Dinamica dei Sistemi Aerospaziali
(DSA)
Revisione 23 ottobre 2014
Indice
1 Dinamica del corpo rigido
1.1 Sistemi fisici e modelli matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 I sistemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Gradi di libert`
a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Gradi di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto
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fisso
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2 Scrittura delle equazioni di moto mediante
2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . .
2.2 Il teorema dell’Energia Cinetica . . . . . . .
2.3 Le equazioni di Lagrange (di IIo tipo) . . .
2.4 Le equazioni di Lagrange (di Io tipo) . . . .
2.5 Metodo di Gauss . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi
3.1 I sistemi di corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dipendenza dell’equilibrio dalla configurazione . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Forze dipendenti dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Esempio: il manovellismo ordinario centrato . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera . . .
3.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico . . . . . .
3.3.5 Equazione del moto mediante Teorema dell’Energia Cinetica
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4 Dinamica mediante le equazioni di Lagrange
4.1 Equazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Funzione di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Scrittura dell’equazione di moto del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Linearizzazione dell’equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero . . . .
4.3.2 Procedure per la linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Linearizzazione diretta dell’equazione del moto . . . . . . . . . . .
4.3.4 Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione
4.3.5 Utilizzo dell’equazione di moto linearizzata . . . . . . . . . . . . .
4.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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i
approcci
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energetici
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5 Sistemi vibranti ad un grado di libert`
a — Parte I
5.1 Meccanica delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Moto libero non smorzato . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Vibrazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Moto forzato per spostamento del vincolo . . . . . .
5.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica . .
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6 Cenni sulla stabilit`
a
6.1 Che cosa si intende per stabilit`
a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Definizione di stabilit`
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Stabilit`a ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio . .
6.3.2 Stabilit`a della soluzione del problema linearizzato . . . . .
6.3.3 Validit`a dello studio del problema linearizzato . . . . . . .
6.4 Stabilit`a statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Stabilit`a statica ed energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Stabilit`a da un punto di vista energetico . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Applicazione alla stabilit`
a di un sistema meccanico . . . .
6.7.2 Esempio di studio della stabilit`
a di un sistema nonlineare
6.7.3 Interpretazione in termini di stabilit`
a statica . . . . . . .
6.8 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Azioni mutue tra elementi di macchine — Parte I
7.1 Attrito di strisciamento nei solidi a contatto . . . . . . . . . . .
7.2 Usura nel contatto tra solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante
7.2.2 Esempio: innesto a frizione . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento . . .
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8 Dinamica della macchina a un grado di libert`
a
8.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Espressione della potenza motrice e della potenza resistente . . . . .
8.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto di motore e utilizzatore
8.1.3 La trasmissione: espressione della potenza perduta . . . . . . . . . .
8.1.4 Esempio illustrativo: piani inclinati con attrito . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di libert`
a .
8.2 La macchina a regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi .
8.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Macchina in regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Funzionamento in regime periodico: irregolarit`
a periodica . . . . . .
8.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna . . .
8.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua . . . . . .
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9 Azionamento elettromeccanico in corrente continua
9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . .
9.2.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Architettura generale . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Forza elettromotrice indotta . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Coppia motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.5 Contatti striscianti . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.6 Potenza elettromeccanica . . . . . . . . . . . . .
9.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c. . . . .
9.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico
9.3 L’azionamento in corrente continua . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Controllo in tensione . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Controllo in corrente . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Azionamento in c.c. di un compressore . . . . . .
9.3.4 L’analisi di stabilit`
a del sistema . . . . . . . . . .
9.4 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici . . .
9.4.1 Approccio in corrente . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Approccio in tensione . . . . . . . . . . . . . . .
10 Azioni mutue tra elementi di macchine — Parte II
10.1 Azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Teoria elementare della lubrificazione . . . . . . . . .
10.2.1 Descrizione del problema . . . . . . . . . . .
10.2.2 Fluidodinamica del lubrificante . . . . . . . .
10.2.3 Lubrificazione idrostatica . . . . . . . . . . .
10.2.4 Lubrificazione idrodinamica . . . . . . . . . .
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. 10-3
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(orifizio)
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13 Sistemi vibranti a pi`
u gradi di libert`
a
13.1 Sistemi a pi`
u gradi di libert`
a non smorzati . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Moto libero: modi propri di vibrare . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Ortogonalit`a dei modi propri . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Risposta a forzanti armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Considerazioni sull’utilizzo dell’approccio modale . . . . . .
13.2.3 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero
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11 Modellazione elementi a fluido
11.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati . .
11.1.1 Colpo d’ariete . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura
11.1.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . .
11.1.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . .
12 Sistemi vibranti ad un grado di libert`
a — Parte II
12.1 Identificazione dello smorzamento . . . . . . . . . . .
12.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero . . . . . .
12.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato . . . . .
12.1.3 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . .
12.2 Isolamento delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Strumenti di misura delle vibrazioni . . . . . . . . .
12.4 Risposta a forzante impulsiva . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Impulso di quantit`a di moto . . . . . . . . . .
12.4.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Generalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . .
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13.3 Applicazione: assorbitore dinamico . .
13.4 Vibrazioni forzate smorzate . . . . . .
13.4.1 Smorzamento proporzionale . .
13.4.2 Smorzamento isteretico . . . .
13.4.3 Smorzamento viscoso generico .
13.5 Dal continuo al discreto . . . . . . . .
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14 Rappresentazione agli stati di sistemi vibranti e modelli approssimati
14.1 Rappresentazione agli stati nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Integrale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2 Integrale particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Rappresentazione agli stati nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . .
14.3 Realizzazione agli stati di una funzione di trasferimento . . . . . . . . . .
14.3.1 Invarianza di una rappresentazione agli stati . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Raggiungibilit`
a ed osservabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.3 Verifica intuitiva del criterio di osservabilit`a . . . . . . . . . . . . .
14.4 Rappresentazione agli stati di problemi meccanici . . . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2 Forma canonica di controllabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3 Forma canonica di osservabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Risposta a forzanti specifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2 Risposta a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.1 Approssimazione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.3 Residualizzazione degli stati “veloci” . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.4 Accelerazione dei modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 Sistemi immersi in campi di forza
15.1 Sistemi ad un grado di libert`
a . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Freno a disco . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2 Campo di forze aerodinamico . . . . . . . .
15.2 Sistemi vibranti a 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Campo di forze puramente posizionale . . .
15.2.2 Instabilit`
a aeroelastica della “sezione tipica”
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A Cenni di dinamica del corpo rigido nello spazio
A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Dinamica del corpo rigido nello spazio . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Richiami di calcolo vettoriale in notazione matriciale
A.2.2 Cinematica del punto materiale nello spazio . . . . .
A.2.3 Descrizione delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.4 Forze e coppie d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.5 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.6 Applicazione al caso piano . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Fenomeni giroscopici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Coppia d’inerzia in un sistema di riferimento relativo
A.3.2 Misura della velocit`
a di rotazione: il giroscopio . . .
A.4 Esercizio: pala rigida di elicottero nel vuoto . . . . . . . . .
A.5 Esercizio: trottola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A-11
A-11
A-12
A-16
A-19
A-24
B Esempi di azionamenti idraulici
B.1 Valvola a doppio getto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.3 Incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.4 Bilancio di portata della camera 1 del pistone .
B.1.5 Bilancio di portata della camera 2 del pistone .
B.1.6 Bilancio di portata della camera 1 della valvola
B.1.7 Bilancio di portata della camera 2 della valvola
B.1.8 Equazione di moto del pistone . . . . . . . . .
B.1.9 Equazione di moto del flap . . . . . . . . . . .
B.1.10 Equazione del motore elettrico . . . . . . . . .
B.1.11 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.12 Comportamento del sistema . . . . . . . . . . .
B.2 Attuatore collegato ad un sistema dinamico . . . . . .
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B-4
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B-5
B-5
B-5
B-6
B-6
B-7
B-7
C Procedure per l’impostazione e la soluzione dei problemi
C.1 Comprensione e scrittura del problema . . . . . . . . . . . .
C.1.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.2 Scrittura delle equazioni del moto . . . . . . . . . .
C.1.3 Scrittura delle relazioni costitutive . . . . . . . . . .
C.1.4 Mettiamo tutto insieme . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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C-1
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D Note sull’uso dell’equazione di chiusura
D.1 Dipendenza esplicita . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Dipendenza implicita . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.3 Cinematica nella scrittura delle equazioni del moto
D.4 Esempio: manovellismo ordinario . . . . . . . . . .
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E Breviario ad (ab)uso degli studenti
E.1 Primo Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2.1 Corollario della viralit`a del moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2.2 Lemma della singolarit`a della distribuzione delle masse. . . . . . . . . . . . . . . .
E.2.3 Corollario dell’incompatibilit`
a tra regime e forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . .
E.2.4 Sull’opportunit`
a di considerare due volte le forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . .
E.3 Teorema del triangolo isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.1 Corollario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4 Lemma della crasi tra definizioni diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.5 Teorema del calcolo delle frequenze caratteristiche di sistemi meccanici descritti da equazioni
disaccoppiate (o della “ammuina”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.6 Sulla vera definizione di energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.7 Teorema dell’aderenza media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.8 La funzione ‘segno’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.9 Trasformata di Laplace di sistemi a pi`
u gradi di libert`
a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.10 Omicidi matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.11 Esercizio: trova l’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E-1
E-1
E-1
E-2
E-2
E-2
E-2
E-3
E-3
E-3
F Soluzione esercizi
F-1
v
E-3
E-4
E-4
E-4
E-4
E-4
E-5
vi
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
Un sistema meccanico a due gradi di libert`
a (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4
Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-6
Componenti della forza d’inerzia agente sul punto P di un corpo rigido con un punto fisso. 1-9
Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘diagramma di corpo libero’). . . . . . . . . . . . . . 1-9
Sistema equipollente delle forze d’inerzia (a sinistra) e loro reale distribuzione (a destra)
in un’asta incernierata ad un estremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11
2.1
2.2
Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio. . . . . . . . . . . . 2-2
Joseph-Louis Lagrange, nato Giuseppe Lodovico Lagrangia o ancora Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 — Parigi, 10 aprile 1813). . . . . . . . . . . 2-6
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3-3
3-4
3-6
3-9
Motore alternativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carrello di atterraggio (carrello principale di un F18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva caratteristica di una molla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Galleggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento sperimentale (o ) e approssimato delle forze di attrito secco, viscoso e con legge
quadratica in funzione della velocit`
a relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Il manovellismo ordinario centrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 L’equazione di chiusura per l’analisi cinematica; il punto B ′ indica lo schema di montaggio
corrispondente alla radice negativa nell’equazione (3.28), che corrisponde ad un cambio di
osservatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla
fase di aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico. . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Ciclo ideale termodinamico per unit`a di volume d’aria aspirata. . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Approssimazione della biella a masse concentrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Le forze agenti sul sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-10
3-11
3-11
3-13
3-14
3-15
3-15
3-16
4.1
Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo. . . . . . . . . 4-8
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
Velivolo in atterraggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema vibrante a un grado di libert`
a, senza attrito. . . . . . . . . .
Oscillazione armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscillatore smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscillazione smorzata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta supercritica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta critica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratteristiche della soluzione al variare del fattore di smorzamento
Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento. .
Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato. . . . . . . . . .
Sistema vibrante per spostamento del vincolo. . . . . . . . . . . . . .
Sistema vibrante per squilibrio dinamico. . . . . . . . . . . . . . . .
vii
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5-2
5-2
5-3
5-4
5-5
5-7
5-8
5-8
5-9
5-9
5-11
5-12
5-13
5.14 Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-15
5.15 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω0
`e indicato con ω/ωn , lo smorzamento r `e indicato con c, mentre la fase φ `e rappresentata
con segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-16
5.16 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . 5-17
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Stabilit`a del pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilit`a in presenza di attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transizione da stabilit`
a ad instabilit`
a al variare di parametri del sistema.
Sistema meccanico ad un grado di libert`
a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema meccanico ad un grado di libert`
a in un sistema rotante. . . . . . .
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi. . . . . . . . .
Attrito statico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocit`
a relativa. . .
Perno rotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Innesto a frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Velocit`
a dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . .
Innesto a frizione — dettaglio del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Innesto a frizione — dettaglio della campana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Velocit`
a del motore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . . . .
Velocit`
a di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto
frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficiente di resistenza al rotolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di funzionamento della ruota strada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale. . . . . .
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
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6-5
6-5
6-8
6-10
6-11
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. . . .
della
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. . . .
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. . . .
7-2
7-3
7-4
7-5
7-7
7-9
7-10
7-10
7-11
Schema della macchina a un grado di libert`
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flussi di potenza attraverso la trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito. . .
Schema della macchina ad un grado di libert`
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impianto di sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratteristica del motore asincrono trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto di
sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
9.2
9.3
Principio di funzionamento del motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . .
Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore
elettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N ; il valore fornito dalla singola spira
tende rapidamente al valor medio 2/π, pari a circa 0.63662. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Il modello del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Il modello essenziale del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di
alimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata da
un generico utilizzatore, cambiata di segno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Un carico inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Schema a blocchi del sistema in anello aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico
in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10 Schema a blocchi del sistema in anello chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
7-12
7-13
7-13
7-14
7-15
7-16
8-2
8-5
8-8
8-10
8-13
8-14
8-14
8-16
9-2
9-2
9-5
9-7
9-7
9-8
9-9
9-10
9-11
9-12
9.11 Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.12 Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.13 Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.14 Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.15 Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche . . . . . . .
9.16 Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore . . . . . . . . . . .
9.17 Induttore e condensatore (LC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.18 Resistore, induttore e condensatore (RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19 Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9-13
9-13
9-16
9-16
9-17
9-18
9-23
9-24
9-26
10.1 Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente di
resistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b). . . . . . .
10.2 Schematizzazione del moto laminare di un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo. . . . .
10.4 Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria. . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Perno lubrificato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dell’attrito mediato dalla velocit`
a relativa. . . . .
10-2
10-3
10-5
10-7
10-10
10-10
11.1
11.2
11.3
11.4
11-11
11-12
11-14
11-16
Variazione di pressione massima in una condotta
Orifizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . .
Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . .
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12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
Identificazione dello smorzamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Validit`a dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (12.6).
Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema soggetto a vibrazione del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno ω/ω0 `e
indicato con ω/ωn , lo smorzamento r `e indicato con c, mentre la fase φ `e rappresentata
con segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Accelerometro piezoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini. . . . . . . . . . . . . . . . .
12.10Approssimazioni di un impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.11Funzione impulso: δ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.12Funzione scalino: step(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.13Funzione scalino approssimata come (1 + tanh(αt))/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.14Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la
funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per
consentirne il confronto visivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.15Funzione discontinua con salto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12-14
12-15
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13-1
13-4
13-11
13-13
13-14
13-15
13-16
13-20
Sistema dinamico a 2 gradi di libert`
a. . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di libert`
a.
Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di libert`
a. . . . . .
Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dell’alta tensione.
Modello dell’assorbitore dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta della massa 1 dell’assorbitore dinamico. . . . . . . . . . .
Sistema vibrante a 2 gradi di libert`
a smorzato. . . . . . . . . . . .
Torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . . . . . . . .
ix
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.
12-2
12-2
12-5
12-5
12-6
12-8
12-9
12-10
12-12
12-12
12-12
12-13
12-13
13.9 Modello ad un grado di libert`
a per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . 13-21
13.10Modello a due gradi di libert`
a per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . 13-22
14.1 Esempio di applicazione dell’accelerazione dei modi. . . .
14.2 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la
lo spostamento della massa 1. . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la
lo spostamento della massa 2. . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la
l’azione interna nella molla 2. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
forza
. . .
forza
. . .
forza
. . .
. . . . . . . . . . . .
applicata alla massa
. . . . . . . . . . . .
applicata alla massa
. . . . . . . . . . . .
applicata alla massa
. . . . . . . . . . . .
. . .
2e
. . .
2e
. . .
2e
. . .
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
Freno a disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composizione delle velocit`
a di vento V∞ e corpo x.
˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Decomposizione della forza aerodinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auto da corsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema a 2 gdl immerso in un campo di forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autovalori di un sistema conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autovalori di un sistema non conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano. . . . . . . . .
Composizione delle velocit`
a del vento V∞ e del corpo x˙ a dare l’angolo di incidenza
cinematico ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.10Curve CL -α, CD -α e CM -α del profilo NACA 0009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.11Coalescenza, al crescere della velocit`
a V∞ , di due frequenze proprie; per semplicit`
a sono
mostrate solo le radici con parte immaginaria positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1
A.2
A.3
A.4
A.5
A.6
A.7
Il giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sequenza di rotazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un Control Moment Gyro (CMG) della ECP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effetto della coppia giroscopica sulla forcella anteriore di una motocicletta. . . . . . . . .
Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modello semplificato di pala di elicottero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemi di riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine dell’elicottero tratta
da http://www.midisegni.it/disegni/vari/elicottero.gif). . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Descrizione dell’orientazione della trottola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9 Traiettoria del baricentro della trottola per condizioni iniziali di precessione “retrocedente”
positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14-24
14-26
14-27
14-28
15-1
15-3
15-3
15-4
15-7
15-10
15-11
15-12
15-13
15-15
15-17
A-1
A-6
A-15
A-15
A-17
A-19
A-20
A-24
A-28
B.1 Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2
x
Elenco delle tabelle
3.1
Rigidezze equivalenti di travi variamente vincolate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-8
8.1
Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione . . . . . . . . . 8-7
xi
Introduzione
Queste dispense costituiscono una parte essenziale del materiale didattico a supporto del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, relativo al corso di laurea in Ingegneria Aerospaziale, Facolt`
a di Ingegneria
Industriale del Politecnico di Milano.
Il contenuto `e il risultato del lavoro di alcuni docenti, in particolare dei Proff. Andrea Curami e
Ferruccio Resta, del Dipartimento di Meccanica, e del Prof. Paolo Mantegazza e dell’Ing. Pierangelo
Masarati, del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale.
L’ispirazione `e tratta da testi classici della Meccanica Razionale, della Meccanica Applicata e della
Dinamica dei Sistemi, a cui sono state aggiunte elaborazioni personali, frutto dell’esperienza didattica
` ormai impossibile identificare
e di ricerca sia degli autori che dei colleghi dei rispettivi Dipartimenti. E
con precisione l’autore di specifiche parti di questo materiale; per questo motivo, non sono riportate
attribuzioni a specifiche persone. Un sentito ringraziamento va ai colleghi che hanno in qualche modo
contribuito alla sua stesura.
Le dispense sono per definizione materiale in continua evoluzione. Anche per questo motivo possono
contenere materiale incompleto o errori nelle formule, nella sintassi, o parti di difficile comprensione. Gli
autori sono grati al lettore attento che volesse segnalare eventuali errori o suggerire possibili migliorie,
da indirizzare preferibilmente per posta elettronica a [email protected].
Notazione
Nella stesura di queste note si `e cercato da una parte di usare una notazione il pi`
u possibile uniforme, e
dall’altra di mutuare i simboli e i formalismi dalla letteratura pi`
u consolidata.
In genere, i vettori sono indicati sovrapponendo una freccia al simbolo, ad esempio ~a per indicare un
vettore di nome a.
Le operazioni tra vettori seguono la notazione tradizionale italo-tedesca, in continuit`
a con il testo di
Meccanica Razionale del Prof. Bruno Finzi. Dati due vettori ~a e ~b, rappresentabili in base cartesiana
come
~a = ax~i + ay~j + az~k
~b = bx~i + by~j + bz~k
in funzione delle loro componenti ax , ay , az e bx , by e bz , e dei versori degli assi, ~i, ~j e ~k, il loro prodotto
scalare viene indicato con ~a × ~b, ovvero
~a × ~b = ax bx + ay by + az bz .
Il loro prodotto vettore,
~i
~j
~
~a ∧ b = ax ay
bx by
(1)
invece, viene indicato con ~a ∧ ~b, ovvero
~k az = (ay bz − az by )~i + (az bx − ax bz ) ~j + (ax by − ay bx ) ~k.
bz (2)
Questa notazione differisce da quella anglosassone, che caratterizza la letteratura pi`
u recente. La
notazione anglosassone indica il prodotto scalare con ~a · ~b, e il prodotto vettore con ~a × ~b. Si noti come
I-1
quest’ultimo crei confusione con il simbolo del prodotto scalare utilizzato nella notazione di tradizione
italo-tedesca. Per questo motivo si richiede al lettore di prestare particolare attenzione nella lettura delle
operazioni vettoriali.
Il significato dei simboli dovrebbe comunque essere chiaro dal contesto, in quanto l’operazione di
prodotto scalare d`a come risultato uno scalare, mentre l’operazione di prodotto vettorie d`a come risultato
un vettore.
In origine, per i problemi a pi`
u gradi di libert`
a si era utilizzato un formalismo basato sulle parentesi
per distinguere scalari, vettori e matrici: gli scalari erano indicati con semplici caratteri in corsivo (ad
esempio g); i vettori erano indicati con caratteri in corsivo inseriti tra parentesi graffe (ad esempio {x});
le matrici erano indicate con caratteri in corsivo inseriti tra parentesi quadre (ad esempio [M ]). Tale
formalismo `e mantenuto in alcuni capitoli e paragrafi; in generale, le parentesi sono tuttora usate per
raggruppare entit`a costituite da sotto-blocchi.
In seguito a critiche ed osservazioni costruttive ricevute da esimi colleghi, si `e deciso di passare ad una
notazione pi`
u leggera, con i vettori in grassetto corsivo (ad esempio x), in genere minuscolo, e le matrici
in grassetto tondo (ad esempio M), in genere maiuscolo. Anche in questo caso, il tipo e le dimensioni
delle varie entit`a dovrebbe essere chiaro dal contesto, quando non esplicitamente indicato.
I-2
Capitolo 1
Dinamica del corpo rigido
Generato il 23 ottobre 2014
All models are wrong, but some
are useful.
George Box
1.1
Sistemi fisici e modelli matematici
Per condurre lo studio del comportamento di un qualsiasi sistema fisico, per una corretta progettazione e
dimensionamento, sono possibili due vie: una puramente sperimentale, che consiste nella misura diretta
delle propriet`
a fisiche che si desidera conoscere, eventualmente applicando correzioni e reiterando gli esperimenti fino all’ottenimento del risultato voluto, e l’altra teorica, basata sulla soluzione, con opportuni
algoritmi, di modelli matematici del sistema. Questi ultimi sono basati sulla descrizione e caratterizzazione del sistema fisico con un appropriato modello fisico e possono assumere gradi di complessit`a
diversi in funzione delle ipotesi semplificative adottate. Comunque, nel caso si voglia studiare la dinamica
di un sistema fisico, i modelli sono sempre costituiti da sistemi di equazioni differenziali rappresentanti
il cambiamento nel tempo delle propriet`
a fisiche che caratterizzano il sistema stesso.
Per analisi dinamica di un sistema fisico s’intende l’insieme di operazioni che dall’identificazione
del sistema stesso portano alla creazione del suo modello matematico e alla successiva soluzione di
quest’ultimo. Con il termine di sintesi dinamica si intende, invece, la successiva indagine che pu`
o essere
condotta variando i valori di alcune propriet`
a del modello fisico affinch´e alcuni parametri del sistema
assumano valori prefissati.
In funzione del fenomeno principale che governa il sistema fisico riconosceremo sistemi meccanici,
sistemi termici, sistemi idraulici, sistemi elettrici, sistemi elettronici ecc., e in generale si potr`a vedere
che i sistemi reali sono composti da pi`
u sottosistemi di natura diversa tra loro interconnessi a formare un
unico insieme multidisciplinare, come `e il caso del sistema di controllo di rotta per missili schematizzato
nella figura 1.1.
Nel caso in oggetto, il cambiamento di rotta del missile viene ottenuto variando la direzione di
spinta del motore a razzo attraverso un attuatore idraulico che `e azionato da una servovalvola, a sua
volta azionata da un motore elettrico di coppia pilotato da un controllore, sempre pi`
u spesso di tipo
digitale, utilizzando cio`e un microprocessore. Il controllore, per far seguire al missile la traiettoria voluta,
necessita di informazioni sulla sua posizione, velocit`
a ed accelerazione, attraverso le misure di opportuni
accelerometri, giroscopi, GPS, ecc. e, sulla base di queste misure, interviene sulla direzione di spinta.
Il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali ha principalmente per oggetto lo studio della dinamica
dei sistemi meccanici e delle macchine in particolare, ove per macchina s’intende quel particolare sistema
atto sia a trasformare energie di forme diverse in energia meccanica e viceversa, ove possibile, sia a
utilizzare i vari tipi di energia per realizzare particolari funzioni richieste per il funzionamento degli
aeromobili che costituiscono l’oggetto principale del corso di studi in Ingegneria Aerospaziale.
1-1
Figura 1.1: Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon, [1]).
I modelli matematici ai quali perverremo si traducono, come detto, in una serie di equazioni differenziali, dette anche equazioni di moto, che legano le azioni agenti sul sistema reale al suo movimento.
` opportuno ricordare la massima “all models are wrong, but some are useful” [3]. Letteralmente
E
rappresenta un gradevole aforisma, ma ci dice anche altro. Ci dice che modelli universali, corretti in ogni
circostanza, difficilmente possono essere formulati. La scelta del modello da utilizzare per lo studio e la
soluzione di un problema specifico `e frutto della ricerca di un compromesso vantaggioso tra gli obbiettivi
che ci si prefigge e il costo che si `e disposti a pagare per raggiungerli. La vera domanda, quindi diventa:
quanto “sbagliato” (ovvero semplificato) pu`
o essere un modello, mantenendo per`o la sua “utilit`a” (ovvero
la capacit`a di fornire risultati accettabili)?
1.2
I sistemi meccanici
Nel corso di Meccanica Razionale si sono studiati i metodi per condurre l’analisi cinematica e dinamica
di un punto materiale e di un corpo rigido, spesso elementi di base di sistemi meccanici pi`
u complessi.
Qualsiasi sistema meccanico reale pu`
o essere infatti schematizzato come un sistema fisico ideale formato
dall’insieme di punti materiali e di corpi rigidi, tra loro connessi da opportuni vincoli, al fine di realizzare
lo scopo per il quale si `e progettata la macchina.
1.2.1
Gradi di libert`
a
L’analisi dinamica dei sistemi reali necessita della conoscenza del numero di gradi di libert`
a da loro
posseduti, ovvero le possibilit`
a di moto libero e non condizionato dai vincoli. Al fine di definire lo stato
di un sistema (posizione e velocit`
a) `e infatti necessario identificare il numero di parametri, pari ai gradi
di libert`
a, in grado di variare indipendentemente: tali parametri sono variabili indipendenti.
Il corso di Meccanica Razionale ha messo in luce come, al fine di individuare la posizione nello spazio
di un punto materiale, siano necessarie tre coordinate; se se ne confina la giacitura in un piano, tali
coordinate si riducono a due. Conseguentemente, le variabili indipendenti per l’analisi dinamica di un
punto materiale nello spazio saranno tre; due nel caso di moto piano.
Per il corpo rigido libero, ovvero un corpo dotato di dimensioni non trascurabili, al fine di identificarne
la configurazione nello spazio sono necessarie sei coordinate libere che, spesso, vengono ricondotte alla
posizione di un punto appartenente al corpo e a tre parametri1 che forniscono l’orientamento del corpo
nello spazio.
1 La definizione di un’orientazione nello spazio richiede tre parametri che possono essere rappresentati da nove coseni
direttori, vincolati da sei equazioni che ne impongono l’ortonormalit`
a, oppure da tre angoli valutati secondo una ben
determinata sequenza, o da altre forme di parametrizzazione in ogni caso riconducibili a tre gradi di libert`
a.
1-2
Analogamente, passando al piano, saranno sufficienti tre coordinate libere, ovvero tre gradi di libert`
a,
per caratterizzare la configurazione del corpo: due per la posizione e una per l’orientamento.
1.2.2
Gradi di vincolo
Come detto, i sistemi meccanici sono in generale costituiti da un insieme di pi`
u corpi rigidi opportunamente vincolati tra loro. Tali vincoli impediscono alcune tra le possibilit`a di spostamento e rotazione dei
singoli componenti del sistema, ovvero creano dei legami tra lo stato dei vari componenti e le variabili
indipendenti scelte.
Ad esempio, gi`
a la condizione di rigidit`
a di un corpo rigido deve essere vista come un vincolo. In
realt`a, infatti, ogni corpo `e deformabile sotto l’azione delle forze che agiscono su di esso. Ipotizzare tale
deformabilit`a trascurabile implica imporre che la distanza tra due punti arbitrari solidali al corpo stesso
non vari mai, e che l’angolo formato da due rette solidali al corpo rimanga costante durante il movimento.
Tale vincolo si traduce nel fatto che per identificare la posizione di tutti i punti appartenenti al corpo
rigido stesso `e sufficiente identificare sei parametri indipendenti (tre nel caso di moto piano) e che per
tutti i punti del corpo `e possibile scrivere dei legami tra i loro spostamenti e le variabili indipendenti.
Un sistema composto da n corpi liberi (meccanismo) possiede 6 × n gradi di libert`
a nello spazio; 3 × n
nel piano. L’introduzione di vincoli tra i corpi o verso il mondo esterno (telaio) riduce il numero dei
gradi di libert`
a del sistema. Tale riduzione di gradi di libert`
a implica l’esistenza di legami tra le varie
posizioni caratteristiche del sistema e le variabili indipendenti.
` necessario quindi, come primo passo di ogni analisi, il computo del numero dei gradi di libert`
E
a (o
gradi di mobilit`
a ) del sistema.
A titolo di esempio, nel caso di meccanismi piani con sole coppie inferiori (ad esempio cerniere, pattini
e carrelli), in cui i collegamenti siano solo di tipo binario (ossia ogni vincolo collega solo due elementi),
si definisce la regola di Gr¨
ubler per il calcolo del grado di mobilit`a del sistema. Detto c1 il numero di
vincoli che sopprimono un solo grado di libert`
a (es. carrello), e c2 il numero di vincoli che sopprimono
due gradi di libert`
a, (es. cerniera o pattino), il numero di gradi di libert`
a ngdl `e
ngdl = 3 × n − c1 − 2 × c2
(1.1)
essendo n il numero di corpi rigidi componenti il meccanismo.
1.2.3
Variabili fisiche
L’analisi dinamica di un sistema, una volta noto il numero di gradi di libert`
a ngdl di cui esso gode,
richiede la scrittura e la soluzione delle equazioni di moto e quindi, nel caso di un sistema meccanico,
l’identificazione delle forze agenti su di esso.
Poich´e alcune delle forze agenti possono essere funzione di grandezze cinematiche, `e opportuno
definire, oltre alle variabili indipendenti del sistema, anche altre variabili, dette variabili fisiche, che
permettano di definire posizione, velocit`
a o accelerazione di questi punti d’applicazione in modo da rendere agevole la scrittura delle equazioni di moto. Tali variabili sono, per quanto detto, funzione delle
variabili indipendenti attraverso legami geometrici.
Con riferimento al sistema di figura 1.2, ad esempio, il meccanismo piano `e composto dai due corpi
rigidi m1 e m2 che possono solo traslare sui due rispettivi piani d’appoggio. Il sistema libero godrebbe
di sei gradi di libert`
a (3 × 2); i piani d’appoggio si comportano come due pattini sopprimendo due gradi
di libert`
a per ogni corpo rigido, ovvero, dalla (1.1):
ngdl = 3 × 2 − 2 × 2 = 2
(1.2)
Quindi, per definire in ogni istante la configurazione del sistema, `e sufficiente scegliere come variabili
indipendenti due coordinate (ad esempio x1 e x2 ), e stabilirne l’origine ed il verso positivo nel quale sono
misurate.
Qualsiasi altra variabile fisica, ad esempio la posizione relativa ξ del corpo m2 rispetto alla slitta m1 ,
risulta dipendente dalle variabili indipendenti scelte. Infatti, dall’analisi della geometria del sistema, si
ricava che:
ξ = x2 − x1
(1.3)
1-3
Figura 1.2: Un sistema meccanico a due gradi di libert`
a (da Cannon, [1]).
ovvero esiste un legame tra variabile fisica ξ e le variabili indipendenti x1 e x2 adottate; tuttavia, potrebbe
risultare conveniente definire la grandezza ξ se, ad esempio, fosse necessario inserire una molla tra i corpi
m1 e m 2 .
Sempre in riferimento alla figura 1.2, l’azione esercitata dalla molla k5 dipende dalla sua elongazione
rispetto alla posizione di molla scarica, per cui pu`
o risultare conveniente l’utilizzo di un’altra variabile
fisica per definire la deformazione della molla rispetto alla condizione di molla scarica.
1.3
Equazioni di moto: equilibri dinamici
Come noto, l’equilibrio di un sistema meccanico in condizioni di quiete pu`
o essere studiato mediante le
equazioni cardinali della statica.
Ad esempio, nel caso di un corpo rigido libero nel piano xy, dotato quindi di tre gradi di libert`
a,
soggetto ad un generico sistema di forze esterne, il sistema di equazioni di equilibrio equivale a tre
~ di tali forze, ed una sola componente
equazioni scalari indipendenti (due componenti per il risultante R
~ rispetto a un polo O qualsivoglia), in numero eguale al numero dei
per l’equazione del loro momento M
gradi di libert`
a del corpo, ovvero:
~ =0
R
(1.4a)
~O = 0
M
(1.4b)
che, proiettate sul piano cartesiano xy, danno luogo al sistema di equazioni pure:
Rx = 0
(1.5a)
Ry = 0
MOz = 0.
(1.5b)
(1.5c)
L’operazione di proiezione si ottiene moltiplicando il vettore delle equazioni per il versore della direzione
rispetto alla quale si vuole scrivere l’equazione, ovvero
~
Rx = ~i × R
~
Ry = ~j × R
MOz
(1.6a)
(1.6b)
~ O.
= ~k × M
(1.6c)
Nel caso di un sistema composto da pi`
u corpi tra loro connessi, le equazioni cardinali della statica
applicate all’intero sistema costituiscono condizione solo necessaria. In tal caso occorre:
• separare i corpi che costituiscono il sistema e scriverle per ognuno di essi, includendo quindi anche
le reazioni vincolari scambiate tra i corpi stessi, oppure
• considerare, oltre alle equazioni cardinali applicate al sistema completo, ulteriori equazioni di equilibrio riguardanti le mobilit`a relative tra i corpi che costituiscono il sistema meccanico nel suo
complesso.
1-4
La dinamica di un sistema meccanico `e definita attraverso relazioni che intercorrono tra moto del
sistema (in termini di accelerazioni subite dai diversi punti del sistema) e forze agenti. Sono possibili due
approcci allo studio della dinamica:
• uno basato sulle equazioni di equilibrio di D’Alembert, che possono essere considerate il corrispondente dinamico delle equazioni cardinali della statica,
• uno basato su principi energetici, come il Principio dei Lavori Virtuali (d’ora in poi PLV), il
teorema di Lagrange, quello dell’energia cinetica, o altri ancora2 .
Vale infine la pena di osservare che nel legame tra le forze agenti su un sistema e le corrispondenti
accelerazioni gioca un ruolo fondamentale la definizione delle caratteristiche meccaniche del sistema
stesso: pertanto utilizzeremo nello studio della dinamica tutte le nozioni relative alla geometria delle
masse che sono state oggetto del corso di Meccanica Razionale.
Nel caso di un punto materiale di massa m vincolato, dalla legge di Newton (seconda legge della
Dinamica, [4]) si ricava che l’accelerazione subita dal punto `e legata al risultante F~ di tutte le forze
attive e reattive agenti sul corpo attraverso la relazione:
~ +Ψ
~
m~a = F~ = R
(1.7)
~ `e la reazione vincolare che traduce l’azione del vincolo, mentre R
~ `e il risultante delle sole forze
dove Ψ
attive.
Definendo come forza d’inerzia la quantit`a:
F~i = −m~a
(1.8)
pari al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione e agente in verso opposto a quest’ultima,
l’equazione di moto (1.7) pu`
o essere riscritta sotto forma di una equazione di equilibrio equivalente:
~ +Ψ
~ + F~i = 0
F~ + F~i = 0 → R
(1.9)
ossia il problema dinamico pu`
o essere sempre ricondotto a un problema statico equivalente, a condizione
di aggiungere al risultante delle forze attive e reattive anche la forza di inerzia.
Questa affermazione, rappresentata matematicamente dalla Equazione (1.9), costituisce l’enunciato
del principio di D’Alembert nel caso del punto materiale.
L’applicazione di tale principio pu`
o essere estesa al caso del corpo rigido, o del sistema di corpi rigidi.
1.3.1
Dinamica del corpo rigido
Consideriamo il caso di un corpo rigido di dimensioni non trascurabili, cio`e un sistema continuo di punti
materiali ai quali `e imposto il vincolo della rigidit`
a. In questo caso, il principio di D’Alembert, che
nella (1.9) `e stato applicato ad un generico punto materiale, pu`
o essere scritto per ciascun punto del
corpo. Il corpo `e quindi sottoposto a forze di inerzia distribuite. La forza d’inerzia infinitesima agente
sul generico punto P di volume infinitesimo dV e massa infinitesima dm = ρdV `e:
dF~i = −dm ~a
(1.10)
Definita questa distribuzione di forze, potremo quindi dire che il moto del corpo deve soddisfare le
equazioni che ne definiscono l’equilibrio dinamico sotto l’azione delle forze (attive e reattive) agenti su
di esso, oltre a quelle di inerzia. Nel caso del corpo rigido `e possibile ridurre l’intero sistema di forze
~ Gi che possono essere espressi in
d’inerzia distribuite ad un risultante F~i pi`
u una coppia d’inerzia C
funzione dell’accelerazione del baricentro G e dell’accelerazione angolare del corpo stesso, come illustrato
nel seguito.
2 Si elencano, per completezza e senza presentarli: il principio di Hamilton, il principio di Gauss (o di minimo vincolo),
il principio di Jourdain, le equazioni di Gibbs-Appell, le equazioni di Maggi-Kane, e cos`ı via.
1-5
ω
~, ω
~˙
y
P
O
~xO
111
000
000
111
~xP
x
Figura 1.3: Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso.
Le equazioni vettoriali che descrivono il moto del corpo rigido possono essere scritte a partire dalle
equazioni cardinali della statica (1.4), includendo il termine aggiuntivo dovuto alle forze di inerzia, ovvero:
F~ + F~i = 0
~O +C
~ Oi = 0
M
(1.11a)
(1.11b)
~ O `e il loro momento rispetto ad un polo O. Il
dove F~ `e il risultante delle forze attive e reattive, e M
problema dinamico `e quindi ricondotto, ancora una volta, a un problema statico equivalente, a condizione
di essere in grado di calcolare il risultante F~i delle forze di inerzia dF~i agenti sul corpo e il loro momento
risultante rispetto al polo O considerato. Questo calcolo risulta in genere molto complesso per un corpo
deformabile, ma per i corpi rigidi, oggetto principale di questo corso, vale la regola generale illustrata nel
seguito.
La forza d’inerzia `e data dall’integrale esteso al volume V del corpo della forza d’inerzia elementare (1.10)
Z
~
dF~i
Fi =
V
Z
ρ~a dV
(1.12)
=−
V
dove la massa infinitesima `e data dal prodotto della densit`
a del materiale per il suo volume infinitesimo
dm = ρdV
(1.13)
mentre la coppia d’inerzia rispetto al generico punto O `e data dall’integrale esteso al volume V del corpo
del momento della forza d’inerzia elementare (1.10) rispetto al punto O
Z
~ Oi =
C
(P − O) ∧ dF~i
V
=−
Z
V
ρ (P − O) ∧ ~a dV
(1.14)
Nell’ipotesi che il polo O sia solidale con il corpo, la distanza (P − O) tra il generico punto P ed
il polo rimane costante in modulo. A seguito del movimento rigido del corpo, ne pu`
o variare soltanto
1-6
l’orientazione. Facendo riferimento alla terna intrinseca3 , posizione, velocit`
a ed accelerazione del punto
P sono
~xP = ~xO + (P − O)
~x˙ P = ~x˙ O + ω
~ ∧ (P − O)
¨
¨
~xP = ~xO + ω
~ ∧ (~
ω ∧ (P − O)) + ω
~˙ ∧ (P − O)
(1.19a)
(1.19b)
(1.19c)
L’equazione (1.12), che esprime la forza d’inerzia complessiva del corpo, nel caso piano diventa
Z
Z
Z
¨
~
Fi = −
ρ~xO dV −
ρ~
ω ∧ (~
ω ∧ (P − O)) dV −
ρω
~˙ ∧ (P − O) dV
V
V
V
Z
Z
Z
¨O + ω 2
= −
ρ dV ~x
ρ (P − O) dV
ρ (P − O) dV −ω˙ ~k ∧
V
V
V
| {z }
|
{z
}
{z
}
|
m
~
sO
(1.20)
~
sO
La posizione del punto P pu`
o essere espressa in relazione alla posizione di un altro punto, G, anch’esso
solidale con il corpo (il baricentro),
(P − O) = (P − G) + (G − O)
(1.21)
Di conseguenza, l’espressione del momento statico ~sO rispetto al punto O diventa
Z
ρ (P − O) dV
~sO =
V
Z
Z
=
ρ (P − G) dV +
ρ (G − O) dV
V
{z
}
|V
~
sG ≡~0
= (G − O)
Z
ρ dV
| V {z }
(1.22)
m
in quanto per definizione il momento statico rispetto al baricentro, ~sG , `e nullo; la (1.12) diventa quindi
¨O + ω 2~sO − ω˙ ~k ∧ ~sO
F~i = − m~x
(1.23)
3 Si ricordi che un vettore `
e definito dal suo modulo e dalla sua direzione. La derivata di un vettore di modulo costante
non `
e nulla se la sua direzione cambia. Si consideri, ad esempio, un vettore (P − O) di modulo kP − Ok costante che
rappresenta la distanza tra il generico punto P ed un polo O all’istante di tempo t, entrambi solidali con un corpo rigido
che si muove nel piano di moto rotatorio attorno al polo O. Nell’istante t′ il punto P si sposti in P ′ ; la velocit`
a del punto
P all’istante t si definisce
~vP = lim
t′ →t
(P ′ − P )
t′ − t
(1.15)
e, per costruzione, `
e perpendicolare a (P − O). Pu`
o quindi essere scritta come
~vP = ~k ∧
(P − O)
vP
kP − Ok
(1.16)
ove vP `
e uno scalare che ne rappresenta l’ampiezza. Si definisca
vP = ω kP − Ok
(1.17)
l’ampiezza della velocit`
a ~vP , costituita dal prodotto tra il modulo della distanza del punto P dal polo O e uno scalare ω;
la (1.16) diventa
~vP = ~kω ∧ (P − O)
(1.18)
ove, in ~kω = ω
~ , si riconosce la velocit`
a angolare del segmento (P − O). Se ne deduce che la derivata di un vettore costante
in modulo corrisponde alla velocit`
a con cui cambia la sua orientazione.
1-7
L’equazione 1.14 che esprime la coppia d’inerzia complessiva del corpo diventa4
~ Oi = −
C
Z
−
ZV
−
Z
¨O dV −
ρ (P − O) ∧ ~x
Z
V
ρ (P − O) ∧ (~
ω ∧ (~
ω ∧ (P − O))) dV
ρ (P − O) ∧ ω
~˙ ∧ (P − O) dV
Z
ZV
¨O +
ρ ω 2 (P − O) ∧ (P − O) dV
= −
ρ (P − O) dV ∧~x
|
{z
}
V
V
{z
}
|
~0
~
sO
{z
}
|
solo nel caso piano!
~˙
ρ (P − O) × (P − O) dV ω
{z
}
|
V
JO

Z
ρ (P − G) × (P − G) dV

 |V
{z
}


JZG

 + 2 (G − O) ×
ρ (P − G) dV

¨
= − ~sO ∧ ~xO − 
V
{z
}
|


~0
Z


 + (G − O) × (G − O)
ρ dV

| V {z }
m
˙
˙
¨
~ − m (G − O) × (G − O) ω
~
= − ~sO ∧ ~xO − JG ω







˙
~
ω






(1.24)
Dalle (1.23) e (1.24) `e evidente come la scelta del baricentro come punto rispetto al quale riferire la
coppia sia particolarmente vantaggioso, in quanto, per G − O = ~0, si ottiene
¨G
F~i = − m~x
(1.25a)
CGi = − JG ω˙
(1.25b)
Le formule (1.25) in questa forma valgono solo nel caso piano. Nello spazio, l’espressione della
coppia d’inerzia `e pi`
u complessa.
Quanto illustrato a proposito della forza e coppia d’inerzia si applica anche a problemi nello spazio;
in tale caso, tuttavia, la velocit`
a e l’accelerazione angolare possono avere direzione arbitraria, per cui
la scrittura delle caratteristiche inerziali del corpo rigido comporta che non necessariamente si verifichi
l’annullamento di alcuni termini, come invece avviene nel caso piano.
1.3.2
Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso
Esercizio 1.1 Si calcolino la coppia motrice M e le reazioni vincolari nel punto di vincolo O di un
corpo rigido di spessore trascurabile incernierato in O per velocit`
a angolare ω
~ e accelerazione angolare ω
~˙
imposte.
4 Si noti come, nel caso piano, ω
~ ∧ (~
ω ∧ (P − O)) = −ω 2 (P − O) in quanto ω
~ `
e per definizione perpendicolare a (P − O).
Per questo motivo (P − O) ∧ (~
ω ∧ (~
ω ∧ (P − O))) ≡ ~0 nella (1.24). Nel caso spaziale (si veda il Capitolo A) ci`
o non `
e pi`
u
necessariamente vero, in quanto in generale ω
~ × (P − O) 6= ~0, ovvero ω
~ non `
e necessariamente perpendicolare a (P − O).
1-8
ω
~, ω
~˙
y
dmω 2 OP
P
O
dmω˙ OP
11
00
00
11
00
11
x
Figura 1.4: Componenti della forza d’inerzia agente sul punto
P di un corpo rigido con un punto fisso.
M
y
mω 2 OG
G
O
Ψt
Ψn
m~g
θ, ω, ω˙
mω˙ OG
Ci
~
Ψ
x
Figura 1.5: Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘diagramma
di corpo libero’).
Soluzione. L’analisi cinematica insegna che tutti i punti del corpo rigido descrivono una traiettoria
circolare intorno al punto fisso O; quindi il moto del baricentro G `e descritto dalle relazioni
~xG = (G − O)
~x˙ G = ω~k ∧ (G − O)
¨G = − ω 2 (G − O) + ω˙ ~k ∧ (G − O)
~x
|
{z
} |
{z
}
~
an
(1.26a)
(1.26b)
(1.26c)
~
at
dove sono state messe in evidenza le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione, rispettivamente
~an e ~at .
Sostituendo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari, `e possibile quindi scrivere le equazioni
scalari di equilibrio dinamico del corpo rigido:
(mω˙ (G − O) + Ψt ) sin θ + mω 2 (G − O) − Ψn cos θ = 0
(1.27a)
2
− (mω˙ (G − O) + Ψt ) cos θ + mω (G − O) − Ψn sin θ − mg = 0
(1.27b)
2
M − mω˙ (G − O) − JG ω˙ − mg (G − O) cos ϑ = 0
1-9
(1.27c)
corrispondenti alle equazioni della statica (1.5) quando vengano considerate anche le forze e coppie d’inerzia. Dal momento che la scelta delle coordinate cartesiane xy `e del tutto arbitraria, si pu`
o considerare,
nel piano xy, una qualunque coppia di direzioni ortogonali5 purch´e convenienti; nel caso in esame, le
equazioni (1.27) diventano particolarmente semplici se si considerano le direzioni normale e tangenziale
mω˙ (G − O) + Ψt + mg cos θ = 0
(1.28a)
2
mω (G − O) − Ψn − mg sin θ = 0
(1.28b)
2
M − mω˙ (G − O) − JG ω˙ − mg (G − O) cos ϑ = 0
(1.28c)
In ogni caso, sia le (1.27) che le (1.28), equivalenti alle prime, conducono a un problema univocamente
` evidente come le (1.28) siano molto pi`
determinato di tre equazioni nelle tre incognite Ψt , Ψn , M . E
u
facili da risolvere delle (1.27), essendo le incognite disaccoppiate.
A prescindere da quale insieme di equazioni si considera, `e comunque possibile, note la velocit`
a
angolare ω e l’accelerazione angolare ω˙ del corpo, determinare la coppia motrice M necessaria. Si noti
che in ogni caso una equazione (nell’esempio l’ultima) `e pura, ovvero non contiene le reazioni vincolari,
e corrisponde all’equazione del moto associata alla coordinata libera del problema. Le altre due possono
essere risolte a posteriori una volta determinato il movimento a partire dall’equazione del moto.
Esercizio 1.2 A partire dalla soluzione dell’esercizio 1.1 si calcolino le azioni interne nel corpo, nell’ipotesi che sia costituito da un’asta di densit`
a uniforme ρ, sezione uniforme A e lunghezza l.
Soluzione. A partire dalla coppia motrice calcolata nell’esercizio precedente, per dimensionare
l’organo meccanico schematizzato come corpo rigido occorre valutare le azioni interne. Tuttavia non
`e possibile utilizzare il sistema equipollente delle forze d’inerzia, costituito dalle (1.23) e (1.24); occorre
utilizzare la reale distribuzione delle azioni d’inerzia.
La valutazione degli sforzi agenti all’interno di un corpo di geometria arbitraria `e un problema complesso. La scienza delle costruzioni ci fornisce i metodi per lo studio della meccanica del continuo, ma
ci insegna anche che raramente si conoscono soluzioni analitiche per geometrie non banali. Per questo
motivo, a fini puramente didattici, si consideri l’esempio di figura 1.6, in cui il generico corpo rigido di
forma arbitraria viene approssimato con un’asta omogenea, di densit`a costante ρ, sezione costante A e
lunghezza l. Per semplicit`
a, l’asta `e vincolata a ruotare nel piano verticale attorno alla cerniera O.
Per valutare il momento M necessario a imporre l’orientazione, la velocit`
a e l’accelerazione angolare
volute (problema inverso) o, al contrario, per determinare l’accelerazione angolare dovuta al momento
imposto M , note l’orientazione e la velocit`
a angolare (problema diretto) `e sufficiente, come illustrato
nell’esercizio precedente, scrivere l’equilibrio dei momenti rispetto al polo O:
M −m
2
l
l
ω˙ − JG ω˙ − mg cos θ = 0
2
2
=⇒ M = m
l2
l
ω˙ + mg cos θ,
3
2
(1.29)
ove si `e sfruttato JG = ml2 /12.
Le altre due equazioni permettono invece il calcolo della reazione nelle sue due componenti tangente
e normale alla traiettoria circolare del baricentro:
l2
=0
2
l2
−Ψn − ρAlg sin θ + ρAω 2 = 0
2
l
2
l
=⇒ Ψn = −mg sin θ + mω 2
2
=⇒ Ψt = −mg cos θ − mω˙
Ψt + ρAlg cos θ + ρAω˙
(1.30a)
(1.30b)
Volendo calcolare le azioni interne normali N , di taglio T e flettenti Mf in una generica sezione distante
a dalla cerniera, dobbiamo tener conto della distribuzione triangolare6 delle azioni d’inerzia scomposte
5 In realt`
a`
e sufficiente che le direzioni rispetto alle quali vengono scritte le equazioni di equilibrio alla traslazione siano
distinte, e quindi non parallele, per ottenere due equazioni linearmente indipendenti.
6 Se le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del generico punto a distanza ξ dal centro di rotazione sono
rispettivamente x
¨n = −ξω 2 e x
¨t = ξ ω,
˙ le conseguenti componenti della distribuzione di forza d’inerzia sono dFin = dmξω 2
˙ e hanno quindi andamento lineare in ξ.
e dFit = −dmξ ω,
1-10
θ, ω, ω˙
y
ρAω 2 OG
Ci
G
ρAω˙ OG
ρAg
M
Ψt O
Ψn
x
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
ρAg
ρAω 2 OG
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
ρAω˙ OG
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
θ, ω, ω˙
y
Mf
a
N
T
M
Ψt O
Ψn
x
Figura 1.6: Sistema equipollente delle forze d’inerzia (a sinistra) e loro reale
distribuzione (a destra) in un’asta incernierata ad un estremo.
nelle due componenti normale e tangenziale, ovvero:
Z a
Z a
ρAω 2 ξ dξ = 0
ρAg sin θ dξ +
N (a) − Ψn −
0
0
Z a
Z a
ρAωξ
˙ dξ = 0
ρAg cos θ dξ −
T (a) − Ψt −
0
0
Z a
Z a
ρAωξ
˙ (a − ξ) dξ = 0
ρAg cos θ (a − ξ) dξ +
Mf (a) + M + Ψt a +
(1.31a)
(1.31b)
(1.31c)
0
0
A partire dalle ipotesi di densit`a ρ e area della sezione A costanti, svolgendo gli integrali si ottiene
a2
=0
2
a2
T (a) − Ψt − ρAag cos θ − ρAω˙
=0
2
a2
a3
Mf (a) + M + Ψt a + ρA g cos θ + ρAω˙
=0
2
6
N (a) − Ψn − ρAag sin θ + ρAω 2
(1.32a)
(1.32b)
(1.32c)
Esercizio 1.3 Si consideri di nuovo l’esercizio 1.2 ma ora, anzich´e considerare la parte di problema dalla
cerniera alla generica sezione, si consideri invece la parte dalla sezione all’estremo libero. Ovviamente
devono risultarne le medesime azioni interne. Lo si verifichi, e si discuta l’opportunit`
a di scegliere l’una
o l’altra parte per il calcolo delle azioni interne.
Esercizio 1.4 A partire dalla soluzione degli esercizi 1.1 e 1.2 si calcolino l’angolo θ e la posizione
radiale a per i quali sono rispettivamente massimi e minimi lo sforzo assiale e lo sforzo di taglio, scelta
una geometria a piacere per la sezione A dell’asta.
1-11
1-12
Capitolo 2
Scrittura delle equazioni di moto
mediante approcci energetici
Generato il 23 ottobre 2014
All the good music has already
been written by people with wigs
and stuff.
Frank Zappa
In questo capitolo viene illustrata la scrittura delle equazioni del moto di sistemi piani mediante
principi energetici, metodo alternativo alla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico di ogni
corpo componente.
Con la dicitura principi energetici si intendono quegli approcci basati sulla scrittura di un funzionale
la cui minimizzazione porta alla scrittura di un sistema di equazioni di bilancio. Tra questi metodi ricade
il Principio dei Lavori Virtuali.
2.1
Il Principio dei Lavori Virtuali
L’approccio visto nel capitolo precedente studia l’equilibrio dinamico di un sistema meccanico basandosi
sulla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio di forze e momenti. In particolare si `e visto che,
grazie al principio di D’Alembert, `e possibile ricondurre il problema dinamico ad un problema statico
equivalente, introducendo il sistema di forze e coppie di inerzia.
In alternativa, `e possibile usare il Principio dei Lavori Virtuali (o PLV), che si enuncia come segue:
condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio dinamico, in un sistema meccanico con
vincoli lisci ovvero in assenza di attrito, `e che sia nullo il lavoro delle forze e coppie attive,
comprendendo tra esse la forza e la coppia d’inerzia, per qualsiasi spostamento virtuale del
sistema.
Uno spostamento si definisce virtuale quando `e infinitesimo e compatibile con i vincoli a
tempo fissato.
Il senso delle parole ‘compatibile con i vincoli a tempo fissato’ verr`
a illustrato nel seguito.
Qualora siano presenti solo vincoli ideali (lisci, bilateri) il PLV consente di ottenere direttamente
tante equazioni pure del moto quanti sono i gradi di libert`
a del sistema, indipendentemente dal loro
numero. Tali equazioni consentono di risolvere direttamente il problema dinamico senza dover calcolare
le incognite aggiuntive rappresentate dalle reazioni vincolari stesse.
La limitazione ai soli vincoli lisci sopra indicata pu`
o essere rimossa con opportuni accorgimenti, quindi
l’applicabilit`a del PLV `e sufficientemente ampia da consentirne l’uso in tutte le applicazioni di interesse
per il corso.
2-1
F~
~
M
y
ϑ,
ϑ˙ = ω,
ϑ¨ = ω˙
P
G
~aG
O
ϑ
111
000
000
111
m~g
JG ω
~˙
x
Figura 2.1: Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio.
Riassumendo:
• PLV: δ ∗ L = 0 per avere equilibrio.
• Contributi al lavoro virtuale: δ ∗ L =
• Spostamento virtuale:
P
δ~s × f~ + δ θ~ × m
~
– infinitesimo,
– compatibile con i vincoli,
– a tempo fissato;
lo si ottiene per variazione virtuale della posizione/orientazione.
La dicitura δ ∗ L, con l’asterisco aggiunto all’operatore “variazione virtuale”, sta ad indicare che tale
variazione non rappresenta necessariamente un differenziale esatto. Nel seguito verr`
a quasi sempre omesso
per semplicit`
a.
L’importanza del PLV viene spesso sottovalutata, soprattutto dagli studenti meno accorti. Il PLV
nasce da una intuizione di d’Alembert, ed `e stato formalizzato da Lagrange, quindi ha padri nobili, e non
deve essere visto in contrapposizione agli equilibri dinamici (d’Alembert) o al formalismo di Lagrange.
Quest’ultimo, a sua volta, non `e altro che il PLV con i contributi conservativi (forze d’inerzia, forze che
ammettono potenziale) trattati in modo speciale.
Per fare un esempio di questo procedimento ci riferiamo nuovamente al caso del corpo rigido di piccolo
spessore del capitolo precedente. Data la presenza di una cerniera a terra in O, lo spostamento virtuale
~ = ~kδϑ del corpo rigido (assunta, per
del corpo `e di tipo rotatorio, descritto dalla rotazione virtuale δ ϑ
convenzione, positiva se antioraria), con ~k versore perpendicolare al piano contenente il corpo e positivo
quando uscente dal piano stesso.
Applicando il PLV si ottiene
~ + m~g × δ~xG + F~ × δ~xP − JG ω
~ − m~aG × δ~xG = 0,
~ × δϑ
δ∗ L = M
~˙ × δ ϑ
2-2
(2.1)
avendo aggiunto una generica forza F~ applicata nel punto P, in cui le variabili fisiche sono
~xG = (G − O)
~xP = (P − O) ,
(2.2)
da cui risultano le variazioni virtuali
~ ∧ (G − O)
δ~xG = δ ϑ
~ ∧ (P − O) ,
δ~xP = δ ϑ
(2.3)
mentre
~aG =
d2 ~xG
=ω
~ ∧ (~
ω ∧ (G − O)) + ω
~˙ ∧ (G − O) = −ω 2 (G − O) + ω
~˙ ∧ (G − O) .
dt2
¨
Come indicato in figura 2.1, si sono definiti ω = ϑ˙ e ω˙ = ϑ.
` relativamente agevole verificare che
E
~
F~ × δ~xP = (P − O) ∧ F~ × δ ϑ
(2.4)
(si veda a questo proposito la (A.8c)); questo corrisponde ad affermare che il lavoro virtuale compiuto
dalla forza F~ per lo spostamento virtuale del punto di applicazione P, quando lo spostamento sia dovuto
ad una rotazione rispetto ad un polo O, `e uguale al lavoro virtuale dovuto al momento (P − O) ∧ F~ per
~ = δϑ~k.
la rotazione virtuale δ ϑ
Esercizio 2.1 Si verifichi la (2.4).
Esercizio 2.2 Si scriva la posizione dei punti P e G utilizzando diversi metodi (coordinate cartesiane,
polari, numeri complessi, forma vettoriale, . . . ) e se ne calcolino le variazioni virtuali.
Svolgendo i prodotti indicati e raccogliendo a fattor comune la rotazione virtuale δϑ si ha:
2
δ ∗ L = M − JG ω˙ − mg |(G − O)| cos ϑ − m |(G − O)| ω˙ + (P − O) ∧ F~ × ~k δϑ = 0
(2.5)
da cui, semplificando1 per δϑ 6= 0, si ottiene
2
M − JG ω˙ − mg |(G − O)| cos ϑ − m |(G − O)| ω˙ + (P − O) ∧ F~ × ~k = 0
(2.6)
che (a meno del contributo F~ , introdotto solo ora) coincide con la (1.27), ottenuta direttamente dall’equilibrio dinamico dei momenti.
Si noti come non sia mai stato necessario prendere in considerazione le reazioni vincolari scambiate
tra corpo e telaio nella cerniera, a seguito dell’ipotesi di vincolo ideale.
Esercizio 2.3 Si scriva il lavoro virtuale delle forze d’inerzia e del peso, mediante integrale delle corrispondenti forze per unit`
a di volume.
2.2
Il teorema dell’Energia Cinetica
La Meccanica Razionale ha proposto il Teorema dell’Energia Cinetica in due forme. Indicati con T
l’energia cinetica del corpo rigido, Π la potenza e L il lavoro delle forze esterne, per un sistema a vincoli
fissi il Teorema dell’Energia Cinetica:
• in forma differenziale,
dT
= Π,
dt
(2.7)
afferma che la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica eguaglia la potenza delle forze attive,
escluse quelle d’inerzia;
1 Questa semplificazione `
e lecita per l’arbitrariet`
a degli spostamenti virtuali; ovvero, essendo gli spostamenti virtuali
arbitrari, `
e lecito scegliere δθ qualsiasi, e in particolare non nullo.
2-3
• in forma integrale,
∆T = L,
(2.8)
afferma che la variazione di energia cinetica tra due istanti di tempo eguaglia il lavoro compiuto
dalle forze attive, escluse quelle d’inerzia, nell’intervallo trascorso.
La potenza o il lavoro delle forze di inerzia sono esplicitamente esclusi dal computo di Π e di L
perch´e la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica rappresenta proprio la potenza delle forze
d’inerzia, mentre la variazione di energia cinetica in un dato intervallo di tempo `e proprio pari al
lavoro fatto dalle forze d’inerzia in quell’intervallo.
Attenzione: mettere la potenza o il lavoro delle forze d’inerzia tra la potenza o il lavoro delle forze
attive quando allo stesso tempo si considera la derivata o la variazione dell’energia cinetica significa
scrivere due volte il contributo delle forze d’inerzia all’equazione del moto!
Ritornando all’esempio considerato, l’energia cinetica T del corpo `e2 :
T =
1
1
m~vG × ~vG + JG ω
~ ×ω
~
2
2
(2.9)
dove si `e utilizzato il teorema di K¨
onig, per cui
dT
= m~aG × ~vG + JG ω
~˙ × ω
~
dt
(2.10)
mentre
~ ×ω
Π=M
~ + m~g × ~vG + F~ × ~vP .
(2.11)
Sostituendo nella (2.7) le (2.10) e (2.11), otteniamo:
~ ×ω
m~aG × ~vG + JG ω
~˙ × ω
~ =M
~ + m~g × ~vG + F~ × ~vP ,
(2.12)
ovvero
~ ×ω
M
~ + m~g × ~vG + F~ × ~vP − m~aG × ~vG − JG ω
~˙ × ω
~ =0
(2.13)
che esprime l’annullamento complessivo dei contributi alla potenza di tutte le forze e coppie (comprese
quelle di inerzia) agenti sul sistema. Il principio illustrato da questa equazione `e noto anche come bilancio
di potenze, in quanto la potenza Πin della forza e della coppia d’inerzia `e pari a
Πin = −m~aG × ~vG − JG ω
~˙ × ω
~ =−
dT
dt
(2.14)
e quindi la (2.7) pu`
o essere riscritta anche come
Π + Πin = 0
(2.15)
Ricordando, poi, che dall’analisi cinematica di questo specifico problema risulta che
~vG = ω
~ ∧ (G − O)
(2.16)
2 Il contributo di energia cinetica associato alla velocit`
a angolare `
e scritto come 1/2JG ω
~ ×~
ω perch´
e nel caso bidimensionale
la velocit`
a angolare `
e ω
~ = [0, 0, ωz ]T e si assume che i corpi abbiano spessore trascurabile, quindi solo il momento di
inerzia JG attorno a ~k partecipa. Come si vedr`
a nel Capitolo A tale contributo ha una forma pi`
u complicata nel caso
tridimensionale.
2-4
e
~vP = ω
~ ∧ (P − O) ,
(2.17)
sostituendo la (2.16) nella (2.13) e risolvendo i prodotti scalari, otteniamo:
2
M − mg (O − G) cos ϑ + (P − O) ∧ F~ × ~k − JG ω˙ − m (O − G) ω˙ ω = 0
(2.18)
che semplificata per ω 6= 0 fornisce un’equazione scalare pura che `e di nuovo la (2.5).
La validit`a di questa equazione non `e limitata ad un singolo corpo rigido, ma vale per qualunque
sistema formato da n corpi, purch´e ad un solo grado di libert`
a, potendosi riscrivere nella forma
n
X
(Π + Πin )k = 0
(2.19)
k=1
Nelle applicazioni di dinamica, in cui spesso occorre considerare macchine ad un solo grado di libert`
a, il
Teorema dell’Energia Cinetica (ovvero l’equazione di bilancio delle potenze) pu`
o risultare di pi`
u spontaneo
utilizzo rispetto al principio dei lavori virtuali visto in precedenza, poich´e pi`
u direttamente collegato al
moto dei corpi rigidi componenti il sistema, in quanto la velocit`
a `e analoga ad uno spostamento virtuale
quando i vincoli sono fissi.
Il Teorema dell’Energia Cinetica si presta a una importante interpretazione fisica: durante il moto del
sistema, negli istanti in cui la somma delle potenze delle forze attive risulta positiva l’energia cinetica del
sistema viene incrementata; al contrario, quando tale somma risulta negativa il sistema riduce la propria
energia cinetica. Secondo questa interpretazione, le inerzie presenti nel sistema (masse e momenti di
inerzia) possono essere visti come “serbatoi di energia” che nelle fasi di accelerazione immagazzinano
l’energia fornita in eccesso al sistema rispetto a quella necessaria per vincere le resistenze, mentre nelle
fasi di decelerazione restituiscono l’energia immagazzinata per supplire a un deficit di potenza motrice
rispetto a quella necessaria per vincere le resistenze.
Una fondamentale limitazione del Teorema dell’Energia Cinetica `e legata al fatto che esso considera
la potenza effettiva delle forze attive, ovvero legata all’effettivo atto di moto del sistema, e non quella
virtuale, ovvero legata all’atto di moto virtuale (si ricorda che virtuale significa compatibile con i vincoli
a tempo fissato). La differenza sostanziale tra i due atti di moto `e proprio legata alla valutazione a tempo
fissato, come illustrato nel paragrafo successivo. Di conseguenza, il Teorema dell’Energia Cinetica si pu`
o
applicare solo a problemi in cui l’atto di moto effettivo e quello virtuale coincidono, ossia in cui non ci
siano vincoli mobili (dipendenti dal tempo), ma solo vincoli intrinsecamente a tempo fissato.
Esercizio 2.4 Si calcoli l’energia cinetica del corpo incernierato a terra partendo dall’energia cinetica
per unit`
a di volume.
2.3
Le equazioni di Lagrange (di IIo tipo)
` stato messo in luce come l’analisi dinamica di un sistema composto da pi`
E
u corpi possa essere convenientemente risolta mediante la scrittura del teorema dell’energia cinetica (o dell’equivalente bilancio di
potenze) in quanto, in presenza di soli vincoli lisci e fissi, ne deriva l’equazione scalare pura del moto.
Nel caso si debbano determinare le forze scambiate tra i vari elementi componenti il sistema, le azioni
interne e le reazioni vincolari, `e stato invece proposto il metodo degli equilibri dinamici, noto anche come
principio di d’Alembert.
Si vuole presentare un metodo ulteriore per la scrittura delle equazioni di moto tramite le equazioni
di Lagrange (Fig. 2.2). Questo metodo energetico trova un’importante applicazione, come illustrato in
seguito, nel caso di sistemi a pi`
u gradi di libert`
a.
Ci si limiti, per ora, al caso di un sistema piano ad un solo grado di libert`
a, composto da un corpo
rigido di massa m e momento d’inerzia baricentrico JG soggetto a vincoli bilateri lisci. Detta q la variabile
indipendente scelta per il sistema, l’equazione di Lagrange nella sua forma pi`
u nota si presenta come:
∂T
dV
d ∂T
−
+
= Qq
(2.20)
dt ∂ q˙
∂q
dq
2-5
Figura 2.2: Joseph-Louis Lagrange, nato Giuseppe Lodovico Lagrangia o ancora Giuseppe Luigi
Lagrangia o Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 — Parigi, 10 aprile 1813).
dove T e V indicano rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale3 del sistema, mentre Qq
indica la componente lagrangiana delle sollecitazioni attive relativa alla coordinata libera q.
L’energia cinetica del sistema `e data dalla (2.9), qui ripetuta per chiarezza espositiva:
1
1
m~vG × ~vG + JG ω
~ ×ω
~
2
2
T =
(2.21)
dove con ~vG e con ω
~ sono indicate rispettivamente la velocit`
a del baricentro e la velocit`
a angolare del
corpo rigido.
Le generiche variabili fisiche y sono funzioni dell’unica coordinata libera q tramite le relazioni che
ne governano la cinematica e la geometria (tali legami possono avere anche una dipendenza esplicita
dal tempo nel caso in cui vincoli esterni o interni varino la loro configurazione con legge assegnata nel
tempo):
y = y (q, t)
(2.22)
Si noti che, data la definizione di variabile fisica in (2.22), la velocit`
a fisica `e definita come
v=
∂y
∂y
dy
=
q˙ +
,
dt
∂q
∂t
(2.23)
mentre lo spostamento virtuale corrispondente `e definito come
δy =
∂y
δq
∂q
(2.24)
in quanto lo spostamento virtuale avviene a vincoli e a tempo fissato, per cui la dipendenza esplicita dal
tempo della (2.22), che nella (2.23) compare attraverso il termine ∂y/∂t, nella (2.24) non partecipa alla
definizione dello spostamento virtuale.
Il termine V rappresenta l’energia potenziale delle forze agenti che ammettono potenziale, e quindi
conservative (ad esempio la forza peso, eventuali forze elastiche, ecc.). In Qq sono comprese le componenti
lagrangiane di tutte le restanti forze attive agenti sul sistema. Il termine Qq viene calcolato come il lavoro
virtuale di tali forze per uno spostamento virtuale unitario della variabile indipendente δq, ovvero come
il termine ottenuto dal raccoglimento a fattor comune di δq nell’espressione del lavoro virtuale di tali
forze, Qq = ∂δL/∂δq.
3 Alcuni
autori, al posto dell’energia potenziale V , usano il potenziale U delle forze conservative; si ricorda che U = −V .
2-6
Con riferimento sempre all’esempio iniziale, utilizzando come variabile libera q l’angolo ϑ di rotazione
˙ avremo che
del corpo, e quindi ω = ϑ,
∂T
∂ 1
2
2
JG + m |(G − O)| ω 2 = JG + m |(G − O)| ω
=
∂ ϑ˙
∂ ϑ˙ 2
d ∂T
2
= JG + m |(G − O)| ω˙
dt ∂ ϑ˙
∂T
=0
∂ϑ
V = mg |(G − O)| sin ϑ
dV
= mg |(G − O)| cos ϑ
dϑ
δL = M + (P − O) ∧ F~ × ~k δϑ
Qq = M + (P − O) ∧ F~ × ~k
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
che, sostituite nella (2.20), portano a
JG + m |(G − O)|
2
ω˙ + mg |(G − O)| cos ϑ = M + (P − O) ∧ F~ × ~k
(2.32)
ovvero di nuovo all’equazione scalare pura (2.5).
2.4
Le equazioni di Lagrange (di Io tipo)
Le equazioni di Lagrange di primo tipo partono dalle equazioni di Newton-Eulero, o equazioni cardinali
della dinamica. Queste sono espresse in funzione di coordinate cartesiane che descrivono la posizione e
l’orientazione di ogni corpo che costituisce il sistema.
La presenza di vincoli cinematici, che riducono il numero di gradi di libert`
a effettivi del problema,
viene espressa esplicitamente mediante l’aggiunta delle equazioni algebriche di vincolo,
ϕj (xG , yG , ϑ, t) = 0.
(2.33)
Queste ultime consentono di applicare le reazioni vincolari, nell’ipotesi di vincoli lisci, direttamente
alle equazioni cardinali del moto del corpo, mediante il formalismo dei moltiplicatori di Lagrange. Le
equazioni di vincolo devono essere indipendenti, altrimenti si ha una sovradeterminazione (le equazioni
di vincolo non sono pi`
u indipendenti). Condizione necessaria per avere equazioni indipendenti `e che le
equazioni di vincolo siano in numero al pi`
u pari ai gradi di libert`
a del sistema.
Si scriva formalmente la Lagrangiana
L=T −V =
1
1
1
1
2
+ JG ϑ˙ 2 − mgyG .
m~vG × ~vG + JG ω
~ ×ω
~ + m~g × ~xG = m x˙ 2G + y˙ G
2
2
2
2
La si aumenti con un termine
X
L′ =
λk ϕk (xG , yG , ϑ, t) ,
(2.34)
(2.35)
k=1,c
ove i λk sono moltiplicatori incogniti relativi ad ogni equazione di vincolo cinematico. Quando il vincolo
ϕk `e rispettato, il valore della Lagrangiana originaria, L, non dipende in alcun modo dal valore del
corrispondente moltiplicatore λk .
Si applichi il formalismo di Lagrange a L + L′ , considerando alla stregua di coordinate libere sia le
coordinate cartesiane di ogni corpo che i moltiplicatori λk . La derivazione del contributo delle equazioni
2-7
di vincolo, L′ , comporta
X
∂L′
∂ϕk
=
λk
∂xG
∂xG
(2.36a)
k=1,c
X
∂L′
∂ϕk
=
λk
∂yG
∂yG
(2.36b)
k=1,c
X
∂ϕk
∂L′
=
λk
∂ϑ
∂ϑ
(2.36c)
k=1,c
∂L′
= ϕk .
∂λk
(2.36d)
Si ottiene, per il corpo rigido e per ogni vincolo k:
X ∂ϕk
m¨
xG +
λk = Qx G
∂xG
(2.37a)
k=1,c
m¨
yG +
X ∂ϕk
λ k = Q yG
∂yG
(2.37b)
k=1,c
JG ϑ¨ +
X ∂ϕk
λk = Qϑ
∂ϑ
(2.37c)
k=1,c
ϕk = 0.
(2.37d)
Ciascun termine
∂ϕk
λk
∂qj
(2.38)
rappresenta il contributo del vincolo k-esimo alle reazioni vincolari dell’equazione di equilibrio alla
traslazione in direzione j-esima, o alla rotazione attorno all’asse j-esimo, del corpo.
Considerando il problema iniziale, le coordinate sono rappresentate da xG , yG e ϑ, quest’ultima
corrispondente alla coordinata libera usata nelle equazioni di Lagrange di secondo tipo. La lagrangiana
`e
1
1
2
+ JG ϑ˙ 2 − mgyG ,
(2.39)
L = m x˙ 2G + y˙ G
2
2
mentre il lavoro virtuale delle forze generalizzate `e
~×M
~ = δxG Fx + δyG Fy + δϑ (P − G) ∧ F~ × ~k + M ,
δ ∗ L = δ~xP × F~ + δ ϑ
(2.40)
dal momento che lo spostamento virtuale del punto P `e dato da
δ~xP = δxG~i + δyG~j + δϑ~k ∧ (P − G) .
(2.41)
Sono presenti due relazioni di vincolo, in quanto il sistema ha un solo grado di libert`
a. Possono
essere espresse in vari modi equivalenti. Ad esempio, si pu`o imporre che la distanza tra i punti G e O
sia costante e pari a |G − O|, e che il rapporto tra le coordinate del baricentro sia pari alla tangente
dell’angolo ϑ. Sia quindi
q
p
2 − |G − O| = 0,
ϕ1 = (G − O) × (G − O) − |G − O| = x2G + yG
(2.42)
da cui
xG
∂ϕ1
=
∂xG
[G − O]
yG
∂ϕ1
=
∂yG
[G − O]
∂ϕ1
= 0,
∂ϑ
(2.43a)
(2.43b)
(2.43c)
2-8
e
ϕ2 = xG sin ϑ − yG cos ϑ = 0,
(2.44)
da cui
∂ϕ2
= sin ϑ
∂xG
∂ϕ2
= − cos ϑ
∂yG
∂ϕ2
= xG cos ϑ + yG sin ϑ.
∂ϑ
(2.45a)
(2.45b)
(2.45c)
Trascurando nel seguito la forza F~ , ne risulta
xG
λ1 + sin ϑλ2 = 0
[G − O]
yG
m¨
yG +
λ1 − cos ϑλ2 = −mg
[G − O]
JG ϑ¨ + (xG cos ϑ + yG sin ϑ) λ2 = M
q
2 − |G − O| = 0
x2G + yG
(2.46a)
m¨
xG +
(2.46b)
(2.46c)
(2.46d)
xG sin ϑ − yG cos ϑ = 0.
(2.46e)
Oppure, pi`
u semplicemente, si possono definire le coordinate del baricentro come
ϕ1 = xG − |G − O| cos ϑ
ϕ2 = yG − |G − O| sin ϑ,
(2.47a)
(2.47b)
da cui
∂ϕ1
∂xG
∂ϕ1
∂yG
∂ϕ1
∂ϑ
∂ϕ2
∂xG
∂ϕ2
∂yG
∂ϕ2
∂ϑ
=1
(2.48a)
=0
(2.48b)
= |G − O| sin ϑ
(2.48c)
=0
(2.48d)
=1
(2.48e)
= − |G − O| cos ϑ
(2.48f)
Ne risulta
m¨
x G + λ1 = 0
m¨
yG + λ2 = −mg
JG ϑ¨ + |G − O| sin ϑλ1 − |G − O| cos ϑλ2 = M
xG − |G − O| cos ϑ = 0
yG − |G − O| sin ϑ = 0.
(2.49a)
(2.49b)
(2.49c)
(2.49d)
(2.49e)
In entrambi i casi mediante sostituzioni `e possibile riottenere l’equazione precedente.
` evidente come l’uso delle equazioni di Lagrange del primo tipo dia luogo a sistemi di equazioni molto
E
pi`
u grandi rispetto, ad esempio, alle equazioni del secondo tipo, che consentono di ricavare direttamente
le equazioni pure del moto, in numero pari ai gradi di libert`
a effettivi del problema.
2-9
Tuttavia, la scrittura delle equazioni del primo tipo pu`
o essere pi`
u facilmente automatizzabile, a
condizione di risolvere poi un problema di equazioni sia algebriche che differenziali.
Un vantaggio significativo `e che nelle equazioni del primo tipo occorre soltanto calcolare la derivata
prima delle equazioni di vincolo, per scrivere i coefficienti con cui i moltiplicatori λk agiscono sulle
equazioni cardinali del moto. Viceversa, le equazioni del secondo tipo richiedono di derivare le equazioni
di vincolo per esplicitare le variabili cinematiche dipendenti in funzione delle coordinate libere, e fino alla
derivata seconda, per poter scrivere le forze d’inerzia.
Un altro vantaggio `e dato dal fatto che in presenza di vincoli non lisci per risolvere le equazioni del
moto occorre conoscere a priori le reazioni vincolari associate a tali vincoli. Le equazioni di Lagrange
di Io tipo consentono di scrivere il problema direttamente sotto forma di sistema di equazioni in cui alle
incognite cinematiche si aggiungono quelle di reazione, e quindi di esprimere opportunamente le forze
attive che dipendono dalle reazioni vincolari associate ai vincoli non lisci. Si veda a tal proposito il
Capitolo 7, in cui viene discusso l’attrito.
Esercizio 2.5 Utilizzando il formalismo delle equazioni di Lagrange di Io tipo si scrivano le equazioni del
moto di un punto materiale di massa m, nel piano verticale, descritto mediante le componenti cartesiane
della sua posizione, x e y, vincolato a scorrere lungo un piano inclinato di un angolo α.
Esercizio 2.6 Si consideri un punto materiale di massa m, posto nel piano verticale, spinto da una
forza orizzontale f (t) e vincolato a scorrere lungo una guida ideale (liscia), la cui quota y dipende dalla
posizione in direzione orizzontale x secondo la funzione regolare y = y(x). Si scriva l’equazione del moto
del punto materiale e si ricavi la reazione vincolare scambiata con la guida utilizzando, nell’ordine, gli
equilibri dinamici, il principio dei lavori virtuali, il teorema dell’energia cinetica (verificandone l’applicabilit`
a) e le equazioni di Lagrange di IIo e di Io tipo, nel caso in cui y = y0 sin(2πx/L). Si valutino i
vantaggi e gli svantaggi dei diversi approcci.
2.5
Metodo di Gauss
Altri metodi, del tutto equivalenti ai precedenti ma degni di nota per la loro ingegnosit`
a sono riconducibili
a Gauss (metodo dell’azione minima, a sua volta ispirato ad una intuizione filosofica di Maupertuis, e
analogo al metodo di minima curvatura di Hertz per problemi geometrici), a Gibbs-Appell, a Maggi (o
Maggi-Kane, secondo la letteratura anglosassone) e altri ancora.
¨ che
Nel seguito si illustra brevemente il metodo di Gauss. Quest’ultimo afferma che l’accelerazione x
soddisfa le equazioni del moto di un problema dinamico soggetto alle forze f e al generico vincolo di
posizione φ(x) = 0 minimizza la forma quadratica
G(¨
x) =
1
T
(¨
x − a) M (¨
x − a)
2
(2.50)
ove M `e la matrice di massa del sistema, e a = M−1 f sono le accelerazioni che il sistema subirebbe in
assenza del vincolo.
La dimostrazione pu`
o essere ottenuta in modo ingegnoso utilizzando un approccio in analogia con il
formalismo di Lagrange. Si modifichi la forma quadratica aggiungendo la derivata seconda dell’equazione
di vincolo,
∂φ
d2
¨ −b
x
φ=
dt2
∂x
(2.51)
¨ , moltiplicata per un opportuno
ove b contiene la parte di derivata seconda di φ che non dipende da x
vettore di moltiplicatori incogniti λ, detti anche moltiplicatori di Lagrange,
∂φ
¨ −b
G∗ (¨
x, λ) = G(¨
x) + λ T
x
(2.52)
∂x
¨ soggetta al vincolo φ, diventa una
A questo punto il problema, da una minimizzazione di G rispetto a x
¨ e λ.
minimizzazione libera di G∗ rispetto a x
2-10
Si ricava
∂G∗
∂φ T
= M (¨
x − a) +
λ=0
¨
∂x
∂x
∗
∂G
∂φ
¨ −b=0
x
=
∂λ
∂x
(2.53)
(2.54)
La seconda relazione `e la derivata seconda dei vincoli, mentre la prima `e l’equazione del moto del problema
scritta secondo il formalismo di Lagrange del primo tipo.
` possibile trovare una soluzione in forma esplicita ricavando prima x
¨ dalla (2.53),
E
¨ = a − M−1
x
∂φ T
λ
∂x
(2.55)
e sostituendolo nella (2.54),
∂φ −1
M
∂x
∂φ
∂x
T
λ=
∂φ
a−b
∂x
(2.56)
dalla quale `e possibile ricavare esplicitamente i moltiplicatori di Lagrange,
λ=
∂φ −1
M
∂x
∂φ
∂x
T !−1 ∂φ
a−b
∂x
(2.57)
Questi ultimi, sostituiti nella (2.55), forniscono l’accelerazione che fa s`ı che i vincoli siano soddisfatti,


T !−1
∂φ
∂φ
∂φ
a
¨ = I − M−1
M−1
x
∂x
∂x
∂x
+M
−1
∂φ −1
M
∂x
∂φ
∂x
T !−1
(2.58)
b
¨ , `e
Tale soluzione si presta ad una interessante interpretazione: l’accelerazione compatibile con i vincoli, x
pari a quella che si avrebbe in assenza di vincoli, a, con l’aggiunta del contributo strettamente necessario
ad impedirne la violazione.
Ricordando che a = M−1 f , l’accelerazione compatibile con i vincoli viene ottenuta “filtrando” le
forze e depurandole del contributo che causerebbe una violazione dei vincoli. In pratica, le forze f sono
“proiettate”4 lungo direzioni tali per cui non possono provocare accelerazioni che condurrebbero ad una
violazione dei vincoli.
Esercizio 2.7 Mediante il formalismo del metodo di Gauss si scrivano le equazioni del moto del problema
del corpo rigido incernierato a terra utilizzando le coordinate cartesiane del baricentro come coordinate
Lagrangiane, e imponendo come equazione di vincolo che la distanza del baricentro dalla cerniera sia
costante.
4E
` facile verificare che la matrice che moltiplica a nella (2.58) `
e proprio un proiettore (non ortogonale), ovvero una
matrice P tale per cui P2 = P (non ortogonale in quanto PT 6= P).
2-11
2-12
Capitolo 3
Cinematica e dinamica dei sistemi di
corpi rigidi
Generato il 23 ottobre 2014
3.1
I sistemi di corpi rigidi
I risultati ottenuti nel Capitolo 1 per un singolo corpo rigido possono essere estesi al caso di un sistema
di corpi rigidi ricordando dalla Meccanica Razionale che:
condizione necessaria e sufficiente perch´e un sistema di corpi rigidi sia in equilibrio `e che sia
in equilibrio ciascuna sua parte considerata rigida.
Ovviamente, per applicare questo criterio alla condizione dinamica, occorrer`
a estendere il concetto di
equilibrio statico al caso dinamico, ossia inserire nelle equazioni anche le forze e coppie di inerzia agenti
sui vari corpi componenti il sistema. Dalla condizione sopra citata discende che per un sistema composto
da n corpi rigidi possono scriversi n sistemi di equazioni vettoriali del tipo (1.11):
F~j + F~i,j
~
~
MO,j + Ci,j + (Gj − O) ∧ F~i,j
=
=
0
0
(3.1)
dove F~i,j = −F~j,i sono le forze interne scambiate tra le parti i e j. Le (3.1), opportunamente proiettate,
daranno luogo, per un sistema piano, a 3×n equazioni scalari indipendenti. Nel sistema di equazioni (3.1)
il vettore risultante delle forze agenti sul generico corpo j-esimo, F~j , comprende:
• le forze esterne agenti sul solo corpo j;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j a terra;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j agli altri corpi del
sistema.
Queste equazioni consentono di calcolare 3 × n incognite che, in genere, saranno in larga parte costituite
dalle reazioni vincolari, e che inoltre comprenderanno:
• un numero di parametri cinematici incogniti (componenti di accelerazione periferica o angolare dei
corpi) pari al numero di gradi di libert`
a del sistema, nel caso in cui si voglia risolvere un problema
di dinamica diretta;
• un numero di componenti di forza o coppia incognite pari al numero di gradi di libert`
a del sistema,
nel caso in cui si voglia risolvere un problema di dinamica inversa.
3-1
Naturalmente, in base a quanto affermato sopra, una coppia di equazioni di equilibrio dinamico aventi
la forma (3.1) pu`
o essere scritta per qualsiasi parte del sistema, non necessariamente formata dal singolo
j-esimo corpo rigido, ma ad esempio da pi`
u corpi uniti fra loro da vincoli. In questo caso, le tre equazioni
scalari di equilibrio dinamico che si possono scrivere conterranno:
• le forze esterne agenti su tutti i corpi facenti parte di quella porzione del sistema per cui si scrive
la condizione di equilibrio dinamico;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano a terra la parte di sistema
considerata;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano la porzione considerata al
resto del sistema; non compariranno per`
o le forze scambiate tra i corpi appartenenti alla parte di
sistema considerata, in quanto forze interne1 .
In ogni caso, `e facile verificare che qualunque nuova equazione si scriva in aggiunta al sistema (3.1)
`e combinazione lineare delle equazioni gi`
a contenute in quel sistema. In altre parole, l’equilibrio di un
sistema di n corpi consente di scrivere solamente 3 × n equazioni scalari linearmente indipendenti. Fermo
restando questo numero massimo di equazioni, di volta in volta potr`a essere pi`
u opportuno e semplice,
per il tipo di sistema considerato, scegliere di imporre l’equilibrio parziale di un solo corpo, di una parte
di sistema formata da pi`
u corpi o addirittura dell’intero sistema, tenendo conto delle avvertenze sopra
riportate su quali forze includere in tali equazioni.
3.2
Dipendenza dell’equilibrio dalla configurazione
La scrittura delle equazioni di equilibrio dipende dalla conoscenza della configurazione del sistema, ovvero
delle posizioni relative tra le parti che lo compongono, e dalla capacit`a di descriverne le variazioni in
funzione delle variabili indipendenti che lo caratterizzano, per due ordini di motivi:
• la scrittura delle equazioni di equilibrio richiede la conoscenza della posizione dei punti di applicazione delle forze che agiscono sui corpi, dell’orientazione dei corpi sui quali agiscono le coppie, e
della posizione dei poli rispetto ai quali si scrivono le equazioni di equilibrio dei momenti
• le forze e le coppie agenti sui corpi che costituiscono il sistema possono dipendere a vario titolo
dalla configurazione e dalle sue derivate.
La descrizione della cinematica del sistema in funzione delle variabili indipendenti prescelte si ottiene
mediante la scrittura delle equazioni cinematiche che esprimono i vincoli tra le varie parti del sistema,
come illustrato nel Capitolo 1.2.2. La derivazione delle equazioni di vincolo, a sua volta, consente di
esprimere le derivate delle variabili cinematiche che descrivono la configurazione del sistema in funzione
delle derivate delle variabili indipendenti. Tali derivate sono essenziali per la scrittura delle forze da loro
dipendenti.
3.2.1
Cinematica
I sistemi di corpi tra i quali `e consentito movimento relativo si chiamano catene cinematiche. La descrizione delle catene cinematiche, siano esse aperte o chiuse, avviene rappresentando ogni corpo come
un insieme di vettori che collegano i punti nei quali i corpi sono vincolati l’uno all’altro. Dal momento
che i vettori sono entit`a matematiche che descrivono entit`a fisiche, con essi si possono scrivere e risolvere
equazioni. In figura 3.1 `e illustrato il passaggio da un problema fisico, un pistone in movimento all’interno di un motore alternativo, al corrispondente modello matematico, ovvero un insieme di vettori che
descrivono i punti in cui sono applicati i vincoli tra i diversi corpi costituenti il sistema.
1 Ricordando difatti il principio di azione e reazione, a ciascuna forza se ne accompagner`
a una uguale e contraria, con
uguale retta di applicazione, di modo che il contributo di queste due forze sar`
a complessivamente nullo, sia per quanto
~ che per il momento M
~ 0 rispetto al polo O considerato.
riguarda il vettore risultante F
3-2
Figura 3.1: Motore alternativo.
Equazione di chiusura
L’equazione vettoriale di chiusura di un percorso ad anello nello spazio consiste nella somma vettoriale di
`
tutti i vettori che costituiscono un percorso ad anello della catena cinematica, che quindi risulta nulla. E
conveniente utilizzare questo metodo per la scrittura delle equazioni di vincolo per le catene cinematiche
chiuse, in quanto si sfrutta il fatto che un percorso chiuso, durante l’operativit`
a della macchina, si
mantiene tale. Se ne ricavano 3 equazioni scalari di vincolo nello spazio; 2 nel piano.
Attraverso la scrittura di opportune equazioni di vincolo, tutti i parametri di configurazione di un
meccanismo possono essere descritti in funzione delle variabili indipendenti del problema. Non tutte
le equazioni di chiusura che si possono scrivere sono linearmente indipendenti; ad esempio, se lo stesso
anello chiuso viene sommato una volta in un verso e un’altra volta nel verso opposto si ottiene due volte
la stessa equazione. Occorre quindi aver cura di descrivere, con ogni equazione di chiusura, un diverso
percorso.
Si consideri ad esempio il sistema in figura 3.2, la gamba di un carrello principale di un velivolo da
combattimento. Esso costituisce un chiaro esempio di catena cinematica chiusa. I 3 corpi costituenti
sono la parte fissa e la parte basculante della gamba, e l’ammortizzatore2 . I corpi siano descritti mediante
vettori che congiungono i punti di vincolo, ossia, nel caso in esame, i punti in cui sono collocate le cerniere
che consentono la rotazione relativa tra le parti:
• la parte fissa della gamba `e rappresentata dal vettore (A − C), di lunghezza e orientazione costanti;
• la parte basculante della gamba `e rappresentata dal vettore (B − A), di lunghezza costante e
orientazione variabile;
• l’ammortizzatore `e rappresentato dal vettore (C − B), di lunghezza e orientazione variabili.
2 In realt`
a l’ammortizzatore `
e costituito da due corpi tra i quali `
e consentita solamente la traslazione lungo l’asse, ed
eventualmente la rotazione attorno allo stesso asse. Nel caso in esame, tuttavia, `
e sufficiente ed opportuno considerare un
solo corpo, la cui lunghezza possa variare.
3-3
Figura 3.2: Carrello di atterraggio (carrello principale di un F18).
La configurazione dipende quindi dalle tre grandezze cinematiche variabili appena menzionate. L’equazione di chiusura `e
(A − C) + (B − A) + (C − B) = ~0
(3.2)
In un problema piano, l’equazione vettoriale (3.2) rappresenta 2 equazioni scalari, che possono essere
interpretate come le proiezioni dell’equazione (3.2) sugli assi che definiscono il sistema di riferimento
considerato.
Formalismo dei numeri complessi
Quando si considerano problemi piani, `e spesso vantaggioso utilizzare il formalismo dei numeri complessi,
ovvero l’analogia tra il piano cartesiano ed il piano complesso (o piano di Gauss), per cui la proiezione su
due assi coordinati ortogonali viene ricondotta alla decomposizione dei numeri complessi in parte reale
ed immaginaria.
Un generico vettore ~v nel piano ha due componenti,
vx
~v =
(3.3)
vy
Quindi, nel piano complesso, pu`
o essere rappresentato come
~v = vx + ivy .
(3.4)
L’uso dei numeri complessi in notazione esponenziale rende particolarmente vantaggioso questo metodo
qualora si voglia esprimere i vettori in termini di modulo e anomalia, ove l’anomalia, per tutti i vettori,
deve essere valutata a partire da un comune riferimento, ovvero una direzione parallela all’asse reale, con
verso positivo dell’anomalia in senso antiorario. Quindi un vettore
cos θ
~v = |v|
(3.5)
sin θ
viene rappresentato nel piano complesso come
~v = |v| eiθ ,
(3.6)
iθ
in quanto e = cos θ + i sin θ.
Nell’esempio in questione siano
3-4
• a e α il modulo e l’anomalia del vettore (B − A), con a costante in quanto (B − A) `e rigido;
• b e β il modulo e l’anomalia del vettore (C − B), entrambi variabili;
• c e γ il modulo e l’anomalia del vettore (A − C), entrambi costanti, in quanto (A − C) `e il telaio.
L’equazione di chiusura (3.2) diventa
aeiα + beiβ + ceiγ = 0
(3.7)
Questa equazione in variabili complesse corrisponde a due equazioni in variabili reali,
a cos α + b cos β + c cos γ = 0
(3.8a)
a sin α + b sin β + c sin γ = 0
(3.8b)
I parametri cinematici incogniti sono 3; di conseguenza, attraverso l’equazione di chiusura, si ottengono
le due relazioni che consentono di descrivere il movimento dell’intera catena cinematica in funzione di un
solo parametro, che rappresenta la coordinata libera del sistema.
Esistono tre combinazioni di parametri da esplicitare in funzione della coordinata libera:
1. due angoli; si ottiene un problema non-lineare trascendente, di cui tuttavia la soluzione, se esiste,
`e ottenibile in forma chiusa
2. un angolo ed una lunghezza; si ottiene di nuovo un problema non-lineare trascendente, la cui
soluzione, se esiste, `e di nuovo esplicitabile in forma chiusa
3. due lunghezze; si ottiene un problema lineare.
Esercizio 3.1 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (3.7), in cui α, b e c sono costanti,
e si esprimano β e γ in funzione di a.
Esercizio 3.2 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (3.7), in cui α, b e c sono costanti,
e si esprimano β e a in funzione di γ.
Esercizio 3.3 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (3.7), in cui α, β e c sono costanti,
e si esprimano a e b in funzione di γ.
Un vantaggio che si ha con l’uso di questa notazione consiste nella possibilit`a di derivare l’equazione
di chiusura con una notevole facilit`
a, eseguendo una sola operazione di derivazione, per poi separare il
risultato in parte reale ed immaginaria ad ottenere le due equazioni scalari derivate di vincolo.
Nel seguito verr`
a illustrata un’applicazione di questo formalismo alla descrizione del movimento di
un pistone in un motore a combustione interna.
3.2.2
Forze dipendenti dalla configurazione
Nei sistemi meccanici possiamo riconoscere tre classi di forze legate alla geometria, ovvero:
• forze dipendenti dagli spostamenti del sistema;
• forze dipendenti dalle velocit`
a del sistema;
• forze dipendenti dalle accelerazioni del sistema; queste ultime comprendono le forze d’inerzia, e
tipicamente si limitano ad esse.
3-5
Figura 3.3: Curva caratteristica di una molla.
Forze dipendenti dagli spostamenti del sistema
Possono essere prodotte o da una deformazione di un elemento del sistema (come nel caso dell’elongazione
di una molla o della torsione di un albero) oppure per effetto del movimento in un campo di forze
(gravitazionale, elettrostatico, elettromagnetico). Sperimentalmente si verifica che la forza f necessaria
ad imporre uno spostamento relativo ξ tra due corpi rigidi dipende da ξ stesso. In figura 3.3, i cerchi
bianchi rappresentano i valori sperimentali. Anche se il legame fra f (ξ) e ξ `e non lineare, in molti casi di
interesse applicativo se ne pu`
o utilizzare un’approssimazione lineare. Essa `e ottenuta nel modo seguente:
• indichiamo con f (ξ ∗ ) la forza agente fra i due corpi in condizioni di equilibrio statico per un’elongazione ξ ∗ ;
• incrementando la forza di una quantit`a ∆f , i corpi si allontaneranno di una quantit`a ∆ξ. La nuova
forza agente f (ξ ∗ ) + ∆f pu`
o anche essere calcolata usando l’espansione in serie di Taylor attorno
alla posizione di equilibrio statico ovvero
1 d2 f df ∆ξ
+
∆ξ 2 + . . .
(3.9)
f (ξ ∗ ) + ∆f = f (ξ ∗ + ∆ξ) = f (ξ ∗ ) +
dξ ξ∗
2! dξ 2 ξ∗
Per piccoli valori di elongazione, le derivate di ordine superiore al primo possono essere trascurate,
per cui
df f (ξ ∗ ) + ∆f ∼
∆ξ
(3.10)
= f (ξ ∗ ) +
dξ ξ∗
ovvero
df ∆ξ = k∆ξ
∆f ∼
=
dξ ξ∗
(3.11)
ove k `e pari a:
df k=
dξ ξ∗
(3.12)
e rappresenta il coefficiente angolare della tangente locale alla curva sperimentale che lega le forze
f alle elongazioni ξ, ovvero la forza applicata che, in condizioni statiche, induce un’elongazione
unitaria.
3-6
Rigidezza equivalente di elementi elastici continui. In molti casi, il valore approssimato della rigidezza k di elementi elastici pu`
o essere stimato utilizzando le formule fornite dalla Scienza delle
Costruzioni3 .
Ad esempio la rigidezza torsionale di un albero pu`
o essere calcolata ricordando che in condizioni di
equilibrio statico, ovvero trascurando l’inerzia dell’albero stesso supposto omogeneo, l’angolo di rotazione
Ψstat di una sezione generica di coordinata z rispetto alla sezione z = 0 `e proporzionale a z stesso e vale
Mt
Ψstat
=q
z
GJp
(3.13)
ove
G
`e il modulo di elasticit`
a tangenziale del materiale di cui `e composto
l’albero;
Jp
`e il momento polare d’inerzia della sezione;
Mt `e il momento torcente equivalente alla distribuzione degli sforzi
sulla sezione normale;
q
`e il fattore di torsione.
Nel caso particolare di torsione circolare, in cui le sezioni si mantengono piane, q `e uguale a 1. Ne
deriva che il momento torcente Mt che induce una rotazione Ψstat unitaria in una sezione di estremit`a
rispetto all’altra in un albero omogeneo a sezione circolare lungo l, ovvero la rigidezza torsionale kt
dell’albero stesso, `e pari a:
kt =
GJp
l
(3.14)
Con analoghi approcci, sempre utilizzando quanto imparato nel corso di Scienza delle Costruzioni, `e
possibile valutare, sempre nelle ipotesi di Saint Venant, la rigidezza in alcuni punti significativi di travi
omogenee variamente vincolate agli estremi, come illustrato in Tabella 3.1, ove
A
`e l’area della sezione trasversale;
E
`e il modulo di elasticit`
a normale del materiale (o di Young) di cui
`e composto l’albero;
J
`e il momento d’inerzia della sezione trasversale;
l
lunghezza di libera inflessione della trave (l = a + b).
Rigidezza equivalente dovuta a campi di forze dipendenti dalla posizione. Per quanto riguarda il caso di campi di forze, supponiamo di studiare che cosa succede a un galleggiante cilindrico come
quello illustrato in figura 3.4, opportunamente zavorrato, che si muova solo in direzione verticale. Trascurando ogni moto del liquido che possa interferire col sistema, il cilindro si dispone, in condizioni statiche,
con la sua faccia superiore a una quota h dal pelo libero in modo che il suo peso sia equilibrato dalla
spinta di Archimede. Se il cilindro `e spostato verticalmente di una quantit`a x, la forza di galleggiamento
varia di una quantit`a pari al peso del volume di fluido spostato, ovvero
∆f = ρgAx = kx
(3.20)
dove ρ `e la densit`a del liquido, g l’accelerazione di gravit`a e A l’area di base del cilindro. La variazione di
forza `e opposta allo spostamento x, e tendente a riportare il cilindro nella posizione di equilibrio statico.
Esercizio 3.4 Illustrare altri esempi di forze dipendenti dalla posizione.
Forze dipendenti dalla velocit`
a del sistema
Tra le forze dipendenti dalla velocit`
a, di interesse rilevante in meccanica sono quelle che introducono
dissipazione, in quanto si oppongono al verso del moto e quindi compiono sempre lavoro negativo.
3 Queste note sono state scritte quando il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali era preceduto, nell’ordinamento
degli studi D.M. 509, dal corso di Scienza delle Costruzioni. Nell’ordinamento corrente, D.M. 270, i due corsi sono in
parallelo, per cui gli studenti avranno le nozioni necessarie per valutare le rigidezze equivalenti solo al termine del semestre.
Queste note vanno quindi considerate a titolo di esempio, ed eventualmente meditate durante la preparazione dell’esame
anche alla luce di quanto appreso nel frattempo dallo studio della Scienza delle Costruzioni.
3-7
Tabella 3.1: Rigidezze equivalenti di travi variamente vincolate.
condizioni di carico e di rigidezza equivalente lunvincolo
go la direzione del carico
nel punto di applicazione
dello stesso
trave sollecitata a carico assiale (libera-libera)
k=
EA
l
(3.15)
k=
3EJl
a 2 b2
(3.16)
k=
3EJ
l3
(3.17)
k=
768EJ
7l3
(3.18)
k=
192EJ
l3
(3.19)
trave sollecitata a flessione
(appoggio-appoggio)
trave sollecitata a flessione
(incastro-libera)
trave sollecitata a flessione
(incastro-appoggio)
trave sollecitata a flessione
(incastro-incastro)
3-8
Figura 3.4: Galleggiante
Si differenziano tra loro per la natura del fenomeno da cui hanno origine e per la dipendenza che
mostrano dal modulo della velocit`
a.
Nel caso di strisciamento tra corpi a contatto, si ha il fenomeno dell’attrito dinamico, indicato in
figura 3.5 con il nome di attrito secco, che verr`
a ulteriormente discusso nel Capitolo 7. L’entit`a della
forza di attrito non dipende sostanzialmente dalla velocit`
a relativa, salvo che in prossimit`a dell’arresto o
del primo distacco.
Qualora il contatto avvenga tra un corpo e un fluido, dalla Fluidodinamica `e noto che le particelle
di fluido immediatamente a contatto con le superfici del corpo sono ferme4 rispetto al corpo, mentre in
generale le particelle del fluido sono in moto relativo fra loro. Mediante considerazioni sviluppate nei
Capitoli 10 e 11, si ricava una proporzionalit`a diretta tra forza e velocit`
a del fluido nel caso di flusso
laminare, che diventa quadratica in caso di flusso turbolento.
Il rapporto tra la pressione dinamica e gli sforzi di attrito va sotto il nome di numero di Reynolds 5 ,
indicato con Re, e, in base alla esperienza di Sir Osborne Reynolds, rappresenta un indicatore del tipo
di regime pi`
u probabile del moto del fluido:
• se il numero di Reynolds `e relativamente basso (Re < 1100), in quanto il moto relativo tra le
particelle di fluido `e relativamente lento, oppure se la viscosit`a del fluido `e relativamente alta, il
moto di quest’ultimo `e generalmente laminare; la forza d’attrito che nasce, detta di smorzamento
viscoso, pu`
o ritenersi direttamente proporzionale alla velocit`
a relativa.
• se invece il numero di Reynolds `e sufficientemente alto (Re > 3500) il moto del fluido si manifesta
in forma turbolenta, e la forza di attrito risulta essere a grandi linee proporzionale al quadrato della
velocit`
a relativa tra corpo e fluido.
4 In realt`
a, per uno strato di spessore confrontabile con il libero cammino medio delle molecole di fluido a partire dalla
parete, le particelle hanno una velocit`
a dell’ordine di quella di agitazione molecolare.
5 Il numero di Reynolds `
e definito come il rapporto tra la pressione dinamica e gli sforzi viscosi caratteristici del fenomeno
fluidodinamico in esame; ad esempio, nel caso di movimento relativo di scorrimento tra superfici piane di corpi tra cui sia
inserito un sottile strato di fluido, ove si assuma una variazione lineare di velocit`
a in direzione trasversale al moto, si ha
1
Re = 2
ρv 2
µ
v
,
D
dove v sia la velocit`
a relativa tra i corpi e D la loro distanza. A meno della costante 1/2, si ottiene l’espressione consueta
Re =
ρvD
.
µ
3-9
Figura 3.5: Andamento sperimentale (o ) e approssimato delle forze di attrito secco, viscoso e con legge
quadratica in funzione della velocit`
a relativa.
• per valori intermedi del numero di Reynolds il tipo di moto pu`
o essere sia laminare che turbolento,
e la transizione da una forma all’altra pu`
o avvenire in conseguenza di piccole perturbazioni sia del
moto, sia dei parametri che lo caratterizzano.
Gli aspetti rilevanti dell’interazione tra corpi e fluidi verranno discussi in seguito nel Capitolo 11.
Nella figura 3.5 sono rappresentati gli andamenti sperimentali tipici per i tre casi di forze dipendenti
dalla velocit`
a citati in questo paragrafo e le loro approssimazioni.
Forze d’inerzia
Tra le forze dipendenti dal movimento del sistema hanno un ruolo particolarmente importante le forze
d’inerzia. La loro scrittura non differisce da quanto osservato per il caso del singolo corpo rigido, in
quanto ogni corpo `e soggetto alle sole forze e coppie d’inerzia risultanti dalla propria inerzia e dalla
propria cinematica; nel caso piano, le (1.25a, 1.25b) si applicano direttamente al corpo j-esimo nella
forma:
¨Gj
F~inj = −mj ~x
(3.21)
CinGj = −JGj ω˙ j
(3.22)
Per la scrittura delle forze d’inerzia `e quindi fondamentale la capacit`a di descrivere la configurazione, le
velocit`
a e le accelerazioni lineari ed angolari di ogni corpo in funzione delle coordinate libere del problema.
A tal fine, nel caso di catene cinematiche, `e fondamentale la scrittura e la soluzione dell’equazione di
chiusura e delle sue derivate fino al secondo ordine.
3.3
Esempio: il manovellismo ordinario centrato
Si tratta di un meccanismo a catena chiusa, utilizzato per convertire il moto rotatorio in moto traslatorio
` uno dei meccanismi pi`
rettilineo alternato (e viceversa). E
u utilizzati, e trova impiego, ad esempio,
nei motori a combustione interna (figura di riferimento) nelle presse, nelle pompe e nei compressori
alternativi.
3-10
Figura 3.6: Il manovellismo ordinario centrato.
Figura 3.7: L’equazione di chiusura per l’analisi cinematica; il punto
B ′ indica lo schema di montaggio corrispondente alla radice negativa
nell’equazione (3.28), che corrisponde ad un cambio di osservatore.
3.3.1
Analisi cinematica
Un motore monocilindrico `e costituito da un albero motore che porta una manovella di lunghezza a, un
corsoio o pistone che scorre nel cilindro, ed una biella di lunghezza b che collega l’estremit`
a della manovella
al corsoio. Lo schema cinematico mostrato in figura 3.6 comprende la manovella (O − A), in grado di
compiere una rotazione completa, e la biella (A − B), alla cui estremit`a B `e collegato il corsoio. Si
assuma che (A − B) sia maggiore di (O − A), affinch´e l’elemento (O − A) possa effettivamente compiere
un giro completo.
La scrittura dell’equazione di chiusura, come illustrato in figura 3.3.1, porta a scrivere
(A − O) + (B − A) = (B − O)
(3.23)
che in forma complessa diventa:
aeiα + beiβ = cei0 = c
(3.24)
Derivando rispetto al tempo la (3.24) si ottiene il legame tra la velocit`
a del corsoio, c,
˙ e quella degli altri
membri del cinematismo:
˙ iβ = c˙
iαae
˙ iα + iβbe
(3.25)
La successiva derivazione rispetto al tempo fornisce l’espressione dell’accelerazione c¨ del punto B:
¨ iβ − β˙ 2 beiβ = c¨
i¨
αaeiα − α˙ 2 aeiα + iβbe
(3.26)
La precedente equazione di chiusura (3.23) pu`
o essere riscritta separando parte reale ed immaginaria,
cosa che corrisponde a scrivere le componenti orizzontale e verticale dell’equazione vettoriale:
a cos α + b cos β = c
(3.27)
a sin α + b sin β = 0
in cui la seconda equazione costituisce la condizione di vincolo del punto B, ossia l’appartenenza all’asse x.
Le equazioni sopra descritte costituiscono un sistema di equazioni non lineare; gli angoli α e β compaiono
3-11
infatti come argomenti di funzioni trigonometriche. In questo primo esempio la posizione del corsoio B
e l’inclinazione della biella in funzione dell’angolo di di cui ruota la manovella divengono6 :

v
!2
u


u
a


t

sin α
 c = a cos α + b 1 −
b
(3.28)
!


a

−1

− sin α

 β = sin
b
Per ottenere velocit`
a ed accelerazione del punto B possiamo rispettivamente proiettare le equazioni (3.25)
e (3.26) sull’asse reale e su quello immaginario, che corrisponde a derivare il sistema di equazioni (3.27):
˙ sin β = c˙
−αa
˙ sin α − βb
(3.29)
˙ cos β = 0
αa
˙ cos α + βb
che ammette la soluzione:

cos α tan β)

 c˙ = −aα˙ (sin α −!
a cos α
˙

 β = −α˙ b cos β
(3.30)
Perch´e sia risolubile in ogni configurazione, il determinante
1 b sin β
det
= −b cos β
0 −b cos β
(3.32)
il cui determinante
−a sin α
det
a cos α
(3.34)
Il sistema (3.29) pu`
o essere scritto in modo particolarmente significativo in forma matriciale, in quanto
`e necessariamente lineare nelle derivate delle variabili cinematiche:
c˙
− sin α
1 b sin β
=
aα˙
(3.31)
cos α
0 −b cos β
β˙
non deve mai annullarsi. Questa condizione `e sempre verificata se b > a, perch´e in tal caso l’angolo β
`e limitato a valori −π/2 < β < π/2. Altre scelte di variabile cinematica indipendente diversa da α non
verificano la condizione; ad esempio, se si sceglie c, il sistema (3.29) diventa
α˙
1
−a sin α −b sin β
=
c˙
(3.33)
0
a cos α
b cos β
β˙
−b sin β
b cos β
= ab sin (β − α)
si annulla per α = β e per α = β + π, ovvero ai punti morti inferiore e superiore, nei quali c˙ `e nulla ma la
velocit`
a angolare di biella e manovella pu`
o assumere qualsiasi valore, purch´e nella proporzione espressa
dalla seconda delle (3.30). In tali condizioni, il sistema `e indeterminato.
La successiva derivazione porta a definire le accelerazioni:
¨ sin β − β˙ 2 b cos β = c¨
−α
¨ a sin α − α˙ 2 a cos α − βb
(3.35)
2
¨ cos β − β˙ 2 b sin β = 0
α
¨ a cos α − α˙ a sin α + βb
Si noti che se si esprimono le (3.35) in forma matriciale
2
c¨
α˙ a cos α + β˙ 2 b cos β
− sin α
1 b sin β
a¨
α+
=
cos α
0 −b cos β
β¨
α˙ 2 a sin α + β˙ 2 b sin β
(3.36)
si ottiene un’espressione caratterizzata dalla stessa matrice utilizzata per la derivata prima dell’equazione
di chiusura, la (3.31).
6 Si noti che nella prima delle (3.28) il radicando `
e sempre positivo perch´
e si `
e ipotizzato b > a affinch´
e la manovella
possa compiere un giro completo. Inoltre, si `
e scelta la radice positiva di c come regola di montaggio del meccanismo, come
illustrato in figura 3.3.1; la scelta della radice negativa come regola di montaggio avrebbe mostrato il corsoio diretto dalla
` importante sottolineare che, dal punto di vista matematico,
parte opposta, corrispondente ad un cambio di osservatore. E
le due regole di montaggio sono assolutamente equivalenti; `
e necessario operare una scelta all’atto del montaggio, in quanto
non `
e possibile passare dall’una all’altra posizione durante il regolare funzionamento della macchina.
3-12
Figura 3.8: La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla fase
di aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico.
3.3.2
Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera
All’interno della camera di dimensioni variabili delimitata lateralmente dal cilindro, inferiormente dal
cielo del pistone e superiormente dalla camera di combustione, si ha un andamento variabile della
pressione p, determinato dall’alternarsi delle quattro fasi di funzionamento del motore: aspirazione
(0 ≤ α ≤ π), compressione (π ≤ α ≤ 2π), espansione (2π ≤ α ≤ 3π) e scarico (3π ≤ α ≤ 4π) dei
gas combusti.
L’andamento della pressione pg all’interno della camera di dimensioni variabili `e normalmente rappresentato sotto forma di un diagramma avente per ascisse il volume geometrico effettivo veff = veff (α)
della camera
veff (α) = v2 + (a + b − c (α)) π
D2
4
(3.37)
ove D `e il diametro del cilindro, detto anche alesaggio, e v2 `e il volume nocivo, ovvero il volume della
camera quando il corsoio, o pistone, si trova al massimo della sua corsa, posizione detta anche punto
morto superiore. Dal momento che il manovellismo in esame `e centrato, ovvero l’asse del corsoio passa
per l’asse di rotazione del motore, questa condizione si ha per α = 0, quando a, b e c sono allineati e
quindi a + b = c.
La pressione pg = pg (α) risulta cos`ı funzione implicita della rotazione della manovella α secondo il
ciclo ideale di figura 3.9 nell’ipotesi di compressione ed espansione adiabatica.
Con riferimento alla figura 3.9, la fase 5-1 rappresenta l’aspirazione, la 1-2 la compressione adiabatica,
la 2-3 lo scoppio, che si suppone avvenga a volume costante con la produzione del calore Q1 , ove
Q1 = cv (T3 − T2 )
(3.38)
avendo chiamato cv il calore specifico a volume costante della miscela
La fase 3-4 `e quella di espansione adiabatica durante la quale viene prodotto lavoro meccanico, ed
infine la 4-1 e la 1-5 costituiscono la fase di scarico dei gas combusti, con la cessione nella parte iniziale
4-1 del calore Q2 a una sorgente pi`
u fredda, come richiede il IIo Principio della Termodinamica.
Sul cielo del pistone agisce pertanto la forza Fg (α), che rappresenta la risultante delle pressioni agenti
sullo stantuffo, pari a:
Fg (α) = π
D2
D2 ∗
(pg (α) − patm ) = π
p (α)
4
4 g
(3.39)
3-13
Figura 3.9: Ciclo ideale termodinamico per unit`a di volume d’aria aspirata.
dove p∗g (α) `e la pressione relativa, in quanto non dobbiamo dimenticare che la faccia interna del cielo del
corsoio `e sottoposta all’azione della pressione atmosferica patm .
3.3.3
Forze d’inerzia: masse equivalenti
Nell’esempio corrente si supporr`a poi che sull’albero motore, ossia sulla manovella, agisca un momento Mr
di valore incognito, opposto alla velocit`
a angolare dell’albero. Tale momento rappresenta la sollecitazione
interna all’albero motore dovuta ad un utilizzatore che sfrutti la potenza erogata dal motore stesso.
Per quanto riguarda le inerzie del sistema, si supporr`a che sull’albero motore sia calettato un volano
con momento di inerzia Jm , e che il corsoio abbia massa mB . Le inerzie della biella possono essere
considerate, in via approssimata, attraverso due masse puntiformi, m1 e m2 poste nel centro della testa
e del piede della biella stessa:
• la massa m1 , idealmente posta al centro foro all’estremit`a, detta testa di biella, in cui la biella si
connette alla manovella, si muove solidalmente con la manovella, per cui fornisce un contributo di
inerzia in aggiunta al momento di inerzia Jm di quest’ultima:
J t = J m + m1 a 2
(3.40)
• la massa m2 , idealmente posta al centro del foro all’estremit`a opposta, detta piede di biella, si
muove insieme al pistone, e quindi va sommata alla massa mB del pistone propriamente detto:
m c = mB + m 2
(3.41)
Si ricorda che la riduzione delle inerzie della biella a due masse puntiformi consente di riprodurre la
massa complessiva della biella e la posizione del baricentro di questa, ma introduce una approssimazione
per quanto riguarda il momento di inerzia baricentrico della biella, che viene ad assumere il valore
JGBapprox = m1 l12 + m2 l22
(3.42)
anzich´e quello effettivo.
Con riferimento alla figura 3.10, le masse m1 e m2 si ricavano dal sistema di equazioni
m1
1
1
mbiella
=
l1 −l2
m2
0
3-14
(3.43)
Figura 3.10: Approssimazione della biella a masse concentrate.
Figura 3.11: Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella.
Si fa inoltre l’ipotesi che il baricentro dell’insieme formato dalla manovella e dalla frazione m1 della
massa della biella in movimento con essa sia coincidente con il punto O, ossia con l’asse di rotazione, come
avviene nella realt`a, grazie ad un opportuno contrappeso. In questo modo il risultante delle forze d’inerzia
agenti sulla manovella `e nullo in quanto `e nulla l’accelerazione del baricentro. Si veda, a proposito, la
figura 3.11, che illustra l’albero a gomiti, ovvero l’insieme delle manovelle, per un motore stellare di
impiego aeronautico.
3.3.4
Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico
Come evidenziato in precedenza, il sistema presenta un solo grado di libert`
a. Facendo corrispondere una
reazione vincolare a ciascun grado di vincolo, ed una azione attiva libera al grado di libert`
a residuo, nelle
equazioni di equilibrio vengono evidenziate 8 reazioni vincolari e il momento incognito Mr . Tali azioni e
reazioni sono poste in evidenza nello schema di figura 3.12, detto diagramma di corpo libero
Il sistema `e costituito da tre corpi rigidi ed `e pertanto possibile scriverne le equazioni di equilibrio.
• Corsoio:
X
Fx = 0
→
Fg + mc c¨ − SBx = 0
(3.44a)
Fy = 0
→
ΦB + SBy = 0
(3.44b)
MB = 0
→
MB = 0
(3.44c)
X
X
3-15
Figura 3.12: Le forze agenti sul sistema.
• Biella:
X
Fx = 0
→
SAx + SBx = 0
(3.45a)
Fy = 0
→
SAy + SBy = 0
(3.45b)
MB = 0
→
SAx l sin ϕ + SAy l cos ϕ = 0
(3.45c)
→
SOx + SAx = 0
(3.46a)
→
SOy + SAy = 0
(3.46b)
→
−Mr − Jt α
¨ − SAx a sin α + SAy a cos α = 0
(3.46c)
X
X
• Manovella:
X
Fx = 0
X
Fy = 0
X
MO = 0
Si ricorda che la sommatoria nelle equazioni (3.44a-3.46c) deve comprendere anche il sistema delle forze
d’inerzia del corpo considerato.
Il sistema costituito dalle 9 equazioni scalari (3.44a-3.46c) `e determinato nelle 9 incognite: SOx , SOy ,
SAx , SAy , SBx , SBy , MB , ΦB e Mr ; pu`
o essere risolto equazione per equazione, in cascata. Innanzitutto,
la (3.44c) fornisce immediatamente la coppia di reazione esercitata dal cilindro sul pistone. La (3.44a)
consente di ricavare la reazione SBx :
SBx = Fg + mc c¨
(3.47)
La (3.45a) e la (3.47) consentono di ricavare la reazione SAx :
SAx = − (Fg + mc c¨)
(3.48)
La (3.45c) e la (3.48) consentono di ricavare la reazione SAy :
SAy = tan ϕ (Fg + mc c¨)
(3.49)
3-16
La (3.45b) e la (3.49) consentono di ricavare la reazione SBy :
SBy = − tan ϕ (Fg + mc c¨)
(3.50)
La (3.44b) e la (3.50) consentono di ricavare la reazione ΦB :
ΦB = tan ϕ (Fg + mc c¨)
(3.51)
La (3.46a) e la (3.48) consentono di ricavare la reazione SOx :
SOx = Fg + mc c¨
(3.52)
La (3.46b) e la (3.49) consentono di ricavare la reazione SOy :
SOy = − tan ϕ (Fg + mc c¨)
(3.53)
La (3.46c), la (3.48) e la (3.49) consentono di ricavare il momento Mr :
Mr = −Jt α
¨ + (Fg + mc c¨) a (sin α + tan ϕ cos α)
(3.54)
La scelta di quale insieme di corpi rigidi sia pi`
u opportuno prendere in considerazione nella scrittura
delle equazioni di equilibrio dipende dalle grandezze da determinare. L’approccio appena presentato `e
necessario qualora si dovessero calcolare tutte le reazioni vincolari. Se tuttavia solo alcune delle incognite
devono essere calcolate a priori, mentre la determinazione del resto della soluzione pu`
o essere evitato, `e
possibile semplificare notevolmente il problema mediante una opportuna scelta di quali equazioni scrivere
e un opportuno partizionamento del sistema.
Se ad esempio si desidera calcolare direttamente la reazione ΦB , `e sufficiente scrivere l’equazione
di equilibrio dei momenti agenti sul solo corsoio, scegliendo come polo il punto B, da cui si ricava
l’equazione (3.44c), e quindi scrivere l’equazione di equilibrio dei momenti agenti sul corsoio e sulla
biella, scegliendo come polo il punto A, da cui si ricava
−l sin ϕ (Fg + mc c¨) + l cos ϕΦB = 0
(3.55)
ovvero direttamente la (3.51).
3.3.5
Equazione del moto mediante Teorema dell’Energia Cinetica
Se invece si desidera calcolare direttamente il momento attivo Mr , si pu`
o ricorrere al teorema dell’energia cinetica, in quanto il momento Mr `e l’unica azione incognita che partecipa al bilancio di potenze.
L’energia cinetica `e
1
Jt α˙ 2 + mc c˙2
(3.56)
T =
2
la cui derivata `e
dT
= Jt α˙ α
¨ + mc c¨
˙c
dt
= (Jt α
¨ − mc c¨a (sin α + tan ϕ cos α)) α˙
(3.57)
dove si `e fatto uso della prima delle (3.30), con β = 2π − ϕ, mentre la potenza delle forze attive, escluse
le forze d’inerzia, `e
Π = −Mr α˙ − Fg c˙
(3.58)
ovvero
Π = −Mr α˙ + Fg a (sin α + tan ϕ cos α) α˙
(3.59)
Eguagliando la (3.57) e la (3.59), e semplificando α˙ in entrambi i membri, si ricava direttamente la (3.54),
ovvero il momento Mr .
Esercizio 3.5 Scrivere l’equazione del moto sia mediante il Principio dei Lavori Virtuali che mediante
il formalismo di Lagrange del IIo tipo.
3-17
3-18
Capitolo 4
Dinamica dei sistemi di corpi rigidi
mediante le equazioni di Lagrange
Generato il 23 ottobre 2014
“Faccio Lagrange”
La maggioranza degli studenti,
quando usa il formalismo di
Lagrange nella prova scritta
Si consideri un generico sistema piano a 1 grado di libert`
a composto da pi`
u corpi rigidi e indichiamo
con q la coordinata libera, variabile indipendente, scelta per descriverne il moto; con y la generica
variabile fisica correlata alla variabile indipendente da una relazione genericamente non lineare dipendente
esplicitamente dal tempo, del tipo:
y = y (q, t)
(4.1)
Adottando le equazioni di Lagrange occorre definire, dapprima in funzione delle variabili fisiche y, le
diverse forme di energia che concorrono all’energia totale del sistema, ovvero l’energia cinetica, l’energia
potenziale, la funzione di dissipazione e il lavoro virtuale delle rimanenti forze attive.
4.1
Equazione di Lagrange
Indicata con
T = T (q, q,
˙ t)
(4.2)
l’energia cinetica del sistema, dipendente sicuramente dalla derivata prima q˙ della coordinata libera q,
ma potenzialmente anche dalla coordinata libera stessa, e anche dal tempo in caso di vincoli mobili,
l’equazione di Lagrange stabilisce che l’equilibrio dinamico `e definito dall’uguaglianza
∂T
d ∂T
−
= Q∗ (q, q,
˙ ..., t)
(4.3)
dt ∂ q˙
∂q
ove Q∗ indica la componente generalizzata della sollecitazione attiva per la coordinata libera q, a meno
delle forze d’inerzia, le quali sono espresse dai termini derivati a partire dall’energia cinetica.
La componente generalizzata della sollecitazione attiva, a sua volta, pu`
o essere decomposta in
• un contributo espressione di forze puramente conservative, QV , che come tale non pu`
o che dipendere
dalla sola1 q;
1 In linea di principio, l’energia potenziale potrebbe dipendere anche dal tempo, nel caso di vincoli mobili; al momento
tale ipotesi non viene presa in considerazione.
4-1
• un contributo espressione di forze puramente dissipative, QD , ovvero di forze la cui retta d’azione
coincide con quella della velocit`
a y˙ del punto di applicazione e, come tale, dipendente dalla q˙ ma,
potenzialmente, anche da q e dal tempo t;
• la parte rimanente, Q, che non sia possibile o non si ritenga opportuno esprimere altrimenti.
Ne risulta
Q∗ (q, q,
˙ ..., t) = QV (q) + QD (q)
˙ + Q (q, q,
˙ ..., t)
(4.4)
Si noti che la Q rimanente pu`
o dipendere arbitrariamente da q e dalle sue derivate di qualsivoglia ordine.
In linea di principio, potrebbe anche dipendere dall’integrale della coordinata libera q: ad esempio,
quando esprima forze di controllo dipendenti da un controllore PID (proporzionale, integrale, derivativo).
Senza nulla togliere alla generalit`
a della presentazione, nel corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali
verranno considerate solo forze dipendenti da posizione, velocit`
a e tempo.
Il contributo QV , in quanto espressione di forze conservative, pu`
o essere scritto come opposto della
derivata di una variazione di energia potenziale
∆V (q) = V (q) − V (q0 )
(4.5)
tale per cui
QV = −
dV
dq
(4.6)
Il contributo QD , in quanto espressione di forze puramente dissipative, pu`o essere scritto come opposto
della derivata rispetto a q˙ dell’integrale primo D (q, q,
˙ t) della potenza delle forze QD stesse, detto anche
funzione di dissipazione, tale per cui
QD = −
∂D
∂ q˙
(4.7)
Si definisca quindi la funzione di Lagrange
L=T −V
(4.8)
L’equazione del moto si ricava da
d ∂L
∂L ∂D
−
+
= Q (q, q,
˙ ..., t)
dt ∂ q˙
∂q
∂ q˙
(4.9)
di cui si nota l’analogia con la (4.3).
4.1.1
Energia cinetica
L’energia cinetica T di un generico sistema piano a 1 grado di libert`
a, composto da nc corpi, `e data
dalla somma delle singole energie cinetiche Tj associate alle singole masse mj e/o momenti d’inerzia
baricentrici Jj che costituiscono il sistema
1 ˙
mj ~yj × ~y˙ j + Jj ϑ˙ 2
Tj =
2
1
2
2
=
+ Jj ϑ˙ 2j
mj y˙ xi
+ y˙ yj
2

T 


y˙
m
0
0
 y˙ xi 
1  xi   j
y˙ yj
y˙ yj
0 mj 0 
=
 ˙ 
2 ˙ 
0
0 Jj
ϑj
ϑj
3
=
1X
2
mkj y˙ kj
2
(4.10)
k=1
4-2
in cui si `e indicata con mkj la generica k-esima massa mj o il momento d’inerzia Jj del j-esimo corpo
rigido e con y˙ kj la generica componente della velocit`
a assoluta di traslazione del baricentro del corpo, o
la sua velocit`
a angolare ϑ˙ j . L’energia cinetica complessiva `e
T =
nc
X
n
Tj =
j=1
4.1.2
3
c X
1X
2
mkj y˙ kj
2 j=1
(4.11)
k=1
Energia potenziale
L’energia potenziale V , associata al campo elastico dovuto agli nk elementi elastici di interconnessione e
alla presenza di np forze conservative2 P~p , assume un’espressione generale del tipo:
Z ∆ls
QV (∆ls ) dls
V =−
0
np
nk
X
1X
2
kk (∆lk ) −
P~p × ~yp
=
2
p=1
k=1
np
nk
X
1X
2
=
kk (yk1 − yk2 ) −
P~p × ~yp
2
p=1
(4.13)
k=1
in cui kk rappresenta la rigidezza del generico k-esimo elemento elastico. Le coordinate fisiche yk1 e yk2
rappresentano lo spostamento degli estremi della generica molla, nella direzione della molla stessa (per
semplicit`
a di trattazione non si considerano infatti, nella definizione dell’allungamento, gli spostamenti
ortogonali alla direzione della molla).
Il vettore ~yp rappresenta, invece, lo spostamento del punto d’applicazione della generica forza P~p .
Gli allungamenti delle molle, ∆lk = (yk1 − yk2 ), e gli spostamenti dei punti di applicazione delle
forze, ~yp , sono legati da una relazione (lineare o non lineare) all’unica coordinata libera q del sistema; per
tale motivo l’energia potenziale V pu`
o essere sinteticamente espressa come funzione della sola variabile
indipendente q
V = V (q)
4.1.3
(4.14)
Funzione di dissipazione
La funzione di dissipazione `e definibile come:
Z ∆l˙s
QD ∆l˙s dl˙s
D=−
0
n
s
2
1X
r ∆l˙s
=
2 s=1
n
=
s
1X
2
r (y˙ s1 − y˙ s2 )
2 s=1
(4.15)
dove si `e considerata soltanto la presenza di ns smorzatori viscosi3 ciascuno di costante rk , in cui la
a relativa cui sono sottoposte le estremit`a del
coordinata fisica ∆l˙s = (y˙ s1 − y˙ s2 ) rappresenta la velocit`
generico s-esimo smorzatore, lungo la direzione dello smorzatore stesso, senza considerare le componenti
a questa ortogonali nella definizione delle velocit`
a di allungamento.
2 Nel seguito si considerano solo forze costanti in modulo, direzione e verso, quale il peso, e forze elastiche lineari per
semplificare la trattazione; in realt`
a l’energia potenziale pu`
o essere definita per qualunque forza conservativa integrandone
il lavoro elementare lungo il cammino percorso per passare da a a b:
Z b
~ × d~s
∆V = V (b) − V (a) = −
F
(4.12)
a
ove d~s sia lo spostamento compiuto dal punto di applicazione della forza. Perch´
e la forza ammetta potenziale, ovviamente,
tale integrale deve dipendere solo dagli estremi di integrazione e non dal percorso seguito.
3 Tipicamente si considerano contributi di dissipazione associati a
4-3
4.1.4
Sollecitazioni attive rimanenti
Consideriamo infine il lavoro virtuale δL compiuto dalle rimanenti nf forze esterne attive F~f per uno
spostamento virtuale δ~yf del loro punto d’applicazione. Risulta
δL =
nf
X
f =1
F~f × δ~yf
(4.22)
Abbiamo in tal modo espresso le diverse forme di energia e di lavoro in funzione delle variabili fisiche y.
4.2
Scrittura dell’equazione di moto del sistema
Analizziamo in dettaglio tutti i contributi all’Equazione di Lagrange.
Energia cinetica. La generica coordinata fisica y `e funzione dell’unica coordinata indipendente q; pu`
o
dipendere esplicitamente dal tempo t:
y = y (q, t)
(4.23)
e quindi i termini di velocit`
a delle (4.11, 4.15) varranno:
y˙ jk =
dyjk
∂yjk dq ∂yjk
∂yjk
∂yjk
=
+
=
q˙ +
dt
∂q dt
∂t
∂q
∂t
(4.24)
• attrito radente, a cui si `
e accennato nel Capitolo 3 e che verr`
a illustrato in dettaglio nel Capitolo 7, per il quale la
forza resistente ha espressione
Fr = −rr
y˙
= −rr sign (y)
˙
|y|
˙
(4.16)
dove rr `
e un coefficiente che in molti casi pu`
o essere ritenuto costante; si tratta di una funzione discontinua ma
integrabile, per cui la corrispondente funzione di dissipazione `
e
Dr = rr |y|
˙
(4.17)
• resistenza laminare, ovvero comportamento laminare di fluidi viscosi, a cui si `
e accennato nel Capitolo 3 e che verr`
a
ulteriormente illustrato in dettaglio nei Capitoli 10 e 11, per i quali vale la relazione
Fv = −rv y˙
(4.18)
dove rv `
e un coefficiente che in molti casi pu`
o essere ritenuto costante, nel qual caso la funzione di dissipazione `
e
Dv =
1
rv y˙ 2
2
(4.19)
• resistenza turbolenta, a cui si `
e accennato nel Capitolo 3 e che verr`
a illustrato in dettaglio nel Capitolo 11, per il
quale la forza resistente ha espressione
Ft = −rt |y|
˙ y˙
(4.20)
dove rt `
e un coefficiente che in molti casi pu`
o essere ritenuto costante; la corrispondente funzione di dissipazione `
e
Dt =
1
rt |y|
˙ y˙ 2
3
(4.21)
4-4
che, sostituiti nella definizione dell’energia cinetica (4.11), portano alla seguente espressione:
T =
nc
X
Tj
j=1
n
=
3
c X
1X
2
mjk y˙ jk
2 j=1
k=1
=
nc X
3
X
1 2
q˙
2 j=1
mjk
k=1
∂yjk
∂q
2
+ q˙
nc X
3
X
j=1 k=1
1
a (q, t) q˙2 + b (q, t) q˙ + c (q, t)
2
= T (q, q,
˙ t)
n
mjk
3
c X
∂yjk ∂yjk
1X
+
mjk
∂q ∂t
2 j=1
k=1
∂yjk
∂t
2
=
(4.25)
ove i termini a (q, t), b (q, t) e c (q, t) valgono:
2
nc X
3
X
∂yjk
mjk
a (q, t) =
∂q
j=1
(4.26a)
k=1
b (q, t) =
nc X
3
X
mjk
j=1 k=1
n
c (q, t) =
3
∂yjk ∂yjk
∂q ∂t
c X
1X
mjk
2 j=1
k=1
∂yjk
∂t
(4.26b)
2
(4.26c)
La dipendenza esplicita dal tempo delle coordinate fisiche rende tempovariante l’equazione del moto;
senza ledere troppo la generalit`
a della trattazione, si considerino per ora coordinate fisiche non dipendenti
esplicitamente dal tempo, ovvero la (4.23) si riduca a
y = y (q) ,
(4.27)
e quindi
b (q, t) = 0
c (q, t) = 0.
(4.28)
(4.29)
Poich´e il coefficiente definito nella (4.26a) contiene le derivate delle coordinate fisiche rispetto alla coordinata libera q, pu`
o a sua volta essere funzione di quest’ultima, rendendo cos`ı non quadratica l’espressione
dell’energia cinetica e quindi non lineare, per i termini inerziali, l’equazione di moto del sistema.
Derivando, infatti, l’energia cinetica espressa dalla (4.25) secondo Lagrange si ottiene:
∂T
da (q) 2 1 da (q) 2
1 da (q) 2
d ∂T
−
= a (q) q¨ +
q˙ −
q˙ = a (q) q¨ +
q˙
(4.30)
dt ∂ q˙
∂q
dq
2 dq
2 dq
Esercizio 4.1 Si sviluppi la forma quadratica associata all’energia cinetica nel caso generale in cui valga
la (4.23), ovvero la cinematica dipende esplicitamente dal tempo.
Energia potenziale. Consideriamo ora l’energia potenziale V : la sua derivata dV /dq secondo Lagrange d`a origine a un termine lineare nell’equazione del moto solo se V (q) `e una forma quadratica in q:
ci`o accade quando yk dipende in forma lineare da q. L’espressione pi`
u generale della derivata dell’energia
potenziale rispetto alla coordinata libera q vale infatti:
X
np
nk
X
dV
∂yk2
∂yk1
∂~yp
−
kk (yk1 − yk2 )
=
−
= −fV (q)
(4.31)
P~p ×
dq
∂q
∂q
∂q
p=1
k=1
ed `e quindi a sua volta una funzione non lineare di q. La dipendenza esplicita dal tempo non `e compatibile con l’esistenza di un’energia potenziale; indipendentemente dalla dipendenza esplicita o meno delle
coordinate fisiche dal tempo, l’energia potenziale deve dipendere solamente da q.
4-5
Funzione di dissipazione. In presenza del solo smorzamento viscoso laminare, la funzione di dissipazione D pu`
o essere espressa come:
2
ns
ns
1X
1
∂ys2
∂ys1
1X
2
D=
q˙2 = r (q) q˙2 .
−
(4.32)
rs (y˙ s1 − y˙ s2 ) =
rs
2 s=1
2 s=1
∂q
∂q
2
La funzione di dissipazione D `e necessariamente una forma quadratica in q˙ in quanto la derivata prima
delle variabili cinematiche `e sicuramente lineare in q,
˙ come descritto dalla (4.24); tuttavia, i coefficienti
moltiplicativi di tale termine possono a loro volta essere funzione della variabile indipendente q. La
derivazione del termine dissipativo secondo Lagrange porta dunque a
2
ns
∂ys1
∂ys2
∂D X
q˙ = r (q) q˙
(4.33)
rs
=
−
∂ q˙
∂q
∂q
s=1
che d`a origine a un termine non lineare, essendo il coefficiente r (q) in genere funzione ancora di q.
Lavoro virtuale delle forze rimanenti. Analizziamo ora il lavoro virtuale δL compiuto dalle rimanenti forze attive esterne; il generico spostamento virtuale δ~yf del punto di applicazione della generica
forzante `e definibile:
δ~yf =
∂~yf
δq
∂q
(4.34)
Sostituendo tale relazione nell’espressione del lavoro virtuale si ottiene:
δL =
nf
X
f =1
F~ × δ~yf =
nf
X
f =1
∂~yf
F~ ×
δq
∂q
(4.35)
L’applicazione della formula di Lagrange porta cos`ı alla definizione della componente lagrangiana Q della
sollecitazione attiva esterna:
nf
∂δL X ~ ∂~yf
=
= Q (q, q,
˙ ..., t)
F×
Q=
∂δq
∂q
(4.36)
f =1
che sar`a una funzione del tempo t, per la presenza di forze funzioni esplicite del tempo, e della coordinata
libera q, per una eventuale dipendenza diretta delle forze F~ da q, e per la presenza delle derivate delle
coordinate fisiche rispetto alla coordinata libera. Tali derivate sono costanti solo nel caso di legame
yf = yf (q) lineare. Le forze F~ possono dipendere dalla coordinata libera q e dalle sue derivate nel modo
pi`
u arbitrario; possono dipendere anche dall’integrale di q (ad esempio, le forze di controllo risultanti da
un regolatore di tipo integrale).
` ora possibile scrivere per esteso l’equazione del moto del generico sistema
Equazione del moto. E
fisico a 1 g.d.l. non lineare applicando le equazioni di Lagrange nella variabile q; sostituendo le (4.30,
4.31, 4.33, 4.36) nella (4.9) si ottiene
a (q) q¨ +
1 da (q) 2
q˙ + r (q) q˙ − fV (q) = Q (q, q,
˙ ..., t)
2 dq
(4.37)
Nel seguito ci si occuper`
a soltanto di sollecitazioni attive Q dipendenti esplicitamente al pi`
u dalla
coordinata libera q, eventualmente dalla sua derivata prima q˙ e dal tempo.
4.3
Linearizzazione dell’equazione di moto
L’equazione del moto non `e, in generale, integrabile analiticamente se non in casi particolari. Se ne
interessa lo studio per spostamenti finiti, `e indispensabile tener conto delle non linearit`a del sistema
integrando numericamente l’equazione di moto.
4-6
Nel caso in cui, invece, si ritenga sufficiente limitarne lo studio a piccoli spostamenti nell’intorno di
una soluzione di equilibrio per la quale la derivata di ordine minimo di q sia costante, e quindi tutte quelle
di ordine superiore si annullino, `e possibile linearizzare l’equazione di moto nell’intorno di tale soluzione,
ottenendo, in questo modo, un’equazione lineare a coefficienti costanti, integrabile in forma chiusa. La
linearizzazione delle equazioni di moto, rispetto alla integrazione numerica delle equazioni non lineari,
consente l’utilizzo dei comodi algoritmi propri dell’analisi dei sistemi lineari. Ovviamente, in tal caso, `e
necessario dapprima trovare, se esiste, la posizione di equilibrio di riferimento, risolvendo generalmente
un’equazione non lineare, e successivamente linearizzare l’equazione di moto stessa. Condizione essenziale
perch´e la soluzione dell’equazione linearizzata si mantenga nell’intorno della soluzione di equilibrio di
riferimento `e che tale soluzione sia stabile.
La posizione di equilibrio di riferimento si definisce:
• equilibrio statico quando individua un movimento q che si mantiene costante nel tempo (tipico, ad
esempio, delle strutture caricate staticamente), per il quale valga quindi la condizione
d(n) q
=0
dt(n)
(4.38)
per n > 0, ossia che tutte le sue derivate rispetto al tempo t siano sempre nulle;
• regime assoluto quando individua un movimento q˙ che si mantiene costante nel tempo (tipico, ad
esempio, delle macchine rotative), per il quale la relazione (4.38) valga per n > 1;
• moto uniformemente accelerato quando individua un movimento ad accelerazione costante, per il
quale la relazione (4.38) valga per n > 2.
Nel caso pi`
u completo, in cui l’equazione del moto presenti dipendenza esplicita da q, la soluzione di
equilibrio statico `e definita a partire dalla (4.37) tenendo conto della (4.38) con n > 0:
dV
= Q (q, 0)
dq
(4.39)
ove la componente generalizzata della sollecitazione attiva Q non deve dipendere esplicitamente dal tempo
perch´e una condizione di equilibrio statico possa esistere. Nel caso in cui tutte le forze attive dipendenti
dalla sola posizione siano conservative, la soluzione di equilibrio statico soddisfa l’equazione
dV
=0
dq
(4.40)
che quindi `e un caso particolare della (4.39). La soluzione, ossia la posizione di equilibrio q0 , se esiste,
viene in genere ricavata con opportuni metodi numerici quali quello di bisezione, delle secanti o di
Newton-Raphson.
4.3.1
Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero
Si consideri il sistema non vincolato illustrato in figura 4.1, posto nel vuoto in assenza di gravit`a, costituito
da due masse di uguale valore m collegate da una molla di rigidezza k. Alla prima massa sia applicata
una forza esterna F diretta come la congiungente le due masse e costante in modulo, direzione e verso.
La determinazione della soluzione di equilibrio statico ne richiede innanzitutto la definizione. La
presenza della molla, in quanto portatrice di forze dipendenti dalla posizione, fa s`ı che si debba cercare
una soluzione statica in cui lo spostamento si mantenga costante; siccome per`
o il sistema non `e vincolato
a terra, la presenza di un sistema di forze esterne a risultante non nullo fa s`ı che non sia possibile una
soluzione per cui si annullano le accelerazioni delle masse. Occorre quindi un’attenta analisi del problema
per definire che cosa sia possibile intendere per sua soluzione di equilibrio statico.
Il problema ha due gradi di libert`
a; si considerino le posizioni assolute delle due masse, x1 e x2 ;
l’equazione di equilibrio dell’intero sistema `e
F − m¨
x1 − m¨
x2 = 0
(4.41)
4-7
Figura 4.1: Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo.
ma, dal momento che le forze d’inerzia del sistema sono riducibili ad una forza data dalla massa totale
per l’accelerazione del baricentro, definita come
P
mi x i
x1 + x2
(4.42)
xCG = P
=
2
mi
si ha
F − 2m¨
xCG = 0
(4.43)
da cui si ricava l’accelerazione del baricentro
x
¨CG =
F
2m
(4.44)
che non pu`
o essere nulla perch´e solo le forze d’inerzia possono ristabilire l’equilibrio del sistema.
Dall’equazione di equilibrio alla traslazione della massa 2, a cui non `e applicata la forza, si ricava
−k (x2 − x1 ) − m¨
x2 = 0
(4.45)
Si esprima lo spostamento delle masse come spostamento relativo rispetto al punto coincidente con il
baricentro a molla indeformata:
x1 = xCG + x′1
(4.46)
x2 = xCG + x′2
(4.47)
da cui si ricava l’allungamento della molla
∆x = x2 − x1 = x′2 − x′1
(4.48)
e, dalla definizione di baricentro,
x′2 = −x′1
(4.49)
e quindi
1
x′1 = − ∆x
2
1
′
x2 = ∆x
2
(4.50)
(4.51)
L’equazione (4.45) diventa
1
x =0
−k∆x − m x
¨CG + ∆¨
2
(4.52)
4-8
Si consideri, come soluzione di equilibrio statico, quella per cui gli spostamenti relativi sono costanti, e
quindi le accelerazioni relative si annullano; l’equazione (4.52) diventa quindi
−k∆x − m¨
xCG = 0
(4.53)
da cui `e immediato ricavare l’allungamento della molla
1F
(4.54)
2k
Se l’utilizzo degli spostamenti assoluti delle due masse non consente un’immediata definizione di soluzione
di equilibrio di riferimento per un problema di questo tipo, un semplice cambio di variabile che porti
a considerare la posizione assoluta xCG del baricentro del sistema e l’allungamento ∆x della molla fa
s`ı che la soluzione di equilibrio di riferimento per la prima sia una condizione di moto uniformemente
accelerato, la (4.44), mentre per la seconda sia una soluzione di equilibrio statico, la (4.54).
∆x = −
4.3.2
Procedure per la linearizzazione
Se la posizione di equilibrio statico esiste, sono possibili due approcci:
• linearizzare nell’intorno di tale posizione la (4.37) in funzione della variabile q e delle sue derivate;
• tramite sviluppo in serie di Taylor nell’intorno di q0 , arrestato ai termini di second’ordine, ricondurre
l’energia cinetica T e la funzione di dissipazione D a forme quadratiche nella variabile q,
˙ e l’energia
potenziale V a un’analoga forma quadratica in q. In questo secondo caso, della (4.37) sar`a comunque
necessario linearizzare la Q (q, q,
˙ t) rispetto alla variabile q e alla sua derivata q.
˙
4.3.3
Linearizzazione diretta dell’equazione del moto
La linearizzazione diretta dell’equazione di moto consiste nello sviluppare in serie di Taylor l’equazione
stessa rispetto alla coordinata libera q e alle sue derivate, arrestando lo sviluppo ai termini del primo
ordine. Ricordando la (4.30), si nota subito che la linearizzazione delle forze d’inerzia nell’intorno di una
soluzione di equilibrio statico, per cui
q = q0
q˙ = 0
q¨ = 0
(4.55)
si riduce alla valutazione della funzione a (q) e della sua derivata prima rispetto a q nella soluzione q0 ,
in quanto lo sviluppo in serie delle forze d’inerzia `e dato da
∂T ∼
d ∂T
1 da (q) 2
−
q˙
= a (q0 ) q¨0 +
dt ∂ q˙
∂q
2 dq q0 0
da (q) + a (q0 ) (¨
q − q¨0 ) +
q¨0 (q − q0 )
dq q0
1 d2 a (q) 2
da (q) q˙0 (q˙ − q˙0 ) +
q˙ (q − q0 )
(4.56)
+
dq q0
2 dq 2 q0 0
ma, sostituendo i valori di riferimento dati dalle (4.55), si ottiene
d ∂T
∂T ∼
1 da (q) −
· 02
= a (q0 ) · 0 +
dt ∂ q˙
∂q
2 dq q0
da (q) + a (q0 ) (¨
q − 0) +
· 0 · (q − q0 )
dq q0
1 d2 a (q) da (q) ·
0
·
(
q
˙
−
0)
+
· 02 · (q − q0 )
+
dq q0
2 dq 2 q0
= a (q0 ) q¨
4-9
(4.57)
In modo analogo si procede per le forze conservative e dissipative, e per le rimanenti azioni attive
fV (q) ∼
= fV | q0 +
r (q) q˙ ∼
= r (q0 ) q˙
dfV (q − q0 )
dq q0
∂Q ∼
Q (q, q,
˙ ..., t) = Q (q0 , 0, t) +
∂q q0 ,0
(4.58)
(4.59)
∂Q (q − q0 ) +
∂ q˙ q˙
(4.60)
q0 ,0
Per quanto riguarda la Q, a partire dalla (4.36) si ricava:
∂Q
(q,
q)
˙
∂Q
(q,
q)
˙
(q − q0 ) +
(q˙ − q˙0 )
Q (q, q,
˙ t) ∼
= Q (q0 , 0, t) +
∂q ∂ q˙ q0 ,0
q0 ,0
nf
X
∂~yf =
F~f (q0 , 0, t) ×
∂q q0
f =1


nf
nf
2
X
X
∂ F~f (q, q)
˙ ∂
~
y
∂~
y
f 
f
(q − q0 )
+
F~f (q0 , 0) ×
+
×
∂q
∂q q0
∂q 2 q0
f =1
f =1
q0 ,0
nf
X
∂ F~f (q, q)
˙ ∂~yf +
q˙
×
∂ q˙
∂q q0
f =1
(4.61)
q0 ,0
Occorre ipotizzare che la dipendenza esplicita dal tempo, se presente, sia confinata nel termine Q (q0 , 0, t),
esprimibile come
ˆ (q0 , 0) + Q
˜ (q0 , 0, t)
Q (q0 , 0, t) = Q
(4.62)
ovvero costituito da una parte costante e da una dipendente dal tempo, quest’ultima tale da portare
ad un moto di ampiezza limitata nell’intorno della soluzione di equilibrio statico; il valore costante di
ˆ (q0 , 0) `e quello che in realt`a occorre usare nella (4.39) per il calcolo della soluzione di
riferimento Q
equilibrio statico q0 .
Ne risulta, considerando anche la (4.39), l’equazione linearizzata del moto
a (q0 ) q¨ +
!
∂Q (q, q)
˙ r (q0 ) −
q˙ +
∂ q˙ q0 ,0
!
dfV ∂Q (q, q)
˙ ˜ (q0 , 0, t)
−
(q − q0 ) = Q
−
dq q0
∂q q0 ,0
(4.63)
La (4.63) `e un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, di cui `e possibile l’integrazione
analitica.
Pu`o convenire la definizione di una nuova coordinata libera q come
q = q − q0
d
(q − q0 ) = q˙
dt
d2
¨q =
(q − q0 ) = q¨
dt2
q˙ =
(4.64)
In questo modo, l’equazione (4.63) diventa
a (q0 ) ¨q +
!
∂Q (q, q)
˙ r (q0 ) −
q˙ +
∂ q˙ q0 ,0
!
dfV ∂Q (q, q)
˙ ˜ (q0 , 0, t)
−
q=Q
−
dq q0
∂q q0 ,0
4-10
(4.65)
4.3.4
Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione
Si consideri dapprima l’energia cinetica T . La (4.25) pu`
o essere sviluppata in serie di Taylor nell’intorno
della posizione di equilibrio statico definita dalle (4.55) troncando l’espansione ai termini quadratici, in
quanto forniscono i contributi lineari a seguito delle differenziazioni richieste per la scrittura dell’equazione
del moto:
∂T (q, q)
˙ ∂T (q, q)
˙ ∼
(q − q0 ) +
(q˙ − 0)
T (q, q)
˙ = T (q0 , 0) +
∂q ∂ q˙ q0 ,0
q0 ,0
1 ∂ 2 T (q, q)
˙ ˙ 1 ∂ 2 T (q, q)
∂ 2 T (q, q)
˙ 2
2
+
(q − q0 ) (q˙ − 0) +
(q − q0 ) +
(q˙ − 0)
2
∂q 2 ∂q∂ q˙ 2
∂ q˙2 q0 ,0
q0 ,0
q0 ,0
(4.66)
Si deve fin da subito notare che:
1
T (q0 , 0) = a (q0 ) · 02 = 0
2
∂T (q, q)
˙ ∂q ∂T (q, q)
˙ ∂ q˙ q0 ,0
q0
1 da (q)
=
2 dq ∂ 2 T (q, q)
˙ ∂q 2 2
q0
·0 =0
∂ 2 T (q, q)
˙ ∂q∂ q˙ = a (q0 ) · 0 = 0
q0
q0
1 d2 a (q)
=
2 dq 2 da (q)
=
dq in quanto valutati per q˙ = 0; ovvero la (5.19) pu`
o essere riscritta come:
˙ 1
1 ∂ 2 T (q, q)
q˙2 = a (q0 ) q˙2
T ∼
=
2
∂ q˙2 q0 ,0
2
Applicando la (4.68) alla equazione di Lagrange, otteniamo:
∂T ∼
d ∂T ∼
=0
= a (q0 ) q¨,
dt ∂ q˙
∂q
q0
q0
· 02 = 0
(4.67)
·0=0
(4.68)
(4.69)
e quindi
d
dt
∂T
∂ q˙
−
∂T ∼
= a (q0 ) q¨ = m0 q¨
∂q
(4.70)
In modo del tutto analogo si pu`
o ricondurre ad una forma quadratica anche l’energia potenziale V ,
sviluppandola secondo Taylor nell’intorno della posizione di equilibrio statico:
2
∼ V (q0 ) + dV (q) (q − q0 ) + 1 d V (q) (q − q0 )2
V (q) =
(4.71)
2
dq q0
2 dq q0
avendo definito, con la variabile q = q − q0 , lo spostamento sub`ıto dalla variabile indipendente rispetto
alla posizione di equilibrio statico
V (q) = V (q0 ) +
1 d2 V (q0 ) 2
dV (q0 )
q+
q + ...
dq
2 dq 2
(4.72)
Con tale trasformazione di coordinate, la variabile q definisce dunque il solo moto perturbato del sistema
nell’intorno della posizione di equilibrio statico q = q0 . L’applicazione delle equazioni di Lagrange alla
funzione V (q), resa quadratica nella variabile indipendente q, porta alla:
dV (q) ∼ dV (q) dV (q) d2 V (q) q=
(4.73)
+
+ k0 q
=
dq
dq q0
dq 2 q0
dq q0
4-11
in cui si `e sfruttato il fatto che la derivata del termine costante V (q0 ), per definizione, `e nulla. Il termine
lineare dell’energia potenziale quadraticizzata, invece, nell’equazione del moto linearizzata si annulla o
perch´e il sistema `e conservativo e quindi, dalla (4.40), il suo annullamento `e condizione per l’equilibrio,
o, in caso di sistema non conservativo, dalla definizione di soluzione di equilibrio secondo la (4.39), si
elide con il valore costante Q (q0 , 0) risultante dalla linearizzazione della componente generalizzata della
sollecitazione attiva.
Analogamente a quanto fatto per l’energia cinetica, anche la funzione di dissipazione D data dalla (4.32) pu`
o essere resa quadratica, sviluppandola in serie di Taylor arrestata al termine quadratico:
∂D
(q,
q)
˙
∂D
(q,
q)
˙
D (q, q)
˙ ∼
(q − q0 ) +
(q˙ − 0)
(4.74)
= D (q0 , 0) +
∂q ∂ q˙ q0 ,0
˙ 1 ∂ 2 D (q, q)
+
2
∂q 2 q0 ,0
∂ 2 D (q, q)
˙ (q − q0 ) +
∂q∂ q˙ 2
q0 ,0
q0 ,0
1 ∂ 2 D (q, q)
˙ (q − q0 ) (q˙ − 0) +
2
∂ q˙2 q0 ,0
(q˙ − 0)
2
(4.75)
In analogia con quanto osservato per l’espressione quadraticizzata dell’energia cinetica, si nota che
1
D (q0 , 0) = r (q0 ) · 02 = 0
2
∂D (q, q)
˙ ∂q q0 ,0
∂ 2 D (q, q)
˙ ∂q 2 1 dr (q)
=
2 dq q0 ,0
∂D (q, q)
˙ ∂ q˙ 2
q0
1 d2 r (q)
=
2 dq 2 · 0 = 0,
∂ 2 D (q, q)
˙ ∂q∂ q˙ 2
q0
q0 ,0
· 0 = 0,
questo porta all’espressione:
= r (q0 ) · 0 = 0
q0 ,0
1
˙ 1 ∂ 2 D (q, q)
q˙2 = r0 q˙2
D (q, q)
˙ ∼
=
2
2
∂ q˙
2
q0 ,0
dr (q)
=
dq q0
(4.76)
·0=0
(4.77)
Da ultimo si consideri il lavoro virtuale δL delle rimanenti forze attive esterne F~f , che possono dipendere arbitrariamente dalla coordinata libera q, dalle sue derivate e dal tempo t. La loro linearizzazione
`e del tutto analoga a quella effettuata quando si `e considerato l’approccio diretto alla linearizzazione
dell’equazione del moto, quindi il contributo delle rimanenti sollecitazioni attive all’equazione linearizzata `e dato dalla (4.60). ove, si ricorda, si `e fatta l’ipotesi che Q possa essere decomposta in modo che
l’eventuale dipendenza dal tempo si abbia solo in contributi che non dipendono dalla coordinata libera
e viceversa.
Si ottiene di nuovo l’equazione (4.65)
!
!
∂Q (q, q)
˙ ∂Q (q, q)
˙ ˜ (q0 , 0, t)
¨
˙
q + k0 −
q=Q
(4.78)
m0 q + r0 −
∂ q˙ q0
∂q q0
che risulta differenziale del secondo ordine lineare e a coefficienti costanti completa, in cui si considera
come variabile indipendente la coordinata q del moto perturbato definita nelle (4.64) a partire dalla
posizione di equilibrio q0 .
4.3.5
Utilizzo dell’equazione di moto linearizzata
Come gi`
a accennato, la linearizzazione dell’equazione di moto consente di ottenere un problema differenziale lineare a coefficienti costanti qualora sia possibile definire una condizione di equilibrio tale per cui la
4-12
configurazione del sistema non cambi. Ne verr`
a fatto largo uso nello studio della dinamica delle vibrazioni
per i sistemi meccanici, nei capitoli 5, 12 e 13; la capacit`a di ridurre in questa forma anche problemi in
cui sono presenti forze arbitrariamente dipendenti dalla configurazione consente di affrontare e risolvere
importanti problemi di aeroelasticit`
a, ovvero in cui riveste un ruolo fondamentale la dipendenza delle
forze aerodinamiche dal movimento della struttura, come verr`
a illustrato nel Capitolo 15.
4.4
Esempi
Gli esempi relativi alla linearizzazione sono attualmente in revisione; verranno resi disponibili il pi`
u presto
possibile.
4-13
4-14
Capitolo 5
Sistemi vibranti ad un grado di
libert`
a — Parte I
Generato il 23 ottobre 2014
I’m pickin up good vibrations
She’s giving me excitations
I’m pickin up good vibrations
She’s giving me excitations
(oom bop bop excitations)
Good good good good vibrations
(oom bop bop)
She’s giving me excitations
(oom bop bop excitations)
Good good good good vibrations
(oom bop bop)
She’s giving me excitations
(oom bop bop excitations)
Beach Boys
5.1
Meccanica delle vibrazioni
Per le macchine viste finora, `e quasi sempre possibile effettuare uno studio considerandole a un solo grado
di libert`
a, dove ogni elemento `e ritenuto rigido. In realt`a essi sono approssimati, pertanto i nostri schemi
sono approssimati. La deformabilit`a degli elementi componenti pu`
o essere voluta o indesiderata: ad
esempio le sospensioni di un veicolo sono elementi volutamente deformabili. Purtroppo, per le difficolt`a
che insorgono nello studio e per gli effetti collaterali, sono ben pi`
u importanti i casi di deformabilit`a
dinamica non voluta, quando un elemento che il progettista vorrebbe rigido si deforma, dando luogo
di regola a moti vibratori indesiderati e dannosi. Per lo studio di questi moti vibratori `e necessario
fare qualche considerazione sui modelli matematici atti a descrivere tali fenomeni. Spesso la difficolt`a
consiste nell’associare un modello deformabile a qualcosa che nella realt`a il progettista vorrebbe rigido.
Ovviamente questi schemi devono essere i pi`
u semplici possibili ed `e possibile suddividerli in due gruppi:
• modelli continui (a infiniti gradi di libert`
a) derivanti dalla Scienza delle Costruzioni, dove riferendoci, ad esempio, a una trave, ogni punto di questa pu`
o muoversi e ogni sezione pu`
o ruotare.
Per descriverne il comportamento `e necessario conoscere una funzione w
~ (~x) che esprime la configurazione di ogni punto ~x che costituisce il corpo deformabile, e le equazioni alle derivate parziali
che descrivono l’equilibrio indefinito in ogni punto del corpo, incluso il contorno. Raramente si
conoscono soluzioni analitiche, se non in casi speciali, come ad esempio le travi e le funi. Per tali
5-1
sistemi `e possibile risolvere in forma chiusa il problema delle piccole vibrazioni attorno ad una
configurazione di equilibrio statico;
• modelli discreti (a n finiti gradi di libert`
a) che contrastano con l’osservazione del fenomeno fisico
secondo la quale la deformabilit`a e l’inerzia sono distribuite nel sistema fisico.
Per fortuna, molte volte `e possibile ricondurre il modello reale a sistemi a uno o pochi gradi di libert`
a.
Si tenga presente che, per utilizzare modelli a uno o pochi gradi di libert`
a, `e necessario prima effettuare
lo studio con schemi a un numero maggiore di g.d.l. e capire sotto quali condizioni si pu`
o tornare a pochi
g.d.l. senza perdere informazioni importanti per la risoluzione del problema.
Figura 5.1: Velivolo in atterraggio.
Un velivolo in atterraggio, ad esempio, come quello illustrato in figura 5.1, possiede una velocit`
a che
non `e mai perfettamente orizzontale, e per questo i carrelli sono dotati di opportuni molleggi che hanno
il compito di dissipare l’energia associata alla componente verticale di tale velocit`
a. Se analizziamo in
prima approssimazione l’impatto del velivolo sul campo d’atterraggio, trascurando, nel breve intervallo
di tempo in cui avviene l’impatto, l’effetto dovuto alla componente orizzontale della velocit`
a, si nota che
il comportamento dinamico del sistema, grazie alla grande rigidezza della fusoliera rispetto agli elementi
elastici del treno d’atterraggio, pu`
o essere rappresentato dalla seguente equazione differenziale.
−m¨
y − ky = 0
(5.1)
Altro esempio, noto dalla Meccanica Razionale, `e quello del pendolo, illustrato in figura 5.2, per il
quale la scrittura dell’equazione di equilibrio alla rotazione attorno alla cerniera O porta a
−ml2 θ¨ − mgl sin θ = 0
(5.2)
Figura 5.2: Pendolo.
5-2
Figura 5.3: Sistema vibrante a un grado di libert`
a, senza attrito.
ove la dipendenza del momento dall’angolo θ, per piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio,
definita da θ = 0, pu`
o essere cos`ı linearizzata
d sin θ ∼
sin θ = sin (0) +
∆θ = ∆θ
(5.3)
dθ θ=0
dando luogo a una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti
g
−θ¨ − θ = 0
l
(5.4)
simile a quella gi`
a vista per il velivolo.
5.2
Moto libero non smorzato
Trattiamo il problema delle vibrazioni a un solo g.d.l. in modo generale, studiando per ora il caso che
sul sistema dinamico, considerato in assenza di attriti o smorzamento, non agiscano forze esterne.
Per mettere in equazione il modello meccanico, dobbiamo scegliere la coordinata libera, ovviamente
la x, e sceglierne l’origine.
Vedremo in seguito il motivo, ma risulta comodo misurare la coordinata libera (ovvero le coordinate
libere in sistemi a pi`
u gradi di libert`
a) a partire dalla posizione di equilibrio statico. Consideriamo
un moto traslatorio della massa e scriviamo l’equazione di moto del sistema. Utilizzando gli equilibri
dinamici, in una generica posizione deformata x (t), agiranno sul corpo la forza d’inerzia e la forza di
richiamo elastico della molla, ovvero
−m¨
x − kx = 0
(5.5)
che noi per convenzione riscriviamo con il segno cambiato, tenendo a sinistra dell’uguale le forze dipendenti dalla configurazione con il segno cambiato e portando le altre forze (in questo caso assenti) a destra
m¨
x + kx = 0
(5.6)
Si ottiene un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, la cui soluzione `e del
tipo
x (t) = Aeλt
(5.7)
dove A `e una costante arbitraria e λ un parametro da determinare. Sostituendo la soluzione (5.7)
nell’equazione di partenza (5.6), e considerando quindi che x
¨ = λ2 Aeλt = λ2 x, si ottiene
mAλ2 eλt + kAeλt = 0
(5.8)
o anche mAλ2 x + kx = 0 che, trascurando la soluzione banale A = 0 che rappresenta la condizione di
equilibrio statico x(t) ≡ 0, essendo eλt 6= 0 qualunque sia t, si annulla solo per
λ2 = −
k
m
(5.9)
5-3
Figura 5.4: Oscillazione armonica.
ovvero
λ1,2 = ±
r
k
− = ±i
m
r
k
= ±iω0
m
(5.10)
La soluzione dell’equazione differenziale (5.6) `e quindi data dalla combinazione lineare delle due
soluzioni caratterizzate da λ1 e λ2
x (t) = A1 eiω0 t + A2 e−iω0 t
(5.11)
Lo spostamento x (t) `e una quantit`a reale, mentre per la forma dell’equazione (5.6) lo spostamento
risultante dalla sua soluzione in generale `e complesso:
x (t) = (A1 + A2 ) cos (ω0 t) + i (A1 − A2 ) sin (ω0 t)
(5.12)
per cui affinch´e x (t) sia reale, occorre che la somma delle costanti A1 e A2 sia reale e la loro differenza
immaginaria, ovvero occorre che siano complesse coniugate.
Se si prende come tempo iniziale t0 = 0, cosa sempre lecita a patto di ridefinire l’origine dell’asse
dei tempi, dal momento che i coefficienti dell’equazione (5.6) non dipendono dal tempo, si nota che, per
t = 0, la soluzione (5.12) vale
x (0) = A1 + A2
(5.13)
mentre la sua derivata vale
x˙ (0) = iω0 (A1 − A2 )
(5.14)
Le relazioni (5.13) e (5.14) mostrano come le costanti A1 e A2 siano in relazione con le condizioni
iniziali del moto, dalle quali si ricavano:

!

1
x
˙
(0)



 A1 = 2 x (0) − i ω0
!
(5.15)

x
˙
(0)
1



 A2 = 2 x (0) + i ω0
Consideriamo ancora lo stesso oscillatore gi`
a visto, ma supponiamolo anche soggetto alla gravit`a. Nel
precedente esempio avevamo posto l’origine della coordinata libera (x = 0) dove `e nulla la forza esercitata
dalla molla. Anche in questo caso porremo l’origine y = 0 dove la molla `e scarica.
L’equazione di equilibrio dinamico porta a
−m¨
y − ky + mg = 0
(5.16)
5-4
Figura 5.5: Oscillatore smorzato.
ovvero
m¨
y + ky = mg,
(5.17)
equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa. Se prendiamo ora come origine della
coordinata libera x la posizione di equilibrio statico y0 , ottenuta dalla (5.17) imponendo y¨ ≡ 0, sar`a
y = y0 + x
(5.18)
y¨ = x
¨,
(5.19)
e
con
y0 =
mg
k
(5.20)
che sostituite portano a
mg
+ x + mg = 0
−m¨
x−k
k
(5.21)
da cui
m¨
x + kx = 0.
(5.22)
Ovvero, se non interessa lo studio del moto derivante dall’applicazione di una forza costante nel tempo,
conviene scegliere l’origine della coordinata libera nel punto di equilibrio statico, in quanto si ottiene
sempre un’equazione differenziale omogenea.
5.3
Vibrazioni libere smorzate
Smorzamento viscoso. Durante la vibrazione libera, l’energia `e dissipata in vari modi, e un moto
con ampiezza costante non pu`
o essere mantenuto senza che venga continuamente fornita energia.
` difficile una formulazione esatta del fenomeno dissipativo, in quanto questo pu`
E
o essere funzione
dello spostamento, della velocit`
a, dello stato di deformazione, del tempo o di altro.
Un modello ideale, spesso soddisfacente, `e quello dello smorzamento viscoso, secondo il quale la forza
dissipativa `e espressa da
F = −rx˙ = −cx,
˙
(5.23)
5-5
dove r `e utilizzato nella bibliografia italiana, mentre c in quella di lingua anglosassone. L’equazione di
equilibrio dinamico del nostro solito oscillatore diverr`a quindi
−m¨
x − rx˙ − kx = 0
(5.24)
che pu`
o essere risolta usando la solita forma (5.7) la quale, sostituita nell’equazione differenziale di
partenza (5.24) porta all’equazione lineare
r
k
2
λ + λ+
(5.25)
Aeλt = 0
m
m
che ammette come soluzioni non banali (per A 6= 0 e valide per qualsiasi valore di t)
r
r 2
k
r
−
±
λ1,2 = −
2m
2m
m
e la soluzione generale per la vibrazione libera smorzata `e data da
x (t) = Aeλ1 t + Beλ2 t
(5.26)
(5.27)
dove A e B sono costanti arbitrarie dipendenti dalle condizioni iniziali.
Smorzamento critico. Il comportamento dell’oscillatore smorzato dipende dal valore numerico del
radicando
r 2
k
∆=
−
(5.28)
2m
m
detto anche discriminante. A seconda che esso sia maggiore o minore di zero, le radici saranno reali e distinte o complesse coniugate. Quindi `e ragionevole prendere come valore di riferimento per lo
smorzamento, detto anche smorzamento critico, quello per il quale il radicando si annulla:
√
(5.29)
rc = 2 mk
A questo punto lo smorzamento effettivo del sistema pu`
o essere espresso in forma adimensionale come
frazione dello smorzamento critico rc dal rapporto
r
ξ=
(5.30)
rc
detto anche indice di smorzamento1 . Ne consegue che
r
√
rc
2 km
k
r
=ξ
=ξ
=ξ
= ξω0
2m
2m
2m
m
e quindi le radici del polinomio caratteristico sono espresse dalla relazione2
p
λ1,2 = −ξ ± i 1 − ξ 2 ω0
|ξ| < 1
(5.31)
(5.32)
Ovviamente se |ξ| ≥ 1 questa rappresentazione perde di interesse, in quanto il radicando della (5.32)
diventa a sua volta negativo, e le radici λ1,2 diventano reali e distinte. A questo punto, conviene scrivere
p
λ1,2 = −ξ ± ξ 2 − 1 ω0
|ξ| ≥ 1
(5.33)
Si ricordi che `e opportuno ragionare sul modulo di ξ in quanto, in casi particolari, lo smorzamento r
potrebbe essere negativo e portare quindi ad un comportamento instabile; si veda il capitolo 6 ed il
capitolo 15 per una discussione pi`
u approfondita.
1 In alcuni ambiti, lo smorzamento `
e descritto in termini di fattore di qualit`
a (quality factor ), indicato con Q. Il fattore
di qualit`
a indica il rapporto fra la quantit`
a di energia immagazzinata dal sistema e quella dissipata in un ciclo. Tanto meno
`
e smorzato un sistema, tanto pi`
u alto `
e il suo fattore di qualit`
a. Un sistema non smorzato ha fattore di qualit`
a Q = ∞.
L’equivalenza tra il fattore di qualit`
a Q e il coefficiente di smorzamento ξ `
e Q = 1/(2ξ).
2 La relazione (5.32) si presta ad una interessante interpretazione: si interpreti ξ come il seno di un angolo ϕ, ovvero
p
ξ = sin ϕ. Ovviamente
questa interpretazione ha senso solo se |ξ| ≤ 1. Allora, il termine 1 − ξ 2 pu`
o essere interpretato
p
p
come cos ϕ = ± 1 − sin2 ϕ = ± 1 − ξ 2 . In pratica,
sin
ϕ
e
cos
ϕ
sono
rispettivamente
l’opposto
della
parte reale e la
p
parte immaginaria degli autovalori λ1,2 per ω0 = k/m unitario. Quindi l’angolo ϕ assume un chiaro significato grafico
nella rappresentazione degli autovalori nel piano complesso.
5-6
Figura 5.6: Oscillazione smorzata.
Smorzamento minore di quello critico: 0 < ξ < 1. La soluzione generale diventa
√ 2
p
√ 2 x (t) = e−ξω0 t Aei 1−ξ ω0 t + Be−i 1−ξ ω0 t = Xe−ξω0 t sin
1 − ξ 2 ω0 t + φ
e il moto risulta periodico con pulsazione
p
ω = 1 − ξ 2 ω0
(5.34)
(5.35)
e ampiezza decrescente nel tempo con legge esponenziale. Posto σ = −ξω0 , ovvero λ1,2 = σ ± iω, la
generica soluzione (5.27) assume la forma
x (t) = ((A + B) cos (ωt) + i (A − B) sin (ωt)) eσt
(5.36)
Anche in questo caso, valutando la soluzione (5.36) e la sua derivata all’istante iniziale, si possono
esprimere i coefficienti A e B in funzione delle condizioni iniziali:
x (0) = A + B
(5.37)
x˙ (0) = σ (A + B) + iω (A − B)
(5.38)
da cui si ricava
1
x˙ (0) − σx (0)
A=
x (0) − i
2
ω
!
(5.39)
x˙ (0) − σx (0)
1
x (0) + i
B=
2
ω
!
(5.40)
Smorzamento maggiore di quello critico: ξ > 1. In questo caso le due radici sono reali, e la
soluzione generale diventa
√
√
−ξ− ξ 2 −1 ω0 t
−ξ+ ξ 2 −1 ω0 t
+ Be
x (t) = Ae
.
(5.41)
Il moto non `e pi`
u oscillatorio, ma si smorza col tempo in modo esponenziale. Le condizioni iniziali si
ricavano dalle relazioni
x(0) = A + B
p
p
x(0)
˙
= −ξ + ξ 2 − 1 ω0 A + −ξ − ξ 2 − 1 ω0 B
5-7
(5.42)
(5.43)
Figura 5.7: Risposta supercritica.
Figura 5.8: Risposta critica.
da cui si ricava
x(0)
˙
ξ 2 − 1 x(0) −
ω0
p
A=
2
2 ξ −1
p
x(0)
˙
−ξ + ξ 2 − 1 x(0) −
ω0
p
B=
2 ξ2 − 1
ξ+
p
(5.44)
(5.45)
Smorzamento uguale a quello critico: ξ = 1. In quest’ultimo caso le due radici sono reali e
coincidenti. In questo caso l’integrale generale assumer`a la forma
x (t) = (A + tB) e−ω0 t
(5.46)
Per cui il moto libero non `e pi`
u oscillatorio ma si smorza anch’esso in modo esponenziale. Le condizioni
iniziali si ricavano dalle relazioni
x(0) = A
x(0)
˙
= −ω0 A + B
(5.47)
(5.48)
5-8
-1
0
instabile
divergenza
1
ξ
asintoticamente stabile
oscillazioni
Figura 5.9: Caratteristiche della soluzione al variare del fattore di smorzamento
Figura 5.10: Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento.
da cui si ricava
A = x(0)
B = ω0 x(0) + x(0)
˙
(5.49)
(5.50)
Non sono stati considerati i casi per cui ξ < 0; in tali casi il sistema ha comportamento instabile e,
dallo studio del modulo di ξ, in totale analogia con quanto visto sopra, si pu`
o dedurre se l’instabilit`a
si manifesta come una oscillazione che cresca esponenzialmente (−1 < ξ < 0) o come una divergenza
statica (ξ < −1). Il comportamento al variare del fattore di smorzamento ξ `e riassunto nella figura 5.9.
Confrontando per lo stesso oscillatore l’andamento del moto libero al variare dell’indice di smorzamento ξ per le medesime condizioni iniziali
x (0) = 1
(5.51)
x˙ (0) = 0
come illustrato in figura 5.10, si nota che:
• indipendentemente dalle condizioni iniziali il moto libero si annulla sempre dopo un tempo pi`
uo
meno lungo;
• a parit`a di condizioni iniziali, il tempo necessario per smorzarsi dipende da ξ;
• a parit`a di condizioni iniziali, per ξ = 1 il tempo `e minimo (strumenti di misura, artiglierie, ecc.).
5.4
Moto forzato
Sempre in assenza di smorzamento e di attriti, vediamo ora che cosa succede se applichiamo al sistema
una forza esterna F (t) che supponiamo per semplicit`
a armonica3 , ovvero
F (t) = F0 sin (ωt)
(5.52)
3 Sotto ampie ipotesi, una forzante generica pu`
o essere descritta da una funzione periodica, ovvero una funzione per la
quale f (t + T ) = f (t), con T pari al suo periodo. Un’ampia classe di funzioni periodiche pu`
o essere sviluppata in serie di
Fourier, ovvero in serie di funzioni armoniche e quindi, per la linearit`
a del problema, la risposta ad una generica forzante
pu`
o essere espressa come combinazione lineare della risposta a forzanti alle diverse armoniche che costituiscono la serie.
5-9
con F0 e ω noti. L’equazione di equilibrio per la massa m diventa
m¨
x + kx = F0 sin (ωt)
(5.53)
equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa il cui integrale generale `e dato dall’integrale
generale dell’omogenea associata pi`
u l’integrale particolare
x (t) = xg (t) + xp (t)
(5.54)
ovvero
x (t) = A cos (ω0 t) + B sin (ω0 t) + xp (t)
(5.55)
xp (t) = C sin (ωt)
(5.56)
con
integrale particolare che sostituito nell’equazione (5.53) di partenza
−mCω 2 sin (ωt) + kC sin (ωt) = F0 sin (ωt)
(5.57)
d`a
C=
F0
k − mω 2
(5.58)
quindi la (5.55) diventa
x (t) = A cos (ω0 t) + B sin (ω0 t) +
F0
sin (ωt)
k − mω 2
(5.59)
Il moto risultante `e quindi somma di due funzioni armoniche, una con pulsazione ω0 , caratteristica del
sistema, e l’altra con pulsazione ω, data dalla forzante.
Per effetto degli inevitabili smorzamenti, l’integrale generale dell’omogenea associata, come visto,
tende a zero col crescere del tempo, per cui a noi interessa studiare il solo integrale particolare che
rappresenta il comportamento vibratorio a regime del sistema4 :
t≫t
0
x (t) ∼
=
F0
sin (ωt)
k − mω 2
(5.60)
Analizziamo l’ampiezza C del moto a regime al variare dei parametri:
• se la pulsazione ω della forzante tende a zero, l’ampiezza di vibrazione C tende a un valore pari
alla deformazione indotta dalla forza F0 applicata staticamente;
• se la pulsazione ω cresce, l’ampiezza C aumenta (fenomeno dell’amplificazione dinamica) fino a un
asintoto verticale (risonanza):
lim |C| = ∞
(5.61)
ω→ω0
• al crescere ulteriore della pulsazione ω della forzante, l’ampiezza della risposta si annulla:
lim |C| = 0
(5.62)
ω→∞
4 La (5.60), a rigore, `
e vero solo in presenza di smorzamento; tuttavia spesso si opera questa semplificazione anche
in assenza di smorzamento esplicito nell’equazione (5.53), avendo tacitamente assunto che lo smorzamento nel sistema `
e
sufficientemente piccolo da consentire di ignorarlo, ma `
e sicuramente presente in misura sufficiente da cancellare, dopo un
tempo sufficientemente elevato, il moto libero della (5.55).
5-10
Figura 5.11: Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato.
Attenzione: se siamo in risonanza, la soluzione cade in difetto in primo luogo perch´e il comportamento
della molla `e lineare solo per piccoli spostamenti. Inoltre, dobbiamo ricordare che le costanti A e B devono
essere calcolate per la soluzione generale completa rappresentata dalla (5.55) per cui
x (0) = A + xp (0)
(5.63)
x˙ (0) = ω0 B + x˙ p (0) .
Supponendo, per t = 0, che tanto lo spostamento quanto la velocit`
a siano nulle, si ottiene
1
ω
F0
sin (ω0 t)
x (t) =
!2 sin (ωt) −
k
ω0
ω
1−
ω0
(5.64)
che fornisce una forma indeterminata del tipo 0/0 per ω → ω0 . Applicando alla (5.64) la regola di de
l’Hˆopital si ottiene
F0
ω
1
F0
lim x (t) = lim
sin
(ωt)
−
sin
(ω
t)
=
(sin (ω0 t) − ω0 t cos (ω0 t)) (5.65)
!2
0
ω→ω0 k
ω→ω0
ω
2k
0
ω
1−
ω0
per cui sarebbe comunque necessario tempo infinito, anche in condizioni ideali di linearit`a delle forze
elastiche, per raggiungere ampiezze infinite. Ricordando, infine, che
C=
F0
=
k − ω2 m
xstatico
F0 /k
=
!2 ,
ω2 m
ω
1−
1−
k
ω
(5.66)
0
con xstatico = F0 /k, si definisce il coefficiente di amplificazione dinamica H(ω) come
H (ω) =
C
=
xstatico
1
1−
5.5
ω
ω0
!2 .
(5.67)
Moto forzato per spostamento del vincolo
Consideriamo il solito sistema che si muova rispetto ad un osservatore assoluto con una legge y (t) nota,
come rappresentato in figura 5.12.
5-11
Figura 5.12: Sistema vibrante per spostamento del vincolo.
Definiamo x (t) lo spostamento assoluto della massa e misuriamo lo spostamento dalla posizione di
equilibrio statico che sar`
a definita da
y (t) = x (t) − xr (t) = 0
(5.68)
ove xr (t) indica lo spostamento relativo della massa, e quindi l’allungamento della molla. Scrivendo
l’equazione di equilibrio dinamico, otteniamo
m¨
x + k (x − y (t)) = 0,
(5.69)
ovvero
m¨
x + kx = ky (t)
(5.70)
che `e un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa del tutto simile a quella gi`
a vista
nel moto forzato.
Per un osservatore relativo, l’equazione di equilibrio dinamico diventa invece
m (¨
xr + y¨ (t)) + kxr = 0,
(5.71)
ovvero
m¨
xr + kxr = −m¨
y (t)
(5.72)
Si supponga che il moto del vincolo sia armonico, di frequenza ω e ampiezza b:
y (t) = b sin (ωt)
(5.73)
per cui la (5.70) diventa
m¨
x + kx = kb sin (ωt)
(5.74)
che ha, come integrale particolare,
xp (t) =
kb
sin (ωt) = X sin (ωt)
k − ω2 m
(5.75)
ove X `e l’ampiezza di vibrazione nel moto assoluto della massa m. In termini adimensionali:
X
=
b
1
1−
ω
ω0
(5.76)
!2
del tutto analogo al coefficiente di amplificazione H gi`
a definito. Pertanto, una molla potr`a essere definita
“rigida” quando non vi `e moto relativo, e quindi
X ∼
=1
b
(5.77)
5-12
Figura 5.13: Sistema vibrante per squilibrio dinamico.
ovvero
ω02 ≫ ω 2
(5.78)
Considerando ora l’osservatore relativo, la (5.72) diventa
m¨
xr + kxr = mω 2 b sin (ωt)
(5.79)
e quindi
xrp (t) =
mω 2 b
sin (ωt) = Xr sin (ωt)
k − ω2 m
(5.80)
che, in termini adimensionali, diventa
!2
ω
ω0
Xr
=
!2
b
ω
1−
ω0
(5.81)
Moto forzato dovuto a squilibri rotanti. Supponiamo di avere una macchina con una parte rotante,
avente massa propria M e uno squilibrio di momento statico rispetto all’asse di rotazione, definito
attraverso una massa m e un braccio e rispetto all’asse di rotazione. Supponiamo che la velocit`
a angolare
ω sia costante.
L’accelerazione assoluta della massa eccentrica sar`a
¨
(5.82)
~a = ~ar + ~at = − ω 2 e eiωt + ~x
dove, con un certo abuso di notazione, si sono combinati il formalismo esponenziale dei fasori per quanto
riguarda l’accelerazione relativa, centripeta, a cui `e soggetta la massa eccentrica, e la notazione vettoriale
pi`
u classica per l’accelerazione di trascinamento a cui `e soggetta la massa M . Avremo quindi, misurando
gli spostamenti x, positivi verso l’alto, a partire dalla posizione di equilibrio statico, l’equazione della
dinamica dell’intero sistema
Mx
¨ + m −ω 2 e sin (ωt) + x
¨ + 2kx = 0
(5.83)
5-13
ovvero
(M + m) x
¨ + 2kx = mω 2 e sin (ωt)
(5.84)
e l’integrale particolare, in condizioni di regime, varr`a
xp (t) =
meω 2
sin (ωt) = X (ω) sin (ωt)
2k − (M + m) ω 2
(5.85)
e quindi
ω2
m
m
X (ω)
=
=
e
M + m ω02 − ω 2
M +m
ω
ω0
1−
!2
ω
ω0
!2
(5.86)
Si noti che la macchina al variare della velocit`
a trasmetter`
a al terreno una forza variabile nel tempo pari
a
Ftr = 2kX sin (ωt)
(5.87)
che forzer`a il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzer`a a sua
volta a vibrare, per spostamento di vincolo, le altre strutture posate su di esso.
Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse di rotazione sia baricentrico (e anche principale d’inerzia come vedremo), la forzante si annulla e il fenomeno scompare in
quanto l’equazione di moto risulta essere la soluzione di
(M + m) x
¨ + 2kx = 0
5.6
(5.88)
Moto forzato smorzato con eccitazione armonica
La soluzione a regime per un’eccitazione di tipo armonico ha una validit`a del tutto generale in quanto:
• un’eccitazione periodica `e scomponibile, sotto ipotesi largamente accettabili e verificate nella pratica, in una serie di eccitazioni armoniche (serie di Fourier);
• i sistemi meccanici di cui ci occupiamo sono descritti da equazioni differenziali lineari e quindi vale
il principio di sovrapposizione degli effetti.
Quindi, la risposta del sistema meccanico `e fornita dalla sovrapposizione delle risposte alle singole
componenti armoniche in cui `e sviluppabile la generica eccitazione periodica.
Inoltre, tali risposte, in condizioni di regime, sono date dai soli integrali particolari in quanto gli
integrali generali delle omogenee associate, per effetto delle inevitabili dissipazioni, tendono comunque a
zero in un tempo pi`
u o meno lungo.
L’equazione differenziale del moto pu`
o essere scritta come
m¨
x + rx˙ + kx = F0 eiωt
(5.89)
la cui soluzione `e data da
x (t) = xg (t) + xp (t)
(5.90)
Tralasciamo, per quanto pi`
u volte detto, il contributo dell’integrale generale dell’omogenea associata;
quindi, a regime:
x (t) ∼
= xp (t)
(5.91)
5-14
Figura 5.14: Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.
con
xp (t) = Xeiωt = |X| eiφ eiωt = |X| ei(ωt+φ) ÷ |X| sin (ωt + φ)
(5.92)
con X e φ calcolati sostituendo nell’equazione differenziale l’integrale particolare. Sostituendo quindi
la (5.92) nell’equazione differenziale (5.89) di partenza otteniamo
−mω 2 + irω + k Xeiωt = F0 eiωt
(5.93)
che ammette come soluzione valida per tutti i valori di t
X=
con
F0
=q
k − mω 2 + irω
φ = − tan
−1
ωr
k − mω 2
F0
(k −
2
mω 2 )
eiφ
+
(5.94)
r2 ω 2
(5.95)
Ricordando che
p
• ω0 = k/m `e la frequenza propria del sistema non smorzato;
• ξ = r/rc `e il fattore di smorzamento, rapporto tra lo smorzamento ed il suo valore critico;
• rc = 2mω0 `e lo smorzamento critico;
• X(0) = X0 = F0 /k `e la freccia statica, per effetto della forzante F0 a pulsazione nulla,
otteniamo
e
|X|
= v
u
X0
u
u
t 1−




φ = − tan−1 


ω
ω0
1
! 2
2ξ
1−
(5.96)
2
 +
ω
ω0
2ξ
ω
ω0
!2




!2 

ω

ω0
(5.97)
5-15
Figura 5.15: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω0
`e indicato con ω/ωn , lo smorzamento r `e indicato con c, mentre la fase φ `e rappresentata con segno
opposto).
Possiamo rappresentare graficamente in figura 5.15 l’andamento dell’integrale particolare in funzione del
rapporto ω/ω0 . Si notano due zone: per ω/ω0 < 1 e per ω/ω0 > 1, con il caso ω/ω0 = 1 a fare da
spartiacque.
Si pu`
o effettuare un’interessante analisi qualitativa del comportamento del sistema studiando il
diagramma vettoriale delle forze agenti sulla massa: dall’equazione di equilibrio
m¨
x + rx˙ + kx = F0 eiωt
(5.98)
una volta sostituita la soluzione particolare
xp (t) = Xeiωt
(5.99)
con X complesso, le singole forze sono descritte da coefficienti complessi che hanno una rappresentazione
molto chiara nel piano complesso avente come riferimento la direzione eiωt :
−mω 2 Xeiωt + irωXeiωt + kXeiωt = F0 eiωt
(5.100)
ovvero
−mω 2 + irω + k X − F0 eiωt = 0
(5.101)
quindi in generale si pu`
o costruire graficamente un trapezio rettangolo, avente come basi le forze elastica
e inerziale, come altezza la forza viscosa, e come quarto lato la forzante esterna. Ad una data pulsazione
ω corrispondono ben precise lunghezze delle basi e dell’altezza; data l’ampiezza della forzante F0 , la
chiusura del trapezio si ottiene variando il modulo e la fase attraverso la scelta di X.
• ω/ω0 < 1: l’angolo di fase `e piccolo e quindi `e principalmente la forza della molla ad equilibrare la
forzante esterna, cui si somma la forza d’inerzia, come illustrato in figura 5.16(a).
• ω/ω0 = 1: l’angolo di fase `e pari a 90 gradi, per cui la forzante esterna `e equilibrata dalla sola forza
viscosa, come illustrato in figura 5.16(b). L’ampiezza di vibrazione a regime `e pari a
|X| =
X (0)
F0
=
rω0
2ξ
(5.102)
5-16
(a) ω/ω0 < 1.
(b) ω/ω0 = 1.
(c) ω/ω0 > 1.
Figura 5.16: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.
5-17
• ω/ω0 > 1: l’angolo di fase cresce e si avvicina a 180 gradi; la forza impressa `e equilibrata quasi
integralmente da quella d’inerzia, come illustrato in figura 5.16(c).
Esercizio 5.1 Si consideri un motore elettrico in corrente continua5 che comanda un carico costituito
da una inerzia Ju collegata al motore da un albero flessibile, descrivibile mediante una molla rotazionale
di rigidezza kθ e uno smorzamento strutturale rθ . Si progetti un controllo proporzionale tra la tensione
di alimentazione e la rotazione del motore, facendo attenzione a come le caratteristiche dinamiche del
carico possono influenzare il progetto.
5 Questo esercizio richiede conoscenze acquisite nei corsi di elettrotecnica ed automatica, richiamati e sviluppati nel
capitolo 9, per cui si consiglia di provarne la soluzione, ed eventualmente riprenderlo in seguito per completare la
preparazione.
5-18
Capitolo 6
Cenni sulla stabilit`
a
Generato il 23 ottobre 2014
There is nothing stable in the
world; uproar’s your only music.
John Keats
6.1
Che cosa si intende per stabilit`
a
Il termine “stabilit`a” indica la sensitivit`a della soluzione di un problema matematico alle perturbazioni.
Spesso la definizione di stabilit`
a, la sua portata ed il significato sia fisico che matematico che essa sottende
sfuggono allo studente frettoloso o distratto. Queste brevi note non vogliono tanto rappresentare una
trattazione rigorosa e completa dal punto di vista matematico, quanto una sorta di breviario che aiuti
non solo lo studente del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali a superare l’esame, ma in generale
gli studenti di Ingegneria Aerospaziale ad orientarsi nella terminologia e nella scelta degli strumenti pi`
u
adatti a risolvere i problemi fondamentali della dinamica dei sistemi, in un linguaggio che sia il pi`
u
possibile corretto e allo stesso tempo conforme alla terminologia in uso nel settore.
Lo studio della stabilit`
a cos`ı come interessa il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali si applica
tipicamente alle soluzioni
y = y (t)
(6.1)
dei problemi
f (y, y,
˙ t) = 0,
y (t0 ) = y0 .
(6.2)
In generale, non `e possibile affermare che un generico sistema sia stabile; tuttavia, `e possibile studiare
la stabilit`
a di una particolare soluzione.
Solo in caso di sistemi lineari a coefficienti costanti1 si pu`
o studiare la stabilit`
a del sistema, in quanto
la struttura della generica soluzione, il cosiddetto integrale generale, `e nota a partire dalle caratteristiche
del sistema, e ha la forma
y (t) = y (t0 ) eλ(t−t0 )
(6.3)
con λ complesso e dipendente solo dai coefficienti del sistema, mentre y (t0 ) rappresenta le condizioni
iniziali. Anche in questo caso, quindi, lo studio della stabilit`
a si applica ad una specifica soluzione, e solo
per la specificit`
a del problema, ovvero per l’unicit`
a della soluzione di un sistema lineare, `e possibile da
questo studio risalire a caratteristiche globali di stabilit`
a del sistema.
1 In caso di sistemi lineari a coefficienti dipendenti dal tempo, se periodici, `
e ancora possibile studiare la stabilit`
a con
metodi dedicati; si veda ad esempio la teoria di Floquet.
6-1
6.2
Definizione di stabilit`
a
Esistono diverse definizioni di stabilit`
a, a seconda di che cosa venga perturbato (stato, parametri, . . . ).
Nel caso in esame, oggetto del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, si intende studiare la stabilit`
a
alla perturbazione dello stato.
Si considerino gli enunciati:
Una soluzione si dice stabile se, comunque venga fissata la misura della distanza tollerabile, `e
possibile determinare un valore non nullo di perturbazione iniziale della soluzione che consente
alla soluzione perturbata di rimanere al di sotto di tale distanza per tutti gli istanti di tempo
successivi a quello iniziale2 . In forma rigorosa: una soluzione di equilibrio ye si dice stabile
al tempo t0 se e solo se per ogni ǫ > 0 esiste un valore δ (ǫ) > 0 tale che ky (t0 ) − ye k < δ (ǫ)
implica ky (t) − ye k < ǫ qualunque sia t ≥ t0 .
Una soluzione si dice asintoticamente stabile se `e stabile e la soluzione perturbata, dopo un
tempo sufficientemente lungo (al limite, infinito), ritorna alla soluzione di riferimento.
Una soluzione si dice instabile se non `e stabile, ovvero non `e possibile determinare un valore
non nullo della perturbazione iniziale che le consenta di rimanere al di sotto della distanza
fissata per tutti gli istanti successivi a quello iniziale.
Si badi bene che la perturbazione si applica allo stato, ovvero, per un sistema meccanico descritto
da un’equazione o da un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, pu`
o essere applicata
separatamente alla posizione e alla velocit`
a.
Quando si parla di perturbazione di una soluzione, si intende che viene perturbato lo stato ad un dato
istante di tempo t0 ; quindi, in quell’istante di tempo, lo stato perturbato presenta un salto (uno scalino)
rispetto al valore della soluzione di riferimento.
Come questa perturbazione venga applicata non riveste alcuna importanza; quindi, nel caso di un
problema meccanico, `e limitativo parlare di forze usate per applicare la perturbazione; ci`o non toglie che
la definizione di stabilit`
a come effetto sulla soluzione di un ingresso impulsivo, come viene proposto da
altri corsi, sia collegato alla definizione proposta. Infatti, si pu`
o dimostrare che, in un sistema meccanico,
una forza impulsiva corrisponde ad una perturbazione della velocit`
a3 .
6.3
Stabilit`
a ed equilibrio
Si noti bene che la definizione di stabilit`
a si riferisce ad una soluzione qualunque, anche dipendente dal
tempo; infatti, in essa, non si parla mai di equilibrio.
Equilibrio e stabilit`
a sono due concetti distinti.
La soluzione di equilibrio,
y (t) = ye = costante,
(6.4)
in cui la derivata di ordine minimo da cui dipende il problema `e costante nel tempo, assume un’importanza
fondamentale in meccanica ed in dinamica in generale. In corrispondenza di una soluzione di equilibrio, lo
studio della stabilit`
a delle piccole oscillazioni `e significativo in quanto, se la configurazione di riferimento
`e di equilibrio e l’ampiezza delle oscillazioni `e limitata, da una parte pu`
o essere lecito ritenere che il
2 Questa definizione di stabilit`
a si dice uniforme; la definizione pi`
u generale prevede che il valore della perturbazione
possa dipendere dall’istante in cui viene applicata.
3 Ci`
o che in effetti viene applicato `
e un impulso di quantit`
a di moto per perturbare la velocit`
a, oppure una derivata di
impulso di quantit`
a di moto per perturbare la posizione. Tuttavia, questo approccio presuppone che attraverso l’ingresso
del sistema sia possibile perturbare tutto lo stato; allo stesso modo, si assume che osservando l’uscita sia possibile osservare
tutto lo stato. Entrambe le condizioni potrebbero non essere verificate per sistemi con stati cosiddetti non raggiungibili
oppure non osservabili.
6-2
comportamento di un modello linearizzato del problema non si discosti molto da quello del sistema
reale (ma non `e detto che ci`
o sia sempre lecito); dall’altra, i coefficienti risultanti dalla linearizzazione
del problema, valutati nella soluzione di equilibrio, possono essere ritenuti costanti a meno che non
contengano una dipendenza esplicita dal tempo.
Quindi si ricade nel caso del problema lineare a coefficienti costanti, per il quale, dallo studio della
stabilit`
a della soluzione generale, `e possibile risalire a risultati di validit`a generale, a condizione che le
ipotesi fatte sulla linearizzazione siano rispettate.
Riassumendo: lo studio della stabilit`
a attorno ad una soluzione di equilibrio riveste per noi un’importanza fondamentale essenzialmente perch´e tale tipo di movimento `e molto importante nella pratica, e
perch´e tale studio pu`
o essere effettuato, sotto certe ipotesi, con strumenti analitici relativamente semplici.
Tuttavia lo studio della stabilit`
a non `e limitato a questo tipo di problemi, e ha valenza molto pi`
u ampia.
6.3.1
Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio
Il generico problema dinamico del secondo ordine, rappresentativo di un problema meccanico ad un grado
di libert`
a4
f (y, y,
˙ y¨, t) = 0,
(6.5)
una volta linearizzato attorno ad una soluzione di equilibrio y (t) = ye costante, in un problema meccanico
ad un grado di libert`
a assume la forma
M Ƭ
y + R∆y˙ + K∆y = f (ye , 0, 0, t) ,
(6.6)
ove le forze dipendenti dalla coordinata libera y sono state riassunte dai coefficienti di massa M , resistenza
R e rigidezza K equivalenti, ovvero
M =−
∂f
,
∂ y¨
R=−
∂f
,
∂ y˙
K=−
∂f
.
∂y
(6.7)
La soluzione dell’equazione omogenea associata
M y¨ + Ry˙ + Ky = 0,
(6.8)
indicata in Equazione (6.3) e qui riprodotta per chiarezza
y (t) = Ceλt ,
(6.9)
`e rappresentata da un movimento esponenziale che, in caso di esponente complesso, modula un movimento
oscillante armonicamente, in quanto se λ = σ + iω, con σ e ω reali,
e(σ+iω)t = eσt (cos (ωt) + i sin (ωt)) .
6.3.2
(6.10)
Stabilit`
a della soluzione del problema linearizzato
La parte reale dell’esponente λ determina l’evoluzione del movimento.
Se la parte reale `e positiva, il movimento `e instabile.
Se la parte reale `e negativa, il movimento `e asintoticamente stabile.
Se la parte reale `e nulla, il movimento `e stabile5 (secondo alcuni autori, semplicemente stabile).
4 In questa trattazione si fa essenzialmente riferimento a problemi meccanici, anche se la trasposizione a problemi generici
delle considerazioni svolte `
e, o dovrebbe essere, immediata.
5 A rigore, ci`
o`
e vero per un problema lineare. Per un problema linearizzato, il Teorema di Hartman-Grobman dice che
per un sistema di equazioni non lineari, linearizzato attorno ad una soluzione di equilibrio statico, la stabilit`
a (o la sua
assenza) pu`
o essere valutata solo se la parte reale di λ `
e diversa da zero (minore per stabilit`
a, maggiore per instabilit`
a). In
caso di parte reale di λ nulla, occorre considerare anche i termini non lineari.
6-3
Dal momento che la soluzione indicata in Equazione (6.3) per la linearit`a del sistema `e unica, e
dipende dalle condizioni iniziali solo nel coefficiente moltiplicativo C, le considerazioni precedenti si
applicano all’intero sistema, ovvero a tutte le sue soluzioni, dal momento che fra loro si distinguono solo
per il coefficiente C, che non ha alcuna influenza sulle caratteristiche di stabilit`
a della soluzione.
L’esponente λ, radice del polinomio caratteristico, `e dato da
r
R
R2
K
λ=−
±
−
.
(6.11)
2
2M
4M
M
In base al valore del discriminante
∆=
K
R2
−
2
4M
M
(6.12)
si possono distinguere tre casi.
1. Per ∆ > 0, le radici sono reali e distinte, e sono date dall’Equazione (6.11). A seconda dei valori
dei parametri, possono essere tutte positive; in ogni caso, per R/M ≤ 0 almeno una `e positiva, ma
anche per R/M > 0 si pu`
o avere una radice positiva, qualora K/M < 0; in tale caso, infatti, la
radice positiva del discriminante `e maggiore in modulo di R/ (2M ).
2. Per ∆ = 0, le radici sono reali e coincidenti
λ=−
R
.
2M
(6.13)
Se R/M < 0 sono entrambe positive e quindi la soluzione `e instabile.
3. Per ∆ < 0, le radici sono complesse coniugate
r
K
R2
R
.
±i
−
λ=−
2M
M
4M 2
(6.14)
Il segno della parte reale `e determinato da R/M ; anche in questo caso per R/M < 0 la soluzione `e
instabile.
6.3.3
Validit`
a dello studio del problema linearizzato
Lo studio della stabilit`
a della soluzione linearizzata ha valore solamente nella misura in cui sono rispettate
le ipotesi che hanno portato alla linearizzazione, ovvero:
• se la soluzione attorno alla quale la linearizzazione `e avvenuta `e di equilibrio;
• se l’ampiezza del movimento `e sufficientemente limitata da non far allontanare la soluzione dell’equazione linearizzata dal bacino di attrazione della soluzione di equilibrio.
Quest’ultima condizione pu`
o essere decisamente critica, in quanto il suo soddisfacimento non `e di agevole
valutazione.
Problema: pendolo. Si studi la stabilit`
a del problema di un pendolo costituito da una massa
puntiforme m, incernierata nel piano verticale ad una distanza L dall’asse di rotazione, soggetta al˙ θ,
˙ come illustrato in
l’accelerazione di gravit`a g e ad uno smorzamento che d`a un momento Rkθk
figura 6.1.
L’equazione del moto `e
˙ θ˙ + mLg cos θ = 0
mL2 θ¨ + Rkθk
(6.15)
ove si `e indicato con θ l’angolo che il pendolo forma rispetto all’orizzontale. La soluzione di equilibrio
statico `e
π
n∈N
(6.16)
θ = + nπ,
2
6-4
Figura 6.1: Stabilit`a del pendolo.
Figura 6.2: Stabilit`a in presenza di attrito.
Si consideri la soluzione di equilibrio θ1 = −π/2; l’equazione del moto linearizzata diventa:
mL2 ∆θ¨ + mLg∆θ = 0
(6.17)
le cui radici del polinomio caratteristico sono
r
g
λ = ±i
L
(6.18)
Si consideri ora la soluzione di equilibrio θ2 = π/2; l’equazione del moto linearizzata diventa:
mL2 ∆θ¨ − mLg∆θ = 0
(6.19)
le cui radici del polinomio caratteristico sono
r
g
λ=±
L
(6.20)
` lecito supporre che attorno alla soluzione
Nel primo caso il sistema `e stabile; nel secondo `e instabile. E
θ1 il sistema reale abbia un comportamento smorzato, tuttavia lo studio della stabilit`
a del sistema
˙ θ,
˙ sicuramente dissipativa,
linearizzato non consente di affermarlo con certezza, in quanto la coppia Rkθk
non compare nell’equazione linearizzata attorno ad una configurazione di equilibrio statico per cui θ˙ ≡ 0.
Problema: attrito dinamico. Le forze di attrito, secondo il modello di Coulomb considerato nell’ambito di questo corso, non sono linearizzabili in prossimit`
a della condizione di equilibrio statico, se questa
` possibile, tuttavia, formulare
comporta l’annullarsi della velocit`
a relativa tra le superfici a contatto. E
problemi nei quali, ad una condizione di equilibrio definibile come statica, corrispondente in realt`a ad
una condizione di regime, la velocit`
a relativa tra le superfici di contatto si mantenga costante anche se
non nulla6 .
Si consideri il problema in figura 6.2, posto in un piano verticale. Il nastro si muova con velocit`
av
imposta; la velocit`
a relativa del corpo rispetto al nastro `e
vr = v − x˙
6 Si
(6.21)
veda, ad esempio, l’analogo problema del freno a disco svolto nell’introduzione del Capitolo 15.
6-5
La reazione normale tra massa e nastro trasportatore `e pari al peso della massa, mg; la forza tangenziale
dovuta all’attrito, secondo quanto illustrato nel Capitolo 7, `e
RT = fd mg
vr
,
|vr |
(6.22)
avendo assunto come verso positivo della forza quello di x, opposto al verso positivo della velocit`
a relativa.
Quindi l’equilibrio statico, per x˙ = 0 e x
¨ = 0, e quindi per vr = v, si ottiene dalla relazione
kxe = fd mg.
(6.23)
L’equazione del moto `e
f (x, x,
˙ x
¨) = −m¨
x − kx + fd mg
vr
= 0;
|vr |
(6.24)
la sua linearizzazione attorno alla posizione di equilibrio xe = fd mg/k, x˙ e = 0, x
¨e = 0 ne comporta lo
sviluppo in serie, arrestato al primo ordine, rispetto alla coordinata libera x e alle sue derivate:
∂f
∂f
∂fd ∂f
∂vr
= −k,
=
mg,
= −m.
(6.25)
∂x
∂ x˙
∂vr vr =v ∂ x˙
∂x
¨
Dal momento che ∂vr /∂ x˙ = −1, si ottiene:
mƬ
x+
∂fd
mg∆x˙ + k∆x = 0
∂vr
(6.26)
A condizione che la molla abbia rigidezza k > 0, la stabilit`
a dipende dal segno di ∂fd /∂vr ; se si considera
una curva caratteristica del coefficiente fd in funzione della velocit`
a relativa vr come quello descritto in
figura 7.3, `e possibile identificare, sia a bassissima (0 < vr < 0.02 m/s) che ad alta (vr > 5 m/s) velocit`
a
delle zone in cui il segno della derivata ∂fd /∂vr diventa negativo. Se l’equilibrio viene raggiunto per
valori di velocit`
a del nastro in quegli intervalli, sar`a instabile.
6.4
Stabilit`
a statica
Esiste una particolare definizione di stabilit`
a, anch’essa strettamente associata al concetto di equilibrio:
la cosiddetta stabilit`
a statica. Non si tratta di una vera e propria definizione di stabilit`
a; va piuttosto
interpretata come un requisito minimo che una soluzione di equilibrio deve possedere per essere stabile in
senso lato e, allo stesso tempo, come un comodo ed utile indice di prestazione di un sistema nell’intorno
di quella soluzione.
Innanzitutto, occorre precisare che l’equilibrio `e un particolare tipo di movimento che non varia nel
tempo
ye = costante
(6.27)
quindi `e un caso particolare della soluzione considerata nella definizione di stabilit`
a in senso lato. Se tale
soluzione esiste, la relazione
f (ye , 0, t) = 0
(6.28)
`e verificata per ogni istante di tempo; `e quindi lecito supporre che l’equazione (6.28) non presenti una
dipendenza esplicita dal tempo, incompatibile con la soluzione costante.
Una perturbazione di questa soluzione, in generale, d`a luogo ad una soluzione che non `e pi`
u di
equilibrio, perch´e in assenza di una perturbazione anche della derivata temporale y˙ si ottiene la relazione
f (ye + ∆y, 0) 6= 0
(6.29)
ovvero una diseguaglianza. Perch´e l’eguaglianza sia ripristinata, dovrebbe nascere una opportuna ∆y˙
che ripristini l’equilibrio dinamico.
6-6
Ad esempio, se si considera il problema meccanico
M y¨ + Ky = 0,
(6.30)
la posizione di equilibrio statico `e data dalla soluzione di
Ky = 0
(6.31)
ovvero y = 0. Una perturbazione ∆y 6= 0 della (6.31) rispetto alla sua soluzione di equilibrio statico
y = 0 porta a
K∆y 6= 0;
(6.32)
infatti, perch´e l’equilibrio sia ripristinato, occorre, per una data perturbazione ∆y, introdurre le forze
d’inerzia in accordo con la (6.30), ovvero occorre scrivere un equilibrio dinamico
M Ƭ
y + K∆y = 0.
(6.33)
Lo studio della stabilit`
a statica consiste nel valutare come variano, per effetto della perturbazione
della soluzione di equilibrio, le sole porzioni del sistema che dipendono dalla derivata di ordine minimo
della coordinata libera; in un problema meccanico, le forze dipendenti dalla posizione.
La relazione di Equazione (6.29), sviluppata in serie di Taylor attorno alla posizione di equilibrio
diventa
f (ye + ∆y, 0) = f (ye , 0) +
∂f (ye , 0)
∆y + o (∆y) ,
∂y
(6.34)
da cui, tenendo conto dell’Equazione (6.28) e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene
f (ye + ∆y, 0) =
∂f (ye , 0)
∆y;
∂y
(6.35)
quindi per valutare la variazione della funzione f in seguito alla perturbazione ∆y dello stato ye `e
sufficiente considerare il segno della derivata parziale di f rispetto a y, a condizione che si sia assunto lo
stesso verso come positivo sia per f che per y. In un problema meccanico, il significato fisico `e legato
al verso della variazione di f , che rappresenta una equazione di equilibrio di forza, a seguito di una
perturbazione ∆y di y, che rappresenta uno spostamento.
Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio si oppone alla perturbazione di configurazione,
si dice che la soluzione di equilibrio `e staticamente stabile.
Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio `e concorde con la perturbazione di configurazione, si dice che la soluzione di equilibrio `e staticamente instabile.
Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio `e nulla, si dice che la soluzione di equilibrio `e
indifferentemente stabile.
Si noti che, in quest’ultimo caso, la soluzione perturbata `e ancora equilibrata, in quanto, dal momento
che la funzione f non varia al variare della coordinata libera, la relazione
f (ye + ∆y, 0) = 0
(6.36)
`e ancora verificata7 .
Dallo studio della stabilit`
a dei sistemi lineari a coefficienti costanti si ricava una interpretazione significativa del concetto di stabilit`
a statica. Infatti, per il sistema descritto dall’Equazione (6.8), la condizione
7A
rigore, `
e verificata al primo ordine, ovvero
f (ye + ∆y, 0, t) = o (∆y)
(6.37)
6-7
(a) Con M > 0, per K > 0, quando R
passa da positivo a negativo.
(b) Con M > 0, per R ≥ 0, quando K
passa da positivo a negativo.
Figura 6.3: Transizione da stabilit`
a ad instabilit`
a al variare di parametri del sistema.
di stabilit`
a statica `e data da K > 0; si noti per`
o che, dal paragrafo 6.3.2, assumendo M > 0, la medesima condizione `e necessaria affinch´e le radici del polinomio caratteristico associato all’Equazione (6.8),
quando sono reali e distinte, siano negative.
Il passaggio di una radice del polinomio caratteristico dal semipiano sinistro (stabile) a quello destro
(instabile) del piano complesso pu`
o avvenire attraverso l’asse immaginario lontano dall’origine, quando,
per K > 0 e M > 0, lo smorzamento R passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 6.3(a);
oppure per l’origine quando, per R > 0, K passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 6.3(b).
Questo secondo caso `e descritto dalla condizione di stabilit`
a statica.
Dal confronto tra lo studio della stabilit`
a della soluzione dell’equazione lineare a coefficienti costanti
e della sua stabilit`
a statica appare evidente che la seconda `e una condizione necessaria alla prima, ma
non sufficiente. In questo senso, `e corretto affermare che la stabilit`
a statica non `e una vera definizione
di stabilit`
a di una soluzione di equilibrio, in quanto il verificarsi della condizione di stabilit`
a statica non
`e garanzia di stabilit`
a ma solo un suo prerequisito.
6.5
Regime assoluto
Va sotto il nome di regime assoluto il moto di un sistema che non dipende dalla coordinata libera ma
solo dalle sue derivate a partire da un dato ordine; ad esempio, per un sistema meccanico, si parla
di regime assoluto quando non sono presenti forze dipendenti dalla posizione, per cui la derivata prima
della posizione `e la derivata di ordine minimo da cui dipendono le forze agenti sul sistema, quando questa
derivata assuma un valore costante. Un esempio `e dato da un corpo in moto in un fluido in equilibrio a
velocit`
a costante, per quanto concerne la posizione, oppure dal moto delle tipiche macchine rotative in
condizioni di velocit`
a angolare costante.
In questo caso, il problema descritto dall’Equazione (6.5) diventa
f (y,
˙ y¨, t) = 0
(6.38)
per cui, una volta linearizzato, dall’omogenea associata si ottengono le radici del polinomio caratteristico
−R/M
λ=
,
(6.39)
0
ove M e R sono state definite in precedenza. Si noti che una delle due radici `e sempre nulla, ovvero
il problema `e staticamente indifferente. Non bisogna per`
o confondere la stabilit`
a indifferente di questa
soluzione con una condizione critica, legata ad esempio all’avvicinarsi di una soluzione al limite di stabilit`
a
statica. Infatti, in questo caso la stabilit`
a del sistema `e strutturalmente indifferente, in quanto il problema
`e retto in realt`a da un’equazione del primo ordine anzich´e del secondo, quindi in realt`a `e pi`
u corretto
descriverne il comportamento utilizzando la velocit`
a come incognita primaria, riducendolo cos`ı ad un
problema differenziale del primo ordine.
6-8
Problema: particella in moto in un fluido. Si studi la stabilit`
a del moto di una particella di massa
m immersa in un fluido che esercita su di essa una forza viscosa rz˙ che si oppone al moto.
L’equazione di equilibrio della particella in direzione verticale (assumendo z positiva verso il basso) `e
m¨
z + rz˙ = mg
(6.40)
Si consideri la soluzione di equilibrio, nel senso di regime assoluto, z˙ = mg/r. Il sistema `e lineare a
coefficienti costanti, quindi la sua stabilit`
a si studia mediante le radici del polinomio caratteristico:
0
λ=
(6.41)
−r/m,
ovvero la soluzione `e stabile se r/m > 0.
Lo studio della stabilit`
a statica del problema d`a un risultato del tutto equivalente: riscrivendo il
sistema al primo ordine nella componente verticale della velocit`
a, w = z,
˙ e considerando le sole forze
nella derivata di ordine minimo w,
f = −rw + mg = 0
(6.42)
si verifica che la condizione di stabilit`
a statica ∂f /∂w < 0 `e soddisfatta per r > 0, ove per definizione
m > 0.
6.6
Stabilit`
a statica ed energia potenziale
(Ovvero: come non rispondere all’esame quando viene chiesto di spiegare che cosa si intende
per stabilit`
a statica).
Nel corso di Meccanica Razionale, lo studio della stabilit`a di una soluzione di equilibrio viene presentato
nell’ambito di sistemi conservativi a vincoli fissi, in cui l’energia meccanica totale si conserva, ed il cui
moto si manifesta sotto forma di trasferimento di energia da potenziale a cinetica e viceversa. In questi
casi, lo studio della stabilit`
a statica consente di giungere a considerazioni generali sulla stabilit`
a del
problema, in quanto la stabilit`
a statica, che ricordiamo `e una condizione necessaria per la stabilit`
a della
soluzione, diventa anche condizione sufficiente. In tale ambito, la ricerca della soluzione di equilibrio
avviene attraverso la ricerca delle soluzioni per le quali l’energia potenziale del sistema `e stazionaria,
mentre lo studio della stabilit`
a statica consiste nel determinare se il punto stazionario `e un minimo
(stabile) o un massimo o un flesso (o sella per i sistemi a pi`
u gradi di libert`
a, instabile).
Per tale studio, in genere, si ricorre all’uso della matrice Hessiana, ovvero della derivata seconda
dell’energia potenziale rispetto alle coordinate libere del problema. Senza nulla togliere alla validit`a di
questa trattazione, `e fondamentale sottolineare come il concetto di stabilit`
a statica abbia valore indipendentemente dall’esistenza dell’energia potenziale, in quanto si applica a soluzioni di problemi qualsiasi,
anche non conservativi. Per questo motivo `e fondamentale non associare automaticamente il concetto
di stabilit`
a statica alla derivata seconda dell’energia potenziale, cos`ı come `e fondamentale non associare
automaticamente il concetto di equilibrio alla derivata prima dell’energia potenziale.
In un generico problema meccanico, che senza nulla togliere alla generalit`
a viene scelto lineare nelle
forze puramente meccaniche, l’energia cinetica ha la forma
Ec =
1
M y˙ 2 ,
2
(6.43)
mentre l’energia potenziale ha la forma
Ep =
1
Ky 2 .
2
(6.44)
Se `e presente anche una sollecitazione attiva
Qy = Qy (y, t) ,
(6.45)
6-9
Figura 6.4: Sistema meccanico ad un grado di libert`
a.
l’equazione del moto che ne risulta `e
d ∂Ec
∂Ec
∂Ep
−
+
= Qy ,
dt ∂ y˙
∂y
∂y
(6.46)
ovvero
M y¨ + Ky = Qy (y, t) .
(6.47)
La determinazione della soluzione di equilibrio, se esiste, si ottiene dalla relazione
∂Ep
= Qy ,
∂y
(6.48)
ovvero
Ky = Qy (y, t) ,
(6.49)
mentre lo studio della stabilit`
a statica si ottiene valutando il segno della relazione
∂ 2 Ep
∂Qy
∂f
=−
+
,
2
∂y
∂y
∂y
(6.50)
ovvero
∂f
∂Qy
= −K +
.
∂y
∂y
(6.51)
Come si pu`
o notare, la matrice Hessiana partecipa in quanto, essendo richiesta la derivata parziale della
forza rispetto alla coordinata libera, ed essendo la forza conservativa l’opposto della derivata parziale
dell’energia potenziale rispetto alla coordinata libera, lo studio della stabilit`
a statica viene a richiedere
la derivata seconda dell’energia potenziale.
Tuttavia, la presenza delle forze non conservative Qy rende necessario considerare altri contributi
alla stabilit`
a statica, per cui la matrice Hessiana fornisce solo una parte dell’informazione richiesta.
Al contrario, le forze conservative possono essere espresse direttamente nella forza generalizzata Qy
anzich´e attraverso l’energia potenziale, qualora non si ritenga necessario tenerne in conto la conservativit`
a.
Quindi, la matrice Hessiana dell’energia potenziale pu`
o essere utilizzata per concorrere allo studio della
stabilit`
a statica di un problema meccanico, ma il concetto di stabilit`
a statica, cos`ı come il suo studio,
non dipendono in alcun modo dalla conoscenza o dall’esistenza stessa della matrice Hessiana.
Problema: sistema meccanico ad un grado di libert`
a. Sia dato il sistema meccanico ad un grado
di libert`
a di figura 6.4, costituito da una massa m e da una molla k collegata al terreno, a cui `e applicata
una forza f .
L’energia cinetica `e
Ec =
1
mx˙ 2 ,
2
(6.52)
mentre l’energia potenziale `e
Ep =
1 2
kx .
2
(6.53)
6-10
Figura 6.5: Sistema meccanico ad un grado di libert`
a in un sistema rotante.
Il lavoro associato alla forza `e
δL = δxf
(6.54)
L’equazione del moto `e
d ∂Ec
∂Ec
∂Ep
−
+
= Qx
dt ∂ x˙
∂x
∂x
ovvero
(6.55)
m¨
x + kx = f
(6.56)
La soluzione di equilibrio `e x = f /k.
Lo studio della stabilit`
a statica `e possibile mediante lo studio della matrice Hessiana, in quanto il
sistema `e soggetto a sole forze di natura conservativa e a vincoli fissi:
H=
∂ 2 Ep
=k
∂x2
(6.57)
Il sistema risulta staticamente stabile se k > 0.
Problema: sistema meccanico ad un grado di libert`
a in rotazione. Si consideri il sistema
definito nel problema precedente, in cui il sistema di riferimento ruoti rispetto all’origine a velocit`
a
angolare Ω costante, come illustrato in figura 6.5.
La velocit`
a relativa della massa `e
vr = x˙
(6.58)
mentre quella di trascinamento `e
vt = Ωx
(6.59)
e sono tra loro perpendicolari; ne risulta un’energia cinetica
Ec =
1
m x˙ 2 + Ω2 x2
2
(6.60)
mentre l’energia potenziale ed il lavoro della forza esterna sono immutati rispetto al problema precedente.
L’equazione del moto `e
m¨
x + k − Ω2 m x = f
(6.61)
` possibile definire una condizione di equilibrio rispetto alla variabile cinematica x, dal momento che
E
l’equazione del moto non dipende esplicitamente dal tempo, mentre la velocit`
a angolare del riferimento
mobile `e costante per ipotesi. La soluzione di equilibrio `e x = f / k − Ω2 m ed `e definita solo per
p
p
Ω 6= k/m; inoltre, per Ω > k/m, il sistema risulta staticamente instabile. In questo caso, la matrice
Hessiana non pu`
o essere usata perch´e il sistema `e soggetto a vincoli mobili.
6-11
6.7
Stabilit`
a da un punto di vista energetico
Il cosiddetto secondo metodo di Lyapunov dice che:
1. se `e possibile formulare una funzione scalare dello stato del sistema, p({x}), che sia definita
positiva 8 , detta funzione di Lyapunov;
2. se la derivata nel tempo di tale funzione `e
(a) strettamente decrescente (minore di zero), il sistema `e asintoticamente stabile (condizione
sufficiente)
(b) non crescente (minore o uguale a zero), il sistema `e stabile (condizione necessaria)
6.7.1
Applicazione alla stabilit`
a di un sistema meccanico
Nota: la comprensione di questo paragrafo `e agevolata dalla conoscenza della dinamica dei sistemi
vibranti a pi`
u gradi di libert`
a, Capitolo 13.
Per i sistemi meccanici `e relativamente agevole scrivere una funzione di quel tipo, considerando
l’energia meccanica totale
Etot = Ec + Ep
(6.62)
A titolo di esempio, nel semplice caso di un sistema di punti materiali collegati da elementi elastici lineari,
il cui movimento libero sia descritto dalla relazione
M¨
x + Cx˙ + Kx = 0
(6.63)
si ha
Etot =
1 T
1
1
x˙ Mx˙ + xT Kx =
2
2
2
x
x˙
T K
0
0
M
x
x˙
(6.64)
Perch´e tale funzione sia definita positiva occorre che le matrici di massa, M, e di rigidezza, K, siano
entrambe definite positive9 . Di solito la matrice di massa `e definita positiva10 . La matrice di rigidezza,
invece, potrebbe essere semidefinita (ad esempio nel caso in cui il sistema fosse un meccanismo, e quindi
consentisse movimenti rigidi) o, in casi patologici, anche non definita (ovvero per alcune combinazioni
dello stato x 6= 0 la funzione `e negativa); in quest’ultimo caso non si pu`
o avere stabilit`
a.
La derivata rispetto al tempo della funzione di Lyapunov `e
dEtot
= x˙ T M¨
x + xT Kx˙ = x˙ T (M¨
x + Kx)
dt
(6.65)
ove si `e assunto che le matrici M e K siano simmetriche (il che `e garantito se le forze generalizzate sono
energeticamente coniugate alle coordinate libere). A partire dalla (6.63) si ricava
dEtot
= −x˙ T Cx˙
dt
(6.66)
8 Una funzione `
e definita positiva se il suo valore `
e positivo qualunque sia il valore dello stato (eventualmente tranne che
per valore dello stato pari a zero).
9 Una matrice A `
e definita positiva quando la forma quadratica xT Ax `
e positiva qualunque sia il valore di x 6= 0. Per
indicare che una matrice A `
e definita positiva convenzionalmente si usa a volte l’espressione A > 0 (che non significa che
tutti gli elementi sono maggiori di zero!) Una matrice A `
e semidefinita positiva quando la forma quadratica xT Ax `
e
positiva o nulla qualunque sia il valore di x 6= 0. A volte si indica tale propriet`
a con A ≥ 0.
10 Al limite, potrebbe essere semidefinita, nel qual caso ad alcuni gradi di libert`
a non `
e associata massa e quindi possono
essere eliminati algebricamente, riducendo l’ordine del sistema ed ottenendo una nuova matrice di massa sicuramente
definita positiva.
6-12
Perch´e la derivata sia negativa qualunque sia x˙ 6= 0, la matrice di smorzamento C deve essere a sua
volta definita positiva. In tale caso, la soluzione x = 0 del sistema `e asintoticamente stabile.
Se C fosse soltanto semidefinita positiva, la derivata sarebbe sicuramente non positiva, ovvero negativa
o nulla. In questo caso, la soluzione x = 0 del sistema `e sicuramente stabile, ma non `e detto che sia
asintoticamente stabile.
Se ne conclude che C definita positiva `e condizione sufficiente per l’asintotica stabilit`
a, mentre C
semidefinita positiva `e condizione necessaria per la stabilit`
a.
Il metodo di Lyapunov `e molto generale; un aspetto notevole `e consente molta libert`
a nella scelta
della funzione di Lyapunov. Per un sistema meccanico `e stato agevole scegliere l’energia meccanica totale,
perch´e `e immediato considerare se rispetta il requisito di positiva definizione e, attraverso l’equazione
del moto, consente di determinare una semplice relazione tra la stabilit`
a e le propriet`
a della matrice di
smorzamento.
Esercizio 6.1 Utilizzando il metodo di Lyapunov, si studi la stabilit`
a di un pendolo costituito da un
punto materiale di massa m sospeso ad un’asta rigida di lunghezza ℓ e massa trascurabile, con uno
smorzatore di caratteristica c che produce una coppia proporzionale al quadrato della velocit`
a angolare.
Esercizio 6.2 Si valuti come la definizione di matrice definita positiva si possa applicare ad una matrice
A non simmetrica (ovvero per la quale AT 6= A).
6.7.2
Esempio di studio della stabilit`
a di un sistema nonlineare
Si consideri ad esempio il semplice problema
x˙ = −x3
(6.67)
La soluzione statica `e xs = 0 con molteplicit`
a pari a 3. La linearizzazione della (6.67) rispetto a tale
soluzione d`a
∆x˙ = −3x2s ∆x = 0,
(6.68)
a cui corrisponde una radice del polinomio caratteristico λ = 0. Quindi per il teorema di HartmanGrobman non `e possibile giudicare la stabilit`
a di questa soluzione.
Si consideri ora la funzione di Lyapunov P (x) = x2 , definita positiva in quanto positiva ∀x 6= 0. Si
ha
P˙ = 2xx˙ = −2x4 ≤ 0,
(6.69)
ricordando la (6.67). Quindi la soluzione xs = 0 `e stabile.
6.7.3
Interpretazione in termini di stabilit`
a statica
Si consideri un problema statico a pi`
u gradi di libert`
a
0 = f (x)
(6.70)
in equilibrio per x = 0. Se ne consideri una perturbazione
∆f =
∂f
∆x
∂x
(6.71)
Se ∆x `e una perturbazione infinitesima, a meno di termini di ordine superiore x˙ T ∆f `e la potenza sviluppata (prodotta o assorbita a seconda del segno) dalla perturbazione delle forze attive. Se si interpreta
˙
∆x come ∆x = x∆t
si ottiene
∆Π = x˙ T ∆f = x˙ T
∂f
˙
x∆t
∂x
(6.72)
6-13
ovvero, qualunque sia ∆t, dato che stiamo studiando la perturbazione di un problema statico e quindi il
tempo `e ininfluente, tale relazione pu`
o essere interpretata come segue: la stabilit`
a statica richiede che la
perturbazione della potenza delle forze attive, ∆Π, rispetto all’equilibrio, Π = 0, sia negativa qualunque
sia la perturbazione dello stato, ovvero che la matrice −∂f /∂x sia definita positiva.
` immediato riconoscere che, in presenza di sole forze conservative, potendo quindi definire una opE
portuna energia potenziale, la matrice ∂f /∂x non `e altro che l’opposto della matrice Hessiana dell’energia
potenziale.
Si consideri ad esempio un sistema costituito da due punti, le cui posizioni assolute siano x1 e x2 ,
il primo collegato a terra da una molla di rigidezza k1 e il secondo collegato al primo da una molla di
rigidezza k2 . Il secondo corpo sia soggetto ad una forza f (x1 ), con f (0) = 0. Le equazioni che descrivono
il problema (statico) sono:
k1 + k2 −k2
x1
0
(6.73)
=
−k2
k2
f (x1 )
x2
La perturbazione del problema rispetto alla soluzione di equilibrio statico x1 = x2 = 0 d`a
0
k1 + k2 −k2
0
0
∆x1
= −
+
−k2
k2
0
∆x2
f/x1 0
La stabilit`
a statica richiede che sia definita positiva la matrice
k1 + k2
−k2
−k2 − f/x1 k2
ovvero che tale matrice abbia autovalori positivi,
r
k1
k12
+ k2 ±
+ k22 + k2 f/x1
λ=
2
4
(6.74)
(6.75)
(6.76)
il che implica un limite inferiore (perch´e il radicando sia positivo) e superiore (perch´e l’autovalore pi`
u
piccolo sia positivo) al valore della derivata della forza,
−k2 −
k12
≤ f/x1 < k1
4k2
(6.77)
Si noti bene: questo requisito `e per la stabilit`
a statica, non per la stabilit`
a in senso stretto.
Esercizio 6.3 Ricavare le equazioni della statica (6.73) del problema descritto nel paragrafo precedente
utilizzando il formalismo di Lagrange, il Principio dei Lavori Virtuali e gli equilibri dinamici.
Esercizio 6.4 Come si pu`
o determinare se una matrice `e definita positiva? Si valutino i vantaggi dei
vari approcci possibili.
6.8
Applicazioni
Il problema dello studio della stabilit`
a delle soluzioni e, attraverso la linearizzazione dei problemi attorno a soluzioni di equilibrio, lo studio della stabilit`
a dei sistemi lineari, `e di importanza fondamentale
nell’ingegneria.
Gli studenti di Ingegneria Aerospaziale incontrano questi problemi e queste tematiche in molti corsi,
spesso presentate in modo diverso da quanto illustrato in queste note perch´e ogni disciplina pu`
o avere
basi, terminologia e problemi specifici.
Questo non pu`
o esimere lo studente attento dal cogliere il filo comune e le analogie, oltre alla
sostanziale comunanza di metodo, che caratterizza lo studio della stabilit`
a indipendentemente dal problema a cui si applica.
6-14
La stabilit`
a dei sistemi lineari viene affrontata in modo esaustivo nell’ambito del corso di Automatica,
in riferimento sia a sistemi dinamici generici che ai sistemi con controllo in retroazione.
La stabilit`
a statica viene utilizzata in Scienza delle Costruzioni I (o Fondamenti di Meccanica Strutturale) per studiare la stabilit`
a dell’equilibrio delle strutture; l’applicazione di riferimento `e la trave di
Eulero caricata a compressione.
Nel corso di Strutture Aerospaziali, il problema viene arricchito introducendo i concetti di stabilit`
a
degli elementi sottili, travi e pannelli, e il concetto di instabilit`
a locale delle travi in parete sottile.
In meccanica del volo vengono utilizzati i concetti sia di stabilit`
a statica, per verificare la stabilit`
a dell’equilibrio statico del velivolo, che i concetti fondamentali di stabilit`
a “dinamica”: nel piano di
simmetria, il moto fugoide e quello di corto periodo, e le loro relazioni con la qualit`a del volo.
Nel corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, oltre alla introduzione dei problemi di vibrazione
dei sistemi meccanici, il concetto di stabilit`
a statica viene applicato al moto assoluto delle macchine ad
un grado di libert`
a e alla divergenza aeroelastica delle superfici aerodinamiche, mentre il concetto di
stabilit`
a viene applicato alla dinamica dei sistemi con un cenno alla stabilit`
a aeroelastica delle superfici
aerodinamiche.
In corsi successivi, e nella laurea specialistica, i concetti legati alla stabilit`
a assumono una importanza
fondamentale.
Come si pu`
o notare, l’argomento `e fondamentale e interdisciplinare; viene affrontato in numerose
occasioni, sempre in relazione ad una sua applicazione pratica a problemi essenziali dell’Ingegneria ed in
particolare dell’Ingegneria Aerospaziale.
6-15
6-16
Capitolo 7
Azioni mutue tra elementi di
macchine — Parte I
Generato il 23 ottobre 2014
In ogni sistema meccanico, durante il suo funzionamento, nascono dei movimenti relativi tra i membri che lo compongono e, inoltre, la macchina stessa o parti di essa si muovono rispetto all’ambiente
circostante.
Questi fenomeni assumono grande importanza nello studio del comportamento dinamico e i loro effetti
sono studiati riconducendoli a due distinte tipologie di contatto, ovvero:
• contatto tra solido e solido;
• contatto fra solido e fluido.
I due principali fenomeni legati all’aderenza tra solidi sono l’attrito e l’usura. Il primo si manifesta
come resistenza o impedimento al moto relativo tra le parti a contatto. Ci`
o pu`
o costituire uno svantaggio
quando diviene fonte di perdita di potenza tra i membri che devono essere mantenuti in movimento
(attrito nei supporti, nelle tenute, ecc.); viceversa, in alcuni casi diventa un fattore essenziale per il
funzionamento delle macchine (come nel contatto ruota-rotaia e pneumatico-strada, ovvero in organi
quali i freni e le frizioni, le giunzioni forzate e imbullonate, ecc.).
L’usura si manifesta invece come un’abrasione progressiva di materiale dalle superfici di due corpi
in moto relativo, che ha luogo nelle superfici stesse. L’usura pu`
o essere un fattore utile (ad esempio
nelle lavorazioni tecnologiche di finitura) o, come accade in generale, causare un progressivo degrado
dell’accoppiamento tra le parti a contatto.
Dal punto di vista cinematico possiamo distinguere, almeno macroscopicamente, contatti di rotolamento, strisciamento e urto. Si osserva come nel caso di rotolamento il moto relativo al contatto `e nullo
(almeno limitandoci ad un punto di vista macroscopico). Nello strisciamento `e invece presente una componente di velocit`
a relativa lungo la tangente comune alle superfici di contatto tra i due corpi, mentre
nell’urto `e presente anche una componente normale della velocit`
a relativa.
Dal punto di vista geometrico `e possibile effettuare un’ulteriore classificazione, distinguendo contatti
puntiformi, lineari e superficiali, a seconda che l’ente geometrico in comune tra i solidi sia, nell’ipotesi di
corpi indeformabili, un punto (per esempio una sfera a contatto su un piano), una linea (la generatrice di
un cilindro a sezione circolare su un piano), o un’intera superficie (una faccia di un prisma su un piano).
7.1
Attrito di strisciamento nei solidi a contatto
Si definisce come attrito la resistenza al moto che si manifesta quando un corpo striscia su un altro. Tale
azione di resistenza agisce secondo la direzione del moto relativo, ma in verso opposto, e viene indicata
come forza di attrito. La forza di attrito che `e necessario vincere per iniziare un moto di strisciamento,
a partire da uno stato di quiete, `e detta forza di attrito statico, mentre quella necessaria a mantenere
il moto di strisciamento tra due corpi `e detta forza di attrito dinamico (o cinetico). La forza di attrito
7-1
Figura 7.1: Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi.
dinamico `e in generale inferiore a quella statica. Nel contatto tra solidi si `e sempre in presenza di una
superficie nominale di contatto che, nel caso di superfici conformi, corrisponde alla superficie in comune
tra i due corpi, mentre nel caso di superfici non conformi, `e una conseguenza dell’elasticit`
a dei corpi a
contatto e dell’azione che li preme uno contro l’altro.
Una delle teorie pi`
u accreditate `e quella della micro-saldatura fra le parti effettivamente a contatto,
la cui superficie complessiva `e una piccolissima frazione di quella apparente di contatto, come illustrato
in figura 7.1. In seguito alla compressione mutua e alle conseguenti deformazioni plastiche ed elastiche, le
zone deformate, fra le quali pu`
o verificarsi una vera e propria saldatura, si estendono proporzionalmente
alla forza che preme i corpi l’uno contro l’altro e indipendente dalla superficie apparente di contatto.
Consideriamo il caso in cui tra i due corpi a contatto non vi sia moto relativo. L’esperienza mostra
che se applichiamo a uno dei due corpi una forza F~ , anche non perpendicolare al piano,
questo resta
fermo finch´e la componente F~t non supera in modulo un certo valore Ft∗ , ovvero F~t < Ft∗ . Possiamo
~ avente una componente R
~ t tangente al
perci`o dire che il piano `e in grado di esercitare una reazione R
piano di valore massimo in modulo Rt∗ = Ft∗ , capace di opporsi all’azione di F~t che tenderebbe a muovere
il corpo rispetto al piano di appoggio.
Dalle esperienze di Coulomb, risulta che
Rt∗ = fa Rn
(7.1)
ove
• Rn `e la componente normale della reazione, avendo assunto Rn > 0 quando si ha contatto;
• fa `e il coefficiente di aderenza (o attrito statico) dipendente dalla natura e dallo stato delle superfici
a contatto, indipendente entro ampi limiti dall’estensione dell’area apparente di contatto.
Per cui, affinch´e non vi sia moto relativo tra le superfici, deve valere che
~ Rt ≤ Rt∗
(7.2)
Perch´e lo strisciamento fra i due corpi possa avere inizio, la componente tangenziale della reazione deve
avere un valore in modulo pari al valore massimo Rt∗ . Ci`
o significa, facendo riferimento alla teoria delle
micro-saldature, che esse si debbono rompere e, per conseguenza:
Rt∗ = τmax Aeff
(7.3)
dove si assume un comportamento perfettamente plastico del materiale, per il quale lo sforzo raggiunge
il valore massimo di plasticizzazione su tutta la sezione e lo mantiene indipendentemente dall’entit`a della
7-2
Figura 7.2: Attrito statico.
deformazione; ma
Aeff =
Rn
σmax
(7.4)
quindi
Rt∗ =
τmax
Rn = fa Rn
σmax
(7.5)
che evidenzia la ricordata indipendenza dall’estensione della superficie apparente di contatto, e la dipendenza dalle sole caratteristiche del materiale.
Se la reazione tangente richiesta `e maggiore di quella massima sviluppabile dal vincolo in base al
coefficiente di attrito, allora si ha l’innesco del moto relativo di strisciamento, abbandonando la condizione
di aderenza. Se infatti:
~ (7.6)
Rt > Rt∗ = fa Rn
il corpo si mette in moto rispetto alla superficie d’appoggio, ovvero accelera, nella direzione della reazione
~ t , ma con verso opposto. Non appena in movimento, la componente tangenziale della reazione vale:
R
~ t = −f (|~v |) Rn ~v
R
|~v |
(7.7)
diretta in verso opposto a quello della velocit`
a relativa ~v (la funzione ~v / |~v | rappresenta un versore,
ovvero un vettore di modulo unitario diretto come ~v ). Il coefficiente di attrito dinamico (o cinetico)
f (|~v |) `e anch’esso dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici a contatto, e sempre indipendente
dall’estensione dell’area apparente di contatto. Normalmente, in prima approssimazione, si trascura la
sua dipendenza dalla velocit`
a relativa e si assume f costante.
L’indipendenza di f dalla velocit`
a relativa `e ammissibile entro limiti non troppo ampi, come illustrato
in figura 7.3. Dopo una brusca diminuzione passando da velocit`
a relativa nulla (attrito statico) a velocit`
a
relative piccolissime, dell’ordine di qualche millimetro al secondo, subisce poi un sensibile aumento al
crescere della velocit`
a relativa fino a valori di circa 0.3 m/s. Per velocit`
a relative maggiori, fino a circa
5 m/s, il coefficiente d’attrito rimane praticamente costante. Oltre quella velocit`
a relativa il coefficiente
di attrito tende nuovamente a decrescere, diminuzione che diventa notevole a forti velocit`
a relative.
Le leggi utilizzate per considerare i fenomeni di attrito sono di origine empirica; sono state individuate
da Amonton (1699) e successivamente perfezionate da Coulomb (1785). Possono essere sintetizzate come
segue:
• l’attrito `e indipendente dall’estensione dell’area apparente di contatto;
• la forza limite di attrito statico, e la forza di attrito in condizioni di strisciamento, sono proporzionali
alla forza normale che tiene i corpi a contatto;
• l’attrito dinamico `e indipendente dalla velocit`
a di strisciamento, con le limitazioni sopra chiarite.
7-3
Figura 7.3: Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocit`
a relativa.
Le (7.6, 7.7) valgono solamente se le superfici a contatto sono piane; la (7.7) richiede inoltre che la velocit`
a
sia costante in modulo, direzione e verso. Se tali ipotesi non sono verificate, allora le relazioni (7.6, 7.7)
valgono per le sole componenti di forza infinitesime:
~ (7.8a)
dRt ≤ fa dRn
~ t = −f dRn
dR
~vdA
|~vdA |
(7.8b)
~ = dA~n `e un vettore avente modulo pari a dA e direzione
ove dA `e l’area di contatto infinitesima (dA
normale all’area stessa), ~vdA `e la velocit`
a relativa di strisciamento e dRn `e la componente della reazione
~ e agente su di essa; le forze infinitesime sono
normale all’area dA (e quindi parallela a dA)
~ × ~n
dRn = σdA
(7.9a)
~ t = σdA
~ − ~ndRn
dR
(7.9b)
ovvero rappresentano il prodotto del tensore degli sforzi a cui `e soggetto il materiale al contatto per l’area
di contatto infinitesima, nell’ipotesi di contatto continuo.
La potenza dissipata per attrito vale
Z
Z
Z
Z
~vdA
~
~
~vdA ×
~vdA × dRt = −
~vdA × dR =
|~vdA | f dRn ,
Wr(attrito) =
f dRn = −
|~vdA |
A
A
A
A
(7.10)
nell’ipotesi che, per un vincolo unilatero, deve valere la relazione dRn ≥ 0. Altrimenti, se il vincolo `e
bilatero, si usa |dRn |.
Nel caso in cui la velocit`
a sia uniforme,
Z
~ =R
~ × ~v = R
~ t × ~v = −f Rn ~v × ~v = −f Rn |v| .
Wr(attrito) = ~v ×
dR
(7.11)
|~v |
A
Questo contributo di potenza `e da annoverare nell’espressione della somma delle potenze nel Teorema
dell’energia cinetica
Π=
dT
dt
(7.12)
come richiamato nel Capitolo 2.
7-4
Figura 7.4: Perno rotante.
Al fine di chiarire come la (7.7) valga solamente nel caso di strisciamento a velocit`
a relativa costante
tra due superfici piane, si consideri il perno spingente di figura 7.4, ruotante con velocit`
a angolare ω
~
costante attorno al proprio asse e premuto su una superficie piana, immobile, da una forza assiale N .
Ogni punto della superficie d’appoggio del perno `e dotato di velocit`
a assoluta in modulo proporzionale
alla distanza ~r dall’asse di rotazione e di direzione tangente alla rispettiva traiettoria circolare:
~v (r) = ω
~ ∧ ~r
(7.13)
il cui modulo `e v (r) = ωr.
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale si ottiene
Z
Z
p dA 6= 0
dRn =
N = Rn =
A
(7.14)
A
dove p `e la pressione di contatto, funzione del solo raggio r per l’ovvia simmetria assiale del problema,
ma
Z
~ ~ t = 0 6= f Rn
(7.15)
dR
R t = A
Esercizio 7.1 Considerando la (7.8b) con la velocit`
a espressa dalla (7.13), si verifichi la (7.15).
7.2
Usura nel contatto tra solidi
Richiamando le tre cause che possono portare alla messa fuori servizio di una macchina (rottura,
obsolescenza ed usura), si pu`
o osservare che:
• la rottura di elementi di macchine `e un evento non frequente, che pu`
o essere dovuto a difetti del
materiale o al fatto che il sistema sia assoggettato a carichi maggiori rispetto a quelli di progetto;
• l’obsolescenza, ossia l’invecchiamento dovuto alla comparsa sul mercato di macchine in grado
di effettuare la medesima funzione in modo pi`
u conveniente (sia dal punto di vista della velocit`
a di esecuzione, sia del risparmio dell’energia impiegata), interviene, in genere, dopo anni di
funzionamento;
• l’usura `e connaturata all’esercizio stesso della macchina, provocandone un decadimento della funzionalit`a, e non sempre in misura proporzionale al trascorrere del tempo. Di solito, infatti, i
fenomeni di usura mostrano un tasso di crescita pi`
u elevato man mano che il livello globale di
usura cresce.
L’usura si manifesta attraverso:
7-5
• aumento dei giochi negli accoppiamenti con conseguenti imprecisioni nel movimento e aumento
della rumorosit`
a;
• possibile comparsa di fenomeni di urti microscopici e conseguenti vibrazioni e sovraccarichi dinamici;
• possibile aumento del tasso di usura stesso, sopra citato, a causa dell’incremento delle azioni
scambiate tra i corpi a contatto, oltre che a causa dell’abrasione delle superfici di contatto.
Un modello elementare di usura (Ipotesi di Reye) definisce il rateo di asportazione di materiale
per logoramento come proporzionale alla potenza dissipata per attrito.
Per rateo di materiale asportato si intende il volume di materiale asportato per unit`a di tempo;
dimensionalmente, una portata.
Ne consegue che il volume di materiale asportato `e proporzionale al lavoro compiuto dalle forze di
attrito.
7.2.1
Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante
L’ipotesi di Reye pu`
o essere utilizzata “al contrario”, per determinare la distribuzione radiale della
pressione su un disco rotante, in base a semplici considerazioni cinematiche.
Si consideri l’esempio precedente relativo ad un perno rotante attorno alla normale ad una superficie
piana contro cui `e premuto (figura 7.4). Su un elemento dA della superficie di contatto, su cui agisce la
pressione p, si ha una forza normale pdA e perci`o, durante il moto, una componente tangenziale f pdA,
con f supposto noto e indipendente dalla velocit`
a.
Se v `e la velocit`
a di strisciamento, il lavoro infinitesimo perduto nell’unit`a di tempo in riferimento
alla superficie infinitesima dA vale:
dΠ = f pvdA
(7.16)
Se h˙ `e lo spessore asportato sull’elemento per logoramento nell’unit`a di tempo1 , il volume asportato
˙
nell’unit`a di tempo risulta hdA;
per la proporzionalit`a affermata dal Reye, detto k un coefficiente di
usura dipendente dai materiali di cui sono costituite le due parti e dalle condizioni di lavoro, risulta:
˙
hdA
= kf pvdA
(7.17)
Nel caso del perno spingente risulta quindi:
h˙ = kf pv = kf pωr
(7.18)
e poich´e nell’ipotesi che si usuri solamente il perno, e quindi la sua superficie a contatto con il piano si
mantenga a sua volta piana, lo spessore di materiale asportato nell’unit`a di tempo h˙ risulta costante e
indipendente dalla posizione sulla superficie, si ha:
kf pωr = h˙ = costante
→
p (r) =
k′
h˙
=
kf ωr
r
(7.19)
1 Ovvero la velocit`
a di asportazione del materiale. L’ipotesi di Reye pu`
o essere espressa in forma differenziale: la portata
di materiale asportato `
e proporzionale alla potenza dissipata dalle forze d’attrito; oppure in forma integrale: il volume di
materiale asportato `
e proporzionale al lavoro (negativo) compiuto dalle forze d’attrito.
7-6
Figura 7.5: Innesto a frizione.
7.2.2
Esempio: innesto a frizione
Come applicazione di quanto detto, si consideri un innesto a frizione, illustrato in figura 7.5, tipicamente
utilizzato in veicoli spinti da motori a combustione interna, in quanto:
• i motori a combustione interna non possono avviarsi sotto carico e devono essere mantenuti, durante
l’avviamento del veicolo, a un regime di velocit`
a angolare superiore a un dato valore minimo; inoltre
occorre poter fermare il veicolo stesso senza dover necessariamente fermare il motore;
• qualora sia presente un cambio di velocit`
a, il passaggio da una marcia all’altra va fatto mentre
la trasmissione non trasmette coppia, in quanto occorre accoppiare alberi inizialmente rotanti a
velocit`
a diverse.
Tali esigenze sono soddisfatte dagli innesti a frizione, che permettono di trasmettere una data coppia
motrice tra due alberi coassiali rotanti a velocit`
a angolari differenti.
Al fine di realizzare un innesto a frizione, vengono utilizzate le forze d’attrito che nascono tra due
superfici rotanti (a−a1 e b) rispettivamente solidali con l’albero motore e con quello comandato, premute
l’una contro l’altra dallo spingidisco a1 .
Tale pressione `e generalmente data da molle opportunamente precaricate ed `e necessario che la
pressione sia tale da poter trasmettere una coppia superiore a quella massima erogata dal motore.
` necessario, d’altronde, che:
E
• l’innesto possa funzionare come giunto di sicurezza evitando che, in caso di frenatura d’urgenza
con motore innestato, si possano trasmettere all’albero motore decelerazioni troppo grandi;
• la differenza tra la coppia che l’innesto trasmette slittando e la coppia motrice non sia troppo
grande per evitare grandi rallentamenti nel motore durante la fase di avviamento del veicolo.
Al fine di determinare la coppia trasmessa per attrito, indicato con A2 il precarico dato dalle molle, la
pressione p agente su una faccia del disco b solidale con l’albero di trasmissione risulta essere pari a:
Z
Z re
A2 =
2πpr dr
(7.20)
p dA =
A
ri
Secondo la (7.19), la distribuzione di pressione `e inversamente proporzionale al raggio. Si ha quindi
Z re
k′
(7.21)
2π r dr = 2πk ′ (re − ri )
A2 =
r
ri
7-7
da cui, nota la forza A2 applicata dal pilota e le dimensioni del disco:
k′ =
A2
2π (re − ri )
(7.22)
Nel moto relativo tra i dischi, a causa dell’attrito definito dal coefficiente f supposto costante, si genera
~ r opposto alla velocit`
quindi un momento M
a angolare ω
~ del motore
~r =
M
Z
A
~r ∧
!
Z re
ω
k′ r2 ω
~
~
ω
~ ∧ ~r
2πf
dA = −
rdr = −f πk ′ re2 − ri2
,
−f p
k~
ω ∧ ~rk
r
kr~
ω
k
k~
ω
k
ri
(7.23)
ove si `e sfruttato il fatto che, secondo
la (A.8d), ~r ∧ (~
ω ∧ ~r) = r2 ω
~ quando ~r × ω
~ = 0. Tale momento,
2
′
2
di ampiezza Mr = f πk re − ri , pu`
o essere interpretato come conseguenza di una forza tangenziale
fittizia2 , di modulo pari a f A2 e quindi proporzionale alla forza normale esercitata tra il disco e la
campana, avente un braccio equivalente Req
Req
f πk ′ re2 − ri2
(re − ri ) (re + ri )
re + ri
Mr
=
=
=
=
′
f A2
f 2πk (re − ei )
2 (re − ri )
2
(7.24)
pari al raggio medio del disco.
Manovra d’innesto
Si consideri la manovra di innesto, all’inizio della quale il motore `e in movimento con velocit`
a angolare
ω0 e l’utilizzatore `e fermo, per arrivare ad una condizione in cui essi ruotano entrambi alla stessa velocit`
a
angolare e quindi non c’`e pi`
u strisciamento. Quindi, inizialmente il sistema ha due gradi di libert`
a
mentre, al termine della manovra, il sistema ha un solo grado di libert`
a, in quanto la condizione di non
strisciamento tra disco e campana della frizione introduce il vincolo cinematico di uguaglianza tra le
velocit`
a angolari del motore e dell’utilizzatore.
Al fine di semplificare la trattazione del problema, si assume che il motore eroghi una coppia Mm
costante, indipendentemente dal valore della valocit`
a angolare ωm , e che ogni accoppiamento tra parti
della frizione in moto relativo trasmetta una coppia Mr costante, ovvero che la forza normale A2 scambiata si mantenga costante. Nell’esempio illustrato in figura 7.5, la coppia scambiata tra i due alberi `e
in realt`a Mr′ = 2Mr , dal momento che ci sono due facce di accoppiamento tra il disco e la campana della
frizione.
Dinamica dell’utilizzatore prima dell’innesto
Si consideri innanzitutto il sistema composto dall’utilizzatore, dall’albero di trasmissione e dal disco della
frizione; dall’applicazione del teorema dell’enegia cinetica si ricava
Mr′ ωu − Mu ωu = Ju ω˙ u ωu
(7.25)
avendo indicato con Mu e Ju , rispettivamente, la coppia e il momento d’inerzia del veicolo ridotti
all’albero sul quale `e calettato il disco della frizione che ruota con velocit`
a angolare ωu , ovvero
Mu ω u =
X
(Fi vi + Mi ωi )
(7.26)
(Fi Ri + Mi τi ) ωu
(7.27)
i
=
X
i
2 Si badi bene: questa interpretazione si basa solo su considerazioni di tipo dimensionale; come mostrato dalla (7.15), la
risultante delle forze tangenziali agenti sul disco `
e esattamente zero.
7-8
Figura 7.6: Velocit`
a dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione.
e
dTu
d
=
dt
dt
1X
mi vi2 + Ji ωi2
2 i
!
d 1X
=
mi Ri2 + Ji τi2 ωu2
dt 2 i
X
mi Ri2 + Ji τi2 ωu ω˙ u
=
(7.28)
!
(7.29)
(7.30)
i
= Ju ωu ω˙ u
(7.31)
ove si sono indicati con mi e Ji rispettivamente le masse e le inerzie delle parti in movimento, con Fi
e Mi rispettivamente le forze e le coppie attive, mentre Ri e τi rispettivamente indicano i rapporti di
trasmissione tra la velocit`
a dell’utilizzatore ωu e le rispettive velocit`
a di traslazione vi e di rotazione ωi
delle varie parti. Il momento d’inerzia ridotto Ju tiene conto solo della massa del veicolo e del momento
d’inerzia delle ruote e degli organi di trasmissione.
L’accelerazione del disco della frizione `e quindi
ω˙ u =
Mr′ − Mu
Ju
(7.32)
e la conseguente legge del moto del veicolo, supposto inizialmente fermo e considerando Mu costante, `e
ωu (t) =
Mr′ − Mu
t
Ju
(7.33)
Ne risulta un andamento lineare a partire da velocit`
a ωu nulla, come illustrato in figura 7.6, la cui
pendenza `e direttamente proprozionale alla coppia Mr′ trasmessa dalla frizione, che per l’utilizzatore
funge da coppia motrice; tale coppia deve essere superiore ala coppia resistente Mu affinch´e la velocit`
a
cresca.
Dinamica del motore prima dell’innesto
Applicando quindi il teorema dell’energia cinetica al sistema composto dal motore e dalla campana della
frizione si ottiene
Mm ωm − Mr′ ωm = Jm ω˙ m ωm
(7.34)
Poich´e si vuole portare il disco (figura 7.7) e la campana (figura 7.8) alla stessa velocit`
a di rotazione,
`e opportuno che la velocit`
a angolare del motore non aumenti; in tale caso, occorre far s`ı che il momento
7-9
Figura 7.7: Innesto a frizione — dettaglio del disco.
Figura 7.8: Innesto a frizione — dettaglio della campana.
7-10
Figura 7.9: Velocit`
a del motore durante la manovra di innesto della frizione.
Mr′ applicato dalla frizione all’albero motore sia maggiore della coppia massima erogata dal motore3 ; di
conseguenza, quest’ultimo decelera con una accelerazione negativa pari a:
ω˙ m =
Mm − Mr′
Jm
(7.35)
Conseguentemente, supponendo Mm costante e integrando la (7.35) a partire dalla condizione di
velocit`
a angolare iniziale del motore pari a ω0 , la legge del moto del sistema fisico composto dal motore
e dalla sola campana della frizione risulta essere
ωm (t) = ω0 −
Mr′ − Mm
t
Jm
(7.36)
come illustrato dalla figura 7.9, dalla quale si nota che se la velocit`
a angolare iniziale del motore `e
troppo piccola, o troppo grande `e la differenza tra la coppia erogata e quella applicata dalla frizione, la
decelerazione pu`
o portare il motore a spegnersi.
Dinamica del sistema dopo l’innesto
Dopo un tempo t1 , detto tempo d’innesto, le due velocit`
a angolari saranno eguali; da tale condizione si
ricava il tempo
t1 =
Mr′
1
1
+
Jm Ju
ω
!0
−
Mm Mu
+
Jm
Ju
!;
(7.37)
la frizione si comporter`a quindi come un collegamento rigido, e la legge del moto del veicolo varr`a
ωm (t) = ωu (t) = ωm (t1 ) +
Mm − Mu
(t − t1 )
Jm + Ju
(7.38)
Tale legge vale se non vi `e slittamento tra disco e campana della frizione, ovvero se sono verificate
entrambe le equazioni:
′
= 2fa A2 Req > Mm (ω) − Jm ω˙
Mmax
(7.39)
′
Mmax
= 2fa A2 Req > Mu (ω) + Ju ω˙
′
rappresenta il momento massimo che la frizione riesce a trasmettere in condizioni di slittadove Mmax
mento incipiente.
3 Si ricordi che la coppia massima che la frizione pu`
o sviluppare `
e proporzionale alla forza normale applicata tra disco e
campana, a meno di una piccola dipendenza di f dalla velocit`
a. La forza normale, a sua volta, dipende dal precarico delle
molle che mantengono premuti fra loro i due corpi. In generale, se la coppia massima erogabile dal motore supera la coppia
massima trasmissibile dalla frizione in condizione di slittamento, la trasmissione non pu`
o funzionare correttamente perch´
e
in tali condizioni la frizione non pu`
o giungere alla condizione di non strisciamento.
7-11
Figura 7.10: Velocit`
a di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto della
frizione.
Si noti che la potenza dissipata durante l’avviamento `e
Π = −Mr′ (ωm − ωu )
(7.40)
che corrisponde all’area tratteggiata in figura 7.10.
Si noti che:
• durante il transitorio d’innesto gli organi della trasmissione sono sollecitati da un momento torcente
Mr′ maggiore della coppia Mm erogata dal motore; siccome ci`o deve essere possibile anche se Mm
`e la coppia massima erogata dal motore, questo spiega le possibili rotture in fase di partenza, se gli
organi di trasmissione sono dimensionati per Mm massimo anzich´e per Mr′ massimo;
• l’aumento del momento Mr′ trasmesso durante la fase di slittamento riduce il tempo d’innesto a
vantaggio delle prestazioni;
• la riduzione di Jm e Ju migliora le accelerazioni;
• aumentando il momento trasmesso dalla frizione in fase d’innesto si ha un incremento della potenza
dissipata con corrispondente incremento della temperatura del materiale d’attrito e, tipicamente,
una conseguente riduzione del coefficiente f .
7.3
Resistenza al rotolamento
Con il termine resistenza al rotolamento (talora impropriamente indicato come attrito volvente) si
definisce la resistenza incontrata da un corpo che rotoli senza strisciare macroscopicamente sulla superficie di un altro corpo. L’esperienza, infatti, indica che per mantenere, ad esempio, una ruota in moto
a velocit`
a costante, anche in assenza di azioni resistenti attive, `e necessario applicare delle azioni motrici,
realizzate tramite coppie applicate alle ruote o forze al centro ruota.
In varie applicazioni in campo ingegneristico, la potenza dissipata associata a questa forma di resistenza non pu`
o essere sempre trascurata. Si dar`
a qui una spiegazione qualitativa del fenomeno, che in
realt`a `e molto complessa e legata alla deformabilit`a dei corpi, indicando la procedura per includere tali
effetti negli schemi di calcolo utilizzati per i corpi rigidi.
Se i corpi fossero continui e perfettamente rigidi, quali si suppongono in schemi di prima approssimazione, nel rotolamento puro di un corpo su un altro, ammesso che le forze agenti tra i due corpi passino
sempre per i punti di contatto, non si dovrebbe avere, per effetto di tale moto relativo, dispersione alcuna
di energia meccanica. Infatti, essendo nullo, per la definizione stessa di rotolamento, il moto istantaneo
tra i punti di contatto, le forze agenti tra i due corpi con linee d’azione passanti per detti punti eseguono
lavoro nullo.
Anche se i corpi non fossero rigidi, ma perfettamente elastici, il rotolamento non darebbe dispersione di
energia, perch´e l’energia spesa per produrre la deformazione negli elementi che vengono successivamente
a contatto sarebbe eguale a quella restituita da quelli che abbandonano il contatto.
7-12
Figura 7.11: Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile
Figura 7.12: Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico
7-13
Figura 7.13: Coefficiente di resistenza al rotolamento.
In realt`a, i corpi reali non sono perfettamente elastici, con l’effetto di far diminuire i valori che le
forze elastiche assumono, nell’intervallo in cui il corpo tende a riprendere la forma primitiva, rispetto ai
valori che esse avevano, per il medesimo valore di deformazione, nell’intervallo in cui questa aumentava.
La distribuzione reale delle pressioni assume quindi l’andamento (b), rispetto a quello simmetrico (a)
del caso di perfetta elasticit`
a. La risultante Rn delle pressioni passa per un punto C1 spostato nel verso
del moto di una quantit`a u legata dalla relazione u = fv r al coefficiente di resistenza al rotolamento fv .
` possibile a questo punto determinare la potenza perduta per rotolamento da prendere in considerE
azione nel teorema dell’energia cinetica:
Wr = −Rn uω = −fv Rn v
(7.41)
essendo ω la velocit`
a angolare della ruota, e v la velocit`
a di avanzamento del centro ruota.
7.3.1
Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento
Il coefficiente di resistenza al rotolamento `e in genere funzione della velocit`
a di marcia (diagramma
sperimentale), normalmente approssimato con l’espressione
fv = f0 + Kv 2
(7.42)
Qualora il campo di velocit`
a lo permetta, viene ritenuto costante.
Ruota strada
Al fine di rilevare sperimentalmente il coefficiente di resistenza al rotolamento ad esempio di pneumatici,
le pi`
u semplici macchine di prova sono quelle che utilizzano la cosiddetta “ruota strada”, ovvero una
superficie cilindrica sulla quale la ruota viene fatta rotolare.
Le condizioni reali di funzionamento del pneumatico sono intermedie tra i risultati ottenuti con i due
tipi di macchina, e i risultati sono tanto pi`
u attendibili quanto pi`
u `e alto il rapporto tra i raggi della
ruota strada e del pneumatico.
Per la misura del coefficiente di resistenza al rotolamento si pu`
o portare il complesso ruota-ruota
strada a una velocit`
a prestabilita per poi lasciare che il sistema proceda per inerzia disinnestando i
motori. Applicando il bilancio di potenze al sistema si ottiene, nota la curva caratteristica del momento
resistente Ms (ωs ) applicato alla ruota strada e trascurando il momento resistente applicato al cerchio
con pneumatico, avremo
−Ms (ωs ) ωs − fv Zr0 ω = Js ω˙ s ωs + J ωω
˙
(7.43)
7-14
Figura 7.14: Schema di funzionamento della ruota strada.
dove il pedice (·)s si riferisce alle grandezze della ruota strada, r0 `e il raggio di rotolamento sotto carico
del pneumatico e Z `e il carico verticale applicato zavorrando la ruota dotata di pneumatico.
Ricordando per le ipotesi di rotolamento che
rs ωs = r0 ω
(7.44)
otteniamo:
−Ms (ωs )
r0
ω − fv Zr0 ω = Js
rs
r0
rs
2
ωω
˙ + J ωω
˙
(7.45)
da cui:
r0
− fv Zr0 =
−Ms (ωs )
rs
Js
r0
rs
2
+J
!
ω˙
(7.46)
ovvero:
−Ms (ωs ) r0 rs − Js r02 + Jrs2 ω˙
fv =
Zr0 rs2
(7.47)
La curva caratteristica Ms (ωs ) pu`
o essere rilevata sperimentalmente registrando un transitorio di
arresto della sola ruota strada. Il metodo presenta delle difficolt`a di misura in quanto normalmente si
registra la legge del moto ω (t), della quale `e necessario calcolare numericamente l’accelerazione angolare.
Prove su strada
In alternativa si effettuano prove su strada trainando un veicolo posto all’interno di un cassone per
impedire che su di esso si esercitino forze aerodinamiche, come illustrato in figura 7.15.
Un tirante dinamometrico collega il cassone con il veicolo, e applicando il bilancio di potenze alla sola
autovettura avremo, in condizione di regime assoluto,
Tv −
4
X
fvi Rni r0i ωi = 0
(7.48)
i=1
che, nelle ipotesi di egual coefficiente di attrito per le quattro ruote ed eguale raggio di rotolamento sotto
carico, e ricordando che nelle ipotesi di rotolamento v = r0i ωi porta a
T v − fv v
4
X
Rni = 0
(7.49)
i=1
7-15
Figura 7.15: Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale.
ma, nelle ipotesi di marcia in piano, detta M la massa del veicolo, l’equilibrio alla traslazione verticale
porta a
4
X
Rni = M g
(7.50)
i=1
e quindi la (7.49) diventa
fv =
T
.
Mg
(7.51)
7-16
Capitolo 8
Dinamica della macchina a un grado
di libert`
a
Generato il 23 ottobre 2014
There’s no such thing as a free
lunch
Anonymous
8.1
Considerazioni generali
In questo capitolo si esaminer`
a il funzionamento di una macchina sotto l’ipotesi di poter considerare tale
sistema dotato di un solo grado di libert`
a. In generale, una macchina pu`
o essere pensata come composta
da un motore, una trasmissione ed un utilizzatore, come mostrato dalla figura 8.1.
Bench´e la suddivisione tra queste tre parti della macchina possa risultare talvolta schematica o poco
aderente all’effettivo funzionamento del sistema, `e possibile in linea di massima affermare che:
• il motore ha il compito di produrre potenza meccanica, utilizzando una fonte di energia di diversa
natura (chimica, elettrica o altro);
• l’utilizzatore impiega la potenza meccanica resa disponibile dal motore per compiere uno scopo, che
pu`
o essere di natura alquanto varia, ad esempio il sollevamento o la movimentazione di un carico,
una lavorazione meccanica, la compressione di un fluido ecc.;
• la trasmissione ha il compito di trasferire la potenza dal motore all’utilizzatore e, dal punto di
vista della cinematica della macchina, stabilisce un rapporto (detto rapporto di trasmissione, come
illustrato nel paragrafo 8.1.3) tra la velocit`
a del motore e quella dell’utilizzatore.
L’ipotesi che la macchina sia un sistema dotato di un solo grado di libert`
a, corrisponde ad affermare
che la posizione di tutti i punti della macchina viene univocamente determinata dal valore di una sola
coordinata libera, che nel seguito sar`a sempre rappresentata dalla rotazione dell’albero motore.
Escludendo casi particolari in cui la macchina abbia pi`
u di una possibilit`a di movimento rigido (ad
esempio macchine contenenti rotismi epicicloidali), questa ipotesi corrisponde a considerare trascurabili
gli effetti di deformabilit`a degli organi (alberi, membri di sistemi articolati, cinghie ecc.) che compongono
la macchina stessa.
Per scrivere l’equazione differenziale che governa il moto della macchina ad un grado di libert`
a `e
conveniente utilizzare il teorema dell’energia cinetica
Π=
dEc
dt
(8.1)
8-1
M otore
T rasmissione
U tilizzatore
Figura 8.1: Schema della macchina a un grado di libert`
a
nella forma detta di bilancio delle potenze, con
ˆm + W
ˆr + W
ˆp
Π=W
Ec = Ecm + Ecr
(8.2)
(8.3)
avendo assunto nulla l’energia cinetica associata alla trasmissione stessa in quanto la si idealizza in un
componente privo di inerzia riducibile ad una rotazione, come illustrato nel seguito. Tale equazione
assume la forma:
ˆm + W
ˆr + W
ˆ p = dEc
W
dt
(8.4)
ˆ m rappresenta la potenza dovuta a tutte le forze ed i momenti, a meno di quelli
in cui il termine W
d’inerzia, che si esercitano sul lato motore, ossia su tutte le parti della macchina poste a monte della
ˆ r tiene conto di tutte le forze e coppie agenti sull’utilizzatore (ossia a valle della
trasmissione, il termine W
ˆ p rappresenta le perdite che si realizzano nella trasmissione per effetto degli
trasmissione), ed il termine W
attriti e delle resistenze interne a questo organo.
8.1.1
Espressione della potenza motrice e della potenza resistente
La potenza motrice rappresenta il contributo al bilancio di potenze dovuto a tutte le forze ed in momenti
che agiscono sul lato motore della macchina, ossia su tutti gli organi posti a monte della trasmissione.
Nel caso pi`
u generale, in cui sul lato motore agiscano nf m forze ed nmm momenti, tale termine si pu`
o
scrivere come:
nf m
ˆm =
W
X
i=1
F~mi × ~vF mi +
nX
mm
j=1
~m ×ω
~ mj
M
j
(8.5)
a del
in cui F~mi rappresenta il valore della i-esima forza agente sul lato motore, ~vmi rappresenta la velocit`
~ m rappresenta il valore del j-esimo momento
punto di applicazione della forza F~mi e, analogamente, M
j
a angolare del corpo a cui viene applicato il momento.
applicato al lato motore e ω
~ mj la velocit`
a
Si assume che la macchina sia caratterizzata da soli vincoli fissi, tali per cui le velocit`
a ~vmi e le velocit`
angolari ω
~ mj non dipendano esplicitamente dal tempo.
Poich´e la macchina possiede un solo grado di libert`
a, tutte le velocit`
a e velocit`
a angolari che compaiono
nella (8.5) possono essere espresse, per mezzo di opportuni legami cinematici, in funzione di un unico
parametro cinematico q. Nel seguito si assumer`a che tale parametro sia la posizione angolare dell’albero
motore, ϑm ; la sua derivata ϑ˙ m , corrispondente alla derivata temporale della coordinata libera, q,
˙ `e la
velocit`
a angolare dell’albero motore, nel seguito spesso indicata con ωm . I legami cinematici assumono
la forma:
~ F m ωm
~vF mi = X
i
~ m ωm
ω
~m = Θ
i
(8.6)
i
~ m sono gli jacobiani che definiscono il legame cinematico tra le velocit`
~m e Θ
a dei punti di
in cui X
i
i
applicazione delle forze e la velocit`
a angolare dell’albero motore; per l’ipotesi di vincoli fissi, dipendono
al pi`
u dalla coordinata libera q.
8-2
Introducendo tali legami cinematici nella espressione (8.5) `e possibile esprimere complessivamente la
∗
che viene detto momento
potenza motrice come prodotto della velocit`
a angolare ωm per un termine Mm
1
motore ridotto all’albero motore:


nfm
nmm
X
X
∗
ˆm = 
~Fm +
~ m  ω m = Mm
~m ×Θ
ωm
(8.7)
W
F~mi × X
M
i
j
j
i=1
j=1
Il momento motore ridotto pu`
o essere interpretato come il valore di un momento applicato all’albero motore che fornisce una potenza motrice uguale in ogni istante alla potenza motrice prodotta
complessivamente da tutte le forze e coppie che agiscono effettivamente sul lato motore.
Nella (8.7) si osserva che l’espressione del momento motore ridotto dipende:
• dalle forze e coppie fisicamente agenti sul lato motore; tali grandezze a loro volta possono assumere
valori costanti (ad esempio nel caso di una forza gravitazionale), oppure dipendere dalla posizione
e/o dalla velocit`
a dell’albero motore (si veda ad esempio nel paragrafo 3.3 la forza sul pistone di
un motore alternativo dovuta alla pressione nella camera di combustione.
• dagli jacobiani che legano il moto dei punti di applicazione delle forze fisiche alla rotazione dell’albero motore; tali quantit`a sono costanti nel caso di legami cinematici lineari e dipendono invece
dalla rotazione ϑm dell’albero motore se i legami cinematici sono non lineari.
Di conseguenza, il momento motore ridotto dipender`a, in generale, sia dalla coordinata libera q, che
rappresenta la posizione angolare dell’albero motore ϑm , sia dalla sua velocit`
a angolare ωm :
∗
∗
Mm
= Mm
(ϑm , ωm )
(8.8)
Se, come caso particolare, il momento motore ridotto non dipende dalla posizione angolare dell’albero
∗
∗
ma solo dalla sua velocit`
a angolare, la relazione Mm
= Mm
(ωm ) viene detta caratteristica meccanica
del motore, e curva caratteristica la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano Mm − ωm , come
nell’esempio di figura 8.6.
Se invece il momento motore dipende anche dalla posizione angolare dell’albero lo studio della dinamica della macchina risulta pi`
u complesso, come sar`a discusso nel paragrafo 8.3. In alcune applicazioni `e
per`o possibile approssimare il momento motore nel seguente modo:
Z
1 Θ ∗
∗
∗
Mm
(ϑm , ωm ) ∼
Mm (ϑm , ωm ) dϑm
(8.9)
= Mm =
Θ 0
ove con Θ si `e indicata la rotazione corrispondente ad un periodo del moto2 , in modo da eliminarne
la dipendenza dalla posizione angolare dell’albero: tale approssimazione `e giustificata dal fatto che,
se la macchina ruota ad una velocit`
a pressoch´e costante, le variazioni che si producono nel momento
motore rispetto al suo valore medio sono “assorbite” dalle inerzie e dalle deformabilit`a dei suoi organi.
Questa motivazione, necessariamente incompleta e qualitativa, potr`a essere meglio precisata quando si
affronteranno i problemi dell’isolamento delle vibrazioni e delle oscillazioni torsionali di una macchina.
Per quanto riguarda l’espressione della potenza resistente `e possibile definire un momento resistente
ridotto, sulla base di considerazioni analoghe a quelle presentate per la potenza motrice. Tale quantit`a
rappresenta l’effetto complessivo di tutte le forze e coppie agenti sul lato utilizzatore, e consente di
scrivere la potenza resistente nella forma


nfr
nmr
X
X
ˆr = 
~Fr +
~ r  ωr = Mr∗ ωr
~r ×Θ
W
F~ri × X
(8.10)
M
i
j
j
i=1
j=1
in cui le varie grandezze introdotte assumono significato analogo, per il lato utilizzatore, a quanto
introdotto nella (8.5) e nella (8.6) per il lato motore.
1 Il momento ridotto pu`
o essere positivo o negativo; nel primo caso, il motore sta introducendo lavoro nel sistema, mentre
nel secondo caso lo sta estraendo.
2 Ad esempio, per un motore alternativo a combustione interna monocilindrico a quattro tempi, ad un periodo corrispondono due giri dell’albero motore, quindi Θ = 4π; per un analogo motore a 6 cilindri in linea, in caso di perfetta simmetria
e bilanciamento delle parti l’angolo si riduce a Θ = 2/3π.
8-3
8.1.2
Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto di motore e utilizzatore
Per quanto riguarda l’energia cinetica del lato motore, si consideri il caso pi`
u generale in cui questo sia
composto da ncm corpi, e siano mmi e Jmi rispettivamente il valore della massa e del momento di inerzia
dell’i-esimo corpo. L’energia cinetica complessiva del lato motore sar`a fornita, in base al teorema di
K¨onig, da:
ncm
Ec m =
X 1
2
i=1
mmi ~vGim × ~vGim
1
+ Jm i ω
~ im
~ im × ω
2
(8.11)
Anche in questo caso `e possibile esprimere attraverso opportuni legami cinematici la relazione che
intercorre tra le velocit`
a dei baricentri dei diversi corpi, le velocit`
a angolari di questi e la velocit`
a angolare
ωm dell’albero motore
~ Gm ωm
~vGmi = X
i
~ m ωm
ω
~m = Θ
(8.12)
i
i
Introducendo tali relazioni nella espressione dell’energia cinetica del lato motore si ottiene `e possibile
definire il momento d’inerzia ridotto del motore ridotto all’albero motore:
Ec m =
ncm 1X
~ m ω2 = 1 J ∗ ω2
~m ×Θ
~ Gm + Jm Θ
~ Gm × X
mm i X
m
i
i
i
i
i
2 i=1
2 m m
(8.13)
∗
in questa espressione il momento d’inerzia ridotto Jm
pu`
o essere interpretato come il momento di inerzia
di un volano posto sull’albero motore, la cui energia cinetica sia uguale all’energia cinetica complessiva
di tutte le inerzie presenti sul lato motore della macchina.
Se i legami cinematici espressi dalla (8.12) sono non lineari, gli jacobiani XGmi e Θmi , e di conseguenza
∗
, dipendono dalla posizione angolare dell’albero motore ϑm :
il momento di inerzia ridotto Jm
∗
∗
Jm
= Jm
(ϑm )
(8.14)
se invece i legami cinematici sono lineari gli jacobiani e quindi anche il momento di inerzia ridotto sono
costanti.
Per quanto riguarda l’energia cinetica dell’utilizzatore, si pu`
o pervenire ad una scrittura dell’energia
cinetica analoga a quella ottenuta per il lato motore, che consente di definire un momento di inerzia
ridotto dell’utilizzatore Jr∗ :
nc
Ec r =
r 1X
~ r ωr2 = 1 Jr∗ ωr2
~r ×Θ
~ Gr + Jr Θ
~ Gr × X
mr i X
i
i
i
i
i
2 i=1
2
(8.15)
In linea di principio, `e possibile definire, in analogia, anche l’energia cinetica associata alla trasmissione; tuttavia nel modello ideale considerato in questa trattazione si assume che l’energia cinetica della
trasmissione sia nulla, ovvero che sia nulla l’inerzia ridotta della trasmissione stessa.
8.1.3
La trasmissione: espressione della potenza perduta
La trasmissione di una macchina pu`
o essere realizzata per mezzo di dispositivi quali ingranaggi, alberi,
organi flessibili (cinghie trapezoidali o dentate) catene o altri dispositivi. Dal punto di vista della cinematica della macchina, essa stabilisce una relazione tra il moto del lato motore e dell’utilizzatore. Tale
legame `e espresso dal rapporto di trasmissione τ definito come:
τ=
ωr
ωm
(8.16)
nel seguito si ipotizzer`
a che il valore del rapporto di trasmissione sia costante, bench´e esistano esempi di
trasmissioni per le quali il valore di questo parametro varia con la posizione angolare dell’albero motore3 .
3 Ad
esempio il giunto di Cardano.
8-4
Per quanto riguarda invece il contributo della trasmissione al bilancio di potenze della macchina, la
potenza dissipata dalla trasmissione viene di norma espressa come una frazione della potenza entrante
nella trasmissione stessa, attraverso il rendimento η:
η=−
Wuscente
,
Wentrante
(8.17)
ove il segno negativo `e necessario dal momento che le due potenze considerate hanno generalmente segno
opposto4 . Al fine di descrivere il flusso della potenza attraverso la trasmissione, si indichino con Wm e
Wr le potenze agli alberi della trasmissione rispettivamente lato motore e lato utilizzatore, definite come
∗
ˆ m − Jm
Wm = W
ω˙ m ωm
∗
ˆ r − Jr ω˙ r ωr
Wr = W
(8.18)
(8.19)
e con Wp la potenza dissipata all’interno della trasmissione che, per le ipotesi fatte in precedenza
sull’assenza di inerzia nella trasmissione, risulta
ˆ p.
Wp = W
(8.20)
Per tutti e tre questi termini si adotter`
a la convenzione di considerare positivi i contributi di potenza
entranti nella trasmissione, come mostrato in figura 8.2.
Wp
Wm
Trasmissione
Wr
Figura 8.2: Flussi di potenza attraverso la trasmissione
Nel caso in cui sia Wm > 0 e Wr < 0 il moto `e definito diretto ed il rapporto tra le due potenze Wm
e Wr nella forma
ηd = −
Wr
Wm
(8.21)
`e detto rendimento (della trasmissione) nel moto diretto, Nel caso in cui sia Wr > 0 e Wm < 0, il moto
`e detto retrogrado (o inverso) ed il rapporto tra le due potenze nella forma
ηr = −
Wm
Wr
(8.22)
`e detto rendimento nel moto retrogrado.
Per rapporti di trasmissione τ = ωr /ωm che si discostano via via dall’unit`
a (τ < 1/6 e τ > 6)
i due rendimenti divengono progressivamente diversi fra loro. Per τ = ωr /ωm ≪ 1 (motore “veloce” e
utilizzatore “lento”), come spesso accade nelle applicazioni, in cui la trasmissione determina una riduzione
di velocit`
a tra il lato motore ed il lato utilizzatore, `e ηd > ηr .
Al diminuire di ηd (ηd < 0.4 ÷ 0.5) pu`
o inoltre verificarsi il caso ηr < 0, nel qual caso `e necessario
avere anche Wm > 0 (rispetto al caso di moto retrogrado gi`
a detto) per far funzionare la macchina in
cui la trasmissione `e inserita. In tal caso la trasmissione si definisce “irreversibile” e la potenza Wm + Wr
` privo di significato fisico il caso in cui entrambe le potenze Wm e Wr siano
viene tutta dissipata. E
negative.
4 Il
caso particolare in cui hanno entrambe segno positivo viene considerato a parte.
8-5
Espressione della potenza perduta
Effettuando un bilancio di potenze parziale della trasmissione, e facendo riferimento alle convenzioni
indicate in figura 8.2, si ottiene l’equazione
Wm + Wr + Wp = 0
(8.23)
al fine di ottenere l’espressione della potenza perduta, conviene distinguere le diverse possibili condizioni
di funzionamento della trasmissione.
Condizioni di moto diretto. Inserendo nel bilancio di potenze della trasmissione la definizione del
rendimento in moto diretto fornita in precedenza nella (8.21) si ottiene:

)Wm

 −(1 − ηd!
1
Wp = −Wm − Wr =
(8.24)

 η d − 1 Wr
in cui le due espressioni riportate per la potenza perduta Wp sono equivalenti in quanto danno luogo allo
stesso valore. Si osservi che, in conseguenza del fatto che 0 < ηd < 1 la potenza dissipata risulta sempre
minore di zero, il che `e in accordo con il fatto che all’interno della trasmissione si verifica sempre una
perdita di energia.
Condizioni di moto retrogrado. In questo caso, ricordando la definizione del rendimento in moto
retrogrado fornita nella (8.22), ed escludendo per il momento il caso di trasmissione irreversibile, si ha:


r )Wr
 −(1 − η!
1
Wp = −Wm − Wr =
(8.25)

 ηr − 1 Wm
in questo caso si ha 0 < ηr < 1 e di conseguenza la potenza perduta risulta negativa.
Caso di trasmissione irreversibile. In questo caso, indicando con ηr∗ il rendimento in moto retrogrado per sottolineare il fatto che esso assume un valore negativo, si ottiene:

∗

r )Wr
 −(1 − η!
1
Wp = −Wm − Wr =
(8.26)

 η ∗ − 1 Wm
r
in cui, osservando che questa volta ηr∗ < 0, si ha che la potenza perduta ha segno negativo e risulta in
modulo maggiore sia della potenza lato motore Wm , sia della potenza lato utilizzatore Wr .
Determinazione del flusso di potenza attraverso la trasmissione
Nello studio del moto di una macchina, al fine di valutare correttamente la potenza perduta nella trasmissione, occorre determinare il flusso di potenza attraverso la trasmissione, ossia determinare se questa
funzioni in condizioni di moto diretto o retrogrado.
Si consideri una trasmissione per la quale sia:
ηd > ηr > 0
(8.27)
ossia per la quale sia esclusa la possibilit`
a di arresto spontaneo.
Nel caso in cui le due potenze Wm e Wr delle forze agenti rispettivamente sul lato motore e sul lato
utilizzatore abbiano segno opposto, la determinazione del flusso di potenza discende immediatamente
dal segno di questi termini, secondo la tabella 8.1. Invece il caso in cui entrambi i termini Wm e Wr
risultino positivi, il moto pu`
o essere diretto oppure retrogrado in funzione delle condizioni di funzionamento della macchina. Nel seguito di questo paragrafo si chiarir`a in che modo sia possibile sciogliere
8-6
Lato motore
Wm > 0
Wm < 0
Wm > 0
Lato utilizzatore
Wr < 0
Wr > 0
Wr > 0
moto diretto
moto retrogrado
caso indeterminato
Tabella 8.1: Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione
l’indeterminazione e decidere se il moto sia diretto o retrogrado. A tale fine si ipotizzer`a per semplicit`
a
∗
che i momenti di inerzia ridotti del lato motore e del lato utilizzatore Jm
e Jr∗ siano costanti, e si distingueranno due casi tipici che si verificano nello studio della dinamica della macchina: nel primo caso
si assumer`a di conoscere il valore della accelerazione della macchina nella condizione di funzionamento
considerata. Nel secondo caso si considerer`a invece incognita l’accelerazione della macchina.
Caso 1 - accelerazione nota. In questo caso basta valutare la pi`
u comoda delle espressioni:
ˆ m − J ∗ ω˙ m ωm
Wm = W
m
ˆ r − J ∗ ω˙ r ωr
Wr = W
r
(8.28)
che corrispondono rispettivamente alla scrittura di un bilancio di potenze parziale del solo lato motore o
del solo lato utilizzatore. Avremo necessariamente (per l’ipotesi di trasmissione reversibile) che una delle
due potenze Wm e Wr sar`
a positiva e l’altra negativa, e sar`a di conseguenza possibile determinare se la
macchina funziona in moto diretto o retrogrado e quindi utilizzare l’espressione corretta della potenza
perduta Wp secondo quanto indicato in precedenza.
Caso 2 - accelerazione incognita. in questo caso occorre ipotizzare un flusso di potenza (moto
diretto o retrogrado), ricavare l’accelerazione e verificare l’ipotesi fatta.
Ipotizzando ad esempio moto diretto, avendo ridotto tutte le azioni agenti sui due lati motore ed
∗
∗
utilizzatore ai momenti Mm
e Mr∗ e tutte le inerzie ai momenti ridotti di inerzia Jm
e Jr∗ , il bilancio di
potenze diviene:
∗
∗
∗
∗
Mm
ωm + τ Mr∗ ωm − (1 − ηd ) (Mm
− Jm
ω˙ m ) ωm = Jm
ω˙ m ωm + τ 2 Jr∗ ω˙ m ωm
(8.29)
che fornisce il valore della accelerazione angolare dell’albero motore:
ω˙ m =
∗
+ τ Mr∗
η d Mm
∗
ηd Jm + τ 2 Jr∗
(8.30)
in cui il valore della accelerazione angolare risulta sicuramente positivo in quanto sia il momento motore
ridotto sia il momento resistente ridotto sono positivi. Inserendo tale valore nella espressione della
potenza Wm entrante nella trasmissione dal lato motore `e possibile verificare se questa risulta maggiore
di zero, e quindi se il moto risulta effettivamente diretto, come precedentemente ipotizzato.
Sostituendo nella condizione di moto diretto
∗
∗
Mm
− Jm
ω˙ m > 0
(8.31)
l’espressione della accelerazione angolare del motore (nell’ipotesi di moto diretto), si ottiene una condizione necessaria e sufficiente affinch´e la macchina funzioni in moto diretto:
∗
∗
Mm
− Jm
∗
η d Mm
+ τ Mr∗
>0
∗ + τ 2J ∗
ηd Jm
r
(8.32)
ed essendo:
∗
ηd Jm
+ τ 2 Jr∗ > 0
(8.33)
si ottiene:
∗
∗
∗
∗
∗
∗
ηd Jm
Mm
+ τ 2 Jr∗ Mm
− ηd Jm
Mm
− τ Jm
Mr∗ > 0
8-7
(8.34)
Figura 8.3: Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito.
da cui, semplificando e riordinando i termini:
∗
Mm
Mr∗
>
∗
Jm
τ Jr∗
(8.35)
ossia condizione per avere moto diretto `e che il rapporto tra la coppia dell’utilizzatore ridotta all’albero motore ed il momento d’inerzia dell’utilizzatore ridotto all’albero motore stesso risulti minore del
corrispondente rapporto relativo alle quantit`a direttamente agenti sul lato motore.
Svolgendo lo stesso ragionamento in caso di moto retrogrado si ottiene la relazione
∗
Mm
Mr∗
>
τ
∗
Jr∗
Jm
(8.36)
ovvero la (8.35) a segno invertito.
In definitiva `e quindi possibile, anche nel caso di accelerazione incognita, determinare “a priori” il
flusso di potenza nella trasmissione.
8.1.4
Esempio illustrativo: piani inclinati con attrito
Si consideri la semplice macchina illustrata in figura 8.3, consistente in un corpo che scorre orizzontalmente su un piano liscio, sul quale scorre un altro corpo lungo un piano inclinato di un angolo α, la cui
superficie sia caratterizzata da un coefficiente di attrito dinamico fd relativo allo strisciamento tra i due
corpi. Il secondo corpo, a sua volta, sia vincolato a scorrere verticalmente su un piano liscio.
La cinematica mostra che lo spostamento in direzione verticale del secondo corpo, xr , in funzione
dello spostamento in direzione orizzontale del primo, xm , `e
xr = xm tan α
(8.37)
quindi il rapporto di trasmissione `e τ = tan α.
Moto diretto
Si consideri il caso in cui il primo corpo si muova nel verso positivo di xm a velocit`
a costante, quindi in
condizioni di regime. La potenza motrice `e
Πm = Fm x˙ m
(8.38)
La componente tangenziale della reazione vincolare `e data da
RT = fd RN
(8.39)
8-8
quindi, dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si
ottiene
R N = Fm
1
(sin α + fd cos α)
(8.40)
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottiene
invece
Fr = −RN (cos α − fd sin α) = −Fm
(cos α − fd sin α)
(sin α + fd cos α)
(8.41)
Ne risulta una potenza resistente
Πr = Fr x˙ r = −Fm x˙ m
(cos α − fd sin α)
tan α
(sin α + fd cos α)
(8.42)
Il rendimento `e dato da
ηd = −
Πr
(1 − fd tan α)
=
Πm
(1 + fd / tan α)
(8.43)
ed `e unitario in assenza di attrito (fd = 0), mentre decresce al crescere di fd e di α (per 0 < α < π/2),
fino ad annullarsi per
tan α =
1
.
fd
(8.44)
Quindi il moto diretto `e possibile solo per 0 < α < tan−1 (1/fd ).
Moto retrogrado
Si consideri ora il caso in cui il secondo corpo si muova verso il basso, ovvero in direzione opposta al
verso positivo di xr , sempre a velocit`
a costante. La potenza associata alla forza Fr `e sempre data da
Πr = Fr x˙ r = Fr x˙ m tan α
(8.45)
ma ora sia la forza che la velocit`
a sono negative, in quanto la forza Fr svolge il ruolo di forza motrice.
Dal momento che il moto ha cambiato verso, si inverte anche il verso della componente tangenziale della
reazione vincolare; quindi ora
RT = −fd RN
(8.46)
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottiene
ora
RN = −Fr
1
(cos α + fd sin α)
(8.47)
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si ottiene
invece
Fm = RN (sin α − fd cos α) = −Fr
(sin α − fd cos α)
(cos α + fd sin α)
(8.48)
Ne risulta una potenza
Πm = Fm x˙ m = −Fr x˙ m
(sin α − fd cos α)
(cos α + fd sin α)
(8.49)
8-9
Il rendimento `e ora dato da
ηr = −
Πm
(1 − fd / tan α)
=
Πr
(1 + fd tan α)
(8.50)
Anche in questo caso il rendimento `e unitario in assenza di attrito, e decresce al crescere di fd e di α,
fino ad annullarsi; questa volta, per
tan α = fd
(8.51)
` evidente come i due rendimenti, in presenza di attrito, siano diversi. Si noti che, per α = π/4, ossia
E
per tan α = 1, il rapporto di trasmissione `e unitario; in tale circostanza, le espressioni dei due rendimenti
coincidono, e si ha
ηd |α=π/4 = ηr |α=π/4 =
(1 − fd )
(1 + fd )
(8.52)
Il meccanismo per cui si ha una perdita di potenza nelle trasmissioni `e spesso associato all’attrito legato
allo strisciamento tra parti meccaniche. Questo semplice modello `e in grado di illustrare in modo efficace
come il rendimento possa non dipendere significativamente dalla velocit`
a, e come i rendimenti in caso di
moto diretto o retrogrado possano differire tanto pi`
u quanto pi`
u il rapporto di trasmissione `e diverso da
1. In particolare il rendimento diretto decresce al crescere del rapporto di trasmissione, mentre quello
retrogrado cresce.
8.1.5
Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di libert`
a
In definitiva, lo studio della macchina ad un grado di libert`a pu`
o essere condotto sulla base dello schema
rappresentato in figura 8.4, in cui l’insieme di tutte le forze agenti sul lato motore viene ridotto ad un
∗
agente sull’albero motore, l’insieme delle forze agenti sull’utilizzatore viene ridotto
momento motore Mm
ad un unico momento resistente Mr∗ agente sull’albero dell’utilizzatore, e tutte le inerzie vengono ridotte
∗
ai due momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore Jm
e Jr∗ rispettivamente.
∗
Mm
∗
Jm
Lato Utilizzatore
Jr∗
Mr∗
Trasmissione
Lato Motore
Figura 8.4: Schema della macchina ad un grado di libert`
a
Le condizioni di funzionamento di questo sistema possono essere riassunte in tre categorie dette:
• regime assoluto (spesso indicato semplicemente come “regime”): si tratta di una condizione di
funzionamento in cui l’energia cinetica della macchina si mantiene costante nel tempo;
• moto vario (spesso indicato come “transitorio”): `e una qualsiasi condizione di moto in cui l’energia
cinetica della macchina subisce una variazione nel tempo; esempi tipici di moto vario sono la fase di
avviamento, durante la quale la macchina si porta dalla condizione di quiete ad una condizione di
moto a regime, e di arresto, durante la quale avviene la transizione opposta dal regime alla quiete;
• regime periodico che pu`
o essere vista come una particolare condizione di moto vario, in cui l’energia
cinetica dela macchina, pur variando nel tempo, assume un andamento periodico, ossia ritorna ad
assumere lo stesso valore ad intervalli regolari di tempo (in genere corrispondenti ad un multiplo o
sottomultiplo intero del periodo di rotazione della macchina);
8-10
Affinch´e una macchina possa funzionare in condizioni di regime assoluto, `e necessario che si verifichino
le seguenti due condizioni:
• il momento motore ridotto ed il momento resistente ridotto non devono dipendere dalla posizione
angolare dei relativi alberi, ma unicamente dalle velocit`
a angolari di questi;
• i momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore devono essere costanti.
Nel seguito si dir`
a macchina a regime assoluto una macchina per la quale si realizzano queste due
condizioni. Lo studio del moto di questo tipo di macchina (sia in condizioni di regime, sia in transitorio)
sar`a oggetto del paragrafo 8.2.
Nel paragrafo 8.3 si fornir`
a invece un cenno relativo al funzionamento di una macchina per la quale
le condizioni (1) e (2) precedentemente citate non si verificano. Si mostrer`
a che per una macchina di
questo tipo non `e possibile il funzionamento in regime assoluto, ma possono sussistere invece condizioni
di funzionamento di regime periodico. Per questo motivo, una macchina di questo tipo verr`
a detta
macchina a regime periodico.
8.2
La macchina a regime assoluto
8.2.1
Equazione di moto
Al fine di scrivere l’equazione di moto della macchina ad un grado di libert`
a, si applica l’equazione
di bilancio delle potenze (8.4) utilizzando le espressioni della potenza motrice, resistente, perduta e
dell’energia cinetica ricavate in precedenza.
Per quanto riguarda la derivata dell’energia cinetica, si pu`
o osservare che, se il momento di inerzia ridotto del motore e dell’utilizzatore sono indipendenti dalla rotazione dei rispettivi alberi, allora le derivate
dell’energia cinetica ripettivamente del motore e dell’utilizzatore assumono le seguenti espressioni:
dEcm
∗
= Jm
ωm ω˙ m
dt
dEcr
= Jr∗ ωr ω˙ r
dt
(8.53)
Inserendo tale risultato nella espressione della condizione di moto diretto si ottiene:
∗
∗
Wm > 0 se: Mm
− Jm
ω˙ m > 0
(8.54)
Inoltre le espressioni della potenza perduta in moto diretto e retrogrado diventano:

∗
∗
ω˙ m ) ωm
(moto diretto)
− Jm
 Wp = − (1 − ηd ) (Mm

Wp
=
− (1 − ηr ) (Mr∗ − Jr∗ ω˙ r ) ωr
(8.55)
(moto retrogrado)
Per effetto del termine di potenza dissipata nella trasmissione, l’equazione di moto della macchina, ossia
l’equazione differenziale che lega l’accelerazione angolare dell’albero motore alle forze agenti assume una
diversa espressione in condizioni di moto diretto e retrogrado.
Si consideri innanzitutto la condizione di moto diretto; inserendo nell’equazione di bilancio delle potenze (8.4) le espressioni (8.7), (8.10), (8.55), (8.53) della potenza motrice, resistente, perduta e dell’energia
cinetica si ottiene:
∗
∗
∗
∗
Mm
ωm + Mr∗ ωr − (1 − ηd )(Mm
− Jm
ω˙ m )ωm = Jm
ωm ω˙ m + Jr∗ ωr ω˙ r
(8.56)
Inserendo in tale equazione l’espressione del legame cinematico (8.16) tra la velocit`
a angolare dell’albero
motore e dell’albero dell’utilizzatore e riordinando i termini si ottiene:
∗
∗
(ηd Mm
+ τ Mr∗ )ωm = (ηd Jm
+ τ 2 Jr∗ )ω˙ m ωm
(8.57)
8-11
ed, esplicitando in funzione della accelerazione angolare dell’albero motore, si ottiene l’equazione di moto
della macchina per condizioni di moto diretto:
ω˙ m =
∗
η d Mm
+ τ Mr∗
∗
ηd Jm + τ 2 Jr∗
(8.58)
nel caso in cui (come ipotizzato in questo paragrafo) il momento motore ed il momento resistente dipendano solo dalle velocit`
a angolari dei rispettivi alberi e non dalla posizione angolare di questi, si ottiene
una equazione differenziale del primo ordine, che consente di determinare la legge di moto dell’albero
motore, ossia l’andamento nel tempo della velocit`
a angolare ωm dell’albero motore.
Nel caso in cui invece la macchina funzioni in condizioni di moto retrogrado, mediante passaggi
analoghi si ottiene:
ω˙ m =
∗
+ ηr τ Mr∗
Mm
∗ + η τ 2J ∗
Jm
r
r
(8.59)
Unendo le due espressioni della accelerazione dell’albero motore, valide rispettivamente nel caso di
moto diretto e retrogrado, si ottiene l’equazione di moto della macchina in regime assoluto, che esprime,
in termini di equazione differenziale del primo ordine, la relazione tra le forze agenti nella macchina ed
il moto di questa:

∗
(ωm ) + τ Mr∗ (ωm )
η d Mm

∗
∗

per Mm
− Jm
ω˙ m > 0


∗ + τ 2J ∗

η d Jm
r
ω˙ m =
(8.60)

∗
∗

M
(ω
)
+
η
τ
M
(ω
)

m
r
m
m
r


per Mr∗ − Jr∗ ω˙ r < 0
∗ + η τ 2J ∗
Jm
r
r
8.2.2
Condizioni di funzionamento in regime assoluto
Le condizioni di funzionamento in regime assoluto della macchina si ottengono imponendo nella equazione
di bilancio delle potenze la condizione di regime:
dEc
=0
dt
(8.61)
in tal modo si ottiene l’equazione:

∗
(ωm ) + τ Mr∗ (ωm ) =
 η d Mm

∗
(ωm ) + ηr τ Mr∗ (ωm )
Mm
=
∗
0 per Mm
>0
(8.62)
∗
<0
0 per Mm
in cui la prima equazione si riferisce a condizioni di moto diretto, e la seconda a condizioni di moto
retrogrado. Si osservi che a regime, venendo a mancare il contributo dei termini inerziali, la condizione
di moto diretto/retrogrado viene determinata esclusivamente dal segno del momento ridotto del motore
o dell’utilizzatore (che devono essere necessariamente di segno opposto, per consentire la conservazione
dell’energia cinetica).
La condizione di regime (8.62) rappresenta una equazione non lineare nella incognita ωm , che pu`
o
essere risolta con tecniche numeriche, ad esempio attraverso la minimizzazione di una opportuna funzione
residuo, come visto in precedenza per le equazioni di chiusura nel metodo dei numeri complessi. Trattandosi di una equazione non lineare, non `e possibile garantire a priori l’unicit`
a della soluzione: si potr`a
perci`o avere un numero diverso di possibili condizioni di regime in funzione della particolare macchina
considerata, e quindi delle espressioni dei momenti motore e resistente ridotti.
8.2.3
Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi
In figura 8.5 si mostra un impianto di sollevamento carichi, composto da un motore asincrono trifase,
collegato attraverso una trasmissione formata da una coppia di ingranaggi del tipo ruota elicoidale-vite
8-12
senza fine 5 ad una puleggia. Sulla puleggia si avvolge una fune metallica collegata da un lato alla cabina
che porta il carico da sollevare, ed alla estremit`a opposta ad un contrappeso. Nel seguito si indicheranno
con mc , mu ed mq rispettivamente la massa della cabina a vuoto, la massa del carico utile portato dalla
cabina e la massa del contrappeso. Infine, sull’albero motore `e calettato un volano Jv che, come si vedr`a
nel seguito, ha lo scopo di limitare l’accelerazione della cabina nella fase di avviamento dell’impianto.
τ , ηd , ηr
mc , mu
Jv ω M
m
m
mq
Figura 8.5: Impianto di sollevamento carichi
Cenni sul funzionamento del motore asincrono trifase
Il motore asincrono trifase `e costituito da una parte fissa, detta statore e da una parte mobile, detta
rotore, posta all’interno dello statore e dotata della possibilit`a di ruotare rispetto ad un asse fisso. Su
ciascuno di questi elementi `e posto un avvolgimento trifase. L’avvolgimento posto sullo statore, detto
induttore, `e alimentato con un sistema di tensioni trifase alternate, che genera un campo magnetico
rotante con velocit`
a angolare ωs detta velocit`
a di sincronismo, pari a:
ωs =
2πfa
p
(8.63)
in cui fa `e la frequenza della tensione di alimentazione e p `e il numero di coppie di poli dello statore.
Sul rotore si genera quindi una forza elettromotrice che dipende dalla velocit`
a angolare del rotore
e che si annulla quando questo ruota alla velocit`
a di sincronismo, ossia in maniera sincrona rispetto al
campo magnetico generato dallo statore.
La caratteristica meccanica del motore `e mostrata in figura 8.6. Come si pu`
o osservare, tale caratteristica assume un andamento pressoch´e rettilineo con forte pendenza negativa per velocit`
a prossime a
quella di sincronismo. Per evitare un funzionamento non corretto del motore (eccessive dissipazioni di
energia con conseguente surriscaldamento) `e necessario che il motore lavori a regime in prossimit`a della
velocit`
a di sincronismo, e che la sua velocit`
a angolare non subisca eccessive oscillazioni attorno al valore
di regime.
Si pu`
o inoltre osservare che per velocit`
a angolari superiori alla velocit`
a di sincronismo la coppia motrice
diviene negativa, ossia risulta opposta alla velocit`
a angolare dell’albero motore. In queste condizioni il
motore asincrono trifase si comporta come un organo frenante, sottraendo potenza alla macchina.
Le inerzie del motore asincrono trifase possono essere rappresentate per mezzo di un momento di
inerzia Jm che rappresenta il momento di inerzia del rotore rispetto al suo asse di rotazione.
Osservazione: Nel caso di un impianto di sollevamento carichi occorre osservare che il senso di rotazione del campo magnetico rotante, e di conseguenza, il verso del momento motore, viene invertito tra
la fase di salita e quella di discesa dell’impianto. Nella fase di salita il momento motore risulta perci`o
concorde con una velocit`
a angolare del motore che produca un sollevamento del carico utile, mentre nella
fase di discesa il momento motore agisce secondo il senso di rotazione che produce la discesa del carico.
5 Si tratta di un tipo di rotismo atto a trasmettere il moto tra due assi fra loro ortogonali. Generalmente questo tipo di
trasmissione presenta un elevato rapporto di riduzione (ossia un valore del rapporto di trasmissione τ molto inferiore ad 1)
e da un rendimento modesto.
8-13
Mm
Mmax
ωs
ωm
ωm
Figura 8.6: Caratteristica del motore asincrono trifase
Funzionamento in salita dell’impianto
Si considera innanzitutto la condizione di funzionamento dell’impianto in cui la cabina si muove verso
l’alto. In questa situazione la macchina `e soggetta, sul lato motore, ad una coppia motrice Mm concorde
con la velocit`
a angolare dell’albero motore e dipendente da questa secondo la caratteristica di figura 8.6.
Sul lato utilizzatore invece agiscono le forze peso relative alla cabina (comprensiva del carico trasportato) e sul contrappeso. Come mostrato in figura 8.7, la forza peso e la velocit`
a sono discordi sulla cabina
e concordi sul contrappeso.
ωr
ωr
Vq
Vc
Vq
Vc
(mc + mu )g
mq g
(mc + mu )g
mq g
Figura 8.7: Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto di
sollevamento carichi
Di conseguenza, la potenza motrice e la potenza resistente assumono le espressioni:
ˆ m = Mm ω m
W
ˆ r = −(mc + mu )gVc + mq gVq
W
(8.64)
(8.65)
Ipotizzando che non vi sia strisciamento tra la fune e la puleggia, le velocit`
a Vc della cabina e Vq del
contrappeso possono essere espresse come:
Vc = Rωr
(8.66)
Vq = Rωr
(8.67)
in cui R e ωr sono rispettivamente il raggio e la velocit`
a angolare della puleggia. Inserendo tali relazioni
nella espressione della potenza resistente si ottiene:
ˆ r = Mr∗ ωr
W
(8.68)
8-14
essendo il momento resistente ridotto Mr∗ pari a:
Mr∗ = −(mc + mu − mq )gR
(8.69)
L’energia cinetica del lato motore e del lato utilizzatore sono rappresentate dalle seguenti espressioni:
1
2
(Jm + Jv ) ωm
(8.70)
2
1
1
1
Ecr = (mc + mu ) Vc2 + mq Vq2 + Jp ωr2
(8.71)
2
2
2
avendo indicato con Jp il momento di inerzia della puleggia.
Inserendo nella espressione della energia cinetica del lato utilizzatore i legami cinemetici precedentemente ricavati si ottiene:
1
Ec r =
mc R2 + mu R2 + mq R2 + Jp ωr2 = Jr∗ ωr2
(8.72)
2
Ec m =
Applicando alle espressioni ottenute l’equazione (8.60) si ottiene:

ηd Mm − τ (mc + mu − mq ) gR


se Mm − (Jm + Jv ) ω˙ m > 0


 ηd (Jm + Jv ) + τ 2 (mc R2 + mu R2 + mq R2 + Jp )
ω˙ m =


Mm − ηr τ (mc + mu − mq ) gR



se Mm − (Jm + Jv ) ω˙ m < 0
(Jm + Jv ) + ηr τ 2 (mc R2 + mu R2 + mq R2 + Jp )
(8.73)
Funzionamento in discesa dell’impianto
Si considera in questo caso che il motore ruoti in senso tale da produrre un moto verso il basso della
cabina. Come osservato in precedenza, per effetto della inversione del senso di rotazione del campo
magnetico rotante, anche il momento motore cambia verso e risulta quindi concorde con la velocit`
a
angolare dell’albero motore, cos`ı come nel moto in salita.
Per quanto riguarda invece l’utilizzatore, si invertono le diresioni delle velocit`
a della cabina e del
contrappeso, come mostrato nella parte di destra della figura 8.7.
Di conseguenza, l’espressione della potenza motrice rimane immutata rispetto al caso in salita, mentre
quella della potenza resistente cambia segno. Per quanto riguarda invece l’energia cinetica l’espressione
rimane uguale sia per il lato motore che per l’utilizzatore, perch´e la sua espressione non risente del segno
delle velocit`
a.
Operando gli stessi passaggi descritti per il moto in salita si ottiene l’equazione di moto:

ηd Mm + τ (mc + mu − mq ) gR



 ηd (Jm + Jv ) + τ 2 (mc R2 + mu R2 + mq R2 + Jp ) se Mm − (Jm + Jv ) ω˙ m > 0

(8.74)
ω˙ m =


M
+
η
τ
((m
+
m
−
m
)
gR

m
r
c
u
q


se Mm − (Jm + Jv ) ω˙ m < 0
(Jm + Jv ) + ηr τ 2 (mc R2 + mu R2 + mq R2 + Jp )
Esercizio 8.1 Come si modifica il problema dell’impianto di sollevamento carichi se la massa della fune
non `e trascurabile?
8.2.4
Esempio applicativo: autoveicolo in salita
Si consideri un autoveicolo a due assi, a trazione posteriore, in moto lungo un piano inclinato. Il motore `e
collegato all’assale con le ruote motrici da una trasmissione, il cui rapporto di trasmissione τ sia costante
e noto, cos`ı come il rendimento η. Si considera la presenza di resistenza al rotolamento su entrambi gli
assali. Si richiede di:
1. calcolare la coppia che consente di mantenere il veicolo in salita a regime;
2. calcolare l’accelerazione che si ottiene per una coppia motrice superiore a quella di regime;
3. verificare l’aderenza delle ruote motrici e condotte.
8-15
Figura 8.8: Veicolo in salita
Potenza delle forze attive
La potenza delle sole forze attive fornita dal motore `e
ˆ m = C m ωm
W
(8.75)
mentre la potenza delle sole forze attive agenti dal lato dell’utilizzatore `e costituita dai contributi
ˆ g = M~g × ~x˙ = −M g sin αx˙
W
(8.76)
dovuto al peso del veicolo, nel caso in cui il moto avvenga in salita lungo un piano inclinato di un angolo
α; da
ˆ v = −Cvp ωp − Cva ωa
W
(8.77)
dovuto alle coppie resistenti al rotolamento delle ruote anteriori e posteriori.
Nell’ipotesi di puro rotolamento sia delle ruote anteriori che posteriori, posta
ωp = τ ωm
(8.78)
la velocit`
a angolare delle ruote motrici, la velocit`
a del veicolo `e
x˙ = Rp ωp = τ Rp ωm
(8.79)
mentre la velocit`
a angolare delle ruote anteriori risulta
ωa =
Rp
x˙
=τ
ωm
Ra
Ra
(8.80)
In base al modello presentato nel Capitolo 7, la resistenza al rotolamento `e proporzionale alla componente normale della reazione scambiata fra ruota e terreno e al raggio della ruota attraverso un coefficiente
di resistenza al rotolamento fv ; quindi la potenza espressa dalla (8.77) diventa
ˆ v = −fvp Np Rp ωp − fva Na Ra ωa
W
(8.81)
Dalle (8.78) e (8.80) si ricava
ˆ v = − (fvp Np + fva Na ) x˙
W
(8.82)
e, nell’ipotesi di eguaglianza delle ruote degli assali anteriore e posteriore, da cui
fvp = fva = fv
(8.83)
8-16
si ottiene infine
ˆ v = −fv (Np + Na ) x˙
W
(8.84)
La scrittura del bilancio di potenze richiede quindi la conoscenza della componente normale al terreno
delle reazioni scambiate con gli assali. In generale, il calcolo delle reazioni vincolari richiede la conoscenza
della dinamica e quindi le reazioni vanno calcolate simultaneamente all’equazione del moto. In questo
caso particolare, per`
o, `e agevole notare che la scrittura dell’equazione di equilibrio dell’intero veicolo in
direzione perpendicolare al piano su cui avviene il moto fornisce direttamente la somma delle reazioni
necessarie:
Np + Na = M g cos α
(8.85)
Quindi la potenza dissipata per rotolamento, in virt`
u della (8.83), diventa
ˆ v = −fv M g cos αx˙
W
(8.86)
Coppia necessaria al moto a regime
Nella condizione in esame, di moto in salita, la potenza viene sicuramente assorbita dall’utilizzatore,
quindi il moto `e diretto. Quindi il bilancio di potenze d`a
ˆp = 0
ˆm + W
ˆg + W
ˆv + W
(8.87)
W
ˆ p = − (1 − ηd ) W
ˆ m , ovvero
con W
ηd Cm ωm − M g sin αx˙ − fv M g cos αx˙ = 0
(8.88)
da cui, sostituendo l’espressione (8.79) della velocit`
a x˙ del veicolo in funzione della velocit`
a angolare ωm
del motore si ottiene
Cm =
τ
M g (sin α + fv cos α) Rp = 0
ηd
(8.89)
La coppia `e sicuramente positiva in caso di pendenza α positiva; in caso di pendenza negativa, la coppia
associata alla gravit`a cambia segno; la coppia motrice rimane positiva, e quindi il moto rimane diretto,
fintanto che tan α > −fv .
Accelerazione allo spunto
L’energia cinetica del sistema `e associata a:
• inerzia Jm del motore;
• massa M dell’intero veicolo;
• inerzia Jp dell’assale posteriore;
• inerzia Ja dell’assale anteriore.
Risulta quindi
1
1
Jm ω 2 + M x˙ 2 + Jp ωp2 + Ja ωa2 =
Ec =
2
2
Jm + τ
Posta la potenza dissipata nella trasmissione pari a
ˆ m − Jm ω˙ m ωm
Wp = − (1 − ηd ) W
8-17
2
M Rp2
Rp2
+ Jp + Ja 2
Ra
!!
2
ωm
(8.90)
(8.91)
dal teorema dell’energia cinetica si ricava
Cm ωm − τ M g (sin α + fv cos α) Rp ωm − (1 − ηd ) (Cm − Jm ω˙ m ) ωm
!!
2
R
p
= Jm + τ 2 M Rp2 + Jp + Ja 2
ω˙ m ωm
Ra
(8.92)
da cui, dopo alcune semplificazioni, si ricava
ω˙ m =
ηd Cm − τ M g (sin α + fv cos α) Rp
!
2
R
p
ηd Jm + τ 2 M Rp2 + Jp + Ja 2
Ra
(8.93)
Verifica di aderenza delle ruote
La verifica di aderenza delle ruote non `e particolarmente attinente al tema di questo capitolo; viene qui
discussa essenzialmente per illustrare come i bilanci di potenze possono anche essere utili al calcolo delle
reazioni vincolari.
Ruote anteriori. La verifica di aderenza delle ruote anteriori richiede la valutazione delle componenti
normale e tangenziale della reazione vincolare scambiata tra ruota e terreno.
La componente normale pu`
o essere agevolmente ricavata scrivendo l’equilibrio dei momenti agenti
sull’intero veicolo rispetto ad un polo opportunamente posto al punto di contatto tra l’assale posteriore
ed il terreno, in modo da escludere la partecipazione della reazione scambiata con il terreno dalle ruote
posteriori stesse:
Na (p1 + p2 ) + M g (h sin α − p1 cos α) + M x
¨h + Jp ω˙ p + Ja ω˙ a + (Cvp + Cva ) = 0
(8.94)
Si noti che la coppia motrice non partecipa a questa equazione, in quanto si tratta di una coppia interna
scambiata tra veicolo e assale posteriore. Considerando le definizioni
Cvp = fv Np Rp
Cva = fv Na Ra
(8.95)
(8.96)
e l’equazione (8.85), si ottiene
Cvp + Cva = fv (Np Rp + Na Ra ) = fv (M g cos αRp − Na (Rp − Ra ))
(8.97)
e quindi, dalla (8.94),
Na =
M g (p1 cos α − h sin α) − M x
¨h − Jp ω˙ p − Ja ω˙ a − fv M g cos αRp
p1 + p2 − fv (Rp − Ra )
(8.98)
In realt`a, la componente normale della reazione vincolare sulla singola ruota `e la met`a del valore calcolato
nella (8.98). Questa relazione si semplifica qualora sia Rp = Ra , come avviene ad esempio nella maggior
parte degli autoveicoli.
La componente tangenziale della reazione vincolare si ricava, ad esempio, dall’equilibrio alla rotazione
del solo assale anteriore, per il quale si ha
Ja ω˙ a + Cva − Ta Ra = 0
(8.99)
in quanto non partecipano il peso, le reazioni scambiate nel vincolo con il veicolo e la componente normale
della reazione scambiata con il terreno, in quanto il loro braccio `e nullo. Da questa si ricava
Ta =
Ja
ω˙ a + fv Na
Ra
(8.100)
8-18
La condizione di aderenza `e data da
Na > 0
(8.101)
in quanto le ruote anteriori devono essere a contatto con il terreno6 , e da
|Ta |
≤ fs
Na
(8.102)
Si noti che, nel caso la reazione Na diminuisca, come avviene ad esempio per effetto di una accelerazione
positiva, `e possibile che la condizione (8.102) sia violata proprio a causa dell’accelerazione angolare ω˙ a
dell’assale. Quindi le ruote anteriori, in caso di accelerazione sufficientemente elevata, inizierebbero a
strisciare prima di arrivare alla perdita di contatto (motociclo che “impenna”).
Ruote posteriori. Il calcolo della componente normale della reazione scambiata con il terreno si
ricava dalle (8.85) e (8.98):
Np =
M g ((p2 − fv (Rp − Ra )) cos α + h sin α) + M x
¨h + Jp ω˙ p + Ja ω˙ a + fv M g cos αRp
p1 + p2 − fv (Rp − Ra )
(8.103)
Il calcolo della componente tangenziale della reazione scambiata con il terreno pu`
o avvenire in due modi;
il primo, banale, consiste nello scrivere l’equilibrio alla traslazione dell’intero veicolo in direzione parallela
al piano inclinato, dalla quale si ottiene
Tp + Ta + M x
¨ + M g sin α = 0
(8.104)
da cui si ottiene
Tp = −Ta − M x
¨ − M g sin α
(8.105)
Il secondo approccio consiste nello scrivere l’equilibrio dei momenti del solo assale posteriore che, a
differenza di quello anteriore, comprende anche la coppia motrice C:
Jp ω˙ p + Cvp − Tp Rp − C = 0
(8.106)
Quest’ultima si ricava scrivendo un bilancio di potenza a valle della trasmissione ove, come potenza
assorbita dall’utilizzatore, si scriva la potenza associata alla coppia −C incognita, uguale ed opposta alla
coppia motrice applicata all’assale:
ηd (Cm − Jm ω˙ m ) ωm − Cωp
(8.107)
da cui risulta
C=
ηd
(Cm − Jm ω˙ m )
τ
(8.108)
La reazione `e quindi
Tp =
ηd
Jp
ω˙ p + fv Np −
(Cm − Jm ω˙ m )
Rp
τ Rp
(8.109)
La componente normale della reazione scambiata con il terreno, in questo caso, `e essenzialmente costituita
da contributi che, in caso di accelerazione positiva, tendono ad aumentarla. Quindi la principale causa di
potenziale slittamento risulta dalla coppia motrice Cm , a meno dell’inerzia accumulata dal motore stesso
e dall’assale.
6 Si noti che, a parte il contributo associato al peso per la distanza p tra l’assale posteriore ed il baricentro, tutti gli
1
altri contributi alla reazione Na sono negativi, in caso di accelerazione positiva.
8-19
8.3
Macchina in regime periodico
Lo studio della dinamica di una macchina a regime periodico sar`a limitato per semplicit`
a di trattazione
al caso in cui il motore e l’utilizzatore della macchina siano posti sullo stesso albero, senza l’interposizione
di una trasmissione.
8.3.1
Equazione di moto
L’equazione della macchina a regime periodico pu`
o essere ottenuta mediante l’equazione di bilancio delle
potenze (8.4). Rispetto al caso della macchina a regime assoluto studiato in precedenza, si osserva che,
nell’ipotesi di assenza della trasmissione, viene a mancare il termine relativo alla potenza perduta Wp ,
ed inoltre che, per effetto del fatto che i momenti ridotti di inerzia del motore e dell’utilizzatore sono
funzione della posizione angolare dell’albero ϑm (la quale, a sua volta, `e funzione del tempo), la derivata
dell’energia cinetica assume la forma:
∗
dEc
(ϑm ) + Jr∗ (ϑm )) 3
dEcm
dEcr
1 d (Jm
∗
=
+
= (Jm
(ϑm ) + Jr∗ (ϑm )) ωm ω˙ m +
ωm
dt
dt
dt
2
dϑm
(8.110)
in cui si `e tenuto conto del fatto che:
dϑm
= ωm
dt
(8.111)
∗
ed i momenti d’inerzia associati al motore (Jm
) e al carico resistente (Jr∗ ) sono stati entrambi ridotti alla
rotazione ωm dell’albero motore.
Sostituendo queste espressioni nella equazione di bilancio di potenze si ottiene:
∗
∗
Mm
(ϑm , ωm ) + Mr∗ (ϑm , ωm ) = (Jm
(ϑm ) + Jr∗ (ϑm )) ω˙ m +
∗
+ Jr∗ ) 2
1 d(Jm
ωm
2
dϑm
ed, esplicitando rispetto alla accelerazione angolare dell’albero:
!
∗
1 dJm
dJr∗
∗
∗
2
Mm (ϑm , ωm ) + Mr (ϑm , ωm ) −
ωm
+
2 dϑm dϑm
ω˙ m =
∗ (ϑ ) + J ∗ (ϑ )
Jm
m
m
r
(8.112)
(8.113)
∗
in cui anche la coppia motrice Mm
e quella resistente Mr∗ sono state ridotte alla rotazione ωm dell’albero
motore.
8.3.2
Funzionamento in regime periodico: irregolarit`
a periodica
Per una macchina retta da una equazione di moto avente la forma (8.113) non `e possibile determinare
una condizione di funzionamento in regime assoluto. Infatti, per avere una condizione di regime assoluto
sarebbe necessario che, in ogni istante del funzionamento, le derivate dei momenti di inerzia associati
alle parti motrice e resistente della macchina si annullassero, cos`ı come le coppie motrice e resistente.
Infatti se si impone la condizione di regime assoluto:
dEc
=0
dt
(8.114)
si ottiene l’equazione:
∗
Mm
(ϑm , ωm ) + Mr∗ (ϑm , ωm ) = 0
(8.115)
Tale equazione pu`
o risultare soddisfatta in particolari istanti del funzionamento della macchina, in cui
occasionalmente il momento motore ed il momento resistente assumono valori opposti, ma non pu`
o essere
soddisfatta identicamente per qualsiasi valore del tempo, perch´e i due momenti agenti sull’albero motore
dipendono secondo espressioni diverse dalla posizione angolare dell’albero.
8-20
E’ per`
o possibile imporre che l’andamento dell’energia cinetica, pur non risultando esattamente
costante nel tempo, sia periodico con periodo T :
Ec (t + T ) − Ec (t) =
Z
t+T
t
dEc
dt = 0
dt
(8.116)
Ci`
o significa che nel proprio moto la macchina subir`
a una periodica alternanza di fasi di accelerazione
e di decelerazione, tali per`
o da compensarsi a vicenda, in modo che la velocit`
a media della macchina
(anch’essa da valutarsi sul periodo T ) non cambi.
Se si integra l’equazione (8.4) di bilancio delle potenze tra il generico tempo t ed il tempo t + T e si
impone la condizione (8.116) si ottiene:
Z
t+T
∗
(Mm
t
+
Mr∗ ) ωm dt
=
Z
t+T
t
dEc
dt = 0
dt
(8.117)
si osservi poi che:
ωm =
dϑm
⇒ ωm dt = dϑm
dt
(8.118)
e si ponga:
ϑ = ϑm (t)
(8.119)
Θ = ϑm (T + t) − ϑm (t)
(8.120)
si osservi che Θ rappresenta l’angolo di cui l’albero motore ruota in un periodo T . Inserendo tali relazioni
nell’integrale calcolato in precedenza nella (8.117) si ottiene:
Z
ϑ+Θ
ϑ
∗
(Mm
+ Mr∗ ) dϑm = 0
(8.121)
tale equazione mostra che la macchina funziona in regime periodico se l’integrale esteso al periodo della
somma del momento motore e del momento resistente si annulla, ovvero se i valori medi nel periodo dei
due momenti sono uguali ed opposti:
Z
ϑ+Θ
ϑ
∗
Mm
dϑm = −
Z
ϑ+Θ
ϑ
Mr∗ dϑm
(8.122)
Una funzione periodica continua e regolare7 pu`
o presentare in un periodo un numero arbitrario di
minimi e massimi relativi per i quali si annulla la derivata prima; tra questi devono necessariamente
essere compresi un massimo ed un minimo assoluti, che sono rispettivamente i valori pi`
u grande e pi`
u
piccolo assunti dalla funzione nel periodo.
In un moto periodico anche l’energia cinetica `e una funzione periodica del tempo; in presenza di
sollecitazioni a scalino8 la velocit`
a non `e pi`
u regolare ma rimane continua; in presenza di sollecitazioni
impulsive9 la velocit`
a non `e pi`
u neppure continua, ma presenta a sua volta un salto. In ogni caso, in un
periodo, `e sempre possibile individuare almeno un massimo ed un minimo assoluti di valore finito; nei
punti di massimo e di minimo si hanno le condizioni di energia cinetica massima e minima. Si consideri,
per semplicit`
a espositiva, un sistema per il quale il momento d’inerzia totale ridotto all’albero motore
sia costante; per esso, il minimo ed il massimo dell’energia cinetica corrispondono con il minimo ed il
massimo della velocit`
a angolare.
7 Ovvero
una funzione la cui derivata prima `
e anch’essa continua.
sollecitazioni che variano bruscamente nel tempo, soggette a discontinuit`
a con “salto”.
9 Ovvero sollecitazioni di durata molto breve, idealmente infinitesima, ma il cui integrale nel tempo sia finito, e quindi
di ampiezza molto elevata, idealmente infinita.
8 Ovvero
8-21
Si consideri ora l’integrale della potenza delle forze d’inerzia dall’istante tωmin , in cui si ha il minimo
a raggiunge il suo valore massimo
della velocit`
a, all’istante tωmax , in cui la velocit`
t
∆Ltωωmax =
min
=
=
Z
Z
ϑωmax
ϑωmin
tωmax
tω
Z ωmin
max
∗
(Mm
+ Mr∗ ) dϑ
J ∗ ω ω˙ dt
J ∗ ω dω
ωmin
1
2
2
= J ∗ ωmax
− ωmin
2
1
= J ∗ (ωmax + ωmin ) (ωmax − ωmin )
2
= J ∗ ωmed (ωmax − ωmin )
(8.123)
dove si `e introdotta la velocit`
a media ωmed come la media aritmetica tra le velocit`
a massima e minima
ωmed =
ωmax + ωmin
2
(8.124)
L’integrale (8.123) rappresenta il lavoro compiuto dalle sollecitazioni attive a cui `e soggetto il sistema
durante il transitorio che porta dalla velocit`
a minima a quella massima; esso `e uguale ed opposto al
lavoro assorbito durante il transitorio successivo dalla velocit`
a massima alla minima, e quindi entrambi
rappresentano una misura della variabilit`a delle coppie in gioco durante un periodo.
Spesso, un problema tecnico presentato dalle macchine che operano in regime periodico consiste nel
limitare le oscillazioni di velocit`
a che la macchina subisce nel suo periodo di funzionamento. L’entit`a
delle oscillazioni di velocit`
a pu`
o essere quantificata per mezzo di un parametro adimensionale i, detto
grado di irregolarit`
a periodica e definito come
i=
ωmax − ωmin
ωmed
(8.125)
Si ricavi la variazione di velocit`
a dalla (8.123) e la si sostituisca nella (8.125):
i=
∆Lttmax
min
2
J ∗ ωmed
(8.126)
La (8.126) mostra come, a pari variabilit`a delle forze attive sul periodo e a pari velocit`
a media di
funzionamento, l’aumento dell’inerzia ridotta J ∗ abbia l’effetto di limitare l’irregolarit`a periodica della
macchina. A tal fine viene di norma aggiunto un volano, il cui momento di inerzia pu`
o essere determinato
per mezzo di metodi approssimati come quello sopra esposto.
Si consideri, ora, un sistema in cui sia rimossa l’ipotesi di costanza del momento d’inerzia ridotto
all’albero motore, ma in cui sia presente un volano di inerzia Jv ; le coppie d’inerzia a meno di quelle del
volano si considerino parte della sollecitazione attiva:
1 dJ ∗ 2
∗
∗
∗
Jv ω ω˙ = Mm + Mr − J ω˙ −
(8.127)
ω ω
2 dt
tmax
L’integrale del secondo membro della (8.127) tra tmin e tmax rappresenta ora il lavoro ∆Ltmin delle forze
complessive agenti sul sistema, incluso l’effetto moderatore dell’irregolarit`
a periodica operato dall’inerzia
del sistema stesso. In analogia con la (8.123) si ottiene:
Z ϑmax 1 dJ ∗ 2
tmax
∗
∗
∗
∆Ltmin =
dϑ
ω
Mm + Mr − J ω˙ −
2 dt
ϑmin
2
= Jv ωmed
i
(8.128)
8-22
e quindi si ricava un utile criterio per il dimensionamento di un ulteriore volano, ai fini del contenimento
dell’irregolarit`
a periodica.
L’integrazione numerica delle equazioni di moto della macchina in regime periodico pu`
o essere utilizzata, ad esempio, per verificare a posteriori la correttezza del dimensionamento del volano, in quanto
rende possibile valutare l’effettiva irregolarit`
a della macchina con volano montato, prescindendo dalle
ipotesi semplificative che stanno alla base delle metodologie utilizzate nel dimensionamento di questo
componente.
Inoltre l’integrazione numerica delle equazioni di moto pu`
o essere utilizzata per valutare le componenti
armoniche del momento torcente che viene applicato all’albero motore durante il funzionamento della
macchina, e fornisce quindi la base per lo studio delle vibrazioni torsionali della macchina stessa. Questo
argomento verr`
a ripreso nel seguito del corso.
8.3.3
Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna
Nel capitolo 3 `e stato illustrato il funzionamento del motore alternativo a combustione interna. Dal
diagramma di figura 3.9 `e evidente come la potenza delle varie fasi abbia non solo valore, ma anche segno
diverso: durante la fase di compressione, il fluido riceve lavoro dal pistone, che, dal punto di vista della
macchina, risulta quindi assorbito, mentre, durante la fase di espansione, il lavoro viene restituito dal
fluido alla macchina; in pi`
u, durante tutte le fasi, la macchina deve vincere attriti ed altre resistenze. La
coppia fornita dal motore `e quindi fortemente variabile su di un ciclo che, per un motore monocilindrico
a 4 tempi, `e costituito da due giri completi, ovvero Θ = 4π, ed `e tipicamente positiva solo per circa un
quarto del periodo, ovvero π, durante la fase di espansione a seguito della combustione.
Un’altra fonte di periodicit`
a nel moto di questo tipo di macchina `e legata alla dipendenza dell’inerzia
ridotta all’albero motore dalla posizione angolare dell’albero stesso, come illustrato dall’equazione (3.57).
8.3.4
Esempio applicativo: pompa a stantuffo
Si tratta di un meccanismo cinematicamente analogo al motore alternativo a combustione interna, ovvero
di un manovellismo ordinario che spinge un pistone, il quale a sua volta, in prima approssimazione, aspira
un fluido a pressione Pa ragionevolmente costante durante la fase di discesa, e lo espelle a pressione Ps
di nuovo ragionevolmente costante durante la fase di risalita.
Nelle ipotesi fatte, e considerando costante la coppia Cm fornita dal motore, `e relativamente agevole
calcolare il lavoro su un periodo, pari ad un giro e quindi a 2π, che `e dato da
∆L2π
0
=
Z
2π
0
dc
Ap P
Cm −
dϑ
dϑ
= 2πCm − Ap (cmax − cmin ) (Ps − Pa )
=0
(8.129)
dove si `e posta c = c (ϑ) la corsa del pistone, e si `e sfruttato il fatto che la pressione `e costante durante
le fasi di aspirazione ed espulsione, e quindi
Z
π
0
dc
dϑ = (cmax − cmin )
dϑ
(8.130)
Il diverso segno tra le pressioni Pa e Ps `e dovuto al fatto che durante l’aspirazione lo stantuffo scende
e quindi il gas compie lavoro positivo, mentre durante l’espulsione il pistone sale e quindi il gas compie
lavoro negativo, ovvero assorbe lavoro dalla macchina.
Dalla (8.129) si ricava la coppia motrice necessaria a mantenere la condizione di moto periodico
Cm =
1
Ap (cmax − cmin ) (Ps − Pa )
2π
(8.131)
8-23
8.3.5
Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua
Nel Capitolo 9 viene illustrato l’azionamento elettromeccanico in corrente continua. In tale sistema, la
coppia erogata, ancorch´e in genere ritenuta costante ad una data velocit`
a di rotazione, risulta in realt`a
periodica. Si rimanda a tale capitolo per una discussione pi`
u estesa della natura di questa periodicit`a e
per una breve illustrazione del regime periodico.
8-24
Capitolo 9
Azionamento elettromeccanico in
corrente continua
Prediction is very difficult,
especially if it’s about the future.
Niels Bohr
Generato il 23 ottobre 2014
9.1
Introduzione
In questo capitolo viene presentato un semplice esempio di azionamento elettromeccanico: il motore elettrico in corrente continua. Questo esempio viene usato per illustrare in generale i principi dell’attuazione
elettromeccanica, in quanto consente, attraverso l’utilizzo di semplici nozioni di elettromagnetismo, di
descrivere in modo completo ed efficace un sistema multidisciplinare, in cui la potenza elettrica viene
trasformata in potenza meccanica1 . Dallo studio di questo semplice modello si passa poi allo studio in
generale della stabilit`
a dei sistemi in cui un motore viene accoppiato ad un utilizzatore.
9.2
Motore elettrico in corrente continua
Il motore elettrico in corrente continua `e costituito da una parte rotante, detta rotore, che ruota rispetto
ad una cassa, detta statore, nella quale `e presente un campo magnetico idealmente uniforme. La presenza
di spire sul rotore fa s`ı che si generi tra rotore e statore una coppia in funzione della corrente circolante
nelle spire, mentre la velocit`
a di rotazione relativa fra rotore e statore fa s`ı che si generi un campo elettrico
indotto lungo le spire.
Il principio di funzionamento `e illustrato in figura 9.1; la figura 9.2 mostra invece uno schema
costruttivo del rotore.
9.2.1
Considerazioni generali
~ agisce una forza
Su una carica elettrica q in moto con velocit`
a ~v in un campo magnetico uniforme B
~
F~ = q~v ∧ B,
(9.1)
detta forza di Lorentz. Se al posto della carica q con velocit`
a ~v si considera una corrente i = dq/dt che
scorre lungo un conduttore rettilineo di lunghezza L, al posto di q~v si pu`
o sostituire L~i, ove ~i `e il vettore
1 O,
viceversa, la potenza meccanica viene trasformata in potenza elettrica, come nei generatori di corrente.
9-1
Figura 9.1: Principio di funzionamento del motore in corrente continua.
Figura 9.2: Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua.
9-2
che esprime la corrente i lungo la direzione del conduttore, supposta fissata. La forza F~ che agisce su un
~ `e quindi
conduttore rettilineo di lunghezza L posto in un campo magnetico uniforme B
~
F~ = L~i ∧ B,
(9.2)
~ e dal vettore corrente ~i.
ed `e perpendicolare al piano individuato dal flusso magnetico B
~ sul
Analogamente, se un conduttore viene mosso con velocit`
a ~v all’interno di un campo magnetico B,
conduttore viene indotto un campo elettrico
~ =B
~ ∧ ~v
E
(9.3)
a cui corrisponde, sulla lunghezza L del conduttore supposto rettilineo, una differenza di potenziale
Z
Z ~ ∧ ~v × d~l = −L
~× B
~ × d~l = −
~ ∧ ~v
∆V = − E
B
(9.4)
~ `e la lunghezza “orientata” del conduttore).
tra i due capi del conduttore (L
9.2.2
Architettura generale
La realizzazione di una macchina elettrica in corrente continua prevede pertanto che il conduttore venga
~ realizzato mediante magneti permanenti o in altermesso in moto all’interno di un campo magnetico B
nativa mediante un circuito di induzione. Il motore in c.c. `e costituito da un rotore e da uno statore:
nello statore `e presente un sistema di magneti permanenti (motore a magneti permanenti) oppure una
serie di avvolgimenti percorsi da una corrente di eccitazione (motori a campo avvolto) che generano un
campo magnetico fisso nello spazio, idealmente uniforme e costante nel tempo, entro cui si muove il
rotore. Quest’ultimo `e costituito da un albero sulla cui periferia `e presente un avvolgimento formato da
una serie di conduttori (avvolgimento di armatura), diretti lungo l’asse dell’albero in modo da formare
delle spire che quindi si trovano a ruotare all’interno del campo magnetico.
Tale avvolgimento `e munito di numerose prese equidistanti connesse ad un cilindro costituito da tante
lamelle, isolate tra loro, su cui poggiano le spazzole che costituiscono il collegamento elettrico (strisciante)
tra rotore e statore. I motori a magneti permanenti, cos`ı come quelli a campo avvolto se la corrente di
eccitazione `e mantenuta costante, vengono regolati attraverso la tensione di armatura ea ; naturalmente
esistono altri modi per comandare un motore in c.c., ad esempio attraverso la corrente di armatura ia .
Quando il rotore si muove all’interno del campo magnetico, su di esso si manifestano due fenomeni,
uno elettrico e uno meccanico. Si consideri, in un sistema di riferimento cartesiano, l’asse del rotore
~ diretto come x.
diretto come z, e il campo magnetico B
9.2.3
Forza elettromotrice indotta
Per effetto della velocit`
a di rotazione ω
~ del rotore, i lati della spira diretti come l’asse del rotore si
muovono nel campo magnetico con velocit`
a
~
~v = ω
~ ∧R
(9.5)
proporzionale a ω e diretta perpendicolarmente alla posizione radiale del conduttore.
L’equazione (9.4) applicata ad uno dei lati della spira diretti come l’asse del rotore diventa
~× B
~∧ ω
~
∆Vb∗ = −L
~ ∧R
(9.6)
e quindi, per costruzione, la differenza di potenziale indotta `e sempre diretta come l’asse di rotazione, z,
e ha forma cosinusoidale:
∆Vb∗ = −LRBω cos θ
(9.7)
˙
avendo preso la direzione del campo magnetico come riferimento per l’angolo θ, ove ω = θ.
9-3
Si noti che la forza elettromotrice indotta sui lati della spira diretti radialmente `e nulla in quanto
il campo elettrico indotto corrispondente `e parallelo all’asse di rotazione, z, e quindi perpendicolare al
conduttore stesso.
La forza elettromotrice indotta complessivamente sulla singola spira `e quindi due volte quella fornita
dalla (9.7)
∆Vb∗∗ = −2LRBω cos θ.
(9.8)
Allo stesso risultato si pu`
o giungere a partire dalla definizione della tensione indotta su una spira per
effetto della variazione del flusso magnetico Φ attraverso la spira stessa,
∆Vb∗∗ = −
dΦ
.
dt
(9.9)
Nel caso in esame il flusso `e
~ ×A
~ = 2LRB sin θ,
Φ=B
(9.10)
in quanto la normale ~n dell’area A = 2RL `e inclinata dell’angolo θ −π/2 rispetto alla direzione del campo
~ La variazione del flusso Φ `e legata alla variazione di area efficace a seguito della rotazione
magnetico B.
della spira; si ha quindi
dΦ
= 2LRBω cos θ,
dt
(9.11)
da cui la relazione (9.8).
9.2.4
Coppia motrice
La forza che si esercita su uno dei lati della singola spira diretti come l’asse del rotore per effetto della
corrente di armatura fornisce al rotore una coppia
~∗ = R
~ ∧ L~i ∧ B
~
C
(9.12)
che `e diretta, per costruzione, come l’asse del rotore, e varia cosinusoidalmente con la posizione angolare
del rotore
C ∗ = LRBi cos θ
(9.13)
Anche in questo caso, si noti che la forza che nasce sui lati della spira diretti radialmente non partecipa
alla coppia applicata al rotore, in quanto sempre diretta come l’asse di rotazione, z.
La coppia totale che si esercita sul rotore per effetto dell’intera spira `e quindi
C ∗∗ = 2LRBi cos θ
9.2.5
(9.14)
Contatti striscianti
Dalle (9.8) e (9.14) si evince che la forza elettromotrice indotta, come pure la coppia, sono mediamente
nulle su un giro. Tuttavia, considerando ad esempio la coppia, se all’atto del passare da positiva a
negativa si inverte la polarit`
a dei contatti agli estremi della spira, invertendo cos`ı il segno della corrente,
ovvero si fa in modo che a valle dei contatti striscianti la corrente sia
i = ia sign (cos θ)
(9.15)
si ottiene una coppia
C = 2LRBia |cos θ|
(9.16)
9-4
1
0.9
0.8
2/π
C, eb [adim]
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
N=1
N=3
N=7
N=15
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
θ [giri]
0.6
0.8
1
Figura 9.3: Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore
elettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N ; il valore fornito dalla singola spira tende rapidamente
al valor medio 2/π, pari a circa 0.63662.
il cui valore medio `e
Z 2π
1
4
C=
C dθ = LRBi
2π 0
π
(9.17)
ove da qui in avanti si omette il pedice a dalla corrente a monte dei contatti striscianti.
La funzione che descrive la dipendenza della coppia dall’angolo θ `e tutt’altro che costante e regolare;
tuttavia, se si considera l’insieme delle spire, sfasate in modo da distribuire con uniformit`a i massimi e le
cuspidi di |cos θ|, si ottiene una funzione caratterizzata da un valore medio pari a N volte la coppia (9.17)
4
Cm = N LRBi
π
(9.18)
e da una piccola irregolarit`
a con frequenza pari ad un multiplo della velocit`
a di rotazione legato al numero
delle spire, N , come illustrato in figura 9.3.
In modo analogo si ottiene che la forza elettromotrice indotta, in presenza di contatti striscianti che
invertono la polarit`
a ogni mezzo giro, `e data dalla relazione
∆Vb = −2LRBω |cos θ|
(9.19)
il cui valore medio `e
Z 2π
1
4
∆V b = −
∆Vb dθ = − LRBω
2π 0
π
(9.20)
mentre la forza elettromotrice indotta media associata a tutte le spire `e pari a N volte la (9.20)
4
eb = −N LRBω
π
(9.21)
Sia la coppia che la forza elettromotrice indotta presentano quindi un andamento sul giro che `e
sostanzialmente costante, con piccole perturbazioni a frequenza pari a 2N la velocit`
a di rotazione. Questo
disturbo va sotto il nome di ripple; ove necessario, pu`
o essere tenuto in conto usando le tecniche illustrate
nel paragrafo 8.3 per il moto in regime periodico.
9-5
Le spazzole possono essere sostituite, in motori moderni, da circuiti di commutazione della tensione
che consentono di realizzare la funzionalit`
a desiderata evitando la complessit`a meccanica e i problemi di
usura e di manutenzione associati alla soluzione tradizionale. Questi motori sono detti brushless, ovvero
senza spazzole.
9.2.6
Potenza elettromeccanica
La potenza meccanica associata al motore `e data dal prodotto tra la coppia fornita dal motore e la
velocit`
a angolare che si sviluppano tra rotore e statore
4
Πm = Cm ω = N LRBiω
π
(9.22)
ed `e positiva, in quanto `e generata dal motore.
La potenza elettrica associata al motore `e data dal prodotto tra la forza elettromotrice indotta dal
movimento del rotore all’interno del campo magnetico dello statore, e la corrente che percorre le spire
4
Πe = eb i = −N LRBωi
π
(9.23)
ed `e negativa in quanto `e assorbita dal motore.
Le due potenze sono uguali ed opposte; questo significa che in un bilancio di potenza non partecipano,
in quanto dal punto di vista elettromeccanico, ovvero, per quanto concerne il solo fenomeno dell’induzione
elettromagnetica, il motore trasforma potenza, ma non ne genera e neppure ne dissipa.
Ne consegue che la coppia fornita dal motore pu`
o essere espressa come
Cm = Ki
(9.24)
mentre la forza elettromotrice esercitata dal rotore sul circuito di alimentazione pu`
o essere espressa come
eb = −Kω
(9.25)
mediante la stessa caratteristica K, che nei motori a magneti permanenti `e costante, mentre in quelli avvolti `e proporzionale al flusso magnetico generato dagli avvolgimenti sullo statore, il quale `e proporzionale
a sua volta alla corrente di eccitazione.
9.2.7
Modello elettrodinamico del motore in c.c.
La prima caratteristica da considerare in un motore `e la sua impedenza elettrica. La miglior via di
determinazione `e sperimentale, mediante una sua identificazione: fissato il rotore e applicando al motore
una tensione armonica a frequenza variabile, `e possibile misurare la corrente risultante e determinare la
caratteristica tra corrente e tensione. Il circuito elettrico equivalente risulta formato da una resistenza
in serie ad un sistema di resistenza e induttanza in parallelo tra loro, secondo lo schema riportato in
figura 9.4.
In tale sistema, Ra e La rappresentano rispettivamente la resistenza e l’induttanza dell’armatura,
mentre ea ed ia sono la tensione e la corrente di armatura. La resistenza Ra dell’armatura esprime
la resistenza elettrica che l’insieme delle spire esercita sulla corrente di armatura ia . L’induttanza La
dell’armatura esprime l’effetto di autoinduzione elettromagnetica che le spire esercitano su se stesse. La
presenza della resistenza RL viene spiegata attraverso le perdite nel circuito magnetico2 : tale valore RL si
presenta molto maggiore del corrispondente Ra (5-10 volte), ritenendo pertanto il suo effetto trascurabile,
in quanto, a bassa frequenza, la corrente che passa per la resistenza RL `e minima.
2 A cavallo di due elementi in parallelo si ha la stessa differenza di potenziale, mentre la corrente complessiva si ripartisce
tra i due componenti. Nel caso in esame, i due componenti hanno caratteristiche dinamiche differenti: il resistore `
e percorso
da una corrente
iR =
∆V
RL
(9.26)
9-6
Figura 9.4: Il modello del motore in corrente continua
Figura 9.5: Il modello essenziale del motore in corrente continua
Il circuito elettrico equivalente diventa pertanto come in figura 9.5 ed `e pertanto possibile scrivere
l’equazione di chiusura della maglia (annullamento delle tensioni sulla maglia) per l’avvolgimento rotorico
La
dia
+ R a ia − eb = ea
dt
(9.28)
dove la forza controelettromotrice eb risulta proporzionale alla velocit`
a angolare del rotore stesso, come
indicato nella (9.25).
Nei motori a magneti permanenti il controllo in genere si ottiene variando la tensione di alimentazione
ea . Nei motori ad avvolgimento, come ulteriore parametro di controllo si dispone anche della tensione di
alimentazione degli avvolgimenti, la quale fa variare K.
mentre l’induttore `
e percorso da una corrente che, nel dominio delle frequenze, si esprime come
∆V
(9.27)
jΩLa
Ne consegue che, in condizioni stazionarie, ovvero per i costante e Ω = 0, la differenza di potenziale sar`
a nulla e quindi la
corrente passer`
a tutta per l’induttanza, mentre a frequenza Ω tendente ad infinito la corrente passer`
a tutta per la resistenza.
Per valori finiti di frequenza, la corrente si ripartisce tra i due rami, privilegiando la resistenza via via che la frequenza
cresce. In conclusione:
iL =
• considerare infinita la resistenza RL significa privilegiare il comportamento “lento” del circuito, ovvero considerarne
un’approssimazione statica;
• la resistenza RL non ha un significato fisico preciso; serve a descrivere l’evidenza sperimentale che ad alta frequenza,
quando nel modello sopra indicato una frazione via via pi`
u rilevante della corrente si trova a passare per la resistenza
anzich´
e per l’induttanza, si manifesta una dissipazione di potenza via via maggiore nel circuito.
9-7
Figura 9.6: Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di
alimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata da un generico
utilizzatore, cambiata di segno.
9.2.8
Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c.
Si consideri l’equazione (9.28) del motore elettrico in condizioni di regime; in questo caso, da essa `e
possibile esplicitare la corrente elettrica
ia =
ea − Kω
Ra
(9.29)
che, sostituita nella (9.24), consente di esprimere la dipendenza della coppia dalla velocit`
a angolare del
motore
Cm =
K2
K
ea −
ω
Ra
Ra
(9.30)
detta anche curva di funzionamento. Essa ha andamento rettilineo, con pendenza negativa; pu`
o essere
traslata verticalmente variando la tensione di alimentazione ea , come illustrato in figura 9.6.
La potenza elettrica che occorre fornire al motore `e
Πentrante = ea ia
(9.31)
che, in condizioni di regime, ovvero per corrente ia costante, a partire dalla (9.28), diventa
Πentrante = Ra i2a + Kωia
(9.32)
La potenza uscente, sotto forma di potenza meccanica, `e data da
Πuscente = −Cm ω
(9.33)
ovvero, mediante la (9.24)
Πuscente = −Kia ω
(9.34)
Ne risulta un rendimento
η=−
Πuscente
=
Πentrante
1
R a ia
1+
Kω
(9.35)
9-8
Figura 9.7: Un carico inerziale
che dipende da corrente e velocit`
a angolare. Si noti che il rendimento va a zero nel momento in cui la
coppia, e quindi la corrente, non `e nulla ma si annulla la velocit`
a angolare, e quindi il motore, fermo, deve
sostenere un carico. Inoltre, il rendimento `e minore di 1 ogni qual volta ci sia corrente, e quindi coppia;
la riduzione del rendimento `e di natura puramente elettrica, ed `e legato alla differenza di potenziale che
esprime la dissipazione ohmica nel conduttore, descritta dal termine Ra ia , e al suo rapporto con la forza
elettromotrice indotta, Kω.
9.3
L’azionamento in corrente continua
Si consideri un sistema costituito da un motore in c.c. con un carico inerziale illustrato in figura 9.7. In
questa fase si vuole giungere alla scrittura delle equazioni di moto facendo alcuni cenni alla regolazione
di tale sistema.
Il sistema in esame `e pertanto costituito da una massa m all’estremit`a di una trave priva di massa e
schematizzabile come un corpo rigido di lunghezza L.
L’altro estremo della trave `e vincolato tramite una cerniera in modo tale essa possa compiere un
moto rotatorio nel piano orizzontale. Supponendo che gli attriti che si sviluppano nella cerniera siano
rappresentabili con uno smorzatore di tipo viscoso, nascer`a una coppia resistente proporzionale alla
velocit`
a di rotazione della trave tramite il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente rt .
` possibile scrivere l’equazione di moto del sistema tenendo conto dell’inerzia del motore Jm e del
E
carico ridotto all’albero motore Jr = ml2 e di inevitabili dissipazioni introdotte nel modello attraverso il
termine proporzionale alla velocit`
a:
(Jm + Jr ) θ¨ + rt θ˙ = C.
(9.36)
Ricordando l’espressione della coppia motrice (9.24) e le (9.28) e (9.25), si ottiene il sistema di
equazioni:

 J θ¨ + rt θ˙ − Kia = 0
(9.37)
di
 La a + Ra ia + K θ˙ = ea
dt
dove con J si `e indicata l’inerzia totale, comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del carico.
Il sistema di equazioni descrive pertanto la dinamica del sistema; si nota come la dinamica delle
variabili di stato caratteristiche del motore sono mutuamente influenzate con le grandezze di stato
caratteristiche della meccanica.
In conclusione si vuole illustrare come spesso anche le discipline legate al controllo e all’automatica
diventino parte integrante della modellazione dinamica.
Si pensi infatti di voler portare il sistema in una posizione desiderata o di riferimento θrif (controllo
in posizione). L’azione della coppia motrice C = Kia deve essere cos`ı regolata in modo da minimizzare
la differenza tra la posizione angolare θ e quella di riferimento θrif .
9-9
Cr
C(s)
ea
+
G(s)
+
θ
Figura 9.8: Schema a blocchi del sistema in anello aperto
9.3.1
Controllo in tensione
Essendo il motore l’organo di attuazione, la regolazione avviene tramite la tensione ea di alimentazione
che potr`a assumere, ad esempio, la forma:
ea = Kp (θrif − θ)
(9.38)
in caso di semplice controllo proporzionale, o
Z t
ea = Kp (θrif − θ) + Ki
(θrif − θ) dt
(9.39)
t0
in caso di controllo proporzionale ed integrale.
Risposta in anello aperto. Si usi la trasformata di Laplace per esprimere la perturbazione di
rotazione θ in funzione delle perturbazioni di tensione di alimentazione ea e di coppia dell’utilizzatore
Cr ,
(sL + R) ia + sKθ = ea
s2 J + srt θ − Kia = Cr .
(9.40a)
(9.40b)
Tipicamente Cr < 0 quando il funzionamento `e diretto. Esplicitando la corrente ia dalla (9.40a) e
sostituendola nella (9.40b) si ottiene
s s2 La J + s (Ra J + La rt ) + Ra rt + K 2 θ = Kea + (sLa + Ra ) Cr ,
(9.41)
da cui
θ=
K
1
ea
s (s2 La J + s (Ra J + La rt ) + (Ra rt + K 2 ))
{z
}
|
(9.42)
G(s)
1
(sLa + Ra )
+
Cr .
2
s (s La J + s (Ra J + La rt ) + (Ra rt + K 2 ))
{z
}
|
(9.43)
C(s)
La figura 9.8 mostra lo schema a blocchi del sistema in anello aperto.
La funzione di trasferimento del sistema in anello aperto G(s) ha un polo nell’origine e altri due poli,
tipicamente reali negativi e ben separati:
v
!2
u
Ra J + La rt
Ra rt + K 2
Ra J + La rt u
t
−
s = p1|2 = −
±
,
(9.44)
2La J
2La J
La J
di cui quello a pi`
u alta frequenza associato alla dinamica della parte elettrica, e quello a pi`
u bassa
frequenza associato alla dinamica della parte meccanica.
9-10
dB
deg
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
open loop
1
10
1
10
100
1000
100
1000
-90
-120
-150
-180
-210
-240
-270
ω
Figura 9.9: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico in
c.c.
Occorre notare che non `e stata specificata la natura della coppia dell’utilizzatore; qualora essa presentasse una significativa dipendenza dall’angolo θ o dalle sue derivate potrebbe modificare anche sostanzialmente la natura del sistema. Per questo motivo la regolazione di un sistema dinamico da una parte
richiede una conoscenza il pi`
u possibile dettagliata della natura del sistema, mentre dall’altra deve essere
il pi`
u possibile robusta per comportarsi adeguatamente anche in presenza di incertezze sul modello.
Controllo proporzionale.
Il sistema di equazioni da risolvere, a partire dalla (9.37), diventa
J θ¨ + rt θ˙ − Ki = 0
La
(9.45a)
dia
+ Ra ia + K θ˙ = −Kp (θ − θrif )
dt
(9.45b)
Quest’ultimo costituisce un sistema controllato in anello chiuso con una retroazione proporzionale all’errore angolare. L’obiettivo del controllo `e quello di fare in modo che la rotazione del braccio θ (t) segua
al meglio l’andamento desiderato θrif (t) (controllo in posizione).
In questo esempio la grandezza in ingresso `e la rotazione di riferimento del braccio θrif (t), mentre la
grandezza in uscita `e la rotazione effettiva del braccio stesso, θ (t).
La presenza del termine di controllo proporzionale fa s`ı che la tensione di alimentazione vari in modo
da garantire una coppia che si oppone all’errore di posizionamento. Tuttavia, in presenza di coppia
resistente non nulla, perch´e nasca una coppia del motore che contrasti l’errore occorre che l’errore sia
non nullo, e tanto pi`
u grande quanto pi`
u piccolo `e il coefficiente di guadagno Kp . Aumentare il guadagno
Kp riduce l’errore ma non lo pu`
o annullare. Inoltre, un aumento eccessivo porta conseguenze negative
sulla stabilit`
a del sistema controllato.
La funzione di trasferimento in anello aperto
G(s) =
K
1
,
s (s2 La J + s (Ra J + La rt ) + (Ra rt + K 2 ))
(9.46)
illustrata in Figura 9.9 (a titolo di esempio, La = 10−4 , J = 0.1, K = 0.1, Ra = 0.01 e rt = 0), esprime
la rotazione θ del motore in funzione della tensione di alimentazione ea .
Con riferimento allo schema a blocchi del sistema retroazionato di figura 9.10, il controllo proporzionale consiste nel progettare il regolatore R(s), che concorre a formare la funzione d’anello del
9-11
Cr
C(s)
θrif +
ea
R(s)
G(s)
+
+
θ
−
Figura 9.10: Schema a blocchi del sistema in anello chiuso
sistema regolato L(s) = R(s)G(s), nel modo pi`
u semplice possibile, in base solamente ad un progetto
statico. Con i metodi dell’automatica, si ipotizzi infatti di realizzare un regolatore R(s) = R1 (s)R2 (s),
ove R1 (s) = s−gR µR viene progettato staticamente, mentre R2 (s) `e una funzione polinomiale razionale
che garantisca la stabilit`
a del sistema controllato. Nel caso del controllo proporzionale, si sceglie a priori
gR = 0 e R2 (s) = 1, nell’ipotesi di poter ottenere le prestazioni desiderate contestualmente alla stabilit`
a
del sistema agendo soltanto sul guadagno µR = Kp . La funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) diventa quindi
L(s) = Kp G(s), il che corrisponde a traslare verticalmente la curva del modulo della funzione G(s) nel
diagramma di Bode senza modificarne la fase.
Siccome il sistema ha un polo nell’origine, a bassa frequenza la fase `e −90 gradi. Quando la frequenza
si avvicina al polo non nell’origine pi`
u piccolo in modulo, o polo dominante, la fase tende a −180 gradi.
Siccome secondo il criterio di Bode occorre che l’attraversamento dell’asse a 0 dB avvenga quando la fase
`e sufficientemente in anticipo rispetto a −180 gradi, esso deve avvenire a frequenza inferiore a quella del
polo dominante.
Sia ωc la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale 0 dB (frequenza di crossover ); sia
ω la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale −3 dB, in modo da avere un certo margine
rispetto a ωc . Se si approssima la funzione di trasferimento del sistema con il solo polo dominante, in
aggiunta a quello nell’origine,
si ha una fase di −120 gradi, che garantisce un margine di fase di 60 gradi,
√
quando ωc = −p1 / 3. Allora L(jω), per ω < ωc , vale circa
L(jω) ∼
=
1
Kp K
.
jω Ra rt + K 2
(9.47)
Imponendo che 20 log10 (kL(jω)k) = −3 dB si ricava
Kp = 10−3/20 ω
Ra rt + K 2 ∼
Ra rt + K 2
.
= 0.7 ω
K
K
(9.48)
Questo valore rappresenta il limite superiore al guadagno che garantisce la stabilit`
a con un semplice
controllo proporzionale. Occorre notare che un controllo di questo tipo non `e necessariamente robusto,
n´e rende il sistema particolarmente performante, in quanto non consente di aumentare sensibilmente il
guadagno a bassa frequenza.
Esercizio 9.1 Si calcolino il margine di fase e di guadagno della funzione di trasferimento (9.46).
Esercizio 9.2 Si verifichi la robustezza del controllo proporzionale appena progettato, in termini di
margine di fase e di guadagno, al variare di rt .
La Figura 9.11, rispetto alla 9.9, mostra anche la funzione di trasferimento in anello aperto scalata per
il guadagno µR , ovvero la funzione d’anello L(s), mettendo in evidenza come essa valga −3 dB quando
la fase `e −120 gradi, e la funzione in anello chiuso, F (s), che ricalca la precedente ad alta frequenza
mentre assume guadagno unitario a frequenze inferiori a ωc . La Figura 9.12 mostra le stesse funzioni di
trasferimento nel piano complesso.
9-12
dB
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
open loop
open loop, regulated
closed loop
1
10
100
1000
1
10
100
1000
0
deg
-60
-120
-180
-240
ω
Figura 9.11: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c.
0
imag
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
real
-0.5
0
open loop
open loop, regulated
closed loop
Figura 9.12: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c.
9-13
In un certo senso, l’uso del controllo proporzionale in sistemi di questo tipo consente di non considerare
la dinamica del sistema nel progetto del regolatore semplicemente perch´e `e possibile fare in modo che nella
banda di frequenze in cui essa si manifesta (al di sopra di ωc ) l’ampiezza della risposta sia sufficientemente
attenuata da non consentirle di mettere a rischio la stabilit`
a del sistema. Perch´e questa condizione sia
soddisfatta, per`
o, occorre porre un limite al guadagno, e quindi alle prestazioni del sistema in anello
chiuso.
La funzione di trasferimento in anello chiuso `e data da F (s) = L(s)/(1 + L(s)); se L(s) `e razionale,
e quindi pu`
o essere espressa come L(s) = N (s)/D(s), si ha F (s) = N (s)/(D(s) + N (s)). Nel caso in
esame si ottiene
s3 La J + s2 (Ra J + La rt ) + s Ra rt + K 2 + KKp θ = KKp θrif + (sLa + Ra ) Cr ,
(9.49)
da cui
θ=
KKp
θrif
s3 La J + s2 (Ra J + La rt ) + s (Ra rt + K 2 ) + KKp
|
{z
}
F (s)
+
sLa + Ra
Cr .
s3 La J + s2 (Ra J + La rt ) + s (Ra rt + K 2 ) + KKp
(9.50)
La differenza sostanziale, rispetto al caso in anello aperto, sta nel fatto che il polo nell’origine `e stato
rimpiazzato da un polo circa in ωc , come appare chiaramente dalla Figura 9.11.
La funzione che moltiplica Cr rappresenta l’ammettenza del sistema in anello chiuso, ovvero la
rotazione del motore in funzione del carico applicato. Per s = 0 si ha la cedevolezza statica del sistema,
θ(s=0) =
Ra
Cr(s=0) .
KKp
(9.51)
Come si vede, `e costituita da termini elettrici (K e Ra ) e legati al controllo (Kp ). La cedevolezza statica
rappresenta l’errore statico per effetto di un disturbo di coppia.
L’ammettenza si mantiene costante fino al primo polo, circa in ωc , poi scende fino ad avere asintoticamente pendenza −2 (−40 dB) per via dello zero in −Ra /La . Quindi l’errore dinamico associato ad un
disturbo di coppia si attenua al crescere della frequenza, in quanto l’ammettenza `e analoga ad un filtro
passa-basso del secondo ordine.
Esercizio 9.3 Si valuti la banda passante del sistema (9.50).
Esercizio 9.4 Si valuti la sensitivit`
a al disturbo di coppia Cr del sistema (9.50).
Controllo proporzionale-integrale. Occorre conoscere l’integrale dell’errore di posizionamento. Si
definisca una nuova variabile (o stato) e, tale per cui e˙ = θ − θrif . Il problema diventa
J θ¨ + rt θ˙ − Kia = 0
La
(9.52a)
dia
+ Ra ia + K θ˙ = −Kp (θ − θrif ) − Ki e
dt
e˙ = θ − θrif .
(9.52b)
(9.52c)
La presenza del termine integrale fa s`ı che la tensione di alimentazione dipenda anche da quanto l’errore
`e perdurato nel tempo. Di conseguenza, la tensione avr`a anche un contributo persistente, che smette di
crescere solo quando l’errore si `e esattamente annullato.
Esercizio 9.5 Si indichi come l’aggiunta del contributo integrale al controllo possa giovare alle prestazioni
statiche del sistema controllato, garantendo nel contempo caratteristiche di stabilit`
a analoghe a quelle del
controllo puramente proporzionale.
Esercizio 9.6 Si riprenda l’esercizio 5.1.
9-14
9.3.2
Controllo in corrente
Mediante l’uso di amplificatori di potenza `e possibile separare l’azionamento meccanico, ovvero la generazione della coppia Cm = Ki, dalla generazione della corrente i necessaria per ottenere la coppia. In
questo caso, purch´e si rimanga al di sotto del valore imax di saturazione, `e possibile imporre direttamente
il valore della corrente desiderata.
Il modello del motore si riduce quindi a
J θ¨ = Ki + Cr
(9.53)
ovvero, nel dominio di Laplace,
θ=
1 1
1 K
i + 2 Cr ,
2 J
s
s
J
| {z }
(9.54)
G(s)
a meno di poli ad alta frequenza. Quindi la funzione di trasferimento tra la corrente e la rotazione `e
semplicemente costituita da due poli nell’origine. Perch´e la funzione d’anello garantisca la stabilit`
a e
le prestazioni desiderate occorre progettare un regolatore che abbia uno zero al di sotto della frequenza
ωc alla quale la funzione d’anello vale 0 dB, e almeno un polo a frequenza superiore ad ωc , in modo da
ripristinare il comportamento asintotico della (9.54) e cancellare il pi`
u rapidamente possibile eventuali
dinamiche ad alta frequenza. In questo modo il margine di fase sar`a di circa 90 gradi.
Si vuole quindi progettare un regolatore della corrente in funzione della differenza tra l’angolo
desiderato e quello effettivo, i = R(s)(θrif − θ), con la struttura
R(s) = µR
1 + s/z
,
1 + s/p
(9.55)
dove µR `e il guadagno statico, z lo zero e p il polo. Si scelga z = 0.1ωc e p = 10.0ωc ; il guadagno si
determina imponendo che il modulo della funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) valga 0 dB per s = jωc .
Data la G(s), si ha circa
1 + j/0.1 1 K ∼ µR 1 K
µ
kL(jω)k = (9.56)
R 1 + j/10.0 ω 2 J = 0.1 ω 2 J = 1
c
c
da cui si ricava
µR = 0.1ωc2
J
K
(9.57)
La funzione ad anello chiuso diventa
θ = µR K
s2
1 + s/z
1 + s/p
θrif + 2
Cr .
(1 + s/p) J + µR K (1 + s/z)
s (1 + s/p) J + µR K (1 + s/z)
(9.58)
Si noti come l’errore statico sia 1/(µR K), ovvero circa 1/(0.1ωc2 J).
Le figure 9.13 e 9.14 mostrano rispettivamente il diagramma di Bode e di Nyquist delle funzioni di
trasferimento in anello aperto e chiuso del motore controllato in corrente per J = 1 kg m2 , K = 1 V
s/radian, ωc = 10 radian/s.
Questo progetto sembra indicare che scegliendo ωc opportunamente grande `e possibile aumentare a
piacere la banda passante del motore e/o aumentare a piacere il guadagno statico e quindi ridurre l’errore
di posizionamento statico. Vi possono essere, per`
o, delle controindicazioni. Per esempio, se il sistema
presenta delle dinamiche poco smorzate ad alta frequenza (ad esempio una coppia di poli complessi
coniugati con smorzamento basso), quando ωc diventa sufficientemente grande il picco corrispondente
ai poli complessi coniugati verr`
a amplificato fino a far assumere valore unitario alla funzione d’anello
alla frequenza corrispondente. Di conseguenza si rischia di avere spill-over, ovvero eccitazione di modi
non previsti nel progetto del regolatore. Siccome su tali modi `e possibile che ci siano incertezze, sia in
termini di frequenza che soprattutto di smorzamento, dovuti sia alla difficolt`a di caratterizzarli che alla
loro variabilit`a in funzione di parametri del sistema (in dipendenza della configurazione, per esempio), `e
opportuno cautelarsi adeguatamente.
9-15
dB
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.01
open loop
open loop, regulated
closed loop
0.1
1
10
100
1000
0.1
1
10
100
1000
0
deg
-60
-120
-180
-240
0.01
ω
Figura 9.13: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente.
0
imag
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
real
-0.5
0
open loop
open loop, regulated
closed loop
Figura 9.14: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente.
9-16
Figura 9.15: Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche
Esercizio 9.7 Si consideri la funzione d’anello del motore controllato in corrente. Si aggiunga una coppia di poli complessi coniugati con pulsazione caratteristica arbitrariamente alta e smorzamento dell’1%.
Si diagrammi la funzione d’anello per diversi valori di guadagno, in modo che ωc si avvicini via via alla
pulsazione caratteristica dei due poli ad alta frequenza.
Esercizio 9.8 Si aggiunga al regolatore un polo nell’origine per cancellare l’errore statico; quale altra
modifica occorre apportare al regolatore per garantire la stabilit`
a del sistema controllato?
9.3.3
Azionamento in c.c. di un compressore
L’obiettivo in questo caso `e regolare la velocit`
a angolare di un compressore azionato da un motore in
corrente continua. Il motore in c.c. `e costituito da un rotore di momento d’inerzia Jm .
Sul rotore agisce una coppia motrice proporzionale alla corrente di armatura ia , secondo un coefficiente
di coppia K, come descritto nella (9.24).
La curva caratteristica del motore, ovvero la coppia motrice erogata a regime, quindi per θ¨ = 0 e
di/dt = 0, si presenta lineare, funzione parametrica della tensione di alimentazione ea
K ea − K θ˙
(9.59)
C=
Ra
La curva caratteristica del compressore pu`
o essere in prima approssimazione schematizzata come una
funzione proporzionale al quadrato3 della velocit`
a angolare:
Cr = −rθ˙2 ,
(9.60)
con r > 0. L’equazione di moto dell’albero `e:
J θ¨ = C + Cr
(9.61)
dove con J si `e indicata l’inerzia totale comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del
compressore. Sostituendo l’equazione caratteristica del compressore e l’equazione motore si ottiene:
J θ¨ + rθ˙2 = Kia
(9.62)
Per ricavare ora la corrente ia in funzione della grandezza di regolazione ea , tensione di alimentazione
del motore, si deve ricorrere al modello del motore introdotto nella (9.28). Le equazioni della dinamica
del sistema diventano pertanto

 J θ¨ + rθ˙2 − Kia = 0
(9.63)
di
 La a + Ra ia + K θ˙ = ea
dt
3 A rigore, la curva caratteristica dovrebbe essere espressa come C = −rkθk
˙ θ,
˙ in quanto la coppia si oppone sempre
r
alla velocit`
a angolare. La distinzione `
e superflua se la velocit`
a angolare ha sempre segno positivo.
9-17
Figura 9.16: Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore
e quindi possono essere viste nella forma:

r
K


 θ¨ = − θ˙2 + ia
J
J
Ra
K˙
1
dia



= − ia −
ea
θ+
dt
La
La
La
(9.64)
Definendo ora il vettore di stato
θ˙
x=
ia
(9.65)
e il vettore degli ingressi
0
u=
ea
(9.66)
il sistema di equazioni pu`
o essere scritto nella forma
x˙ = f (x) + Bu
(9.67)
Tale equazione, come si vede, `e non lineare e permette, una volta nota la tensione ea , di ricavare la velocit`
a
angolare del sistema. Naturalmente tale modello pu`
o fornire, data la velocit`
a e l’accelerazione angolare, la
tensione di alimentazione del motore stesso; tale applicazione, che sfrutta la dinamica inversa del sistema,
pu`
o ad esempio servire per controllare in anello aperto la velocit`
a del compressore. Naturalmente tale
logica di controllo in anello aperto soffre degli inconvenienti derivanti dal non considerare i disturbi esterni
e le incertezze del modello stesso.
Si possono integrare numericamente le (9.64) e analizzare la risposta ad assegnati andamenti della
tensione ea (t). In alternativa, dal momento che interessa studiare il comportamento del sistema nell’intorno della condizione di funzionamento a regime, il problema pu`
o essere analizzato linearizzando le
equazioni di moto nell’intorno di una assegnata velocit`
a θ˙0 ritenuta costante.
Tale analisi si effettua risolvendo il sistema di equazioni algebriche non lineari
0 = f (x) + Bu
(9.68)
ottenuto dalla (9.67), dal momento che si ricerca la soluzione avendola supposta costante; si ottiene

K
r


 0 = − θ˙2 + ia
J
J
(9.69)
K˙
1
Ra


 0 = − ia −
θ+
ea
La
La
La
da cui `e possibile determinare la tensione necessaria e la conseguente corrente che circola nel circuito
statorico, o viceversa conoscere la velocit`
a angolare ad una assegnata tensione di alimentazione ea0 .
Tale soluzione pu`
o essere inoltre vista in forma grafica come in figura 9.16, permettendo ancora una
volta di ricavare, nota ea0 , la velocit`
a angolare di regime e la coppia di regime.
9-18
9.3.4
L’analisi di stabilit`
a del sistema
Si possono a questo punto linearizzare le equazioni di moto non lineari nell’intorno della posizione di
equilibrio
θ˙0
(9.70)
x0 =
ia0
ovvero, indicando con ∆θ˙ = θ˙ − θ˙0 e ∆ia = ia − ia0 , da cui ∆x = x − x0 , si ottiene
∂f ˙
∆x + Bu
∆x = f (x0 ) +
∂x x0
(9.71)
ma, per definizione di equilibrio,
f (x0 ) + Bu0 = 0
(9.72)
per cui l’equazione diventa
∂f ∆x˙ =
∆x + B∆u = A∆x + B∆u
∂x x0
(9.73)
con

2rθ˙0
 −
J
A=

K
−
La

K

J 
Ra 
−
La
(9.74)
L’omogenea associata
∆x˙ = A∆x
(9.75)
ammette la soluzione generica:
∆x = Xeλt
(9.76)
che, sostituita nella (9.75), d`a
(λI − A) Xeλt = {0}
(9.77)
Il sistema di equazioni ammette soluzione diversa da quella banale X = 0 se il determinante della
matrice dei coefficienti `e nullo, ovvero se


2rθ˙0
K
−λ
 −

J
J

 = 0
det 
(9.78)


Ra
K
−
−λ
−
La
La
ovvero
2
λ +
2rθ˙0
Ra
+
J
La
!
λ+
K 2 + 2rθ˙0 Ra
=0
JLa
(9.79)
Risolvendo l’equazione caratteristica precedente `e possibile calcolare le radici (o autovalori) del sistema


! v
!2
u
u
2rθ˙0
K 2 + 2rθ˙0 Ra 
1
Ra
Ra
2rθ˙0
(9.80)
±t
−4
λ = −
+
+

2
J
La
J
La
JLa
9-19
che sono un indice della stabilit`
a della soluzione di equilibrio rispetto alla quale il sistema `e stato
linearizzato.
Si noti come il primo addendo degli autovalori sia sempre negativo; quindi il sistema `e stabile se la
parte sotto radice `e minore in modulo del primo addendo, ovvero
K2
+ 2rθ˙0 > 0.
Ra
(9.81)
Inoltre, a seconda che il radicando sia maggiore o minore di zero, i due autovalori stabili si possono
presentare puramente reali (negativi) o complessi coniugati.
Se invece
K2
+ 2rθ˙0 < 0
Ra
(9.82)
il sistema presenta una forma di instabilit`
a statica messa in evidenza dal fatto che un autovalore ha parte
reale positiva.
Stabilit`
a statica. Ad analoghe conclusioni si pu`
o giungere considerando l’equazione
J θ¨ = C θ˙ + Cr θ˙
(9.83)
ossia considerando le curve caratteristiche ad una assegnata tensione di armatura ea . Definita θ˙0 dalla soluzione dell’equazione (9.83) per θ¨ = 0, `e possibile effettuare l’analisi di stabilit`
a linearizzando
nell’intorno della velocit`
a angolare trovata, ottenendo pertanto
∂C ∂C r
˙
˙
˙
˙ − θ˙0 ,
¨
˙0 +
θ
−
θ
θ
J θ = C θ0 +
θ
+
C
(9.84)
0
r
∂ θ˙ θ˙0
∂ θ˙ θ˙0
da cui
J∆θ¨ =
!
∂C ∂Cr ˙
+
∆θ,
∂ θ˙ θ˙0
∂ θ˙ θ˙0
(9.85)
che ammette come soluzione
θ˙ = Ωeλt
(9.86)
che, sostituita nell’omogenea associata
!
∂C ∂Cr +
− Jλ ∆θ˙ = 0,
∂ θ˙ θ˙0
∂ θ˙ θ˙0
(9.87)
da cui:
1
λ=
J
!
∂C ∂Cr +
.
∂ θ˙ θ˙0
∂ θ˙ θ˙0
(9.88)
Perch´e il sistema si presenti come stabile, l’autovalore λ, essendo reale, deve essere negativo, ovvero deve
essere:
∂C ∂Cr +
< 0.
(9.89)
∂ θ˙ θ˙0
∂ θ˙ θ˙0
Ricordando l’espressione (9.59) della coppia motrice a regime, e quella (9.60) della coppia resistente
si ottiene cos`ı la medesima condizione di stabilit`
a:
2
∂Cr K
∂C +
=−
− 2rθ˙0 < 0.
(9.90)
˙
˙
Ra
∂ θ θ˙0
∂ θ θ˙0
9-20
L’analisi di stabilit`
a presentata in questo paragrafo va sotto il nome, forse improprio, di studio della
stabilit`
a statica. Essa consiste nel valutare, a partire da una condizione di riferimento di equilibrio statico,
la variazione dei termini che compongono un’equazione di equilibrio in conseguenza di una variazione
˙ Questo tipo di analisi
della derivata di ordine minimo della coordinata libera; nel caso in esame, θ.
consente di esprimere una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la stabilit`
a della soluzione di
riferimento. Per una trattazione pi`
u approfondita si veda il capitolo 6.
Controllo proporzionale.
Si consideri l’equazione
J ω˙ = Ki + Cr (ω)
(9.91)
con la corrente del motore data dalla
Ra i + Kω = ea ,
(9.92)
avendo scelto di definire
ea = −Kp (θ − θrif ) .
(9.93)
Questo corrisponde a trascurare la dinamica della parte elettrica del motore, ovvero La di/dt ∼
= 0. A
seguito di una linerizzazione attorno ad una posizione di equilibrio θ0 = 0, da cui ω0 = 0, si ottiene
l’equazione
J ω˙ = −
K2
K
Kp (θ − θrif ) −
ω + Cr/ω ω,
Ra
Ra
(9.94)
a cui occorre aggiungere θ˙ = ω. Si ha quindi





0
0
1

˙θ
θ
K
K
K2
Cr/ω 
+
θrif .
=
ω
ω˙

−
Kp −
+
Kp 
JRa
JRa
J
JRa
(9.95)
Il polinomio caratteristico della matrice `e
2
C/ω
K
K
λ2 + λ
+
−
Kp = 0.
JRa
J
JRa
(9.96)
Perch´e la soluzione di equilibrio sia stabile occorre che gli autovalori abbiano parte reale negativa. si
ottiene
s 2
C/ω
C/ω 2
K
1 K
1 K2
±
−
−
−
Kp
(9.97)
λ=−
2 JRa
J
4 JRa
J
JRa
Occorre che Kp > 0 e C/ω < K 2 /Ra affinch´e gli autovalori abbiano sicuramente parte reale negativa.
Se Kp `e sufficientemente grande da rendere il discriminante negativo, gli autovalori diventano complessi
coniugati. Questo pu`
o rappresentare un vantaggio, nel senso che la rapidit`
a con cui il sistema risponde
`e maggiore, ma introduce sovraelongazione nella risposta. Per questo motivo, `e opportuno che Kp sia
limitato. Intuitivamente, `e opportuno che lo smorzamento del sistema sia prossimo a quello critico.
Controllo proporzionale-integrale. Si definisca ora
Z t
(θ − θrif ) dt;
ea = −Kp (θ − θrif ) − Ki
(9.98)
t0
aggiungendo al sistema precedente l’equazione e˙ = θ − θrif , si ottiene



 



−1
0
1
0

 e˙  
 e  
0
0
0
1

θ
+
=
θ˙
2


K
K
K
K
C
 



r/ω

ω
ω˙

−
Ki −
Kp −
+
Kp
JRa
JRa
JRa
J
JRa
9-21







θrif .
(9.99)
Il polinomio caratteristico della matrice `e
2
Cr/ω
K
K
K
3
2
λ +λ
+λ
−
Kp +
Ki = 0.
JRa
J
JRa
JRa
(9.100)
L’espressione analitica delle radici `e piuttosto involuta e poco espressiva. Tuttavia, si pu`
o notare come un
requisito per l’asintotica stabilit`
a sia dato dal criterio di Routh-Hurwitz, dal quale, per Cr/ω < K 2 /Ra
(requisito di stabilit`
a statica del sistema non controllato), si ottiene
2
Cr/ω
K
Ki < Kp
.
(9.101)
−
JRa
J
Si ricordi che il criterio di Routh-Hurwitz esprime una condizione necessaria, basata sull’ipotesi di assenza
di radici sull’asse immaginario.
9.4
Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici
Senza grandi pretese di eleganza formale, si vogliono generalizzare le equazioni di Lagrange nel caso del
problema elettromeccanico, applicandolo al contesto del motore elettrico in c.c.
9.4.1
Approccio in corrente
Si consideri innanzitutto un induttore ideale lineare, di induttanza L (da non confondersi con la lunghezza
del conduttore nei paragrafi precedenti), la cui relazione costitutiva `e
∆V = L
di
dt
(9.102)
La potenza associata a questo componente `e
ΠL = i∆V = Li
di
,
dt
(9.103)
che pu`
o essere espressa anche come
d 1 2
Li .
ΠL =
dt 2
(9.104)
Inoltre, ricordando che la corrente i `e la derivata rispetto al tempo della carica q, si ottiene
d 1 2
ΠL =
Lq˙ .
dt 2
(9.105)
Si consideri ora, anche se non necessario per il semplice modello di motore in c.c. considerato finora,
la relazione costitutiva di un condensatore di capacit`a C,
i=C
d∆V
.
dt
(9.106)
La potenza ad esso associata `e
ΠC = ∆V i = C∆V
d∆V
,
dt
(9.107)
che pu`
o essere espressa anche come
d 1
2
C∆V
ΠC =
dt 2
(9.108)
9-22
L
∆V
i
C
Figura 9.17: Induttore e condensatore (LC).
o, invertendo la relazione costitutiva, come
d 1 q2
ΠC =
.
dt 2 C
(9.109)
Si noti come, se si sceglie come variabile indipendente la carica q, le funzioni le cui derivate danno
la potenza dell’induttore e del condensatore assomiglino rispettivamente ad un’energia cinetica e ad
un’energia potenziale. Questi componenti elettrici, infatti, nella loro idealizzazione sono conservativi,
ovvero immagazzinano e rilasciano energia senza dissipazione.
Quindi, definita una funzione
Le =
1 2 1 q2
Lq˙ −
,
2
2C
(9.110)
l’applicazione del formalismo di Lagrange a Le consente di scrivere
∂Le
q
d ∂Le
−
= L¨
q+
= 0,
dt ∂ q˙
∂q
C
(9.111)
ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore e un condensatore collegati fra loro
come in figura 9.17.
` possibile anche definire l’equivalente della funzione di dissipazione,
E
De =
1 2
Rq˙ ,
2
(9.112)
ove come elemento dissipativo si `e considerato un resistore lineare di caratteristica R. Il suo contributo
alla equazione relativa alla coordinata q `e ∂De /∂ q˙ = Rq,
˙ ovvero la differenza di tensione associata al
resistore. L’applicazione del formalismo di Lagrange diventa cos`ı
∂Le
∂De
q
d ∂Le
−
+
= L¨
q + + Rq˙ = 0,
(9.113)
dt ∂ q˙
∂q
∂ q˙
C
ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore, un condensatore e un resistore collegati
fra loro come in figura 9.18.
Nelle relazioni precedenti occorre aggiungere il lavoro generalizzato delle eventuali forze non descritte
in Le per una variazione virtuale della variabile indipendente q. Per esempio, il lavoro associato ad un
generatore di tensione ea `e
δWea = δqea .
(9.114)
Il lavoro associato alla forza controelettromotrice del motore in c.c. in esame `e
˙
δWeb = δqeb = −δqK θ.
(9.115)
9-23
L
i
∆V
R
C
Figura 9.18: Resistore, induttore e condensatore (RLC).
Si consideri ora il lato meccanico del motore in corrente continua. La funzione di Lagrange, Lm , `e
Lm =
1 ˙2
Jθ .
2
(9.116)
Il lavoro `e dato da
δWm = δθ (Cm + Cu ) = δθ (K q˙ + Cu ) ,
(9.117)
ove si `e considerata l’espressione Cm = K q˙ per la coppia motrice. La funzione di Lagrange complessiva,
L, `e
L=
1
1
La q˙2 + J θ˙2 .
2
2
(9.118)
La funzione di dissipazione complessiva `e
D=
1
Ra q˙2
2
(9.119)
Il lavoro complessivo `e
δW = δq ea − K θ˙ + δθ (Cu + K q)
˙ .
(9.120)
Dall’applicazione del formalismo di Lagrange alla funzione L cos`ı definita, alla funzione di dissipazione
D, e al corrispondente lavoro generalizzato W, rispetto alle due coordinate libere q e θ, si ottiene
La q¨ + Ra q˙ + K θ˙ = ea
J θ¨ − K q˙ = Cu ,
(9.121a)
(9.121b)
ovvero le medesime equazioni scritte in precedenza, come era lecito attendersi. In sostanza, il formalismo
di Lagrange pu`
o essere vantaggiosamente esteso a problemi multidisciplinari, ove sia possibile definire
convenientemente le grandezze che vi partecipano. Questo consente di rendere automatica e generale la
scrittura delle equazioni che governano il problema.
I contributi elettromeccanici forniti al problema dal motore in corrente continua possono anche essere
trattati in forma unificata. Il motore in corrente continua d`a un contributo di trasformazione di energia
da elettrica a meccanica e viceversa che `e puramente conservativo. Per questo motivo lo si pu`
o portare
nella funzione di Lagrange, sotto forma di contributo ∆L elettromeccanico, a condizione che all’equazione
meccanica dia un contributo del tipo
∂∆L
d ∂∆L
−
= −Cm = −K q,
˙
(9.122)
˙
dt
∂θ
∂θ
9-24
mentre all’equazione elettrica deve dare un contributo del tipo
d ∂∆L
∂∆L
˙
−
= eb = K θ.
dt
∂ q˙
∂q
(9.123)
˙
` immediato verificare, senza dimostrazione, che questo si ottiene ponendo ∆L = −K θq.
E
In alternativa, se si pone ∆L = Kθq,
˙ si ottengono i medesimi contributi alle equazioni meccanica ed
elettrica.
9.4.2
Approccio in tensione
Si consideri ora un approccio complementare al precedente. Si definisca l’integrale della tensione ϕ, tale
per cui ϕ˙ = V . La legge costitutiva dell’induttanza, data dalla (9.102), pu`
o essere riscritta come
d∆ϕ
di
=L ,
dt
dt
(9.124)
da cui si ricava
i=
1
∆ϕ.
L
(9.125)
La potenza corrispondente `e
1
d∆ϕ
d
d∆ϕ
= ∆ϕ
=
ΠL = i
dt
L
dt
dt
1 ∆ϕ2
2 L
.
(9.126)
Analogamente, la legge costitutiva del condensatore, data dalla (9.106), si pu`
o scrivere come
i=C
d2 ∆ϕ
.
dt2
(9.127)
La potenza ad esso associata `e
d∆ϕ
d
ΠC = i
= C∆ϕ∆
˙ ϕ¨ =
dt
dt
1
2
C∆ϕ˙ .
2
(9.128)
` possibile anche riscrivere la funzione di dissipazione (9.112) come
E
De =
1 ∆ϕ˙ 2
.
2 R
(9.129)
La funzione di Lagrange relativa alle grandezze elettriche `e
Le =
1 ∆ϕ2
1
C∆ϕ˙ 2 −
,
2
2 L
(9.130)
e l’equazione della dinamica del sistema `e data da
d
∂Le
∂Le
∂De
−
+
= Q∆ϕ ,
dt ∂∆ϕ˙
∂∆ϕ ∂∆ϕ˙
(9.131)
dove la Q∆ϕ , non ancora definita, `e la corrente generalizzata che fluisce nel nodo a cui `e associato il
flusso rispetto al quale viene scritta l’equazione della dinamica.
Ora, a differenza di quanto visto in precedenza, anzich´e un equilibrio delle tensioni lungo una maglia,
si stanno scrivendo bilanci di corrente ai nodi. Quindi occorre prestare attenzione a come vengono definite
le variazioni di flusso ∆ϕ. Occorre anche trovare un modo per esprimere il lavoro delle tensioni esterne,
˙ Si consideri di nuovo
quali la tensione di alimentazione ea e la forza controelettromotrice eb = K θ.
l’esempio del motore elettrico in corrente continua, mettendo in evidenza i nodi 1, 2, 3 e 4 ai capi dei
componenti del circuito equivalente come illustrato in Figura 9.19.
9-25
1
2
3
L
R
ia
ea
ib
eb
4
Figura 9.19: Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione.
La funzione di Lagrange `e data da
2
Le = −
1 (ϕ1 − ϕ2 )
,
2
L
(9.132)
mentre la funzione di dissipazione `e data da
2
De =
1 (ϕ˙ 2 − ϕ˙ 3 )
.
2
R
(9.133)
L’effetto delle tensioni ea e eb si introduce con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si definiscano
le relazioni
ϕ˙ 1 − ϕ˙ 4 = ea
(9.134a)
˙
ϕ˙ 3 − ϕ˙ 4 = eb = K θ,
(9.134b)
analoghe a vincoli anolonomi sulle derivate dei flussi ai rispettivi nodi. Introducendo le correnti incognite
ia e ib , associate ai rami 1–4 e 3–4, si ottiene il lavoro virtuale
δWe = ia (δϕ1 − δϕ4 ) + ib (δϕ3 − δϕ4 ) .
(9.135)
Il sistema finale pu`
o essere scritto in funzione delle incognite nodali, ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 e ϕ4 , e delle correnti nei
rami di alimentazione e di forza controelettromotrice, ia = q˙a e ib = q˙b , ovvero








0
0
0
0
1
0
0
1/R
−1/R
0
0
0
0
−1/R
1/R
0
0
1
0
0
0
0
−1
−1
1
0
0
−1
0
0
0
0
1
−1
0
0
















ϕ˙ 1
ϕ˙ 2
ϕ˙ 3
ϕ˙ 4
q˙a
q˙b












+










1/L
−1/L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1/L
1/L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
















ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
qa
qb

















0 


0 


0 
=
.
0 












 ea 


 


K θ˙
(9.136)
Si noti come le matrici siano simmetriche e significativamente sparse.
Questo problema `e indeterminato; infatti il flusso ϕ `e definito a meno di una costante. Lo si pu`
o
agevolmente verificare constatando che la somma delle prime quattro righe d`a 0. Per ovviare al problema,
occorre mettere a terra un nodo. Ad esempio, se si pone ϕ4 = 0, e quindi anche ϕ˙ 4 = 0 e δϕ4 = 0, si
ottiene






0
0
0
1
0
0
1/R
−1/R
0
0
0
−1/R
1/R
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0












ϕ˙ 1
ϕ˙ 2
ϕ˙ 3
q˙a
q˙b









+







1/L
−1/L
0
0
0
−1/L
1/L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0












ϕ1
ϕ2
ϕ3
qa
qb











=











0
0
0
ea
K θ˙






.
(9.137)





` agevole verificare l’equivalenza tra questo sistema e l’equazione di equilibrio alla maglia ottenuta con
E
l’approccio in corrente:
9-26
˙
• dalla quarta e dalla quinta equazione si ricava ϕ˙ 1 = ea e ϕ˙ 3 = K θ;
• dalla terza equazione si ricava ϕ˙ 2 = ϕ˙ 3 + Rq˙b , ovvero ϕ˙ 2 = K θ˙ + Rib ;
• dalla prima equazione si ricava ϕ1 − ϕ2 + Lq˙a = 0 che, derivata una volta, d`a ea − K θ˙ − Rib +
Ldia /dt = 0;
• per costruzione, ia va dal nodo 1 al nodo 4, quindi `e opposta alla corrente ib ; ne consegue che
i = ib = −ia , da cui l’equazione di equilibrio alla maglia.
Questo approccio, solo all’apparenza complesso, `e in realt`a di relativamente facile implementazione
numerica, in analogia con l’approccio agli spostamenti nel calcolo strutturale.
9-27
9-28
Capitolo 10
Azioni mutue tra elementi di
macchine — Parte II
Generato il 23 ottobre 2014
10.1
Azioni aerodinamiche
Nelle macchine si devono spesso considerare azioni tra solidi e fluidi; questi ultimi possono essere ritenuti
veri e propri membri non rigidi della macchina, accoppiati con i membri solidi, dei quali bagnano tutta
o parte della superficie.
Le azioni possono avere carattere di forze interne, come ad esempio in una turbina in cui il fluido si
muove entro condotti facenti parte della macchina e reagisce su di essi, oppure di forze esterne, come
l’azione dell’aria su di una aeroplano o la resistenza offerta dal mezzo all’avanzamento di una nave o di
una vettura, quando tutta la massa del fluido `e considerata esterna al sistema che si studia. Esse inoltre
possono essere costituite da semplici pressioni statiche come quelle che sostengono un corpo immerso in
un fluido o che vengono esercitate da un fluido in pressione sulle pareti di un recipiente chiuso, oppure
possono essere pressioni dinamiche, cio`e esercitate dal fluido in conseguenza del suo moto o del moto del
solido.
Spesso l’azione del fluido costituisce una resistenza al moto di un corpo in esso totalmente o parzialmente immerso; in tal caso essa prende il nome di resistenza del mezzo ed `e una resistenza passiva, che,
di regola, si deve cercare di ridurre il pi`
u possibile. Nasce cos`ı il problema di ottimizzare la forma al fine
di aumentarne la penetrazione (carene di navi, forme di autovetture, ...). In generale per`o tale azione tra
corpo e fluido ha una componente utile che si cerca di massimizzare (forza propulsiva di un’elica, forza
portante di un’ala).
Le forze esercitate da fluidi in quiete sono determinate dalla fluidostatica, mentre assai pi`
u complessa
`e la ricerca delle azioni esercitate dai fluidi in moto, la quale pi`
u particolarmente interessa le macchine e
forma oggetto della fluidodinamica, comprendente come casi particolari l’idrodinamica e l’aerodinamica.
Supponiamo che il corpo sia fermo rispetto al fluido; in tal caso l’unica azione agente sul corpo `e la
spinta fluidostatica. Tale spinta `e proporzionale, come noto, alla densit`a del fluido e al volume del corpo.
Se invece il corpo si muove con una certa velocit`
a in un fluido, oppure se il corpo `e investito da un fluido
in moto con una certa velocit`
a, nascono su ogni elemento infinitesimo di area della superficie del corpo
stesso delle forze infinitesime normali e tangenziali.
Si supponga che la corrente sia laminare e il fluido incomprimibile (numero di Mach, definito come
il rapporto tra la velocit`
a del fluido e la velocit`
a di propagazione del suono nel fluido stesso, minore di
0.1÷0.2).
In tali condizioni, sul contorno del corpo il fluido aderisce e ci`o significa che la velocit`
a del fluido a
contatto con il corpo si annulla1 : la velocit`
a del fluido passa pertanto da zero al valore v allontanandosi
dal corpo.
1 Si
veda la nota 4 del Capitolo 3.
10-1
Figura 10.1: Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente di
resistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b).
Per esprimere la generica forza F e il generico momento aerodinamico M in modo semplice si ricorre
alle espressioni:
1
F = ρv 2 SCf
2
1
M = ρv 2 SlCm
2
(10.1)
ove 1/2ρv 2 `e la pressione dinamica, spesso indicata con q in aeroelasticit`
a2 .
Si suppone quindi che essi siano proporzionali alla pressione dinamica della corrente indisturbata e
a una superficie di riferimento S (nell’espressione del momento compare anche una lunghezza l) tramite
un coefficiente adimensionale da determinare sperimentalmente.
I coefficienti che compaiono nelle (10.1) sono funzione, oltre che della forma del corpo e della sua
posizione relativa alla direzione della corrente, del numero di Reynolds
Re =
ρvl
µ
(10.2)
ove ρ e µ sono rispettivamente la densit`a e la viscosit`
a dinamica del fluido (la viscosit`
a cinematica `e
ν = µ/ρ). La dipendenza dei coefficienti aerodinamici dal numero di Reynolds non `e grande se il valore
di quest’ultimo `e sufficientemente elevato, come si verifica per tipiche applicazioni aeronautiche, con
lunghezze dell’ordine del metro, velocit`
a dell’ordine del centinaio di m/s, densit`a dell’ordine di 1 kg/m3
−5
e viscosit`a dell’ordine di 1.6 · 10 kg/(ms). I coefficienti aerodinamici ricavati sperimentalmente sono
da ritenersi indipendenti dalla velocit`
a se il numero di Reynolds `e superiore ad alcuni milioni.
La superficie S e la lunghezza l di riferimento possono essere qualsiasi: esse esprimono solamente la
dipendenza delle forze e dei momenti rispettivamente dal quadrato e dal cubo delle dimensioni lineari
` per`
del corpo. E
o evidente che il valore dei coefficienti aerodinamici dipende dalla scelta della superficie
e della lunghezza di riferimento.
In campo automobilistico, nel quale la portanza `e spesso da ritenersi un effetto indesiderato della
presenza dell’aria, mentre la resistenza `e una rilevante fonte di dissipazione, si usa scegliere quale superficie
di riferimento l’area della superficie trasversale del veicolo, anche se una certa confusione pu`
o essere
ingenerata dal fatto che taluni usano l’area della proiezione frontale (a) e altri l’area della massima
sezione trasversale (b) indicate in figura 10.1.
In campo aeronautico, viceversa, come superficie di riferimento per un velivolo si considera in genere
la sezione in pianta dell’ala, in quanto si `e primariamente interessati alla forza portante, mentre quella
resistente, altrettanto importante, viene comunque in seconda battuta, essendo tipicamente, in normali
condizioni di volo, di almeno un ordine di grandezza inferiore.
2 Da non confondere con la generica coordinata libera; di solito la confusione non `
e possibile dal momento che la pressione
dinamica q `
e uno scalare, mentre le coordinate libere sono raccolte in un vettore {q}.
10-2
Figura 10.2: Schematizzazione del moto laminare di un fluido.
10.2
Teoria elementare della lubrificazione
Gli strisciamenti tra corpi asciutti si verificano nelle macchine solo in casi eccezionali, quando sia utile
avere un forte attrito, come ad esempio nei freni e negli innesti a frizione; negli altri casi le superfici a
contatto sono sempre bagnate da un liquido detto lubrificante, ovvero lubrificate. Per lubrificazione si
intende la riduzione dell’attrito tra superfici a contatto in moto relativo mediante l’interposizione tra esse
di un apposito mezzo detto appunto lubrificante. Tale liquido, interposto tra le due superfici, impedisce
il fenomeno della microsaldatura che si `e riconosciuto nel Capitolo 7 essere la causa dell’attrito cinetico
(o dinamico).
Da un lato, possono essere usati come lubrificanti gli olii e i grassi, che hanno la propriet`
a di formare
veli superficiali (epilamini) di spessore molecolare (qualche micron) aderenti alle superfici striscianti. I
lubrificanti possono essere anche solidi (grafite) per condizioni operative a temperature molto basse.
D’altra parte, un’azione pi`
u decisiva viene esercitata dal lubrificante nella lubrificazione idrostatica
e in quella idrodinamica, le quali consistono nella interposizione tra le superfici striscianti di un velo
continuo di lubrificante che, per quanto sottile, ha per`
o spessore sufficiente per impedire il contatto
diretto tra le due parti. Lo strisciamento non avviene pi`
u fra solido e solido (attrito cinetico) o fra
strati molecolari aderenti alle superfici (attrito untuoso), ma fra gli strati del lubrificante interposto tra
queste (attrito mediato o fluido) che pu`
o assumere valori pari anche a 1/100 (dipendente solo dal tipo di
lubrificante) di quello che si ha nell’attrito radente (dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici).
Tutti i fluidi reali sono viscosi e oppongono una resistenza allo scorrimento delle particelle che li
compongono. Se noi facciamo scorrere degli strati di fluido gli uni sugli altri, fra gli strati stessi si esercita
un’azione che si oppone al moto relativo, come illustrato in figura 10.2. Tale azione `e proporzionale
alla velocit`
a con la quale avviene lo scorrimento, secondo un coefficiente caratteristico del fluido, detto
coefficiente di viscosit`a, ovvero il coefficiente µ illustrato nella definizione del numero di Reynolds.
10.2.1
Descrizione del problema
Nel seguito, per semplicit`
a espositiva, viene considerato un problema piano, in cui due corpi sono in
movimento relativo di traslazione in direzione parallela alle superfici, ritenute piane, tra le quali avviene
la lubrificazione. Si assume inoltre che non ci siano perdite laterali, per cui il meato di fluido pu`
o essere a
tutti gli effetti considerato in movimento in un condotto per cui quindi vale il principio di conservazione
della massa.
Per semplicit`
a, si consideri il corpo inferiore vincolato al telaio, mentre il corpo superiore viene
fatto scorrere con velocit`
a v; il caso in cui entrambe le superfici si muovono verr`
a brevemente discusso
nel seguito. La velocit`
a del fluido nel meato sia u, diretta essenzialmente lungo il condotto. Questa
velocit`
a potr`a variare in funzione della posizione nel condotto, sia trasversale che longitudinale. Sul
corpo superiore, per effetto della presenza del fluido in moto relativo, si generano una forza normale ed
una tangenziale.
10-3
La forza normale per unit`a di larghezza, data dall’integrale della pressione relativa p nel fluido lungo
la lunghezza del meato, `e
Z l
p dx;
(10.3)
N=
0
si `e considerata direttamente la pressione relativa in quanto la pressione di riferimento agisce comunque
anche sul resto del corpo. Si indichi con b la dimensione del condotto nella terza direzione, perpendicolare
al piano in cui avviene il moto, per cui la forza normale scambiata `e FN = bN .
La forza tangenziale per unit`a di larghezza, data dall’integrale degli sforzi di taglio τ alla parete, `e
Z l
τ dx
(10.4)
T =
0
L’effetto globale dell’interazione con il fluido viscoso pu`o essere descritto mediante un coefficiente di
attrito equivalente, detto di attrito mediato
fm =
|T |
N
(10.5)
che esprime il rapporto tra la forza tangenziale che si oppone al movimento e quella normale che occorre
per separare i corpi.
La determinazione del coefficiente di attrito mediato, e la valutazione delle caratteristiche geometriche
e meccaniche necessarie perch´e la lubrificazione, e quindi l’attrito mediato, abbiano luogo, richiede lo
studio della fluidodinamica del lubrificante per poter determinare la pressione p e gli sforzi di taglio τ
agenti sul corpo sostentato.
10.2.2
Fluidodinamica del lubrificante
Nel moto laminare, considerando due strati di ordinate z e z +∆z, caratterizzati dalle velocit`
a u e u+∆u,
la velocit`
a relativa sar`
a ∆u. Il gradiente di velocit`
a per ∆z tendente a 0 `e pari a du/dz, da cui la legge
di Petroff3 :
τ =µ
du
dz
(10.7)
che descrive la legge costitutiva degli sforzi tangenziali viscosi, in caso di moto laminare, affermando
che sono linearmente proporzionali al gradiente di velocit`
a in direzione normale alla superficie a cui si
riferiscono.
Si analizzi il problema del moto del fluido interposto tra due superfici in moto, supponendo che:
• il moto del fluido sia laminare permanente per strati paralleli all’asse z;
• le forze di volume (peso e inerzia) siano trascurabili rispetto a quelle dovute alla viscosit`a4 ;
• il fluido sia incomprimibile e abbia µ costante (ovvero, in sostanza, la temperatura si mantenga
costante all’interno del condotto);
• il moto avvenga in una sola direzione (lungo x).
Si assume dunque il problema piano e quindi che non vi sia fuoriuscita laterale in direzione y
(perpedicolare al piano x − z), secondo lo schema illustrato in figura 10.3.
3 La legge di Petroff in realt`
a rappresenta una semplificazione della definizione pi`
u generale dello sforzo viscoso laminare
che, nel caso bidimensionale, `
e
∂w
∂u
(10.6)
+
τ =µ
∂z
∂x
avendo chiamato w la componente della velocit`
a in direzione z, nulla per ipotesi nel caso in esame.
4 Quest’ipotesi non `
e verificata, ad esempio, in caso di moto nel meato a corona circolare che si ha in un accoppiamento
perno-sede
10-4
Figura 10.3: Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo.
Imponendo l’equilibrio alla traslazione secondo x per un prisma elementare di fluido di dimensioni
(dx, 1, dz), si ottiene
pdz − (p + dp) dz − τ dx + (τ + dτ ) dx = 0
(10.8)
ovvero
dpdz = dτ dx →
dτ
dp
=
.
dx
dz
(10.9)
Questa relazione afferma che la variazione della pressione lungo il condotto `e pari alla variazione degli
sforzi tangenziali nella direzione trasversale.
Ricordando la legge di Petroff (10.7), si ottiene:
dp
d2 u
= µ 2,
dx
dz
(10.10)
ovvero un’equazione differenziale lineare del 2o ordine a coefficienti costanti completa.
Se si scrive l’analoga equazione di equilibrio in direzione trasversale si ricava invece
dpdx = dτ dz →
dτ
dp
=
.
dz
dx
(10.11)
In questo caso, per`
o, nell’ipotesi che la velocit`
a w in direzione trasversale sia nulla e cos`ı pure le sue
derivate, e che quindi la velocit`
a u in direzione longitudinale, per effetto dell’equazione di bilancio di
massa, non dipenda dalla coordinata x lungo il meato, dalla derivata della legge di Petroff (10.7) si
ottiene dτ /dx = 0, da cui si ricava
dp
= 0,
dz
(10.12)
ovvero la pressione non varia in direzione trasversale, per cui la dp/dx che compare nella (10.10) non
dipende dalla variabile z rispetto alla quale `e differenziata la velocit`
a u.
Grazie alla (10.12), l’integrale generale, somma della soluzione dell’omogenea associata e dell’integrale
particolare, `e dato dalla:
µu =
dp z 2
+ Cz + D,
dx 2
(10.13)
in cui le costanti di integrazione C e D sono da determinare a partire dalle condizioni al contorno:
u (0) = 0
u (h) = v
→
dp h2
+ Ch
µv =
dx 2
→
→
D=0
µv dp h
C=
−
.
h
dx 2
L’espressione del campo di velocit`
a (10.13) diventa quindi:
v
dp z 2
1 µv
dp h
dp z
z= z−
u (z) =
+
−
(h − z) ,
dx 2µ µ h
dx 2
h
dx 2µ
10-5
(10.14)
(10.15)
mentre gli sforzi di taglio sulla faccia superiore dell’elemento di fluido alla quota z sono
v
dp h
τ =µ −
−z .
h dx 2
(10.16)
Questo risultato `e dato dalla sovrapposizione dei moti di Newton, lineare in z e legato al trascinamento
v per la diversa velocit`
a delle due pareti al contorno, e di Couette, parabolico in z e legato al gradiente
di pressione dp/dx.
Ipotizzando che non vi siano fuoriuscite laterali e sostituendo la (10.15) nell’equazione di continuit`
a
della portata volumetrica per unit`a di larghezza
Z h
u dz = costante,
(10.17)
Q=
0
esprimente la portata di fluido vista dal corpo solidale con il telaio, otteniamo, considerando costante la
viscosit`a e ricordando che p′ = dp/dx non `e funzione di z:
h
h
Z
Z
v h
p′ h
p′ hz 2
z3
vh p′ h3
v z2
Q=
z dz −
−
−
=
−
(10.18)
hz − z 2 dz =
h 0
2µ 0
h 2 0 2µ 2
3 0
2
12µ
in cui il primo termine, detto portata di trascinamento, `e un effetto del trascinamento della parete mobile
sul meato, e il secondo, detto portata di pressione, dipende dal gradiente di pressione; se p′ = 0 questo
termine si annulla.
Dall’espressione della portata (10.18) `e possibile determinare il gradiente di pressione:
12µ vh
′
−Q
(10.19)
p = 3
h
2
Dal momento che la portata Q, per la (10.17), `e costante lungo x, se anche h (x) fosse costante tutti
i termini a destra dell’uguale sarebbero costanti, e quindi p′ dovrebbe necessariamente essere costante.
Ma agli estremi del meato la pressione `e pari a quella atmosferica, quindi la pressione relativa `e nulla; di
conseguenza
dp
¯
¯ +D
¯
= C¯ → dp = Cdx
→ p (x) = Cx
(10.20)
dx
¯ = 0, p (l) = 0 → C¯ = 0, implica che p′ = 0, ovvero il
che, con le condizioni al contorno p (0) = 0 → D
sostentamento non `e possibile.
p′ =
10.2.3
Lubrificazione idrostatica
Nel paragrafo precedente `e stato evidenziato come, se h fosse costante, non sarebbe possibile il sostentamento naturale e di conseguenza la lubrificazione idrodinamica naturale. Si deve quindi ricorrere a
quella idrostatica, nella quale la pressione viene fornita al lubrificante tramite una pompa.
¯ s = bQs associata al gradiente di pressione
In realt`a, la portata Q
Qs = −
p′ h 3
12µ
(10.21)
viene immessa da un circuito di alimentazione. A regime, essa `e costante; quindi il gradiente di pressione
diventa
12µQs
p′ = −
(10.22)
h3
La pressione relativa, nell’estremo al quale viene immessa la portata, vale p = −lp′ , mentre all’estremo al
¯ = p,
quale il fluido fuoriesce libero5 vale 0. Quindi, a partire dalle condizioni al contorno p (0) = p → D
¯
p (l) = 0 → C = −p/l, si ottiene un andamento lineare della pressione
x
p (x) = p 1 −
(10.23)
l
5 Trascurando
eventuali perdite di carico concentrate dovute all’effusione del meato in una camera.
10-6
Figura 10.4: Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria.
¯ = bN , della
Da questa, a partire dalla (10.3), si ricava lo spessore del meato in funzione del carico N
geometria del problema, delle propriet`
a del fluido e della portata imposta Qs .
r
2 ′
2
2
¯
bl
p
bl
6µQ
bl
3 l 6µQs
s
¯ =p =−
(10.24)
N
→ h=
=
3
¯
2
2
h
N
Gli sforzi tangenziali definiti nella (10.16), sulla superficie inferiore del corpo in movimento (z = h)
in questo caso valgono
v
Qs
τs (h) = −µ
(10.25)
−6 2
h
h
La forza resistente T¯ = bT agente sul corpo in movimento `e quindi
v
Qs
T¯ = −µbl
−6 2
h
h
Ne risulta, idealmente, un coefficiente di attrito mediato
T¯
|T | vh2
h =
− fm = ¯ =
N
6Qs l
l
N
(10.26)
(10.27)
C’`e quindi un contributo al coefficiente di attrito mediato che `e proporzionale alla velocit`
a relativa tra
le pareti e al quadrato dello spessore, e inversamente proporzionale alla portata immessa nel meato; la
dipendenza del cubo dello spessore dalla portata immessa illustrato nella (10.24) fa s`ı che il coefficiente
di attrito mediato diminuisca al crescere della portata immessa. Se la portata dovuta al gradiente di
pressione `e concorde con il movimento relativo, il corpo superiore `e trascinato nella direzione del moto
dagli sforzi tangenziali; questo fa s`ı che ci sia una riduzione del coefficiente di attrito mediato (il termine
−h/l) tanto pi`
u grande quanto pi`
u grande `e lo spessore del meato.
Si noti per`
o che la potenza perduta non `e data soltanto da Πd = −T¯ · v, ma anche dalla potenza
¯ s ; quindi l’elevata efficienza meccanica di questa
necessaria per alimentare il flusso forzato, Πh = −p · Q
soluzione viene attenuata dalla riduzione in efficienza complessiva legata alla necessit`
a di provvedere al
forzamento della lubrificazione.
10-7
10.2.4
Lubrificazione idrodinamica
Nel caso in cui all’estremo iniziale non venga imposta una pressione maggiore di quella presente all’estremo finale, la pressione relativa deve essere nulla agli estremi del meato e variabile lungo di esso per
ottenere capacit`a di sostentamento; quindi, a tal fine, vi deve essere una variazione di altezza h (x).
Vi sar`a quindi, lungo il meato, un punto di ascissa x0 in cui la pressione `e massima ed `e individuata
dal fatto che in quel punto il gradiente p′ `e nullo
12µ
vh (x0 )
vh (x0 )
′
p = 3
− Q = 0 → vh (x0 ) = 2Q → Q =
(10.28)
h (x0 )
2
2
e quindi, sostituendo la (10.28) nella (10.19), quest’ultima diventa
6µv
(h − h (x0 ))
h3
p′ =
(10.29)
Si nota immediatamente che se v = 0, ovvero non vi `e moto relativo tra le superfici, la portata `e nulla
e quindi non pu`
o instaurarsi la lubrificazione idrodinamica (problema degli organi di macchine dotati di
moto con arresto).
Nel punto in cui si ha la massima pressione, la portata di pressione `e nulla e si ha solo la portata di
trascinamento6 . Nella zona in cui il gradiente p′ `e positivo, la portata di pressione si sottrae a quella di
trascinamento, mentre dove p′ `e negativo la portata di pressione si somma a quella di trascinamento.
L’azione di sostentamento per unit`a di larghezza del cuscinetto risulta quindi pari a:
Z x
Z l
Z l
p′ (ξ) dξ
(10.37)
dx
p (x) dx =
N=
0
0
0
ovvero la pressione genera una spinta per unit`a di larghezza del cuscinetto N , capace di tenere separate
le due superfici.
Inoltre, sulla superficie superiore in moto si genera una reazione d’attrito per unit`a di larghezza del
cuscinetto pari a:
Z l
τ |z=h(x) dx
(10.38)
Tsup =
0
6 Sostituendo
l’espressione (10.28) della portata, Q = vh (x0 ) /2, in quella (10.29) del gradiente di p:
12µ
vh (x)
6µv
p′ (x) = 3
−Q = 3
(h (x) − h (x0 ))
h (x)
2
h (x)
e, integrandola sulla lunghezza l del meato, si ottiene:
Z l
Z l
6µv
(h (x) − h (x0 )) dx = 0
p (l) − p (0) =
p′ (x) dx =
3
0
0 h (x)
(10.30)
(10.31)
Utilizzando un’espressione lineare per l’altezza del meato:
h1 − h 2
x
l
da cui, differenziando:
h (x) = h1 −
dh = −
6µv
Z
(10.32)
l
h 1 − h2
dx → dx =
dh
l
h 2 − h1
h2
h − h (x0 )
l
h3
h2 − h1
che semplificata nelle costanti:
Z h2
h (x) − h (x0 )
dh = 0
h3
h1
(10.33)
dh = 0
(10.34)
h1
→
Z
h2
h1
dh
h2
= h (x0 )
Z
h2
h1
dh
h3
→
h (x0 ) =
2h1 h2
h1 + h 2
(10.35)
espressione che sostituita nell’espressione (10.32) di h valutata in x0 ,
2h1 h2
h 1 − h2
= h1 −
x0
h 1 + h2
l
(10.36)
permette di calcolare l’ascissa x0 .
10-8
mentre su quella inferiore si genera una reazione d’attrito per unit`a di larghezza
Z l
τ |z=0 dx
Tinf =
(10.39)
0
Possiamo quindi calcolare il coefficiente di attrito mediato come:
fm =
T
N
(10.40)
che tipicamente `e dell’ordine di 0.01.
Ricordando che b indica la larghezza del meato, l’azione tangenziale genera una potenza resistente:
¯v
Wr = bT~ × ~v = −bT v = −fm bN v = −fm N
(10.41)
che, in un bilancio termico del fluido, risulta entrante in esso e quindi positiva; questa si trasforma in
calore portando il lubrificante alla temperatura θ:
¯
¯ v = αbl (θ − θe ) → θ = θe + fm N v
fm N
bαl
(10.42)
ove α `e il coefficiente di scambio termico, θ `e la temperatura del fluido a regime e θe `e la temperatura
esterna verso cui avviene lo scambio termico all’equilibrio.
¯ = bN che il cuscinetto deve sopportare e la sua geometria (b, l), si pu`
Noto quindi il carico N
o valutare
la temperatura di funzionamento e quindi scegliere l’olio della gradazione pi`
u opportuna, tenendo conto
che all’aumento della temperatura la viscosit`a µ, e quindi la capacit`a di sostentamento, decresce.
¯ , la temperatura di esercizio risulta essere, secondo questo modello semSi noti che, noto il carico N
plificato, inversamente proporzionale alla larghezza b del cuscinetto. Proprio la temperatura di esercizio
del fluido, e quindi la necessit`
a di dissipare il calore accumulato nel fluido durante il funzionamento, pu`
o
diventare un criterio dimensionante per la larghezza del cuscinetto.
Si noti inoltre che, se entrambe le superfici sono in moto, l’integrale generale (10.13) deve essere
risolto per le condizioni al contorno
u (0) = v1
(10.43)
u (h) = v2
dove v1 e v2 sono le velocit`
a delle due superfici. Se esse sono eguali e concordi, `e facile verificare che
la portata Q `e pari a 0, ovvero non pu`
o instaurarsi la lubrificazione idrodinamica naturale, che risulta
quindi legata alla velocit`
a relativa tra le due superfici che delimitano trasversalmente il meato.
Si noti, infine, che il carico effettivo applicabile nella realt`a `e inferiore a quello ricavato da questa
trattazione elementare, infatti il fluido non ha sempre direzione parallela a x, ma si ha fuoriuscita laterale
e, quand’anche questa non vi fosse, il moto non `e rigorosamente unidirezionale, ma piano.
Sperimentalmente si `e ricavato un fattore correttivo c = (b + l) /b, detto coefficiente di fuoriuscita
laterale, e il carico effettivamente sopportabile `e
P′ =
bN
c
(10.44)
Per i perni lubrificati, illustrati in figura 10.5, la teoria elementare non `e pi`
u sufficiente e si deve
ricorrere alla integrazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes o alla teoria semplicata di Reynolds;
infatti il perno cambia posizione del centro al variare del carico a parit`a di velocit`
a angolare, o a pari
carico al variare della velocit`
a di rotazione.
Nella lubrificazione idrodinamica, per basse velocit`
a angolari dei perni `e possibile ancora il contatto
tra le superfici e, per valori molto bassi della velocit`
a periferica v, nella zona detta di attrito combinato,
il coefficiente di attrito mediato fm anzich´e variare con legge parabolica come vorrebbe la teoria, ritorna
a crescere fino ad assumere il valore dato da OB nella figura 10.6, che rappresenta l’attrito untuoso.
Questo `e uno dei motivi per cui gli olii lubrificanti sono addittivati con prodotti che creino un resistente
epilamine.
10-9
Figura 10.5: Perno lubrificato.
Figura 10.6: Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dell’attrito mediato dalla velocit`
a relativa.
10-10
Capitolo 11
Modellazione elementi a fluido
Generato il 23 ottobre 2014
La soluzione completa del campo di moto di un fluido richiede la determinazione di:
• densit`a (1),
• pressione (1),
• temperatura (1),
• vettore velocit`
a (3), e
• tensore degli sforzi (9) del fluido;
i termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna grandezza incognita, per un
totale di 15 incognite di campo. Allo scopo abbiamo disponibili le seguenti leggi fisiche:
• conservazione della massa (1)
• bilancio della quantit`a di moto (3)
• bilancio del momento delle quantit`a di moto (3)
• conservazione dell’energia (1, primo principio della termodinamica)
• equazione di stato (1)
I termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna equazione, per un totale di
9 relazioni. Notiamo immediatamente che una relazione esplicita si pu`
o ottenere rapidamente per i
fluidi pi`
u comuni dalla conservazione del momento delle quantit`a di moto applicata ad un volume elementare infinitesimo. Tale relazione stabilisce l’importante propriet`
a di simmetria del tensore degli
sforzi, riducendone le relative componenti incognite a 6. Si hanno pertanto 12 incognite di campo con 6
equazioni, ragion per cui devono essere determinate 6 ulteriori relazioni fra le variabili del campo fluido
per permettere la chiusura del bilancio equazioni-incognite. Tali relazioni costituiscono quello che viene
genericamente detto legame costitutivo, cio`e la relazione che collega il tensore degli sforzi al tensore delle
velocit`
a di deformazione. La determinazione di tale relazione si basa su considerazioni sia teoriche che
sperimentali, ma la determinazione dei parametri che la caratterizzano richiede comunque una sperimentazione appropriata. Alle relazioni costitutive `e solitamente demandato anche il soddisfacimento del
vincolo fisico associato all’entropia che, in un sistema isolato, non pu`
o che crescere o rimanere invariata (secondo principio della termodinamica, irreversibilit`
a di processi termodinamici reali). Assegnata
la legge costitutiva, il bilancio incognite-equazioni `e quindi chiuso. Per la determinazione di tutte le
grandezze di campo summenzionate, le leggi di cui sopra vengono scritte per elementi infinitesimi di fluido, assunto come continuo, dando origine ad un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Per la soluzione di tali equazioni occorre poi assegnare le condizioni al contorno e, nel caso instazionario,
le condizioni iniziali, specifiche di ciascun problema. Molto spesso, nella pratica ingegneristica, `e per`o
11-1
possibile ottenere risultati significativi utilizzando le leggi di cui sopra sotto forma di bilanci globali che,
pur non permettendo certo la soluzione completa del campo di moto del fluido, rendono possibile la
determinazione di significative relazioni, estremamente utili per l’analisi e la progettazione di sistemi industriali a fluido, per i quali viene spesso usata la denominazione di “idraulici”, quando elaborano liquidi,
e “pneumatici”, quando elaborano gas. Tali sistemi sono modellabili con flussi interni in:
• tubi (tubazioni),
• valvole,
• pompe, e
• motori/attuatori,
che, con accettabile approssimazione, si possono ritenere sostanzialmente monodimensionali ed approssimabili ad isotermici. In realt`a il fluido subisce anche apprezzabili variazioni di temperatura dovute
agli attriti interni e di parete, comunque non tali da influenzare significativamente il suo movimento, e
vengono pertanto trascurate. A causa della monodimensionalit`
a, il bilancio del momento delle quantit`a
di moto non `e d’interesse, mentre la conservazione dell’energia viene utilizzata, di solito, a posteriori,
per determinare la quantit`a di calore da smaltire a causa dell’inevitabile riscaldamento del fluido causato
dagli attriti. Si possono pertanto scrivere le sole:
• conservazione della massa (1)
• bilancio della quantit`a di moto, o bilancio dell’energia meccanica (1)
• equazione di stato (1).
Noi faremo riferimento a tale semplificazione, utile per una significativa parte di problemi associati a
impianti idraulici e pneumatici, che, utilizzata in forma di bilanci globali su opportuni volumi di controllo,
ci permetter`
a di affrontare alcuni semplici e significativi problemi.
Inoltre, come illustrato nel seguito, non si cercher`a un modello unico onnicomprensivo, in grado di
descrivere il comportamento puntuale del fluido, ma piuttosto un insieme di semplici modelli, adatti alla
descrizione di specifici componenti di circuiti idraulici, nei quali vengono trascurati gli aspetti inessenziali
alla descrizione del comportamento fondamentale di tali componenti. L’utilizzo di tali componenti all’interno di uno schema di connessione riconducibile ad una rete consente di descrivere il comportamento
del sistema nell’ambito di validit`a delle approssimazioni utilizzate.
Conservazione della massa: la conservazione della massa in un volume di controllo, con un flusso
entrante ed uno uscente, si scrive semplicemente:
(ρAu)entrante − (ρAu)uscente =
d (ρV )
dt
(11.1)
Bilancio dell’energia meccanica: `e poi pratica comune non utilizzare direttamente l’equazione del
bilancio della quantit`a di moto, ma il suo integrale primo, ossia il teorema dell’energia meccanica, spesso chiamato teorema di Bernoulli, pratica impropria nel caso di bilancio globale completo dell’energia
meccanica sulle grandezze medie sezionali di flussi monodimensionali, che comunque accetteremo fra “virgolette”. Pi`
u accettabile `e invece la generica denominazione di trinomio di Bernoulli per le espressioni:
p u2
+
+ gz = cost.
ρ
2
(11.2)
p u2
+
+ z = cost.
γ
2g
(11.3)
e
che compariranno fra breve. Ci limitiamo qui a scrivere la relativa relazione ipotizzando che il fluido
di interesse sia sostanzialmente incomprimibile, in moto sostanzialmente stazionario e soggetto al solo
11-2
campo gravitazionale. Ricordiamo che l’ipotesi di incomprimibilit`a non `e tanto legata al fatto che il
fluido sia un gas o un liquido, quanto al rapporto fra la velocit`
a dello stesso e la propagazione delle
piccole perturbazioni interne al campo a velocit`
a sonica c, detto numero di Mach M . Tale rapporto deve
essere significativamente minore di uno per potere parlare di fluido incomprimibile, ragion per cui i nostri
richiami di fluidodinamica saranno generalmente validi per un fluido generico, gas o liquido, purch´e M
sia significativamente minore di uno. Il bilancio di energia meccanica per unit`a di massa `e
u2
puscita
u2
pingresso
+ entrante + gzingresso =
+ uscente + gzuscita + Energia dissipata
ρingresso
2
ρuscita
2
(11.4)
dove il termine “Energia dissipata”, rappresentante l’energia dissipata per unit`a di massa di fluido, sar`a
precisato pi`
u avanti. Si noti che dimensionalmente questa equazione contiene delle velocit`
a al quadrato.
Una forma equivalente, spesso usata, si ottiene dividendo per g entrambi i termini, ottenendo:
u2
puscita
u2
Energia dissipata
pingresso
+ entrante + zingresso =
+ uscente + zuscita +
γingresso
2g
γuscita
2g
g
(11.5)
in cui tutti i termini hanno le dimensioni di una lunghezza, e a volte permettono una pi`
u intuitiva
valutazione dell’importanza relativa dei vari termini.
Come vedremo nelle applicazioni successive, utilizzeremo spesso tale relazione anche per flussi instazionari, ragion per cui riteniamo utile giustificare subito tale estensione in modo da evitarne usi
impropri. Allo scopo notiamo che il bilancio dell’energia meccanica sopra riportato si pu`
o ricavare dall’integrazione del bilancio della quantit`a di moto di un flusso stazionario lungo il tubo, ritenuto sensibilmente
rettilineo.
Nella derivata totale della quantit`a di moto,
∂u
∂u dξ
d
,
(11.6)
(ρu) = ρ
+
dt
∂ξ dt
∂t
ove ξ `e una coordinata curvilinea lungo il tubo, per cui dξ/dt = u e, siccome si `e considerata l’ipotesi
di incomprimibilit`a, non compare esplicitamente la derivata della densit`a ρ, in quanto nulla, l’ipotesi di
stazionariet`
a implica la condizione
∂u
= 0.
∂t
(11.7)
Qualora si consideri un flusso non stazionario, l’approssimazione data dal considerare ancora valida la (11.7) pu`
o essere ancora relativamente accettabile purch´e l’integrale del termine temporale della
variazione della quantit`a di moto,
ρ
∂u
,
∂t
(11.8)
lungo il tubo, si possa ritenere trascurabile rispetto agli altri termini.
` importante rilevare, come gi`
E
a visto in altri casi, che nella pratica ingegneristica si ricorre spesso a
simili approssimazioni, che trascurano alcuni termini del problema al fine di una pi`
u semplice soluzione
senza per`
o inficiare sensibilmente la validit`a dei risultati ottenibili. In tali approssimazioni, anche se il
tralasciare formalmente alcuni termini appare come considerare gli stessi nulli, il relativo significato fisico
`e invece sempre associato al fatto che essi sono trascurabili rispetto agli altri fattori che intervengono
nella scrittura delle relazioni d’interesse.
Poich´e noi utilizzeremo prevalentemente l’equazione di “Bernoulli” per determinare la velocit`
a media
del flusso monodimensionale in condizioni dominate dai gradienti di pressione e dal termine convettivo,
ρu
∂u
,
∂ξ
(11.9)
della variazione della quantit`a di moto (11.6), l’approssimazione stazionaria manterr`a un significativo
livello di accettabilit`
a anche quando la velocit`
a potr`a variare temporalmente in modo non trascurabile. In
11-3
ultima analisi, la validazione di tale ipotesi spetta alla sperimentazione, ed infatti una lunga pratica ne ha
ampiamente dimostrato il livello di validit`a nelle tipiche applicazioni che qui esemplificheremo, ma potr`a,
anzi dovr`a, comunque sempre essere verificata a posteriori analizzando accuratamente i risultati ottenuti.
` infatti evidente che, se dopo avere risolto le equazioni che modellano il nostro sistema a fluido sulla
E
base di una certa ipotesi, la soluzione ottenuta non verifica le ipotesi stesse, la formulazione sviluppata
non pu`
o che ritenersi inappropriata. D’altro canto, l’ottenimento di risultati consistenti con gli assunti
non pu`
o certo garantire la bont`
a fisica della soluzione se quest’ultima `e soggetta solo ad approssimazioni
`
plausibili ma non rigorosamente provate, ragion per cui la verifica sperimentale diventa essenziale. E
utile aggiungere che spesso tale verifica pu`
o essere assunta a priori come scontata sulla base di pratiche
consolidate da una vasta letteratura. Un’ulteriore immediata applicazione di quanto appena detto viene
suggerito dalla formula espressa in unit`a di lunghezza (11.5), che chiaramente ci dice che per i fluidi pi`
u
comuni, gi`
a in presenza di variazioni di pressione dell’ordine di pochi bar, si potr`a spesso trascurare il
termine associato a variazioni di quota, poich´e le variazioni di energia gravitazionale corrispondenti sono
trascurabili rispetto alle quote barometriche e d’energia cinetica, ipotesi valida per molte applicazioni
industriali di componenti a fluido. Continuiamo ancora notando che il nostro volume di controllo `e s`ı
prevalentemente monodimensionale, ma dotato di sezione finita, per cui l’equazione di cui sopra implica
che si possano definire una pressione ed una velocit`
a mediamente uniformi nella stessa. Senza dilungarci
ricordiamo che tale condizione `e praticamente soddisfatta per correnti turbolente su tutta la sezione, al
di fuori, al pi`
u, di uno strato genericamente sottile vicino alla parete fisica che contiene il volume di
controllo. In sostanza, nella sezione il flusso `e dominato dalle forze d’inerzia, mentre gli sforzi viscosi
si evidenziano solo in prossimit`a della parete del tubo, quando la velocit`
a diminuisce fino ad annullarsi
per soddisfare la condizione di adesione del fluido alla parete. Si noti che si `e preferito parlare di
distribuzione di velocit`
a nella sezione, evitando ogni riferimento improprio ad un possibile strato limite
di parete, essendo tale estensione del concetto di strato limite inappropriata, anche se spesso usata in
letteratura1 . Come detto, l’esistenza di moti stabilmente turbolenti dipende essenzialmente dal prevalere
delle forze d’inerzia sulle forze viscose, condizione come noto sintetizzata da un numero di Reynolds
medio sulla sezione sufficientemente elevato. Nel caso di flussi prevalentemente monodimensionali, tale
numero di Reynolds `e definito da:
Re =
Di u
ρDi u
=
,
µ
ν
(11.10)
essendo Di una dimensione caratterizzante la sezione di riferimento, spesso definita per una generica
sezione col termine di diametro idraulico equivalente, o semplicemente diametro idraulico, dato da:
Di =
4A
P
(11.11)
dove A `e l’area della sezione e P `e il suo perimetro. Chiaramente, per tubi a sezione circolare, Di altro
non `e che il diametro reale del tubo. Con tale definizione si pu`
o approssimativamente ritenere che il
flusso sia sicuramente turbolento per Re > 4000 e laminare per Re < 2000, mentre per valori compresi
fra 2000 e 4000 si ha una condizione di flusso misto, detto di transizione. In generale, la transizione
presenta una isteresi, nel senso che, in assenza di perturbazioni, per numeri di Reynolds in crescita
da valori inferiori a 2000, il flusso tende a rimanere significativamente laminare ben dentro l’intervallo
critico, e, viceversa, in diminuzione da valori maggiori di 4000, il flusso tende a permanere turbolento.
La condizione Re > 4000 `e generalmente soddisfatta, e sar`a assunta come vera nella maggior parte della
nostra trattazione, salvo quando verranno specificamente evidenziati flussi meglio approssimabili come
laminari. Si ricorda che la viscosit`a dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. In particolare la
viscosit`a dei liquidi diminuisce significativamente all’aumentare della temperatura, aumentando invece,
ma con minore sensitivit`a, all’aumentare della pressione. Per i gas si hanno invece aumenti di viscosit`a
sia all’aumentare della pressione che della temperatura. Si ricordano alcuni valori tipici di orientamento
per la viscosit`a cinematica alla pressione atmosferica, e per temperature attorno ai 20o C: acqua 10−6 ,
1 La nozione di ‘strato limite’ presuppone che al di fuori di esso esista una regione del campo di moto del fluido nel quale
il comportamento possa essere approssimato dal modello del fluido perfetto, ovvero non viscoso. Questo, nelle condutture
di sezione piccola rispetto alla lunghezza, non `
e mai possibile, in quanto tutto il campo di moto risente della viscosit`
a, sia
pure in modo diverso.
11-4
olˆı qualche decina di 10−6 , aria 1.5 10−5 m2 /s. Nella pratica ingegneristica il termine “Energia dissipata”
viene denominato genericamente come “perdite d’attrito”, o anche “perdite di carico”, con riferimento
al termine energetico associato ad un salto di pressione che eguaglia le perdite stesse. Tale dicitura
richiama la semplice ed intuitiva constatazione che per vincere la resistenza d’attrito del fluido bisogna
applicare una pressione. Tali perdite vengono generalmente suddivise in perdite distribuite lungo tratti
di tubazione di sezione a caratteristiche costruttive sensibilmente costanti e perdite concentrate, collegate
ad esempio a:
• brusche variazioni di sezione,
• intersezioni di tubazioni,
• brusche curve,
• raccordi.
Le perdite d’attrito distribuite su una tubazione di lunghezza L, diametro idraulico Di e percorsa da un
fluido alla velocit`
a media u sono generalmente espresse tramite la relazione:
Energia dissipata per unit`a di volume = f
L ρu2
Di 2
(11.12)
con
f = f (Re)
(11.13)
funzione dimensionale determinata sperimentalmente. Le perdite concentrate hanno un’analoga espressione:
Energia dissipata per unit`a di volume = K
ρu2
2
(11.14)
dove K `e ancora una volta determinato sperimentalmente. Qualora l’elemento di concentrazione della
perdita coinvolga una variazione di sezione, K `e generalmente espresso assumendo per u la velocit`
a pi`
u
` opportuno ricordare che tale convenzione non ha nulla di arbitrario, in quanto la perdita
elevata. E
concentrata coinvolge un volume equivalente di controllo abbastanza limitato, per il quale `e sempre
possibile scrivere la relazione di continuit`
a in termini volumetrici
(Au)entrante = (Au)uscente .
(11.15)
Comunque `e opportuno verificare attentamente la convenzione utilizzata per definire K ogni volta che se
ne reperiscono i valori in letteratura e/o su manuali. Pu`o essere utile ricordare l’estensione del bilancio
dell’energia meccanica test`e illustrato al caso in cui il volume di controllo non sia un semplice tratto
di condotta, ma contenga anche macchine utilizzatrici/operatrici, che scambino potenza con l’esterno.
Scriviamo pertanto il:
Bilancio globale generalizzato dell’energia meccanica:
puscita
u2entrante
u2uscente
pingresso
= (ρAu)uscente
+
+ gzingresso
+
+ gzuscita
(ρAu)entrante
ρingresso
2
ρuscita
2
+ Potenza dissipata + Potenza esterna
dove il termine “Potenza esterna” si riferisce alla potenza totale scambiata con l’esterno, positiva in
uscita, mentre il termine “Potenza dissipata” indica la potenza totale dissipata all’interno. Come abbiamo detto precedentemente, l’energia dissipata si trasforma in calore che `e parzialmente smaltito lungo
il circuito idraulico, principalmente per conduzione verso componenti con esso a contatto e convezione
verso l’ambiente che lo circonda. Come gi`
a detto, noi riterremo che, anche in assenza di un significativo
smaltimento termico distribuito, le variazioni di temperatura non siano generalmente tali da causare
11-5
significativi effetti sul flusso. In tale asserzione si ritiene implicitamente che il fluido elaborato sia continuamente rinnovato, in quanto `e chiaro che, qualora la stessa massa fluida fosse continuamente ricircolata
in un impianto chiuso che non `e in grado di smaltire naturalmente il calore accumulato sotto forma di
energia interna lungo il percorso, la temperatura continuerebbe a salire invalidando l’assunto. Poich´e
questo `e proprio ci`
o che avviene negli impianti a fluido di potenza, tali impianti sono sempre dotati di
un sistema di raffreddamento, concentrato in uno o pi`
u radiatori, che ha il compito di smaltire l’energia
termica accumulata dal fluido a causa dell’attrito. Ecco allora che a questo punto possiamo chiarire cosa
intendevamo quando abbiamo detto che il bilancio dell’energia ci avrebbe permesso di trarre opportune
conclusioni sullo smaltimento dell’accumulo dell’energia dissipata per attrito sotto forma di energia interna. Infatti se Et `e l’energia totale dissipata per unit`a di massa e Q `e la portata di massa elaborata
nel circuito idraulico, la variazione media di temperatura del fluido sar`a
∆T =
Et
,
cp
(11.16)
mentre la potenza termica totale generata, e quindi da smaltire per mantenere la temperatura del fluido
in limiti accettabili, sar`
a
Pt = QEt .
(11.17)
Tali valori permettono il dimensionamento di massima del sistema di raffreddamento del fluido.
Equazione di stato: l’equazione di stato di un fluido `e una generica relazione del tipo:
ρ = ρ (p, T )
(11.18)
Per flussi idraulici e pneumatici approssimabili come incomprimibili `e spesso necessario poter valutare
alcuni effetti causati dalla comprimibilit`a sul bilancio di massa del fluido attorno alla condizione nominale
di funzionamento. Infatti si ricorda che in tale bilancio interviene il termine
d (ρV )
,
dt
(11.19)
per il quale il volume V funge da fattore di amplificazione delle variazioni di densit`a ρ, variazioni che
invece abbiamo ritenuto inessenziali e tali da non influenzare significativamente il bilancio energetico
meccanico. Limitandosi a flussi poco comprimibili e con limitate variazioni di temperatura, `e spesso
accettabile utilizzare un’approssimazione linearizzata dell’equazione di stato ottenuta con uno sviluppo
attorno ad una densit`a media nota di riferimento ρ0 :
∂ρ
∂ρ
ρ = ρ0 +
∆p +
∆T
∂p T
∂T p
!
1 ∂ρ
1 ∂ρ
∆p +
∆T
(11.20)
ρ0 1 +
ρ0 ∂p T
ρ0 ∂T p
Chiaramente, in condizioni normali2 , la densit`a aumenta all’aumentare della pressione, (∂ρ/∂p)T > 0,
mentre diminuisce all’aumentare della temperatura, (∂ρ/∂T )p < 0. Tenendo conto delle condizioni
precedenti, si definiscono allora due significative grandezze caratterizzanti i fluidi:
• il modulo di comprimibilit`a volumetrica (isotermico)
∂p
,
β = ρ0
∂ρ T
(11.21)
detto anche bulk modulus in inglese, e
2 Vi sono notevoli eccezioni nel comportamento di alcuni fluidi, che spesso si verificano in prossimit`
a di un cambiamento
di stato. Ad esempio, l’acqua ha (∂ρ/∂T )p > 0 tra 0 e 4 gradi centigradi a pressione atmosferica.
11-6
• il coefficiente di dilatazione volumetrica isobarico
1 ∂ρ
α=−
,
ρ0 ∂T p
per cui la formula espressa dall’equazione 11.20 si scrive:
1
ρ = ρ0 1 + ∆p − α∆T
β
(11.22)
(11.23)
Spesso `e utile riferire β e α ad un generico volume di riferimento V0 , invece che ad una densit`a. Essendo,
a parit`a di massa, il volume inversamente proporzionale alla densit`a, si avr`a:
ρ=
1
V
(11.24)
e quindi
dρ = −
dV
,
V2
(11.25)
per cui
β = ρ0
α=−
1
ρ0
∂p ∂V
∂p
= ρ0
= −V0
,
∂V ∂ρ T
∂V T
T
1
1 ∂V
∂ρ
∂ρ ∂V
=−
=
.
∂T p
ρ0 ∂V ∂T p
V0 ∂T p
∂p
∂ρ
(11.26)
(11.27)
Siccome abbiamo assunto trascurabili gli effetti termici sulla dinamica del fluido, α non sar`a considerato.
Al contrario, β sar`
a una caratteristica della massima importanza nella determinazione della dinamica
dei sistemi a fluido ogniqualvolta non potremo ritenere il fluido perfettamente incomprimibile, in quanto
ne caratterizzer`
a la relativa rigidezza. Si noti che `e anche possibile la definizione di un coefficiente di
comprimibilit`a adiabatica βa , collegabile a β tramite la relazione:
βa =
cp
β.
cv
(11.28)
Essendo3
γ=
cp
cv
(11.29)
significativamente approssimabile a uno per i liquidi, per essi la distinzione fra i due moduli `e solitamente
inessenziale. Per i gas, invece, la differenza pu`
o essere significativa; si ricordi che cp /cv vale all’incirca 1.4
per gas perfetti biatomici, e l’utilizzo del modulo adiabatico meglio approssima la realt`a, in quanto per i
gas l’ipotesi di adiabaticit`
a, ovvero scambio di calore nullo, `e pi`
u appropriata. Per un gas, approssimato
come perfetto, ricordando la definizione di β e la relativa equazione di stato,
p = ρRT,
(11.30)
si constata facilmente che β = p (mentre α = 1/T ) e quindi
βa =
cp
p = γp.
cv
(11.31)
Nel prosieguo, salvo diversa ed esplicita menzione, noi utilizzeremo sempre il simbolo β, sottintendendo
allo stesso βa nel caso di gas. Si pu`
o quindi avere un’idea immediata dell’ordine di grandezza della
comprimibilit`a di un gas, mentre per i liquidi si ricordano i valori approssimativi a 20o C: per gli olˆı
3 Non si confonda questo γ, rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante, con quello usato nella (11.5)
per indicare la densit`
a specifica ρg.
11-7
utilizzati nei circuiti idraulici β = 1.5 Gpa (15000 bar), e per l’acqua β = 2.1 Gpa (21000 bar). La
comprimibilit`a volumetrica generalmente diminuisce all’aumentare della temperatura, con variazioni che
dipendono da liquido a liquido; l’acqua, ad esempio, non presenta significative variazioni nell’intervallo
20 ÷ 100o C, mentre gli olˆı idraulici possono subire una diminuzione di circa il 25%.
` importante rilevare che nelle reali condizioni operative, per quanto si ponga attenzione ad evitare
E
l’inclusione e la formazione di gas, una certa percentuale di inclusione di gas non disciolto `e sempre
presente. Tale inclusione pu`
o influenzare significativamente la rigidezza del fluido, esperienza spesso
drammaticamente avvertita quando il calore sviluppato dall’eccessivo riscaldamento dei freni di un autoveicolo si trasmette al fluido del circuito frenante che evapora parzialmente, facendo s`ı che la pressione
esercitata sul pedale del freno produca un effetto frenante estremamente limitato, poich´e frenando non
si fa altro che comprimere le bolle di vapore sviluppatesi in seno al liquido (fading). Infatti, il vapore
ed il liquido agiscono come due elementi elastici in serie, per i quali, come ben sappiamo, si sommano le
relative flessibilit`
a (inverso delle rigidezze), per cui se una `e preponderante sull’altra diventa praticamente
la sola responsabile della cedevolezza globale del sistema idromeccanico.
Pu`o essere utile evidenziare tale concetto nei casi di interesse applicativo. Supponiamo che in un
volume complessivo Vt ci sia una parte Vl di liquido e una parte Vg di gas; sar`a evidentemente Vt = Vl +Vg
e ∆Vt = ∆Vl + ∆Vg . Chiamando β il modulo relativo a tutto il volume, dalla sua definizione in termini
volumetrici potremo scrivere la precedente relazione delle variazioni volumetriche nella forma:
Vt
Vl
Vg
∆p = ∆p +
∆p,
β
βl
βg
(11.32)
da cui proseguendo:
Vt − Vg
Vg
Vt
∆p =
∆p +
∆p,
β
βl
βg
(11.33)
per arrivare a:
1
Vg
1
=
+
β
βl
Vt
1
1
−
βg
βl
(11.34)
spesso pi`
u semplicemente approssimabile con
1
Vg 1
1
≃
+
,
β
βl
Vt βg
(11.35)
essendo βl ≫ βg . Da tale formula si vede come per un’inclusione volumetrica di gas dell’1%, ovvero per
Vg /Vt = 0.01, alla pressione media operativa atmosferica, βg ≡ 1 bar, un fluido idraulico con βl = 15000
bar abbia una rigidezza volumetrica effettiva di soli circa 100 bar, mentre alla pressione media operativa
di 150 bar si abbia un valore “solo” dimezzato. Questa `e certamente una delle ragioni che ben evidenzia
l’opportunit`
a dell’utilizzo di circuiti idraulici di potenza operanti a pressioni relativamente alte.
Ad ulteriore complemento si rileva che l’inclusione di aria nei circuiti idraulici operanti alla pressione
atmosferica pu`
o raggiungere valori ben maggiori dell’1%, mentre ad alte pressioni medie operative l’aria
tende a dissolversi nel liquido con minore degrado della rigidezza volumetrica dello stesso. Pur senza
dilungarci oltre, notiamo che un’ulteriore diminuzione della rigidezza apparente del fluido pu`
o imputarsi
anche alla deformabilit`a strutturale degli elementi che lo contengono.
Abbiamo gi`
a richiamato come la distinzione fra flussi comprimibili e non sia associata al numero di
Mach M e quindi alla velocit`
a di propagazione del suono nel fluido. Pu`o essere ora utile ricordare che
la velocit`
a del suono altro non `e che la velocit`
a di propagazione delle piccole perturbazioni di campo nel
mezzo, approssimato come non dissipativo, ed `e data da
s
s !
∂p
βa
=
.
(11.36)
c=
∂ρ
ρ
adiabatico
Come gi`
a ricordato, per i liquidi la distinzione fra comprimibilit`a isotermica e adiabatica `e inessenziale,
mentre per i gas `e necessario usare βa . Si ricorda che per i gas perfetti la celerit`
a del suono, a partire
dalla (11.36), `e data dalla
p
(11.37)
c = γRT .
11-8
Riprendendo il bilancio di massa dato dalla (11.1), qui ripetuto per chiarezza espositiva:
(ρAu)entrante − (ρAu)uscente =
d (ρV )
,
dt
(11.38)
dopo aver condotto buona parte della presentazione precedente sulla base dell’ipotesi di flusso incomprimibile parrebbe naturale riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici, e cio`e:
(Au)entrante − (Au)uscente =
dV
,
dt
(11.39)
essendo quindi ogni effetto instazionario attribuibile alla sola variabilit`a del volume di controllo, come nel
caso di un cilindro con pistone mobile o di una valvola con elemento di chiusura scorrevole. Ricordando
l’equazione di stato linearizzata
∆p
(11.40)
ρ = ρ0 1 +
β
e trascurando le dilatazioni termiche, `e infatti facilmente verificabile che per i liquidi ∆p/β rimane
nell’ordine di soli alcuni punti percentuali anche per variazioni di alcune centinaia di bar, mentre per
i gas, essendo ∆p/β dell’ordine di ∆p/p l’effetto `e sostanzialmente dipendente dalla pressione media
operativa, ma pu`
o comunque rimanere adeguatamente contenuto in presenza di una pressurizzazione
` comunque utile esplicitare tali considerazioni eseguendo alcuni passaggi. Sostituendo
media adeguata. E
allora l’equazione di stato linearizzata nel bilancio di massa abbiamo:
(ρAu)entrante − (ρAu)uscente = ρ
dV
V d∆p
+ ρ0
,
dt
β dt
(11.41)
che, assumendo ∆p/β sufficientemente minore di uno, permette di confondere ρ0 con ρ e quindi di
semplificare ρ e riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici:
V d∆p
dV
+
.
(Au)entrante − (Au)uscente ∼
=
dt
β dt
(11.42)
Tale formula mostra come, anche per flussi ben approssimabili come incomprimibili, in presenza di
relativamente elevate variazioni temporali di pressione e/o volumi non piccoli si possano introdurre
eccessive approssimazioni trascurando il termine
V d∆p
.
β dt
(11.43)
La differenza essenziale fra liquidi e gas `e allora legata alla pressione di riferimento implicita nell’equazione di stato linearizzata. Infatti, come gi`
a detto, per i liquidi tale equazione pu`
o fornire una buona
approssimazione anche per variazioni di pressione di centinaia di bar e si pu`
o quindi scrivere anche assumendo come pressione di riferimento la pressione nulla, e quindi direttamente in termini di pressione
assoluta:
(Au)entrante − (Au)uscente =
V dp
dV
+
dt
β dt
(11.44)
` anche opportuno ricordare che la pressione non pu`
e non di variazione ∆p. E
o essere minore di zero,
corrispondendo infatti la pressione nulla al vuoto assoluto. Una banale constatazione da cui consegue
l’impossibilit`a di aspirare un liquido alla pressione atmosferica ad un altezza di pi`
u di 100000/ (ρg) metri,
circa 10 m nel caso dell’acqua. Di fatto, a causa delle perdite di carico e della necessit`
a di garantire una
portata adeguata, il fluido deve pervenire a destinazione con una velocit`
a, e quindi energia cinetica,
adeguata, tale altezza `e in pratica assai inferiore al limite sopra riportato. Inoltre, all’abbassarsi della
pressione a livelli significativamente inferiori alla pressione atmosferica, il fluido libera ogni gas in esso
disciolto e comincia a vaporizzare, diventando praticamente bifasico (gas-liquido); i gas disciolti e il suo
vapore formano bolle di varie dimensioni. Tale condizione `e spesso fonte di varie forme di vibrazioni,
11-9
rumore e generazione di sollecitazioni dinamiche. Quando poi il liquido viene assoggettato a ricompressione, si possono generare fenomeni di erosione dovuti a pressioni intense e fortemente localizzate, causate
dall’esplosione delle bolle, che sono spesso in grado di rompere i legami intermolecolari del materiale con
cui vengono a contatto durante l’esplosione stessa, formando cavit`a ed erosioni distruttive. Il termine
generalmente usato per tali situazioni `e quello di cavitazione. Concludiamo ricordando la scrittura del
bilancio globale della quantit`a di moto per un flusso stazionario applicato ad un volume di controllo fisso:
Z
F=
ρU (U · n) dS,
(11.45)
S
essendo F la risultante di tutte le forze applicate al volume di controllo, U la velocit`
a di efflusso e S
la superficie che racchiude il volume di controllo. Tale formula risulter`
a utile per determinare le forze
scambiate fra fluido e parti meccaniche, sia fisse che mobili.
11.1
Esempi di applicazione dei concetti richiamati
11.1.1
Colpo d’ariete
Perfino nelle normali condotte domestiche dell’acqua potabile `e a volte possibile avvertire un colpo
metallico proveniente dalle tubazioni quando si chiude bruscamente un rubinetto ben aperto. Tale
“botto” `e associato alla sovrapressione che si genera a causa della comprimibilit`a dell’acqua. Non ci
addentreremo qui in uno studio dettagliato del fenomeno, ma solo in un’analisi semplificata, in grado di
fornire per`
o alcune utili indicazioni pratiche. Supponiamo allora che si sia stabilito un flusso stazionario
avente velocit`
a media u in una tubazione di lunghezza L e area A; a tale flusso sar`a associata un’energia
cinetica
T =
1
ρLAu2 .
2
(11.46)
In conseguenza di una chiusura istantanea della condotta, il flusso viene improvvisamente bloccato all’uscita, e comincer`
a a comprimersi, propagando, alla velocit`
a del suono c e in senso retrogrado al flusso,
una sovrapressione che si accompagna ad un annullamento della sua velocit`
a. Dopo un tempo L/c,
tutto il fluido avr`a velocit`
a nulla e, trascurando gli effetti gravitazionali, tutta l’energia cinetica si sar`a
trasformata ed accumulata in energia elastica, che sar`a data da:
Z
E=−
p dV .
(11.47)
V
Il principio di conservazione della massa, applicato alla tubazione, ci dice che
V dp
dV
+
= 0,
dt
β dt
(11.48)
o anche
dV = −
V
dp,
β
(11.49)
che, sostituita nell’integrale precedente, permette di scrivere
E=
1 LA 2
p .
2 β
(11.50)
Eguagliando le due energie, si ricava la variazione di pressione massima conseguente ad una soppressione
istantanea del flusso:
s
β
u = ρcu
(11.51)
∆pci = ρ
ρ
11-10
Figura 11.1: Variazione di pressione massima in una condotta
` facile constatare che gi`
che, va rilevato, non dipende dalla pressione gi`
a esistente nella condotta. E
a con
un modesto flusso d’acqua, con velocit`
a di circa un metro al secondo, si pu`
o instaurare una sovrapressione
di una decina di bar. Naturalmente, una chiusura istantanea del rubinetto di casa non `e ipotizzabile
ma, come abbiamo gi`
a detto, zero non vuol mai dire zero di per s´e, ma qualcosa di piccolo rispetto ad
` allora evidente che la rapidit`
una grandezza di riferimento. E
a di chiusura non `e un valore assoluto, ma
va collegata ad un tempo caratteristico legato al propagarsi della perturbazione ipotizzata. Tale tempo
pu`
o, riferendosi ad una compressione e riespansione completa, assumersi dato da
L
Tc = 2 ,
c
(11.52)
ragion per cui, per evitare sovrapressioni eccessive, sar`a opportuno effettuare le manovre di chiusura
in tempi molto maggiori di tale quantit`a. Tale condizione si pu`
o facilmente soddisfare in occasione
di manovre di chiusura programmabili a priori, ma pu`
o imporre un vincolo inaccettabile in tutte le
operazioni di regolazione, sia di normale funzionamento che di emergenza, nelle quali `e richiesta una certa
prontezza, ragion per cui `e spesso opportuno provvedere con opportuni accorgimenti di progetto, su cui
non `e opportuno qui dilungarsi. Chiaramente, l’esempio “domestico” viene fatto solo per immediatezza
intuitiva. Per un esempio pi`
u significativo basti pensare alle lunghe condotte in pressione che alimentano
le turbine idrauliche e agli impianti a fluido che contengono componenti di regolazione con banda passante
avente frequenze dell’ordine di 1/Tc . Il grafico di figura 11.1 permette una valutazione approssimata della
variazione di pressione massima ∆pmax che si sviluppa in una condotta in cui il fluido scorre alla pressione
p0 e la chiusura avviene con legge lineare su un tempo T . I simboli utilizzati sono:
K=
11.1.2
∆pic
,
2p0
Tc =
2L
,
c
N=
T
Tc
(11.53)
Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio)
Si supponga che in un tubo di area At sia inserito un diaframma con un’apertura di area Ao , centrata
attorno all’asse del tubo, come illustrato in figura 11.2. Se Ao `e significativamente minore di At , ovvero
se l’apertura `e un orifizio, si ha in genere una forte contrazione del flusso, la cui minima sezione non si
stabilisce in coincidenza del diaframma ma in una sezione contratta, detta appunto di vena contracta,
11-11
Figura 11.2: Orifizio
poco a valle e di area Ac = Cc Ao , essendo Cc un opportuno coefficiente di contrazione. Allora, tra la
sezione 2 e una sufficientemente a monte della sezione 1 si possono scrivere le seguenti equazioni: dalla
(11.15)
At ut = Ac uc ,
(11.54)
e dalla (11.4), ricordando la (11.14)
2∆p
= u2c (1 + Kc ) − u2t ,
ρ
(11.55)
da cui
1
uc = v
u
u
t(1 + K ) −
c
Ac
At
!2
s
2∆p
.
ρ
(11.56)
Pi`
u usualmente, per`
o, le perdite dovute alla contrazione vengono tenute in conto riscrivendo la formula
(11.56) nella forma:
s
Cu
2∆p
uc = v
,
(11.57)
!2
u
ρ
u
A
c
t1 −
At
dove Cu `e un coefficiente, detto di velocit`
a, lievemente inferiore ad uno, dell’ordine di 0.98, spesso
omesso essendo assai prossimo ad 1, il che corrisponde anche ad assumere perdite concentrate nulle e
quindi Kvc = 0. Si pu`
o allora scrivere la portata corrispondente in termini delle grandezze geometriche
effettive:
s
2∆p
Cu Cc Ao
,
(11.58)
q=v
!2
u
ρ
u
C
A
c
o
t1 −
At
che, definendo un coefficiente d’efflusso
Cu Cc
Ce = v
!2 ,
u
u
C
A
c o
t1 −
At
(11.59)
11-12
si scrive pi`
u sinteticamente:
s
2∆p
q = Ce Ao
.
ρ
(11.60)
Nella prassi, Ce `e il coefficiente di pi`
u facile valutazione sperimentale, dipende dal numero di Reynolds
ed `e sensibilmente compreso fra 0.6 e 0.7 per rapporti di contrazione che soddisfino la relazione: 0.2 ≤
Ao /At ≤ 0.6. Per mantenersi consistenti con la relazione sopra illustrata, per il calcolo della portata da
un orifizio sar`
a allora opportuno calcolare la relativa velocit`
a d’efflusso con:
s
2∆p
u o = Ce
.
(11.61)
ρ
Va anche notato che nelle formule precedenti si `e sempre assunto ∆p > 0 e che un’eventuale variazione del
segno del salto di pressione starebbe ad indicare l’inversione del flusso attraverso l’orifizio. Chiaramente,
sia la portata che la velocit`
a d’efflusso sono grandezze con un verso, e quindi segno, e un’inversione di
flusso `e sempre possibile. In relazione a tale eventualit`a, sar`a opportuno scrivere:
s
2 |∆p|
q = Ce Ao
sign (∆p)
(11.62)
ρ
nella quale, qualora si evidenzino asimmetrie geometriche, si dovr`a inoltre avere cura di utilizzare un Ce
dipendente anch’esso dal segno del salto di pressione. Una simile precauzione pu`
o essere evitata solo se
`e possibile garantire l’impossibilit`
a di inversione del flusso sulla base di considerazioni fisiche, ragion per
cui ∆p ≤ 0 diventer`
a invece una sicura indicazione di errori di calcolo e/o di modellazione. La presenza
p
del termine 2∆p/ρ nelle formule presentate evidenzia chiaramente che tali formule non sono utilizzabili
per flussi laminari. In tale caso `e infatti noto che la portata `e invece proporzionale a ∆p, per cui si pu`
o
scrivere:
q = Cel Ao ∆p.
(11.63)
Si riportano quindi brevemente le espressioni di Cel per due geometrie di orifizi pi`
u comuni, valide quando
la dimensione massima degli stessi `e molto minore della dimensione del tubo:
• per orifizi circolari:
Cel =
d
;
12.6µ
(11.64)
• per orifizi rettangolari e corone circolari di altezza molto inferiore alla circonferenza media:
Cel =
dimensione minima
.
10.2µ
(11.65)
Anche se non `e un orifizio, ricordiamo qui la formula per il Cel del flusso piano fra due piastre di lunghezza
L distanti h, con h/L molto minore di uno:
Cel =
h2
12µL
(11.66)
Essendo h/L molto minore di uno, il flusso `e sostanzialmente bidimensionale sia per intagli rettangolari che circolari, e tale formula `e assai utile per determinare le perdite di flusso conseguente ai giochi
costruttivi. Come gi`
a precedentemente ricordato a commento del bilancio di energia meccanica nelle
condotte, si rileva che le espressioni sopra ricavate valgono per flussi stazionari, ma verranno da noi
utilizzate anche nel caso non stazionario, essendo tale fenomeno dominato dalle variazioni di pressione e
dai termini inerziali convettivi.
11-13
Figura 11.3: Molla-smorzatore a fluido
11.1.3
Molla-smorzatore a fluido
Con riferimento alla figura 11.3, si assuma che il cilindro-pistone contenga un fluido inizialmente pressurizzato uniformemente, in modo da non avere squilibri di pressione sulle due facce. Assumendo che
ogni successivo movimento sia effettuato in modo da causare variazioni di pressione tali da permettere
di utilizzare il bilancio di massa basato sull’equazione di stato linearizzata (11.42), ricordando la (11.63),
potremo scrivere:

β


(−Ap x˙ − Celi Aeli (∆P1 − ∆P2 ) − Cele Aele ∆P1 )
 ∆P˙ 1 =
Ap x
(11.67)
β


 ∆P˙ 2 =
(Ap x˙ + Celi Aeli (∆P1 − ∆P2 ) − Cele Aele ∆P2 ) ,
Ap (L − x)
dove L `e la corsa del pistone, e i termini di scambio di fluido, fra le due camere e verso l’esterno, sono
formulati assumendo un flusso laminare, ritenendo quindi che gli accoppiamenti cilindro-pistone e stelosupporti siano sufficientemente precisi da garantire giochi tali da mantenere il numero di Reynolds ben
dentro i limiti di laminarit`
a in ogni condizione operativa. Celi `e il coefficiente di efflusso laminare interno
attraverso l’area anulare Aeli attorno al pistone, Cele `e il coefficiente di efflusso laminare verso l’esterno
attraverso i supporti dello stelo. Supponendo che l’attrito che si stabilisce fra cilindro e pistone e fra
stelo e supporti sia approssimabile con una dissipazione viscosa di coefficiente r, la forza generata dalla
molla-smorzatore sar`
a:
F ′ = (∆P1 − ∆P2 ) Ap − rx.
˙
(11.68)
Le formule di cui sopra possono essere sintetizzate nella seguente forma matriciale:
• equazione di stato:
∆P˙ 1
∆P˙ 2

Celi Aeli + Cele Aele
β 
x
=−

Celi Aeli
Ap
−
L−x


1
−

x  x;
+β
˙
1 
L−x
• equazione di uscita:
′
F = −Ap
−1 1
∆P1
∆P2

Celi Aeli
 ∆P1
x
Celi Aeli + Cele Aele  ∆P2
L−x
− rx;
˙
−
(11.69)
(11.70)
11-14
le quali mostrano come il sistema risponda con la generazione di una forza ad un movimento assegnato
definito da x, x.
˙ Si deve rilevare che il comportamento della molla-smorzatore a fluido non solo sia non
lineare, per la presenza dello spostamento x a denominatore, ma sia anche caratterizzato da un sistema
di equazioni differenziali che non permettono di definire la forza come puntualmente dipendente dai
valori istantanei di x, x,
˙ poich´e la stessa viene a dipendere dall’integrazione di un sistema di equazioni
differenziali e quindi dalla storia del movimento.
Caso limite: smorzatore Solo nel caso in cui il coefficiente di comprimibilit`a sia talmente elevato, e
i movimenti sufficientemente lenti da rendere le derivate delle variazioni di pressione trascurabili rispetto
alla variazione temporale delle pressioni nelle due camere, il sistema sar`a approssimabile con la semplice
relazione algebrica:


Celi Aeli + Cele Aele
 2
 −
′
x

F = − Ap −1 1 
Celi Aeli
L−x

−1 

1
Celi Aeli

  −x 
x
˙ (11.71)
+ r
 x.
Celi Aeli + Cele Aele  
1 
−
L−x
L−x
In tal modo `e s`ı possibile una relazione algebrica che permette di determinare la forza esercitabile dalla
molla-smorzatore a fluido, ma il comportamento rimane comunque non lineare, ed una linearizzazione
`e possibile solo per piccole perturbazioni attorno ad una condizione di riferimento, ovvero ad un dato
valore di x.
Caso limite: molla Si noti che una forza dipendente dalla sola posizione `e possibile solo con tenute
perfette e senza nessun attrito di contatto, nel qual caso si ha una molla a fluido:
Celi Aeli = Cele Aele = 0,
(11.72)
si ha
∆P˙ 1
∆P˙ 2

1

x  x˙
=β
1 
L−x

−
(11.73)
che, per integrazione (trascurando la dipendenza da x del termine forzante4 ), d`a
4 In
∆P1
∆P2


1
 −x 
=β
(x − x0 ) .
1 
L−x
(11.77)
realt`
a la funzione `
e facilmente integrabile per separazione di variabili:
Z
Z
x˙
dt
∆P˙1 dt = −β
x
con ∆P1 = 0 quando x = x0 diventa
x
,
∆P1 = −β log
x0
(11.74)
(11.75)
la cui successiva linearizzazione attorno a x = x0 , ∆P1 = 0 d`
a
∆P1 = −
β
(x − x0 ) .
x0
(11.76)
11-15
Figura 11.4: Attuatore idraulico lineare
La forza diventa
∆P1
−1 1
∆P2
1
1
(x − x0 )
+
= −βAp
x L−x
L
= −βAp
(x − x0 ) ,
x (L − x)
F ′ = −Ap
(11.78)
che rappresenta un elemento elastico non lineare, la cui linearizzazione attorno a x = x0 d`a:
F ′ = −βAp
L
∆x.
x0 (L − x0 )
(11.79)
Si noti come il minimo della rigidezza equivalente si abbia per x0 = L/2, mentre questa tenda ad infinito
quando x0 `e tale da far tendere a zero il volume di una delle camere.
11.1.4
Attuatore idraulico lineare
Se nel cilindro studiato nel caso precedente, che supponiamo attuato con un liquido, apriamo due luci di
alimentazione che, grazie ad una valvola di distribuzione, possiamo collegare sia ad una elevata pressione
di alimentazione, ritenuta costante, Pa , che a una pressione di scarico Ps (spesso la pressione atmosferica),
otteniamo un attuatore, leggasi anche motore, idraulico lineare, ovvero una macchina che genera uno
spostamento o una forza, illustrato in figura 11.4. Utilizzando i concetti qui presentati, il comportamento
di tale sistema `e modellabile tramite il seguente sistema di equazioni differenziali non lineari:
11-16
• bilancio di massa nelle due camere, dalle (11.67) e (11.60):
P˙ 1
=
P˙ 2
=


s
2
β 
−Ap x˙ − Celi Aeli (P1 − P2 ) − Cele Aele (P1 − Pe ) + Ce Aic
(Pa − P1 )
Ap x
ρ


s
2
β
Ap x˙ + Celi Aeli (P1 − P2 ) − Cele Aele (P2 − Pe ) − Ce Auc
(P2 − Ps ) ;
Ap (L − x)
ρ
• equazione di moto del pistone:
Mx
¨ = Ap (P1 − P2 ) − rx˙ − F,
(11.80)
essendo F una generica forza esterna applicata alla stelo (opposta allo spostamento x).
Anch’esse sono sintetizzabili in forma matriciale nella seguente:

0
1
0
0

 
A
Ap
r
p
 0 −
x˙ 
−




 x

M
M
M

¨

Celi Aeli + Cele Aele
Celi Aeli
β
=
−β
β
−
 P˙ 1 
  0

x
Ap x
Ap x
 ˙  

P2

β
Celi Aeli
Celi Aeli + Cele Aele
0
β
−β
L−x
Ap (L − x)
Ap (L − x)





+




0
s 0
βCe 2
(Pa − P1 )
Ap x ρ
0

0
0










x
x˙
P1
P2

0



0




Cele Aele
A
ic


0
 Auc +  β Ap x


s


Cele Aele
2
βCe

β
(P2 − Ps )
−
Ap (L − x)
Ap (L − x) ρ





(11.81)








 Pe − 





0
1
M
0
0



 F,

(11.82)
dalla quale si vede che si pu`
o controllare il movimento del pistone e la forza generata controllando le
portate di fluido nelle camere del cilindro tramite le aperture Aic , Auc . Spostando opportunamente la
valvola a cassetto `e possibile anche invertire il collegamento tra le camere del pistone e le pressioni di
alimentazione e scarico. In questo modo il comportamento dell’attuatore `e perfettamente simmetrico.
11-17
11-18
Capitolo 12
Sistemi vibranti ad un grado di
libert`
a — Parte II
Generato il 23 ottobre 2014
I think that there is a moral to
this story, namely that it is more
important to have beauty in one’s
equations that to have them fit
experiment.
Paul Dirac
12.1
Identificazione dello smorzamento
12.1.1
Smorzamento viscoso: moto libero
Nell’ipotesi di avere uno smorzamento di tipo viscoso, la risposta del moto libero `e retta da una legge
del tipo
p
1 − ξ 2 ω0 t + φ
(12.1)
x (t) = |X| e−ξω0 t sin
Negli istanti di tempo t per cui
p
sin
1 − ξ 2 ω0 t + φ = 1
(12.2)
la risposta `e tangente all’inviluppo esponenziale
|X| e−ξω0 t ;
(12.3)
tuttavia le tangenti non sono orizzontali, e i punti di tangenza sono leggermente spostati a destra del
punto di massima ampiezza. Generalmente questo fatto `e trascurabile e l’ampiezza del punto di tangenza
pu`
o essere considerata coincidente con l’ampiezza al punto di massimo dell’oscillazione. Con riferimento
alla simbologia indicata in figura, il decremento logaritmico tra due oscillazioni consecutive `e
|X| e−ξω0 t
x1
= ln
= ξω0 T
(12.4)
δ = ln
x2
|X| e−ξω0 (t+T )
Dal momento che il periodo di una oscillazione `e
T =
2π
2π
= p
ω
ω0 1 − ξ 2
(12.5)
12-1
Figura 12.1: Identificazione dello smorzamento.
Figura 12.2: Validit`a dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (12.6).
si ottiene
δ=p
2πξ
1 − ξ2
∼
= 2πξ
(12.6)
ove l’approssimazione si pu`
o ritenere valida per valori di ξ relativamente piccoli (si noti che per ξ = 0.1
l’errore `e dello 0.5%, mentre per ξ = 0.3 l’errore `e del 5%). La validit`a dell’approssimazione `e illustrata
in figura 12.2.
Si noti inoltre che, per ξ = 0.1, l’attenuazione `e x2 /x1 = e−ξω0 T ∼
= 0.53, ovvero l’ampiezza dell’oscillazione su un periodo `e quasi dimezzata. Ne consegue che il segnale si attenua molto rapidamente.
12.1.2
Smorzamento viscoso: moto forzato
Si consideri un sistema a un grado di libert`
a, ipotizzando smorzamento viscoso. L’equazione del moto `e
m¨
x + cx˙ + kx = f (t).
(12.7)
12-2
Si consideri una forzante armonica del tipo
f (t) = F0 sin (ωt) .
(12.8)
Il lavoro compiuto da tutte le forze sul periodo si ottiene integrando l’equazione del moto lungo il cammino
percorso in un periodo,
Z
Z
(m¨
x + cx˙ + kx) dx = f dx
(12.9)
il lavoro introdotto in un periodo dalla forzante `e quindi
Z
L = f dx.
(12.10)
Supponendo il sistema a regime, con legge oraria del moto
x (t) = |X| sin (ωt + φ) ,
(12.11)
ne deriva quindi che
dx =
dx
dt = |X| ω cos (ωt + φ) dt
dt
(12.12)
e quindi la (12.10) diventa1
Z
Z
L = f dx =
2π
ω
0
f x˙ dt = ωF0 |X|
Z
2π
ω
0
sin (ωt) cos (ωt + φ) dt = −πF0 |X| sin φ
(12.14)
dove si `e sfruttata la relazione T = 2π/ω tra periodo e pulsazione.
Nell’ipotesi di smorzamento viscoso, quindi con fD = −rx˙ e forza in ritardo2 di π/2 rispetto allo
spostamento, il lavoro dissipato3 a regime `e
Z 2π
Z
Z 2π
ω
ω
2
2
rx˙ 2 dt = −ω 2 r |X|
cos2 (ωt + φ) dt = −ωπr |X|
(12.15)
LD = (−rx)dx
˙
=−
0
0
Imponendo l’annullamento della somma del lavoro (12.14) compiuto dalla forzante F e di quello (12.15)
assorbito dallo smorzamento viscoso si ottiene
2
L + LD = −πF0 |X| sin φ − ωπr |X| = 0,
(12.16)
da cui `e possibile ricavare il valore dello smorzamento
r=−
F0 sin φ
ω |X|
(12.17)
a seguito del rilevamento sperimentale del modulo |X| e della fase φ della risposta del sistema ad una
forzante armonica (si ricordi che per un sistema ad un grado di libert`
a −π < φ ≤ 0), di cui siano noti
ampiezza F0 e pulsazione ω.
Dalla misura dell’energia dissipata scopriamo che, a parit`a di ampiezza |X| della risposta, il lavoro
dissipato varia proporzionalmente con la pulsazione ω, mentre a parit`a di pulsazione si modifica con il
quadrato dell’ampiezza della risposta.
1 Si
ricordi che, secondo le formule di prostaferesi,
cos (ωt + φ) = cos (ωt) cos φ − sin (ωt) sin φ
(12.13)
e che l’integrale sul periodo del prodotto di funzioni ortogonali d`
a zero, a meno che non si tratti della stessa funzione,
ovvero del quadrato di una funzione; quindi nella (12.14) solo il termine sin2 (ωt) d`
a integrale diverso da zero.
2 La velocit`
a x˙ `
e in anticipo di π/2 rispetto allo spostamento; siccome per`
o la forza ha segno negativo, risulta essere in
ritardo rispetto allo spostamento.
3E
` relativamente agevole verificare che il lavoro compiuto su un periodo dalle forze elastiche e di inerzia per il movimento
armonico descritto dalla (12.11) `
e nullo; di conseguenza, se la forzante compie lavoro, questo non pu`
o che essere assorbito
dalle forze dissipative.
12-3
12.1.3
Smorzamento isteretico
A dispetto di quanto evidenziato nel paragrafo precedente, molte esperienze di laboratorio hanno mostrato che se il fenomeno dissipativo `e legato a fenomeni d’isteresi, come spesso avviene ad esempio per lo
smorzamento delle vibrazioni nelle strutture metalliche, l’energia dissipata in un ciclo `e indipendente
dalla frequenza di vibrazione, e dipende solamente dal quadrato dell’ampiezza di deformazione e quindi
di vibrazione, per cui
LD ÷ − |X|
2
→ LD = −α |X|
2
(12.18)
ovvero
2
2
LD = −ωπreq |X| = −α |X| .
(12.19)
Da questa si ricava uno smorzamento equivalente, all’equilibrio, dato da
req =
1α
ωπ
(12.20)
per cui l’equazione differenziale, la cui soluzione descrive il moto del sistema quando `e forzato armonicamente alla frequenza ω, diventa
m¨
x+
1α
x˙ + kx = F0 sin (ωt)
ωπ
(12.21)
il cui integrale particolare ha un’ampiezza
F0
|X| = v
u
u
t(k − ω 2 m)2 +
α
π
(12.22)
!2
che in risonanza vale
|X| =
F0
α/π
(12.23)
Si noti che l’equazione (12.21) non `e in grado di descrivere il comportamento generale del sistema, in
quanto il coefficiente che moltiplica x˙ dipende dalla pulsazione ω della forzante; quindi `e in grado di
descrivere solamente il comportamento del sistema soggetto ad una forzante armonica alla frequenza ω.
La conclusione `e che lo smorzamento viscoso, descritto dalla relazione costitutiva FD = −rx,
˙ consente
di introdurre smorzamento nei modelli matematici dei sistemi fisici preservando i vantaggi dell’uso di
modelli lineari o linearizzati, ma l’evidenza sperimentale mostra che in alcuni casi non descrive in modo
adeguato la natura della dissipazione che ha luogo nei meccanismi durante i fenomeni di vibrazione.
Tuttavia, vista l’importanza dello studio di fenomeni meccanici quali le vibrazioni, sia libere che forzate
armonicamente, la possibilit`
a di tarare empiricamente il coefficiente di smorzamento ξ in funzione della
pulsazione ω della forzante consente comunque di utilizzare il modello viscoso, introducendo quindi il
fenomeno fondamentale della dissipazione dell’energia associata alle vibrazioni, tenendone ben presenti i
limiti di applicabilit`
a.
12.2
Isolamento delle vibrazioni
Come abbiamo visto, la forzante armonica impressa al nostro oscillatore potrebbe essere dovuta a un
macchinario ruotante con velocit`
a angolare ω posto sulla massa di fondazione.
La forza trasmessa al terreno, al generico tempo t, sar`a
Ftr (t) = kx + rx˙ = kXeiωt + irωXeiωt = (k + irω) Xeiωt = Ftr eiωt
12-4
(12.24)
Figura 12.3: Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno.
Figura 12.4: Sistema soggetto a vibrazione del terreno.
dove
|Ftr | = q
F0
q
k 2 + (rω)
2
2
(k − mω 2 ) + (rω)
(12.25)
2
ovvero
v
u
u
t1 +
|Ftr |
= v
u
F0
u
u
t 1−
ω
2ξ
ω0
!2
!2 2
ω
 +
ω0
2ξ
(12.26)
ω
ω0
!2
Come visto in precedenza, questa forzante armonica applicata al terreno lo porter`a a vibrare con
un’ampiezza b, ovvero con una legge del tipo descritto dalla (5.73), che forzer`a le strutture circostanti,
come illustrato in figura 12.4.
Per questa struttura l’equazione di equilibrio dinamico `e
m¨
x + r (x˙ − y)
˙ + k (x − y) = 0
(12.27)
ovvero
m¨
x + rx˙ + kx = ry˙ + ky = b (iωr + k) eiωt
(12.28)
12-5
Figura 12.5: Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno ω/ω0
`e indicato con ω/ωn , lo smorzamento r `e indicato con c, mentre la fase φ `e rappresentata con segno
opposto).
e il relativo integrale particolare `e
xp = |X| ei(ωt+φ)
(12.29)
con
|X| = q
b
q
k 2 + (rω)
2
2
(k − mω 2 ) + (rω)
(12.30)
2
ovvero
v
u
u
t1 +
|X|
= v
u
b
u
u
t 1−
ω
ω0
ω
2ξ
ω0
!2 2
!2
 +
2ξ
(12.31)
ω
ω0
!2
Si noti che pur essendo due fenomeni diversi, la soluzione `e del tutto analoga a quella della forza trasmessa,
descritta dalla (12.26). In entrambi i casi interessa che la soluzione sia ≪ 1 tanto per la forza trasmessa
|Ftr | /F0 al terreno quanto per la trasmissibilit`
a β = |X| /b.
I parametri di progetto sono:
• per la macchina eccitatrice la massa M , la pulsazione di funzionamento a regime ω e il momento
statico di eccenticit`a me, prodotto della massa eccentrica m e della distanza dal centro di rotazione
e;
• per la struttura eccitata la massa m, l’ampiezza dello spostamento imposto b e ovviamente la
pulsazione ω dell’eccitazione, che `e uguale a quello della macchina sbilanciata.
√
Diagrammiamo l’andamento di β = |X| /b al variare di ω/ω0 . Si nota che per ω/ω0 = 2 la
trasmissibilit`
a `e pari a 1 e che al crescere del rapporto tra le frequenze la trasmissibilit`
a scende fino
a tendere asintoticamente a zero per ω/ω0 → ∞. Questo fatto avviene indipendentemente dal valore
dell’indice di smorzamento ξ, il cui effetto `e, al suo aumento, di ridurre l’ampiezza di vibrazione per
ω/ω0 = 1, ma d’altra parte, rallenta la diminuzione di β per ω/ω0 → ∞.
12-6
√
Riassumendo, converrebbe quindi scegliere ω/ω0 > 2, e quindi la rigidezza k < mω 2 /2, e nel
contempo avere valori del fattore di smorzamento ξ piccoli per non ricorrere a rigidezze k troppo piccole,
che comportano,
√ ad esempio, frecce statiche elevate. Poich´e abbiamo scelto di far operare la fondazione
con ω/ω0 > 2, ci`
o significa che tutte le volte che il macchinario viene avviato o arrestato, entrambe
le fondazioni, durante il transitorio, si troveranno a passare per ω/ω0 = 1 e quindi non conviene avere
valori dell’indice di smorzamento troppo piccoli, o addirittura trascurabili, in quanto ci`o porterebbe ad
ampiezze in risonanza elevate che creerebbero problemi ai collegamenti verso l’esterno del macchinario.
In secondo luogo, operare con valori di ξ piccoli significa anche non poter pi`
u trascurare l’integrale
generale dell’omogenea associata, che partecipa alla soluzione completa, perch´e torna a essere presente
tutte le volte che avvengono delle perturbazioni, per quanto piccole, delle condizioni di regime, e la sua
cancellazione pu`
o richiedere un numero elevato di cicli.
I problemi maggiori vengono, tuttavia, creati dalla rigidezza k. Dal diagramma di figura 12.5 si vede,
ad esempio, che per ridurre del 60% le vibrazioni nelle strutture circostanti dobbiamo avere ω/ω0 > 2,
ovvero k < mω 2 /4.
Tale ragionamento porterebbe a scegliere ω0 → 0, ma in tale caso
δst =
mg
g
= 2
k
ω0
(12.32)
ovvero lo schiacciamento statico `e inversamente proporzionale al quadrato della pulsazione caratteristica
del sistema, per cui dovremmo realizzare fondazioni con frecce statiche molto grandi, e tale problema `e
ovviamente di impossibile soluzione se abbiamo macchine lente in cui ω `e dell’ordine di qualche centinaio
di giri/min.
Per un’asta omogenea ed uniforme, la rigidezza k `e esprimibile come
k=
F
F
FE
F EA
EA
=
=
=
=
∆h
hε
hσ
hF
h
(12.33)
quindi per ridurre k, scelto un materiale e quindi il modulo di elasticit`
a E, dovremo avere delle aree A
piccole e degli spessori h degli elementi elastici (ad esempio un tappeto di gomma) grandi. Ma, perch´e
la molla sia in grado di sopportare un certo carico, ad esempio quello statico, deve valere la relazione
mg
F
>
σamm
σamm
(12.34)
mgE
σamm h
(12.35)
A>
quindi
k>
ovvero
ω0 =
r
k
>
m
r
gE
(12.36)
σamm h
da cui si nota che per avere una bassa pulsazione caratteristica ω0 ed essere contemporaneamente in
grado di sostenere la sollecitazione statica si dovrebbero avere bassi valori di E e corrispondentemente,
impossibili nei materiali, alti valori di σamm e comunque alti valori di h, che potenzialmente creerebbero
problemi di instabilit`
a delle aste caricate di punta.
12.3
Strumenti di misura delle vibrazioni
Tra le applicazioni del nostro oscillatore degna di nota `e la misura delle vibrazioni assolute di un corpo,
come illustrato in figura 12.6.
Con riferimento alle grandezze indicate nella figura 12.6 e ai relativi versi positivi degli spostamenti,
avremo che
Ks x0 + B x˙ 0 = M x
¨M = M (¨
xi − x
¨0 )
(12.37)
12-7
Figura 12.6: Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo.
dove xi `e il movimento del telaio, che rappresenta un cedimento imposto del vincolo, mentre xM `e lo
spostamento assoluto della massa M , e x0 = xi − xM `e lo spostamento relativo4 , ovvero la grandezza che
viene direttamente misurata per determinare, in via indiretta, il movimento xi imposto alla cassa dello
strumento.
La (12.37) pu`
o essere riscritta usando le nostre consuete notazioni come
kx0 + rx˙ 0 = M x
¨M = M (¨
xi − x
¨0 )
(12.38)
xi (t) = |Xi | sin (ωi t + ψi )
(12.39)
dove
`e l’andamento temporale dell’i-esima componente armonica (serie di Fourier) dello spostamento incognito
x (t) del vincolo.
Riordinando l’equazione avremo
Mx
¨0 + rx˙ 0 + kx0 = −ωi2 |Xi | M ei(ωi t+ψi )
(12.40)
di cui l’integrale particolare ha coefficiente complesso
!2
ωi
|Xi | eiψi
−
2
iψi
ω
0
−ωi |Xi | M e
= |X0i | eiφi
X0i =
=
!2
−ωi2 M + k + irωi
ωi
ωi
+ i2ξ
1−
ω0
ω0
p
con ω0 = k/M e ξ = r/rc = r/ (2M ω0 ).
Se riferiamo le fasi della risposta a quelle delle componenti armoniche avremo che
!2
ωi
−
|Xi |
ω0
′
X0i =
= |X0i | ei(φ−ψi ) = |X0i | eiβi
!2
ωi
ωi
1−
+ i2ξ
ω0
ω0
(12.41)
(12.42)
da cui si ottiene
4 Si
′
|X0i
|
= v
u
|Xi |
u
u
t 1−
!2
ωi
−
ω0
!2 2
ωi
 +
ω0
(12.43)
2ξ
ωi
ω0
!2
noti che, come indicato nella figura, il verso di x0 `
e opposto a quello di xM e xi
12-8
Figura 12.7: Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni.
e



−1 
βi = − tan 


2ξ
1−
ωi
ω0




!2 
ωi 

ω0
(12.44)
Si nota, quindi, che, se ωi ≫ ω0 (almeno 4÷5 volte) la misura dell’ampiezza della vibrazione relativa
permette di ricavare quella incognita di trascinamento. Ovviamente, affinch´e la misura non sia distorta,
|X0i | / |Xi | deve essere costante e βi = nπ (con n=0,1,2,. . . ,N ) per i = 1,2,3,. . . ,N .
Questa esigenza comporta che il sismografo, tale `e il nome dello strumento, abbia una frequenza
propria ω0 < ω1 /4, dove ω1 `e la prima delle armoniche significative del segnale che si intende misurare,
e tale condizione verifica automaticamente che non vi sia distorsione per le componenti armoniche di
ordine superiore.
I sismografi sono quindi strumenti pesanti e ingombranti, dovendo avere una frequenza propria necessariamente bassa; normalmente si usano indici di smorzamento ξ dell’ordine di 0.6-0.7 per ridurre l’effetto
delle condizioni iniziali.
Nel caso duale di ωi ≪ ω0 risulta che |X0i | / |Xi | → 0, per cui
¨i (t)
x
¨M (t) = x
¨i (t) − x
¨0 (t) ∼
=x
(12.45)
e la forza d’inerzia agente sulla massa M `e praticamente dovuta al solo moto di trascinamento, per cui, se
riuscissimo a misurare la reazione della molla, questa, a meno del guadagno, sarebbe pari all’accelerazione
incognita del vincolo.
Ovviamente la necessit`
a di non distorcere la misura comporta che la condizione ωi ≪ ω0 sia verificata
per la massima frequenza presente nello sviluppo in serie del segnale incognito, ovvero ω0 deve essere
dell’ordine dei kHz. Dobbiamo avere, quindi, massa M molto piccola e rigidezza k molto grande.
Spesso come elemento elastico si usa una lastra di quarzo, materiale piezoelettrico5 che, se sollecitato
lungo l’asse elettrico, produce sulle facce ortogonali all’asse delle cariche di segno opposto proporzionali
5 Letteralmente, un materiale che genera una carica elettrostatica per effetto di uno sforzo. Si tratta di materiali polari
che, deformati o caricati lungo direzioni preferenziali, si polarizzano elettricamente, producendo un dipolo elettrico e quindi
una carica di spostamento, in analogia con i condensatori piani le cui piastre siano spostate. Il legame costitutivo, qui
ridotto per semplicit`
a in forma monodimensionale, `
e formato da una parte elastica
σ = Eε − eE
(12.46)
e da una dielettrica
D = eε + ǫE
(12.47)
12-9
Figura 12.8: Accelerometro piezoelettrico.
alla forza applicata (circa 2 pC/N). L’uso del quarzo limita la frequenza minima di misura (dell’ordine
dell’Hz).
Riscrivendo l’equazione differenziale in coordinate assolute
Mx
¨M i + rx˙ M i + kxM i = rx˙ i + kxi = (iωi r + k) |Xi | ei(ωt+ψi )
(12.48)
otteniamo l’integrale particolare
xM i (t) = XM i eiωi t
(12.49)
con
XM i =
(k + iωi r) |Xi | eiψi
= |XM i | eiβi
k − M ωi2 + iωi r
(12.50)
ovvero
e
|XM i |
= |Hi | = q
|Xi |
βi = − tan−1
q
k 2 + (ωi r)
2
2
(k − M ωi2 ) + (ωi r)
ωi r 2k − M ωi2
−k 2 + kM ωi2 + (ωi r)
2
(12.51)
2
!
(12.52)
Utilizzando, a esempio, un fattore di smorzamento ξ = 0.7 si nota che la fase varia, per un range di
frequenza compreso tra 0.6ω0 e ω0 , con legge pari a βi ÷ ωi /ω0 .
dove σ e ε sono i consueti sforzi e deformazioni, D ed E sono rispettivamente lo spostamento dielettrico ed il campo elettrico,
E`
e la rigidezza del materiale, ǫ `
e la sua costante dielettrica ed infine e `
e la costante piezoelettrica. Quindi uno strumento
di questo tipo consente di tradurre una misura di sforzo o di deformazione direttamente in una misura elettrica, fatte salve
esigenze ulteriori di condizionamento ed amplificazione del segnale.
12-10
12.4
Risposta a forzante impulsiva
12.4.1
Impulso di quantit`
a di moto
Si consideri un generico sistema meccanico ad un grado di libert`
a,
m¨
x + kx = f (t) .
(12.53)
La forzante f (t) sia un impulso. Per il momento, la si consideri semplicemente una forzante che vale 0
lontano da t0 , e che abbia un valore tendente ad infinito per t = 0. A questa definizione poco rigorosa si
affianca il requisito che l’integrale dell’impulso sia per`
o finito, e valga f1 .
La durata dell’evento impulsivo
deve
essere
trascurabile
rispetto alla scala dei tempi del problema,
p
definita da T = 2π/ω0 = 2π/ k/m.
Siccome la forzante impulsiva ha durata infinitesima, mentre la forza `e diversa da zero, non possono ragionevolmente avere luogo variazioni finite di x, per cui il contributo delle forze elastiche kx ad
equilibrare l’ingresso sar`
a nullo. Il valore della forza tende istantaneamente ad infinito; l’accelerazione
che ne consegue tender`
a anch’essa istantaneamente ad infinito. Siccome l’integrale della forza `e finito, e
l’integrale di una forza nel tempo corrisponde ad un impulso di quantit`a di moto, ad esso corrisponder`
a
una variazione finita di quantit`a di moto del sistema, ovvero
Z
+∞
f (t) dt = ∆q =
−∞
Z
0+
0−
f (t) dt = m x˙ 0+ − x˙ 0− ,
(12.54)
dove x˙ (0− ) e x˙ (0+ ) hanno il significato di velocit`
a ‘appena prima’ e ‘appena dopo’ l’applicazione della
forzante impulsiva. Di conseguenza, l’applicazione di una forzante impulsiva corrisponde ad una repentina
modifica delle condizioni iniziali di velocit`
a del problema, in corrispondenza del tempo t = 0, pari a
∆x˙ =
f1
.
m
(12.55)
Ne consegue che, intuitivamente, risolvere un problema di forzamento impulsivo corrisponde a risolvere il
problema omogeneo, nel quale l’effetto dell’impulso si manifesta in una modifica delle condizioni iniziali.
12.4.2
Impulso
Un impulso `e una funzione che per una durata tendente a zero assume un valore molto elevato, tendente
ad infinito, mentre `e nulla al di fuori di quell’intervallo di tempo. Tuttavia, l’integrale nel tempo di tale
funzione, su un dominio che comprenda l’intervallo in cui non `e nulla, `e finito.
Al di l`
a della sua formalizzazione matematica, accennata nel seguito ma sostanzialmente lasciata a
corsi successivi, si pensi ad un impulso come a qualche cosa che ha luogo in un tempo molto limitato
rispetto alla scala dei tempi caratteristica del problema che si sta analizzando. Se ci`o `e vero, l’espressione
precisa dell’impulso in funzione del tempo non ha molta importanza, ci`o che conta `e l’effetto che esso ha
sul sistema.
Come indicato in figura 12.9, si immagini che l’impulso, convenzionalmente definito all’istante t = 0,
abbia forma rettangolare, ovvero sia nullo per t < −a/2 e t > a/2, e assuma il valore b per −a/2 <
t < a/2, senza (per ora) precisare quanto valga per t = ±a/2. Questo equivale a descriverlo come una
sequenza di due scalini di ampiezza uguale e segno opposto, distanziati di un tempo a.
L’integrale rispetto al tempo tra −∞ e +∞ dell’impulso cos`ı definito vale ab; se si assume convenzionalmente che tale valore sia 1, si ottiene l’ampiezza dell’impulso b = 1/a. Quindi, se la durata a tende
a 0, l’ampiezza tende ad infinito, ma l’integrale rimane finito.
` possibile immaginare altre funzioni con caratteristiche analoghe, ma pi`
E
u regolari, come quelle
illustrate in figura 12.10: un triangolo di base 2a e altezza b (funzione con continuit`
a C0 ), la funzione
1
(1 + cos(πt/a))b/2 in [−a, a] (funzione con continuit`
a C ), ecc. Il loro limite per a → 0 `e lo stesso, come
pure il loro integrale.
12-11
b
t
a
Figura 12.9: Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini.
rettangolo
t
1 + cos 2π
a
b
!!
b
2
triangolo
t
2a
Figura 12.10: Approssimazioni di un impulso.
La funzione δ (t) si chiama “delta di Dirac”, e non `e una vera e propria funzione6 , ma viene definita
nell’ambito delle funzioni generalizzate o distribuzioni. Come anticipato, gode della propriet`
a
Z
+∞
δ (t) dt = 1,
(12.56)
−∞
e vale 0 per t 6= 0 mentre tende ad infinito per t = 0. La figura 12.11 mostra la rappresentazione grafica
della funzione δ(t).
L’impulso pu`
o essere interpretato come la derivata della funzione “scalino”, indicata con step (t)
e rappresentata in figura 12.12. Quest’ultima `e definita come il limite di una funzione infinitamente
derivabile, che vale 0 per t → −∞ e 1 per t → +∞, che passa per 1/2 per t = 0, e che `e dispari
6 Si
veda il paragrafo 15, pag. 58 del lavoro originale di Dirac, “The Principles of Quantum Mechanics” [5].
0
t
Figura 12.11: Funzione impulso: δ(t).
12-12
1
0
t
Figura 12.12: Funzione scalino: step(t).
α=1
α = 10
α = 100
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1
-0.5
0
Time
0.5
1
Figura 12.13: Funzione scalino approssimata come (1 + tanh(αt))/2.
rispetto a tale punto, ovvero step(−t) = 1 − step(t). Dal momento che la funzione scalino, cos`ı definita,
`e infinitamente derivabile, anche l’impulso `e infinitamente derivabile. Inoltre, l’impulso `e pari rispetto
all’origine, ovvero δ(−t) = δ(t).
Come approssimazione della funzione scalino, si consideri, per esempio, la funzione (1 + tanh(αt))/2,
quando α → +∞. La figura 12.13 ne mostra l’andamento per alcuni valori di α. La sua derivata `e
(1 − tanh2 (αt))α/2, e al limite per α → +∞ si comporta come le approssimazioni di impulso definite in
precedenza. La figura 12.14 ne mostra l’andamento per i medesimi valori di α.
Esercizio 12.1 Si propongano altre funzioni che approssimano la funzione scalino al tendere a +∞ del
loro parametro che ne definisce la pendenza nell’origine.
Esercizio 12.2 Si scriva la funzione sign(x) (“segno” di x) utilizzando la funzione step(x) (“scalino” di
x) e se ne calcoli la derivata prima. Quanto vale per x = 0?
Una funzione f (t) che presenta discontinuit`
a con salto in t = 0 pu`
o essere espressa come composizione
di una parte regolare, fc (t), a cui si aggiunge una costante fd0 moltiplicata per la funzione scalino, ovvero
f (t) = fc (t) + fd0 step (t) ,
(12.57)
come illustrato in figura 12.15. La costante fd0 rappresenta la differenza tra i limiti destro e sinistro
della funzione discontinua, ovvero fd0 = f (0+ ) − f (0− ). Questa funzione diventa derivabile, in senso
12-13
50
α=1
α = 10
α = 100
40
30
20
10
0
-1
-0.5
0
Time
0.5
1
0.5
1
α=1
α = 10
α = 100
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1
-0.5
0
Time
Figura 12.14: Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la
funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per consentirne il
confronto visivo.
12-14
fd0 step(t)
fd0 = f (0+ ) − f (0− )
fc (t)
t
f (0+ )
f (t)
f (0− )
t
Figura 12.15: Funzione discontinua con salto.
generalizzato, in tutto il dominio:
d
d
f (t) = fc (t) + fd0 δ (t) ,
dt
dt
(12.58)
in quanto la derivata dello scalino `e l’impulso. In base a ragionamenti analoghi, basati sull’uso della
funzione “rampa”, indicata con ramp(t), si possono definire funzioni continue ma non derivabili in senso
stretto.
Esercizio 12.3 Si mostri come una funzione continua, ma con una discontinuit`
a con salto nella derivata
prima, pu`
o essere rappresentata mediante la funzione ramp(t).
L’impulso gode di altre propriet`
a interessanti. Una propriet`
a, nota come propriet`
a del campionamento, afferma che il prodotto tra la funzione δ (t) e una generica funzione f (t) `e
f (t) δ (t) = f (0) δ (t) .
(12.59)
Non ne viene data dimostrazione.
Un’altra, estremamente importante, `e :
Z +∞
f (t) δ (t) dt = f (0).
(12.60)
−∞
Questo significa che integrare una qualsiasi funzione moltiplicata per un impulso equivale ad estrarne il
valore per l’istante in cui l’impulso `e definito. Per estrarre f (t) ad un istante arbitrario t0 , basta valutare
l’impulso in δ(t − t0 ). La propriet`
a diventa
Z +∞
f (t) δ (t − t0 ) dt = f (t0 ).
(12.61)
−∞
La propriet`
a si dimostra considerando che, siccome l’impulso `e la derivata dello scalino, la derivazione
del prodotto di funzioni d`a
d d
f (t) step (t) − f ′ (t) step (t) .
(12.62)
f (t) δ (t) = f (t) step (t) =
dt
dt
12-15
Se f (t) `e regolare, il prodotto f (t) step (t) `e pari a f (t) per t > 0, e a 0 per t < 0. Ne consegue che
l’integrale
Z
+∞
−∞
+∞ Z
−
f (t) δ (t) dt = f (t) step (t) −∞
+∞
f ′ (t) step (t) dt
−∞
= f (+∞) − 0 − f (+∞) + f (0) = f (0) ,
(12.63)
dove
Z
+∞
f ′ (t) step (t) dt = lim
a→0+
−∞
Z
a
+∞
f ′ (t) dt = f (+∞) − lim f (a) = f (+∞) − f (0).
a→0+
(12.64)
Se f (t) non `e regolare, ma presenta una discontinuit`
a con salto in t = 0, ovvero proprio nell’istante
di tempo in cui viene valutata dalla δ(t), `e comunque possibile eseguire l’operazione, ed il risultato `e
molto interessante.
Si consideri l’espressione di f (t) data dalla (12.58); la propriet`
a in esame diventa
Z
+∞
−∞
+∞ Z
f (t) δ (t) dt = f (t) step (t) −
−∞
+∞
−∞
(fc′ (t) + fd0 δ (t)) step (t) dt
1
= f (+∞) − 0 − fc (+∞) + fc (0) − fd0
2
1
f (0+ ) + f (0− )
= fc (0) + fd0 =
,
2
2
(12.65)
in quanto f (+∞) = fc (+∞) + fd0 . Ovvero, viene preso il valore della funzione che rappresenta la media
tra i limiti destro e sinistro, dal momento che fc (0) = f (0− ) e fd0 = f (0+ ) − f (0− ).
Questa dimostrazione fa uso della propriet`
a che si vuole dimostrare, dimostrata in precedenza per
funzioni regolari. Tuttavia la si sta applicando ad una funzione non regolare, step(t). Quindi la dimostrazione `e valida se si considera la funzione step(t) come limite di una funzione regolare, in base alla
sua definizione.
In alternativa, si pu`
o rappresentare il dominio di integrazione come l’unione di due parti, che escluda
la discontinuit`
a, ovvero
Z
+∞
f (t) δ (t) dt =
−∞
Z
0−
f (t) δ (t) dt +
−∞
Z
+∞
f (t) δ (t) dt
0+
0−
Z 0−
−
f ′ (t) step (t) dt
= f (t) step (t) −∞
−∞
+∞ Z +∞
f ′ (t) step (t) dt
−
+ f (t) step (t) +
+
0
0
1
1
= f 0− − 0 − 0 + 0 + f (+∞) − f 0+ − f (+∞) + f 0+
2
2
f (0+ ) + f (0− )
,
=
2
(12.66)
ovvero il medesimo risultato ottenuto in precedenza.
12.4.3
Generalizzazione
Come anticipato, l’impulso va interpretato come un’astrazione matematica che rappresenta qualcosa di
breve durata rispetto alla scala dei tempi del problema in esame, ma che lascia effetti non trascurabili.
Si consideri ora un generico sistema meccanico ad un grado di libert`
a,
m¨
x + rx˙ + kx = f (t) .
(12.67)
12-16
La forzante f (t) sia costituita dall’impulso introdotto in precedenza, e dalla sua derivata:
f (t) = f1 δ (t) + f2 δ˙ (t) .
(12.68)
` lecito attendersi che la risposta x (t) sia anch’essa caratterizzata da discontinuit`
E
a. In particolare, se il
sistema prima dell’impulso era a riposo, la risposta del sistema sar`a data da una funzione regolare xc (t)
moltiplicata per uno scalino al tempo t, ovvero
x (t) = xc (t) step (t) .
(12.69)
In base alle propriet`
a dello scalino, le sue derivate sono
x˙ (t) = x˙ c (t) step (t) + xc (t) δ (t) = x˙ c (t) step (t) + xc (0) δ (t)
(12.70a)
˙
˙
x
¨ (t) = x
¨c (t) step (t) + x˙ c (t) δ (t) + xc (0) δ (t) = x
¨c (t) step (t) + x˙ c (0) δ (t) + xc (0) δ (t) . (12.70b)
Sostituendo queste espressioni nella (12.67) si ottiene
m x
¨c (t) step (t) + x˙ c (0) δ (t) + xc (0) δ˙ (t)
+ r (x˙ c (t) step (t) + xc (0) δ (t)) + kxc (t) step (t) = f1 δ (t) + f2 δ˙ (t) .
(12.71)
Raccogliendo i termini omogenei si ottiene
(m¨
xc (t) + rx˙ c (t) + kxc (t)) step (t)
+ (mx˙ c (0) + rxc (0) − f1 ) δ (t)
+ (mxc (0) − f2 ) δ˙ (t) = 0.
(12.72)
Siccome tale relazione deve essere vera qualunque sia t, occorre annullare indipendentemente i termini
˙
moltiplicati per le funzioni step(t), δ(t) e δ(t).
Si ricavano quindi le relazioni
m¨
xc (t) + rx˙ c (t) + kxc (t) = 0
mx˙ c (0) + rxc (0) = f1
mxc (0) = f2 .
(12.73a)
(12.73b)
(12.73c)
La (12.73a) rappresenta un’equazione differenziale omogenea in xc (t), la soluzione del sistema a seguito
della forzante impulsiva. Ne consegue che la forzante impulsiva d`a luogo ad un movimento libero del
sistema, analogo a quello che risulta da una perturbazione delle condizioni iniziali. Le (12.73c) e (12.73b)
definiscono le condizioni iniziali su posizione e velocit`
a,
xc (0) =
x˙ c (0) =
f2
m
(12.74a)
f1 − f2
m
r
m.
(12.74b)
La risposta di un sistema ad una forzante impulsiva corrisponde al moto libero del medesimo sistema,
dato dall’integrale generale della (12.67), calcolato a partire dalle condizioni iniziali fornite dalle (12.74).
Viene quindi formalizzata e generalizzata la conclusione, ottenuta intuitivamente all’inizio, che una
forzante impulsiva, come pure la sua derivata, equivalgono ad una perturbazione finita delle condizioni
iniziali del sistema.
Dal punto di vista fisico, una forzante descritta mediante un impulso
pu`
o essere ritenuta rapprep
sentativa di una sollecitazione applicata per una durata Tf ≪ 2π/ k/m. Ad essa corrisponde una
discontinuit`
a finita nella velocit`
a, e quindi nell’energia cinetica del sistema.
12-17
La derivata dell’impulso, invece, non `e altrettanto facilmente spiegabile in modo intuitivo. In base
alla sua definizione, la si pu`
o considerare come una sequenza di due impulsi, di segno opposto, separati
da un tempo che tende a zero. Si tratta quindi di una doppietta di impulsi. Ad essa corrisponde una
discontinuit`
a finita nello spostamento, e quindi una discontinuit`
a nell’energia potenziale. Inoltre, alla
discontinuit`
a finita dello spostamento corrisponde un impulso di velocit`
a, e quindi un impulso al quadrato
di energia cinetica.
Esercizio 12.4 Si scriva la derivata prima dell’impulso ottenuto approssimando la funzione scalino come
(1 + tanh(αt))/2. Se ne rappresenti il grafico per α → +∞.
Esercizio 12.5 Si scriva l’espressione della soluzione (12.69) del problema della risposta impulsiva in
base alle condizioni iniziali definite dalle (12.74). Quindi la si sostituisca nella (12.67) per verificarne
il soddisfacimento (suggerimento: per semplicit`
a, conviene prima considerare il caso non smorzato, con
r = 0).
Esercizio 12.6 In analogia con quanto svolto finora per la risposta impulsiva, si ricavi la risposta ad
una forzante a scalino, f (t) = f0 step(t). Si discuta in particolare la natura dell’equazione del moto che
si ottiene e la scelta delle condizioni iniziali.
Esercizio 12.7 Si calcoli la risposta di un sistema meccanico smorzato ad una sequenza di scalini di
ampiezza b e −b, rispettivamente a t = −a/2 e t = a/2, come indicato in figura 12.9. Quindi, si verifichi
che al tendere di a a 0 si ottiene la risposta all’impulso.
12-18
Capitolo 13
Sistemi vibranti a pi`
u gradi di
libert`
a
Generato il 23 ottobre 2014
13.1
Sistemi a pi`
u gradi di libert`
a non smorzati
Per un sistema non smorzato con N gradi di libert`
a, le equazioni che ne governano il moto possono essere
sempre scritte nella forma matriciale
M¨
x (t) + Kx (t) = f (t)
(13.1)
dove
• M e K sono rispettivamente le matrici quadrate di massa e di rigidezza di ordine N ;
• x (t) e f (t) sono i vettori di ordine N degli spostamenti e delle forze agenti, entrambi funzione del
tempo.
Figura 13.1: Sistema dinamico a 2 gradi di libert`
a.
Si consideri, ad esempio1 , il sistema illustrato in Figura 13.1. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, ovvero calcolando le forze che agiscono sul sistema prima per x1 6= 0, x2 = 0 e poi
quelle per x1 = 0, x2 6= 0 si possono facilmente determinare le equazioni di equilibrio dinamico delle due
masse,
m1 x
¨1 + k1 x1 + k2 (x1 − x2 ) = f1
m2 x
¨2 + k3 x2 + k2 (x2 − x1 ) = f2 .
Queste possono essere riscritte come
m1 0
x
¨1
k1 + k2
+
0 m2
x
¨2
−k2
(13.2a)
(13.2b)
−k2
k2 + k3
x1
x2
=
f1
f2
(13.3)
ovvero nella forma della (13.1) con
1 A fini esemplificativi si utilizza un problema a due gradi di libert`
a solo ed esclusivamente perch´
e consente in modo
agevole il calcolo degli autovalori e degli autovettori delle matrici associate. Quanto discusso in questo capitolo vale per
problemi con un numero arbitrario di gradi di libert`
a, e come tale deve essere trattato in sede di esame.
13-1
• la matrice di massa
m1 0
M=
0 m2
(13.4)
• la matrice di rigidezza
k1 + k2
−k2
K=
−k2
k2 + k3
(13.5)
• il vettore delle incognite
x1
x=
x2
(13.6)
• ed il vettore dei termini noti
f1
f=
f2
13.1.1
(13.7)
Moto libero: modi propri di vibrare
La soluzione del moto libero, per f = 0, `e del tipo
x (t) = Xeλt
(13.8)
dove X `e un vettore di ordine N di ampiezze indipendenti dal tempo. Imponendo la soluzione (13.8)
all’equazione differenziale otteniamo
λ2 M + K Xeλt = 0
(13.9)
la quale presenta soluzione non banale, ovvero per X 6= 0, quando
2
λ m1 + k 1 + k 2
−k2
det λ2 M + K = det
= 0,
−k2
λ 2 m2 + k 2 + k 3
(13.10)
che `e il polinomio di grado 2N in λ
m1 m2 λ4 + (m1 (k2 + k3 ) + m2 (k1 + k2 )) λ2 + k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 = 0
detto polinomio caratteristico, da cui, posti

 a = m1 m2
b = (m1 (k2 + k3 ) + m2 (k1 + k2 ))

c = k1 k2 + k1 k3 + k2 k3
(13.11)
(13.12)
si ottiene il polinomio di secondo grado in λ2 (“biquadratico”)
aλ4 + bλ2 + c = 0
(13.13)
le cui radici sono
λ21|2
λ23|4
v
!
u
u b 2 c
b
t
=− +
−
2a
2a
a
v
!
u
u b 2 c
b
t
−
=− −
2a
2a
a
(13.14a)
(13.14b)
13-2
Dal momento che per definizione le masse e le rigidezze sono positive, si ha sempre λ2j < 0, quindi i
singoli autovalori sono a due a due immaginari e coniugati:
λ1|2 = ±iω1
(13.15a)
λ3|4 = ±iω2 .
(13.15b)
Questa propriet`
a ha valore generale: quando le matrici di massa M e di rigidezza K sono definite positive,
le N radici del polinomio caratteristico in λ2 sono reali negative, quindi le 2N radici λ sono immaginarie
coniugate.
Nei problemi di interesse per la meccanica la matrice di massa M `e sempre definita positiva2 ; qualora
la matrice di rigidezza fosse semi-definita, le corrispondenti radici λ sarebbero nulle. Questa eventualit`a
`e possibile quando al sistema `e consentito un movimento rigido (ad esempio i 6 gradi di libert`
a di moto
rigido di un velivolo nello spazio) oppure quando il sistema rappresenta un meccanismo.
Sostituendo le radici nell’equazione di partenza si ottiene
K − ω12 M X 1 = 0
(13.16)
e
K − ω22 M X 2 = 0
(13.17)
che permettono di calcolare, a meno di una costante arbitraria, dipendente dalle condizioni iniziali, le
forme modali X j , o modi, del sistema associate a ogni frequenza propria ωj .
Nel caso in esame,
−ω12 m1 + k1 + k2
−k2
0
1 X1
(13.18)
=
0
−k2
−ω12 m2 + k2 + k3
1 X2
1
Risolvendo ad esempio la prima equazione,
−ω12 m1 + k1 + k2 1 X1 − k2 1 X2 = 0
(13.19)
e analogamente


1


− ω22 m1 + k1 + k2
X2 =
2 X1


k2
(13.21)
si ottiene la relazione tra le componenti 1 X1 e 1 X2 dell’autovettore, che risulta definito, ad esempio,


1


− ω12 m1 + k1 + k2
X
(13.20)
X1 =

1 1
k2
ove si `e arbitrariamente posta unitaria la prima componente dell’autovettore, data l’intrinseca indeterminazione della soluzione. Ad un risultato del tutto analogo si pu`
o giungere risolvendo, ad esempio, la
seconda equazione e ponendo unitaria la seconda componente dell’autovettore; infatti la matrice
A = λ2 M + K
(13.22)
`e singolare qualora a λ si sostituisca un qualsiasi autovalore del problema; ne consegue che una3 equazione
del sistema `e combinazione lineare delle altre.
2 Se cos`
ı non fosse, e quindi la matrice fosse semidefinita positiva, allora sarebbe possibile eliminare un numero di gradi
di libert`
a pari al grado di indefinizione della matrice, riducendosi ad un problema di ordine inferiore ma con matrice di
massa definita positiva.
3 Si suppone che le radici del polinomio caratteristico abbiano molteplicit`
a pari esattamente a 1; questa ipotesi pu`
o essere
rimossa, come verr`
a illustrato nel seguito. Si veda in particolare la nota 5.
13-3
Figura 13.2: Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di libert`
a.
Nel caso, ad esempio, che m1 = m2 = m e k1 = k2 = k3 = k, abbiamo che
s
k
ω1 =
m
s
k
ω2 = 3
m
a cui corrispondono
1
X
X1 =
1 1 1
1
X2 =
X
−1 2 1
(13.23a)
(13.23b)
(13.24a)
(13.24b)
La figura 13.2 mostra come al primo modo corrisponda un movimento in cui la molla di mezzo non
viene deformata; infatti, le due componenti dell’autovettore sono identiche. Di conseguenza, il sistema si
comporta come se le due masse fossero collegate rigidamente. Il secondo modo, al contrario, vede le due
masse muoversi in opposizione, per cui la molla centrale `e deformata esattamente il doppio di quelle di
estremit`a. Di conseguenza, `e come se le due masse fossero disaccoppiate, e la molla centrale fosse messa
a terra nel suo punto medio. Il moto generico avviene come
√ combinazione di due movimenti armonici a
frequenze tra loro incommensurabili (il loro rapporto `e 3, quindi un numero irrazionale).
13-4
Ritornando all’equazione (13.9) di partenza, se la si premoltiplica per l’inversa della matrice di massa
M si ottiene
λ2 I + M−1 K Xeλt = 0
(13.25)
che `e una forma del tutto analoga a
(γI − A) V = 0
(13.26)
ovvero ad un problema agli autovalori in forma canonica, ove γ sono gli autovalori della matrice A e V
sono i corrispondenti autovettori, posto γ = −λ2 , A = M−1 K e V = X.
Nell’esempio iniziale si ha
1/m
0
M−1 =
(13.27)
0
1/m
e quindi la matrice
A=M
−1
K=
2k/m
−k/m
−k/m
2k/m
(13.28)
che ne risulta `e simmetrica; questo in generale non `e pi`
u vero per matrici M e K meno banali, anche
se, al costo di un cambio di base per le incognite, `e possibile ottenere un problema agli autovalori nella
forma canonica della (13.26) con la matrice simmetrica4 .
Gli autovalori della matrice (13.28) sono
γ1|2 =
k
k
, 3
m m
(13.33)
mentre gli autovettori, a meno di una costante, sono
−1
V1=
1
1
V2=
1
(13.34a)
(13.34b)
Esercizio 13.1 Si verifichi che gli autovalori della matrice nella forma della (13.25) sono anche autovalori della matrice nella forma della (13.32).
13.1.2
Ortogonalit`
a dei modi propri
Si pu`
o ora dimostrare l’ortogonalit`
a dei modi di vibrare. Se ω1 e ω2 sono due autovalori distinti di un
generico problema omogeneo, e X 1 e X 2 sono i corrispondenti autovettori, si ha
−ω12 M + K X 1 = 0
(13.35)
4 Dal momento che si assume che la matrice di massa sia simmetrica e definita positiva, `
e possibile decomporla nel
prodotto di una matrice triangolare inferiore per la sua trasposta secondo Cholesky
M = LLT
(13.29)
quindi, operando il cambio di variabili
z = LT x
(13.30)
il problema
M¨
x + Kx = 0
(13.31)
diventa
¨ + L−1 KL−T z = 0
z
(13.32)
e quindi, assumendo che la matrice K sia simmetrica, anche la matrice L−1 KL−T rimane simmetrica.
13-5
e
−ω22 M + K X 2 = 0.
(13.36)
L’equazione (13.35) pu`
o essere liberamente premoltiplicata per X T2 senza alterarne il valore:
X T2 −ω12 M + K X 1 = 0
(13.37)
da cui si ricava
X T2 KX 1 = ω12 X T2 MX 1
(13.38)
Allo stesso modo, si pu`
o moltiplicare la trasposta dell’equazione (13.36) per X 1 :
X T2 −ω22 MT + KT X 1 = 0
(13.39)
da cui si ricava, anche in considerazione della simmetria delle matrici M e K,
X T2 KX 1 = ω22 X T2 MX 1
(13.40)
Quindi, per l’uguaglianza dei termini a primo membro delle (13.38) e (13.40), si ha
ω12 X T2 MX 1 = ω22 X T2 MX 1
(13.41)
ovvero
ω22 − ω12 X T2 MX 1 = 0.
(13.42)
Se ω2 6= ω1 , cio`e le frequenze proprie sono distinte5 , deve valere la relazione
X T2 MX 1 = 0
(13.43)
e, di consequenza
X T2 KX 1 = 0
(13.44)
Pi`
u in generale, detti j e k gli indici di due modi, deve essere
X Tk MX j = 0
(13.45a)
X Tk KX j = 0
(13.45b)
quando j 6= k; ovvero, i modi propri vibrare, associati a frequenze proprie distinte, sono ortogonali
rispetto alla matrice di massa e rigidezza6 .
Quando si pre- e post-moltiplica per lo stesso autovettore si ottiene
X Tj MX j = mj
(13.46a)
X Tj KX j
(13.46b)
= kj
dove mj e kj sono chiamate rispettivamente massa e rigidezza generalizzata, o massa e rigidezza modale
associate al modo j-esimo.
5 Nel caso in cui due o pi`
u autovalori siano uguali, se `
e possibile individuare un numero di autovettori indipendenti pari
alla molteplicit`
a degli autovalori coincidenti, come sempre avviene nei casi di interesse pratico per lo studio delle vibrazioni
dei sistemi meccanici, in cui le matrici di massa sono simmetriche e definite positive, o al pi`
u semidefinite, gli autovettori,
per la loro arbitrariet`
a, possono essere ortogonalizzati proprio imponendo le condizioni (13.43) e (13.44). Un tipico esempio
in cui ci`
o avviene `
e dato dai sistemi non vincolati, come i velivoli, che ammettono i sei spostamenti rigidi, ai quali `
e associato
l’autovalore nullo con molteplicit`
a 6. Un altro esempio `
e dato dai modi associati al movimento delle superfici di comando
nel caso si consideri il velivolo a comandi liberi.
6 Attenzione: i modi propri non sono ortogonali fra loro; dall’analisi si ottiene che X T X = 0 se j 6= k per il problema
k
j
in forma canonica, in cui la matrice che moltiplica l’autovalore `
e l’identit`
a, I. Ma il problema meccanico non `
e in forma
canonica, quindi gli autovalori che ne risultano non sono in generale ortogonali rispetto a loro stessi.
13-6
Nell’esempio iniziale,
T m
1
m1 =
0
1
0
m
1
1
= 2m
(13.47a)
m2 = 2m
k1 = 2k
(13.47b)
(13.47c)
k2 = 6k
(13.47d)
La rigidezza e la massa modale tra loro stanno in un rapporto ben preciso, kj /mj = ωj2 , ma per il resto
sono indeterminate; o meglio, il loro valore dipende dal valore arbitrariamente assegnato all’autovettore,
il quale `e determinato a meno di un fattore di scala. Se per esempio si sceglie di ridefinire l’autovettore
j-esimo, X j , come X ′j = cj X j , si ottiene
m′j = X ′j
T
′ T
kj′ = X j
MX ′j = c2j X Tj MX j = c2j mj
(13.48a)
KX ′j = c2j X Tj KX j = c2j kj .
(13.48b)
Indipendentemente dal valore di cj , si ha kj′ /m′j = ωj2 , quindi la scalatura dell’autovalore non ha alcun
effetto sulla frequenza caratteristica di quel modo. Questo consente di scalare gli autovettori in modo da
modificare convenientemente la massa e la rigidezza modali. Una scalatura usata spesso, detta a massa
unitaria, consiste nel rendere la matrice delle masse modali pari alla matrice identit`a.
Esercizio 13.2 Si riscrivano gli autovettori del problema iniziale scalati a massa unitaria.
Esercizio 13.3 Si mostri come, in caso di autovalori coincidenti, `e possibile ortogonalizzare gli autovettori corrispondenti.
13.2
Approccio modale
Cerchiamo ora un sistema di coordinate libere che disaccoppi contemporaneamente il sistema tanto
inerzialmente quanto elasticamente, ovvero tale per cui le equazioni che, risolte, descrivano il moto del
sistema siano disaccoppiate. Se costruiamo una matrice quadrata Ψ le cui colonne siano costituite dai
modi propri di vibrare, ovvero
X
X
(13.49)
Ψ= 1 1 2 1
1 X2 2 X2
detta anche matrice modale, e definiamo la trasformazione
x (t) = Ψq (t)
(13.50)
con q (t) detto vettore delle coordinate principali, il problema (13.1) diventa
Mب
q + KΨq = f
(13.51)
Se si premoltiplica7 la (13.51) per la trasposta della matrice modale (13.49), si ottiene
ΨT MΨ¨
q + ΨT KΨq = ΨT f
(13.54)
7 Questa operazione pu`
o apparire un artifizio, ma ha una giustificazione pi`
u profonda se si considera che l’equazione (13.1)
pu`
o essere ricondotta ad un principio variazionale e quindi ad una relazione del tipo
X
f (x) = 0
(13.52)
δxT
per cui la trasformazione (13.50) viene applicata sia alle incognite da cui dipendono le forze f che alle loro variazioni
virtuali, ovvero
X
f (Ψq) = 0.
(13.53)
δq T ΨT
13-7
Da quanto detto in precedenza, si vede che
ΨT MΨ = [diag (mj )]
(13.55a)
T
Ψ KΨ = [diag (kj )]
(13.55b)
dove [diag (mj )] e [diag (kj )] sono matrici diagonali, ovvero tali per cui mjk e kjk sono nulli se j 6= k,
mentre mj e kj sono rispettivamente la massa e la rigidezza associate al modo j-esimo.
Nell’esempio iniziale, si ha
2m 0
[diag (mj )] =
(13.56a)
0 2m
2k 0
[diag (kj )] =
(13.56b)
0 6k
quindi il problema diventa
2m 0
q¨1
2k
+
q¨2
0 2m
0
0
6k
q1
q2
=
f1 + f2
f1 − f2
(13.57)
Si noti che le due equazioni sono disaccoppiate, ovvero ogni equazione dipende solo dalla propria incognita; l’accoppiamento tra i gradi di libert`
a fisici si `e tradotto, a livello modale, in accoppiamento tra i
corrispondenti termini noti.
Sostituendo uno ad uno gli autovalori ed i corrispondenti autovettori, l’equazione omogenea (13.9)
risulta soddisfatta; ne consegue che, cos`ı come sono stati accostati gli autovettori a dare la matrice
modale Ψ, `e possibile accostare gli autovalori a dare la matrice diagonale dei quadrati delle frequenze
proprie
2
ω1 0
(13.58)
diag ωj2 =
0 ω22
tale per cui8
KΨ − MΨ diag ωj2 = 0
(13.59)
La (13.59), se premoltiplicata per la trasposta della matrice modale (13.49), diventa
ΨT KΨ − ΨT MΨ diag ωj2 = 0
(13.60)
ovvero
[diag (kj )] − [diag (mj )] diag ωj2 = 0
(13.61)
Se la matrice di massa modale [diag (mj )] `e definita positiva9 , la sua inversa esiste; quindi la (13.61) pu`
o
essere riscritta, previa premoltiplicazione per l’inversa della matrice di massa modale, come
−1
(13.65)
[diag (mj )] [diag (kj )] = diag ωj2
8 Si noti l’odine in cui vengono eseguiti i prodotti di matrici, essenziale perch´
e ogni autovettore venga moltiplicato per
il proprio autovalore.
9 L’unico motivo per cui la matrice di massa, anzich´
e essere definita positiva, pu`
o essere semidefinita, `
e che ad un grado
di libert`
a non sia associata inerzia. Questa eventualit`
a viene scartata nella presente trattazione perch´
e in tale caso il grado
di libert`
a privo di massa pu`
o essere eliminato staticamente, rendendo la nuova matrice di massa strettamente definita
positiva. Ad esempio: dato il problema
f1
x1
k11 k12
x
¨1
m 0
(13.62)
=
+
f2
x2
k21 k22
x
¨2
0 0
la cui matrice di massa `
e chiaramente semidefinita positiva in quanto tutti i minori principali sono positivi tranne uno che
`
e nullo, a condizione che la matrice K non sia singolare la seconda equazione pu`
o essere usata per esplicitare x2 in funzione
di x1
f2 − k21 x1
(13.63)
x2 =
k22
che, sostituito nella prima equazione, d`
a
k21
k12
f2
(13.64)
m¨
x1 + k11 − k12
x1 = f1 −
k22
k22
ovvero dal problema iniziale se ne ottiene uno di dimensioni inferiori ma con la matrice di massa definita positiva.
13-8
Nel caso in esame,
[diag (mj )]
−1
[diag (kj )] =
1/ (2m)
0
0
1/ (2m)
2k
0
0
6k
=
k/m
0
0
3k/m
(13.66)
Questo suggerisce una scelta interessante per la normalizzazione dei modi propri, detta a massa unitaria;
√
se si dividono i coefficienti del modo j-esimo per il valore mj , si ottiene:
√ −1
ΨI = Ψ diag mj
(13.67)
A questo punto, le relazioni (13.55a) e (13.55b), attraverso la nuova matrice modale ΨI , diventano
√
√ −1
ΨT MΨ diag mj
√ −1
√ −1
[diag (mj )] diag mj
=I
mj
√ −1 T
√ −1
Ψ KΨ diag mj
mj
√ −1
√ −1
[diag (kj )] diag mj
mj
−1
= [diag (mj )] [diag (kj )] = diag ωj2
ΨTI MΨI = diag
= diag
ΨTI KΨI = diag
= diag
mj
−1
(13.68a)
(13.68b)
√ −T
√ −1
ove si `e sfruttato il fatto che diag mj
= diag mj
in quanto la matrice `e diagonale; allo
stesso modo, l’ultimo passaggio che porta alla matrice di rigidezza modale `e lecito perch´e il prodotto di
matrici diagonali `e commutativo.
13.2.1
Risposta a forzanti armoniche
Analizziamo, ora, la risposta del generico sistema di Equazione 13.1 quando soggetto a forzanti armoniche
M¨
x (t) + Kx (t) = f eiωt
(13.69)
che, a regime, ammette una soluzione del tipo
x (t) = xeiωt
(13.70)
dove il vettore delle ampiezze di vibrazione x `e soluzione di
K − ω2 M x = f
(13.71)
ovvero
x = K − ω2 M
−1
(13.72)
f
che pu`
o essere anche riscritta come
x = H (ω) f
(13.73)
dove H (ω) `e la matrice dell’ammettenza meccanica (in inglese, receptance matrix ) del sistema; `e quadrata, di ordine N , e ne costituisce il modello della risposta in frequenza. La sua inversa,
Z (ω) = H (ω)
−1
(13.74)
`e detta matrice dell’impedenza meccanica, e descrive la forza che il sistema oppone ad un dato movimento.
Dalla definizione
Z (ω) = K − ω 2 M
(13.75)
si ricava
H (ω) = K − ω 2 M
−1
(13.76)
13-9
Se si applica la trasformazione modale all’impedenza meccanica, si ottiene
ΨT Z (ω) Ψ = ΨT K − ω 2 M Ψ
= [diag (kj )] − ω 2 [diag (mj )]
= ΨT H (ω)
−1
Ψ
(13.77)
si inverta quindi la (13.77); si ottiene
[diag (kj )] − ω 2 [diag (mj )]
e quindi la H (ω) si ottiene come
−1
= Ψ−1 H (ω) Ψ−T
(13.78)
−1
(13.79)
H (ω) = Ψ [diag (kj )] − ω 2 [diag (mj )]
ΨT
Dalla (13.79) si evince che la matrice H (ω) `e simmetrica; se si utilizza la normalizzazione a massa
unitaria dei modi, ovvero la matrice (13.67), la (13.79) diventa
H (ω) = ΨI
diag ωj2
− ω2 I
ed il generico coefficiente `e dato da
−1
ΨTI = ΨI diag 1/(ωj2 − ω 2 ) ΨTI
(13.80)
N
hjk (ω) =
xj (ω)
xk (ω) X r XIj · r XIk
= hkj (ω) =
=
fk (ω)
fj (ω)
ωr2 − ω 2
r=1
(13.81)
da cui si nota come il sistema possa andare in risonanza qualora la pulsazione della forzante ω uguagli
una delle N frequenze ωr proprie del sistema vibrante.
Ritornando al sistema vibrante iniziale, risulta che risolvendo il sistema di equazioni lineari
−2k + ω 2 m
2k − ω 2 m
= 2
2
4
2
− 4kmω + ω m
m (k/m − ω 2 ) (3k/m − ω 2 )
k
k
= 2
h21 (ω) = 2
2
4
2
2
3k − 4kmω + ω m
m (k/m − ω ) (3k/m − ω 2 )
h11 (ω) =
3k 2
(13.82a)
(13.82b)
mentre, in termini modali, si ottiene
1
1
2k − ω 2 m
+
= 2
2
2
2m (k/m − ω ) 2m (3k/m − ω )
m (k/m − ω 2 ) (3k/m − ω 2 )
1
k
1
−
= 2
h21 (ω) =
2
2
2
2m (k/m − ω ) 2m (3k/m − ω )
m (k/m − ω ) (3k/m − ω 2 )
h11 (ω) =
(13.83a)
(13.83b)
Come si vede dalla figura 13.3, ove `e mostrato l’andamento del modulo di h11 , non si commette un
grande errore se studiamo la risposta del sistema nell’intorno della prima frequenza propria considerando
la risposta di un sistema ad un solo grado di libert`
a che abbia massa pari a m1 e rigidezza pari a k1 .
Analogo discorso si pu`
o fare considerando la sola risposta dovuta alla seconda frequenza propria se la
pulsazione della forzante `e di valore non troppo dissimile da questa. Ovvero abbiamo verificato empiricamente che pur essendo i sistemi fisici continui, purch´e le loro frequenze proprie siano ragionevolmente
separate nel dominio delle frequenze, `e lecito, nell’ipotesi che lo spettro della forzante sia limitato nello
stesso dominio, considerare il contributo di un numero limitato di modi le cui frequenze proprie associate
stanno nel dominio dello spettro della forzante. Ovvero: `e possibile studiare la risposta dinamica a
regime di un sistema continuo con un modello matematico caratterizzato da un numero discreto di gradi
di libert`
a. Ne consegue, inoltre, che misurando sperimentalmente la receptance matrix, dalla risposta
misurata nell’intorno di una risonanza possiamo ricavare i parametri modali (massa modale o massa
generalizzata mj e rigidezza modale o rigidezza generalizzata kj ) cos`ı come il modo di vibrare.
13-10
Figura 13.3: Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di libert`
a.
13.2.2
Considerazioni sull’utilizzo dell’approccio modale
Le considerazioni che stanno alla base dell’utilizzo pratico dell’approccio modale si basano principalmente
su aspetti computazionali:
1. la risposta a forzante armonica utilizzando la base di coordinate fisiche richiede l’inversione della
matrice di impedenza meccanica, Z(ω),
H (ω) = K − ω 2 M
−1
.
(13.84)
Se occorre calcolare la risposta a pi`
u armoniche, ad esempio perch´e una forzante periodica `e stata
decomposta nella sommatoria di forzanti armoniche mediante sviluppo in serie di Fourier arrestato
ad un certo ordine, si devono invertire tante matrici quante sono le armoniche, con una complessit`a
computazionale che pu`
o essere elevata (dell’ordine di n3 operazioni, a meno che una particolare
struttura delle matrici non consenta ottimizzazioni). Viceversa, l’approccio modale non richiede
alcuna inversione, ma solo prodotti di matrici: si veda la (13.80);
2. se si usano tecniche esplicite di integrazione numerica, in genere il calcolo delle incognite (in questo
caso le velocit`
a) ad un dato istante di tempo `e funzione delle loro derivate ad un tempo antecedente
secondo una formula del tipo10
x˙ (t + ∆t) = x˙ (t) + ∆t¨
x (t)
(13.85)
Il calcolo delle accelerazioni richiede l’inversione della matrice di massa:
¨ (t) = M−1 (f − Kx (t))
x
(13.86)
che invece viene evitata se si usa l’approccio modale, in quanto senza particolari normalizzazioni
dei modi l’accelerazione `e
¨ (t) = [diag (1/mj )] ΨT f − [diag (kj )] q (t)
q
(13.87)
mentre, se si usa la normalizzazione a massa unitaria, si ha
¨ I (t) = ΨTI f − diag ωj2 q I (t) .
q
(13.88)
Algoritmi pi`
u sofisticati richiedono l’inversione di una combinazione lineare delle matrici di massa e
di rigidezza, operazione in ogni caso banale se le matrici, proiettate in base modale, sono diagonali.
10 La formula di integrazione numerica riportata corrisponde al metodo di Eulero esplicito e non `
e raccomandabile per
questioni di stabilit`
a numerica dell’algoritmo; viene qui utilizzata al solo fine di illustrare senza eccessivi tecnicismi le
operazioni richieste per l’integrazione esplicita di sistemi dinamici.
13-11
Si noti tuttavia che questi vantaggi si pagano in qualche modo, perch´e l’approccio modale richiede comunque l’estrazione di autovalori ed autovettori, operazione in generale relativamente costosa (dell’ordine
di n4 ). Occorre verificare quale strada `e pi`
u conveniente in funzione del tipo di risultato che si vuole
ottenere. Ad esempio, l’approccio modale pu`
o essere comunque conveniente nel caso le autosoluzioni
siano gi`
a disponibili, perch´e il loro calcolo era comunque richiesto per altri motivi.
13.2.3
Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero
Si vuole applicare l’approccio modale all’esempio illustrato nel paragrafo 4.3.1. Il problema, in forma
matriciale, `e
m 0
x
¨1
k −k
x1
f
+
=
(13.89)
x
¨2
0 m
x2
−k k
0
Si consideri il problema agli autovalori che risulta dall’equazione omogenea associata:
m 0
k −k
x1
0
−ω 2
+
=
0 m
x2
−k k
0
da cui si ricava l’equazione caratteristica
2
0 = k − ω2 m − k2
= ω 2 m ω 2 m − 2k
(13.90)
(13.91)
quindi gli autovalori sono:
ω12 = 0
ω22 = 2
(13.92a)
k
m
(13.92b)
Si ricavi ora lo spostamento della seconda massa in funzione di quello della prima, alternativamente con
il primo ed il secondo autovalore; si ottiene:
x1
1
1 X1
=
q1 =
q1
(13.93a)
x2 1
1
1 X2
x1
1
2 X1
=
q2 =
q2
(13.93b)
x2 2
−1
2 X2
da cui si ricava la matrice dei modi
1 1
Ψ=
1 −1
(13.94)
Ora occorre ridurre le matrici di massa e di rigidezza, secondo le (13.55a), (13.55b), e il termine noto in
base modale:
2m 0
[diag (mj )] = ΨT MΨ =
(13.95a)
0 2m
0 0
(13.95b)
[diag (kj )] = ΨT KΨ =
0 4k
f
ΨT f =
(13.95c)
f
La (13.95b) mette in evidenza la singolarit`a della matrice K.
Il problema (13.90), trasformato secondo l’approccio modale, diventa quindi
2m¨
q1 = f
2m¨
q2 + 4kq2 = f
(13.96a)
(13.96b)
13-12
Figura 13.4: Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dell’alta tensione.
ovvero si ottengono due equazioni disaccoppiate di cui la prima descrive un moto uniformemente accelerato, associato alla traslazione rigida dell’intero sistema, mentre la seconda descrive un tipico oscillatore
armonico non smorzato, associato alla vibrazione delle due masse attorno al baricentro.
Si calcoli, infatti, la posizione del baricentro relativa ai due modi (13.93a) e (13.93b):
P
mj 1 X j q 1
P
xCM1 =
= q1
(13.97a)
mj
P
mj 2 X j q 2
P
xCM2 =
= 0;
(13.97b)
mj
dalla (13.97a) si deduce che la coordinata modale q1 esprime naturalmente il moto del baricentro del
sistema; per l’ortogonalit`
a dei modi propri attraverso la matrice di massa ne risulta la necessit`
a che il
baricentro non si sposti in conseguenza del moto secondo l’altro modo proprio.
` interessante notare come l’approccio modale abbia portato direttamente ed in modo naturale alla
E
scrittura delle due equazioni (4.43) e (4.52), ove si ponga q1 = xCM e q2 = ∆x, che nel paragrafo 4.3.1
erano state dedotte attraverso una serie di ragionamenti all’apparenza specifici per il particolare problema
in esame.
13.3
Applicazione: assorbitore dinamico
Il concetto su cui si basa l’assorbitore dinamico `e quello di trasferire tutta l’energia introdotta in un
sistema vibrante da un campo di forze, mandandone volutamente in una sorta di risonanza un particolare,
mentre il resto del sistema `e mantenuto in quiete.
` importante notare che l’assorbitore dinamico, come dice il nome stesso, non dissipa energia. Al
E
contrario, assorbe l’energia associata al movimento forzato a regime di un sistema, e la confina, sotto
forma di energia cinetica e potenziale elastica, in una parte del sistema stesso.
13-13
Figura 13.5: Modello dell’assorbitore dinamico.
Nella figura `e rappresentata la sospensione di una linea elettrica ad alta tensione. Ovvi problemi
impediscono di collegare il cavo a terra, ad esempio con un elemento dissipativo. D’altronde il basso
smorzamento del cavo e l’ampio spettro del vento incidente, oltre al fenomeno delle vibrazioni indotte
per distacco di vortici, rendono molto probabile l’eccitazione in risonanza della campata.
Consideriamo il comportamento del cavo con l’assorbitore dinamico, considerando quest’ultimo, per
semplicit`
a, a un solo grado di libert`
a anzich´a a quattro, ovvero ci si riconduca allo schema seguente dove
m1 e k1 sono rispettivamente la massa e la rigidezza a flessione del cavo, mentre m2 e k2 sono quelle di
uno dei due contrappesi. Essendo il sistema lineare, o come tale approssimabile, la forzante armonica `e
una delle componenti dello sviluppo in serie di Fourier dell’azione del vento.
Le equazioni di moto sono le soluzioni a regime del sistema
m1 x
¨1 + k1 x1 + k2 (x1 − x2 ) = f0 sin (ωt)
(13.98a)
m2 x
¨2 + k2 (x2 − x1 ) = 0
(13.98b)
Effettuiamo le seguenti sostituzioni
ω11 =
s
k1
m1
(13.99a)
ω22 =
s
k2
m2
(13.99b)
X0 =
f0
k1
(13.99c)
e imponiamo come soluzioni degli integrali particolari
x1 (t) = X1 sin (ωt)
x2 (t) = X2 sin (ωt)
(13.100a)
(13.100b)
otterremo

!2 
k
k
ω
1 + 2 −
 X1 − 2 X2 = X0
k1
ω11
k1

!2 
ω
 X2 = 0
−X1 + 1 −
ω22
(13.101a)
(13.101b)
13-14
Figura 13.6: Risposta della massa 1 dell’assorbitore dinamico.
ovvero
X1
=
X0
k
1 + 2 −
k1
X2
=
X0
k
1 + 2 −
k1
!2
ω
1−
ω22
!2  
!2 
k
ω
ω
 1 −
− 2
ω11
ω22
k1
ω
ω11
1
!2  
 1 −
ω
ω22
!2 
(13.102a)
(13.102b)
k
− 2
k1
Si nota immediatamente che per ω = ω22 , pari alla frequenza propria del solo assorbitore dinamico messo
a terra, X1 /X0 si annulla11 , mentre X2 /X0 = −k1 /k2 , ovvero
k2 X2 = −f0 = ω 2 m2 X2
(13.103)
che ci permette, noto f0 e ω, ovvero nota la forzante, di determinare l’entit`a della massa m2 una volta
fissata la massima freccia ammissibile X2 per il trefolo che regge la massa stessa. Le due frequenze
proprie del sistema dipendono, ovviamente, dal rapporto
m2
(13.104)
µ=
m1
13.4
Vibrazioni forzate smorzate
Come sappiamo esistono diversi tipi di smorzamento, quali il viscoso, l’isteretico, quello dovuto ad attrito
` in generale difficile valutare quale tipo di smorzamento agisca
coulombiano, quello aerodinamico, ecc. E
in una particolare struttura; spesso il fenomeno dissipativo `e dovuto alla presenza contemporanea di pi`
u
di tipi di smorzamento. In molti casi, tuttavia, lo smorzamento `e piccolo e possono essere fatte alcune
ipotesi semplificative.
Il sistema di equazioni di equilibrio dinamico per il sistema vibrante di figura 13.7 `e dato da
x
¨1
m1 0
c1 + c2
−c2
x˙ 1
k1 + k2
−k2
x1
f1
+
+
=
0 m2
x
¨2
−c2
c2 + c3
x˙ 2
−k2
k2 + k3
x2
f2
11 Infatti, per tale frequenza, si annullano i due zeri della funzione di trasferimento tra la forzante X e lo spostamento
0
della massa 1, X1 . Si noti che `
e improprio dire che l’assorbitore viene fatto funzionare in risonanza, perch´
e, dal momento
che viene montato sul sistema, non `
e pi`
u definita una sua frequenza propria indipendente, ma, dato che aggiunge un grado
di libert`
a al sistema su cui viene montato, il sistema risultante ha una frequenza propria in pi`
u, che per`
o dipende dalle
caratteristiche dinamiche dell’insieme.
13-15
Figura 13.7: Sistema vibrante a 2 gradi di libert`
a smorzato.
(13.105)
ovvero
M¨
x + Cx˙ + Kx = f
13.4.1
(13.106)
Smorzamento proporzionale
Si ha il cosiddetto smorzamento proporzionale se la matrice C pu`
o essere scritta come
C = αM + βK
(13.107)
con i casi particolari per cui α = 0 o β = 0. Quindi il termine ‘proporzionale’ si riferisce al fatto che la
matrice di smorzamento C `e proporzionale alle matrici di massa e di rigidezza.
In tutti e tre i casi si dimostra facilmente che la matrice modale (13.49) del sistema conservativo
associato, ovvero quello senza smorzamento, che diagonalizza tanto la matrice di massa M quanto quella
di rigidezza K, rende diagonale anche la matrice C.
Infatti, nel caso pi`
u generale di equazione (13.107)
ΨT CΨ = ΨT (αM + βK) Ψ = α [diag (mj )] + β [diag (kj )] = [diag (cj )]
(13.108)
quindi il problema (13.106), in coordinate principali, diventa
¨ + [diag (cj )] q˙ + [diag (kj )] q = ΨT f
[diag (mj )] q
(13.109)
che rappresenta un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di libert`
a del sistema, del
tipo
mj q¨j + cj q˙j + kj qj = X Tj f
(13.110)
dove X j `e il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.
L’equazione, che risolta fornisce la legge del moto di un sistema ad un grado di libert`
a forzato, mette
in luce che, a meno di una costante arbitraria, la forzante `e data dal lavoro che le restanti forze agenti
sul sistema compiono per il j-esimo modo di vibrare.
Le frequenze proprie del sistema sono date da
q
(13.111a)
ωDi = ω j 1 − ξj2
s
kj
ωj =
(13.111b)
mj
ξj =
α
βω j
cj
=
+
2mj ω j
2ω j
2
(13.111c)
mentre la contrazione della soluzione avviene con le ampiezze che decrescono esponenzialmente con legge
del tipo e−ξj ωj t , e il generico termine della matrice di trasferimento vale
hjk (ω) = hkj (ω) =
N
X
r=1
r Xj · r Xk
kr − mr ω 2 + iωcr
(13.112)
13-16
Il modello di smorzamento proporzionale viene essenzialmente introdotto perch´e, per strutture debolmente smorzate, consente di utilizzare le forme modali ottenute per il sistema conservativo ad un costo
computazionale decisamente inferiore a quello necessario nel caso di smorzamento generico, illustrato nel
seguito.
Un’analisi puramente qualitativa di questo modello mostra che se l’idea di forze dissipative proporzionali alle forze elastiche pu`
o essere plausibile, in quanto le forze elastiche sono proporzionali alla
deformazione e quindi a movimenti relativi, l’idea di forze dissipative proporzionali alle forze d’inerzia
lascia abbastanza perplessi, in quanto le forze d’inerzia sono proporzionali alle accelerazioni assolute, e
quindi a movimenti assoluti. Per cui si arriva all’assurdo che su di un sistema non vincolato, sottoposto
ad un movimento rigido, agisce uno smorzamento strutturale di tipo viscoso.
In conclusione, la scelta di questo tipo di smorzamento va vista soprattutto come un espediente per
introdurre in modo computazionalmente vantaggioso una dissipazione che di caso in caso deve essere
tarata per risultare globalmente equivalente a quella rilevata sperimentalmente per un dato sistema
debolmente smorzato.
13.4.2
Smorzamento isteretico
Nel caso di smorzamento isteretico o strutturale, abbiamo gi`
a visto nel Capitolo 12 che l’energia dissipata
in un ciclo `e indipendente dalla pulsazione, ma dipende solo dalla ampiezza di vibrazione, ovvero, nel
dominio delle frequenze12 ,
η
−Mω 2 x + i Kωx + Kx = f
ω
(13.113)
ove si `e usata la matrice proporzionale
C=
η
K
ω
(13.114)
per rendere la proporzionalit`
a dello smorzamento dalla rigidezza, attraverso il coefficiente η, ma non
dalla frequenza. Ne risulta l’equazione
−ω 2 M + (1 + iη) K x = f
(13.115)
−ω 2 [diag (mj )] + (1 + iη) [diag (kj )] q = ΨT f
(13.116)
nella quale la dissipazione `e ottenuta “sfasando” le forze elastiche di un angolo tan−1 η. In coordinate
principali si ottiene
ovvero un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di libert`
a del sistema, del tipo
−ω 2 mj qj + (1 + iη) kj qj = X Tj f
(13.117)
dove X j `e il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.
Ovviamente
λ2j = −
p
−1
kj
(1 + iη) = −ω 2j 1 + η 2 ei tan η
mj
(13.118)
mentre il generico termine della matrice di trasferimento vale
hjk (ω) = hkj (ω) =
N
X
r=1
· r Xk
kr − mr ω 2 + iηkj
r Xj
(13.119)
12 Questo tipo di smorzamento non `
e rappresentabile nel dominio del tempo, perch´
e d`
a luogo ad un sistema dal
comportamento non causale.
13-17
13.4.3
Smorzamento viscoso generico
Quando la matrice di smorzamento non `e proporzionale alla matrice di massa e/o a quella di rigidezza, la
matrice modale (13.49) del sistema conservativo associato non diagonalizza la matrice di smorzamento.
Si pu`
o tuttavia ottenere un sistema disaccoppiato nel modo seguente. Il set di N equazioni differenziali
del secondo ordine `e convertito in un set di 2N equazioni differenziali del primo ordine, assegnando nuove
variabili (chiamate variabili di stato) a ciascuna delle coordinate libere originali e delle loro derivate nel
tempo
x˙ 1
x˙ 1
m1 0
m1 0
0
−
=
0 m2
0 m2
0
x˙ 2
x˙ 2
(13.120a)
x
¨1
m1 0
c1 + c2
−c2
x˙ 1
k1 + k2
−k2
x1
f1
+
+
=
0 m2
x
¨2
−c2
c2 + c3
x˙ 2
−k2
k2 + k3
x2
f2
(13.120b)
ovvero

0
 0

 m1
0
0
0
0
m2
m1
0
c1 + c2
−c2

x
¨1
0



x
¨2
m2 

x
˙1
−c2  


x˙ 2
c2 + c3





−m1
 0
+
 0



0
0
−m2
0
0
0
0
k1 + k2
−k2

0

 x˙ 1
  x˙ 2
0

x1
−k2  


x2
k2 + k3


0 





0
=

 f1 

 



f2




(13.121)
Sostituendo
x 1 = z1
x 2 = z2
(13.122a)
(13.122b)
x˙ 1 = z˙1 = z3
x˙ 2 = z˙2 = z4
(13.122c)
(13.122d)
x
¨1 = z˙3
x
¨2 = z˙4
(13.122e)
(13.122f)
otteniamo

0
0
 0
0

 m1 0
0 m2
m1
0
c1 + c2
−c2

z˙3
0



z˙4
m2 

z˙1
−c2  


z˙2
c2 + c3





−m1
 0
+
 0



0
0
−m2
0
0
0
0
k1 + k2
−k2

0

 z3
  z4
0

z1
−k2  


z2
k2 + k3


0 





0
=


 f1 
 



f2




(13.123)
ovvero
Az˙ + Bz = g
(13.124)
con
A=
0
M
M
C
−M 0
0
K
0
g=
f
B=
(13.125a)
(13.125b)
(13.125c)
Si noti che le matrici A e B sono simmetriche, ancorch´e non pi`
u definite positive; gli autovalori del
problema omogeneo associato sono direttamente gli autovalori del problema meccanico, e sono in generale
o reali o complessi coniugati.
13-18
Si consideri ancora il problema di figura 13.7, con m1 = m2 = m, c1 = c2 = c3 = c, k1 = k2 = k3 = k.
In questo caso particolare di smorzamento proporzionale si ottiene, dal calcolo degli autovalori e degli
autovettori
√


3c + 9c2 − 12mk
0
0
0


2m
√




3c − 9c2 − 12mk


0
0
0


2m
√
[diag (ωj )] = 
 (13.126)
2


c + c − 4mk


0
0
0


2m
√


2
c − c − 4mk
0
0
0
2m
e
√
√
√
√


3c − 9c2 − 12mk c + c2 − 4mk c − c2 − 4mk
3c + 9c2 − 12mk
−

 −
√ 2m
√ 2m
√ 2m
√ 2m


2
2
2
 3c + 9c2 − 12mk
3c − 9c − 12mk
c + c − 4mk c − c − 4mk 




2m
2m
2m
2m
Ψ=
 (13.127)




−
1
−1
1
1




1
1
1
1
Si noti che gli autovalori sono o reali, se i radicandi sono positivi, o complessi coniugati, se i radicandi
sono negativi; inoltre, le prime e le ultime due righe della matrice degli autovettori soddisfano la relazione
Ψ1|2 = Ψ3|4 [diag (ωj )]
(13.128)
che traduce la condizione
x 1 = z1
(13.129a)
x˙ 1 = z˙1 = z3 = ωj x1
x 2 = z2
(13.129b)
(13.129c)
x˙ 2 = z˙2 = z4 = ωj x2
(13.129d)
mentre le ultime due righe della matrice degli autovettori contengono gli autovettori del sistema conservativo di partenza, come atteso dal momento che la matrice di smorzamento `e proporzionale.
Nel caso invece generale, di smorzamento non proporzionale, i modi propri smorzati esistono, ma
non sono pi`
u identici a quelli del sistema conservativo e vi sono differenze di fase (non pi`
u 0 o π) tra le
componenti delle coordinate libere. I modi sono quindi complessi e in generale non sono pi`
u definibili
punti nodali (aventi componente nulla dello spostamento).
Esercizio 13.4 Dato il problema omogeneo associato alla (13.106) si dimostri che non pu`
o avere autovettori X reali associati agli eventuali autovalori complessi coniugati.
13.5
Dal continuo al discreto
Lo studio delle vibrazioni di sistemi continui, ad esempio dei modi propri di vibrare di una trave, viene
affrontato in modo abbastanza simile a quello descritto in questo capitolo per i sistemi discreti a pi`
u
gradi di libert`
a, a partire dalle equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono la dinamica del
continuo. Questa trattazione esula dallo scopo del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali; tuttavia,
dal momento che sono evidenti i punti di contatto tra i due argomenti, viene qui introdotto, in modo
del tutto qualitativo, il problema della discretizzazione dei problemi continui, che consente di superare i
limiti della trattazione analitica qualora il problema non sia risolvibile in forma chiusa.
In particolare, si illustra come, attraverso una discretizzazione sia pure grossolana del problema
continuo, sia possibile stimare le sue frequenze proprie con accuratezza via via crescente.
13-19
Figura 13.8: Torsione di una trave omogenea incastrata.
Si consideri la sola torsione della trave rettilinea di figura 13.8, di lunghezza L e di rigidezza GJ ed
inerzia Jp torsionali uniformi, incastrata all’estremo x = 0 e libera all’estremo x = L. Dal momento che
si tratta di un sistema continuo, possiede infiniti gradi di libert`
a e quindi infiniti modi di vibrare.
L’equilibrio alla rotazione attorno all’asse di un concio infinitesimo di trave afferma che la derivata
del momento torcente equilibra le coppie torcenti distribuite
d
Mt = Mt′ = µ
dx
(13.130)
Il momento torcente `e legato alla derivata prima dell’angolo di rotazione attorno all’asse
Mt = GJ
d
θ = GJθ′
dx
(13.131)
le coppie torcenti distribuite, in presenza di solo movimento di rotazione attorno all’asse, per effetto di
piccole perturbazioni della posizione di equilibrio, per il principio di d’Alembert sono date dalla coppia
di inerzia distribuita,
µ = −Jp θ¨ (x, t)
(13.132)
quindi l’equazione differenziale alle derivate parziali che governa le piccole perturbazioni della torsione
di una trave uniforme rispetto alla posizione di equilibrio `e
GJθ′′ + Jp θ¨ = 0
(13.133)
Senza presentare i dettagli della soluzione analitica del problema, lo studio delle vibrazioni del continuo,
una volta applicate le condizioni al contorno di rotazione nulla all’estremo incastrato, θ (0) = 0, e
momento torcente nullo all’estremo libero, GJθ′ (L) = 0, ci dice che le sue pulsazioni proprie sono
s
π
GJ
+ nπ
(13.134)
ωn =
2
J p L2
con n ∈ N0 , ed i corrispondenti modi sono
π
x
θn (x) = sin
+ nπ
2
L
(13.135)
Quindi, posto
s
GJ
φ=
J p L2
(13.136)
la pulsazione associata al primo modo, la cui forma `e un quarto di onda di seno, `e
ω1 =
π ∼
φ = 1.57φ
2
(13.137)
Per poter stimare i modi propri di vibrare di questo problema, si pu`
o immaginare di trasformarlo in
qualche modo da continuo a discreto, per ricondurlo in una forma nota; ad esempio, si pu`
o pensare di
suddividere la trave in due parti, come illustrato in figura 13.9, e di associare le rispettive inerzie alle
13-20
rotazioni dei due estremi. Siccome il primo `e incastrato, solo l’inerzia associata al secondo, pari a Jp L/2,
dar`
a luogo ad una coppia associata all’accelerazione angolare dell’estremo libero. La rotazione relativa
tra i due estremi dar`
a luogo ad una coppia elastica dovuta alla rigidezza torsionale dell’intera trave,
GJ/L. Ne risulta l’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti
Jp L ¨
GJ
θL +
θL = 0
2
L
(13.138)
la cui costante caratteristica `e
s
√
√
GJ
= 2φ
ω= 2
J p L2
(13.139)
mentre la forma associata `e una variazione lineare dell’angolo θ da 0 a θL . Dal momento che il problema
`e stato approssimato in maniera piuttosto grossolana, non ci aspettiamo una particolare accuratezza,
soprattutto in virt`
u del fatto che la differenza tra √
la forma corretta e quella approssimata del modo `e
cos`ı notevole; tuttavia, si nota che il rapporto tra 2 ∼
= 1.57 `e pari a 0.90, quindi l’errore
= 1.41 e π/2 ∼
commesso `e solo del 10% rispetto alla soluzione analitica (13.137).
Si consideri ora un modello leggermente pi`
u raffinato, come illustrato in figura 13.10, in cui la trave `e
divisa in tre parti, e si considerino, come incognite, la rotazione di mezzeria e quella dell’estremo libero.
L’inerzia associata alla rotazione di mezzeria sar`a la met`a dell’inerzia polare della trave, mentre quella
associata alla rotazione di estremit`a sar`a pari ad un quarto. La rigidezza delle molle torsionali sar`a invece
il doppio della rigidezza iniziale, in quanto la lunghezza degli spezzoni di trave `e la met`a della lunghezza
originaria.
Si ottengono le equazioni

Jp L
 2

0
0

0
1
θ¨L/2
θ¨L
θ¨L/2
θ¨L

Jp L 
4
θ¨L/2
θ¨L
ovvero
Jp L
4
2
0

GJ
 2 L/2
+

GJ
−
L/2
GJ
+
L/2
2
−1

GJ
0
L/2 
 θL/2
=
GJ 
θL
0
L/2
−
−1
1
θL/2
θL
=
0
0
(13.140)
(13.141)
e, infine,
2
0
0
1
+ 8φ
2 −1
−1 1
θL/2
θL
Le radici del polinomio caratteristico sono
q
√
ω = 2 2 ± 2φ
=
0
0
(13.142)
(13.143)
Figura 13.9: Modello ad un grado di libert`
a per la torsione di una trave omogenea incastrata.
13-21
Figura 13.10: Modello a due gradi di libert`
a per la torsione di una trave omogenea incastrata.
di cui la minore `e pari a circa 1.53φ, con un errore rispetto alla soluzione analitica (13.137) inferiore al
3%. La forma modale `e data da una spezzata, ovvero da una funzione che varia linearmente da 0 a θL/2
e quindi a θL , in cui
1
θL/2 = √ θL
2
(13.144)
che, caso fortuito, posta unitaria la rotazione√all’estremo libero per entrambe le forme, `e esattamente
uguale alla soluzione analitica: sin (π/4) = 1/ 2.
L’altra radice d`a una stima della pulsazione del secondo modo di vibrare, che sar`a decisamente pi`
u
grossolana rispetto a quella del primo (circa il 22% di errore). Al raffinarsi della suddivisione, e quindi al
crescere del numero dei gradi di libert`
a del modello discreto approssimato, la stima della prima pulsazione
propria, e via via di quelle immediatamente successive, diventa sempre pi`
u accurata.
13-22
Capitolo 14
Rappresentazione agli stati di
sistemi vibranti e modelli
approssimati
Generato il 23 ottobre 2014
A friend of mine down at Purdue
Said, “Here is the ultimate clue:
My analysis shows
That the universe grows
Like x˙ = Ax + Bu.”
Peter Carlisle Hughes
La rappresentazione agli stati di un sistema dinamico consiste nella scrittura di un problema differenziale nella forma
x˙ = Ax + Bu
y = Cx + Du
(14.1a)
(14.1b)
ove la relazione dinamica tra ingresso u(t) e uscita y(t) dipende da una relazione differenziale lineare.
Qualsiasi sistema lineare di equazioni differenziali, di qualsiasi ordine, pu`
o essere rappresentato in questa
forma a seguito di opportune trasformazioni.
Se la matrice D `e nulla, non vi `e termine di trasmissione diretta, e il sistema si dice strettamente pro` sempre possibile descrivere un sistema proprio come combinazione di un termine di trasmissione
prio. E
diretta tra ingresso e uscita (ovvero l’uscita `e direttamente proporzionale all’ingresso) e di un sistema
strettamente proprio, quindi lo studio di quest’ultimo caso `e sufficiente per lo studio del caso pi`
u generale.
La capacit`a di rappresentare un sistema dinamico generico nella forma agli stati consente di studiarne
le caratteristiche ed il comportamento mediante le tecniche sviluppate nell’ambito della teoria dei sistemi.
La formulazione agli stati `e considerata parte di un approccio “moderno” alla teoria dei sistemi, nato
e fiorito nella seconda met`a del ventesimo secolo, in contrapposizione ad un approccio “classico” mediante
funzioni di trasferimento formulate nel dominio di Laplace, fiorito nella prima met`a dello stesso secolo.
I due approcci sono quasi perfettamente analoghi in quanto a contenuti, ma presentano vantaggi e
svantaggi diversi, che li rendono complementari. La conoscenza di entrambi gli approcci e la capacit`a di
utilizzare il pi`
u vantaggioso a seconda dell’ambito di applicazione e delle esigenze di analisi costituiscono
importanti strumenti.
Le implicazioni relative all’opportunit`
a di utilizzare o meno la formulazione agli stati vengono lasciate
ad altri corsi per i quali l’argomento `e centrale1 . In questo capitolo si vogliono soprattutto presentare le
tecniche per descrivere problemi tipici della dinamica dei sistemi aerospaziali mediante tale formalismo.
1 Si rammenta che la formulazione agli stati di sistemi dinamici `
e stata discussa nell’ambito del corso di Fondamenti di
Automatica, al quale si rimanda per approfondimenti e rigore delle formalizzazioni.
14-1
I paragrafi da 14.1 a 14.3 sono da intendersi come un ripasso di teoria dei sistemi nei domini del
tempo e di Laplace.
14.1
Rappresentazione agli stati nel dominio del tempo
Dalla teoria dei sistemi `e noto che la soluzione ad un problema di questo tipo `e data dalla combinazione
lineare di una soluzione dipendente dalle condizioni iniziali x(t0 ) = x0 , in assenza di forzamento (u = 0),
e di una dipendente dall’ingresso u (u = u(t) 6= 0). La prima va sotto il nome di integrale generale,
mentre la seconda va sotto il nome di integrale particolare.
14.1.1
Integrale generale
La soluzione dell’integrale generale ha la forma
xg (t) = eA(t−t0 ) x0 .
(14.2)
Si ricorda che la funzione esponenziale di matrice `e definita come
eA(t−t0 ) =
∞
X
1 k
k
A (t − t0 ) .
k!
(14.3)
k=0
` immediato verificare che
E
d A(t−t0 )
d
e
=
dt
dt
∞
X
1 k
k
A (t − t0 )
k!
k=0
!
∞
X
k k
k−1
A (t − t0 )
=
k!
k=0
∞
X
=A
1
k−1
Ak−1 (t − t0 )
(k − 1)!
k=1
A(t−t0 )
= Ae
= eA(t−t0 ) A,
(14.4)
da cui risulta che la (14.2) soddisfa la (14.1a) per u = 0, qualunque sia x0 .
Esercizio 14.1 Si noti che l’ultima eguaglianza della (14.4) sembrerebbe violare la regola di non commutativit`
a del prodotto di matrici. Si verifichi che in questo specifico caso il prodotto AeA(t−t0 ) `e
commutativo.
Esercizio 14.2 Dato il problema scalare x˙ = ax, se ne determini l’integrale generale per integrazione
mediante separazione di variabili.
La soluzione dell’integrale generale tende ad annullarsi se il sistema descritto dalla matrice A `e
asintoticamente stabile2 . Questo si verifica quando gli autovalori λi della matrice, in generale reali o
complessi coniugati in quanto la matrice `e reale, hanno parte reale negativa. Per questo motivo, spesso
l’integrale generale viene trascurato nello studio della risposta al forzamento. A rigore, ci`o corrisponde
a considerare condizioni iniziali tali per cui x0 ≡ 0.
2 Si ricorda che a rigore la stabilit`
a pu`
o essere valutata per le singole soluzioni, e non per i sistemi. Fanno eccezione, tra
gli altri, i sistemi lineari tempoinvarianti.
14-2
Esponenziale di matrice
La (14.3) rappresenta la definizione di esponenziale di matrice. Tuttavia, la definizione come serie
non rappresenta uno strumento pratico per il suo calcolo (si veda [6] per una discussione completa
sull’argomento).
Se invece, qualora sia possibile, si opera una decomposizione spettrale della matrice A, si ottiene
A = V [diag (λ)] V−1 ,
(14.5)
ove [diag (λ)] `e una matrice diagonale contenente gli autovalori λi della matrice A, mentre la matrice V
contiene i rispettivi autovettori, v i .
La (14.3) diventa cos`ı
eA(t−t0 ) =
∞
X
k
1
k
V [diag (λ)] V−1 (t − t0 )
k!
k=0
∞
X
1
k
([diag (λ)] (t − t0 )) V−1
k!
k=0
h
i
= V diag eλ(t−t0 ) V−1 .
=V
14.1.2
(14.6)
Integrale particolare
La soluzione dell’integrale particolare `e data dall’integrale di convoluzione (o integrale di Duhamel) tra
l’ingresso u (t) e la soluzione fondamentale eAt B, ovvero
Z t
eA(t−τ ) Bu (τ ) dτ .
(14.7)
xp (t) =
t0
Esercizio 14.3 Si verifichi la propriet`
a commutativa della convoluzione, tale per cui
Z t
Z t
eAτ Bu (t − τ ) dτ .
eA(t−τ ) Bu (τ ) dτ =
(14.8)
0
0
Suggerimento: si operi il cambio di variabile η = t − τ .
Anche in questo caso, ricordando l’espressione della derivata dell’integrale
Z b(t)
Z
d b(t)
d
d
d
f (t − τ ) dτ + f (b(t)) b(t) − f (a(t)) a(t),
f (t − τ ) dτ =
dt a(t)
dt
dt
dt
a(t)
`e immediato verificare che
Z t
d
AeA(t−τ ) Bu (τ ) dτ + Bu (t) .
xp (t) =
dt
t0
(14.9)
(14.10)
Siccome A `e costante e quindi pu`
o essere portata fuori dal segno di integrale, l’ultima espressione
corrisponde alla (14.1a).
Ricordando la (12.60), e supponendo per semplicit`
a che il sistema abbia un solo ingresso u e che
quindi la matrice B sia formata da una sola colonna, la risposta ad un ingresso sotto forma di Delta di
Dirac u(t) = δ(t − t0 ) `e
Z t
eA(t−τ ) Bδ (τ ) dτ = eA(t−t0 ) B.
(14.11)
x (t − t0 ) =
t0
Quindi la funzione eA(t−t0 ) B rappresenta la risposta impulsiva del sistema in termini di stato. Nel
momento in cui, anzich´e soltanto lo stato x, si considera anche la relazione di uscita y data dalla (14.1b),
si ottiene la funzione
h (t − t0 ) = CeA(t−t0 ) B + Dδ (t − t0 ) ,
(14.12)
che rappresenta la risposta impulsiva del sistema.
14-3
14.2
Rappresentazione agli stati nel dominio di Laplace
La rappresentazione agli stati assume forme particolarmente significative quando viene valutata nel
dominio di Laplace:
sx = Ax + Bu
y = Cx + Du,
(14.13a)
(14.13b)
ove si sono supposte per semplicit`
a condizioni iniziali nulle. La soluzione del problema forzato diventa
−1
y = C (sI − A) B + D u.
(14.14)
14.3
Realizzazione agli stati di una funzione di trasferimento
Una generica funzione di trasferimento razionale strettamente propria, caratterizzante un semplice sistema a singolo ingresso e singola uscita (Single-Input Single-Output, SISO), esprimibile come
n
X
ai y (n−i) =
n
X
bi u(n−i) ,
(14.15)
i=1
i=0
con a0 = 1, pu`
o essere realizzata agli stati in varie forme. Con y (i) si indica la derivata di ordine i della
funzione y. La sua rappresentazione nel dominio di Laplace `e
Pn
bi sn−i
y = Pni=1 n−i u,
(14.16)
i=0 ai s
oppure
Pn
b sn−i
i=1
Pn i
u
n
s + i=1 ai sn−i
y=
(14.17)
per sottolineare che si sceglie arbitrariamente di porre a0 = 1 per eliminare l’indeterminazione che si
avrebbe moltiplicando tutti i coefficienti ai e bi per la costante a0 .
Esercizio 14.4 Si mostri come una funzione di trasferimento non strettamente propria possa essere
espressa come somma di una funzione strettamente propria e di un termine di trasmissione diretta.
Il motivo per cui una funzione `e realizzabile in molteplici forme `e legato alla constatazione che la
realizzazione agli stati richiede pi`
u coefficienti (n2 per A, n sia per B che per C, 1 per D se la funzione
non `e strettamente propria, per un totale al pi`
u di n2 + 2n + 1) di quanti presenti nella forma razionale
di Eq. (14.15), ovvero al pi`
u 2n.
Questa semplice considerazione sottintende un’altra considerazione: la forma razionale non contiene
eventuali cancellazioni tra poli e zeri coincidenti, n´e eventuali dinamiche nascoste, ovvero non raggiungibili o non osservabili. Quindi la forma agli stati consente di considerare nei modelli anche quegli aspetti
che non contribuiscono direttamente alla relazione ingresso-uscita, ma possono essere presenti nella fisica
di un problema, con conseguenze potenzialmente non trascurabili sul suo comportamento dinamico.
Quanto detto vale anche per sistemi a ingresso multiplo e a uscita multipla (Multi-Input MultiOutput, MIMO), a patto di considerare le ai come matrici quadrate di ordine ny × ny , e le bi come
matrici rettangolari di ordine ny × nu . In questo caso, si avrebbe
n
X
ai y (n−i) =
n
X
bi u(n−i) ,
(14.18)
i=1
i=0
con a0 = I, e
y=
n
X
i=0
ai s
n−i
!−1
n
X
i=1
bi s
n−i
!
(14.19)
u.
14-4
14.3.1
Invarianza di una rappresentazione agli stati
Una rappresentazione agli stati `e invariante rispetto ad una trasformazione degli stati che sia invertibile.
Data una trasformazione
x = Tx′
(14.20)
invertibile, tale per cui
x′ = T−1 x,
(14.21)
il sistema (14.1) diventa
x˙ ′ = T−1 ATx′ + T−1 Bu
y = CTx′ + Du.
(14.22a)
(14.22b)
Si consideri ora, in analogia con la (14.14), la rappresentazione nel dominio di Laplace della (14.22),
−1 −1
y = CT sI − T−1 AT
T B+D u
−1 −1
T B+D u
= CT sT−1 T − T−1 AT
−1 −1
T B+D u
= CT T−1 (sI − A) T
−1
= CTT−1 (sI − A) TT−1 B + D u
−1
= C (sI − A) B + D u.
(14.23)
La (14.23) `e identica alla (14.14), quindi una trasformazione invertibile dello stato non cambia la relazione
tra ingresso e uscita.
14.3.2
Raggiungibilit`
a ed osservabilit`
a
Definizione di raggiungibilit`
a:
Un sistema, per essere raggiungibile, deve consentire di portare, in un tempo finito arbitrario,
il suo stato x dal valore iniziale x0 ad un qualsiasi valore desiderato, attraverso un’opportuna
scelta degli ingressi u tra l’istante iniziale e quello finale.
Spesso la raggiungibilit`
a `e denominata controllabilit`
a (nel senso che se tutto lo stato `e noto, le due
propriet`
a coincidono, ovvero un sistema raggiungibile `e anche controllabile).
Definizione di osservabilit`
a:
Perch´e un sistema sia osservabile, il moto di ogni suo stato, a partire da un qualunque valore
iniziale x0 , deve poter essere rilevato in un tempo finito attraverso le uscite y, in assenza di
forzamento u.
Le nozioni di raggiungibilit`
a e osservabilit`a sono generali3 , ovvero si applicano a sistemi lineari anche
tempovarianti o, in caso di sistemi non lineari, si applicano alla loro linearizzazione attorno ad una
soluzione di riferimento.
Per i sistemi lineari tempo-invarianti, esistono criteri di verifica particolarmente semplici. Si definiscono le matrici di raggiungibilit`
a
Kr = B, AB, A2 B, . . . An−1 B
(14.24)
3 Esistono anche definizioni meno stringenti, che vengono riportate per completezza. Si parla di stabilizzabilit`
a quando
un sistema `
e raggiungibile, oppure i suoi stati non raggiungibili sono asintoticamente stabili. Si parla di rilevabilit`
a (in
inglese detectability) quando un sistema `
e osservabile, oppure i suoi stati non osservabili sono asintoticamente stabili.
14-5
e osservabilit`a
Ko = C T ,
A T CT ,
AT
2
CT ,
...
AT
n−1
CT
,
(14.25)
con n pari al numero degli stati. Il sistema si dice raggiungibile se la matrice Kr ha rango pieno, e si
dice osservabile se la matrice Ko ha rango pieno.
Si noti che, se il sistema ha nu ingressi e ny uscite, le matrici Kr e Ko hanno ordine rispettivamente
n × (n · nu ) e n × (n · ny ). Ne consegue che il loro rango non pu`
o essere maggiore di n, la dimensione
pi`
u piccola. Tuttavia, `e possibile che abbiano rango inferiore a n, nel qual caso il sistema sarebbe
rispettivamente non raggiungibile o non osservabile.
14.3.3
Verifica intuitiva del criterio di osservabilit`
a
La definizione di osservabilit`a dice che qualunque sia lo stato iniziale x0 , deve poter essere rilevato
attraverso le uscite y in un tempo finito, in assenza di forzamento u. Questo significa che l’uscita dovuta
all’integrale generale,
y = CeAt x0 ,
(14.26)
deve essere non-nulla qualunque sia x0 .
Se esiste un vettore x0 = z tale per cui la (14.26) `e identicamente nulla, ovvero
CeAt z ≡ 0,
∀z 6= 0,
(14.27)
allora anche tutte le derivate di y devono essere identicamente nulle. Ne consegue che
y˙ = CAeAt z = 0
2 At
¨ = CA e
y
(14.28a)
z=0
(14.28b)
...
y (n−1) = CAn−1 eAt z = 0.
(14.28c)
Perch´e questo sia vero qualunque sia t, compreso t = 0, il vettore z deve essere ortogonale a tutte le
matrici CAk , con k = 0, n − 1. Ma questo `e possibile solo se la matrice Ko ha rango minore di n.
Un ragionamento analogo pu`
o essere svolto per il criterio di raggiungibilit`
a. Si pu`
o anche notare che
dato un sistema
x˙ o = Ao xo + Bo uo
(14.29a)
y o = Co xo
(14.29b)
che sia osservabile, ovvero tale per cui Ko abbia rango pieno, si ottiene un sistema
x˙ r = Ar xr + Br ur
(14.30a)
y r = Cr xr
(14.30b)
sicuramente raggiungibile ponendo Ar = ATo , Br = CTo , Cr = BTo , dal momento che la matrice di
raggiungibilit`
a Kr di quest’ultimo sistema `e strutturalmente identica alla matrice di osservabilit`a del
problema precedente.
14.4
Rappresentazione agli stati di problemi meccanici
La rappresentazione agli stati di problemi meccanici richiede di esprimere l’equazione
M¨
z + Rz˙ + Kz = f
(14.31)
mediante la quadrupla di matrici A, B, C, D.
La nozione di raggiungibilit`
a in un sistema meccanico si correla con la scelta del tipo e del posizionamento degli attuatori, ovvero degli organi di macchine con cui si esercita una azione sul sistema. La
nozione di osservabilit`a si correla con la scelta del tipo e del posizionamento dei sensori, ovvero degli
strumenti con cui si intende misurare il movimento del sistema al fine di progettare l’azione di controllo.
14-6
14.4.1
Oscillatore armonico smorzato
Si consideri il caso di un oscillatore armonico smorzato, oggetto principale di studio del capitolo 5. Il suo
moto `e descritto dall’equazione
m¨
z + rz˙ + kz = f.
(14.32)
La realizzazione agli stati pi`
u intuitiva consiste nel definire w = z˙ e quindi
w
x=
z
u=f
−r/m −k/m
A=
1
0
1/m
B=
0
C= 0 1 ,
(14.33a)
(14.33b)
(14.33c)
(14.33d)
(14.33e)
nell’ipotesi che si desideri in uscita la posizione della massa m. Si considerino gli autovalori del sistema,
radici del polinomio caratteristico
det (λI − A) = λ2 + λr/m + k/m = 0.
(14.34)
Essi sono
r
r 2
r
k
λ=−
− .
±
(14.35)
2m
2m
m
Il polinomio caratteristico `e ovviamente identico a quello che si ottiene considerando direttamente
l’equazione di secondo grado originaria.
Per questo sistema il problema dell’osservabilit`a e della raggiungibilit`
a non si pone, in quanto sappiamo dalla fisica che si tratta di un sistema in realt`a ad un solo grado di libert`
a, quindi un forzamento
applicato al grado di libert`
a non pu`
o non eccitarlo, e la misura scelta `e direttamente il grado di libert`
a
` tuttavia interessante verificare il calcolo delle matrici di raggiungibilit`
stesso. E
a e osservabilit`a; si ottiene
1/m −r/m2
(14.36a)
Kr =
0
1/m
0 1
,
(14.36b)
Ko =
1 0
e quindi il sistema `e raggiungibile e osservabile (anche in assenza di smorzamento, per r = 0, e addirittura
anche in assenza della molla, per k = 0).
14.4.2
Forma canonica di controllabilit`
a
Tra le infinite realizzazioni possibili, un caso importante
trollabilit`
a, o forma canonica di raggiungibilit`
a,

 

−a1 −a2 −a3 . . . −an 
x
˙


 x1
1


  1


 x2
0
0
0


 x˙ 2  


 0

x3
1
0
0
x˙ 3
=




 ..

..
.
.



..  
..
... 

 .
.







x˙ n
0
0
0
...
0
xn


x1 






x2 




x
3
.
y = b 1 b 2 b 3 . . . bn

.. 




.






xn
14-7
`e rappresentato dalla forma canonica di con

1 









 0 
0
u
+


.. 






 . 





 
0







(14.37a)
(14.37b)
Il nome esprime il fatto che la matrice di raggiungibilit`
a `e intrinsecamente triangolare superiore, con i
coefficienti diagonali unitari, e quindi la raggiungibilit`
a `e strutturalmente garantita indipendentemente
dai coefficienti della funzione originaria.
Esercizio 14.5 Si scriva la matrice di raggiungibilit`
a Kr della forma canonica di raggiungibilit`
a.
` opportuno ricordare che spesso le matrici che si ottengono mediante canonicizBilanciamento. E
zazione sono mal condizionate. Pu`o essere vantaggioso scalarle mediante algoritmi di bilanciamento che
scalano gli stati e l’ingresso in modo da migliorare il condizionamento sia per quanto riguarda la fattorizzazione della matrice A che l’estrazione dei suoi autovalori. Si vedano ad esempio le funzioni balance
di Matlab e Octave, e le funzioni dgebal e dggbal di LAPACK.
Il bilanciamento consiste nel calcolare una matrice di trasformazione T che consenta di esprimere gli
stati x come
x = Tˆ
x.
(14.38)
A questo punto, il problema diventa
x
ˆ˙ = T−1 ATˆ
x + T−1 Bu
(14.39a)
y = CTˆ
x + Du.
(14.39b)
La scalatura T viene scelta in modo che la matrice bilanciata T−1 AT abbia la norma di righe e colonne
dello stesso ordine di grandezza.
Ad esempio, si consideri la matrice A associata ad un oscillatore armonico non smorzato di frequenza
caratteristica pari a ω0 = 10 radianti/s, realizzato in forma canonica di raggiungibilit`
a, ovvero
octave:1> A = [0 -100; 1 0]
A =
0
1
-100
0
octave:2> [T, AA] = balance(A)
T =
8
0
0
1
AA =
0.00000
8.00000
-12.50000
0.00000
Anche per un problema cos`ı semplice una scalatura `e opportuna. Essa consiste nel dividere il primo stato
per 8. Per ragioni di efficienza, la funzione balance effettua la scalatura utilizzando potenze di 2.
Oscillatore armonico smorzato
Si consideri il problema descritto dall’equazione (14.32). La sua realizzazione in forma canonica di
controllabilit`a `e molto simile a quella presentata nelle (14.33), ottenuta in modo del tutto intuitivo.
Si riscriva infatti tale equazione nella forma
z¨ +
↑
1
r
z˙
m
↑
a1
+
k
m
↑
a2
z
=
0
f˙ +
↑
b1
14-8
1
m
↑
b2
f
.
(14.40)
In base alle (14.37) ne risultano le matrici
u=f
A=
B=
C=
(14.41a)
−r/m
1
1
0
0
1/m
−k/m
0
(14.41b)
(14.41c)
.
(14.41d)
La differenza principale rispetto alla scrittura intuitiva delle (14.33) sta nel fatto che ora la divisione
per m compare nella matrice C anzich´e nella B. Di conseguenza gli stati non assumono il significato
di posizione e velocit`
a, ma di integrale della quantit`a di moto e quantit`a di moto. Data la specificit`
a
di questo caso, per cui il coefficiente b1 `e sempre zero, nulla vieta di considerare la forma presentata
nelle (14.33).
Generico sistema meccanico
Si ottiene il risultato desiderato con una minima rielaborazione4 della forma canonica di controllabilit`a,
ovvero
u=f
−M−1 R
A=
I
−1
M
B=
0
C= 0 I .
(14.43a)
−1
−M K
0
(14.43b)
(14.43c)
(14.43d)
Si noti che `e richiesta l’inversione della matrice di massa del problema. Tale operazione pu`
o essere onerosa
per problemi di grandi dimensioni. In tali casi, dal momento che il problema pu`
o essere formulato in
modo che la matrice di massa sia simmetrica definita positiva, pu`
o essere opportuno riformulare la
formalizzazione agli stati considerando prima una decomposizione di Cholesky della matrice, tale per cui
M = LLT ,
(14.44)
ove L sia una matrice triangolare inferiore. Si ponga poi w = LT z. A questo punto, il problema di
equazione (14.31) pu`
o essere riformulato come5
¨ + RL−T LT z˙ + KL−T LT z = f
LLT z
˙ + KL−T w = f
¨ + RL−T w
Lw
˙ + L−1 KL−T w = L−1 f .
¨ + L−1 RL−T w
w
4 Una
(14.45)
realizzazione secondo la forma canonica avrebbe le matrici A, B e C
A=
−RM−1
I
−KM−1
0
B=
I
0
C=
0
M−1
.
(14.42)
˙ Mz} perderebbero il significato fisico di spostamenti e velocit`
Anche in questo caso gli stati x = {Mz;
a; per questo motivo
pu`
o essere preferibile utilizzare la forma modificata.
5 Nella forma proposta compare spesso la matrice L−1 ; ovviamente, essendo L triangolare per costruzione, la sua
inversione richiede in realt`
a soltanto una sostituzione in avanti.
14-9
Le matrici L−1 RL−T e L−1 KL−T sono simmetriche per costruzione se anche le matrici R e K lo sono.
La rappresentazione agli stati diventa
u=f
−L−1 RL−T
A=
I
−1 L
B=
0
C = 0 L−T .
14.4.3
(14.46a)
−L
−1
KL
0
−T
(14.46b)
(14.46c)
(14.46d)
Forma canonica di osservabilit`
a
Un altro caso importante

 
−a1
x
˙


1




 −a2


 x˙ 2  

x˙ 3
=  −a3
 ..




... 

 .




x˙ n
−an
y=
1
`e rappresentato dalla forma canonica di osservabilit`
a,
 


x1 
1 0 ... 0 

 
 b1 


 x2 
 
 b2 

0 1
0 



 



x
b
0 0
0 
3
3
+
u


.. 
.. 
..  
..









. . 
. 
 . 




 


xn
bn
0 0 ... 0


x1 






x2 




x
3
0 0 ... 0
.

.. 




.






xn
(14.47a)
(14.47b)
Il nome esprime il fatto che la matrice di osservabilit`a `e intrinsecamente triangolare superiore, con i
coefficienti diagonali unitari, e quindi l’osservabilit`a `e strutturalmente garantita indipendentemente dai
coefficienti della funzione originaria.
Esercizio 14.6 Si scriva la matrice di osservabilit`
a Ko della forma canonica di osservabilit`
a.
Oscillatore armonico smorzato
Si consideri il problema descritto dall’equazione (14.32). Ricordando la (14.40), la sua realizzazione in
forma canonica di osservabilit`a `e
u=f
A=
B=
C=
(14.48a)
−r/m 1
−k/m 0
0
1/m
1 0
(14.48b)
(14.48c)
(14.48d)
Anche questa forma pu`
o essere ottenuta in modo relativamente intuitivo, definendo
mw = mz˙ + rz
(14.49)
e quindi
mw˙ + kz = f.
(14.50)
Le matrici di raggiungibilit`
a e osservabilit`a sono
0
1/m
Kr =
1/m
0
1 −r/m
Ko =
,
0
1
(14.51a)
(14.51b)
14-10
a conferma che il problema `e strutturalmente osservabile e, nel caso specifico, raggiungibile.
14.5
Risposta a forzanti specifiche
14.5.1
Risposta impulsiva
In aggiunta a quanto gi`
a illustrato nella sezione 12.4 si consideri un generico sistema, rappresentato agli
stati, in cui, senza ledere la generalit`
a, sia presente un solo ingresso u(t) impulsivo u(t) = f1 δ(t − t1 ). La
soluzione generale data dalla (14.7), con t1 > t0 , diventa
xp (t − t0 ) =
Z
t
t0
eA(t−τ ) Bf1 δ(τ − t1 ) dτ = step(t − t1 )eA(t−t1 ) Bf1 ,
(14.52)
che, come gi`
a notato nella sezione 12.4, corrisponde all’integrale generale dato dalla (14.2) in cui le
condizioni iniziali siano x0 = Bf1 .
Esercizio 14.7 A partire dalla (14.52) si valuti la risposta del sistema meccanico descritto da m¨
x + rx˙ +
kx = f0 δ(t − t1 ) con condizioni iniziali x(t0 ) = 0 e x(t
˙ 0 ) = 0, con t1 > t0 .
14.5.2
Risposta a scalino
Si consideri una forzante a scalino, ovvero una forza che ha valore nullo per t < t1 e valore costante pari
a f0 per t > t1 , senza che occorra specificarne il valore al tempo t1 . Si consideri un generico sistema,
rappresentato agli stati, in cui, senza ledere la generalit`
a, sia presente un solo ingresso u(t) a scalino di
valore f0 al tempo t1 . La soluzione generale data dalla (14.7), con t1 > t0 , diventa
xp (t − t0 ) =
Z
t
A(t−τ )
e
t0
Bf0 step(τ − t1 ) dτ = step(t − t1 )
Z
t
eA(t−τ ) dτ Bf0 ,
(14.53)
t1
ove la funzione step(t − t1 ) `e stata introdotta per imporre che la soluzione sia considerata solo per t ≥ t1 ,
mentre per t < t1 la soluzione `e nulla per causalit`a6 . Si consideri il cambio di variabile τ = η + t, per cui
dτ = dη; si ottiene
Z
0
0
e−Aη dηBf0 = −step(t − t1 ) A−1 e−Aη t −t Bf0
1
t1 −t
= −step(t − t1 )A−1 I − eA(t−t1 ) Bf0 .
xp (t − t0 ) = step(t − t1 )
(14.54)
Perch´e la risposta sia definita occorre che A non sia singolare. Se gli autovalori della matrice A hanno
parte reale negativa, per t → ∞ si ottiene la soluzione statica
lim xp (t − t0 ) = −A−1 Bf0 ,
(14.55)
t→∞
data direttamente dalla (14.1a) per u costante a transitorio esaurito, ovvero per x˙ = 0. L’uscita a
transitorio esaurito `e quindi
y = −CA−1 B + D.
(14.56)
Esercizio 14.8 A partire dalla (14.54) si valuti la risposta del sistema meccanico descritto da m¨
x +kx =
f0 step(t) con condizioni iniziali x(t0 ) = 0 e x(t
˙ 0 ) = 0.
Esercizio 14.9 A partire dalla (14.54) si valuti la risposta del sistema meccanico descritto da m¨
x + rx˙ +
kx = f0 step(t − t1 ) con condizioni iniziali x(t0 ) = 0 e x(t
˙ 0 ) = 0, con t1 > t0 .
6 Siccome
per t < t1 l’ingresso `
e nullo, anche l’uscita deve essere nulla.
14-11
14.6
Approssimazioni
In questo paragrafo sono presentate le definizioni di alcune forme di approssimazione di sistemi dinamici
la cui applicazione pu`
o essere utile nel caso in cui siano valide opportune ipotesi, in base alle quali la
dinamica del sistema, o una sua porzione, siano trascurabili ai fini dell’analisi che si intende effettuare.
Alcune definizioni saranno fornite in modo intuitivo, sia perch´e la loro formalizzazione richiede strumenti relativamente sofisticati che non `e opportuno introdurre in questo contesto, sia perch´e spesso la
scelta di quando utilizzare un’approssimazione e quanto spingerla sono soggettive e spesso basate su
considerazioni empiriche.
14.6.1
Approssimazione statica
Si ha un’approssimazione cosiddetta statica (o stazionaria) quando la dinamica del sistema viene interamente trascurata. Si consideri la soluzione a regime, ovvero a transitorio esaurito, di un sistema dinamico
asintoticamente stabile, soggetto ad un ingresso costante u (t) = u0 . Questo significa che la soluzione `e
costituita dal solo integrale particolare, dal momento che l’integrale generale in caso di stabilit`
a asintotica
si annulla a condizione di lasciar trascorrere un tempo sufficientemente lungo.
In caso di ingresso costante, l’integrale particolare `e dato da una soluzione costante; ovvero, posto
0 = Ax + Bu0 ,
(14.57)
si ricava x che, sostituito nella relazione di uscita, d`a
y = −CA−1 Bu0 .
(14.58)
Si noti che la matrice A deve essere invertibile; questa condizione `e verificata in caso di stabilit`
a asintotica,
perch´e in tale caso tutti gli autovalori di A devono avere parte reale negativa, e quindi sono diversi da
zero7 .
Si ipotizzi ora un processo in cui l’ingresso u non `e pi`
u costante, ma varia lentamente. Se la variazione
`e sufficientemente lenta e regolare, si pu`
o pensare di suddividerla in tratti costanti, raccordati da scalini.
In tale caso, la risposta sar`
a data da sequenze di integrali particolari costanti, analoghi a quello appena
determinato, raccordati da integrali generali che tengono conto della variazione improvvisa di condizioni
al contorno.
Se il tempo necessario perch´e l’integrale generale si annulli `e piccolo rispetto alla durata del singolo
tratto in cui `e stato discretizzato l’ingresso, allora si pu`
o ridurre la lunghezza dei tratti, affinando la discretizzazione. Se l’ingresso `e sufficientemente regolare, questo comporta salti pi`
u piccoli nelle condizioni
al contorno, e cos`ı via, fino a rendere di nuovo continuo l’ingresso.
Ne risulta, in modo intuitivo, che la regolarit`a dell’ingresso fornisce un termine di paragone da confrontare con la rapidit`
a di annullamento dell’integrale generale. Se l’ingresso `e sufficientemente regolare,
la dinamica del sistema non viene eccitata, e quindi `e sufficiente considerare un’approssimazione statica
del sistema stesso,
s
y (t) = −CA−1 Bu (t) ,
(14.59)
s
dove con (·) = (·) si `e indicata una uguaglianza non in senso stretto, ma mediante approssimazione
stazionaria.
Approssimazione statica: interpretazione nel dominio di Laplace
Se si considera la trasformata di Laplace della rappresentazione agli stati, l’approssimazione statica
consiste nel valutare l’uscita, secondo il teorema del valore finale, come il limite per s → 0. Dalla (14.14)
si ottiene
lim y (s) = −CA−1 Bu (s)
(14.60)
s→0
che, antitrasformata di nuovo nel dominio del tempo, d`a esattamente la (14.59), in quanto CA−1 B `e
costante.
7 Si ricordi che una matrice `
e invertibile quando il suo determinante non `
e nullo, e il determinante di una matrice `
e pari
al prodotto di tutti i suoi autovalori.
14-12
Approssimazione stazionaria con ingresso instazionario
In alcuni contesti, il fatto che l’ingresso u (t) dipenda dal tempo porta a chiamare impropriamente
quasi-stazionaria l’approssimazione stazionaria appena descritta. Questo non `e corretto, perch´e la
non-stazionariet`
a, ovvero la variabilit`a nel tempo, `e solo dell’ingresso. La dinamica del sistema viene
interamente trascurata.
Si consideri per esempio un sistema dinamico molto semplice, costituito dalle forze aerodinamiche
stazionarie,
F =
1 2
ρv SCf (α) ,
2
(14.61)
la cui dipendenza dall’angolo di incidenza α `e confinata nel generico coefficiente Cf , che pu`
o essere
scomposto in Cl e in Cd proiettando la forza in direzione rispettivamente perpendicolare e parallela alla
velocit`
a relativa ~v , di cui v `e il modulo. Il modello di forze aerodinamiche descritto dal coefficiente Cf
`e puramente stazionario, in quanto non dipende dalla storia di α ma solo dal suo valore istantaneo,
nell’ipotesi che ogni transitorio si sia esaurito.
Se ad esempio la velocit`
a relativa ~v `e combinazione di un vento asintotico v∞ in una direzione fissata,
˙ perpendicolare al vento relativo, l’angolo di incidenza istantaneo `e
e di un movimento del corpo, h,
!
h˙
,
(14.62)
α = θ − tan−1
v∞
dove θ rappresenta l’orientazione del corpo rispetto alla direzione del vento relativo.
Se si considera l’angolo di incidenza dato dalla (14.62) nel modello di forze aerodinamiche dato dalla (14.61) si compie una forzatura, in quanto la (14.61) `e un modello stazionario delle forze aerodinamiche,
˙ nel caso di moto vario), e quindi viola l’ipotesi
mentre α pu`
o variare nel tempo (per via del termine h,
di stazionariet`
a.
L’approssimazione pu`
o divenire accettabile se la variazione di α `e sufficientemente lenta da consentire
di trascurare il transitorio della dinamica delle forze aerodinamiche che causerebbe. Il modello delle forze
rimane tuttavia puramente stazionario, nonostante l’ingresso instazionario.
14.6.2
Approssimazione quasi-stazionaria
L’approssimazione quasi-stazionaria consiste nell’approssimare la convoluzione con la funzione esponenziale della (14.7) mediante uno sviluppo in serie di Taylor, arrestato all’ordine desiderato, nell’ipotesi che
i transitori siano sufficientemente veloci e smorzati da poter essere trascurati.
In alternativa, si consideri la (14.1a). La sua derivata d`a
¨ = Ax˙ + Bu,
˙
x
(14.63)
nell’ipotesi che l’ingresso sia sufficientemente regolare da poter essere derivato, e che la sua derivata sia
` possibile sostituire la (14.1a) nella (14.63), da cui si ottiene
nota. E
¨ = A (Ax + Bu) + Bu.
˙
x
(14.64)
In analogia con il caso dell’approssimazione statica, nell’ipotesi che l’ingresso e la sua derivata siano
sufficientemente regolari rispetto al tempo necessario per annullare l’integrale generale, si trascuri la
¨ . Si ottiene
derivata seconda dello stato, x
qs1
y (t) = −CA−1 Bu (t) − CA−2 Bu˙ (t) ,
(14.65)
che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. In analogia con l’uguaglianza
qs1
s
mediante approssimazione stazionaria, indicata con =, con = si vuole indicare una uguaglianza mediante
approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine.
Esercizio 14.10 Si verifichi come, scrivendo la convoluzione nella forma dell’esercizio 14.3 con la
forzante u(t − τ ) sviluppata in serie di Taylor rispetto a t, l’integrazione della forma risultante consenta
di riottenere la (14.65).
14-13
L’operazione pu`
o essere ripetuta arrestandosi ad ordini pi`
u elevati. Ad esempio, se si deriva ulteriormente la (14.63) e si eseguono le opportune sostituzioni, si ottiene
qs2
y (t) = −CA−1 Bu (t) − CA−2 Bu˙ (t) − CA−3 B¨
u (t) ,
(14.66)
che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria del second’ordine.
In generale, la sequenza di derivazioni pu`
o essere continuata a piacere. Tuttavia, al crescere dell’ordine, sono richieste via via derivate di ordine superiore dell’ingresso, la cui disponibilit`a pu`
o essere
problematica, oltre a non avere un chiaro significato fisico.
Si noti come in questo caso la dinamica del sistema venga in parte recuperata mediante la dinamica
dell’ingresso (le sue derivate), attraverso opportune matrici −CA−n B fra loro indipendenti.
Approssimazione quasi-stazionaria: interpretazione nel dominio di Laplace
Se si considera la trasformata di Laplace della rappresentazione agli stati, l’approssimazione quasistazionaria consiste nel valutare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione di trasferimento, arrestato
all’ordine dell’approssimazione, per s = 0.
Si ricorda che la derivata dell’inversa di una matrice M rispetto ad un generico parametro scalare s
`e data dalla relazione
d
d
−1
−1
M
= −M
M M−1 .
(14.67)
ds
ds
Esercizio 14.11 Si verifichi la relazione (14.67).
Da questa relazione, con alcune manipolazioni, si ricava
dj −1
j
−j−1
C
(sI
−
A)
B
= j! (−1) C (sI − A)
B.
dsj
(14.68)
Lo sviluppo in serie di Taylor della (14.14) attorno a s = 0 d`a quindi
y (s) ∼
= −CA−1 B − sCA−2 B − . . . − sk CA−k−1 B u (s)
(14.69)
Questa pu`
o essere riscritta come
y (s) ∼
= −CA−1 Bu (s) − CA−2 Bsu (s) − . . . − CA−k−1 Bsk u (s) ,
(14.70)
ove si `e messa in evidenza, mediante moltiplicazione per sj , la derivazione dell’ingresso. Questa relazione,
antitrasformata di nuovo nel dominio del tempo, d`a
qs-k
y (t) = −
X
CA−j−1 Bu(j) (t) ,
(14.71)
j=0,k
ovvero la formula dell’approssimazione quasi-stazionaria dedotta in precedenza, compresa l’approssimazione stazionaria intesa come approssimazione quasi-stazionaria di ordine 0. Con u(j) (t) si indica la
derivata j-esima dell’ingresso.
Esempio: oscillatore armonico
Si consideri il caso dell’oscillatore armonico in forma canonica di osservabilit`a dato dalle (14.48). Si
supponga che il forzamento avvenga mediante cedimento imposto v della base, ovvero che f = kv + rv.
˙
Si noti che, per r 6= 0, occorre conoscere a priori la derivata prima del moto della base.
14-14
Oscillatore armonico non smorzato. Si consideri innanzitutto il caso non smorzato, ovvero con
r = 0. L’approssimazione stazionaria `e data da
0
kv
1/m
0 −m/k
0
kv = v.
=− 1 0
1/m
1
0
s
z=−
1 0
0
−k/m
1
0
−1 (14.72)
L’approssimazione stazionaria non pu`
o che consistere in uno spostamento del corpo identico a quello del
vincolo, in assenza di forze dinamiche che lo contrastino.
L’errore commesso pu`
o essere agevolmente valutato rispetto alla frequenza della forzante considerando
che la risposta a forzante armonica di questo sistema `e
1
v (jΩ) ,
1 − Ω2 /ω02
z (jΩ) =
(14.73)
p
ove ω0 = k/m. Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde a trascurare il contributo
delle forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0 .
Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. Si ottiene
qs1
z = v−
=v−
1 0
1 0
0
−k/m
−m/k
0
0
k v˙
1/m
0
0
k v˙ = v.
1/m
−m/k
1
0
−2 (14.74)
L’aggiunta di un termine del primo ordine non comporta alcun cambiamento nell’approssimazione. Ci`
o
`e in qualche misura atteso, perch´e non vi sono contributi del primo ordine alla dinamica del sistema.
Si consideri infine un’approssimazione quasi-stazionaria del secondo ordine. Si ottiene
qs2
z = v−
=v−
1 0
1 0
0
−k/m
0
−m/k
−3 0
k¨
v
1/m
0
m2 /k 2
k¨
v = v − v¨/ω02 .
0
1/m
1
0
In frequenza, questa approssimazione diventa
z (jΩ) = 1 + Ω2 /ω02 v (jΩ) .
(14.75)
(14.76)
Il miglioramento che introduce rispetto alle precedenti pu`
o essere valutato considerando che la (14.73)
pu`
o essere riscritta come
Ω2 /ω02
z (jΩ) = 1 +
v (jΩ) ,
(14.77)
1 − Ω2 /ω02
che mette in luce come compaia un termine del secondo ordine in Ω. L’approssimazione quasi-stazionaria
del second’ordine tende alla (14.77) per 0 ≤ Ω ≪ ω0 .
Oscillatore armonico smorzato. In questo caso, l’approssimazione stazionaria `e data da
0
(kv + rv)
˙
z=− 1 0
1/m
0 −m/k
r
0
=− 1 0
(kv + rv)
˙ = v + v.
˙
1 −r/k
1/m
k
s
−r/m
−k/m
1
0
−1 14-15
(14.78)
In frequenza, questo corrisponde a
z (jΩ) = (1 + 2jξΩ/ω0 ) v (jΩ) .
(14.79)
L’errore commesso pu`
o essere agevolmente valutato rispetto alla frequenza della forzante considerando
che la risposta a forzante armonica di questo sistema `e
z (jΩ) =
1 + 2jξΩ/ω0
v (jΩ) ,
1 − Ω2 /ω02 + 2jξΩ/ω0
(14.80)
p
√
ove ω0 = k/m e ξ = r/(2 km). Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde non
solo a trascurare il contributo delle forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0 , ma anche a
sopravvalutare il contributo delle forze viscose, dal momento che, se Ω2 /ω02 `e trascurabile, allora la (14.80)
si riduce all’unit`a, mentre l’approssimazione stazionaria d`a una risposta complessa e quindi sfasata.
Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. Si ottiene
−r/m 1 −2
r
0
v˙ − 1 0
(k v˙ + r¨
v)
−k/m 0
1/m
k
−m/k
r2
r
0
mr/k 2
1
0
(k v˙ + r¨
v ) = v − 2 v¨.
= v + v˙ −
2
2
1/m
−r/k r /k − m/k
k
k
qs1
z = v+
(14.81)
In frequenza, questo diventa
z (jΩ) = 1 + 4ξ 2 Ω2 /ω02 v (jΩ) .
(14.82)
L’errore rispetto all’espressione esatta della risposta in frequenza contiene a numeratore un termine
o che pi`
u conta
Ω2 /ω02 , oltre a termini di ordine superiore, che sono trascurabili quando 0 ≤ Ω ≪ ω0 . Ci`
`e che la presenza del contributo quasi-stazionario rende l’approssimazione puramente reale, e quindi
elimina lo sfasamento spurio introdotto dall’approssimazione stazionaria.
Non conviene spingersi oltre, dal momento che un’approssimazione quasi-stazionaria del second’ordine
...
richiederebbe la conoscenza della derivata terza dello spostamento del vincolo, v .
Esempio: forze aerodinamiche
Si ipotizzi di poter esprimere, mediante un modello agli stati, la dinamica delle forze aerodinamiche in
funzione di un ingresso dipendente dal tempo. In questo caso, l’uscita y rappresenta le forze aerodinamiche in senso lato, mentre l’ingresso u rappresenta la condizione al contorno cinematica, ad esempio
l’angolo di incidenza effettivo in un problema bidimensionale associato ad un corpo aerodinamico rigido.
Come illustrato nella (14.62), la dipendenza dal tempo dell’ingresso α in un semplice modello come
quello rappresentato dal coefficiente Cf della (14.61) pu`
o essere legato al movimento del sistema, descritto
da rotazione θ e spostamento trasversale h.
Una volta nota la quadrupla, qualora il tipo di analisi lo giustifichi, `e possibile ricavarne modelli approssimati, mediante approssimazione statica o quasi-stazionaria. In quest’ultimo caso, conviene
arrestarsi al prim’ordine, in quanto, se si considera la linearizzazione dell’angolo di incidenza
α∼
=θ−
h˙
,
v∞
(14.83)
˙ L’approssimazione quasi-stazionaria del prim’ordine richiede
l’ingresso u = α `e proporzionale a θ e h.
¨ Nella descrizione della
infatti la conoscenza dell’ingresso fino alla derivata prima, che contiene θ˙ e h.
dinamica di un sistema meccanico, di solito le incognite cinematiche compaiono fino alla derivata seconda,
per via delle forze d’inerzia. Quindi conviene arrestare l’ordine dell’approssimazione al pi`
u a quel valore
che richiede la derivata massima delle incognite cinematiche che sia gi`
a disponibile.
14-16
Il generico coefficiente aerodinamico diventa cos`ı
qs1
Cf (t) = −CA−1 Bα (t) − CA−2 Bα˙ (t)
!
!
¨
h˙
h
−1
−2
˙
= −CA B θ −
− CA B θ −
v∞
v∞
i θ¨ h
= 0 v1∞ CA−2 B
¨
h
h
i θ˙ + −CA−2 B v1∞ CA−1 B
h˙
θ
+ −CA−1 B 0
.
h
Se si considera per esempio un problema del tipo
θ¨
θ˙
θ
m
M ¨
+R
+K
=
,
h
l
h
h˙
(14.84)
(14.85)
dove
1 2
ρv SLCm
2
1
l = ρv 2 SCl
2
(14.86a)
m=
(14.86b)
sono rispettivamente il momento aerodinamico e la portanza, la loro rappresentazione quasi-stazionaria
del prim’ordine mediante la (14.84) porta a scrivere
1
0 −L/v∞ Cm A−2
θ¨
m Bm
M + ρv 2 S
¨
0
−1/v∞ Cl A−2
h
2
l Bl
1 2
−L/v∞ Cm A−1
Cm A−2
θ˙
m Bm
m Bm
+ R + ρv S
−1/v∞ Cl A−1
Cm A−2
h˙
2
m Bm
l Bl
1
Cm A−1
0
θ
m0
m Bm
+ K + ρv 2 S
=
,
(14.87)
l0
h
0
Cl A−1
2
l Bl
dove si `e sfruttato il fatto che la (14.84) dipende dal movimento della struttura, θ e h, e dalle loro derivate
fino al secondo ordine.
Quindi l’approssimazione porta a contributi formalmente analoghi a rigidezze, smorzamenti e inerzie
di natura aerodinamica. Senza voler entrare nel significato fisico di questi contributi, dal punto di vista
della modellazione le approssimazioni (quasi-)stazionarie consentono quindi di estendere l’utilizzo di
modelli e tecniche di analisi gi`
a note ed impiegate per la dinamica strutturale a problemi di interazione.
Nota a margine: la scrittura diretta della quadrupla del sistema `e piuttosto complessa, se non impossibile. Per questo motivo non vengono forniti esempi. Di solito viene ricavata mediante tecniche
specifiche di identificazione basate sulla minimizzazione dell’errore nella rappresentazione nel dominio di
Laplace di modelli aerodinamici instazionari di cui `e nota o calcolabile la rappresentazione analitica o
per lo meno numerica [7].
14.6.3
Residualizzazione degli stati “veloci”
Nel giustificare l’approssimazione stazionaria, si `e introdotta l’idea di confrontare i tempi di annullamento
dell’integrale generale con la regolarit`a dell’ingresso.
In realt`a i sistemi meccanici, ad esempio le grandi strutture metalliche, sono caratterizzate da comportamento dinamico particolare: i movimenti liberi sono molto poco smorzati, e coprono un ampio
intervallo di frequenze. Lo smorzamento strutturale presente, anche se piccolo, `e sufficiente a rendere il
comportamento della struttura asintoticamente stabile.
14-17
Quindi `e lecito attendersi che i movimenti liberi a frequenze pi`
u basse, ω0l , vengano eccitati dall’ingresso, nel momento in cui Ω ≈ ω0l , rispondendo quindi dinamicamente, mentre i movimenti liberi a
frequenze pi`
u alte, ω0v , per cui vale ancora Ω ≪ ω0v , vengano s`ı eccitati, ma solo staticamente.
Si supponga ora di essere in grado di partizionare gli stati del problema in “lenti”, xl , le cui frequenze
caratteristiche ω0l siano in qualche modo confrontabili con quelle dell’ingresso, e “veloci”, xv . Il problema
diventa
x˙ l
All Alv
xl
Bl
=
+
u
(14.88a)
x˙ v
Avl Avv
xv
Bv
xl
(14.88b)
y = Cl Cv
xv
Inizialmente si potrebbe ipotizzare che gli stati cosiddetti “veloci” non partecipino alla risposta se il
forzamento interessa soltanto la banda di frequenze degli stati cosiddetti “lenti”. Di conseguenza, si pu`
o
pensare di supporre xv ∼
= 0, da cui si ottiene
t
(14.89a)
t
(14.89b)
x˙ l = All xl + Bl u
y = Cl xl .
Una approssimazione di questo tipo, che potremmo chiamare per troncamento, `e possibile e a volte
accettabile, ma rischia di essere troppo drastica.
A questo punto, ricollegandosi anche alle considerazioni precedenti, si trascuri la dinamica degli stati
r
r
veloci, ponendo x˙ v = 0, dove (·) = (·) indica approssimazione per residualizzazione della dinamica veloce.
Ovvero, non si trascurano completamente gli stati veloci, ma soltanto le loro derivate; questo corrisponde
ad approssimarli staticamente (si veda l’approssimazione statica, Sezione 14.6.1).
L’equazione degli stati veloci diventa quindi algebrica:
r
0 = Avl xl + Avv xv + Bv u.
(14.90)
Da quest’ultima `e immediato ricavare il valore degli stati veloci,
r
−1
xv = −A−1
vv Avl xl − Avv Bv u,
(14.91)
che, sostituiti nell’equazione degli stati lenti e in quella dell’uscita, danno
r
−1
x˙ l = All − Alv A−1
vv Avl xl + Bl − Alv Avv Bv u
|
|
{z
}
{z
}
Ar
r
−1
y = Cl − Cv A−1
vv Avl xl + −Cv Avv Bv u.
|
|
{z
}
{z
}
Cr
(14.92a)
Br
(14.92b)
Dr
Come si pu`
o notare, da un sistema strettamente proprio, mediante residualizzazione degli stati veloci
se ne `e ottenuto uno proprio, in cui compare il termine di trasmissione diretta Dr relativo agli stati
residualizzati.
Esistono numerosi criteri e tecniche, dal punto di vista matematico, che consentono di operare la
scelta di quali stati eliminare. Esse si basano in genere su considerazioni di ottimalit`a della base ridotta
che si ottiene. Tra queste vale la pena di citare la selezione in base alla frequenza dei modi propri, l’uso
di spazi di Krylov con controllo sull’errore residuo, l’uso del troncamento bilanciato [8].
Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un sistema libero in coordinate modali
Si consideri l’esempio delle due masse non vincolate e collegate da una molla, discusso nel paragrafo 13.2.3.
14-18
Utilizzando la forma canonica di controllabilit`a, si ottiene
u=f

(14.93a)

0 0 0
0
 0 0 0 −2k/m 

A=
 1 0 0

0
0 1 0
0


1/(2m)
 1/(2m) 


B=

0
0
0 0 1 1
.
C=
0 0 1 −1
(14.93b)
(14.93c)
(14.93d)
Sono state usate le matrici ottenute mediante l’approccio modale. Questo consente di utilizzare agevolmente le frequenze caratteristiche per partizionare gli stati in “lenti” e “veloci”.
Nel caso in esame, si considerano “lenti” gli stati associati al moto libero del sistema, chepha frequenza
nulla, mentre quelli associati al moto relativo tra le due masse, che ha frequenza ω0 = 2k/m, sono
considerati “veloci”. Si ottiene:
0 0
0 0
All =
Alv =
(14.94a)
1 0
0 0
0 −2k/m
0 0
(14.94b)
Avv =
Avl =
1
0
0 0
1/(2m)
1/(2m)
Bl =
Bv =
(14.94c)
0
0
0 1
0 1
.
(14.94d)
Cv =
Cl =
0 −1
0 1
Il sistema residualizzato diventa
0 0
Ar =
1 0
1/(2m)
r
B =
0
0 1
r
C =
0 1
1/(4k)
r
.
D =
−1/(4k)
(14.95a)
(14.95b)
(14.95c)
(14.95d)
Si noti come la dinamica non dipenda in alcun modo dalla molla k (infatti Avl e Alv sono nulle). Il suo
effetto sul moto delle due masse `e puramente statico, attraverso il termine di trasmissione diretta Dr .
Esercizio 14.12 Si consideri la matrice All rappresentata nella (14.94a) a sinistra. Che sistema descrive? (Suggerimento: lo si realizzi sotto forma di funzione di trasferimento, utilizzando anche la
` possibile diagonalizzare tale matrice?
corrispondente Bl e una riga della Cl .) E
Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un sistema libero in coordinate fisiche
Si consideri un sistema topologicamente analogo al precedente, ma costituito da due masse diverse, con
m2 ≫ m1 . Si considerino direttamente le posizioni delle due masse quali coordinate libere. Si consideri,
come uscita, l’azione interna nella molla, definita come N = k (z1 − z2 ).
14-19
Utilizzando la forma canonica di controllabilit`a, si ottiene
u=f

0 0
 0 0
A=
 1 0
0 1

1/m1
 0
B=
 0
0
C= 0 0
(14.96a)

−k/m1
k/m2
0
0




k
−k
k/m1
−k/m2 


0
0
(14.96b)
(14.96c)
.
(14.96d)
L’uso delle coordinate fisiche rende difficile decidere quali stati possano essere considerati “veloci”, quindi
residualizzabili staticamente, e quali debbano invece essere considerati “lenti”, di cui `e necessario preservare la dinamica. In questo caso specifico, intuitivamente occorre preservare la dinamica degli stati a cui
`e associata la massa pi`
u grande, ovvero la seconda.
Si ottiene:
0 k/m2
0 −k/m2
(14.97a)
Alv =
All =
0
0
1
0
0 −k/m1
0 k/m1
(14.97b)
Avv =
Avl =
1
0
0
0
0
1/m1
Bl =
(14.97c)
Bv =
0
0
Cl = 0 −k
Cv = 0 k .
(14.97d)
Il sistema residualizzato diventa
0 0
Ar =
1 0
1/m2
Br =
0
r
C = 0 0
Dr = 1 .
(14.98a)
(14.98b)
(14.98c)
(14.98d)
Si noti come la dinamica non dipenda in alcun modo dalla molla k, ma soltanto dalla massa m2 che, per
ipotesi, `e grossolanamente equivalente alla massa totale. Questo modello `e tanto pi`
u “sbagliato” quanto
pi`
u `e violata l’ipotesi m2 ≫ m1 .
Inoltre c’`e una trasmissione diretta tra l’ingresso f e l’azione interna nell’asta, pari esattamente a 1.
La misura dell’azione interna non dipende quindi dalla dinamica, ed `e pari alla forza stessa.
Una immediata conseguenza di questa approssimazione `e che il movimento complessivo del sistema
risulta errato. Infatti, il sistema dovrebbe muoversi di moto uniformemente accelerato con accelerazione
r
a = f /(m1 +m2 ), mentre l’accelerazione dovuta all’approssimazione `e a = f /m2 . Inoltre, l’azione interna
r
dovrebbe essere N = f m2 /(m1 + m2 ), ma l’approssimazione restituisce N = f .
Si consideri ora lo stesso problema, ovvero con m2 ≫
caratteristiche e i rispettivi modi propri sono
2
ω1 = 0
X1 =
m1 + m 2
2
ω2 = k
X2 =
m1 m 2
14-20
m1 , in coordinate modali. Le frequenze
1
1
−m2 /m1
1
(14.99a)
(14.99b)
Le matrici diventano

0 0 0
0
 0 0 0 −k (m1 + m2 ) /(m1 m2 )
A=
 1 0 0
0
0 1 0
0


1
 −1 
1


B=
m1 + m 2  0 
0
0 0 1 −m2 /m1
C=
0 0 1
1




(14.100a)
(14.100b)
(14.100c)
A seguito del partizionamento in stati lenti e veloci, e della residualizzazione statica di questi ultimi, si
ottiene
0 0
r
(14.101a)
A =
1 0
1
1
(14.101b)
Br =
m1 + m2 0
0 1
(14.101c)
Cr =
0 1
1
1
Dr =
.
(14.101d)
2
−m
1 /m2
k (1 + m1 /m2 )
La forza nella molla `e data da
F = k (x2 − x1 ) = −
1
1 + m1 /m2
(14.102)
ovvero differisce da quella applicata per la parte equilibrata dalla massa m1 sotto forma di forza d’inerzia.
Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un motore elettrico in CC
Si consideri il modello di motore elettrico in corrente continua che trascina una coppia resistente dipendente dalla velocit`
a angolare descritta nel paragrafo 9.3.
Dopo aver linearizzato il problema attorno alla condizione di regime ω = θ˙0 , i = i0 in funzione della
tensione di alimentazione ea imposta, si ottiene l’equazione differenziale lineare
d
∆ω
−2rω0 /J
K/J
∆ω
0
=
+
.
(14.103)
∆i
−K/La −Ra /La
∆i
∆ea /La
dt
Si supponga che l’uscita sia y = ω.
In genere, la dinamica della parte elettrica del sistema `e pi`
u “veloce” di quella della parte meccanica.
Se questa ipotesi `e fondata, allora si pu`
o considerare “lento” lo stato associato alla parte meccanica, ω, e
r
“veloce” quello associato alla parte elettrica, i. Questo consiste nel porre di/dt = 0. Dalla seconda riga
della (14.103) si ottiene
r
∆i = −
1
K
∆ω +
∆ea
Ra
Ra
(14.104)
che, sostituito nella prima riga della (14.103), d`a
K2
K
2rω0
r
∆ω˙ = −
+
∆ω +
∆ea .
J
JRa
JRa
(14.105)
14-21
Al medesimo risultato si giunge considerando
2rω0
J
K
=−
La
K
J
Ra
Avv = −
La
1
Bv =
La
Cv = 0,
All = −
Avl
Alv =
Bl = 0
Cl = 1
(14.106a)
(14.106b)
(14.106c)
(14.106d)
per cui il sistema residualizzato diventa
K2
2rω0
+
Ar = −
J
JRa
K
Br =
JRa
Cr = 1
(14.107a)
(14.107b)
(14.107c)
r
D = 0.
(14.107d)
Gli autovalori della matrice del problema (14.103) sono
λ=−
rω0
Ra
+
J
2La
±
s
rω0
Ra
−
J
2La
2
−
K2
.
JLa
(14.108)
Se Ra /La ≫ rω0 /J (dinamica della parte elettrica molto pi`
u “veloce” di quella della parte meccanica),
diventano


 −∞
!
K2
2rω0
.
(14.109)
λ=
+

 −
J
JRa
Il secondo `e pari al coefficiente caratteristico che si ottiene con la residualizzazione, dato dalla (14.107a).
14.6.4
Accelerazione dei modi
Con il nome di “accelerazione dei modi” (o, a volte, “modi di accelerazione”), si intende la soluzione di
un problema statico dettagliato per il quale le sollecitazioni dinamiche siano ottenute dall’analisi di un
modello approssimato. Come illustrato nel seguito, questo corrisponde ad una residualizzazione statica
della dinamica degli stati ritenuti “veloci” rispetto alla banda del forzamento.
Si consideri un generico problema a pi`
u gradi di libert`
a
M¨
x + Kx = f
(14.110)
caratterizzato da scale delle dinamiche proprie molto diverse tra loro, tali per cui, in presenza di forzamento f con banda relativamente limitata rispetto alle dinamiche pi`
u veloci del sistema, sia lecita una
residualizzazione statica di queste ultime.
Anche se non `e strettamente necessario, tale residualizzazione, specialmente a fini illustrativi, pu`
o
risultare molto efficace se si descrivono i gradi di libert`
a x su base modale, ovvero x = Ψq. Si suddividano
i modi in “lenti”, Ψl , e “veloci”, Ψv , con Ψ = [Ψl Ψv ]. Usando l’approccio modale il problema diventa
[diag(mil )]
0
0
[diag(miv )]
¨l
q
¨v
q
+
[diag(kil )]
0
14-22
0
[diag(kiv )]
ql
qv
=
ΨTl f
ΨTv f
(14.111)
r
¨ v = 0,
e, a seguito della residualizzazione statica della dinamica dei modi veloci, ovvero posto q
T ¨l
[diag(mil )] 0
[diag(kil )]
0
Ψl f
ql
q
r
.
(14.112)
+
=
¨v
qv
0
0
q
0
[diag(kiv )]
ΨTv f
Questapapprossimazione `e accettabile nel momento in cui le frequenze caratteristiche degli stati veloci,
ωiv = kiv /miv , sono molto pi`
u grandi dell’estremo superiore della banda di frequenze che caratterizza
la forzante f . A questo punto la soluzione `e
x = Ψl q l + Ψv q v = Ψl q l + Ψv [diag(kiv )]
−1
ΨTv f ,
(14.113)
ove q l risulta dall’integrazione della dinamica dei gradi di libert`
a lenti, mentre i gradi di libert`
a veloci
sono risolti direttamente in quanto associati alle equazioni algebriche che costituiscono il secondo blocco
della (14.112).
Questo approccio richiede un cambiamento completo di base, e quindi la conoscenza di Ψl e Ψv , il
cui calcolo, per problemi con un elevato numero di gradi di libert`
a, pu`
o essere molto oneroso. Siccome
il calcolo di un sottoinsieme dei modi propri di vibrare pu`
o essere relativamente pi`
u efficiente8 , sarebbe
utile poter ottenere lo stesso risultato della (14.113) avendo a disposizione soltanto i modi lenti, ovvero
Ψl .
Si consideri ora il problema dato dalla (14.110) in cui le forze d’inerzia, in linea con l’approssimazione
data dalla residualizzazione statica della dinamica degli stati veloci, siano espresse in funzione dei soli
¨ l , a dare
stati lenti, quindi f in = −MΨl q
¨l ,
Kx = f − MΨl q
(14.114)
da cui
¨l ) .
x = K−1 (f − MΨl q
(14.115)
Siccome la matrice di rigidezza modale si pu`
o esprimere come
[diag (ki )] = ΨT KΨ,
(14.116)
l’inversa della matrice di rigidezza `e
K−1 = Ψ [diag (ki )]
−1
ΨT = Ψl [diag (kil )]
−1
ΨTl + Ψv [diag (kiv )]
−1
ΨTv .
(14.117)
Esercizio 14.13 Si verifichi la (14.117).
La (14.115) diventa quindi
x = Ψ [diag (ki )]
−1
= Ψl [diag (kil )]
¨l )
ΨT (f − MΨl q
−1
+ Ψv [diag (kiv )]
¨l )
ΨTl (f − MΨl q
−1
¨l ) ;
ΨTv (f − MΨl q
(14.118)
ma, per l’ortogonalit`
a dei modi propri rispetto alla matrice di massa, nell’ultimo termine a destra
o essere scritta come
dell’espressione precedente si ha ΨTv MΨl = 0, quindi la (14.115) pu`
−1
¨ l + Ψv [diag (kiv )]−1 ΨTv f .
(14.119)
ΨTl f − [diag (mil )] q
x = Ψl [diag (kil )]
A partire dal primo blocco della (14.112), si pu`
o scrivere
¨ l = [diag (kil )] q l ,
ΨTl f − [diag (mil )] q
(14.120)
che, sostituito nella (14.119), d`a di nuovo la (14.113).
8 Ad esempio utilizzando metodi iterativi per il calcolo degli autovalori quali il metodo delle potenze a blocchi o il metodo
di Lanczos.
14-23
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
k1
m1
k2
m2
f2
x1
x2
Figura 14.1: Esempio di applicazione dell’accelerazione dei modi.
Quindi la soluzione del problema (14.110) mediante residualizzazione statica della dinamica degli
stati veloci corrisponde ad integrare prima le equazioni del moto degli stati lenti, date dal primo blocco
della (14.112), e quindi risolvere il problema statico dato dalla (14.114) in cui le forze d’inerzia sono
portate a secondo membro e scritte in funzione dei soli stati lenti, come illustrato dalla (14.115). Questa
procedura richiede la semplice fattorizzazione della matrice di rigidezza9 , in aggiunta al calcolo dei soli
autovettori Ψl , o di una opportuna base di spostamenti da considerarsi lenti, anzich´e il calcolo di tutti
gli autovettori. Si noti infine che la dimostrazione riportata sopra si avvale dell’ortogonalit`a degli autovettori rispetto alle matrici di massa e di rigidezza; tuttavia, l’approssimazione del problema mediante
accelerazione dei modi rimane valida qualunque sia la base scelta, come dimostrato nell’esercizio 14.14.
Esercizio 14.14 Scelto un sottospazio arbitrario Hl delle coordinate x, che non soddisfa il criterio di
ortogonalit`
a rispetto alle matrici di massa e di rigidezza, lo si utilizzi come base di coordinate generalizzate
“lente” applicando l’approssimazione dell’accelerazione dei modi. Dato il complemento Hv di Hl , tale per
cui H = [Hl Hv ] rappresenta una base completa, si scriva l’equazione del moto nelle nuove coordinate,
si residualizzino staticamente quelle veloci e si ricavi la soluzione x in funzione delle coordinate lente q l
e della residualizzazione di quelle veloci, q v . Si verifichi che la soluzione per accelerazione dei modi `e
coincidente.
Si consideri per esempio il sistema illustrato in figura 14.1, costituito da una massa m1 collegata al
telaio da una molla k1 , e da una seconda massa m2 , confrontabile con m1 , connessa alla prima da una
molla k2 molto pi`
u rigida dell’altra, k2 ≫ k1 . Le equazioni del moto sono
m1 0
x
¨1
k1 + k2 −k2
x1
f1
+
=
.
(14.121)
0 m2
x
¨2
−k2
k2
x2
f2
A partire dall’equazione omogenea associata alle equazioni del moto, si possono calcolare i modi propri
di vibrare del problema,
s
2
k
k
+
k
1
k1 + k2
k1 k2
k2
1
2
1
2
2
+
∓
+
.
(14.122)
−4
ω1|2 =
2 m2
m1
2
m2
m1
m1 m 2
Il sistema sia soggetto ad una forzante armonica di frequenza Ω confrontabile con quella del primo
modo, applicata alla seconda massa; siccome k2 ≫ k1 , la frequenza del primo modo `e circa ω1 ∼
=
p
k1 /(m1 + m2 ). A questo punto si pu`
o considerare veloce la coordinata associata al secondo modo di
vibrare. Ne consegue che l’equazione del modo lento d`a come risultato
ql (jΩ) =
2 XI1
f2 ,
ω12 − Ω2
(14.123)
ove 2 XI1 `e l’elemento del primo modo associato allo spostamento della massa m2 , avendo assunto per i
modi propri la normalizzazione a massa unitaria.
9 A condizione che la matrice K non sia singolare; se lo fosse, questo significa che tra i gradi di libert`
a sono presenti
movimenti rigidi. Quindi occorre rendere il problema staticamente determinato, imponendo opportune condizioni di vincolo
che rimuovano i movimenti rigidi senza alterare la soluzione statica in termini di azioni interne.
14-24
La soluzione diventa quindi
r
2 XI1
2 XI2
x (jΩ) = XI1 2
f2 .
+ XI2 2
ω1 − Ω2
ω2
(14.124)
Questa soluzione mette in luce come il primo modo risponda dinamicamente, mentre il secondo risponde
staticamente, in quanto il termine esatto 1/(ω22 − Ω2 ) `e sostituito da 1/ω22 , nell’ipotesi che ω22 ≫ Ω2 .
Se si considerano, per esempio, m1 = m2 = 1 kg, k1 = (2π)2 N/m, k2 = 100k1 N/m, si ha ω1 = 4.44
radian/s e ω2 = 88.97 radian/s, con X I1 = {0.70534; 0.70887} e X I2 = {0.70887; −0.7034}, f2 = 1 N e
Ω = 5 radian/s. Si ottiene
1
0.49999
−6.3167e−05
x (jΩ) =
+
(14.125)
0.50250
6.2852e−05
19.690 − Ω2
e quindi
x (j5) =
−0.094158
−0.094630
+
−6.3167e−05
6.2852e−05
=
−0.094221
−0.094567
.
(14.126)
Si noti che il contributo alla soluzione dato dal modo veloce `e di alcuni ordini di grandezza inferiore in
modulo a quello dato dal modo lento. Tuttavia, l’azione interna nella molla k2 , data da N = k2 (x2 −
x1 ), calcolata con il solo modo lento `e pari a Nl = k2 [−1 1]X I1 ql , e quindi Nl = 0.0035355k2 ql =
r
−4.7197e−04k2 N, mentre il contributo del modo veloce `e Nv = k2 [−1 1]X I2 qv = 1.2602e−04k2 N. Di
r
conseguenza, la somma dei due contributi d`a N = Nl + Nv = −3.4595e−04k2 N. Come confronto, la
soluzione esatta `e N = −3.4555e−04k2 N. Si pu`
o quindi notare come la residualizzazione statica della
dinamica degli stati veloci possa portare ad una soluzione molto pi`
u accurata rispetto alla loro semplice
eliminazione.
Le figure 14.2 e 14.3 mostrano lo spostamento delle masse 1 e 2, rispettivamente, per effetto della
forza applicata alla massa 2. La soluzione esatta, ottenuta dal calcolo della risposta in frequenza di un
sistema a due gradi di libert`
a, `e confrontata con la soluzione di:
• un modello semplificato, corrispondente a considerare solo la risposta del modo a frequenza pi`
u
bassa (indicata come “modo #1” nella legenda), quindi x = X l ql , con ql dato dalla (14.123);
• un modello semplificato consistente nella residualizzazione statica del modo pi`
u veloce (indicata
come “acc. modi, modale” nella legenda), secondo la (14.124);
• un modello semplificato ottenuto definendo due forme di spostamento generalizzate X 1 = {1; 1},
corrispondente ad uno spostamento in cui la molla 2 non si deforma, e X 2 = {0; 1}, corrispondente ad uno spostamento in cui la molla 1 non si deforma (indicata come “acc. modi, arbitraria” nella legenda);
q il modo in cui la molla 2 non si deforma `e considerato “lento” (vi corrisponde un valore (X T1 KX 1 )/(X T1 MX 1 ) = 4.44 radian/s), mentre l’altro `e considerato “veloq
ce” ( (X T2 KX 2 )/(X T2 MX 2 ) = 62.83 radian/s); si noti per`
o che le matrici di massa e di rigidezza
corrispondenti alle nuove variabili non sono diagonali, in quanto la trasformazione non corrisponde
ai modi propri.
Si pu`
o notare come tutti i modelli diano risultati sostanzialmente equivalenti per frequenze inferiori a
quella del primo modo di vibrare, mentre il loro comportamento si differenzia tra loro e da quello esatto
man mano che la frequenza si avvicina a quella del secondo modo di vibrare. Questo `e consistente con
l’osservazione che in prossimit`a di un modo di vibrare la risposta `e dominata dal contributo alla soluzione
dato dal modo stesso, e tutti i modelli descrivono accuratamente il primo modo di vibrare.
La figura 14.4, invece, mostra l’azione interna nella molla 2, mettendo in evidenza come un modello ottenuto per troncamento del modello esatto, quello indicato come “modo #1”, non sia in grado di ottenere
il comportamento statico corretto, mentre vi riescono perfettamente entrambi i modelli ottenuti mediante
residualizzazione statica della dinamica degli stati veloci. Quindi la residualizzazione pu`
o non portare
14-25
massa 1
1e+01
ampiezza, m/N
1e+00
1e-01
1e-02
1e-03
1e-04
esatto
modo #1
acc. modi, modale
acc. modi, arbitrario
1e-05
1e-06
1e-07
1
10
100
fase, deg
0
-90
-180
1
10
frequenza, radian/s
100
Figura 14.2: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lo
spostamento della massa 1.
14-26
massa 2
1e+01
ampiezza, m/N
1e+00
1e-01
1e-02
1e-03
1e-04
esatto
modo #1
acc. modi, modale
acc. modi, arbitrario
1e-05
1e-06
1e-07
1
10
100
fase, deg
0
-90
-180
1
10
frequenza, radian/s
100
Figura 14.3: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lo
spostamento della massa 2.
14-27
azione interna molla 2
1e+03
ampiezza, N/N
1e+02
1e+01
1e+00
1e-01
1e-02
esatto
modo #1
acc. modi, modale
acc. modi, arbitrario
1e-03
1e-04
1e-05
1
10
100
fase, deg
0
-90
-180
1
10
frequenza, radian/s
100
Figura 14.4: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e
l’azione interna nella molla 2.
14-28
miglioramenti significativi alla qualit`a del movimento del sistema, qualora esso sia sostanzialmente descritto dalla dinamica a bassa frequenza. Tuttavia pu`
o portare significativi miglioramenti alla qualit`a
delle azioni interne, qualora la dinamica a bassa frequenza non sia in grado di descriverle accuratamente.
Questo esempio mostra anche come la base degli stati lenti non debba essere necessariamente costituita
da soli modi propri di vibrare. In pratica conviene spesso utilizzare alcuni modi propri per descrivere il
grosso del movimento libero, in quanto rappresentano una base molto efficiente per la sua descrizione alle
frequenze nella banda che caratterizza la forzante, arricchendo per`
o la base con altre forme, linearmente
indipendenti dai modi scelti, che contribuiscano ad incrementare l’efficacia della base ridotta nel descrivere
le caratteristiche del problema che sono di interesse per l’analisi. La discussione di questi aspetti travalica
tuttavia i limiti del corso.
14-29
14-30
Capitolo 15
Sistemi immersi in campi di forza
Generato il 23 ottobre 2014
Perhaps the most notable
disadvantage associated with
conservative systems is the fact
that they do not occur in nature.
Chen, G., Russell D. L.
15.1
Sistemi ad un grado di libert`
a
15.1.1
Freno a disco
Si consideri un freno a disco come quello illustrato in figura 15.1 e si supponga che la rigidezza e lo smorzamento del vincolo della pinza in direzione verticale siano ks ed rs , e mp sia la sua massa. Esercitando
Figura 15.1: Freno a disco.
una forza N sulla pinza, nascer`a una forza frenante su ogni lato del disco disco, la cui somma `e pari a
F = 2N f
(15.1)
diretta in verso opposto alla velocit`
a periferica relativa del disco, mentre la pinza del freno sar`a sottoposta
a una forza uguale e opposta. Ricordiamo che il coefficiente di attrito f varia in funzione della velocit`
a
15-1
relativa tra i due corpi che strisciano con una legge che ha l’andamento di figura 7.3, riportata a pagina 7-4.
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale (approssimabile alla direzione della velocit`
a
periferica Vr del disco nella zona di contatto tra questo e le pastiglie) otteniamo
−mp x
¨ − rs x˙ − ks x + 2N f (Vr ) = 0
(15.2)
dove il coefficiente di attrito f (x)
˙ = f (Vr (x)),
˙
nelle zone in cui `e ragionevolmente regolare, `e localmente
approssimabile con il suo sviluppo in serie di Taylor arrestato al prim’ordine,
df df dVr ∼
f (x)
˙ = f (Vr (x˙ 0 )) +
x˙
(x˙ − x˙ 0 ) = f (Vr0 ) +
dx˙ x=
dVr Vr =Vr0 dx˙ x=0
˙ x˙ 0
˙
df x,
˙
(15.3)
= f (Vr0 ) −
dVr Vr =Vr0
in quanto Vr = V − x,
˙ e la condizione di linearizzazione si riferisce a x˙ 0 = 0, per cui Vr (x˙ 0 ) = Vr0 = V e
dVr /dx˙ = −1. Quindi, sostituendo la (15.3) nella (15.2), si ottiene
!
df x˙ .
(15.4)
−mp x
¨ − rs x˙ − ks x + 2N f (Vr0 ) −
dVr Vr =Vr0
L’equazione (15.4) diventa
mp x
¨+
!
df rs + 2N
x˙ + kx = 2N f (Vr0 )
dVr Vr =Vr0
(15.5)
Esistono regioni, nel diagramma di figura 7.3, in cui, per Vr che tende a zero, la pendenza della curva
del coefficiente di attrito dinamico `e negativa, per cui, in tali regioni, sar`a sempre possibile trovare valori
della forza N per la quale il coefficiente di smorzamento complessivo
df < 0;
(15.6)
r = rs + 2N
dVr Vr =Vr0
in tali casi rischiano di innescarsi oscillazioni autoeccitate. Il fenomeno `e fortemente non-lineare, in
quanto non appena la velocit`
a relativa si allontana dal tratto di curva a pendenza fortemente negativa
lo smorzamento torna ad essere dissipativo.
15.1.2
Campo di forze aerodinamico
Analogamente, un sistema vibrante ad un grado di libert`
a investito da una vena fluida pu`
o dare origine
a forme di instabilit`
a. Supponiamo ora un generico corpo in moto verticale1 con relativa traslazione x
rispetto alla sua posizione di equilibrio.
L’ala verr`
a investita da una velocit`
a relativa Vr , la cui composizione `e illustrata in figura 15.2, di
modulo
p
2 +x
|Vr | = V∞
˙2
(15.7)
con anomalia
α
ˆ = − tan−1
x˙
V∞
(15.8)
rispetto alla direzione della vena indisturbata V∞ . L’anomalia rappresenta un vero e proprio angolo di
incidenza cinematico, dovuto alla composizione della velocit`
a assoluta del corpo con la velocit`
a del vento
asintotico.
1 In aeroelasticit`
a spesso per indicare lo spostamento di un profilo alare in direzione perpendicolare alla direzione del
vento asintotico si usa il simbolo h, che deriva da heave, il nome con cui in inglese si indica tale movimento, detto anche
plunge.
15-2
Vr
x˙
x˙
α
ˆ
V∞
Velocit`
a del corpo
rispetto al vento
(assoluta)
V∞
Velocit`
a del vento
V∞
Velocit`
a del corpo
α
ˆ
x˙
Velocit`
a del vento
rispetto al corpo
(relativa)
Vr
Figura 15.2: Composizione delle velocit`
a di vento V∞ e corpo x.
˙
L
V∞
L
V∞
x˙ = 0
x˙
α
α
ˆ
Vr
α
D α
x˙ 6= 0
D
Figura 15.3: Decomposizione della forza aerodinamica.
Sul profilo alare, quindi, si genera una forza aerodinamica F che `e opportuno decomporre in portanza
(L come lift, perpendicolare al vento relativo Vr ) e di resistenza (D come drag, diretta come il vento
relativo Vr ) che nel caso di ala ferma saranno dirette come nella parte sinistra di figura 15.3 e varranno
rispettivamente2 :
1
L = ρV 2 SCL (α)
2
1 2
D = ρV SCD (α)
2
(15.10)
(15.11)
dove ρ `e la densit`a del fluido, mentre S `e la superficie di riferimento rispetto alla quale sono stati calcolati
i coefficienti adimensionali CL e CD , dei quali `e stata messa in evidenza la dipendenza3 dall’angolo di
incidenza α.
Nel caso di profilo in traslazione con velocit`
a x,
˙ le forze di resistenza e portanza agiscono come nella
parte destra di figura 15.3 e valgono rispettivamente:
1
ˆ)
L = ρVr2 SCL (α − α
2
1
D = ρVr2 SCD (α − α
ˆ) ,
2
2 Spesso
(15.12)
(15.13)
si dice che la forza aerodinamica F `
e
1
ρV 2 SCF .
(15.9)
2
In realt`
a la forza aerodinamica F `
e data dall’integrale degli sforzi esercitati dal fluido sul contorno del corpo immerso nel
fluido stesso. L’espressione sopra riportata nasce dal fatto che, in base al teorema π di Buckingham, `
e possibile mettere
in evidenza la dipendenza della forza F da tre parametri dimensionali (nel caso specifico la densit`
a ρ, la velocit`
a V e la
lunghezza attraverso cui si esprime la superficie S), in modo da esprimerla in forma adimensionale attraverso un coefficiente
CF che dipenda solo da altri parametri adimensionali, come l’angolo di incidenza, il numero di Mach, di Reynolds, ed altri
(si veda anche la nota 3).
3 I coefficienti possono dipendere anche da altri parametri adimensionali caratteristici; fra questi, vale sicuramente la
pena di menzionare i numeri di Reynolds e di Mach, che esprimono gli effetti legati alla viscosit`
a e alla comprimibilit`
a del
fluido. In genere, per`
o, queste dipendenze non influenzano direttamente i fenomeni dinamici di interesse, perch´
e nel corso
di questi fenomeni il loro valore varia di poco, o addirittura rimane costante.
F =
15-3
in quanto l’angolo di incidenza effettivo `e dato dalla somma, con segno, dell’angolo α, dovuto al calettamento del profilo, e dell’angolo α
ˆ , dovuto alla velocit`
a di traslazione x,
˙ che va sottratto al precedente.
Spesso, in aeroelasticit`
a, la velocit`
a di riferimento e la densit`a vengono riassunte nella pressione
dinamica di riferimento
q=
1 2
ρV
2 r
(15.14)
Questo consente di studiare agevolmente i fenomeni dinamici a parit`a di numero di Mach, che dipende
dalla velocit`
a Vr ma anche dalla quota, a cui `e associata la densit`a ρ e quindi la celerit`
a del suono.
Superficie aerodinamica di automobile da corsa
Venendo a un esempio pratico, uno dei profili alari usati nel recente passato nello sport automobilistico4
era il NACA 0009, che veniva montato posteriormente, collegato direttamente ai portamozzi delle ruote
motrici tramite due bracci verticali. L’angolo d’incidenza statico α comunemente usato era di circa 14o cos`ı da farlo lavorare in prossimit`a del minimo (massimo negativo) del coefficiente di portanza CL e
ottenere la massima deportanza possibile (circa 1.2) indipendentemente dalla velocit`
a di avanzamento
V della vettura. Il corrispondente CD legato alla resistenza passiva della sola ala era circa 0.12 per
quell’angolo di attacco. A una certa velocit`
a V , costante, trascurando l’effetto degli spoiler anteriori,
la sospensione posteriore sar`
a compressa rispetto alla posizione indeformata per effetto non solo della
quota parte del peso della vettura che su di essa si scarica, ma anche per effetto della deportanza e della
resistenza agenti sull’ala posteriore.
L’equilibrio alla rotazione della vettura rispetto all’asse anteriore, nell’ipotesi che il baricentro sia a
met`a tra gli assi, d`a
NR l = W
l
+ Dh − Ll,
2
(15.15)
dove NR `e la forza che agisce sulla sospensione, W `e il peso, L la forza deportante, D la resistenza,
l la distanza tra gli assi e h l’altezza dell’alettone rispetto al suolo. Da questa relazione si ricava uno
4 Si noti che il profilo NACA 0009 `
e simmetrico; siccome le superfici aerodinamiche delle automobili da corsa devono
essenzialmente fornire deportanza, in applicazioni moderne si usano soprattutto ali a profilo non simmetrico, spesso a
profili multipli, montate con la concavit`
a verso l’alto, e fornite di vari dispositivi (spesso fissi e dettati pi`
u da considerazioni
regolamentari che da effettive ragioni ingegneristiche di efficacia ed efficienza) volti ad aumentare il coefficiente di portanza
massimo (negativo).
L
D
V∞
h
G
TF
NF
W
l
Figura 15.4: Auto da corsa.
15-4
TR
NR
schiacciamento statico della sospensione posteriore5
x0 =
NR
ks
(15.16)
dove ks indica la rigidezza della sospensione posteriore (per semplicit`
a supponiamo i montanti dell’ala
rigidi).
Consideriamo, ora, il moto traslatorio lungo la verticale della sala posteriore completa di ala, su cui
agisce, trascurando l’effetto della coppia aerodinamica, la forza aerodinamica per effetto della velocit`
a
Vr , dovuta sia alla velocit`
a V di avanzamento, sia alla velocit`
a x˙ di vibrazione.
Scrivendo l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale della sola sospensione posteriore, ala
compresa, avremo, con ovvio significato dei simboli non definiti:
1
1
ˆ ) sin α
ˆ + ρVr2 SCL (α − α
ˆ ) cos α
ˆ=0
−ms x
¨ − rs x˙ − ks x − ρVr2 SCD (α − α
2
2
(15.17)
Le componenti delle forze di resistenza e portanza possono essere linearizzate; dal momento che `e
ragionevole ritenere x˙ piccolo rispetto alla velocit`
a di avanzamento V , la (15.7) diventa
Vr ∼
=V
(15.18)
e conseguentemente
ˆ∼
sin α
ˆ∼
=
=α
cos α
ˆ∼
=1
x˙
V
(15.19)
(15.20)
per cui la (15.17) diventa
1
1
−ms x
¨ − rs x˙ − ks x − ρV SCD (−α
ˆ + α) x˙ + ρV 2 SCL (−α
ˆ + α) = 0
2
2
(15.21)
A loro volta, i coefficienti di portanza e resistenza possono essere linearizzati secondo Taylor nell’intorno
della posizione statica di α = α0 = −12o , ovvero:
dC
(α)
x˙
dC
(α)
L
L
α
ˆ
= CL (α0 ) −
(15.22)
CL (α − α
ˆ) ∼
= CL (α) −
dα dα V
α=α0
α=α0
dC
(α)
x˙
D
∼
CD (α − α
ˆ) ∼
(15.23)
α
ˆ
= CD (α) −
= CD (α0 ) − 0 ·
dα V
α=α0
tenendo anche in conto del piccolo valore numerico della derivata del coefficiente di resistenza rispetto
all’angolo d’incidenza, dCD /dα ∼
= 0. Sostituendo le (15.22, 15.23) nella (15.21) si ha:
!
dCL (α)
1 2
1
−ms x
¨ − rs x˙ − ks x + ρV SCL (α0 ) − ρV S
+ CD (α0 ) x˙ = 0
(15.24)
2
2
dα α=α0
ovvero
ms x
¨+
1
rs + ρV S
2
dCL (α)
dα + CD (α0 )
α=α0
!!
x˙ + ks x =
1 2
ρV SCL (α0 )
2
(15.25)
5 A seguito di uno schiacciamento della sola sospensione posteriore `
e lecito domandarsi se la vettura subisca anche un
movimento di beccheggio, che a rigore modificherebbe l’angolo di calettamento del profilo alare. Non c’`
e contraddizione tra
il trascurarne l’effetto sull’angolo di calettamento e il considerarne l’effetto dovuto alla velocit`
a di traslazione del profilo
alare in direzione verticale perch´
e una elevata rigidezza della sospensione pu`
o dare luogo a significative velocit`
a verticali
con trascurabili rotazioni di beccheggio.
15-5
Per il profilo scelto, in prossimit`a dell’angolo di incidenza di riferimento considerato la pendenza della
curva statica6 del coefficiente di portanza, come riportato in figura 15.10, `e negativa e molto maggiore
del coefficiente di resistenza, per cui il contributo di origine aerodinamica allo smorzamento del sistema
`e instabilizzante, ed esister`
a sempre una velocit`
a V di avanzamento della vettura al di sopra della quale
la soluzione di equilibrio statico x0 nel cui intorno il problema `e stato linearizzato diventa instabile.
Infatti se, per un dato α0
dCL (α)
+ CD (α0 ) < 0
(15.26)
dα α=α0
allora esiste un valore di V per cui
dCL (α)
1
req = rs + ρV S
2
dα + CD (α0 )
α=α0
!
<0
(15.27)
Di conseguenza, le radici del polinomio caratteristico dell’equazione
ms x
¨ + req x˙ + ks x = 0
(15.28)
ovvero
λ1|2
req
±
=−
2ms
s
req
2ms
2
−
ks
ms
(15.29)
se, come probabile, hanno discriminante negativo, e quindi sono complesse coniugate, hanno sicuramente
parte reale positiva; se viceversa hanno discriminante positivo e quindi sono reali e distinte, almeno una
radice `e sicuramente maggiore di zero.
Siccome l’origine dell’instabilit`
a `e legata ad una nonlinearit`
a del legame tra il coefficiente aerodinamico
e l’angolo di incidenza, per effetto di un fenomeno complesso come lo stallo, non `e possibile ricavare da
queste considerazioni alcuna informazione sulla stabilit`
a del problema nel suo insieme, se non l’instabilit`a
della soluzione di equilibrio statico. A volte, condizioni di instabilit`
a di questo tipo, dovute ad effetti non
lineari che insorgono in problemi altrimenti lineari e stabili, risultano in una evoluzione della soluzione
da equilibrio statico ad un ciclo limite, ovvero ad una soluzione di equilibrio dinamico periodico, con
un’ampiezza limitata ma finita. Un fenomeno di questo tipo `e il cosiddetto flutter da stallo.
15.2
Sistemi vibranti a 2 gdl perturbati nell’intorno della posizione di equilibrio
Estendiamo ai sistemi a 2 gdl quanto gi`
a visto per i sistemi a un solo grado di libert`
a, andando a valutare
la stabilit`
a delle soluzioni di equilibrio statico di sistemi di questo tipo.
Le equazioni di equilibrio dinamico per il sistema di figura 15.5 sono
m¨
x + rx x˙ + kx x = fx (x, y, x,
˙ y)
˙
(15.30a)
m¨
y + ry y˙ + ky y = fy (x, y, x,
˙ y)
˙
(15.30b)
dove i termini fx e fy dovuti al campo di forze sono funzioni non lineari di x e y e delle loro derivate
rispetto al tempo. In linea di principio tali forze possono dipendere da derivate di ordine arbitrario delle
coordinate libere (ad esempio, in figura 15.30, fino al secondo ordine). Senza ledere la generalit`
a, nel
seguito si considera la dipendenza soltanto fino al primo ordine.
6 Si noti che la curva riportata in figura 15.10 si riferisce a misure statiche di coefficienti di forza (e momento) che,
per gli angoli di incidenza di interesse per questo problema, includono condizioni di stallo. In tali condizioni, il valore
dei coefficienti in genere dipende non solo dall’angolo di incidenza, ma anche dalla sua storia temporale; ovvero, le curve
presentano una isteresi tanto pi`
u marcata quanto pi`
u sono rapide le variazioni di angolo di incidenza. Per questo motivo,
a rigore, l’analisi svolta in questo paragrafo `
e valida solo per fenomeni sufficientemente lenti da poter essere considerati
stazionari dal punto di vista dell’aerodinamica. Per ulteriori chiarimenti sul concetto di approssimazione stazionaria si veda
la nota 10.
15-6
y
rx
m
f (x, x,
˙ y, y)
˙
kx
ry
ky
x
Figura 15.5: Sistema a 2 gdl immerso in un campo di forze.
Il sistema di equazioni (15.30) pu`
o essere riscritto in forma matriciale come
˙
M¨
z + Rz˙ + Kz = f (z, z)
(15.31)
con
z=
x
y
(15.32)
fx (x, y, x,
˙ y)
˙
fy (x, y, x,
˙ y)
˙
m 0
M=
0 m
rx 0
R=
0 ry
kx 0
K=
0 ky
˙ =
f (z, z)
(15.33)
(15.34)
(15.35)
(15.36)
Del sistema potremo calcolare una7 posizione di equilibrio statico, se esiste, definita da
Kz 0 = f (z 0 , 0)
(15.37)
ovvero con z = z 0 e z˙ = 0, e quindi, nell’intorno di tale soluzione, linearizzare il campo di forze
∂f ∂f ∼
˙ = f (z 0 , 0) +
f (z, z)
(z − z 0 ) +
z˙
(15.38)
∂z (z 0 ,0)
∂ z˙ (z 0 ,0)
ma

∂fx
 ∂x
∂f =
∂z (z 0 ,0)  ∂fy
∂x

∂fx
 ∂ x˙
∂f =
∂ z˙ (z 0 ,0)  ∂fy
∂ x˙
7 Dato

∂fx
∂y 

∂fy 
∂y (z0 ,0)

∂fx
∂ y˙ 

∂fy 
∂ y˙ (z 0 ,0)
= −KF
(15.39a)
= −RF
(15.39b)
che le equazioni non sono lineari, possono esistere pi`
u soluzioni di equilibrio statico, o nessuna.
15-7
Indicando con il vettore z gli spostamenti a partire dalla posizione di equilibrio statico
z = z0 + z
(15.40)
il sistema di equazioni differenziali di partenza pu`
o essere riscritto come
¨ + (R + RF ) z˙ + (K + KF ) z = 0
Mz
(15.41)
ovvero, con ovvio significato dei simboli,
¨ + RT z˙ + KT z = 0
Mz
(15.42)
Si ottiene un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti la cui soluzione `e
del tipo
z (t) = Zeλt
(15.43)
dove λ sono le radici di
λ2 M + λRT + KT Zeλt = 0
(15.44)
Analizziamo separatamente i vari casi che possono presentarsi.
15.2.1
Campo di forze puramente posizionale
In questo caso il sistema si riduce a
¨ + Rz˙ + KT z = 0
Mz
(15.45)
ovvero, trascurando lo smorzamento strutturale R, in genere limitato, si ottiene
¨ + KT z = 0
Mz
(15.46)
da cui si ha il problema agli autovalori
λ2 M + KT Zeλt = 0
(15.47)
Essendo la matrice M reale, simmetrica e definita positiva, tutti i suoi minori principali dominanti sono
positivi, ovvero
p1 = m11 > 0; p2 = m11 m22 − m12 m21 > 0
(15.48)
Analogamente ci`
o vale per la matrice K
p1 = k11 > 0; p2 = k11 k22 − k12 k21 > 0
(15.49)
Per quanto riguarda la matrice KF , possono presentarsi due casi:
• il campo di forze `e conservativo, per cui
∂fx
∂fy
=
∂y
∂x
(15.50)
e la matrice KF risulta simmetrica;
• il campo di forze non `e conservativo, per cui
∂fy
∂fx
6=
∂y
∂x
(15.51)
e la matrice KF non risulta simmetrica;
15-8
In entrambi i casi, tuttavia, i valori di λ sono comunque le radici del polinomio
m11 m22 λ4 + (m11 kT 22 + m22 kT 11 ) λ2 + (kT 11 kT 22 − kT 12 kT 21 ) = 0
(15.52)
ovvero
aλ4 + bλ2 + c = 0
(15.53)
con
a = m11 m22
(15.54a)
b = m11 kT 22 + m22 kT 11
c = kT 11 kT 22 − kT 12 kT 21 .
(15.54b)
(15.54c)
Le generiche radici sono date dalla relazione
s 2
b
c
b
λ21|2,3|4 = − ±
−
2a
2a
a
(15.55)
ove a > 0 dal momento che la matrice di massa `e definita positiva.
Campo di forze conservativo
Si possono presentare due casi:
• la matrice KT `e definita positiva, ovvero
p1 = kT 11 > 0; p2 = kT 11 kT 22 − kT2 12 > 0
(15.56)
con b > 0 e c > 0, in quanto kT 21 = kT 12 perch´e il campo di forze `e conservativo. Le radici del
polinomio caratteristico (15.55) risultano essere
λ21|2,3|4 < 0,
(15.57)
essendo nella (15.55)
c
> 0,
(15.58)
a
per cui i quattro autovalori sono tutti immaginari, come illustrato in figura 15.6(a), e il moto libero
risultante `e semplicemente stabile; `e realistico pensare che si annulli per effetto dell’inevitabile
smorzamento strutturale, fin qui trascurato8 .
• la matrice KT non `e definita positiva, ovvero o
p1 = kT 11 < 0
(15.59)
oppure
p2 = kT 11 kT 22 − kT2 12 < 0
(15.60)
oppure entrambe le condizioni sono verificate. Nell’ipotesi che p2 < 0 avremo che nella (15.55)
a
<0
(15.61)
c
e quindi
λ21|2 > 0
(15.62a)
λ23|4
(15.62b)
< 0.
La prima radice porta a due valori di λ reali ed opposti, come illustrato in figura 15.6(b), che
danno luogo per la soluzione positiva a un fenomeno di instabilit`
a statica (divergenza) essendo la
soluzione data dalla (15.43). La stessa condizione si pu`
o verificare per p1 < 0.
8 Si
ricordi la discussione sulla stabilit`
a del cosiddetto secondo metodo di Lyapunov, descritto nel paragrafo 6.7.
15-9
(a) Stabile per c/a > 0.
(b) Instabile per c/a < 0.
Figura 15.6: Autovalori di un sistema conservativo.
Campo di forze non conservativo
Accade che
∂fy
∂fx
6=
∂y
∂x
(15.63)
e la matrice KT risulta non simmetrica.
Ricordando che le radici del polinomio caratteristico sono date dalla (15.55), ovvero
λ21|2,3|4 =
con
∆=
b
2a
√ 1 −b ± ∆
2a
(15.64)
2
(15.65)
−
c
a
se risulta che
∆<0
(15.66)
si ottiene
−1
λ21|2,3|4 =
e quindi
p e∓i tan (|∆|/b) p
1 e∓iα p 2
b2 + |∆| =
b + |∆|
−b ± i |∆| =
2a
2a
2a
λ1|2 = ±
s
λ3|4 = ±
s
s
!
!!
α
1p 2
α
+ i sin
= ± (ψ1 + iψ2 ) (15.68)
b + |∆| cos
2a
2
2
s
!
!!
1p 2
α
α
=±
b + |∆| cos
− i sin
= ± (ψ1 − iψ2 )
2a
2
2
1p 2
b + |∆|eiα/2 = ±
2a
1p 2
b + |∆|e−iα/2
2a
(15.67)
(15.69)
Le radici sono illustrate in figura 15.7(a). Ricordando la soluzione generale (15.43), sappiamo che, come
pi`
u volte mostrato, ciascuna coppia di radici coniugate, quando vengono imposte le condizioni iniziali,
fornisce una soluzione puramente reale
z (t) = Z 1 e(ψ1 +iψ2 )t + conj Z 1 e−(ψ1 +iψ2 )t + Z 2 e(ψ1 −iψ2 )t + conj Z 2 e−(ψ1 −iψ2 )t
(15.70)
15-10
(a) Instabile per ∆ < 0.
(b) Instabile
definita.
per
matrice
RT
non
Figura 15.7: Autovalori di un sistema non conservativo.
delle quali quella con parte reale positiva `e esponenzalmente espansiva (instabile), mentre l’altra `e esponenzialmente contrattiva (asintoticamente stabile). Ovvero il moto libero risultante `e ellittico e instabile
con pulsazione ψ2 . Il fenomeno, in aeroelasticit`
a, prende il nome di flutter.
Se invece
∆>0
(15.71)
c<0
(15.72)
e
si avr`a b <
√
∆ e quindi, essendo
λ21|2,3|4 =
√ 1 −b ± ∆
2a
(15.73)
avremo due soluzioni reali opposte e due immaginarie coniugate, con quella reale positiva che porta
alla divergenza, in analogia con quanto illustrato in figura 15.6(b) per la possibile instabilit`
a dei sistemi
conservativi.
Gli altri casi portano a soluzioni armoniche stabili, differenti solo nei valori delle frequenze proprie
da quello gi`
a trattato nel caso di campo di forze conservativo.
Banale `e poi il caso in cui la matrice RT sia definita negativa, o non definita, come illustrato in
figura 15.7(b). Il sistema sar`a soggetto a fenomeni di instabilit`
a dinamica, con ampiezze crescenti
esponenzialmente nel tempo.
15.2.2
Instabilit`
a aeroelastica della “sezione tipica”
La dinamica di un corpo aerodinamico deformabile immerso in un fluido rappresenta un problema di
notevole complessit`a. Tuttavia, l’essenza dei fenomeni che lo coinvolgono pu`
o essere descritta efficacemente da un modello piuttosto semplice e tuttavia rappresentativo di sistemi di particolare importanza
in aeronautica e in meccanica in genere, detto “sezione tipica”. Questo modello, descritto in figura 15.8,
`e costituito da un profilo alare che si muove nel suo piano; di esso si considerano solo i gradi di libert`
a di
traslazione in direzione perpendicolare alla corrente asintotica e di rotazione attorno all’asse di beccheggio. In prima approssimazione, pu`
o essere ritenuto rappresentativo di un’ala ad elevato allungamento
senza freccia, o della sezione di un ponte sospeso, o di una superficie aerodinamica di automobile da
corsa.
15-11
L
V∞
ψ
ψ
x˙ + b1 θ˙
Vr
kx rx
,
2 2
P1
x, x˙
M
θ, θ˙
b1
D
kx rx
,
2 2
Figura 15.8: Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano.
Le equazioni semplificate9 che descrivono la dinamica del sistema di figura 15.8 sono:
m¨
x + rx x˙ + kx x = L cos ψ + D sin ψ
J θ¨ + rx l2 θ˙ + kx l2 θ = M
(15.74a)
(15.74b)
dove ψ `e l’angolo tra la velocit`
a relativa Vr della vena e la direzione della corrente indisturbata V∞ ,
supposta costante, mentre l `e la distanza di entrambi i complessi molla-smorzatore dal punto a cui `e
riferita la rotazione.
Esercizio 15.1 Si ricavino le equazioni del moto (15.74).
Si noti che, nel puro moto rotatorio, ogni punto della superficie del profilo possiede una velocit`
a di
trascinamento diversa, quindi la velocit`
a relativa Vr varia da punto a punto del profilo. Non sarebbe
quindi lecito utilizzare l’approssimazione stazionaria10 delle forze aerodinamiche, dal momento che questa presuppone l’esistenza di un angolo di incidenza definito per tutto il profilo; senonch´e, `e possibile
9 Le equazioni qui riportate, per semplicit`
a, si basano sull’assunto che il punto nel piano della sezione a cui si riferiscono
le coordinate libere sia simultaneamente il baricentro ed il centro di taglio della sezione tipica. Di conseguenza, le matrici di
massa e di rigidezza sono diagonali, cosa abbastanza rara e, d’altra parte, non sempre desiderabile nelle normali costruzioni
aeronautiche.
10 Con il termine approssimazione stazionaria si intende che di un modello dinamico si considera solo la parte statica,
ovvero si assume che il sistema risponda istantaneamente ad un ingresso con la sola risposta statica. Per fare un esempio
meccanico, `
e come se di un sistema ad un grado di libert`
a, retto dall’equazione
m¨
x + r x˙ + kx = f,
(15.75)
a condizione che sia asintoticamente stabile, si considerasse solo la parte
kx ∼
=f
(15.76)
Questa approssimazione `
e sicuramente drastica in assoluto,
o essere ritenuta ragionevole, ad esempio, se il sistema
p ma pu`
viene forzato da una forzante armonica di frequenza ω ≪ k/m.
Le forze aerodinamiche, al pari delle forze meccaniche ed in totale analogia con i sistemi elettro- ed idromeccanici studiati
nei paragrafi precedenti, sono descrivibili sotto forma di sistemi dinamici, che, ad esempio, per un profilo alare consentono di
descrivere i coefficienti di forza e momento in funzione della storia temporale dell’angolo di incidenza. In altre parole, sono
descritte dall’uscita di un sistema dinamico il cui ingresso `
e l’angolo di incidenza. Per molte applicazioni pratiche, ogni volta
che la dinamica dell’aerodinamica `
e caratterizzata da costanti di tempo molto pi`
u piccole di quelle degli ingressi, nel nostro
caso legati al movimento della struttura e quindi, in prima battuta, alle frequenze proprie del sistema meccanico, il sistema
dinamico che descrive le forze aerodinamiche pu`
o essere approssimato nella forma stazionaria, ovvero considerandone solo
la parte statica.
La stima delle costanti di tempo delle forze aerodinamiche si basa sul concetto di frequenza ridotta; ovvero, nell’ipotesi
che la rilevanza della dinamica dell’aerodinamica che interessa il corpo sia legata al tempo in cui una particella di fluido
interagisce con il corpo stesso, ovvero alla lunghezza caratteristica del corpo nella direzione del flusso (la corda c per un
profilo alare, o meglio la semicorda secondo una certa letteratura) divisa per la velocit`
a di riferimento del flusso (V∞ ),
si definisce la frequenza ridotta come il numero adimensionale che esprime il rapporto tra la pulsazione del movimento e
questa misura caratteristica della velocit`
a dell’aerodinamica:
ωc
(15.77)
frequenza ridotta = k =
2V∞
15-12
V∞
ψ
x˙ + b1 θ˙
Vr
θ
α
Figura 15.9: Composizione delle velocit`
a del vento V∞ e del corpo x˙ a dare l’angolo di incidenza
cinematico ψ.
dimostrare che riferendosi alla velocit`
a di trascinamento di un punto P1 del profilo alare, in genere vicino
al bordo d’attacco11 , posto a una certa distanza b1 dall’asse di rotazione, `e possibile utilizzare ancora
l’approssimazione stazionaria.
In pratica, per il calcolo delle forze aerodinamiche, si utilizza l’angolo di incidenza instazionario
calcolato con la velocit`
a relativa di P1 .
Varr`a quindi
Vt = x˙ + b1 θ˙
r
2
2 + x
˙ + b1 θ˙
Vr = V∞
!
˙
θ
x
˙
+
b
1
ψ = − tan−1
V∞
(15.82)
(15.83)
(15.84)
L’approssimazione stazionaria `
e comunemente accettata per frequenze ridotte inferiori a 0.01, ma c’`
e chi fa salire questo
numero fino a 0.1 ed oltre.
11 Alcuni autori, utilizzando la teoria dei profili sottili applicata ad una lamina piana in moto oscillatorio armonico, fanno
cadere questo punto a 3/4 della corda, quindi in posizione opposta al centro aerodinamico che, per la medesima teoria, cade
ad 1/4 della corda. Tuttavia, i risultati ottenuti in questo modo sono a volte in contrasto con l’evidenza sperimentale. La
motivazione sostanziale `
e legata al fatto che l’approssimazione stazionaria delle forze e del momento aerodinamico non `
e in
grado di descriverne la dipendenza dalla sola velocit`
a di rotazione del profilo, perch´
e non contiene l’informazione associata
a questo ingresso; sono necessarie approssimazioni di ordine superiore, ad esempio l’approssimazione quasi-stazionaria.
Quest’ultima parte dalla definizione dei coefficienti aerodinamici come risposta di un sistema dinamico
CA (s) = H (s) α (s)
(15.78)
Se la soluzione di interesse `
e caratterizzata da una bassa frequenza ridotta, `
e ragionevole supporre che uno sviluppo in serie
di Taylor attorno alla frequenza nulla possa descriverne, in prima battuta, la dinamica. Quindi
1 ∂ 2 H ∂H s2
(15.79)
s+
H (s) ∼
= H (0) +
∂s s=0
2 ∂s2 s=0
Si verifica che la parte reale della funzione complessa H (s) `
e simmetrica rispetto all’asse immaginario, mentre la parte
immaginaria `
e antisimmetrica; quindi, se la funzione `
e regolare nell’intorno di 0, la si pu`
o valutare in 0 assieme alle sue
derivate rispetto a s, ottenendo numeri reali. Ma quando si moltiplica la (15.79) per α (s), si ha che sα (s) nel dominio
del tempo corrisponde a α˙ (t), mentre s2 α (s) nel dominio del tempo corrisponde a α
¨ (t); quindi, dal momento che la
funzione di trasferimento H e le sue derivate sono costanti in quanto valutate a frequenza nulla, l’approssimazione della
relazione (15.78) ottenuta mediante la (15.79) pu`
o essere rappresentata nel dominio del tempo come
∂H 1 ∂ 2 H CA (t) ∼
α
¨ (t)
(15.80)
α˙ (t) +
= H (0) α (t) +
2
∂s s=0
2 ∂s s=0
Se ci si ferma al termine di ordine 0 si ottiene l’approssimazione stazionaria; le approssimazioni ottenute considerando
termini di ordine superiore vanno sotto il nome generale di approssimazione quasi-stazionaria.
L’errore che si ottiene considerando anche l’effetto dell’incidenza associata a θ˙ nell’approssimazione stazionaria `
e
essenzialmente dovuto al fatto che si sta scrivendo qualcosa del tipo
b1 ˙
θ (t)
(15.81)
CA (t) ∼
= H (0) α (t) +
V∞
che, come si pu`
o notare, `
e ben diverso dalla (15.80) arrestata al primo ordine: innanzitutto θ˙ `
e solo una porzione di α,
˙
inoltre manca completamente l’informazione su ∂H/∂s. Ci`
o nonostante, l’uso della (15.81) per frequenze ridotte molto
piccole da una parte `
e ritenuto accettabile, dall’altra `
e desiderabile perch´
e consente di introdurre smorzamento di natura
aerodinamica anche sulla coordinata libera di rotazione, pur conoscendo soltanto i coefficienti aerodinamici stazionari. Per
una formalizzazione del concetto di approssimazione di modelli dinamici si rimanda al capitolo 14.
15-13
Se si considerano piccole perturbazioni di x e θ attorno all’equilibrio, valgono le consuete approssimazioni
!
x˙ + b1 θ˙ ∼ x˙ + b1 θ˙
sin ψ = sin −
(15.85)
=−
Vr
V∞
V∞ ∼
(15.86)
=1
Vr
L’angolo di incidenza che si utilizza per il calcolo dei coefficienti aerodinamici secondo l’approssimazione
stazionaria `e quindi, ad ogni istante di tempo, dato dalla somma dell’angolo di incidenza cinematica
ψ, ottenuto considerando l’angolo formato dalla velocit`
a relativa, per composizione della velocit`
a di
traslazione del corpo e della velocit`
a del vento, con una direzione di riferimento sul corpo, e dell’angolo
di incidenza geometrica θ, legato alla rotazione della linea di riferimento rispetto al vento asintotico,
ovvero
x˙ + b1 θ˙
+θ
(15.87)
α=ψ+θ ∼
=−
V∞
per cui il sistema di equazioni differenziali che descrive il moto della sezione tipica diventa
1 2
x˙
x
¨
x
kx
0
rx
0
m 0
CL (α) cos ψ + CD (α) sin ψ
=
+
+
,
ρV
S
θ
0 kx l 2
0 rx l2
0 J
cCM (α)
θ˙
θ¨
2 r
cos ψ =
(15.88)
dove ai coefficienti di portanza e resistenza si aggiunge il coefficiente di momento CM rispetto al punto a
cui `e riferita la rotazione θ, mentre la corda c viene aggiunta per una corretta dimensionalizzazione del
momento aerodinamico.
Dopo aver linearizzato attorno alla posizione di equilibrio, che per semplicit`
a si assume essere α = 0,
e considerando un profilo simmetrico quale il NACA0009 di figura 15.10, per il quale i coefficienti di
portanza e di momento rispetto al centro aerodinamico sono nulli per α = 0, mentre il coefficiente di
resistenza presenta un minimo, si ottiene:
≈2π
z }|
z }| { dCL CL (α) cos ψ + CD (α) sin ψ ∼
= CL (0) +
dα =0
{
α=0
dC
M
CM (α) ∼
= CM (0) +
| {z }
dα =0
α=0
x˙ + b1 θ˙
θ−
V∞
!
x˙ + b1 θ˙
θ−
V∞
− CD (0)
!
x˙ + b1 θ˙
V∞
(15.89a)
(15.89b)
Sostituendo ad α la sua espressione (15.87) in funzione delle coordinate libere, e riordinando i termini
delle equazioni, le forze di campo linearizzate possono essere scritte, in forma matriciale, come


b1
1
CL/α − CD (0)  x˙ 1 2  V CL/α − CD (0)
F
V

∞
∞

= − ρV∞ S 
 θ˙
c
M
cb1
2
CM/α
CM/α
V∞
V∞
1 2
0 −CL/α
x
− ρV∞ S
(15.90)
0 −cCM/α
θ
2
dove per praticit`a si `e usata la notazione C/α ≡ dC/dα, per cui


1
1
ρV∞ Sb1 CL/α − CD (0) 
 rx + 2ρV∞ S CL/α − CD (0)
2
RT = 

1
1
ρV∞ ScCM/α
rx l2 + ρV∞ Sb1 cCM/α
2
2


1 2
− ρV∞ SCL/α
 kx

2
KT = 

1
2
2
0 kx l − ρV∞ ScCM/α
2
15-14
(15.91)
(15.92)
0.06
-0.06
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
1.5
1
CL
CD
CM
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-20
-15
-10
-5
0
5
α [deg]
10
15
(b)
Figura 15.10: Curve CL -α, CD -α e CM -α del profilo NACA 0009.
15-15
20
Instabilit`
a legate allo smorzamento aerodinamico
Dall’analisi delle matrici (15.91, 15.92) si deduce la possibilit`a di avere instabilit`
a dinamica per il grado
di libert`
a di spostamento (tipicamente associato alla flessione dell’ala) se
1
rx + ρV∞ S CL/α − CD (0) < 0,
2
(15.93)
mentre il profilo sarebbe instabile per quanto concerne il grado di libert`
a torsionale se
1
rx l2 + ρV∞ Sb1 cCM/α < 0.
2
(15.94)
Se nessuna delle condizioni (15.93, 15.94) `e verificata, la matrice RT risulta definita positiva a condizione
che il suo determinante sia positivo, ovvero
1
2
2
ρV∞ S l CL/α − CD (0) + b1 cCM/α
> 0.
(15.95)
rx rx l +
2
Come `e noto, per i profili alari normalmente usati si ha CL/α > 0 (pari a circa 2π) per piccoli
angoli di incidenza, lontano dall’incidenza di stallo. Sempre nell’ipotesi di angoli di incidenza lontani da
quello di stallo, il coefficiente di momento, quando `e riferito al centro aerodinamico del profilo, ovvero
CM = CM CA , per definizione non dipende dall’angolo di incidenza; quindi, per piccoli angoli di incidenza
CM CA/α ≡ 0. Se viceversa il punto al quale sono riferite le coordinate libere si trova in posizione arretrata
rispetto al centro aerodinamico, detta e la distanza tra tale punto ed il centro aerodinamico, il coefficiente
di momento CM nel generico punto di riferimento si ricava dalla relazione
1
1
1 2
ρV ScCM (α) = ρV 2 ScCM CA + ρV 2 SeCL (α)
2
2
2
e quindi, dato che ci occorre solo la sua derivata rispetto all’angolo di incidenza,
e
CM/α = CL/α
c
(15.96)
(15.97)
in quanto, come affermato in precedenza, CM CA/α ≡ 0 per definizione di centro aerodinamico. Ne
consegue che un’instabilit`a associata ad un eventuale smorzamento aerodinamico negativo `e improbabile,
ma il fenomeno potrebbe avvenire per profili con elevata sezione frontale (ad esempio, travi a semplice o
doppio T, ecc.).
Flutter
Tuttavia, analizzando la matrice KT , dove si `e fatto uso della (15.97), il termine
1 2
1 2
kT 22 = kx l2 − ρV∞
ScCM/α = kx l2 − ρV∞
SeCL/α
2
2
(15.98)
della matrice di rigidezza mostra come le forze aerodinamiche possano modificare la frequenza propria
torsionale del profilo alare riducendola al crescere della velocit`
a, mentre quella flessionale, dipendente da
kT 11 , rimane sostanzialmente costante.
Per cui se, come di solito si verifica per le normali costruzioni aerodnautiche, la frequenza propria
torsionale nel vuoto `e pi`
u alta di quella flessionale, e il centro aerodinamico si trova pi`
u avanti (in
genere al 25–27% della corda) rispetto all’asse di rotazione della sezione (dal 25% della corda per le
pale di elicottero fino al 35–45% per velivoli commerciali), vi sar`a sempre una velocit`
a V∞ per cui le
due frequenze diverranno molto prossime, dando luogo al fenomeno del flutter per coalescenza delle due
pulsazioni, come illustrato in figura 15.11(a).
Esercizio 15.2 Si riscriva la matrice di massa considerando il baricentro a distanza d dall’asse elastico;
si scriva poi il problema aeroelastico con le sole matrici di massa e di rigidezza (quest’ultima comprensiva
del contributo aerodinamico) e si determini per quale distanza del baricentro dall’asse elastico si ha flutter
a pressione dinamica inferiore a quella di divergenza (Suggerimento: si applichi il criterio di Routh al
polinomio caratteristico).
15-16
(a) Coalescenza lungo l’asse immaginario di due frequenze proprie che si dipartono in direzione perpendicolare all’asse dando luogo ad una soluzione
instabile (flutter).
(b) Qualora sia presente smorzamento, le
radici non coalescono, ma evolvono in direzioni diverse; il flutter potrebbe anche non
avere luogo.
Figura 15.11: Coalescenza, al crescere della velocit`
a V∞ , di due frequenze proprie; per semplicit`
a sono
mostrate solo le radici con parte immaginaria positiva.
Nella realt`a, la presenza di smorzamento sia di natura strutturale che soprattutto di natura aerodinamica potr`a spostare il fenomeno ad una velocit`
a pi`
u elevata, o addirittura inibirlo, in quanto gli
autovalori tenderanno a comportarsi come in figura 15.11(b): non vi `e una vera e propria coalescenza
degli autovalori, che rimangono sempre distinti, ma semplicemente un avvicinamento lungo la direzione
immaginaria, a cui pu`
o seguire un allontanamento lungo la direzione reale.
Divergenza aeroelastica
Il coefficiente kT 22 consente anche di mettere in luce un’altra forma di instabilit`
a aeroelastica, che si
ottiene quando la velocit`
a V∞ , e quindi la pressione dinamica, assume un valore tale per cui kT 22 = 0
1 2
kx l 2
ρV∞ =
2
SeCL/α
(15.99)
In tale caso la matrice KT diventa singolare, e quindi si ha una condizione di stabilit`
a statica indifferente,
ovvero una condizione di limite di stabilit`
a a frequenza nulla.
Questo fenomeno va sotto il nome di divergenza aeroelastica, e la velocit`
a a cui avviene si chiama
` evidente che se la frequenza del modo flessionale `e inferiore a quella del modo
velocit`
a di divergenza. E
torsionale nel vuoto, al crescere della velocit`
a V∞ la frequenza torsionale intersecher`a quella flessionale
prima di annullarsi, e quindi la condizione di flutter viene tipicamente incontrata prima di quella di
divergenza. Per questo motivo, nelle tipiche costruzioni aeronautiche la condizione di divergenza raramente diventa critica, mentre quella di flutter `e spesso determinante nelle scelte di progetto. Tuttavia
la semplice riduzione di rigidezza torsionale dovuta alla presenza delle forze aerodinamiche pu`
o influenzare significativamente il comportamento sia statico che dinamico del velivolo gi`
a a velocit`
a decisamente
inferiori a quella di divergenza, ad esempio sotto forma di fenomeni quali l’inversione dei comandi.
15-17
18
Appendice A
Cenni di dinamica del corpo rigido
nello spazio
Generato il 23 ottobre 2014
A.1
Introduzione
In questo capitolo si richiama la dinamica del corpo rigido nello spazio. Lo studio di questo argomento `e alla base della dinamica di sistemi di vario tipo e complessit`a. Ne viene presentata nel seguito
l’applicazione alla modellazione dei giroscopi meccanici, come quello illustrato in figura A.1.
Figura A.1: Il giroscopio (Applied Dynamics - F.C. Moon 1998) applicato alla misura del rateo di
imbardata (yaw rate) di un velivolo (immagine del velivolo da http://www.lucytravels.com).
Questi strumenti consentono la misura indiretta della velocit`
a angolare di un corpo rigido rispetto
ad un sistema di riferimento inerziale. Questa misura `e fondamentale per la realizzazione dei sistemi
di navigazione inerziale (Inertial Measurement Unit, IMU), che sono alla base non solo dei sistemi di
A-1
navigazione strumentale dei velivoli e dei veicoli spaziali, ma anche di numerosi altri sistemi di ausilio alla
condotta dei veicoli, quali i sistemi di controllo della stabilit`
a dei veicoli (Electronic Stability Control,
ESC, dei quali il pi`
u famoso `e quello sviluppato da Bosch e Mercedes-Benz e noto come Elektronisches
Stabilit¨atsprogramm, ESP).
I giroscopi meccanici presentano alcuni svantaggi che ne sconsigliano l’uso nei moderni sistemi di
navigazione inerziale, soppiantati da sistemi laser per applicazioni ad alta precisione (e costo) o da sistemi
micro-elettro-meccanici (Micro-Electro Mechanical Systems, MEMS) per applicazioni a bassa precisione
(e costo; la carenza di precisione viene compensata dalla fusione di misure diverse). La teoria alla base
dei giroscopi meccanici presenta tuttavia un indubbio interesse didattico, storico ma anche applicativo.
A.2
Dinamica del corpo rigido nello spazio
Al fine di fornire uno strumento per la valutazione della dinamica del corpo rigido, che permetta di
passare in modo generale alla dinamica nello spazio, si vogliono formulare alcune considerazioni alla base
dell’analisi dinamica di sistemi multicorpo nello spazio.
A.2.1
Richiami di calcolo vettoriale in notazione matriciale
La posizione di un punto P nello spazio `e identificabile mediante un vettore. Se si utilizza un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale caratterizzato dalla terna destrorsa ~i, ~j, ~k, le componenti del vettore
`
sono le sue coordinate. Le coordinate del vettore possono venire organizzate in forma matriciale. E
infatti possibile passare da un vettore (P − O) nella forma:
(P − O) = px~i + py~j + pz~k
(A.1)
alla forma matriciale alternativa:


 px 
py
(P − O) =


pz
(A.2)
Prodotto scalare
Il prodotto scalare tra due vettori (P − O) e (Q − O), indicato come (P − O) × (Q − O), `e lo scalare
(P − O) × (Q − O) = px qx + py qy + pz qz .
(A.3)
Utilizzando il formalismo matriciale si ottiene

T 

 px   q x 
qy
py
= px q x + py q y + pz q z .
(P − O) × (Q − O) =

 

qz
pz
(A.4)
Si noti come il primo vettore, (P −O), sia stato trasposto, in modo da rendere lecito il prodotto matriciale
tra un vettore riga e un vettore colonna di pari lunghezza1 .
Prodotto vettore
Il prodotto vettore di due vettori
componenti:
~i
(P − O) ∧ (Q − O) = px
qx
(P − O) e (Q − O), indicato come (P − O) ∧ (Q − O), `e un vettore di
~j
py
qy
~k
pz
qz
= (py qz − pz qy )~i + (pz qx − px qz ) ~j + (px qy − py qx ) ~k. (A.5)
1 Si ricordi che il prodotto tra matrici richiede che la matrice a sinistra abbia numero di colonne pari al numero di righe
della matrice a destra.
A-2
Al medesimo risultato si arriva definendo la matrice antisimmetrica2 [(P − O) ∧ ],


0
−pz py
0
−px  ,
[(P − O) ∧ ] =  pz
−py px
0
(A.6)
costruita a partire dal primo vettore nel prodotto di Eq. (A.5), e calcolando poi il prodotto matrice-vettore
(P − O) ∧ (Q − O) = [(P − O) ∧ ] (Q − O)

 


0
−pz py
 qx   py q z − pz q y 
0
−px 
pz q x − px q z
qy
=  pz
.
=

 

−py px
0
px q y − py q x
qz
(A.7)
Propriet`
a dell’algebra vettoriale
L’algebra vettoriale presenta utili propriet`
a, che nel formalismo matriciale possono assumere una forma
notevole. Le pi`
u importanti e utili, facilmente verificabili3 , sono:
p~ × ~q = ~q × p~
p~ ∧ ~q = −~q ∧ p~
T
+ ~r ∧ p~ ∧ ~q
(~
p ∧ ~q) ∧ ~r = p~ ∧ ~q ∧ ~r − ~q ∧ p~ ∧ ~r
(A.8a)
[p ∧ ] {q} = − [q ∧ ] {p}
(A.8b)
T
~r × (~
p ∧ ~q) = −~q × (~
p ∧ ~r)
p~ ∧ ~q ∧ ~r = ~q (~
p × ~r) − (~q × p~) ~r
~0 = p~ ∧ ~q ∧ ~r + ~q ∧ ~r ∧ p~
T
{p} {q} = {q} {p}
[p ∧ ] = − [p ∧ ]
(A.8c)
T
T
[p ∧ ] [q ∧ ] = {q} {p} − {q} {p} [I]
(A.8d)
+ [r ∧ ] [p ∧ ] {q}
[([p ∧ ] {q}) ∧ ] = [p ∧ ] [q ∧ ] − [q ∧ ] [p ∧ ]
(A.8e)
{0} = [p ∧ ] [q ∧ ] {r} + [q ∧ ] [r ∧ ] {p}
T
= ~q (~
p × ~r) − p~ (~q × ~r)
T
= {q} {p} − {p} {q}
(A.8f)
Si ricordi che l’associativit`
a del prodotto vettore `e da destra, ovvero
p~ ∧ ~q ∧ ~r = p~ ∧ (~q ∧ ~r) .
(A.9)
Nei casi dubbi, si consiglia l’uso delle parentesi come nella (A.9).
Esercizio A.1 Verificare le propriet`
a descritte nelle (A.8), utilizzando sia la notazione vettoriale che
quella matriciale.
A.2.2
Cinematica del punto materiale nello spazio
Per definire la cinematica di un corpo rigido, si pu`
o fare riferimento ai moti relativi. In particolare `e
utile definire il moto di un generico punto P in funzione della sua posizione all’interno del corpo, e del
moto rigido del corpo stesso.
Posizione di un punto solidale ad un corpo rigido
Si definisca la posizione del punto P rispetto all’origine O, data dal vettore (P − O). Tale posizione pu`
o
essere descritta come la somma della posizione di P rispetto ad un polo Q arbitrario ma solidale con il
corpo rigido, (P − Q), e della posizione del polo Q rispetto all’origine, (Q − O), ovvero
(P − O) = (P − Q) + (Q − O) .
(A.10)
Se il corpo a cui appartengono i punti P e Q `e rigido, la loro distanza kP − Qk non cambia. Tuttavia,
per effetto della rotazione rigida del corpo, pu`
o cambiare l’orientazione del vettore (P − Q) rispetto al
sistema di riferimento inerziale.
matrice [A] `
e antisimmetrica quando la sua trasposta `
e uguale al suo opposto, [A]T = − [A].
delle propriet`
a illustrate nelle (A.8) sono ovvie, altre richiedono manipolazioni non banali. Non ne viene data
dimostrazione perch´
e esula dagli scopi del corso.
2 Una
3 Alcune
A-3
Velocit`
a di un punto solidale ad un corpo rigido
La velocit`
a del punto P si ottiene dalla derivata rispetto al tempo della (A.10),
d
d
d
(P − O) =
(P − Q) +
(Q − O) .
(A.11)
dt
dt
dt
Il primo termine a secondo membro della (A.11), d(P − Q)/dt, rappresenta un cambiamento di orientazione del vettore (P − Q), il cui modulo `e costante per l’ipotesi di corpo rigido. Il secondo termine
a secondo membro della (A.11), d(Q − O)/dt, rappresenta la velocit`
a assoluta del punto Q, ~vQ . Di
conseguenza, la (A.11) pu`
o essere riscritta come
~vP =
~vP = ~vQ + ~r˙
(A.12)
dove ~r = (P − Q).
Siccome per la definizione di corpo rigido il vettore posizione ~r non varia in modulo, la sua derivata
rispetto al tempo `e legata alla sola variazione di direzione, che secondo le relazioni di Poisson (si veda la
nota 3 di pagina 1-7) risulta essere pari a:
d
(P − Q) = ~r˙ = ω
~ ∧ ~r.
dt
La (A.12) pu`
o essere infine scritta come
(A.13)
~vP = ~vQ + ω
~ ∧ ~r,
(A.14)
che rappresenta la velocit`
a del punto P in funzione del moto rigido del corpo al quale P `e solidale,
` comodo esprimere la (A.14) nella forma del tutto analoga
espresso da ~vQ e ω
~. E
~vP = ~vQ − ~r ∧ ω
~,
(A.15)
sfruttando la propriet`
a del prodotto vettore ω
~ ∧ ~r = −~r ∧ ω
~ , illustrata nella (A.8b), grazie alla quale `e
possibile esprimere con notazione matriciale la velocit`
a del punto P ,
{vQ }
{vP } = {vQ } − [r ∧ ] {ω} = [I] − [r ∧ ]
,
(A.16)
{ω}
in forma lineare rispetto alla velocit`
a {vQ } e alla velocit`
a angolare {ω} del corpo rigido.
Accelerazione di un punto solidale ad un corpo rigido
L’accelerazione del punto P , ottenuta per derivazione dal vettore velocit`
a, sar`a allora data da:
~˙ ∧ ~r + ω
~aP = ~aQ + ω
~ ∧ (~
ω ∧ ~r) .
(A.17)
L’analoga espressione con notazione matriciale `e
{aP } = {aQ } − [r ∧ ] {ω}
˙ + [ω ∧ ] [ω ∧ ] {r}
{aQ }
+ [ω ∧ ] [ω ∧ ] {r} .
= [I] − [r ∧ ]
{ω}
˙
(A.18)
Si noti che la matrice che moltiplica da sinistra l’accelerazione {aQ } e l’accelerazione angolare {ω}
˙ `e la
medesima della (A.16).
Esercizio A.2 Utilizzando le propriet`
a (A.8), mettere in luce come il termine centrifugo delle (A.17,
A.18), contenente la velocit`
a angolare ω
~ (o {ω}), sia diretto rispetto al vettore ~r (o {r}).
L’algebra vettoriale `e uno strumento molto potente e sintetico per descrivere la cinematica (e la
dinamica) nello spazio, ma a volte male si presta alla scrittura di espressioni di facile implementazione
in codici di calcolo, specialmente nel caso di generalizzazione a sistemi con pi`
u corpi rigidi. Al contrario
l’algebra matriciale, anche se pu`
o sembrare meno intuitiva e meno adatta alla soluzione manuale di
semplici problemi, meglio si presta alla scrittura di codici di calcolo numerico, grazie alla sua pi`
u agevole
sistematizzazione: la costruzione delle equazioni risolventi si riduce a sequenze di prodotti tra matrici e
tra matrici e vettori opportunamente costruiti. In ogni caso le due notazioni sono, inevitabilmente, del
tutto equivalenti, e verranno utilizzate indifferentemente nel seguito.
A-4
A.2.3
Descrizione delle rotazioni
In generale, un vettore {p} pu`
o essere proiettato da un sistema di riferimento ad un altro mediante una
trasformazione lineare, che consiste nella moltiplicazione per una matrice di rotazione, [R]:
′′
′
{p} = [R] {p} .
(A.19)
Ortonormalit`
a
Le matrici di rotazione godono di alcune propriet`
a notevoli. La pi`
u importante `e la ortonormalit`
a : l’inversa della matrice `e uguale alla sua trasposta. Questa propriet`
a si desume da una semplice constatazione:
il prodotto scalare tra due vettori non dipende dal sistema di riferimento in cui sono espressi.
Si considerino due vettori, {p} e {q}, espressi in un dato sistema di riferimento, indicato con un
singolo apice. Se entrambi i vettori sono proiettati in un altro sistema di riferimento, indicato con due
apici, tramite la matrice di rotazione [R],
′′
′
(A.20a)
′′
′
(A.20b)
{p} = [R] {p}
{q} = [R] {q} ,
il loro prodotto scalare deve rimanere invariato. Ne risulta
′T
{p}
′
{q} = {p}
′′T
′′
′T
{q} = {p}
T
′
[R] [R] {q} .
(A.21)
T
Se ne deduce che [R] [R] = [I] e quindi
−1
[R]
T
= [R] .
(A.22)
Rotazioni attorno agli assi coordinati
La descrizione delle numerose propriet`
a delle matrici di rotazione, e di come queste possano essere pi`
u
o meno efficientemente parametrizzate in funzione dei numerosi tipi di parametri esula dallo scopo di
questo corso. Viene solamente proposta la costruzione delle matrici di rotazione associate a rotazioni
attorno ad uno degli assi coordinati del sistema di riferimento iniziale.






cos γ − sin γ 0
cos β 0 sin β
1
0
0
cos γ 0  .
0
1
0  [R]z =  sin γ
[R]x =  0 cos α − sin α  [R]y = 
0
0
1
− sin β 0 cos β
0 sin α cos α
(A.23)
Dal punto di vista del calcolo numerico queste trasformazioni corrispondono a rotazioni di Givens in uno
spazio a tre dimensioni. Esse sono alla base di numerosi algoritmi per la trasformazione di matrici, ad
esempio la decomposizione QR.
Sequenze di rotazioni
` bene ricordare che le rotazioni non si sommano; viceversa, la rotazione corrispondente ad una sequenza
E
di rotazioni si ricava moltiplicando le relative matrici di rotazione.
Occorre prestare attenzione al fatto che ogni rotazione viene riferita all’orientazione risultante dalla
combinazione delle rotazioni precedenti. La figura A.2 mostra la dipendenza dell’orientazione finale dalla
sequenza con cui sono effettuate le rotazioni intermedie. Ad esempio, una rotazione di 90 gradi attorno
all’asse z come quella descritta da [R]z porta l’asse x finale ad allinearsi all’asse y iniziale (da A a B). Di
conseguenza, una successiva rotazione attorno all’asse x finale (da B a C) avverrebbe attorno a quello
che inizialmente era l’asse y. Se la sequenza delle rotazioni venisse invertita, e quindi si eseguisse prima
una rotazione attorno all’asse x (da A a D), seguita da una rotazione attorno all’asse z (da D a E),
l’orientazione finale del corpo sarebbe diversa da quella ottenuta nel primo caso.
A-5
z
y
x
z
y
x
C
B
y
y
A
z
x
x
D
y
z
x
E
z
Figura A.2: Sequenza di rotazioni.
Rotazione e velocit`
a angolare
` utile considerare come la velocit`
E
a angolare {ω} si ricavi dalla derivazione della matrice di rotazione.
Siccome una rotazione non modifica la lunghezza di un vettore, ma al pi`
u ne cambia l’orientazione, questo
vale anche per i versori di un sistema di riferimento. Per questo motivo, in base alle relazioni di Poisson
illustrate nella nota 3 di pagina 1-7, la derivata rispetto al tempo di una matrice di rotazione d`a
h i
R˙ = [ω ∧ ] [R] .
(A.24)
Dalla (A.24) `e immediato notare come
h i
T
R˙ [R] = [ω ∧ ] .
(A.25)
T
Si premoltiplichi ora la (A.24) per [R] :
h i
T
T
[R] R˙ = [R] [ω ∧ ] [R] .
(A.26)
` relativamente semplice verificare che
E
h
i
T
T
[R] [ω ∧ ] [R] = [R] {ω} ∧ = [ω ∧ ] ,
(A.27)
T
a angolare {ω}, definita nel sistema assoluto, proiettata quindi nel
dove {ω} = [R] {ω} `e la velocit`
T
sistema di riferimento definito dalla matrice [R] mediante premoltiplicazione per [R] .
Le matrici di rotazione verranno usate nel seguito per formulare nel modo pi`
u conveniente i problemi
di dinamica dei corpi rigidi nello spazio.
Esercizio A.3 Si verifichi la (A.24). (Suggerimento: si derivi la relazione [R] [R]
tempo).
T
= [I] rispetto al
T
Esercizio A.4 Si verifichi la (A.27). (Suggerimento: si derivi la relazione [R] [R] = [I] rispetto al
tempo, e la si confronti con la precedente).
Esercizio A.5 A partire dalla (A.24), si ricavi la velocit`
a angolare dalle matrici di rotazione descritte
nella (A.23) e dalle loro derivate temporali.
Esercizio A.6 Come si potrebbe definire la variazione virtuale di orientazione, da utilizzare per scrivere
il lavoro virtuale di una coppia?
A.2.4
Forze e coppie d’inerzia
L’accelerazione del generico punto P , data dalla (A.18), e pesata dalla densit`a che il materiale di cui `e
costituito il corpo ha nel punto P , d`a la forza d’inerzia elementare che agisce sul corpo nel punto P ,
dF~i = −ρ ~aP dV.
(A.28)
A-6
Forza d’inerzia
L’integrale della (A.28) sul volume V d`a la forza d’inerzia complessiva che agisce sul corpo, ricordando
che ~aQ , ω
~ eω
~˙ non dipendono dalla posizione del punto P ,
Z
Z
~
Fi = −
ρ~aP dV = −
ρ ~aQ − ~r ∧ ω
~˙ + ω
~ ∧ω
~ ∧ ~r dV
V
V
Z
Z
Z
˙
~ −ω
~ ∧ω
~∧
ρ~rdV
ρ~rdV ∧ω
=−
ρdV ~aQ +
}
}
| V {z
| V {z
| V {z }
m
~
sQ
~
sQ
~˙ + ω
= − m~aQ − ~sQ ∧ ω
~ ∧ω
~ ∧ ~sQ ,
(A.29)
ove `e stato messo in evidenza il momento statico rispetto al polo Q, ~sQ . In notazione matriciale, il
momento statico `e


Z
Z
 x 
y
{sQ } =
dV.
(A.30)
ρ {r} dV =
ρ


V
V
z
Si ricordi che il vettore ~r (o {r}) `e costante in modulo, ma cambia direzione al variare dell’orientazione
del corpo. Sempre in notazione matriciale, la (A.29) diventa
{Fi } = − (m {aQ } − [sQ ∧ ] {ω}
˙ + [ω ∧ ] [ω ∧ ] {sQ }) .
(A.31)
Il polo Q pu`
o essere opportunamente scelto in modo da annullare il momento statico ~sQ (o {sQ }). Il
punto che soddisfa questo requisito `e il baricentro del corpo rigido, G. In tale caso, se si pone Q = G,
la (A.31) diventa semplicemente
{Fi } = −m {aG } ,
(A.32)
dove {aG } `e l’accelerazione del baricentro G. La (A.32) mostra come, per quanto riguarda la forza
d’inerzia, il caso tridimensionale non si discosti da quanto anticipato nel caso piano: essa `e direttamente
proporzionale all’accelerazione attraverso la massa.
Coppia d’inerzia
Il momento dell’azione d’inerzia (A.28) rispetto al polo generico Q `e
Z
Z
~
CiQ = −
ρ~r ∧ ~aP dV = −
ρ~r ∧ ~aQ − ~r ∧ ω
~˙ + ω
~ ∧ω
~ ∧ ~r dV
V
(A.33)
V
Dal momento che, per le (A.8),
~r ∧ ω
~ ∧ω
~ ∧ ~r = −~
ω ∧ ~r ∧ ~r ∧ ω
~,
(A.34)
la (A.33) diventa
Z
Z
~
CiQ = −
ρ ~r ∧ ~r ∧ ω
~˙ + ω
~ ∧ ~r ∧ ~r ∧ ω
~ dV
ρ~rdV ∧~aQ +
V
}
| V {z
(A.35)
~
sQ
Usando la notazione vettoriale `e relativamente pi`
u complicato4 esprimere il contributo alla coppia d’inerzia dato dal secondo integrale a secondo membro isolando la velocit`
a e l’accelerazione angolare, che
4 Occorre infatti definire un operatore ⊗ tale per cui ~
r⊗~
r diventa un tensore doppio, il cui contributo all’espressione
della coppia `
e analogo a quello dato dal termine {r} {r}T usato nella notazione matriciale.
A-7
non dipendono dalla posizione del punto P . Usando invece la notazione matriciale, la (A.35) diventa
Z
Z
Z
{CiQ } = −
ρ {r} dV ∧ {aQ } +
˙ + [ω ∧ ]
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV {ω}
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV {ω} ,
| V
{z
}
{z
}
{z
}
| V
| V
[sQ ∧]
−[JQ ]
−[JQ ]
(A.36)
ove nell’ultimo termine a destra si `e fatto uso della rappresentazione matriciale della (A.34) e si `e messa
in evidenza la matrice dei momenti d’inerzia [JQ ], valutata rispetto al polo Q. Il momento d’inerzia `e5



Z
Z
0 −z y
0 −z y
0 −x  dV
0 −x   z
[JQ ] = −
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV = −
ρ z
V
V
−y x
0
−y x
0



 2
2
Z
Ixx −Ixy −Ixz
y +z
−xy
−xz
z 2 + x2
−yz  dV =  −Iyx Iyy −Iyz  .
(A.37)
=
ρ  −yx
2
V
−Izx −Izy
Izz
−zx
−zy
x + y2
Si ricordi che la matrice dei momenti d’inerzia [JQ ] e il momento statico {sQ }, essendo costruiti mediante integrazione sul volume di una relazione che contiene il vettore {r}, in generale variano al variare
dell’orientazione del corpo.
Esercizio A.7 Si esprimano il momento statico {sQ } e la matrice d’inerzia [JQ ] in un sistema di
riferimento solidale con il corpo, descritto dalla matrice di rotazione [R].
Esercizio A.8 Si calcoli la derivata rispetto al tempo di momento statico e matrice d’inerzia.
Esercizio A.9 Si calcoli la derivata rispetto al tempo di momento statico e matrice d’inerzia considerando la loro espressione in un sistema di riferimento solidale con il corpo, come da esercizio A.7.
Se la coppia d’inerzia `e riferita al baricentro G, la (A.36) diventa
{CiG } = − [JG ] {ω}
˙ − [ω ∧ ] [JG ] {ω} .
(A.38)
Usando la notazione matriciale, le forze e le coppie d’inerzia possono venire espresse quindi come
T
T
{aQ }
{F }i
m [I] [sQ ∧ ]
[ω ∧ ] [sQ ∧ ]
=−
{ω}
+
{CiQ }
{ω}
˙
[sQ ∧ ]
[JQ ]
[ω ∧ ] [JQ ]
i )
!
( h
T
T
{aQ }
[sQ ∧ ] {ω} ∧
m [I] [sQ ∧ ]
−
{ω}
(A.39a)
=−
{ω}
˙
[sQ ∧ ]
[JQ ]
[([JQ ] {ω}) ∧ ]
che se riferite al baricentro divengono
{Fi } = −m {aG }
{CiG } = − [JG ] {ω}
˙ − [ω ∧ ] [JG ] {ω} = − [JG ] {ω}
˙ + [([JG ] {ω}) ∧ ] {ω} .
(A.40a)
(A.40b)
La coppia d’inerzia nel caso tridimensionale si differenzia dal caso piano in quanto in generale pu`
o
dipendere non solo dall’accelerazione angolare, ma anche dalla velocit`
a angolare ω
~ . Questo traduce, ad
esempio, il fenomeno per cui un moto rotatorio a velocit`
a angolare anche costante pu`
o dare luogo a
coppie d’inerzia attorno ad assi diversi da quello di rotazione. Quello che succede `e che l’accelerazione
centripeta dovuta alla velocit`
a angolare pu`
o dare luogo a forze d’inerzia che hanno braccio non nullo
rispetto all’asse o al polo di rotazione, e quindi a coppie d’inerzia anche in assenza di accelerazione.
Esercizio A.10 Verificare la (A.34).
5 Si noti che la matrice dei momenti di inerzia `
e simmetrica e definita positiva. A volte, in letteratura, i termini
extra-diagonali sono definiti con segno opposto rispetto a quello indicato nella (A.37).
A-8
Esercizio A.11 La matrice dei momenti d’inerzia [JQ ] per definizione `e simmetrica definita positiva. Tuttavia queste propriet`
a non sono direttamente desumibili dalla definizione data nella (A.36). Si
verifichi la simmetria e la positiva definizione della matrice [JQ ].
Esercizio A.12 Si valuti la potenza associata alle coppie d’inerzia (si consideri ad esempio la (A.40b)).
Esercizio A.13 Si valutino le forze e le coppie d’inerzia dovute ad un moto puramente rotatorio attorno
~˙ = ω˙ z~k) passante per il baricentro di un corpo rigido.
all’asse z (~
ω = ωz~k, ω
A.2.5
Geometria delle masse
Come gi`
a notato in precedenza, le equazioni del moto possono essere ricavate attraverso diversi procedimenti, fra loro equivalenti. La scelta di un particolare procedimento pu`
o essere vantaggiosa nel
momento in cui comporta una semplificazione o un minore sforzo nel giungere a risultati che devono
necessariamente essere analoghi.
Matrice di inerzia nell’espressione dell’energia cinetica
Nel caso del formalismo di Lagrange, il contributo alle equazioni del moto dato dalle forze di inerzia si
ricava a partire dall’energia cinetica. L’energia cinetica associata al movimento di un corpo rigido nello
spazio `e
Z
Z
1
1
T =
ρ ~vP × ~vP dV =
ρ (~vQ − ~r ∧ ω
~ ) × (~vQ − ~r ∧ ω
~ ) dV.
(A.41)
2 V
2 V
Anche in questo caso, la notazione vettoriale risulta meno intuitiva nel momento in cui occorre considerare
il termine associato al momento d’inerzia.
Usando la notazione matriciale,
Z
Z
1
1
T
T
T =
ρ {vP } {vP } dV =
ρ ({vQ } − [r ∧ ] {ω}) ({vQ } − [r ∧ ] {ω}) dV
2 V
2 V
Z
Z
1
1
T
T
T
=
ρ {vQ } {vQ } dV −
ρ {ω} [r ∧ ] {vQ } dV
2 V
2 V
Z
Z
1
1
T
T
T
ρ {vQ } [r ∧ ] {ω} dV +
ρ {ω} [r ∧ ] [r ∧ ] {ω} dV
(A.42)
−
2 V
2 V
Siccome la velocit`
a del punto di riferimento, o polo, Q, ovvero {vQ } e la velocit`
a angolare del corpo
rigido {ω} non dipendono dalla posizione all’interno del corpo, {r}, possono essere portati fuori dagli
integrali. La (A.42) diventa
Z
Z
1
1
T
T
T
T = {vQ }
ρdV {vQ } − {ω}
ρ [r ∧ ] dV {vQ }
2
2
| V {z }
| V
{z
}
m
1
T
− {vQ }
2
Z
|
V
[sQ ∧]T
ρ [r ∧ ] dV
{z
}
1
T
{ω} + {ω}
2
[sQ ∧]
Z
|
T
V
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV {ω} .
{z
}
(A.43)
[JQ ]
` agevole verificare come la massa m, il momento statico [sQ ∧ ] e il momento d’inerzia [JQ ] corrispondano
E
a quelli ottenuti nel paragrafo precedente. L’energia cinetica pu`
o essere scritta come
T T
1
{vQ }
{vQ }
m [I] [sQ ∧ ]
T =
.
(A.44)
{ω}
{ω}
[sQ ∧ ]
[JQ ]
2
Nel caso particolare in cui il punto Q coincida con il baricentro G del corpo, l’espressione (A.44)
dell’energia cinetica diventa
T =
1
1
T
T
m {vG } {vG } + {ω} [JG ] {ω} ,
2
2
(A.45)
A-9
ovvero il noto teorema di K¨
onig, ove la matrice dei momenti di inerzia [JG ] `e ora riferita al baricentro6 .
Energia cinetica nel formalismo di Lagrange
L’utilizzo dell’espressione (A.45) dell’energia cinetica nel formalismo di Lagrange richiede una certa
cautela, perch´e il momento d’inerzia [JG ] dipende dall’orientazione del corpo, e il legame tra questa e la
velocit`
a angolare {ω} non `e riducibile in modo semplice alla relazione tra le coordinate Lagrangiane {q}
e le loro derivate {q}.
˙
` tuttavia possibile dimostrare che, espressa la velocit`
E
a angolare del corpo nella forma
{ω} =
∂ {ω}
{q}
˙
∂ {q}
˙
(A.47)
in funzione della derivata rispetto al tempo delle coordinate Lagrangiane {q}, il contributo dell’energia
cinetica associata alla rotazione del corpo alle equazioni del moto generalizzate rispetto alle coordinate
{q} si ottiene nella forma
∂ {ω}
∂ {q}
˙
T
([ω ∧ ] [JG ] {ω} + [JG ] {ω})
˙ = {Q}{q} ,
(A.48)
ove {Q}{q} sono le forze generalizzate che compiono lavoro per una variazione virtuale delle coordinate
T
libere {q}, posto tale lavoro pari a δL = δ {q} {Q}{q} . Si noti bene che le {Q}{q} non sono necessariamente momenti in senso stretto, in quanto sono coniugate alle variazioni virtuali dei parametri di
rotazione δ {q}, e non a rotazioni virtuali.
Matrice d’inerzia nella scrittura di quantit`
a di moto e momento delle quantit`
a di moto
` inoltre possibile definire la quantit`a di moto e il momento delle quantit`a di moto come
E
{Q}
{ΓQ }
=
m [I]
[sQ ∧ ]
[sQ ∧ ]
[JQ ]
T
{vP }
{ω}
(A.49)
che, se riferiti al baricentro G del corpo, diventano
{Q} = m {vG }
{ΓG } = [JG ] {ω} .
(A.50a)
(A.50b)
La derivata rispetto al tempo delle (A.50) fornisce di nuovo le (A.40), ovvero le forze e le coppie di
inerzia relative al corpo rigido per un movimento riferito al baricentro. Quest’ultimo `e anche il polo a
cui `e riferito il momento.
Esercizio A.14 Si verifichi che la derivata delle (A.50) fornisce le (A.40).
6 La matrice di inerzia riferita al baricentro consente una ulteriore semplificazione. Si osservi come, in generale, data
una arbitraria velocit`
a angolare {ω}, il corrispondente momento delle quantit`
a di moto {ΓG } = [JG ] {ω} sia un vettore
non parallelo a {ω}, ovvero non `
e garantito che esista uno scalareγ tale
per cui {ΓG } = γ {ω}. Se si ipotizza che esistano
particolari valori di {ω}, detti {ω}, tali per cui il corrispondente ΓG risulta parallelo a {ω} attraverso un coefficiente di
proporzionalit`
a γ, si ottiene
γ {ω} = [JG ] {ω}
(A.46)
La (A.46) `
e un problema agli autovalori in forma canonica, tipo [A] {x} = λ {x}, la cui soluzione sono i tre valori di γ,
detti momenti principali d’inerzia, per cui esistono altrettante direzioni {u} = {ω} / k{ω}k, mutuamente ortogonali, che
definiscono l’orientazione del sistema di riferimento principale d’inerzia (gli assi principali d’inerzia) rispetto al sistema
di riferimento in cui `
e espressa la matrice [JG ]. Dal momento che la matrice [JG ] `
e simmetrica definita positiva, i suoi
autovalori, ovvero i momenti principali d’inerzia, sono reali e positivi.
A-10
A.2.6
Applicazione al caso piano
Applicando al caso piano quanto appena illustrato nel caso generale, occorre considerare solo le prime due
equazioni (equilibrio alla traslazione nelle direzioni x e y del piano) e l’ultima (equilibrio alla rotazione
attorno all’asse z), in funzione delle rispettive componenti del moto. Si definisca la matrice di massa


m
0
−m (yG − yQ )
0
m
m (xG − xQ ) 
(A.51)
[M ] = 
−m (yG − yQ ) m (xG − xQ )
JQ
con
m=
JQ =
Z
Z
ρdV
(A.52a)
V
V
x2 + y 2 dV
(A.52b)
per cui l’energia cinetica assume la forma


T

x˙ Q 
x˙ Q 


1
y˙ Q
y˙ Q
T =
,
[M ]



2
ωz
ωz
(A.53)
con x˙ Q e y˙ Q a indicare le componenti della velocit`
a del punto Q nelle direzioni x e y del piano e ωz a
indicare la velocit`
a di rotazione attorno all’asse z. L’energia cinetica riferita al baricentro `e
T =
1
1
2
+ JG ωz2 ,
m x˙ 2G + y˙ G
2
2
(A.54)
avendo indicato con x˙ G e y˙ G le componenti del vettore velocit`
a del baricentro del corpo rigido. Infine,
la forza e la coppia d’inerzia risultano:
 




¨Q   m (xG − xQ ) 
 x
 Fix 
y¨Q
Fiy
m (yG − yQ )
−
= − [M ]
ω2
(A.55)
 



 z
ω˙ z
CizQ
0
che, se riferite al baricentro, si



xG
 m¨
 Fix 
m¨
yG
Fiy
=−



JG ω˙ z
CizQ
A.3
riducono a


(A.56)

Fenomeni giroscopici
In assenza di forzanti e di dissipazioni, un corpo in rotazione idealmente tende a mantenere invariato il
suo momento delle quantit`a di moto. Si possono intuitivamente distinguere due tipi di variazione del
momento delle quantit`a di moto. Un tipo `e costituito da una variazione della sua entit`a. A questo tipo di
variazione si oppone l’inerzia, ad esempio, del volano di un motore quando viene accelerato. Questo tipo
di variazione richiede che sia compiuto un lavoro, perch´e ad una variazione del momento delle quantit`a
di moto corrisponde una variazione dell’energia cinetica del corpo.
Un altro tipo `e costituito da una variazione della direzione del momento delle quantit`a di moto, che
infatti `e un vettore. Quando si cerca di cambiare l’orientazione di un corpo in rotazione, questo genera
delle coppie, legate all’inerzia, ovvero alla tendenza a contrastare il cambiamento del suo stato di moto.
Una variazione di direzione del momento delle quantit`a di moto che non ne comporti una variazione di
entit`a pu`
o non richiedere che sia compiuto un lavoro, perch´e `e possibile che avvenga senza variazione di
energia cinetica.
Per studiare questo fenomeno, conviene scrivere le coppie d’inerzia che nascono quando l’orientazione
del corpo cambia con una velocit`
a angolare imposta.
A-11
A.3.1
Coppia d’inerzia in un sistema di riferimento relativo
Si consideri innanzitutto la (A.40b), ricordando che la matrice dei momenti d’inerzia [JG ] dipende dall’orientazione del corpo. Si supponga il corpo vincolato in modo che il proprio baricentro non si possa
spostare. Il moto rigido consentito dai vincoli `e costituito da una variazione arbitraria dell’orientazione
del corpo.
Inerzia indipendente dall’orientazione del corpo
In generale, `e possibile scegliere un sistema
di riferimento solidale con il corpo, nel quale la matrice dei
a angolare del corpo, espressa in un sistema di
momenti d’inerzia sia costante e pari a J G . La velocit`
riferimento inerziale, sia {ω}. La velocit`
a angolare pu`
o essere espressa nel sistema di riferimento solidale
con il corpo moltiplicandola per la trasposta della matrice di rotazione [R], che esprime l’orientazione
T
del corpo rispetto al sistema di riferimento inerziale, ovvero {ω} = [R] {ω}.
La (A.40b), proiettata nel sistema di riferimento del corpo moltiplicandola per la trasposta della
matrice di rotazione [R],
T
T
T
[R] {CiG } = − [R] [ω ∧ ] [R] J G {ω} − J G [R] {ω}
˙
(A.57)
fornisce le coppie d’inerzia nel sistema di riferimento del corpo.
` lecito domandarsi che cosa si ottenga derivando la velocit`
E
a angolare nel sistema di riferimento
solidale con il corpo, {ω}. Si derivi l’espressione {ω} = [R] {ω} rispetto al tempo. Si ottiene
(A.58)
{ω}
˙ = [ω ∧ ] [R] {ω} + [R] ω˙ .
Si noti come il primo termine a secondo membro possa essere ricondotto a [ω ∧ ] {ω} = {0}. Di
conseguenza, vale la relazione
T
ω˙ = [R] {ω}
˙ ,
(A.59)
secondo la quale la derivata della velocit`
a angolare nel sistema di riferimento solidale con il corpo consente
di ottenere l’accelerazione angolare nel medesimo sistema7 .
Ricordando inoltre la relazione (A.27),
h
i
T
T
(A.60)
[R] [ω ∧ ] [R] = [R] {ω} ∧ = [ω∧] ,
qui riscritta per comodit`
a, si ottiene
T
[R] {CiG } = − [ω∧] J G ω − J G ω˙ .
(A.61)
Velocit`
a angolare nel sistema solidale con il corpo
Le relazioni precedenti sono di relativamente facile uso e possono essere applicate in un qualsiasi sistema
di riferimento avendo naturalmente l’accortezza di esprimere tutte le quantit`a nello stesso sistema.
Si consideri ad esempio un corpo rigido messo in rotazione rispetto ad un suo asse z con velocit`
a
˙ detta velocit`
angolare Φ,
a di nutazione o di spin. Dal punto di vista fisico, si pu`
o immaginare il corpo
rotante rispetto ad una cassa, alla quale `e collegato mediante due perni lungo l’asse z comune a corpo e
cassa. La rotazione tra corpo e cassa `e data dalla matrice di rotazione


cos Φ − sin Φ 0
[R]corpo-cassa =  sin Φ cos Φ 0  .
(A.62)
0
0
1
noti bene che ω˙ `
e l’accelerazione angolare assoluta proiettata in un sistema di riferimento solidale con il corpo,
e la velocit`
a angolare assoluta proiettata in un sistema di riferimento solidale con il corpo; non sono in
cos`ı come {ω} `
nessun caso grandezze relative che, nell’ipotesi di corpo rigido, per definizione sarebbero necessariamente nulle.
7 Si
A-12
La velocit`
a angolare tra corpo e cassa, sia in un sistema di riferimento solidale con il corpo che in uno
solidale con la cassa, `e quindi


 0 
0
.
(A.63)
{ω}corpo-cassa =
 ˙ 
Φ
Si ipotizzi ora di applicare una rotazione alla cassa, e di conseguenza al corpo ad essa vincolato, rispetto
ad un asse fisso perpendicolare al precedente, ad esempio l’asse x,


1
0
0
(A.64)
[R]cassa-telaio =  0 cos Ψ − sin Ψ  ,
0 sin Ψ cos Ψ
˙ detta di precessione,
con velocit`
a Ψ,


˙ 
 Ψ
,
{ω}cassa-telaio =
0


0
(A.65)
ove con telaio si intende un sistema di riferimento inerziale8 .
La velocit`
a angolare del corpo nel sistema di riferimento inerziale `e data dalla velocit`
a tra corpo
e cassa, {ω}corpo-cassa , proiettata nel sistema di riferimento inerziale mediante la matrice di rotazione
[R]cassa-telaio , a cui si aggiunge la velocit`
a angolare tra cassa e telaio, {ω}cassa-telaio ,
{ω}corpo-telaio = [R]cassa-telaio {ω}cassa-telaio + [R]cassa-telaio [R]corpo-cassa {ω}corpo-cassa
|
{z
}
{z
}
|
{ω}cassa-telaio
{ω}corpo-cassa




˙
Ψ
˙
.
=
−Φ sin Ψ

 ˙
Φ cos Ψ
(A.66)
Viceversa, la velocit`
a angolare proiettata nel sistema di riferimento del corpo `e data dalla (A.66) premoltiplicata per la matrice di rotazione che porta dal sistema di riferimento inerziale al sistema di riferimento
del corpo,
T
T
T
T
{ω}corpo-telaio = [R]corpo-cassa [R]cassa-telaio {ω}corpo-telaio
T
= [R]corpo-cassa [R]cassa-telaio {ω}cassa-telaio + [R]corpo-cassa {ω}corpo-cassa
{z
} |
|
{z
}
{ω}cassa-telaio


˙ cos Φ 
 Ψ
˙ sin Φ
.
=
−Ψ


Φ˙
{ω}corpo-cassa
(A.67)
La derivata della velocit`
a angolare fornisce l’accelerazione angolare. Se quest’operazione viene applicata alla velocit`
a angolare nel sistema di riferimento inerziale, {ω}, si ottiene l’accelerazione angolare
˙ sia
nel sistema di riferimento inerziale, {ω}.
˙
Si supponga ora, per semplicit`
a, che anche la velocit`
aΨ
costante. Questo corrisponde a considerare una condizione di moto a regime. Nella realt`a ci`o non si ver¨ fosse limitata, il suo effetto sulle coppie
ificher`a se non in casi particolari; tuttavia, se l’accelerazione Ψ
d’inerzia potrebbe essere considerato alla stregua di un disturbo. Dalla derivazione della (A.67) si ricava


˙ Φ˙ sin Φ 
 −Ψ
˙ Φ˙ cos Φ
ω˙ corpo-telaio =
,
(A.68)
−Ψ


0
8 Si noti che la cosiddetta ‘messa a terra’ non corrisponde esattamente ad un sistema inerziale, in quanto la Terra `
e soggetta al proprio moto rotatorio, e al moto di rivoluzione attorno al Sole. Mentre quest’ultimo ha velocit`
a angolare decisamente
bassa rispetto alle applicazioni di interesse (2π radianti/anno), la velocit`
a di rotazione della Terra (2π radianti/giorno,
pari a circa 7.3 · 10−5 radianti/s) pu`
o non essere trascurabile in applicazioni che richiedano particolare precisione, tanto da
essere considerata nei sistemi di navigazione inerziale per uso aeronautico.
A-13
avendo supposto che la velocit`
a di rotazione Φ˙ sia mantenuta costante dai motori che mettono in rotazione
˙
il corpo, e che Ψ sia costante per la durata dell’analisi.
Coppia giroscopica nel sistema di riferimento solidale con il corpo
Dalla (A.61), nell’ipotesi che il sistema
solidale con il corpo sia anche principale d’inerzia e quindi la
matrice dei momenti d’inerzia J G sia diagonale,
JG
si ricava

I1
= 0
0
0
I2
0


0
0 ,
I3
(A.69)
˙ sin Φ
−Φ˙
−Ψ
T
˙ cos Φ
[R] {CiG } = − 
0
−Ψ
˙ sin Φ Ψ
˙ cos Φ
Ψ
0


˙
˙
I1 0 0
 −ΨΦ sin Φ
˙ Φ˙ cos Φ
−  0 I2 0 
−Ψ

0 0 I3
0
0
Φ˙

I1
 0
0


.

0
I2
0


˙ cos Φ 
0
 Ψ
˙ sin Φ
0 
−Ψ


I3
Φ˙
(A.70)
Sviluppando i prodotti matriciali e ricordando che per corpi cilindrici a base circolare per simmetria si ha
che I1 = I2 = I (momento d’inerzia rispetto ad un qualunque asse contenuto nel piano x–y), si ottiene


 I3 sin Φ 
T
˙ Φ.
˙
I3 cos Φ
[R] {CiG1 } =
Ψ
(A.71)


0
Si pu`
o avere una pi`
u immediata interpretazione fisica della coppia d’inerzia proiettandola sul sistema di
riferimento della cassa,


 0 
T
T
˙ Φ.
˙
I3
Ψ
(A.72)
[R]cassa-telaio {CiG } = [R]corpo-cassa [R] {CiG } =


0
La coppia che nasce `e detta coppia giroscopica. Si noti come la coppia sia proporzionale al prodotto
delle due velocit`
a angolari. Si noti anche che la coppia `e attorno all’asse y, mentre la velocit`
a angolare
con cui varia l’orientazione della cassa `e attorno all’asse x del sistema di riferimento solidale con la cassa
stessa. Ne consegue che la coppia giroscopica agisce con 90 gradi di sfasamento rispetto al movimento di
precessione.
Applicazioni della coppia giroscopica
Questa coppia `e sfruttata in numerose applicazioni, quali ad esempio alcuni strumenti di misura di
velocit`
a o di posizione angolari, e le piattaforme inerziali.
˙ di precessione, `e possibile variare l’intensit`
Si noti anche come, controllando la velocit`
a Ψ
a della
coppia giroscopica permettendo l’applicazione di una coppia di controllo, anche di elevata entit`a, perpen˙ Φ.
˙ Tale principio `e utilizzato nei cosiddetti giroscopi per momenti di controllo
dicolarmente al piano Ψ–
(Control Moment Gyros, CMG), utilizzati per il controllo dell’assetto dei satelliti (figura (A.3).
Tale coppia pu`
o essere inoltre fonte di perturbazioni e sollecitazioni strutturali significative. Un
fenomeno giroscopico di esperienza comune `e legato alla guida di biciclette e motocicli (figura A.4).
Questi veicoli, in velocit`
a, devono essere inclinati attorno all’asse di rollio per consentirne la conduzione
lungo una traiettoria circolare, per far s`ı che la combinazione di forza centrifuga e peso, applicata nel
baricentro, passi per la linea di contatto tra le ruote e il terreno. Il passaggio dalla posizione verticale a
quella inclinata richiede di cambiare l’orientazione dell’asse di rotazione delle ruote, che si comportano
come veri e propri giroscopi.
A-14
Figura A.3: Un Control Moment Gyro (CMG) della ECP: a sinistra il sistema reale, a destra il modello
fisico.
Figura A.4: Effetto della coppia giroscopica sulla forcella anteriore di una motocicletta (Prof.
Cossalter).
A-15
V.
Durante il transitorio con cui il veicolo viene inclinato, nascono coppie giroscopiche che tendono a
ruotare le ruote attorno ad un asse verticale. Inoltre, durante la percorrenza di una curva di piccolo
raggio ad alta velocit`
a, nasce una coppia giroscopica diretta come l’asse di rollio del veicolo.
Si pensi infine alla coppia associata al moto di un’elica e di un motore che tende a imbardare in
richiamata e a picchiare o cabrare in virata. Tale coppia provoca significative sollecitazioni al castello
motore. Nel caso di velivoli con un numero pari di motori, essi vengono fatti ruotare contro-rotanti a
coppie, equilibrando cos`ı tali effetti sul volo, lasciando inalterato lo stato di sollecitazione sui castelli
motore.
Esercizio A.15 Si dimostri la (A.60). (Suggerimento: si consideri la rotazione del prodotto di due
vettori generici.)
Esercizio A.16 Si verifichi la (A.72) utilizzando la (A.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica in
un sistema di riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema di riferimento solidale con la cassa.
Esercizio A.17 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore di un velivolo monomotore ad elica durante una richiamata a velocit`
a di beccheggio costante. Come `e possibile compensare questa
coppia in volo?
Esercizio A.18 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore di un velivolo monomotore ad elica durante una virata corretta, ad angolo di rollio ( bank) costante. Come `e possibile compensare
questa coppia in volo?
Esercizio A.19 I motori a getto risentono delle coppie giroscopiche? Il loro moto ne risente? Nel caso,
quali parti del motore ne sono influenzate?
A.3.2
Misura della velocit`
a di rotazione: il giroscopio
Nel paragrafo precedente si sono valutate le coppie d’inerzia che nascono quando viene cambiata l’orientazione di un corpo in rotazione. Tali coppie, espresse ad esempio dalla (A.72) in un sistema di riferimento
˙ e che a
solidale con quella che era stata chiamata cassa, che ruota con velocit`
a angolare di precessione Ψ,
˙ sono proporzionali ad entrambe
sua volta contiene il corpo in rotazione con velocit`
a angolare di spin Φ,
le velocit`
a angolari. Se il corpo viene mantenuto in rotazione a velocit`
a di spin Φ˙ costante, e quest’ultima
˙
`e nota, allora una misura della coppia consente di misurare la velocit`
a di precessione Ψ.
Nel caso di un giroscopio applicato ad un velivolo (o ad un qualsiasi veicolo, terrestre o navale o
spaziale), la cassa `e rappresentata dal velivolo stesso, a cui il giroscopio `e rigidamente collegato.
Misura della deformazione di una molla
Una misura di coppia si pu`
o ottenere indirettamente consentendo alla coppia di deformare la struttura
a cui `e collegata, e misurando la deformazione che ne consegue. Come si `e visto, per una velocit`
a di
precessione attorno ad un asse ortogonale a quello di spin si ottiene una coppia attorno ad un asse
ortogonale sia a quello di spin che a quello di precessione.
Si immagini quindi di consentire la rotazione del corpo rotante rispetto alla cassa anche attorno ad
un asse ortogonale sia a quello di spin che a quello di precessione, mediante l’introduzione di un supporto
mobile. Il supporto mobile porta i perni di collegamento con il corpo rotante, consentendone cos`ı la
rotazione attorno all’asse di spin. Il supporto mobile, a sua volta, `e collegato alla cassa mediante perni
che ne consentono la rotazione ϑ rispetto alla cassa attorno ad un asse perpendicolare agli altri due. Tale
rotazione sar`
a consentita, ma contrastata da un sistema di molle che consenta di limitarla per coppie
legate alla combinazione di velocit`
a di spin e di precessione a cui l’intero sistema pu`
o essere soggetto9 .
Per semplicit`
a si consideri una condizione stazionaria, in cui la rotazione attorno a questo asse, ϑ, sia
gi`
a avvenuta e si mantenga costante, come illustrato nella figura A.5. Non ci interessa quindi la velocit`
a
con cui tale movimento avviene, ma solo l’effetto che la sua presenza ha sulla coppia di natura giroscopica
9 Le molle devono essere abbastanza cedevoli da consentire una rotazione misurabile a seguito delle coppie centrifughe
relative alle velocit`
a che si intende misurare (sensibilit`
a dello strumento), ma sufficientemente rigide da mantenere la
rotazione limitata per le coppie centrifughe relative alla massima velocit`
a angolare che si intende misurare (fondo scala).
A-16
Figura A.5: Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi.
espressa dalla (A.72). Alla luce di quanto verr`
a formalizzato nel Capitolo 14.6, questo corrisponde a
supporre che la rotazione ϑ si adegui molto rapidamente alla coppia giroscopica, tanto da far ritenere
accettabile una approssimazione stazionaria del comportamento dello strumento.
L’orientazione tra corpo e cassa diventa ora



cos Φ − sin Φ 0
cos ϑ 0 sin ϑ
0
1
0   sin Φ cos Φ 0 ,
(A.73)
[R]corpo-cassa = 
0
0
1
− sin ϑ 0 cos ϑ
{z
}|
{z
}
|
rotazione della cassa
rotazione di spin
mentre l’orientazione della cassa rimane quella indicata dalla (A.64). Quindi la velocit`
a angolare dello
spinner, nel sistema di riferimento solidale con il corpo, `e


˙ cos Φ cos ϑ 
 Ψ
˙ sin Φ cos ϑ
.
(A.74)
{ω}corpo-telaio =
−Ψ

 ˙
Ψ sin ϑ + Φ˙
La sua derivata fornisce l’accelerazione angolare nel sistema di riferimento solidale con il corpo,


˙Ψ
˙ sin Φ cos ϑ 
−
Φ

˙ cos Φ cos ϑ
.
(A.75)
ω˙ corpo-telaio =
−Φ˙ Ψ


0
La coppia d’inerzia che ne risulta `e

I1 0 0
T
[R] {CiG } = −  0 I2 0
0 0 I3

˙ sin ϑ + Φ˙
0
− Ψ
 −
˙ sin ϑ + Φ˙
0
 Ψ
˙
˙
Ψ sin Φ cos ϑ
Ψ cos Φ cos ϑ


˙ sin Φ cos ϑ 
 −Φ˙ Ψ

˙ cos Φ cos ϑ
−Φ˙ Ψ


0

˙ sin Φ cos ϑ 
−Ψ
 I1 0

˙
−Ψ cos Φ cos ϑ   0 I2
0 0
0


˙ cos Φ cos ϑ 
0
 Ψ
˙ sin Φ cos ϑ
0 
−Ψ

 ˙
I3
Ψ sin ϑ + Φ˙
Sviluppando i prodotti matriciali e ponendo i momenti I1 = I2 = I per simmetria, si ottiene:


 sin Φ  T
˙ + (I3 − I) Ψ
˙ 2 sin ϑ cos ϑ.
cos Φ
I3 Φ˙ Ψ
[R] {CiG } =


0
A-17
(A.76)
(A.77)
Se si proietta la coppia nel sistema di riferimento solidale con la cassa, usando la (A.73), si ottiene


 0 
T
T
˙ + (I3 − I) Ψ
˙ 2 sin ϑ cos ϑ. (A.78)
1
I3 Φ˙ Ψ
[R]cassa-telaio {CiG } = [R]corpo-cassa [R] {CiG } =


0
Confrontando la (A.78) con la (A.72) si pu`
o notare come la presenza di un angolo ϑ perturbi la coppia
giroscopica della (A.72) di un termine che `e quadratico nella velocit`
a di precessione.
Esercizio A.20 Si verifichi la (A.78) utilizzando la (A.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica in
un sistema di riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema di riferimento solidale con la cassa.
Equazione del moto del giroscopio
Il giroscopio si ottiene aggiungendo al sistema una molla di rigidezza K, tale da dare una coppia elastica
` lecito attendersi che sia presente
proporzionale alla rotazione ϑ che si opponga alla coppia giroscopica. E
anche una certa dissipazione, descritta mediante un elemento viscoso di caratteristica C, utile a smorzare
le oscillazioni della rotazione ϑ. Non `e detto che la molla e lo smorzatore siano lineari; questa ipotesi viene
` evidente che una loro eventuale non-linearit`a complica l’equazione del
fatta per semplicit`
a espositiva. E
moto, e di conseguenza la taratura dello strumento. Infine, l’inerzia della parte mobile quando soggetta
ad una accelerazione angolare ϑ¨ `e prossima10 a I, l’inerzia dello spinner attorno ad un asse perpendicolare
a quello di spin.
L’equazione di equilibrio alla rotazione dello spinner attorno all’asse che consente la rotazione ϑ `e
˙ + (I3 − I) Ψ
˙ 2 sin ϑ cos ϑ.
I ϑ¨ + C ϑ˙ + Kϑ = I3 Φ˙ Ψ
(A.79)
Se si suppone che l’angolo ϑ rimanga limitato (kϑk ≪ 1), allora `e lecito considerare l’approssimazione
cos ϑ ∼
= ϑ. La (A.79) diventa
= 1, sin ϑ ∼
˙
˙ 2 ϑ = I3 Φ˙ Ψ.
(A.80)
I ϑ¨ + C ϑ˙ + K − (I3 − I) Ψ
In condizioni stazionarie, e quindi per ϑ˙ = 0, ϑ¨ = 0, la misura `e data da
ϑ=
˙
I3 Φ˙ Ψ
.
˙2
K − (I3 − I) Ψ
(A.81)
˙
La sensibilit`
a della misura `e data dalla relazione ∂ϑ/∂ Ψ,
!
˙2
∂ϑ
2 (I3 − I) Ψ
I3 Φ˙
1+
.
=
˙
˙2
˙2
∂Ψ
K − (I3 − I) Ψ
K − (I3 − I) Ψ
(A.82)
˙ della cassa sostenuta e non piccola, la misura dell’angolo
Si noti come, per una velocit`
a di rotazione Ψ
ϑ possa risultare falsata. Questo errore, intrinseco nella natura inerziale della relazione tra le coppie
centrifughe che deformano la molla, e la velocit`
a angolare che si desidera misurare, si aggiungono agli
inevitabili altri errori di misura.
Note sulla misura delle variazioni di assetto
La misura di velocit`
a angolare che si ricava da un giroscopio pu`
o essere utilizzata per valutare le variazioni
di assetto di un veicolo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
L’assetto del veicolo viene ricostruito a partire dalla misura di velocit`
a angolare in un sistema di riferimento solidale con il veicolo (la cassa nella trattazione precedente). Quindi la ricostruzione dell’assetto
del veicolo richiede l’integrazione della misura di velocit`
a angolare.
10
Ad essa occorre aggiungere l’inerzia della struttura necessaria a vincolare lo spinner alla cassa, qui supposta trascurabile.
A-18
Ω
xG
β
f
Figura A.6: Modello semplificato di pala di elicottero.
Questa operazione `e soggetta ad errori di vario tipo, sia istantanei che nel tempo. Ad esempio,
un’errata inizializzazione del calcolo pu`
o portare ad un errore sistematico sull’assetto. Inoltre, un errore
sistematico sulla misura pu`
o portare al fenomeno cosiddetto della deriva (drift in inglese), ovvero ad un
errore sull’assetto che cresce almeno linearmente nel tempo.
Per questo motivo, di solito misure di questo tipo, ricostruite mediante integrazione numerica,
richiedono la correzione periodica della deriva mediante altre misure indipendenti, con cui compensare gli errori. Per una trattazione pi`
u approfondita di questi problemi si rimanda il lettore a testi di
navigazione.
A.4
Esercizio: pala rigida di elicottero nel vuoto
Si consideri un modello estremamente semplificato di pala di elicottero, illustrato in Figura A.6. Esso `e
costituito da un corpo aerodinamico assimilabile ad un’ala di grande allungamento, collegata ad un mozzo
rotante attorno all’asse ~k a velocit`
a angolare costante Ω mediante una cerniera, nota come cerniera di
flappeggio (flap hinge), perpendicolare sia all’asse di rotazione che all’asse della pala stessa. La velocit`
a
angolare Ω `e mantenuta costante in prima approssimazione da un sistema di controllo dell’alimentazione
dei motori detto FADEC (Full Authority Digital Engine Control).
La presenza di una cerniera di flappeggio `e tipica dei rotori cosiddetti articolati. Esistono altri tipi
di rotori, detti hingeless, nei quali il moto di flappeggio delle pale, fondamentale per l’aeromeccanica dei
rotori, `e consentito dalla deformazione elastica della zona di radice della pala stessa, o del suo supporto.
Questo consente di ridurre il numero di parti che costituiscono il mozzo e di eliminare o drasticamente
ridurre le esigenze di lubrificazione associate a cerniere convenzionali.
Di solito, la connessione con il mozzo delle pale di rotori articolati con pi`
u di due pale presenta anche
una cerniera di ritardo (lead-lag hinge), il cui asse `e perpendicolare a quello della pala e a quello della
cerniera di flappeggio. Anche la funzione di quest’ultima cerniera, nei rotori hingeless, `e svolta dalla
deformazione elastica della zona di radice della pala, o del suo supporto.
Infine, le pale presentano di solito un cuscinetto di passo (pitch bearing) che consente di variare il
passo, e quindi l’incidenza, della pala. In particolari tipi di rotori, detti bearingless, la rotazione che
consente la variazione di passo della pala `e ottenuta mediante deformazione della zona di radice della
pala.
Per semplicit`
a, la cerniera di ritardo e il cuscinetto di variazione passo non sono considerati nel seguito
di questo esercizio.
L’analisi della dinamica del moto di flappeggio della pala richiede la definizione di alcuni sistemi di
riferimento, illustrati in Figura A.7.
Soluzione mediante equilibri dinamici. Il sistema di riferimento solidale con l’albero, e quindi
rotante rispetto ad un sistema solidale con l’elicottero a velocit`
a angolare Ω, `e descritto dalla matrice di
A-19
albero
z
y
ψ
x
pala
z
y
−β
z
x
x
y
elicottero
Figura A.7: Sistemi di riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine dell’elicottero tratta da
http://www.midisegni.it/disegni/vari/elicottero.gif).
rotazione
[R]a→e

cos ψ
=  sin ψ
0
− sin ψ
cos ψ
0

0
0 ,
1
(A.83)
ove ψ = Ωt definisce la posizione azimutale della pala in funzione del tempo. La sua derivata rispetto al
tempo, ricordando la (A.24), d`a11
 
 


 0 
 0 
˙

0
0
∧  [R]a→e = [R]a→e 
(A.84)
∧ .
[R]
a→e =




Ω
Ω
La posizione della cerniera, in un sistema di riferimento rotante con il mozzo, `e


 f 
0
{x}f =
,


0
(A.85)
ove f `e il cosiddetto offset della cerniera di flappeggio. Questo parametro `e molto importante nei rotori
articolati, come si vedr`a nel seguito. La posizione del baricentro della pala, nel sistema di riferimento
solidale con la pala che ha origine nella cerniera di flappeggio, `e


 xG 
0
{xG } =
.
(A.86)


0
Il movimento di flappeggio della pala rispetto al mozzo avviene attraverso la cerniera di flappeggio.
L’angolo di cui la pala ruota `e detto angolo di flappeggio, β, ed `e positivo quando la pala “sale” (si
noti che, considerando la regola della mano destra, se l’asse della pala a flappeggio nullo `e ~i e quello
di rotazione del rotore `e ~k, la rotazione β cos`ı definita corrisponde ad una rotazione negativa attorno
all’asse ~j).
La rotazione della pala `e descritta dalla matrice


cos(−β) 0 sin(−β)
.
0
1
0
[R]f→a = 
(A.87)
− sin(−β) 0 cos(−β)
11 Si ricordi che [R]
˙ = [ω ∧ ][R] = [R][ω ∧ ], con {ω} = [R]T {ω}; nel caso in esame, {ω} = {ω} perch´
e la rotazione avviene
attorno ad un asse fissato.
A-20
La sua derivata rispetto al tempo d`a12
 
 


 0 
 0 
˙
 −β˙
[R]
∧  [R]f→a = [R]f→a  −β˙
∧ .
f→a =




0
0
La velocit`
a angolare della pala, nel sistema di riferimento inerziale, `e




 0 
 0 
0
.
+ [R]a→e
{ω} =
−β˙




Ω
0
Nel sistema di riferimento solidale con l’albero questa velocit`
a angolare diventa

 
 
 
 

 0   0   0   0   0 
T
T
0
0
.
=
+
=
+
[R]a→e {ω} = [R]a→e
−β˙
−β˙
−β˙

 
 
 
 

Ω
Ω
Ω
0
0
(A.88)
(A.89)
(A.90)
La derivata rispetto al tempo della (A.89) d`a






 
 

 0 
 0 
 Ωβ˙ 
 0 
 0 
0
0
,
+ [R]a→e
= [R]a→e
∧  [R]a→e
+
{ω}
˙ =
−β˙
−β¨
−β¨


 ˙ 




 ˙ 
Ω
Ω
0
0
Ω
da cui, siccome per ipotesi

 Ωβ˙
T
[R]a→e {ω}
˙ =
−β¨

0
Ω `e costante,


.

(A.91)
(A.92)
La scrittura delle equazioni del moto attraverso la velocit`
a e l’accelerazione angolare nel sistema
di riferimento solidale con l’albero richiede la scrittura della matrice di inerzia in tale riferimento.
Nell’ipotesi che tale matrice, in un sistema di riferimento solidale con la pala, sia


0
0
J pG
0 ,
J fG
(A.93)
JG =  0
0
0
J lG
con JpG ≪ JfG < JlG ∼
= JfG + JpG , la sua espressione nel sistema di riferimento solidale con l’albero `e
T
[JG ] = [R]f→a J G [R]f→a

cos2 (−β)JpG + sin2 (−β)JlG
0
=
− cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG )
0
J fG
0

− cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG )

0
.
2
2
sin (−β)JpG + cos (−β)JlG
(A.94)
La coppia d’inerzia rispetto al baricentro, nel sistema di riferimento solidale con l’albero, `e quindi




 

 0 
 0 
 0 
− [JG ]
∧  [JG ]
{CiG } = −  −β˙
−β¨
−β˙






0
Ω
Ω


2
 JfG + cos2 (−β) − sin (−β) (JpG − JlG ) Ωβ˙ 
(A.95)
=−
− cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG ) Ω2 − JfG β¨


−2 cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG ) Ωβ˙
12 Si
veda la nota 11.
A-21
La posizione, la velocit`
a e l’accelerazione angolare del baricentro della pala, nel sistema di riferimento
assoluto, sono
{xG } = [R]a→e ({x}f + [R]f→a {xG })


 f + xG cos (−β) 
0
= [R]a→e
(A.96a)


−xG sin (−β)
 
 



 0 
 0 
0
∧  {xG }
{x˙ G } = [R]a→e 
∧  ({x}f + [R]f→a {xG }) + [R]f→a  −β˙




Ω
0


sin (−β) xG β˙


(f + xG cos (−β)) Ω
(A.96b)
= [R]a→e


˙
cos (−β) xG β
 
  

 0 
 0 
0
0
∧  ({x}f + [R]f→a {xG })
∧ 
{¨
xG } = [R]a→e 




Ω
Ω
 
 



 0 
 0 
0
+ 2
∧  [R]f→a  −β˙
∧  {xG }




Ω
0
 
  
 



 0 
 0 
 0 
∧  {xG } +  −β¨
∧   −β˙
+ [R]f→a  −β˙
∧  {xG }






0
0
0


2
2
˙
¨
 − (f + xG cos (−β)) Ω − cos (−β) xG β + sin (−β) xG β 
(A.96c)
= [R]a→e
2 sin (−β) xG Ωβ˙


2
˙
¨
sin (−β) xG β + cos (−β) xG β
T
La loro proiezione nel sistema di riferimento solidale con l’albero, mediante premoltiplicazione per [R]a→e ,
consiste nel rimuovere la matrice [R]a→e .
La forza d’inerzia nel sistema di riferimento solidale con l’albero `e
 


0

 −Ω2 (f + cos(−β)xG )  
T
T
0
+
[R]a→e {Fi } = −m [R]a→e {¨
xG } = −m 
2Ωβ˙ sin(−β)xG
 


0
0

 

¨ G 
 −β˙ 2 cos(−β)xG   sin(−β)βx

0
0
+
(A.97)
+
 ˙2
 
¨ G 
cos(−β)βx
β sin(−β)xG
Il momento della forza d’inerzia rispetto al punto in cui `e collocata la cerniera
sistema di riferimento solidale con l’albero, `e

2 sin2 (−β)x2G Ωβ˙

T
2
([R]f→a {xG }) ∧ [R]a→e {Fi } = −m
Ω sin(−β)xG (f + cos(−β)xG ) − x2G β¨

2 sin(−β) cos(−β)x2G Ωβ˙
di flappeggio, nel



Quindi il momento di tutte le forze, ovvero delle sole inerzie e delle reazioni vincolari Cp e
al punto in cui `e collocata la cerniera di flappeggio, `e
 

JfG + cos2 (−β) − sin2 (−β) (JpG − JlG ) + 2sin2 (−β)mx2G Ωβ˙   Cp

0
=
− sin(−β) cos(−β) JpG − JlG − mx2G − mxG f Ω2− JfG + mx2G β¨
 

2
˙
C
−2 cos(−β) sin(−β) JpG − JlG − mxG Ωβ
l
(A.98)
Cl , rispetto



(A.99)
La coppia si annulla ∀t per β = 0, β˙ = 0, β¨ = 0, che quindi rappresenta una soluzione di equilibrio
statico. Se si considerano piccole oscillazioni attorno a tale soluzione, si possono approssimare sin(−β) ∼
=
A-22
−β e cos(−β) ∼
= 1. Si ottiene quindi


 
 JfG − β 2 JpG − 2mx2G − JlG Ωβ˙   Cp 
∼
0
,
−β (JlF − JpG + mxG f ) Ω2 − JfF β¨
=




2
Cl
β JpG − JlG − 2mxG Ωβ˙
(A.100)
ove con JlF = JlG + mx2G e JfF = JfG + mx2G si sono rispettivamente indicati i momenti d’inerzia di
ritardo e di flappeggio rispetto al punto in cui `e collocata la cerniera di flappeggio.
La seconda equazione, che rappresenta l’equilibrio della pala alla rotazione attorno all’asse di flappeggio, `e analoga all’equazione di un oscillatore armonico non smorzato, la cui inerzia sia pari all’inerzia di
flappeggio della pala attorno all’asse di flappeggio, JfF , e la cui rigidezza sia pari a (JlF − JpG + mxG f ) Ω2 .
Siccome JlF ∼
= JfF + JpG , la rigidezza `e essenzialmente proporzionale a (1 + mxG f /JfF ) JfF Ω2 . Se la
pala avesse densit`a uniforme lungo l’apertura, pari a m/R, e spessore trascurabile, il baricentro sarebbe
a xG = R/2, e il momento d’inerzia rispetto alla cerniera di flappeggio sarebbe JfF = mR2 /3, quindi
la rigidezza sarebbe pari a (1 + 3/2f /R) JfF Ω2 . Questa espressione mette in luce l’effetto di incremento
che in prima approssimazione l’offset f della cerniera di flappeggio ha sulla rigidezza dovuta alla forza
centrifuga.
Soluzione mediante equazioni di Lagrange. Si consideri l’energia cinetica associata alla pala. Siccome l’energia cinetica `e un invariante scalare, la sua scrittura non dipende dal sistema di riferimento
in cui sono espresse le velocit`
a e le caratteristiche inerziali del sistema, purch´e si usino grandezze coerenti. Si sceglie quindi di scrivere sia la velocit`
a del baricentro (equazione (A.96b)) che la velocit`
a
angolare (equazione (A.90)) e le caratteristiche di inerzia baricentriche (equazione (A.94)) nel sistema di
riferimento solidale con l’albero.
L’energia cinetica della pala `e
Ec =
1
1
T
T
m {x˙ G } {x˙ G } + {ω} [JG ] {ω}
2
2
La velocit`
a del baricentro della pala

sin(−β)xG β˙

(f + cos(−β)xG ) Ω
{x˙ G } =

cos(−β)xG β˙
(A.101)
`e


(A.102)

L’energia cinetica della pala diventa quindi
1 2
Ec = m x2G β˙ 2 + (f + cos(−β)xG ) Ω2
2
1
JfG β˙ 2 + sin2 (−β)JpG + cos2 (−β)JlG Ω2
+
2
(A.103)
L’applicazione del formalismo di Lagrange richiede di calcolare
∂Ec
= mx2G β˙ + JfG β˙
∂ β˙
d ∂Ec
= mx2G + JfG β¨
˙
dt ∂ β
∂Ec
= − sin(−β) cos(−β) JpG − JlG − mx2G − mxG f Ω2 .
∂β
L’equazione del moto della pala che ne risulta,
mx2G + JfG β¨ − sin(−β) cos(−β) JlG − JpG + mx2G + mxG f Ω2 = 0,
(A.104a)
(A.104b)
(A.104c)
(A.105)
`e quindi identica alla seconda riga della (A.99).
Esercizio A.21 Nell’ipotesi che l’angolo di flappeggio β sia piccolo, e quindi valga l’approssimazione
cos(−β) = 1, sin(−β) = −β, qual’`e la frequenza della coppia scaricata sui supporti?
A-23
z0 , z1
z2
G
Ω
O
y1 , y2
x0
ϕ
ϑ
y0
x1
x2
Figura A.8: Descrizione dell’orientazione della trottola.
A.5
Esercizio: trottola
Questo problema `e costituito da una “trottola”, ovvero da un corpo con simmetria di rotazione che ruoti
con velocit`
a elevata attorno al proprio asse di simmetria e sia vincolato a terra in un punto O, distinto
dal baricentro G e posto lungo l’asse di simmetria ad una distanza L, da una cerniera sferica, ovvero da
un vincolo che impedisce lo spostamento del punto senza impedire in alcun modo le rotazioni.
Quando l’asse di simmetria `e inclinato rispetto alla verticale il peso esercita una coppia rispetto al
polo O; questa pu`
o essere bilanciata da una coppia giroscopica se il corpo, oltre a ruotare attorno all’asse
di spin, ruota anche rispetto ad un asse verticale con velocit`
a angolare opportuna.
In questo esercizio si cerca di trovare una condizione di moto stazionario, in cui la velocit`
a di spin,
l’angolo di nutazione e la velocit`
a di precessione siano costanti. Per fare questo si scrivono le equazioni
del moto del corpo, si impongono le condizioni di stazionariet`
a sopra enunciate, e si verifica se `e possibile
trovarne valori di angoli e velocit`
a angolari che garantiscano il soddisfacimento delle equazioni.
Descrizione del movimento. Si consideri un corpo con simmetria di rotazione, che abbia matrice
d’inerzia rispetto al baricentro

Ix
J = 0
0
0
Ix
0

0
0 .
Iz
(A.106)
L’orientazione del corpo, come illustrato in figura A.8, `e definita dalla sequenza di rotazioni:
• angolo di precessione, ϕ, che consiste in una rotazione attorno all’asse z del sistema di riferimento
fisso,

cos ϕ
[Rϕ ] =  sin ϕ
0
− sin ϕ
cos ϕ
0

0
0 ,
1
(A.107)
che porta dal sistema x1 y1 z1 al sistema fisso x0 y0 z0 ;
A-24
• angolo di nutazione, ϑ, corrispondente ad una rotazione attorno all’asse y del sistema di riferimento
che segue il moto di precessione,


cos ϑ 0 sin ϑ
0
1
0 ,
[Rϑ ] = 
(A.108)
− sin ϑ 0 cos ϑ
che porta dal sistema x2 y2 z2 al sistema x1 y1 z1 ;
• angolo di spin, ψ, corrispondente ad una rotazione del corpo attorno all’asse di simmetria, ovvero
all’asse z del sistema di riferimento che segue il moto di nutazione,


cos ψ − sin ψ 0
cos ψ 0  ,
[Rψ ] =  sin ψ
(A.109)
0
0
1
che porta dal sistema solidale con il corpo al sistema x2 y2 z2 .
La posizione del baricentro `e lungo l’asse z2 del sistema definito da [Rϑ ], ad una distanza L dal punto
fisso O.
Equazioni del moto mediante il formalismo di Lagrange di IIo tipo. La scrittura delle equazioni
di Lagrange di IIo tipo richiede la lagrangiana, che a sua volta richiede energia cinetica e potenziale. La
loro scrittura richiede
Il sistema di riferimento pi`
u opportuno per scrivere le equazioni del moto `e quello di nutazione, al
quale si arriva a partire dal sistema di riferimento globale mediante la rotazione [Rϑ ]T [Rϕ ]T .
La velocit`
a angolare del corpo nel sistema di riferimento assoluto si ricava dalla relazione
h i
T
[ω ∧ ] = R˙ [R] ,
(A.110)
con [R] = [Rϕ ][Rϑ ][Rψ ], ovvero
h i
h i
h i
T
T
T
T
T
T
[ω ∧ ] = R˙ ϕ [Rϕ ] + [Rϕ ] R˙ ϑ [Rϑ ] [Rϕ ] + [Rϕ ] [Rϑ ] R˙ ψ [Rψ ] [Rϑ ] [Rϕ ]
T
T
T
= [ωϕ ∧ ] + [Rϕ ] [ωϑ ∧ ] [Rϕ ] + [Rϕ ] [Rϑ ] [ωψ ∧ ] [Rϑ ] [Rϕ ] ,
(A.111)
con


 0 
0
{ωϕ } =


ϕ˙
La velocit`
a angolare corrispondente `e


 0 
{ωϑ } =
ϑ˙


0


 0 
0
{ωψ } =
.


Ω
{ω} = {ωϕ } + [Rϕ ] {ωϑ } + [Rϕ ] [Rϑ ] {ωψ } .
(A.112)
(A.113)
La si proietti nel sistema di riferimento di nutazione mediante la rotazione [Rϑ ]T [Rϕ ]T ; siccome le
T
T
rotazioni sono tutte attorno ad assi fissi, si ha [Rϕ ] {ωϕ } = {ωϕ } e [Rϑ ] {ωϑ } = {ωϑ }, per cui


 −ϕ˙ sin ϑ 
T
T
T
.
(A.114)
[Rϑ ] [Rϕ ] {ω} = {ω} = [Rϑ ] {ωϕ } + {ωϑ } + {ωψ } =
ϑ˙


ϕ˙ cos ϑ + Ω
La posizione del baricentro rispetto al polo O, nel sistema di riferimento di nutazione13 , `e


 0 
0
{x}ϑ =
.


L
13 La
posizione del baricentro non dipende dalla rotazione [Rψ ], dal momento che [Rψ ]{x}ϑ = {x}ϑ .
A-25
(A.115)
Nel sistema di riferimento assoluto, la posizione `e
{x} = [Rϕ ] [Rϑ ] {x}ϑ .
(A.116)
La velocit`
a del baricentro, considerando il vincolo, `e
{x}
˙ = [ωϕ ∧ ] [Rϕ ] [Rϑ ] {x}ϑ + [Rϕ ] [ωϑ ∧ ] [Rϑ ] {x}ϑ .
(A.117)
La sua proiezione nel sistema di riferimento di nutazione `e
T
T
T
[Rϑ ] [Rϕ ] {x}
˙ = {v} = [Rϑ ] [ωϕ ∧ ] [Rϑ ] {x}ϑ + [ωϑ ∧ ] {x}ϑ


˙
ϑL


h
i
T
= [Rϑ ] {ωϕ } + {ωϑ } ∧ {x}ϑ =
.
sin ϑϕL
˙


0
(A.118)
Si considerino le equazioni di Lagrange di secondo tipo; l’energia cinetica `e
1
1
T
T m {v} {v} + {ω} J {ω}
2
2
1
2
2 ˙2
mL ϑ + mL2 sin2 ϑϕ˙ 2 + Ix sin2 ϑϕ˙ 2 + Ix ϑ˙ 2 + Iz (ϕ˙ cos ϑ + Ω)
=
2
1 ∗ 2 2
2
Ix sin ϑϕ˙ + Ix∗ ϑ˙ 2 + Iz (ϕ˙ cos ϑ + Ω) ,
=
2
T =
(A.119)
con Ix∗ = Ix + mL2 , ovvero il momento d’inerzia attorno all’asse x2 valutato rispetto al polo O. L’energia
potenziale `e
V = mgzG = mgL cos ϑ.
(A.120)
Il problema ha 3 gradi di libert`
a; a partire dalla lagrangiana L = T − V , dato che non ci sono
sollecitazioni esterne, `e possibile scrivere le equazioni del moto associate ad ognuno di essi:
˙ si ottiene
• si consideri ψ, ricordando che si `e posto Ω = ψ;
∂L
= Iz (ϕ˙ cos ϑ + Ω)
∂ ψ˙
d ∂L
= Iz ϕ¨ cos ϑ − ϕ˙ ϑ˙ sin ϑ + Ω˙
dt ∂ ψ˙
∂L
=0
∂ψ
da cui l’equazione del moto
Iz ϕ¨ cos ϑ − ϕ˙ ϑ˙ sin ϑ + Ω˙ = 0;
(A.121a)
(A.121b)
(A.121c)
(A.122)
• si consideri ora ϑ; si ottiene
∂L
= Ix∗ ϑ˙
˙
∂
ϑ
d ∂L
= Ix∗ ϑ¨
dt ∂ ϑ˙
∂L
= Ix∗ sin ϑ cos ϑϕ˙ 2 − Iz (ϕ˙ cos ϑ + Ω) ϕ˙ sin ϑ + mgL sin ϑ
∂ϑ
(A.123a)
(A.123b)
(A.123c)
da cui l’equazione del moto
Ix∗ ϑ¨ − (Ix∗ − Iz ) sin ϑ cos ϑϕ˙ 2 + Iz Ωϕ˙ sin ϑ − mgL sin ϑ = 0;
A-26
(A.124)
• si consideri infine ϕ; si ottiene
∂L
= Ix∗ sin2 ϑϕ˙ + Iz (ϕ˙ cos ϑ + Ω) cos ϑ
(A.125a)
∂ ϕ˙
d ∂L
˙
˙ + 2 (Ix∗ − Iz ) cos ϑ sin ϑϑ˙ ϕ˙ − Iz sin ϑϑΩ
= Ix∗ sin2 ϑ + Iz cos2 ϑ ϕ¨ + Iz cos ϑΩ
dt ∂ ϕ˙
(A.125b)
∂L
=0
(A.125c)
∂ϕ
da cui l’equazione del moto
˙ = 0.
˙ + 2 (Ix∗ − Iz ) cos ϑ sin ϑϑ˙ ϕ˙ − Iz sin ϑϑΩ
Ix∗ sin2 ϑ + Iz cos2 ϑ ϕ¨ + Iz cos ϑΩ
(A.126)
− (Ix∗ − Iz ) sin ϑ cos ϑϕ˙ 2 + Iz Ωϕ˙ sin ϑ − mgL sin ϑ = 0.
(A.127)
Nell’ipotesi che ϑ, ϕ˙ e Ω siano costanti, le equazioni in ψ e ϕ sono identicamente soddisfatte.
L’equazione in ϑ, viceversa, diventa
Questa equazione `e soddisfatta per ϑ = 0 + kπ e, per ϑ 6= π/2 + kπ, quando
q
2
Iz Ω ± (Iz Ω) − 4mgL (Ix∗ − Iz ) cos ϑ
ϕ˙ =
2 (Ix∗ − Iz ) cos ϑ
(A.128)
o, per Ix∗ − Iz = 0 o ϑ = π/2 + kπ, quando
ϕ˙ =
mgL
.
Iz Ω
(A.129)
Perch´e queste soluzioni siano accettabili, nel caso della (A.128) occorre che Ix∗ − Iz 6= 0 e che (Iz Ω)2 −
4mgL(Ix∗ − Iz ) cos ϑ ≥ 0, mentre nel caso della (A.129) `e sufficiente che Ω 6= 0.
Si noti inoltre che se Ix∗ − Iz < 0 le due radici della (A.128) hanno segno diverso, mentre nel caso
contrario hanno lo stesso segno. Di conseguenza `e possibile riconoscere due tipi di precessione, una
“avanzante” e una “retrocedente”; identificano rispettivamente una condizione di funzionamento in cui la
velocit`
a di spin e una frazione della velocit`
a di precessione si sommano, e una in cui si sottraggono.
La figura A.9 mostra la traiettoria del baricentro di una trottola per condizioni iniziali che corrispondono ad un moto di precessione “retrocedente” positiva, sia nominali che a seguito di una piccola
perturbazione. Nel secondo caso, gli angoli e le velocit`
a angolari oscillano attorno alla soluzione che si
ottiene nel primo caso.
Esercizio A.22 Si scriva l’equazione di equilibrio della trottola attorno all’asse di nutazione mediante
gli equilibri dinamici.
Esercizio A.23 Si scrivano le equazioni del moto della trottola mediante il Principio dei Lavori Virtuali.
(Nota: come si definisce la rotazione virtuale per cui compiono lavoro le coppie?)
Esercizio A.24 Si calcoli la forza di reazione scaricata a terra nel punto O.
A-27
nominale
perturbata
z
1
0.8
0.6
-0.4 -0.2
x
0
0.2
0.4
-0.2
-0.4
0
0.2
0.4
y
Figura A.9: Traiettoria del baricentro della trottola per condizioni iniziali di precessione “retrocedente”
positiva.
A-28
Appendice B
Esempi di azionamenti idraulici
Generato il 23 ottobre 2014
In questa appendice vengono presentati esempi di azionamenti idraulici.
B.1
Valvola a doppio getto controllata da un motore elettrico
in corrente continua e accoppiata ad un attuatore lineare
Il completamento dell’esempio di azionamento idraulico presentato nel capitolo 11 richiederebbe la modellazione della valvola distributrice e del suo sistema di attuazione. Se si astrae dal sistema di attuazione
del pistone della valvola distributrice, generalmente di tipo elettrico o misto elettroidraulico, la relativa
modellazione non `e dissimile da quella del cilindro attuatore, ragion per cui non dovrebbe essere difficile
completare l’esempio precedente fino a contenere tutti i suoi componenti. Una corretta formulazione
necessita per`
o di un approfondimento, non tanto concettuale ma preminentemente associato ad alcuni
dettagli, che richiederebbe un’estensione che mal si concilia con le finalit`
a esemplificative della nostra
presentazione. Si preferisce pertanto completare l’esempio facendo riferimento ad una valvola di controllo
del flusso a flappeggio, quale quella schematizzata in figura B.1.
B-1
Figura B.1: Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]).
B.1.1
Nomenclatura
Siano:
A1
A2
Ae
Ag
Ai
Ap
Ce0
Ce1
Ceg
Cele
Celi
Dg
F
i
kf
Km
L
Lp
M
Pa
Pc1
Pc2
Pe
Ps
Pv1
Pv2
sezione di trafilamento tra valvola e alimentazione
sezione di trafilamento tra valvola e pistone
sezione di trafilamento tra le camere del pistone e l’esterno
sezione del getto tra le camere della valvola e la camera del flap
sezione di trafilamento tra le camere del pistone
area del pistone
coefficiente di efflusso tra valvola e alimentazione
coefficiente di efflusso tra valvola e pistone
coefficiente di efflusso tra valvola e camera del flap
coefficiente di trafilamento tra le camere del pistone e l’esterno
coefficiente di trafilamento tra le camere del pistone
diametro del getto tra valvola e flap
forza esterna agente sul pistone
corrente elettrica nel motore
rigidezza molla di richiamo flap
costante caratteristica del motore elettrico
induttanza del motore elettrico
lunghezza del pistone
massa del pistone
pressione di alimentazione
pressione camera 1 pistone
pressione camera 2 pistone
pressione esterna
pressione di scarico
pressione camera 1 valvola
pressione camera 2 valvola
B-2
R
rp
rf
V1
V2
Vc
Vv
xf
xf 0
xp
β
ρ
θf
resistenza elettrica del motore
smorzamento del pistone di natura non idraulica
smorzamento del flap di natura non idraulica
volume camera 1 del pistone
volume camera 2 del pistone
tensione di alimentazione del motore
volume camere della valvola
spostamento del flap
spostamento massimo del flap
spostamento del pistone
modulo di comprimibilit`a volumetrica
densit`a del fluido
angolo di rotazione del flap
B.1.2
Equazioni
Le equazioni necessarie alla scrittura della parte idraulica del problema sono:
a) bilancio di portata:
(Av)entrante − (Av)uscente =
V dP
dV
+
dt
β dt
(B.1)
ovvero la differenza tra la portata volumetrica in entrata ed in uscita `e data dalla derivata temporale
del volume della camera e dalla variazione di densit`a del fluido;
b) perdite di carico laminari:
Q = Cel A0 ∆P
(B.2)
c) perdite di carico turbolente:
r
2
Q = Ce A0
∆P
ρ
(B.3)
in realt`a `e pi`
u corretto scrivere
r
2
|∆P |sign (∆P )
Q = Ce A0
ρ
(B.4)
tuttavia, in questo esempio, si assume nota la direzione in cui il flusso avviene;
d) teorema di Bernoulli :
1
P + ρv 2 = costante
2
(B.5)
Le equazioni che descrivono il problema sono:
1. bilancio di portata della camera 1 dell’attuatore
2. bilancio di portata della camera 2 dell’attuatore
3. bilancio di portata della camera 1 della valvola
4. bilancio di portata della camera 2 della valvola
5. equazione di moto del pistone
6. equazione di moto del flap
7. equazione del motore elettrico
B-3
B.1.3
Incognite
Le incognite sono:
i) la posizione del pistone, xp , e le sue derivate
ii) l’angolo di rotazione del flap, θf , e le sue derivate
iii) la pressione nella camera 1 del pistone, P1c , e le sue derivate
iv) la pressione nella camera 2 del pistone, P2c , e le sue derivate
v) la pressione nella camera 1 della valvola, P1v , e le sue derivate
vi) la pressione nella camera 2 della valvola, P2v , e le sue derivate
vii) la corrente applicata al motore, i.
B.1.4
Bilancio di portata della camera 1 del pistone
Il volume della camera 1 del pistone `e V1 = xp Ap ; il bilancio di portata comprende:
• la variazione di densit`a dovuta alla comprimibilit`a,
V1 P˙ 1c
β
• la variazione di volume della camera dovuta allo spostamento del pistone, x˙ p Ap
s
2
• il flusso entrante dalla camera 1 della valvola, di tipo turbolento, Ce1 A1
(P1v − P1c )
ρ
• il flusso di trafilamento verso la camera 2 del pistone, di tipo laminare, Celi Ai (P1c − P2c )
• il flusso di trafilamento verso l’esterno, di tipo laminare, Cele Ae (P1c − Pe )
L’equazione diventa:
Ap xp ˙
P1c = −x˙ p Ap + Ce1 A1
β
B.1.5
r
2
(P1v − P1c ) − Celi Ai (P1c − P2c ) − Cele Ae (P1c − Pe )
ρ
(B.6)
Bilancio di portata della camera 2 del pistone
I termini che compaiono in questa equazione sono analoghi a quelli dell’equazione precedente; il volume
ora `e V2 = Ap (Lp − xp ) L’equazione diventa:
r
Ap (Lp − xp ) ˙
2
P2c = x˙ p Ap − Ce1 A1
(P2c − P2v ) + Celi Ai (P1c − P2c ) − Cele Ae (P2c − Pe ) (B.7)
β
ρ
si noti che la variazione di volume dovuta al movimento del pistone `e l’opposto del caso precedente. Si
noti tuttavia che i flussi verso la valvola e tra le due camere cambiano segno.
B.1.6
Bilancio di portata della camera 1 della valvola
Si suppone nulla la variazione di volume della camera. Il bilancio `e quindi costituito dai flussi:
• variazione di densit`a del fluido,
Vv P˙ 1v
β
• portata di alimentazione, di tipo turbolento, Ce0 A0
B-4
s
2
(Pa − P1v )
ρ
• portata verso la camera 1, di tipo turbolento, Ce1 A1
s
2
(P1v − P1c )
ρ
• portata uscente verso il flap; si assuma che il getto verso il flap sia un cilindro; in prossimit`a della
superficie del flap, il getto si apre in direzione radiale. La superficie attraverso la quale il getto
fluisce `e quindi πDg (xf 0 − xf ), ovvero la circonferenza del getto per la distanza dell’ugello dal flap.
Questa distanza teorica, in genere, `e corretta da un coefficiente determinato sperimentalmente, che
tiene conto della effettiva geometria del getto. Il flusso `e quindi
r
2
Ceg πDg (xf 0 − xf )
(P1v − Ps )
(B.8)
ρ
L’equazione diventa
Vv ˙
P1v
β
B.1.7
r
r
2
2
= Ce0 A0
(Pa − P1v ) − Ce1 A1
(P1v − P1c )
ρ
ρ
r
2
− Ceg πDg (xf 0 − xf )
(P1v − Ps )
ρ
Bilancio di portata della camera 2 della valvola
Analogamente, nell’altra camera della valvola si ottiene:
r
r
2
2
Vv ˙
P2v = Ce0 A0
(Pa − P2v ) + Ce1 A1
(P2c − P2v )
β
ρ
ρ
r
2
(P2v − Ps )
− Ceg πDg (xf 0 + xf )
ρ
Si noti come anche in questo caso la portata dalla camera del pistone a quella della valvola abbia cambiato
segno, come pure `e cambiato l’effetto dello spostamento della valvola nel calcolo della superficie di efflusso.
B.1.8
Equazione di moto del pistone
Il pistone ha massa M , un generico smorzamento r, e gli `e applicata una sollecitazione esterna F che
rappresenta il carico che deve vincere (ad esempio, una molla, o la forza aerodinamica su una superficie
mobile, o il peso di un carrello di atterraggio). Sulle due superfici esposte nelle camere dell’attuatore
agiscono le forze dovute alla pressione, Ap (P1c − P2c ). Si noti che in linea di principio le due aree
potrebbero essere diverse. La sua equazione di moto `e un equilibrio alla traslazione del pistone stesso,
che diventa:
Mx
¨p + rp x˙ p = Ap (P1c − P2c ) + F
B.1.9
(B.9)
Equazione di moto del flap
La valvola a flap `e costituita da una lamina incernierata ad un estremo, che si pu`
o avvicinare ad uno
dei due diffusori ruotando attorno al punto di cerniera, comandata da un motore. La sua equazione
di moto `e un equilibrio alla rotazione attorno al punto di cerniera. Il momento d’inerzia rispetto alla
cerniera `e Jc = Jcg + mL2cg ; Tipicamente la rotazione `e contrastata da una molla di rigidezza kf , e nel
caso in esame `e controllata da un motore elettrico in corrente continua, la cui coppia `e Km i. La forza
di origine idraulica agente sulla valvola pu`
o essere stimata usando il teorema di Bernoulli, ovvero un
bilancio di quantit`a di moto in direzione perpendicolare al flap; la somma di pressione statica e dinamica
all’uscita dalla valvola, in prima approssimazione, `e uguale alla pressione esercitata sul flap, quindi la
forza esercitata sul flap `e data dalla somma di pressione statica e dinamica all’uscita dalla valvola per
l’area del tubo di flusso:
1 2
(B.10)
F1 = Ag P1f = Ag P1v + ρv1g
2
B-5
all’uscita dalla camera 1 della valvola verso il flap il fluido ha pressione P1v e velocit`
a v1g ; quest’ultima
si ricava dalla portata attraverso l’ugello, dalla camera 1 della valvola verso la camera del flap, quindi
tra P1v e Ps :
2
Q1v
2
v1g =
Ag
=
2
32Ceg
2
(xf 0 − xf ) (P1v − Ps )
ρDg2
Tipicamente questo valore viene corretto empiricamente per tenere conto di effetti dovuti alla effettiva
geometria del getto. Quindi le forze di natura idraulica agenti sul flap sono:
πDg2
2
2
P1v + 4πCeg
(xf 0 − xf ) (P1v − Ps )
4
πDg2
2
2
F2 =
P2v + 4πCeg
(xf 0 + xf ) (P2v − Ps )
4
Lo spostamento della valvola `e xf = d tan θf . L’equazione del flap diventa:
F1
=
J θ¨f + rf θ˙f + kf θf = Km i + d (F2 − F1 )
B.1.10
(B.11)
Equazione del motore elettrico
L’equazione del motore elettrico in corrente continua `e:
di
+ Ri + Km θ˙f = ea
dt
dove ea `e la tensione alla quale viene alimentato per controllarne la posizione.
L
B.1.11
(B.12)
Linearizzazione
Vi sono contributi non lineari del tipo:
• tan θ
• xy
√
• cx
la cui linearizzazione `e
• tan θ ∼
= ∆θ per θ0 = 0
• xy ∼
= x0 y0 + y0 ∆x + x0 ∆y
√ ∼√
√ • cx = cx0 + ∆x/ 2 x0
Ad esempio, la linearizzazione dei termini di portata attraverso le perdite di carico turbolente,
r
2
(Pa − Pb )
(B.13)
Q = Ce A0
ρ
porta ad una forma
Q + ∆Q = Ce A0
r
2
ρ
p
∆Pa − ∆Pb
(Pa0 − Pb0 ) + p
2 (Pa0 − Pb0 )
!
(B.14)
Si noti che quando la differenza tra le due pressioni diminuisce, il denominatore del coefficiente delle
perturbazioni di pressione tende ad annullarsi, rendendo singolare il problema. Questo fenomeno, dal
punto di vista fisico, non ha corrispondenza, in quanto, al diminuire della differenza di pressione, la
portata diminuisce. Quindi, a parit`a di sezione, la velocit`
a del fluido diminuisce e con essa il numero di
Reynolds, fino al punto in cui il moto diventa laminare. In caso di moto laminare, quindi, il coefficiente
della perturbazione di pressione `e praticamente costante.
B-6
B.1.12
Comportamento del sistema
Durante il funzionamento normale, quando il pistone `e in equilibrio il flusso di fluido da e verso le camere `e
molto limitato, in teoria nullo. In realt`a rimane un piccolo efflusso dovuto alle perdite; sicuramente questo
efflusso sar`a in entrata nella camera del pistone a pressione pi`
u alta, mentre nell’altra camera dipende da
quale tra le perdite interna ed esterna prevale. All’interno della valvola, invece, c’`e un continuo ricircolo
di fluido dai condotti di alimentazione verso la pressione di scarico che, in un sistema pressurizzato, `e
comunque superiore alla pressione atmosferica. Quando, mentre il pistone `e in equilibrio, si sposta il flap,
si altera la sezione di efflusso delle perdite di carico tra ugelli di efflusso e flap stesso. In particolare, la
camera della valvola verso cui il flap si sposta vedr`a ridurre la sezione e quindi la portata, mentre l’altra
vedr`a aumentare sezione e portata. Di conseguenza, la pressione nella prima camera aumenta, mentre
nella seconda diminuisce. Le camere omonime del pistone vedono variare allo stesso modo le rispettive
pressioni, quindi il pistone non `e pi`
u in equilibrio e inizia a spostarsi (nel modello illustrato nel disegno)
in direzione opposta a quella del flap. Se la valvola viene nuovamente portata in posizione di equilibrio,
il flusso da e verso le camere del pistone si annulla, quindi il pistone si arresta nella nuova posizione. La
posizione del flap che d`a equilibrio pu`
o essere diversa da caso a caso, perch´e la forza che il pistone deve
reagire, F , pu`
o dipendere dalla posizione.
In ogni caso, la linearizzazione in condizioni di equilibrio del pistone, quella di maggiore interesse
per lo studio della dinamica del sistema, differisce comunque da punto a punto perch´e nelle equazioni
di bilancio di portata per le camere del pistone c’`e una dipendenza esplicita del coefficiente legato alla
comprimibilit`a del fluido dalla posizione del pistone. Si pu`
o verificare che, dal punto di vista dinamico,
la condizione in genere pi`
u critica per la stabilit`
a del sistema si ha quando il pistone `e centrato, ovvero
xp = Lp /2 e V1 = V2 . In questa condizione, lo smorzamento del sistema idromeccanico `e minimo. Si
noti che, in condizioni di equilibrio, ovvero quando le derivate temporali si annullano, non c’`e alcuna
dipendenza esplicita delle equazioni dalla posizione del pistone. Infatti, ad una data posizione della
valvola, possono corrispondere infinite posizioni del pistone. Di conseguenza, controllando la posizione
del flap `e possibile al pi`
u controllare la velocit`
a del pistone. Per controllarne la posizione, occorre legare
la posizione del flap (o meglio, la tensione di alimentazione del motore) ad una misura di posizione del
pistone. Occorre, in altre parole, retroazionare il flap con la misura della posizione del pistone.
B.2
Attuatore collegato ad un sistema dinamico
Viene presentata la modellazione di un attuatore idraulico che aziona un sistema dinamico rappresentativo di una generica superficie mobile di un velivolo, ad esempio un alettone ma, fatte le dovute
considerazioni, anche l’azionamento del passo collettivo di un elicottero.
TODO
B-7
B-8
Appendice C
Procedure per l’impostazione e la
soluzione dei problemi
Generato il 23 ottobre 2014
Questo capitolo vuole rappresentare un breve compendio di quanto gi`
a illustrato nei capitoli precedenti, finalizzato all’impostazione e alla soluzione di problemi.
L’obbiettivo non `e tanto facilitare il superamento della prova scritta, quanto cercare di fornire un
metodo che consenta allo studente di comprendere e sistematizzare le fasi necessarie ad affrontare un
tipico problema di dinamica.
Il metodo consta di due fasi:
• comprensione e scrittura del problema
– analisi cinematica
– scrittura delle equazioni del moto
– scrittura delle relazioni costitutive
• soluzione del problema
Le tre sottofasi di comprensione e scrittura del problema sono correlate; in molti casi conviene svolgerle
in parallelo.
Paradossalmente, la fase di soluzione del problema `e la meno critica, in quanto di solito si riduce
all’utilizzo di metodi standard in base al tipo di problema.
C.1
C.1.1
Comprensione e scrittura del problema
Analisi cinematica
L’analisi cinematica del problema consiste nel:
• comprendere quanti sono i gradi di libert`
a del problema;
• scegliere i gradi di libert`
a pi`
u convenienti;
• comprendere quali variabili cinematiche sono necessarie o semplicemente agevolano la definizione
del problema;
• scrivere le relazioni cinematiche tra le variabili e i gradi di libert`
a scelti.
L’analisi cinematica pu`
o limitarsi alle sole variabili cinematiche che partecipano alla scrittura delle
equazioni e delle relazioni costitutive. Tuttavia, un’analisi pi`
u approfondita e dettagliata pu`
o agevolare
la comprensione della natura del problema.
Non esiste una semplice formula per l’individuazione e la scelta dei gradi di libert`
a di un sistema.
C-1
C.1.2
Scrittura delle equazioni del moto
La scrittura delle equazioni del problema deve rispondere innanzitutto alla domanda:
quali equazioni del moto occorre scrivere per risolvere il problema?
La seconda domanda `e
quale metodo conviene utilizzare per scriverle efficacemente?
Il metodo usato, di per s´e, dovrebbe essere ininfluente, dal momento che qualunque metodo deve
portare alle stesse equazioni, o a set di equazioni equivalenti. In alcuni casi, la scelta del metodo rende
la scrittura pi`
u semplice, o a “prova di errore” (per quanto sia possibile).
Di solito, quando possibile, si sceglie di utilizzare il formalismo di Lagrange, o comunque qualche
metodo riconducibile alla meccanica analitica e quindi al principio dei lavori virtuali, per il semplice
motivo che, una volta scritta correttamente la cinematica, e riconosciute tutte le forze attive che partecipano al problema, si ottengono direttamente e “a prova di errore” (concettuale) le equazioni del moto
coniugate alle coordinate libere (equazioni di Lagrange del secondo tipo). Questo consente di rispondere
alla prima domanda:
le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coordinate libere.
L’approccio appena delineato non `e pi`
u valido nel caso in cui i vincoli non siano ideali. In questo
caso compaiono forze che dipendono dalle reazioni vincolari e che contemporaneamente compiono lavoro
per spostamenti virtuali. Un tipico esempio sono le forze dovute all’attrito radente, o la coppia che d`a
resistenza al rotolamento.
Occorre scrivere un set ulteriore di equazioni di equilibrio, indipendenti da quelle coniugate alle
coordinate libere, sufficiente a calcolare a priori le reazioni vincolari necessarie1 . Le reazioni cos`ı calcolate
possono dipendere dalla cinematica, ovvero dalle q e dalle loro derivate, anche se ancora incognite, dal
momento che verranno poi utilizzate nelle relazioni costitutive per concorrere alla scrittura delle equazioni
del moto. Questo consente di estendere la risposta alla prima domanda:
le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coordinate libere, pi`
u un numero di
equazioni di equilibrio pari al numero di reazioni vincolari necessarie ad esprimere le forze di reazione
che compiono lavoro.
Soprattutto quando si usino gli equilibri dinamici, ma in ogni caso, `e di grande aiuto tracciare il
cosiddetto diagramma di corpo libero, ovvero un disegno in cui il corpo o i corpi di cui `e costituito il
sistema viene svincolato, con i vincoli sostituiti dalle reazioni vincolari, e tutte le forze attive vengono
messe in evidenza. Questo diagramma consente di individuare tutti i punti la cui cinematica occorre
scrivere per valutarne posizione, velocit`
a ed eventualmente accelerazione e spostamento virtuale. Si
consiglia caldamente di tracciare il diagramma di corpo libero indipendentemente dal metodo che si usa
per scrivere le equazioni del moto.
1 Esistono tecniche alternative (equazioni di Lagrange del primo tipo) che, attraverso il formalismo dei moltiplicatori di
Lagrange, consentono di scrivere simultaneamente le equazioni del moto e le equazioni da cui ricavare le reazioni vincolari
relative ai vincoli non ideali.
C-2
C.1.3
Scrittura delle relazioni costitutive
La scrittura delle relazioni costitutive da un certo punto di vista `e la parte pi`
u semplice: noto il tipo di
forza, e quindi il principio fisico da cui dipende, `e sufficiente procurarsi le variabili cinematiche da cui
dipende. La criticit`a di questa fase consiste appunto nello scegliere il principio fisico da cui dipende la
forza in questione.
C.1.4
Mettiamo tutto insieme
Indipendentemente dalla sequenza scelta, la scrittura del problema consiste nell’unire le fasi descritte in
precedenza, qui riassunte nella loro essenza.
• L’analisi cinematica consiste nello scegliere i gradi di libert`
a, ovvero le coordinate libere q, e nello
scrivere le variabili cinematiche x in funzione di queste, x = x (q). Ci`
o implica la conoscenza anche
delle derivate e delle variazioni virtuali delle variabili cinematiche, se richieste nella procedura di
soluzione, per semplice derivazione o perturbazione virtuale:
∂x
∂x
q˙ +
∂q
∂t
∂2x
∂2x
∂x
q¨ + 2
q˙ + 2
x
¨=
∂q
∂t∂q
∂t
∂x
δq.
δx =
∂q
x˙ =
(C.1a)
(C.1b)
(C.1c)
• La scrittura delle equazioni del moto P
consiste nello scrivere relazioni di equilibrio tra le forze
(generalizzate) agenti sul sistema, δxT i fi = 0, con δx definito al punto precedente in funzione
della variazione virtuale delle coordinate libere.
• La scrittura delle relazioni costitutive consente di sostituire ad ogni forza fi la sua espressione in
funzione delle variabili cinematiche e delle loro derivate, fi = fi (x, x,
˙ x
¨), e quindi, in ultima analisi,
delle coordinate libere e delle loro derivate, fi = fi (q, q,
˙ q¨).
C.2
Soluzione del problema
Questa `e un’altra storia. . .
C-3
C-4
Appendice D
Note sull’uso dell’equazione di
chiusura
Queste note sono un sunto e una integrazione di quanto disponibile in altri capitoli delle dispense, al fine
di chiarire che cosa occorre fare negli esercizi di cinematica nonlineare e perch´e.
L’equazione di chiusura si usa per determinare relazioni algebriche che esprimono le variabili cinematiche dipendenti, yi , in funzione di quelle indipendenti, qj .
Nel seguito, per semplicit`
a, viene presentato lo sviluppo per una generica variabile cinematica dipendente y per un sistema ad una sola coordinata, q.
D.1
Dipendenza esplicita
Si ha:
y = y(q, t).
(D.1)
Il procedimento si applica in cascata:
1. dall’equazione vera e propria si ricavano le relazioni che legano le variabili dipendenti a quelle
indipendenti, ovvero la (D.1);
2. dalla derivata prima dell’equazione si ricavano le relazioni che legano le derivate prime delle variabili
dipendenti alle derivate prime di quelle indipendenti,
y˙ =
∂y
∂y
q˙ +
;
∂q
∂t
(D.2)
3. dalla derivata seconda dell’equazione si ricavano le relazioni che legano le derivate seconde delle
variabili dipendenti alle derivate seconde di quelle indipendenti,
y¨ =
∂2y
∂2y
∂y
q¨ + 2
q˙ + 2 ;
∂q
∂t∂q
∂t
(D.3)
4. il procedimento potrebbe essere ripetuto all’infinito, se necessario; tuttavia, per la scrittura delle
equazioni del modo raramente occorrono derivate delle variabili cinematiche superiori alla seconda;
5. all’occorrenza, dalla perturbazione dell’equazione si ricava la relazione che lega la variazione virtuale
delle variabili dipendenti alla variazione virtuale delle variabili indipendenti,
δy =
∂y
δq.
∂q
(D.4)
D-1
D.2
Dipendenza implicita
Le relazioni che legano le variabili sono spesso implicite: la (D.1) in genere `e scritta nella forma
ϕ (y, q, t) = 0.
(D.5)
La loro esplicitazione pu`
o non essere banale e, in casi estremi, pu`
o non essere possibile per via analitica.
Nel laboratorio #1 viene affrontata la soluzione di un problema cinematico per via numerica. Nel
Capitolo 3 viene presentata l’analisi cinematica del manovellismo ordinario considerando sia l’angolo di
manovella che alternativamente lo spostamento del pistone come variabili indipendenti; in entrambi i casi
era possibile determinare una soluzione analitica, ma mentre nel secondo caso questa era relativamente
agevole, nel secondo si otteneva un’espressione trascendente non facilmente manipolabile.
Tuttavia, questo non ha un impatto particolarmente gravoso sull’analisi cinematica: la relazione tra
le derivate prime delle variabili si ottiene come nel caso precedente dalla derivata prima dell’equazione
algebrica che descrive la cinematica,
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
y˙ +
q˙ +
= 0,
∂y
∂q
∂t
(D.6)
da cui, nell’ipotesi che ∂ϕ/∂y 6= 0, si ricava
y˙ = −
|
−1
−1
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
q˙ −
,
∂y
∂q
∂y
∂t
|
{z
}
{z
}
∂y
∂q
(D.7)
∂y
∂t
ovvero una espressione sostanzialmente analoga alla (D.2).
Similmente, dalla derivata seconda dell’equazione algebrica che descrive la cinematica, si ottiene
∂2ϕ
∂ϕ
∂2ϕ 2 ∂2ϕ 2 ∂2ϕ
∂2ϕ
∂2ϕ
∂ϕ
y
˙
+
q
˙
+
+
2
y¨ +
q¨ +
y
˙
q
˙
+
2
y
˙
+
2
q˙ = 0,
∂y
∂q
∂y 2
∂q 2
∂t2
∂y∂q
∂y∂t
∂q∂t
(D.8)
che pu`
o essere riscritta come
y¨ = −
|
−1
∂ϕ
∂ϕ
q¨ + β (q,
˙ t) ,
∂y
∂q
{z
}
(D.9)
∂y
∂q
con ovvio significato di β, ovvero un’espressione sostanzialmente analoga alla (D.3).
Infine, mediante perturbazione dell’equazione algebrica che descrive la cinematica si ricava
δϕ =
∂ϕ
∂ϕ
δy +
δq = 0,
∂y
∂q
(D.10)
da cui
δy = −
|
−1
∂ϕ
∂ϕ
δq,
∂y
∂q
{z
}
(D.11)
∂y
∂q
ovvero un’espressione sostanzialmente analoga alla (D.4).
D.3
Cinematica nella scrittura delle equazioni del moto
Per la scrittura delle equazioni del moto ci`o che conta `e essere in grado di scrivere le forze dipendenti
dalla configurazione (ad esempio le forze elastiche, viscose e di inerzia) o le quantit`a necessarie alla
D-2
determinazione delle equazioni del moto (ad esempio l’energia cinetica, dipendente al pi`
u dalla derivata
prima delle variabili cinematiche, e l’energia potenziale, dipendente al pi`
u dalle variabili cinematiche
stesse) in funzione delle sole coordinate libere q ed eventualmente delle loro derivate.
In questo senso, non `e indispensabile scrivere la cinematica nella forma espressa dalla (D.1), ovvero
y = y(q, t), ma basta saper scrivere una relazione del tipo della (D.5), ovvero ϕ(y, q, t), eventualmente da
risolvere per via numerica, seguita da relazioni differenziali quali la (D.2) e, solo se necessario, la (D.3) e
la (D.4). Queste ultime, come visto, possono essere ricavate indifferentemente sia a partire dalle derivate
della (D.1) che dalle derivate della (D.5) al pi`
u mediante la soluzione di un semplice problema lineare.
In tutti i casi, `e fondamentale calcolare il fattore di scala tra le variazioni delle variabili indipendenti
e di quelle dipendenti, ∂y/∂q, dipendente al pi`
u da q e dal tempo, t.
Nella soluzione di un esercizio, quindi, spesso non `e indispensabile esplicitare la dipendenza tra y
e q (a meno che tale operazione non sia banale); una volta accertatisi di aver scritto correttamente le
equazioni algebriche del tipo della (D.5) conviene concentrarsi sulla loro derivazione ed eventualmente
sulla scrittura del fattore di scala ∂y/∂q.
D.4
Esempio: manovellismo ordinario
Si consideri, a titolo di esempio, la scrittura dell’equazione del moto del manovellismo ordinario centrato
illustrata nel Capitolo 3, utilizzando il formalismo delle equazioni di Lagrange del IIo tipo.
L’energia cinetica `e
Ec =
1
1
Jm α˙ 2 + mc c˙2
2
2
(D.12)
Il lavoro delle forze esterne `e
δL = δα · C − δc · f
(D.13)
La relazione tra lo spostamento del pistone c e l’angolo di manovella `e noto dall’equazione di chiusura;
in particolare, si ha
∂c
α˙
∂α
∂c
δα.
δc =
∂α
c˙ =
(D.14a)
(D.14b)
Applicando il formalismo di Lagrange si ottiene
∂c
∂Ec
= Jm α˙ + mc c˙
∂α
∂ α˙
d ∂Ec
∂c
d ∂c
= Jm α
¨ + mc c¨
+ mc c˙
dt ∂ α˙
∂α
dt ∂α
∂Ec
∂ c˙
= mc c˙
∂α
∂α
∂c
Qα = C − f
∂α
(D.15a)
(D.15b)
(D.15c)
(D.15d)
Si noti che nella derivazione rispetto al tempo, Eq. (D.15b), anche ∂c/∂α dipende da α, e quindi
indirettamente dal tempo, per cui occorre derivarlo.
Dal momento che `e possibile invertire l’ordine di derivazione tra tempo e coordinata α, si ha
∂ c˙
d ∂c
=
(D.16)
dt ∂α
∂α
Ne risulta l’equazione del moto
Jm α
¨ + mc
∂c
∂c
c¨ = C − f
.
∂α
∂α
(D.17)
D-3
Dalla descrizione della cinematica `e possibile ricavare le espressioni di ∂c/∂α e c¨ (quest’ultima deve
necessariamente essere lineare in α
¨ ). Tuttavia, ai fini dello svolgimento dell’esercizio, questa sostituzione
non `e indispensabile, purch´e si spieghi che le grandezze non esplicitate sono note, indicando da quali
equazioni si ricavano.
D-4
Appendice E
Breviario ad (ab)uso degli studenti
Mutatis mutandis.
Anonymous
Questa appendice racchiude alcune nozioni utili agli studenti per aumentare le probabilit`
a di non
superare l’esame.
E.1
Primo Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali
Qualunque sia la natura del sistema, in presenza di attrito dinamico di coefficiente fd , il modulo della
forza resistente `e definito come
T = fd N
(E.1)
ove N , la componente della reazione vincolare normale alla superficie di scorrimento, secondo il Primo
Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, `e sempre e comunque
N = mg
(E.2)
o, nel caso in cui la superficie di scorrimento sia inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale,
N = mg cos α
(E.3)
Per nessuna ragione N pu`
o essere ricavata a partire da una equazione di equilibrio.
Nota: almeno il 25% degli svolgimenti di ogni tema d’esame vede l’applicazione del Primo Principio.
Nota: N = mg anche se il problema `e nel piano orizzontale (visto veramente in uno scritto della
prova del 16 Febbraio 2010).
E.2
Teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia
Enunciato: un corpo, spinto verso l’alto a velocit`
a costante da una forza uguale ed opposta al peso,
al cessare della stessa scende immediatamente. La dimostrazione `e lasciata alla curiosit`a del lettore.
Nota: sentito davvero ad un orale.
Esercizio E.1 Dimostrare il teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia.
E-1
E.2.1
Corollario della viralit`
a del moto uniforme
Una parte di un meccanismo arbitrariamente complesso si muova di moto uniforme (per esempio una
manovella ruoti a velocit`
a angolare costante). Allora, indipendentemente dalla complessit`a cinematica
del meccanismo, tutte le forze di inerzia si annullano, anche qualora il moto uniforme di una parte si
traduca in moto vario di altre parti del sistema (per esempio la biella trascinata dalla manovella e il
corsoio trascinato dalla biella in un glifo).
Esercizio E.2 Con riferimento all’esempio della manovella in moto a velocit`
a angolare costante, si
verifichi come il corollario non sia vero a rigore neppure per la manovella stessa: le forze d’inerzia sono
veramente nulle?
E.2.2
Lemma della singolarit`
a della distribuzione delle masse.
Si consideri un’asta uniforme di lunghezza L. Si calcolino le azioni interne in un punto qualsiasi, posto
a distanza x da un estremo. Le forze di inerzia sono applicate nel baricentro, e quindi agiscono solo
sulla porzione di asta che contiene il baricentro. Quando l’asta `e tagliata nel baricentro, la met`a a cui si
applicano le forze di inerzia non `e ben definita (ognuno le metta come crede).
Esercizio E.3 Si calcolino le forze di inerzia di un’asta uniforme soggetta a moto vario dopo averla
sezionata in due parti in un punto arbitrario. Si faccia tendere tale punto al baricentro dell’asta integra.
E.2.3
Corollario dell’incompatibilit`
a tra regime e forze d’inerzia
Qualora in una frase compaia l’espressione “a regime”, ci`o necessariamente implica che le forze d’inerzia
siano nulle per tutto il resto dell’esercizio.
Esercizio E.4 Si calcoli la risposta a regime di un sistema descritto dall’equazione
m¨
x + rx˙ + kx = f (t)
(E.4)
quando sia forzato armonicamente, ovvero f = f ejΩt .
Svolgimento (sconsigliato): siccome nel testo compare l’espressione “a regime”, l’equazione diventa
rx˙ + kx = f ejΩt
(E.5)
Da qui di solito ci si incarta in tentativi di trovare un’espressione plausibile per x, eventualmente scrivendo
frasi del tipo “non sono in grado di concludere per mancanza di tempo”.
Ri-svolgimento (corretto): l’espressione “a regime” va inteso nel senso di “a transitorio esaurito”.
Si ricorda infatti che la soluzione di equazioni differenziali lineari `e costituita dalla combinazione di
un integrale generale, soluzione dell’equazione omogenea associata al problema non omogeneo, e di un
integrale particolare, associato al termine noto specifico. La soluzione omogenea viene determinata
imponendo il raccordo tra il valore all’istante iniziale dell’integrale particolare e le condizioni iniziali del
problema. Se il sistema `e asintoticamente stabile (si pu`
o parlare di stabilit`
a del sistema anzich´e della
soluzione solo perch´e si tratta di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti), allora l’integrale
generale `e destinato ad annullarsi asintoticamente; ne consegue che “a regime”, ovvero a transitorio
esaurito, rimane solo l’integrale particolare,
−1
x = −Ω2 m + jΩr + k
f
(E.6)
E.2.4
Sull’opportunit`
a di considerare due volte le forze d’inerzia
L’(ab)uso del teorema dell’energia cinetica consente di commettere un errore piuttosto frequente. Questo
teorema dice che “la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica `e uguale alla potenza delle forze attive,
escluse quelle di inerzia”. Se si trascura la invero secondaria postilla sulle forze di inerzia, si ottiene il
Teorema dell’(abuso del teorema dell’)Energia Cinetica, il quale afferma che “la derivata rispetto al tempo
dell’energia cinetica `e (quasi) uguale alla potenza delle forze attive (tutte, incluse quelle di inerzia)”.
E-2
Esercizio E.5 Si utilizzi il summenzionato teorema per scrivere l’equazione del moto di un punto materiale libero, soggetto ad una forza arbitraria.
Soluzione (sbagliata): l’energia cinetica `e T = m~v × ~v /2; la potenza delle forze attive (incluse
quelle di inerzia) `e Π = F~ × ~v − m~a × ~v . La derivata dell’energia cinetica d`a T˙ = m~a × ~v . Ne consegue
m~a × ~v = F~ × ~v − m~a × ~v
da cui si ricava
2m~a − F~ × ~v = 0,
ovvero la nota relazione 2m~a = F~ .
E.3
Teorema del triangolo isoscele
Quando una relazione cinematica fra corpi forma un triangolo isoscele, e i vincoli sono tali che il triangolo
rimane isoscele al variare della/e coordinata/e libera/e, scegliere come variabili cinematiche i due angoli
alla base e scrivere un’equazione di chiusura, dalla quale ricavare che i due angoli sono uguali, senza per`o
fare mostra di accorgersene.
E.3.1
Corollario
I due angoli alla base, a seguito di opportuni errori di segno e/o di manipolazione delle funzioni trigonometriche coinvolte, possono risultare diversi anche se il triangolo rimane palesemente isoscele.
E.4
Lemma della crasi tra definizioni diverse
Spesso, uno stesso principio o fenomeno pu`
o essere enunciato in modi diversi. In questi casi, i diversi
modi possono essere sintetizzati prendendo a caso un po’ da uno e un po’ da un altro.
Esercizio E.6 Illustrare l’ipotesi di Reye mischiando la definizione in termini sia di lavoro che di potenza
delle forze di attrito, avendo cura di cadere in contraddizione almeno una volta.
E.5
Teorema del calcolo delle frequenze caratteristiche di sistemi meccanici descritti da equazioni disaccoppiate (o della
“ammuina”)
Le frequenze caratteristiche di un sistema meccanico si calcolano trovando le radici del polinomio caratteristico, che si ottiene imponendo l’annullamento del determinante della matrice
[Z] = −ω 2 [M ] + [K]
(E.7)
Se le matrici [M ] e [K] sono diagonali, il determinante di [Z] `e costituito dal prodotto dei coefficienti
diagonali kii − ω 2 mii , e quindi si annulla quando si annulla ciascun coefficiente della diagonale. Malgrado
ci`o, occorre ogni volta:
• scrivere per intero il polinomio caratteristico, sviluppando tutti i prodotti
• raccogliere i coefficienti del polinomio per ogni potenza pari dell’incognita ω
• se possibile, calcolarne le radici
• evitare di accorgersi che queste sono semplicemente e rispettivamente ωi2 = kii /mii .
E-3
Questo consente di:
1. non ammettere che probabilmente, se entrambe le matrici sono diagonali, `e stato commesso qualche
errore nel loro calcolo; infatti, se si sono svolti tutti quei passaggi, significa che non ci si `e accorti
che le matrici erano diagonali, e quindi l’errore `e stato commesso in buona fede;
2. avere la possibilit`
a di introdurre ulteriori errori in un risultato altrimenti banale.
Nota: se le matrici [K] e [M ] sono entrambe diagonali,
1. si ha un occhio incredibile nella scelta dei gradi di libert`
a; oppure
2. `e stato commesso un errore.
Nota alla nota: questo non implica che matrici non diagonali siano sempre corrette.
Esercizio E.7 A rigore, se le matrici di massa e di rigidezza sono diagonali, a che cosa corrispondono
le coordinate scelte?
E.6
Sulla vera definizione di energia cinetica
L’energia cinetica di un corpo di massa m soggetto a pura traslazione con velocit`
a v `e
T =
1
mv 2
2
(E.8)
Il fatto che la velocit`
a v sia un vettore e che l’operazione di elevamento a potenza di un vettore non sia
definita `e da intendersi come un mero accidente.
E.7
Teorema dell’aderenza media
~a e R
~ p , rispettivamente
Si consideri un veicolo a due assi, le cui ruote scambino con il terreno le reazioni R
ai punti di contatto anteriori e posteriori. La verifica di aderenza richiede di verificare che la somma delle
componenti orizzontali in modulo sia minore della somma delle componenti verticali per il coefficiente di
attrito statico
~
~
~ p × ~i
~
~
(E.9)
Ra + R
< fs R
a + Rp × j Nota: ovviamente `e sbagliato; l’aderenza va verificata indipendentemente per ogni punto di contatto.
E.8
La funzione ‘segno’
La funzione ‘sign’ (‘segno’) `e una signusoide (sentito veramente all’orale l’11 Luglio 2013).
E.9
Trasformata di Laplace di sistemi a pi`
u gradi di libert`
a
Se la trasformata di Laplace di x
¨(t) `e L(¨
x(t)) = s2 x(s), la trasformata di Laplace di x
¨1 (t), x
¨2 (t) `e
2
2
L(¨
x1 (t)) = s1 x(s), L(¨
x2 (t)) = s2 x(s) (sentito veramente all’orale il 12 Luglio 2013).
E.10
Omicidi matriciali
` noto che le operazioni fra matrici si prestano particolarmente alla creazione di nuove ed originali
E
(bench´e errate) definizioni. Si rimanda il cultore a documenti classici1 .
1 http://junction.stanford.edu/~lall/svn/ee263_2010_to_2011_spring/data/matrix_crimes.pdf
http://www.aero.polimi.it/~mante/bacheca/omicidi_matriciali.txt
E-4
E.11
Esercizio: trova l’errore
Questa sezione propone una serie di esercizi sbagliati, nei quali si richiede di trovare e spiegare l’errore.
Tutti gli esercizi sono ispirati a risposte realmente viste in prove scritte (mutatis mutandis).
Esercizio E.8 Data una ruota di massa m, raggio R e inerzia J, rotolante lungo un piano inclinato di
un angolo α trascinata da una fune inestensibile e priva di massa, parallela al terreno, calcolare:
1. la reazione al contatto tra ruota e terreno;
2. la tensione nella fune.
Svolgimento:
Risposta 1) L’equilibrio alla traslazione in direzione parallela al terreno `e −RT − mg sin α − m¨
x = 0, da cui la
componente tangenziale della reazione tra ruota e terreno `e RT = −m¨
x − mg sin α.
Risposta 2) L’equilibrio alla traslazione in direzione parallela al terreno `e T − mg sin α − m¨
x = 0, da cui la
tensione nella fune `e T = m¨
x + mg sin α.
Si `e fatto uso del Teorema dell’Omissione dell’Incognita che si Preferisce non Considerare per Rendere
pi`
u Semplici i Calcoli.
Il risultato corretto `e:
1. dall’equilibrio alla rotazione della ruota attorno al proprio centro si ottiene RT = J/R2 x
¨
2. dall’equilibrio alla traslazione della ruota lungo la direzione tangente al piano si ricava T = (m +
J/R2 )¨
x + mg sin α.
Esercizio E.9 Vero o falso?
1
a
+1
b
=
b
+1
a
(E.10)
Falso. Il risultato si ottiene a seguito dell’utilizzo del Metodo del Passaggio Inutile e Non Richiesto per
Complicare un Risultato in Origine Semplice.
Il risultato corretto `e
1
1
=
,
a
a
+1
+1
b
b
(E.11)
ovvero meglio non rigirare troppo le formule senza che sia strettamente necessario; se lo si fa, si stia
almeno attenti a non commettere errori banali.
E-5
E-6
Appendice F
Soluzione esercizi
Capitolo 2
Soluzione es. 2.3
Il sistema `e soggetto a moto puramente rotatorio attorno all’asse ~k passante per il polo O. La posizione del
generico punto P `e (P−O). La velocit`
a `e ~vP = ω
~ ∧(P−O). L’accelerazione `e ~aP = ω
~˙ ∧(P−O)−ω 2 (P−O).
~
Lo spostamento virtuale del punto P `e δ(P − O) = δ θ ∧ (P − O).
La forza d’inerzia infinitesima `e
df~in = −dm ~aP = −ρ ~aP dV.
(F.1)
Il lavoro virtuale delle forze d’inerzia `e
δLin =
Z
V
δ(P − O)× df~in = −
Z V
δ θ~ ∧ (P − O) × (ρ ~aP ) dV .
(F.2)
Siccome (~a ∧ ~b) × ~c ≡ ~a × (~b ∧ ~c), si ha
δLin = −
Z
Z
V
ρ δ θ~ × (P − O) ∧ ~aP dV
Z
˙
~
=−
~ ∧ (P − O) dV +
ρ δ θ × (P − O) ∧ ω
ρ δ θ~ × (P − O) ∧ ω 2 (P − O) dV
V
ZV
Z
✭
✭✭
2
2
✭−
✭∧✭(P
=−
ρ δ θ~ × kP − Ok ω
~˙ dV +
ρω δ θ~ × ✭
(P✭
−✭
O)
O) dV
V
V
Z
2
˙
~
~
(ipotesi di corpo rigido)
= −δ θ ×
ρ kP − Ok dV ω
{z
}
|V
JO
= −δθJO ω˙
(poich´e δ θ~ e ω
~˙ sono parallele a ~k).
(F.3)
Il peso infinitesimo `e
df~p = dm~g .
(F.4)
F-1
Il lavoro virtuale del peso `e
Z
δLp =
δ(P − O)× df~p
V
Z δ θ~ ∧ (P − O) × (ρ~g ) dV
=
ZV
ρ δ θ~ × ((P − O) ∧ ~g ) dV
=
V


Z



= δ θ~ ×  ρ (P − O) dV ∧~g 
 V

|
{z
}
(F.5)
~O
S
Dalla somma di tutti i contributi al lavoro virtuale si ottiene
~ − δθJO ω˙ + δ θ~ × S
~O ∧ ~g = 0,
δL = δ θ~ × M
(F.6)
~ `e parallelo a ~k, come pure il risultato di S
~O ∧ ~g , dato che entrambi i vettori
ricordando che anche M
~
~
giacciono nel piano normale a k, e quindi, dato che S = mkG − Ok{cos θ; sin θ; 0} e ~g = {0; −g; 0}, si ha
~O ∧ ~g ) = −mgkG − Ok cos θ, in definitiva si ottiene
δ θ~ × (S
δθ (M − JO ω˙ − mgkG − Ok cos θ) = 0,
(F.7)
ovvero la medesima equazione che si otterrebbe scrivendo, per le forze d’inerzia ed il peso, il contributo
della risultante applicata nel baricentro e la coppia d’inerzia baricentrica.
Soluzione es. 2.5
L’energia cinetica del corpo `e T = m(x˙ 2 + y˙ 2 )/2, mentre l’energia potenziale `e V = mgy. L’equazione di
vincolo pu`
o essere formulata come y cos α − x sin α = 0. La lagrangiana aumentata corrispondente `e
L=
1
m x˙ 2 + y˙ 2 − mgy − (y cos α − x sin α) λ
2
Si ottiene
d ∂L
−
dt ∂ x˙
d ∂L
−
dt ∂ y˙
d ∂L
−
dt ∂ λ˙
∂L
= m¨
x − sin αλ = 0
∂x
∂L
= m¨
y + mg + cos αλ = 0
∂y
∂L
= y cos α − x sin α = 0
∂λ
Per la riduzione ad una equazione pura si pu`
o procedere come segue:
• si derivi due volte l’equazione di vincolo rispetto al tempo, in modo da ottenere
y¨ cos α − x
¨ sin α = 0
• dalle due equazioni di equilibrio si esplicitino x
¨ e y¨,
1
sin αλ
m
1
y¨ = −g −
cos αλ
m
x
¨=
F-2
• e li si sostituiscano nella derivata seconda dell’equazione di vincolo,
1
1
− g+
cos αλ cos α −
sin αλ sin α = 0
m
m
• da questa relazione si espliciti il moltiplicatore λ,
λ = −mg cos α
• lo si sostituisca nelle equazioni di equilibrio,
m¨
x = −mg cos α sin α
m¨
y = −mg sin2 α.
Queste due equazioni sono solo formalmente indipendenti; in realt`a basta risolverne una, rispettivamente
in funzione della coordinata x o y, e usare l’equazione di vincolo per calcolare l’altra coordinata.
Se si considera una nuova coordinata q parallela al piano inclinato, si ha x = q cos α e y = q sin α;
`e immediato verificare che le due equazioni “pure” ottenute sono in realt`a la stessa equazione una volta
sostituite le x e y in funzione di q, ovvero x
¨ = q¨ cos α e y¨ = q¨ sin α, con cui si ottiene due volte
m¨
q = −mg sin α.
Soluzione es. 2.6
La guida scambia con il corpo una reazione diretta perpendicolarmente alla guida stessa, ove α = dy/dx
`e la pendenza locale della guida.
Equilibri dinamici. La reazione Φ ha componente verticale Φy = Φ cos α e componente orizzontale
Φx = −Φ sin α. Ne consegue che la componente orizzontale `e
Φx = −Φy tan α = −Φy
dy
.
dx
Le equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale e verticale danno
−m¨
x + Φx + f (t) = 0
−m¨
y + Φy − mg = 0.
La componente verticale dell’accelerazione si calcola in funzione della componente orizzontale del moto
come
dy
x˙
dx
dy
d dy
dy
d2 y
y¨ =
x
¨+
x˙ x˙ =
x
¨ + 2 x˙ 2 .
dx
dx dx
dx
dx
y˙ =
Dall’equilibrio in direzione verticale si ricava Φy ,
Φy = mg + m¨
y
Sfruttando l’espressione di Φx in funzione di Φy si pu`
o eliminare per sostituzione la reazione vincolare
dall’equazione di equilibrio in direzione orizzontale,
2 !
dy d2 y 2
dy
dy
x
¨−m
x˙ − mg
+ f (t) = 0,
−m 1 +
2
dx
dx dx
dx
ottenendo cos`ı un’equazione pura del moto.
F-3
Nel caso in esame, y = y0 sin(2πx/L), quindi
dy
2π
2πx
= y0
cos
dx
L
L
2
2
2π
d y
2πx
.
sin
=
−y
0
dx2
L
L
L’equazione del moto `e
2 !
3
2πx
2πx
2π
2πx
2π
sin
x˙ 2
x
¨ − my02
cos
cos
m 1 + y0
L
L
L
L
L
2π
2πx
= f (t) − mgy0
cos
L
L
Principio dei lavori virtuali. La componente orizzontale di uno spostamento virtuale della massa
`e δx. La componente verticale `e δy = (dy/dx)δx. Il lavoro virtuale delle forze attive `e
dy
(mg + m¨
y) .
δL = δxf (t) − δxm¨
x − δymg − δym¨
y = δx f (t) − m¨
x−
dx
Sostituendo l’espressione di y¨, per l’arbitrariet`
a dello spostamento virtuale δx si ottiene direttamente
l’equazione pura del moto scritta in precedenza. Il calcolo della reazione vincolare pu`
o essere svolto a
posteriori utilizzando per esempio l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale scritto in precedenza,
ove y¨ `e noto dall’equazione del moto (anche se sarebbe pi`
u corretto scrivere un equilibrio alla traslazione
in direzione perpendicolare alla guida).
Teorema dell’energia cinetica. Il teorema dell’energia cinetica pu`
o essere utilizzato per scrivere
direttamente l’equazione del moto perch´e il sistema ha un solo grado di libert`
a e i vincoli sono fissi (non
dipendono esplicitamente dal tempo), quindi l’atto di moto `e compatibile con i vincoli a tempo fissato.
L’energia cinetica del sistema `e
T =
1
1
m~v × ~v = m x˙ 2 + y˙ 2 .
2
2
La sua derivata rispetto al tempo d`a
dT
dy
x.
˙
¨ + y¨
= m (¨
xx˙ + y¨y)
˙ =m x
dt
dx
La potenza delle forze attive, escluse quelle di inerzia, `e
dy
x.
˙
Π = f (t)x˙ − mg y˙ = f (t) − mg
dx
Dall’uguaglianza dT /dt = Π si ricava
dy
dy
m x
¨ + y¨
x˙ = f (t) − mg
x.
˙
dx
dx
Eliminando la velocit`
a x˙ e sostituendo y¨ si ottiene di nuovo l’equazione pura del moto scritta in precedenza. La reazione vincolare si pu`
o ricavare in modo analogo al caso del principio dei lavori virtuali.
Equazioni di Lagrange di IIo tipo. All’energia cinetica calcolata in precedenza si sottragga
l’energia potenziale associata al peso, mgy, a dare la Lagrangiana
L=
1
m x˙ 2 + y˙ 2 − mgy.
2
F-4
Il lavoro virtuale delle forze attive rimanenti `e δL = δxf (t). Si ottiene
∂L
dy
= mx˙ + my˙
∂
x
˙
dx
dy
d ∂L
d2 y
= m¨
x + m¨
y
+ my˙ 2 x˙
dt ∂ x˙
dx
dx
dy˙
dy
d2 y
dy
∂L
= my˙
− mg
= my˙ 2 x˙ − mg
∂x
dx
dx
dx
dx
Q = f (t)
Si ottiene quindi
m¨
x + m¨
y
d2 y✟
d2 y✟
dy
dy
+ my✟
˙ ✟2 x˙ − my✟
˙ ✟2 x˙ + mg
= f (t),
✟
✟
dx
dx
dx
dx
ovvero, dopo alcune semplificazioni e sostituendo l’espressione di y¨, di nuovo l’equazione pura del moto
trovata in precedenza. La reazione vincolare si pu`
o ricavare in modo analogo al caso del principio dei
lavori virtuali.
Equazioni di Lagrange di Io tipo. Si consideri la Lagrangiana scritta in precedenza e aumentata
dall’equazione di vincolo y − y(x) = 0 moltiplicata per l’incognita di reazione λ, ove y `e considerata alla
stregua di una coordinata libera mentre y(x) `e il valore imposto dalla presenza della guida. Si ottiene
L=
1
m x˙ 2 + y˙ 2 − mgy + λ (y − y(x)) .
2
Si applichi il formalismo di Lagrange in funzione delle tre variabili x, y e λ, considerando anche il lavoro
virtuale δL = δxf (t). Si ottiene
∂L
d ∂L
dy
∂L
= m¨
x
= mx˙
=− λ
Qx = f (t)
∂ x˙
dt ∂ x˙
∂x
dx
∂L
d ∂L
∂L
= m¨
y
= my˙
= −mg + λ
Qy = 0
∂ y˙
dt ∂ y˙
∂y
∂L
∂L
d ∂L
=0
= y − y(x)
Qλ = 0
=0
dt ∂ λ˙
∂λ
∂ λ˙
ovvero
dy
λ = f (t)
dx
m¨
y − λ = −mg
m¨
x+
0 = y − y(x).
Il moltiplicatore λ assume il significato di componente verticale della reazione vincolare (si confrontino
le equazioni appena scritte con gli equilibri dinamici).
Per arrivare all’equazione pura del moto si pu`
o esplicitare λ dalla seconda equazione e sostituirlo nella
prima, dopo aver ricavato y¨ dalla derivata seconda della terza equazione. La reazione vincolare si ricava
direttamente dalla seconda equazione esplicitata rispetto a λ, una volta noto il movimento.
Capitolo 12
Soluzione eq. 12.2
Si ha
sign(x) = step(x) − step(−x)
(F.8)
F-5
La sua derivata `e
d
(sign(x)) = δ(x) − (−δ(−x)) = 2δ(x)
dx
in quanto δ(−x) = δ(x). Il valore per x = 0 si ottiene come
1
−1 + 1
sign(0) =
lim sign(x) + lim+ sign(x) =
=0
2 x→0−
2
x→0
(F.9)
(F.10)
Capitolo 13
Soluzione es. 13.3
Se due autovalori ωi e ωj sono uguali, pur avendo autovettori distinti, la relazione
ωi2 − ωj2 X Tj MX i = 0
(F.11)
`e verificata anche se gli autovettori non sono ortogonali, e quindi in generale `e possibile che
X Tj MX i 6= 0.
(F.12)
X ′j = X j − αX i ,
(F.13)
X Ti M (X j − αX i ) = 0,
(F.14)
X Ti MX i α = X Ti MX j .
| {z }
(F.15)
Questa relazione pu`
o essere utilizzata per imporre l’ortogonalizzazione degli autovettori. Per esempio, si
scelga di preservare X i ; se la (F.12) `e vera occorre modificare X j affinch´e sia ortogonale a X i attraverso
la matrice di massa. Si scelga di scrivere
ovvero di combinare linearmente X j con X i attraverso il coefficiente incognito α, in modo da sottrarre
a X j un vettore parallelo a X i e di ampiezza incognita. Si imponga ora l’ortogonalit`
a tra X ′j e X i
attraverso la matrice di massa,
da cui si ricava
mi
Siccome la matrice di massa `e definita positiva, mi > 0, quindi `e possibile esplicitare α:
α=
X Ti MX j
.
X Ti MX i
(F.16)
A questo punto X ′j sostituisce l’autovettore originario X j .
Capitolo 14
Soluzione es. 14.2
Sia
dx
= ax
dt
da cui, per separazione di variabili, si ha
dx
= adt.
x
L’integrazione d`a
x
= a (t − t0 )
log
x0
(F.17)
(F.18)
(F.19)
il cui esponenziale d`a
x = ea(t−t0 ) x0 .
(F.20)
F-6
Soluzione es. 14.3
Si consideri, come suggerito, un cambio di variabile η = t − τ ; ne consegue τ = t − η e dτ = dη. Quindi
la convoluzione diventa
Z 0
Z t
A(t−τ )
eA(η) Bu (t − η) (−dη)
e
Bu (τ ) dτ =
x (t) =
t
0
A questo punto, data l’arbitrariet`
a della variabile di integrazione η, la si pu`
o ribattezzare τ ; inoltre,
invertendo gli estremi di integrazione, l’integrale cambia segno, per cui si ottiene
Z t
eA(τ ) Bu (t − τ ) dτ ,
x (t) =
0
ovvero quanto si voleva verificare.
Soluzione es. 14.4
Si consideri una funzione di trasferimento non strettamente propria definita come
Pn
b0 sn + i=1 bi sn−i
y = n Pn
u
s + i=1 ai sn−i
P
(`e strettamente propria se b0 = 0). A numeratore si sommi e si sottragga i=1,n ai sn−i moltiplicato per
b0 ; si ottiene
Pn
Pn
Pn
n−i
n−i
b0 sn + i=1 bi sn−i + b0
− b0
i=1 ai s
i=1 ai s
P
u
y=
n
sn + i=1 ai sn−i
P
P
P
n
n
n
n−i
b0 sn + i=1 ai sn−i + i=1 bi sn−i − b0
i=1 ai s
P
u
=
n
sn + i=1 ai sn−i
Pn
(bi − b0 ai ) sn−i
P
u.
= b0 + i=1
n
sn + i=1 ai sn−i
Quindi il termine di trasmissione diretta b0 u si somma ad una funzione di trasferimento strettamente
propria i cui coefficienti del numeratore sono b′i = bi − b0 ai .
Soluzione es. 14.9
Il problema in esame pu`
o essere realizzato agli stati come
0
1
0
A=
B=
−ω02 −2ξω0
1/m
p
√
con ω0 = k/m e ξ = r/rc = r/(2 km). L’inversa della matrice A `e
−2ξ/ω0 −1/ω02
−1
.
A =
1
0
La valutazione dell’esponenziale di matrice si pu`
o ricavare a partire dalla sua decomposizione spettrale,
A = XΛX−1 ,
con
Λ=
X=
σ + jω
0
1
σ + jω
0
σ − jω
1
σ − jω
F-7
e σ = −ω0 ξ e ω = ω0
p
1 − ξ 2 . L’esponenziale diventa
eA(t−t1 ) = XeΛ(t−t1 ) X−1 ,
con
eΛ(t−t1 ) =
e(σ+jω)(t−t1 )
0
0
e(σ−jω)(t−t1 )
.
Dal momento che l’esponenziale della matrice deve essere moltiplicata per [B], `e sufficiente valutarne
l’ultima colonna, ovvero


sin(ω(t − t1 ))
σ(t−t1 )
e


ω
eA(t−t1 ) B =
.

σ
m
sin(ω(t − t1 )) + cos(ω(t − t1 ))
ω
Quindi si ha

1 

I − eA(t−t1 ) B =
m  1 − eσ(t−t1 )
−eσ(t−t1 )
sin(ω(t − t1 ))
ω
σ
sin(ω(t − t1 )) + cos(ω(t − t1 ))
ω

! 


e infine

σ
sin(ω(t − t1 )) − cos(ω(t − t1 ))
1 + eσ(t−t1 )
step(t − t1 ) 
ω
−1
A(t−t1 )

−step(t − t1 )A
I−e
B=

k
sin(ω(t − t1 ))
ω02 eσ(t−t1 )
ω
` relativamente agevole verificare come questa soluzione corrisponda alla soluzione statica meno la
E
soluzione dell’integrale generale trovata per altra via nella sezione 5.3.
Soluzione es. 14.10
Si consideri la convoluzione
Z t
eAτ Bu (t − τ ) dτ
xp (t) =
0
Si sviluppi l’ingresso in serie di Taylor rispetto a τ ; senza ledere la generalit`
a ci si pu`
o arrestare al primo
termine:
u (t − τ ) ∼
= u (t) +
du (t − τ )
τ = u (t) − u˙ (t) τ
dτ
L’integrale di convoluzione diventa
Z t
eAτ B (u (t) − u˙ (t) τ ) dτ
x (t)p ∼
=
0
Z t
Z t
eAτ τ dτ Bu˙ (t)
eAτ dτ Bu (t) −
=
0
0
Il primo integrale d`a semplicemente
Z t
t
eAτ dτ = A−1 eAτ 0 = A−1 eAt − I .
0
F-8
! 

.

Il secondo integrale pu`
o essere risolto mediante integrazione per parti: la derivata di prodotto di funzioni
ci dice che f ′ g = (f g)′ − f g ′ , per cui, posto f ′ = e[A]τ e g = τ , per cui f = [A]−1 e[A]τ e g ′ = 1, si ottiene
Z t
Z t
t
−1
−1
Aτ
Aτ
e τ dτ = A
e τ 0−A
eAτ dτ = A−1 eAt t − A−2 eAt − I .
0
0
Di conseguenza,
xp (t) ∼
= A−1 eAt − I Bu (t) − A−1 eAt t − A−2 eAt − I Bu˙ (t)
Se la dinamica del sistema si smorza abbastanza pi`
u velocemente rispetto alla variabilit`a dell’ingresso,
tutti i termini esponenziali che risultano dagli integrali di convoluzione si annullano molto rapidamente
al crescere di t, quindi si ottiene
✘
✚ − I Bu˙ (t)
✚ − I Bu (t) − ✘
✘✘
eAt
eAt
A−1
eAt t − A−2 ✚
xp (t) ∼
= A−1 ✚
= −A−1 Bu (t) − A−2 Bu˙ (t) ,
e quindi
y (t) = −CA−1 Bu (t) − CA−2 Bu˙ (t)
che `e quanto si voleva verificare. Arrestando lo sviluppo in serie di Taylor a termini di ordine superiore
si ottiene la formula dell’approssimazione quasi-stazionaria dell’ordine desiderato.
Soluzione es. 14.14
Si consideri x = Hq, con H = [Hl Hv ] e q = {q l ; q v }. L’equazione del moto
M¨
x + Kx = f
nelle nuove coordinate diventa
mll mlv
q¨l
kll
+
T
mTlv mvv
q¨v
klv
(F.21)
klv
kvv
ql
qv
=
HlT f
HvT f
(F.22)
dove per semplicit`
a di notazione d’ora in avanti si omettono le parentesi che indicano semplicemente
r
matrici e vettori. Se si approssima q¨v = 0, dal secondo blocco si ricava
T
−1
HvT f − mTlv q¨l − klv
ql ,
(F.23)
qv = kvv
che, sostituito nel primo blocco d`a
−1 T
−1 T
−1 T
Hv f
klv ql = HlT − klv kvv
mll − klv kvv
mlv q¨l + kll − klv kvv
(F.24)
Il risultato `e
T
−1
ql
HvT f − mTlv q¨l − klv
x = Hl ql + Hv kvv
−1 T
−1 T
−1 T
klv ql .
= Hv kvv
Hv f − Hv kvv
mlv q¨l + Hl − Hv kvv
(F.25)
La matrice di rigidezza nelle nuove coordinate `e data dalla relazione
k = H T KH
(F.26)
da cui
K = H −T kH −1
(F.27)
e quindi
K −1 = Hk −1 H T
(F.28)
F-9
con, per il lemma di inversione delle matrici,
k
−1
e quindi
=
"
−1 T −1
klv
kll − klv kvv
−1 T
−1 T −1
−kvv
klv kll − klv kvv
klv
#
−1 T −1
−1
klv
− kll − klv kvv
klv kvv
−1
−1 T
−1 T −1
−1
kvv
+ kvv
klv kll − klv kvv
klv
klv kvv
−1
HlT
−1 T
−1 T −1
klv kvv
Hv
− Hl kll − klv kvv
klv
−1 T −1
−1 T
HlT
− Hv kvv klv kll − klv kvv klv
−1 T
K −1 = Hl kll − klv kvv
klv
(F.29)
−1 T
−1 T
−1 T
klv
+ Hv kvv
Hv + Hv kvv
klv kll − klv kvv
Il problema formulato come accelerazione dei modi `e
−1
−1 T
klv kvv
Hv
x = K −1 (f − M Hl q¨l )
(F.30)
(F.31)
ovvero
−1 T
x = Hl kll − klv kvv
klv
−1
−1
−1 T
klv kvv
Hv (f − M Hl q¨l )
−1
−1 T
HlT (f − M Hl q¨l )
kll − klv kvv
klv
−1 T
− Hl kll − klv kvv
klv
−1 T
− Hv kvv
klv
HlT (f − M Hl q¨l )
−1 T
+ Hv kvv
Hv (f − M Hl q¨l )
−1 T
−1 T −1
−1 T
klv kvv
Hv (f − M Hl q¨l )
klv
+ Hv kvv
klv kll − klv kvv
−1
−1 T
−1 T
HlT f − mll q¨l
klv
= Hl − Hv kvv
klv kll − klv kvv
−1
−1
−1 T
−1 T −1
HvT f − mTlv q¨l
klv kvv
+ Hv kvv
+ Hv kvv
klv − Hl kll − klv kvv
klv
(F.32)
Siccome
−1 T
−1 T
−1 T
mlv q¨l + klv kvv
Hv f
HlT f − mll q¨l = kll ql + klv qv = kll − klv kvv
klv ql − klv kvv
(F.33)
si ottiene
−1 T
−1 T
−1 T
−1 T −1
−1 T
mlv q¨l + klv kvv
Hv f
kll − klv kvv
klv ql − klv kvv
klv
x = Hl − Hv kvv
klv kll − klv kvv
−1
−1 T −1
−1
−1 T
HvT f − mTlv q¨l
klv kvv
klv
+ Hv kvv
− Hl − Hv kvv
klv kll − klv kvv
−1 T
= Hl − Hv kvv
klv ql
−1 T
−1 T −1
−1 T
klv kvv
mlv q¨l
klv
− Hl − Hv kvv
klv kll − klv kvv
−1
−1 T
−1 T
−1 T
Hv f
klv kvv
klv
klv kll − klv kvv
+ Hl − Hv kvv
−1 T
+ Hv kvv
Hv f
−1 T
− Hv kvv
mlv q¨l
−1 T
− Hl − Hv kvv
klv
−1 T
kll − klv kvv
klv
−1
−1 T
klv kvv
Hv f
−1
−1 T
klv kvv
mlv q¨l
−1 T
−1 T
−1 T
= Hv kvv Hv f − Hv kvv mlv q¨l + Hl − Hv kvv klv ql
−1 T
+ Hl − Hv kvv
klv
−1 T
kll − klv kvv
klv
ovvero ci`o che si voleva dimostrare.
F-10
(F.34)
Appendice A
Soluzione es. A.1
• Equazione (A.8a): si consideri la rappresentazione vettoriale ~v = vx~i + vy~j + vz~k; si ottiene
p~ × ~q = px~i + py~j + pz~k × qx~i + qy~j + qz~k = px qx + py qy + pz qz
~q × p~ = qx~i + qy~j + qz~k × px~i + py~j + pz~k = qx px + qy py + qz pz
in quanto il prodotto scalare tra versori differenti d`a 0 (~i ×~j = ~j × ~k = ~k ×~i = 0) mentre il prodotto
scalare di un versore per se stesso d`a 1 (~i × ~i = ~j × ~j = ~k × ~k = 1).
Si consideri la notazione matriciale {v} = [vx , vy , vz ]T ; si ottiene


T  qx 
qy
= px q x + py q y + pz q z
{p} × {q} = px py pz


qz


T  px 
py
= q x px + q y py + q z pz
{q} × {p} = qx qy qz


pz
• Equazione (A.8b):
px
p~ ∧ ~q = qx
~i
qx
~q ∧ p~ = px
~i
si consideri la notazione vettoriale; si ha:
py pz qy qz = (py qz − pz qy )~i + (pz qx − px qz ) ~j + (px qy − py qx ) ~k
~j ~k qy qz py pz = (qy pz − qz py )~i + (qz px − qx pz ) ~j + (qx py − qy px ) ~k.
~j ~k I due risultati sono chiaramente uno l’opposto dell’altro.
Si consideri ora la notazione matriciale; si ha


0
−pz py
 qx
qy
0
−px 
[p ∧ ] {q} =  pz

qz
−py px
0


0
−qz qy
 px
py
0
−qx 
[q ∧ ] {p} =  qz

pz
−qy qx
0

 py q z − pz q y
pz q x − px q z
=
 
px q y − py q x
 
  q y pz − q z py
q z px − q x pz
=
 
q x py − q y px


I due risultati sono chiaramente uno l’opposto dell’altro.






• Equazione (A.8c): si consideri la notazione vettoriale; sfruttando la relazione p~ ∧ ~q calcolata in
precedenza, si ha
~r × (~
p ∧ ~q) = rx~i + ry~j + rz~k × (py qz − pz qy )~i + (pz qx − px qz ) ~j + (px qy − py qx ) ~k
= rx (py qz − pz qy ) + ry (pz qx − px qz ) + rz (px qy − py qx )
Si potrebbe procedere come nei casi precedenti, cio`e sviluppare la forma ~q × (~
p ∧ ~r) e verificare
che il risultato `e l’opposto di quanto ottenuto (viene lasciato al lettore come esercizio). Si osservi
invece che l’ultima espressione pu`
o essere raccolta altrimenti, ovvero
rx (py qz − pz qy ) + ry (pz qx − px qz ) + rz (px qy − py qx )
= −qx (py rz − pz ry ) − qy (pz rx − px rz ) − qz (px ry − py rx ) .
F-11
Ma l’espressione a destra dell’uguale non `e altro che il risultato di −~q × (~
p ∧ ~r).
Si consideri ora la notazione matriciale; la relazione [p∧]T = −[p∧] `e dovuta al fatto che per
costruzione [p∧] `e antisimmetrica.
Per quanto riguarda la relazione usata per enunciare la propriet`
a con la notazione vettoriale, si
consideri il fatto che {r}T [p∧]{q} `e uno scalare, quindi `e identico alla sua trasposta:
T
T
T
{r} [p ∧ ] {q} = {q} [p ∧ ] {r} .
Ma la matrice [p∧] `e antisimmetrica, quindi
T
T
T
T
{r} [p ∧ ] {q} = {q} [p ∧ ] {r} = − {q} [p ∧ ] {r} .
• Equazione (A.8d): viene lasciata alla curiosit`a del lettore.
• Equazione (A.8e): viene lasciata alla curiosit`a del lettore.
• Equazione (A.8f): viene lasciata alla curiosit`a del lettore.
Soluzione es. A.2
Si consideri la notazione vettoriale. Del termine centrifugo ~a = ω
~ ∧ (~
ω ∧ ~r) si consideri il termine tra
parentesi, ~v = ω
~ ∧ ~r. Questo, per costruzione, `e normale sia a ~r che a ω
~ . Di conseguenza, ω
~ ∧ ~v `e
ortogonale a ω
~ e ~v . Questo significa che ~a giace nel piano normale a ~v ed `e normale a ω
~ . Questo piano,
per costruzione, contiene anche ~r. Se ne conclude che ~a `e diretto come la porzione di ~r perpendicolare a
ω
~ (con verso opposto).
Nel caso piano, in cui per costruzione ω
~ `e perpendicolare a ~r, il vettore ~a `e diretto come ~r, e ha verso
opposto.
Si consideri la notazione matriciale. Il termine centrifugo {a} = [ω∧][ω∧]{r} pu`
o essere riscritto come
{a} = ({ω}{ω}T − ω 2 [I]){r}, ove si `e posto ω 2 = {ω}T {ω}. L’effetto della matrice {ω}{ω}T − ω 2 [I] pu`
o
essere separato in due contributi: il primo, {ω}{ω}T , attraverso il prodotto scalare {ω}T {r} estrae la
parte di {r} diretta come {ω} e la moltiplica per il modulo di {ω} stesso; quindi moltiplica il tutto di
nuovo per {ω}, dando luogo ad un vettore diretto come {ω} e avente modulo pari alla lunghezza della
componente di {r} diretta come {ω} per il modulo di {ω} al quadrato. Il secondo contributo, −ω 2 [I],
d`a luogo ad un vettore diretto come {r} il cui modulo `e pari al modulo di {r} per il modulo di {ω} al
quadrato. L’insieme dei due contributi consiste quindi nella sola porzione di {r} perpendicolare a {ω}
moltiplicata per l’opposto del quadrato del modulo di {ω} stesso.
Anche in questo caso, se si considera un problema piano, {r} `e per definizione perpendicolare a {ω};
di conseguenza {a} = −{ω}T {ω}{r}.
Per completezza, e per evidenziare la generalit`
a di questa operazione mediante il formalismo matriciale, si propone un’ulteriore interpretazione. Si ridefinisca la velocit`
a angolare {ω} come {ω} = ω{n},
in cui si separa il modulo ω dal versore {n}, diretto come {ω} e di modulo unitario. Il termine centrifugo
{a} = [ω∧][ω∧]{r} = ({ω}{ω}T − ω 2 [I]){r} pu`
o essere riscritto come {a} = −ω 2 ([I] − {n}{n}T ){r}.
T
La matrice [P ] = [I]−{n}{n} `e un proiettore (ortogonale), ovvero un’entit`a che proietta un vettore in
un sottospazio del suo spazio di definizione. In questo caso il sottospazio `e dato dalle direzioni ortogonali
a {n}. I proiettori ortogonali godono delle propriet`
a
• [P ]T = [P ]
• [P ]2 = [P ]
` immediato verificarle entrambe.
E
F-12
Il vettore {r} pu`
o essere decomposto in una parte diretta come {n} ed una ortogonale ad {n}, ovvero
{r} = rn {n} + rm {m}, con {n}T {m} = 0. Ne consegue che
{a} = [P ] {r}
T
rn {n} + rm {m}
= [I] − {n} {n}
T
T
= rn {n} + rm {m} − rn {n} {n} {n} −rm {n} {n} {m}
| {z }
| {z }
1
0
= rm {m}
L’operazione pu`
o essere estesa a spazi di dimensione arbitraria e alla proiezione in sottospazi di dimensioni
arbitrarie purch´e inferiori.
Soluzione es. A.3
La generica matrice di rotazione [R] `e ortonormale, ovvero [R]T [R] = [R][R]T = [I]. Si derivi rispetto al
tempo la seconda relazione,
d T
˙ [R]T + [R] [R]
˙ T = [0] .
= [R]
[R] [R]
dt
T T
˙ T = ([R][R]
˙
Siccome [R][R]
) , se ne deduce che
T
˙ [R]T = − [R]
˙ [R]T
[R]
,
˙ T `e uguale al suo opposto. Ma questo implica che [R][R]
˙ T sia esprimibile
ovvero che la trasposta di [R][R]
come [ω∧], ovvero come la matrice prodotto vettore di un vettore {ω}, che assume il significato di velocit`
a
angolare.
Soluzione es. A.4
In analogia con l’esercizio precedente, la derivazione di [R]T [R] d`a
d T
˙ T [R] + [R]T [R]
˙ = [0] ,
[R] [R] = [R]
dt
da cui si ricava
T ˙
= [v ∧ ] ,
[R] [R]
dove {v} `e un generico vettore1 . Si consideri ora
T
T ˙
T
T
[v ∧ ] = [v ∧ ] [R] [R] = [R] [R]
[R] [R] = [R] [ω ∧ ] [R] .
Se ne deduce che {v} = [R]T {ω} = {ω}.
Soluzione es. A.5
Si consideri la prima delle matrici della (A.23). Dalla sua derivazione rispetto al tempo si ottiene




0
0
0
1
0
0
d 
0 cos α − sin α  = α˙  0 − sin α − cos α  .
dt
0 cos α − sin α
0 sin α cos α
1E
`
evidente che anche {v} sar`
a legato in qualche modo alla velocit`
a angolare.
F-13
Dal prodotto della derivata per la trasposta della matrice stessa si ottiene





0 0 0
0
0
0
1
0
0
α˙  0 − sin α − cos α   0 cos α sin α  = α˙  0 0 −1 
0 1 0
0 cos α − sin α
0 − sin α cos α
da cui si ricava {ω} = [0, 0, α]
˙ T , ovvero un vettore il cui modulo `e α˙ e la cui direzione `e data dall’asse x.
In modo analogo si calcola la velocit`
a angolare associata alle rimanenti due matrici della (A.23).
Soluzione es. A.7
Il momento statico {sQ } e la matrice d’inerzia [JQ ] risultano dagli integrali della (A.36),
Z
ρ {r} dV
{sQ } =
V
Z
T
[JQ ] =
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV .
V
Il vettore {r} pu`
o essere espresso in funzione del suo valore in un sistema di riferimento solidale con il
corpo come {r} = [R]{r}, da cui
Z
Z
{sQ } =
ρ [R] {r} dV = [R]
ρ {r} dV = [R] {sQ }
V
V
Z
Z
T
T
T
T
[JQ ] =
ρ [([R] r) ∧ ] [([R] r) ∧ ] dV =
[R] ρ [r ∧ ] [R] [R] [r ∧ ] [R] dV
V
V
Z
T
T
T
= [R]
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV [R] = [R] J Q [R] .
V
Soluzione es. A.8
Il momento statico {sQ } varia al variare dell’orientazione del corpo. Essendo definito rispetto al polo
Q, non risente di una pura traslazione del corpo, ma soltanto di una rotazione rispetto a tale polo.
Di conseguenza, definito un valore rispetto ad una orientazione di riferimento, {sQ }, e una matrice
di rotazione [R] dall’orientazione di riferimento a quella corrente, il momento statico nell’orientazione
corrente `e
{sQ } = [R] {sQ } .
La sua derivata rispetto al tempo `e quindi
{s˙ Q } = [ω ∧ ] [R] {sQ } = [ω ∧ ] {sQ } .
La matrice di inerzia, allo stesso modo, risente solo di una rotazione rigida rispetto al polo Q. Di
conseguenza, definito un valore di riferimento [J Q ], la matrice di inerzia nell’orientazione corrente `e
T
[JQ ] = [R] J Q [R] .
A questa considerazione si pu`
o arrivare in diversi modi; qui si preferisce una considerazione ‘operativa’.
L’energia cinetica associata alla rotazione di un corpo rigido non dipende dal sistema di riferimento, `e un
invariante scalare del moto. Nella configurazione corrente, essa `e {ω}T [JQ ]{ω}/2. Nella configurazione di
riferimento, per la quale {ω} = [R]T {ω}, si ha {ω}T [J Q ]{ω}/2. Le due espressioni devono essere uguali,
per cui si ottiene
T
1
1
1
T T
T
{ω} J Q {ω} = {ω} [R] J Q [R] {ω} = {ω} [JQ ] {ω} ,
2
2
2
da cui, per l’arbitrariet`
a di {ω}, si ricava [JQ ] = [R][J Q ][R]T . La sua derivata `e quindi
h i
h i h i
T
T
T
T
J˙Q = [ω ∧ ] [R] J Q [R] + [R] J Q [R] [ω ∧ ] = [ω ∧ ] J˙Q + J˙Q [ω ∧ ] .
F-14
Soluzione es. A.9
Il momento statico {sQ } e la matrice d’inerzia [J Q ] in un sistema di riferimento solidale con il corpo sono
costanti per definizione; di conseguenza la loro derivata `e nulla.
Soluzione es. A.10
Usando la notazione vettoriale e applicando la (A.8b)
~r ∧ ω
~ ∧ω
~ ∧ ~r = ~r ∧ (~
ω ∧ (~
ω ∧ ~r))
= − (~
ω ∧ (~
ω ∧ ~r)) ∧ ~r.
Quindi, applicando ripetutamente la (A.8f) e la (A.8b),
− (~
ω ∧ (~
ω ∧ ~r)) ∧ ~r = −~
ω ∧ (~
ω ∧ ~r) ∧ ~r + (~
ω ∧ ~r) ∧ ω
~ ∧ ~r
✭
✭
= −~
ω∧ω
~ ∧ ~r ∧ ~r + ω
~ ∧ ~r ∧ ω
~ ∧ ~r + ✭
(~
ω✭
∧✭
~r)✭
∧✭
(~
ω✭∧ ~r)
✭✭
= −✭
ω
~∧
~✭∧✭(~✭
r ∧ ~r) − ω
~ ∧ ~r ∧ ~r ∧ ω
~
✭ω
` forse pi`
E
u intuitivo usare la notazione matriciale anzich´e quella vettoriale; in questo caso, l’obbiettivo
`e dimostrare che
[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] {r} = − [ω ∧ ] [r ∧ ] [r ∧ ] {ω} .
Si consideri la propriet`
a (A.8d), qui riscritta per comodit`
a:
T
T
[a ∧ ] [b ∧ ] = {b} {a} − {a} {b} [I] .
La si usi per sostituire il contributo [ω∧][ω∧] con {ω}{ω}T − {ω}T {ω}[I], ovvero
T
T
[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] {r} = [r ∧ ] {ω} {ω} {r} − {ω} {ω} [r ∧ ] {r} .
| {z }
{0}
Il contributo {ω}T {r} `e scalare, quindi pu`
o essere riscritto come {r}T {ω}. Il contributo [r∧]{ω} ricordando la propriet`
a di antisimmetria del prodotto vettore pu`
o essere invece riscritto come −[ω∧]{r};
quindi
T
[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] {r} = [r ∧ ] {ω} {ω} {r}
T
= − [ω ∧ ] {r} {r} {ω} .
A questo punto, `e possibile aggiungere arbitrariamente un contributo del tipo {r}T {r}[I][ω∧]{ω} in
quanto identicamente nullo; si ottiene
T
[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] {r} = [r ∧ ] {ω} {ω} {r}
T
= − [ω ∧ ] {r} {r} {ω}
T
T
= − [ω ∧ ] {r} {r} − {r} {r} [I] {ω}
= − [ω ∧ ] [r ∧ ] [r ∧ ] {ω} .
Soluzione es. A.11
La verifica della simmetria `e immediata: la matrice di inerzia, nella (A.36), `e definita come
Z
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV .
[JQ ] = −
V
F-15
Grazie alla propriet`
a di antisimmetria della matrice che esprime il prodotto vettore, questa si pu`
o
riscrivere
Z
T
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV .
[JQ ] =
V
Siccome il prodotto di una matrice per la sua trasposta d`a una matrice simmetrica, la [JQ ] `e simmetrica
per costruzione.
Verificare che la matrice di inerzia sia definita positiva richiede una trattazione pi`
u elaborata. Una
delle propriet`
a delle matrici definite positive consiste nell’avere tutti gli autovalori positivi. Come descritto nella nota 6 di pagina A-10, gli autovalori della matrice di inerzia sono i momenti principali di
inerzia, ovvero i momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi principali di inerzia. Siccome un cambiamento di orientazione non cambia le propriet`
a invarianti di una matrice, quali gli autovalori, non si lede
la generalit`
a se ci si riferisce fin dall’inizio al sistema di riferimento principale d’inerzia. In questo caso
speciale la matrice d’inerzia, data da

 2
Z
Z
y + z 2 −xy − xz
T
z 2 + x2
−yz  dV ,
[JQ ] =
ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV =
ρ  −yx
V
V
−zx
−zy
x2 + y 2
ha i coefficienti extra-diagonali identicamente nulli. Siccome la densit`a ρ `e positiva, i coefficienti diagonali
sono positivi per costruzione, perch´e integrali di funzioni sempre positive (tranne che in un insieme
limitato di punti; ma la matrice non pu`
o essere semidefinita perch´e ci`o implicherebbe che almeno due
dimensioni siano nulle, ad esempio che il corpo sia un segmento di retta).
Soluzione es. A.12
Si consideri l’espressione delle coppie d’inerzia data dalla (A.40b). L’espressione della potenza `e
T
T
Π = {ω} {CiG } = {ω} (− [JG ] {ω}
˙ − [ω ∧ ] [JG ] {ω}) .
Si noti per`
o che {ω}T [ω∧] = {0}T (perch´e? lo si verifichi ), quindi
T
Π = − {ω} [JG ] {ω}
˙ .
Si verifichi che l’espressione trovata `e l’opposto della derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica
associata alla rotazione, {ω}T [JG ]{ω}/2.
Soluzione es. A.13
La (A.40a) ci dice che le forze d’inerzia sono nulle, in quanto il baricentro, che per ipotesi si trova sull’asse
di rotazione, ha accelerazione nulla. La (A.40b), nell’ipotesi che il sistema di riferimento in cui `e espressa
la matrice dei momenti di inerzia [JG ] non sia principale d’inerzia, ci dice che le coppie d’inerzia sono




 IyzG 
 −IxzG 
−IxzG
−IyzG
ω2 .
ω˙ −
{CiG } = −
 z
 z 

0
IzzG
Soluzione es. A.14
La derivata della (A.50a) `e immediata:
n o
Q˙ = m {v˙ G } .
La derivata della (A.50b) comporta anche la derivazione rispetto al tempo della matrice di inerzia, ovvero
h i
n o
˙ + J˙G {ω} .
Γ˙ G = [JG ] {ω}
F-16
La derivata della matrice d’inerzia `e
h i
T
J˙G = [ω ∧ ] [JG ] + [JG ] [ω ∧ ] ;
la sua sostituzione nella derivata del momento delle quantit`a di moto comporta un prodotto [ω∧]T {ω},
che `e nullo per definizione. Si ottiene cos`ı
n o
˙ + [ω ∧ ] [JG ] {ω} .
Γ˙ G = [JG ] {ω}
˙ e {CiG } = −{Γ˙ G }, si riottengono le (A.40).
Dal momento che {Fi } = −{Q}
Soluzione es. A.15
La soluzione `e gi`
a stata data come soluzione dell’esercizio A.4. Viene qui proposta una dimostrazione
alternativa. Una rotazione in generale rappresenta un cambiamento del ‘punto di vista’ rispetto al
quale si guarda una relazione tra vettori, non la natura dei vettori n´e della relazione. Si consideri il
prodotto vettore tra {ω} e un generico vettore {v}, espresso nello stesso sistema di riferimento del primo.
L’operazione d`a
{z} = [ω ∧ ] {v} .
La stessa operazione pu`
o essere svolta come sequenza di operazioni che portano entrambi i vettori {ω} e
{v} in un altro sistema di riferimento, mediante moltiplicazione per [R], e poi riportano il risultato nel
sistema di riferimento iniziale mediante moltiplicazione per [R]T , ovvero
{ω} = [R] {ω}
{v} = [R] {v}
{z} = [ω ∧ ] {v}
T
{z} = [R] {z} .
a di {v}, [([R]T {ω})∧] = [R]T [ω∧][R].
Quindi {z} = [ω∧]{v} = [R]T [ω∧][R]{v}, ovvero, per l’arbitrariet`
Soluzione es. A.16
La velocit`
a angolare tra il corpo e il telaio nel sistema di riferimento inerziale (A.66) `e

˙
Ψ

.
{ω} =
−Φ˙ sin Ψ

 ˙
Φ cos Ψ


La sua derivata `e

 

¨
Ψ
  0 

˙ Φ.
˙
¨ sin Ψ
cos Ψ
Ψ
−
{ω}
˙ =
−Φ

 
 ¨
sin Ψ
Φ cos Ψ
¨ =Φ
¨ = 0, quindi
In condizioni nominali, Ψ


 0 
˙ Φ.
˙
cos Ψ
Ψ
{ω}
˙ =−


sin Ψ
F-17
La matrice d’inerzia nel sistema solidale con il corpo, [J] = diag(I, I, I3 ) rimane inalterata quando la
si trasforma nel sistema di riferimento della cassa; quando la si trasforma nel sistema di riferimento del
telaio, si ottiene




1
0
0
1
0
0
I 0 0
[JG ] =  0 cos Ψ − sin Ψ   0 I 0   0 cos Ψ sin Ψ 
0 − sin Ψ cos Ψ
0 sin Ψ cos Ψ
0 0 I3


I
0
0
=  0 I cos2 Ψ + I3 sin2 Ψ (I − I3 ) cos Ψ sin Ψ 
0 (I − I3 ) cos Ψ sin Ψ I sin2 Ψ + I3 cos2 Ψ
La coppia d’inerzia nel sistema di riferimento inerziale diventa


 0 
˙ Φ˙
cos Ψ
{CiG } =
I Ψ

 3
sin Ψ
La sua proiezione nel riferimento solidale con la cassa d`a di nuovo la (A.72).
F-18
Bibliografia
[1] R. H. Cannon Jr., Dynamics of Physical Systems. New York: McGraw-Hill, Inc., 1967.
[2] H. E. Merritt, Hydraulic Control Systems. New York: John Wiley & Sons, 1967.
[3] G. E. P. Box and N. R. Draper, Empirical Model Building and Response Surfaces. New York, NY:
John Wiley & Sons, 1987.
[4] I. Newton, “Philosophiae naturalis principia mathematica,” 1687.
[5] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics. Oxford at the Clarendon Press, 4th ed., 1958.
[6] C. Moler and C. V. Loan, “Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty-five
years later,” SIAM Review, vol. 45, no. 1, pp. 3–49, 2003.
[7] M. Bianchin, G. Quaranta, and P. Mantegazza, “State space reduced order models for the static
aeroelasticity and flight mechanics of flexible aircrafts,” in Proceeding of the XVII Congresso Nazionale
AIDAA, (Rome, Italy), AIDAA, September 15–19 2003.
[8] W. H. A. Schilders, H. A. van der Vorst, and J. Rommes, Model order reduction: theory, research
aspects and applications. Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.
F-19

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