ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ 22 Μαι 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α) Τι συµβαίνει αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας προσθέσουµε τον ίδιο θετικό ή αρνητικό αριθµό; β) Τι συµβαίνει αν και τα δύο µέλη µιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν µε τον ίδιο αρνητικό αριθµό; γ) Να συµπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση : α Αν α<4 τότε α-3 … και … 2 Απαντήσεις α) Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας προσθέσουµε τον ίδιο θετικό ή αρνητικό αριθµό, προκύπτει και πάλι ανισότητα µε την ίδια φορά. β) Αν και τα δύο µέλη µιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν µε τον ίδιο αρνητικό αριθµό, προκύπτει και πάλι ανισότητα µε αντίστροφη φορά. α 4 α γ) Αν α<4, τότε α-3<4-3 δηλαδή α-4<1 και < δηλαδή <2. 2 2 2 ΘΕΜΑ 2ο α) Με τι ισούται το εµβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου; β) Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρηµα. γ) Πώς εξετάζουµε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο όταν ξέρουµε και τις τρεις πλευρές του; Απαντήσεις α) Το εµβαδόν ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το µισό του γινοµένου των δύο κάθετων πλευρών του. β) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του. γ) Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την µεγαλύτερη πλευρά του είναι ορθή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο  3x  x  17 Να εξετάσετε αν η εξίσωση 2-  −1 =x-  + 2  + και η ανίσωση  5  2  10 1 − 3x x − 1 2 x + 4 x+ > έχουν κοινή λύση. 2 3 6 Απαντήσεις  3x  x  17 Η εξίσωση λύνεται ως εξής : 2-  −1 =x-  + 2  +  5  2  10 10⋅2-10⋅ 3x x 17 +10⋅1=10⋅x-10⋅ -10⋅2+10⋅ 5 2 10 2- 3x x 17 +1=x- -2+ 5 2 10 20-6x+10=10x-5x-20+17 − 33 =3 − 11 1 − 3x x − 1 2 x + 4 1 − 3x x − 1 2x + 4 Η ανίσωση λύνεται ως εξής : x+ > 6⋅x+6⋅ >6⋅ -6⋅ 2 3 6 2 3 6 6x+3(1-3x)>2(x-1)-(2x+4) 6x+3-9x>2x-2-2x-4 6x-9x-2x+2x>-3-2-4 −9 -3x>-9 x< x<3 −3 Άρα η λύση της εξίσωσης δεν επαληθεύει την ανίσωση και συνεπώς δεν έχουν κοινή λύση. -6x-10x+5x=-20-10-20+17 -11x=-33 x= ΘΕΜΑ 2ο ∆ίνεται η ευθεία ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο και από το σηµείο Α(4,3). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε. β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ευθείας ε. γ) Να υπολογίσετε το µήκος ΑΟ. ˆ x. δ) Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Α Ο Απαντήσεις α) Αφού η ευθεία περνάει από το Ο έχει εξίσωση της µορφής y=αx και αφού περνάει από το 3 3 Α(4,3) έχουµε 3=α⋅4 α= δηλαδή η εξίσωσή της είναι y= x. 4 4 β) Η γραφική παράσταση της ευθείας ε είναι : γ) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ έχουµε ΑΟ2=ΑΒ2+ΒΟ2=32+42=25 άρα ΑΟ=5. ˆ x= ΑΒ = 3 , συνΑ Ο ˆ x= ΟΒ = 4 και δ) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ έχουµε ηµΑ Ο ΟΑ 5 ΟΑ 5 ˆ x= ΑΒ = 3 . εφΑ Ο ΟΒ 4 ΘΕΜΑ 3ο ∆ίνεται κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ=4 cm όπως ∩ φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το τόξο ΑΒ είναι διπλάσιο ∩ ∩ ∩ από το Γ∆ ενώ το τόξο ΒΓ είναι τριπλάσιο από το Γ∆ . ∩ ∩ ∩ α) Να βρείτε πόσες µοίρες είναι τα τόξα ΑΒ , ΒΓ , Γ∆ . β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ορθογώνιο και να υπολογίσετε τη ΒΓ. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος. ( ∆εν είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε το π και τις τετραγωνικές ρίζες των αριθµών που δεν βγαίνουν ακριβώς) Απαντήσεις ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ α) ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ =180ο 2 Γ∆ +3 Γ∆ + Γ∆ =180ο 6 Γ∆ =180ο Γ∆ =30ο. Άρα ΑΒ =60ο ∩ και ΒΓ =90ο. ∩ ˆ Γ είναι επίκεντρη και βλέπει το τόξο ΒΓ =90ο άρα Β Ο ˆ Γ=90ο. Έτσι β) Η γωνία Β Ο ΒΓ2=ΒΟ2+ΟΓ2=42+42=32 ΒΓ = 32 cm. ΟΒ ⋅ ΟΓ 4 ⋅ 4 πρ2 π ⋅ 42 γ) (ΒΟΓ)= = =8 cm2 και Εηµικυκλίου= = =8π cm2 2 2 2 2 άρα Εγραµ=8π-8 cm2.