( ) ( )B ( ) ( )B

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
Εσωτερικό και εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων
Σ’ αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσοµε τις µαθηµατικές έννοιες του εσωτερικού και του
εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων.
r
r
Ας θεωρήσοµε τα τυχόντα διανύσµατα A και B . Τα διανύσµατα αυτά ορίζουν ένα
επίπεδο και ας θεωρήσοµε ότι η µεταξύ τους γωνία είναι θ < π .
r
r
Ορισµός: Το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων A και B συµβολίζεται ως
r r
A ⋅ B , είναι βαθµωτό µέγεθος και ορίζεται ως
r r
r r
r r
r
r
A ⋅ B ≡ Ax B x + Ay B y + Az B z ≡ A B cos θ = A B cos θ = A cos θ B .
) (
(
)
(6.1)
Με άλλα λόγια, το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων ορίζεται ως το µέτρο του
ενός διανύσµατος, επί το µέτρο του άλλου διανύσµατος, επί το συνηµίτονο της
µεταξύ τους γωνίας. Ισοδύναµα µπορούµε να πούµε ότι το εσωτερικό γινόµενο δυο
διανυσµάτων ορίζεται ως το µέτρο του ενός διανύσµατος επί την προβολή του άλλου
διανύσµατος σ’ αυτό.
r
r
Ορισµός: Το εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων A και B συµβολίζεται ως
r r
A × B , είναι διανυσµατικό µέγεθος και ορίζεται ως
iˆ
r r
A × B ≡ ( Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ) × ( B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ) ≡ Ax
ˆj
kˆ
Ay
Az
Bx
By
Bz
≡ ( Ay B z − Az B y ) iˆ + ( Az B x − Ax B z ) ˆj + ( Ax B y − Ay B x ) kˆ .
(6.2)
Ισοδύναµος µε αυτόν τον ορισµό είναι ο ακόλουθος:
r
r
r
Ορισµός: Το εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων A και B είναι ένα διάνυσµα C ,
r
r
κάθετο και στα δυο διανύσµατα A και B , που ορίζεται ως εξής: Το µέτρο του είναι
r
r r
r r
r
r
C ≡ A B sin θ = A B sin θ = A sin θ B ,
(
) (
)
(6.3)
και η κατεύθυνσή του δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η κατεύθυνση του
r
r
C δίνεται από τον µεσαίο δάκτυλο, αν στον αντίχειρα βάλοµε το διάνυσµα A , στον
r
δείκτη το διάνυσµα B και έχοµε τα τρία δάκτυλα κάθετα µεταξύ τους. Με άλλα
r
λόγια, το διάνυσµα C έχει την κατεύθυνση του δεξιόστροφου κοχλία (βίδας). Αν
Page 1 of 2
r
r
στρίψοµε το διάνυσµα A προς το διάνυσµα B , ο κοχλίας θα προχωρήσει προς την
r
κατεύθυνση του διανύσµατος C .
Από την πρώτη σχέση (6.3) συµπεραίνοµε ότι το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου
δυο διανυσµάτων ισούται µε το εµβαδό του παραλληλογράµµου που σχηµατίζουν τα
δυο διανύσµατα. Από τις άλλες δυο σχέσεις (6.3) συµπεραίνοµε ότι το µέτρο του
εξωτερικού γινοµένου δυο διανυσµάτων ισούται µε το µέτρο του ενός επί την κάθετη
συνιστώσα του άλλου σ’ αυτό.
Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι το εξωτερικό γινόµενο δυο συγγραµµικών
(παραλλήλων ή αντι-παραλλήλων) διανυσµάτων ισούται µε το µηδέν διότι θ = 0 ή
θ = π . Επίσης, από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία προκύπτει ότι
r r
r r
A × B = −B × A .
(6.4)
Επίσης, για τα µοναδιαία διανύσµατα iˆ, ˆj , kˆ ισχύουν οι σχέσεις
iˆ × ˆj = kˆ ,
ˆj × kˆ = iˆ ,
Page 2 of 2
kˆ × iˆ = ˆj .
(6.5)

Download Report