Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια 2 Φροντιστήρια ΜΕ Θ Ο ΔΟ Λ Ο ΓΙΑ – Π ΑΡ ΑΔ Ε ΙΓΜΑΤ Α 1η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία του Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση 1.1 (x −2) 2 +(y + 3)2 =4 i) ii) ( 2 ) x 2 + y + 2 =5 iii) (x +α) 2 +( y + β) 2 =γ 2 Λύση: i) Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ Η εξίσωση (x −2) 2 +(y + 3)2 =4 γράφεται ισο2 δύναµα (x −2) 2 +( y−(−3)) = 2 2 και παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο K ( 2,−3) και α- Ο κύκλος µε εξίσωση (x -x 0 ) 2 +( y - y 0 ) 2 = ρ 2 έχει κέντρο το σηµείο κτίνα ρ=2 . K (x 0 , y 0 ) και ακτίνα p >0 ii) 2 ( ) H εξίσωση x 2 + y + 2 =5 γράφεται ισοδύναµα ( ) 2 2 ( x−0)2 + y −(− 2 ) =( 5 ) και παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο K (0,− 2 ) και ακτίνα ρ= 5 . ii) H εξίσωση (x +α) 2 +( y + β) 2 =γ 2 γράφεται ισοδύναµα ( x−(−α)) 2 ( ) 2 + y−(−β) =γ 2 και παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο K (−α,−β) και ακτίνα ρ= γ . Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 3 Φροντιστήρια 2η Κατηγορία : Εσωτερικά και Εξωτερικά Σημεία Κύκλου Έστω ο κύκλος C µε εξίσωση (x−2) 2 + y 2 = 25 . Να αποδείξετε ότι: 1.2 i) το σηµείο A (6,−3) , ανήκει στον κύκλο C αλλά το σηµείο B (4,5) , δεν ανήκει στον κύκλο αυτό. ii) το σηµείο B (4,5) είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου. Λύση: i) Για x =6 και y =−3 έχουµε: Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ (6 −2) 2 +(−3)2 =16 +9 =25 . ∆ίνεται ο κύκλος (C) µε κέντρο το σηµείο Άρα το σηµείο A (6,−3) , ανήκει K (x 0 , y 0 ) και ακτίνα ρ >0 , που έχει εξί- στον κύκλο C. σωση (x -x 0 ) 2 +( y - y 0 ) 2 = ρ 2 . Όµοια x =4 και y =5 έχουµε: ‣ Ένα σηµείο Α(x1 , y1 ) ανήκει στον κύκλο (4−2) 2 +(5) 2 =4 +25= 29≠25 . (C), αν και µόνο αν οι συντεταγµένες του Άρα το σηµείο B (4,5) , δεν ανή- ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου, δη- κει στον κύκλο C. ii) λαδή (x 1 - x 0) 2 +(y 1 - y0 ) 2 = ρ 2 Ο κύκλος C έχει κέντρο K (2,0) ‣ Γενικότερα, για την απόσταση και ακτίνα ρ=5 . Η απόσταση του B (4,5) από το κέντρο του (ΚΑ)= (x 1 -x0 ) 2 +( y1 - y 0 ) 2 , κύκλου είναι ισχύουν οι ισοδυναµίες: (ΚΒ)= (4−2) 2+(5−0) 2 = 29 >5 (ΚΑ) = ρ ¤ Α ∈(C ) οπότε (ΚΒ)> ρ . (ΚΑ) <ρ ¤ Α εσωτερικό του (C ) Άρα το σηµείο B (4,5) είναι εξω- (ΚΑ)> ρ ¤ Α εξωτερικό του (C ) τρικό σηµείο του κύκλου C. Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Φροντιστήρια 3η Κατηγορία : Εύρεση της Εξίσωσης Κύκλου Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου όταν: 1.3 i) έχει κέντρο Κ (−3,−2) και ακτίνα ρ= 5 . ii) έχει κέντρο Κ (−3,0) και ακτίνα ρ=5 . Λύση: i) Ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (−3,−2) και ακτίνα ρ= 5 έχει εξίσωση ( x−(−3)) +( y −(−2)) =( 5 ) 2 2 ( x +3) +( y +2) =5 . 2 ii) 2 2 Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ Ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο K (x 0 , y 0 ) και ακτίνα p >0 έχει εξίσωση , δηλαδή (x -x 0 ) 2 +( y - y 0 ) 2 = ρ 2 Ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (−3,0) και ακτίνα ρ=5 έχει εξίσωση 2 ( x−(−3)) +( y −0) 2 2 =5 2 , δηλαδή ( x +3) + y 2 = 25 Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 5 Φροντιστήρια * Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεµιά από τις παρακάτω πε- 1.4 ριπτώσεις: i) Όταν έχει κέντρο Κ (0, 1) και διέρχεται από το σηµείο Α( 3 ,0) ii) Όταν έχει διάµετρο το τµήµα µε άκρα Α (−1, 2) και Β (7, 8) Λύση: i) Η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=( KA )= ( 2 Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ 3 −0) +(0 −1) = 3+1 =2 Γενικά για να βρούµε την εξί- 2 σωση ενός κύκλου, πρέπει από και εποµένως η εξίσωση του είναι τα δεδοµένα του προβλήµατος x 2 +( y−1) 2 =2 2 . ii) να προσδιορίσουµε το κέντρο Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το µέσον του ΑΒ και εποµένως έχει τετµηµένη x 0 = −1+7 =3 2 K (x 0 , y 0 ) και την ακτίνα p >0 του κύκλου. και τεταγµένη y0 = 2+8 = 5 , δηλαδή το κέ2 Τότε ο κύκλος έχει εξίσωση (x -x 0 ) 2 +( y - y 0 ) 2 = ρ 2 ντρο του κύκλου είναι το σηµείο K (3, 5) . Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση µε το µισό της διαµέ- B(7 ,8 ) τρου ΑΒ, δηλαδή: ρ ρ= 1 AB 2 = 1 (7 +1) 2 +(8−2) 2 2 = 1 100 =5 . 2 ρ K K µέσο του ΑΒ (AB) ρ= 1 2 A (−1,2) Άρα, η εξίσωση του κύκλου είναι (x −3)2 + (y −5)2 =5 2 . Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 6 Φροντιστήρια 4η Κατηγορία : Γενική Μορφή της Εξίσωσης Κύκλου 1.5 *Να βρείτε το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση x 2 + y 2 + 4x − 6 y − 3 = 0 Λύση: Η εξίσωση x 2 + y 2 + 4x−6y −3=0 είναι της µορφής x 2 + y 2 + Αx + Βy + Γ =0 , µε Α=4 , Β =−6 και Γ =−3 . Είναι 2 A 2 + B 2 −4Γ =4 2 +(−6 ) −4(−3) =64>0 . Άρα παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο ( Κ − 4 ,− −6 2 2 ) δηλαδή Κ(−2,3) και ακτίνα ρ= 1 64 = 4 . 2 Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ Η εξίσωση x 2 + y 2 + Ax + By +Γ =0 παριστάνει κύκλο µόνο όταν A 2 + B 2 -4Γ >0 . Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι το ( B σηµείο Κ - A 2 ,- 2 ) και η ακτίνα του είναι ρ = 12 A 2 + B 2 -4Γ Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 7 Φροντιστήρια 5η Κατηγορία : Σχετική Θέση ευθείας και κύκλου ∆ίνεται η ευθεία y = λx + κ , κ,λ ∈ \ και ο κύκλος x 2 + y 2 = ρ 2 , µε 1.6 ρ>0 . Να αποδείξετε ότι: i) η ευθεία τέµνει τον κύκλο, αν, και µόνο αν κ 2 < ρ 2(1+ λ2) ii) η ευθεία εφάπτεται του κύκλου αν, και µόνο αν κ 2 = ρ 2(1+ λ2) iii) η ευθεία δεν έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο, αν, και µόνο αν κ 2 > ρ 2(1+ λ2) Λύση: Ο κύκλος x 2 + y 2 = ρ 2 έχει κέντρο το σηµείο O (0,0) και ακτίνα ρ>0 . Επίσης η εξίσωση της ευθείας y = λx + κ γράφεται ισοδύναµα λx − y + κ = 0 . Άρα η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία (ε) είναι: d (Ο,ε ) = λ⋅0−0+κ κ = λ2 +(−1) 2 λ2 +1 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ η ευθεία τέµνει τον κύκλο, d (Ο,ε )< ρ κ 2 λ +1 <ρ ¤ κ < ρ λ2 +1 ¤ κ 2 < ρ 2(1+ λ2) . Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου τον κύκλο (c), µόνο όταν d { ¤ ε Η ευθεία (ε) τέµνει αν, και µόνο αν: { i) K ρ d (K ,ε ) < ρ Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 8 η ευθεία εφάπτεται του κύ- κλου αν, και µόνο αν ¤ κ λ2 +1 ¤ κ = ρ λ2 +1 ¤ κ 2 = ρ 2(1+ λ2) =ρ ε πτεται στον κύκλο d { d (Ο,ε )= ρ Η ευθεία (ε) εφά- { ii) Φροντιστήρια K (c) µόνο όταν ρ d (K ,ε ) = ρ iii) η ευθεία δεν έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο, αν, και ε έχει κοινά σηµεία µε 2 λ +1 ¤ κ > ρ λ2 +1 ¤ κ 2 > ρ 2(1+ λ2) >ρ d τον κύκλο (c) { ¤ κ { µόνο αν d (Ο,ε )> ρ Η ευθεία (ε) δεν µόνο όταν K ρ d (K ,ε ) > ρ Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 9 Φροντιστήρια 6η Κατηγορία : Χορδές Κύκλου 1.7 *Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου x 2 + y 2 = 4 που έχει µέσο το σηµείο Μ (1, −1) . Λύση: Αν η χορδή ΑΒ ΣΧΟΛΙ Ο έχει µέσον το Μ, Από τη Γεωµετρία γνωρίζουµε ότι: O τότε είναι B M(1,− 1) ΟΜ ⊥ ΑΒ δηλαδή ευθύγραµµο τµήµα ΟΜ που συνδέει το κέ- A το ΟΜ είναι το Αν ΑΒ είναι χορδή ενός κύκλου, τότε το ντρο του κύκλου µε το µέσο Μ της χορδής απόστηµα της χορδής ΑΒ. Ο συντελεστής διεύθυνσης ΑΒ είναι κάθετο στη χορδή αυτή και λέγε- της ευθείας ΟΜ είναι λ = −1−0 =−1 1−0 ται απόστηµα της χορδής. και εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης της χορδής ΑΒ θα είναι ίσος µε 1. Άρα, η εξίσωση της χορδής είναι: y +1=1(x−1) ¤ y = x−2 . Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Στην περίπτωση αυτή, (όπως φαίνεται και στην επόµενη άσκηση) µπρούµε να εφαρµόσουµε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµατίζεται. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 10 Φροντιστήρια 7η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου 1.8 i) x 2 + y 2 =10 στο σηµείο του Α (1, 3) ii) x 2 + y 2 =13 στο σηµείο του Α (−2, β) . Λύση: i) Το σηµείο Α (1, 3) ανήκει στον κύκλο x 2 + y 2 =10 , γιατί οι συντεταγµένες του Α ι- Η εφαπτοµένη του κύκλου κανοποιούν την εξίσωση του κύκλου: x 2 + y 2 = ρ 2 στο σηµείο του 12 +3 2=10 . A (x1 , y1 ) έχει εξίσωση Η εφαπτοµένη του κύκλου στο Α έχει εξίσωση x ⋅ 1 + y ⋅ 3 = 10 ii) Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ ¤ x + 3 y = 10 Το σηµείο Α (−2, β) ανήκει στον κύκλο xx1 + yy1 = ρ 2 . ΠΡΟΣΟΧΗ: Η παραπάνω εξίσωση της εφα- x 2 + y 2 =13 , µόνο όταν οι συντεταγµένες του πτοµένης ισχύει βέβαια µε την Α ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου: προϋπόθεση ότι το σηµείο (−2)2 + β 2=13 ¤ β 2 =9 ¤ β =±3 . Άρα υπάρχουν δυο σηµεία του κύκλου µε τετµηµένη −2 : το σηµείο Α1 (−2,3) µε εφαπτοµένη την ευθεία ε1 µε εξίσωση −2x + 3y = 13 , και το σηµείο Α2 (− 2,−3) µε εφαπτοµένη την A (x1 , y1 ) να ανήκει στον κύκλο, δηλαδή οι συντεταγµένες του Α να ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου: x12 + y12 = ρ 2 . ευθεία ε2 µε εξίσωση −2x − 3y = 13 . Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 11 Φροντιστήρια * Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου x 2 + y 2 =5 σε 1.9 καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 3 . ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y = 12 x . Λύση: i) α ΄τρόπος: (µε σηµείο επαφής) Αν A (x1, y1) είναι το σηµείο επαφής, τότε η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Α θα έχει εξίσωση xx1+ yy1 =5 και επειδή είναι παράλληλη στην ευθεία y =2x+3 θα ισχύει − x1 =2 . Άρα x 1=−2y 1 y1 (1). Επίσης το σηµείο A(x1, y1) ανήκει στον κύκλο οπότε x 12 + y12 =5 Από το σύστηµα των εξισώσεων (1) και (2), έχουµε: (2). ⎧⎪ x =−2y ⎫⎪ 1⎪ ⎪ ⎪⎪⎨ 1 2 2 ⎪⎪x + y =5⎬⎪⎪ ⎩⎪ 1 1 ⎭⎪ ⎧⎪x =−2y ⎫⎪ ⎧⎪x =−2 ⎪⎧⎪ x1=−2y 1 ⎪⎫⎪ 1 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ 1 ¤ ⎨ ¤ ¤ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪⎪(−2y ) 2 + y 2= 5⎪⎪ ⎪⎪ y1=±1 ⎪⎪ ⎪⎪ y 1=1 1 1 ⎩ ⎭ ⎩ ⎩⎪ ⎭⎪ x1= 2 ⎫⎪ ⎪⎬ ή y 1=−1⎪⎪ ⎭ Οπότε υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, τα Α (-2,1) και Β (2, -1) και οι αντίστοιχες εφαπτόµενες είναι οι −2x + y=5 και 2x− y= 5 . β΄ τρόπος: (µε διπλή λύση σύστηµατος) Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ Η ζητούµενη εφαπτοµένη (ε) είναι παράλληλη Μια ευθεία (ε) εφάπτεται σε στην ευθεία y =2x+3 , άρα έχει εξίσωση της µορφής y =2x+ β , β∈\ . ένα κύκλο (c) αν, και µόνο αν, το σύστηµα των εξισώσεών τους Για να εφάπτεται του κύκλου x 2 + y 2 =5 , αρ- έχει διπλή λύση. (δηλαδή µε α- Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 12 Φροντιστήρια ⎧⎪ x 2 + y 2 =5⎫⎪ ⎪ να έχει διπλή κεί το σύστηµα ⎪⎨ ⎪⎪ y =2x + β ⎬⎪⎪ ⎩ ⎭ ντικατάσταση, προκύπτει εξίσω- λύση. ίση µε 0) ⎪⎧⎪ x 2 + y 2 =5⎪⎫⎪ Για το σύστηµα έχουµε: ⎨ ⎪⎪ y =2x + β ⎬⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎧⎪ x 2 +4x 2 +4βx + β 2 =5⎫⎪ ⎪⎬ ¤ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ y =2x+ β ⎩ ⎭ ση 2ο υ βαθµού µε διακρίνουσα ⎪⎧⎪ x 2 + (2x + β)2 =5⎪⎫⎪ ¤ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ y 2x β = + ⎩ ⎭⎪ ⎧⎪5x 2 +4βx+ β 2 −5=0⎫⎪ ⎪⎬ ¤ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ y = 2x + β ⎩ ⎭ Εποµένως αρκεί η εξίσωση 5x 2 + 4βx+ β 2−5=0 να έχει διακρίνουσα ∆=0 ¤ (4β)2 −4⋅5⋅( β 2 −5)=0 ¤ −4β 2 +100 =0 ¤ β 2 =25 ¤ β =5 ή β =−5 . Άρα υπάρχουν δύο εφαπτόµενες του κύκλου παράλληλες προς την ευθεία y =2x+3 : οι ευθείες µε εξισώσεις y =2x+5 και y =2x−5 . ii) Αν A(x1, y1) είναι το σηµείο επαφής, τότε η εφαπτοµένη του κύκλου στο Α θα έχει εξίσωση xx1 + yy1=5 και, επειδή είναι κάθετη στην ευθεία y = 1 x , 2 ⎛ x ⎞ θα είναι ⎜⎜⎜− 1 ⎟⎟⎟⋅ 1 =−1 ⎝ y1 ⎠⎟ 2 ¤ - x1 =-1 ¤ 2y1 x 1 =2y 1 (1). Επειδή το σηµείο A(x1, y1) είναι σηµείο του κύκλου, θα ισχύει x 12 + y12 = 5 . Από το σύστηµα των εξισώσεων (1) και (2), έχουµε: ÏÔ x 1 =2y 1 ¸Ô ÏÔ x1 = 2y1 ¸Ô ⎧⎪x =2y ⎫⎪ ⎧⎪x =2 1 1⎪ 1 ⎪ ¤ ⎪⎨ Ì 2 2 ˝ ¤ Ì 2 2 ˝ ¤⎨ ⎬ ⎪ y1=±1⎪ ⎪ y 1=1 ÔÓx1 + y1 =5 Ô˛ ÔÓ4 y1 + y1 = 5Ô˛ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎩⎪ ή x1=−2⎫⎪ ⎪⎬ y 1=−1⎪⎪ ⎭ Οπότε υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, τα Α (2,1) και Β (-2, -1) και οι αντίστοιχες εφαπτόµενες είναι οι 2x + y= 5 και −2x − y =5 . Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 13 Φροντιστήρια 1.10 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου (x−2) 2 +( y +3) 2= 5 στο σηµείο του Α (1,−1) . Λύση: Το σηµείο Α (1,−1) ανήκει στον κύκλο Μ ΕΘ Ο∆ΟΣ (x−2) 2 +( y +3) 2= 5 , γιατί οι συντεταγ- Για την εξίσωση της εφαπτοµένης ενός κύ- µένες του Α ικανοποιούν την εξίσωση κλου κέντρου Κ, σε ένα σηµείο του Α, µπο- του κύκλου: ρούµε να στηριχτούµε και στην καθετότητα (1−2)2 + (−1+3) 2=1+4=5 . της εφαπτοµένης στην ακτίνα ΚΑ, και έτσι Η εφαπτοµένη (ε) διέρχεται απο το ση- να προσδιορίσουµε το συντελεστή διεύθυν- µείο επαφής Α (1,−1) και είναι κάθετη σης της εφαπτοµένης. y στην ακτίνα ΚΑ. ε Η ακτίνα ΚΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ΑΚ = −3+1 =− 2 , οπότε η εφαπτοµένη 2−1 O ) ,− 1 A(1 x (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λε = 1 . 2 K(2,−3) Άρα η εξίσωση της (ε) είναι: y −(−1)= 1 (x−1) 2 ¤ Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου y= 1 x− 3 2 2 Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 14 Φροντιστήρια 8η Κατηγορία : Εξισώσεις εφαπτομένων που άγονται από σημείο εκτός κύκλου Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου C : x 2 + y 2 = 5 1.11 που διέρχονται από το σηµείο A(3,1) , και να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόµενες αυτές είναι κάθετες. Λύση: α΄τρόπος: Έστω ε 1 µια εφαπτοµένη του κύκλου C που διέρχεται από το σηµείο Α. Αν M (x1, y 1) είναι το σηµείο επαφής, τότε η ε 1 θα έχει εξίσωση xx1+ yy 1=5 (1) και επειδή διέρχεται από το σηµείο A(3,1) , θα ισχύει 3x1+ y1= 5 . (2) Όµως, το σηµείο M (x1, y 1) ανήκει στον κύκλο C. Άρα x 12 + y12 =5 . (3) Από (2) και (3) έχουµε το σύστηµα: ⎧⎪3x1+ y1= 5⎫⎪ ⎧ y 1=5−3x1 ⎫⎪ ⎪⎨ ⎪⎬ ¤ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎪ x 2 + y 2 =5 ⎪⎪ ⎪⎪x 2 +(5−3x ) 2 =5⎬⎪⎪ 1 ⎩ 1 1 ⎭ ⎩ 1 ⎭ ⎪⎧⎪ y1 =5−3x 1 ⎪⎫⎪ ¤ ⎨ 2 ⎪⎪x −3x +2=0⎬⎪⎪ 1 ⎩ 1 ⎭ ⎧⎪ y1 =5−3x 1 ⎫⎪ ⎪⎬ ¤ ⎪⎨ ⎪⎩⎪x =1 ή x =1⎪⎭⎪ 1 1 y 1=5−3x1 ⎪⎧ ⎪⎫⎪ ¤ ⎪⎨ ⎪⎪10x 2 −30x +20=0⎬⎪⎪ 1 ⎩ 1 ⎭ ⎧⎪ y =2 y =−1⎫⎪⎪ ¤ ⎪⎨ 1 ή 1 ⎬ ⎪⎩⎪x =1 x1=1 ⎪⎭⎪ 1 Εποµένως, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, άρα και δυο εφαπτοµένες του κύκλου C που διέρχονται από το σηµείο A(3,1) : Η εφαπτοµένη στο σηµείο M 1 (1, 2) µε εξίσωση (από την (1)) ε 1: x+ 2y= 5 και η εφαπτοµένη στο σηµείο M 2 (2,−1) µε εξίσωση (από την (1)) ε 2 : 2x − y =5 . Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 15 Φροντιστήρια Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των ε 1 και ε 2 είναι λ1=− 1 και λ2 = 2 , οι ευ2 θείες ε 1 και ε 2 είναι κάθετες. β΄ τρόπος: Από το σηµείο A(3,1) διέρχονται άπειρες ευθείες: Η κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση x =3 (1) και οι πλάγιες ευθείες µε συντελεστή διέυθυνσης λ και εξισώσεις της µορφής y −1= λ (x−3) ► ¤ λ x− y −3λ+1=0 (2). Η κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση x =3 δεν είναι εφαπτοµένη του κύκλου C : x 2 + y 2 = 5 , γιατί απέχει από το κέντρο του κύκλου απόσταση ίση µε d (O,ε )=3≠ ρ , αφού ρ= 5 . ► Για να είναι µια ευθεία µε εξίσωση της µορφής (2) εφαπτοµένη του κύκλου C : x 2 + y 2 = 5 , πρέπει: d (O,ε )= ρ ¤ λ⋅0−0−3λ +1 λ2 +1 = 5 ¤ 2 −3λ+1 =( 5 ) ( λ2 +1 ) ¤ 4λ2−6 λ−4 =0 2 ¤ −3λ+1 = 5 λ2 +1 ¤ 2 ¤ ( ) 9λ2−6 λ+1=5⋅ λ2 +1 2λ2−3λ−2=0 ¤ λ =2 ή λ =− 1 2 Εποµένως, υπάρχουν δυο εφαπτοµένες του κύκλου C µε εξισώσεις της µορφής (2) που διέρχονται από το σηµείο A(3,1) : Για λ =2 η ευθεία ε 1: 2x − y−3⋅2 +1=0 ¤ 2x− y−5=0 και ( ) για λ =− 1 η ευθεία ε 2 : − 1 x− y −3⋅ − 1 +1=0 ¤ x + 2y −5=0 . 2 2 2 Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των ε 1 και ε 2 είναι λ1= 2 και λ2 =− 1 , οι ευ2 θείες ε 1 και ε 2 είναι κάθετες. Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 16 Φροντιστήρια 9η Κατηγορία : Σχετική Θέση δύο κύκλων ρ2 A ρ1 K Λ { { ρ1 Λ { K { ΣΧ ΕΤΙ ΚΗ Θ ΕΣΗ ∆ Υ Ο ΚΥ ΚΛ ΩΝ ρ2 ∆ύο κύκλου είναι ξένοι µεταξύ τους όταν (ΚΛ)> ρ1 + ρ 2 {{ ρ1 ρ1 K Λ ρ2 Λ { { K ή όταν (ΚΛ) < ρ 2 − ρ1 ρ2 ∆ύο κύκλου εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά, ∆ύο κύκλου εφάπτονται µεταξύ τους όταν (ΚΛ) = ρ1 +ρ 2 εσωτερικά, όταν (ΚΛ) = ρ1 −ρ 2 K { { ρ1 ρ2 Λ ∆ύο κύκλου τέµνονται όταν ρ1 − ρ 2 <(ΚΛ) < ρ1 + ρ 2 Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 17 Φροντιστήρια *Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων: 1.12 c1 : x 2 + y 2 =1 c2 : (x −1) 2 + y 2= 4 . και Λύση: y Ο κύκλος c1 έχει κέντρο το σηµείο O (0,0) και ακτίνα ρ1 =1 , ενώ το κύκλος c2 έχει κέντρο το σηµείο K (10 , ) και ακτίνα ρ2 =2 . Η απόσταση των κέντρων τους (διάκεντρος) A K Ο x είναι (OK )= (1−0)2 +(0−0) 2 =1 και η διαφορά των ακτίνων τους είναι ρ2 − ρ1=1 . ∆ηλαδή (OK )= ρ2 − ρ1 Άρα ο κύκλος c1 εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου c2 . Το σηµείο επαφής των κύκλων, έχει συντεταγµένες τις λύσεις του συστήµατος: ⎧⎪ x 2 + y 2 =1 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎬⎪ 2 2 ( ) x − 1 + y = 4 ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ x 2 + y 2 =1 ⎫⎪⎪ ⎪ ¤ ⎨ ⎪x 2−2x+1+ y 2 =4⎬⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ x 2 + y 2 =1 ⎫⎪ ⎪ ¤ ⎪⎨ ⎪⎪x 2 + y 2 =2x+ 3⎬⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎧⎪ x 2 + y 2 =1⎪⎫⎪ ¤ ⎨ ⎪⎪ 2x +3=1 ⎬⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎧⎪ x 2 + y 2 =1⎫⎪ ⎪ ¤ ⎪⎨ ⎪⎪ x=−1 ⎬⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎧⎪ (− 1) 2 + y 2 =1⎫⎪ ⎪⎬ ¤ ⎪⎧⎪⎨ y =0 ⎪⎫⎪⎬ ¤ ⎪⎨ ⎪⎩⎪x =− 1⎪⎪⎭ ⎪⎪ x =−1 ⎪⎪⎭ ⎩ , ). Άρα οι κύκλοι c1 και c2 εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο A (-10 Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 18 Φροντιστήρια ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ∆ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ ∆ίνονται δυο κύκλοι c1 και c 2 , µε κέντρα Κ , Λ και ακτίνες ρ1 , ρ 2 αντίστοιχα. Αν Α τυχαίο σηµείο του κύκλου c1 και Β τυχαίο σηµείο του κύκλου c 2 , όπως µπορούµε να διαπιστώσουµε εύκολα σε όλα τα παρακάτω σχήµατα: Η µέγιστη τιµή της απόστασης των σηµείων Α και Β είναι (ΑΒ )=(ΚΛ) + ρ1 + ρ 2 Για την ελάχιστη τιµή όµως της απόστασης των σηµείων Α και Β, έχουµε: ρ2 ρ2 B ρ1 A Β΄ { { { { ρ1 ρ1 K Λ ρ2 ρ2 B Όταν (ΚΛ)> ρ1 + ρ 2 Όταν (ΚΛ) < ρ 2 − ρ1 ελάχιστη τιµή: (Α′Β ′)=(ΚΛ) −ρ1 − ρ 2 ελάχιστη τιµή: (ΑΒ ′)= ρ 2 −ρ1 −(ΚΛ) ρ1 Λ ρ1 ρ2 ρ2 B K Λ ρ2 ρ2 Όταν (ΚΛ) = ρ1 +ρ 2 Όταν (ΚΛ) = ρ1 −ρ 2 ελάχιστη τιµή: (Α′Β ′)=0 ελάχιστη τιµή: (ΑΒ ′)=0 K ρ1 B Λ { A { ρ1 A { { { { { { K { A Λ Β΄ Α΄ { { K { A ρ2 B Όταν ρ1 − ρ 2 <(ΚΛ) < ρ1 + ρ 2 ελάχιστη τιµή: (Α′Β ′)=0 Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 19 Φροντιστήρια ∆ίνονται οι κύκλοι C1 :(x +1) 2 + y 2 =1 και C2 :(x−3) 2 +(y −2) 2 =4 . 1.13 i) Να βρείτε το µήκος της διακέντρου. ii) Να δείξετε ότι οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σηµείο. iii) ∆ίνονται τα µεταβλητά σηµεία Α και Β, όπου το Α ανήκει στον C 1 και το Β στον C 2 . Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της απόστασης (ΑΒ) . Λύση: i) Ο κύκλος C 1 έχει κέντρο την αρχή Κ (−10 , ) των αξόνων, ενώ ο κύκλος C 2 έχει κέντρο το σηµείο Λ (3, 2) . Εποµένως η διάκεντρος έχει µήκος (ΚΛ)= (3+1) 2 +(2−0) 2 = 20 =2 5 . ii) Οι ακτίνες των δυο κύκλων C 1 και C 2 είναι ρ1 =1 και ρ2 =2 αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι ισχύει: (ΚΛ)> ρ1 + ρ2 ¤ 2 5 >1+ 2 ¤ 2 (2 5 ) >3 2 ¤ 20>9 . Εποµένως οι κύκλοι C 1 και C 2 δεν έχουν κοινό σηµείο και µάλιστα τα σηµεία του ενός είναι εξωτερικά των σηµείων του άλλου. iii) Η µέγιστη τιµή της (ΑΒ) είναι (ΚΛ)+ ρ1 + ρ2 = 2 5 +1+2 =2 5 +3 , ενώ η ελάχιστη τιµή της είναι (ΚΛ)− ρ1 − ρ2= 2 5 −1−2=2 5 −3 Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 20 Φροντιστήρια 10η Κατηγορία : Κοινές Εφαπτομένες δύο Κύκλων *∆ίνονται οι κύκλοι 1.14 C 1: (x− 2) 2 + (y −3) 2 = 5 2 και C 2 : x 2 +( y +1) 2 = 32 . i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης ε του κύκλου C 1 στο ση- µείο του A (5, −1) . ii) Να αποδειχτεί ότι η ε εφάπτεται και του κύκλου C 2 . Λύση: i) y Ο κύκλος C 1 έχει κέντρο K (2,3) . C1 Το σηµείο A (5, −1) ανήκει προφανώς στον κύκλο C 1 γιατί (5−2)2 +(−1−3) 2 = 25 . K (2,3) Η ακτίνα ΚΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης ε Ο λ KA= − 1−3 =− 4 , οπότε η εφαπτοµένη ε του 5−2 3 C 1 στο Α, που είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΑ Λ(0,− 1) x A(5, −1) C2 έχει συντελεστή διεύθυνσης λε = 3 , και επειδή 4 διέρχεται από το σηµείο A (5, −1) , η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y −(−1)= 3 (x−5) ¤ 4 ii) 4( y+1)=3(x−5) ¤ 3x−4y−19=0 (2) O κύκλος C 2 έχει κέντρο Λ(0,−1) και ακτίνα 3. Η απόσταση του κέντρου Λ(0,−1) του C 2 από την ε είναι ίση µε d ( Λ, ε )= 3⋅0−4(−1)−19 2 3 +4 2 = 15 =3 5 Άρα η ε εφάπτεται του κύκλου C 2 , γιατί η απόσταση του κέντρου Λ(0,−1) του C 2 από την ε είναι ίση µε την ακτίνα του C 2 , δηλαδή ίση µε 3. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 21 Φροντιστήρια 11η Κατηγορία : Οικογένειες Κύκλων *∆ίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 − 2λx − 1 = 0 1.15 i) (1), όπου λ ∈ R . Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του λ, η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και η ακτίνα. ii) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C λ που ορίζονται από την (1) για τις διάφορες τιµές του λ διέρχονται από δύο σταθερά σηµεία. Ποια είναι η εξίσωση της κοινής χορδής όλων αυτών των κύκλων; Λύση: i) Η εξίσωση x 2 + y 2 − 2λx − 1 = 0 είναι της µορφής x 2 + y 2 + Αx + Βy + Γ =0 , µε Α=−2λ , Β =0 και Γ =−1 . Είναι A 2 + B 2 −4Γ =(−2λ) +0 2 −4⋅(−1) =4( λ2 +1)>0 . Άρα παριστάνει 2 κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ ( λ,0) και ακτίνα ρ= 1 4( λ2 +1) = λ2 +1 . 2 ii) Θα θεωρήσουµε δύο από τους παραπάνω κύκλους και αφού βρούµε τα κοινά τους σηµεία θα αποδείξουµε ότι κάθε άλλος κύκλος που ορίζεται από την εξίσωση (1) διέρχεται από τα σηµεία αυτά. Για λ =0 , λ =1 έχουµε τους κύκλους: C 0 : x 2 + y 2−1=0 και C 1 : x 2 + y 2−2x−1=0 (2). Τα σηµεία τοµής των κύκλων αυτών έχουν συντεταγµένες τις λύσεις του συ⎧⎪ x 2 + y 2 −1=0 ⎫⎪ ⎪ στήµατος των εξισώσεων (2): ⎪⎨ ⎪⎪x 2 + y 2 −2x−1=0⎬⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎧⎪x 2 + y 2 =1⎪⎫⎪ ⎪⎧⎪ y 2 =1⎪⎫⎪ ⎪⎧x =0 ¤ ⎨ ¤ ⎪⎨ ¤ ⎨ ⎬ ⎬ ⎪⎩⎪ y =1 ⎪⎪ 2x=0 ⎪⎪ ⎪⎪ x=0 ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ή x=0 ⎫⎪⎪ ⎬ y =−1⎪⎭⎪ Άρα, οι κύκλοι C 0 και C 1 τέµνονται στα σηµεία A(0,1) και B(0,−1) . Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 22 Φροντιστήρια y Από τα σηµεία αυτά διέρχονται A(0,1) όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση (1), Ο x αφού οι συντεταγµένες των B(0,−1) Α και Β επαληθεύουν την εξίσωση x 2 + y 2 − 2λx − 1 = 0 (1) για κάθε λ ∈\ . Πράγµατι 0 2 +12 −2λ0 −1=0 και 0 2 +(−1) 2 −2λ0−1=0 . Η εξίσωση της κοινής χορδής είναι η x =0 . Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου 23 Φροντιστήρια 12η Κατηγορία : Γεωμετρικοί Τόποι 1.16 ∆ίνονται τα σηµεία Α (−2,1) και Β (−5,−2) . Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει (MA)= 2 (MB) . Λύση: Έστω M (x, y) τυχαίο σηµείο το ζητούµενου γεωµετρικού τόπου. Τότε (MA)= 2 (MB) ¤ ( x −(−2))2 +( y−1) 2 =2 ( x−(− 5))2 +( y −(−2))2 ¤ ( x +2)2 +( y−1) 2 =4 ⎡⎢⎣( x+ 5)2 +( y +2) 2 ⎤⎥⎦ ( ) ¤ x 2 +4x+4 + y 2 −2y +1 =4 x 2 +10x +25+ y 2 +4 y +4 ¤ x 2 + y 2 + 4x−2y +5 =4x 2 +4 y 2 +40x +16 y +116 ¤ −3x 2−3y 2 −36x−18y −111=0 :( -3) ‹ﬁ x 2 + y 2 +12x+6 y +37 =0 Είναι A 2 + B 2 −4Γ =12 2 +6 2−4⋅37 =144+ 36−148=32>0 . Άρα ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι ο κύκλος µε εξίσωση x 2 + y 2 +12x+6 y +37 =0 που έχει κέντρο το σηµείο K (−6,−3) και ακτίνα ρ= 1 32 = 1 4 2 =2 2 . 2 2 Εξίσωση Ευθείας – Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 24 1.17 Φροντιστήρια Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόµενες προς τον κύκλο x 2 + y 2 = ρ 2 είναι κάθετες. Λύση: y Έστω M (x, y) τυχαίο σηµείο το ζητούµενου γεωµετρικού τόπου. Τότε οι εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ προς τον κύκλο x 2 + y 2 = ρ 2 είναι κάθετες. Αυτό συµβαίνει, αν και µόνο αν το τετράπλευρο M(x,y) B A ρ ρ O x ΟΑΜΒ είναι τετράγωνο ή, ισοδύναµα, (OM )2 = (OA) 2 +(AM ) 2 ¤ x 2 + y 2 = ρ 2 + ρ 2 ¤ x 2 + y 2 = 2ρ 2 , δηλαδή, ότι ο γεωµετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος x 2 + y 2 =( ρ 2 )2 . Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β΄ Λυκείου