ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
μέτρηση παραμορφώσεων
με ηλεκτρικά μηκυνσιόμετρα
7. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΗΚΥΝΣΙΟΜΕΤΡΑ
7.1. ΓΕΝΙΚΑ
Με τη βοήθεια των ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων μπορούμε να προσδιορίσουμε την παραμόρφωση που
προκαλείται από μια μηχανική καταπόνηση, με μέτρηση της μεταβολής της ηλεκτρικής αντιστάσεως του
αγωγού των μηκυνσιομέτρων, που κολλούνται κατάλληλα πάνω στον καταπονούμενο φορέα.
Το ηλεκτρικό μηκυνσιόμετρο αποτελείται από ένα επίπεδο έλιγμα ειδικού αγωγού που στερεώνεται πάνω
σ’ ένα φύλλο χαρτιού ή πλαστικού που καλείται θήκη ή φορέας του μηκυνσιομέτρου και κολλάται πάνω στο
φορέα που πρόκειται να μετρήσουμε την παραμόρφωση.
Αν R η ηλεκτρική αντίσταση του αγωγού, ρ η ειδική αντίσταση, l το μήκος, D η διάμετρος και V ο όγκος του,
θα είναι:
Αποδεικνύεται ότι η ανηγμένη μεταβολή της ηλεκτρικής αντιστάσεως του αγωγού ΔR/R, είναι ανάλογη της
ανηγμένης μεταβολής του μήκους του, Δl/l, δηλ. ισχύει η σχέση:
Ο συντελεστής αναλογίας K καλείται σταθερά ή συντελεστής του μηκυνσιομέτρου και συνδέεται με το λόγο
του Poisson μ του αγωγού με τη σχέση:
Κ = 1 + 2μ
Τα ηλεκτρικά μηκυνσιόμετρα πρέπει να έχουν μεγάλη τιμή του Κ για μεγαλύτερη ευαισθησία μετρήσεως και
μεγάλη τιμή του R για μικρότερη επίδραση των αντιστάσεων που προκαλούνται από παρασιτικούς παράγοντες
όπως αύξηση της θερμοκρασίας, μεταβολή της υγρασίας κλπ.
Παρακάτω δίνονται τιμές του Κ για διάφορα κράματα που χρησιμοποιούνται στην πράξη για κατασκευή
ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων.
Υλικό
Σύνθεση
Συντελεστής Κ
Advance ή Constantan
45 Ni, 55 Cu
2.0-2.1
Nichrome
80 Ni, 20 Cr
2.1
Isoelastic
36 Ni, 8 Cr, 0.5 Mo, 55.5 Fe
3.2
Karma
74 Ni, 20 Cr, 3 Al, 3 Fe
2.0
Κράμα 479
92 Pt, 8 W
4.0
Νικέλιο
Καθαρό
-12.1
Άργυρος
Καθαρός
2.9
Χαλκός
Καθαρός
2.6
Πολλά από τα ηλεκτρικά μηκυνσιόμετρα κατασκευάζονται σήμερα από το κράμα Ni-Cu που είναι γνωστό σαν
advance επειδή:
1) Η σταθερά Κ παραμένει αναλλοίωτη για μεγάλο εύρος παραμόρφωσης
2) Η σταθερά Κ δεν αλλάζει καθώς το υλικό advance πλαστικοποιείται.
3) Έχει μεγάλη ειδική αντίσταση (ρ=49χ10-6 Ω-cm)
4) Δεν επηρεάζεται από θερμοκρασιακές μεταβολές.
Τα μηκυνσιόμετρα που προσφέρονται συνήθως στο εμπόριο έχουν ωμική αντίσταση 120Ω, 300Ω και 600Ω,
τιμές που δίνονται, όπως και η τιμή του Κ, από τον κατασκευαστή.
l
Σχ. 7.2
Σχ. 7.1 Μηκυνσιόμετρο
αγωγός μηκυνσιομέτρου
θήκη
7.2 Μορφές των ηλεκτρικών
μηκυνσιομέτρων
Η απλούστερη μορφή ενός ηλεκτρικού
μηκυνσιομέτρου είναι αυτή που φαίνεται στο
σχ. 7.5 (α) και αποτελείται από το έλιγμα του
αγωγού που καταλήγει σε δύο ακροδέκτες για
τη σύνδεση με τους αγωγούς τροφοδοσίας
ρεύματος.
Συνήθως για να μη υπάρχει κίνδυνος να
ξεριζωθεί ο αγωγός, χρησιμοποιείται για τη
σύνδεση η διάταξη του σχήματος του σχ.7.8.
F
F
καταπονούμενος φορέας
Σχ. 7.3
Με τη μορφή του μηκυνσιομέτρου που
αναφέραμε, μπορούμε να μετρήσουμε την
παραμόρφωση σ’ ένα σημείο του φορέα κατά
μία ορισμένη μόνο διεύθυνση. Υπάρχουν
όμως και μηκυνσιόμετρα που μας επιτρέπουν
να προσδιορίσουμε την παραμόρφωση κατά
διάφορες διευθύνσεις του ίδιου σημείου του
φορέα.
Τα σύνθετα αυτά μηκυνσιόμετρα αποτελούνται
από δύο ή περισσότερα απλά που είναι
κολλημένα πάνω στην ίδια θήκη και καλούνται
ροζέτες (σχ. 7.7b,c,d)
Σχ. 7.4
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
109
(α)
(β)
(γ)
(δ)
Σχ. 7.5 Διάφορες μορφές μηκυνσιομέτρων(α) Απλό μηκυνσιόμετρο, (b) Ροζέτα με δύο κάθετα απλά μηκυνσιόμετρα,
(c) Ροζέτα τριών μηκυνσιομέτρων με διάταξη γωνίας 45O, (d) Ροζέτα τεσσάρων μηκυνσιομέτρων με διάταξη γωνίας 60O.
βοηθητική καλωδίωση
μηκυνσιόμετρο
σύρμα τροφοδοσίας
σύρμα τροφοδοσίας
Σχ. 7.6
(α)
(β)
(γ)
Σχ. 7.7 Διάφοροι τύποι ροζετών δυο μηκυνσιομέτρων
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
111
(α)
(β)
(δ)
Σχ. 7.8 Διάφοροι τύποι ροζετών τριών μηκυνσιομέτρων
(γ)
ΔR/R
1
3
2
ε = Δl/l
Σχ. 7.9
ȝȘțȣȞıȚȩȝİĲȡȠĮȞĲȚıĲȐșȝȚıȘȢ
İȞİȡȖȩȝȘțȣȞıȚȩȝİĲȡȠ
V
F
VD
)
)
Σχ. 7.10
Σχ. 7.11
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
113
7.3 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΚΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ
Τα ηλεκτρικά μηκυνσιόμετρα παρουσιάζουν μεταξύ τους ποσοτικές διαφορές κι αυτό οφείλεται στο γεγονός
ότι η μεταβολή της ηλεκτρικής αντιστάσεως που προκαλείται από την αντίστοιχη μεταβολή του μήκους, είναι
πολλές φορές μικρή σε σχέση με τη μεταβολή της αντιστάσεως που προκαλείται από άλλες αιτίες όπως π.χ. η
μεταβολή της θερμοκρασίας, της υγρασίας, η κακή τοποθέτηση κλπ.
Για την ορθή επιλογή του κατάλληλου ηλεκτρικού μηκυνσιομέτρου τρεις είναι οι κυριότεροι παράγοντες που
πρέπει να ληφθούν υπόψη.
1. Η θερμοκρασία λειτουργίας
2. Η κατάσταση παραμόρφωσης, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το εύρος και τη χρονική της μεταβολή.
3. Οι απαιτήσεις τοποθέτησης του μηκυνσιομέτρου.
Επίδραση επί των μετρήσεων μπορεί να έχουν επίσης και οι παρακάτω παράγοντες:
1. Τα χαρακτηριστικά της χρησιμοποιούμενης κόλλας στερέωσης του
μηκυνσιομέτρου.
2. Ο αριθμός και ο τύπος των κύκλων φόρτισης
3. Το μέγεθος των ασκούμενων τάσεων
4. Τα χαρακτηριστικά του διερχόμενου ρεύματος
5. Η συχνότητα της παραμόρφωσης
6. Ο χρόνος
7. Η υγρασία
8. Η υδροστατική πίεση
9. Τα μαγνητικά πεδία
Στη συνέχεια αναπτύσσονται ορισμένες μόνο από τις επιδράσεις που μπορεί να έχουν οι παραπάνω
παράγοντες.
Υστέρηση
Κατά τη φόρτιση του φορέα πάνω στον οποίο είναι κολλημένο το ηλεκτρικό μηκυνσιόμετρο, η αντίσταση του
μεταβάλλεται γραμμικά σε σχέση με την επιμήκυνση. Αυτή η γραμμικότητα ισχύει μέχρι μια ορισμένη τιμή
της επιμηκύνσεως πέρα από την οποία η μεταβολή της αντιστάσεως είναι μικρότερη (διαδρομή 1, σχ. 7.11).
Κατά την αποφόρτιση παρατηρούνται διαφορετικές τιμές στη μεταβολή της αντιστάσεως (διαδρομή 2). Σε μια
νέα φόρτιση εμφανίζεται άλλη σχέση ανάμεσα στα μεγέθη ΔR/R και ε (διαδρομή 3). Πιθανή αιτία αυτού του
φαινομένου που είναι γνωστό σαν υστέρηση είναι η χρησιμοποιούμενη κολλητική ουσία.
Συντελεστής αναλογίας Κ
Ο συντελεστής Κ εξαρτάται όπως προαναφέρθηκε από το υλικό του αγωγού και παίρνει τιμές από 2.00 μέχρι
3.60. Οι τιμές αυτές μειώνονται από την πλευρική συστολή του μηκυνσιομέτρου που προκαλείται σε μια
οποιαδήποτε επιμήκυνση.
Ο συντελεστής Κ μεταβάλλεται με τη θερμοκρασία, είναι όμως για όλα τα είδη των μηκυνσιομέτρων ανεξάρτητος
της θερμοκρασίας μέχρι τους 70O Κελσίου.
Θερμοκρασία
Η μεταβολή της θερμοκρασίας μπορεί να προκαλέσει:
α)Μεταβολή της ειδικής αντιστάσεως ρ του αγωγού του μηκυνσιομέτρου.
β) Μεταβολή του μήκους του αγωγού
γ) Μεταβολή των διαστάσεων του φορέα (θήκης) του μηκυνσιομέτρου
δ) Μεταβολή των διαστάσεων του φορέα στον οποίο είναι εφαρμοσμένο το μηκυνσιόμετρο
Το σφάλμα μετρήσεως που οφείλεται στη μεταβολή της θερμοκρασίας αντιμετωπίζεται με τη χρησιμοποίηση
ενός εντελώς ίδιου μηκυνσιομέτρου που κολλάται με τις ίδιες συνθήκες σ’ ένα κομμάτι από το ίδιο υλικό
που είναι και ο καταπονούμενος φορέας, τοποθετείται στον ίδιο χώρο και συνδέεται με καλώδια του αυτού
τύπου και μήκους. Το μηκυνσιόμετρο αυτό λέγεται μηκυνσιόμετρο αντισταθμίσεως σε αντίθεση με το κύριο
μηκυνσιόμετρο που λέγεται ενεργό μηκυνσιόμετρο. Η μεταβολή της αντιστάσεως του ενεργού μηκυνσιομέτρου
οφείλεται στη φόρτιση, τη μεταβολή της θερμοκρασίας, της υγρασίας, στις συνθήκες κολλήσεως κλπ, ενώ η
μεταβολή της αντιστάσεως του μηκυνσιομέτρου αντισταθμίσεως αφού δεν φορτίζεται οφείλεται σ’ όλους τους
άλλους παράγοντες εκτός από τη φόρτιση. Έτσι ο προσδιορισμός της μεταβολής που οφείλεται στη φόρτιση
είναι εύκολος.
Υγρασία
Η υγρασία μειώνει την πραγματική τιμή της αντιστάσεως R, μεταβάλλει τον όγκο της κολλητικής ουσίας και
διαβρώνει τον αγωγό του μηκυνσιομέτρου και το φορέα γι’ αυτό οι μετρήσεις πρέπει να γίνονται σε χώρο
ξηρό.
Τοποθέτηση
Η τοποθέτηση του μηκυνσιομέτρου πάνω στο φορέα πρέπει να γίνει με μεγάλη σχολαστικότητα και πρέπει να
περιλαμβάνει τα παρακάτω στάδια:
- καθαρισμός της θέσης τοποθετήσεως. Αυτός γίνεται κατ’ αρχήν με γυαλόχαρτο (μηχανικός καθαρισμός) και
στη συνέχεια με χημικά μέσα όπως τολουόλιο, ακετόνη, βενζόλιο κλπ (χημικός καθαρισμός).
- κόλληση του μηκυνσιομέτρου. Η κόλλα έχει σαν σκοπό να μεταφέρει στο μηκυνσιόμετρο τις παραμορφώσεις του
δοκιμίου, γι αυτό πρέπει να μη χαλαρώνει και να εφαρμόζεται σύμφωνα με τις οδηγίες του κατασκευαστή.
- ξήρανση του μηκυνσιόμετρου
- καλωδίωση. Η σύνδεση των άκρων του αγωγού του μηκυνσιόμετρου με τους αγωγούς συνδέσεως γίνεται με
καθαρή κόλληση. Οι αγωγοί συνδέσεως πρέπει να στερεώνονται μηχανικά, ώστε να αποφεύγεται ο κίνδυνος
καταστροφής του μηκυνσιόμετρου.
7.4. ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΔR/R
Η πιο συνηθισμένη διάταξη για τη μέτρηση της μεταβολής της αντιστάσεως είναι η γέφυρα Wheatstone. Στους
τέσσερις κλάδους αυτής της γέφυρας τοποθετούνται οι 4 αντιστάσεις R1, R2, R3 και R4 (σχ. 7.13). Η γέφυρα
βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας όταν τα σημεία Α και Β είναι ισοδυναμικά ( δηλ. από τον κλάδο ΑΒ δεν
διέρχεται ρεύμα ).
Η συνθήκη ισορροπίας είναι:
R1
R2
=
R3
R4
Αν η R2 αυξηθεί κατά ΔR2, για να διατηρηθεί η ισορροπία της γέφυρας πρέπει να αυξηθεί η R4 κατά ΔR4,
εφόσον οι R1 και R3 παραμείνουν σταθερές, οπότε θα έχουμε:
R1
R3
=
R 2+ΔR2 R 4 + ΔR 4
ή
R 2+ΔR2 = R 4 + ΔR 4
R1
R3
ή
ΔR2 =
R4
R3
R1 +
R1
R3
ΔR 4 - R 2
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
115
Επειδή όμως R2 =
R4
R3
R1
προκύπτει ότι:
∆ R2
=
R1
R3
∆ R4
Η αντίσταση R4 είναι μεταβλητή και αν μετρήσουμε τη μεταβολή της ΔR4, προσδιορίζουμε από την παραπάνω
σχέση τη ΔR2.
Συνήθως δεν μετρούμε απεύθειας τη μεταβολή της αντιστάσεως R4 αλλά την ένταση του ρεύματος που
διέρχεται από το γαλβανόμετρο που είναι τοποθετημένο στον κλάδο ΑΒ.
Η ένταση αυτή δίνεται από τη σχέση
∆ I = CER 3 ∆ R2
όπου C σταθερά του κυκλώματος και
E η ηλεκτρεγερτική δύναμη της πηγής
Έτσι αν στη θέση της αντιστάσεως R2 τοποθετηθεί το μηκυνσιόμετρο μπορεί με την παραπάνω διάταξη να
προσδιοριστεί η μεταβολή της αντιστάσεώς του.
7.5 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ
σ2
σ1
Oι τάσεις που αναπτύσσονται σε ένα φορέα από
μια συγκεκριμένη φόρτιση, συνδέονται με τις
αντίστοιχες παραμορφώσεις με εξισώσεις που
δίνονται από τη θεωρία ελαστικότητας.
Έτσι αν κάποιο σώμα υπόκειται σε ορθές τάσεις σ1
και σ2 κατά δύο κάθετες διευθύνσεις οι αντίστοιχες
επιμηκύνσεις θα είναι ε1 και ε2. Ανάμεσα στις τάσεις
και τις παραμορφώσεις ισχύουν οι σχέσεις:
�� 
�
�

E
1 �
�
E
1 �
�
σ1
σ2
Σχ. 7.12
F
� �  �� 
��  � � 
όπου Ε το μέτρο ελαστικότητας και μ ο λόγος του
Poisson
Οι παραμορφώσεις συναρτήσει των τάσεων
F
Σχ. 7.13
δίνονται από τις σχέσεις:
�� =
�� =
1
E
1
E
(� �  �� )
(� �  �� )
Με τη βοήθεια των ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων προσδιορίζουμε τις παραμορφώσεις και από αυτές τις τάσεις.
Στη συνέχεια θα αναπτύξουμε τον τρόπο προσδιορισμού των τάσεων για απλές καταπονήσεις.
7.5.1. Εφελκυσμός, θλίψη
Η τάση που αναπτύσσεται σε οποιαδήποτε διατομή μιας εφελκούμενης ράβδου είναι:
F
σ1 = --S
ενώ η αντίστοιχη παραμόρφωση ( επιμήκυνση ή βράχυνση ) κατά τη διεύθυνση του άξονα της δοκού:
σ1
ε1 = --E
όπου Ε το μέτρο ελαστικότητας. Η παραμόρφωση κατά διεύθυνση κάθετη στον άξονα της ράβδου είναι:
σ1
ε2 = - μ --- = - μ ε1
Ε
Με την εφαρμογή των ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων προσδιορίζουμε την παραμόρφωση κατά τη διεύθυνση του
άξονα ε1, καθώς επίσης και την παραμόρφωση κατά την εγκάρσια έννοια ε2. Η τιμή της τάσης σ1 θα προκύψει
από τη σχέση:
σ1 = Ε ε1
Μεθοδολογία μετρήσεως.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τη μέτρηση των παραμορφώσεων, ανάλογα με τις δυνατότητες που προσφέρει
το δοκίμιο και ανάλογα με την επιδιωκόμενη ακρίβεια μετρήσεως. Όλα τα μηκυνσιόμετρα που χρησιμοποιούνται
είναι ίδια και για το καθένα από αυτά γίνονται δύο μετρήσεις, μία πριν από τη φόρτιση και μία μετά. Η διαφορά
των δύο μετρήσεων μας δίνει τη μεταβολή της ηλεκτρικής αντιστάσεως από την οποία θα προκύψει η τιμή της
παραμορφώσεως.
Πρώτος τρόπος: χρησιμοποιούνται δύο μηκυνσιόμετρα, το ενεργό μηκυνσιόμετρο που τοποθετείται πάνω
στο δοκίμιο κατά τη διεύθυνση της δυνάμεως και το μηκυνσιόμετρο αντισταθμίσεως που τοποθετείται σε ένα
ανεξάρτητο τεμάχιο από το ίδιο υλικό που δεν υπόκειται σε φόρτιση. Η συνδεσμολογία φαίνεται στο σχ. 7.16
β)
Η ορθή δύναμη F δίνει παραμόρφωση που προκαλεί μεταβολή στο ενεργό μηκυνσιόμετρο SA. Στην περίπτωση
αυτή ισχύουν οι σχέσεις:
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
117
ΔR
------ = Κ. ε1
R
ή
1 ΔR
ε1 = --- ( ---- )
K R
και
1
ΔR
σ1 = ---. Ε. ( ----) ή σ1 = Ε. ε1
Κ
R
Οι μετρήσεις μας δίνουν ανάλογα με το όργανο, την τιμή του λόγου
ΔR
---- ή της ανηγμένης παραμορφώσεως ε1.
R
Όπως είναι φανερό ο τρόπος αυτός μετρήσεως δεν λαμβάνει υπόψη την εγκάρσια παραμόρφωση ( ε2 = 0 ).
Δεύτερος τρόπος: Χρησιμοποιούνται και πάλι δύο μηκυνσιόμετρα αλλά το μηκυνσιόμετρο αντισταθμίσεως
Sc τοποθετείται για αύξηση της ευαισθησίας της διατάξεως πάνω στο δοκίμιο, κι όχι σε ανεξάρτητο τεμάχιο,
και σε διεύθυνση κάθετη προς τη διεύθυνση του ενεργού μηκυνσιόμετρου ( σχ. 116 ). Σ’ αυτή την περίπτωση
ισχύουν οι σχέσεις:
ΔR
---- = K ε1 - Κ ε2 = Κ ε1 + Κ μ ε1 = Κ ε1 ( 1 + μ )
R
και
E
ΔR
σ1 = --------- ( ------ )
K (1+μ) R
E
Αν ληφθεί υπόψη το μέτρο διατμήσεως G = ------- προκύπτει:
2 (1+μ)
2
ΔR
σ1 = ---. G.( ---- )
K
R
Η μέγιστη διατμητική τάση εμφανίζεται σε μια διατομή που σχηματίζει γωνία 45O με τη διεύθυνση της σ1 και
έχει μέγεθος:
σ1 1
ΔR
τ = ---- = ---. G. ( -------)
2
K
R
Τρίτος τρόπος: Χρησιμοποιούνται τέσσερα μηκυνσιόμετρα, δύο ενεργά και δύο αντισταθμίσεως, τα οποία
τοποθετούνται στο δοκίμιο. Με τον τρόπο αυτό απαλείφονται όλες οι ανεπιθύμητες επιδράσεις και αυξάνεται η
ευαισθησία της διατάξεως στο μέγιστο. Η σχετική συνδεσμολογία φαίνεται στο σχ.7.19.β.
Η συνολική μεταβολή της ηλεκτρικής αντιστάσεως θα οφείλεται:
α) στη διαμήκη επιμήκυνση ε1’ από το ενεργό μηκυνσιόμετρο SA
β) στη διαμήκη επιμήκυνση ε1’’από το ενεργό μηκυνσιόμετρο SA
γ) στην εγκάρσια επιμήκυνση με1’ από το μηκυνσιόμετρο αντισταθμίσεως SC και
δ)στην εγκάρσια επιμήκυνση με1’’ από το μηκυνσιόμετρο αντισταθμίσεως SC
sa
sa
sc
F
F
sc
(β)
(α)
Σχ. 7.14 Μέτρηση παραμορφώσεων για αξονική καταπόνηση (α) Διάταξη ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων, (β)
Συνδεσμολογία
sa
sc
sa
F
F
sc
(β)
(α)
Σχ. 715 Μέτρηση παραμορφώσεων για αξονική καταπόνηση (α) Διάταξη ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων, (β)
Συνδεσμολογία
F
sc
sa
sc΄
sa΄
(α)
sa΄
sa
sc΄
sc
F
(β)
Σχ. 7.16 Μέτρηση παραμορφώσεων για αξονική καταπόνηση (α) Διάταξη ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων, (β)
Συνδεσμολογία
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
119
Έτσι θα έχουμε:
ΔR
---- = K ( ε1’ + ε1’’ + με1’ + με1’’)
R
Με την προϋπόθεση ότι ε1’ = ε1’’ = ε1 θα είναι:
ΔR
---- = 2K ε1 (1+μ)
R
και
1
Ε
ΔR
σ1 = -- -. ----------- . ( ---- )
K 2 (1+μ)
R
Αν ληφθεί υπόψη το μέτρο διατμήσεως G θα είναι:
1
ΔR
σ1 = ---. G. ---K
R
Η μέγιστη τάση διατμήσεως δίνεται από τη σχέση:
1
ΔR
τ = -----. G. -----2K
R
7.5.2. Απλή κάμψη
Στην απλή κάμψη ένα τμήμα της διατομής της δοκού θλίβεται και το άλλο εφελκύεται (σχ.7.17 α).
Οι ορθές τάσεις που αναπτύσσονται σε μια διατομή της δοκού δίνονται από τη σχέση:
M
σ = ----. y
Jx
Οι ακραίες τιμές των τάσεων στη διατομή θα είναι:
Μέγιστη εφελκυστική:
M
σu = + ---- eu
Jx
Μέγιστη θλιπτική:
M
σο = - ---- eo
Jx
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
121
F
F
3.
sc
sa
sa΄
sc΄
sa
sc
sc
F
sa
F
F
F
Διάταξη μηκυνσιομέτρων
2.
1.
α/α
sc΄
sa ΄
sc
sa
sc
sa
sc
sa
Συνδεσμολογία
2K*(1+μ)*e1 (2/2K*(1+μ)*e1)-(ΔR/R)
(1/K(1+μ))-(ΔR/R)
(1/Κ)*(ΔR/R)
K*e1
K*(1+μ)*e1
e1
ΔR/R
Πίνακας 7.1 Τρόποι μέτρησης τάσεων – παραμορφώσεων από εφελκυσμό - θλίψη
(1/2K)*(Ε/1+μ)*(ΔR/R) 'η
(1/K)*G*(ΔR/R)
(1/K(1+μ))*(ΔR/R)
'η
(1/K)*G*(ΔR/R)
(1/Κ)*Ε(*ΔR/R)
σ1=Ε*Ε1
ακρίβεια διπλάσια της
περίπτωσης 2.
ακρίβεια μεγαλύτερη
από την περίπτωση 1.
δεν λαμβάνονται
υπόψην οι εγκάρσιες
παραμορφώσεις
Παρατηρήσεις
Για ορθογωνική διατομή είναι eo = eu = h / 2 οπότε
M h
σu = - σo = ---- ---Jx 2
Με τη βοήθεια των ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων προσδιορίζουμε τις παραμορφώσεις ε στην εφελκυόμενη ή τη
θλιβόμενη περιοχή και από αυτές τις αντίστοιχες τάσεις. Υπάρχουν κι εδώ, όπως και στον εφελκυσμό και στη
θλίψη, διάφοροι τρόποι μετρήσεως:
Πρώτος τρόπος: Θα θεωρήσουμε για λόγους απλότητας μία δοκό ορθογωνικής διατομής, για όλους τους
τρόπους μετρήσεως. Χρησιμοποιούνται δύο μηκυνσιόμετρα. Το ενεργό SA τοποθετείται πάνω στο δοκίμιο
στη θέση μετρήσεως με τον άξονα του παράλληλο προς τον άξονα του δοκιμίου (σχ. 7.18). Το μηκυνσιόμετρο
αντισταθμίσεως τοποθετείται σ’ ένα ανεξάρτητο τεμάχιο από το ίδιο υλικό που δεν υπόκειται σε φόρτιση. Η
καμπτική παραμόρφωση της δοκού προκαλεί μεταβολή στο ενεργό μηκυνσιόμετρο SA. Θα ισχύουν τότε οι
σχέσεις:
ΔR
1 ΔR
---- = K ε ή ε = --- ( ------ ) και
R
K R
1
ΔR
σ = --- E ( ---- ) ή
K
R
σ = Ε. ε
Αν το μηκυνσιόμετρο SA τοποθετηθεί στη θλιβόμενη περιοχή, η παραμόρφωση ε θα είναι αρνητική και
επομένως η αντίστοιχη τάση θλιπτική. Αν τοποθετηθεί στην εφελκυόμενη περιοχή η παραμόρφωση ε θα είναι
θετική και η αντίστοιχη τάση εφελκυστική. Η ροπή κάμψεως στη θέση μετρήσεως δηλ. στη θέση που έχει
τοποθετηθεί το μηκυνσιόμετρο SA θα είναι:
2 EJ 1 ΔR
Μ = ------. ---- ( ------ ) ή
h
K
R
2 EJ
Μ = ------. ε
h
Δεύτερος τρόπος ( σχ. 7.19 ): Το μηκυνσιόμετρο αντισταθμίσεως SA τοποθετείται πάνω στο δοκίμιο, κι όχι
σε ανεξάρτητο τεμάχιο, και μάλιστα σε διεύθυνση κάθετη προς τη διεύθυνση του ενεργού μηκυνσιομέτρου. Η
διάταξη αυτή δίνει μεγαλύτερη ακρίβεια μετρήσεως γιατί λαμβάνει υπόψη και την εγκάρσια παραμόρφωση.
Στην περίπτωση αυτή ισχύουν οι σχέσεις:
ΔR
------ = K ε (1+μ)
R
E
ΔR
2G ΔR
σ = ---------. ( ---- ) ή σ = ---- ( ---- )
K (1+μ) R
K R
μηκυνσιόμετρο A
�
δοκίμιο
μηκυνσιόμετρο Β
�
F
μηκυνσιόμετρο A
�
δοκίμιο
�
μηκυνσιόμετρο Β
(α)
(β)
Σχ. 7.17 α,β
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
123
M1
M2
sa
sa
sc
sc
(β)
(α)
Σχ. 7.18 Μέτρηση παραμορφώσεων για καμπτική καταπόνηση
M1
M2
sa
sa
sc
sc
(β)
(α)
Σχ. 7.19 Μέτρηση παραμορφώσεων για καμπτική καταπόνηση
M1
M2
sa
sa
sc
sc
(β)
(α)
Σχ. 7.20 Μέτρηση παραμορφώσεων για καμπτική καταπόνηση
M1
M2
sa
sc
sa΄
sc΄
(α)
Σχ. 7.21 Μέτρηση παραμορφώσεων για καμπτική καταπόνηση
sa΄
sa
sc΄
sc
(β)
Η ροπή κάμψεως στη θέση μετρήσεως θα είναι:
2GJ ΔR
4GJ
ΔR
Μ =--------- ( ---- ) = --------- ( ------ )
K.h/2 R
K.h
R
Τρίτος τρόπος ( σχ. 7.20 ): Η διάταξη αυτή χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να αντισταθμίσουμε παράσιτες
ενέργειες που οφείλονται σε αξονικές παραμορφώσεις. Τοποθετούνται δύο μηκυνσιόμετρα σε απέναντι θέσεις
του δοκιμίου με το μέσο τους στη διατομή της οποίας ζητείται ο προσδιορισμός των παραμορφώσεων και των
τάσεων. Με αυτή τη διάταξη το μηκυνσιόμετρο SA εφελκύεται, ενώ το SC θλίβεται και η συνολική μεταβολή
της αντιστάσεως είναι το άθροισμα των επί μέρους μεταβολών, οι οποίες είναι ίσες μεταξύ τους, και με αυτό
τον τρόπο διπλασιάζεται η ευαισθησία της διατάξεως. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται σε ράβδους με μικρό
σχετικά πάχος, είναι πολύ κατάλληλη για μετρήσεις παραμορφώσεων από κάμψη και απαιτεί μόνο δύο
μηκυνσιόμετρα.
Σ’ αυτή την περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις:
ΔR
---- = 2.K.ε
R
E ΔR
σ = ---- ( ---- )
2K R
EJ ΔR
`M = ---- ( ------ )
Kh R
Τέταρτος τρόπος ( σχ. 7.21 ): Η ευαισθησία της μετρήσεως μπορεί να τετραπλασιαστεί, αν
χρησιμοποιηθούν τέσσερα μηκυνσιόμετρα, που θα τοποθετηθούν ανά δύο σε δύο απέναντι θέσεις της
δοκού.
Οι σχέσεις που ισχύουν είναι:
ΔR
---- = 4 K.ε
R
E ΔR
σ = ----. ------4K R
E ΔR
M = ----- ----2Kh R
7.5.3. Διάτμηση
Σε περιπτώσεις καθαρής διάτμησης είναι δυνατό με τη βοήθεια των ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων να
προσδιορίσουμε το μέγεθος της διατμητικής τάσης σε κάποιο σημείο. Χρησιμοποιούνται συνήθως δύο ή
τέσσερα μηκυνσιόμετρα. Οι διατάξεις μαζί με τους σχετικούς τύπους προσδιορισμού των διαφόρων μεγεθών
φαίνονται στον πίνακα 7.2.
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
125
Σχ. 7.22 Μετρητής παραμορφώσεων για ηλικρικά
μηκυνσιαόμετρα
Σχ. 7.23 Συσκευή για τη μέτρηση παραμορφώσεων
με δυνατότητα ταυτόχρονής παρακολούθησης μέχρι
δέκα μηκηνσιομέτρων
Σχ. 7.24 Mέτρηση παραμορφώσεων με ηλεκτρικό μηκυνσιόμετρο
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
127
4.
3.
2.
1.
α/α
sa
sa
sa΄
τ
τ
sa΄
sc΄
sc
τ
sa sc
sc΄ sa΄
sa
sc
τ
τ
τ
τ
τ
Διάταξη μηκυνσιομέτρων
sc΄
sa ΄
sc΄
sa ΄
sc
sa
sc
sa
sc
sa
sc
sa
Συνδεσμολογία
γ*Κ
ΔR/R
(1/Κ)*(ΔR/R)
e1
4*γ*Κ
2*γ*Κ
(1/Κ)*(1/4)*(ΔR/R)
(1/Κ)*(1/(1+μ))*(ΔR/R)
2K*e1*(1+μ)
ή
(1/2Κ)*(1/(1+μ))*(ΔR/R)
2*γ*Κ
Πίνακας 7.2 Τρόποι μέτρησης τάσεων – παραμορφώσεων από κάμψη
(1/Κ)*(1/2)*(ΔR/R)
(1/Κ)*G*(ΔR/R)
(1/Κ)*(E/2*(1+μ))*(ΔR/R)
ή
Ε/Κ - G*(ΔR/R)
(1/Κ)*(ΔR/R)
σ1=Ε*Ε1
ευαισθησία
τετραπλάσια της
περίπτωσης 1.
ευαισθησία ίδια με την
περίπτωση 2.
ευαισθησία διπλάσια
της περίπτωσης 1.
Παρατηρήσεις
7.5.4. Στρέψη
Σε περιπτώσεις χρησιμοποίησης ηλεκτρικών μηκυνσιομέτρων σε προβλήματα στρέψης διατάσσονται συνήθως
τέσσερα μηκυνσιόμετρα με τη βοήθεια των οποίων αντισταθμίζονται οι επιδράσεις της θερμοκρασίας και
εξουδετερώνονται σφάλματα που μπορεί να προέρχονται από την πιθανή κάμψη του δοκιμίου.
Τα τέσσερα μηκυνσιόμετρα τοποθετούνται σε κάθετες διευθύνσεις και με κλίση 45O ως προς τον άξονα του
δοκιμίου (σχ. 7.24). Η διατμητική τάση στην εξωτερική επιφάνεια του δοκιμίου θα είναι:
1 1
ΔR
τ = --- ---. G ( ---- )
K 2
R
όπου ΔR η συνολική μεταβολή της αντιστάσεως
Η αντίστοιχη ροπή στρέψης Μ θα είναι
1 1
Jp ΔR
Μ = --- ---. G ---- ( ---- )
K 2
r
R
είναι η γωνία στροφής φ
1 1 1 ΔR
φ = --- --- --- ( ---- )
K 2 r R
Τα
Τc
Τc
Τα
Τd
Τb
Τb
Σχ. 7.25
Τd
7.5.5. Γενική περίπτωση επίπεδης εντατικής κατάστασης
Για τον πλήρη καθορισμό της εντατικής κατάστασης σε ένα συγκεκριμένο σημείο της επιφάνειας κάποιου
φορέα είναι απαραίτητο να μετρήσουμε τις παραμορφώσεις κατά τρεις διευθύνσεις, οι οποίες μπορεί να είναι
τυχαίες. Συναρτήσει των παραμορφώσεων αυτών είναι δυνατό να προσδιορίσουμε τις κύριες παραμορφώσεις
ε1 και ε2 καθώς και τη διεύθυνση της μιας από αυτές (συνήθως της ε1)ως προς τον άξονα χ.
Για τον προσδιορισμό των τάσεων απαιτείται επί πλέον και η γνώση του μέτρου ελαστικότητας (Ε) και του
λόγου του Poisson (μ) του υλικού του δοκιμίου.
Σε ειδικές περιπτώσεις η εντατική κατάσταση μπορεί να καθοριστεί με λιγότερα μηκυνσιόμετρα. Για παράδειγμα
στην περίπτωση μονοαξονικής καταπόνησης ( εφελκυσμός ή θλίψη ) είναι αρκετό, όπως προαναφέρθηκε ήδη,
ένα μηκυνσιόμετρο. Γενικά όμως απαιτούνται τρία μηκυνσιόμετρα, σε μορφή ροζέτας συνήθως, για τον πλήρη
προσδιορισμό της εντατικής κατάστασης.
Για να δείξουμε ότι τρεις μετρήσεις παραμόρφωσης είναι ικανές ας θεωρήσουμε τρία μηκυνσιόμετρα κατά
μήκος των αξόνων Α,Β και C. Έστω ότι για συγκεκριμένη φόρτιση οι ενδείξεις παραμόρφωσης για τα τρία
μηκυνσιόμετρα είναι εΑ, εΒ και εC αντίστοιχα. Στον αντίστοιχο κύκλο Μohr τα εΑ, εΒ και εC είναι οριζόντιες
προβολές τριών σημείων Α,Β και C που απέχουν μεταξύ τους γωνίες 2α και 2β.
1
1
Αν c = --- ( ε1 + ε2 ) και r = --- ( ε1 - ε2 ) τότε
2
2
εΑ = c + r cos2θ
εΒ = c + r cos(2θ + 2α)
(2)
εC = c + r cos(2θ + 2( α + β ))
(3)
(1)
όπου θ η γωνία της διεύθυνσης του
μηκυνσιόμετρου Α και της διεύθυνσης της
κύριας παραμόρφωσης ε1.
Στις τρεις εξισώσεις (1,2,3) άγνωστα είναι τα
c,r και θ, άρα με επίλυση του συστήματος είναι
δυνατό να προσδιοριστούν και από αυτά να
προσδιοριστούν τα ε1 και ε2.
Έτσι τοποθετώντας τη ροζέτα με μία τυχαία
διεύθυνση σε κάποιο σημείο, μπορούμε να
προσδιορίσουμε τις κύριες παραμορφώσεις ε1,
ε2 και τη γωνία κλίσης θ του κύριου άξονα ε1 με
τη διεύθυνση του μηκυνσιομέτρου Α.
Οι αντίστοιχες τιμές των κύριων τάσεων σ1 και
σ2 προσδιορίζονται με βάση τις γνωστές σχέσεις
της θεωρίας ελαστικότητας
E
σ1 = ------- ( ε1 + μ. ε2 )
1 - μ²
Σχ. 7.26 Ο κύκλος του Mohr
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
129
Ε
σ2 = ------- ( ε2 + μ. ε1 )
1 - μ²
όπου Ε το μέτρο ελαστικότητας και
μ ο λόγος του Poisson του υλικού του δοκιμίου
Στο εμπόριο κυκλοφορούν ροζέτες τριών στοιχείων με σταθερές γωνίες μεταξύ τους, όπως η ορθογωνική
ροζέτα, η ροζέτα τύπου δέλτα κ.ά. Μερικοί από τους πιο κοινούς τύπους ροζετών αναλύονται παρακάτω.
Σχ. 7.27 Γενικίες διατάξεις του κύκλου του Mohr
7.5.6. Ορθογωνική ροζέτα τριών μηκυνσιομέτρων (σχ. 7.28)
ε 1 + ε2
c = --------2
ε1 - ε2
r = --------2
εΑ = c + r cos2θ
(1)
εΒ = c + r cos(2θ + 90O) = c - r sin2θ
(2)
εC = c + r cos(2θ + 180O) = c - r cos2θ (3)
1
(1) + (3): c = --- (εΑ + εC)
2
(4)
(εΑ - εΒ) = r (cos2θ + cos2θ)
(εΒ - εC) = r (cos2θ - sin2θ)
(εΑ - εΒ)²= r²(cos²2θ + sin²2θ + cos2θ.sin2θ)
(εΒ - εC)²= r²(cos²2θ + sin²2θ - 2.cos2θ.sin2θ)
(εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)² = r²(1+1) = 2 r²
1
r = ---√ ((εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)²)
2
(5)
Οι κύριες παραμορφώσεις προσδιορίζονται από τις σχέσεις
Σχ. 7.28 Ορθογωνική ροζέτα τριών
και
ε1 = c + r
ε2 = c - r
(6)
(7)
Η γωνία θ μεταξύ της διεύθυνσης του μηκυνσιομέτρου Α και της διεύθυνσης της κύριας παραμόρφωσης ε1
προσδιορίζεται από τις δύο σχέσεις:
εΑ - εC
(1) - (3): cos2θ = -----------2r
ε Α + εC
---------- - εΒ
c - εΒ
2
εΑ + εC - 2εΒ
(2): sin2θ = -------- = -------------------- = --------------------r
r
2r
Έτσι βρίσκουμε κατά σειρά:
1
c = --- (εΑ + εC)
2
1
r = ---√ ((εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)²)
2
ε1 = c + r
ε2 = c - r
1
cos2θ = ---- (εΑ - εC)
2r
1
sin2θ = ---- (εΑ + εC - 2εΒ)
2r
1
r = ---√ ((εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)²)
2
Οι κύριες παραμορφώσεις προσδιορίζονται από τις σχέσεις
(5)
ε1 = c + r (6)
και
ε2 = c - r (7)
Η γωνία θ μεταξύ της διεύθυνσης του μηκυνσιομέτρου Α και της διεύθυνσης της κύριας παραμόρφωσης ε1
προσδιορίζεται από τις δύο σχέσεις:
εΑ - εC
(1) - (3): cos2θ = -----------2r
εΑ + εC
---------- εΒ
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
131
c=
ε1-ε2
2
Β
Α
90˚
2θ
ε2
ε1
C
r=
ε1-ε2
2
Σχ. 7.29
c=
ε1+ε2
2
Β
120˚
ε2
Α
2θ
120˚
ε1
C
Σχ. 7.30
c=
ε1-ε2
2
C
ε2
240˚
2θ
240˚
Α
ε1
Β
Σχ. 7.31
c - εΒ
2
εΑ + εC - 2εΒ
(2): sin2θ = -------- = -------------------- = --------------------r
r
2r
Έτσι βρίσκουμε κατά σειρά:
1
c = --- (εΑ + εC)
2
1
r = ---√ ((εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)²)
2
ε1 = c + r
ε2 = c - r
1
cos2θ = ---- (εΑ - εC)
2r
1
sin2θ = ---- (εΑ + εC - 2εΒ)
2r
7.5.7. Ροζέτα 60ο τριών μηκυνσιομέτρων
εΑ = c + r cos2θ
εΒ = c + r cos(2θ + 120Ο)
εC = c + r cos(2θ + 240Ο)
(1)
(2)
(3)
1
√3
εΒ = c + r ( cos2θ.cos120Ο - sin2θ.sin120O ) = c + r ( --- cos2θ - ---- sin2θ )
2
2
(4)
1
√3
εC = c + r ( cos2θ.cos240O - sin2θ.sin240O ) = c + r ( --- cos2θ + --- sin2θ )
2
2
(5)
(1) + (4) + (5): εΑ + εΒ + εC = 3 c
1
c = --- ( εΑ + εΒ + εC )
3
(6)
3
√3
εΑ - εΒ = r ( --- cos2θ + --- sin2θ )
2
2
εΒ - εC = - √3. r sin2θ
3
√3
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
133
εC - εΑ = r ( - --- cos2θ + --- sin2θ )
2
2
9
3
3√3
(εΑ - εΒ)² = r²(--- cos²2θ + --- sin²2θ + ------ cos2θ.sin2θ)
4
4
2
(εΒ - εC)² = 3r²sin²2θ
9
3
3√3
(εC - εΑ)² = r²(--- cos²2θ + --- sin²2θ - ------ cos2θ.sin2θ)
4
4
2
9
3
9
3
(εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)² + (εC - εΑ)² = r²(--- cos²2θ + --- sin²2θ + 3 sin²2θ + --- cos²2θ + --- sin²2θ) =
4
4
4
4
18
18
9
= r² ( ---- cos²2θ + ---- sin²2θ) = --- r²
4
4
2
√2
r = ----√ (εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)² + (εC - εΑ)²
3
(7)
εΑ - c
cos2θ = -------r
(8)
εC - εΒ
sin2θ = --------√3. r
(9)
Προσδιορίζονται κατά σειρά:
1
c = --- (εΑ + εΒ + εC)
3
√2
r = ---- √ (εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)² + (εC - εΑ)²
3
ε1 = c + r
ε2 = c - r
εΑ - c
cos2θ = -------r
εC - εΒ
sin2θ = --------√3. r
7.5.7. Ροζέτα τύπου Δέλτα (σχ. 7.32)
εΑ = c + r cos2θ
εΒ = c + r cos(2θ + 240Ο)
εC = c + r cos(2θ + 480Ο) = c + r cos(2θ + 120Ο)
Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ίδιες σχέσεις με τη ροζέτα 60Ο αν γίνει
αμοιβαία αλλαγή εΒ και εC.
Έτσι τελικά θα προκύψει:
1
c = --- (εΑ + εΒ + εC)
3
√2
r = ---- √ (εΑ - εΒ)² + (εΒ - εC)² + (εC - εΑ)²
3
ε1 = c + r
ε2 = c – r
εΑ - c
cos2θ = ------r
εΒ - εC
sin2θ = --------√3. r
Σχ. 7.32 Ροζέτα τύπου δέλτα
7.5.8. Ροζέτες τεσσάρων μηκυνσιομέτρων
Μια ροζέτα με 3 μηκυνσιόμετρα είναι ικανή για τον προσδιορισμό των ε1, ε2 και θ, που καθορίζουν την
κατάσταση παραμορφώσεων. Συχνά όμως χρησιμοποιούνται ροζέτες 4 μηκυνσιομέτρων για έλεγχο της
ακρίβειας των ενδείξεων. Οι πιο κοινοί τύποι αυτών των ροζετών αναλύονται παρακάτω.
7.5.8.1.Ορθογωνική ροζέτα τεσσάρων μηκυνσιομέτρων
εΑ = c + r cos2θ
εΒ = c + r cos(2θ + 90Ο) = c - r sin2θ
εC = c + r cos(2θ + 180Ο) = c - r cos2θ
εD = c + r cos(2θ + 270Ο) = c + r sin2θ
1
c = --- (εΑ + εΒ + εC + εD)
4
εA - εC = 2r cos2θ
εD - εB = 2r sin2θ
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
135
(εΑ - εC)² + (εD - εB)²= 4r²
1
r = ---- √ (εΑ - εC)² + (εD - εB)²
2
εΑ - εC
cos2θ = -------2r
εD - εB
sin2θ = ----------2r
Έλεγχος ακρίβειας ενδείξεων
ε A + εC = ε D + εB
c=
ε1-ε2
2
Β
Α
90˚
2θ
90˚
ε2
�
ε1
90˚
C
D
Σχ. 7.33
c=
ε1-ε2
2
�
C
240˚
240˚
ε2
D
240˚
2θ
Α
ε1
Β
Σχ. 7.33
7.5.8.2. Ροζέτα τύπου ταυ – δέλτα τεσσάρων μηκυνσιομέτρων
εΑ = c + r cos2θ
εΒ = c + r cos(2θ + 240Ο)
εC = c + r cos(2θ + 480Ο) = c + r cos(2θ + 120O)
εD = c + r cos(2θ + 180Ο) = c - r cos2θ
Οι σχέσεις αυτές αναλύονται:
εΑ = c + r cos2θ
1
√3
εΒ = c + r ( - --- cos2θ + ---- sin2θ )
2
2
1
√3
εC = c + r ( - --- cos2θ + ---- sin2θ )
2
2
εD = c - r cos2θ
1
1
c = --- (εΑ + εD) = --- (εΑ + εC + εD)
4
3
1
r = ---- √ (εΑ - εD)² + (4/3)(εC - εB)²
2
ε1 = c + r
ε2 = c - r
εΑ - εD
cos2θ = -------2r
εB - εC
sin2θ = -----------√3 r
Έλεγχος ακρίβειας ενδείξεων
εA = 2(εΒ + εC) - 3 εD
κεφάλαιο 7 : μέτρηση παραμορφώσεων
137
ροζέτα τύπου ΤαυΔέλτα τεσσάρων
μηκυνσιομέτρων
ορθογωνική
ροζέτα τεσσάρων
μηκυνσιομέτρων
ροζέτα τύπου
Δέλτα τριών
μηκυνσιομέτρων
ο
ροζέτα 60 τριών
μηκυνσιομέτρων
ορθογωνική
ροζέτα τριών
μηκυνσιομέτρων
Τύπος ροζέτας
ε2
B
θ
θ
120º
C
90º
θ
θ
B
θ
120º
60º
45º
B
45º
45º
45º
C
C
ε2
D ε2
B 30º
D
ε2
60º
120º
B
C
ε2
45º
C
ε1
A
ε1
A
ε1
A
ε1
A
ε1
A
Τρόπος
τοποθέτησης
1
1
c = — (εA+εD) = — (εA+εB+εC)
2
3
1
4
r = — √[(εA-εD)²+—(εC-εB)²]
2
3
1
c = — (εA+εΒ+εC+εD)
4
√2
r = — √[(εA-εC)²+(εD-εB)²]
3
1
c = — (εA+εΒ+εC)
3
√2
r = — √[(εA-εΒ)²+(εB-εC)²]
3
(εC-εD)²
ε1 = c + r
ε2 = c - r
σ2 =
σ1 =
Ε
(ε2+ε1)
1-μ²
Ε
(ε1+ε2)
1-μ²
εΑ-εC
r
εC εB
sin2θ =
√3 r
εΑ-εD
2r
εB εC
sin2θ =
√3 r
cos2θ =
εΑ-εC
2r
εD-εB
sin2θ =
2r
cos2θ =
εΑ-εC
r
εB εC
sin2θ =
√3 r
cos2θ =
cos2θ =
cos2θ =
Γωνία θ
1
c = — (εA+εC)
3
√2
r = — √[(εA-εC)²+(εB-εC)²]
3
(εC-εΑ)²
Κύριες τάσεις
εΑ-εC
2r
εΑ+εC-2εB
sin2θ =
2r
Κύριες
παραμορφώσεις
1
c = — (εA+εC)
2
1
r = — √[(εA-εC)²+(εB-εC)²]
√2
Βοηθητικά μεγέθη
Πίνακας 7.3 Συνοπτικός πίνακας εξισώσεων προσδιορισμού εντατικών μεγεθών διαφόρων τύπων ροζετών

Download Report