Τριγωνομετρικός κύκλος Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ , εφφ σφφ Μ Δ Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com συνφ Α Σελίδα 1 Τριγωνομετρικός κύκλος N Β, 90ο Α, • 2ο ο • 1ο H O E Σ • 4ο • 3ο 360ο Δ, 180 Ν, 270ο 1ο Τεταρτημόριο : 2ο Τεταρτημόριο : Όλα θετικά. ⇒{ ⇒{ Ημφ θετικό. 3ο Τεταρτημόριο : ⇒{ Εφφ,σφφ θετικές. 4ο Τεταρτημόριο : ⇒{ Συνφ θετική. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 2 Τριγωνομετρικός κύκλος ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:  Από τον τριγωνομετρικό κύκλο παρατηρούμε ότι τα ημφ,συνφ είναι 2 αριθμοί που κυμαίνονται από το -1 έως το 1.Ενώ οι εφφ,σφφ μπορούν να πάρουν όποιες τιμές θέλουμε. Δηλ.:  Αν παρατηρήσουμε προσεχτικά τον τριγωνομετρικό κύκλο μπορούμε να βρούμε εκείνους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που αντιστοιχούν στα 4 σημεία του ορίζοντα.  Αν το τόξο καταλήξει στο Βορρά ή στο Νότο παρατηρούμε ότι όταν ενώσουμε αυτά τα δύο σημεία με το Ο και προεκτείνουμε δεν θα ακουμπήσουμε τον άξονα των εφαπτομένων , γι’ αυτό και δεν ορίζεται η εφ και η εφ . Ομοίως για τον ίδιο λόγο δεν ορίζεται η σφ και η σφ . ημ 0 1 0 -1 0 συν 1 0 -1 0 1 εφ 0 Χ 0 Χ 0 σφ Χ 0 Χ 0 Χ Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΚΤΙΝΙΟ (rad) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα ακτίνιο ονομάζεται η επίκεντρη γωνία ενός κύκλου που το αντίστοιχο τόξο της έχει μήκος ίσο με μία ακτίνα . Α ̂ Β ⇔̂ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το μήκος του κύκλου=L=2π.ρ⇒Η πλήρης γωνία είναι 2π rad → Δηλ. → → → ΣΧΕΣΗ ΑΚΤΙΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΟΙΡΑΣ Είναι γνωστό ότι τα π ακτίνια αντιστοιχούν στις 180ο .Άρα: α ακτίνια → π ακτίνια → Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 4 Τριγωνομετρικός κύκλος Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών 0 rad √ √ ημ 0 συν 1 √ √ εφ 0 √ 1 √ Χ σφ Χ √ 1 √ 0 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com 1 0 Σελίδα 5 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ :φ, π-φ (2ο τεταρτημόριο)⇒ π/2 π-φ Αφού καταλήγω στο 2ο τεταρτημόριο , μόνο το ημω είναι θετικό γι’ αυτό και βάζουμε + , ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε – αφού είναι αρνητικοί. π ημ(π-φ)= + ημφ συν(π-φ)= - συνφ ή –συνφ= συν(π-φ) εφ(π-φ)= - εφφ σφ(π-φ)= - σφφ π.χ ημ150ο=ημ(180ο -30ο)=ημ30ο=1/2 συν120ο=συν(180ο -60ο)=-συν60ο= √ /2 ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΤΟΞΑ : φ ,-φ (4ο τεταρτημόριο) ⇒ συν>0 0 -φ ημ(-φ)= - ημφ ή -ημφ= ημ(-φ) 3π/2 συν(-φ)= + συνφ εφ(-φ)= - εφφ ή -εφφ= εφ(-φ) σφ(-φ)= - σφφ ή -σφφ= σφ(-φ) Αφού καταλήγω στο 4ο τεταρτημόριο , μόνο το συνω είναι θετικό γι’ αυτό και βάζουμε + , ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε – αφού είναι αρνητικοί. π.χ εφ(-45ο)= - εφ45ο= - 1 σφ(-60ο)= - σφ60ο= √ /3 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 6 Τριγωνομετρικός κύκλος ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΤΑΦΟΡΑ π : φ , π+φ (3ο τεταρτημόριο) ⇒ εφ , σφ >0 π π+φ ημ(π+φ)= - ημφ συν(π+φ)= - συνφ εφ(π+φ)= + εφφ σφ(π+φ)= + σφφ 3π/2 π.χ ημ225ο=ημ(180ο+45ο)= - ημ45ο= √ /2 Αφού καταλήγω στο 3ο τεταρτημόριο , μόνο η εφφ άρα και η σφφ είναι θετικές γι’ αυτό και βάζουμε + , ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε – αφού είναι αρνητικοί. σφ240ο=σφ(180ο+60ο)= σφ60ο= √ ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ 2π : φ , 2π+φ (1ο τεταρ) ⇒ ημ ,συν ,εφ ,σφ >0 π/2 2π+φ 0 2π ημ(2π+φ)= + ημφ συν(2π+φ)= + συνφ εφ(2π+φ)= + εφφ σφ(2π+φ)= + σφφ Αφού καταλήγω στο 1ο τεταρτημόριο , όλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί γι’ αυτό και βάζουμε σε όλους + . Δηλαδή στους τριγωνομετρικούς αριθμούς η μία ολόκληρη περιστροφή δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα ,ομοίως και οι δύο περιστροφές κ.ο.κ οι κ περιστροφές . Άρα: ημ(2κπ+φ)=ημφ συν(2κπ+φ)=συνφ εφ(2κπ+φ)=εφφ σφ(2κπ+φ)=σφφ Π.χ. ημ390ο=ημ(360ο+30ο)=ημ30ο=1/2 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 7 Τριγωνομετρικός κύκλος ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 2π : φ ,2π-φ (4ο τεταρ) ⇒ συν >0 0 2π ημ(2π-φ)= - ημφ συν(2π-φ)= + συνφ εφ(2π-φ)= - εφφ σφ(2π-φ)= - σφφ 3π/2 2π-φ Π.χ. ημ300ο=ημ(360ο-60ο)=-ημ60ο=-√ Αφού καταλήγω στο 4ο τεταρτημόριο , μόνο το συνω είναι θετικό γι’ αυτό και βάζουμε + , ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε – αφού είναι αρνητικοί. √ συν315ο=ημ(360ο-45ο)=συν45ο= . ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ: φ , π/2-φ (10τετ.) ⇒ ημ,συν,εφ,σφ >0 π/2 π/2-φ 0 ΠΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(π/2-φ)= συνφ ή συνφ=ημ(π/2-φ) Αφού καταλήγω στο 1ο τεταρτημόριο , όλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί γι’ αυτό και βάζουμε σε όλους + . ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/2 αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός συν(π/2-φ)= ημφ ή ημφ=συν(π/2-φ) εφ(π/2-φ)= σφφ ή σφφ=εφ(π/2-φ) σφ(π/2-φ)= εφφ ή εφφ=σφ(π/2-φ) Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 8 Τριγωνομετρικός κύκλος ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ π : φ ,π/2+φ (20τετ.) ⇒ ημ >0 π/2 π/2+φ Αφού καταλήγω στο 2ο τεταρτημόριο μόνο το ημω είναι θετικό γι’ αυτό και βάζουμε + , ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε – αφού είναι αρνητικοί. π ΠΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(π/2+φ)= + συνφ συν(π/2+φ)= - ημφ εφ(π/2+φ)= - σφφ σφ(π/2+φ)= - εφφ ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/2 αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ 3π/2 : φ , 3π/2+φ (40τετ.) ⇒ συν >0 π/2 0 3π/2+φ ΠΡΟΣΟΧΗ : 3π/2 ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(3π/2+φ)= - συνφ συν(3π/2+φ)= + ημφ εφ(3π/2+φ)= - σφφ σφ(3π/2+φ)= - εφφ Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Αφού καταλήγω στο 4ο τεταρτημόριο μόνο το συνφ είναι θετικό γι’ αυτό και βάζουμε + , ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε – αφού είναι αρνητικοί. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε 3 π/2 αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός. Σελίδα 9 Τριγωνομετρικός κύκλος ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3π/2 : φ ,3π/2-φ (30τετ.) ⇒ εφ, σφ >0 Αφού καταλήγω στο 3ο τεταρτημόριο μόνο η εφφ είναι θετική άρα και η σφφ , γι’ αυτό και βάζουμε + , ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε – αφού είναι αρνητικοί. π ΠΡΟΣΟΧΗ : 3π/2-φ 3π/2 ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/2 αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός. ημ(3π/2-φ)= - συνφ συν(3π/2-φ)= - ημφ εφ(3π/2-φ)= + σφφ σφ(3π/2-φ)= + εφφ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ⇒{ i. ii. ⇒ ⇒{ iii. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 10 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρεθεί το πρόσημο των παρακάτω τριγωνομετρικών αριθμών: , , , , ΛΥΣΗ ⇒ ⇒ Θυμήσου το Ο.Η.Ε.Σ. στον τριγωνομετρικό κύκλο. , ⇒ , ⇒ κ .ο. κ. ΑΣΚΗΣΗ 2η Αν να βρεθεί το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας φ. ΑΣΚΗΣΗ 3η Αν i. ii. εφφ –ημφ +σφφ-συνφ –εφφ+ημφ . ΑΣΚΗΣΗ 4η Αν i. ii. να δειχθεί ότι: να δειχθεί ότι: εφφ+ημφ-συνφ+σφφ Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 11 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 5η Ποιος είναι ο τύπος που συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο τύπος που συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια είναι : ΑΣΚΗΣΗ 6η Να μετατρέψεις τις παρακάτω μοίρες σε ακτίνια: ΛΥΣΗ  ⇒  ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ κ.ο.κ. ΑΣΚΗΣΗ 7η Να μετατρέψεις τα παρακάτω ακτίνια σε μοίρες: ΛΥΣΗ  ⇒ ⇒ ⇒  ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ , ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ κ .ο. κ. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 12 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 8η Nα φτιάξεις τον τριγωνομετρικό κύκλο και να αναφέρεις σε κάθε τεταρτημόριο το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών. ΑΣΚΗΣΗ 9η Να αναχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί στο 1ο τεταρτημόριο: ( ) ( ( ) , ( ) ( ( ) ( ( ( ) ( ( ( ) ( ( ) ) ) ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) ) ) ( ) ) ( ( ) ) ), ( ), ( ), ) ) ( ( ( ( ( ), ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ΑΣΚΗΣΗ 10η Να υπολογισθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: i. ημ150ο= ii. συν120ο= iii. εφ135ο= iv. σφ210ο= v. εφ240ο= vi. ημ225ο= vii. ημ(-30ο)= viii. συν(-45ο)= ix. εφ(-60ο)= (Υπ. Τις παραπάνω μοίρες να τις γράψεις ως άθροισμα ή διαφορά με τις 180ο , π.χ. 150ο=180ο-30ο και 210ο=180ο+30ο ) Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 13 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 11η Να υπολογισθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: ( - ) ( i. ημ2π/3= ii. iii. iv. v. vi. συν3π/4= εφ5π/6= σφ4π/3= εφ5π/4= ημ7π/6= vii. ημ(-5π/4)= -ημ5π/4= -ημ( Θυμήσου ότι ημ(π-φ)= ημφ αφού το π-φ σε οδηγεί στο 2ο τεταρ. όπου το ημ - (-ημπ/4)= ημπ/4= viii. ix. √ ) + )= -ημ( √ + )= Θυμήσου ότι ημ(-φ)=- ημφ αφού το -φ σε οδηγεί στο 4ο τεταρ. όπου το ημ αλλά και το ημ(π+φ)=-ημφ αφού το π+φ σε οδηγεί στο 3ο τετ. όπου ημ συν(-3π/4)= εφ(-5π/6)= 9 (Υπ. Τα παραπάνω ακτίνια να τα γράψεις ως άθροισμα ή διαφορά με το π , π.χ. = - = και = + = ) ΑΣΚΗΣΗ 12η Να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων: i. ii. Α= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) Β= ( ) ( ) ( ( ) ( Θυμήσου ότι συν( αν φ= αφού το ) -φ)=-ημφ -φ σε οδηγεί στο 3ο τεταρ. όπου το συν αν φ= ΠΡΟΣΟΧΗ: όποτε έχω ΛΥΣΗ i. ( Α= ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) -ημφ , ( )( ( ) ) ( , ) Αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμ. αν φ= ( , ) ΑΡΑ: Α= ii. ) ) ( ( ( ( ) ) √ √ ) Ομοίως. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 14 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 13η Δίνεται ότι 90ο<φ<180ο και ημφ= .Να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. ΛΥΣΗ  90ο<φ<180ο⇒ {  ⇒( ) ⇒  ⇒ ⇒ ⇒ √ ⇒ ⇒ ⇒ Είναι γνωστό ότι σφφ = δηλ . το αντίστροφο της εφφ.  ΑΣΚΗΣΗ 14η Δίνεται ότι 180ο<φ<270ο και συνφ= .Να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. ΑΣΚΗΣΗ 15η Δίνεται ότι 270ο<φ<360ο και ημφ= .Να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. ΑΣΚΗΣΗ 16η Δίνεται ότι 0ο<φ<90ο και συνφ= .Να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 15 , Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 17η Δίνεται ότι 90ο<φ<180ο και εφφ= √ .Να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Πάντα ξεκινάμε με την σχέση και διαιρούμε με το συνφ για να εμφανισθεί η εφφ που είναι γνωστή. ΛΥΣΗ  90ο<φ<180ο⇒ {  ⇒ ⇒ √ ⇒ ( √ ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ √ √ ⇒ √ √ √ √ ⇒ √ √  ⇒ ⇒  √ √ √ √ ⇒ √ ( √ ) Είναι γνωστό ότι σφφ = , δηλ . το αντίστροφο της εφφ. ΑΣΚΗΣΗ 18η Δίνεται ότι 180ο<φ<270ο και σφφ=√ .Να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 16 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 19η Να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες: i. ( ) ( ) ii. Πάντα ξεκινάμε από το πιο σύνθετο μέλος iii. iv. i. ( )( ) ο 1 μέλος=( 25. 25.( ii. ) ΛΥΣΗ ( ) = + 24ημα.συνα +25. -24ημα.συνα= ο + )=25.1=25=2 μέλος ( 1ο μέλος= ( ( ( ) ) ( ( ) ) ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) = 2ο μέλος. ΑΣΚΗΣΗ 19η Να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες: i. ii. 1 1 1 ημ 2 θ εφ 2 θ 1 συνα = εφα συνα 1 + ημα Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 17 Τριγωνομετρικός κύκλος ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. ii. 3π H γωνία με μέτρο έχει την ίδια τελική πλευρά με την 2 π γωνία - . 2 Η γωνία με μέτρο 60 ο έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία - 240 ο iii. Αν ω < 0 τότε ημω < 0. iv. Το ημ2750 ο είναι θετικός αριθμός. v. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ημω> 1. Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Το μέτρο της γωνίας θ = 40 ο σε rad είναι: π Α. 5 3π Β. 4 2π Γ. 9 ii. Το μέτρο της γωνίας θ = Β. 105 ο Α. 100 iii. Αν ημx = π Δ. 12 Ε. 3 7π 12 σε μοίρες είναι: Γ. 50 ο Δ. 200 ο Ε. 300 ο λ λ - 2 λ  2 ο λ παίρνει τιμές: Α. λ  1 Β. λ > 1 Γ. λ = 1 Δ. λ < -1 λ iv. Αν συν x = λ 2 + 1 λ  IR ο λ παίρνει τιμές: 2 Α. -1  λ  1 Γ. λ  0 Β. λ > 2 Δ. λ < -1 v. Η μεγίστη τιμή της παράστασης Κ = 3συνθ + ημθ είναι: Α. 4 Β. -4 Γ. 3 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Δ. 0 Ε. -3. Σελίδα 18 Τριγωνομετρικός κύκλος Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να βρεθούν πάνω στο τριγωνομετρικό κύκλο: Τα σημεία που ορίζονται από την τελική πλευρά της γωνίας i) π + Κπ, 3 ii) - π Kπ + 4 2 , iii) π Κπ + 3 6 Κ  Ζ. ΑΣΚΗΣΗ 2 η Για κάθε γωνία θ να βρείτε τις τιμές που παίρνουν οι παραστάσεις: Α = 3 - ημθ, Β = 2ημθ - 5συνθ, Γ = ημ 2 θ + 3συν2θ Δ = 3 συν 2 θ - 4. ΑΣΚΗΣΗ3 η Nα βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριγωνομετρικών αριθμών: i) ημ2550 ο , ii) συν820 ο , iii) εφ(-1000 ο ), iv) συν(-300 ο ). η ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν π < θ < 3π 2 να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: ημθ - εφθ Β = συνθ - σφθ . Α= εφθ - 2ημθ - συνθ, ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: συν1200 Α= εφ780 , ημ4000  εφ200 Β= συν5000 Δ ΑΣΚΗΣΗ 6 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ = 30 ο . Φέρουμε το ύψος ΑΔ, αν ΒΔ = 1cm, ΔΓ = 3cm να βρεις την περίμετρο του ΑΒΓ. Δ ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ η  B = 28 ο,  Γ = 50 ο. με Φέρουμε το ύψος ΑΔ, αν ΔΓ = 8cm να βρείτε την πλευρά ΑΒ. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 19 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 8 η Σε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Εστω Μ το μέσο της ΒΓ. Να δείξετε ότι: i) ΒΓ = 2RημΑ, ii) ΑΜ = R (1 + συνΑ). ΑΣΚΗΣΗ 9 η Ενας ζωγράφος παρατηρεί άγαλμα ύψους 4,70m και βρίσκεται σε απόσταση 8m από αυτό. Αν το ύψος του ζωγράφου  είναι 1,70m να βρείτε το μέτρο της γωνίας ω υπό την οποία ο ζωγράφος βλέπει το άγαλμα. ΑΣΚΗΣΗ 10 η Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 2 - εφ2π π Α = 3ημ 2 - 4(2συνπ - 5ημπ) + 2ημ 3π . 2 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 20 Τριγωνομετρικός κύκλος ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. Αν ημω = 0 τότε συνω = 0. ii. Αν ημω = 1 τότε συνω = 0. iii. Αν ημω = 0 τότε συνω = 1 ή συνω = -1. iv. Αν εφω = 5 4 τότε σφω = 4 5. 1 v. Αν εφω = α τότε συνω = vi. Αν ημω = 1 2 τότε συνω = α 1 + α2 . 3 2 . vii. Αν ημω < 0 και συνω < 0 τότε εφω < 0. 1 viii. Για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω = 1 + εφ 2 ω . 2 1 ix. Για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω = 1 + σφ 2 ω . 2 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 21 Τριγωνομετρικός κύκλος Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Αν x = συνθ και y = 3ημθ τότε ισχύει: y2 y2 = 1 Β. x 2 =1 Α. x 2 + 9 9 , , ii.Αν x = 3ημθ y2 =1 Γ. x 2 + 3 , Δ. x 2 - y 2 = 3. και y = 4συνθ τότε ισχύει: x 2 y2 x 2 y2 - = 1 , Β. + = 1 , Γ. 9x 2 - 16y2 = 1 , Δ. x 2 - y2 = 1. Α. 9 16 9 16 iii. H παράσταση Α = ημ 3 x συνx + συν 3 xημx είναι ίση με: Α. ημx , Β. συνx , Γ. ημxσυνx , Δ. εφx iv. H παράσταση Α = σφx συνxημx είναι ίση με: Α. ημx Β. ημ 2 x Γ. συνx Δ. συν 2 x 3 ο ο v. Αν ημx = 5 180 < x < 270 τότε συνx είναι ίσο με: Α. 4 5 4 5 , Β. Γ. , Δ. 4 , 5 4 . 5 vi. Αν 0 < x < π 2 και ημx + συνx = 3 η τιμή της παράστασης ημ 3 x + συν 3 x είναι: 28 9 Α. 8 Β. 2 Γ. 16 π vii. Αν 0 < x < 2 5 23 Δ. Ε. . 6 27 5 και ημxσυνx = 8 η τιμή της παράστασης ημx + συνx είναι: 3 5 3 Α. 1, Β. 2 , Γ. 2 , Δ. 8 ,Ε. 4 . Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 22 Τριγωνομετρικός κύκλος Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 3π και < x < 2π να υπολογίσετε την 3 2 1 + 2ημxσυνx A = παράσταση . 1 + ημx ΑΣΚΗΣΗ 1 η Αν σφx  - π < x< π 2 εφx εφx A = + παράσταση 1 - ημx 1 + ημx . ΑΣΚΗΣΗ 2 η Αν 9εφ 2 x = 4 και να υπολογίσετε την ΑΣΚΗΣΗ 3 η Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: α) συν 4 x - ημ 4 x = συν 2 x - ημ 2 x = 2συν 2 x - 1 = 1 - 2ημ 2 x β) (ημx + συνx) 2 = 1 + 2ημx συνx. γ) ημ 4 x + συν 4 x = 1 - 2ημ 2 xσυν 2 x δ) ημ 6 x + συν 6 x = 1 - 3ημ 2 xσυν 2 x . ΑΣΚΗΣΗ 4 η Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: εφα + σφβ εφα α) εφβ + σφα = εφβ β) (1 + εφ 2 α) (1 - συν 2 α) = εφ 2 α γ) (ημα + εφα) (συνα + σφα) = (1 + ημα) (1 + συνα) Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 23 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να δείξετε ότι: 1 1 α) ημ 2 θ - εφ 2 θ  1 β) εφ 2 θ - ημ 2 θ = εφ 2 θ  ημ 2 θ σφθ εφθ + γ) 1 + σφθ 1 + εφθ  1 1 + εφ 4 θ 2 δ) εφ 2 θ + σφ 2 θ  εφ θ 1 + ημθ - συνθ 1 + ημθ + συνθ 2 +  ε) 1 + ημθ + συνθ 1 + ημθ - συνθ ημθ . π ΑΣΚΗΣΗ 6 Αν 0 < x < 2 να δείξετε ότι: η 1 + ημx + 1 - ημx α) 1 + ημx - 1 - ημx 1 + ημx β) 1 - ημx - = 1 - ημx 1 + ημx 1 + συνx ημx = 2 εφx . ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να δείξετε ότι: α) ημ 4 x + 4συν 2 x = 2 - ημ 2 x β) ημ 4 x + 4συν 2 x + συν 4 x + 4ημ 2 x = 3 . Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 24 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 8 η Εστω f(x) = 3 (ημ 4 x +συν 4 x) - 2 (ημ 6 x + συν 6 x) με x  R. Nα δείξετε ότι η f(x) είναι σταθερή. ΑΣΚΗΣΗ 9 η Αν είναι x = ημθ - συνθ και y = εφθ + σφθ να βρείτε το x 2 ως συνάρτηση του y. ΑΣΚΗΣΗ 10 η Αν ημx + συνx = α του α οι παραστάσεις: να υπολογιστούν ως συνάρτηση Α. ημx  συνx , Β. ημ 4 x + συν 4 x , Γ. ημ 3 x + συν 3 x , Δ. ημ 6 x + συν 6 x. ΑΣΚΗΣΗ 11 η Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (ασυνx - βημx)2 +(αημx+ βσυνx) 2 με x  ΙR. Να δείξετε ότι η f(x) είναι σταθερή. ΑΣΚΗΣΗ 12 η Αν για τη γωνία θ ισχύει 4ημθ + 3συνθ = 5 4 i) Να δείξετε ότι εφθ = 3 εφθ εφθ 4 + = ii) Να δείξετε ότι 1 + σφθ 1 + εφθ 3 ΑΣΚΗΣΗ 13 η Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε να ισχύει κ-2 2κ ημω = κ + 2 και συνω = κ + 2 . ΑΣΚΗΣΗ 14 η Για κάθε γωνία x να αποδείξετε ότι: 1 α) ημx  συνx  2 1 2 , γ) ημ 4 x + συν 4 x  2 π στ) ημx + συνx>1 με 0<x < 2 . , β) ημx + συνx , δ) 2ημ 2 x - 3ημx + 3 > 0 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 25 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 15 η Δίνεται η εξίσωση x 2 - 2x - εφ 2 θ = 0, συνθ  0. i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, οι οποίες να βρεθούν. ii) Αν x 1 , x 2 οι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A = x 1 1 - x2  2 . x2 2 2 iii) Αν f(x) = x - 1 να δείξετε ότι f(x 1 ) f(x 2) = - εφ θ  ημ θ. ΑΣΚΗΣΗ 16 η Δίνεται η εξίσωση x 2 - 2x ημθ - συν 2 θ = 0. i) Να λύσετε την εξίσωση. ii) Αν x 1 , x 2 οι ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι : 2  x 1 2 + x 2 2  4. iii) Να υπολογίσετε την παράσταση 1 1 + x1 x2 . ΑΣΚΗΣΗ 17 η Δίνεται η εξίσωση x 2 - (λ + 1)x + λ = 0 βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες: α) ρ 1 = ημθ, ρ 2 = συνθ β) ρ 1 = εφθ, ρ 2 = σφθ. λ  ΙR. Να π ΑΣΚΗΣΗ 18 Αν είναι ημx + συνx = α με 0 < x < 2 και η Α = ημx + συνx + ημ 3 x + συν 3 x + ημ 4 x + συν 4 x τότε: i) Να βρείτε τι τιμές παίρνει ο α. ii) Να βρείτε την παράσταση Α ως συνάρτηση του α. iii) π Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α για x = 4 . Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 26 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου ισχύουν: α. ημ(Α + Β) = - ημΓ Γ  A B +   β. συν  2 2  = ημ 2 γ. συν (Α + Β) = - συνΓ Γ  A B δ. εφ  2 + 2  = - σφ 2 ε. εφ(Β + Γ) = εφΑ στ. σφ(Β + Γ) = - σφΑ ii. ισχύει ημ600 ο = -συν30 ο iii. ισχύει ημ(180 ο + ω) = ημω iv. ισχύει συν(360 ο - ω) = συνω v. ισχύει εφ(90 ο + ω) = - σφω vi. ισχύει σφ(270 ο + ω) = - σφω vii. ισχύει ημ(90 ο - ω) = - συνω viii. ισχύει συν(270 ο + ω) = ημω ix. ισχύει σφ(270 ο - ω) = εφω x. ισχύει ημ 2 50 ο + ημ 2 40 ο = 1 xi. ισχύει ημ 2 70 ο + ημ 2 20 ο = 1 xii. ισχύει συν 2 80 ο + συν 2 170 ο = 1 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 27 Τριγωνομετρικός κύκλος Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Το συν(180 + ω) είναι ίσο με: Α. συνω Β. - συνω Γ. ημω Δ. - ημω Γ.- σφω Δ. ii.Η εφ(90 + ω) είναι ίση με: Α. - εφω Β. σφω εφω iii. Η σφ(360 + ω) είναι ίση με: Α. - εφω Β. εφω Γ. - σφω Δ. σφω  3π  + ω   είναι ίσο με: iv.Το ημ  2  Α. - συνω Β. συνω Γ. ημω Δ. - ημω  3π  v.Το συν  2 - ω είναι ίσο με: Α. - ημω Β. ημω  15π Γ. συνω Δ. - συνω Γ. - ημω Δ. - συνω Γ. εφω Δ. - εφω  vi.Το συν  2 + ω είναι ίσο με: Α. ημω Β. συνω  19π  ω   είναι ίση με: vii.H εφ  2  Α. - σφω Β. σφω  21π  viii.Το ημ  2 + ω είναι ίσο με: Α. -ημω Β. ημω Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Γ. - συνω Δ. συνω Σελίδα 28 Τριγωνομετρικός κύκλος ix. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου τότε: α) Το ημ(Β + Γ) είναι ίσο με: Α. - συνΑ β) Β. συνΑ B Γ Β. - ημ 2 Γ Γ. συν 2 Γ A Β. - σφ 2 A A Γ. - εφ 2 Δ. σφ 2  Γ Α Η σφ  2 + 2  είναι ίση με: B Α. σφ 2 B Β. - εφ 2 B Γ. εφ 2 π x. B Δ. - σφ 2.  H παράσταση συν 2 ω + συν 2  2 - ω είναι ίση με: Α. 2συν 2 ω xi. Γ Δ. - συν 2 Η εφ  2 + 2  είναι ίση με: A Α. εφ 2 δ) Δ. ημΑ  A B Το συν  2 + 2  είναι ίσο με: Γ Α. ημ 2 γ) Γ. - ημΑ Β.0 Γ.1 Ε. ημ 2 ω Δ.2 π  π  + x    - x H παράσταση συν  4  - ημ  4  είναι ίση με: Α. 2ημx Β.συνx Γ.- 2 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Δ.0 Ε. 2 Σελίδα 29 Τριγωνομετρικός κύκλος xii. π  ημ(π + θ) ημ  + θ 2  H παράσταση συν (2π - θ) συν(π + θ) είναι ίση με: Α. 1 Β. -1 Γ. σφθ Δ.- σφθ Ε. εφθ xiii. H παράσταση:  3π  π  + x + x     συνx +συν  2   + συν(π + x) + συν  2 είναι ίση με: Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Δ. ημx Ε. συνx Σελίδα 30 Τριγωνομετρικός κύκλος Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: 187π 6 , 204π 4 , 1205π . 3 ΑΣΚΗΣΗ 2 η Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: - 410 ο , 2520 ο , - 3000 ο . ΑΣΚΗΣΗ 3 η Να υπολογίσετε τα: 71π ημ ι. 4 ,  25π  συν  ιι)  3  , 41π εφ ιιι) 6 ΑΣΚΗΣΗ 4 η Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:  3π  συν (π + x)  συν  - x  2  A= συν(2π - x) ημ(2π - x) ,  3π  ημ 3  x -  συν 2π- x  2 B=  π  3π  εφ3  x -  συν 3  x -    2 2 π  ημ  - x ημ (- x) 2  Γ= συν(- x) συν(π - x) . ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: 3π  29π   14π  2 2    + 1. Α = ημ  3  + σφ  4  - εφ 4 16π 28π  23π  2   Β = 26συν  6  + σφ 4 - εφ 3 - 1. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 31 Τριγωνομετρικός κύκλος π  π  ΑΣΚΗΣΗ 6 η Αν ημ  4 + x + ημ  4 - x = κ να αποδείξετε ότι: π  π  κ2 - 1 συν  4 - x συν  4 + x = 2 . π  π  α    + α  = 3 να βρείτε τις τιμές ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν εφ  4 + εφ  4  η των παραστάσεων: i) π  π  α + α     εφ  4  εφ  4  ii) π  π  2  α + α .   εφ  4 + εφ  4  2 π  π  3 + α α     = να υπολογίσετε τις ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν ημ  4  + ημ  4  2 η παραστάσεις: i) π  π  2  + α α    συν  4  +συν  4  ii) π  π  + α α    . συν  4  συν  4  2 ΑΣΚΗΣΗ 9 η Να δείξετε ότι οι παραστάσεις: Α = συν(x + 40ο) + συν(x + 130ο) + συν(x +220ο) + συν(x +310ο) π  B = συν  2 + x συν(π - x)  [εφ (π +x) + εφ  3π  - x ] .   2   3π   7π  + x x     Γ = ημ  2   ημ(π - x) + ημ(3π +x) ημ  2 είναι ανεξάρτητες του x. Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 32 Τριγωνομετρικός κύκλος π  π  ΑΣΚΗΣΗ 10 η Αν εφ  3 - x + εφ  6 + x = 4 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης π  π  2  x + x   . Α = εφ  3  + εφ  6  2 κπ ΑΣΚΗΣΗ 11 Να βρεθούν οι τιμές του ημ 3 όταν κ ακέραιος. η ΑΣΚΗΣΗ 12 η Να αποδειχθεί ότι: i) ii) εφ (π +x) 0 < εφx - σφ(π -x) < 1 σφ (π +x) 0 < σφ (5π +x) + εφ(x - π) < 1 ΑΣΚΗΣΗ 13 η Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι γωνίες του είναι ανάλογες των αριθμών 2, 3, 4 και 15 αντίστοιχα. i) Να βρείτε τα μέτρα των γωνιών Α, Β, Γ, Δ. ii) Να δείξετε ότι: α. 3εφΑ - εφ(-Β) - εφΓ + εφ(-Α) = 0 β. ημΑ + συν 2 (-Β) - συν(-Γ) - ημ 2 (-Δ) = 0 Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 33 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 14 η π = Δίνεται ότι ημ 12 6- 2 . 4 π 12 , i) Να υπολογίσετε τους συν ii) Να υπολογίσετε τους ημ iii) 11π Να υπολογίσετε το ημ 12 iv) 13π Να υπολογίσετε το ημ 12 v) Μπορείτε να υπολογίσετε το ημ Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com 5π 12 , εφ π 12 συν 5π 12 7π 12 . Σελίδα 34 Τριγωνομετρικός κύκλος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (1 ώρας ) ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Να βρείτε το συνημίτονο των γωνιών: i) 300 ο ii) -240 ο iii) 210 ο (15 μονάδες) Β. π = Αν συν 5 5+1 4π να βρείτε το συν 5 . 4 (10 μονάδες) ΑΣΚΗΣΗ 2 η π Α.  π  Δίνεται ότι ημ  4 - x + ημ  4 + x = κ. π  π  x    + x . i) Δείξτε ότι ημ  4 = συν  4  (8 μονάδες) π  π  κ2 - 1 ii) Δείξτε ότι συν  4 - x  συν  4 + x = 2 . (7 μονάδες) Β. π = Αν ημ 12 6- 2 13π υπολόγισε το συν 4 12 . (10 μονάδες) Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 35 Τριγωνομετρικός κύκλος ΑΣΚΗΣΗ 3 η Α. Να απλοποιήσετε την παράσταση:  3π  π  εφ - θ  συν  + θ ημ 2π - θ  2  2  A= σφθ  ημ(π + θ) ημ(15π + θ) (10 μονάδες) Β. Να δείξετε ότι η παράσταση:  3π   7π  + x x    Α = ημ  2 ημ (π x) + ημ(3π +x) ημ  2   είναι ανεξάρτητη του x. (15 μονάδες) ΑΣΚΗΣΗ 4 η Α. π π   x x     Η παράσταση ημ  2  + συν(π +x) + συν  2  είναι ίση με: Α. 0 Β. 1 Γ. ημx Δ. συνx Ε. -1. (10 μονάδες) Β. εφ (π +x) Να αποδείξετε ότι 0 < εφx - σφ(π -x) < 1 (15 μονάδες) Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 36