Giacomo Pagina
Giovanna Patri
Percorsi di matematica
per il ripasso e il recupero
2
per la Scuola secondaria di secondo grado
UNITÀ
CAMPIONE
Edizioni del Quadrifoglio
à
t
i
n
U
1
Sistemi
di primo grado
Un sistema è un insieme di due o più equazioni
che devono essere soddisfatte dagli stessi
valori delle incognite.
Le equazioni sono riunite in una parentesi
graffa, simbolo che identifica un sistema in
matematica.
1.1 Risoluzione di un sistema di primo grado
1.2 Metodo di sostituzione
1.3 Metodo del confronto
1.4 Metodo di riduzione
1.5 Metodo di Cramer
1.6 Sistemi fratti
1.7 Sistemi letterali
1.8 Risoluzione di problemi con sistemi
Unità 1
1.1 Risoluzione di un sistema di primo grado
Prof
In questa Unità trattiamo sistemi di due equazioni con due incognite, x e y , a esponente 1, chiamati sistemi di primo grado di due
equazioni a due incognite.
Per risolvere un sistema, occorre prima ridurre le sue equazioni in forma normale; tale riduzione si svolge con i seguenti due passaggi:
1. si mettono i termini con le incognite x e y a primo membro e i termini noti a secondo membro;
2. si svolgono gli opportuni passaggi algebrici per giungere alla forma normale del tipo
{
a 11x + a 12 y = a 13
a 21x + a 22 y = a 23
dove i termini a sono definiti coefficienti del sistema. Ogni coefficiente è indicizzato
da due numeri: il primo indice è il numero dell’equazione (1 per la prima, 2 per la
seconda), il secondo indice è la posizione occupata nella singola equazione (1 per il
coefficiente di x, 2 per il coefficiente di y, 3 per il termine noto).
Attenzione: esistono sistemi di primo grado di tre equazioni a tre incognite. In
questo caso il sistema si presenta nella forma normale
{
a
x + a 12
y + a 13
z = a 14
11
x
+
a
y +
a
z =
a
24
a
22
23
21
a 31x + a 32 y + a 33 z = a 34
dove le tre incognite sono x, y e z.
Esempio
Riduciamo il seguente sistema di primo grado di due equazioni a due incognite in forma normale
{
x + 2y − 3 = 8 − 2x
2x − y = 3 − x − 2y
In entrambe le equazioni, portiamo i termini con x e y a primo membro e i
termini noti a secondo membro
{
x + 2x + 2y = 8 + 3
2x + x − y + 2y = 3
Eseguiamo i passaggi algebrici necessari per semplificare il più possibile le
due equazioni: otteniamo la forma normale
{
3x + 2y = 11
3x + y = 3
8
Sistemi di primo grado
La soluzione di un sistema di primo grado di due equazioni a due incognite x e y è
una coppia ordinata di numeri (a, b) tale che la sostituzione di x con a e di y con b
verifica contemporaneamente entrambe le equazioni del sistema. La soluzione finale
di un sistema è dunque scritta come
{
o, più brevemente, (a, b).
x = a
y = b
A riguardo, un sistema si definisce:
• determinato quando ammette un’unica soluzione;
• impossibile quando non ammette alcuna soluzione;
• indeterminato quando ammette infinite soluzioni.
Esempi
▶▶
Il sistema
{
x + y = 3
x − y = 1
è determinato perché ammette come unica soluzione
{
x = 2
y = 1
Infatti, se sostituiamo all’incognita x il valore 2 e all’incognita y il valore 1 in
entrambe le equazioni del sistema, otteniamo due uguaglianze.
▶▶
Il sistema
{
x + y = 3
x + y = 1
è impossibile perché non ammette soluzione. Infatti non esistono due coppie di numeri che sommati diano contemporaneamente due risultati diversi.
▶▶
Il sistema
{
x + y = 3
5x + 5y = 15
è indeterminato perché ammette infinite soluzioni; infatti, la soluzione del
sistema è rappresentata da una qualsiasi coppia di numeri la cui somma
algebrica dà come risultato 3, per esempio
{
{
x = 1
oppure x = 7
y = 2
y = − 4
e infinite altre coppie.
In questa Unità descriviamo quattro metodi di risoluzione dei sistemi: sostituzione,
confronto, riduzione e Cramer. È opportuno precisare che un sistema può essere risolto, in maniera equivalente, utilizzando uno qualsiasi dei metodi descritti.
9
Unità 1
Esercizi 1.1
Riduci i seguenti sistemi in forma normale.
Trainer
{7x + y − 3x + 2 = 5
10x = 1 + 4y
1.
Somma algebricamente i termini simili e ottieni la forma normale del sistema
{10x
+y=
=1
....................
....................
....................
{2x + 5 = y + 12
x − 3 = y + 1
2.
{
{
2 (x + y) = 3 (2x − y − 2)
5x = 3 (x + y)
3.
y − 2x + 3 = 0
x + 3y = (x + 3) 2
4.
2
{
Trainer
y + 1
x − 1
_____
+ _____
= 1
2
4
5.
2y + 1
2x − 1
______
______
−
= 1
2
6
Puoi ridurre ogni equazione allo stesso denominatore e poi eliminarlo. Esegui
quindi i passaggi algebrici per ridurre il sistema in forma normale.
{
x + y _____
x − y
_____
+
= 3
4
2
6.
12x − 7y
________
= 3
3
{
3x + y
1 y
1 − ______
= − __
8
6
7.
2x
−
y
2
−
3x
______
______
−
= 2x
3
2
Trainer
{2x − y = 4
x + 3y = 9
8. Verifica se la coppia (3, 2) è soluzione del sistema
Sostituisci nelle due equazioni del sistema il valore 3 al posto dell’incognita
x e il valore 2 al posto dell’incognita y
{
2 (..........) − .......... = 4
.......... + 3 (..........) = 9
Esegui le operazioni. La coppia di valori (3, 2) .............................. soluzione del sistema dato perché ............................................................ entrambe le equazioni del sistema.
{x + y = − 2
x − y = 0
9. Verifica se la coppia (− 1, − 1) è soluzione del sistema
{4x + y = − 2
− 3x − y = 1
10. Verifica se la coppia (2, − 1) è soluzione del sistema
10
Sistemi di primo grado
1.2 Metodo di sostituzione
Prof
Per risolvere un sistema col metodo di sostituzione, si eseguono
i seguenti passaggi:
1. si ricava un’incognita da una delle due equazioni, solitamente la
più semplice (ipotizziamo la prima);
2. si sostituisce l’incognita trovata nell’altra equazione (la seconda);
3. si risolve la seconda equazione che è diventata a una sola incognita;
4. si sostituisce il valore dell’incognita così trovata nella prima
equazione, determinando il valore dell’altra incognita.
Esempio
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione
{
2x + 5y = 3
3x − 4y = − 7
1. Scegliamo di ricavare l’incognita x dalla prima equazione
− 5y + 3
x = _______
2
2. Sostituiamo l’espressione della x nella seconda equazione, ottenendo il
sistema
− 5y + 3
x = _______
2
− 5y + 3
________
3
− 4y = − 7
2
{ (
)
3. Eseguendo i passaggi algebrici, risolviamo la seconda equazione rispetto
all’incognita y
− 5y + 3
x = _______
2
− 23
____
y =
= 1
− 23
{
4. Sostituiamo il valore y = 1 nella prima equazione e troviamo il valore di x
{
− 5 (1) + 3 ___
x = _________
= − 2 = − 1
2
2
y = 1
La soluzione del sistema è dunque
{
x = − 1
y = 1
11
Unità 1
Il metodo di sostituzione è utilizzato pure per risolvere sistemi di tre equazioni a tre
incognite.
Esempio
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione
{
x + y + z = 6
2x + y − z = 1
2x − 3y + z = − 1
La strategia consiste nello scegliere un’equazione per ricavare una incognita, per poi sostituirla nelle altre due equazioni; in questo modo ci riduciamo al noto sistema di due equazioni a due incognite che sappiamo
risolvere.
Scegliamo di ricavare l’incognita z dalla prima equazione
z = 6 − x − y
e la sostituiamo nella seconda e terza equazione
{
z = 6 − x − y
2x + y − (6 − x − y) = 1
2x − 3y + (6 − x − y) = − 1
Per il momento tralasciamo la prima equazione e consideriamo solo la seconda e terza equazione
{
.............................................................
2x + y − (6 − x − y) = 1
2x − 3y + (6 − x − y) = − 1
Sviluppiamo i calcoli e, in entrambe le equazioni, teniamo i termini in x e y a
primo membro, mentre spostiamo i termini noti a secondo membro
{
................................
3x + 2y = 7
x − 4y = − 7
Abbiamo ottenuto il “noto” sistema di due equazioni a due incognite, quindi
procediamo come nell’esempio precedente.
Scegliamo di ricavare l’incognita x dall’ultima equazione
x = 4y − 7
Sostituiamo x nell’equazione 3x + 2y = 7 dalla quale, svolgendo i calcoli, otteniamo il valore finale di y
{
...........................
y = 2
x = 4y − 7
12
Sistemi di primo grado
Sostituiamo il valore di y nell’ultima equazione e, svolgendo i calcoli, otteniamo il valore finale di x
{
...............
y = 2
x = 1
A questo punto riconsideriamo il sistema completo
{
z = 6 − x − y
y = 2
x = 1
e, sostituendo x e y nella prima equazione, otteniamo il valore di z
{
z = 3
y = 2
x = 1
e dunque la soluzione del sistema.
Esercizi 1.2
{x + y = 5
2x + y = 8
Trainer
11.
{
.................
Ricava x dalla prima equazione x =
2x + y = 8
{
....................
Sostituisci l’espressione trovata nella seconda equazione x = 2 (...................) + y = 8
{
....................
Esegui i calcoli nella seconda equazione x =
.................... = 8
e determina il valore di y
{
....................
x =
y = ....................
Sostituisci il valore di y nella prima equazione e trova il valore di x
{
....................
x = y = ....................
La soluzione del sistema è (..............., ...............).
{x + y = 0
x − y = − 1
12.
{x + 2y = 3
3x − 2y = 1
13.
13
Unità 1
Trainer
{3x − y = 2
x + 2y = 10
14.
Conviene ricavare x dalla seconda equazione perché ha coefficiente 1 quindi
3x − y = 2
non avremo una frazione
x = ..............................
3 (..........) − y = 2
Sostituisci l’espressione trovata per x nella prima equazione
x = ............................
= 2 e trova il valore di .
Esegui i calcoli nella prima equazione .............................
y
x = .............................
Sostituisci il valore di y nella seconda equazione e trova il valore di x
{
{
{
{ y = x =
....................
....................
La soluzione del sistema è (..............., ...............).
{2x − 3y = − 5
x + 7y = 2
15.
Trainer
{2x + y = 3
6x − y = 5
16.
In questo caso conviene ricavare l’espressione di y dalla prima equazione e
sostituirla nella seconda.
{2x − y = 3
7x − 2y = − 6
17.
{2x − 3y = − 5
x + 2y = 2
18.
{5x − 3y = 12
x − 2y = 1
19.
Trainer
{x + 2y = 1
− 2x − 4y = 2
20.
Puoi ricavare x dalla prima equazione e sostituirla nella seconda.
{ −x 2 (=
..............................
...............................
{
x = − 2y + 1
Eseguendo i calcoli, ottieni
+ 4y − 2 − 4y = 2
) − 4y = 2
I monomi in y sono opposti e l’uguaglianza − 2 = 2 è falsa.
Il sistema risulta impossibile, quindi ........................................ soluzione.
{2x − y = 3
− 6x + 3y = − 9
21.
Puoi ricavare y dalla prima equazione e sostituirla nella seconda.
14
Sistemi di primo grado
{
{
y = 2x − 3
y = 2x − 3
Eseguendo i calcoli, ottieni
− 6x + 3 (....................) = − 9
− 6x + 6x − 9 = − 9
I monomi in x sono opposti e l’uguaglianza − 9 = − 9 è vera.
Il sistema risulta indeterminato, quindi ........................................ soluzioni.
{
x + y
x − y
_____
= 1 + _____
3
2
22.
1 − 2y
2x + 1
1
______
___
______
= +
4
12
3
Riduci dapprima il sistema in forma normale.
{
x − 4y
______
= x − 5y
23.
3
x − 2 = 6y + 4
{
Trainer
x + 2y + 3z = 1
24. 3x + 4y + 6z = 3
10x + 5y − 3z = − 4
{
x = ........................................
Ricava x dalla prima equazione 3x + 4y + 6z = 3
10x + 5y − 3z = − 4
Sostituisci l’espressione trovata nella seconda e nella terza equazione
{
x = .............................................
..............................................) + 4y + 6z = 3
3 (
10 (.............................................) + 5y − 3z = − 4
Esegui le operazioni nella seconda e terza equazione, somma i termini simili
x = .....................................
............
y.......... z = ..........
e scrivile nella forma normale
............ y.......... z = ..........
{
La seconda e la terza equazione costituiscono un sistema di due equazioni
nelle due incognite y e z. Risolvilo (ricavando l’espressione di y dalla prima
equazione e sostituendola nella seconda) e determina i valori y =
....................
e
z = ..................... Sostituisci tali valori nella prima equazione e calcola il corrispondente valore di x = .....................
La soluzione del sistema è (..............., ..............., ...............).
{
x + y + z = 1
25. 2x − y + z = 5
x + 2y − 2z = 6
{
x − y + z = 0
26. 4x − 5y + 2z = − 2
2x + 3y − 2z = 3
15
Unità 1
1.3 Metodo del confronto
Prof
Per risolvere un sistema col metodo del confronto, si eseguono i
seguenti passaggi:
1. si ricava da entrambe le equazioni la stessa incognita (la x oppure la y );
2. si eguagliano le due espressioni ottenute, ricavando così un’unica
equazione in una sola incognita y o x ;
3. si risolve l’equazione, ricavando il valore di y o x ;
4. si sostituisce il valore ottenuto in una delle due equazioni iniziali (la più semplice), determinando così il valore dell’altra incognita.
Esempio
Risolviamo il sistema, già risolto con il metodo di sostituzione, utilizzando il
metodo del confronto
{
2x + 5y = 3
3x − 4y = − 7
1. Scegliamo di ricavare l’incognita x da entrambe le equazioni
{
− 5y + 3
x = _______
2
4y − 7
x = ______
3
2. Essendo entrambi uguali a x, possiamo uguagliare i secondi membri delle
espressioni trovate, ottenendo così l’equazione
− 5y + 3 ______
4y − 7
_______
=
2
3
nella sola incognita y.
L’equazione va messa a sistema con una delle due espressioni per x, ad
esempio la prima (di solito si sceglie la più semplice), ottenendo il seguente sistema
{
− 5y + 3 ______
4y − 7
_______
=
2
3
− 5y + 3
x = _______
2
16
Sistemi di primo grado
{
3. Risolviamo la prima equazione rispetto all’incognita y, e otteniamo
− 23
y = ____
= 1
− 23
− 5y + 3
_______
x =
2
4. Sostituiamo il valore y = 1 nella seconda equazione e calcoliamo il valore di x
{
y = 1
− 5 (1) + 3 ___
x = _________
= − 2 = − 1
2
2
La soluzione del sistema è dunque
{
x = − 1
y = 1
ed è ovviamente uguale a quella ottenuta con il metodo di sostituzione.
Esercizi 1.3
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto.
{2x + 5y = 6
8x − 3y = 1
Trainer
27.
{
....................
Ricava x da entrambe le equazioni x =
x = ....................
Considera ora il sistema in cui la prima equazione è quella che si ottiene
eguagliando le espressioni delle x e la seconda equazione è una delle due
{
= ....................
espressioni ricavate per la x, ad esempio la prima ......................
x = ....................
Risolvi la prima equazione e determina il valore di y
{
....................
x =
y = ....................
Sostituisci il valore di y nella seconda equazione e trova il valore di x
{
....................
x =
y = ....................
La soluzione del sistema è (..............., ...............).
{3x − 2y = − 1
2x + 6y = 5
28.
{2x3x −+ y2y==9
− 4
29.
17
Unità 1
Trainer
{
5x − 3y = 2
30.
2x − 3y = − 1
Conviene ricavare l’incognita y perché ha lo stesso coefficiente in entrambe
y = ....................
le equazioni
y = ....................
{
Considera ora il sistema in cui la prima equazione è quella che si ottiene
eguagliando le espressioni delle y e la seconda equazione è una delle due
{
= ....................
espressioni ricavate per la y, ad esempio la prima ......................
y = ..................
Risolvi la prima equazione e determina il valore di x
{
....................
x =
y = ....................
Sostituisci il valore di x nella seconda equazione e trova il valore di y
{
....................
x =
y = ....................
La soluzione del sistema è (..............., ...............).
{2x − 3y = − 1
x + 3y = − 2
3x + 2y = 1
32. {
4x − 3y = 24
31.
{
y
x − __
__
= 1
35. 2 3
3x − 2y = − 6
{2 (3x − 2) − y + 1 = 0
3 (x + y) + 2 (x − y) − 8 = 0
2 (x + y) = 14
34. {
3x − 2 ( y − 4x) = 12
33.
Trainer
Riduci dapprima il sistema in forma normale. Il sistema è
quindi .............................. soluzioni.
{
y + 5
x + 2
_____
+ _____
= 2
3
6
36.
y − 2
5x + 4
______
_____
+
= 2
6
9
{
y
3x −
4
y − 1 = ______
− __
2
4
37.
4
__
2y = 2x −
3
18
...............................................
,
Sistemi di primo grado
1.4 Metodo di riduzione
Prof
Per risolvere un sistema col metodo di riduzione, si eseguono i
seguenti passaggi:
1a.si moltiplicano i membri di una o di entrambe le equazioni per
numeri (diversi da zero) in modo che i coefficienti della x nelle
due equazioni risultino uguali e di segno contrario;
2a.si addizionano i rispettivi termini delle due equazioni, ottenendo un’equazione con la sola y che, risolta, dà il valore di y ;
3a.si sostituisce il valore di y in una delle due equazioni iniziali del
sistema (la più semplice) e si ricava il corrispondente valore di x.
Oppure, in maniera equivalente
1b.si moltiplicano i membri di una o di entrambe le equazioni per
numeri (diversi da zero) in modo che i coefficienti della y nelle
due equazioni risultino uguali e di segno contrario;
2b.si addizionano i rispettivi termini delle due equazioni, ottenendo un’equazione con la sola x che, risolta, dà il valore della x;
3b.si sostituisce il valore della x in una delle due equazioni iniziali del
sistema (la più semplice) e si ricava il corrispondente valore della y.
Esempio
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di riduzione
{
2x + 3y = 12
3x − y = 7
1a.Per fare in modo che i coefficienti di x siano uguali e di segno contrario
(+ 6 e − 6), moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 3 e la seconda per − 2
6x + 9y = 36
− 6x + 2y = − 14
{
2a.Addizioniamo termine a termine le due equazioni del sistema
− 6x + 9y = 36
6x + 2y = − 14
+ 11y = 22
{
ottenendo un’unica equazione nell’incognita y, cioè 11y = 22, da cui ricaviamo il valore cercato di y
y = 2
19
Unità 1
3a.Sostituiamo il valore 2 al posto della y in un’equazione del sistema di partenza, per esempio nella seconda, 3x − y = 7, e ricaviamo
3x − 2 = 7
da cui
3x = 9
e quindi
x = 3
La soluzione del sistema è
{
x = 3
y = 2
Si poteva procedere in modo equivalente:
1b.Per fare in modo che i coefficienti di y siano uguali e di segno contrario
(+ 3 e − 3), è sufficiente moltiplicare la seconda equazione del sistema
assegnato per 3
{ 2x + 3y = 12
9x − 3y = 21
2b.Addizioniamo termine a termine le due equazioni del sistema
{
2x + 3y = 12
9x − 3y = 21
11x
= 33
ottenendo un’unica equazione nell’incognita x, cioè 11x = 33, da cui il valore cercato di x
x = 3
3b.Sostituiamo il valore 3 al posto della x in un’equazione del sistema di partenza, per esempio nella seconda, 3x − y = 7, e ricaviamo
3 (3) − y = 7
da cui
9−y=7
e quindi
y = 2
La soluzione del sistema è dunque
{
x = 3
y = 2
20
Sistemi di primo grado
Esercizi 1.4
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione.
{3x − 2y = 19
5x + 9y = 7
Trainer
38.
Per fare in modo che siano opposti i coefficienti della x, moltiplica tutti i
termini della prima equazione per 5 e quelli della seconda equazione per − 3
{
15x − 10y = ...............
− 15x ............... = ...............
Addiziona termine a termine i membri delle due equazioni e ottieni l’equazione in y, cioè .................... = .................... la cui soluzione è y = .....................
Sostituisci il valore di y nella prima delle equazioni del sistema assegnato
3x − 2 (....................) = 19, esegui le operazioni e ottieni il valore di x = .....................
La soluzione del sistema è (..............., ...............).
{4x − 3y = 6
6x − y = 16
x + 2y = 14
40. {
3x − y = 7
6x + 5y = 3
41. {
9x + 7y = 5
3x − 4y = − 1
42. {
6x + 2y = 3
39.
{
Trainer
1 + y ___
1 − 2x
______
+ _____
= 5
3
2
12
43.
y
x
__ + __ = 2 + x
3 2
Prima di procedere con il metodo di riduzione, devi ridurre il sistema in
forma normale.
Il sistema è ..................................................., quindi .............................. soluzione.
{
(x + 1) ( y − 1) − 4x − xy = 7
(x + 2y) − 5x − 2y (1 + 2x + 2y) = (x − 1) (x + 1)
44.
2
{
y
6x + 10
x + __
_______
− __
= 5
45.
8
6 2
8 (x − 2) + 3x = 41 − 6y
21
Unità 1
1.5 Metodo di Cramer
Prof
Consideriamo il sistema in forma normale
a 11 + a 12 y = a 13
a
21
x + a 22
y = a 23
{
Per risolvere il sistema con il metodo di Cramer, si eseguono i seguenti passaggi:
1. si scrivono i coefficienti delle incognite x e y in una tabella, chiamata matrice quadrata del secondo ordine (perché costituita
da due righe e due colonne)
a a 12
[ a 11
21
a 22
]
2. si calcola il determinante D della tabella sottraendo al prodotto
dei numeri sulla diagonale principale il prodotto dei numeri sulla
diagonale secondaria, cioè
D = (a 11 a 22) − (a 12 a 21)
3a.Se il determinante D ≠ 0, il sistema è determinato e si procede così:
• il valore della x è dato dalla frazione
D
x = ___
x
D
dove il numeratore D
xè il determinante ottenuto dalla matrice dei coefficienti sostituendo la prima colonna con quella dei termini noti, cioè
a a 12
[ a 13
23 a 22
]
e dunque
D x = (a 13 a 22) − (a 12 a 23)
• il valore della y è dato dalla frazione
D y
y = ___
D
dove il numeratore D
yè il determinante ottenuto dalla matrice dei coefficienti sostituendo la seconda colonna con quella dei termini noti, cioè
a a 13
[ a 11
21
a 23
]
e dunque
D y = (a 11 a 23) − (a 13 a 21)
3b.Se il determinante D = 0, il sistema non è determinato e, in particolare:
• se D x= 0 il sistema è indeterminato;
• se D x≠ 0 il sistema è impossibile.
22
Sistemi di primo grado
Esempio
Risolviamo il sistema, già risolto con il metodo di riduzione, utilizzando ora il
metodo di Cramer
{
2x + 3y = 12
3x − y = 7
1. Scriviamo i coefficienti delle incognite nella matrice
3
[ 2
3 − 1]
2. Calcoliamone il determinante D, cioè
D = (2) (− 1) − (3) (3) = − 2 − 9 = − 11
3. Poiché D ≠ 0, il sistema risulta determinato. Procediamo, quindi, con il
calcolo della sua soluzione.
• Sostituiamo la prima colonna della matrice dei coefficienti con quella
dei termini noti, cioè
3
[12
7 − 1]
e determiniamo D
x
D x = (12) (− 1) − (3) (7) = − 12 − 21 = − 33
e quindi il valore della x
D − 33
x = ___x = ____
= 3
D − 11
• Sostituiamo la seconda colonna della matrice dei coefficienti con quella
dei termini noti, cioè
[2
3
12
7]
e determiniamo D
y
D y = (2) (7) − (12) (3) = 14 − 36 = − 22
e quindi il valore il valore della y
D y − 22
y = ___ = ____
= 2
D − 11
La soluzione del sistema è dunque
{
x = 3
y = 2
ed è ovviamente uguale a quella ottenuta con il metodo di riduzione.
23
Unità 1
Esercizi 1.5
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di Cramer.
{
Trainer
3x − 2y = 5
5x + y = 1
46.
I coefficienti delle incognite sono 3 e 5 per la x e − 2 e 1 per la y. I termini noti
sono 5 e 1.
3 ..........
La matrice dei coefficienti delle incognite è [
.......... ..........]
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di Cramer.
Calcola il suo determinante D = 3 (..........) − (..........) (..........) = .....................
Poiché D ≠ 0, il sistema è .........................................
Costruisci la matrice che si ottiene sostituendo la prima colonna con la colonna
− 2
dei termini noti [ 5
e calcola il suo determinante
.......... ..........]
D x = 5 (..........) − (..........) (..........) = .....................
D
Il valore della x è x = ___x = ...........
D
Costruisci ora la matrice che si ottiene sostituendo alla seconda colonna la
e calcola il suo determinante
colonna dei termini noti [ 3 5
.......... ..........]
D y = 3 (..........) − (..........) (..........) = .....................
D y
Il valore della y è y = ___ = ...........
D
La soluzione del sistema è (..............., ...............).
{3x + 2y = 4
3x − 4y = 1
47.
{
Trainer
2 (2x + y + 1) + 3 = 3
3 x + __
6 y − 1 = − 4
__
2
5
48.
Riduci il sistema in forma normale, quindi procedi con la risoluzione con il
metodo di Cramer.
{
1
y − 2x = __
49.
2
− 12x + 2y + 2 = 0
24
{
y − 4
x − _____
= 1
3
50.
x + 3
_____
− y = 0
3
{
2 y + 1 = 0
x + __
3
51.
y + 1
x − 1
_____
_____
+
+ 1 = 0
3
2
Sistemi di primo grado
Trainer
{3x − 2y = 3
− 6x + 4y = 2
52.
Il determinante D è D = .............. e, poiché D x= .............., il sistema è ....................................
{3x − 5y = 7
− 6x + 10y = − 14
53.
Il determinante D è D = .............. e, poiché D x= ..............., il sistema è .....................................
{
{
7
x − y = __
2
55.
y
2x + y __
x − __ = ______
__
+ 6
2 5
10
5
x − 3
_____
= − y
54. 2
12 = 4 (x + 2y)
1.6 Sistemi fratti
Prof
I sistemi fratti contengono equazioni in cui almeno una delle incognite compare a denominatore in un’equazione. Quindi, prima di
procedere alla risoluzione del sistema, occorre determinare il campo di esistenza (C.E.). Eventuali soluzioni che sono escluse dal campo di esistenza non potranno essere accettate (Unità 6, Volume 1).
Esempio
{
Risolviamo il seguente sistema fratto
1
_____
x + 1
= __
y
4
x
1
_____
= __
y + 1 5
Nella prima equazione abbiamo a denominatore l’incognita y e nella seconda
un binomio di primo grado in y. Nel C.E. del sistema sono quindi esclusi i valori y = 0 e y = − 1. Risulta dunque C.E.: y ≠ − 1 ∧ y ≠ 0.
Trasformiamo ora il sistema fratto in un sistema intero, cioè in un sistema
dove le incognite non compaiono a denominatore. A questo scopo portiamo
tutti i termini delle equazioni a primo membro
{
1 = 0
_____
x + 1
− __
y
4
1 = 0
_____
x
− __
y + 1 5
25
Unità 1
Svolgiamo le sottrazioni a primo membro come indicato dalla teoria delle
frazioni algebriche (Unità 6, Volume 1): sapendo che il m.c.m. della prima
equazione è 4y e quello della seconda è 5 ( y + 1), otteniamo il sistema intero
{
4 (x + 1) − y = 0
5x − ( y + 1) = 0
Sviluppiamo i calcoli e scriviamo il sistema in forma normale
{
4x − y = − 4
5x − y = 1
Risolviamo il sistema con il metodo del confronto: ricaviamo − y da entrambe
le equazioni
{
− y = − 4 − 4x
− y = 1 − 5x
da cui
− 4 − 4x = 1 − 5x
Quindi x = 5, e di conseguenza, sostituendo nella seconda equazione del sistema, y = 24. Poiché tali valori appartengono al C.E. del sistema, la soluzione è
{
x = 5
y = 24
Esercizi 1.6
Risolvi i seguenti sistemi fratti.
{
Trainer
y − 1
_____
− 1 = 0
x
56.
x + 2
_____
2 − y
= 0
{
Il C.E. del sistema è x ≠ .......... ∧ y ≠ ...........
................
= 0
_____
x
Riduci le equazioni del sistema allo stesso denominatore ______
.................
= 0
y
................
= ................
Semplifica i denominatori e riduci il sistema in forma normale
................ = ................
{
{
Risolvi il sistema con uno dei metodi che hai studiato x = ................
. Tale coppia
y = ................
di valori non è accettabile, perché non appartiene al C.E. del sistema; quindi
il sistema è .........................................................................
26
{
y
x = _____
_____
x + 2 y − 1
57.
[2, − 1]
1 = _____
2
_____
x − 3 y − 1
{
x − 1
_____
= 1
2y
58.
[impossibile]
y + 2
_____
= x
2
{
Sistemi di primo grado
3x − 4y
_______
= 7
x + 2y
59.
[9, − 2]
2 (x − y)
________
= 1
3x − 5
1.7 Sistemi letterali
Prof
I sistemi letterali includono equazioni che, oltre alle incognite,
contengono lettere, chiamate parametri. Si devono quindi determinare i valori che, sostituiti ai parametri, rendono il sistema
impossibile o indeterminato. Inoltre, se i parametri si trovano a
denominatore di eventuali frazioni, occorre escludere i valori che
annullano tali denominatori.
Esempio
Risolviamo il seguente sistema letterale
{
18x + 12y = 5
ax + 4y = − 6
Applichiamo il metodo di Cramer. La matrice dei coefficienti delle incognite è
[ 18 12
e il suo determinante vale
a 4 ]
D = 18 (4) − 12 (a) = 72 − 12a
Il sistema è quindi determinato se D = 72 − 12a ≠ 0, cioè a ≠ 6. Ipotizzando questo caso, procediamo con il calcolo delle soluzioni.
Il termine D
xè il determinante della matrice [ 5 12
, cioè
− 6 4]
D
92
92
23
D x = 5 (4) − (12) (− 6) = 92; pertanto x = ___x = ________
= _________
= ________
.
D 72 − 12a 12 (6 − a) 3 (6 − a)
5
Il termine D
yè il determinante della matrice [ 18 , cioè
a − 6]
D y − 108 − 5a _________
D y = 18 (− 6) − (5) (a) = − 108 − 5a; pertanto y = ___ = _________
= − 108 − 5a .
72 − 12a
D
12 (6 − a)
Se al contrario imponiamo a = 6, allora abbiamo D = 0 e D x ≠ 0, e di conseguenza il sistema è impossibile.
23
Riassumendo:
x = ________
3 (6 − a)
• se a ≠ 6, il sistema è determinato e la sua soluzione è
5a + 108
y = _________
12 (a − 6)
• se a = 6, il sistema è impossibile.
{
27
Unità 1
Esercizi 1.7
Risolvi i seguenti sistemi letterali.
Trainer
{2x − y = a
x + 3y = 4a
60.
Poiché non esistono condizioni sui valori che può assumere la lettera a, il
sistema ammette soluzione (..............., ...............) per qualsiasi valore di a.
3 ( y + 1)
{2 (x − 2a) = x − y = 2a + 1
{x + 4y = a
x + 3y = 2a
61.
62.
Trainer
{2x + y = 3a − 1
ax − (a + 1) y = 1
63.
Il sistema è in forma normale. Risolvilo usando il metodo di Cramer.
..........
2 .
La matrice dei coefficienti delle incognite è [
.......... − ..........]
Calcola il suo determinante D = 2 (..........) − (..........) (..........) = .....................
Il sistema è determinato se D ≠ ...................., cioè se a ≠ .....................
In questo caso, considera la matrice che si ottiene sostituendo alla prima
.......... e calcola il suo determinante
colonna la colonna dei termini noti [ ..........
.......... ..........]
D
D x = (..........) (..........) − (..........) (..........) = ..................... Dunque x = ___x = ...........
D
Considera ora la matrice che si ottiene sostituendo alla seconda colonna la
.......... e calcola il suo determinante
colonna dei termini noti [ ..........
.......... ..........]
D y = (..........) (..........) − (..........) (..........) = .....................
D y
y= ..................... Dunque y = ___ = ...........
Scomponi D
ycon Ruffini e ottieni D
D
x = ..........: il sistema è ....................................................
Se invece a = .........., allora D = 0 e D
In sintesi:
se a ≠ .........., il sistema è ................................................... e la sua soluzione è (.........., ..........);
se a = .........., il sistema è ...................................................
{ax + y = 0
2ax − 2y = 0
64.
28
{2x + ay = 3a
x − 2ay = − a
65.
{ax − 2y = 4
− 2x + ay = − 4
66.
Sistemi di primo grado
Trainer
{
x + y = __
1
__
a
a
67. y
x + __
= 1
a
Il sistema ha significato per i valori del parametro a che non annullano il
denominatore delle equazioni, quindi a ≠ ........... Risolvi il sistema tenendo presente che deve valere questa condizione.
{
x + y
_____
= 1
a + 1
68.
y
2x + y ______
2x
_____
+ _____
− ______
= 22
a + 1 a − 1 a + 1 a − 1
Trainer
è determinato?
{x − y = 2
3x − ay = 6
69. Per quale valore di a il sistema
Il sistema è determinato se il determinante D della matrice dei coefficienti
delle incognite è D ≠ .........., quindi a ≠ .....................
è determinato?
{ax + y = 2
4x + ay = 4
70. Per quale valore di a il sistema
1.8 Risoluzione di problemi con sistemi
Prof
Esistono problemi che si risolvono utilizzando sistemi. Si tratta di
problemi che richiedono di determinare due incognite, legate tra
loro da due relazioni descritte nel testo. In generale si procede nel
seguente modo:
1. si pongono come incognite x e y le grandezze richieste dal problema;
2. si trasformano in equazioni le due informazioni date dal problema che pongono in relazione le due grandezze da trovare;
3. si risolve il sistema di due equazioni a due incognite ottenuto;
4. si verifica se la soluzione del sistema è accettabile come soluzione del problema (se per esempio il problema richiede di determinare i due lati di un rettangolo, il relativo sistema deve fornire
come soluzione due valori positivi, dato che la misura di un segmento non può essere negativa).
29
Unità 1
Esempio
Consideriamo il seguente problema.
Trovare due numeri sapendo che aggiungendo 12 al maggiore si ottiene il doppio della somma di 5 con il minore e che sottraendo 2 dal maggiore si ottiene il
triplo della differenza tra il minore e 3.
Indichiamo con x il numero maggiore e con y il numero minore. Il problema
impone che:
1. aggiungendo 12 al numero maggiore, cioè alla x, si ottiene il doppio della
somma di 5 con il numero minore, cioè con y; quindi
12 + x = 2 (5 + y)
2. sottraendo 2 dal numero maggiore, cioè da x, si ottiene il triplo della differenza tra il numero minore, cioè y, e il numero 3; quindi
x − 2 = 3 ( y − 3)
Le due equazioni ottenute formano dunque il sistema
{
12 + x = 2 (5 + y)
x − 2 = 3 ( y − 3)
Sviluppiamo i calcoli e trasformiamo il sistema in forma normale
{
x − 2y = − 2
x − 3y = − 7
Possiamo applicare, per esempio, il metodo di sostituzione ricavando l’incognita x dalla prima equazione
{
x = − 2 + 2y
x − 3y = − 7
per poi sostituirla nella seconda equazione
{
x = − 2 + 2y
(− 2 + 2y) − 3y = − 7
Sviluppando i calcoli nella seconda equazione, otteniamo il valore dell’incognita y
{
x = − 2 + 2y
y = 5
e dunque l’incognita x
{
x = − 2 + 2 (5) = 8
y = 5
Concludendo, i due numeri richiesti dal problema sono 8 e 5.
30
Sistemi di primo grado
Esercizi 1.8
Risolvi i seguenti problemi.
71. Calcola i lati di un triangolo isoscele, sapendo che la
Trainer
base supera di 4 cm i 3/4 del lato obliquo e il perimetro è 26 cm.
Considera il triangolo isoscele in figura. Dal testo del problema:
3 BC AB + 2 BC = 26 cm
AB = 4 cm + __
4
Se AB = x e BC = y, le due relazioni sono le equazioni
del sistema
{
{
....................
....................
x = 4 + che ha soluzione x =
x + .......... = ..........
y = ....................
C
A
B
La base del triangolo è AB = .......... cm. Il lato obliquo è BC = AC = .......... cm.
72. Trova la lunghezza di due segmenti sapendo che la loro somma è 18 cm e
che sono uno i 4/5 dell’altro.
[8 cm, 10 cm]
73. La somma di due numeri è 30. Se al secondo si aggiunge 6 si ottiene il doppio del primo. Trova i due numeri.
[12, 18]
74. La differenza di due segmenti è 50 cm. Determina la loro somma sapendo
che uno di essi è il triplo dell’altro.
75. A una riunione partecipano 100 persone. Le donne sono 18 più degli uomini. Trova il numero degli uomini e delle donne partecipanti.
[41, 59]
76. Determina due numeri sapendo che la differenza tra il primo e i 5/9 del secondo è 20 e che la somma di 5/6 del primo e 1/3 del secondo è 31. [30, 18]
77. In un triangolo rettangolo la somma dei 2/3 del cateto minore e dei 7/8 del
maggiore è 11 cm e la differenza tra i 5/4 del cateto minore e i 3/8 del maggiore è 9/2. Trova i cateti del triangolo.
[6 cm, 8 cm]
78. In un triangolo isoscele l’angolo al vertice è i 2/3 della somma degli angoli
alla base. Determina l’ampiezza degli angoli.
[72°, 54°, 54°]
79. In un rettangolo la somma dei due lati è 22 cm e la loro differenza è 18 cm.
Calcola l’area del rettangolo.
80. Trova due numeri tali che il loro rapporto sia 3/5 e che
[40 cm 2]
Trainer
la loro somma sia 80.
Il sistema è fratto e il relativo C.E. è ...............................
81. Trova la frazione che diventa uguale a 4/5 se si aumentano di 2 i suoi termini, mentre diventa uguale a 1/2 se si diminuiscono di 1 i suoi termini.[2/3]
31
Unità 1
Esercizi di riepilogo
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo indicato.
{− 3x + y = 7 − y
2x + 5 = y + 1
82.
sostituzione
{
[− 1, 2]
x + y __
19 − _____
___
= 2
10
4
83.
5 sostituzione
x − 2y = 18
[10, − 4]
x − y + z = 6
84. 2x + y − z = − 3
sostituzione
x − y − z = 0
[1, − 2, 3]
x − y + 2z = − 1
85. 2x + y − z = − 3
sostituzione
x − 4y + 7z = 2
[impossibile]
{
{
{
2x + 3y − z = 0
86. 3x + 2y − 4z = 0
sostituzione
{
[indeterminato]
2x + y − 3z = 0
x + y _____
x − y
7
_____
+
= − __
2
3
6 confronto
87.
x − y
x + y ___
17
_____
_____
+
=
2
3
6
{
y ______
x + __
− __
= 5x − 4
2 3 6 confronto
88.
2y − x = 3
[1, − 12]
[1, 2]
riduzione
{3x + 7y = 2
4x − 2y = − 3
89.
{
1 __
1
__
[ − 2 , 2 ]
4x + 5y ______
2x − y
11
_______
−
= − ___
3
5
5
90.
riduzione
6x − 16y
5x + 4y
29x
4
________
_______
__
____
+
= +
3
3 15
15
{
[impossibile]
2
__
91.
Cramer
[ , − 1 ]
{
9x + y = 4 − y
3 x − 6y = 6 − y
__
2
4y 5 − 2x
11
___ − ______
= − ___
3
5
15
92.
Cramer
3y
x − 3
4
_____
___
__
+ = −
2
5
5
32
3
[indeterminato]
Sistemi di primo grado
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni più opportuno.
{
94. {
5x − y + 1 = 0
(x + y) − (x − y) 2 = 4x ( y − 2)
93.
2
[0, 1]
(2x + y) 2 − 8x ( y − 1) = (2x − y) 2 − 8
2x + 3y − 1 = 0
{
[− 1, 1]
3
__
95.
[ − 4, − ]
x
{
(x − 2) 2 + y = (x + 1) (x − y) + (3 − y) (2 − x)
__ = 2 + 2y
4
5 x + __
3 y = __
1 x − __
2
__
6
2
11
5
5
96.
1, − ___
[
]
2
9
__
2 (x + y) = y + 1 −
9
{
2
{
x + 1
1
_____
= __
y
4
97.
x
1
_____
__
=
y + 1 5
[5, 24]
2 (x − 4y) ________
2 (1 − 4y)
_________
= 6x + 1
+ _________
x − 2
x − 2
3 (x − 2)
98.
[impossibile]
3x
6
_____
− 1 − _____
= 0
y − 1
y − 1
y
3 = 3 + _____
_____
5
3
x
−
1
x
−
1
99.
__
; − __ ]
[
3 = __
9
1 ___
2
2
__
y x + xy
{
{2x − y = 1
ax − y = 1
ax + 2y = a
101. {
ax − 2y = 0
100.
[a ≠ 2, (0, − 1); a = 2, indeterminato]
a
1 __
__
[ a ≠ 0, 2 , 4 ; a = 0, indeterminato ]
( )
Risolvi i seguenti problemi.
102. In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di 6 quella delle decine e la somma delle cifre è 8. Trova il numero.
[17]
103. Determina due numeri sapendo che il maggiore supera di 7 il doppio del
minore e che, dividendoli, si ottiene per quoziente 3 e per resto 2. [17, 5]
104. Determina gli angoli di un triangolo isoscele sapendo che l’angolo al vertice è doppio di ciascuno degli angoli alla base.
[90°, 45°, 45°]
105. Determina le diagonali di un rombo sapendo che la maggiore è i 5/2 della
minore e che la loro differenza è 15 cm.
[10 cm, 25 cm]
106. La somma delle età di Paolo e Luca è 65 anni. 1/7 dell’età di Paolo è uguale
a 1/6 dell’età di Luca. Trova le due età.
[35, 30]
107. Calcola la lunghezza dei lati di un rettangolo, sapendo che il maggiore
supera di 4 cm il minore e che, aumentando di 2 cm il maggiore e diminuendo di 1 cm il minore, l’area diminuisce di 4 cm 2.
[6 cm, 2 cm]
33
Unità 1
Test di autovalutazione
Prof
Trainer
Per valutare il tuo livello di preparazione sugli argomenti
dell’Unità, risolvi i seguenti esercizi e confronta i risultati
con quelli riportati a pagina 232. Se hai svolto correttamente almeno sei esercizi, la tua preparazione è sufficiente.
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo indicato a fianco.
{x − 7y = 19 + 3x
8x + y = 5
1.
sostituzione
{
{
{
x + 2y ___
x
______
− 3x = − __
3
4 3 confronto
2.
y − x
3y
_____
= ___ − 1
5
5
x − 2 − y __
y x + 1
________
− + _____
+ 1 = 0
3
4
6
3.
riduzione
x − 1 + 3y ______
2y − 3 _____
x + 1
_________
−
−
= 0
4
6
2
3x − y ______
x − 2y __
______
+
= 5
3
3 Cramer
5
4.
2x + y ______
x − 3y ___
______
−
= 17
2
3
6
{
x + y + 2z = − 1
5. 2x − y + 2z = − 4
sostituzione
4x + y + 4z = − 2
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni più opportuno.
{
(x − 1) 2 − ( y − 1) 2 = (x + y) (x − y)
2x − y − 3 = 0
6.
{
x − 3y
______
+ 2 = 0
y − 1
7.
4x + y
______
+ 1 = 0
y + 1
{ax + y = 2a
ax − y = 3a
8.
9. Trova due numeri sapendo che la loro somma è cinque volte la loro differenza e che i 7/9 del maggiore superano di 5 i 3/4 del minore.
10. La base di un rettangolo è i 3/8 del suo perimetro, mentre i 5/9 della base
superano di 8 cm l’altezza. Trova l’area del rettangolo.
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