Microeconomia, Esercitazione 8 (16/04/2014) Teoria dei giochi

Microeconomia, Esercitazione 8 (16/04/2014)
Teoria dei giochi
Dott. Giuseppe Francesco Gori
Domande a risposta multipla
1) Sia data la seguente matrice delle vincite di un gioco con due giocatori, A e B, che possono
scegliere fra due strategie (pure), con A che sceglie fra “alto” e “basso” e B che sceglie fra
“sinistra” e “destra”.
B
S
D
A
1;2
10;1
B
3;3
2;4
A
In questo gioco:
a) non esiste alcun equilibrio di Nash
b) esiste solo un equilibrio di Nash
c) esistono due equilibri di Nash
d) esistono due equilibri di Nash, entrambi con strategie dominanti
e) nessuna delle altre affermazioni è corretta
2) Sia data la seguente matrice delle vincite di un gioco con due giocatori, A e B, che possono
scegliere fra due strategie “colludere e “non colludere”
B
NC
C
NC
2;2
10;1
C
1;10
6;6
A
In questo gioco:
(a) non esiste alcuna situazione di equilibrio di Nash
(b) (C;C) è l’unico equilibrio di Nash (in strategie pure)
(c) (C;NC) e (NC;C) sono entrambi di equilibrio di Nash (in strategie pure)
(d) (NC;NC) è l’unico equilibrio di Nash (in strategie pure)
(e) tutte le situazioni indicate sono di equilibrio di Nash (in strategie pure)
3) Sia data la seguente matrice delle vincite di un gioco con due giocatori, A e B, che possono
scegliere fra due strategie (pure), con A che sceglie fra “alto” e “basso” e B che sceglie fra
“sinistra” e “destra”.
B
S
D
A
2;1
0;1
B
1;0
0;0
A
Indicando le possibili situazioni con AS, AD, BS, BD (dove A=alto, B=basso, S=sinistra,
D=destra), gli equilibri di Nash (in strategie pure) del gioco sono:
a) AS, AD, BD;
b) AS soltanto;
c) AS, AD;
d) AS, BD;
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta.
4) Un equilibrio in strategie dominanti
a)
b)
c)
d)
È sempre un equilibrio di Nash pareto efficiente;
Non è mai un equilibrio di Nash;
È un equilibrio di Nash se e solo se è anche pareto efficiente;
È sempre un equilibrio di Nash.
5) Nel caso del dilemma del prigioniero
a)
b)
c)
d)
L’unico equilibrio di Nash è anche Pareto efficiente;
Non esiste un equilibrio di Nash ma esiste un ottimo paretiano;
L’unico equilibrio di Nash non è Pareto efficiente;
Nessuna delle precedenti.
6) La strategia “tit for tat” prevede che
a)
b)
c)
d)
Si smetta di cooperare solo se l’altro giocatore devia dall’inizio;
Si punisca il giocatore che ha deviato per un periodo limitato;
Si punisca il giocatore che ha deviato per un periodo illimitato;
Si punisca il giocatore che ha deviato nei due periodi precedenti.
7) Con orizzonte finito, la strategia “grim trigger” implica
a)
b)
c)
d)
La sostenibilità di qualsiasi accordo cooperativo;
La non sostenibilità di qualsiasi accordo cooperativo;
La defezione di uno solo dei due giocatori;
Nessuna delle precedenti.
Soluzioni : a d a d c b b
Esercizi
Esercizio 1. Teoria dei giochi
1.1 Si consideri il seguente gioco non cooperativo
2
A
B
A
0;5
-1;3
B
0;0
-1;3
1
Individuare gli equilibri di Nash. Cosa accade se il giocatore 1 ha il vantaggio della prima mossa? E
se invece ce l’ha il giocatore 2?
Soluzione: In questo gioco ci sono due equilibri di Nash, ovvero (A,A) e (B,B)
2
A
B
A
0;5
-1;3
B
0;0
-1;3
1
L’equilibrio (A,A) domina (B,B) in senso paretiano ma nel caso in cui non sia possibile che i due
giocatori si accordino non è possibile stabilire a priori quale esito prevarrà in equilibrio. Nel caso in
cui il gioco sia invece sequenziale e al giocatore 1 spetti la prima mossa avremo che:
Giocatore)1)
B
A
Giocatore)2)
A
0;5)
Giocatore)2)
B
A
01;3)
0;0)
B
01;3)
e dunque l’esito Pareto efficiente prevarrà. Nel caso in cui invece giochi per primo 2 possiamo
rappresentare il gioco in una forma ridotta: se 2 gioca B infatti l’esito del gioco è lo stesso
indipendentemente dalla scelta di 1.
Giocatore)2)
B
A
Giocatore)1)
.1;3)
B
A
0;5)
0;0)
In questo caso l’esito del gioco non è definibile a priori.
1.2 Si consideri il seguente gioco non cooperativo. Le strategie a disposizione dell’entrante sono In,
ovvero entrare nel mercato o Out, ovvero restarne fuori. L’incumbent può decidere se adottare un
atteggiamento aggressivo A (ad esempio espandendo la produzione) o non aggressivo NA.
Incumbent
A
NA
Out
0;3
0;3
In
-3;-2
2;1
Entrant
Individuare gli equilibri di Nash. Rappresentate il gioco in forma estesa e risolvetelo. Può
l’incumbent esercitare una minaccia credibile?
Soluzione: I NE del gioco sono due, ovvero (Out,A) e (In, NA)
Incumbent
A
NA
Out
0;3
0;3
In
-3;-2
2;1
Entrant
Rappresentando il gioco in forma estesa però emerge come l’unico equilibrio di Nash perfetto sia
(In, NA)
Entrant&
Out&
In&
Incumbent&
0;3&
NA&
A
33;32&
2;1&
In effetti la strategia A dell’incumbent non rappresenta una minaccia credibile per l’entrante.
1.3 Si consideri il seguente gioco non cooperativo
Incumbent
A
NA
Out
0;40
0;40
In
-20;-20
10;20
Entrant
Individuare gli equilibri di Nash. Rappresentate il gioco in forma estesa e risolvetelo. Può
l’incumbent esercitare una minaccia credibile?
Come cambia il gioco se l’incumbent può legarsi le mani sottoscrivendo un accordo (che
indichiamo con v) con una parte terza che lo obbliga a scegliere A se l’entrante sceglie In?
Immaginate che questo accordo sia costoso e mostrate come cambia l’esito del gioco in relazione al
costo dell’accordo.
Soluzione: Come nel caso dell’esercizio precedente NE del gioco sono due, ovvero (Out,A) e (In,
NA) e l’unico equilibrio di Nash perfetto è (In, NA): ancora una volta la strategia A dell’incumbent
non rappresenta una minaccia credibile per l’entrante. Tuttavia, l’incumbent può esercitare una
minaccia credibile legandosi le mani e sottoscrivendo un accordo non rinegoziabile (il vincolo v)
che lo impegna a scegliere la strategia A qualora l’entrante decida di entrare nel mercato. Questo
equivale a una modifica nell’ordine delle mosse. Adesso infatti è l’incumbent che sceglie per primo
se sottoscrivere l’accordo o meno.
Se sceglie di sottoscriverlo otterrà payoff decurtati del costo del contratto. Avremo dunque che per
lui converrà vincolarsi esclusivamente per 𝑣 ≤ 20. In particolare, per 𝑣 < 20 l’unico equilibrio di
Nash perfetto sarà (V, Out) e l’incumbent otterrà con certezza l’esito per lui ottimale.
Incumbent&
NV&
V&
Entrant&
Entrant&
Out&
In&
0;40-v&
-20;-20-v&
Out&
In&
0;40&
Incumbent&
NA&
A
-20;-20&
10;20&
Nel caso in cui 𝑣 = 20 per l’incumbent sarà indifferente sottoscrivere o meno l’accordo e dunque
non sappiamo a priori quale sarà l’esito del gioco tra (V, Out) e (NV, In, NA).
Incumbent&
NV&
V&
Entrant&
In&
420;440&
Entrant&
Out&
0;20&
Out&
In&
0;40&
Incumbent&
A
420;420&
NA&
10;20&
Per 𝑣 > 20 infine, all’incumbent non converrà sottoscrivere l’accordo/vincolo e l’esito sarà con
certezza (NV, In, NA).
1.4 Si consideri il seguente gioco non cooperativo in forma estesa con tre giocatori
Giocatore)1)
R
L)
Giocatore)3)
Giocatore)2)
L)
R
B
A
Giocatore)3)
2;0;1)
Giocatore)3)
11;5;6)
L)
R
3;1;2)
L)
5;4;4)
0;11;7)
R
12;2;0)
Qual è l’equilibrio perfetto nei sottogiochi? Quale, tra le strategie di 3, potrebbe essere una
minaccia per il giocatore 2? Sarebbe credibile?
Soluzione: L’unico equilibrio di Nash perfetto è (R,A,R), mentre una minaccia di 3 per 2 sarebbe la
strategia “L se A e R se B”. Questo perché è l’unica tra le strategie di 3 (nel sottogioco attivato dalla
scelta R da parte di 1) che implica U(A)<U(B) ovvero 2<4, e che quindi potrebbe indurre 2 a
scegliere B. Questo lascerebbe poi a 3 la possibilità di scegliere L e ottenere 7, che è il suo payoff
maggiore.
Giocatore)1)
R
L)
Giocatore)3)
L)
Giocatore)2)
R
B
A
Giocatore)3)
2;0;1)
Giocatore)3)
11;5;6)
L)
3;1;2)
R
L)
5;4;4)
0;11;7)
R
12;2;0)
La strategia però non è una minaccia credibile: il giocatore 2 sa che, se scegliesse A, 3 sceglierebbe
R e non L, come invece minaccia di fare.
1.5 Si consideri il seguente gioco non cooperativo
2
C
D
A
10;5
1;7
B
7;10
0;7
1
Il giocatore 1 gioca per primo, rappresentate il gioco sequenziale in forma normale ed estesa. Qual è
l’equilibrio perfetto nei sottogiochi?
Ripetete l’esercizio nel caso in cui sia il giocatore 2 a giocare per primo.
Soluzione: Nel gioco simultaneo l’equilibrio è (A;D), facilmente individuabile osservando che la
strategia A è strettamente dominante per il giocatore 1. Tuttavia, la rappresentazione in forma estesa
Giocatore)1)
B
A
Giocatore)2)
Giocatore)2)
D
C
10;5)
D
C
1;7)
7;10)
0;7)
ci permette di verificare che l’unico equilibrio è (B, C). Si noti che questo non era equilibrio nel
gioco simultaneo. In effetti, adesso il giocatore 1 acquisisce un’informazione rilevante sul
comportamento del giocatore 2 in risposta alla sua scelta. Non esclude più quindi di giocare la
strategia B, che nel gioco simultaneo è strettamente dominata. Nel caso in cui il giocatore 2 giochi
per primo, l’unico NE è (D,A). Rappresentando il gioco in forma estesa concludiamo che si tratta di
un equilibrio di Nash perfetto.
Giocatore)2)
D
C
Giocatore)1)
A
10;5)
Giocatore)1)
B
A
7;10)
1;7)
B
0;7)

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