ΑΛΥΣΟΕΙΔΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ

ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ
Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα
Καµπύλη
∆ηµήτρης Ι. Μπουνάκης
Σ. Σ. Μ.
1. ΑΛΥΣΟΕΙ∆ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ
Μια από τις ιστορικές και ονοµαστές καµπύλες, του επιπέδου που
µελετήθηκε µετά την ανακάλυψη του Απειροστικού Λογισµού, είναι η αλυσοειδής (catenary, catenoid) καµπύλη. Είναι η καµπύλη την οποία σχηµατίζει
µια αλυσίδα - από την οποία πήρε και το όνοµά της - και γενικά ένα νήµα,
που κρέµεται ελεύθερα στο πεδίο βαρύτητας της γης στηριζόµενο από δυο
σηµεία του (π.χ. ένα καλώδιο της ∆ΕΗ).
Ποιά είναι όµως η εξίσωση αυτής της τόσο συνηθισµένης στη ζωή
καµπύλης; Με το θέµα αυτό ασχολήθηκαν πολλοί επιστήµονες. Πρώτος ο
Γαλιλαίος(1564-1642), ο οποίος πίστευε ότι η καµπύλη µιας αλυσίδας που
κρέµεται υπό την επίδραση της βαρύτητας είναι παραβολή. Στην συνέχεια οι C.
Huygens (1629-1695) και Jungius το 1669 έδειξαν πειραµατικά ότι η άποψη
του Γαλιλαίου δεν ήταν σωστή. Ο Huygens ήταν ο πρώτος που χρησιµοποίησε
τον όρο αλυσοειδή καµπύλη σε µια επιστολή του προς τον Leibniz (1646-1716)
το 1690. Επίσης ο D. Gregory (1659-1708) έγραψε µια πραγµατεία για την
αλυσοειδή καµπύλη το 1690. Όµως η πρώτη σοβαρή θεωρητική µελέτη της
καµπύλης αυτής έγινε µετά την δηµοσίευση των πρωτοπόρων εργασιών του
Leibniz, από τον µαθητή του Jοhann Bernoulli (1667-1748) το 1691, που
προκλήθηκε από τον Jacob Bernoulli (1654-1705) να βρει την εξίσωση της
"αλυσίδας-καµπύλης".
ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Έστω ένα οµογενές ανεκτικό και ευλύγιστο νήµα που δεν µπορεί να εκταθεί,
το οποίο κρέµεται ελεύθερα στο πεδίο βαρύτητας της γης, από δυο σηµεία Ν,
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
2
Σ που η απόστασή τους είναι µικρότερη του µήκους του νήµατος. Να βρεθεί
η εξίσωση της καµπύλης που παριστάνει το νήµα.
Λύση
Υποθέτουµε κατ’ αρχήν ότι η αντίσταση του αέρα προς το νήµα είναι
αµελητέα σε σχέση µε το βάρος του νήµατος και δεν την λαµβάνουµε υπόψη.
Όταν το νήµα ισορροπεί, βρίσκεται πάνω στο κατακόρυφο επίπεδο που
περνά από τα σηµεία Ν, Σ (Σχήµα 1). Στο επίπεδο αυτό θεωρούµε ένα
ορθοκανονικό σύστηµα Οxy ώστε ο άξονας Οy να έχει την διεύθυνση της
κατακορύφου και περνά από το κατώτατο σηµείο Α της καµπύλης (εποπτικά
τουλάχιστον είναι φανερή η ύπαρξή του). Έστω γ η τετµηµένη του Ν και δ η
τετµηµένη του Σ. Η απόσταση ΟΑ προς το παρόν δεν µας ενδιαφέρει όµως
παρακάτω θα την ορίσουµε κατάλληλα. Έστω Μ(x, y) ένα σηµείο του
νήµατος και Β = Β(x) το βάρος του νήµατος ΝΜ, το οποίο ασκείται στο
κέντρο βάρους του G.
Έστω ακόµη
F η (εφαπτοµενική) τάση του νήµατος στο Ν,
Τ η (εφαπτοµενική) τάση του νήµατος στο Μ
Στο νήµα ΝΜ ασκούνται συνολικά 3 δυνάµεις, οι F, B, T (Σχήµα 1)
F
y
Q
θ N
Σ
Τ
M ω
G
Β
Α
x
γ
Ο
Π
δ
Σχήµα 1
Επειδή το σύστηµα αυτό ισορροπεί πρέπει, σύµφωνα µε σχετική αρχή της
στατικής, το αλγεβρικό άθροισµα των οριζόντιων, καθώς και των κατακόρυφων δυνάµεων να είναι ίσο µε µηδέν, δηλαδή
Οριζόντια: Fσυνθ -Τσυνω = 0
Κατακόρυφα: Β-Τηµω - Fηµθ = 0,
(1)
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
3
όπου ω η γωνία κλίσης της δύναµης (τάσης) Τ ως προς τον x-άξονα και θ η
οξεία γωνία της δύναµης F µε τον ίδιο άξονα. Με απαλοιφή του T µεταξύ
των εξισώσεων αυτών προκύπτει
Β - Fηµθ
= εφω
Fσυνθ
(2)
Αν s = s(x) είναι το µήκος του τόξου ΝΜ, το οποίο έχει βάρος Β=Β(x), o
λόγος β=Β/s είναι σταθερός (αφού το νήµα είναι οµογενές) και παριστάνει
το βάρος ανά µονάδα µήκους του νήµατος (π.χ. Kg/cm). Έτσι η σχέση (2)
γράφεται
Fσυνθ
βs(x)
= α : σταθερό,
= y′( x ) + εφθ , ή, θέτοντας
Fσυνθ
β
s(x) = α(y′(x)+εφθ). Όµως s′(x) = 1 + ( y′(x)) 2 , οπότε τελικά έχουµε την διαφορική εξίσωση
αy′′(x) = 1 + ( y′(x)) 2 , α > 0
(3)
Μένει να καθορίσουµε τις αρχικές συνθήκες για την λύση της: Αν λάβουµε
α = ΟΑ , τότε y(0) = α και η εµπειρική εικόνα του νήµατος µας επιτρέπει να
πάρουµε y′(0) = 0.
u′
1
=
Θέτουµε u = y′, οπότε η ( 1) γράφεται
2
α
1+ u
και ολοκληρώνοντας, αφού κάνουµε αλλαγή µεταβλητής (u=εφt), παίρνουµε
(
)
ln u + 1 + u 2 =
x
+κ
α
Είναι u(0) = y′(0) = 0, οπότε κ = 0 και έτσι u(x) =
(
1 x/α
e − e− x / α
2
)
Όµως u = y′, οπότε
y(x)=
α x/α
e
+ e − x / α + c και λόγω της y(0) = α , έχουµε τελικά την εξίσωση
2
(
)
της ζητούµενης καµπύλης
y( x ) =
α x/α
e
+ e− x / α
2
(
)
ή
y = α cosh
x
, γ ≤ x ≤ δ.
α
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
4
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1. Η σταθερά α είναι παράµετρος του προβλήµατος και όχι της διαφορικής
Fσυνθ
(είτε µέσω
εξίσωσης και καθορίζεται πειραµατικά µέσω της σχέσης α =
β
y
της σχέσης α =
, σύµφωνα µε µια ιδιότητα που θα δούµε παρακάτω)
συνω
2. Το σηµείο Α(0, α) λέγεται κορυφή της αλυσοειδούς, ο άξονας των x διευθετούσα της και το µήκος ΟΑ=α ύψος της. Ο άξονας των y είναι άξονας συµµετρίας της αλυσοειδούς καµπύλης .
x
, x∈R, α>0, λέγεται αλυσοειδής συνάρτηση.
α
Η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x = 0 ίσο µε α και είναι
γνήσια φθίνουσα στο διάστηµα (-∞,0] και γνήσια αύξουσα στο διάστηµα [0,+ ∞).
Επίσης είναι κυρτή συνάρτηση.
3. Η συνάρτηση f(x) = α cosh
4. Mια φυσική ιδιότητα - εφαρµογή
Η τάση σ’ ένα σηµείο Μ(x, y) του νήµατος είναι ίση µε το βάρος y µονάδων
του νήµατος.
Απόδειξη
Θα αποδείξουµε ότι T= βy, όπου β το βάρος ανά µονάδα του νήµατος.
Fσυνθ
H
, όπου Η = Fσυνθ η οριζόντια τάση στο Ν, α =
(1)
Έχοµε Τ=
συνω
β
είναι
Αλλά
x
1
= 1+εφ2 ω = 1+(y′ )2.
και
α
συν 2ω
x
1
x
= cosh
(0≤ω<π/2)
1+(y′ )2 = cos2h , οπότε
συνω
α
α
y′ (x) = αsinh
Και λόγω των (1) έχουµε Τ = Ηcosh
x
= βy.
α
Άµεση συνέπεια αυτής της ιδιότητας είναι ότι, αν στα σηµεία Ν, Μ
θεωρήσουµε ότι βρίσκονται δυο λεία καρφιά ή τροχαλίες, και το νήµα αφεθεί
πάνω σ’ αυτά µέχρι να αγγίξει ακριβώς τον άξονα των x, τότε το νήµα δεν θα
γλιστρήσει και θα παραµείνει σε ισορροπία. Αυτό συµβαίνει γιατί οι τάσεις
στα σηµεία Ν, Μ που απαιτούνται για να συγκρατηθεί το νήµα στον αέρα,
είναι ακριβώς ίσες αντίστοιχα µε Νγ και ΝΠ µονάδες του νήµατος.
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
5
ΝΗΜΑ ΣΕ ΜΗ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο
Αν το νήµα κρέµεται ελεύθερα πάνω σ’ ένα µη κατακόρυφο επίπεδο, που
σχηµατίζει γωνία φ µε το κατακόρυφο επίπεδο, π.χ. µια αλυσίδα στο λαιµό,
τότε µπορούµε να ακολουθήσουµε την ίδια πορεία µε την προηγούµενη
περίπτωση, αλλά αντί για το βάρος Β του νήµατος θα πάρουµε την
συνιστώσα του Β1 = Βσυνφ (Σχήµα 2). Η άλλη συνιστώσα του Β, Β2 είναι
κάθετη στο µη κατακόρυφο επίπεδο και εξισορροπείται από την αντίδραση
του επιπέδου πάνω στο νήµα.
Μπορεί να αποδειχθεί (αφήνεται ως άσκηση) ότι τελικά προκύπτει η εξίσωση
y(x) =
xσυνφ
α
π
, α > 0, 0 ≤ φ < ,
cosh
συνφ
α
2
ως προς το σύστηµα ΟΧΥ (του µη κατακόρυφου επιπέδου), δηλαδή είναι
α
> α .Αν φ=0 έχοµε την περίπτωση
αλυσοειδής καµπύλη µε ύψος
συνφ
κατακόρυφου επιπέδου που είδαµε προηγούµενα.
ΝΗΜΑ ΣΕ ΜΗ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο
F
Υ
Q
φ
Σ
Τ
N
M
Β2
Β
Β1
Χ
Ο
Σχήµα 2
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
6
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ∆ΟΥΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
H αλυσοειδής καµπύλη έχει πολλές και ενδιαφέρουσες ιδιότητες, ορισµένες
µάλιστα είναι και χαρακτηριστικές της καµπύλης αυτής.
(
)
α x/α
e
+ e − x / α η εξίσωση της αλυσοειδούς καµπύλης και Μ(x, y),
2
x∈R, τυχαίο σηµείο της. Συµβολίζουµε (Σχήµα 3) µε
Έστω y =
s = s(x) το µήκος του τόξου ΑΜ
E = E(x) το εµβαδόν του χωρίου ΟΑΜΠ
R = ΚΜ την ακτίνα καµπυλότητας στο σηµείο Μ και
ω την γωνία κλίσης της εφαπτοµένης στο Μ.
Ας έχουµε υπόψη και τις ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων:
′
′
cosh 2 x − sinh 2 x = 1 , (cosh x ) = sinh x , (sinh x ) = cosh x , x∈R.
Κ(xκ,yκ)
y
B
M(x,y)
ω
Ρ
Α
Ν
ω
Σ
Ο
x
Π
Λ
Σχήµα 3
Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 1
Το µήκος της προβολής της τεταγµένης ΠΜ (Σχήµα 3) πάνω στην κάθετη της
αλυσοειδούς καµπύλης στο σηµείο Μ είναι σταθερό και ίσο µε α.
Απόδειξη
Έχουµε
y
y
y
=
=
= α.
ΜΡ = y συνω =
2
2
x
1 + εφ ω
1 + ( y′( x ))
cosh
α
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
7
Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 2
Το µήκος της προβολής της τεταγµένης ΠΜ (Σχήµα 3) πάνω στην εφαπτοµένη της αλυσοειδούς καµπύλης στο σηµείο Μ είναι ίσο µε το µήκος του
τόξου ΑΜ.
Απόδειξη
Πρέπει να δείξουµε ότι ΝΜ = yηµω = s, 0 ≤ ω < π. Για το µήκος s = s(x) του
τόξου ΑΜ έχουµε
s=
∫
x
0
1 + ( y′( t )) 2 dt =
∫
x
0
t
x
cosh dt = α sinh = α y′( x ) = α|εφω|
α
α
Όµως από την ιδιότητα 1 έχουµε y|συνω| = α, άρα s = yηµω.
ΠΟΡΙΣΜΑ 2.1
Το µήκος s του τόξου ΑΜ, το ύψος α της αλυσοειδούς και η τεταγµένη y
αποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου µε υποτείνουσα y.
Πράγµατι, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΠΡΜ είναι ΠΡ = yηµω = s, οπότε
y2 = s2 + α2 .
ΠΟΡΙΣΜΑ 2.2
Για κάθε σηµείο Μ(x, y) της αλυσοειδούς, το µήκος του τόξου ΑΜ είναι
ανάλογο της κλίσης της εφαπτοµένης της στο Μ και δίνεται από την σχέση
x
s(x) = α|y′ (x)| ή s(x) = α|sinh |=α|εφω|.
α
Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 3
To εµβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα των y, τον άξονα
των x, την ευθεία x = κ (κ∈R), και το αντίστοιχο τόξο της αλυσοειδούς,
είναι ανάλογο του τόξου αυτού και συγκεκριµένα ισχύει Ε = αs.
Aπόδειξη
κ
κ
κ
κ
t
t
Ε= ∫ y(t)dt = ∫ αcosh dt = α ∫ 1 + sinh 2 dt = α ∫ 1 + ( y′) 2 dt = αs ,
0
0
0
0
α
α
όπου s = s(0, κ) το τόξο της αλυσοειδούς που περικλείεται από τις ευθείες
x = 0, x= κ.
ΠΟΡΙΣΜΑ 3.1
To εµβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τις ευθείες x = κ, x = λ, κ<λ,
(κ, λ∈R), τον άξονα των x και το αντίστοιχο τόξο της αλυσοειδούς, είναι ίσο
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
8
µε το εµβαδόν του ορθογωνίου µε διαστάσεις α, s, όπου το s µήκος του τόξου
αυτού.
ΠΟΡΙΣΜΑ 3.2
Για κάθε σηµείο Μ(x, y) το εµβαδόν του χωρίου ΟΑΜΠ δίνεται από την
x
σχέση Ε(x) = α2 |sinh |.
α
Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 4
Η ακτίνα καµπυλότητας της αλυσοειδούς καµπύλης σ’ ένα σηµείο της
Μ(x, y) είναι ανάλογη του τετραγώνου της τεταγµένης y, και συγκεκριµένα
y2
.
R =
α
Aπόδειξη
3/ 2
1 + ( y′) 2
. Όµως
Ως γνωστόν είναι R =
| y′′ |
(
)
x
1
x
y′( x ) = sinh , y′′( x ) = cosh > 0 . Άρα
α
α
α
x
α1 + sinh 2 
α
R= 
x
cosh
α
3/ 2
3
x
α cosh 
α
y2
.
= 
=
x
α
cosh
α
Σηµείωση
Από τις σχέσεις R =
y2
x
και s = α|sinh | (Πόρισµα 2.2) προκύπτει εύκολα
α
α
s2
+α.
α
Η εξίσωση αυτή δηλώνει ότι, αν η αλυσοειδής κυλά χωρίς να γλιστρά κατά
µήκος της ευθείας y = α, τότε τα κέντρα καµπυλότητάς της βρίσκονται σε µια
παραβολή.
η σχέση
R=
Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 5
Η τεταγµένη του κέντρου καµπυλότητας Κ στο σηµείο Μ(x,y) της αλυσοειδούς είναι διπλάσια της τεταγµένης του Μ.
Απόδειξη
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
9
Έστω yκ η τεταγµένη του Κ. Όπως φαίνεται στο Σχήµα 2 έχουµε (γενικά για
µια κυρτή καµπύλη)
yκ = ΚΣ = y + KB = y + R|συνω|
(για την αλυσοειδή η γωνία ω είναι αµβλεία όταν το Μ βρίσκεται στο β΄
τεταρτηµόριο) αλλά y|συνω| = α (ιδιότητα 1) και R = y2 /α, οπότε yκ = 2y.
ΠΟΡΙΣΜΑ 5.1
Η κάθετος στην αλυσοειδή καµπύλη σ’ ένα σηµείο της Μ, τέµνει τον άξονα
των x σε σηµείο που είναι συµµετρικό του κέντρου καµπυλότητας Κ ως προς
το σηµείο Μ.
Αυτό προκύπτει από το τρίγωνο ΚΣΛ αφού ΚΒ = R|συνω| = y = ΒΣ.
•
Μια ακόµη ενδιαφέρουσα ιδιότητα της αλυσοειδούς καµπύλης απέδειξε
ο Euler το 1744 :
Απ’ όλες τις καµπύλες ενός επιπέδου που περνούν από δυο δεδοµένα σηµεία
και παράγουν κατά την περιστροφή του τόξου τους, περί τον x-άξονα επιφάνειες,
το µικρότερο εµβαδόν έχει η επιφάνεια που παράγεται από µια αλυσοειδή
καµπύλη που διέρχεται από τα δύο αυτά σηµεία. Για το εµβαδόν αυτό βλέπε την
Άσκηση 2. (Η απόδειξη απαιτεί γνώσεις από τον Λογισµό των Μεταβολών).
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ∆ΟΥΣ
Από τις κυρτές (και θετικές) καµπύλες του επιπέδου, η αλυσοειδής είναι η
µοναδική που έχει τις παραπάνω ιδιότητες. Συγκεκριµένα ισχύει:
ΠΡΟΤΑΣΗ
Έστω µια καµπύλη µε εξίσωση y = φ(x), x∈R, µε την συνάρτηση φ διπλά
παραγωγίσιµη και φ(x)>0, φ′′(x)>0 για κάθε x∈R. Αν η καµπύλη αυτή έχει
µια από τις παραπάνω πέντε ιδιότητες - σε κάθε σηµείο της Μ(x, y) - τότε
είναι µια αλυσοειδής καµπύλη (και άρα έχει και τις υπόλοιπες ιδιότητες).
Θα το αποδείξουµε µόνο για την ιδιότητα 3. Τις άλλες περιπτώσεις αφήνουµε
ως ασκήσεις στον αναγνώστη, µε την υπόδειξη ότι κάθε περίπτωση ανάγεται
αντίστοιχα στην λύση της διαφορικής εξίσωσης:
1) φ = α 1 + (φ′) 2 , 2) 1+(φ′)2 = φφ′′, 3) φ = α 1 + (φ′) 2 ,
4) α(1+(φ′)2 )3/2 = φ2φ′′, 5) 1+(φ′)2 = φφ′′.
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
10
• Σύµφωνα µε την ιδιότητα 3 πρέπει Ε = αs, α > 0 σταθερά, όπου Ε το
εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα των y, τον άξονα
των x, την ευθεία x = κ, (κ∈R), και το αντίστοιχο τόξο, µήκους s, της
καµπύλης y=φ(x).
Ισχύει
Ε = Ε(κ) =
∫
κ
0
φ(t)dt , οπότε |Ε′(κ)| = φ(κ), κ∈R και Ε(0) = 0.
Όµως Ε = αs, οπότε α|s′(κ)|=φ(κ), κ∈R ή φ = α 1 + (φ′) 2 (1)
Για την λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης ορίζουµε την συνάρτηση
g(x) = sinh-1 (φ′(x)) (g(x) = arcsinhφ′(x)) (2)
Σηµειώνουµε ότι η g(x) είναι καλά ορισµένη: Επειδή φ′′(x) > 0 η συνάρτηση
φ′ είναι γνήσια αύξουσα. Επίσης η συνάρτηση sinhx είναι γνήσια αύξουσα
στο R, µε σύνολο τιµών το R, άρα και 1-1. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση
g(x) = sinh-1 (φ′(x)) η οποία είναι παραγωγίσιµη στο R και γνήσια αύξουσα.
Από την (2) έχουµε
φ′ = sinhg οπότε η διαφορική εξίσωση (1) γράφεται
φ = αcoshg (3)
και παραγωγίζοντας ως προς x, φ′ = α(sinhg)g′, αλλά φ′ = sinhg,
οπότε αg′ = 1 µε sinhg ≠ 0 (⇔ g(x) ≠ 0, λόγω µονοτονίας της g)
x+κ
, οπότε από την (3) έχουµε
Άρα g(x) =
α
x+κ
, x ≠ -κ
φ(x) = αcosh
α
Η συνάρτηση αυτή επεκτείνεται και για x = -κ, επειδή λόγω της συνέχειας
των συναρτήσεων φ, cosh στο –κ πρέπει φ(-κ) = α.
Άρα έχοµε την γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (1)
φ(x) = αcosh
x+κ
, x∈R
α
που είναι µια µονοπαραµετρική οικογένεια αλυσοειδών καµπυλών.
Πράγµατι, θεωρώντας ένα σύστηµα αναφοράς ΟΧy µε άξονες παράλληλους
του αρχικού Οxy και κέντρο το σηµείο (-κ,0), η συνάρτηση αυτή είναι η
γνωστή µας αλυσοειδής καµπύλη. Αν έχουµε την αρχική συνθήκη φ′(0) = 0
x
παίρνουµε απ’ ευθείας την γνωστή µας περίπτωση φ(x) = αcosh , x∈R.
α
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
11
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ∆ΟΥΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
Αν και όπως είδαµε η αλυσοειδής καµπύλη δεν είναι παραβολή, όπως
πίστευε ο Γαλιλαίος, είναι ενδιαφέρον να εξετάσουµε πώς µπορεί να
προσεγγιστεί µε ένα πολυώνυµο 2ου βαθµού. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ανάπτυγµα Τaylor.
Είναι γνωστό ότι
ex + e−x
x2 x4
cosh x =
=1+
+
+ ...
2
2
4!
Αν περιοριστούµε σε µικρές τιµές x, π.χ. |x| < 1 έχουµε την προσέγγιση
1
cosh x ≅ x 2 + 1
2
x
1 2
x + α για |x| < α.
y = α cosh ≅
οπότε και
α 2α
∆ηλαδή η αλυσοειδής συνάρτηση µπορεί να προσεγγιστεί από την παραβολή
1 2
x +α
P( x ) =
2α
Το αποτέλεσµα αυτό βοηθά και στην σχεδίαση της αλυσοειδούς αφού προηγουµένως επιλεγεί το ύψος της α.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δειχθεί ότι το εµβαδόν της επιφάνειας που παράγεται κατά την
περιστροφή γύρω από τον άξονα των x, του χωρίου που περικλείεται από τη
x
αλυσοειδή συνάρτηση y = αcosh , τον άξονα των x και τις ευθείες
α
πα 
2t
2 t + αsinh  .
x = 0, x = t > 0 είναι ίσο µε
2 
α
t
(Υπόδειξη: Ε= ∫ 2πxf(x)dx )
0
2. Να δειχθεί ότι ο όγκος του στερεού που παράγεται κατά την περιστροφή
γύρω από τον άξονα των x, του χωρίου που περικλείεται από τη αλυσοειδή
x
y = αcosh , τον άξονα των x και τις ευθείες x = 0, x = t > 0 είναι ίσος µε
α
2
πα 
2t
2 t + αsinh  . Ποια είναι η σχέση όγκου προς την παράπλευρη επιφά4 
α
νεια του στερεού αυτού;
(Υπόδειξη: V=
t
∫ πf
0
2
(x)dx )
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
12
3. Για την τετµηµένη xκ του κέντρου καµπυλότητας στο σηµείο Μ(x,y) της
αλυσοειδoύς καµπύλης δείξετε ότι ισχύει xκ = x-y(x)⋅y′ (x).
4. Να δειχθεί ότι η διαφορική εξίσωση 1+(φ′ )2 = φφ′′ , έχει γενική λύση
x + κα
, α>0 σταθερά (παραµετρική οικογένεια αλυσοειδών).
y = αcosh
α
3/ 2
Επίσης ότι η διαφορική εξίσωση α 1 + ( y′) 2
= y 2 y′′ (y>0) είναι ισοδύναµη
(
)
2
µε την y = α 1 + ( y′) , α > 0.
2. ΕΝΕΙΛΙΓΜΕΝΗ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ∆ΟΥΣ
Καλούµε ενειλιγµένη (evolute) µιας καµπύλης C, τον γεωµετρικό τόπο
των κέντρων καµπυλότητας της καµπύλης.
Αν Μ(x,y) σηµείο της αλυσοειδούς τότε οι συντεταγµένες του αντίστοιχου
σηµείου Κ της ενειλιγµένης (Σχήµα 4 επόµενη σελίδα, µπλε γραµµή) είναι
xκ = x - αcosh
x
x
sinh ,
α
α
yκ = 2y = 2αcosh
x
α
που αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της ενειλιγµένης της αλυσοειδούς καµπύλης.
Πράγµατι, για την πρώτη εξίσωση: από το τρίγωνο ΚΒΜ (Σχήµα 4)
έχουµε
x
± sinh
y2
y′
2x
α
και ηµω =
,
= αcosh
=
|x-xκ | = Rηµω, αλλά R =
x
α
α
± 1 + y′2
cosh
α
x
x
x
οπότε xκ = x-αcosh sinh
(η διαφορά x-xκ έχει το πρόσηµο του sinh )
α
α
α
•
H δεύτερη εξίσωση είναι λόγω της ιδιότητας 5.
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ
1. Η ενειλιγµένη τέµνει τον άξονα των y στο σηµείο (0, 2α) και είναι
συµµετρική ως προς τον άξονα αυτόν.
2. Η εφαπτοµένη της ενειλιγµένης σ’ ένα σηµείο της (t, u) είναι κάθετη στην
αλυσοειδή, δηλαδή συµπίπτει µε την ακτίνα καµπυλότητας της αλυσοειδούς
στο αντίστοιχο σηµείο (x, y) της αλυσοειδούς.
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
13
Πράγµατι, θέτουµε t = xκ και u = yκ , οπότε από τις παραπάνω
παραµετρικές εξισώσεις έχουµε t = x - y′⋅ y, u = 2y και για x ≠0,
έχουµε
du
2 y′
2 y′
du dx
−1
=
=
=
, κλπ.
=
2
′
dt
dt
y′
1 − (y′2 + yy′′) 1 − (2 y′ + 1)
dx
•
Άσκηση
Έστω (t, u) = (xκ , yκ ) ένα σηµείο της ενειλιγµένης της αλυσοειδούς και (x, y) το
αντίστοιχο σηµείο της αλυσοειδούς. Να αποδειχθεί ότι
α) Η συνάρτηση t = t(x) είναι γνήσια µονότονη και 1-1.
β) Η ενειλιγµένη της αλυσοειδούς είναι γραφική παράσταση συνάρτησης
γ) Η ενειλιγµένη συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη για t < 0 (x > 0)
και γνήσια φθίνουσα και κοίλη για t > 0 (x < 0).
δ) Έχει ελάχιστη τιµή για t = 0 (x = 0) ενώ η εφαπτοµένη της στη θέση t=0
είναι ο άξονας των y.
Κ(xκ,yκ)
y
ΑΟ=ΝΠ=α
B
M(x,y)
ω
Α
Ρ
Ν
Σ
Σχήµα 4
Ο
ω
∆
Π
x
Λ
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
Η αλυσοειδής και η ενειλιγµένη της
14
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
Αλυσοειδής
και
15
έλκουσα
3. ΕΛΚΟΥΣΑ ΚΑΜΠΥΛΗ
MIA ΕΞΕΙΛΙΓΜΕΝΗ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ∆ΟΥΣ
Αν θεωρήσουµε ένα νήµα πάνω στην αλυσοειδή καµπύλη το οποίο αρχίζουµε να το ξετυλίγουµε, αρχίζοντας από το σηµείο (κορυφή) Α, παραµένοντας πάντα εφαπτόµενο στην αλυσοειδή, τότε το σηµείο Α γράφει µια
καµπύλη που λέγεται έλκουσα (tractix) και είναι µια εξειλιγµένη (involute)
της αλυσοειδούς. Επειδή ΝΜ = µήκος τόξου ΑΜ η έλκουσα είναι ο γεωµετρικός τόπος της προβολής Ν, του σηµείου Π πάνω στην εφαπτοµένη της
αλυσοειδούς στο Μ. (Σχήµα 5 επόµενη σελίδα, κόκκινη γραµµή).
Η καµπύλη αυτή, όπως θα δούµε παρακάτω (ιδιότητα 3) δίνει απάντηση και
στο παρακάτω πρόβληµα που τέθηκε στον Leibnitz και τον παρακίνησε να
την µελετήσει.
Ποια είναι η διαδροµή ενός αντικειµένου το οποίο το σέρνουµε κατά µήκος ενός
οριζόντιου επιπέδου από ένα σκοινί σταθερού µήκους, όταν η άκρη του σκοινιού
που δεν είναι δεµένη µε το αντικείµενο, κινείται κατά µήκος µιας ευθείας γραµµής
στο επίπεδο;
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
16
Μια άλλη περίπτωση που εµφανίζεται η έλκουσα καµπύλη έχουµε και στην
παρακάτω κατάσταση:
Υποθέτουµε ότι ένα ποδήλατο βρίσκεται πάνω στον άξονα y και κατευθύνεται
νότια. Η µπροστινή ρόδα είναι στο σηµείο (0,0) και η πισινή στο (0,1). Εκείνη τη
στιγµή ο ποδηλάτης κάνει µια απότοµη στροφή 90 µοιρών και τώρα πηγαίνει
ανατολικά (κατά τον ηµιάξονα Οx). Το ίχνος από την πισινή ρόδα είναι
η έλκουσα.
Ιστορία
Η έλκουσα καµπύλη µελετήθηκε αρχικά από τον Huygens το 1692 ο οποίος της
έδωσε και το όνοµα και αργότερα από τους Leibnitz, Johann Bernoulli, Liouville
και Beltrami. Έπίσης ονοµάζεται και tractrix ή equitangential καµπύλη, δηλαδή η
καµπύλη της οποίας οι εφαπτοµένες έχουν το ίδιο µήκος .
Η έλκουσα ως εξειλιγµένη της αλυσοειδούς
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
Κ(xκ,yκ)
17
y
ΑΟ=ΝΠ=α
B
M(x,y)
ω
Α
Ρ
Ν
ω
Σ
Ο
x
∆
Π
Λ
Σχήµα 5
Εξισώσεις της έλκουσας
Έστω Ν(t, u) ένα σηµείο της έλκουσας (καµπύλης), οπότε η ΝΜ (Σχήµα 5)
είναι, εξ’ ορισµού, εφαπτοµένη της αλυσοειδούς και ΝΜ = s = τόξοAM.
Λόγω της ιδιότητας 2 της αλυσοειδούς το σηµείο Ν είναι αναγκαστικά η
προβολή του Π πάνω στην ΝΜ.
1 . Οι παραµετρικές εξισώσεις της έλκουσας µε παράµετρο την γωνία ω που
σχηµατίζει η εφαπτοµένη στο Μ της αλυσοειδούς µε τον x-άξονα είναι
1 
± αηµω, 0 ≤ ω < π, ω ≠ π/2
u = α|συνω|, t = α ln εφω +
|
συνω
| 

(συντεταγµένες ενός σηµείου Ν(t,u) της έλκουσας συναρτήσει της γωνίας ω
που σχηµατίζει η εφαπτοµένη στο Μ της αλυσοειδούς µε τον x-άξονα. Το +
αν η γωνία είναι αµβλεία και το – αν είναι οξεία)
∧
•
Πράγµατι, από το τρίγωνο Ν∆Π, ω= ∆ΝΠ , προκύπτει η πρώτη σχέση. Η
δεύτερη προκύπτει από την παρατήρηση ότι Ο∆ = ΟΠ − ∆Π
2. Oι παραµετρικές εξισώσεις της έλκουσας µε παράµετρο την τετµηµένη x
του σηµείου Μ(x, y) της αλυσοειδούς είναι
x
α sin h
α2
α
2 y′
α
, u=
ή t = x, u=
t = x-α
y
x
y
x
cosh
cosh
α
α
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
18
(συντεταγµένες ενός σηµείου Ν(t,u) της έλκουσας συναρτήσει των
συντεταγµένων του σηµείου Μ(x,y).)
•
Πράγµατι: Από το τρίγωνο Ν∆Π προκύπτει u = α|συνω| =
α2
. Από το
y
ίδιο τρίγωνο έχουµε και
x - t = αηµω =
αεφω
1 + εφ 2 ω
=
αy′
1 + y′2
=
αy′ α 2 y′
=
.
y/α
y
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΛΚΟΥΣΑΣ
1. Ο άξονας των y είναι άξονας συµµετρίας της έλκουσας (καµπύλης), ενώ ο
x-άξονας είναι ασύµπτωτή της.
Απόδειξη
Λόγω συµµετρίας της αλυσοειδούς ως προς τον άξονα των y και του τρόπου
ορισµού της έλκουσας προκύπτει ότι και η έλκουσα καµπύλη έχει άξονα
συµµετρίας τον άξονα των y.
x
α
→ 0.
Aσύµπτωτη: όταν x→ +∞ τότε cosh → +∞, οπότε και u =
x
α
cosh
α
Όµοια και όταν x→ -∞, λόγω συµµετρίας της έλκουσας ως προς τον άξονα των
y ισχύει u→ 0.
2. Η ευθεία ΝΠ είναι εφαπτοµένη της έλκουσας στο σηµείο της Ν.
Απόδειξη
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης στο Ν (t,u) είναι
(οι παράγωγοι στο y είναι ως προς x, χρησιµοποιούµε τις σχέσεις 1+y′ 2 =yy′′,
y′=α 1 + y′2 που επαληθεύει η αλυσοειδής συνάρτηση)
− α 2 y′
du
− α 2 y′
− α 2 y′ − 1
y2
du dx
=
=
= 2
=
=
′ y − α 2 ( y′′y − ( y′) 2 ) α 2 ( y′) 2 y′
dt
dt
′
y


2
dx 1 − α  
y
µε y′≠0 ⇔ x ≠ 0. Άρα η εφαπτοµένη της στο Ν είναι παράλληλη µε την NΠ
(αφού η ΝΠ ως κάθετη στην ΜΝ έχει συντελεστή διεύθυνσης -1/y′), οπότε
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
19
συµπίπτει µε αυτήν. Συνέπεια αυτού είναι ότι η εφαπτοµένη της αλυσοειδούς
και η εφαπτοµένη της έλκουσας είναι κάθετες στο Ν.
3. H ενειλιγµένη (evolute) της έλκουσας είναι αλυσοειδής.
Απόδειξη
Πρέπει να δειχθεί ότι τα κέντρα καµπυλότητας της έλκουσας σχηµατίζουν
την αλυσοειδή καµπύλη. Επειδή
y′′
2
y′′y 2
y′2
d u du′ du′ / dx
=
=
...
=
=
=
,
dt
dt / dx
dt 2
α 2 ( y′′y − ( y′)) 2
( y′) 4 α 2
1−
y2
η ακτίνα καµπυλότητας Rt της έλκουσας καµπύλης σ’ ένα σηµείο (t, u) είναι
(υπόψη ότι 1+y′ 2 = yy′′, y = α 1 + y′2 , R = y2 /α, s = α/y′))
Rt =
(1 + u′2 )3 / 2
| u′′ |

1 
1 + 2 
y′ 
=
3/ 2
| y′′ | y 2
( y′) 4 α 2
=
R | y′ | α 2 y 2 | y′ | α 2
=
= α | y′ | = s
y2
αy 2
∆ηλαδή Rt = NM και λόγω του ότι η ΝΜ είναι κάθετη στην εφαπτοµένη ΝΠ
(ιδιοτητα 2 της έλκουσας), το κέντρο καµπυλότητας της έλκουσας στο Ν
είναι το Μ, άρα ανήκει στην αλυσοειδή.
4. Κάθε τµήµα της εφαπτοµένης της έλκουσας από το σηµείο επαφής µέχρι τον
άξονα των x (ασύµπτωτη), έχει σταθερό µήκος και ίσο µε α.
Απόδειξη
Πράγµατι, σύµφωνα µε την ιδιότητα 1 της έλκουσας, το ΝΠ είναι εφαπτόµενο
στην έλκουσα και είναι γνωστό (ιδιότητα 1 της αλυσοειδούς) ότι α = ΝΠ.
(αποδεικνύεται και αναλυτικά, θεωρώντας την έλκουσα συνάρτηση u=u(t))
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
20
H έλκουσα καµπύλη ως ισοεφαπτοµένη
5. Η έλκουσα καµπύλη µε ύψος α, είναι ορθογώνια σε κάθε κύκλο ακτίνας α
που έχει το κέντρο του στην ασύµπτωτή της (άξονα των x). Αντίστροφα: η
καµπύλη που τέµνει κάθετα σε σειρά διάταξης ίσους κύκλους είναι µια έλκουσα.
Aπόδειξη
Έστω ένα κύκλος ακτίνας α µε κέντρο Π πάνω στον άξονα των x (Σχήµα 4).
Η κάθετη στον άξονα των x στο σηµείο Π τέµνει (αυτό συµβαίνει πάντα) την
αλυσοειδή έστω στο σηµείο Μ (x, y). Το σηµείο Π απέχει απόσταση α από την
εφαπτοµένη της αλυσοειδούς στο Μ (ιδιότητα 1 της αλυσοειδούς), άρα η εφαπτόµενη αυτή είναι και εφαπτόµενη του κύκλου (Π, α), έστω στο σηµείο Ν.
Τότε όµως είναι και ΝΜ = s = µήκος τόξου ΑΜ. Άρα η έλκουσα έχει κοινό
σηµείο µε τον κύκλο το Ν. Όµως η ΝΠ είναι εφαπτόµενη της έλκουσας, άρα ο
κύκλος και η έλκουσα καµπύλη τέµνονται κάθετα στο Ν.
To αντίστροφο είναι φανερό, αφού το εφαπτόµενο τµήµα ΝΠ είναι αναγκαστικά
ακτίνα του κύκλου, άρα έχει µήκος α.
y
M(x,y)
Α
Ν
Ο
Σχήµα 6
Π
x
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
21
6. Το εµβαδόν που περικλείεται από την έλκουσα και τον άξονα των x είναι
ίσο µε πα2/2.
Πράγµατι, χρησιµοποιώντας την παραµέτρηση 1, δηλαδή τα t, u συναρτήσει
της γωνίας ω που σχηµατίζει η εφαπτοµένη στο Μ της αλυσοειδούς µε τον
x-άξονα, βρίσκουµε ότι
π/2
πα 2
E = 2 ∫ udt =
.
0
2
7. Κατά την περιστροφή της έλκουσας γύρω από τον άξονα των x παράγεται
2
στερεό µε επιφάνεια S=4πα2 και όγκο V= πα 3 .
3
+∞
π/ 2
0
0
Υπόδειξη: υπολογίζουµε τα ολοκληρώµατα S = 4π ∫ tudt , V = 2∫
πu 2dt ,
χρησιµοποιώντας την παραµέτρηση 1.
Ιστορική σηµείωση
Όταν η έλκουσα καµπύλη περιστραφεί γύρω από την ασύµπτωτή της
δηµιουργεί ένα στερεό που λέγεται ψευδοσφαίρα (βλ. επόµενη σελίδα). Αυτή
είναι µια επιφάνεια σταθερής αρνητικής (γκαουσσιανής) καµπυλότητας και
χρησιµοποιήθηκε από τον Eugenio Beltrami το 1868 ως ένα µοντέλο για την
υπερβολική γεωµετρία.
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
22
Η ψευδοσφαίρα του Βeltrami (πάνω ήµισυ)
Ασκήσεις
1. Έστω (t, u) ένα σηµείο της έλκουσας και (x, y) το αντίστοιχο σηµείο της
αλυσοειδούς. Να αποδειχθεί ότι:
α) Η συνάρτηση t=t(x) είναι 1-1.
β) Η έλκουσα καµπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης u=u(t).
γ) Η συνάρτηση αυτή είναι γνήσια φθίνουσα στo διάστηµα [0, +∞) και κυρτή,
ενώ είναι γνήσια αύξουσα και κυρτή στο διάστηµα (-∞, 0]. Έχει µέγιστο στην
θέση t = 0 (x = 0) ίσο µε α και η εφαπτοµένη της στην θέση t = 0 (x = 0) είναι ο
άξονας των y.
2. ∆είξετε ότι αν µια καµπύλη έχει την ιδιότητα, το µήκος του εφαπτόµενου
τµήµατος, από το σηµείο επαφής µέχρι τον άξονα των x να είναι ίσο µε α, τότε
αυτή είναι µια έλκουσα καµπύλη.
(Υπόδειξη : θεωρείστε το αντίστοιχο σηµείο της αλυσοειδούς µε ύψος α)
∆. Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσα Καµπύλη
23
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. LOCKWOOD E., A Βook of the Curves, Cambridge University Press 1978.
2. J. DENNIS LAWRENCE, A catalog of special plane curves, 1972.
3. VYGODSKY M., mathematical Handbook (Higher Mathematics), MIR,
Moscow, 1984.
4. ΜΠΡΙΚΑΣ Μ.,Τα περίφηµα άλυτα γεωµετρικά προβλήµατα της
Αρχαιότητος, Αθήναι 1970.
5. PEDOE D., Geometry and the Visual Arts, 1976.
6. MARKUSHEVICH A.I., Remarkable Curves, MIR, Moscow 1980.
7. THOMAS G.-FINNEY R., Απειροστικός Λογισµός , Πανεπιστηµιακές
εκδόσεις Κρήτης, Τόµος Α΄.
8. SMITH D. E., History of Mathematics, τόµος 2, εκδόσεις Dover.
9. STRUIK D., Συνοπτική ιστορία των Μαθηµατικών, εκδόσεις
«Ζαχαρόπουλος».
10. TOOMER J.G, Diocles on Burning Mirrors, µετάφραση στα αγγλικά από τo
αραβικό κείµενο, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1976.-

Download Report