§ 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος Απόδειξη: Τετράγωνο διαφοράς Απόδειξη: Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά Απόδειξη: Κύβος αθροίσματος Απόδειξη: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη Κύβος διαφοράς Απόδειξη: Άθροισμα κύβων Απόδειξη: Διαφορά κύβων Απόδειξη: Παρατηρήσεις 1. Οι παραστάσεις των δεύτερων μελών των ταυτοτήτων λέγονται αναπτύγματα. 2. Οι ταυτότητες του τετραγώνου και του κύβου της διαφοράς αποδεικνύονται και αν το – . στις αντίστοιχες ταυτότητες του αθροίσματος θέσουμε όπου 3. Οι ταυτότητες ισχύουν και στην περίπτωση που στη θέση των μεταβλητών και υπάρχουν οποιεσδήποτε αλγεβρικές παραστάσεις. 4. Παραστάσεις της μορφής 5. Τονίζουμε ότι: και ονομάζονται συζυγείς παραστάσεις. , , , ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη 6. Ισχύει ότι: , , , Παραδείγματα – Εφαρμογές 1. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: α) β) γ) δ) γ) δ) Λύση: α) β) γ) δ) 2. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: α) β) Λύση: α) β) γ) δ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη 3. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: α) β) γ) Λύση: α) β) γ) 4. Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητούς παρονομαστές: α) β) Λύση: α) β) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα που έχει άρρητο παρονομαστή της μορφής με α, β, γ, δ ρητούς σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή, εφαρμόζουμε στον παρονομαστή την ταυτότητα του «γινομένου αθροίσματος επί διαφορά» και κάνοντας πράξεις οδηγούμαστε στο ζητούμενο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη 5. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: α) β) Λύση: α) β) 6. Να γίνουν οι πράξεις: α) β) Λύση: α) β) 7. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες: α) β) Λύση: α) Κάνοντας πράξεις στο 1ο μέλος έχουμε: Άρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη β) Το 1ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (1) Το 2ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (2) Από (1) και (2), λόγω μεταβατικής ιδιότητας, έχουμε: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα για να αποδείξουμε μια ταυτότητα Α=Β εργαζόμαστε με μια από τις παρακάτω μεθόδους: Ξεκινάμε από το ένα μέλος της ταυτότητας, συνήθως εκείνο που έχει τις περισσότερες πράξεις και καταλήγουμε στο άλλο. Κάνουμε τις πράξεις στο 1ο μέλος της ταυτότητας και καταλήγουμε σε μια ισότητα Α=Γ. Κάνουμε τις πράξεις στο 2ο μέλος της ταυτότητας και καταλήγουμε σε μια ισότητα Β=Γ. Αφού Α=Γ και Β=Γ, λόγω μεταβατικής ιδιότητας, συμπεραίνουμε ότι Α=Β. 8. Αν και και , να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των παραστάσεων . Λύση: Ισχύει ότι: ή ή ή ή Άρα Α=17. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη Ισχύει ότι: ή ή ή ή ή Άρα Β=65. Ασκήσεις: 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ια) ιβ) 2. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) β) γ) δ) ε) στ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη ζ) η) θ) ι) ια) ιβ) 3. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ια) ιβ) 4. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ια) ιβ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη 5. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) – β) γ) – δ) ε) – στ) ζ) η) θ) ι) ια) – ιβ) 6. Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητούς παρονομαστές: α) β) γ) δ) ε) 7. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) β) γ) δ) 8. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) β) γ) δ) ε) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη στ) ζ) η) θ) ι) 9. Να κάνετε τις πράξεις: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) 10. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη η) θ) ι) 11. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: β) Να δείξετε ότι ο αριθμός αριθμού. είναι κύβος ακέραιου 12. Δίνονται οι παραστάσεις: και α) Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων β) Να δείξετε ότι 13. Αν παράστασης . και , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της . 14. Έστω και . α) Να υπολογίσετε το άθροισμα και το γινόμενο των . β) Με τη βοήθεια της ταυτότητας άθροισμα των τετραγώνων των . 15. Αν παραστάσεων: α) και . και β) , να υπολογίσετε το , να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των γ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ δ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη 16. Αν παραστάσεων: και , να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των και , να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των και 17. Αν παραστάσεων: και , 18. Αν , να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: και 19. Αν , να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: και 20. Αν 21. Αν , να δείξετε ότι , να δείξετε ότι . . 22. Το μήκος των δύο κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι . Να αποδείξετε ότι η υποτείνουσα του τριγώνου έχει μήκος . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ και ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη