1. Διανυσματική ανάλυση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µια σύντοµη ανασκόπηση των θεµελιωδών εννοιών και ιδιοτήτων της διανυσµατικής ανάλυσης (∆.Α.). Η καλή γνώση και η εύκολη χρήση της θεωρίας της ∆.Α. αποτελούν απαραίτητη προϋπόθεση για την κατανόηση της θεωρίας του
ηλεκτροµαγνητικού πεδίου και την επίλυση πολλών πεδιακών προβληµάτων. Γι’ αυτό,
κρίνουµε σκόπιµο στη συνέχεια να αναφέρουµε, αρκετά σύντοµα, τις βασικές έννοιες της
∆.Α. και να παραθέσουµε µια σειρά από χαρακτηριστικά παραδείγµατα και ασκήσεις. Θεωρείται αυτονόητο, ότι ο αναγνώστης που είναι εξοικειωµένος µε τη χρήση των πιο πάνω
εννοιών, µπορεί να αρχίσει τη µελέτη του βιβλίου κατευθείαν από το δεύτερο κεφάλαιο,
χωρίς να σταθεί καθόλου στην παρούσα συνοπτική παρουσίαση της θεωρίας της ∆.Α.
1.1
Φυσικά µεγέθη
Βαθµωτό µέγεθος. Μια φυσική ποσότητα που ορίζεται από το µέτρο και το αλγε-
βρικό πρόσηµό της, ονοµάζεται βαθµωτό, ή σκαλινό (scalar), ή αριθµητικό µέγεθος. Παραδείγµατα τέτοιων µεγεθών είναι η µάζα, ο χρόνος, η θερµοκρασία, το έργο κ.α.
∆ιανυσµατικό µέγεθος. Μια φυσική ποσότητα που ορίζεται από την κατεύθυνση
(διεύθυνση και φορά) και το µέτρο της, ονοµάζεται διανυσµατικό µέγεθος ή απλώς διάνυσµα. Παραδείγµατα διανυσµατικών µεγεθών είναι η δύναµη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση κ.α.
1
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Τα διανύσµατα, συνήθως, συµβολίζονται µε γράµµατα που έχουν επιγραµµή (ή βέλος) στο
πάνω µέρος τους, π.χ. α, D, E κ.λ.π. Στο βιβλίο αυτό τα διανύσµατα παρίστανται µε γράµµατα µεγάλου πάχους, π.χ. a, D, E κ.λ.π.
Πεδίο. Αν σε κάθε σηµείο ενός χώρου αντιστοιχίζεται µια τιµή κάποιας “φυσικής”
συνάρτησης, ο χώρος αυτός ονοµάζεται πεδίο. Τα πεδία – ανάλογα προς το είδος της συνάρτησης – διακρίνονται σε βαθµωτά (σκαλινά) και διανυσµατικά. Έτσι, αν η τιµή της φυσικής συνάρτησης σε κάθε σηµείο του θεωρούµενου χώρου είναι µια βαθµωτή ποσότητα,
τότε, το πεδίο είναι βαθµωτό. Η θερµοκρασία της ατµόσφαιρας και η πυκνότητα ενός µη
οµογενούς σώµατος είναι δύο παραδείγµατα µεγεθών βαθµωτών πεδίων. Όταν η τιµή της
συνάρτησης σε κάθε σηµείο του χώρου είναι µια διανυσµατική ποσότητα, το πεδίο ονοµάζεται διανυσµατικό πεδίο. Η ταχύτητα του ανέµου της ατµόσφαιρας και η δύναµη της βαρύτητας αποτελούν παραδείγµατα µεγεθών διανυσµατικών πεδίων.
1.2
∆ιανυσµατική Άλγεβρα
Άθροισµα και διαφορά δύο διανυσµάτων. Στα σχήµατα 1-1(α) και 1-1(β) φαίνεται
ο τρόπος (κανόνας παραλληλογράµµου) µε τον οποίο ορίζεται το άθροισµα A + B και η
διαφορά A − B δύο διανυσµάτων, αντίστοιχα.
Η αντιµεταθετική ιδιότητα
A+B = B+A,
(1.1)
A + (B + C) = (A + B) + C ,
(1.2)
και η προσεταιριστική ιδιότητα
B
A
A
A-B
A+B
B
(α)
(β)
Σχήµα 1-1
2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
είναι προφανείς από τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Επίσης, από τον προηγούµενο
κανόνα γίνεται φανερό ότι ένα διάνυσµα µπορεί να αναλυθεί σε δύο ή περισσότερες συνιστώσες.
Γινόµενο ενός αριθµού a µε ένα διάνυσµα A είναι ένα άλλο διάνυσµα P = aA
που έχει µήκος ίσο µε το γινόµενο της απόλυτης τιµής a και του µέτρου του διανύσµατος
A και του οποίου η κατεύθυνση είναι εκείνη του διανύσµατος A όταν ο αριθµός a είναι
θετικός και αντίθετη όταν ο αριθµός a είναι αρνητικός.
Τα γνωστότερα και περισσότερο χρησιµοποιούµενα συστήµατα συντεταγµένων είναι
το καρτεσιανό (x , y, z ) , το κυλινδρικό (ρ, ϕ, z ) και το σφαιρικό (r , θ, ϕ) , των σχηµάτων 12(α), 1-2(β) και 1-2(γ), αντίστοιχα.
z
z
z
ρ
z0
P(x, y, z)
z0
O
φ0
P(ρ, φ, z)
θ
ρ0
z
y0
x0
r0
φ0
z
O
y
x
θ0
O
y
φ
P(r, θ, φ)
r
y
φ
y
x
x
(α)
x
(β)
Σχήµα 1-2
(γ)
Ένα διάνυσµα µπορεί να αναλυθεί σε συνιστώσες παράλληλες προς τους άξονες του
χρησιµοποιούµενου συστήµατος συντεταγµένων. Έτσι, σ’ ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων έχουµε
A = Ax x 0 + Ay y0 + Az z0 ,
(1.3)
όπου Ax , Ay και Az είναι οι προβολές του διανύσµατος A στους άξονες x , y και z αντίστοιχα, και x 0 , y0 και z0 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά τη θετική διεύθυνση των
αξόνων x , y και z αντίστοιχα. Από το σχήµα 1-2 προκύπτουν αντίστοιχα προς την (1.3) οι
εκφράσεις
A = Aρ ρ 0 + Aϕ ϕ0 + Az z0
3
(κυλινδρικό),
(1.4)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
A = Ar r0 + Aθ θ 0 + Aϕ ϕ0
(σφαιρικό).
(1.5)
Το άθροισµα A + B , των διανυσµάτων A και B , µε πρόσθεση των αντίστοιχων συνιστωσών γράφεται
A + B = (Ax + Bx )x 0 + (Ay + By )y 0 + (Az + Bz )z0
= (Aρ + Bρ )ρ0 + (Aϕ + Bϕ )ϕ0 + (Az + Bz )z0
(1.6)
= (Ar + Br )r0 + (Aθ + Bθ )θ 0 + (Aϕ + Bϕ )ϕ0 .
Επίσης, σ’ οποιαδήποτε διανυσµατική εξίσωση, το άθροισµα των συνιστωσών που είναι παράλληλες προς τον άξονα x στο αριστερό µέλος θα είναι ίσο µε το άθροισµα των
συνιστωσών που είναι παράλληλες προς τον άξονα x στο δεξιό µέλος. Το ίδιο ισχύει,
προφανώς, και για τις συνιστώσες τις παράλληλες προς τους άλλους άξονες. Έτσι, για παράδειγµα, η διανυσµατική εξίσωση
A+B = C+D+E ,
(1.7)
ισοδυναµεί προς το σύστηµα των τριών εξισώσεων
Ax + Bx = C x + Dx + E x ,
(1.8)
Ay + By = C y + Dy + Ey ,
(1.9)
Az + Bz = C z + Dz + E z ,
(1.10)
κ.ο.κ. στα άλλα συστήµατα συντεταγµένων.
Εσωτερικό γινόµενο. Το εσωτερικό ή σκαλινό γινόµενο δύο διανυσµάτων A και
B , συµβολιζόµενο ως A ⋅ B , είναι ένα βαθµωτό µέγεθος ίσο προς το γινόµενο των µέτρων
των δύο διανυσµάτων επί το συνηµίτονο της µεταξύ τους γωνίας, δηλαδή
A ⋅ B = A ⋅ B cos θ = AB cos θ
(1.11)
Επίσης, το εσωτερικό γινόµενο, στα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων, δίνεται από
τις εκφράσεις
A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
= Aρ Bρ + Aϕ Bϕ + Az Bz = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
(1.12)
Οι δύο εκφράσεις (1.11) και (1.12) είναι, προφανώς, ισοδύναµες.
Ακόµα, στο εσωτερικό γινόµενο ισχύουν η αντιµεταθετική και επιµεριστική ιδιότητα,
δηλαδή οι
4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
A⋅B = B⋅A
(1.13)
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
(1.14)
και
Εξωτερικό γινόµενο. Το εξωτερικό ή διανυσµατικό γινόµενο, συµβολιζόµενο ως
A × B , ορίζεται γεωµετρικά ως το διανυσµατικό µέγεθος
A × B = AB sin θn ,
(1.15)
όπου n είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο που σχηµατίζουν τα δύο διανύσµατα A και B , µε φορά σύµφωνη µε τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, όταν το διάνυσµα A στρέφεται προς το B , σαρώνοντας τη µικρότερη γωνία θ . Από τον ορισµό, γίνεται φανερό ότι ισχύουν οι
A×B = B×A ,
(1.16)
A × (B + C) = A × B + A × C
(1.17)
Οι εκφράσεις του εξωτερικού γινοµένου στα πιο πάνω συστήµατα συντεταγµένων είναι οι ακόλουθες
x0
y0
z0
A × B = Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
⎛ καρτεσιαν ές ⎞
⎜
⎟
⎝ συντεταγµ ένες ⎠
= (Ay Bz − Az By )x0 + (Az Bx − Ax Bz )y0 + (Ax By − Ay Bx )z0
ρ0
ϕ0
z0
= Aρ
Aϕ
Az
Bρ
Bϕ
Bz
⎛ κυλινδρικ ές ⎞ (1.18)
⎜
⎟
⎝ συντεταγµ ένες ⎠
= (Aϕ Bz − Az Bϕ )ρ0 + (Az Bρ − Aρ Bz )ϕ0 + (Aρ Bϕ − Aϕ Bρ )z0
r0
θ0
ϕ0
= Ar
Aθ
Aϕ
Br
Bθ
Bϕ
⎛ σφαιρικ ές ⎞
⎜
⎟
⎝ συντεταγµ ένες ⎠
= (Aθ Bϕ − Aϕ Bθ )r0 + (Aϕ Br − Ar Bϕ )θ 0 + (Ar Bθ − Aθ Br )ϕ0
5
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1.3
Μετατροπές συντεταγµένων
1.3.1 Μετατροπές στα τρία συνήθη συστήµατα συντεταγµένων
Έστω, αρχικά, ότι επιθυµούµε να “µετατρέψουµε” το διάνυσµα
A = Ax (x , y, z )x 0 + Ay (x , y, z )y 0 + Az (x , y, z )z0 ,
(1.19)
από καρτεσιανές συντεταγµένες στο
A = Aρ (ρ, ϕ, z )ρ0 + Aϕ (ρ, ϕ, z )ϕ0 + Az (ρ, ϕ, z )z0 ,
(1.20)
σε κυλινδρικές συντεταγµένες.
Προς το σκοπό αυτό µπορούµε να ακολουθήσουµε τα εξής δύο βήµατα. Να εκφράσουµε, αρχικά, τις συνιστώσες Aρ , Aϕ , Az συναρτήσει των Ax (x , y, z ) , Ay (x , y, z ) ,
Az (x , y, z ) και στη συνέχεια, οι συντεταγµένες x , y, z να εκφραστούν συναρτήσει των
ρ, ϕ, z έτσι, ώστε οι Aρ , Aϕ , Az να είναι συναρτήσεις των ρ, ϕ, z και όχι των x , y, z .
Αν, λοιπόν, πάρουµε το εσωτερικό γινόµενο του µοναδιαίου διανύσµατος ρ 0 µε τα
δύο µέλη των (1.19) και (1.20) έχουµε αντίστοιχα
ρ0 ⋅ A = Aρ ,
(1.21)
ρ 0 ⋅ A = Aρ = Ax ρ 0 ⋅ x 0 + Ay ρ 0 ⋅ y 0 + Az ρ 0 ⋅ z0
(1.22)
Επειδή, όµως, ρ 0 ⋅ z 0 = 0 , ρ 0 ⋅ x 0 = cos ϕ και ρ 0 ⋅ y 0 = sin ϕ , η (1.22) δίνει
Aρ = cos ϕAx + sin ϕAy
(1.23)
Aϕ = − sin ϕAx + cos ϕAy ,
(1.24)
Az = Az
(1.25)
Παρόµοια, βρίσκεται ότι
Οι σχέσεις ανάµεσα στις ανεξάρτητες µεταβλητές στα δύο συστήµατα είναι οι
x = ρ cos ϕ ,
y = ρ sin ϕ ,
ρ = x 2 + y2 ,
ϕ = arctan
y
,
x
z = z (1.26)
Η ίδια διαδικασία µπορεί να ακολουθηθεί και για µετατροπή από ή σε οποιοδήποτε
από τα τρία συστήµατα συντεταγµένων, και γενικά από και σε κάθε ορθογώνιο σύστηµα
συντεταγµένων.
6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Τα ίδια αποτελέσµατα µπορούν να προκύψουν και όταν εκφράσουµε τα µοναδιαία
διανύσµατα του ενός συστήµατος συναρτήσει των µοναδιαίων διανυσµάτων του άλλου
συστήµατος. Έτσι, για την περίπτωση που εξετάσαµε, αν αντικαταστήσουµε στην (1.20) τα
µοναδιαία διανύσµατα ρ 0, ϕ0 , z0 από τις εκφράσεις
ρ 0 = cos ϕx 0 + sin ϕy 0 ,
ϕ0 = − sin ϕx 0 + cos ϕ y 0 ,
z0 = z0
(1.27)
ή στην (1.19) τα µοναδιαία διανύσµατα x 0 , y 0 , z 0 , από τις εκφράσεις
x 0 = cos ϕ ρ 0 − sin ϕ ϕ 0 ,
y 0 = sin ϕ ρ 0 + cos ϕ ϕ 0 ,
z 0 = z0 , (1.28)
και εξισώσουµε τους αντίστοιχους όρους θα καταλήξουµε στα ίδια αποτελέσµατα.
Στον πίνακα 1.1, φαίνονται οι αντιστοιχίες στα τρία συστήµατα συντεταγµένων.
ΠΙΝΑΚΑΣ 1.1
ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Καρτεσιανό
Κυλινδρικό
Σφαιρικό
x
ρ cos ϕ
r sin θ cos ϕ
y
ρ sin ϕ
r sin θ sin ϕ
z
z
r cos θ
x0
cos ϕ ρ 0 − sin ϕ ϕ0
sin θ cos ϕ r0 + cos θ cos ϕ θ 0 − sin ϕ ϕ0
y0
sin ϕ ρ 0 + cos ϕ ϕ0
sin θ sin ϕr0 + cos θ sin ϕ θ 0 + cos ϕ ϕ0
z0
z0
cos θ r0 − sin θ θ0
1.3.2 Απειροστές ποσότητες
Αν (h1 )2 = g11 , (h2 )2 = g 22 , (h3 )2 = g 33 είναι οι µετρικοί συντελεστές ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων (u1, u2 , u 3 ) , τότε, η απειροστή απόσταση dl δίνεται από
τη σχέση
(dl )2 = g11 (du1 )2 + g 22 (du2 )2 + g 33 (du 3 )2 = (h1du1 )2 + (h2du2 )2 + (h3du 3 )2 , (1.29)
όπου
2
2
2
⎛ ∂x ⎞⎟
⎛ ∂y ⎞⎟
⎛ ∂z ⎞⎟
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
(hi )2 = gii = ⎜⎜⎜
⎜
⎜⎝ ∂ui ⎠⎟
⎝⎜ ∂ui ⎠⎟
⎝⎜⎜ ∂ui ⎠⎟
7
(i = 1, 2, 3)
(1.30)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Όταν είναι γνωστοί οι µετρικοί συντελεστές, µπορούµε πολύ εύκολα να βρούµε τις
εκφράσεις για την απειροστή απόσταση dl , τη στοιχειώδη επιφάνεια dS , το στοιχειώδη
όγκο dV , την κλίση, την απόκλιση, τη στροφή κ.λ.π.
Η εξίσωση (1.29) υποδηλώνει ότι οι απειροστές αποστάσεις κατά µήκος των αξόνων
είναι (g11 )1/ 2 du1 , (g22 )1 / 2 du2 , (g 33 )1 / 2 du 3 . Έτσι, ένα στοιχείο επιφάνειας στο επίπεδο
u1 − u2 δίνεται από τη σχέση
dS = [g111/ 2du1 ] ⋅ [g 221/ 2du2 ] = (g11g22 )1/ 2 du1du2
(1.31)
Παρόµοια, το στοιχείο όγκου dV δίνεται από τη σχέση
dV = (g11g22g 33 )1/ 2 du1du2du 3 = g 1/ 2du1du2du 3
(1.32)
Συνήθως, αντί των g11, g22 , g 33 χρησιµοποιούνται οι συντελεστές h1, h2 , h3 , όπου
h1 = g11 , h2 = g 22 , h3 = g 33 . Έτσι, από τις (1.30)-(1.32) σχηµατίζουµε τον πίνακα
1.2 για τα τρία συστήµατα συντεταγµένων.
ΠΙΝΑΚΑΣ 1.2
ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ
Γενικό
Καρτεσιανό
Κυλινδρικό
Σφαιρικό
u1
x
ρ
r
u2
y
ϕ
θ
u3
z
z
ϕ
g11 (h12 )
1
1
1
g22 (h22 )
1
ρ2
r2
g33 (h32 )
1
1
r 2 sin2 θ
g 1/ 2
1
ρ
r 2 sin θ
dl
dxx0 + dyy0 + dzz0
2
2
2
2
dρρ0 + ρdϕ ϕ0 + dzz0
2
2
dr r0 + rdθθ0 + r sin θdϕ ϕ0
(dl )
(dx) + (dy) + (dz)
(d ρ) + ρ (dϕ) + (dz)
(dr)2 +r2(dθ)2 +r2 sin2 θ(dϕ)2
dS1
dydz
ρd ϕdz
r 2 sin θd θdϕ
dS 2
dxdz
dzd ρ
r sin θdϕdr
dS 3
dxdy
ρ d ρd ϕ
rdrd θ
dV
dxdydz
ρd ρdϕdz
r 2 sin θdrd θd ϕ
8
2
2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.4
Επικαµπύλια ολοκληρώµατα
Έστω χωρική καµπύλη C , που σ’ ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων
(u1, u2 , u 3 ) έχει παραµετρική εξίσωση της µορφής
u1 = u1 (t ) ,
u2 = u2 (t ) ,
u 3 = u 3 (t ) ,
(1.33)
όπου t κάποια ανεξάρτητη παράµετρος.
Αν f (u1, u2 , u 3 ) είναι οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση, η f (u1, u2 , u 3 ) κατά µήκος
της καµπύλης C εκφράζεται λόγω της (1.33), συναρτήσει της παραµέτρου t , ως
f (u1, u2 , u 3 ) C = f (u1 (t ), u2 (t ), u 3 (t )) = F (t )
(1.34)
Αν A(u1 (t1 ), u2 (t1 ), u 3 (t1 )) και B(u1 (t2 ), u2 (t2 ), u 3 (t2 )) είναι δύο σηµεία της καµπύλης
C , το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της f (u1, u2 , u 3 ) κατά µήκος της καµπύλης C από το
σηµείο A µέχρι το σηµείο B , ορίζεται ως
t2
∫ f (u , u , u )dt = ∫
1
2
3
t1
F (t )dt
(1.35)
Πολύ συχνά η παράµετρος t είναι µια από τις συντεταγµένες u1, u2 , u 3 – έστω η u1 – οπότε οι (1.33), (1.34) και (1.35) γράφονται αντίστοιχα
u1,
u 3 = u 3 (u1 ) ,
u2 (u1 ),
f (u1, u2 , u 3 ) C = f (u1, u2 (u1 ), u 3 (u1 )) = F (u1 )
(1.36)
και
∫ f (u , u , u )du
1
2
3
1
=
∫
B
A
F (u1 )du1
(1.37)
Εκφράσεις ανάλογες προς την (1.37) προκύπτουν και για τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα ως προς u2 και u 3 .
Μια άλλη συνήθης περίπτωση είναι η χρησιµοποίηση του µήκος τόξου l της C στη
θέση της παραµέτρου t . Τότε, η αντίστοιχη προς την (1.35) έκφραση είναι η
∫
C
f (u1, u2 , u 3 )dl =
9
∫
l2
l1
F (l )dl ,
(1.38)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
όπου l1 είναι το µήκος τόξου που αντιστοιχεί στο αρχικό σηµείο A και l2 το µήκος τόξου
που αντιστοιχεί στο τελικό σηµείο B . Αν το στοιχειώδες µήκος dl , εκφραστεί από τις
(1.29) και (1.30) θα έχουµε
dl = (h1du1 )2 + (h2du2 )2 + (h3du 3 )2
2
⎛h ⎞
= ± 1 + ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟
⎝⎜ h1 ⎟⎠
2
⎛h ⎞
= ± 1 + ⎜⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎝⎜ h ⎠⎟
2
2
⎛h ⎞
= ± 1 + ⎜⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎜⎝ h ⎠⎟
3
2
2
⎛du2 ⎞⎟
⎛h ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎝⎜ du1 ⎠⎟
⎝⎜⎜ h1 ⎟⎠
2
2
⎛ du 3 ⎞⎟
⎟⎟ h1du1
⎜⎜
⎝⎜⎜ du ⎠⎟
(1.40)
1
2
2
⎛ du1 ⎞⎟
⎛h ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟
⎝⎜ du2 ⎠
⎝⎜⎜ h2 ⎠⎟
2
(1.39)
⎛ du 3 ⎞⎟
⎟⎟ h2du2
⎜⎜
⎝⎜⎜ du ⎠⎟
(1.41)
2
2
2
⎛ du1 ⎞⎟
⎛h ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟
⎝⎜⎜du 3 ⎠⎟
⎝⎜⎜ h3 ⎠⎟
⎛ du2 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ h3du 3
⎝⎜⎜du ⎠⎟
(1.42)
3
Η διπλή προσήµανση ± στις πιο πάνω σχέσεις διασφαλίζει τη διατήρηση θετικής τιµής για το dl . Έτσι, αν π.χ. πρόκειται να γίνει ολοκλήρωση σε µια κατεύθυνση προς την
οποία µειώνεται το u1 , η (1.40) θα περιέχει το αρνητικό πρόσηµο. Από τις (1.40), (1.41)
και (1.42), προκύπτουν οι εκφράσεις για το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα (1.38), όταν µια των
u1, u2 , u 3 αποτελεί την ανεξάρτητη µεταβλητή. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε την u1 ως
ανεξάρτητη µεταβλητή, από τις (1.38) και (1.40) έχουµε
2
∫ f (u , u , u )dl = ±∫
1
2
3
⎛h ⎞
f (u1, u2 (u1 ), u 3 (u1 )) 1 + ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟
⎝⎜ h ⎠⎟
1
2
2
⎛ du2 ⎞⎟ ⎛ h3 ⎞⎟
⎜⎜
⎜
⎟⎟ + ⎜ ⎟⎟
⎝⎜⎜ du1 ⎠⎟ ⎝⎜⎜ h1 ⎠⎟
2
⎛ du 3 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ h1du1 (1.43)
⎝⎜⎜ du ⎠⎟
1
Στην ειδική περίπτωση χρησιµοποίησης καρτεσιανών συντεταγµένων, η (1.43) γράφεται µετά την αντικατάσταση των h1, h2 , h3 από τον πίνακα 1.2 (h1 = h2 = h3 = 1)
∫
f (x , y, z )dx =
∫
2
2
⎛ dy ⎞
⎛ dz ⎞
f (x , y(x ), z (x )) 1 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ dx
⎝ dx ⎠
⎝dx ⎠
(1.44)
Τέλος, µια κατηγορία επικαµπύλιων ολοκληρωµάτων, που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, σε πολλά προβλήµατα του ηλεκτροµαγνητισµού, είναι εκείνη όπου η συνάρτηση
f (x , y, z ) κατά µήκος της καµπύλης C ταυτίζεται µε την εφαπτοµενική συνιστώσα ενός
διανυσµατικού µεγέθους F(x , y, z ) κατά µήκος της C .
10
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Ας θεωρήσουµε, λοιπόν, ένα τέτοιο διανυσµατικό πεδίο F(x , y, z ) και έστω ότι C είναι µια καµπύλη όπως φαίνεται στο σχήµα 1-3. Αν t0 (x , y, z ) είναι το µοναδιαίο διάνυσµα,
κατά την εφαπτοµενική συνιστώσα στο σηµείο A , τότε το ολοκλήρωµα
∫ F(x, y, z ) ⋅ t (x, y, z )dl = ∫ F ⋅ d l ,
(1.45)
0
F
C
∆l
t0
∆r
A
r + ∆r
r
Ο
Σχήµα 1-3
προφανώς, παριστάνει το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της εφαπτοµενικής συνιστώσας της
F(x , y, z ) κατά µήκος της C . Επειδή, όµως, το µοναδιαίο διάνυσµα t0 , ορίζεται, ως γνω-
στόν, από την
t0 = lim ∆r / ∆l ,
∆l → 0
δηλαδή την
t0 = d r/ dl ,
(1.46)
η (1.45), καταλήγει στην
∫
C
F ⋅ t0dl =
∫
C
F ⋅dl =
∫
C
F ⋅dr
(1.47)
Αφού, όµως, η επιβατική ακτίνα r δίνεται από τη σχέση
r = x x 0 + y y0 + z z0 ,
(1.48)
dr = x 0dx + y 0dy + z0dz ,
(1.49)
οπότε
η (1.47) γράφεται
11
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
∫
C
∫
F ⋅dl =
C
∫
=∫
F ⋅dr =
(Fx x 0 + Fy y 0 + Fz z0 ) ⋅ (x 0dx + y0dy + z0dz )
C
x2
x1
y2
Fx dx + ∫
y1
z2
Fydy + ∫ Fz dz
(1.50)
z1
Ας σηµειωθεί ότι η (1.50) µπορεί, επίσης, να προκύψει, αν στην (1.47) αντικατασταθεί η
dl από την έκφραση που έχει στον πίνακα 1.2. Από την (1.50) παρατηρούµε ότι το αρχικό
µας ολοκλήρωµα, εκφράζεται ως άθροισµα τριών πολύ απλούστερων ολοκληρωµάτων.
Αν αντί του καρτεσιανού, χρησιµοποιηθεί κυλινδρικό ή σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων, η (1.50) γράφεται, αντίστοιχα
∫
C
∫
C
F ⋅ dl =
F ⋅dl =
∫
∫
r2
r1
ρ2
ρ1
Fρd ρ + ∫
ϕ2
ϕ1
z2
Fϕ ρdϕ + ∫ Fz dz ,
θ2
Fr dr + ∫ Fθ rd θ + ∫
θ1
z1
ϕ2
ϕ1
Fϕr sin θdϕ
(1.51)
(1.52)
Στην περίπτωση που ο δρόµος ολοκλήρωσης είναι µια κλειστή καµπύλη, χρησιµοποιείται ο συµβολισµός
∫v
C
F ⋅d l ,
(1.53)
και η ονοµασία κλειστό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα.
Όπως θα δούµε αργότερα, ιδιαίτερο ενδιαφέρον εµφανίζει η περίπτωση όπου το διανυσµατικό µέγεθος F µπορεί να εκφραστεί µε την κλίση ενός βαθµωτού µεγέθους φ
(F = ∇φ) . Στην περίπτωση αυτή – για την οποία επίσης ισχύει η ∇× F = ∇×∇φ = 0 –
η τιµή του ολοκληρώµατος (1.50) εξαρτάται µόνο από την αρχική θέση A και την τελική
θέση B , και όχι από το δρόµο ολοκλήρωσης, αφού ισχύει η
∫
C
F ⋅dl =
∫
C
∇φ ⋅ d l = φ(B) − φ(A) ,
(1.54)
όπου φ(A) και φ(B) οι τιµές της συνάρτησης φ στα σηµεία A και B αντίστοιχα.
Από την (1.54), όταν η C είναι κάποια κλειστή καµπύλη, προκύπτει ότι
∫v
C
F ⋅dl = 0 .
Η (1.55) χαρακτηρίζει γενικά τα αστρόβιλα (ή συντηρητικά) πεδία.
12
(1.55)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.5
Επιφανειακά ολοκληρώµατα και ολοκληρώµατα όγκου
Έστω f (x , y, z ) συνεχής συνάρτηση των x , y, z και S δοσµένη επιφάνεια στο πεδίο
ορισµού της f (x , y, z ) . Ας υποθέσουµε ότι η S υποδιαιρείται σε N στοιχεία επιφανείας
∆S i και ότι σε κάθε τέτοιο στοιχείο επιλέγεται ένα αυθαίρετο σηµείο Pi . Το όριο του α-
θροίσµατος
N
∑ f (P )∆S
i
i
,
i =1
όταν N → ∞ και το µεγαλύτερο των ∆S i τείνει στο µηδέν, εκφράζει το επιφανειακό
ολοκλήρωµα
∫∫
S
f (x , y, z )dS
(1.56)
Σε αρκετές περιπτώσεις η συνάρτηση f είναι η κάθετη συνιστώσα ενός διανυσµατικού πεδίου A πάνω σε µια επιφάνεια S . Αν n είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην
S , µε φορά προς τα έξω, η (1.56) µπορεί τότε να γραφεί
∫∫
S
A ⋅ ndS
(1.57)
A ⋅dS
(1.58)
ή
∫∫
S
Στην περίπτωση που η S είναι µια κλειστή επιφάνεια, χρησιµοποιείται ο συµβολισµός του κλειστού επιφανειακού ολοκληρώµατος
w
∫∫
S
A ⋅dS
(1.59)
Τα ολοκληρώµατα (1.57) και (1.58) εκφράζουν τη ροή του διανύσµατος A δια της
επιφάνειας S .
Τέλος, κατά παρόµοιο τρόπο µε το επιφανειακό ολοκλήρωµα ορίζεται και το ολοκλήρωµα όγκου, όπου αντί των στοιχείων επιφανείας ∆Si έχουµε τα στοιχεία όγκου ∆Vi ,
στα οποία διαµερίζεται ο όγκος V . Το όριο του αθροίσµατος
N
∑ f (P )∆V
i
i =1
13
i
,
(1.60)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
όπου N → ∞ και για διαµερισµό τέτοιο ώστε το µεγαλύτερο των ∆Vi να τείνει στο µηδέν, καθορίζει το χωρικό ολοκλήρωµα (ή ολοκλήρωµα όγκου)
∫∫∫
V
1.6
f (x , y, z )dV
(1.61)
Ο διαφορικός διανυσµατικός τελεστής ∇
Ο διαφορικός διανυσµατικός τελεστής ∇ (ονοµάζεται ανάδελτα, ή del, ή nabla),
χρησιµοποιείται ευρύτατα στα προβλήµατα του ηλεκτροµαγνητισµού. Σ’ ένα καρτεσιανό
σύστηµα συντεταγµένων ορίζεται από την
∇≡
∂
∂
∂
x0 +
y0 +
z0
∂x
∂y
∂z
(1.62)
Με βάση τον ορισµό του εσωτερικού και του εξωτερικού γινοµένου, προκύπτουν οι
ακόλουθες τρεις περιπτώσεις εφαρµογής του τελεστή ∇ :
(α) Έστω φ µια βαθµωτή συνάρτηση. Η εφαρµογή του τελεστή ∇ στη συνάρτηση
φ , δίνει ένα διάνυσµα F , που ονοµάζεται κλίση (gradient) του φ και συµβολί-
ζεται
F = ∇φ ≡ grad φ =
∂φ
∂φ
∂φ
x0 +
y0 +
z0
∂x
∂y
∂z
(1.63)
(β) Αν ο τελεστής ∇ εφαρµοστεί σε µια διανυσµατική συνάρτηση A , έχουµε την
απόκλιση (divergence) του A , που γράφεται
∇ ⋅ A ≡ divA =
∂Ay
∂Ax
∂Az
+
+
,
∂x
∂y
∂z
όπου Ax , Ay , Az οι συνιστώσες του A κατά τους άξονες x , y, z αντίστοιχα.
(γ) Η στροφή (curl, ή rot) ενός διανύσµατος A , ορίζεται από τη σχέση
14
(1.64)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
∇× A ≡ curlA ≡ rotA
⎛ ∂A
⎛ ∂A
∂Ay ⎞⎟
⎛ ∂A
∂A ⎞
∂A ⎞
⎟ x 0 + ⎜⎜ x − z ⎟⎟⎟ y 0 + ⎜⎜ y − x ⎟⎟⎟ z0
= ⎜⎜ z −
⎟
⎝⎜ ∂z
∂z ⎠⎟
∂x ⎠
∂y ⎠⎟
⎝⎜ ∂y
⎝⎜ ∂x
=
x0
y0
z0
∂
∂x
Ax
∂
∂y
Ay
∂
∂z
Az
(1.65)
Άλλοι δύο, ιδιαίτερα χρήσιµοι, τελεστές που σχετίζονται µε τα προηγούµενα, είναι η
βαθµωτή και η διανυσµατική Λαπλασιανή (Laplacian). Η βαθµωτή Λαπλασιανή, µπορεί
να εφαρµοστεί σε µια βαθµωτή ή σε µια διανυσµατική συνάρτηση και ορίζεται αντίστοιχα
από τις
∇2φ = ∇ ⋅ ∇φ =
∂2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+ 2 + 2 ,
∂x 2
∂y
∂z
(1.66)
και
∇2 A = x 0 ∇2Ax + y 0 ∇2Ay + z0 ∇2Az
(1.67)
Η διανυσµατική Λαπλασιανή ενός διανύσµατος A , ορίζεται από την
@A ≡ ∇∇ ⋅ A − ∇× ∇× A ≡ graddivA − curlcurlA
(1.68)
Αξίζει να σηµειωθεί ότι εκτός από το καρτεσιανό σύστηµα όπου οι (1.67) και (1.68)
ταυτίζονται, οι ∇ 2 A και @ έχουν, εν γένει, διαφορετικές εκφράσεις.
Επειδή οι παραπάνω τελεστές χρησιµοποιούνται ευρύτατα στη θεωρία των πεδίων,
κρίνουµε σκόπιµο να δώσουµε τις γενικές εκφράσεις τους σ’ ένα οποιοδήποτε σύστηµα
ορθογώνιων καµπυλόγραµµων συντεταγµένων, µε τη βοήθεια των µετρικών τελεστών του
κεφαλαίου 1.3.2 Οι εκφράσεις για την κλίση, την απόκλιση, τη στροφή, τη βαθµωτή και τη
διανυσµατική Λαπλασιανή σ’ ένα τέτοιο σύστηµα είναι οι ακόλουθες
∇φ =
1
1/ 2
(g11 )
∂φ
1
∂φ
1
∂φ
u1,0 +
u 2,0 +
u 3,0 ,
1/ 2
1/ 2
∂u1
∂
u
∂
u3
(g22 )
(g 33 )
2
(1.69)
⎧⎪ ∂ ⎡
⎫⎪
∂ ⎡
∂ ⎡
1/ 2
1/ 2
1/ 2
∇ ⋅ A = g −1/ 2 ⎨⎪
(⎣ g / g11 ) A1 ⎥⎦⎤ +
(⎣ g / g22 ) A2 ⎥⎦⎤ +
(⎣ g / g 33 ) A3 ⎥⎦⎤⎬⎪ , (1.70)
⎢
⎢
⎢
⎪⎩⎪ ∂u1
⎪⎭⎪
∂u 2
∂u 3
15
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1/ 2
u1,0 (g11 / g )
1/ 2
u 2,0 (g 22 / g )
1/ 2
u 3,0 (g 33 / g )
∂
∂u1
∂
∂u 2
∂
∂u 3
1/ 2
(g11 ) A1
1/ 2
(g22 ) A2
1/ 2
(g 33 ) A3
∇× A =
3
∇2φ = g −1/ 2 ∑
i =1
∂
∂u i
⎛ g 1 / 2 ∂φ ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎝⎜ g ∂u ⎠⎟⎟ ,
ii
i
,
(1.71)
(1.72)
⎡ 1
∂Γ ⎞⎤
∂Υ
1 / 2 ⎛ ∂Γ
@A = u1,0 ⎢⎢
+ (g11 / g ) ⎜⎜⎜ 2 − 3 ⎟⎟⎟⎥⎥
1/ 2
⎜⎝ ∂u 3
∂u2 ⎠⎟⎥
⎢⎣ (g11 ) ∂u1
⎦
⎡ 1
⎞⎤
∂Υ
1/ 2 ⎛
⎜⎜ ∂Γ3 − ∂Γ1 ⎟⎟⎥ ,
+u 2,0 ⎢⎢
+
g
/
g
(
)
22
⎟⎥
1/ 2
⎜⎝⎜ ∂u
∂u 3 ⎠⎟⎥
⎢⎣ (g 22 ) ∂u2
1
⎦
⎡ 1
∂Γ ⎞⎤
∂Υ
1/ 2 ⎛ ∂Γ
+u 3,0 ⎢⎢
+ (g 33 / g ) ⎜⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟⎟⎥⎥
1/ 2
⎜⎝ ∂u2
∂u1 ⎠⎟⎥
⎢⎣ (g 33 ) ∂u 3
⎦
(1.73)
όπου u1,0 , u 2,0 , u 3,0 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα, A1, A2 , A3 οι αντίστοιχες συνιστώσες
του A , και
⎪⎧ ∂
Υ = g 1 / 2 ⎪⎨
⎪⎩⎪ ∂u1
⎡(g / g )1/ 2 A ⎤ + ∂
11
1⎥
⎢⎣
⎦ ∂u 2
⎡(g / g )1/ 2 A ⎤ + ∂
22
2⎥
⎢⎣
⎦ ∂u 3
⎡(g / g )1 / 2 A ⎤⎪⎫⎪ , (1.74)
33
3 ⎥⎬
⎢⎣
⎦⎪⎭⎪
Γ1 =
g11
g 1/ 2
⎪⎧⎪ ∂
⎨
⎪⎩⎪ ∂u2
⎡(g )1/ 2 A ⎤ ⎪⎫⎪ ,
2 ⎥⎬
⎢⎣ 22
⎦ ⎪⎭⎪
(1.75)
Γ2 =
g 22
g1/ 2
⎧⎪ ∂ ⎡
⎫⎪
∂ ⎡
1/ 2
1/ 2
(⎣ g11 ) A1 ⎤⎥⎦ −
(⎣ g 33 ) A3 ⎤⎥⎦⎬⎪ ,
⎨⎪
⎢
⎢
⎪⎪⎩ ∂u 3
⎪⎪⎭
∂u1
(1.76)
Γ3 =
g 33
g1/ 2
⎧⎪ ∂
⎨⎪
⎪⎩⎪ ∂u1
(1.77)
⎡(g )1/ 2 A ⎤ − ∂
3⎥
⎢⎣ 33
⎦ ∂u 3
⎡(g )1/ 2 A ⎤ − ∂
2⎥
⎢⎣ 22
⎦ ∂u 2
⎡(g )1/ 2 A ⎤ ⎫⎪⎪
1 ⎥⎬
⎢⎣ 11
⎦ ⎪⎭⎪
Από τον πίνακα 1.2 και τις σχέσεις (1.69)-(1.77), προκύπτουν εύκολα οι αντίστοιχες
εκφράσεις στα τρία συνηθέστερα χρησιµοποιούµενα συστήµατα συντεταγµένων. Μερικές
χρήσιµες διανυσµατικές ταυτότητες, που συχνά συναντάει κανείς στα προβλήµατα του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου, δίνονται παρακάτω.
16
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.6.1 ∆ιανυσµατικές ταυτότητες
1.7
divcurlA = ∇ ⋅ (∇× A) = 0 ,
(1.78)
curlgrad φ = ∇× (∇φ) = 0 ,
(1.79)
divgrad φ = ∇ ⋅ (∇φ) = ∇2φ ,
(1.80)
∇×∇× A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇2 A ,
(1.81)
∇ ⋅ (A × B) = B ⋅ ∇× A − A ⋅ ∇× B ,
(1.82)
∇(φV ) = φ∇V +V ∇φ ,
(1.83)
∇ ⋅ (φA) = A ⋅ ∇φ + φ∇ ⋅ A ,
(1.84)
∇ ⋅ (φ∇V ) = ∇φ ⋅ ∇V + φ∇2V ,
(1.85)
∇× (φA) = ∇φ × A + φ∇× A ,
(1.86)
∇× (A × B) = A∇ ⋅ B − B∇ ⋅ A + (B ⋅ ∇)A − (A ⋅ ∇)B ,
(1.87)
∇(A ⋅ B) = (A ⋅ ∇)B + (B ⋅ ∇)A + A × (∇× B) + B × (∇× A)
(1.88)
Χρήσιµα θεωρήµατα
Μέχρι τώρα, κάναµε µια πολύ σύντοµη ανασκόπηση των βασικών εννοιών της διανυ-
σµατικής ανάλυσης και του διαφορικού διανυσµατικού λογισµού. Κρίνουµε, ακόµη, σκόπιµο να υπενθυµίσουµε στη συνέχεια τα παρακάτω βασικά θεωρήµατα που χρησιµοποιούνται ευρύτατα στη µελέτη των προβληµάτων του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου:
Το θεώρηµα του Gauss (γνωστό και ως θεώρηµα της απόκλισης ή νόµος του πηγαίου). Αν S είναι κλειστή επιφάνεια που περικλείει τον όγκο V , σύµφωνα µε το θεώρηµα
του Gauss, για κάθε διανυσµατική συνάρτηση A , ισχύει η
w
∫∫
S
A ⋅dS =
∫∫∫
V
∇ ⋅ AdV ,
(1.89)
όπου d S = ndS , είναι το “προσανατολισµένο” στοιχείο dS και n το µε φορά προς τα
εξωτερικά της S µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο dS .
17
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Το θεώρηµα του Stokes. Αν µια ανοιχτή επιφάνεια S απολήγει στην κλειστή καµπύλη C (έχει ως περίµετρο την καµπύλη C ), τότε, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Stokes,
ισχύει η
∫v
C
A ⋅ dl =
∫∫
S
∇× A ⋅ d S
(1.90)
Το θεώρηµα του Green (γνωστό και ως πρώτη ταυτότητα του Green). Σύµφωνα
µε το θεώρηµα αυτό που προκύπτει εύκολα από την ταυτότητα (1.85), ισχύει η
w (g ∇f − f ∇g ) ⋅ d S = ∫∫∫
∫∫
S
V
(g ∇2 f − f
∇2g )dV
(1.91)
Η δεύτερη ταυτότητα του Green. Εδώ έχουµε
w
∫∫
S
f ∇g ⋅ d S =
∫∫∫
V
(f ∇2g + ∇f ⋅ ∇g )dV
(1.92)
Μερικές ακόµη χρήσιµες ολοκληρωτικές σχέσεις είναι οι ακόλουθες:
w
∫∫
S
w
∫∫
S
fd S = ∫∫∫ ∇fdV ,
(1.93)
∫∫∫
(1.94)
V
n × AdS =
∫v
C
V
∇× AdV ,
f d l = ∫∫ n ×∇fdS
S
(1.95)
Τέλος, αναφέρουµε το θεώρηµα Helmholtz σύµφωνα µε το οποίο κάθε διανυσµατικό πεδίο µπορεί να προκύψει από την υπέρθεση δύο πεδίων, εκ των οποίων το ένα έχει
µηδενική απόκλιση (σωληνοειδές) και το άλλο µηδενική στροφή (αστρόβιλο) σε κάθε θέση.
18
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.8
Παραδείγµατα
1.1 ∆ίνονται τα διανύσµατα A = x 0 + y 0 , B = x 0 + 2z0 και C = 2y 0 + z0 . Να υπολογιστούν και να συγκριθούν τα τριπλά εξωτερικά γινόµενα: (A × B) × C και A × (B × C) .
Σύµφωνα µε την (1.18), έχουµε
x0
y0
z0
A×B = 1
1
0 = 2x 0 − 2 y 0 − z 0 ,
1
0
2
x0
y0
(1)
και
(A × B) × C = 2
z0
− 2 −1 = − 2 y 0 + 4 z 0
0
2
(2)
1
Ανάλογα, για το γινόµενο A × (B × C) , εύκολα βρίσκουµε
A × (B × C) = 2x 0 − 2y 0 + 3z 0 ,
(3)
Από τις (2) και (3) παρατηρούµε, ότι τα δύο γινόµενα δεν έχουν την ίδια τιµή (δεν ισχύει δηλαδή η προσεταιριστική ιδιότητα).
1.2 Ζητείται να γίνει µετατροπή των καρτεσιανών συντεταγµένων του διανύσµατος
A = x 0 + y 0 , σε κυλινδρικές συντεταγµένες.
Από την (1.28), που εκφράζει την αλληλοσυσχέτιση µεταξύ των µοναδιαίων διανυσµάτων έχουµε µε αντικατάσταση
A = x 0 + y 0 = (cos ϕ ρ 0 − sin ϕ ϕ0) + (sin ϕ ρ0 + cos ϕ ϕ0)
= (cos ϕ + sin ϕ) ρ0 + (cos ϕ − sin ϕ) ϕ0
Η (1), για ϕ = π / 4 , γράφεται
19
(1)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
A = 2 ρ0 ,
(2)
οπότε
Aρ = 2,
Aϕ = Az = 0
(3)
1.3 Αν A, B, C είναι τρία διανύσµατα µη παράλληλα προς το ίδιο επίπεδο, να αποδειχθεί ότι
οποιοδήποτε διάνυσµα V µπορεί να εκφραστεί ως γραµµικός συνδυασµός των A, B και C .
Αν γράψουµε
V = αA + β B + γ C ,
(1)
όπου α, β, γ προσδιοριστέες αριθµητικές σταθερές και πολλαπλασιάσουµε ‘εξωτερικά’ µε
το διάνυσµα B τα δύο µέλη της (1) θα πάρουµε
V × B = αA × B + β B × B + γ C × B = αA × B + γ C × B
(2)
Πολλαπλασιάζοντας στη συνέχεια τα δύο µέλη της (2) ‘εσωτερικά’ µε το διάνυσµα C ,
προκύπτει
(V × B) ⋅ C = α(A × B) ⋅ C + γ (C × B) ⋅ C
(3)
Το µικτό όµως γινόµενο (C × B) ⋅ C έχει, προφανώς, µηδενική τιµή, οπότε η (3) γράφεται
(V × B) ⋅ C = α(A × B) ⋅ C
(4)
Τέλος, από την (4) αφού τα τρία διανύσµατα A, B και C δεν είναι οµοπαράλληλα,
το µικτό γινόµενο είναι διάφορο του µηδενός, και προκύπτει
α=
(V × B) ⋅ C
(A × B) ⋅ C
(5)
Εντελώς ανάλογα υπολογίζονται και οι συντελεστές β και γ που έχουν τιµές
β=
(A × V) ⋅ C
,
(A × B) ⋅ C
(6)
γ=
(A × B) ⋅ V
(A × B) ⋅ C
(7)
και
20
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.4 Να καθοριστούν οι µετρικοί συντελεστές g11, g22 , g 33 και ο στοιχειώδης όγκος dV σ’
ένα σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων.
Από την (1.30), αν θεωρήσουµε ένα σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων
(r ≡ u1, θ ≡ u2 , ϕ ≡ u 3 ) , έχουµε
2
2
2
⎛ ∂x ⎞
⎛ ∂y ⎞
⎛ ∂z ⎞
g11 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ,
⎝ ∂r ⎠
⎝ ∂r ⎠
⎝ ∂r ⎠
2
2
2
⎛ ∂x ⎞
⎛ ∂y ⎞
⎛ ∂z ⎞
g 22 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ,
⎝ ∂θ ⎠
⎝ ∂θ ⎠
⎝ ∂θ ⎠
2
g 33
2
(1)
(2)
2
⎛ ∂x ⎞
⎛ ∂y ⎞
⎛ ∂z ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ ∂ϕ ⎠⎟
⎟
⎝ ∂ϕ ⎠
⎝ ∂ϕ ⎠⎟
(3)
Από τις εκφράσεις ισοδυναµίας του πίνακα 1.1 και τις (1), (2) και (3) προκύπτουν οι
ακόλουθες εκφράσεις των µετρικών συντελεστών
g11 = (sin θ cos ϕ)2 + (sin θ sin ϕ)2 + (cos θ)2 = sin2 θ + cos2 θ = 1 ,
(4)
g22 = (r cos θ cos ϕ)2 + (r cos θ sin ϕ)2 + (−r sin θ)2 = r 2 cos2 θ + r sin2 θ = r 2 , (5)
g 33 = (−r sin θ sin ϕ)2 + (r sin θ cos ϕ)2 = r 2 sin2 θ
(6)
Τέλος, από την (1.32) και τις (4), (5) και (6) υπολογίζεται ο στοιχειώδης όγκος dV
dV = (r 4 sin2 θ)1 / 2 drd θd ϕ = r 2 sin θdrd θd ϕ
(7)
1.5 Να προσδιοριστεί η τιµή του επικαµπύλιου ολοκληρώµατος
Β
⌠ dx ,
⎮
⌡Α x + y
κατά µήκος των τριών δρόµων AB , APB και AQB , του σχήµατος 1.4.
Για τον υπολογισµό του ζητούµενου ολοκληρώµατος πρέπει προηγούµενα να εκφραστεί το y συναρτήσει του x , για κάθε δρόµο ολοκλήρωσης.
Έτσι, κατά µήκος της τροχιάς y = x 2 , έχουµε
21
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
y
y = x2
P(1, 4)
B(2, 4)
A(1, 1)
Q(2, 1)
O
x
Σχήµα 1-4
2
2
⌠ dx = ⌠ dx = ⌠ ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟dx = [ln x − ln(1 + x )]2 = ln 4
⎟
⎮
⎮
⎮ ⎜⎝⎜
1
⌡ x +y
⌡1 x + y
⌡1 x 1 + x ⎠⎟
3
(1)
( ΑΒ)
Για το δρόµο (ΑΡΒ) ισχύει
Ρ
Β
⌠ dx = ⌠ dx + ⌠ dx
⎮
⎮
⎮
⌡ x + y ⌡Α x + y ⌡Ρ x + y
(2)
( ΑΡΒ)
Το πρώτο όµως ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους της (2) είναι ίσο µε µηδέν αφού το x
παραµένει σταθερό πάνω στο τµήµα AP . Έτσι, η ολοκλήρωση γίνεται µόνο πάνω στο
τµήµα PB , όπου y = 4 , οπότε
2
⌠ dx = ⌠ dx = [ln(4 + x )]2 = ln 6
⎮
1
⌡1 x + 4
⌡ x +y
5
(3)
( ΑΡΒ)
Κατά τον ίδιο τρόπο, κατά µήκος του δρόµου AQB έχουµε
2
⌠ dx = ⌠ dx + ⌠ dx = ⌠ dx = ⌠ dx = [ln(x + 1)]2 = ln 3 (4)
⎮
⎮
⎮
⎮
1
⌡ x +y
⌡ x +y
⌡ x +y
⌡ x + y ⌡1 x + 1
2
(AQB)
(AQ)
(QB)
(AQ)
Από τις (1), (3) και (4) βλέπουµε ότι ένα επικαµπύλιο ολοκλήρωµα εξαρτάται, εν γένει, όχι µόνο από το αρχικό και το τελικό σηµείο ολοκλήρωσης, αλλά και από τον συγκεκριµένο δρόµο που συνδέει τα δύο αυτά σηµεία.
22
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.6 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα
∫
C
(xy + z 2 )dl , όπου C είναι το τόξο της έλικας
x = cos t , y = sin t , z = t που ενώνει τα σηµεία (1,0,0) και (-1,0, π ) .
dl = (dx )2 + (dy)2 + (dz )2 ,
Το στοιχειώδες µήκος
αφού dx = − sin t dt , dy = cos t dt και dz = dt , δίνεται από τη σχέση
dl = sin2 t + cos2 t + 1 dt = 2 dt
(1)
Επιπλέον, είναι φανερό ότι το σηµείο (1, 0, 0) αντιστοιχεί στην τιµή της παραµέτρου
t : t1 = 0 και το σηµείο (−1, 0, π) στην τιµή t2 = π . Εκφράζοντας στη συνέχεια την υπό
ολοκλήρωση παράσταση συναρτήσει της παραµέτρου t , έχουµε
∫
C
(xy + z 2 )dl =
∫
t2 = π
t1 = 0
π
⎡ cos2 t t 3 ⎤
2 3
π
+ ⎥ =
(cos t sin t + t 2 ) 2dt = 2 ⎢
⎢⎣ 2
3 ⎥⎦ 0
3
(2)
1.7 Αν ένα σωµατίδιο έλκεται από την αρχή των αξόνων µε µια δύναµη F = −κρ που είναι ανάλογη της απόστασης ρ του σωµατιδίου από την αρχή, ( κ : θετική σταθερά), να βρεθεί
ποιο είναι το έργο που αποδίδεται όταν το σωµατίδιο µετακινηθεί από την αρχική θέση
A(0,1) στην τελική θέση B(1,2) , κατά µήκος της τροχιάς y = 1 + x 2 , υποθέτοντας ότι υ-
φίσταται και ένας συντελεστής τριβής µ που αντιτίθεται στην κίνηση του σωµατιδίου.
Για τη στοιχειώδη µετατόπιση dl του σωµατιδίου πάνω στην τροχιά του σχήµατος 15, απαιτείται η καταβολή έργου dW , που αντισταθµίζει το έργο των δυνάµεων Ft και Ff ,
όπου
Ft = F cos ω = κρ cos ω ,
(1)
είναι η εφαπτοµενική συνιστώσα της ελκτικής δύναµης F , και
Ff = µFn sin ω = µκρ sin ω ,
(2)
είναι η δύναµη τριβής, που φυσικά είναι ανάλογη προς την κάθετη συνιστώσα Fn της δύναµης F , πάνω στην τροχιά. Το στοιχειώδες έργο dW των δυνάµεων αυτών, είναι
23
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
y
y = 1 + x2
B(1, 2)
(x, y)
Fn
A(0, 1)
Ft
ω
F
φ
θ
x
O
Σχήµα 1-5
dW = (Ft dl + Ff dl ) = (κρ cos ω + µκρ sin ω)dl
(3)
ή επειδή ω = ϕ − θ ,
dW = [κρ cos(ϕ − θ) + µκρ sin(ϕ − θ)]dl
= [κρ(cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ) + µκρ(sin ϕ cos θ − cos ϕ sin θ)]dl
(4)
Αν, όµως, ληφθεί υπόψη ότι
ρ cos ϕ = x ,
ρ sin ϕ = y ,
cos θdl = dx ,
sin θdl = dy ,
(5)
από την ολοκλήρωση της (4), προκύπτει
B
B
W = κ ∫ (xdx + ydy) + µκ ∫ (ydx − xdy) .
A
A
(6)
Αλλά το πρώτο ολοκλήρωµα του δεύτερου µέλους της (6), µπορεί επίσης να γραφεί
B
κ ∫ (xdx + ydy) =
A
κ
2
∫
B(1,2)
A(0,1)
d (x 2 + y 2 ) =
1,2
κ 2
(x + y 2 ) 0,1 = 2κ
2
(7)
Όπως βλέπουµε, το ολοκλήρωµα αυτό είναι ανεξάρτητο του δρόµου ολοκλήρωσης,
και εκφράζει έργο που µπορεί να ανακτηθεί (δυναµική ενέργεια).
Για το δεύτερο ολοκλήρωµα, (εδώ δεν έχουµε ακριβές διαφορικό), εργαζόµαστε µε
τον γνωστό τρόπο. Έτσι, κατά µήκος του δρόµου y = 1 + x 2 (ή x = y − 1 ), έχουµε
24
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
B
1
µκ ∫ (ydx − xdy) = µκ ∫ (x 2 + 1)dx − µκ ∫
A
0
2
1
y − 1dy
2
1
⎡ 2(y − 1)3 / 2 ⎤
⎡x 3
⎤
⎥ = 2µκ
⎢
⎥
= µκ
+ x − µκ ⎢
⎢
⎥
⎢⎣ 3
⎥⎦
3
3
0
⎣
⎦1
(8)
Το ολοκλήρωµα (8), εκφράζει το µη δυνάµενο να ανακτηθεί έργο, που χάνεται υπό
µορφή θερµότητας λόγω τριβών. Τέλος, από τις (7) και (8) προκύπτει το συνολικό έργο
W = 2κ + 2µκ / 3
∫
1.8 Να υπολογιστεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα
C
(9)
F ⋅ d l , όπου F = (2x + y )x 0 + x y 0
+2z z0 , κατά µήκος της καµπύλης C που περιλαµβάνει τα τµήµατα OA , AB και BC του
σχήµατος.
z
C(1, 2, 3)
O
y
A(1, 0, 0)
B(1, 2, 0)
x
Σχήµα 1-6
Σύµφωνα µε την (1.50) έχουµε
∫
∫
F ⋅dl =
(OABC)
(2x + y )dx +
(OABC)
∫
(OABC)
xdy +
∫
2zdz
(1)
(OABC)
Αλλά
∫
(OABC)
(2x + y )dx =
∫
A
O
B
C
(2x + y )dx + ∫ (2x + y )dx + ∫ (2x + y )dx ,
A
B
(2)
και επειδή η µεταβλητή x δε µεταβάλλεται κατά µήκος των τµηµάτων AB και BC , το
δεύτερο και το τρίτο ολοκλήρωµα στο δεύτερο µέλος της (2) έχουν µηδενική τιµή, οπότε
25
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
∫
(2x + y )dx =
(OABC)
∫
A
O
(2x + y ) dx
∫
=
y =0
1
0
1
2xdx = x 2
0
=1
(3)
Παρόµοια, υπολογίζουµε και τα υπόλοιπα ολοκληρώµατα στο δεύτερο µέλος της (1).
Έτσι, έχουµε
∫
xdy =
(OABC)
∫
A
O
B
C
xdy + ∫ xdy + ∫ xdy =
A
B
∫
B
A
∫
xdy =
2
0
dy = 2 ,
(4)
και
∫
2zdz =
(OABC)
∫
A
O
B
C
2zdz + ∫ 2zdz + ∫ 2zdz =
A
B
∫
C
B
2zdz =
∫
3
0
2zdz = z 2
3
0
= 9 , (5)
Με αντικατάσταση των (3), (4) και (5) στην (1) έχουµε τελικά
∫
C
F ⋅ d l = 12
(6)
Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε, συντοµότερα, αν παρατηρήσουµε ότι η διανυσµατική συνάρτηση F µπορεί να εκφραστεί ως η κλίση του βαθµωτού µεγέθους Φ .
Πράγµατι, πολύ εύκολα διαπιστώνουµε ότι αν Φ(x , y, z ) = x 2 + xy + z 2 , τότε
F = (2x + y )x 0 + xy 0 + 2zz0 = ∇Φ
(7)
Έτσι, σύµφωνα µε την (1.54) ισχύει
∫
F ⋅ d l = Φ(C) − Φ(0) = Φ(1,2,3) − Φ(0,0,0) = (1 + 2 + 9) − 0 = 12 ,
(8)
(OABC)
δηλαδή επαληθεύουµε την (6).
1.9 Να βρεθεί το µήκος της κυκλικής τροχιάς C ακτίνας R , από το σηµείο A(R,0,0) ως
το σηµείο B(0,R,0) στο επίπεδο xy , όπως φαίνεται στο σχήµα 1-7.
Από την εξίσωση
x 2 + y 2 = R2 ,
(1)
της καµπύλης C , προκύπτει
y = R2 − x 2 ,
(2)
∂y
dx
,
=−
2
∂x
R − x2
(3)
26
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
z
B(0, R, 0)
y
C
A(R, 0, 0)
x
Σχήµα 1-7
dz = 0
και
(4)
Έτσι, το στοιχειώδες µήκος dl , σύµφωνα µε την (1.44) είναι
dl = 1 +
x2
Rdx
,
dx = −
R − x2
R2 − x 2
2
(5)
όπου το αρνητικό πρόσηµο προέκυψε επειδή το x µικραίνει όταν προχωρούµε από το A
στο B κατά µήκος του δρόµου C . Από την ολοκλήρωση της (5) προκύπτει
x =R
0
⎛x ⎞
dx
πR
⌠
∫C dl = −R⎮⌡R R2 − x 2 = R arcsin ⎜⎜⎝ R ⎠⎟⎟⎟ x =0 = 2 ,
(6)
που φυσικά είναι το 1/ 4 της περιφέρειας του κύκλου ακτίνας R .
Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει ευκολότερα µε χρησιµοποίηση κυλινδρικών συντεταγµένων. Πράγµατι, επειδή ρ = R = const και z = 0 , ισχύει η d ρ = dz = 0 , οπότε από
την (1.41) για h2 = ρ = R , u2 = ϕ , έχουµε
∫
C
dl = R ∫
π/2
0
d ϕ = πR / 2
(7)
1.10 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα της συνάρτησης x 2z πάνω στην εξωτερική επιφάνεια
S ενός ορθού κυλίνδρου ύψους h , που η βάση του ταυτίζεται µε τον κύκλο x 2 + y 2 = α2 .
Επίσης, να υπολογιστεί το χωρικό ολοκλήρωµα της συνάρτησης x 2z πάνω στον όγκο V του
κυλίνδρου.
27
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
z
α
ρ
S3
S1
dV
dz
h
O
dφ
y
dρ
αdφ
S2
x
Σχήµα 1-8
Για να υπολογίσουµε αρχικά το επιφανειακό ολοκλήρωµα
∫∫
S
x 2zdS ,
(1)
διαιρούµε την εξωτερική επιφάνεια S στα τρία τµήµατα S1, S 2 , S 3 , όπου S1 είναι η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου και S 2 , S 3 οι δύο βάσεις του (στο σχήµα 1-8 φαίνεται το
ένα τέταρτο του κυλίνδρου).
Από τη γεωµετρία του προβλήµατος παρατηρούµε ότι η χρησιµοποίηση κυλινδρικών
συντεταγµένων διευκολύνει το ζητούµενο υπολογισµό.
Έτσι, για την επιφάνεια S1 , έχουµε
dS1 = αd ϕdz ,
x = α cos ϕ ,
και
28
z =z ,
(2)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
∫∫
S1
x 2zdS1 =
2π
h
∫ ∫
0
0
(α cos ϕ)2 z (αd ϕdz )
h
2π
h
πα 3h 3
⌠ ⎡ ϕ sin 2ϕ ⎤
=α ⎮ z⎢ +
⎥ dz = πα 2 ∫ zdz =
0
⌡ 0 ⎣⎢ 2
4 ⎥⎦ 0
2
(3)
3
Για την S 2 – κάτω βάση του κυλίνδρου – έχουµε αντίστοιχα
dS 2 = ρdrd ϕ ,
x = ρ cos ϕ ,
∫∫
Όµως, επειδή το ολοκλήρωµα
S2
z =0
(4)
x 2zdS 2 , περιλαµβάνει τον παράγοντα z = 0 , έχει µη-
δενική τιµή, δηλαδή
∫∫
S2
x 2zdS 2 = 0
(5)
Για την πάνω βάση S 3 , θα έχουµε
dS 3 = ρ d ρ dϕ ,
x = ρ cos ϕ ,
z =h,
(6)
και
∫∫
S3
x 2zdS 3 =
2π
∫ ∫
0
α
(ρ cos ϕ)2 h(ρd ρdϕ)
0
2π
α
2π
⎡ ρ4 ⎤
⌠
α 4h ⎡ ϕ sin 2ϕ ⎤
πα 4h
= h ⎮ cos2 ϕ ⎢ ⎥ dϕ =
⎢ +
⎥ =
⎢⎣ 4 ⎥⎦
4 ⎢⎣ 2
4 ⎦⎥ 0
4
⌡0
0
(7)
Τελικά, από τις (3), (4), (7) και την
∫∫
S
x 2zdS =
∫∫
x 2zdS1 + ∫∫ x 2zdS 2 + ∫∫ x 2zdS 3 ,
∫∫
x 2zdS =
S1
S2
S3
(8)
προκύπτει
S
πα 3h(2h + α)
4
Στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος όγκου
∫∫∫
V
(9)
x 2zdV , χρησιµοποιούµε και πάλι
κυλινδρικές συντεταγµένες, οπότε
x = ρ cos ϕ ,
dV = ρ d ρ d ϕdz ,
και
∫∫∫
V
x 2zdV =
=
2π
h
∫ ∫ ∫
0
α4
4
0
h
∫ ∫
0
α
0
2π
0
z =z
(10)
(ρ cos ϕ)2 z (ρ d ρdϕdz )
z cos2 ϕdϕdz =
29
πα 4
4
∫
h
0
zdz =
πα 4h 2
8
(11)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1.11 Να αποδειχθεί ότι η συνολική ροή του διανύσµατος A = κ sin θ r0 (σφαιρικές συντεταγµένες) δια της επιφάνειας σφαίρας ακτίνας R , που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, είναι ίση µε κπ 2R2 .
Η ζητούµενη ροή δίνεται, προφανώς, από το κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωµα
Φ=
w
∫∫
S
A ⋅dS =
w
∫∫
S
κ sin θdS r0 ⋅ n ,
(1)
όπου S η επιφάνεια της σφαίρας, ή, αφού r0 ≡ n ,
Φ=
w κ sin θdS
∫∫
(2)
S
Αν στην (2) αντικαταστήσουµε τη στοιχειώδη επιφάνεια dS από την έκφρασή της,
όπως φαίνεται στον πίνακα 1.2, προκύπτει
Φ=
w
∫∫
S
π
κ sin θr 2 sin θd θdϕ = κR 2 ∫ sin2 θd θ∫
0
π
⎡ 1 − cos θ ⎤
= 2πκR 2 ⌠
⎥ d θ = κπ 2R 2
⎮ ⎢
⌡ 0 ⎢⎣
⎥⎦
2
2π
0
dϕ
(3)
1.12 ∆ίνεται το διανυσµατικό πεδίο A = xyx0 + 2(y + z )y0 + (x 2 + y 2 + z 2 )z0 . Ζητείται
να υπολογιστεί η ροή του διανύσµατος A δια των τριών επιφανειών S1, S 2 , S 3 του σχήµατος
1-9, όπου: S1 είναι η επιφάνεια που περιορίζεται από τους άξονες Oy , Oz και την ευθεία
y + z = 1 , S 2 είναι η επιφάνεια που περιορίζεται από τους άξονες Ox , Oz και την ευθεία
x + z = 1 και S 3 είναι το τέταρτο της επιφάνειας κύκλου µοναδιαίας ακτίνας και κέντρου
που συµπίπτει µε την αρχή των αξόνων.
Από το σχήµα 1-9, φαίνεται ότι d S1 = −dS1x 0 , d S2 = dS 2 y 0 και d S3 = dS 3 z0 . Θα
έχουµε λοιπόν
30
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
z
(0, 0, 1)
n1
S1
S2
n2
(0, 1, 0)
Ο
y
S3
n3
(1, 0, 0)
x
Σχήµα 1-9
Φ1 =
(α)
∫∫
S1
A ⋅ d S1 = −∫∫ [xyx 0 + 2(y + z )y 0 + (x 2 + y 2 + z 2 )z0 ]dS1x 0
S1
= −∫∫ xydS1 = −∫∫ xydydz
S1
,
(1)
S1
διότι: y 0 ⋅ x 0 = z0 ⋅ x 0 = 0 και x 0 ⋅ x 0 = 1 .
Επειδή, όµως, πάνω στην S1 , έχουµε x = 0 , η (1) καταλήγει στην
Φ1 = −∫∫ 0ydydz = 0
(2)
S1
Φ2 =
(β)
∫∫
S2
A ⋅ dS2 = 2∫∫ (y + z )y 0 ⋅ y 0dS 2
S3
1
= 2 ∫∫ (y + z )dxdz = 2⌠
⌡0
S2
(∫
1−z
0
)
dx dz =
1
3
,
(3)
και
(γ)
Φ3 =
∫∫
S3
A ⋅ dS 3 =
∫∫
S3
(x 2 + y 2 + z 2 )z 0 ⋅ z0dS 3 =
∫∫
S3
(x 2 + y 2 )dS 3
(4)
Η (4), αν για ευκολία χρησιµοποιηθούν κυλινδρικές (πολικές) συντεταγµένες, επειδή
2
x + y 2 = ρ 2 και dS 3 = ρ d ρ d ϕ , γράφεται
Φ3 =
∫∫
S1
π/2
1
ρ 2 ρ d ρd ϕ = ∫ ρ 3d ρ ∫
0
31
0
dϕ =
π
8
(5)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1.13 Να βρεθεί το µοναδιαίο διάνυσµα που είναι κάθετο στην επιφάνεια xy 3z 2 − 4 = 0 ,
στο σηµείο P(-1,-1,2) .
Προφανώς, η επιφάνεια xy 3z 2 = 4 , µπορεί να θεωρηθεί ως σταθµική επιφάνεια της
οικογένειας φ = xy 3z 2 . Κατά συνέπεια, η κλίση ∇φ στο σηµείο P(−1, −1, 2) είναι κάθετη στην επιφάνεια αυτή. Είναι επίσης γνωστό, ότι η κατεύθυνση της κλίσης ∇φ συµπίπτει
µε την κατεύθυνση του µέγιστου µέτρου της µεταβολής του φ και ότι το µέτρο της είναι
ίσο µε το µέγιστο µέτρο της µεταβολής του φ . Αν λοιπόν, προσδιορίσουµε την κλίση ∇φ
και τη διαιρέσουµε µε το µέτρο της, θα έχουµε το ζητούµενο µοναδιαίο διάνυσµα
∇φ = ∇(xy 3z 2 ) = y 3z 2 x0 + 3xy 2z 2 y0 + 2xy 3zz0 ,
(1)
και για το σηµείο P(−1, −1, 2)
∇φ P = −4x 0 − 12y 0 + 4z0
(2)
∇φ = 42 + 122 + 42 = 4 11 ,
(3)
Επίσης,
οπότε,
n=
−4x 0 − 12y 0 + 4z0
∇ϕ
1
3
1
=
=−
x0 −
y0 +
z0
4 11
11
11
11
∇ϕ
(4)
1.14 Να αποδειχθεί η ταυτότητα (1.84).
Αν Ax , Ay , Az οι συνιστώσες του διανύσµατος A , έχουµε διαδοχικά
∇ ⋅ (φ A) = ∇ ⋅ [φ(Ax x 0 + Ay y 0 + Az z0 )] =
∂
∂
∂
(φAx ) +
(φAy ) +
(φAz )
∂x
∂y
∂z
∂Ay
∂Ax
∂A
∂φ
∂φ
∂φ
+ Ax
+φ
+ Ay
+ φ z + Az
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
⎛ ∂A
∂Ay
∂Az ⎞⎟ ⎛⎜ ∂φ
∂φ
∂φ ⎞⎟
⎟ + ⎜Ax
⎟ = φ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇φ
= φ ⎜⎜ x +
+
+ Ay
+ Az
⎟
⎜⎝ ∂x
⎜
⎟
∂y
∂z ⎠ ⎝ ∂x
∂y
∂y ⎠⎟⎟
=φ
32
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.15 Να υπολογιστεί η ∇× A σε κυλινδρικές συντεταγµένες και η ∇2V σε σφαιρικές συντεταγµένες.
Με αντικατάσταση των εκφράσεων του πίνακα 1.2 για κυλινδρικές συντεταγµένες
στον τύπο (1.71) προκύπτει
ρ −1 ρ 0 ϕ 0
∇× A =
∂
∂ρ
Aρ
∂
∂ϕ
Aϕ
ρ −1 z 0
∂
∂z
Az
,
(1)
αφού: g11 = 1 , g22 = r 2 , g 33 = 1 , g 1/ 2 = r , u1,0 = ρ0 , u 2,0 = ϕ0 , u 3,0 = z0 , A1 = Aρ ,
A2 = Aϕ και A3 = Az .
Από την (1) προκύπτει η έκφραση της στροφής σε κυλινδρικές συντεταγµένες
⎛ 1 ∂Az
⎛ ∂A
∂Aϕ ⎞⎟
∂A ⎞
1 ⎛ ∂(ρAϕ ) ∂Aρ ⎞⎟
⎟ z0
⎟ ρ0 + ⎜⎜ ρ − z ⎟⎟⎟ ϕ0 + ⎜⎜
∇× A = ⎜⎜⎜
−
−
⎟
⎜
⎟
⎟
∂z ⎠
∂ρ ⎠
∂ϕ ⎠⎟⎟
ρ ⎜⎝ ∂ρ
⎝ ρ ∂ϕ
⎝ ∂z
(2)
Στη συνέχεια, µε αντικατάσταση των εκφράσεων του πίνακα 1.2 για σφαιρικές συντεταγµένες στον τύπο (1.72) έχουµε
⎡ ∂ ⎛ g 1/ 2 ∂V ⎞ ∂ ⎛ g 1/ 2 ∂V ⎞
∂ ⎛⎜ g 1/ 2 ∂V ⎞⎟⎤⎥
⎜⎜
⎟⎟⎟ +
⎟⎟⎟ +
⎟⎟⎥
∇2V = g −1 / 2 ⎢⎢ ⎜⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜⎜
⎜
⎣⎢ ∂r ⎝ g11 ∂r ⎠ ∂θ ⎝ g 22 ∂θ ⎠ ∂ϕ ⎝ g 33 ∂ϕ ⎠⎥⎦
(3)
ή επειδή g11 = 1 , g 22 = r 2 , g 33 = r 2 sin2 θ , g 1 / 2 = r 2 sin θ
∇2V =
1
r sin θ
2
⎡
⎛
⎞⎤
⎢ ∂ ⎜⎜⎛r 2 sin θ ∂V ⎞⎟⎟ + ∂ ⎛⎜⎜sin θ ∂V ⎞⎟⎟ + ∂ ⎜⎜ 1 ∂V ⎟⎟⎥ ,
⎢ ∂r ⎜⎝
⎟
⎟
⎜
⎜
∂r ⎠ ∂ θ ⎝
∂θ ⎠ ∂ϕ ⎝ sin θ ∂ϕ ⎠⎟⎟⎥⎦⎥
⎣⎢
δηλαδή,
∇2V =
∂ ⎛⎜
∂V ⎞⎟
∂ 2V
1 ∂ ⎛⎜ 2 ∂V ⎞⎟
1
1
θ
sin
r
+
+
⎟
⎟
⎜
⎜
r 2 ∂r ⎜⎝ ∂r ⎠⎟ r 2 sin θ ∂θ ⎝⎜
∂θ ⎠⎟ r 2 sin2 θ ∂ϕ 2
33
(4)
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1.16 Να υπολογιστεί η ροή του διανύσµατος A = xx 0 + yy 0 + zz0 , που εξέρχεται από την
εξωτερική επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου του σχήµατος 1-10.
z
(0, 0, 1)
(0, 2, 0)
y
(1, 0, 0)
x
Σχήµα 1-10
Υπολογίζουµε τη ροή που εξέρχεται από κάθε έδρα του παραλληλεπιπέδου. Έτσι, έχουµε:
1. Έδρα: x = 0 → A = yy 0 + zz0
Φ1 =
και
∫∫
S1
(yy 0 + zz0 ) ⋅ (−dydz)(−x 0 ) = 0
(1)
2. Έδρα: x = 1 → A = x 0 + yy 0 + zz0
και
Φ2 =
∫∫
S2
(x 0 + yy 0 + zz0 ) ⋅ (dydz)(x 0 ) =
2
∫ ∫
0
1
0
dydz = 2
(2)
3. Έδρα y = 0 → A = xx 0 + zz0
Φ3 = 0
και
(3)
4. Έδρα y = 2 → A = xx0 + 2y 0 + zz0
και
Φ4 =
∫∫
S4
2y 0dxdz ⋅ y 0 = 2∫
1
0
∫
1
0
dxdz = 2
(4)
5. Έδρα z = 0 → A = xx 0 + yy 0
και
Φ5 = 0
34
(5)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
6. Έδρα z = 1 → A = xx 0 + yy 0 + z0
Φ6 =
και
∫∫
S6
1
∫ ∫
z0dxdy ⋅ z0 =
0
2
0
dxdy = 2
(6)
Η συνολική ροή Φολ είναι το άθροισµα
6
Φολ = ∑ Φi = 6
(7)
i =1
Στο ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε ευκολότερα να φθάσουµε κάνοντας χρήση του θεωρήµατος του Gauss. Πράγµατι, η ζητούµενη ροή Φολ , δίνεται από τη σχέση
Φολ =
=
∫∫
A ⋅ dS =
∫∫∫
∇ ⋅ (xx 0 + yy 0 + zz0 )dV =
S ολ
V
∫∫∫
V
∇ ⋅ AdV
1
2
∫ ∫ ∫
0
0
1
0
(8)
3dxdydz = 6
1.17 Να αποδειχθεί η σχέση (1.94).
Έστω α οποιοδήποτε σταθερό διάνυσµα. Με εφαρµογή του θεωρήµατος του Gauss
για τη διανυσµατική συνάρτηση A × α , έχουµε
w (A × α) ⋅ d S = ∫∫∫
∫∫
S
V
∇ ⋅ (A × α)dV
(1)
∇ ⋅ (A × α)dV ,
(2)
ή
w
∫∫
S
n ⋅ (A × α)dS =
∫∫∫
V
Η (2) αν λάβουµε υπόψη ότι
n ⋅ (A × α) = α ⋅ (n × A)
(3)
∇ ⋅ (A × α) = α ⋅ (∇× A) − A ⋅ (∇× α) = α ⋅ (∇× A) ,
(4)
και
(στην (3) εφαρµόζεται η κυκλική εναλλαγή των διανυσµάτων στο βαθµωτό τριπλό γινόµενο, ενώ στην (4) η σχέση (1.82) αφού ληφθεί υπόψη ότι ∇× α = 0 , αφού το διάνυσµα α
λαµβάνεται σταθερό), δίνει
w
∫∫
S
α ⋅ (n × A)dS =
∫∫∫
35
V
α ⋅ (∇× A)dV
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ή, βγάζοντας το σταθερό διάνυσµα α εκτός του ολοκληρώµατος
α ⋅ ∫∫
w n × AdS = α ⋅ ∫∫∫ ∇× AdV .
S
V
(5)
Η (5) επειδή το α είναι ένα οποιοδήποτε αυθαίρετο διάνυσµα, οδηγεί στο συµπέρασµα ότι τα δύο διανύσµατα
w
∫∫
S
n × AdS και
∫∫∫
V
∇× AdV έχουν ίσες προβολές προς
όλες τις διευθύνσεις, άρα είναι ίσα, ισχύει δηλαδή
w
∫∫
S
n × AdS =
∫∫∫
36
V
∇× AdV .
(6)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.9
Ασκήσεις
1/1 ∆ίνονται τα τρία διανύσµατα
A = x 0 − y 0 − z0 ,
B = x0 + y0
και
C = x 0 − 2 y 0 + 2z 0 .
Ζητείται:
(α) Το άθροισµα A + B .
(β) Το µέτρο της διαφοράς A − C .
(γ)
Το εσωτερικό γινόµενο B ⋅ C .
(δ) Το εξωτερικό γινόµενο A × B .
(ε)
Το συνηµίτονο της γωνίας που σχηµατίζουν τα διανύσµατα B και C .
(στ) Το ηµίτονο της γωνίας που σχηµατίζουν τα διανύσµατα A και B .
(ζ)
Το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που σχηµατίζουν τα διανύσµατα B και C .
(η) Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου που σχηµατίζουν τα A, B και C .
(θ) Ποια ζεύγη µεταξύ των 3 δοσµένων διανυσµάτων είναι ορθογωνικά και γιατί;
1/2 ∆ίνονται τα διανύσµατα
A = cos ϕ ρ 0 + sin ϕ ϕ0 + ρz0 ,
και
B = ρ ρ0 + ρ ϕ0 + 2z0 ,
όπου η γωνία ϕ εκφράζεται σε ακτίνια. Η αρχή των κυλινδρικών συντεταγµένων συµπίπτει µε την αρχή των καρτεσιανών συντεταγµένων και ο άξονας x συµπίπτει µε τον άξονα
ϕ = 0 . Ζητείται να προσδιοριστεί η τιµή του εσωτερικού γινοµένου A ⋅ B στο σηµείο
x = 2, y = 3 .
1/3 Να εκφραστεί το διάνυσµα
A = z cos ϕ ρ 0 + ρ sin ϕ ϕ0 + 16ρz0 ,
σε καρτεσιανές συντεταγµένες.
37
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1/4 ∆ίνεται το διάνυσµα
A = xx 0 + yy 0 ,
Ζητείται:
(α) Ποια είναι η έκφραση του διανύσµατος A σε κυλινδρικές συντεταγµένες;
(β) Το µέτρο και η διεύθυνση του A στο σηµείο x = 3, y = 4 .
1/5 Αν A = α1x 0 + α2 y 0 + α3 z0 είναι ένα σταθερό διάνυσµα που η αρχή του συµπίπτει
µε την αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος του πέρατος του διανύσµατος
R = xx 0 + yy 0 + zz0 που ικανοποιεί την εξίσωση (R − A) ⋅ A = 0 , είναι ένα επίπεδο κά-
θετο στο διάνυσµα A που διέρχεται από το πέρας του A . Ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος
των περάτων των διανυσµάτων R που ικανοποιούν τις σχέσεις: (a) (R − A) ⋅ R = 0 και
(R − A) ⋅ (R − A) = 0 ;
1/6 Χρησιµοποιώντας τις εκφράσεις για την κλίση, την απόκλιση και τη στροφή σε καρτεσιανές συντεταγµένες, να αποδειχθούν οι ταυτότητες
(α)
∇ ⋅ (∇× A) = 0 ,
(β)
∇× (∇φ) = 0
1/7 Να αποδείξετε ότι αν φ1, φ2 είναι δύο βαθµωτές συναρτήσεις, ισχύει η
∇φ1 ×∇φ2 = ∇× (φ1∇φ2 ) = −∇× (φ2 ∇φ1 )
1/8 Είναι γνωστό, ότι η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, είναι
ίση µε την αρνητική κλίση µιας βαθµωτής συνάρτησης δυναµικού φ , δηλαδή ισχύει η
E = −∇φ
(α) Να υπολογιστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση που αντιστοιχεί στις ακόλουθες συναρτήσεις δυναµικού:
38
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
φ1 = V0 (xy + 1) ,
⎛ πx ⎞ ⎛ πy ⎞
φ2 = V0 cosh ⎜⎜ ⎟⎟⎟ sin ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ,
⎝α⎠ ⎝α⎠
⎛ πx ⎞
⎛ πy ⎞
φ3 = V0 sin ⎜⎜ ⎟⎟⎟ cos ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ,
⎝α⎠
⎝α⎠
(β) Η χωρική πυκνότητα ρ των ηλεκτρικών φορτίων, ως γνωστό, δίνεται από τη σχέση
ρ = ε0 (∇ ⋅ E) ,
όπου ε0 είναι η διηλεκτρική σταθερά του αέρα. Να υπολογιστεί η πυκνότητα ρ (σε
Cb/m 3 ) σε κάθε ένα από τα τρία πεδία του ερωτήµατος (α).
(γ) Να δειχθεί ότι ισχύει η
∇× E = 0 ,
στα πιο πάνω τρία πεδία.
1/9 Να επαναληφθεί το προηγούµενο πρόβληµα για τις παρακάτω συναρτήσεις δυναµικού
φ1 = V0φ ln(ρ / α) : (κυλινδρικές συντεταγµένες),
φ2 = V0r cos θ : (σφαιρικές συντεταγµένες),
φ3 = V0r sin θ : (σφαιρικές συντεταγµένες).
1/10 ∆ίνεται το διανυσµατικό πεδίο
F = xyx 0 + y 2 y0 ,
και η κλειστή (τριγωνική) γραµµή C του σχήµατος 1-11 που ξεκινάει από την αρχή των
αξόνων (0, 0, 0) , οδεύει κατά µήκος της γραµµής x = 0 µέχρι το σηµείο (0, 2, 0) , στη συνέχεια οδεύει κατά µήκος της γραµµής y = 2 µέχρι το σηµείο (2, 2, 0) και τελικά επιστρέφει στην αρχή µέσω της ευθείας y = x . Ζητείται ο υπολογισµός του κλειστού επικαµπύλιου ολοκληρώµατος
∫
C
F ⋅dl .
39
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
y
(0, 2, 0)
(2, 2, 0)
C
x
(0, 0, 0)
Σχήµα 1-11
1/11 Κατά µήκος ποιας καµπύλης της οικογένειας
y = κx (1 − x ) ,
που συνδέει τα σηµεία A(0, 0) και B(1, 0) , το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα
∫
B
A
y(x − y )dx ,
λαµβάνει τη µέγιστη τιµή;
1/12 Να υπολογιστεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα
∫v
C
x 2y 2dl ,
κατά µήκος της περιφέρειας του κύκλου x 2 + y 2 = 1 (για ευκολία συνιστάται η χρησιµοποίηση κυλινδρικών – πολικών – συντεταγµένων).
1/13 ∆ίνεται το διανυσµατικό πεδίο
F = xx 0 + yy 0 + zz0
Να αποδειχθεί – µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Gauss – ότι η ροή
w
∫∫
S
F ⋅ d S , που ε-
ξέρχεται από µια τυχούσα κλειστή επιφάνεια S είναι ίση µε το τριπλάσιο του όγκου V
που περικλείει η S .
40
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1/14 Να υπολογιστεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα
I =
∫ (sin ϕ ρ + ρ cos ϕ ϕ
0
0
+ tan ϕz0 ) ⋅ d l ,
C
κατά µήκος του τµήµατος C της περιφέρειας x 2 + y 2 = 9 .
y
C
x 2 + y2 = 9
x
Σχήµα 1-12
1/15 ∆ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F = xx 0 + 2y 0 + 3z0 . Ζητείται ο υπολογισµός του
επιφανειακού ολοκληρώµατος I =
w
∫∫
S
F ⋅ d S , όπου S είναι η επιφάνεια του ορθογωνίου
παραλληλογράµµου, που έχει για κορυφές τα σηµεία (0, 0, 0) , (2, 0, 0) , (0, 2,1) , (2, 2,1) .
1/16 ∆ίνεται το διανυσµατικό πεδίο
A = x 2 x 0 + (y + z )y 0 + xy z0
Ζητείται ο υπολογισµός της ροής που διέρχεται από τις επιφάνειες S1 και S 2 του
σχήµατος 1-13, όπου: S1 είναι η επιφάνεια που περιορίζεται από τους άξονες Ox , Oz και
την ευθεία x + z = 1 , και S 2 είναι η επιφάνεια που περιορίζεται από τις ευθείες
x = 0 , x = 1 , y = 1 , y = 2 και βρίσκεται στο επίπεδο xy .
41
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
z
(0, 0, 1)
S1
dS1
x+z=1
n
(0, 1, 0)
(0, 2, 0)
n
S2
y=1
dS2
(1, 0, 0)
(1, 1, 0)
x=1
y
y=2
(1, 2, 0)
x
Σχήµα 1-13
1/17 Για το διανυσµατικό πεδίο
A = x 2y 3 x 0 + x 3y 2 y 0 .
Ζητείται:
(α) O υπολογισµός του γραµµικού ολοκληρώµατος
∫
c
a
A ⋅ d l κατά µήκος του δρόµου 1 ,
από το σηµείο a(1,1,0) στο σηµείο c(2, 2, 0) .
(β) Ο υπολογισµός του γραµµικού ολοκληρώµατος
∫
(abc)
(γ) Ο υπολογισµός του επιφανειακού ολοκληρώµατος
A ⋅ d l , κατά µήκος του δρόµου 2 .
∫∫
S
∇× A ⋅ d S , πάνω στη διαγραµ-
µισµένη επιφάνεια S που ορίζεται από τους δρόµους 1 και 2 του σχήµατος 1-14.
(δ) Ο έλεγχος των αποτελεσµάτων των ερωτηµάτων (α), (β) και (γ) µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Stokes.
42
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
y
c(2, 2, 0)
∆ρόµος 1
∆ρόµος 2
b(2, 1, 0)
a(1, 1, 0)
O
x
Σχήµα 1-14
1/18 Για το διανυσµατικό πεδίο A = xy 2 x 0 , να υπολογιστεί το κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωµα
w
∫∫
S
A ⋅ d S , (δηλαδή η ροή του A δια της S ), όπου S είναι η εξωτερική επι-
φάνεια του κύβου µε κορυφές τα σηµεία (0, 0, 0) , (2, 0, 0) , (2, 2, 0) , (0, 2, 0) , (0, 0, 2) ,
(2, 0, 2) , (2, 2, 2) και (0, 2, 2) .
1/19 Να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση
⌠⌠⌠ ⎛ ∂ 2φ ∂2φ ∂ 2φ ⎞⎟
⌠⌠ ∂φ ds ,
⎮⎮⎮ ⎜⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟⎟dV = ⌡⌡
w S ∂n
∂y
∂z ⎠
⌡⌡⌡V ⎝ ∂x
όπου ∂φ / ∂n είναι η µερική παράγωγος κατά τη διεύθυνση της εξωτερικής καθέτου στην
κλειστή επιφάνεια S που περικλείει τον όγκο V .
1/20 Για το ηλεκτρικό πεδίο (σφαιρικές συντεταγµένες)
E = A(cos θ r0 − sin θ θ 0)
όπου Α σταθερά, ζητούνται:
(α) Ο υπολογισµός των ∇× E και ∇ ⋅ E
(β) O υπολογισµός του ολοκληρώµατος
w
∫∫
S
E ⋅ d S , πάνω στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας
R που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων.
43
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
(γ) Επαληθεύσατε το αποτέλεσµα του ερωτήµατος (β) κάνοντας χρήση του θεωρήµατος
του Gauss.
1/21 Για το διανυσµατικό πεδίο (σφαιρικές συντεταγµένες)
F=
C
(2r sin θ sin ϕr0 − cos θ sin ϕ θ 0 − cos ϕ ϕ0) ,
r3
όπου C σταθερά, ζητούνται:
(α) Ο υπολογισµός της ροής
w
∫∫
S
F ⋅ d S του διανύσµατος F δια της επιφανείας σφαίρας
ακτίνας R που το κέντρο της συµπίπτει µε την αρχή των αξόνων.
(β) Να γίνει επαλήθευση του προηγούµενου αποτελέσµατος, κάνοντας χρήση του θεωρήµατος του Gauss.
(γ) Να εξηγήσετε αν το πεδίο µπορεί να εκφραστεί ως η κλίση ενός βαθµωτού δυναµικού.
44

Download Report