1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζεται διάνυσµα και πώς συµβολίζεται; 2. Ποιο διάνυσµα ονοµάζεται µηδενικό; 3. Τι ονοµάζεται µέτρο ενός διανύσµατος και πώς συµβολίζεται; 4. Ποιο διάνυσµα ονοµάζεται µοναδιαίο; 5. Τι ονοµάζεται φορέας ενός διανύσµατος; 6. Ποιος είναι ο φορέας του µηδενικού διανύσµατος; 7. Πότε δυο διανύσµατα ονοµάζονται παράλληλα ή συγγραµµικά; 8. Πότε δυο διανύσµατα έχουν την ίδια και πότε αντίθετη κατεύθυνση; 9. Πότε δυο διανύσµατα ονοµάζονται ίσα; 10. Πότε δυο διανύσµατα ονοµάζονται αντίθετα 11. Πως ορίζεται η γωνία δυο µη µηδενικών διανυσµάτων; 12. Ποια διανύσµατα ονοµάζονται ορθογώνια ή κάθετα; → → 13. Πως ορίζεται το άθροισµα δυο διανυσµάτων α , β ; 14. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα δυο διανυσµάτων είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σηµείου στο οποίο γίνεται η πρόσθεση. 15. Πως βρίσκουµε το άθροισµα δυο διανυσµάτων µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου; 16. Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσµάτων: i). α + β = β + α ii). (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) iii). α + 0 = α iv). α + (−α ) = 0 → → 17. Πως ορίζεται η αφαίρεση του διανύσµατος β από το α ; 18. Να αποδείξετε ότι κάθε διάνυσµα του χώρου είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; 121 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Β) Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις → 20. Τι ονοµάζουµε γινόµενο του πραγµατικού αριθµού λ µε το διάνυσµα α ; 21. Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα; → 22. Πότε λέµε ότι ένα διάνυσµα α γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων β , γ ; → → 23. Να αποδείξετε ότι αν δυο διανύσµατα α , β µε β ≠ 0 είναι παράλληλα, τότε υπάρχει µοναδικός λ ∈ ℜ τέτοιος ώστε α = λβ και αντιστρόφως. 24. Ποια σχέση ισχύει για τη διανυσµατική ακτίνα του µέσου ενός ευθυγράµµου τµήµατος; (Γ) Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: 25. Τι ονοµάζουµε άξονα µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i ; 26. Τι ονοµάζουµε τετµηµένη ενός σηµείου Μ ενός άξονα; 27. Πως ορίζουµε το ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο; 28. Τι ονοµάζουµε συντεταγµένες ενός σηµείου Μ του επιπέδου; → 29. Τι ονοµάζουµε συντεταγµένες ενός διανύσµατος α του επιπέδου; 30. Να αποδειχθεί ότι κάθε διάνυσµα του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων διανυσµάτων i και j . 31. Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες του µέσου ενός ευθυγράµµου τµήµατος αν είναι γνωστές οι συντεταγµένες των άκρων του. 32. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα διανύσµατα α = ( x1 , y1 ) και β = ( x2 , y2 ) να είναι παράλληλα. 33. Πώς ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσµατος α = ( x, y ) και πότε αυτός δεν ορίζεται; 34. Αν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσµάτων α = ( x1 , y1 ) και β = ( x2 , y2 ) να αποδειχθεί η ισοδυναµία α // β ⇔ λα = λβ . 35. Ποιες είναι οι συντεταγµένες του κέντρου βάρους ενός τριγώνου ΑΒΓ; 122 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 36. Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έχει γνωστές τις συντεταγµένες των κορυφών του. Να βρεθούν οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµήµατος που ενώνει τα µέσα των διαγωνίων του. (∆) Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: 37. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων; 38. Να γράψετε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου; 39. Πως βρίσκουµε τη γωνία δυο µη µηδενικών διανυσµάτων; 40. Με τι ισούται το (α )2 ; 41. Να αποδειχθεί ότι το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους. 42. Πως αναπτύσσεται η έκφραση : (α ± β ) 2 ; 43. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου: • α ⋅ β = β ⋅α • (λα )⋅β = α (λ β ) = λ (α ⋅β ) , λ ∈ ℜ • α ( β + γ ) = α β + αγ Επιµεριστική ιδιότητα • α ⊥ β ⇔ λα ⋅ λβ = −1 όπου α , β // y ' y → 44. Να αποδειχθεί ότι το εσωτερικό γινόµενο ενός διανύσµατος α επί ένα → διάνυσµα v είναι ίσο µε το εσωτερικό γινόµενο του α επί την προβολή του v → πάνω στο α . 123 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Βασικές έννοιες Α΄ ΟΜΑ∆Α 1. Να δειχθεί ότι τα µέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράµµου. 2. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και τα σηµεία Ε και Ζ στη διαγώνιο Β∆ τέτοια 1 ώστε ∆Ε = ΖΒ = ∆Β . Να δειχθεί ότι AE = ΖΓ . 5 3. Έστω Μ µέσο του ΑΒ, Ν µέσο Γ∆ και ΑΒΓ∆ παραλληλόγραµµο. Τότε ΑΝ = ΜΓ 4. Να δειχθεί ότι τα διανύσµατα που αντιστοιχούν στις διαµέσους τυχαίου τριγώνου, σχηµατίζουν τρίγωνο. 5. Αν α + β + γ = 0 τότε να δειχθεί ότι τα µη συγγραµµικά διανύσµατα: x = 3α + 2 β − γ , y = 4α + 5β + 2γ , ω = 2α + 2 β + 8γ σχηµατίζουν τρίγωνο. 6. Να δειχθεί ότι οι διαγώνιες παραλληλογράµµου διχοτοµούνται. ∆ηλαδή να δείξουµε ότι τα µέσα των διαγωνίων ταυτίζονται. 7. ∆ίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α∆Ε. Αν ισχύει ΑΒ − Α∆ = ΑΕ − ΑΓ (1) τότε να δειχθεί ότι οι πλευρές ΒΓ, ∆Ε έχουν το ίδιο µέσο. 8. Να δειχτεί ότι τα Α, Γ, Ε είναι συνευθειακά 124 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. ∆ίνονται τα σηµεία Ο, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει : ΟΒ + 3ΟΓ = 4ΟΑ . Να δειχθεί ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 10. Αν ΑΚ + 3ΒΚ − 2ΒΑ = ΒΛ + 3ΑΜ να δείξετε ότι τα Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. 11. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α∆ = κ ΑΒ + λ ΑΓ και ΑΕ = λ ΑΒ + κ ΑΓ να δειχθεί → → → → ότι ∆Ε // ΒΓ . Πότε είναι ∆Ε ↑↑ ΒΓ και πότε ∆Ε ↑↓ ΒΓ ; 12. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και έστω Μ και Ν τα µέσα των διαγωνίων του ΑΓ και Β∆. Να δείξετε ότι αν 4ΜΝ = Α∆ − ΒΓ (1) τότε το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραµµο µε ΑΒ // ∆Γ . 13. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Μ, Ν τα µέσα των ΑΓ και Β∆. Να δείξετε ότι ΑΒ + Α∆ + ΓΒ + Γ∆ = 4ΜΝ 14. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Μ, Ν τα µέσα των διαγώνιων του ΑΓ και Β∆ 1 1 αντίστοιχα. Να δειχθεί: ΜΝ = ( Α∆ − ΒΓ ) = ( ΑΒ + Γ∆ ) 2 2 15. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία ∆, Ε τέτοια ώστε ΑΒ + ΑΓ = Α∆ + ΑΕ (1) . Να δειχθεί ότι το ∆Ε περνάει από σταθερό σηµείο. 16. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να βρεθεί σηµείο Ρ του επιπέδου τέτοιο ώστε: ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ + Ρ∆ = Ο (1) 17. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σηµείο Μ το διάνυσµα 3M Α − 5M Β + 2 M Γ (1) είναι σταθερό. 125 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 18. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε το γ. τ. των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία το διάνυσµα α = 2ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ είναι παράλληλο προς το ΒΓ . 19. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε το γ. τ. των σηµείων Μ για τα οποία ισχύει MA + MB = MA + M Γ 20. Έστω Ο και Α δυο σταθερά σηµεία του επιπέδου µε OA = 3 . Ποια γραµµή γράφουν τα σηµεία Μ του επιπέδου για τα οποία είναι : ΟΜ (ΟΜ − 2ΟΑ ) = 7 ; 21. ∆ίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να βρείτε το γ. τ. των σηµείων του επιπέδου του ΑΒΓ∆ για τα οποία ισχύει: ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = Μ∆ 22. ∆ίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να βρείτε το γ. τ. των σηµείων Μ του επιπέδου του ΑΒΓ∆ για τα οποία ισχύει: ΜΑ + ΜΒ = ΜΓ − Μ∆ 126 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β΄ ΟΜΑ∆Α 23. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σηµεία Α, Β, Γ και ∆ ισχύει: → → → → Α∆ + ΒΓ = ΑΓ− ∆Β → → → → 24. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και έστω α , β , γ και δ τα διανύσµατα θέσεως των σηµείων Α, Β, Γ και ∆ αντίστοιχα ως προς ένα σηµείο Ο. Τι συµπεραίνετε για το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ αν είναι γνωστό ότι: → → → → → → → → i). α + γ = β + δ → → ii). α − γ = β − δ → → → → → → iii). α + γ = β + δ και α − γ = β − δ 25. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία ∆, Ζ και Ε για τα οποία ισχύουν → → → Α∆ = ∆Β , ΑΖ = → → 3 → ΑΓ και ΒΕ = 3 ΒΓ 5 → → i). Να γράψετε καθένα από τα διανύσµατα ∆Ζ , ∆Ε ως γραµµικό συνδυασµό των δυο µη συγγραµικών → → διανυσµάτων ΑΒ και ΑΓ . ii). Να εξετάσετε αν τα σηµεία ∆, Ζ, και Ε είναι συνευθειακά. 26. → → i). Αν α ≠ 0 τότε τι συµπεραίνετε για το µέτρο και την κατεύθυνση του → διανύσµατος α 0 = → α → ; α 127 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → → ii). ∆ίνονται δυο µη συγγραµµικά διανύσµατα α και β . Να αποδείξετε ότι το → διάνυσµα γ = → → α + → α ∧ → → β → → → «διχοτοµεί» τη γωνία των α , β δηλαδή β ∧ → → (α , γ ) = (γ , β ) → → → → → iii). Οµοίως για το διάνυσµα δ = α β + β α → → → → → → 27. Αν ισχύει 2 ΑΛ + 3 ΒΛ + 2 ΜΒ = ΑΚ + ΑΜ + ΒΚ να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα → → ΚΛ και ΜΛ είναι αντίρροπα. 28. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σηµείο Μ → → → → → το διάνυσµα u = 5 ΜΑ + ΜΒ − 2 ΜΓ − 4 Μ∆ είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ). 29. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω ∆, Ε, και Ζ τα µέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ → → → → αντίστοιχα. Έστω επίσης, γ = ΑΒ και β = ΑΓ και Μ το µέσο του ΕΖ. → → i). Να εκφράσετε τα διανύσµατα Α∆ και ΑΜ ως → → συνάρτηση των β και γ . ii). Τι συµπεραίνετε για τα σηµεία Α,Μ και ∆; 30. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω ∆ και Ε τα µέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : → i). ∆Ε = 1 → ΒΓ 2 ii). το τµήµα που ενώνει τα µέσα δυο πλευρών του τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ισούται µε το µισό της. 128 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → 31. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία ∆, Ε, Ζ για τα οποία ισχύουν: Α∆ = → 2 → ΑΒ , 3 → → 5 → ΑΓ και ΓΕ = ΒΓ . 6 ΑΖ = → → i). Να γράψετε καθένα από τα διανύσµατα ∆Ε , ∆Ζ ως γραµµικό συνδυασµό των δυο µη συγγραµµικών → → διανυσµάτων ΑΒ , ΑΓ ii). Να εξετάσετε αν τα σηµεία ∆, Ζ, Ε είναι συνευθειακά. → 32. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία ∆, Ε, Ζ για τα οποία ισχύουν: Α∆ = → ΓΕ = 1 → ΑΒ , 3 → 1 → 3 → ΒΓ , ΑΖ = ΑΓ 2 5 → i). Να γράψετε καθένα από τα διανύσµατα ∆Ε και → → → ∆Ζ ως γραµµικό συνδυασµό των ΑΒ και ΑΓ . ii). Να εξετάσετε αν τα σηµεία ∆, Ε, και Ζ είναι συνευθειακά. 33. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ, και ∆. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων → → → → Μ για τα οποία ισχύει: ΜΑ + ΜΒ = ΜΓ − Μ∆ . ……………………………………………………………………………………. 129 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συντεταγµένες στο επίπεδο Α΄ ΟΜΑ∆Α 34. ∆ίνονται τα διανύσµατα α = (λ 2 − 3λ + 2, 2λ 2 − 3λ − 2) και → → β = (λ 2 − 5λ + 6, −3λ 2 + 7λ − 2) . Να βρείτε τα λ ∈ ℜ έτσι ώστε α = β . (Υπόδειξη: ∆υο διανύσµατα είναι ίσα όταν έχουν ίσες τις οµώνυµες συντεταγµένες τους) 35. Να εξετασθεί αν τα διανύσµατα a = (1, 2) , β = (−3, −6) είναι συγγραµµικά Αν ναι, είναι οµόρροπα ή αντίρροπα; (Υπόδειξη: i) α // β ⇔ α = λ β ή α = ( x1 , y1 )  x1 y1 ii) αν =0  τότε α // β ⇔ x2 y2 β = ( x2 , y2 )  iii) λα = λ β ⇔ α // β → → → → και συγκεκριµένα α ↑↑ β ⇒ οµόσηµες οι οµώνυµες συντεταγµένες. α ↑↓ β ⇒ ετερόσηµες οι οµώνυµες συντεταγµένες). 3 5 7 5 3 1 36. Αν τα σηµεία K ( , ) , Λ (3, ) , M (4, ) , N (3,1) και Ξ ( , ) είναι τα µέσα των 2 2 2 2 2 2 πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Ε, ΕΑ αντιστοίχως του πενταγώνου ΑΒΓ∆Ε να βρεθούν οι συντεταγµένες των κορυφών του. (Υπόδειξη: Έστω A( x A , y A ) και B ( xB , yB ) τότε το N ( xN , yN ) µέσο του AB ισχύει: xN = x A + xB y + yB , yN = A ) 2 2 37. ∆ίνεται το διάνυσµα α = (λ 2 − 4, λ 2 − 3λ + 2) , λ ∈ ℜ . Να βρείτε το λ ∈ ℜ ώστε να είναι : i). a = 0 ii). a ≠ 0 και α // x ' x 130 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Υπόδειξη: Έστω α = ( x1 , y1 ) έχουµε i). a = 0 ⇔ x1 = 0 , y1 = 0 ii). α // x ' x ⇔ λα = 0 ⇔ y1 = 0, x1 ≠ 0 iii). α // y ' y ⇔ δεν ορίζεται λ και x1 = 0 ) 38. ∆ίνονται τα σηµεία : A(1,1) , Β(-3,2) και Γ (−5, x) . Να βρεθεί ο x ∈ ℜ ώστε τα Α, Β, Γ, να είναι συνευθειακά. (Υπόδειξη: Α, Β, Γ συνευθειακά ⇔ AB και ΒΓ συγγραµµικά. Εάν A( x A , y A ) , B ( xB , yB ) και Γ ( xΓ , yΓ ) τότε : ΑΒ = ( xΒ − x A , yB − y A ) και ΒΓ = ( xΓ − xΒ , yΓ − yΒ ) ) 39. ∆ίνονται τα σηµεία A(5, −1), B (1,1) και Γ (2,3) . Να µελετηθεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. (Υπόδειξη: A( xA , y A )   Β ( xΒ , yΒ )  (απόσταση των Α, Β) = d ( A, B ) = AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A ) 2 ) 40. Σ’ ένα σύστηµα συντεταγµένων οι τετµηµένες δυο σηµείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης x 2 − (λ 2 − 5λ + 14) x − 7 (1) ενώ οι τεταγµένες ρίζες της y 2 − (λ 2 + 3λ + 2) y − 5 = 0 (2) Να βρεθεί ο λ ∈ ℜ ώστε το µέσο του τµήµατος ΑΒ να έχει συντεταγµένες (4, 6). (Υπόδειξη: ax 2 + β x + γ = 0 , a ≠ 0 Τύποι Vieta : x1 + x2 = − β a , x1 ⋅ x2 = γ a ) 41. Αν u = (3, 4) ποιο είναι συγγραµµικό µε το u και έχει διπλάσιο µέτρο από το u ; 42. Να βρείτε σηµείο Μ του άξονα x ' x ώστε το άθροισµα των αποστάσεων από τα σηµεία Α(1,2) και Β(3, 4) να είναι ελάχιστο. 131 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43. Να αναλυθεί το διάνυσµα : γ = (4, −3) σε δυο συνιστώσες που να είναι παράλληλες προς τα διανύσµατα: a = (1, 2) και β = (2,5) 44. ∆ίνονται τα α = (−2, 4) και β = (3, −2) . Να βρεθεί u = ( x, y ) έτσι ώστε να είναι: (α) u = α + β , (β) α + u = β (γ) u = κα (δ) u = κα + λβ (ε) u + α + β = 0 45. Αν Α∆, ΒΕ, ΓΖ διάµεσοι τριγώνου ΑΒΓ να δειχθεί ότι : Α∆ + ΒΕ + ΓΖ = 0 132 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β΄ ΟΜΑ∆Α → 46. Να βρείτε για ποιες τιµές των λ, µ το διάνυσµα u = (3λ + µ , λ − µ + 8) είναι µηδενικό. 47. → → → i). Να βρείτε για ποιες τιµές του x το διάνυσµα α = ( x 2 − 4) i + ( x 2 + 2 x) j → είναι ίσο µε 0 . → → → → → ii). Οµοίως για το διάνυσµα β = x 2 ( i + j ) − 3( x i + 3 j ) → → → 48. ∆ίνεται το διάνυσµα α = ( x 2 + 5 x) i + ( x 2 − 25) j . Να βρείτε για ποιες τιµές του x ισχύει: → → i). α // x ′x → ii). α // y ′y → → iii). α // x ′x και α ≠ 0 → iv). α // y ′y και α ≠ 0 → 49. Αν Β(3,5) να βρείτε το σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος ΑΒ = (−1,3) → 50. Αν το διάνυσµα ΑΒ = (2,8) έχει σηµείο εφαρµογής το Α(5,4) να βρείτε το πέρας του. 51. Το σηµείο Μ είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ. i). Αν Α(2,4) και Β(1,−6) να βρείτε το Μ ii). Αν Μ (3,1) και Β(−1,2) να βρείτε το Α 52. Το σηµείο Α(4,2) ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ (3,5) . Να βρεθεί το αντιδιαµετρικό σηµείο του Α. → → → → → → 53. Αν α = (−2,3) και β = (4,1) να βρείτε το διάνυσµα u για το οποίο 2 α − u = β . 133 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → 54. Να γράψετε το διάνυσµα u = (6,5) ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων → → α = (1,2) και β = (2,−3) → → → 55. Να βρείτε για ποιες τιµές του λ ∈ ℜ τα διανύσµατα α = 4λ i − 9 j και → → → β = −4 i + λ j είναι i). Παράλληλα ii). οµόρροπα 56. i). Να εξετάσετε αν τα σηµεία Α(0,1) , Β( 3 ,4) και Γ(1,1 + 3 ) είναι συνευθειακά. ii). Οµοίως για τα σηµεία Α(2,5) , Β(1,2) και Γ(5,12) 57. Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ είναι Α(1,4) , Β(−1,9) και ∆(5,−3) . Να βρεθεί η κορυφή Γ. 58. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των διανυσµάτων: → → → i). 3 i − 12 j ii). − 2 i → → → iv). 3 j + 12 i iii). 4 j 59. Να βρείτε το µέτρο των διανυσµάτων: → → → → ii). (συνθ ) i + (ηµθ ) j i). 6 i − 8 j 60. Να βρείτε το µέτρο των διανυσµάτων: → → → → → iii). ( x − y ) i + 2 xy j iv). → ii). 2(ηµθ ) i − 2(συνθ ) j i). − 8 i + j 3→ 1→ i− j 4 4 134 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → 61. Να εξετάσετε αν το διάνυσµα α = (ηµθ , συνθ ) είναι µοναδιαίο. → → → 62. Αν u = (−5,8) να βρείτε το διάνυσµα v το οποίο είναι οµόρροπο προς το u και έχει διπλάσιο µέτρο από αυτό. → → 63. Αν u = (−72,84) να βρείτε το διάνυσµα v που έχει µέτρο το µισό του µέτρου του → → u και είναι συγγραµµικό µε το u . → 64. Να βρεθεί το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση του α = (−3,4) . 65. Τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σηµεία Κ (−1,3) , Λ (5,2) και Μ (4,0) αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου. 66. Οι τεταγµένες των σηµείων Α, Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης : y 2 − (λ2 + 3λ + 10) y − 4 = 0 . Να βρεθεί η τιµή του λ για την οποία το µέσο Μ του τµήµατος ΑΒ να έχει τεταγµένη ίση µε 5. → → → 67. Να βρείτε το διάνυσµα α για το οποίο : α = (−4, α − 2) . → → → → 68. Να βρεθούν τα διανύσµατα α , β για τα οποία ισχύουν α = (−3, β ) και → → β = (1 − α , 2 ) . 135 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εσωτερικό γινόµενο Α΄ ΟΜΑ∆Α 69. Να δείξετε ότι : 2 2 2 2 i). u + v + u − v = 2 u + 2 v 1 2 1 2 ii). u ⋅ v = u + v − u − v 4 4 70. Αν α = β = α + β (1) (συνθήκη) να δειχθεί ότι : α − β = α 3 ∧ ∧ π 71. Να βρεθεί το µέτρο του διανύσµατος : α + β + γ αν (α , β ) = ( β , γ ) = και 4 α = 2, β = 3, γ = 2 72. Αν α , β είναι µοναδιαία διανύσµατα και θ η µεταξύ τους γωνία να δείξετε ότι : α + β = 2 συν θ 2 73. Αν α ⊥ β , (α + β ) ⊥ (α − 3β ) και α − β = 2 δείξτε ότι α = 3 και β = 1 . 74. Να εξετάσετε πότε ισχύει : (α) α + β = α + β (β) α − β = α + β 2 2 2 75. Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : α = β + γ − 2 βγσυνΑ , όπου ∧ A = (β , γ ) . 76. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα u = α β + β α και v = α β − β α είναι κάθετα. → →2 → → → → 77. Εάν α ≠ 0 , β ≠ 0 το ν = β ⋅ α − (α ⋅ β ) ⋅ β είναι κάθετα στο β . 136 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 78. ∆ίνονται τα σηµεία A(3, −2) , B (6, −4) , Γ (1,5) , ∆(−1, 2) . Να υπολογίσετε : (α) AB ⋅ Γ∆ (β) Είναι AB ⊥ Γ∆ ; 79. ∆ίνονται τα σηµεία A(3, 2) , B (7, −4) . Να βρεθεί σηµείο του άξονα x ' x ώστε ∧ MAB να είναι ορθογώνιο στο Μ. 2 2 2 80. Να δειχθεί ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο αν και µόνο αν : α = β + γ 81. Να δειχθεί ότι τα διανύσµατα α = 2i + 3 j , β = −6i + 4 j και γ = −4i + 7 j σχηµατίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. ∧ 2π 82. Αν α = β = 1 και (α , β ) = να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσµάτων 3 u = 2α + 4 β και v = α − β 83. Να βρεθεί η γωνία των διανυσµάτων α = (−1, 2) και β = (−3,1) 84. ∆ίνονται τα διανύσµατα α = (2, −4) και β = (−8,5) . Να αναλύσετε το β σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η µια να είναι παράλληλη προς το α . 85. Αν α = (2,3) και β = (−1, 4) να βρείτε τη προβολή του α πάνω στο β . 86. i). Αποδείξτε ότι για δυο διανύσµατα α , β ισχύει : α ⋅ β ≤ α ⋅ β ii). Χρησιµοποιώντας το (i) ερώτηµα να βρείτε την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή της παράστασης A = 6 x − 8 y εάν x 2 + y 2 = 36 . iii). Με τη βοήθεια του (i) ερωτήµατος αποδείξτε ότι 6ηµ x − 8συν x ≤ 10 137 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 87. → i). Έστω α ένα µη µηδενικό διάνυσµα. → → i. Είναι γνωστό ότι προβ → β // α . Εποµένως θα υπάρχει λ ∈ ℜ , ώστε α → → προβ β = λ α . Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής λ δίνεται από → α → → την ισότητα: λ = αβ →2 . α → → → ii. Να αποδείξετε ότι: προβ → β = αβ α →2 → α. α → ii). Να βρείτε την προβολή του διανύσµατος β = (5,10) πάνω στο διάνυσµα → α = (−1,2) . → → iii). Να βρείτε την προβολή του διανύσµατος β πάνω στο διάνυσµα α , αν είναι → ∧ → → → γνωστό ότι: α = 2 3 , β = 20 και (α , β ) = 30 . → → → 88. Για τα µοναδιαία διανύσµατα α , β και γ να αποδείξετε ότι: → → → → i). α ⋅ β + β ⋅ γ ≤ 2 → → → → → → → → → ii). Αν α ⋅ β + β ⋅ γ = 2 τότε α = β = γ → → → → → 89. Να λυθεί η εξίσωση ( x⋅ α ) ⋅ β + 5 x = γ όπου α = (1,4) , β = (−1,2) και → γ = (−20,35) → → → 90. Αν α = (2,3) , β = (−1,1) και γ = (−2,3) να υπολογιστούν τα → → → → → i). α − β + γ → → → → ii). α + β + β + γ + γ + α 138 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → → → → → → → → → β → 91. Αν για τα διανύσµατα α , β , γ ισχύει : α + β + γ = 0 και α = 2 γ = 3 να αποδειχθεί ότι: → → → → i). Το α είναι οµόρροπο µε το β ii). Το β είναι αντίρροπο µε το γ → → → → → → → 92. ∆ίνονται τα διανύσµατα α , β , γ για τα οποία ισχύει: α + β + γ = 0 και → → β → α = 3 γ = → 4 → → . Να αποδειχτεί ότι τα διανύσµατα α , β και γ είναι συγγραµµικά. → ∧ → → → 93. Αν u (−3 − 3 ,−1 − 3 ) και v (−1 − 3 ,−1 − 3 ) και 0 < (u , v ) < π να αποδείξετε ∧ → → ότι: (u , v ) = π 12 . → → → → → → 94. Αν α = (α 1 , α 2 ) , β = ( β 1 , β 2 ) µε α = β = 2 και α ⊥ β να αποδείξετε ότι ισχύει: α 1 β 2 − α 2 β 1 = 4 ή α 1 β 2 − α 2 β 1 = −4 95. Θεωρούµε το τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του → → → → επιπέδου του για τα οποία ισχύει: ΑΒ⋅ ΑΜ + ΑΓ⋅ ΑΜ = 0 → → → → → → → → → → → → → 96. Θεωρούµε τα διανύσµατα α , β , γ µε α + β + γ = 0 . Αν α = 2 , β = 3 και → → → γ = 5 να υπολογίσετε το: α ⋅ β + β ⋅ γ + γ ⋅ α . → ∧ → → → → 97. Αν α = 4 , β = 3 και (α , β ) = 30 να βρεθεί το διάνυσµα x για το οποίο είναι → → → → → → x//(α + β ) και β ⊥ (α − x ) . 139 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 98. → → → →→ → → i). Να γίνουν οι πράξεις στην παράσταση : [(α ⋅ β ) γ − ( β γ ) α ] β → → → → →→ → → ii). Να αποδειχθεί ότι το διάνυσµα: u = (α ⋅ β ) γ − ( β γ ) α είναι κάθετο στο β . 99. Αν οι διάµεσοι ΒΜ και ΓΝ τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται κάθετα να αποδειχθεί ότι: συνΑ ≥ 4 . Πότε ισχύει η ισότητα; 5 140 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 100. ∆ίνονται τα σηµεία Α(−1,2κ ) , Β(κ − 1,2 + κ ) και Γ(κ , κ + 3) , όπου κ πραγµατικός αριθµός. → → i). Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ και ΒΓ . ii). Για ποια από τις παρακάτω τιµές του κ τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά; Α. -1 Β. 0 Γ. 1 ∆. 2 Ε. -2 iii). Να αποδείξετε ότι για κ = 1 το σηµείο Β είναι το µέσο του τµήµατος ΑΓ. → → 101. ∆ίνονται τα διανύσµατα α = (5κ ,3 − λ ) και β = (4 − λ ,4κ ) όπου κ , λ πραγµατικοί αριθµοί. → → i). Για ποιες τιµές των κ και λ τα διανύσµατα α και β είναι ίσα; → → ii). Αν λ = 8 , κ θετικός και τα διανύσµατα α , β είναι παράλληλα, τότε ο κ είναι ίσος µε Α. 4 Β. 1 Γ. 2 ∆. 3 Να γράψετε στο τετράδιο τη σωστή απάντηση. → → 102. Να βρείτε τα µέτρα των διανυσµάτων α και β για τα οποία ισχύουν: ∧ → → (α , β ) = π 3 → → → → → → , (α + 2 β ) ⊥ (α − 2 β ) και 2 α + β = 21 . → → 103. Αν τα διανύσµατα α = (κ , λ ) και β = ( µ ,ν ) είναι µοναδιαία και ισχύει → → κν − λµ = 1 να αποδείξετε ότι : α ⊥ β . → 104. Αν για το σηµείο Μ ( x, y ) ισχύει: ΟΜ = 6 ,όπου Ο η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι: 3x − 4 y ≤ 30 . 141 Ε. 5 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → → 105. Για τα διανύσµατα του διπλανού σχήµατος ισχύουν οι σχέσεις: ΑΒ = α , → → → → → → ΒΓ = β , Γ∆ = 2 α και ∆Ε = −2 β . → → i). Να εκφράσετε τα διανύσµατα ΑΓ και ΓΕ συναρτήσει των διανυσµάτων → → α και β . → ii). Το διάνυσµα ΑΕ είναι ίσο µε : → → → → Α. 3α + β Β. 3α − β → Γ ∆ → Γ. 3α − 3 β → Β → ∆. α + 3 β → → Α E Ε. 2 α − 4 β → → → → iii). Αν ισχύει α = β τότε να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα ΑΓ και ΓΕ είναι µεταξύ τους κάθετα. → → → ∧ → → → 106. Για τα διανύσµατα α , β δίνεται ότι: α = 1 , β = 2 και (α , β ) = → → → → → → διανύσµατα u = 2 α + 3 β , v = α − 2 β . Να υπολογίσετε → → i). το εσωτερικό γινόµενο α ⋅ β → → → → ii). τα µέτρα u , v των διανυσµάτων u και v → → iii). το εσωτερικό γινόµενο u ⋅ v → → iv). το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων u και v 142 π 3 . Έστω τα 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → → → → → → → 107. Αν ΡΑ + ΡΒ − 2 ΡΓ = 0 και ΡΑ = 6 , ΡΒ = ΡΓ = 2 3 να αποδείξετε ότι: i). τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. ii). το σηµείο Γ είναι ανάµεσα στα σηµεία Α και Β. ∧ iii). ΑΡΒ = 90 → → → → iv). το διάνυσµα v = ΡΒ + ΡΓ είναι κάθετο στο ΑΓ . 108. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ( ΑΒ = ΑΓ) . i). Να εξετάσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος καθεµία από τις επόµενες προτάσεις → → Α. ΑΒ = ΑΓ → A → Β. προβ → ΑΒ = προβ → ΑΓ ΒΓ ΒΓ → → → Γ. προβ → ΑΒ + προβ → ΑΓ = 0 ΒΓ ΒΓ → → ∆. προβ → ΒΑ = προβ → ΑΓ ΒΓ ΒΓ → → Ε. τα διανύσµατα προβ → ΓΒ και προβ → ΓΒ έχουν ΑΒ ΑΓ G B ίσα µέτρα αλλά δεν είναι ίσα. → → → → → → → → ii). Αν είναι β + γ = ΑΒ και β − γ = ΑΓ να αποδείξετε ότι: β ⊥ γ → → → → 109. Για τα διανύσµατα α , β ισχύουν οι σχέσεις 2 α + 3 β = (4,−2) και → → α − 3 β = (−7,8) . → → i). Να αποδείξετε ότι: α = (−1,2) και β = (2,−2) → → ii). Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός κ, ώστε τα διανύσµατα κ α + β και → → 2 α + 3 β να είναι κάθετα. 143 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → iii). Να αναλυθεί το διάνυσµα γ = (3,−1) σε δυο κάθετες συνιστώσες, από τις → οποίες η µια να είναι παράλληλη στο διάνυσµα α . 110. → → i). Για δυο µη συγγραµµικά διανύσµατα α , β να αποδείξετε ότι: → → → προβ β = → α αβ →2 → α α ii). ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α∆ και έστω γ = (ΑΒ) και → → → β = (ΑΓ) . Να αποδείξετε ότι : ( βσυν Γ) Β∆ + (γσυνΒ) Γ∆ = 0 → → 111. Έστω α και β δυο µη συγγραµµικά διανύσµατα. → → i). Αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ και µ τέτοιοι ώστε λ α = µ β να αποδείξετε ότι: λ = µ = 0 → → → → → → → ii). Αν ισχύει (α β − α ) α + (3 β − 2 3 ) β = 0 → → i. Να υπολογίσετε τη γωνία των α και β → ii. Να αποδείξετε ότι το διάνυσµα προβ → β είναι µοναδιαίο και α → οµόρροπο του α (είναι δηλαδή το µοναδιαίο διάνυσµα στην → κατεύθυνση του α ). → → → → → → → 112. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 2 α + β και ΑΓ = −3 β όπου α = β = 1 και ∧ → → (α , β ) = 2π . 3 → → → → → → i). Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων α ⋅ β , (4 β + 2 α ) 2 , α − β . ii). Αν Μ το µέσο της πλευράς ΒΓ 144 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ → → i. Να εκφράσετε τα διανύσµατα ΑΜ και ΒΓ συναρτήσει των → → α και β → → ii. Να βρείτε τη γωνία των ΑΜ και ΒΓ iii. Να βρεθεί η προβολή της ΑΜ στην ΑΓ. → → → → → 113. Έστω α και β δυο διανύσµατα µε α = 2 και α ⋅ β = −9 → → i). να αποδείξετε ότι για κάθε διάνυσµα x ισχύει: προβ → x = α →→ → → → →→ αx →2 → α α → → ii). Αν ισχύει (α x ) x = 12προβ → x + 4 β να αποδείξετε ότι: x = 3α + α 145 2→ β 3