∆. Ασκήσεις για εξάσκηση

Μπάμπης Στεργίου :
Γεωμετρία για διαγωνισμούς - 2009
Το αρχείο αυτό με τις ασκήσεις αφιερώνω στους συναδέλφους ,
μέλη του club Mathematics.
∆. Ασκήσεις για εξάσκηση
Βασικές ασκήσεις – Εφαρµογές
1.76
∆ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB = 8 και AΓ = 12 . Ένας κύκλος διέρχεται από τα
σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία ∆ και Ε αντίστοιχα.
Αν Β∆ = 5 , να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΕΓ.
1.77
Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι BΓ = 4 . Η διάµεσος ΑΜ, προεκτεινόµενη, τέµνει τον
περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να υπολογίσετε το γινόµενο
AM ⋅ ME .
1.78
Φέρνουµε µια χορδή ΑΒ ενός κύκλου µε κέντρο Ο και το απόστηµα ΟΜ αυτής.
Μια άλλη χορδή Γ∆ του κύκλου διέρχεται από το Μ. Να αποδειχθεί ότι:
ΑΒ 2 = 4ΜΓ ⋅ Μ∆
1.79
Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος
του ευθυγράµµου τµήµατος Σ∆ = x .
1.80
Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος
της χορδής ∆E = x .
1.81
∆ίνεται κύκλος (Κ,6) και σηµείο Α, ώστε ΑΚ = 14 cm. Αν από το σηµείο Α
φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ που τέµνει τον κύκλο κατά χορδή ΒΓ = 6 cm, να υπολογίσετε το ΑΒ.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
73
1.82
Να αποδείξετε ότι η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων διχοτοµεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόµενο τµήµα τους.
1.83
Στο διπλανό σχήµα να αποδειχθεί ότι
ΣA = Σ∆ .
1.84
Θεωρούµε κύκλο (Ο,R) και τις χορδές του ΑΒ, Γ∆ που τέµνονται στο Ρ. Αν ισχύει
ΡΑ Ρ∆
=
, να αποδείξετε ότι οι χορδές ΑΒ, Γ∆ είναι ίσες.
ότι
ΡΒ ΡΓ
1.85
Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ = 20 , Γ∆ = 19 , ΑΟ = 6 και
ΓΟ = 7 . Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σηµεία Α, Β και Γ διέρχεται επίσης από το σηµείο ∆.
1.86
Στο διπλανό σχήµα είναι ΟΑ = 2ΟΕ . Να αποδειχθεί ότι:
ΑΒ = 3ΒΟ .
1.87
∆ύο χορδές ΑΒ και Γ∆ ενός κύκλου τέµνονται σε µέρη ανάλογα. Να αποδειχθεί
ότι οι χορδές αυτές είναι ίσες.
1.88
Να αποδειχθεί ότι στο διπλανό σχήµα τα σηµεία ∆, Ε, Ζ
και Η είναι οµοκυκλικά (ανήκουν στον ίδιο κύκλο).
74
1.89
Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Η
ευθεία του ύψους Α∆ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. Αν ΑΒ = ΑΓ = 10 και
ΒΓ = 12 , να βρείτε:
α) το µήκος του τµήµατος ∆Ε,
β) την ακτίνα R του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.
1.90
Στο διπλανό σχήµα είναι ΣΑ = 77 ,
ΑΒ = 74 . Να υπολογίσετε:
Σ∆ = 33
και
α) το τµήµα ΣΓ,
β) τη γωνία Σˆ .
1.91
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε β 2 + γ 2 = 2α 2 . Η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο ∆. Να αποδειχθεί ότι:
α) ΑΜ =
1.92
α 3
,
2
β) Μ∆ =
α 3
.
6
Τα ύψη Α∆, ΒΕ και ΓΖ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Η. Η προέκταση
του Α∆ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Η′. Να αποδειχθεί ότι:
α) HA ⋅ H∆ = ΗΒ ⋅ ΗΕ = ΗΓ ⋅ ΗΖ ,
β) ΑΖ ⋅ ΑΒ = ΑΓ ⋅ ΑΕ ,
γ) ΑΕ ⋅ ΑΓ = ΑΗ ⋅ Α∆ ,
δ) Η∆ = Η ′∆ ,
ε) ∆Β ⋅ ∆Γ = ∆Η ⋅ ∆Α .
1.93
Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε
ˆ . Να αποΑΒ = ΑΓ . Η Β∆ είναι διχοτόµος της γωνίας Β
δειχθεί ότι:
α) ∆Α ⋅ ΒΓ = ∆Γ ⋅ ΒΑ ,
β) Α∆ = ΓΕ .
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
75
1.94
1.95
Έστω ΑΒ µια διάµετρος και ΑΓ µια χορδή ενός κύκλου. Στην προέκταση της ΑΓ
προς το Γ παίρνουµε σηµείο ∆ τέτοιο, ώστε Α∆ = ΑΒ . Αν το ∆Ε είναι εφαπτόµενο τµήµα, να αποδειχθεί ότι:
α) Β∆2 = 2∆Ε 2 ,
β) τα τµήµατα Β∆ και ∆Ε είναι ασύµµετρα.
 R
∆ύο κύκλοι (Κ,R) και  Λ,  εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο Α. Από ένα ση 2
µείο Μ του µικρού κύκλου φέρνουµε µια χορδή Γ∆ του µεγάλου. Να αποδειχθεί
ότι:
MΓ ⋅ Μ∆ = ΜΑ 2
1.96
Με τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος
να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Γ, ∆, Ε και
Ζ είναι οµοκυκλικά.
1.97
ˆ = 90ο ) και ο περιγεγραµµένος του κύ∆ίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α
κλος (Ο, R). Μια µεταβλητή ευθεία (ε) διέρχεται από το Γ και τέµνει το ύψος Α∆
στο σηµείο Μ και τον κύκλο στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι ΓΜ ⋅ ΓΗ = ΓΑ 2 .
1.98
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ο κύκλος, που διέρχεται από το Α και τα µέσα Μ, Ν των
ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, εφάπτεται της ΒΓ στο ∆, να αποδείξετε ότι:
A∆2 = ∆Β ⋅ ∆Γ
1.99
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραµµένος του κύκλος (O,R). Αν η διχοτόµος
Α∆ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε και ισχύει Α∆2 = ∆Β ⋅ ∆Γ να αποδειχθεί ότι:
α) Α∆ = ∆Ε ,
β) τα τρίγωνα ΑΕΓ και ∆ΕΓ είναι όµοια,
γ) ΑΕ 2 = 2ΕΓ 2 .
76
1.100 Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Μια ευθεία παράλληλη
προς την πλευρά Γ∆ τέµνει τις Β∆ και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Β, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά.
1.101 Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε την τέµνουσα ΣΒΑ και το
εφαπτόµενο τµήµα ΣΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας Σˆ τέµνει την ΑΓ στο σηµείο ∆,
∆Α ΣΓ
να αποδειχθεί ότι
=
.
∆Γ ΣΒ
1.102 ∆ίνεται κύκλος (Ο,R) και ένα σηµείο του Α. Έστω Β σηµείο της εφαπτοµένης (ε)
του κύκλου στο σηµείο Α. Η παράλληλη από το σηµείο Β προς την ακτίνα ΟΑ τέµνει τον κύκλο πρώτα στο Γ και µετά στο ∆. Να αποδειχθεί ότι:
ΑΓ 2 = 2ΒΓ 2 + ΒΓ ⋅ Γ∆
1.103 ∆ίνεται η διάµετρος ΑΒ ενός κύκλου (O,R) και ένα τυχαίο σηµείο Ε της ΟΑ. Μια
ˆ = 45ο ) .
χορδή Γ∆ διέρχεται από το Ε και σχηµατίζει µε την ΑΒ γωνία 45ο (∆ΕΒ
Αν Ζ είναι το µέσο της Γ∆, να αποδειχθεί ότι:
ΕΑ ⋅ ΕΒ + 2ΟΖ 2 = R 2
1.104 Ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς α είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Αν Ε
είναι το µέσο της Α∆ και η ΒΕ προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο Ζ, να αποδείξετε ότι:
α) ΒΕ =
α 5
,
2
β) ΒΕ = 5ΕΖ .
1.105 Από σηµείο Α εκτός κύκλου (Ο,R) φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ και εφαπτόµενο
ˆ τέµνει τις Β∆, Γ∆ στα Ε και Ζ ατµήµα Α∆. Αν η διχοτόµος της γωνίας Α
ντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
ΕΒ ⋅ ΖΓ = Ε∆ ⋅ Ζ∆
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
77
1.106 Αν η διάµεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε, να
αποδείξετε ότι:
ΒΓ 2
α) ΑΜ ⋅ ΜΕ =
,
4
β) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ ⋅ ΑΕ .
1.107 ∆ίνεται κύκλος (Ο,R) και ευθεία (ε) που δεν τέµνει τον κύκλο. Από µεταβλητό
σηµείο Μ της (ε) φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ, ΜΒ. Να αποδειχθεί
ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σηµείο.
1.108 ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Aˆ = 90ο ) , εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R) και
το ύψος του Α∆. Αν µεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέµνει το ύψος
Α∆ στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι:
α) ΓΜ ⋅ ΓΗ = ΓΑ 2 ,
∆
β) ο περιγεγραµµένος κύκλος του AMH εφάπτεται µε την ΑΓ.
1.109 Αν η διχοτόµος Α∆, τριγώνου ΑΒΓ, τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε και
είναι Α∆2 = ∆Β ⋅ ∆Γ , να αποδείξετε ότι ΑΕ 2 = 2ΕΓ 2 .
1.110 Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ
και ΣΒ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΣΒ τέµνει τον κύκλο στο Γ. Έστω ∆ το
σηµείο, στο οποίο η ΣΓ τέµνει τον κύκλο. Αν η Α∆ τέµνει τη ΣΒ στο σηµείο Ε, να
αποδειχθεί ότι:
α) τα τρίγωνα ∆ΣΕ και ΑΣΕ είναι όµοια,
β) EΣ = EB .
1.111 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο σηµείο ∆. Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και 2α 2 = β 2 + γ 2 , τότε:
α) να υπολογίσετε, συναρτήσει της πλευράς α, τα τµήµατα ΜΘ και Μ∆,
β) να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΒΘΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο.
78
1.112 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του Α∆. Αν ΑΒ ⋅ ΒΓ = ΑΓ 2 και Γ∆ = ΑΒ , να
αποδειχθεί ότι ΒΑ ⊥ ΑΓ .
1.113 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση:
α2 + β2 β2 + γ2 γ2 + α2
+
+
≤ 12R
µγ
µα
µβ
όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου.
1.114 ∆ίνεται ρόµβος ΑΒΓ∆. Μια ευθεία που διέρχεται από την κορυφή Α τέµνει τη
διαγώνιο Β∆ στο σηµείο Ε, την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ και την προέκταση της
∆Γ στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι:
α) τα τρίγωνα ΕΓΖ και ΕΓΗ είναι όµοια,
β) EΓ 2 = ΕΖ ⋅ ΕΗ ,
γ) ο κύκλος που διέρχεται από τα σηµεία Γ, Ζ και Η εφάπτεται στην ευθεία ΕΓ.
1.115 ∆ίνονται δύο χορδές ΑΒ και Γ∆ ενός κύκλου C που τέµνονται στο Σ, ώστε
ΣΑ < ΣΒ . Έστω Ε το συµµετρικό του Α ως προς το Σ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος
του τριγώνου ∆ΕΒ τέµνει τη Γ∆ στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι:
ΣΓ = ΣΖ
1.116 Ένας κύκλος που είναι εγγεγραµµένος σε τετράγωνο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = 10 , εφάπτεται µε την πλευρά ΑΒ στο σηµείο Μ. Οι Μ∆, ΜΓ τέµνουν τον κύκλο αυτό στα Ε
και Ζ. Να υπολογίσετε το µήκος x του ΕΖ.
1.117 ∆ίνεται κύκλος (Ο,R) και µια διάµετρός του ΑΒ. Στην προέκταση της διαµέτρου
ΑΒ προς το µέρος του Β παίρνουµε τυχαίο σηµείο Γ και φέρνουµε την εφαπτοµένη Γ∆. Η κάθετη πάνω στην ΑΓ, στο σηµείο Γ, τέµνει την προέκταση της Α∆
στο σηµείο Ε. Να αποδειχθεί ότι:
ΓΑ 2 = Γ∆2 + Α∆ ⋅ ΑΕ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
79
1.118 ∆ίνεται κύκλος (Ο,R) και τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ. Φέρνουµε την
ΟΓ ⊥ ε , όπου (ε) µια τυχαία ευθεία που διέρχεται από το Μ και δεν τέµνει τον
κύκλο. Να αποδειχθεί ότι:
α) τα σηµεία Μ, Α, Ο, Β και Γ είναι οµοκυκλικά,
β) ΟΝ ⋅ ΟΓ = R 2 , όπου Ν το κοινό σηµείο των ΟΓ, ΑΒ.
1.119 Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ, προς το σηµείο Β, ενός κύκλου µε κέντρο Ο
παίρνουµε ένα σηµείο ∆. Από το ∆ φέρνουµε την εφαπτοµένη ∆Γ του κύκλου.
Αν A∆ = 2Γ∆ , να αποδείξετε ότι:
ΑΒ = 3Β∆
1.120 ∆ίνεται κύκλος (Ο,R), µια διάµετρος ΑΒ και ένα σηµείο του Γ. Έστω Γ∆ ⊥ ΑΒ .
Ο κύκλος (Γ,Γ∆) τέµνει τον κύκλο (Ο,R) στα σηµεία Μ και Ν. Να αποδειχθεί
ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΜΝ διχοτοµεί το τµήµα Γ∆.
1.121 Ένα σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Οι
εφαπτοµένες του κύκλου στα σηµεία Β και Γ τέµνονται στο ∆. Αν η ευθεία
Α∆ τέµνει τον κύκλο στο Ε και Μ είναι το µέσο του ΒΓ, να αποδειχθεί ότι τα
σηµεία Α, Ο, Μ, Ε είναι οµοκυκλικά.
1.122 ∆ύο χορδές ΑΓ και Β∆ ενός ηµικυκλίου ΑΟΒ µε κέντρο Ο, τέµνονται στο
σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι:
ΑΒ 2 = ΑΕ ⋅ ΑΓ + ΒΕ ⋅ Β∆
1.123 ∆ίνεται κύκλος ακτίνας R = 10 και µια χορδή ΑΒ. Προς το εξωτερικό του
κύκλου κατασκευάζουµε τετράγωνο ΑΒΓ∆ και από την κορυφή ∆ φέρνουµε
την εφαπτοµένη ∆Ε. Αν ∆E = 2∆Α , να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου.
1.124 Έστω ∆ τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ. Οι
περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α∆Β και Α∆Γ τέµνουν τις πλευρές ΑΓ
και ΑΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι:
BΓ = ΒΖ + ΖΕ
80
1.125 Η διάµεσος ΒΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι:
ΒΑ 2 + ΒΓ 2 + ΕΑ 2 + ΕΓ 2 = 2ΒΕ 2
1.126 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, µε β 2 + γ 2 = 2α 2 . Αν η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο ∆, να αποδείξετε ότι Μ∆ =
α 3
.
6
3
β . Αν Μ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
2
ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΜ εφάπτεται της ΒΓ στο Β.
1.127 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ γ =
1.128 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε µ β ⊥ µ γ . Να αποδείξετε ότι:
α) β 2 + γ 2 = 5α 2 ,
β) αν Α∆ ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΗ ⋅ Α∆ = 2α 2 .
1.129 Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ισοσκελές, µε ΑΒ = ΑΓ = 6 . Αν Α∆ = 4 και
ΓΕ = 3 , να αποδείξετε ότι:
α) ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου
∆ΒΕ εφάπτεται της ΑΒ,
ˆ .
β) η ΒΓ είναι διχοτόµος της γωνίας ∆ΒΕ
1.130 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ, µε α = 3 , β = 2 και γ = 4 είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο.
Στο Α φέρνουµε την εφαπτοµένη του κύκλου που τέµνει την προέκταση της ΒΓ
στο ∆.
α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ.
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ είναι όµοια.
γ) Να εκφράσετε το µήκος του Α∆ ως συνάρτηση του µήκους x του Γ∆.
δ) Να υπολογίσετε τα τµήµατα Γ∆ και Α∆.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
81
Ασκήσεις για Ολυµπιάδες
1.131 Σε κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ∆Ε οι διαγώνιοι Β∆ και ΓΕ τέµνονται στο σηµείο
Ο. Να αποδείξετε ότι η ΓΒ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου
ΒΟΕ.
1.132 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και οι κύκλοι (Γ1 ) , (Γ2 ) µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ
∆
αντίστοιχα. Το ύψος από το Β του ΑΒΓ , τέµνει τον (Γ2 ) στα σηµεία Ε και Ζ,
∆
ενώ το ύψος από το Γ του ΑΒΓ , τέµνει τον (Γ1 ) στα Η και Θ. Να αποδείξετε
ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Η, Θ είναι οµοκυκλικά.
(Αυστρία – 2005)
1.133 ∆ίνεται κύκλος µε κέντρο Ο, µια ακτίνα του ΟΑ, ένα σηµείο ∆ αυτής και µια
χορδή ΒΓ κάθετη προς την ΟΑ, η οποία διέρχεται από το ∆. Έστω Μ∆Ν µια
τυχαία χορδή του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο ∆. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο Β τέµνει την ευθεία ΟΑ στο σηµείο Ρ. Να αποδείξετε ότι η ΜΑ διχοˆ .
τοµεί τη γωνία ∆ΜΡ
1.134 ∆ίνεται κύκλος (Ο,R), µια ακτίνα του ΟΑ, το µέσο Σ της ΟΑ και µια χορδή
ΒΓ η οποία διέρχεται από το Σ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Β και Γ τέµνονται στο ∆. Αν Ε είναι η προβολή του ∆ πάνω στην ευθεία ΟΑ, να αποδείξετε ότι:
α) ΑΟ = ΑΕ ,
β) καθώς η χορδή ΒΓ στρέφεται περί το Σ, το σηµείο ∆ κινείται σε µια σταθερή
ευθεία.
1.135 Από σηµείο Α εκτός κύκλου φέρνουµε τις τέµνουσες ΑΒΓ και Α∆Ε. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΕ τέµνει την ευθεία Γ∆ στο Ζ. Από το Ζ φέρνουµε
την εφαπτοµένη ΖΗ προς τον κύκλο. Να αποδείξετε ότι ZA = ZH .
82
1.136 ∆ίνεται ηµικύκλιο C1 διαµέτρου ΑΒ και ένα σηµείο ∆ του τόξου ΑΒ. Φέρνουµε ∆Γ ⊥ ΑΒ . Στην ηµιευθεία Γ∆ παίρνουµε τµήµα ΓΕ > Γ∆ . Η ΑΕ τέµνει
το C1 στο σηµείο Ζ. Ένα ηµικύκλιο C 2 µε διάµετρο το ΑΕ τέµνει το C1 στο
σηµείο Η και τη ΒΖ στο σηµείο Θ. Να αποδείξετε ότι A∆ = ΑΘ .
ˆ < 90 o και δύο ηµιευθείες Ox και Oy στο εσωτερικό
1.137 ∆ίνεται γωνία xOy
1
1
ˆ = yOy
ˆ
της, ώστε xOx
1
1 και οι γωνίες αυτές να µην έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία. Από ένα σηµείο Α της Ox1 φέρνουµε AΓ ⊥ Ox και A∆ ⊥ Oy . Από
ένα σηµείο Β της Oy1 , φέρνουµε BE ⊥ Ox και BZ ⊥ Oy . Να αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα ΟΓ∆ και ΟΕΖ είναι όµοια,
β) τα σηµεία Ε, Γ, Ζ, ∆ είναι κορυφές τετραπλεύρου εγγράψιµου σε κύκλο.
1.138 ∆ίνεται ηµικύκλιο C διαµέτρου ΑΒ και κέντρου Ο. Έστω Γ τυχαίο σηµείο του
ηµικυκλίου, διάφορο των Α, Β, και Μ το µέσο του τόξου ΑΓ. Η εφαπτοµένη του
C στο Μ τέµνει την ευθεία ΒΓ στο ∆. Η ευθεία Α∆ τέµνει το C στο Ε και η
ΒΕ τέµνει το Μ∆ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΗΜ = Η∆ .
1.139 ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ εγγεγραµµένο σε κύκλο και το σηµείο τοµής Ε των
απέναντι πλευρών ΒΑ και Γ∆. Η παράλληλη από το Ε προς την ΑΓ τέµνει την
ευθεία Β∆ στο σηµείο Ζ. Αν ΖΗ είναι εφαπτόµενο τµήµα από το Ζ προς τον
κύκλο, να αποδείξετε ότι ΖΕ = ΖΗ .
1.140 ∆ύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ), µε R > ρ , τέµνονται στα Α και Β. Οι κοινές
εφαπτοµένες Γ∆ και ΕΖ τέµνονται στο Η. (Τα Γ και Ε είναι σηµεία του κύκλου (Κ, R)). Η ευθεία ΗΑ τέµνει τον κύκλο Κ στο Θ και η ΓΕ τέµνει την
ˆ = ΚΑΙ
ˆ .
ΚΛ στο Ι. Να αποδείξετε ότι KΘΙ
1.141 ∆ίνεται ένας κύκλος και δύο σηµεία του Α και Β όχι αντιδιαµετρικά. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α και Β τέµνονται στο Γ. Η παράλληλη από το Α
προς τη ΒΓ τέµνει τον κύκλο στο ∆. Η Γ∆ τέµνει τον κύκλο στο Ε και η ΑΕ
τέµνει τη ΒΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΖΒ = ΖΓ .
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
83
1.142 Από ένα εξωτερικό σηµείο Α ενός κύκλου C1 φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΑΒ και ΑΓ. Έστω ∆ το συµµετρικό του Α ως προς το Β. Ένας κύκλος C 2
που εφάπτεται της ΑΒ στο Α, διέρχεται από το Γ και τέµνει τον C1 στο Ε. Η
ΑΕ τέµνει τον C1 στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΖ∆ είναι εγγράψιµο.
(GM)
1.143 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α∆ και τα µέσα Μ, Ν των πλευρών
ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ∆ΜΒ, ∆ΓΝ ξανατέµνονται στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ∆Ε διέρχεται από το µέσο του ΜΝ.
1.144 Εξωτερικά των πλευρών ΑΓ, ΒΓ ενός οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούµε τα
ηµικύκλια C1 , C 2 µε διαµέτρους ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Φέρνουµε τα ύψη Α∆,
ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ. Αν οι ευθείες Α∆, ΒΕ τέµνουν τα ηµικύκλια στα σηµεία Ν και Μ, να αποδείξετε ότι ΓΜ = ΓΝ .
(Βρετανία – 2005)
1.145 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα µέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα και σηµείο ∆ της
πλευράς ΒΓ. Αν ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΜΝ διέρχεται από
τα βαρύκεντρα Κ, Λ των τριγώνων Α∆Β, Α∆Γ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) ∆Μ = ∆Ν ,
β) οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α∆Β, Α∆Γ διέρχονται αντίστοιχα
από τα Λ και Κ.
1.146 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος Α∆, ∆Ε ⊥ ΑΒ και ∆Ζ ⊥ ΑΓ . Αν Ο
∆
είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ και Α∆ = R 2 , όπου R είναι η ακτίνα του περι∆
γεγραµµένου κύκλου του ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ο, Ζ είναι συνευθειακά.
(Βοσνία, tst – 2008)
84
1.147 Έστω Ρ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα
∆
και Θ το βαρύκεντρο του ABΓ . Αν το τετράπλευρο ΡΘΜΒ είναι εγγράψιµο και
µβ =
3
γ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
2
(25η Ολυµπιάδα – Αλβανία)
1.148 ∆ίνεται κύκλος (C) και σηµείο Α αυτού. ∆ύο ευθείες διέρχονται από το Α και
τέµνουν τον (C) στα σηµεία Β και Γ. Μια ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ τέµνει τις ηµιευθείες ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία ∆, Ε αντίστοιχα και εφάπτεται του (C)
στο Ρ. Τα τµήµατα ∆Γ και ΕΒ τέµνουν τον (C) στα Ζ, Η αντίστοιχα. Οι ευθείες ΑΖ, ΑΗ τέµνουν τη ∆Ε στα Κ, Λ. Να αποδείξετε ότι η ΑΡ διχοτοµεί τη γωˆ .
νία ∆ΑΕ
1.149 ∆ίνεται κύκλος (Ο,R) και σηµείο Α στο εσωτερικό του. Μια µεταβλητή ευθεία
από το Α τέµνει τον κύκλο στα Κ, Λ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Κ, Λ τέµνονται στο Ν. Να αποδείξετε ότι καθώς η χορδή ΚΛ µεταβάλλεται διερχόµενη
από το Α, το Ν κινείται σε µια ευθεία.
1.150 ∆ίνονται δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) που δεν έχουν κοινά σηµεία. Έστω ΚΑ,
ΛΒ εφαπτόµενα τµήµατα προς τους δύο κύκλους. Η ευθεία ΑΒ τέµνει τους κύκλους (Κ), (Λ) στα σηµεία Γ και ∆. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = Α∆ .
1.151 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Β∆, ΓΕ και το ορθόκεντρο Η του
∆
ΑΒΓ . Η ευθεία ∆Ε τέµνει την ευθεία ΓΒ στο Κ. Αν ΗΘ ⊥ ΑΚ , να αποδείξετε
ότι η ευθεία ΘΗ διέρχεται από το µέσο του ΒΓ.
1.152 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Με διάµετρο ΒΓ γράφουµε ηµικύκλιο που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Το ύψος Α∆ του τριγώνου ΑΒΓ τέµνει το ηµικύκλιο στο
Κ. Στο τµήµα ΒΕ παίρνουµε σηµείο Ν, ώστε ΓΝ = ΓΚ . Να αποδείξετε ότι:
α) το τµήµα ΓΝ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου Β∆Ν,
ˆ = 90 ο .
β) ΑΝΓ
(Κίνα – 2007)
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
85
1.153 ∆ύο κύκλοι (C1,ρ) , (C 2 , R) , µε ρ < R , εφάπτονται εξωτερικά. Μια ευθεία
(ε1 ) εφάπτεται µε τον C1 στο Α
και τον
ε 2 // ε1
C2
στο Β. Μια ευθεία
εφάπτεται στον
C1
και
τέµνει τον C 2 στα Γ και ∆. Μια
ευθεία διέρχεται από το Β και τέµνει τη Γ∆ στο Ε και τον κύκλο
C 2 στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η
ευθεία (ε1 ) εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΕΖ.
(Ρουµανία, tst – 2003)
1.154 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σηµείο ∆ στην πλευρά ΒΓ τέτοιο, ώστε ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α∆Β να περνάει από το βαρύκεντρο Λ του
τριγώνου Α∆Γ και συγχρόνως ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α∆Γ να
περνάει από το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου Α∆Β. Να αποδείξετε ότι οι διάµεσοι
∆Μ, ∆Ν των τριγώνων Α∆Β, Α∆Γ που άγονται από το ∆ είναι ίσες.
(Κροατία – 2008)
1.155 ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Ο κύκλος µε διάµετρο ΑΓ τέµνει τη Β∆ στα Ε
και Ζ. Η κάθετη προς την ΑΓ στο σηµείο Γ τέµνει τις ευθείες ΑΒ και Α∆ στα
σηµεία Κ και Λ. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Κ, Λ είναι οµοκυκλικά.
(Baltic way – 2008)
1.156 Στο διπλανό σχήµα οι δύο µικροί κύκλοι είναι τυχαίοι
. Να
και εφάπτονται του ΑΒ καθώς και του τόξου ΑΒ
αποδείξετε ότι:
α) οι ευθείες ∆Γ, ΖΕ τέµνονται επί του κύκλου,
β) τα σηµεία Γ, ∆, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά.
1.157 ∆ίνεται κύκλος C, µια χορδή ∆Κ αυτού και ένα σηµείο Α στην προέκταση του
∆Κ, ώστε ΚΑ = Κ∆ . Η εφαπτοµένη του C στο ∆ τέµνει τις εφαπτοµένες του C
που άγονται από το Α στα σηµεία Β και Γ. Αν ο C εφάπτεται µε την πλευρά ΑΓ
στο Ε και η ΓΚ τέµνει τον κύκλο C ξανά στο Ζ, να αποδειχθεί ότι ΕΖ // Α∆.
86
1.158 ∆ίνεται κύκλος (C) και µια χορδή του ΑΒ. ∆ύο
κύκλοι που εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά,
εφάπτονται επίσης της ΑΒ στα Γ, ∆ και του κύκλου (C) στα Ε, Ζ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία
Γ, ∆, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά.
1.159 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο ∆ στην πλευρά ΒΓ. Ο κύκλος που διέρχεται
από το Α και εφάπτεται της ΒΓ στο ∆ τέµνει την πλευρά ΑΒ στο Ν και την
ΑΓ στο Μ. Η ΒΜ ξανατέµνει τον κύκλο στο Ρ και η ΓΝ τον ξανατέµνει στο
Κ. Αν η ευθεία ΑΡ διχοτοµεί το τµήµα Β∆, να αποδείξετε ότι η ΑΚ διχοτοµεί
το τµήµα ∆Γ.
1.160 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε
κύκλο C. Ένας κύκλος Ω εφάπτεται της
πλευράς ΒΓ στο Γ και της πλευράς ΑΒ
στο σηµείο ∆. Αν ∆Ζ ⊥ ΑΓ , να αποδειˆ .
ˆ = 2ΒΑΓ
χθεί ότι ΑΕΖ
(Crux, problem 1822)
1.161 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α∆, το µέσο Μ της ΑΒ και το µέσο Ν της
ΑΓ. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Β∆Ν και Γ∆Μ ξανατέµνονται στο
Ρ. Να αποδείξετε ότι η Ρ∆ διέρχεται από το µέσο του τµήµατος ΜΝ.
(All Russian – 2007)
1.162 ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ // Γ∆). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, ∆
εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της
Α∆ στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι:
α) τα τετράπλευρα ΑΒΕΖ και Γ∆ΖΕ είναι εγγράψιµα,
β) ∆Ε // ΖΒ και ΓΖ // ΕΑ.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
87
1.163 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Κ στην πλευρά ΑΒ τέτοιο, ώστε
ΒΚ = ΒΓ . Ένας κύκλος C έχει το κέντρο του Ο στην πλευρά ΑΓ και εφάπτεται
της ΑΒ στο Κ. Από το Γ φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΓΕ προς τον C έτσι, ώστε
το Ε να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι το ύψος ΒΗ
του τριγώνου ΑΒΓ διχοτοµεί το τµήµα ΓΕ.
1.164 ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ // Γ∆). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, ∆
εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας άλλος κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της Α∆ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η κοινή χορδή ΚΛ των δύο αυτών κύκλων διχοτοµεί το τµήµα ΕΖ.
1.165 ∆ύο κύκλοι τέµνονται στα
σηµεία Α και Β, ενώ µια
ευθεία που διέρχεται από
το Α τους τέµνει στα Γ
και ∆. Έστω Ε, Ζ δύο
σηµεία των δύο κύκλων.
Αν η ΕΑ τέµνει τη ΓΒ
στο Ν, η ΖΑ τέµνει την
∆Β στο Μ, Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου
ΒΓ∆ και τα σηµεία Μ, Ε,
Ζ, Ν είναι οµοκυκλικά, να
αποδείξετε ότι:
ΟΑ ⊥ ΜΝ
1.166 Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες ΓΒ, ∆Α τέµνονται στο Ρ και οι ΒΑ, Γ∆ τέµνονται στο Σ. Σχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο ΑΒΓΕ. Αν η ευθεία ΓΕ τέµνει την ευθεία ΡΣ στο Ζ, να αποδείξετε ότι
τα σηµεία Ζ, Σ, ∆, Ε είναι οµοκυκλικά.
(Ρουµανία – 2008)
1.167 Ένα τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες AD, BC
τέµνονται στο Ρ και οι DC, AB τέµνονται στο Q. Σχηµατίζουµε το παραλληλό-
88
γραµµο ABCE. Η CE τέµνει την PQ στο F. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία D, E,
F, Q είναι οµοκυκλικά.
ˆ < ΓΒΑ
ˆ .
1.168 ∆ίνεται κύκλος C, µια διάµετρος ΑΒ και µια χορδή Γ∆ ⊥ ΑΒ , µε ΓΑΒ
Η εφαπτοµένη του C στο Γ τέµνει την ΑΒ στο Ε. Αν ΓΚ ⊥ Α∆ , Μ είναι το
µέσο του ΓΚ και η ΑΜ τέµνει τον C στο Σ, να αποδείξετε ότι η ΑΒ εφάπτεται
στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΓΣΕ.
1.169 Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ΑΒ = Α∆ και Βˆ = 90ο . Αν ΒΗ ⊥ ΑΓ και Ο
είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΓ∆, να αποδείξετε ότι ΟΑ ⊥ ∆Η .
1.170 Οι διαγώνιες ΑΓ και Β∆ ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ τέµνονται στο σηµείο Μ. Η
ˆ τέµνει την ευθεία ΒΑ στο σηµείο Κ. Αν:
διχοτόµος της γωνίας ΑΓ∆
ΜΑ ⋅ ΜΓ + ΜΑ ⋅ Γ∆ = ΜΒ ⋅ Μ∆
ˆ .
ˆ = Γ∆Β
να αποδείξετε ότι ΒΚΓ
1.171 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Α∆, ΒΕ, ΓΖ και η διάµεσος ΑΜ. Ο
περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΕΖ τέµνει την ΑΜ ξανά στο Θ. Η
ΑΜ τέµνει τη ΓΖ στο Κ και η Α∆ τέµνει τη ΒΘ στο Ν. Να αποδείξετε ότι
ΚΝ // ΒΓ.
1.172 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε έγκεντρο Ι. Η ευθεία ΑΙ τέµνει τη ΒΓ στο ∆ και τον
περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στο Ε. Έστω Μ το µέσο του τόξου
. Αν η ΜΙ τέµνει τον κύκλο (Α, Β, Γ) στο Ρ, η Ρ∆ τέµνει τον (Α, Β, Γ)
ΑΒΕ
στο Ζ και η ευθεία ΜΖ τέµνει την Α∆ στο Ν, να αποδείξετε ότι:
α) τα σηµεία Β, Ι, Γ, Ν είναι οµοκυκλικά,
β) το Ν είναι το παράκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά
ΒΓ.
1.173 Σε ένα εγγράψιµο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ΒΓ = Γ∆ . Οι διαγώνιες ΑΓ και Β∆
τέµνονται στο Ε. Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα έγκεντρα των τριγώνων ΑΒΕ, Α∆Ε,
ΑΒΓ, Α∆Γ αντίστοιχα και τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά, να αποδείξετε ότι ΑΒ = Α∆ .
(Hong Kong – 2005, tst)
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
89
1.174 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη Β∆ και ΓΕ, καθώς και τα ηµικύκλια C1 ,
ˆ . Αν
C 2 µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ που ξανατέµνονται στο εσωτερικό της γωνίας A
τα τµήµατα Β∆, ΓΕ τέµνουν τα ηµικύκλια C 2 , C1 στα σηµεία Ζ και Η, να αποδείξετε ότι AZ = AH .
1.175 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ορθόκεντρο Η και οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΗΒ, ΑΗΓ που τέµνουν την ευθεία ΒΓ στα σηµεία Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ .
1.176 ∆ύο κύκλοι C1 και C 2 τέµνονται στα σηµεία Μ και Ν. Έστω ΑΒ η κοινή εφαπτοµένη των C1 , C 2 που βρίσκονται πιο κοντά στο Μ (το Α ανήκει στον C1 ) .
Η παράλληλη από το Μ προς την ΑΒ τέµνει τους C1 , C 2 στα Γ, ∆ αντίστοιχα.
Οι ευθείες ΓΑ, ∆Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι ΑΝ, ΒΝ τέµνουν τη Γ∆ στα Ρ και
Σ. Να αποδείξετε ότι EP = ΕΣ .
(ΙΜΟ – 2000)
1.177 ∆ύο άνισοι κύκλοι µε κέντρα Κ, Λ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Μια κοινή
εφαπτοµένη Γ∆ των δύο κύκλων (το Γ στον (Κ) και το ∆ στον (Λ)) τέµνει τη
διακεντρική ευθεία ΚΛ στο Σ. Αν Μ, Ν είναι οι προβολές των Γ, ∆ αντίστοιχα
ˆ = ΛΑΝ
ˆ .
πάνω στην ΚΣ, να αποδειχθεί ότι ΚΑΜ
(ΙΜΟ – 1983)
1.178 Έστω Ι το έγκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ. Μια ευθεία που διέρχεται από το Ι τέµνει
τον εγγεγραµµένο κύκλο στα σηµεία ∆, Ε και τον περιγεγραµµένο κύκλο του
∆
ΑΒΓ στα Ζ, Θ ώστε το ∆ να είναι ανάµεσα στα Ι και Ζ. Να αποδειχθεί ότι:
∆Ζ ⋅ ΕΘ ≥ ρ 2
όπου ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.
(2η ΒΜΟ – 1986)
1.179 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω C1 ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Β και εφάπτεται µε την ΑΓ στο Α και C 2 ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Γ και εφάπτεται µε
την ΑΒ στο Α. Οι κύκλοι C1 , C 2 τέµνονται στο Ζ. Αν Μ είναι το µέσο του ΒΓ,
ˆ = MAΓ
ˆ .
να αποδειχθεί ότι BAZ
90
1.180 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ορθόκεντρο Η και περίκεντρο Ο. Στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ
παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία Μ, Ν ώστε το ΑΜΗΝ να είναι παραλληλόγραµµο. Να αποδειχθεί ότι ΟΜ = ΟΝ .
ˆ = 45ο και ισχύει ότι
1.181 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διχοτόµο Α∆. Αν Α∆Β
Α∆2 = ∆Β ⋅ ∆Γ , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.
1.182 ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Αν Ρ είναι η προβολή του
Η πάνω στη διάµεσο ΑΜ του ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το Ρ βρίσκεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΗΒΓ.
1.183 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Ο κύκλος µε κέντρο Κ το µέσο του
ΑΒ που διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΒ στα Ε και Ζ. Ο κύκλος που διέρχεται
από το µέσο Λ του ΑΓ και διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΓ στα σηµεία Θ και
Ι, ενώ ο κύκλος µε κέντρο το µέσο της ΒΓ που διέρχεται από το Η την τέµνει στα
Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Θ, Ι, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά.
(ΙΜΟ – 2008)
1.184 ∆ύο χορδές ΑΒ και Γ∆ ενός κύκλου (Ο) τέµνονται στο σηµείο Ρ. Οι εφαπτοµένες
του κύκλου στα Α, Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι εφαπτοµένες στα σηµεία Γ, ∆ τέµνονται στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι ΟΡ ⊥ ΕΖ .
(Singapore Olympiad)
1.185 ∆ύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΡΣΤ είναι τοποθετηµένα µε τέτοιο τρόπο, ώστε το Ρ να
είναι µέσο του ΒΓ, το Α να είναι µέσο του ΤΣ, η ΤΣ να διχοτοµεί τη γωνία ΒΑΓ
και η ΒΓ να διχοτοµεί τη γωνία ΤΡΣ. Να αποδειχθεί ότι:
α) τα σηµεία Τ, Β, Γ, Σ είναι οµοκυκλικά,
β) ΑΒ + ΑΓ = ΡΤ + ΡΣ .
(Ιαπωνία – 2001)
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ
91
1.186 ∆ίνεται κύκλος C και δύο σηµεία του Α, Β. Οι εφαπτοµένες του C στα Α, Β τέµνονται στο Ρ. Έστω Γ, ∆ δύο σηµεία του κύκλου ώστε Β∆ ⊥ ΓΑ και τα Ρ, ∆, Γ
να είναι συνευθειακά. Η Β∆ τέµνει την ΓΑ στο Ζ. Αν οι ΑΒ, ΡΓ τέµνονται στο
Θ και η µεσοκάθετος της PΘ τέµνει τη Β∆ στο Η, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ρ,
Η, Θ, Ζ είναι οµοκυκλικά.
(Ιαπωνία – 2005)
1.187 Ένας κύκλος k1 βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου k 2 . Το σηµείο Ρ βρίσκεται
στο εσωτερικό του κύκλου k1 και το σηµείο Q βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου k 2 . Φέρουµε µια µεταβλητή ευθεία e από το Ρ που δεν περνάει από το Q.
Έστω ότι η e τέµνει τον k1 στα Α και Β. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου
ABQ τέµνει τον k 2 στα C και D. Να αποδείξετε ότι όλα τα τµήµατα CD που προκύπτουν µε αυτόν τον τρόπο, καθώς η ευθεία e µεταβάλλεται δηλαδή γύρω από το
Ρ, διέρχονται από το ίδιο σηµείο.
(Kömal competition – 2003)
92

Download Report