη διαρπαγή του γλυπτού διακόσµου του από
το λόρδο Έλγιν. Κατά συνέπεια µεγάλο µέρος του γλυπτού του κόσµου να βρίσκεται ακόµα
και σήµερα στο βρετανικό µουσείο. Οι πρώτες προσπάθειες αναστήλωσής της σηµειώθηκαν
ήδη από το 1896 µέχρι το 1900, ενώ από το 1922 µέχρι το 1933 πραγµατοποιήθηκε το
δεύτερο πρόγραµµα αναστήλωσής του. Σήµερα βρίσκονται σε εξέλιξη έργα συντήρησης και
αποκατάστασης του µνηµείου, στο πλαίσιο του ευρύτερου αναστηλωτικού προγράµµατος
που πραγµατοποιείται στην Ακρόπολη από το 1975 από την Υπηρεσία Αναστήλωσης
Μνηµείων Ακροπόλεως σε συνεργασία µε την Α΄ Εφορεία Προϊστορικών και Κλασικών
Αρχαιοτήτων, υπό την επίβλεψη της Επιτροπής Συντήρησης Μνηµείων Ακροπόλεως.
http://odysseus.culture.gr/h/2/gh251.jsp?obj_id=912
http://users.sch.gr/ipap/Ellinikos%20Politismos/parthenonas/Texnika.htm
http://users.sch.gr/ipap/Ellinikos%20Politismos/parthenonas/parthenonas.0.htm
34
ΠΥΡΑΜΙ∆ΕΣ ΣΤΗΝ ΑΙΓΥΠΤΟ
Πυραµίδα κατά τα µαθηµατικά είναι το στερεό σώµα που περιορίζεται από ένα
επίπεδο πολύγωνο και τρίγωνα που έχουν βάσεις τις πλευρές του πολυγώνου και κοινή
κορυφή.( εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, τόµος προλαλια-ρεν σελ.145
λήµµα: πυραµίδα) Υπάρχουν πυραµίδες σε πολλούς τοµείς όπως την πυραµίδα ως σχήµα
στα µαθηµατικά, τις πυραµίδες του προµήκους µυελού στον εγκέφαλο, τις πυραµίδες της
µυελώδους ουσίας του νεφρού, την πυραµίδα του πληθυσµού, τη τροφική πυραµίδα και την
πυραµίδα των αριθµών.
Πυραµίδες συναντάµε και στον πολιτισµικό τοµέα: πρόκειται για οικοδοµήµατα µε
λατρευτικό ή θρησκευτικό χαρακτήρα, τα οποία έχουν το γεωµετρικό σχήµα της πυραµίδας.
Κτίσµατα µε σχήµα πυραµίδας υπάρχουν σε πολλούς αρχαίους πολιτισµούς, µεταξύ των
οποίων και στον ελλαδικό χώρο (οι πυραµίδες της Αργολίδας, καθώς και στην κορυφή
«Προφήτης Ηλίας» του Ταϋγέτου). Βέβαια, οι πιο ξακουστές και γνωστές πυραµίδες του
κόσµου είναι οι αιγυπτιακές πυραµίδες, µε γνωστότερη την Πυραµίδα του Χέοπα, που είναι
ένα από τα επτά θαύµατα του αρχαίου κόσµου, το µοναδικό που σώζεται έως την εποχή µας.
http://bit.ly/19XVzse
Χρυσή Πυραµίδα
Επειδή τα κτίσµατα-πυραµίδες µοιάζουν µε τις γεωµετρικές κανονικές πυραµίδες,
µπορούν να αναλυθούν σε σχέση µε τις αναλογίες της Χρυσής τοµής.
Στα µαθηµατικά συναντάµε την χρυσή πυραµίδα. Αυτή είναι µια πυραµίδα στην οποία
35
το ύψος της παράπλευρης έδρας (απόστηµα) ισούται µε φ φορές την ηµι-βάση (το µισό του
πλάτους βάσης). Η χρυσή πυραµίδα έχει ως πρόσωπο ένα ισοσκελές τρίγωνο, το οποίο
µπορεί να κατασκευαστεί από τα δύο µισά ενός ορθογώνιου τριγώνου µε χρυσές αναλογίες,
αν ενώσουµε τις µεσαίου µήκους πλευρές για να σχηµατιστεί το απόστηµα. Αυτή η πυραµίδα
έχει ύψος τη ρίζα φ (
ύψους της πυραµίδας.
) φορές το τετράγωνο της ηµι-βάσης δηλαδή το τετράγωνο του
http://bit.ly/1cDwdjd
Στα διαγράµµατα βλέπουµε ότι το µεσαίο ορθογώνιο τρίγωνο της χρυσής πυραµίδας,
µε πλευρές
έχει εγγενές ενδιαφέρον, αφού αποδεικνύει µε το Πυθαγόρειο
θεώρηµα τη σχέση
ή
. Πρόκειται για το λεγόµενο "Τρίγωνο
του Κέπλερ", που είναι το µοναδικό ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο έχει µήκη πλευρών σε
γεωµετρική πρόοδο (
ή, κατά προσέγγιση, 1 : 1,272 : 1,618), όπως ακριβώς το 3-
4-5 τρίγωνο είναι η µόνη αναλογία ορθογώνιου τριγώνου µε µήκη πλευρών σε αριθµητική
πρόοδο. Η γωνία µε εφαπτοµένη
αντιστοιχεί στη γωνία που σχηµατίζεται από την
πλευρά της πυραµίδας και το έδαφος, 51,827... µοίρες (51 ° 49 '38 ").
http://bit.ly/1iHgKab
http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%81%CF%85%CF%83%CE%AE_%CF%84%CE%BF%CE%BC%CE%AE
και
http://bit.ly/1cDrHkH
36
Υπάρχει ένα σχεδόν παρόµοιο σχήµα πυραµίδας, αλλά µε ρητές αναλογίες και όχι
άρρητες, το οποίο περιγράφεται σε έναν αιγυπτιακό πάπυρο που είναι η πηγή των
περισσότερων γνώσεών µας για τα αρχαία αιγυπτιακά µαθηµατικά, τον λεγόµενο Rhind
Mathematical Papyrus. Αυτό βασίζεται στο ορθογώνιο τρίγωνο 3:4:5. Η κλίση της πυραµίδας
που αντιστοιχεί στη γωνία µε εφαπτοµένη 4/3 είναι 53,13 µοίρες (53 µοίρες και 8 λεπτά). Το
απόστηµα ή το ύψος της παράπλευρης έδρας είναι 5/3 ή 1.666... φορές την ηµι-βάση. Τα
αιγυπτιακά µαθηµατικά δεν περιλάµβαναν την έννοια των άρρητων αριθµών και για την
κατασκευή των πυραµίδων χρησιµοποιούσαν την αντίστροφη κλίση ρητών αριθµών.
Μια άλλη µαθηµατική πυραµίδα µε αναλογίες σχεδόν ίδιες µε τη «χρυσή πυραµίδα»
είναι η πυραµίδα που έχει περίµετρο ίση µε 2π φορές το ύψος της, δηλαδή h: b = 4: π. Αυτό
το τρίγωνο έχει µια γωνία κλίσης 51.854 ° (51 ° 51 '), δηλαδή πολύ κοντά στις 51.827° του
τριγώνου του Κέπλερ. Αυτή η σχέση της πυραµίδας αντιστοιχεί στην σχέση
.
Αιγυπτιακές Πυραµίδες
Πολλές αιγυπτιακές πυραµίδες έχουν αναλογίες πολύ κοντινές µε τις µαθηµατικές
πυραµίδες. Στα µέσα του 19ου αιώνα, ο Röber µελέτησε αρκετές αιγυπτιακές πυραµίδες (π.χ.
Khafre, Menkaure και ορισµένες από την οµάδα της Γκίζας και Σαχάρας) και αναγνώρισε σε
αυτές µια σχέση παρόµοια µε του τριγώνου του Κέπλερ.
Μία Αιγυπτιακή πυραµίδα που οι διαστάσεις της βρίσκονται πολύ κοντά στις διαστάσεις της
"χρυσής πυραµίδας" είναι η Πυραµίδα του Χέοπα (λέγεται επίσης «Μεγάλη Πυραµίδα της
Γκίζας»). Έχει κλίση 51° 52', αριθµός είναι πάρα πολύ κοντά στην κλίση της «χρυσής
πυραµίδας» (51° 50') και στην κλίση της βασισµένης στον αριθµό π πυραµίδας (51° 51').
Άλλες πυραµίδες της Γκίζας (Chephren, 52° 20', και Mycerinus, 50° 47 '), είναι επίσης αρκετά
κοντά. Παραµένει άγνωστο αν η σχέση µε τη χρυσή αναλογία σε αυτές τις πυραµίδες είναι
αποτέλεσµα συνειδητού σχεδιασµού ή αν έχει προκύψει κατά τύχην.
Ο µαθηµατικός και ιστορικός Eric Temple Bell έριξε λάδι στη φωτιά της αντιπαράθεσης όταν
υποστήριξε, το 1950, ότι τα αιγυπτιακά µαθηµατικά δεν θα είχαν την δυνατότητα να
υπολογίσουν το ύψος της παράπλευρης έδρας της πυραµίδας, ή την αναλογία προς το
ύψος, εκτός από την περίπτωση της πυραµίδας 3:4:5, δεδοµένου ότι το τρίγωνο 3:4:5 ήταν
το µόνο ορθογώνιο τρίγωνο γνωστό στους Αιγυπτίους. Επιπλέον, υποστήριξε ότι οι αρχαίοι
Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρηµα και µε κανέναν τρόπο δεν θα µπορούσαν να
πάρουν υπόψη τους άρρητους αριθµούς, όπως ο π ή ο φ. Άλλοι, όπως ο Michael Rice,
υποστηρίζουν ότι οι Αιγύπτιοι ήταν εξοικειωµένοι µε τη χρυσή αναλογία, η οποία αποτελεί
κοµµάτι των µαθηµατικών των πυραµίδων. Οι ιστορικοί των επιστηµών ανέκαθεν
διαφωνούσαν αν οι Αιγύπτιοι είχαν τέτοιες γνώσεις ή όχι. Πολλοί υποστηρίζουν ότι η
εµφάνιση της χρυσής τοµής στις πυραµίδες είναι προϊόν της τύχης.
37
http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
∆ιαστάσεις της πυραµίδας του Χέοπα (η δεξιά είναι σε βασιλικούς πήχεις)
http://www.goldennumber.net/golden-mean-gauge/
ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ
Ιστορική Αναδροµή
Χρονική Αναδροµή της Φωτογραφικής Μηχανής
Η φωτογραφία είναι ένα µέσο παραγωγής εικόνων, το οποίο χρησιµοποιείται σήµερα
38
πάρα πολύ. Χάρη σ’ αυτήν µπορούµε να διατηρήσουµε την ανάµνηση όσων έχουν χαθεί ή
δεν είναι πια εδώ. Eκφράζει την ανάγκη του ανθρώπου για επικοινωνία και καταγραφή
σηµαντικών γεγονότων, στιγµών, αισθηµάτων. Η γνωστή φράση «µία εικόνα ισοδυναµεί µε
χίλιες λέξεις» εκφράζει περιεκτικά την ανάγκη αυτή του ανθρώπου.
Συνοπτική ιστορία της φωτογραφίας
Οι πρώτες φωτογραφίες αποτελούν ουσιαστικά απλές προβολές εικόνων πάνω σε κάποια
επιφάνεια. Ως πρώτη φωτογραφική «µηχανή» µπορεί να θεωρηθεί ένα σκοτεινό δωµάτιο ή
κουτί (λατ. camera obscura) που στη µία άκρη διαθέτει µια γυαλιστερή επιφάνεια και στην
απέναντι άκρη µία πολύ µικρή οπή. Σε µία τέτοια κατασκευή, οι ακτίνες του φωτός
διαδίδονται µέσα από την οπή και σχηµατίζουν πάνω στην επιφάνεια ένα είδωλο των
αντικειµένων έξω από το δωµάτιο ή κουτί. Αν µπείτε σε ένα πολύ σκοτεινό δωµάτιο µια
ηλιόλουστη ηµέρα και κάνετε µια µικρή τρύπα σε ένα παράθυρο και κοιτάξετε στον απέναντι
τοίχο θα δείτε µια εικόνα έγχρωµη του τοπίου που είναι έξω από το δωµάτιο ανάποδα
(ανεστραµµένο είδωλο). Αυτό το φαινόµενο δεν είναι µαγικό απλά στηρίζεται σε ένα νόµο της
φυσικής. Οι ακτίνες του φωτός ταξιδεύουν σε ευθεία γραµµή, µε αποτέλεσµα να σχηµατίζεται
ανάποδα πάνω στη γυαλιστερή επιφάνεια µια εικόνα των αντικειµένων που βρίσκονται έξω
από το δωµάτιο (ανεστραµµένο είδωλο). Η φωτογραφία έχει µια πολύ ενδιαφέρουσα και
µεγάλη ιστορία που µπορεί να θεωρηθεί ότι εκτείνεται σε βάθος αρκετών αιώνων. Η
ανακάλυψή της σχετίζεται µε την επινόηση ενός είδους σκοτεινού θαλάµου, που οι εικόνες
αποτυπώνονταν σε πλάκες αργύρου και χαλκού, και φτάνει µέχρι τη σηµερινή εποχή όπου
υπερσύγχρονες ψηφιακές µηχανές µπορούν να αποτυπώνουν εκατοµµύρια χρώµατα και
σχέδια µε τέλεια ανάλυση. Η ιστορία της ξεκινάει τον 4ο αιώνα π.χ. από παρατηρήσεις του
Αριστοτέλη και µε τη γεωµετρική θεωρία του Ευκλείδη και φτάνει µέχρι τη σύγχρονη εποχή.
Ο Αριστοτέλης τον 4ο αιώνα π.χ. γύρω στο 310 π.χ. ο µεγάλος Έλληνας σοφός,
παρατήρησε το φαινόµενο του σκοτεινού δωµατίου. Παρατήρησε µια εικόνα κατά την
διάρκεια της έκλειψης της σελήνης που προβλήθηκε στο έδαφος µέσω των τρυπών από ένα
κόσκινο, και από τα χάσµατα µεταξύ των φύλλων ενός πλατανιού. Περιέγραψε το φαινόµενο
της συµπεριφοράς των ακτινών του φωτός, όταν περνάνε µέσα από µία µικρή τρύπα, την
ευθύγραµµη διάδοση του φωτός και του σχηµατισµού του ειδώλου ενός αντικειµένου µέσα
από µία µικρή τρύπα. Τον 10 αιώνα µ.Χ. ο Άραβας µελετητής και ο επιστήµονας Αµπού Αλί
αλ Χασάν θα ανακαλύψει το κείµενο του Αριστοτέλη για το φαινόµενο του σκοτεινού
δωµατίου και θα το µεταφράσει στα αραβικά. Ο Αλχαζέν έδωσε µια πλήρη περιγραφή της
αρχής συµπεριλαµβανοµένων των πειραµάτων µε πέντε κεριά έξω από ένα δωµάτιο µε µια
µικρή τρύπα. Στο δοκίµιό του «Μορφή της έκλειψης» έγραψε: «Η εικόνα του ήλιου κατά την
διάρκεια της έκλειψης, µέσω µιας στενής, στρογγυλής τρύπας δηµιουργεί απέναντι από την
τρύπα τη µορφή ενός φεγγαριού-δρεπανιού. Η εικόνα του ήλιου παρουσιάζει αυτήν την
ιδιαιτερότητα µόνο όταν η τρύπα είναι πολύ µικρή. Όταν η τρύπα διευρύνεται, η εικόνα
αλλάζει...». Τα χειρόγραφα των παρατηρήσεών του βρίσκονται στη βιβλιοθήκη των γραφείων
της Ινδίας στο Λονδίνο. Για πάρα πολλά χρόνια πολλοί θεωρούσαν ότι ο Αλχαζέν ήταν ο
39
πρώτος που περιέγραψε την αρχή της camera obscura. Το 1490 ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι
(Leonardo Da Vinci - 1452-1519) έδωσε σαφείς περιγραφές της camera obscura στα
σηµειωµατάριά του, στο «Atlantic Codex», µια συλλογή 1.286 σελίδων: «Εδώ οι φιγούρες,
εδώ τα χρώµατα, εδώ όλες οι εικόνες κάθε µέρους του κόσµου συµβάλλονται σε ένα σηµείο.
Ω τι σηµείο, τόσο θαυµάσιο!». Πολλά από τα πρώτα (σκοτεινά δωµάτια) camera obscura
ήταν µεγάλα δωµάτια όπως αυτό του Ολλανδού επιστήµονα Reinerus Gemma-Frisius το
1544 για τη παρατήρηση µιας ηλιακής έκλειψης. Για πρώτη φορά το 1558, ο Τζιοβάνι
Μπατίστα Ντέλα Πόρτα (Giovanni Battista Della Porta) στο βιβλίο του «Magiae Naturalis»
συνέστησε στους ζωγράφους τη χρήση µιας φορητής συσκευής camera obscura, ως
ενίσχυση για την σχεδίαση πορτρέτων ή τοπίων. Μπορεί να θεωρηθεί και σαν πατέρας του
κινηµατογράφου, αφού σκέφθηκε να καλέσει φίλους του σε µια τέτοια camera και να τους
προβάλει στον τοίχο φιγούρες µιας παρέας ανθρώπων που χόρευαν έξω από το δωµάτιο και
µπροστά από τη µικρή τρύπα εισόδου των ακτίνων του φωτός. Το αποτέλεσµα ήταν να
κατηγορηθεί για µαγεία. Η ποιότητα εικόνας βελτιώθηκε µε την προσθήκη ενός κοίλου
φακού στην οπή εισόδου του φωτός, από τον Girolamo Gardano στο 16ο αιώνα και την πιο
πρόσφατη προσθήκη ενός καθρέφτη για να απεικονίσει την επάνω εικόνα κάτω σε µια
επιφάνεια εξέτασης. Το 1568 ο Daniello Barbaro επινόησε επιπλέον ένα είδος
διαφράγµατος που επέτρεπε την εστίαση της εικόνας, ενώ το 1636 ο Daniel Schwenter
εφηύρε ένα σύστηµα πολλαπλών φακών, διαφορετικών εστιακών αποστάσεων,
πρόδροµο του σηµερινού ζουµ. Βλέπουµε πως η φωτογραφική µέθοδος του 16ου αιώνα
λειτούργησε πάνω στις ίδιες αρχές µε τις σύγχρονες φωτογραφικές µηχανές. Ο όρος
«camera obscura» χρησιµοποιήθηκε αρχικά από τον Γερµανό αστρονόµο Johannes Kepler
στις αρχές του 17ου αιώνα. Τον χρησιµοποίησε για τις αστρονοµικές εφαρµογές και είχε µια
φορητή camera obscura για την έρευνα στην Αυστρία. Η ανάπτυξη της camera obscura πήρε
δύο δρόµους. Ο ένας από αυτούς οδήγησε κυρίως σε περισσότερο ελαφρές µηχανές, στη
φορητή συσκευή camera obscura που ήταν ένα εργαλείο σχεδίων. Στο 17ο και 18ο αιώνα
πολλοί καλλιτέχνες βοηθήθηκαν µε την χρήση της camera obscura. Οι Jan Vermeer,
Canaletto, Guardi, and Paul Sandby είναι αντιπροσωπευτικοί καλλιτέχνες αυτής της οµάδας.
Ο δεύτερος δρόµος ήταν ένας συνδυασµός εκπαίδευσης και ψυχαγωγίας. Στο 19ο αιώνα, µε
τους βελτιωµένους φακούς που µπορούσαν να δώσουν µεγαλύτερες και ποιο ευδιάκριτες
εικόνες, η camera obscura άκµασε στις παραλίες και στους τοµείς της φυσικής οµορφιάς σαν
αξιοθέατο και ο κόσµος προσερχόταν στα µεγάλα σκοτεινά δωµάτια (camera obscura) για να
δει το µοναδικό φαινόµενο. Από την αρχή του 19ου αιώνα η camera obscura ήταν έτοιµη µε
ελάχιστη ή καµία τροποποίηση να δεχτεί ένα φύλλο φωτοευαίσθητου υλικού για να γίνει η
φωτογραφική µηχανή και έτσι ξεκίνησαν οι προσπάθειες για την µόνιµη αποτύπωση της
εικόνας σε µια φωτοευαίσθητη επιφάνεια, καθώς παρέµενε σηµαντικό µειονέκτηµα το
γεγονός ότι η απλή camera obscura δεν µπορούσε να διατηρήσει τα είδωλα των
αντικειµένων. Σήµερα η camera obscura απολαµβάνει µιας αναγέννησης. Οι παλαιότερες
camera obscura φυλάσσονται ως πολιτιστικοί και ιστορικοί θησαυροί και χτίζονται σε όλο τον
κόσµο µουσεία.
40
Η εξέλιξη της φωτογραφικής µηχανής
Η πρώτη φωτογραφία έγινε πραγµατικότητα το 1827 από το Γάλλο φυσικό Νίκηφόρο
Νιέτις, ενώ η σύγχρονη φωτογραφία γεννήθηκε το 1888 µε τη µηχανή Κόντακ του
αµερικανού Τζόρτζ Ίστµαν.
- Το 1925 η γερµανική εταιρεία Leitz κυκλοφορεί στην Γερµανία τη φωτογραφική
µηχανή Leica. Η µηχανή χρησιµοποιεί, πλέον, φιλµ 35mm σε ρολό ζελατίνας.
- Το 1935 παρουσιάζεται το πρώτο έγχρωµο θετικό φιλµ για διαφάνειες, το
Kodachrome. Την ίδια χρονιά έχουµε και το πρώτο φλας από Λαπόρτ.
- Το 1940 η φωτογραφία µπαίνει για πρώτη φορά στο Μουσείο Μοντέρνας Τέχνης στη
Ν. Υόρκη.
- Το 1942 κυκλοφορεί το έγχρωµο φωτογραφικό χαρτί Agfacolor για εκτύπωση
έγχρωµων φωτογραφιών.
- Το 1948 κυκλοφορεί η πρώτη µηχανή στιγµιαίας φωτογραφίας –η γνωστή Polaroid–
και ιδρύεται το πιο γνωστό φωτο-ειδησεογραφικό πρακτορείο στον κόσµο, το Magnum.
- Το 1950 γίνεται η πρώτη έκθεση φωτογραφικών προϊόντων στην Κολωνία της
Γερµανίας, που συνεχίζεται και στις µέρες µας από την Photokina.
- Το 1959 έχουµε τις πρώτες φωτογραφίες της γης από δορυφόρο.
41
- Το 1963 παρουσιάζεται η µέθοδος εκτύπωσης έγχρωµων φωτογραφιών από
διαφάνειες (slides), η γνωστή Cibachrome.
- Το 1970 διοργανώνεται στην πόλη Αρλ της Γαλλίας η πρώτη διεθνής φωτογραφική
συνάντηση.
- Το 1982 παρουσιάζεται η πρώτη ψηφιακή φωτογραφική µηχανή από την Sony, η
πρωτοποριακή MAVICA (magnetic video camera)
- Το 1997 έχουµε τις πρώτες ψηφιακές φωτογραφίες από τον Άρη.
- Τέλη 20ού κι αρχές 21ου αιώνα: η εποχή της ψηφιακής φωτογραφίας ανατέλλει. Η
πρώτη εµπορική ψηφιακή φωτογραφική µηχανή παρουσιάστηκε το 1990. Σήµερα οι
ψηφιακές µηχανές αποτελούν ευρύτατα διαδεδοµένα καταναλωτικά προϊόντα, ενώ
συνεχίζουν να εξελίσσονται ενσωµατώνοντας επιπλέον δυνατότητες, όπως βιντεοσκόπηση,
µε ή χωρίς καταγραφή ήχου. Ένα από το µεγάλο πλεονεκτήµατα της ψηφιακής
φωτογραφίας, είναι και η εύκολη σχετικά, δυνατότητα επεξεργασίας της. Οι προσπάθειες
βελτίωσης συνεχίζονται παράλληλα και στην ψηφιακή και στην αναλογική εικόνα.
Tρόπος Λειτουργίας της Φωτογραφικής Μηχανής
Το φως που αντανακλάται από το αντικείµενο µπαίνει στη µηχανή διαµέσου του φακού ο
οποίος αναγκάζει τις ακτίνες να περάσουν µέσα από τον ανοιχτό φωτοφράκτη και το
διάφραγµα που καθορίζει τη φωτεινότητα και να σχηµατίσουν ένα ανάποδο και αντίστροφο
είδωλο πάνω στο φιλµ. Τα φωτοευαίσθητα χηµικά του φιλµ ανταποκρίνονται σε διαφορετικά
χρώµατα και εντάσεις του φωτός σχηµατίζοντας µια εικόνα σε λανθάνουσα κατάσταση η
οποία µπορεί να εµφανιστεί και να δώσει την τελική έγχρωµη φωτογραφία. Η µηχανή επίσης
έχει, ένα σύστηµα σκόπευσης που επιτρέπει να καδράρουµε το θέµα µας. Όταν τραβάµε µια
φωτογραφία, αναγκάζουµε το φως που αντανακλάται από το αντικείµενό σας, να σχηµατίσει
ένα είδωλο που επιδρά πάνω στα ευαίσθητα χηµικά του φιλµ. Η µηχανή ελέγχει αυτή τη
διαδικασία µε πολλούς τρόπους.
Τέλος, αξιοσηµείωτη είναι η εφαρµογή της χρυσής τοµής στην φωτογραφία. Με
αναλογίες χρυσής τοµής µπορούµε να χωρίσουµε το ύψος και το πλάτος µιας εικόνας. Στο
σηµείο τοµής του ύψους και του πλάτους βρίσκεται η χρυσή τοµή της εικόνας. Σε αυτή τη
χρυσή τοµή µπορούµε να τοποθετήσουµε το πιο ενδιαφέρον στοιχείο της εικόνας µας.
Εφαρµογές της βρίσκουµε στη ζωγραφική, στη διαφήµιση, στην καλλιτεχνική φωτογραφία.
42
43
44
45
ΦΥΣΗ
______________________________________________________
ΦΥΤΑ
Τι είναι φυτά;
Τα φυτά αποτελούν το «κλειδί της ζωής» στη γη. Χωρίς αυτά αλυσιδωτά σιγά σιγά
όλοι οι οργανισµοί θα εξαφανίζονταν. Καθώς χρησιµοποιούνε ανόργανες ουσίες δηλαδή το
νερό και τον ήλιο και κατασκευάζουν την τροφή τους από µόνα τους . Γι’ αυτό το λόγο τα
φυτά βρίσκονται στις υψηλότερες βαθµίδες της τροφικής αλυσίδας αφού τα ζώα εξαρτόνται
έµµεσα ή άµεσα απ’ αυτά. Κατατάσσονται σε δυο µεγάλες και βασικές κατηγορίες τα
46
ανθοφόρα και τα σχετικά «πρωτόγονα» που δεν παράγουν άνθη. Φυτρώνουν σχεδόν
οπουδήποτε σε όποια θερµοκρασία, κλίµα και υψόµετρο και έτσι τα είδη των φυτών που
υπάρχουν στη γη φτάνουν το ¼ του εκατοµυρίου.
Βιβλίο: Τα Φυτά, Σελίδα: 6, Συγγραφέας: D.Burnie, Εκδόσεις: Αστέρης ∆εληθανάσης, Αθήνα 1989.
Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΦΥΣΗ
Άνθη και φύλλα
Ο αριθµός των πετάλων σε πολλά άνθη τις περισσότερες φορές είναι ένας αριθµός
Fibonacci. Ας φέρουµε κάποια παραδείγµατα:
1. Ο κρίνος µε 1 πέταλο.
2. Τα περισσότερα τριφύλλια έχουν τρία ή πέντε φύλλα ενώ τα τετράφυλλα τριφύλλια είναι
πολύ σπάνια.
3. Οι περισσότερες µαργαρίτες έχουν 21, 34, 55 ή 89 πέταλα που είναι αριθµοί Fibonacci.
4. Το άγριο τριαντάφυλλο, η νεραγκούλα, ο καπουτσίνος και η ακουιλέγια εµφανίζονται
συνήθως µε 5 πέταλα ενώ το αστράκι και η πικραλίδα µε 21.
5. Το χρυσάνθεµο έχει συνήθως 34 πέταλα όπως και ο ηλίανθος
(κρίνος µε 1 φύλλo)
(τριφύλι µε 3 φύλλα)
http://bit.ly/18XqB6o
http://bit.ly/bftZ87
47
(πριµούλα 5 φύλλα)
(µαργαρίτα µε 21 πέταλα)
http://bit.ly/1g26Rmn
http://bit.ly/1bFJ2yT
Φυλλοταξία
Τα φύλλα βλαστάνουν πάνω στους βλαστούς µε τρόπο που δεν καλύπτει το ένα το άλλο για
να µπορούν όλα να παίρνουν φως και να κάνουν φωτοσύνθεση. Ποια είναι η καλύτερη
διευθέτηση για να µπορεί κάθε φύλλο να παίρνει το µέγιστο δυνατό φως;
Ας πάρουµε για παράδειγµα τα φύλλα του ηλιοτροπίου. Έχει παρατηρηθεί συχνά ότι η γωνία
µεταξύ δύο διαδοχικών φύλλων είναι 137 º, 30΄ 28΄΄. Αυτό ισοδυναµεί µε γωνιά 360º/Φ² αν
την µετρήσεις δεξιόστροφα ή 360/Φ αν µετρηθεί αριστερόστροφα. Στη δεύτερη περίπτωση το
µέτρο της γωνίας είναι 222º 29΄ 32΄΄.
Πόσα φύλλα πρέπει να µετρήσουµε για να βρούµε ένα φύλλο ακριβώς πάνω από το
προηγούµενο;
Αν µετρήσουµε δεξιόστροφα 8 φύλλα βλέπουµε ότι σχηµατίζουν γωνία 1100º δηλαδή 3,05
στροφές των 360º. Έχουµε κατά προσέγγιση τρεις στροφές και οκτώ φύλλα. Οι αριθµοί 3 και
8 είναι αριθµοί Fibonacci.
Αν µετρήσουµε 13 φύλλα βλέπουµε ότι σχηµατίζουν γωνία 1788º δηλαδή πέντε περίπου
πλήρεις στροφές. [ κατ’ ακρίβεια 4,96 ]. Και πάλι οι αριθµοί 13 και 5 ανήκουν στην ακολουθία
Fibonacci.
Αν πάµε στα 21 φύλλα έχουµε 8,02 στροφές των 360º. Εδώ και πάλι εµφανίζονται οι
αριθµοί Fibonacci 8 και 21.
Το ίδιο το άνθος του Ηλιοτροπίου παρουσιάζει δεξιόστροφες και αριστερόστροφες σπείρες.
Οι αριθµοί των σπειρών είναι διαδοχικοί αριθµοί Fibonacci. Συνήθως παρουσιάζονται οι
ακόλουθοι αριθµοί:
13 αριστερόστροφες σπείρες και 21 δεξιόστροφες.ή
21 αριστερόστροφες και 34 δεξιόστροφες.
Είναι αξιοσηµείωτο ότι, αν πάρουµε µια τυχαία µεµονωµένη σπείρα και µετρήσουµε τους
κόκκους της και πάλι βρίσκουµε κάποιο διψήφιο αριθµό Fibonacci. Το ίδιο παρατηρούµε και
στον κόµβους πάνω στην εξωτερική επιφάνεια του ανανά, ή ενός κάκτου.
48
http://bit.ly/1dS2eas
∆ιακλαδωµένα φυτά
Ο αριθµός των κλαδιών που αναπτύσσονται πάνω σε ένα αρχικό κλαδί ακολουθεί συχνά την
ακολουθία Fibonacci. Παρατηρείται ότι ένας νεαρός βλαστός χρειάζεται δύο µήνες για να
γίνει αρκετά µεγάλος για να αναπτύξει πάνω του νέα διακλάδωση και ακολούθως
αναπτύσσει µια νέα διακλάδωση κάθε ένα µήνα. Το ίδιο ισχύει βέβαια και για τα θυγατρικά
κλαδιά που αναπτύσσονται.
Στο τέλος του 1ου µήνα έχουµε ένα κλάδο, ενώ στο τέλος του δεύτερου έχουµε δεύτερο
κλαδί.
Στο τέλος του τρίτου µήνα τα κλαδιά γίνονται τρία, αφού το αρχικό κλαδί διακλαδώνεται ξανά.
Στο τέλος του τέταρτου µήνα οι κλάδοι γίνονται πέντε. ∆ιακλαδώνονται ο πρώτος και ο
δεύτερος κλάδος
Στο τέλος του πέµπτου µήνα οι διακλαδώσεις γίνονται οκτώ εφόσον διακλαδώνονται ο
πρώτος δεύτερος και τρίτος κλάδος.
Η διακλάδωση βέβαια µπορεί να συνεχιστεί µέχρι κάποιο όριο µε αυτό το ρυθµό. Αν δεν
πιστεύετε ότι αυτό γίνεται στην πράξη παρατηρείστε και θα βρείτε τα δικά σας παραδείγµατα
χρυσής διακλάδωσης φυτών.
http://bit.ly/HiSrzg
49
http://bit.ly/18kjL
Η χρυσή αναλογία στα λουλούδια
φ=ACBC=1,61803
50
φ=ABBC=1,61803
φ=ABBC=1,61803
51
φ=ABCD=1,61803
φ=ABAC=1,61803
φ=ABBC=1,61803
52
φ=ABCD=1,61803
φ=CDEF=1,61803
φ=ACAB=1,61803
http://bit.ly/17HvQmE
53
Η Χρυσή Τοµή στα φυτά
Η χρυσή τοµή υπάρχει παντού και αποτελεί τον κύριο λόγο για τον οποίο το οτιδήποτε
φαίνεται αισθητά όµορφο και συµµετρικό. Μία από τη πιο βασική εφαρµογή της είναι ο
ναυτίλος καθώς η λογαριθµική του σπείρα εµφανίζεται στο κέλυφός του.
Η γεωµετρική αναλογία τής χρυσής τοµής είναι γνωστή στήν χώρα µας από τα αρχαία
χρόνια. Σ’ αυτά ο Ευκλείδης κατέγραψε την εκτέλεσή της µελετώντας τις ιδιότητες των
στερεών σωµάτων όπως αυτές των δωδεκαέδρων. Συνειδητοποίησε πως αυτή η αρχή δεν
διέπει µόνο τους ανθρώπους, τα ζώα, τα φυτά και τα ορυκτά αλλά και ολόκληρο το σύµπαν.
Στα φυτά υπάρχει µια ενδιαφέρουσα σειρα των φυλλων που δεν είναι τυχαία και ονοµάζεται
ταξιφυλλία. Η ταξιφυλλία είναι η σπειροειδής διάταξη των φύλλων πάνω στον βλαστό. Τα
φυτά χωρίς να το γνωρίζουν αναπτύσσονται σύµφωνα µε την χρυσή τοµή καθώς έχει
προκαθοριστεί στο DNA τους. Αυτή η ελικοειδής διάταξη των φύλλων, έχει φυσικά
συγκεκριµένο σκοπό, που αρχικά είναι η καλύτερη διέλευση του φωτός και η εξοικονόµηση
του απαραίτητου χώρου. Ετσι θα µπορέσουν να µαζέψουν αρκετή ποσότητα για να
πραγµατοποιηθεί η διαδικασία της φωτοσύνθεσης και θα εξοικονοµηθεί χώρος. Γι’ αυτούς
τους λόγους η διάταξη παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο. Σε περίπτωση κλειστής δοµής όπως το
λάχανο η σωστή διάταξη είναι απαραίτητη ώστε το φυτό να χωρέσει στον δεδοµένο όγκο.
Βασική ιδέα της θέσης κάθε νέας ανάπτυξης είναι περίπου 222,5 µοίρες από την
προηγούµενη, γιατί αυτή παρέχει κατά µέσο όρο το µεγαλύτερο χώρο για τα νέα βλαστάρια.
αυτή η γωνία ονοµάζεται χρυσή και διαιρεί τον κύκλο (360 µοιρών) στη χρυσή τοµή
0,618055555. Η φύση δεν χρησιµοποιεί τον αριθµό φιµπονάτσι ή µαθηµατικούς κανόνες,
αλλά παράγει βαθύτερης σηµασίας φυσικές διαδικασίες ώστε τα φυτά να αντεπεξέλθουν στις
φυσικές δυσκολίες.
Τα λουλούδια παράλληλα έχουν την ίδια ανάπτυξη. Στην κεφαλή ενός λουλουδιού
παράγονται σπόροι ξεκινώντας από το κέντρο και προοδευτικά κινούνται µε κατεύθυνση
προς τα έξω σε όλο τον χώρο όπως στον ηλίανθο. Ο κάθε νέος σπόρος έχει συγκεκριµένη
γωνία σε σχέση µε τον προηγούµενο. Για παράδειγµα εάν η γωνία είναι 90 µοίρες τότε οι
σπόροι της κεφαλής θα την διαιρέσουν σε τέσσερα τεταρτηµόρια δηλαδή σε σταυρωτή
µορφή. Κατόπιν µετά από την εξέλιξη του φυτού δηµιουργείται η σπείρα που ακολουθεί τους
αριθµούς φιµπονάτσι και στη συνέχεια θα τον ακολουθήσουν και τα πέταλα.
54
http://bit.ly/19R4PnK
zantedeschia aethiopica 1 πέταλο
http://bit.ly/19mup3k
euphorbia 2 πέταλα
http://bit.ly/1eFACWa
trillium 3 πέταλα
http://bit.ly/1lQoQxl
55
πετούνια 5 πέταλα
http://bit.ly/1ezxr3U
bloodroot 8 πέταλα
http://bit.ly/1ezxflb
black-eyed susan 13 πέταλα
http://bit.ly/1c9bT9x
shasta daisy with 21 petals 21 πέταλα
http://bit.ly/1lNWAsn
Εκτός όµως από την ανάπτυξη του λουλουδιού και των φύλων παρατηρούµε ότι οι ίδιες
αρχές διέπουν και άλλες δοµές όπως τον κορµό του δέντρου. Για παράδειγµα τα κωνοφόρα
δείχνουν τους αριθµούς φιµπονάτσι στις προεξοχές των κορµών τους ενώ τα φοινικοειδή
δέντρα παρουσιάζουν αυτούς τους αριθµούς στους δακτυλίους που εµπεριέχουν στον κορµό
τους.
Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται οι βαθµίδες στην σταδιακή εξέλιξη του φυτού.
1. Στην 1η βαθµίδα είναι ο κορµός
1
2. Στην 2η βαθµίδα είναι ο κορµός
1
δηλαδή
3. Στην 3η βαθµίδα υπάρχουν 2 κλαδιά
2
1,1,2,3,5,8,13
4. Στην 4η βαθµίδα υπάρχουν 3 κλαδιά
3
5. Στην 5η βαθµίδα υπάρχουν 5 κλαδιά
5
6. Στην 6η βαθµίδα υπάρχουν 8 κλαδιά
6
7. Στην 6η βαθµίδα δηµιουργούνται 13 λουλούδια 13
56
Η ανάπτυξη του δέντρου
http://bit.ly/1du1czn
Η χρυσή τοµή παρατηρείται όχι µόνο στα φυτά αλλά και στους καρπούς τους. Για
παράδειγµα στα “λέπια” του κουκουναριού ή και του ανανά παρατηρείται ότι έχει δύο σειρές
από καµπύλες όπου η κάθε µία έχει αντίθετη κατεύθυνση. Εάν µετρηθούν οι σπείρες τότε θα
παρατηρηθεί ότι στην µία υπάρχουν 8 ενώ στην άλλη 13, όπου είναι οι αριθµοί φιµπονάτσι.
κουκουνάρι
http://bit.ly/1htAQVc
κουκουνάρι
http://bit.ly/1a5j0zP
57
ανανάς
http://bit.ly/1dtvXo6
ανανάς
http://bit.ly/1ejEwn1
Επιπλέον, χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι και το ρόδι που στα γαλλικά ονοµάζεται grenate
ή αλλιώς στα ελληνικά γρανάτης. Το ρόδι οι γάλλοι το ονόµασαν έτσι επειδή µοιάζει στο
χρώµα στο σχήµα και στην διαφάνεια του πάρα πολύ µε τον λίθο που ονοµάζεται γρανάτης.
Ο γρανάτης και το ρόδι είναι δωδεκάεδρα και υπακούν σύµφωνα µε τον Ευκλείδη, όπως
προαναφέραµε, στην γεωµετρία ή στην αναλογία της χρυσής τοµής. Άλλωστε όπως ξέρουµε
η χρυσή τοµή αφορά εκτός από την γραµµή και τις επιφάνειες τα στερεά σώµατα και στις
τρεις τους διαστάσεις.
γρανάτης
http://bit.ly/1dP63OY
δωδεκάεδρο
http://bit.ly/1fboDUS
58
ρόδι
http://bit.ly/19bC6sX
ρόδι
http://bit.ly/1ejLhFe
http://bit.ly/19R4PnK
http://bit.ly/1ieNwga
Σωτηριάδης Σ., Παππαδόπουλος Γ., Σκαπή Β., 2012, “Χρυσή τοµή και εφαρµογές της”, 4ο µαθητικό συνέδριο
πληροφορικής, Νόησης, Θεσσαλονίκης, 4 Μαίου 2012
ΖΩΑ
Στη φύση, υπάρχουν αµέτρητοι οργανισµοί, οι οποίοι δεν παύουν ποτέ να µας
εκπλήσσουν µε την οµορφιά τους. Η οµορφιά αυτή βασίζεται σε µεγάλο βαθµό στη χρυσή
τοµή. Από τη χρυσή τοµή εξαρτάται το αν κάποιο αντικείµενο ή πλάσµα µας φαντάζει
αισθητικά ωραίο ή άσχηµο. Μαζί µε τη χρυσή τοµή, σηµαντικό ρόλο παίζουν και οι αριθµοί
fibonacci, στους οποίους οφείλεται η ανάπτυξη της σπειροειδούς µορφής. Η ανάπτυξη της
σπειροειδούς µορφής στον κόσµο των ζώων δεν περιορίζεται µόνο στα θαλάσσια κελύφη.
Παραδείγµατα καµπυλών που βασίζονται σε λογαριθµικές σπείρες µπορούν να
παρατηρηθούν στους χαυλιόδοντες των ελεφάντων, στα νύχια των λιονταριών. Σε ζώα όπως
οι αντιλόπες, και τα κριάρια, τα κέρατα τους ολοκληρώνονται µε σπειροειδή τρόπο,
βασισµένο στη χρυσή τοµή. Χρυσή τοµή υπάρχει στις διαστάσεις δελφινιών και καρχαριών,
όπως επίσης και στους πιγκουίνους. Γενικά, σχεδόν σε όλα τα ζώα µπορεί να βρεθεί η
χρυσή τοµή. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα, µε τη χρήση προγραµµάτων τα οποία εµφανίζουν
τη χρυσή τοµή σε φωτογραφίες. Ένα πρόγραµµα το οποίο διατίθεται για δοκιµαστική χρήση
στο διαδίκτυο, είναι το Phimatrix. Όµως, ή εφαρµογή της χρυσής τοµής γίνεται εκτός από τον
µακρόκοσµο, και στον µικρόκοσµο. Πολλές περιπτώσεις εµφάνισης του αριθµού φ και των
αριθµών fibonacci, µπορεί να διακρίνει κανείς στον οργανικό και ανόργανο φυσικό κόσµο και
στην ανάπτυξη και εξέλιξη της ζωής. Η εξωτερική οµορφιά που προσφέρει η χρυσή τοµή,
είναι µόνο η κάλυψη της εσωτερικής οµορφιάς που αποµένει να ανακαλυφθεί από τον
ανθρώπινο νου. Τα µαθηµατικά είναι συχνά το εργαλείο για την ανακάλυψη αυτή.
59
http://bit.ly/17JJysG
60
61
Fibonacci στα άτοµα
Οι αριθµοί του Fibonacci εµφανίζονται σε µια απλοποιηµένη περίπτωση ατόµων µιας
ποσότητας υδρογόνου. Υποθέτουµε οτι αρχικά το ηλεκτρόνιο ενός ατόµου βρίσκεται στο
µηδενικό επίπεδο, το οποίο κερδίζει και χάνει διαδοχικά ένα ή δύο κβάντα ενέργειας έτσι
ώστε να χαρακτηρίζεται η εξέλιξή του από το µηδενικό επίπεδο, (κατάσταση 0), ή το πρώτο
ενεργειακό επίπεδο, (κατάσταση 1), ή το δεύτερο επίπεδο, (κατάσταση 2).
(Μ. Τουµάσης, Χρυσή Τοµή-Fibonacci-Λαγοί και Λουλούδια.)
ΑΝΘΡΩΠΟΣ
Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι στο έργο του "Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου" (1490) φαίνεται πως δεν
εξετάζει µόνο το ανδρικό κορµί, αλλά παρέχει γενικότερα πληροφορίες για το ανθρώπινο
σώµα και παρουσιάζει την ασυµµετρία της συµµετρίας του. Παρόλο που µε µια πρώτη µατιά
φαίνεται πως ο άνθρωπος είναι απόλυτα συµµετρικός, η τέχνη του Λεονάρντο παρουσιάζει
κάτι διαφορετικό.
Παρατηρούµε συγκεκριµένα στο έργο του ότι υπάρχει αισθητή διαφορά µεταξύ του αριστερού
και του δεξιού ποδιού, πράγµα που ισχύει και για τα χέρια. Οι µύες της ανδρικής φιγούρας
προδίδουν επίσης την ανθρώπινη ασυµµετρία. Παρόµοιες διαφορές εντοπίζονται και στο
υπόλοιπο σώµα που, βέβαια, εξαρτώνται και από την στάση της φιγούρας µε την οποία έχει
τοποθετηθεί µέσα στον κύκλο και το τετράγωνο.
Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου.
http://lygeros.org/3548-gr.php
Παρ'όλα αυτά στο ανθρώπινο σώµα φαίνεται, µε απλές µετρήσεις, η χρυσή αναλογία,
62
δηλαδή ο αριθµός Φ.
(Λυγερός Το πρόβληµα της συµµετρίας του ανθρώπου του Βιτρούβιου του Leonardo da
Vinci)
Ο αριθµός Φ της χρυσής τοµής γίνεται φανερός στο ανθρώπινο σώµα, εάν µελετήσει κανείς
τις αναλογίες που έχει ένα ιδανικό σώµα.
Συγκεκριµένα παρατηρούµε ότι η αναλογία µεταξύ του µέρους του σώµατος από τον οµφαλό
και κάτω ως προς αυτό από τον οµφαλό και άνω είναι ο αριθµός Φ.
Πέραν αυτού έχουµε επίσης ότι ο λόγος του συνολικού ύψους του ανθρώπινου σώµατος
προς το ύψος του µέρους από τον οµφαλό και κάτω είναι και πάλι Φ.
Η χρυσή αναλογία στα δάχτυλα.
http://bit.ly/1kuVKW6
Τα δάχτυλα του ανθρώπου χωρίζονται σε τρία τµήµατα, όπου το πρώτο είναι µεγαλύτερο
από το δεύτερο και αυτό µε τη σειρά του µεγαλύτερο από το τρίτο. Αθροίζοντας τα δύο
τελευταία µέρη και διαιρώντας µε το πρώτο τµήµα, ο λόγος είναι Φ.
Παρόµοιες αναλογίες εµφανίζονται σε όλο το σώµα, κάτι που προδίδει την τελειότητα ενός
ιδανικού ανθρώπου.
(Πόλης, Χρυσή τοµή, ακολουθία Fibonacci, φύση και άνθρωπος, λίµα Χρυσή τοµή και
ανθρώπινο σώµα)
ΆΝΘΡΩΠΟΣ
Η χρυσή τοµή, ο αριθµός που συνδέει τα µαθηµατικά µε την αισθητική, δεν είναι µόνο
µια αφηρηµένη µαθηµατική σταθερά αλλά ενυπάρχει και στις αναλογίες του ανθρώπινου
σώµατος και ακόµα πιο µέσα στο εσωτερικό αυτο
Η χρυσή τοµή µπορεί να παρατηρηθεί και ακόµα πιο µέσα, στο µόριο του ανθρώπινου DNA.
63
Συγκεκριµένα το µήκος της έλικας είναι 34 angstroms ενώ το πλάτος της 21angstroms.
Κάθε πλήρης κύκλος της διπλής σπείρας των ελίκων του µας δίνει τον αριθµό φ. Επίσης οι
αριθµοί 34 και 21 είναι διαδοχικοί αριθµοί Fibonacci και ο λόγος 34: 21 = 1,619 πλησιάζει
πολύ καλά τον φ.
Επιπρόσθετα η καρδιά ενός φυσιολογικού ανθρώπου
χτυπά σύµφωνα µε τη θεϊκή αναλογία. Η ανθρώπινη
καρδιά χτυπά µε περίπου 60 σφυγµούς το λεπτό σε
κατάσταση ηρεµίας και µε έως 120 σφυγµούς σε
κατάσταση άγχους ή έντονης κίνησης. Η πίεση του αίµατος
µεταβάλεται κατά την διάρκεια της καρδιακής λειτουργίας,
Φτάνει την µέγιστη τιµή της στην αριστερή καρδιακή κοιλία
την στιγµή της συστολής, στις αρτηρίες κατά την διάρκεια
της κοιλιακής συστολής η πίεση του αίµατος φτάνει την
µέγιστη τιµή των 115 -125 mm στήλης υδραργύρου. Την
στιγµή της χαλάρωσης του καρδιακού µυός (διαστολή) η
πίεση µειώνεται µέχρι τα 70 µε 80 mm στήλης υδραργύρου.
Ο λόγος της µέγιστης προς την ελάχιστη κατά µέσο όρο
ισούται µε 1,6 δήλαδή πολύ κοντά στην χρυσή αναλογία.
Αυτή η σύµπτωση είναι τυχάια ή µήπως απεικονίζει κάποια
αντικειµενική κανονικότητα της αρµονικής οργάνωσης της καρδιακής δραστηρίοτητας;
(Παπαδοπουλος 1997)
Ο καθηγητής Hanno Ulmer από το Ιατρικό Πανεπιστήµιο του Ινσπρουκ της Αυστρίας δήλωσε
σε άρθρο του στο British Medical Journal ότι “στους υγιείς ανθρώπους η καρδιά χτυπάει
σύµφωνα µε το χρυσό κανόνα”. Για να το αποδείξει η οµάδα του πήρε την πίεση σε πάνω
από 160,000 ανθρώπους. Παρατήρησαν ότι οι άνθρωποι που είχαν αναλογία ανάµεσα στην
συστολική και την διαστολική πίεση κοντά στον χρυσό αριθµό ήταν υγιείς Αντίθετα οι
άνθρωποι των οποίων η αναλογία απέκλινε από το χρυσό αριθµό είχαν αναλογικά
µεγαλύτερη πιθανότητα να πεθάνουν από καρδιακή προσβολή.
(Devlin 2009)
καρδιογράφηµα
64
http://www.goldennumber.net/human-heartbeat/
Όµως γενικότερα το ανθρώπινο σώµα έχει δοµηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες Φ . Η
απόσταση ζωτικών οργάνων (π.χ εγκέφαλος-καρδιά, στοµάχι, γεννητικά όργανα κ.λπ.)
εµπεριέχει αναλογίες Φ. Ως εκ τούτου οι ιατροί και ειδικότερα οι πλαστικοί χειρουργοί
λαµβάνουν σοβαρά υπόψη τους την χρυσή αναλογία. Επιδιώκουν την “Χρυσή Τοµή” δήλαδή
την αναλογία 1,618:1 που οι αρχαίοι Ελληνες θεωρούσαν απαραίτητη για να µας φαίνεται
όµορφο ένα αντικείµενο.
«Υπάρχει ένα αρχετυπικό πρότυπο προσώπου το οποίο όλοι βρίσκουµε ελκυστικό»
υποστηρίζει ο δρ Στίβεν Μάρκιουαρντ, πλαστικός χειρουργός σε συνέντευξη που
παραχώρησε στο περιοδικό των «Sunday Times». Ο συγκεκριµένος
καλιφορνέζος
χειρουργός προσπάθησε να αποδείξει ότι η χρυσή τοµή εκφράζει το ίδιο καλά και το
πρόσωπο ως συνολική εικόνα. Η «χρυσή αναλογία» σαφώς και δεν επαληθεύεται στο
πρόσωπο όταν εκλαµβάνεται ως ορθογώνιο ή ως ένα σετ από ευθείες γραµµές. Οταν όµως
ένα πρόσωπο διαχωριστεί σε µια σειρά από διαδοχικά πεντάγωνα, το 1 προς 1,618
επαληθεύεται.
Ο Μαρκιουαρντ συνέλεξε φωτογραφίες ανθρώπων που θεωρούνται όµορφοι και τις ανέλυσε
µε µαθηµατικά Οπότε κάτι ιδιαίτερο και συναρπαστικό παρουσιάστηκε: η χρυσή αναλογία.
Όµορφα στόµατα των ανθρώπων ήταν 1,618 φορές µεγαλύτερα από τη µύτη τους και η µύτη
τους 1,618 φορές µεγαλύτερη από την άκρη της µύτης τους. Όσον αφορά τα δεδοµένα του
Marquardt διαπίστωσε ότι πράγµατι το τέλειο πρόσωπο ήταν σύµφωνο µε τη χρυσή
αναλογία. Ακόµη και το τρίγωνο που σχηµατίζεται από τη µύτη και το στόµα ήταν ένα τέλειο
οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο.
Ετσι δηµιούργησε την “µάσκα” , ένα πρότυπο πρόσωπο που συγκροτείται από καταλλήλως
σχεδιασµένα πεντάγωνα. Ο δρΜάρκιουαρντ εφάρµοσε τη µάσκα επάνω σε πρόσωπα που
χαρακτηρίστηκαν ως πρότυπα οµορφιάς ή απλώς ως «όµορφα». Η µάσκα σχεδόν ταιριάζει
στα πρόσωπα του Μάρλον Μπράντο, του Τζέιµς Ντιν, του Γουόρεν Μπίτι, της Οντρεϊ
Χέπµπορν, της Ελίζαµπεθ Τέιλορ, της Πάµελα Αντερσον και του Τοµ Κρουζ.
Η συγκεκριµένη “µάσκα” που ονοµάζεται RF Mask ή “Repose Expression Frontal View Mask”
έχει πολλές πρακτικές χρησιµότητες. Μπορείς να τοποθετήσεις τν “µάσκα” πάνω σε µιά
φωτογραφία ενός προσώπου για να αποφασίσεις αν χρειάζεται πλαστική χειρουργική και
που ή πιο απλά για να αποφασίσεις την βέλτιστη χρήση του make up ώστε να φαίνεται πολύ
πιο όµορφο. Τέλος η συγκεκριµένη πρακτική χρησιµοποιείται και στο photoshop ώστε οι
άνθρωποι να φαίνονται ωραιότεροι (Βάρβογλης 2003)
Η χρυσή τοµή όµως χρησιµοποιείται και στην αισθητική οδοντιατρική. ο Γκολντσταιν
χρησιµοποιεί την απεικόνιση σε υπολογιστή για να αποδείξει ότι ο τρόπος που τα δόντια
συµµετέχουν στο τόξο του στόµατος. Για παράδειγµα ένας κεντρικός τοµέας µε πλάτος 8mm
δεν έχει καλή αναλογία µε έναν πλάγιο τοµέα 7 mm. Εντούτοις αν ο τελευταίος στραφεί κατά
µία γωνία τότε ο συνωστισµός µπορεί να κάνει τα δόντια να φαίνονται καλά και ταυτόχρονα
65
να επαληθεύεται η χρυσή τοµή στο στόµα µας.
(Meisner 2012)
Στο πλαίσιο αυτής της εργασίας, ως τέχνηµα και ως µελέτη, αποφάσισα να προσπαθήσω να
ελέγξω αν υπάρχει χρυσή τοµή στα πρόσωπα διαφόρων αναγνωρίσιµων ανθρώπων της
εποχής µας. Συνέλεξα από το διαδίκτυo φωτογραφίες διαφόρων ανθρώπων, πολιτικών,
µοντέλων, ηθοποιών αλλά και τυχαίων ανθρώπων της καθηµερινότητας και τις συνέκρινα
ηλεκτρονικά µε την βοήθεια της µάσκας του Marquarnt.
Παρατήρησα ότι οι άνθρωποι που κατά την υποκειµενική µου άποψη είναι όµορφοι είχαν
πρόσωπα πολύ κοντά , έως ταυτόσηµα (Merilin Monroe) µε την µάσκα,
Η µάσκα
http://bit.ly/1ajUkUo
66
ΑΛΛΑ
_______________________________________________________
ΜΟ∆Α
Μόδα είναι η παραδοσιακή συνήθεια στο ντύσιµο που γενικεύεται σε ορισµένο χρόνο και σε
ορισµένη κοινωνία. Αναφέρεται στο ρουχισµό, στα υποδήµατα, στην κόµµωση, στα
κοσµήµατα αλλά και στο τρόπο συµπεριφοράς και συνδυάζεται συνήθως µε την καινοτοµία
και την απελευθέρωση, ενώ αντιτίθεται προς τον συντηρητισµό
Πηγή: Ελλαδική Έγχρωµη Παγκόσµια Εγκυκλοπαίδεια, Εκδόσεις Γιάννης Ρίζου 1993, Τόµος
9, σελ. 177-178
http://thefashioncode.com/behind-the-code
Για εκατοµµύρια χρόνια η χρυσή τοµή αποτελεί το κύριο µυστικό της οµορφιάς και της
καλαισθησίας. Ο αριθµός “φ” γίνεται εύκολα αντιληπτός σε πολλές πλευρές της ζωής µας,
µια από αυτές είναι και η µόδα. Στον χώρο αυτό, ο αριθµός “φ” ονοµάζεται “κώδικας της
µόδας” ή “θεία αναλογία”. Ο αριθµός “φ” που αντιστοιχεί στο 1,688, στην µάδα απλοποιείται
και γίνεται 1,5.
Όπως αναφέρει η µεγάλη σχεδιάστρια Coco Chanel, ‘’εάν µόδα είναι µορφή αρχιτεκτονικής,
τότε γιατί οι οίκοι µόδας να µην χρησιµοποιούν τις ίδιες αναλογίες µε αυτές που
χρησιµοποιούν οι αρχιτέκτονες;’’ που στην περίπτωσή µας είναι ο χρυσός κανόνας.
Κάποιοι αναλυτές πιστεύουν ότι η Coco Chanel χρησιµοποίησε τον αριθµό “φ” στα σχέδιά
της. Για παράδειγµα, σχεδίασε τις στενές φούστες που φτάνουν έως κάτω από τα γόνατα
σύµφωνα µε την ανατοµία του σώµατος. Στην πραγµατικότητα, η αναλογία των ρούχων της
ήταν φτιαγµένη µε βάση το αριθµό “φ”.
67
Πιθανά, όλοι οι µεγάλοι οίκοι µόδας χρησιµοποίησαν την θεία αναλογία από ένστικτο. Όπως
Dior, Hermes, Gucci and Burberry. Παρόλα αυτά πολλοί πιστεύουν ότι η σκόπιµη χρήση του
“φ” στο σχεδιασµό ενδυµάτων είναι ακραία, δηλαδή ότι η πολλή επιστήµη στην τέχνη µειώνει
την οµορφιά. Μερικές φορές, η οµορφιά της υψηλής ραπτικής είναι στην ατέλεια της. Ο
συνδυασµός της αρµονίας των αναλογιών µε χαοτικά µοτίβα ή µη συµβατικά σχέδια είναι
αυτό που οδηγεί ένα ρούχο στην κορυφή. Και ως γνωστών η µόδα ξεκινά εκεί που τελειώνει
πρόβλεψη. Για παράδειγµα ο Jean Paul Gautier χρησιµοποίησε την αρµονία και την
ισορροπία του αριθµού “φ” σε πολλές από τις επιδείξεις του σε συνδυασµό µε τον δικό του
προσωπικό χαρακτήρα.
Οι περισσότεροι άνθρωποι πιστεύουν ότι η µόδα είναι µόνο για τα µοντέλα µε τις τέλειες
αναλογίες σώµατος. Αυτή η άποψη είναι λανθασµένη . Έρευνες έχουν δείξει ότι η εφαρµογή
του χρυσού κανόνα στα καθηµερινά µας ρούχα µπορεί να µας κάνει να φαινόµαστε πιο
αδύνατοι και πιο ψηλοί.
Για παράδειγµα, η φούστα που φοράει η κοπέλα της φωτογραφίας αντιπροσωπεύει το τέλειο
τετράγωνο της αναλογίας, που είναι φ-1. Η χρυσή τοµή γίνεται αντιληπτή και στην περιοχή
από τη µέση µέχρι τα δάχτυλα του ποδιού.
http://www.usatodayeducate.com/staging/index.php/styles/how-fashion-is-actually-just-a-bunch-of-math
Ένα άλλο κλασσικό παράδειγµα εφαρµογής του χρυσού κανόνα στα καθηµερινά γυναικεία
ρούχα είναι “το κόψιµο” του λαιµού στο σακάκι. Το χρυσό τρίγωνο (σχήµα 1) που αποτελεί
68
εφαρµογή του αριθµού “φ”, είναι η βάση για τη ραφή της γραµµής του λαιµού –της
λαιµόκοψης.
Σχήµα 1. Το χρυσό τρίγωνο. http://mathworld.wolfram.com/GoldenTriangle.html
Η γραµµή του λαιµού ακόµα και στο καθηµερινό γυναικείο ρούχο αποτελεί στοιχείο που
τονίζει την αισθητική. Στο σχήµα 2 παρατηρούµαι την απλή “V” λαιµόκοψη, ενώ στα σχήµατα
3 και 4 παρατηρούµε περισσότερο περίπλοκες γραµµές λαιµού βασισµένες στο χρυσό
τρίγωνο.
Σχήµα 2. Η εφαρµογή του χρυσού τριγώνου στην “V” λαιµόκοψη (Kazlacheva Zl, Ilieva I. The golden triangle in
fashion design. In Textures of the Future, Proceedings of the International Symposium in Knitting and Apparel ISKA 2013, pp. 187-193, 21-22 June 2013, Iasi, Romania)
69
Σχήµα 3. Η εφαρµογή του χρυσού τριγώνου σε µια περισσότερο περίπλοκη γραµµή λαιµού (Kazlacheva Zl,
Ilieva I. The golden triangle in fashion design. In Textures of the Future, Proceedings of the International
Symposium in Knitting and Apparel - ISKA 2013, pp. 187-193, 21-22 June 2013, Iasi, Romania)
Σχήµα 4. Η εφαρµογή του χρυσού τριγώνου στην ασύµµετρη γραµµή λαιµού (Kazlacheva Zl, Ilieva I. The
golden triangle in fashion design. In Textures of the Future, Proceedings of the International Symposium in
Knitting and Apparel - ISKA 2013, pp. 187-193, 21-22 June 2013, Iasi, Romania)
70
Συµπερασµατικά, η θεία αναλογία και η εφαρµογές της (φ-1, φ+1 και χρυσό τρίγωνο) είναι
παρούσες στον χώρο της µόδας είτε στην υψηλή ραπτική ή στα καθηµερινά ρούχα
προάγοντας στην αισθητική, την οµορφιά και την θηλυκότητα.
ΑΘΛΗΤΙΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερεύνησα εάν υπάρχει η χρυσή αναλογία στα γήπεδα: αντισφαίρισης, καλαθοσφαίρισης,
ποδοσφαίρου, επιτραπέζιας αντισφαίρισης και πετοσφαίρισης. Μετά από την συγκοµιδή
πληροφοριών για τις διαστάσεις των γηπέδων , διαίρεσα τα µήκη µε τα πλάτη αναζητώντας
τον αριθµό ‘φ’ 1.618 . Η έρευνα µου ολοκληρώθηκε σε πρώτη φάση µε το να µην συναντήσω
πουθενά χρυσή τοµή διαιρώντας τις περιφερειακές γραµµές των γηπέδων. Σε δεύτερη φάση
βρήκα τις διαστάσεις των γραµµών εντός των γηπέδων αλλά ούτε εκεί συνάντησα τον αριθµό
‘φ’ .
Παρακάτω βρίσκονται οι διαιρέσεις όπου έγιναν για την αναζήτηση της χρυσής τοµής στις
περιφερειακές γραµµές των γηπέδων .
•Γήπεδο αντισφαίρισης
πλάτος : 10,97 µέτρα
µήκος : 23,75 µέτρα
αποτέλεσµα : 2,164…
•Γήπεδο καλαθοσφαίρισης
πλάτος : 15 µέτρα
µήκος : 28 µέτρα
αποτέλεσµα : 1,866…
• Γήπεδο Ποδοσφαίρου
πλάτος :45-90 µέτρα
µήκος :90-120 µέτρα
αποτέλεσµα 45 και 90 µέτρα : 2
αποτέλεσµα 90 και 120 µέτρα :1,333…
•Γήπεδο επιτραπέζιας αντισφαίρισης
πλάτος : 1,525 µέτρα
µήκος : 2,74 µέτρα
αποτέλεσµα : 1,796…
•Γήπεδο Πετοσφαίρισης
πλάτος : 9 µέτρα
µήκος : 18 µέτρα
71
αποτέλεσµα : 2
Το τέχνηµα : Αποφάσισα να φτιάξω εγώ ένα ποδοσφαιρικό γήπεδο όπου οι διαστάσεις του
θα περιείχαν χρυσή τοµή . Η επιλογή του συγκεκριµένου γηπέδου έγινε διότι το ∆ιεθνές
Ποδοσφαιρικό Συµβούλιο έχει αποφασίσει πως τα γήπεδα πρέπει να είναι, το πλάτος τους
από 45 έως 90 µέτρα και το µήκος από 90 έως 120 µέτρα ( Για διεθνείς ποδοσφαιρικούς
αγώνες το µήκος της πλάγιας γραµµής πρέπει να κυµαίνεται από 100 µέχρι 110 µέτρα και η
γραµµή τέρµατος από 64 µέχρι 75 µέτρα , επίσης το ∆ιεθνές Ποδοσφαιρικό Συµβούλιο
ενέκρινε το 2008 τυποποιηµένα µεγέθη , 105 µέτρα για την πλάγια γραµµή και 68 µέτρα για
τη γραµµή τέρµατος ) έτσι είχα την δυνατότητα να θέσω πλάτος και µήκος εντός τον ορίων
όπου η διαίρεση µήκους προς πλάτος να µου έδινε τον πολυπόθητο αριθµό 'φ' . Η αναλογία
105 µέτρα µήκος και 64,89µέτρα πλάτος µας δίνει ως αποτέλεσµα διαίρεσης τον αριθµό
1,618 ! Η κλίµακα του τεχνήµατος µου είναι 1:300 δηλαδή κάθε 1 εκατοστό γραφικών
διαστάσεων αντιστοιχεί σε 300 εκατοστά πραγµατικών διαστάσεων.
Τις διαστάσεις των γηπέδων τις βρήκα από τις ιστοσελίδες των ακόλουθων οµοσπονδιών :
FIFA (ποδόσφαιρο), FIBA (καλαθοσφαίριση) , FIVB (πετοσφαίριση ), ITF(αντισφαίριση),
ITTF (επιτραπέζια αντισφαίριση).
Την σηµασία της λέξης ‘κλίµακα’ από τη wikipedia .
ΛΟΓΟΤΥΠOI
Apple
Η apple είναι µια πολυεθνική εταιρεία µε έδρα την California που σχεδιάζει,
κατασκευάζει και πουλά ηλεκτρονικά είδη όπως υπολογιστές, λογισµικά υπολογιστών, κινητά
και tablets. Η εταιρεία Ιδρύθηκε στη 1 Απριλίου του 1976 απ’ τον πασίγνωστο Steve Jobs
72
ενώ µπήκε στο χρηµατιστήριο στις 3 Ιανουαρίου το 1977.
Η apple είναι η δεύτερη µεγαλύτερη εταιρεία ηλεκτρονικών στον κόσµο σε ό,τι αφορά
το εισόδηµα ενώ είναι τρίτη στην παραγωγή κινητών
Το λογότυπο της apple αρχικά ήταν πολύχρωµο ενώ δεν είχε σχεδιαστεί µε βάση τον
κανόνα της χρυσής τοµής µε αποτέλεσµα να µην είναι αισθητικά ωραίο. Στη συνέχεια όµως
ξανασχεδιάστηκε και έγινε ένα απ’ τα γνωστότερα λογότυπα. Ένα ερώτηµα που απασχόλησε
πολύ κόσµο για πολλά χρόνια είναι αν όντως το νέο λογότυπο κατασκευάστηκε µε βάση τη
χρυσή τοµή ή όχι. Σύµφωνα µε πηγή, το λογότυπο της apple
∆ΕΝ είναι κατασκευασµένο
βάσει της χρυσής τοµής, µια και οι κύκλοι που σχηµατίζουµε δεν έχουν αναλογία ακτινών ίση
µε περίπου 1,61. Επίσης το φύλλο που βρίσκεται πάνω απ΄ το σχήµα δε συµπίπτει µε την
περιφέρεια του κύκλου που εφάπτεται στα άκρα του (Γιανναγάς) (http://b.qr.ae/107NkZ5)
http://b.qr.ae/19dmLCK http://bit.ly/TqlXEo http://en.wikipedia.org/wiki/Apple_Inc.
Atari
Η Atari είναι µια Γιαπωνέζικη εταιρεία η οποία παρασκευάζει ηλεκτρονικά παιχνίδια
κονσόλες και υπολογιστές από το 1972 όπου ιδρύθηκε. Το 1984, εξ αιτίας της µεγάλης
κρίσης των ηλεκτρονικών παιχνιδιών στην Ιαπωνία, η εταιρεία χωρίστηκε σε 2 άλλες, η µία
εκ των οποίων κατασκεύαζε παιχνίδια και η άλλη ηλεκτρονικά προϊόντα κατανάλωσης. Το
73
1998 η Hasbro αγόρασε την Atari και την µετονόµασε σε Atari interactive. Στη συνέχεια, το
2001 η infogames interactive αγόρασε την Hasbro και αργότερα, το 2003 µετονόµασε την
Atari interactive σε Atari Inc. που ήταν το αρχικό της όνοµα. http://en.wikipedia.org/wiki/Atari
Όσον αφορά το λογότυπό της, πολλοί υποστηρίζουν πως δεν σχεδιάστηκε τυχαία.
Όντως αν κανείς µελετήσει το σχήµα θα προσέξει πως η χρυσή αναλογία έχει
χρησιµοποιηθεί για την κατασκευή του
National Geographic
Η National Geographic Society (Εθνική Γεωγραφική Εταιρεία), µε έδρα στην Ουάσιγκτον των
Ηνωµένων Πολιτειών, είναι µία από τις µεγαλύτερες εκπαιδευτικές και επιστηµονικές, µη
κερδοσκοπικές, οργανώσεις παγκοσµίως. Στα ενδιαφέροντα της περιλαµβάνονται η
γεωγραφία, η αρχαιολογία και οι φυσικές επιστήµες, η προώθηση της περιβαλλοντικής και
ιστορικής συντήρησης και η µελέτη του παγκόσµιου πολιτισµού και ιστορίας.
Η National Geographic Society ιδρύθηκε στην Ουάσιγκτον στις 27 Ιανουαρίου 1888 από
τριάντα τρεις εξερευνητές και επιστήµονες, οι οποίοι ενδιαφέρθηκαν για «την οργάνωση µιας
Εταιρείας για την αύξηση και τη διάδοση της γεωγραφικής γνώσης». Οι συζητήσεις για την
δηµιουργία της είχαν αρχίσει δύο εβδοµάδες νωρίτερα, στις 13 Ιανουαρίου, προτού
συγκεντρωθούν στη λέσχη Κόσµος. Ο Γκάρντινερ Γκρην Χάµπαρντ (Gardiner Greene
Hubbard) έγινε ο πρώτος πρόεδρός της και ο γαµπρός του, Αλεξάντερ Γκράχαµ Μπελ
74
(Alexander Graham Bell) τον διαδέχτηκε µετά το θάνατό του, το 1897. Ο γαµπρός του Μπελ,
Γκίλµπερτ Χόβεϊ Γκρόσβενορ (Gilbert Hovey Grosvenor) έγινε ο πρώτος συντάκτης του
περιοδικού National Geographic, υπηρετώντας την οργάνωση για πενήντα πέντε χρόνια, ενώ
τα µέλη της οικογένειας Γκρόσβενορ έχουν διαδραµατίσει σηµαντικό ρόλο στην οργάνωση
συνολικά. Ο Μπελ και ο γαµπρός του, Γκρόσβενορ, καθιέρωσαν την έννοια του µάρκετινγκ
µέσω της ιδιότητας µέλους, καθώς και την σηµαντική χρήση των φωτογραφιών στα
περιοδικά. Ο σηµερινός πρόεδρος του συµβουλίου των επιτρόπων, ο Γκίλµπερτ Μέλβιλ
Γκρόσβενορ (Gilbert Melville Grosvenor), έλαβε το Προεδρικό Μετάλλιο της Ελευθερίας
(Presidential Medal of Freedom) το 2005 για την συνεισφορά της National Geographic
Society στη γεωγραφική εκπαίδευση. Το 2004, η έδρα της National Geographic στην
Ουάσιγκτον έγινε ένα από τα πρώτα κτίρια που έλαβαν την «πράσινη» πιστοποίηση από την
Global Green USA. Η National Geographic Society έλαβε το Βραβείο Prince of Asturias τον
Οκτώβριο του 2006.
Θυµηθείτε το κίτρινο τετράγωνο στο λογότυπο του National Geographic. Έχετε ποτέ
αναρωτηθεί γιατί ένα τόσο απλό λογότυπο φαίνεται να είναι τόσο ελκυστικό; Η απάντηση
είναι, όπως ίσως γνωρίζετε, η χρυσή αναλογία! Το µήκος και το πλάτος του τετραγώνου
έχουν µια αναλογία 1,61. Είναι αρκετά ταιριαστό για έναν οργανισµό µε σύνθηµα «εµπνέουµε
τους ανθρώπους να νοιάζονται για τον πλανήτη" να έχει ένα λογότυπο µε βάση το χρυσό
ορθογώνιο.
75
Mercedes-Benz
Η Mercedes-Benz είναι µία γερµανική εταιρεία κατασκευής πολυτελών επιβατικών
αυτοκινήτων, καθώς και φορτηγών. Παλαιότερα η εταιρεία ονοµαζόταν επίσηµα DaimlerBenz AG και το Mercedes ήταν µόνο το όνοµα των αυτοκινήτων της. Ιδρύθηκε στη σηµερινή
της µορφή το 1926, µε την ένωση των εταιριών Daimler-Motoren-Gesellschaft και Benz &
Cie. Οι κυριότεροι ανταγωνιστές της είναι οι BMW, Audi, Lexus, ενώ ειδικότερα στις ΗΠΑ
είναι οι Cadillac και Lincoln.
Η εταιρεία ιδρύθηκε από την συνεργασία Gottlieb Daimler και Wilhelm Maybach. Mercedes
είναι το όνοµα της µεγαλύτερης κόρης του Maybach, ενώ η Benz ήρθε ως αποτέλεσµα της
συγχώνευσης µε την Benz και Cie το 1926.
Μια χρυσή σελίδα στην ιστορία των αυτοκινήτων γράφτηκε όταν οι δύο γίγαντες της
αυτοκινητοβιοµηχανίας Benz & Cie και η Daimler Motoren Gesellschaft (DMG)
συγχωνεύθηκαν για να δηµιουργήσουν µια νέα ταυτότητα που είναι γνωστή ως MercedesBenz. Η καυτή αµφισβητούµενη αντιπαλότητα µετατράπηκε σε φιλία, όταν οι δύο εταιρείες
αποφάσισαν να ενώσουν τα χέρια και να ξεκινήσει µια νέα εποχή της αυτοκίνητης αριστείας.
Το πνεύµα του να κάνει κάτι το εξαιρετικό έδωσε δρόµο στη δηµιουργία ενός λογοτύπου που
ενσάρκωνε το πνεύµα της νεοσύστατων εταιρειών. Το λογότυπο της Mercedes-Benz µπορεί
να χαρακτηριστεί ως το πιο αναγνωρισµένο λογότυπο στον κόσµο της αυτοκίνησης και είναι
εξαιρετικά δηµοφιλής σε όλο τον κόσµο. Το λογότυπο της Mercedes είναι µια δηµιουργία του
Gottlieb Daimler, ο οποίος χάραξε µια θέση η οποία είναι µια εξαιρετική αντανάκλαση της
τάξης, της αριστείας και της ακεραιότητας.
Από µετρήσεις έχει αποδειχτεί πως ο λογότυπος της Mercedes-Benz έχει βασιστεί στην
χρυσή τοµή, στον αριθµό φ. Από την αναλογία του λογοτύπου βγάζουµε τον αριθµό 1,6.
76
Πηγές:
Wikipedia, National Geographic Society,
(http://el.wikipedia.org/wiki/National_Geographic_Society)
Wikipedia, Mercedes-Benz,
(http://el.wikipedia.org/wiki/Mercedes-Benz)
Saikat Banerjee, Golden Ratio in logo designs, July 29, 2011,
(http://www.banskt.com/blog/golden-ratio-in-logo-designs/)
David Airey, Logo Design Love, 30 November 2009,
(http://www.logodesignlove.com/mercedes-benz-logo-evolution)
Famous Logos, (http://www.famouslogos.us/mercedes-logo/)
Λογότυποι
Ορισµός: σύντοµο κείµενο (όνοµα, τίτλος, φράση κτλ.) ή και σχέδιο σε µια τυποποιηµένη
γραφιστική µορφή, που αποτελεί την ταυτότητα ενός προϊόντος, µιας επιχείρησης, ενός
εντύπου. Από τα αρχαία χρόνια ήταν γνωστή η ιδιότητα της όµορφης οπτικής των
πραγµάτων που ακολουθούν µια συγκεκριµένη αναλογία στο σχεδιασµό τους. Η αναλογία
αυτή, λέγεται χρυσή τοµή και πρόκειται για σταθερά που συµβολίζεται µε το γράµµα φ προς
τιµήν του γλύπτη Φειδία που φαίνεται να την έχει χρησιµοποιήσει κατά κόρον στην
αρχιτεκτονική του Παρθενώνα. Ως Χρυσή Τοµή ορίζεται η αναλογία κατά την οποία δύο µέρη
α και β υπακούν στην αναλογία (α + β)/α = α/β.
http://www.sciencefax.gr/mathimatika/golden-ratio-logos/
77
Την χρυσή τοµή µπορούµε να την βρούµε σε πολλά διάσηµα λογότυπα όπως της Apple, της
bp , της Toyota και της pepsi
Pepsi
Ιστορία:Η Pepsi Cola, όπως και η Coca Cola, είναι δηµιούργηµα ενός φαρµακοποιού. Ο
Κάλεµπ Μπράνταµ (1867-1934) το καλοκαίρι του 1898 σκέφθηκε να φτιάξει ένα ποτό για να
δροσίζει την πελατεία του στο Νιου Μπερν της πολιτείας της Βόρειας Καρολίνας. Ανέµιξε
εκχυλίσµατα Colaς, βανίλια και αιθέρια έλαια και δηµιούργησε ένα αναψυκτικό, το οποίο
ονόµασε Brad's Drink. Η µεγάλη επιτυχία του ποτού στην τοπική κοινωνία τον ώθησε να
ξεκινήσει την εµπορική του εκµετάλλευση. Το µετονόµασε σε Pepsi Cola και ξεκίνησε
διαφηµιστική καµπάνια. Το όνοµα Pepsi έχει ελληνικές ρίζες. Προέρχεται είτε από τη λέξη
δυσπεψία (dyspepsia στα αγγλικά) µιας και ο Μπράνταµ το πρότεινε ως χωνευτικό ή τη λέξη
πεψίνη (pepsin στα αγγλικά), το ένζυµο που διευκολύνει την πέψη.
Οι δουλειές πήγαιναν πολύ καλά κι έτσι ο Μπράνταµ αποφάσισε να ιδρύσει την εταιρεία The
Pepsi Cola Company, την οποία στέγασε αρχικά στην αυλή του φαρµακείου του. Στις 16
Ιουνίου 1903 η Pepsi Cola κατοχυρώθηκε ως εµπορικό σήµα, ενώ στο τέλος του 1910 το
αναψυκτικό είχε παρουσία σε 24 πολιτείες των ΗΠΑ, χάρη στο µοντέλο της δικαιόχρησης
(franchising) που εφάρµοσε ο Μπράνταµ.Τη δεκαετία του '20 το επιχειρηµατικό άστρο του
Μπράνταµ άρχισε να δύει. Μία σειρά από παράτολµες επιχειρηµατικές κινήσεις τον έφεραν
στα πρόθυρα της χρεωκοπίας. Το 1929 η Pepsi έφθασε ένα βήµα πριν από την πτώχευση,
εξαιτίας της Μεγάλης Ύφεσης και της σηµαντικής αύξησης της διεθνούς τιµής της ζάχαρης. Η
εταιρεία πουλήθηκε στον επιχειρηµατία Ρόι Μέγκαρτζελ, αλλά επτά χρόνια αργότερα το
φάντασµα της πτώχευσης άρχισε να πλανάται και πάλι πάνω από το Νιου Μπερν, παρότι η
Pepsi µε µια έξυπνη τιµολογιακή πολιτική είχε κατορθώσει να απειλήσει την πρωτοκαθεδρία
της Coca Cola.
Από το αδιέξοδο την έβγαλε το 1937 ο Τσαρλς Γκαθ, επικεφαλής µιας αλυσίδας
καταστηµάτων µε ζαχαρωτά µε την επωνυµία Loft. Ο Γκαθ ήθελε να κοντράρει την Coca
Cola, επειδή δεν του έκανε αρκετή έκπτωση στα προϊόντα της και αποφάσισε να αγοράσει
την ανταγωνίστριά της Pepsi. Την αναδιοργάνωσε και στα τέλη της δεκαετίας του '30 η Pepsi
ήταν και πάλι µια υγιής επιχείρηση µε κέρδη, µετά από 15 χρόνια απωλειών. Όµως ο Γκαθ
βρέθηκε εκτός Loft µε απόφαση των µετόχων της, επειδή παραµέλησε την εταιρεία προς
χάρη του νέου του αποκτήµατος.
Τη διεύθυνση της Pepsi τη δεκαετία του '40 ανέλαβε ο Γουόλτερ Μακ. Ο νέος πρόεδρος,
γνωστός για τις προοδευτικές του ιδέες, αντελήφθη ότι η διαφηµιστική πολιτική της εταιρείες
αγνοούσε ένα µεγάλο και ανερχόµενο κοµµάτι της Αµερικής, τους µαύρους, όταν δεν
χρησιµοποιούσε τα εθνικά στερεότυπα εναντίον τους. Προσέλαβε µαύρους διαφηµιστές και
78
αναλυτές, ενώ χρησιµοποίησε το χαρτί του ρατσισµού, που ήταν καθεστώς τότε στην
Αµερική, για να πλήξει την Coca Cola, η οποία δεν προσελάµβανε εύκολα µαύρους εργάτες.
Η Pepsi φοβήθηκε ότι η µονοµανία του Μακ θα τις έκανε κακό µακροπρόθεσµα κι έτσι ο
Άλφρεντ Στιλ, που τον διαδέχθηκε στην προεδρία, προσανατολίστηκε στο χτίσιµο της εικόνας
του προϊόντος, µια πολιτική που συνεχίζεται µέχρι σήµερα. Το 1965 η The Pepsi Cola
Company ενώθηκε µε την εταιρεία τροφίµων Frito Lay και µετονοµάσθηκε σε PepsiCo.
Στις µέρες µας Pepsi Cola υπολείπεται σε µερίδια αγοράς της µεγάλης αντιπάλου της σε όλα
τα κράτη του κόσµου, εκτός της Σαουδικής Αραβίας, του Πακιστάν και των γαλλόφωνων
επαρχιών του Καναδά. Στη Ρωσία τα ποσοστά της µειώθηκαν ραγδαία µετά την κατάρρευση
του κοµµουνισµού, επειδή ταυτίστηκε από τους καταναλωτές µε την τέως Σοβιετική Ένωση,
όπου είχε το αποκλειστικό προνόµιο στην παραγωγή προϊόντων τύπου Cola. Στις ΗΠΑ, η
Pepsi κατέχει το 31,7% της αγοράς, ενώ η Coca Cola το 43,1%.
Η Pepsi εµφανίσθηκε στην ελληνική αγορά το 1973, τέσσερα χρόνια µετά την Coca Cola,
που ευνοήθηκε σκανδαλωδώς από τους δικτάτορες. Τα δικαιώµατα παραγωγής της τα
πρώτα χρόνια είχε η εταιρεία αναψυκτικών ΗΒΗ-Παναγόπουλος. Το 1983 εξαγοράστηκε από
την Pepsico και µετονοµάστηκε σε PepsiCo-HBH. To 1999 δηµιουργήθηκε µια νέα εταιρία, η
Pepsi Bottling Company, η οποία απορρόφησε την PepesiCo-HBH. Η Pepsi κατέχει µόλις το
15% της εγχώριας αγοράς αναψυκτικών τύπου Cola, ενώ συντριπτικά ανώτερο είναι το
ποσοστό της Coca Cola, που φθάνει στο 80%.
Λογότυπο:Το νέο λογότυπο της Pepsi ήταν πολύ πιο απλό και αποτελεσµατικό, το οποία
χαρακτηρίζεται από καθαρό σχεδιασµό. Φαίνεται ενδιαφέρον και όµορφο. Σχεδόν σαν ένα
γελαστό emoticon σε κόκκινο και µπλε. Αλλά ξέρατε ότι η υποκειµενική ραχοκοκαλιά του
λογότυπου Pepsi ακολουθεί τη χρυσή αναλογία; Η µάρκα Pepsi έχει δηµιουργηθεί από
τεµνόµενες κύκλους µε ένα σύνολο ανάλογα µε το κάθε άλλο. Και, το ποσοστό: Χρυσή
Αναλογία (φ)! http://www.banskt.com/blog/golden-ratio-in-logo-designs/
79
Toyota
Ιστορία:Η ιστορία της Toyota ξεκίνησε το 1933 µε ένα τµήµα της Toyoda Automatic Loom
Works να είναι αφιερωµένο στην παραγωγή των αυτοκινήτων , υπό τη διεύθυνση του γιου
του ιδρυτή , Kiichiro Toyoda . Kiichiro Toyoda είχε ταξιδέψει στην Ευρώπη και στις Ηνωµένες
Πολιτείες το 1929 να διερευνήσει την παραγωγή αυτοκινήτων και είχε ξεκινήσει την έρευνα
βενζινοκίνητων κινητήρων το 1930 . Toyoda Automatic Loom Works ενθαρρύνονται να
αναπτύξουν την παραγωγή αυτοκινήτων από την ιαπωνική κυβέρνηση, η οποία χρειάζεται
την εγχώρια παραγωγή των οχηµάτων , λόγω του πολέµου µε την Κίνα . Το 1934 , το τµήµα
παρουσίασε την πρώτη του Τύπου µια µηχανή , η οποία χρησιµοποιήθηκε στο πρώτο
µοντέλο A1 επιβατικών αυτοκινήτων Μάιο του 1935 και το φορτηγό G1 τον Αύγουστο του
1935. Η παραγωγή του µοντέλου επιβατικών αυτοκινήτων AA ξεκίνησε το 1936. Παρά το
γεγονός ότι η οµάδα της Toyota είναι περισσότερο γνωστή σήµερα για τα αυτοκίνητα της ,
εξακολουθεί να είναι στην επιχείρηση κλωστοϋφαντουργίας και εξακολουθεί να κάνει
αυτόµατη αργαλειούς , οι οποίες µηχανοργάνωση , και ηλεκτρικές ραπτοµηχανές τα οποία
είναι διαθέσιµα σε όλο τον κόσµο. http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Toyota
Λογότυπο: Η Toyota Motor Corporation είναι γνωστή σε όλο τον κόσµο για αυτοκίνητα,
φορτηγά, ηµιφορτηγά,ροµπότ και άλλα προϊόντα. Το λογότυπο της Toyota µπορεί να
περιγραφεί ως η απλότητα στα καλύτερά της, η οποία φέρει επίσης ένα νόηµα. Το αρχικό
όνοµα της εταιρείας ήταν Toyoda που άλλαξε στην Toyota, όπως αυτή η λέξη είναι γραµµένη
µε οκτώ πινελιές και θεωρήθηκε ότι είναι ευοίωνο για την εταιρεία. Η απόφαση έφερε πολλά
τύχη και επιτυχία για την εταιρεία και σήµερα στέκεται ως ένας από τους µεγαλύτερους
κατασκευαστές αυτοκινήτων στον κόσµο.
Το λογότυπο της Toyota θεωρείται ότι είναι το βασικό στοιχείο πίσω από την εκπληκτική
επιτυχία της εταιρείας, η οποία βοήθησε να γίνει ο ηγέτης του κόσµου του αυτοκινήτου. Το
λογότυπο είναι ένα σηµάδι της κοµψότητας και της απλότητας και είναι ένα θαυµάσιο µείγµα
των στιλπνότητα, το στυλ, την απόλυτη έλξη και την πρακτικότητα.
http://www.famouslogos.us/toyota-logo/
80
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΕΠΙΛΟΓΟΣ
__________________________________________________________
Μέσα από την έρευνά αυτή διαπιστώσαµε ότι τελικά ο χρυσός λόγος είναι κύριο συστατικό
τόσο της φύσης όσο και του πολιτισµού µας. Χάρη σε αυτόν, είµαστε σε θέση να
απολαµβάνουµε την αρµονία του περιβάλλοντος στο οποίο ζούµε, και να κατασκευάζουµε
µνηµεία ασυναγώνιστης οµορφιάς. Έπειτα, ως οµάδα µάθαµε πολλά πράγµατα σε σχέση µε
τη θεία αναλογία και τη χρήση της, κερδίζοντας εγκυκλοπαιδικές γνώσεις που µας
επιτρέπουν να κατανοήσουµε καλύτερα τον κόσµο γύρω µας. Το µεγαλύτερο όµως κέρδος
που αποκοµίσαµε από αυτή την εργασία, είναι το πνεύµα οµαδικότητας, µε το οποίο
καταφέραµε να φτάσουµε σε ένα πολύ καλό επίπεδο συνεργασίας, ευχάριστης και
σηµαντικής για όλους µας. Είναι φυσικό µια τέτοια έρευνα να εγείρει νέα ερωτήµατα.
Υπάρχουν άλλοι αριθµοί παρόµοιοι του Φ; Τι ιδιότητες έχουν; Πού τους συναντάµε και ποιος
είναι ο ρόλος τους στη ζωή µας;
ΤΕΧΝΗΜΑΤΑ
__________________________________________________________
Στα πλαίσια της ερευνητικής εργασίας, όλα τα άτοµα της ερευνητικής οµάδας δηµιούργησαν
ένα τέχνηµα σχετικό µε την εργασία. Συγκεκριµένα:
1. ∆ηµιουργία Λογότυπου του Project
2. ∆ηµιουργία Λογότυπου του Project
81
3. ∆ηµιουργία Προγράµµατος
4. Σύνθεση Μουσικού κοµµατιού µε εφαρµογή της χρυσής αναλογίας
5. Κατασκευή χάρτινων λουλουδιών (origami)
6. ∆ηµιουργία Προγράµµατος υπολογισµού χρυσής αναλογίας
7. ∆ηµιουργία Προγράµµατος
8. Ζωγραφιά µε χρυσή αναλογία
9. Φωτογραφίες µε χρυσή αναλογία
10. Πειραµατικός Υπολογισµός ανθρώπινων αναλογιών
11. Φωτογραφίες µε χρυσή αναλογία
12. Σχεδίαση ρούχων µε χρυσή αναλογία
13. Σχεδίση κτιρίου µε εφαρµογή της χρυσής τοµής
14. ∆ηµιουργία Λογότυπου του Project
15. Κατασκευή του αρχαίου οργάνου µονόχορδο
16. Κατασκευή γηπέδου µε χρυσές αναλογίες
17. ∆ηµιουργία Κολάζ
18. Κατασκευή µακέτας µε πυραµίδες που εφαρµόζεται η χρυσή τοµή
19. Σύνθεση Ποιήµατος
(Σηµείωση: τα ονοµατεπώνυµα των µαθητριών/µαθητών έχουν διαγραφεί στη ∆ιαδικτυακή
έκδοση της εργασίας).
82
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
_______________________________________________________
ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Αργυρόπουλος Ηλίας, Βλάµος Παναγιώτης, Κατσούλης Γεώργιος, Μαρκάτης Στυλιανός, Σιδέρης Πολυχρόνης,
Ευκλείδεια Γεωµετρία, ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος
Βάρβογλης Χάρης,Οστρακα, κυκλώνες, γαλαξίες και χρυσή τοµή,διαθέσιµο στο ∆ιαδικτυακό τόπο:
http://www.tovima.gr/science/article/?aid=154503
(Προσπελάστηκε
στις
13/
1/
2014).
http://www.tovima.gr/science/article/?aid=154503
Εγκυκλοπαίδεια, Παγκόσµια Ελληνική εγκυκλοπαίδεια , Εκδόσεις Γιάννης Ρίζου 1993, Τόµος 9, σελ. 177-178
Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, Τόµος 48, Πάπυρος
Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, Τόµος 8, Πάπυρος
Εγκυκλοπαίδεια παγκόσµιας µουσικής ( ENCICLOPEDIA BOMPIANI - MUSICA), Εκδόσειες Αλκυών, 1993 ,
Τόµος 4, σελ.458
Εγκυκλοπαίδεια Παγκόσµιας Μουσικής ( ENCICLOPEDIA BOMPIANI - MUSICA), Εκδόσειες Αλκυών, 1993 ,
Τόµος 4, σελ. 453
Ελλαδική Έγχρωµη Παγκόσµια Εγκυκλοπαίδεια, Εκδόσεις Γίαννη Ρίζου, 1993, Τόµος 11, σελ. 148 - 149
Λυγερός Ν., Το πρόβληµα της συµµετρίας του ανθρώπου του Βιτρούβιου του Leonardo da Vinci, διαθέσιµο στο
∆ιαδικτυακό τόπο: http://lygeros.org/3548-gr.php. (Προσπελάστηκε στις 28/ 11/ 2013).
ΜΕΓΑΛΗ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΕΓΚΥΚΛΟΠΕ∆ΙΑ, 20ος τόµος, Συνταγµα ωωδής, 1968,Κ. Εµµανουηλ - ∆. ΚΙΤΣΙΑ κ’
ΣΙΑ, Αθήνα`
Μόσχος Αλέξανδρος, Ο θαυµαστός κόσµος των µαθηµατικών, ∆ιαθέσιµο στο δικυακό τόπο:
http://mathmosxos.blogspot.gr/ ( προσπελάστηκε: 11/01/14 )
Μ. Τουµάσης, Χρυσή Τοµή-Fibonacci-Λαγοί και Λουλούδια.
Παπαδοπουλος
Παυλος,
Η
µάσκα
της
απόλυτης
οµορφιάς!,
διαθέσιµο
στο
∆ιαδικτυακό
τόπο:http://www.tovima.gr/culture/article/?aid=92490.(Προσπελάστηκε στις 10/ 1/ 2014)
Πόλης Μιχάλης Α., Χρυσή τοµή, ακολουθία Fibonacci, φύση και άνθρωπος, λίµα Χρυσή τοµή και ανθρώπινο
σώµα, διαθέσιµο στο ∆ιαδικτυακό τόπο: http://bit.ly/HiSrzg. (Προσπελάστηκε στις 30/ 11/ 2013)
http://bit.ly/1ieNwga
Σωτηριάδης Σ., Παππαδόπουλος Γ., Σκαπή Β., 2012, “Χρυσή τοµή και εφαρµογές της”, 4ο µαθητικό συνέδριο
πληροφορικής, Νόησης, Θεσσαλονίκης, 4 Μαίου 2012
ΞΕΝΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
83
Devlin KateHuman heart follows the 'golden ratio' for beauty
http://bit.ly/1aXCWVw(Προσπελάστηκε στις 13/ 1/ 2014)
Famous Logos, (http://www.famouslogos.us/mercedes-logo/)
Gary Meisner,Human Beauty and the Golden Ratio, διαθέσιµο στο ∆ιαδικτυακό τόπο:
http://www.goldennumber.net/beauty/(Προσπελάστηκε στις 30/ 11/ 2013)
Golden Ratio in Animals,(http://bit.ly/17JJysG)
Kazlacheva
Zl, Ilieva I. The golden triangle in fashion design. In Textures of the Future, Proceedings of the
International
Symposium in Knitting and Apparel - ISKA 2013, pp. 187-193, 21-22 June 2013, Iasi,
Romania
Lateralus ( http://bit.ly/1awJYQX , http://bit.ly/1cQ46lk ) ( προσπελάστηκε: 11/01/14 )
David Airey, Logo Design Love, 30 November 2009, (http://www.logodesignlove.com/mercedes-benz-logoevolution)
Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (2002), Broadway New
York Books, ∆ιαθέσιµο στον δυκτυακό τόπο: http://bit.ly/1ca7lj1 (προσπελάστηκε: 11/01/14)
Saikat Banerjee, Golden Ratio in logo designs, July 29, 2011, (http://www.banskt.com/blog/golden-ratio-in-logodesigns/)
Τhegoldenmuseum.com
Thefashioncode.com/behind-the-code
Wikipedia, National Geographic Society, (http://el.wikipedia.org/wiki/National_Geographic_Society)
Wikipedia, Mercedes-Benz, (http://el.wikipedia.org/wiki/Mercedes-Benz)
Wikipedia,Palazzo Ducale di Venezia, http://en.wikipedia.org/wiki/Doge's_Palace,_Venice
Basilica di San Marco, http://en.wikipedia.org/wiki/St_Mark's_Basilica
Palazzo Vecchio, http://en.wikipedia.org/wiki/Palazzo_Vecchio
Basilica de Santa Maria Novella, http://en.wikipedia.org/wiki/Basilica_of_Santa_Maria_Novella
World Mysteries- science Mysteries, Fibonacci Numbers and golden section in Nature, http://bit.ly/19R4PnK
84

Εµπειρική Έρευνα σε εκπαιδευτικούς για το µάθηµα Ανάπτυξη

Άννα Αγραφιώτη - Σύλλογος Αποφοίτων των Εκπαιδευτηρίων

Halkidiki hotels brochure

Μελίνα Λασηθιωτάκη - eClass

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ - 39ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ

Η εργασία

Ενότητα 10η

Για τιμές υλικών αμμοβολής κάνετε click εδώ

Κατεβάστε το αρχείο

Η τέχνη της φωτογραφίας ως μέσο έκφρασης και δημιουργίας

Δείτε το αναλυτικό πρόγραμμα. - Αρχική σελίδα

Ορυκτά και πολύτιμοι λίθοι της Ελλάδας

kοινωνικο μυθιστορημα

ΑΝ ΑΛΩΣΙΜΑ Μ ΙΑΣ ΧΡΗΣΗΣ

Korres K. (2012). Pedagogical Applications of Computers. ASPETE.