ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
n ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΘΕΜΑ 1ο
Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:
1)
Ο
κύκλος
µε
κέντρο
Κ(α,
β)
και
ακτίνα
ρ
>
0
έχει
εξίσωση...............................
2)
Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή των αξόνων, ο
οποίος
διέρχεται
από
το
σηµείο
Μ(3,
4)
είναι...............................................
3)
Ο ακέραιος α είναι άρτιος όταν είναι της µορφής...................και
περιττός όταν είναι της µορφής.......................
4)
Κάθε ακέραιος α είναι της µορφής 3κ ή ...................................
5)
Έστω
α, β, γ
ακέραιοι
µε αβ≠0. Αν α|β και
β|γ, τότε
ισχύει.........................
6)
r
r
r r
Α ν α ↑ ↑ β , τό τε α .β = ..............
r
r
r r
Α ν α ⊥ β , τό τε α .β = .................
r
r
Α ν α = (χ 1 , ψ 1 ) κ α ι β = (χ 2 , ψ 2 ), τό τε
r r
ι) α .β = ...................
→
→
ιι) σ υ ν ( α , β )= ...............
r r
ιιι) α ν χ 1 χ 2 + ψ 1 ψ 2 = 0, τό τε α . β = .....................
(10 µονάδες)
B) ∆ίνονται τα σηµεία Α(1, 3) και Β(3, 1). Να βρείτε:
uuur
Ι) το µέτρο του A B
ΙΙ) τις συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ.
(8 µονάδες)
1
Γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθµός ο οποίος
διαιρούµενος µε τον 3 να δίνει υπόλοιπο 1 και διαιρούµενος µε 6 να
δίνει υπόλοιπο 3.
(7 µονάδες)
ΘΕΜΑ 2ο
r r r
Α) Έστω α , β , γ
τρία διανύσµατα του επιπέδου Οχψ. Αν τα σηµεία
r
r
r
r
r r
r
r r
Α, Β, Γ έχουν διανύσµατα θέσεως α + 2 β − 3 γ , 3α + 4β + γ, 2α + 3β -γ
αντιστοίχως, να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά
και ότι το Γ είναι το µέσο του ΑΒ.
(9 µονάδες)
Β)
Να
βρεθεί
η
προβολή
του
διανύσµατος
→ →
r
r
r
r
β πάνω στο α, αν |α|=3 2, |β|=3 και ( α , β )=600
(8 µονάδες)
Γ)
Αν
για
τα
µη
µηδενικά
διανύσµατα
r
r r
r r r r
r
α , β ισ χύ ει |α -β |= |α + β |,να δειχθ εί ό τι α ⊥ β .
(8 µονάδες)
ΘΕΜΑ 3ο
Α) ∆ίνονται τα σηµεία Α(3,5), Β(3, -3), Γ(-6, 4).
Ι) Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου
ΙΙ) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους Α∆, της διαµέσου ΒΕ και της
µεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ.
(12 µονάδες)
Β) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή
των αξόνων, άξονα συµµετρίας τον άξονα χ’χ και εφάπτεται της
ευθείας ε: 2χ – 2ψ+3=0.
(9 µονάδες)
2
Γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της έλλειψης χ2+3ψ2=3
που σχηµατίζει µε τους ηµιάξονες Οχ, Οψ ισοσκελές τρίγωνο.
(9 µονάδες)
ΘΕΜΑ 4ο
Α) Να αποδείξετε ότι α – β| αν – βν για κάθε ν∈Ν, όπου α, β ∈Ζ
(10 µονάδες)
Β) Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός αν = ν3+3ν2+2ν είναι πολλαπλάσιο
του 3 ,για κάθε θετικό ακέραιο ν.
(10 µονάδες)
3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ου ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ
ΘΕΜΑ 1ο
1)
Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > 0 έχει εξίσωση...
(χ – α)2+(ψ – β)2=ρ2............................
2)
Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή των αξόνων, ο οποίος
διέρχεται
από
το
σηµείο
Μ(3,
4)
είναι...........χ2+ψ2=25....................................
3)
Ο
ακέραιος
κ∈Ζ.............και
α
είναι
περιττός
άρτιος
όταν
όταν
είναι
είναι
της
της
µορφής......2κ,
µορφής.....
...2κ+1,
κ∈Ζ..................
4)
Κάθε ακέραιος α είναι της µορφής 3κ ή ..3κ+1
ή
3κ+2,
κ∈Ζ.................................
5)
Έστω
α,
β,
γ
ακέραιοι
µε
αβ≠0.
Αν
α|β
και
β|γ,
τότε
ισχύει......α|γ...................
6)
r
r
r r
r r
Α ν α ↑ ↑ β , τ ό τ ε α .β = ..|α |.|β |............
r
r
r r
Α ν α ⊥ β , τ ό τ ε α .β = ..0 ...............
r
r
Α ν α = ( χ 1 , ψ 1 ) κ α ι β = (χ 2 , ψ 2 ), τ ό τ ε
r r
ι) α .β = ..χ 1 χ 2 + ψ 1 . ψ 2 ................
r r
χ 1χ 2 + ψ 1 .ψ 2
ιι) σ υ ν ( α ,β )= ..
... ..........
χ 12 + ψ 12 χ 2 2 + ψ 2 2
r r
ιιι) α ν χ 1 χ 2 + ψ 1 ψ 2 = 0 , τ ό τ ε α .β = 0 .....................
Ι)
uuur
| A B |=
(3 − 1) 2 + (1 − 3) 2 =
8 =2 2
ΙΙ )
Έ σ τω Μ (χ,ψ ) το µέσ ο του τµήµα τος Α Β ,
B)
1+ 3
3+1
οπότε: χ=
= 2, ψ =
= 2, ά ρ α Μ (2,2)
2
2
4
Γ) Έστω ότι υπάρχει φυσικός αριθµός α τέτοιος ώστε α=3κ+1 και α=6λ+3,
όπου κ, λ∈Ν. Τότε 3κ+1=6λ+3 Ù 3κ=6λ+2
που είναι άτοπο γιατί 3
l(6λ+2).
ΘΕΜΑ 2ο
Α)
uuur uuur uuur
r r r
r r r
r r r
AB = ΟB − ΟΑ = (3α + 4β + γ ) − (α + 2β − 3γ ) = 2α + 2β + 4γ =
r r r
2(α + β + 2γ) (1)
uuur uuur uuur
r r r
r r r r r r
AΓ = ΟΓ − ΟΑ = (2α + 3β − γ ) − (α + 2β − 3γ ) = α + β + 2γ (2)
uuur
uuuur
uuur uur
u
από τις (1) και (2) προκύπτει: AB = 2AΓ άρα AB // AΓ,
δηλαδή Α, Β, Γ συνευθειακά και Γ µέσον του ΑΒ.
Β)
r
r
rr
Ισ χ ύ ει α .π ρ ο β αr β = α β .
r
r
Ό µ ω ς π ρ ο β αr β = λ α , λ ∈ ℜ .
r r rr
r
rr
r
r r
ά ρ α α (λ α )= α β ή λ α 2 = α β ή λ |α | 2 = | α || β | σ υ ν 6 0 0
µ ε α ν τικ α τά σ τα σ η π ρ ο κ ύ π τει: 1 8 λ = 3 2 .3 .
r
r
r
δη λ α δ ή π ρ ο β αr β = λ α ⇒ π ρ ο β αr β =
1
2
⇔ λ =
2
4
2 r
α
4
Γ)
r r r r
r r
r r
r r
r r
| α −β |=| α +β |⇔| α −β |2 =| α +β |2 ⇔ (α −β)2 = (α +β)2 ⇔
r
rr r r
rr r
rr
rr
rr
r r
α2 − 2αβ +β2 = α2 + 2αβ +β2 ⇔ −2αβ = 2αβ ⇔ 4αβ = 0 ⇔ α ⊥ β
5
ΘΕΜΑ 3ο
Α) Ι)
uuur
AB = (3 − 3, −3 − 5) = (0, −8)
uuur
AΓ = (−6 − 3, 4 − 5) = (−9, −1)
άρα
uuur uuur 0 -8
det AB, AΓ =
= 72 ≠ 0 άρα τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.
-9 -1
(
)
ΙΙ)
Εύρεση της εξίσωσης του ύψους Α∆:
4 + 3
7
= −
−6 − 3
9
Α ∆ ⊥ Β Γ άρα:
λ
ΒΓ
=
 7 
. −
 = −1 ⇔ λ
 9 
ά ρ α η ε ξ ίσ ω σ η τ ο υ ύ ψ ο υ ς Α ∆ ε ίν α ι:
9
ψ -5 =
(χ − 3) ⇔ 9 χ − 7 ψ + 8 = 0
7
λ
Α∆
.λ
ΒΓ
= −1 ⇔ λ
Α∆
Α∆
=
9
7
Εύρεση της εξίσωσης της διαµέσου ΒΕ:
Βρίσκουµε τις συντεταγµένες του µέσου Ε του τµήµατος ΑΓ:
χ=
3− 6
3
5+4 9
 3 9 
και ψ=
άρα Ε  − , 
=−
=
2
2
2 2
 2 2 
6
Βρίσκουµε το συντελεστή διεύθυνσης της διαµέσου ΒΕ:
9
2 = −15 = − 5
λ ΒΕ =
3
9
3
3+
2
ά ρ α η ε ξ ίσ ω σ η τ η ς Β Ε ε ίν α ι:
5
ψ+3= −
(χ − 3) ⇔ 5χ + 3ψ − 6 = 0
3
−3 −
Εύρεση της εξίσωσης της µεσοκαθέτου της ΑΒ:
Βρίσκουµε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της ΑΒ:
3+3
5-3
= 3 και ψ=
= 1 άρα Μ (3,1)
2
2
Παρατηρούµε ότι χ Α = χ Β = 3 άρα ΑΒ ⊥ χ'χ,
χ=
οπότε η µεσοκάθετός της είναι παράλληλη στον χ'χ,
άρα έχει εξίσωση ψ=1 (εφόσον διέρχεται από το Μ (3,1) )
Β) Έστω ψ2=2pχ (1) η εξίσωση της ζητούµενης παραβολής.
Η ευθεία 2χ – 2ψ+3=0
(2)
είναι εφαπτοµένη της παραβολής αν και µόνο
αν η ευθεία και η παραβολή έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο.
∆ηλαδή το σύστηµα

ψ 2 = 2pχ
 έχει µία διπλή πραγµατική λύση.
2χ − 2ψ + 3 = 0 
Από τις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση 2ψ2 – 2pψ+3p=0 (3).
Η εξίσωση (3) πρέπει να έχει ∆=0 Ù 4p2 -24p=0 Ù4p(p – 6)=0 Ù
p = 0
Ù  ή
 p = 6
κι επειδή p≠0 άρα p=6, δηλαδή η εξίσωση της ζητούµενης
παραβολής είναι ψ2=12χ
7
Γ)Η
εξίσωση
της
εφαπτοµένης
της
έλλειψης
στο
Μ
είναι
ε: χχ0+3ψψ0=3.
Επειδή
σχηµατίζει
ισοσκελές
τρίγωνο
µε
τους
άξονες,
άρα
ω=1800 – 450=1350.
∆ηλαδή λε=εφ1350 = -1 ,οπότε, −
χ0
= −1 ⇔ χ0 = 3ψ 0 (1) µε χ 0 > 0, ψ0 > 0
3ψ 0
Όµως χ02+3ψ02=3 (2)
1 3


Από τις (1) και (2) έχουµε: ( χ0 , ψ 0 ) =  , 
2 2
Άρα η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης είναι:
ε:
3
3
χ + ψ = 3 ⇔ χ + ψ = 2
2
2
ΘΕΜΑ 4ο
Α) Έστω η πρόταση Ρ(ν) : α – β |αν - βν
Για ν=1: α – β | α – β αληθές
Έστω η πρόταση ισχύει για ν=κ: α – β | ακ - βκ
Θα αποδείξουµε ότι η πρόταση είναι αληθής για ν=κ+1
ακ+1 – βκ+1= ακ+1 – βακ+βακ – βκ+1= ακ(α – β) +βακ – βκ+1=
= αΚ(α – β) +β(ακ – βκ)
δηλαδή α – β | ακ+1 – βκ+1 άρα η Ρ(ν) είναι αληθής για κάθε ν∈Ν.
Β)
-
για ν=1: α1=1+3.1+2.1 = 1+3+2 = 6 : πολ(3) που ισχύει
έστω ότι ισχύει για ν=κ.
∆ηλαδή έστω ακ = κ3 +3κ2 +2κ = πολ(3) = 3λ, λ∈Ν*
-
θα δείξουµε ότι ισχύει για ν=κ+1
έχουµε:
8
ακ+1 = (κ+1)3 +3(κ+1)2 +2(κ+1) = κ3+3κ2+3κ+1+3κ2+6κ+3+2κ+2 = (κ3
+3κ2+2κ)+3κ2+9κ+6=
=ακ +3(κ2+3κ+2) = 3λ +3µ =3(λ+µ) =πολ(3)
άρα η πρόταση ισχύει για κάθε ν∈Ν*
9
o∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ο
ΘΕΜΑ 1
Α.
1. Η εξίσωση κx + λy = µ, κ, λ, µ ≠ 0 παριστάνει πάντα υπερβολή όταν :
Α. µ=1
Β. κλ<0
Γ. µ<0
Ε. κ=µ ή λ=µ.
∆. κ ≠ λ
2
2
2. Έστω ε 1 , ε 2 οι εκκεντρότητες των υπερβολών C1 :
x 2 ψ2
−
= 1 και
α2 β2
ψ2 x 2
1
1
− 2 = 1 . Η τιµή της παράστασης 2 + 2 είναι :
2
β
α
ε1
ε2
1
1
Β. 1
Γ. 2
∆.
Ε. 3
Α.
2
3
x 2 y2
x 2 y2
3. Αν οι ελλείψεις είναι όµοιες C1 : 2 + 2 = 1 , C 2 : 2 + 2 = 1 µε κ>2
2
κ
6
4
C2 :
τότε
Α. Κ=6
Β. Κ=12
Γ. Κ=3
∆. Κ=4
4. Οι εφαπτοµένες της παραβολής C : x 2 = 4 y οι οποίες διέρχονται από
το
σηµείο Κ(0,-1) έχουν εξισώσεις :
Β. 2x ± y = 3
Α. y ± x + 1 = 0
∆. x + y = ±2
Γ. x − 2 y = ±1
5. Η απόσταση ενός σηµείου Μ ( x 0 , y 0 ) της παραβολής C : y 2 = 2ρx από
την εστία Ε είναι ίση µε :
Α. x 0 −
ρ
2
Β. x 0 +
ρ
2
Γ. x 0 + ρ
6. Η εστία της παραβολής C : y =
Α. Ε(0,α)
Β. Ε(0,2 α)
∆. x 0 − ρ
1 2
x α ≠ 0 είναι :
4α
Γ. Ε(2 α,0)
∆. Ε(α,α)
(15 µονάδες)
10
Β.
1.
Πότε η εξίσωση Αx+By+Γ=0 παριστάνει ευθεία;
2.
Έστω η ευθεία ε : 2x+3y-1=0. Να γράψετε ένα διάνυσµα κάθετο
στην ε.
3.
Μια ευθεία που είναι κάθετη στον y’ y ποια µορφή έχει;
4.
Έστω η παραβολή
c : x2=2Py. Ποια η εστία της και ποια η
διευθετούσα της;
5. ∆ίνεται η έλλειψη: 4 x 2 + y 2 = 20 .
Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και το µήκος του µεγάλου
άξονα.
(10 µονάδες)
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνονται τα διανύσµατα
3 r r
r
r
r 1r
α= i +
j , β=( 2ηµθ) i + ( 2συνθ) j και
2
2
Α.
r r r
γ= i − j.
r
r
Για ποιες τιµές του θ ∈ (0,π) τα διανύσµατα a και β είναι
κάθετα;
(12,5 µονάδες)
Β.
r
r
Αν η γωνία των διανυσµάτων β και γ είναι
π
να αποδείξετε ότι
4
ηµθ = 1 +συνθ
(12,5 µονάδες)
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε
ΑΒ = γ
r
η ε ξ ί σ ω σ η ( ε ) : ( a β )χ + ( β γ )ψ + α γ = 0
,
ΒΓ = α
A. Να δείξετε ότι:
α. Η (ε) παριστάνει πάντα ευθεία.
,
ΓΑ = β
και
(6 µονάδες)
11
β. Αν η ευθεία που παριστάνει η (ε) είναι
παράλληλη σε κάποιον από τους άξονες χ΄χ , ψ΄ψ
τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.
(4 µονάδες)
∧
B . Α ν τ ο τ ρ ί γ ω ν ο Α Β Γ ε ί ν α ι ι σ ο σ κ ε λ έ ς µ ε Α = 120 0 τ ό τ ε
να βρεθεί ο αριθµός κ ώστε η ευθεία µε εξίσωση (ε)
διέρχεται από το σηµείο (1 , κ).
(10 µονάδες)
ο
ΘΕΜΑ 4
A. Aν ν ακέραιος, να δειχθεί ότι ο 7ν2-ν-6 είναι πολλαπλάσιο του
ν-1
(6,5 µονάδες)
B. Να δειχθεί ότι αν α, β, γ είναι περιττοί τότε ο αριθµός
(α+β)(β+γ)(γ+α) είναι πολλαπλάσιο του 8.
(6,5 µονάδες)
Γ. Να δειχθεί ότι ο αριθµός Α=
ν(ν + 1)(ν + 8)
είναι ακέραιος
3
(6 µονάδες)
∆. Να δειχθεί ότι αν α/β, β/γ, γ/α τότε (α-β)(β-γ)(γ-α)=0
(6 µονάδες)
12
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2ου ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α)
1. Β
2. Β
3. Γ
4. Α
5. Β
6. Α
Β)
1.
A≠0 ή
ur
2. δ = (2, 3)
Β≠0
3. ψ=ψ0
ρ
 ρ
4. Ε  0,  , δ: ψ=2
 2
5. Ε'(0,- 15), Ε(0, 15)
ε=
3
2
(Α'Α)=2α=4 5
ΘΕΜΑ 2ο
ur r
ur r
1
3
2συνθ = 0 ⇔ ηµθ + 3συνθ = 0 ⇔ ηµθ = − 3συνθ ⇔ (1)
α ⊥ β ⇔ α.β = 0 ⇔ 2ηµθ +
2
2
ηµθ
π
π
 π
= − 3 ⇔ εφθ = −εφ ⇔ εφθ = εφ  −  ⇔ θ = κπ − , κ ∈ Ζ
3
3
συνθ
 3
4π
1
4
π
π
< π ⇔ < κπ <
⇔ <κ<
3
3
3
3
3
A.
άρα κ=1 γιατί κ ∈ Ζ
2π
οπότε θ=
3
(1) : έστω συνθ=0 τότε ηµθ=0 άτοπο άρα συνθ ≠ 0
0<θ<π ⇔ 0<κπ −
13
B.
rr
r r
π
β.γ
2
r =
συν β, γ = συν ⇔ r
(1)
4
2
| β | .| γ |
rr
β.γ = 2ηµθ − 2συνθ
r
| β |= (2ηµθ)2 + (2συνθ)2 = 4(ηµ 2 θ + συν 2θ) =
r
| γ |= 12 + (−1)2 = 2
( )
4 =2
από (1):
2ηµθ − 2συνθ
=
2 2
ηµθ = 1 + συνθ
2
⇔ 4(ηµθ − συνθ) = 2( 2 )2 ⇔ ηµθ − συνθ = 1 ⇔
2
ΘΕΜΑ 3ο
A. α.
rr
rr
Η (ε) είναι της µορφής Αχ+Βψ+Γ=0 µε Α=α.β και Β=β.γ.
r r r
r r r r
Επειδή α, β, γ πλευρές τριγώνου ισχύει α, β, γ ≠ 0 και τα εσωτερικά
rr rr
γινόµενα α.β, β.γ δε µπορούν να είναι ταυτόχρονα µηδέν
r r
rr
rr
r r
rr
(αν α ⊥ β ⇔ α.β = 0 τότε β.γ ≠ 0. Οµοίως αν β ⊥ γ ⇔ β.γ = 0
rr
τότε α.β ≠ 0)
άρα η (ε) ικανοποιεί τη συνθήκη Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 οπότε παριστάνει
πάντα εξίσωση ευθείας.
β.
Έστω ε//χ'χ τότε ε: ψ=ψ 0
rr
r
r
ά ρα α.β = 0 ⇔ α ⊥ β δηλ. ΑΒΓ ορθογώνιο µε Γ$ = 90 0
Έστω ε//ψ'ψ τότε ε: χ=χ 0
rr
ur
r
ά ρα β.γ = 0 ⇔ γ ⊥ β δηλ. ΑΒΓ ορθογώνιο µε Α = 90 0
14
Β.
uur r
| β | =| γ |
r r
1
συν(β, γ) = συν 600 =
2
Η (ε) διέρχεται από το (1,κ) άρα
rr
r ur r ur
rr
r ur 1 urr
urr urr
αβ+κβγ+αγ=0 ⇔ αβ+κ|β|.|γ|. + αγ = 0 ⇔ αβ + αγ = −
2
r r ur
r
u
r
r
r
ur
κ
κ r
κ r
⇔ α(β+γ)=- |β|.|γ |⇔ α(-α)=- |β|2 ⇔ − | α |2 =- |β|2
2
2
2
κ r ur
|β|.|γ|
2
ur
κ r
⇔| α |2 = |β|2 (1)
2
r
|β|
Α∆ ύψος, διάµεσος, διχοτόµος άρα Α∆=
2
ισχύει από Πυθαγόρειο θεώρηµα στο Α∆Γ:
r 2
r 2
r
3
|
|
|
|
β
β
∆Γ 2 = ΑΓ 2 − Α∆ 2 ⇔ ∆Γ 2 =| β |2 −
⇔ ∆Γ 2 =
4
4
r
ur
r
ur
r
ur
r
3|β|
|α|
3 |β|
άρα ∆Γ=
⇔
=
⇔| α |= 3 | β |⇔| α |2 = 3 | β |2 (2)
2
2
2
από (1) και (2):
r
κ r 2
| β | =3 | β |2 άρα κ=6
2
ur
Γ = 300
Α
300
Β
∆
Γ
15
ΘΕΜΑ 4ο
Α.
7ν2-ν-6 = 6ν2+ν2-ν-6=6ν2-6+ν2-ν=6(ν2-1)+ν(ν-1)=
= 6(ν-1)(ν+1)+ ν(ν-1)=(ν-1)(6ν+6+ν)=(ν-1)(7ν+6) = πολ(ν-1)
Β.
α = 2κ + 1
β = 2λ + 1
γ = 2µ + 1,
κ, λ, µ ∈ Ζ
α+β=2(κ+λ)+2=2(κ+λ+1)
β+γ=2(λ+µ)+2=2(λ+µ+1)
α+γ=2(κ+µ)+2=2(κ+µ+1)
άρα (α+β)(β+γ)(α+γ)=8(κ+λ+1)(λ+µ+1)(κ+µ+1)=πολ8
Γ.
αν ν=3κ, κ ∈ Ζ
3κ(3κ+1)(3κ+8)
= κ(3κ+1)(3κ+8) ∈ Ζ
3
αν ν=3κ+1, κ ∈ Ζ
Α =
(3κ+1)(3κ+1+1)(3κ+1+8) (3κ+1)(3κ+2)(3κ+9)
=
=
3
3
3(3κ+1)(3κ+2)(κ+3)
=
=(3κ+1)(3κ+2)(κ+3) ∈ Ζ
3
αν ν=3κ+2, κ ∈ Ζ
Α =
(3κ+2)(3κ+2+1)(3κ+2+8) (3κ+2)(3κ+3)(3κ +10)
=
=
3
3
3(κ+1)(3κ+2)(3κ+10)
=
= (κ+1)(3κ+2)(3κ+10) ∈ Ζ
3
άρα Α ακέραιος
Α =
∆.
α/βÙβ=κα (1)
β/γÙ γ=λβ (2)
16
γ/α
από (1) και (2):
γ=(λκ)α άρα α/γ και από δεδοµένο γ/α άρα α=γ
µε αντικατάσταση προκύπτει:
(α-β)(β-γ)(γ-α)= (α-β)(β-γ)(α-α)= 0.
17
ο
p ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΘΕΜΑ 1 :
∆ίνονται οι ακέραιοι α = 3κ + 2 και β = 5κ + 3, όπου κ ακέραιος
αριθµός.
α) Αν δ θετικός ακέραιος, τέτοιος ώστε δ / 5α και δ / 3β, να βρεθεί ο
δ.
β) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού (6β – 3α) µε το
7.
γ) Αν ο κ είναι περιττός, να αποδείξετε ότι ο αριθµός (α + β – 3)
είναι πολλαπλάσιο
του 16.
ΘΕΜΑ 2ο :
Έστω το σηµείο Κ(0, 3) και η ευθεία ε µε εξίσωση
4x – 3y – 16 = 0.
α) Να βρεθεί το σηµείο τοµής Ε της ευθείας ε µε τον άξονα x΄x.
→
β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσµα KE είναι κάθετο στην ευθεία ε.
γ) Να γράψατε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει κέντρο το Κ
και διέρχεται από το σηµείο Ε.
δ) Να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε.
ΘΕΜΑ 3ο :
→
→
∆ίνονται τα διανύσµατα α( −3, −2), β (2, 3) , το σηµείο Α(1,1) και τα
σηµεία
→
→
→
→
→
Β και Γ που ορίζονται από τις ισότητες ΑΒ = α+ β , ΑΓ = β
α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ και ορίζουν τρίγωνο.
β) Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
γ) Να βρεθούν οι συντεταγµένες των σηµείων Β και Γ.
ΘΕΜΑ 4ο :
x2 y 2
+
= 1.
α2 β2
β) Να χαρακτηρίσετε σωστό ή λάθος στις παρακάτω προτάσεις
α)Να δοθεί ο ορισµός της εκκεντρότητας ε της έλλειψης C :
i. Οι υπερβολές
x2 y 2
y 2 x2
−
= 1 έχουν ίδιες
−
= 1 και
9
4
9
4
ασύµπτωτες.
x2 y 2
x2 y 2
ii. Οι εξισώσεις
+
= 1 παριστάνουν όµοιες
+
= 1 και
16 36
8 18
ελλείψεις.
18
3
iii. Η εξίσωση (κ-2)χ+(κ -3κ-2)y +3=0παριστάνει ευθεία
για κάθε κ ∈ ℜ .
2
2
iv. Ο κύκλος χ +(y-2) =4 και η ευθεία (ε):4χ+3y+4=0
εφάπτονται.
v. Η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο Α(2,-3) και είναι
→
παράλληλη στο διάνυσµα δ (0,1) έχει εξίσωση (ε):y=-3.
γ. Να γίνει η αντιστοίχηση µεταξύ των στηλών Α και Β
ΣΤΗΛΗ Α
2
2
1. χ +y -4χ+2y+5=0
2
2
2. 4χ -y =0
2
2
3. 16y =χ +1
2
2
4. 8χ +6y =48
2
2
5. χ +y -4χ+2y-5=0
ΣΤΗΛΗ Β
α. Υπερβολή
β. Έλλειψη
γ. Παραβολή
δ. Κύκλος
ε. Ζεύγος Ευθειών
στ. Ένα σηµείο
2
6. 9χ -y=0
19
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3ου ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:
ΘΕΜΑ 1ο:
α) Είναι 5α = 15κ + 10, 3β = 15κ + 9 και 5α − 3β = 1.
δ / 5α και δ / 3β,
εποµένως δ / ( 5α − 3β ) ⇔ δ / 1 .
Άρα δ = 1.
β) Είναι: 6β – 3α = 30κ + 18 – 9κ – 6 = 21κ + 12 = 21κ + 7 +
5 = 7(3κ +1) + 5.
Εποµένως το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού (6β – 3α) µε το
7 είναι 5.
γ) Αν κ = 2ρ + 1, ρ ∈ Ζ , είναι:
α + β + 3 = 3κ + 2 + 5κ + 3 + 3 = 8κ + 8 = 8(κ + 1) = 8(2ρ
+ 2) = 16(ρ + 1)
ΘΕΜΑ 2ο:
α) Από την εξίσωση 4x – 3y – 16 = 0, για y = 0, έχουµε x = 4,
δηλαδή Ε(4, 0).
→
β) Το διάνυσµα v = (3,4) είναι παράλληλο στην ευθεία ε.
→
→
→
→
→
Επειδή KE = (4, −3) και KE⋅ v = 4 ⋅ 3 + ( −3) ⋅ 4 = 0 είναι KE ⊥ v
γ) Ο ζητούµενος κύκλος έχει ακτίνα:
→
ρ = (ΚΕ ) = ΚΕ = 42 + ( −3)2 = 5 και εξίσωση
(x − 0)2 + (y − 3)2 = 252 ⇔ x 2 + (y − 3)2 = 25
δ) Επειδή
4 ⋅ 0 − 3 ⋅ 3 − 16
=5=ρ
d(K, ε ) =
42 + ( −3)2
ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε.
ΘΕΜΑ 3ο:
α)Αρκεί να αποδείξουµε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ δεν είναι
→
→
συνευθειακά, δηλαδή ότι ΑΒ και ΑΓ δεν είναι παράλληλα
→
→
→
→
→
ΑΒ = α+ β = ( −3, −2) + (2, 3) = ( −1,1)
ΑΓ = β = (2, 3)
20
uuur uuur
det( ΑΒ , ΑΓ ) = −5 ≠ 0 Άρα τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα και
ορίζουν τρίγωνο
β) ( ΑΒΓ ) =
γ)
Έστω
uuur uuur
1
5
det( ΑΒ , ΑΓ ) = τ .µ
2
2
(xβ , y β )
οι
συντεταγµένες
του
Β
και
(x γ , y γ )
οι
συντεταγµένες του Γ.
→
Αρα ΑΒ = ( −1,1) ⇔ (xβ − 1, y β − 1) = ( −1,1) ⇔ xβ = 0, y β = 2 ,Β(0,2)
→
ΑΓ = (2, 3) ⇔ (x γ − 1, y γ − 1) = (2, 3) ⇔ x γ = 3, y β = 4 , Γ(3,4)
ΘΕΜΑ 4ο:
α) Σχολικό βιβλίο σελ. 104-105
β) i Λ
ii Σ
iii Λ
iv Σ
v Λ
γ) 1 στ
2ε
3α
4β
5δ
6γ
21
q ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ [ΠΡΟΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗ]
ο
ΘΕΜΑ 1 :
∆ίνεται η εξίσωση
(ε λ ) : (λ 2 + 3λ − 2) ⋅ x + (2λ 2 + 3λ − 1) ⋅ y − 7λ 2 − 12λ + 5 = 0
α) Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε λ ∈ ℜ
β) Να δείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σηµείο
για κάθε λ ∈ ℜ
γ) Να βρεθεί από τις ευθείες ε λ , εκείνη που έχει
1
συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε −
2
δ) Εάν ε 1 και ε 2 είναι οι ευθείες που προκύπτουν για λ=1
και λ=-1 από την ε λ , να βρεθεί το συνηµίτονο της οξείας
τους γωνίας ω .
ΘΕΜΑ 2ο :
Έστω ότι η ευθεία (ε ) : x + 2y − 3 = 0 και ο κύκλος
c : x 2 + y 2 − x − 2 = 0 , τέµνονται στα σηµεία Μ και Ν .
α) Να δείξετε ότι η εξίσωση : x 2 + y 2 − x − 2 + λ (x + 2y − 3) = 0 ,
λ ∈ ℜ παριστάνει κύκλο που διέρχεται από τα σηµεία Μ
και Ν .
β) Για ποια τιµή του λ ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των
αξόνων ;
γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου του
β) ερωτήµατος, η οποία είναι παράλληλη µε την ευθεία
ΜΝ
ΘΕΜΑ 3ο :
α). Να βρείτε τους ακέραιους αριθµούς κ ώστε ο αριθµός
2κ + 5
3 να είναι ακέραιος.
β) Αν δ,ν είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει δ | (5ν + 3) και
δ | (8ν + 5) , να δείξετε ότι δ | 1 .
γ) Να δείξετε ότι για κάθε νεΝ ισχύει 5 | (23 ν+ 2 + 3ν+ 4 )
22
ΘΕΜΑ 4ο :
ur ur
α) Να βρείτε τα µέτρα των µη µηδενικών διανυσµάτων α , β αν
ur
ur ur
ur
ur
β = −2 | α | α και |β |= 6 | α |
β)
∆ίνεται
τρίγωνο
ΑΒΓ
στο
οποίο
ισχύει
uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur uuur

 π
| AB − AΓ |=| AB |
και |AB | − | AΓ |=| AB + ΓΑ + ΒΓ | να δείξετε ότι  ΑΒ, ΑΓ  =

 3
u
r
γ) Αν α = (λ 2 − 1, λ 2 − 2λ − 3) και β = (λ − 1, λ 2 + 3λ + 2) να βρεθεί ο λ ∈ℜ όταν
ur ur
ur ur
και ιι) α + β // χ ' χ
ι) α // β
ur
23

Download Report