ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ .gr ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 -2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ διπ 50 Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 4η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να έχουν εισαχθεί στο σύστημα ιδανικά μέχρι τη Δευτέρα 24/03/2014, ώρα 06:00 π.μ., και σε καμιά περίπτωση αργότερα από την Τετάρτη 26/03/2014, ώρα 06:00 π.μ. Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 1 από 11 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΒΟΛΗ - ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΠ 50 Μπορείτε να μην υποβάλλετε μόνο 1 από τις 5 εργασίες και πρέπει να συγκεντρώσετε 25 μονάδες στις 4 ή 5 εργασίες που θα υποβάλλετε για να έχετε δικαίωμα συμμετοχής στις εξετάσεις. 2. Πρέπει να τηρείτε τις προθεσμίες υποβολής των εργασιών και να ακολουθείτε πιστά τις οδηγίες που γράφονται στην αρχή κάθε άσκησης ή ερωτήματος. 3. Οι γραπτές εργασίες υποβάλλονται αποκλειστικά ηλεκτρονικά στο χώρο «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ» (http://study.eap.gr). Οι απαντήσεις των ερωτημάτων να γράφονται σε χαρτί μεγέθους Α4. Τα φύλλα της εργασίας θα πρέπει να είναι αριθμημένα και στην πρώτη σελίδα της εργασίας θα πρέπει να αναφέρεται το ονοματεπώνυμό σας. Η εργασία συνιστάται να είναι δακτυλογραφημένη. Αν είναι χειρόγραφη είναι υποχρεωτικό να είναι ευανάγνωστη. Μη γράφετε περισσότερα από αυτά που ζητούνται σε κάθε άσκηση, αφού τα επιπλέον, αν μεν είναι σωστά δεν λαμβάνονται υπ' όψιν, αν όμως είναι λάθος, επηρεάζουν αρνητικά τη βαθμολογία του θέματος. 4. Να βάζετε τις απαντήσεις σας στις ασκήσεις – υποερωτήματα με τη σειρά, όχι ανάκατα. 5. Η σειρά των θεμάτων και των ερωτημάτων στις γραπτές εργασίες δεν ακολουθεί απαραίτητα τη σειρά των περιεχομένων του εκπαιδευτικού υλικού. 6. Μην αντιγράφετε τις εκφωνήσεις! Να γράφετε μόνο τις αιτιολογημένες απαντήσεις σας βάζοντας στην αρχή την αντίστοιχη αρίθμηση της άσκησης και του ερωτήματος που απαντάτε. 7. Σε κάθε ερώτημα να δίνετε έναν (1) μόνο τρόπο λύσης. 8. Αν ένα ερώτημα ζητά σχήμα, να βάζετε το σχήμα στο τέλος της απάντησής σας για το ερώτημα, όχι στο τέλος της άσκησης ή της εργασίας. 9. Αν σε ένα ερώτημα χρησιμοποιείται το πακέτο ΜΙΝΙΤΑΒ, θα πρέπει να περιέχεται στην απάντησή σας (α) πλήρης περιγραφή της διαδικασίας του ΜΙΝΙΤΑΒ που ακολουθήσατε, (β) αντίγραφο της εκτύπωσης του session window του ΜΙΝΙΤΑΒ και (γ) σχολιασμός ή ερμηνεία του αποτελέσματος του ΜΙΝΙΤΑΒ. Τα (α) και (γ) πρέπει να μπαίνουν στην απάντηση του ερωτήματος, ενώ το (β) πρέπει να περιέχεται στο τέλος της άσκησης στην οποία ανήκει το ερώτημα (σε καμιά περίπτωση στο τέλος της εργασίας). 50 .gr 1. 10. Δεν θα βαθμολογούνται απαντήσεις στις οποίες γίνεται χρήση άλλου στατιστικού πακέτου (εκτός του ΜΙΝΙΤΑΒ). Επιτρέπεται η χρήση του Excel για τη διενέργεια μόνον απλών αριθμητικών υπολογισμών. διπ 11. Στα ερωτήματα που χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε μια σχέση (έναν τύπο), πρέπει να γράφετε πρώτα τη λογική ή το επιχείρημα για την επιλογή της σχέσης, ακολούθως να γράφετε τη γενική μορφή της σχέσης, μετά να κάνετε αντικατάσταση των τιμών και, τέλος, να βρίσκετε το αποτέλεσμα. 12. Στις προτάσεις Σωστού-Λάθους πρέπει απαραίτητα να γράφετε την επιλογή σας (Σωστή ή Λάθος) και στις προτάσεις που δίνετε απάντηση «Λάθος» να δίνετε σαφή αιτιολόγηση, η οποία να περιέχει εντοπισμό του λάθους, και όχι να παραπέμπετε σε ολόκληρες παραγράφους ή σελίδες του εκπαιδευτικού υλικού. Ομοίως, στα ερωτήματα πολλαπλής επιλογής, πρέπει απαραίτητα να επιλέξετε τη σωστή επιλογή, π.χ. «η (i) είναι η Σωστή» και να αιτιολογείτε με σαφήνεια την απάντησή σας. Αν δεν υπάρχει ξεκάθαρη επιλογή σε ένα ερώτημα Σωστού-Λάθους (Σωστή ή Λάθος) ή σε ένα ερώτημα πολλαπλής επιλογής (ποια επιλογή είναι η Σωστή) το ερώτημα θα μηδενίζεται. 13. Μπορείτε να ανταλλάσσετε απόψεις για τη σωστή απάντηση των ασκήσεων, αλλά δεν επιτρέπονται σε καμιά περίπτωση αντιγραφές. Εάν υποβληθούν από δύο ή περισσότερους φοιτητές πανομοιότυπες απαντήσεις σε μια ή περισσότερες ασκήσεις (έστω και με διακοσμητικές αλλαγές για να φαίνονται δήθεν διαφορετικές), θα μηδενίζονται οι εργασίες όλων των εμπλεκόμενων φοιτητών (απόφαση της Ομάδας Διδακτικού Προσωπικού της ΔΙΠ 50). Βαθμολόγηση: Οι μονάδες που αντιστοιχούν σε κάθε άσκηση και σε κάθε ερώτημα χωριστά δίνονται μέσα σε παρένθεση (σύνολο 100 μονάδες). Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 2 από 11 Για τη μελέτη της ύλης του τόμου Γ´ θα σας χρησιμεύσει ένα φυλλάδιο με τίτλο «Αβεβαιότητα Μέτρησης» που έχει αναρτηθεί στον φάκελο «Συμπληρωματικό Υλικό» του ιστοχώρου της ΔΙΠ50. Το υλικό αυτό αποτελεί μέρος της εξεταστέας ύλης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 1 (15 μονάδες) .gr Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ) στις προτάσεις (α), (γ) - (στ), (η), (θ) και στην τελευταία πρόταση των (β), (ζ) και (ι). Αιτιολογήστε σύντομα μόνο τις απαντήσεις στις οποίες επιλέξατε ΛΑΘΟΣ. (α-1.5) Η μεταβλητότητα των τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης μιας μετρητικής συσκευής οφείλεται μόνο στην αναπαραγωγισιμότητα και στην επαναληψιμότητα της συσκευής. (β-1.5) Ο κατασκευαστής ενός οργάνου μέτρησης με εύρος 0  220 δίνει ακρίβεια μέτρησης  1.2% f.s.d. Με το όργανο αυτό κάνουμε μια μέτρηση το αποτέλεσμα της οποίας είναι 55. Η ακρίβεια της συγκεκριμένης μέτρησης είναι  0.66 . 50 (γ-1.5) Αναπαραγωγισιμότητα ενός οργάνου είναι η ικανότητά του να δείχνει τις ίδιες ενδείξεις για μετρήσεις της ίδιας τιμής του μεγέθους που μετριέται, κάτω από τις ίδιες συνθήκες και μεθόδους μέτρησης, από τον ίδιο χειριστή, σε μετρήσεις που γίνονται σε διαφορετικά εργαστήρια. (δ-1.5) Όταν ο συντελεστής προσδιορισμού ενός προτύπου γραμμικής παλινδρόμησης είναι ίσος με 1, τότε το πρότυπο ερμηνεύει πλήρως τη μεταβλητότητα της εξαρτημένης μεταβλητής. (ε-1.5) Αν ένα όργανο δίνει μετρούμενη τιμή x , της οποίας γνωρίζουμε ότι το σχετικό σφάλμα είναι  , τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την αληθή τιμή xT του μετρούμενου μεγέθους από τη σχέση xT  x .  1 διπ (στ-1.5) Η συσχέτιση μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών X και Y είναι ισχυρότερη όταν   0.9 από ότι όταν   0.7 . (ζ-1.5) Ένα εργαστήριο διαθέτει ένα συγκεκριμένο όργανο για μετρήσεις όγκου. Πριν από κάθε χρήση η ένδειξη του οργάνου μηδενίζεται, δηλαδή γίνεται διακρίβωσή του. (η-1.5) Για τον υπολογισμό των αποτελεσματικών βαθμών ελευθερίας της συνδυασμένης τυπικής αβεβαιότητας χρειάζεται να γνωρίζουμε τις τυπικές αβεβαιότητες των ποσοτήτων που συνεισφέρουν στη μέτρηση, τους βαθμούς ελευθερίας τους, τη συνδυασμένη τυπική αβεβαιότητα και τον συντελεστή κάλυψης. (θ-1.5) Ο ελάχιστος αριθμός παρατηρήσεων της μορφής ( xi1 , xi 2 , xi 3 , yi ) που χρειάζονται για την εκτίμηση των παραμέτρων του προτύπου Y   0   1 x1   2 x 2   3 x3   είναι τέσσερις. (ι-1.5) Έστω ότι εφαρμόζεται η βήμα προς βήμα διαδικασία παλινδρόμησης με το ίδιο επίπεδο σημαντικότητας a για τους ελέγχους εισαγωγής και απαλοιφής μεταβλητών. Η πιθανότητα να διαπραχθεί τουλάχιστον ένα σφάλμα τύπου Ι στους ελέγχους υποθέσεων που γίνονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας είναι ίση με a . Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 3 από 11 Άσκηση 2 (11 μονάδες) Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα ενός πειράματος κατά το οποίο 20 ελαστικά υποβληθήκαν σε έλεγχο για να μετρηθεί ο βαθμός διάβρωσής τους. Για κάθε ελαστικό καταγράφηκαν η συνολική απώλεια βάρους Y (σε κιλά) κατά τη διάρκεια μιας συγκεκριμένης δοκιμασίας, η σκληρότητά του X 1 (στην κλίμακα Shore) και η αντίστασή του X 2 (σε κιλά ανά τετραγωνικό εκατοστό). 1 372 45 162 2 206 55 233 Ελαστικό Απώλεια βάρους Σκληρότητα Αντίσταση 11 164 64 210 12 113 68 210 3 175 61 232 4 154 66 231 5 136 71 231 6 112 71 237 7 55 81 224 8 45 86 219 9 221 53 203 10 166 60 189 13 82 79 196 14 32 81 180 15 228 56 200 16 196 68 173 17 128 75 188 18 97 83 161 19 64 88 119 20 249 59 161 .gr Ελαστικό Απώλεια βάρους Σκληρότητα Αντίσταση (α-4) Χρησιμοποιώντας το ΜΙΝΙΤΑΒ, προσαρμόστε στα δεδομένα το πρότυπο Y   0  1 x1   2 x 2   3 x12   4 x 22   5 x1 x 2   . 50 Σχολιάστε όλες τις τιμές P και το συντελεστή προσδιορισμού του output που προκύπτει. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας μόνο το output, εξετάστε αν η παλινδρόμηση είναι στατιστικά σημαντική σε επίπεδο σημαντικότητας a  0.01 . (β-2) Επαληθεύστε με χρήση κατάλληλων αθροισμάτων τετραγώνων που περιέχονται στο output την τιμή F του ΜΙΝΙΤΑΒ. (γ-2) Επαληθεύστε με χρήση κρίσιμης περιοχής το συμπέρασμά σας σχετικά με τη σημαντικότητα της παλινδρόμησης. (δ-3) Ο υπεύθυνος του πειράματος αποφασίζει να αφαιρέσει όλους τους όρους του προτύπου που περιέχουν την αντίσταση του ελαστικού και στη συνέχεια να προσαρμόσει στα δεδομένα το νέο πρότυπο που προκύπτει. Να εξεταστεί, με χρήση κατάλληλου ελέγχου υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας a  0.01 , αν είναι εύλογη η απόφασή του. Άσκηση 3 (13 μονάδες) διπ Επιλέξτε τη σωστή απάντηση i), ii), iii) ή iv) στα ερωτήματα (α) – (στ) παρακάτω, αιτιολογώντας την απάντησή σας. (α-2) Η διασπορά των μετρήσεων που δίνει ένα όργανο είναι i) μέτρο της μεροληψίας του. ii) μέτρο της επαναληψιμότητάς του. iii) το κατώφλι του. iv) μέτρο της πιστότητάς του. (β-3) Δύο εργαστήρια, Α και Β, πήραν μέρος σε μια δοκιμή που είχε ως σκοπό την αξιολόγηση των μετρήσεων που διεξάγουν. Κατά τη διάρκειά της δοκιμής μετρήθηκε και στα δύο εργαστήρια η περιεκτικότητα ορισμένων συσκευασιών οι οποίες είναι γνωστό ότι κάθε μια περιείχε 500ml σαπούνι. Η ανάλυση των μετρήσεων που πήρε κάθε εργαστήριο έδωσε τα εξής αποτελέσματα x A  498.40 , x B  498.30 , s A  1.90 , s B  1.57 . Ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει; Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 4 από 11 i) Το εργαστήριο Β φαίνεται να υπερέχει ως προς την ορθότητα. ii) Το εργαστήριο Α φαίνεται να υπερέχει ως προς την πιστότητα. iii) Στο 0.10 επίπεδο σημαντικότητας τα εργαστήρια διαφέρουν ως προς την πιστότητα (η τιμή P του ελέγχου F για την ισότητα των διασπορών των μετρήσεων των δύο εργαστηρίων είναι P  0.578 ). iv) Το εργαστήριο Β φαίνεται να υπερέχει ως προς την ακρίβεια. .gr (γ-2) Το τμήμα πυρός μιας ασφαλιστικής εταιρείας εξετάζει τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στο ποσό Y (σε χιλιάδες ευρώ) που καλείται να πληρώσει η εταιρεία σαν αποζημίωση για πυρκαγιά σε κατοικία και την απόσταση X (σε χιλιόμετρα) της κατοικίας από τον κοντινότερο πυροσβεστικό σταθμό. Ο παρακάτω πίνακας προέκυψε από την εφαρμογή ενός προτύπου απλής γραμμικής παλινδρόμησης στα δεδομένα 15 τυχαία επιλεγμένων πρόσφατων αποζημιώσεων του τμήματος πυρός της εταιρείας. The regression equation is Y = 8.96 + 4.49 X Predictor Constant X Coef 8.963 4.4894 SE Coef 2.763 0.6191 P 0.006 0.000 50 S = 3.46880 T 3.24 7.25 διπ Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν ισχύει; i) Η παλινδρόμηση είναι στατιστικά σημαντική σε επίπεδο σημαντικότητας a  0.01 . ii) Μπορούμε να εκτιμήσουμε την διασπορά των σφαλμάτων του προτύπου στηριζόμενοι μόνο στα δεδομένα του παραπάνω πίνακα. iii) Το μέσο ποσό που πληρώνει η εταιρεία αυξάνεται κατά μέσο όρο κατά 8963 ευρώ για κάθε επιπλέον χιλιόμετρο απόστασης της κατοικίας από τον κοντινότερο πυροσβεστικό σταθμό. iv) Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μεταβλητότητα του ποσού που πληρώνει η εταιρεία δεν εξαρτάται από την απόσταση της κατοικίας από τον κοντινότερο πυροσβεστικό σταθμό. (δ-2) Παρακάτω δίνεται ένα διάγραμμα διασκόρπισης της μεταβλητής Y ως προς τη μεταβλητή X . Scatterplot of Y vs X 0,0 -2,5 Y -5,0 -7,5 -10,0 -12,5 -15,0 -17,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 5 από 11 Μία εύλογη τιμή του δειγματικού συντελεστή συσχέτισης r είναι: i)  0.98 . ii)  1.21 . iii)  0.2 . iv) 0.99 . .gr (ε-2) Τα σφάλματα συνημίτονου και ημίτονου οφείλονται i) στην κακή οπτική γωνία από την οποία βλέπει κανείς την ένδειξη του οργάνου μέτρησης. ii) στη μη ευκρινή διαγράμμιση της κλίμακας μέτρησης του οργάνου. iii) στη λανθασμένη ευθυγράμμιση του μετρούμενου αντικειμένου με την κλίμακα μέτρησης του οργάνου. iv) στην περιορισμένη διαχωριστική ικανότητα του ματιού. 50 (στ-2) Ένα βολτόμετρο έχει ακρίβεια ±0.1 V. Τότε η τυπική αβεβαιότητα τύπου Β του βολτόμετρου, η οποία υποθέτουμε ότι ακολουθεί την τριγωνική κατανομή, είναι i) ίση με την τυπική αβεβαιότητά του τύπου Α. ii) πρακτικά ίση με 0. iii) 0.04, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. iv) 0.05, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. Άσκηση 4 (13 μονάδες) O μέγιστος εισπνεόμενος όγκος οξυγόνου αποτελεί μέτρο της εύρυθμης καρδιακής λειτουργίας. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές του μέγιστου εισπνεόμενου ml ) 10 ενηλίκων έπειτα από εντατική όγκου οξυγόνου ( VO 2 max, σε kg  min σωματική άσκηση και η διάρκεια, σε λεπτά, της άσκησης που προηγήθηκε της μέτρησης. VO 2 max 9.5 10.2 10.5 11 11.3 12 12.1 12.5 12.8 13 73 68 74 66 63 54 56 51 55 44 διπ Διάρκεια σωματικής άσκησης (α-3) Να βρεθεί η προσαρμοσμένη ευθεία παλινδρόμησης. Απαντήστε χωρίς MINITAB σε αυτό το ερώτημα. (β-2) Ποιο ποσοστό της ολικής μεταβλητότητας της ποσότητας του μέγιστου εισπνεόμενου όγκου οξυγόνου έχει ερμηνευτεί από την προσαρμογή της ευθείας; Απαντήστε χωρίς MINITAB σε αυτό το ερώτημα. Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 6 από 11 Άσκηση 5 (8 μονάδες) .gr (γ-3) Να ελεγχθεί η σημαντικότητα της παλινδρόμησης στο 0.05 επίπεδο σημαντικότητας. Απαντήστε χωρίς MINITAB σε αυτό το ερώτημα. (δ-3) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα του μέγιστου εισπνεόμενου όγκου οξυγόνου έπειτα από σωματική άσκηση 11.5 λεπτών. Απαντήστε χωρίς MINITAB σε αυτό το ερώτημα. (ε-2) Εκτιμήστε τη διασπορά των σφαλμάτων του προτύπου χρησιμοποιώντας το MINITAB. Μια εταιρεία που κατασκευάζει επενδύσεις τοίχων από απομίμηση πέτρας για κατοικίες και γραφεία προσπαθεί να αναλύσει τις μεταβλητές που καθορίζουν τη ζήτηση του προϊόντος. Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τις μηνιαίες πωλήσεις (σε φύλλα εμβαδού 8 τετραγωνικών μέτρων), το μηνιαίο αριθμό των οικοδομικών αδειών που εκδόθηκαν, το επιτόκιο πενταετίας των στεγαστικών δανείων, το ποσοστό ξενοίκιαστων διαμερισμάτων και το ποσοστό ξενοίκιαστων γραφείων στην Ελλάδα για τα τελευταία δύο χρόνια. 1 328 49 8.35 2 376 79 8.08 3 373 79 7.90 4 144 50 7.69 5 194 37 7 6 220 53 7.32 7 126 22 8.40 8 301 69 8.28 9 54 21 8.00 50 Μήνας Πωλήσεις Αριθμός αδειών Επιτόκιο Ξενοίκιαστα διαμερίσματα Ξενοίκιαστα γραφεία Μήνας Πωλήσεις Αριθμός αδειών Επιτόκιο Ξενοίκιαστα διαμερίσματα Ξενοίκιαστα γραφεία 10 252 46 8.95 11 381 79 8.21 12 173 30 7.24 2.98 5.60 2.25 4.26 2.60 2.97 5.35 3.13 5.60 4.81 5.88 2.98 13.43 14.51 14.24 14.30 11.64 10.61 18.45 18.52 10.29 11.91 17.75 18.16 13 152 38 7.35 14 351 73 7.27 15 233 55 7.08 16 35 12 7.76 17 290 62 8.21 18 5 12 7.76 19 335 60 7.20 20 280 49 7.57 21 101 14 8.44 22 297 66 8.43 23 309 62 8.14 24 233 40 8.81 5.69 4.86 5.68 4.46 2.23 5.00 2.42 3.25 3.61 2.13 4.35 2.31 17.14 16.11 18.54 19.46 19.26 17.28 15.15 19.94 15.47 12.75 12.24 18.65 διπ (α-3) Με χρήση ΜΙΝΙΤΑΒ εφαρμόστε τη μέθοδο της πίσω απαλοιφής στα παραπάνω δεδομένα, με επίπεδο σημαντικότητας a 2  0.1 . Αναφέρετε ποια μεταβλητή αφαιρείται από το πρότυπο σε κάθε βήμα και το λόγο για τον οποίο αφαιρείται. Ποιο είναι το πρότυπο στο οποίο καταλήγει η διαδικασία; (β-2) Με χρήση ΜΙΝΙΤΑΒ εφαρμόστε τη βήμα προς βήμα διαδικασία παλινδρόμησης με a1  a 2  0.15 . Ποιο είναι το πρότυπο στο οποίο καταλήγει η διαδικασία; (γ-3) Αν διαφέρουν τα τελικά πρότυπα που προκύπτουν από την εφαρμογή των δυο παραπάνω μεθόδων, εξηγήστε το λόγο για τον οποίο συμβαίνει αυτό. Επίσης αναφέρετε ποιο πρότυπο προτιμάτε και γιατί. Άσκηση 6 (8 μονάδες) Η ισχύς P σε Watt (W) που καταναλώνεται σε έναν ηλεκτρικό θερμαντήρα υπολογίζεται με τη σχέση P  E 2 / R , όπου E η πτώση τάσης σε Volt (V) και R η αντίσταση σε Ohm (Ω). Έστω ότι ένας θερμαντήρας έχει αντίσταση 100 Ω και πτώση τάσης 100V. (α-3) Η αντίσταση του θερμαντήρα μετριέται με ένα ωμόμετρο 10 φορές, με σκοπό να εξακριβωθεί εάν εμφανίζεται κάποιο συστηματικό σφάλμα κατά τη μέτρηση. Αν τα αποτελέσματα των 10 μετρήσεων είναι Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 7 από 11 .gr 100.01, 99.90, 99.95, 101.00, 100.02, 100.00, 98.50, 101.50, 99.00, 99.85 να εξετάσετε με το κριτήριο των τριών τυπικών αποκλίσεων αν υπάρχει παρασιτικό σφάλμα στη μέτρηση της αντίστασης. (β-3) Επιπλέον γίνονται οι ακόλουθες 10 μετρήσεις για την πτώση τάσης Ε, 100.05, 97.25, 99.80, 102.00, 100.00, 100.00, 99.95, 99.00, 99.00, 101.00. Με βάση τις μετρήσεις αυτές και τις μετρήσεις από το ερώτημα (α) να υπολογίσετε το τυπικό σφάλμα της καταναλισκόμενης ισχύος του θερμαντήρα. (γ-2) Να υπολογιστεί το πιθανό σύνθετο σφάλμα της καταναλισκόμενης ισχύος του θερμαντήρα. Άσκηση 7 (10 μονάδες) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση σε καθένα από τα παρακάτω ερωτήματα. Δεν απαιτείται αιτιολόγηση. (α-1) Ένα παχύμετρο διακριβώνεται κάθε 120 ημέρες. Σε ένα έλεγχο ρουτίνας που πραγματοποιείται το παχύμετρο βρίσκεται εκτός των ανοχών που δίνονται από τον κατασκευαστή του. Τότε το νέο διάστημα επαναδιακρίβωσης του παχυμέτρου, σε ημέρες, είναι β. 100 γ. 54 δ. 120 ε. 60 στ. 30 50 α. 132 (β-1) Ο παρακάτω (ελλιπής) πίνακας ανάλυσης διασποράς προέκυψε από την προσαρμογή ενός προτύπου απλής γραμμικής παλινδρόμησης. The regression equation is Y = 133 - 2,10 X Analysis of Variance Source Regression Total DF 1 8 SS 584.08 MS 584.08 F 16.22 P 0.005 διπ Ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης των X , Y είναι ίσος με α. 0.483 β. 0.698 γ.  0.698 δ.  0.836 ε. 0.836 στ.  0.389 (γ-1) Κατά την προσαρμογή ενός προτύπου απλής γραμμικής παλινδρόμησης Y |x   0  1 x σε 10 ζεύγη παρατηρήσεων υπολογίστηκαν: η προσαρμοσμένη ευθεία παλινδρόμησης yˆ  1.04  0.89 x , η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης των σφαλμάτων s  0.96 , και τα αθροίσματα x i  41, x 2 i  289 . Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την παράμετρο  1 , με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, είναι το α. (  0.89 , 0.45) δ. (0.59, 1.29) β. (0.39, 0.53) ε. (0.69, 1.09) γ. (  0.45 , 2.24) στ. Δεν μπορεί να προσδιοριστεί (δ-1) Σε ένα μανόμετρο με εύρος μέτρησης 0  200 bar, ο κατασκευαστής δίνει ακρίβεια μέτρησης  1.5% f.s.d.. Σε μια μέτρηση 60 bar η ακρίβεια του μανομέτρου θα είναι Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 8 από 11 α. 5% β. 10% γ. 1% δ. 30% ε. 9% στ. 1.5% (ε-1) Ένας μετεωρολόγος θεωρεί ότι η μέση ημερήσια θερμοκρασία (Y ) μίας τοποθεσίας εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος X 1 , το γεωγραφικό μήκος X 2 και το υψόμετρο X 3 της τοποθεσίας. Προσάρμοσε στα δεδομένα 30 μετεωρολογικών σταθμών ένα πρότυπο πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης και βρήκε ότι yˆ  101  2 x1  0.3x 2  0.003x3 . β.  0.001 α. 0.001 .gr Θέλουμε να ελέγξουμε τη μηδενική υπόθεση ότι ο συντελεστής του υψομέτρου στο πρότυπο είναι μηδέν έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης ότι ο συντελεστής του υψομέτρου είναι αρνητικός, σε επίπεδο σημαντικότητας a  0.05 . Εάν το τυπικό σφάλμα της σ.σ. B3 είναι s ( B3 )  0.001 , τότε το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου είναι γ. 0.00324 δ. 0.0029427 ε. 1.2231 στ. 0.0058854 50 (στ-1) Κατά τη διακρίβωση ενός μανομέτρου έχει υπολογιστεί ότι η συνδυασμένη τυπική αβεβαιότητα είναι u c ( y )  3.4bar . Τότε για άπειρους βαθμούς ελευθερίας, η εκτεταμένη αβεβαιότητα, σε bar, που σχετίζεται με τη διακρίβωση του μανομέτρου, σε επίπεδο εμπιστοσύνης 90% είναι α. 3.4 β. 6.664 γ. 6.8 δ. 8.772 ε. 10.2 στ. 5.593 (ζ-1) Ένα ψυγείο είναι ρυθμισμένο να λειτουργεί στους +5ο C. Μετρήσαμε με ένα ευαίσθητο θερμόμετρο τη θερμοκρασία του ψυγείου 10 φορές και πήραμε τις εξής μετρήσεις 5.05, 5.10, 4.90, 4.90, 4.90, 5.05, 4.95, 5.00, 5.05, 4.95. Η ακρίβεια του θερμομέτρου είναι ίση με α.  0.0056 β. 0.0747 γ. 4.985 δ. 0.0056 στ.  0.056 ε. 0.005825 διπ (η-1) Μια σελίδα τετραδίου έχει μήκος A , πλάτος B και εμβαδόν Y . Εάν λόγω ατελειών στην παραγωγική διαδικασία των τετραδίων η μέση τιμή του A είναι 27cm και η διασπορά του 0.01cm ενώ η μέση τιμή του B είναι 21cm και η διασπορά του 0.01cm, το προσεγγιστικό τυπικό σφάλμα του εμβαδού Y της σελίδας είναι α. 1.21 β. 0.01 γ. 567 δ. 3.42 ε. 0.0001 στ. 0.001 (θ-1) Σύμφωνα με τον Νόμο του Ωμ (Οhm), η τάση V στα άκρα ενός κυκλώματος ισούται με το γινόμενο της τιμής της ηλεκτρικής αντίστασης R επί την τιμή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος Ι που διαρρέει το κύκλωμα, δηλαδή V  I  R . Ποιος από τους παρακάτω τύπους δίνει το πιθανό σύνθετο σφάλμα στη μέτρηση της ηλεκτρικής τάσης  V , αν τα πιθανά σφάλματα για την μέτρηση της ηλεκτρικής αντίστασης και της έντασης του ρεύματος είναι   R και   I αντίστοιχα; α.  V  I 2  2 I  R 2  2 R γ.  V  R   I  I   R ε.  V  0.645   1  2 I  2 R n 1 Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14)  β.  V  R 2  2 I  I 2  2 R δ.  V  R   I  I   R στ.  V  2 I  2 R Σελίδα 9 από 11 (ι-1) Τρία πρότυπα πλακίδια ονομαστικού μήκους 15, 20 και 12 mm αντίστοιχα μετρώνται για να προκύψει η σύνθετη μέτρηση y  x1  2 x2  x3 , όπου xi , i  1,2,3 η μέτρηση του μήκους του πλακιδίου i . Το συστηματικό σφάλμα της μέτρησης κάθε L   πλακιδίου είναι  x   0.05   mm, όπου το L είναι το ονομαστικό μήκος του 100   σε mm. Ποιό είναι το μέγιστο συστηματικό σφάλμα, σε mm, για τη σύνθετη μέτρηση; β. 0.62 Άσκηση 8 (9 μονάδες) γ. 0.28 δ. 0.7 ε. 0.87 στ. 0.15 .gr α. 0.53 50 Η μονοαξονική εφελκυστική αντοχή μιας χαλύβδινης ράβδου τετραγωνικής διατομής μπορεί να προσδιοριστεί από τη δοκιμή άμεσου εφελκυσμού. Ως εφελκυστική αντοχή του χάλυβα λαμβάνεται η ομοιόμορφη τάση  (μετρημένη σε N/m2 ) που ασκείται στη ράβδο κατά τη θραύση, η οποία δίνεται από τον τύπο P  2 a όπου P είναι η ασκούμενη εφελκυστική δύναμη κατά τη θραύση και a είναι το μήκος πλευράς της τετραγωνικής διατομής του δοκιμίου. Η εφελκυστική δύναμη ενός δοκιμίου μετράται σε 4 επαναληπτικές μετρήσεις και η διασπορά των μετρήσεων είναι ίση με 0.1225 N 2 . Η κλίμακα μέτρησης της εφελκυστικής δύναμης έχει ακρίβεια  2% και η αβεβαιότητα ακολουθεί την τριγωνική κατανομή. Η κλίμακα μέτρησης του μήκους της πλευράς της διατομής έχει ακρίβεια  0.03 m και η αβεβαιότητά της ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή. Η πλευρά της διατομής a , μετρήθηκε 10 φορές και τα αποτελέσματα σε m, είναι τα ακόλουθα: 0.31, 0.29, 0.33, 0.32, 0.31, 0.31, 0.27, 0.29, 0.29, 0.28. διπ Έστω ότι η εφελκυστική δύναμη που πρέπει να ασκηθεί σε ένα συγκεκριμένο δοκίμιο πλευράς 0.3m κατά τη θραύση είναι 5Ν. (α-2) Να υπολογιστεί η συνδυασμένη τυπική αβεβαιότητα της μέτρησης της εφελκυστικής δύναμης. (β-2) Να υπολογιστεί η συνδυασμένη τυπική αβεβαιότητα της μέτρησης της πλευράς της διατομής. (γ-3) Να υπολογιστεί η συνδυασμένη τυπική αβεβαιότητα της μέτρησης της μονοαξονικής εφελκυστικής αντοχής. (δ-2) Να υπολογιστεί η εκτεταμένη τυπική αβεβαιότητα της εφελκυστικής αντοχής σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95.45% (υποθέστε ότι οι αποτελεσματικοί βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στην συνδυασμένη τυπική αβεβαιότητα είναι άπειροι). Άσκηση 9 (13 μονάδες) Μια μεσίτρια πιστεύει ότι η τιμή πώλησης Y (σε χιλιάδες ευρώ) μιας μονοκατοικίας εξαρτάται από την έκταση X 1 (σε στρέμματα) του οικοπέδου στο οποίο είναι κτισμένη, το εμβαδό της X 2 (σε τετραγωνικά μέτρα), και την παλαιότητά της X 3 (σε χρόνια). Ο παρακάτω (ελλιπής) πίνακας ανάλυσης διασποράς προέκυψε κατά την προσαρμογή του προτύπου Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 10 από 11  Y | x , x , x   0  1 x1   2 x 2   3 x3 1 2 3 στα δεδομένα n πρόσφατων (τυχαία επιλεγμένων) πωλήσεων μονοκατοικιών από τη μεσίτρια. Regression Analysis: Τιμή πώλησης versus Έκταση; Εμβαδό; Παλαιότητα. Predictor Constant Έκταση Εμβαδό Παλαιότητα S = ... Coef 200.40 13.60 0.9738 -7.441 R-Sq = ... Analysis of Variance DF .. .. 12 SE Coef 85.90 22.84 0.4134 1.916 T 2.33 0.60 2.36 -3.88 P 0.045 0.566 0.043 0.004 R-Sq(adj) = 85.2% SS ... ... 107004 MS .. .. F 23.94 P ... 50 Source Regression Residual Error Total .gr The regression equation is Τιμή πώλησης = 200 + 13.6 Έκταση + 0.974 Εμβαδό - 7.44 Παλαιότητα Source Έκταση Εμβαδό Παλαιότητα DF 1 1 1 Seq SS 65905 9200 19982 διπ (α-3) Είναι η παλινδρόμηση στατιστικά σημαντική στο 0.05 επίπεδο σημαντικότητας; (β-2) Ποιο ποσοστό της ολικής μεταβλητότητας της τιμής πώλησης μιας μονοκατοικίας παραμένει ανερμήνευτο μετά την προσαρμογή του προτύπου; (γ-3) Είναι στατιστικά σημαντικό, στο 0.05 επίπεδο σημαντικότητας, το πρότυπο απλής γραμμικής παλινδρόμησης με μοναδική ανεξάρτητη μεταβλητή την «έκταση»; (δ-2) Έρχεται η απάντησή σας στο ερώτημα (γ) σε αντίθεση με την τιμή P  0.566 του output; Εξηγείστε. (ε-3) Είναι στατιστικά σημαντική, στο 0.05 επίπεδο σημαντικότητας, η ταυτόχρονη προσθήκη των μεταβλητών «εμβαδό» και «παλαιότητα» στο πρότυπο γραμμικής παλινδρόμησης που περιέχει μόνο τη μεταβλητή «έκταση»; ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Θ.Ε. ΔΙΠ 50: Εργασία 4 (2013-14) Σελίδα 11 από 11